APOSTILA DE MATEMÁTICA

CONJUNTO DOS INTEIROS: Z

Z = {..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...}Z* = {..., -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4, ...}Z+ = {0, 1, 2, 3, 4, ...}Z_ = {..., -4, -3, -2, -1, 0}

Os números inteiros podem ser opostos ou simétricos entre si, ou seja suas imagens são pontos simétricos em relação ao ponto 0 (origem).

Exemplos:-4 e +4; -3 e +3, -100 e +100, etc...São números iguais com sinais diferentes.

Representação Simbólica de um subconjunto de Z

A = {-2, -1, 0, +1, +2, +3, ...} fica simbolicamente escrito:

A = {x Z / x > -3}

Representação Geométrica: Reta Numérica de Z

Propriedades da Adição

Dados os números inteiros a, b e c, são válidas as seguintes propriedades:

1 – Fechamento: a soma de dois números inteiros é sempre um número inteiro. Diz-se então que o conjunto Z dos números inteiros é fechado em relação à adição.

2 – Associativa: a + (b + c) = (a + b) + c

3 – Comutativa: a + b = b + a

4 – Elemento neutro: a + 0 = 0 + a = a . Zero é o elemento neutro da adição.

Propriedades da Multiplicação

Dados os números inteiros a, b e c, são válidas as seguintes propriedades:

1 – Fechamento: a multiplicação de dois números inteiros é sempre outro número inteiro. Dizemos então que o conjunto Z dos números inteiros é fechado em relação à operação de multiplicação.

2 – Associativa: a x (b x c) = (a x b) x c ou a . (b . c) = (a . b) . c

3 – Comutativa: a x b = b x a

4 – Elemento neutro: a x 1 = 1 x a = a. O número 1 é o elemento neutro da multiplicação.

Exercícios:

1) Enumere os elementos dos conjuntos abaixo:

a) A = {x Z / x < 4}:b) P = {x Z / -3 x 6}:c) X = {x Z / x 0}:

CONJUNTO DOS RACIONAIS: Q

Q = { / a Z e b Z*}

Exemplos:

a) Q

b) 0,7 = Q

c) 0,666 ... = Q

Observações:

1) A representação decimal de todo número racional, é finita ou periódica infinita.Exemplos:

a) = 0,5

b) = 1,5

c) = 0,333...

d) = 1,5151

2) Todo número inteiro é um número racional.Exemplos:

a) –3 = -3/1 b) –4 = -8/2

c) 2 = 2/1 d) 8 = 16/2

Frações iguais: são as que possuem os termos iguais.

Exemplos: = ; =

Forma mista de uma fração: é o nome dado ao numeral formado por uma parte natural e uma parte fracionária.

1

Fração Decimal

Números Decimais

Fração Decimal

Números Decimais

0,1 11,7

0,01 1,17

0,001 0,117

0,0001 0,0117

Ex.: .

Irredutível: é aquela que não pode ser mais simplificada, por ter seus termos primos entre si.

Ex.: 7/6; 9/8; 3/7.

Propriedades da adição

1 - Fechamento: O conjunto Q é fechado para a operação de adição, isto é, a soma de dois números racionais ainda é um número racional.

2- Associativa: Para todos a, b, c em Q:a + ( b + c ) = ( a + b ) + c

3- Comutativa: Para todos a, b em Q:a + b = b + a

4- Elemento neutro: Existe 0 em Q, que adicionado a todo q em Q, proporciona o próprio q, isto é:q + 0 = q

Propriedades da multiplicação

1- Fechamento: O conjunto Q é fechado para a multiplicação, isto é, o produto de dois números racionais ainda é um número racional.

2 - Associativa: Para todos a, b, c em Q:a × ( b × c ) = ( a × b ) × c

3- Comutativa: Para todos a, b em Q:a × b = b × a

4- Elemento neutro: Existe 1 em Q, que multiplicado por todo q em Q, proporciona o próprio q, isto é:q × 1 = q

5- Elemento inverso: Para todo q = a/b em Q, q diferente de zero, existe q-1=b/a em Q, tal que:q × q-1 = 1

NÚMEROS DECIMAISObserve no quando a representação de frações decimais através de números decimais:

 

 

Nessa representação, verificamos que a vírgula separa a parte inteira da parte decimal.

Transformação de números decimais em frações decimais

   Observe os seguintes números decimais:

0,8 (lê-se "oito décimos"), ou seja, .

0,65 (lê-se "sessenta e cinco centésimos"), ou

seja, .

Verifique então que:

Transformação de fração decimal em número decimal

   Observe as igualdades entre frações decimais e números decimais a seguir:

Operações com Números Decimais

2

dividendo 3,6 | 0,4 divisor resto 0 9 quociente

dividendo 360 | 40 divisor resto 0 0,9 quociente

Adição e Subtração: Para efetuar a adição ou a subtração de números decimais temos que seguir alguns passos:(a) Igualar a quantidade de casas decimais dos números decimais a serem somados ou subtraídos acrescentando zeros à direita de suas partes decimais. Por exemplo:

2,4 + 1,723 = 2,400 + 1,723 2,4 - 1,723 = 2,400 - 1,723

(b) Escrever os numerais observando as colunas da parte inteira (unidades, dezenas, centenas, etc), de forma que:

i. o algarismo das unidades de um número deverá estar embaixo do algarismo das unidades do outro número;

ii. o algarismo das dezenas de um número deverá estar em baixo do algarismo das dezenas do outro número;

iii. o algarismo das centenas deverá estar em baixo do algarismo das centenas do outro número, etc);

iv. a vírgula deverá estar debaixo da outra vírgula, e

v. a parte decimal (décimos, centésimos, milésimos, etc) de forma que décimos sob décimos, centésimos sob centésimos, milésimos sob milésimos, etc.

(c) Realizar a adição ou a subtração.

Por exemplo:

Multiplicação: Podemos multiplicar os números decimais como se fossem inteiros e dar ao produto tantas casas quantas forem as casas do multiplicando somadas às do multiplicador. Por exemplo:

2,25 2 casas decimais multiplicandox 3,5 1 casa decimal multiplicador1125    675+    7875    7,875 3 casas decimais Produto

Divisão: Primeiramente verifica-se se os números de casas decimais estão iguais, se não estiverem deve-se completar com zeros e igualá-las. Para cada zero completado no dividendo um zero é colocado no quociente. Após igualados dividendo e divisor elimina-se a vírgula de ambos. E efetua-se a divisão normalmente. Se o número de casas

decimais estiverem corretas apenas elimina-se a vírgula e efetua-se a divisão. Exemplo: 3,6 : 0,4

No exemplo acima, as casas decimais já se apresentam igualadas, portanto eliminou-se a vírgula e efetuou-se a operação. Outro exemplo: 3,6 : 4

1) coloca-se um zero no divisor 3,6 | 4,0 e elimina-se a vírgula 36 | 40 ;

2) agora efetua-se a divisão, como 36 não dá para dividir por 40, coloca-se um zero no dividendo ficando com 360 | 40 , como cada casa aumentada no dividendo um zero é colocado no quociente:

MÚLTIPLOS E DIVISORES

Múltiplos

Definição: Múltiplo de um número (n N), é o produto desse número por um número qualquer (m N).Exemplo: 15 é múltiplo de 3 porque 3x5 é igual a 15.

Observações:a) O zero é múltiplo de qualquer número.b) Todo número é múltiplo de si mesmo.c) O conjunto dos múltiplos de qualquer número é infinito.

Divisores

Definição: Um número é divisível por outro quando a sua divisão por esse outro é exata.

Exemplo: 15 é divisível por 3, pois 15 : 3 = 5

Divisibilidade

a) Por 2: um número é divisível por 2 quando ele é par. Exemplo: O nº 74 é divisível por 2, pois ele é par.

b) Por 3: um número é divisível por 3 quando a soma dos valores absolutos dos seus algarismos é um número divisível por 3. Exemplo: 123 é divisível por 3, pois 1+2+3 = 6 e 6 é divisível por 3.

c) Por 4: um número é divisível por 4 quando termina em dois ou mais zeros, ou quando os algarismos das dezenas e das unidades de seu numeral formarem um número divisível por 4.

3

Exemplos: 516 é divisível por 4, porque 16 é divisível por 4; 200 é também divisível por 4, porque termina em dois zeros.d) Por 5: um número é divisível por 5 quando termina em 0 ou 5.Exemplo: 320 é divisível por 5, pois termina em 0.

e) Por 6: quando é divisível por 2 e 3 ao mesmo tempo.Exemplo: 222 é divisível por 6, pois é por 2 (é par) e é por 3 (2+2+2=6).

f) Por 8: quando os três últimos algarismos forem zero (000) ou formarem um número divisível por 8.Exemplos: 3000 é divisível por 8, porque termina em três zeros; 12.120 é divisível por 8, pois 120 é divisível por 8.

g) Por 9: quando a soma dos valores absolutos dos seus algarismos for divisível por 9.Exemplo: 576 é divisível por 9, porque 5+7+6= 18 que é divisível por 9.

h) Por 11: um número é divisível por 11, quando a diferença entre as somas dos valores absolutos dos algarismos de ordem ímpar e de ordem par, a partir da direita, é múltiplo de 11.Exemplo: 67.815 é divisível por 11 porque: Ordem ímpar: 5 + 8 +6 = 19Ordem par: 1 + 7 = 8Ímpar – par = 19 –8 = 11 que é múltiplo de 11. Logo, 67.815 é divisível por 11.

i) Por 12: Se o número for divisível por 3 e por 4 é divisível por 12.

AS QUATRO OPERAÇÕES

Com números inteiros

1) Adição:

a) (+5) + (+2) = +5+2 = +7b) (-3) + (+2) = -3+2 = -1c) (-7) + (+9) = -7+9 = +2

2) Subtração:a) (+5) – (-2) = +5+2= +7 b) (+5) – (+2) = +5-2 = +3 c) (-4) – (-2) = -4 +2 = -2 d) (-7) – (+8) = -7 -8 = -15

3) Multiplicação:a) (-4) x (-2) = +8b) (-5) x (+2) = - 10c) (3) x (-3) = -9

4) Divisão:a) (-8) : (-2) = +4b) (-6) : (3) = - 2

c) (0) : (3) = 0d) (3) : (0) = não existe divisão por zero.

Com números fracionários1) Adição:

2) Subtração:

3) Multiplicação:

4) Divisão:

Com números decimais a) adição e subtração

4

fatoresn

n xxxxxxxx ....

6255 5 5 554

4 fatores

b) multiplicação e divisão

Exercícios de fixação

1) –150 – 200 +100 + 300

2) 12 –18 –15 + 20 + 9 –7 –2

3) Américo tem numa sexta –feira R$ 750,00 em sua conta bancária. Retira R$ 120,00 para passar o final de semana, na segunda-feira deposita o que sobrou dos R$ 80,00 que gastou, paga R$ 420,00 de aluguel, R$ 32,00 de conta telefônica, R$ 60,00 de convênio médico e quarta-feira retira R$ 85,00. Seu saldo na quinta-feira será devedor ou credor?

4) João comeu 1/2 bolo, e Joana comeu 1/3 do mesmo bolo. Qual a fração que representa o total do bolo comido pelos dois?

5) Um piso está sendo revestido com cerâmica. Em um dia, foi assentado 1/4 desse piso, e, no dia seguinte, 1/3 do piso. Qual a fração que representa a parte que está sem cerâmica após esses dois dias?

6) R$ 120,00 são distribuídos entre cinco pobres. O 1º recebe ½, o segundo 1/5 do que recebeu o 1º e os restantes recebem partes iguais. Quantos recebeu cada pobre?

7) Um pacote com 27 balas é dividido igualmente entre três meninos. Quantas balas couberam a cada um, se o 1º deu 1/3 do que recebeu ao 2º e o 2º deu ½ do que possuía ao 3º?

8) Um sexto de uma pizza custa 3 reais, quanto custa:

a) da pizza b) da pizza c) a pizza toda

Exercícios complementares

1) 2,32 . 1,3 2) 5,45 : 1,2 3) ½ + 3/2 – 1

Gabarito:01. 50 02. 1 03. credor = R$ 73,0004. 5/6 05. 5/1206. 1º = R$60,00, 2º = R$12,00, 3º = R$16,00, 4º = R$16,00 e 5º = R$16,00 07. 1º = 6, 2º = 6 e o 3º = 1508. a) R$9,00, b) R$15,00, c)R$18,00

Gabarito ex. complementares:01. 3,016 02. 4,541 03. 1

POTENCIAÇÃO Conceito: Potência é o produto de fatores iguais.

MULTIPLICAÇÃO DE POTÊNCIAS DE MESMA BASE

Conserva-se a base e somam-se os expoentes.

Note que a base deve ser a mesma nos fatores.

DIVISÃO DE POTÊNCIAS DE MESMA BASE

5

Conserva-se a base e subtraem-se os expoentes.Note que a base deve ser a mesma nos fatores.

POTÊNCIA DE POTÊNCIA

Potência de potência, multiplicam-se os expoentes.

ATENÇÃO

Número negativo elevado a uma potência, veja os exemplos:

(-5)2 = (-5) · (-5) = + 25

(-2)4 = (-2) · (-2) · (-2) · (-2) = + 16Número negativo elevado a qualquer expoente PAR este se comporta como se fosse positivo!

(-5)3=(-5)·(-5)·(-5)= - 125

Sempre um número negativo elevado a qualquer expoente ÍMPAR, o sinal negativo permanece.

 OBSERVAÇÃOMuita Atenção!

No primeiro caso o sinal de menos também está elevado ao quadrado, então a resposta é +25.No segundo caso, o menos não está elevado ao quadrado, somente o 5, portanto a resposta é -25.

Exercícios:

1) Calcule:a) (+ 9)2 = h) (- 7)3 =b) (- 9)2 = i) (- 100)0 =

c) (+ 9)3 = j) ( -3)4 = d) (- 9)5 = l) 05 =e) (+ 2)5 = m) (- 1)9 =f) (- 2)3 = n) (1)13 =g) (- 1)10 =

2) Calcule:a) o quadrado de -17 =b) o cubo de +15 =c) a quinta potência de -5 =d) a quarta potência de -5 =

3) Se o número x é inteiro negativo, o número x2

será inteiro positivo ou negativo?

4) Reduza a uma só potência:a) (-8)5. (-8) . (-8)4 =b) [ (+2)6]2 =c) (-10)9 : (-10)6 =d) [ (-7)4]3 =e) (+20)7 : (+20)5 =f) (+3)2. (+3)5. (+3)3 =

5) Aplicando as propriedades das potências de mesma base, calcule o valor da expressão:a) [(-4)7. (-4)10. (-4)] : [(-4)8]2 =b) [(-2)6]2 : [(-2)6 . (-2)2] =

6) Resolva as expressões numéricas:a) (-9)2 – (+5) . (+16) =b) (-2)4 : (+16) . (-1)7 =c) -62 – (-7)2 +130 =d) 52 – (-3)3 + (-4)2 =e) 17 – 3. (-2)2- (-6)2 . (-1)8 =f) 7 . (-2)2 – 5 . (-2)3 – 102 =

RadiciaçãoConceito: A raiz n-ésima de um número b é um número a tal que an = b.

6

(-5)2 é totalmente diferente de - 52

RADICIAÇÃO

símbolo sinal da raiz o nº 2 índice o nº 3 raiz o nº 9 radicando

Raiz de número negativoSe o índice da raiz for PAR, para o conj. dos Reais, NÃO EXISTE.Ex.: Se o índice da raiz for ÍMPAR EXISTE.Ex.:

EXPRESSÕES NUMÉRICAS

Sinais de Associação: adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação e radiciação.

1) Potenciações e radiciações, na ordem em que aparecem;2) Multiplicações e divisões, na ordem em que aparecem;3) Adições e subtrações, na ordem em que aparecem.

Se ocorrerem sinais de Parênteses, Colchetes e Chaves efetua-se as operações acima, na ordem que aparecem:

1º) as que estão dentro do parênteses ( )2º) as que estão dentro dos colchetes [ ]3º) as que estão dentro das chaves. { }

NÚMEROS PRIMOS

Número primo

É aquele que possui somente dois divisores: ele mesmo e o número 1.Exemplo: o nº 2 é primo porque só tem dois divisores (o nº 1 e ele mesmo). Nota-se, aliás, que o nº 2 é o único número par primo.Eis o conjunto dos números primos até 50:

{2,3,5,7,11,13,17,23,29,31,37,41,43,47}.

Divisores de um número

Para se obter todos os divisores de um nº, utiliza-se as seguintes regras:1) Fatora-se o número dado;

2) À direita dos fatores primos traça-se uma barra vertical. Um pouco acima do 1º fator primo e à direita da barra, escreve-se 1 (veja abaixo);3) Obtêm-se os divisores, multiplicando cada um dos fatores primos por todos os números situados à direita da barra, e acima desse fator;4) Os divisores são colocados no alinhamento do fator que está multiplicando, tendo-se o cuidado de não repetir divisores iguais.

Os divisores de 30 são: D(30) = {1,2,3,5,6,10,15,30}

Quantidade de divisores de um número

Para se obter a quantidade de divisores de um número composto, utiliza-se a regra: adiciona-se 1 a cada expoente dos fatores primos do nº composto, e multiplicam-se os resultados encontrados.

Ex.: Obter a quantidade de divisores do número 12:

12 = 2 2 x 31 (2+1) x (1 +1) = 3 x 2 =

6. Logo, o número 12 tem 6 divisores.

MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM (MMC)

Mínimo múltiplo comum (m.m.c.)

Existem duas formas para se obter o mínimo múltiplo comum de dois ou mais números:

Decomposição simultânea dos números dados em fatores primos

Regra prática:

Escrevem-se os números, um ao lado do outro, separando-os por vírgula, e, à direita da barra vertical, colocada após o último número, escrevem-se os fatores primos comuns e não comuns. O cálculo estará terminado quando a última linha do dispositivo for composta somente pelo número 1. O m.m.c dos números apresentados será o produto dos fatores.

Exemplo:

7

m.m.c (10,12) = 22 x 3 x 5 =

60 Exercícios de fixação

Calcule o m.m.c dos seguintes números:a) 32 e 40b) 25 e 70c) 13 e 18

MÁXIMO DIVISOR COMUM (MDC)

Decomposição em fatores primos dos números dados

Regra prática:

1) Decompõem-se os números em fatores primos;2) Pega-se somente os “fatores comuns com os menores expoentes” e realiza-se a multiplicação entre eles.Exemplo:

24 = 23 x 3 32

= 25

m.d.c. (24, 32) = 23 = 8

Exercícios de fixação

1) A forma fatorada de um número natural X é 23

.3 .52 e a forma fatorada de outro numero natural Y é 2

. 33 . 5 . 7. Então podemos afirmar que o m.d.c de (X,Y) é?

2) Se o número N = 2x. 32 tem 6 divisores, o valor de N é?

3) Três rolos de fio medem, respectivamente, 24m, 84m e 90m. Eles foram tornados em pedaços iguais e do maior tamanho possível, então, o comprimento de cada pedaço é?

4) Determinar o nº P sabendo-se que ele admite 48 divisores e que ele é da forma P = 2 . 3x.

5) Um número admite 16 divisores. Seus fatores primos são 23 . 5x . 17. Calcule o valor de x.

6) Duas pessoas fazendo exercícios, partem simultaneamente do mesmo ponto e, contornam um jardim. Uma das pessoas dá uma volta completa em 12 minutos e a outra em 20 minutos. Depois de quantos min as duas pessoas voltarão a se encontrar no ponto de partida?

7) Três viajantes passam por determinado local respectivamente a cada 15, 20 e 25 dias. Sabendo-se que hoje os três se encontram, quando acontecerá o novo encontro?

8) Quer circundar de árvores, plantadas à máxima distância comum, um terreno. Quantas árvores são necessárias, se os lados do terreno tem 3150, 1980, 1512 e 1890 metros?

9) Numa república o Presidente deve permanecer 4 anos em seu cargo, os senadores 6 anos e os deputados 3 anos. Em 1929 houve eleições para os três cargos, em que ano deverão ser realizadas novamente eleições para esses cargos?

10) Um terreno de forma retangular tem as seguintes dimensões, 24m de frente e 56 m de fundo. Qual deve ser o maior comprimento de um cordel que sirva para medir exatamente as duas dimensões?

11) A raiz quadrada do produto entre o máximo divisor comum (MDC) e o mínimo múltiplo comum (MMC) dos números n e 20 é 30. A razão entre o MDC e o MMC é 1/36. Então, a soma dos números vale:(A) 30 (B) 45 (C) 65 (D) 70 (E) 75

01) 30 02) 18 03) 6m 04) 2 . 32305) 106) 60 min 07) 300 dias 08) 474 árvores 09) 1941 10) 8 m 11) C

Exercícios de fixação

Resolva as seguintes expressões:

1) {5 + [8 : (7-3) + 5] – 9}

2) 8 + 10 . (8 – 6) : 5

3) [150: 3 – 5 . (32 –2 .10) : ( . 22 - 19)]

4) 100 . 2 – {30 . 3 – [50 : 2 – (10 . 2 – 30 : 3)] + 100}

5) 2 + 8 . 3 – [20 : 2 – (10 . 3 + 3 – 100 : 2) +1]

Gabarito:01) 3 02) 12 03) 61 04) 25 05) – 2

RAZÃO E PROPORÇÃO

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Grandeza é tudo que você pode contar, medir, pesar, enfim, enumerar.

Razão é a divisão ou relação entre duas grandezas.A razão entre dois números a e b sendo b 0, é o

quociente da divisão de a por b. Representa-se: ou

a : b que se lê: “a está para b”, onde a é chamado de antecedente e b de conseqüente.

Na razão , 3 é o antecedente e 5 é o conseqüente e

lê-se: “razão de 3 para 5”.Exemplos:

1) A razão de 240 para 120 é = 2

2) A razão de 36 para 24 é = 1,5

Exemplo: Numa classe temos 40 meninos e 30 meninas, qual a razão entre o número de meninos e o número de meninas?

Razão =

Razões especiaisa) Velocidade média é igual a razão entre a distância percorrida e o tempo gasto. Exemplo:

Velocidade =

b) Densidade demográfica é igual à razão entre o número de habitantes de uma região e a área dessa região. Exemplo:

1 – Proporção

Proporção é a igualdade entre duas razões: . Lê-

se: “a está para b assim como c está para d”. As razões são iguais.

Exemplo:

Os números a, b, c, d são chamados “termos da proporção”; os termos b e c são chamados de meios e os termos a e d são chamados de extremos.Antecedentes: a, c. Conseqüentes: b, d.

Propriedade fundamentalNuma proporção, o produto dos extremos é igual ao produto dos meios.

Na proporção

Outra propriedade

Se , então:

A soma (diferença) dos antecedentes está para a

soma (diferença) dos conseqüentes, assim como cada

antecedente está para o seu conseqüente:

Grandeza Diretamente Proporcional

Grandeza Diretamente Proporcional: quando a variação de uma implica na variação da outra, na mesma proporção, mesma direção e sentido.

Exemplo: Se uma pessoa compra 10 borrachas ao custo de R$ 1,00, então se ela comprar 20 borrachas o custo total será de R$ 2,00.

 Grandeza Inversamente Proporcional

Grandezas Inversamente Proporcionais: quando a variação de uma implica necessariamente na variação da outra, na mesma proporção, porém, em sentido e direção contrários.

Exemplo: Velocidade e tempo. Um carro percorre a uma velocidade de 100 Km/h, o total de 10 metros em 10 segundos. Se este mesmo carro aumentar para 200 km/h gastará apenas 05 segundos para percorrer os mesmos 10 metros.

Exercícios: 1) A razão das idades de duas pessoas é 2/3.

Achar estas idades sabendo que sua soma é 35 anos.2) A razão das áreas de duas figuras é 4/7. Achar

essas áreas sabendo que a soma é 66 cm².3) A diferença dos volumes de dois sólidos é

9cm³ e a sua razão é 2/3. Achar os volumes.4) Em determinada região brasileira, para cada 2

homens há 3 mulheres. Considerando esta relação, um grupo de 4 400 pessoas terá quantas mulheres?

Divisão em Partes Proporcionais

Diretamente proporcionalDividir um número em partes proporcionais a outros números dados é encontrar partes desse número que

9

sejam diretamente proporcionais aos números dados e cuja soma reproduza o próprio número.Exemplo: Duas pessoas, A e B trabalharam na fabricação de um mesmo objeto, sendo que A o fez durante 6 horas e B durante 5 horas. Como agora, elas deverão dividir com justiça os R$ 660,00 apurados com sua venda? Na verdade, o que cada um tem a receber deve ser diretamente proporcional ao tempo gasto na confecção do objeto. Temos de dividir 660 em partes diretamente proporcionais a 6 e 5, que são as horas que A e B trabalharam. Vamos formalizar a divisão, chamando de X o que A tem a receber, e de Y o que B tem a receber. Teremos então:

X + Y = 660,

Esse sistema pode ser resolvido, usando as propriedades de proporção. Assim:

Substituindo X + Y por 660, vem:

X = 360.

Como X + Y = 660, então Y = 300. Concluindo, A deve receber R$ 360,00 enquanto B, R$ 300,00.

Inversamente proporcionalDividir um número em partes inversamente proporcionais a outros números dados é encontrar partes desse número que sejam diretamente proporcionais aos inversos dos números dados e cuja soma reproduza o próprio número.Exemplo: Duas pessoas A e B trabalharam durante um mesmo período para fabricar e vender por R$ 160,00 certo artigo. Se A chegou atrasado ao trabalho 3 dias e B, 5 dias, como efetuar com justiça a divisão? O problema agora é dividir R$ 160,00 em partes inversamente proporcionais a 3 e a 5, pois deve ser levado em consideração que aquele que se atrasa mais deve receber menos. Vamos formalizar a divisão, chamando de X o que A tem a receber e de Y o que B tem a receber.

X + Y = 160,

Como X + Y = 160, então Y = 60. Concluindo, A deve receber R$ 100,00 e B, R$ 60,00.

Exercícios 1) Num exame de vestibular, a razão entre o número de vagas e o número de candidatos é de 3 para 8. Sabendo que há 15.600 candidatos inscritos, quanto é o número de vagas?

2) A razão entre as idades de um pai e seu filho é 5/2. Se o pai tinha 21 anos quando o filho nasceu, a idade do filho é?

3) Repartindo 420 em três partes que são diretamente proporcionais aos números 3,7,4, respectivamente, encontraremos?

4) Repartir 210 em partes inversamente proporcionais a 2/3 e 1/2. Gabarito:01. 5.850 02. 14 anos 03. 90,210,12004. 90,120

PORCENTAGEM

Porcentagem é uma fração de denominador 100. Assim, ao escrevermos P% estamos representando o número P/100.

Exemplos:1) Calcular 20% de 800

2) Calcular 32% de 4000.

3) Qual é o preço de uma mercadoria que custava R$ 80,00 e teve um aumento de 40%?

Calculando o aumento: = 32

O preço da mercadoria será de 80 + 32 = R$ 112,00

4) Numa sala de 80 alunos, 24 alunos foram aprovados. A porcentagem de aprovação foi de?Para resolver tipos de exercícios como este, utiliza-se a regra de três:80.........100%24............x80 . x = 24 . 10080 x = 2400 x = 2400/80 x = 30%Exercícios de fixação:1) R$ 6.400,00 representam quantos % de R$ 320.000?

10

2) 150 alunos representam quantos % de 2000 alunos?

3) Uma prova de Matemática tem 50 questões. Um aluno acertou 40 dessas questões. Qual foi a sua taxa de acertos?

4) O preço de custo de um objeto é R$ 1750,00. Sendo esse objeto vendido a R$ 2.500,00, qual a taxa de lucro sobre o preço de custo?

5) Qual é o preço de uma mercadoria que custava R$ 80,00 e teve um desconto de 30%?

6) Uma mercadoria que custava R$ 300,00 teve um aumento passando a custar R$ 324,00. A majoração sobre o preço antigo foi de? Gabarito:01. 2% 02. 7,5% 03. 80% 04. 42,8%05. R$ 56,00 06. 8%

Exercícios complementares 1) O número de faltas da última semana de aulas, dos 122 alunos das 4 turmas de 4ª série da escola, foram anotadas na tabela abaixo:

4ª série A

4ª sérieB

4ª sérieC

4ª sérieD

Número de faltas 5 8 6 10

Sabendo-se que na 4ª série A estudam 32 alunos, na 4ª série B 30 alunos, e que o número de alunos da 4ª série C é igual ao número de alunos da 4ª série D, podemos concluir que o percentual de alunos ausentes nas aulas da última semana na 4ª série D é igual a:

2) As aulas de Educação Física são realizadas ao ar livre apenas quando não chove. A tabela abaixo apresenta a quantidade de aulas desta disciplina durante dois bimestres letivos.

Aulas de Educação Física em dois bimestres letivosBimestre Nº de dias

sem chuvaNº de dias de chuva

Total de aulas

Primeiro 21 9 30Segundo 29 7 36

Ao calcular a soma das razões que representam, em cada bimestre, a relação entre o número de dias de chuva e o total de aulas obteremos uma outra razão. Qual dentre as alternativas seguintes contém uma característica do número antecedente desta razão? a) É um número primo.b) É um múltiplo de 3.c) É maior que 100.d) É um número par.

3) Numa classe havia 40 alunos. Foi feita uma estatística sobre o sexo dos alunos da classe. De acordo com a tabela abaixo, pede-se para calcular as porcentagens de cada sexo e completar a tabela:

Sexo Nº de alunos PorcentagemMasculino 16Feminino 24Total 40

4) Nas eleições passadas, dos eleitores que compareceram às urnas em uma determinada cidade, 29% votaram, para prefeito, no candidato U, 36% no candidato V, 25% no candidato W e os 20 000 eleitores restantes votaram em branco ou anularam os votos. Com base nesses dados, pode-se afirmar que o número de eleitores que votou no candidato V foi:

a) 50 000 b) 58 000 c) 72 000 d) 180 000

REGRA DE TRÊS SIMPLES

Definição: Regra de três simples é o problema no qual são dadas duas grandezas proporcionais; fazemos variar uma delas e procuramos a variação sofrida pela outra.

Passos utilizados numa regra de três simples:

1º) Construir uma tabela, agrupando as grandezas da mesma espécie em colunas e mantendo na mesma linha as grandezas de espécies diferentes em correspondência.

2º) Identificar se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais.

3º) Montar a proporção e resolver a equação.

Nomenclatura: Numa regra de três simples, os dois elementos conhecidos da mesma grandeza são chamados principais. Os dois elementos, um conhecido e outro desconhecido, da outra grandeza, são chamados relativos.

Exemplos: Principais Relativos6 operários fazem.....................180 metros 8 operários farão.........................x metrosRegra prática para determinar a proporcionalidadeDuas grandezas são diretamente proporcionais quando, aumentando o principal, aumenta o relativo, ou, diminuindo o principal, diminui o relativo.

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Duas grandezas são inversamente proporcionais quando, aumentando o principal, diminui o relativo, ou, diminuindo o principal, aumenta o relativo.Exemplos:

1) Um parafuso penetra 3,2 mm a cada 4 voltas. Quantas voltas deverá dar para penetrar 16 mm?

3,2mm...........4 voltas16 mm...........x

Para penetrar 16 mm o parafuso deverá dar mais voltas. O principal aumenta e, conseqüentemente, o nº de voltas também. Portanto, trata-se de uma regra de três diretamente proporcional. Então:

x = 20 voltas

2) Para construir uma quadra e basquete, 30 operários levam 40 dias. Quantos dias levariam 25 operários, de mesma capacidade que os primeiros, para construir uma quadra idêntica?

30 op..............40 dias25 op...............x

Com 25 operários o trabalho levará mais tempo para ser finalizado. Neste caso, o principal diminui e o relativo aumenta. Trata-se, portanto, de uma regra de três simples inversamente proporcional.

x = 48

Exercícios1) Sabe-se que 8 kg de café cru dão 6 kg de café torrado. Quantos kg de café cru devem ser levados ao forno para obtermos 27 kg de café torrado?

2) 40 pintores pintam um edifício em 10 dias. Querendo fazer o mesmo serviço em 8 dias, quantos pintores seriam necessários?

3) Para paginar um livro com 30 linhas em cada página, são necessárias 420 páginas. Quantas páginas (iguais às anteriores) de 40 linhas (iguais às anteriores) cada uma seriam necessárias para paginar o mesmo livro?

4) Com velocidade de 80 km/h, um automóvel leva 1 hora e meia para percorrer certa distância. Se a sua velocidade fosse de 72 km/h, qual o tempo que seria gasto em minutos para cobrir a mesma distância?

Gabarito:01. 36 kg café cru. 02. 50 pintores 03. 315 pág.04. 100 min

REGRA DE TRÊS COMPOSTA

Definição: Regra de três composta é a que permite resolver problemas com mais de duas grandezas proporcionais. Exemplo:

Numa fábrica, 10 máquinas trabalhando 20 dias produzem 2000 peças. Quantas máquinas serão necessárias para se produzir 1680 peças em 6 dias?

10 máq................20 dias....... 2000 peças x................. ......6 dias......... 1680 peças

É preciso analisar cada razão dada separadamente com a razão x, para se poder saber qual parte é diretamente ou inversamente proporcional. Assim:

Portanto:

Exercícios1) Sabendo que ¾ de certa obra foram feitos por 33 pessoas em 1 ano de trabalho, determinar quantas pessoas seria m necessárias para fazer a obra toda em metade do tempo.

2) Sabendo que três operários, trabalhando 7 horas por dia, durante 2 dias, fizeram 126 metros de certa obra, calcular quantos metros da mesma obra farão dois operários, trabalhando 5 dias e 3 horas por dia.

3) Por 24 operários que trabalhavam 7 horas por dia, foram feitos 2/5 de um trabalho em 10 dias, com a dispensa de 4 operários e considerando-se que os restantes trabalham agora 6 horas por dia, nas mesmas condições, o número de dias em que o trabalho será concluído é?

Gabarito:01. 88 02. 90 03. 21

Média aritmética simples A média aritmética é a mais utilizada no nosso dia a dia. É obtida dividindo-se a soma das observações pelo número delas. É um quociente geralmente representado pela letra M ou pelo símbolo . Se tivermos uma série de N valores de uma variável x, a média aritmética simples será determinada pela expressão:

.Média aritmética ponderada

Consideremos uma coleção formada por n números: , de forma que cada um

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esteja sujeito a um peso [Nota: "peso" é sinónimo de "ponderação"], respectivamente, indicado por:

. A média aritmética ponderada desses n números é a soma dos produtos de cada um por seu peso, dividida por n, isto é:

Exercício: Exercício: Participação da eletricidade de origemParticipação da eletricidade de origem nuclear no total do consumo.nuclear no total do consumo.

País % Eletricidade de origem nuclear

França 74,5

Bélgica 60,1

Coréia do Sul 49,1

Suécia 45,9

Suíça 42,6

Espanha 35,9

Alemanha 33,1

Calcule a média desses valores.

JUROS SIMPLES

É aquele em que a taxa de juros incide somente sobre o capital inicial. É calculado através das fórmulas abaixo:

1) Se a taxa (i) e o tempo (t) forem dados na mesma grandeza, ou seja, se os dois forem dados em anos ou em meses ou em dias:

,

onde: J = juros, C = capital, i = taxa, t = tempo

Observação: Montante é o total da operação, ou seja, a soma do capital aplicado com os juros produzidos.

M = C + J

Exemplos:

1) Calcule os juros produzidos por um capital de R$ 700,00 aplicados durante 3 anos a uma taxa de 12%.

Exercícios de fixação

1) Qual a taxa anual produzida em 3 anos, juros de R$ 750,00 em um capital de R$ 2.500,00?

2) Calcule o capital que depositado a uma taxa de juros simples de 1,5% ao mês, produzirá em 1 ano juros de R$ 300,00.

3) Manoel comprou um terreno por R$ 9.000,00 que vão ser pagos da seguinte forma: 1/3 de entrada, 1/3 no prazo de 1 ano, 1/3 no prazo de 2 anos, sendo estas últimas parcelas com juros de 12% ao ano. Quanto Manoel irá pagar de juro? Por quanto sairá o terreno?

4) Durante quanto tempo esteve empregado um capital que à taxa mensal de 8% triplicou de valor?

5) Durante quanto tempo um capital de R$ 300,00 deve ser aplicado a juros simples à taxa de 2,5% a.m., para gerar um montante de R$ 450,00?

6) Qual a quantia que aplicada a 4,7% ao mês produz os mesmos juros simples que R$52.000,00 à taxa de 2,35% também ao mês, durante o mesmo prazo?

Gabarito:01. 10% 02. R$ 1666,66 03. J= R$ 1080,00 M= R$ 10.080,0004. 37,5 meses 05. 20 06. C = R$26.000,00 , para " n " = 1

EQUAÇÃO DO 1º GRAU

Chama-se equação do 1ºgrau, na incógnita x, toda sentença matemática aberta que pode ser escrita na forma: a.x + b = 0, a 0 onde a e b são constantes chamadas coeficientes. Exemplos:1) 2x –6 = 02) –x + 4 = 0Chama-se raiz (ou solução) de uma equação o número (valor da incógnita) que torna verdadeira a sentença. Assim por exemplo, o número 3 é raiz da equação 2.x – 6 = 0, pois 2 . 3 – 6 = 0 é verdade, enquanto que o número 4 não é raiz da equação 2.x + 1 = 10, pois 2 . 4 +1 = 10 é falso. Toda equação do 1º grau admite sempre uma única raiz. Para se obter a raiz de uma equação de 1ºgrau qualquer, basta isolar a incógnita e achar seu valor correspondente.

Conjunto solução (ou conjunto verdade) de uma equação do 1º grau é o conjunto que tem como elemento a raiz da equação. É usual indicá-lo pelas letras S ou V. Assim, por exemplo, o conjunto solução da equação 2x – 6 = 0 é S = {3}.

Exemplos:1) 6x – 6 = 2 . (2x + 1)6x – 6 = 4x + 26x – 4x = 2 + 62x = 8

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x = 8/2 x = 4 S = {4}

2)

3 . (3x + 2) = 2 . (2x – 1)9x + 6 = 4x – 29x – 4x = -2 - 65x = - 8 x = - 8/5 S = {- 8/5}

3)

x = 12 – 4 – 9 x = -1 S = {-1}

Exercícios:

1) 3(x – 1) – x = 2x –3

2) 4x – 7 = 4(x – 1)

3) Obtenha m de modo que o número 2 seja raiz da equação 5x + 3m = x – 1

4)

Gabarito:01) S = R 02) S = { } 03) m = -3 04) S = {1}

Problemas de Equações do 1º grau:

1) Qual é o número que somado com o seu dobro, mais o seu triplo e mais a sua quarta parte dá resultado 75?

2) A idade de uma pessoa é hoje o triplo da idade da outra e daqui a 11 será o dobro. A soma de suas idades atuais é?

3) Um homem pagou ¼ no armazém. Depois gastou 1/9 do que sobrou mais R$ 400,00, na farmácia, ficando com R$ 2000,00. Quanto recebeu?

4) Obtenha três números inteiros e consecutivos cuja soma é 51.

5) O quádruplo de um número mais a sua quarta parte excede de 45 a sua metade. Obtenha esse número.

Exercícios Complementares

1) Existem três números inteiros consecutivos com soma igual a 393. Que números são esses?    

2) Resolva as equações a seguir:

a)18x - 43 = 65 b) 23x - 16 = 14 - 17x c) 10y - 5 (1 + y) = 3 (2y - 2) – 20 d) x(x + 4) + x(x + 2) = 2x2 + 12 e) (x - 5)/10 + (1 - 2x)/5 = (3-x)/4

3) Determine um número real "a" para que as expressões (3a + 6)/ 8 e (2a + 10)/6 sejam iguais.  

4) Um número mais a sua metade é igual a 150. Qual é esse número?

5) A diferença entre um número e sua quinta parte é igual a 36. Qual é esse número?

6) O triplo de um número é igual a sua metade mais 20. Qual é esse número?

7) O triplo de um número, mais 5, é igual a 254. Qual é esse número?

8) O quádruplo de um número, diminuído de três, é igual a 99. Qual é esse número?

9) Júlio tem 15 anos e Eva tem 17 anos. Daqui a quantos anos a soma de suas idades será 72 anos?

10) A metade dos objetos de uma caixa mais a terça parte desses objetos é igual a 75. Quantos objetos há na caixa?

11) Em uma fábrica, um terço dos empregados são estrangeiros e 90 empregados são brasileiros. Quantos são os empregados da fábrica?

12) Numa caixa, o número de bolas pretas é o triplo de bolas brancas. Se tirarmos 4 brancas e 24 pretas, o número de bolas de cada cor ficará igual. Qual a quantidade de bolas brancas?

Gabarito I01) 12 02) 44 03) R$ 3.600,00 04) 16, 17,1805) 12

Gabarito II

01. 130, 131 e 132 02. a) 6 b) c) 21

d) 2 e) -21 03. 22 04. 100 05. 45 06. 8 07. 83 08. 25,509. 20 10. 90 11. 135 12. 10 brancas

EQUAÇÃO DO 2º GRAU

Equação quadrática ou equação do segundo grau é toda sentença matemática aberta da forma:

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onde a, b e c são coeficientes com a restrição de ser a diferente de zero. A quantidade x, figurante no trinômio que exprime a equação quadrática, é o valor a ser determinado. Por essa razão é chamada de incógnita.Equação quadrática é equação algébrica polinomial de grau dois, aplicando-se-lhe a teoria e as propriedades das equações polinomiais.

Solução da equação quadrática: Fórmula de Bhaskara

A fórmula de Bhaskara é utilizada para determinar as raízes de uma equação quadrática (de 2º grau).

Raízes: As duas raízes da equação quadrática

, onde são:

DeltaO polinômio dentro da raíz é chamado de delta ou discriminante.

Dessa forma, pode-se escrever:

De acordo com o valor de delta, é possível tirar algumas conclusões sobre a equação.

Se , então existem duas raízes distintas uma vez que é um número real positivo.

Se , então as duas raízes são iguais, uma vez que é igual a zero.

Se , então as duas raízes são números complexos conjugados, uma vez que é imaginário.

O delta também é usado no estudo do sinal de uma função quadrática.Forma (S,P) da equação quadráticaOutra forma de resolver equações é através da soma (S) e produto (P), dada pela fórmula:

onde:

e Assim, munido dessas propriedades, podem-se avaliar as raízes em muitos (não em todos...) casos, pela simples inspeção visual e tentativa de composição de dois números que satisfaçam as relações dadas para a soma e para o produto das raízes.

Exercícios de fixação:01. (VUNESP) Antônio comprou um terreno retangular com 432 m² de área, sendo que a medida do lado menor desse terreno é igual à terça parte da medida do lado maior. Como não pretende construir de imediato, e para evitar que o mesmo seja usado de forma indevida, ele quer levantar um muro em todo o perímetro do terreno. Se forem construídos 6 metros lineares desse muro por dia, o número mínimo de dias necessários para que esse muro seja totalmente concluído é(A) 14. (B) 16. (C) 18. (D) 20. (E) 22.

02. (VUNESP) Na figura há um quadrado de ladodesconhecido, subdividido em quatro retângulosidentificados, sendo que no menor deles as dimensõessão 3 m por 4 m.

Sabendo-se que a área do maior retângulo é a metadeda área do quadrado, as dimensões do retângulo C são:(A) 5 m por 6 m. (B) 6 m por 7 m.(C) 7 m por 8 m. (D) 8 m por 9 m.(E) 9 m por 10 m.Gabarito:01.B // 02. D

SISTEMA DE MEDIDAS

Medidas de comprimento km hm dam m dm cm mm 1000m 100m 10m 1m 0,1m 0,01m 0,001m

Km = quilômetro hm = hectômetrodam = decâmetro m = metrodm = decímetro cm = centímetromm = milímetro

Transformações de uma medida para outra:

Quando se quer transformar um número dado em uma medida, para outra medida, deve-se observar para que lado está a medida de destino. Se estiver para a esquerda, divide-se o nº dado por 10, se for apenas uma casa para a esquerda; por 100 se for duas casas para a esquerda, e assim sucessivamente. Se a medida

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de destino estiver à direita da medida do nº dado, multiplica-se esse número por 10, se for apenas uma casa para a direita; por 100 se for duas casas para a direita, e assim sucessivamente.Exemplo: Transformar 12,5 dm para dam.Decâmetro está duas casas à esquerda de decímetro. Portanto divide-se o nº dado por 100 ou anda-se a vírgula duas casas para a esquerda. O resultado fica 0,125 dam.

Medidas de superfície

km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2 106m2 104m 102m2 1 m2 10 -2m2 10 -4m2 10- 6 m2

Transformações de uma medida para outra:Quando se quer transformar um número dado em uma medida para outra medida, deve-se observar para que lado está a medida de destino. Se estiver para a esquerda, divide-se o nº dado por 102, se for apenas uma casa para a esquerda; por 104 se for duas casas para a esquerda, e assim sucessivamente. Se a medida de destino estiver à direita da medida do nº dado, multiplica-se esse número por 102, se for apenas uma casa para a direita; por 104 se for duas casas para a direita, e assim sucessivamente.Exemplo: Transformar 3,4 m2 para cm2

A medida de destino está duas casas à direita da medida de origem. Portanto deve-se multiplicar o nº dado por 104 ou simplesmente andar quatro casas com a vírgula para a direita. O resultado fica 34000 cm2

Medidas de volume

km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3

109 m3 106 m3 103m3 1 m3 10-3m3 10 -6m3 10- 9 m3

Transformações de uma medida para outra:

Quando se quer transformar um número dado em uma medida para outra medida, deve-se observar para que lado está a medida de destino. Se estiver para a esquerda, divide-se o nº dado por 103, se for apenas uma casa para a esquerda; por 106 se for duas casas para a esquerda, e assim sucessivamente. Se a medida de destino estiver à direita da medida do nº dado, multiplica-se esse número por 103, se for apenas uma casa para a direita; por 106 se for duas casas para a direita, e assim sucessivamente.Exemplo: Transformar 3,4 dm3 para hm3

A medida de destino está três casas à esquerda da medida de origem. Portanto deve-se dividir o nº dado por 109 ou simplesmente andar nove casas com a vírgula para a esquerda. O resultado fica 0,0000000034 hm3

Medidas de capacidade

kl hl dal l dl cl ml 1000L 100 L 10 L 1L 0,1L 0,01L 0,001L

hl = hectolitro dl = decilitrodal = decalitro cl = centilitrol = litro ml = mililitro

Transformações de uma medida para outra:

Utiliza-se o mesmo procedimento do de medidas de comprimento.

Exemplo: Transformar 50 dal em ml. Basta andar a vírgula quatro casas para a direita. O resultado fica 500.000 ml.

Observações importantes:

1 dm3 = 1 litro 1m3 = 1000 litros

Medidas de massa

kg hg dag g dg cg mg1000g 100g 10g 1g 0,1g 0,01g 0,001 g

Kg = quilograma hg = hectogramadag = decagrama g = gramadg = decigrama cg = centigrama mg = miligrama

Transformações de uma medida para outra:Utiliza-se o mesmo procedimento do de medidas de comprimento.

Exemplo: Transformar 12,35 hg para cg.Como cg está quatro casas para a direita, basta andar quatro casas com a vírgula para a direita. O resultado fica 123.500 cgMedidas de tempos (segundo)min (minuto) = 60 sh (hora) = 60 min = 3600 sd (dia) = 24 h = 1440 min = 86.400 s

Exercícios de fixação1) Faça as transformações das seguintes medidas:a) 5,87 hm em cm b) 32,73 m2 em hm2

c) 0,025 dam3 em m3

2) Efetue as transformações:

a) 3,274 cm3 em dm3 b) 418 l em dl c) A diferença entre 234 hl e 138 dal é quantos litros?d) Meio quilograma é igual a quantos grama?

3) (VUNESP) A figura indica a planificação de um cubo, com x < y.

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Em relação ao cubo que será montado a partir dessa planificação, seu volume, em cm3, é igual aA) 6,250 B) 9,261 C) 10,250 D) 12,250 E) 15,625

4)(VUNESP) O terreno retangular mostrado na figura, cujas medidas dos lados estão na razão de 1 para 3, tem 1200 m2 de área. Logo,o perímetro desse terreno é igual a

A) 240 m B)200 m C)160 m D)120 m E)100 m

5)(VUNESP) Um parafuso de cabeça circular foi introduzido num orifício de 2 mm de diâmetro. Se a cabeça do parafuso tem área 120% maior que a área do orifício, conclui-se que a mesma vale, em cm2,A)0,036 B)0,066 C)0,072 D) 0,076 E)0,086

Gabarito:01. a) 58.700 cm b) 0,003273 hm2 c) 25 m3

02. a) 0,003274 dm3 b) 4180 l c) 22.020 ld) 500 g03. E 04. C 05. B

NOÇÕES DE GEOMETRIA

Perímetro - O que é perímetro? E como o calculamos? Perímetro é a medida do comprimento de um contorno. Observe um campo de futebol, o perímetro dele é o seu contorno.

Pra fazermos o cálculo do perímetro devemos somar todos os seus lados:P = 100 + 70 + 100 + 70P = 340 m

Outro exemplo:

O perímetro da figura é a soma de todos os seus lados:P = 10 + 8 + 3 + 1 + 2 + 7 + 2 +3P = 18 + 4 + 9 + 5P = 22 + 14P = 36

A unidade de medida utilizada no cálculo do perímetro é a mesma unidade de medida de comprimento: metro, centímetro, quilômetro…

Retângulo

No retângulo, a medida de suas duas bases (b) são iguais, assim como a medida de suas duas alturas (h). Como perímetro é a soma de todos os lados, portanto seu perímetro é:P = 2 x b + 2 x h

Polígonos RegularesNos polígonos regulares, tem-se uma particularidade: a medida de todos os lados é semelhante. Assim, o perímetro desses polígonos será o produto do número de lados (n) pela medida do lado (l), ou seja:P = n x l

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Área - Área é a medida de uma superfície. A área do campo de futebol é a medida de sua superfície (gramado).

Se pegarmos outro campo de futebol e colocarmos em uma malha quadriculada, a sua área será equivalente à quantidade de quadradinho. Se cada quadrado for uma unidade de área:

Veremos que a área do campo de futebol é 70 unidades de área.

A unidade de medida da área é: m2 (metros quadrados), cm2 (centímetros quadrados), e outros.

O valor da área de um polígono varia de acordo com seu formato.Cada polígono tem uma forma peculiar para calcular sua área. Exemplificaremos alguns conhecidos, tais como: retângulo, quadrado, paralelogramo, triângulo, trapézio, losango e círculo.

Retângulo

Já sabemos que o retângulo possui dois lados iguais chamados de base e outros dois lados iguais chamados de altura. Para sabermos o valor da área de um retângulo (A), devemos multiplicar a medida da base (b) pela medida da altura (h).A = b x hQuadrado

No quadrado, podemos aplicar o mesmo raciocínio usado para calcular a área do retângulo, multiplicando a medida da base pela medida da altura, mas, como no quadrado a medida de todos os lados é igual (l):A = l x l ou A = l²

Paralelogramo

Se observarmos a figura ao lado, podemos notar que o paralelogramo é semelhante a um retângulo com os lados inclinados. Se tirarmos uma das partes inclinadas do paralelogramo e a enxertarmos no outro lado, formaremos um retângulo. Assim, a área do paralelogramo é calculado da mesma forma da área do retângulo, ou seja, multiplica-se o valor da base (b) pelo valor da altura (h).A = b x h

Triângulo

No caso do triângulo, pode-se notar que ele é exatamente metade de um retângulo, portanto, num retângulo cabem dois triângulos, ambos de mesma área. Por conseguinte, a área do triângulo é metade da área do retângulo, ou seja:A = b x h 2

Losango

Ao traçar as diagonais, maior (D) e menor (d) do losango, o dividimos em quatro triângulos de áreas iguais, onde cada um tem a oitava parte da área do retângulo de base igual ao valor da diagonal menor do losango e de altura igual ao valor da diagonal maior. Logo, a área do losango é igual a quatro vezes a área de um dos quatro triângulos, resultando na metade da área desse retângulo. Portanto:A = D x d

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2Trapézio

Dado um trapézio, como o da figura ao lado, contendo a base menor (b), a base maior (B) e a altura (h). Se ao lado desse trapézio colocarmos um segundo trapézio, idêntico ao primeiro, mas invertido, ou seja, sua base menor voltada para cima e sua base menor voltada para baixo, formaremos um paralelogramo de base igual à soma das bases do trapézio e de mesma altura do trapézio. Assim, encontramos a área desse paralelogramo multiplicando sua base pela altura. Note que o valor achado é igual a área dos dois trapézios idênticos. Portanto, para calcular a área do trapézio, basta dividir o valor encontrado para a área do paralelogramo.A = [(B + b) x h] 2Círculo

Considere um círculo de raio r. Divida-o em várias partes iguais, corte-o de forma que os pedaços sejam de formato triangular e abra a figura, formando um retângulo de base igual a 2x(pi)x r e altura igual ao próprio raio r do círculo. Portanto a área desse retângulo é achada multiplicando sua base pela altura. Deve-se notar que a área desse retângulo é o dobro da área do círculo, sendo assim, acha-se a área do círculo dividindo a área do retângulo por 2.A = (pi) x r²

Volume - O volume de um corpo é a quantidade de espaço ocupada por esse corpo. Volume tem unidades de tamanho cúbicas (por exemplo, cm³, m³, in³, etc.) Então, o volume de uma caixa (paralelepípedo retangular) de comprimento T, largura L, e altura A é:V = T x L x A

Sua unidade no Sistema internacional de unidades é o metro cúbico (m³). A seguinte tabela mostra a equivalência entre volume e capacidade. Contudo, não é considerado uma unidade fundamental do SI, pois pode ser calculado através dos comprimentos. A unidade mais comum utilizada é o litro.

Assim como no cálculo da área, o cálculo do volume de um sólido depende do formato do sólido. Mas, de forma geral, o volume de um sólido geométrico é calculado a partir do produto de sua base por sua altura. Por enquanto, calcularemos o volume de alguns sólidos, como: o paralelepípedo retângulo, o cubo e o cilindro.

Paralelepípedo Retângulo

O paralelepípedo retângulo é um sólido cujas seis faces são retângulos. Para calcular o volume do paralelepípedo retângulo é necessário fazer o produto da área de sua base pela altura. Mas, como a base do paralelepípedo retângulo tem o formato retangular, exprimimos o valor de sua área por b x c. Portanto, se multiplicarmos o valor da área da base pela altura (a) do paralelepípedo retângulo, acharemos o valor do volume (V) desse sólido:V = a x b x c

Cubo

O cubo é um sólido geométrico cujas seis faces são quadrados de mesmo lado. Para calcular o volume do cubo é necessário fazer o produto da área de sua base pela altura. Mas, como a base do cubo é um quadrado de lado a, o valor de sua área é, então, definido pelo lado ao quadrado (a²). Sendo assim, se multiplicarmos o valor da área da base pela altura (a) do cubo, acharemos o valor do volume (V) desse sólido:V = a x a x a ou V = a³

Cilindro

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Cilindro é um sólido geométrico que pode ser entendido como um círculo prolongado até uma altura h. O cilindro possui duas faces iguais e de formato circular. Para calcular o volume do cilindro, deve-se fazer o produto da área de sua base pela altura. No caso do cilindro, sua base é um círculo, portanto a área de sua base é igual a (pi) x r². Multiplicando esse valor pela altura (h) do cilindro, achamos o seu volume (V):V = (pi) x r² x h

Cada unidade de medida de volume vale 1000 vezes a unidade imediatamente inferior. Para fazer-se uma mudança de unidade entre as medidas de volume, deve-se multiplicar, se a mudança for de uma unidade maior para uma menor, ou dividir, se a mudança for de uma unidade menor para uma maior, dependendo do número de unidades mudadas. Para tornar tal procedimento um pouco mais viável, pode-se deslocar a vírgula para a esquerda ou direita, dependendo da mudança. Para cada unidade mudada, a vírgula se desloca três casas decimais para a esquerda ou para a direita. Maior -> Menor: deve-se multiplicar por 1000 para cada unidade mudada, ou seja, para cada unidade mudada, a vírgula se desloca três casas decimais para a direita.Ex: 0,0059 cm³ para mm³Haverá a mudança para uma unidade de volume inferior, assim, desloca-se a vírgula três casas para a direita.Portanto, o valor será de 0,0059 x 1000 = 5,9 mm³

Menor -> Maior: deve-se dividir por 1000 para cada unidade mudada, ou seja, para cada unidade mudada, a vírgula se desloca três casas decimais para a esquerda.Ex: 526000 dm³ para dam³Haverá a mudança para duas unidades de volume superiores, assim, desloca-se a vírgula seis casas para a esquerda.Portanto, o valor será de 526000 : 1000000 = 0,526 dam³

Ângulo - Do latim - angulu (canto, esquina), do grego - gonas; reunião de duas semi-retas de mesma origem não colineares.

Ângulo Agudo - É o ângulo, cuja medida é menor do que 90º.

 Ângulo Central:1 - Da circunferência: é o ângulo cujo vértice é o centro da circunferência;2 - Do polígono: é o ângulo, cujo vértice é o centro do polígono regular e cujos lados passam por vértices consecutivos do polígono.

Ângulo Circunscrito - É o ângulo, cujo vértice não pertence à circunferência e os lados são tangentes à ela.

Ângulo Inscrito - É o ângulo cujo vértice pertence a uma circunferência e seus lados são secantes a ela.

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Ângulo Obtuso - É o ângulo cuja medida é maior do que 90º.

Ângulo Raso:1 - É o ângulo cuja medida é 180º;2 - É aquele, cujos lados são semi-retas opostas.

Ângulo Reto:1 - É o ângulo cuja medida é 90º;2 - É aquele cujos lados se apoiam em retas perpendiculares.

Ângulos Complementares - Dois ângulos são complementares se a soma das suas medidas é 900.

Ângulos Congruentes - São ângulos que possuem a mesma medida.

 

Ângulos Opostos pelo Vértice - Dois ângulos são opostos pelo vértice se os lados de um são as respectivas semi-retas opostas aos lados do outro.

Ângulos Replementares - Dois ângulos são ditos replementares se a soma das suas medidas é 3600.

 Ângulos Suplementares - Dois ângulos são ditos suplementares se a soma das suas medidas de dois ângulos é 180º.

Poligonal - Linha quebrada, formada por vários segmentos formando ângulos.

Relações Métricas de um triângulo retângulo:

Seja o triangulo retângulo abaixo:

Teorema de Pitágoras: a2 = b2 + c2

Relações Métricas:1) c2 = a . m2) b . c = a . h3) b2 = a . n4) b. c = a. h5) h2 = m . n

EXERCÍCIOS

1) Num triângulo retângulo, calcule a medida da hipotenusa, dados catetos de 5 e 12 cm.

2) Nos triângulos retângulos das figuras abaixo, calcular as medidas indicadas:

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h

a)

b)

c)

Relações trigonométricas de um triângulo retângulo:

Lembrando:

BC = hipotenusa = aAB = cateto oposto ao ângulo C = cAC = cateto oposto ao ângulo B = bAB = cateto adjacente ao ângulo B = cAC = cateto adjacente ao ângulo C = b

Propriedade Fundamental da Trigonometria

O seno ao quadrado de um ângulo mais o cosseno ao quadrado do mesmo ângulo é igual a 1. Isto é:

sen2 B + cos2 B = 1 ou sen2 C + cos2 C = 1

EXERCÍCIOS

Um passageiro em um avião voando a 10,5 km de altura avista duas cidades à esquerda da aeronave. Os ângulos de depressão em relação às cidades são 30º e 75º conforme a figura abaixo. A distância, em km, entre os prédios A e B situados nessas cidades é igual a

a)

b)

c)

d)

Exercícios de Fixação01. Um terreno quadrado, medindo 40 metros de lado, foi dividido em três áreas retangulares, A, B e C, conforme mostra a figura.

Sabendo-se que as áreas dos retângulos A e B sãoiguais, então a medida do lado menor do retângulo C éigual a(A) 15 m. (B) 16 m. (C) 18 m.(D) 20 m. (E) 24 m. 30º 45º 60º

sen 1/2 2/2 3/2

cos 3/2

2/2 1/2

tg 3/3

1 3

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02. (VUNESP) Em relação ao triângulo ACD, sabe-se que os segmentos AC e AB têm a mesma medida, e que a medida do ângulo ACD menos a medida do ângulo ADC é igual a 35°.

Em tais condições, a medida do ângulo, BCD é(A) 15° 50'. (B) 16°40'. (C) 17° 30'.(D) 17° 50'. (E) 18º 20'

03. (VUNESP) Os pontos E, S, F e A marcados no triângulo retângulo da figura indicam, respectivamente, a escola, o supermercado, a farmácia e a casa de Ana.

Levando-se em consideração que os deslocamentos deum ponto para outro só podem sei feitos sobre os lados do triângulo indicado, afirma-se que:I. a menor distância entre F e S é igual a 2 km;II. a menor distância entre S e E é igual a 3 km;III. passando por E ou passando por F, a distância de S até A é a mesma.Nas condições dadas, a menor distância entre a farmácia e a casa de Ana, em quilômetros, é igual a(A) 10. (B) 11. (C) 12. (D) 13. (E) 14.

04. (VUNESP) O ângulo central é o dobro do ângulo inscrito em qualquer circunferência. Sendo O o centro da circunferência, o triângulo AOB equilátero e o triângulo ACB isósceles, o valor de x é

(A) 45°. (B) 30º. (C) 15º. (D) 12°. (E) 10º

05. (VUNESP) Em uma experiência no laboratório do colégio, um aluno equivocou-se e despejou, de uma só vez, 620 ml de um determinado líquido em um recipiente cúbico com 8cm de aresta interna, que estava totalmente vazio. Após preencher a capacidade total do recipiente, o líquido despejado transbordou, perdendo-se, assim, uma certa quantidade. Nessa operação, o volume perdido desse líquido, em ml, foi:(A) 20. (B) 80. (C) 98. (D) 108. (E) 112.

06. (VUNESP) A figura mostra uma caixa d’água em forma de um paralelepípedo reto retângulo, com medidas em metros. Aumentando-se em um quinto a medida do comprimento (c), e mantendo-se inalterados o volume (V) e altura (a), teremos uma nova caixa, cuja largura (b) será igual aDado: V = a.b.c.

(A) 2,9 m (B) 2,8 m (C) 2,7 m (D) 2,5 m (E) 2,2 m

07. (VUNESP) Uma fábrica de chocolates está fazendo barrinhas na forma de um prisma triangular, cujas dimensões estão indicadas na figura.

Sabendo que 1 cm³ de chocolate pesa aproximadamente 1,3 gramas, o número máximo debarrinhas desse tipo que é possível fabricar com 1 kg de chocolate é(A) 17 (B) 19 (C) 21 (D) 23 (E) 25

08. Gabarito:01.B // 02.C // 03.D // 04.C // 05.D // 06.D // 07.C

CONJUNTOS

Admitiremos que um conjunto seja uma coleção de objetos chamados elementos e que cada elemento é um dos componentes do conjunto.Geralmente, para dar nome aos conjuntos, usaremos uma letra maiúscula do nosso alfabeto, e os elementos por letras minúsculas.Para representação de um conjunto, utilizaremos uma das três formas seguintes: - Listagem dos elementos: Nesta representação, todos os elementos do conjunto são apresentados numa lista, envolvidos por um para de chaves e separados por ponto-e-vírgula ou por vírgula. Ex: Conjunto dos algarismos pares. A={0; 2; 4; 6; 8} - Propriedade dos elementos: Quando, pela quantidade, não for conveniente escrever todos os elementos que formam o conjunto, o

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descreveremos por uma propriedade possuída por todos os seus elementos. Ex: A={ x I x é um algarismo par } Lê-se: O conjunto A é formado pelos elementos x, tal que x é um algarismo par. - Diagrama de Euler – Venn: Representamos o conjunto por um recinto plano limitado por uma curva fechada. Ex:

Relação de Pertinência

A relação de pertinência indica se um determinado elemento pertence ou não a um determinado conjunto.

Simbologia: Considerando A={0; 2; 4; 6; 8} , Assim: 2 A O elemento 2 pertence ao conjunto A. 3 A O elemento 3 não pertence ao conjunto A.

Quando fazemos uso da relação de pertinência, estamos, necessariamente, relacionando um elemento a um conjunto, nesta ordem. “elemento” “conjunto” ou “elemento” “conjunto”

Observação: Um elemento pertence a um conjunto se ele é “visível” ou listado no conjunto.

Relação de Inclusão

A relação de inclusão indica se um determinado conjunto está contido ou não em um outro conjunto. Se todos os elementos de um conjunto pertencem a outro, então o primeiro conjunto está contido no segundo. Basta um único elemento do primeiro conjunto não pertencer ao segundo para que o primeiro conjunto não esteja contido no segundo. Simbologia: A B O conjunto A está contido no conjunto B. D E O conjunto D não está contido em E. B A O conjunto B contém o conjunto A. E D O conjunto E não contém o conjunto D.

Conjunto Vazio

O Conjunto vazio é o conjunto que não possui elementos. Para representarmos o conjunto vazio usaremos os símbolos: { } ou .

Atenção: Quando os símbolos { } ou , aparecerem listados ou visíveis, dentro de um conjunto, o conjunto vazio deverá ser tratado como elemento desse conjunto especificado

Operações com conjuntos

União de Conjuntos: A união de dois conjuntos A e B, é o conjunto de todos os elementos que pertencem a A ou B. Indicaremos a união pelo símbolo . Matematicamente:

Interseção de conjuntos: A interseção de dois conjuntos A e B, é o conjunto formado pelos elementos comuns a A e B. Indicaremos a interseção pelo símbolo . Matematicamente:

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Diferença de conjuntos: A diferença entre dois conjuntos A e B, é o conjunto formado pelos elementos que pertencem a A e não pertencem a B. Matematicamente:

Exercícios:

1) Numa pesquisa de mercado sobre o assunto de cerveja, obteve-se o seguinte resultado: 230 pessoas consomem a marca “A”; 200 pessoas consomem a marca “B”; dessas pessoas 150 consomem ambas as marcas, e 40 não consomem cerveja. O número de pessoas pesquisadas foi:a) 620 b) 470 c) 280 d) 320

2) Uma empresa, fabricante de achocolatados, pretende lançar um novo produto no mercado. Para isso, encomendou uma pesquisa sobre as preferências dos consumidores entre duas embalagens A e B. Foram consultadas 402 pessoas, e o resultado foi precisamente o seguinte: 150 pessoas gostaram somente da A;

240 pessoas gostaram da B; 60 pessoas gostaram das duas embalagens.Quantas pessoas não gostaram de nenhuma das embalagens?

3) Um professor de Português sugeriu em uma classe a leitura dos livros Helena, de Machado de Assis e Iracema de José de Alencar. Vinte alunos leram Helena, quinze alunos leram só Iracema, dez leram os dois livros e quinze não leram nenhum deles.a) Quantos alunos leram Iracema? b) Quantos alunos leram só Helena?c) Qual é numero de alunos desta classe?

4) Numa pesquisa feita com 1000 famílias para se verificar a audiência dos programas de televisão, os seguintes resultados foram encontrados: 510 famílias assistem ao programa A, 305 assistem ao programa B e 386 assistem ao programa C. Sabe-se que 180 famílias assistem aos programas A e B, 60 assistem aos programas B e C, 25 assistem a A e C, e 10 famílias assistem aos três programas.a) Quantas famílias não assistem a nenhum dos programas?b) Quantas famílias assistem somente ao programa A?c) Quantas famílias não assistem nem ao programa A e nem ao programa B?

5) Numa grande escola foi feita uma pesquisa entre os alunos que iam prestar vestibular e obteve-se o seguinte resultado: 550 alunos iriam prestar vestibular na UNICAMP, na FUVEST e na VUNESP, 930 iriam prestar vestibular na UNICAMP e na FUVEST, 880 iriam prestar vestibular na UNICAMP e na VUNESP, 1200 prestariam na FUVEST e na VUNESP. Considerando individualmente, verificou-se que prestariam, respectivamente, UNICAMP, FUVEST e VUNESP, 1410, 1780 e 1830 alunos. Nesta escola havia um total de 2800 alunos, quantos alunos não prestariam vestibular?

11) D 12)12 13) a)25 b)10 c)50

14) a)54 b)315 c)311

15)240

RACIOCÍNIO LÓGICO

Lógica Proposicional

Chamaremos de proposição ou sentença, a todo conjunto de palavras ou símbolos que exprimem um pensamento de sentido completo:

Uma proposição é uma afirmação passível de assumir valor lógico verdadeiro ou falso;

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Toda proposição é verdadeira ou falsa (princípio do terceiro excluído);

Uma proposição não pode ser verdadeira e falsa (princípio da não-contradição).

Conectivos LógicosProposições podem ser conectadas através dos seguintes conectivos:• “¬” ou “~” (negação);• “ ” Conjunções: a b (lê-se: a e b)• “ ”Disjunções: a b (lê-se: a ou b)• “ ”Condicionais: a b (lê-se: se a então b)• “ ”Bicondicionais: a b (lê-se: a se somente se b)

Sejam “P” e “Q” proposições.• “¬P” é verdadeira se “P” for falsa, e vice-versa;• “P e Q” é verdadeira se ambas forem verdadeiras, e falsa caso contrário;• “P ou Q” é verdadeira se pelo menos uma delas for verdadeira, e falsa caso contrário.“P Q” é a mesma coisa que “(¬P) ou Q”; ou seja, é falsa se o lado esquerdo for verdadeiro e o lado direito falso, e verdadeira em qualquer outro caso; exemplos:• “2 > 1 3 > 1” (V);• “2 > 1 1 > 3” (F);• “5 = 2 0 = 1 (V);• “P Q” é a mesma coisa que “P Q e Q P”, ou seja, é verdadeira se ambas forem verdadeiras ou ambas forem falsas.

TABELA VERDADE

Representaremos então o valor lógico de cada molécula com seu respectivo conectivo.

A negação da proposição ~P é a proposição P, de maneira que se P é verdade então ~P é falso, e vice-versa.

c. Valor verdade de P v Q

p q p v q V V V V F V F V V F F F

Então teremos a tabela verdade completa da seguinte forma:

ARGUMENTOS DEDUTIVOS E INDUTIVOS

Os argumentos são divididos em dois grupos:• dedutivos• indutivosO argumento será dedutivo quando suas premissas fornecerem prova conclusiva da veracidade da conclusão, isto é, o argumento é dedutivo quando a conclusão é completamente derivada das premissas.Exemplo:Todo ser humano têm mãe.Todos os homens são humanos.

Todos os homens têm mãe.

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O argumento será indutivo quando suas premissas não fornecerem o apoio completo para ratificar as conclusões.

Exemplo:O Flamengo é um bom time de futebol.O Palmeiras é um bom time de futebol.O Vasco é um bom time de futebol.O Cruzeiro é um bom time de futebol.

Todos os times brasileiros de futebol são bons.

Leis de De Morgan

O Teorema De Morgan define regras usadas para converter operações lógicas OU em E e vice versa.

a) ~ ( p q ) = ~p ~q (Negação da conjunção)

b) ~ ( p q ) = ~p ~q (Negação da disjunção)

a) Rosas são vermelhas e violetas não são azuis.Primeiramente é interessante traduzir a proposição composta para a linguagem simbólica:

p: Rosas são vermelhasq: violetas não são azuis

Logo, P(p, q) = p ^ q

A negação da proposição composta P(p, q) é:

~(p ^ ~q) (aplicando De Morgan)

~p v ~(~q)

~p v q

Retornando para linguagem corrente temos a solução:

Rosas não são vermelhas ou violetas são azuis

Exercícios de fixação:

01) Proposições são sentenças que podem ser julgadas como verdadeiras – V – ou falsas – F – , mas não como ambas. Se P e Q são proposições, então a proposição: “ Se P então Q”, denotada por P Q, terá valor lógico F quando P for V e Q for F, e , nos demais casos, será V. Uma expressão da forma P, a negação da proposição P, terá valores lógicos contrários aos de P. , lida como “P ou Q”, terá valor lógico F quando P e Q forem ambas, F; nos demais casos, será V.

Considere as proposições abaixo, denotadas de A, B e C, que podem ou não estar de acordo com o artigo 5º da Constituição Federal.

A: A prática do racismo é crime afiançável.

B: A defesa do consumidor deve ser promovida pelo Estado.

C: Todo cidadão estrangeiro que cometer crime político em território brasileiro será extraditado.

De acordo com as valorações V ou F atribuídas corretamente às proposições A, B e C, a aprtir da Constituição Federal, julgue os itens a seguir:

I- De acordo com a notação apresentada acima, é correto afirmar que a proposição tem valor lógico F.

II- Para a simbolização apresentada acima e seus correspondentes valores lógicos, a proposição é V. 02) IBMEC - A partir de duas sentenças p e q, pode-se construir uma nova sentença unindo-se as duas anteriores por meio de um conectivo lógico. Na tabela abaixo, são descritos dois desses conectivos.

Conectivo Sentença Leitura Significado

Condicional p q Se p, então q

A sentença pq só é falsa

se p for verdadeira e q for falsa. (

)Nos demais casos, p q é verdadeira.

Bicondicional p qp se, e somente se, q

A sentença p ↔ q só é verdadeira quando p e q são ambas verdadeiras ou p e q são ambas falsas.Nos demais casos, p ↔ q é falsa.

Considere as duas sentenças abaixo. (1) Se o filme já começou, então o telefone está desligado.(2) O telefone está desligado se, e somente se, o cidadão é educado.Sabendo que a sentença (1) é falsa e a sentença (2) é verdadeira, é correto concluir quea) o filme já começou, o telefone não está desligado e o cidadão é educado.b) o filme já começou, o telefone está desligado e o cidadão é educado.

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c) o filme já começou, o telefone não está desligado e o cidadão não é educado.d) o filme não começou, o telefone está desligado e o cidadão é educado.e) o filme não começou, o telefone não está desligado e o cidadão não é educado.

03) De três irmãos, José, Adriano e Caio, sabe-se que ou José é o mais velho, ou Adriano é o mais moço. Sabe-se, também, que ou Adriano é o mais velho, ou Caio é o mais velho. Então, o mais velho e o mais moço dos três irmãos são, respectivamente: a) Caio e José b) Caio e Adriano c) Adriano e Caio d) Adriano e Josée) José e Adriano

04) Se o jardim não é florido, então o gato mia. Se o jardim é florido, então o passarinho não canta. Ora, o passarinho canta. Logo: a) o jardim é florido e o gato mia b) o jardim é florido e o gato não mia c) o jardim não é florido e o gato mia d) o jardim não é florido e o gato não mia e) se o passarinho canta, então o gato não mia 05) Se Luís estuda História, então Pedro estuda Matemática. Se Helena estuda Filosofia, então Jorge estuda Medicina. Ora, Luís estuda História ou Helena estuda Filosofia. Logo, segue-se necessariamente que: a) Pedro estuda Matemática ou Jorge estuda Medicina b) Pedro estuda Matemática e Jorge estuda Medicina c) Se Luís não estuda História, então Jorge não estuda Medicina d) Helena estuda Filosofia e Pedro estuda Matemática e) Pedro estuda Matemática ou Helena não estuda Filosofia

06) Marta corre tanto quanto Rita e menos do que Juliana. Fátima corre tanto quanto Juliana. Logo:a) Fátima corre menos do que Rita.b) Fátima corre mais do que Marta.c) Juliana corre menos do que Rita.d) Marta corre mais do que Juliana.

07) Qual a negação de: "o gato mia e o rato chia"

08) Se Pedro é inocente, então Lauro é inocente. Se Roberto é inocente, então Sônia é inocente. Ora, Pedro é culpado ou Sônia é culpada. Segue-se logicamente, portanto, que: a) Lauro é culpado e Sônia é culpada b) Sônia é culpada e Roberto é inocente c) Pedro é culpado ou Roberto é culpado d) Se Roberto é culpado, então Lauro é culpado e) Roberto é inocente se e somente se Lauro é inocente

09) Somente as aves possuem penas, assim sendo qual é o certo?a) As aves mudam as penas na primavera.b) Todas as penas são brilhantes.c) As cobras não possuem penas

10) O paciente não pode estar bem e ainda ter febre. O paciente está bem. Logo, o pacientea) tem febre e não está bem.b) tem febre ou não está bem.c) tem febre.d) não tem febre.e) não está bem.

11) Se Beto briga com Glória, então Glória vai ao cinema. Se Glória vai ao cinema, então Carla fica em casa. Se Carla fica em casa, então Raul briga com Carla. Ora, Raul não briga com Carla. Logo.a) Carla não fica em casa e Beto não briga com Glória.b) Carla fica em casa e Glória vai ao cinema.c) Carla não fica em casa e Glória vai ao cinema.d) Glória vai ao cinema e Beto briga com Glória.e) Glória não vai ao cinema e Beto briga com Glória.

12) Se Carlos é mais velho do que Pedro, então Maria e Julia tem a mesma idade. Se Maria e Julia tem a mesma idade, então João é mais moço do que Pedro. Se João é mais moço do que Pedro, então Carlos é mais velho do que Maria. Ora, Carlos não é mais velho do que Maria. Então:a) Carlos não é mais velho do que Leila, e João é mais moço do que Pedro.b) Carlos é mais velho que Pedro, e Maria e Julia tem a mesma idade.c) Carlos e João são mais moços do que Pedro.d) Carlos é mais velho do que Pedro, e João é mais moço do que Pedro.e) Carlos não é mais velho do que Pedro, e Maria e Julia não tem a mesma idade.

13) Se Nestor disse a verdade, Júlia e Raul mentiram. Se Raul mentiu, Lauro falou a verdade. Se Lauro falou a verdade, há um leão feroz nesta sala. Ora, não há um leão feroz nesta sala. Logo,a) Nestor e Júlia disseram a verdadeb) Nestor e Lauro mentiramc) Raul e Lauro mentiramd) Raul mentiu ou Lauro disse a verdadee) Raul e Júlia mentiram.Respostas: 01) I- E; II – E 02) C 03) B 04) C 05) A 06) B

07) O gato não mia ou o gato não chia

08) C 09) C

10) D 11) A 12) E 13) B

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ANÁLISE COMBINATÓRIA

Em análise combinatória utilizamos problemas de contagem. Tem larga aplicação nos estudos de probabilidade e estatística. Além disso, problemas de contagem fazem parte do nosso cotidiano. Desde muito cedo aprendemos a contar e, realizar contagens com eficiência e precisão.

Quando somar e quando multiplicar em combinatóriaSomar: Quando podemos dividir nosso problema em casos utilizamos o princípio aditivo (soma). Verificamos a idéia do “ou” para resolvermos o problema. Ex.: Adriana tem dinheiro apenas para ir ao parque de diversões e brincar em apenas um dos 7 brinquedos disponíveis ou ir ao cinema e assistir apenas um filme dos 5 disponíveis. Dessa forma de quantas maneiras diferentes Adriana pode se divertir?

ou brincar em um dos brinquedos do parque: 7 ou assistir a um filme do cinema: 5logo: 7 + 5 = 12 maneiras de se divertir.

Dados dois conjuntos disjuntos (sem nenhum elemento comum; sem interseção) A e B, A contém m elementos e B contém p elementos. De quantos modos diferentes podemos escolher um elemento de A ou de B. Como queremos um elemento de A ou de B, temos (m + p) maneiras de escolher um dos elementos. Esse resultadonada mais é do que o número de elementos da união dos dois conjuntos disjuntos.

Multiplicar: Quando temos a idéia de tomar decisões em seqüência utilizamos o princípio multiplicativo. Verificamos a idéia do “e” na resolução do problema. Um motorista deseja viajar de uma A para a cidade C, mas para ir à cidade C deve-se passar necessariamente pela cidade B.

Primeiro escolhemos umaEstrada que sai de A e vai até B.

Assim temos 3 opções para o deslocamento. Após escolhido a primeira opção deve escolher o caminho de B para C. Assim tem-se:

Esse resultado é justamente o produto do número de opções para a escolha da primeira estrada pelo número de opções de escolha para a segunda. Portanto 3 × 2 = 6 Note que o caminho deve ser percorrido primeiro de A até B “e” depois de B até C.

Voltando a situação de Adriana do exemplo anterior, ela agora tem dinheiro para duas ações. Dessa forma de quantas maneiras diferentes Adriana pode se divertir sem realizar duas vezes a mesma brincadeira?Primeira escolha: Possui 12 opções de lazerSegunda escolha: Possui 11 opçõesEla pode optar por 12 opções (7 brinquedos + 5 filmes) “e” depois optar por 11 opções restantes, já que não pode repetir a opção já escolhida.12 x 11 = 132 maneiras diferentes

Exercícios resolvidos:1) Numa fruteira temos 4 laranjas e 3 bananas. Dessa forma de quantas maneiras diferentes posso pegar uma fruta na fruteira?

1 fruta: 1 laranja ou 1 banana: 4 + 3 = 7

2) Numa fruteira temos 4 laranjas e 3 bananas. Dessa forma de quantas maneiras diferentes posso pegar uma laranja e uma banana na fruteira?1 laranja e 1 banana: 4 . 3 = 12

Formar números:1. Quantos números de 4 algarismos podemos formar utilizando, uma única vez, os numerais 3, 4, 5 e 6 ?

29

Para a primeira casa temos 4 algarismos para preenchê-la. Já para a segunda, como os algarismos podem aparecer uma única vez e já utilizamos um para a primeira, restam 3 algarismos. Pelo mesmo raciocínio, na terceira restarão 2 e para a quarta e última casa 1 algarismo.

Finalmente, multiplicamos esses valores:

4 • 3 • 2 • 1 = 24 números diferentes.

2) Quantos números de quatro algarismos podemos formar com 3, 4, 5 e 7?Esse enunciado não exige que utilizemos os algarismos uma única vez. Desse modo números tais como 2222, 3344 ou 1555 podem ser contabilizados em nossa contagem, o que anteriormente não era permitido. Desse modo teremos:

Isto é, podemos formar:

4 x 4 x 4 x 4 = 44 = 256 números distintos.

3) Quantos números de três algarismos formam-se com 0, 1, 2, 3, 4 e 5?O raciocínio é praticamente idêntico ao anterior, mas com uma sutil diferença. Observe:

O problema é justamente o seguinte: Se considerarmos que para a primeira casa há 6 opções de escolha estaremos cometendo um erro, o de considerar um número tal como 012 como sendo um número de três algarismos. Na verdade sabemos que 012 é um número de dois algarismos. Desse modo para corrigirmos nosso raciocínio devemos para primeira casa dispor cinco opções de escolha que são os seis algarismos disponíveis menos o Zero. Finalmente teremos: 5 x 6 x 6 = 5 x 62 = 180 números distintos.

Exercícios de Fixação:1) Com os 10 algarismos que dispomos {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} responda as perguntas:a) Quantos números naturais de cinco algarismos podem-se formar?b) Quantos números naturais de cinco algarismos distintos podem-se formar?c) Quantos números naturais de 6 algarismos podem-se formar começando com 1,2 e 3 em qualquer ordem?d) Quantos números naturais podem-se formar, com no máximo cinco algarismos distintos?

2) Juliana vai almoçar e deve escolher um entre dois tipos de arroz, uma entre quatro tipos de salada e um entre três tipos de carne. De quantos modos diferentes pode elaborar sua refeição?

3) Observe o diagrama. O número de ligações distintas entre X e Z é:

a) 39b) 41c) 35d) 45

4) Existem 3 linhas de ônibus ligando a cidade A à cidade B e 4 outras ligando B à cidade C. Uma pessoa deseja viajar de A à C, passando por B. Quantas linhas de ônibus diferentes poderá utilizar na viagem de ida e volta, sem usar duas vezes a mesma linha?a) 144 b) 12 c) 24 d) 72 e) n.r.a.

5) Dispomos de 10 cores diferentes temos que pintar um mapa, de maneira que as regiões adjacentes não sejam de cores iguais, de quantas maneiras diferentes podemos pintar este mapa?

6) Quantos números naturais podem ser formados em forma de um palíndromo constituído de oito algarismos? Palíndromo é uma seqüência formada de modo que os elementos eqüidistantes dos extremos sejam iguais. Exemplo: Ana; anilina; arara, mirim, radar, rotor, reter, rever, e os números 323; 121; 1221; 123321. É interessante notar que palíndromos pode ser lidos da esquerda para a direita ou ao contrário e produzem o mesmo sentido.

7) Quantos números naturais em forma de um palíndromo constituído de oito algarismos podemos formar, de modo que esses números comecem com o algarismo 1(um)?

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Permutações

Permutações simples - é uma técnica combinatória utilizada quando desejamos contar as possibilidades formação de uma fila ou seqüência em que não há repetição de elementos e todos esses elementos são utilizados no problema.Por exemplo, com os algarismos 1, 2 e 3, quantos números de três algarismos distintos (isto é, sem repetição) podemos formar?

Formar números, em primeira análise, nada mais é do que ordenar algarismos em fila. Desse modo, a resposta, como vimos no princípio multiplicativo é 3 x 2 x 1 = 6 números, pois, não houve repetição de algarismos. Caso a repetição fosse permitida teríamos como formar 3 x 3 x 3 = 27 números.

Para generalizar, toda vez que tivermos com a missão de dispor objetos distintos em ordem, em fila, isto é, formar uma seqüência, estaremos utilizando permutações simples, observe:

Exemplos:1) De quantos modos distintos podemos formar uma fila com 3 pessoas?A resposta, depois de todas as considerações anteriores, é imediata: 3 x 2 x 1 = 6 filas

Para generalizar se devemos dispor n objetos em fila teremos n! (n fatorial) maneiras distintas de dispormosesses n objetos, Simbolizaremos assim: P = n!Com essa linguagem resumimos o produto, pois, basta indicar onde esse produto começa (5) e que é fatorial (!): 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 5! e 3 x 2 x 1 = 3!.

A partir da palavra NÚMEROS (o acento sempre acompanhará a letra u), responda:a) Quantos anagramas são possíveis de serem formados?A palavra NÚMEROS tem 7 letras, desse modo devemos formar uma seqüência com essas 7 letras, pode realizar esse processo de P7 maneiras distintas, que é igual a P7 = 7! anagramas distintos.

b) Quantos anagramas têm como primeira letra uma vogal?

Nesse item devemos preencher sete posições com sete letras e garantir que qualquer anagrama formado tenha uma vogal como primeira letra. Assim devemos começar pela primeira casa, onde há a restrição, observe:

Desse modo nossa resposta será:3 . (6.5.4.3.2.1) = 3 . 6! = 3 . P6 anagramas distintos.

c) Quantos anagramas começam e terminam em vogal?O raciocínio para resolver esse item é idêntico ao anterior, mas nesse temos que garantir que a primeira e última casa contenham vogais, assim primeiro preencheremos a primeira e última casa, em seguida as demais, observe:

Desse modo nossa resposta será: 3.2.(5.4.3.2.1) = 3.2.5! = 6.P5 anagramas distintos.

ANAGRAMA: Palavra nova formada a partir de outra, com sentido ou não. Neste caso, também utilizaremos a idéia de fila. Formar um palavra é fazer uma fila de letras.Ex.: Anagrama da palavra PRATO:Temos 5 letras na palavra prato, logo podemos formar: 5! = 120 anagramas (filas de letras).

Exercícios resolvidos:

1) Quantos anagramas podemos formar com a palavra VESTIBULAR sendo que as vogais e as consoantes ficam sempre juntas, em qualquer ordem? E I U A são as vogais da palavra vestibularV S T B L R são as consoantes.

E I U A V S T B L R (4! . 6!) 2! V S T B L R E I U A (6! . 4!)

R: ¨6! . 4! . 2! = 34560

2) Quatro rapazes e uma moça formam uma fila. De quantas maneiras esta fila pode ser formada de modo que a moça fique sempre em 1º lugar?Moça __ __ __ __ = 4! = 4. 3. 2. 1 = 24 1º 4!

A)24 B)12 C)18 D) 4 E) 6

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Exercícios:1) De quantas maneiras podemos formar uma fila com: a) 5 pessoas b) 10 pessoas

2) Quantas filas posso formar, de maneira que a fila tenha 4 pessoas e 1 casal e o casal fique sempre junto?

3) Quantos anagramas são formados pela palavra AMOR?a) 4 b) 10 c) 12 d) 14 e) 24

4) Temos 4 pessoas e um casal. Como posso formar filas, de modo que o casal ocupe sempre o mesmo local, nas 1as duas posições?

5) (FUVEST) O número de anagramas da palavra FUVEST que começam e terminam por vogal é:a) 24 b) 48 c) 96 d)120 e)1446) Tem-se 12 livros, todos diferentes, sendo 5 de Matemática 4 de Físicae 3 de Química. De quantos modos podemos dispô-los sobre urna prateleira devendo os livros de cada assunto permanecer juntos?

A)103 680 B)17 280 C) 150 D)12

7) 5 rapazes e 5 moças devem posar para fotografia, ocupando uma escada com 5 degraus deforma que em cada degrau fique um rapaz e uma moça. De quantas maneiras diferentes podemos arrumar esse grupo?A) 70 400 B) 128 000 C) 460 800 D) 332 000 E) 625

8) Uma pessoa vai retirar dinheiro num caixa eletrônico de um banco, mas, na hora de digitar a senha, esquece do número. Ela lembra que tem 5 algarismos e começa com 6, não tem algarismos repetidos e tem o algarismo 7 em alguma das posições. Qual é o número máximo de tentativas para acertar a senha?

9) Qual o número de anagramas que podemos formar com a palavra LONDRINA, sendo que os anagramas sempre comecem e terminem com N. 10) Um trem de passageiros é constituído de única locomotiva e seis vagões distintos, sendo um deles restaurante, Sabendo que a locomotiva deve ir à frente e que o vagão restaurante não pode ser colocado imediatamente após a locomotiva, o número de modos diferentes de montar a composição é:A) 120 B) 320 C) 500 D)600 E) 720

Gabarito:1) 5! = 120 2) 10! 3) 240 4) 485) b 6) a 7) c 8) 1344 9) 720 10) d

Permutação com repetiçãoQuantos anagramas podemos formar com as letras da palavra ITATIAIA. Nesse caso as letras A e I aparecem três vezes cada uma e a letra T duas vezes. Desse modo basta contar quantos anagramas existem se todas as letras fossem diferentes. Obteríamos 8!. E em seguida dividimos esse resultado pela quantidade de vezes que contamos indevidamente cada anagrama. A letra A fez cada anagrama repetir 3! vezes. O mesmo ocorreu com a letra I. Já a letra T fez cada anagrama repetir 2! vezes. Se achar necessário verifique que 3! é o número de vezes que contamos repetidamente cada anagrama em decorrência da letra A. Em seguida verifique os resultados das demais letras. Finalmente a resposta correta é :

Ex.1: Quantos anagramas com a palavra ARARA?Teremos como resultado:

10 anagramas distintos.

Ex. 2: De quantos modos podemos dispor 15 objetos em fila sabendo que existem três tipos de objetos se repetem 2,3 e 4 vezes respectivamente.

Como dispomos de 15 objetos, mas alguns deles são repetidos, trata-se de um tipo de contagem no qual vale a pena utilizar a ferramenta permutações com repetição. Assim obteremos:

Exercícios:1)Quantos são os anagramas de cada palavra, respectivamente:a) URUGUAI b) MATEMATICA c) JURUAIA d) TEIXEIRAe) MISSISSIPI f) ADRIANA

2) O número de maneiras diferentes de colocar em uma linha de um tabuleiro de xadrez (8 posições) as peças brancas (2 torres, 2 cavalos, 2 bispos, a rainha e o rei) é:a) 8! b) 504 c) 5 040 d) 8 e) 4

3) Quantos números de 6 dígitos podem ser formados usando apenas os algarismos 1,1,1,1,2 e 3?

Gabarito:1) a)840 b)604800 c) 1260 d)10080 e) 6300 f)840 2) c 3)30

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ARRANJOS SIMPLES

A ferramenta arranjos simples é utilizada quando desejamos formar filas com p elementos escolhidos a partir de um grupo de m elementos.Se, por exemplo, de um grupo de oito (8) pessoas, devemos dispor cinco (5) delas em fila. De quantos modos podemos realizar tal processo?Já sabemos pelo principio multiplicativo ou principio fundamental da contagem que podemos formar:

Desse modo obtemos 8 . 7 . 6 . 5 . 4 = 6720 filas com cinco pessoas escolhidas dentre oito.

Simbolizaremos o resultado desse exemplo como A8,5

(Arranjo 8 elementos tomados 5 a 5), isto é, formamos uma fila com cinco elementos selecionados de um grupo de oito. Também podemos encontrar o símbolo de arranjo como .

Ex.2: De um grupo de 20 pessoas deseja-se formar uma fila com 5 delas. Quantas filas distintas podemos formar?

A20,5 = 20 . 19 . 18 . 17 . 16.

Observe que realizamos o produto de 20 até 16. Desse modo o produto contém cinco números consecutivos, pois é o número de posições da fila.Da mesma forma A100,4 = 100 . 99 . 98 . 97, pois temos de escolher dentre 100 elementos 4 para serem dispostos em fila. Esse resultado também pode ser reescrito em função dos valores 100 e 4, observe:

Para generalizar, se desejarmos dispor p elementos em fila escolhidos dentre de m elementos, com p m, podemos realizar esse processo de:

Exercícios resolvidos1) Quantos números de três dígitos distintos escolhidos entre 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7, podemos formar?Em outras palavras queremos formar uma fila de três algarismos escolhidos de um grupo de sete algarismos. Podemos então formar A7,3 filas distintas ou efetuando os cálculos obtemos:

Exercícios:1) Quantas filas com quatro pessoas podemos formar a partir de um grupo de seis pessoas?

2) Um grupo de pessoas é formado por cinco homens e três mulheres. Deseja-se formar filas com 5 dessas pessoas de modo que as três mulheres ocupem sempre as três primeiras posições. Assim, de todas as filas possíveis, quantas obedecem essa restrição?3) De quantas formas pode-se formar uma seqüência com 5 elementos distintos tomados a partir de 12?

4) Pode-se permutar m objetos de 24 maneiras diferentes. Suponha que se pretenda arranjar esses m objetos dois a dois. Nesse caso, de quantas maneiras diferentes esses m objetos poderão ser arranjados?a) 10 b) 12 c) 14 d) 16

5) Quantos são os arranjos de 8 elementos tomados de 3 a 3?

Gabarito: 1) 360 2) 120 3) 95040 4) b 5) 336

COMBINAÇÃO

Combinação simples é uma ferramenta combinatória utilizada quando desejamos contar as possibilidades de formação de um subgrupo de elementos a partir de um grupo dado. Em outras palavras se possuirmos um Conjunto de elementos, desejamos contar as possibilidades de formação de um subconjunto formado a partir do conjunto dado.Quando formamos um subconjunto a partir de um conjunto dado, não estamos formando filas.Para formar um grupo devemos simplesmente agrupar pessoas. Desse modo a ordem entre os elementos é irrelevante.Comissão sem qualquer hierarquia é sinônimo de grupo.

O subgrupo de pessoas não é sinônimo de fila com pessoas. Numa fila a ordem é relevante, num subgrupo irrelevante.

Fórmula Geral de combinações simplesA partir de um conjunto com n elementos devem-se formar um subconjunto com p elementos. A quantidade de subconjuntos é igual a .

Exercícios resolvidos:1) Dentre 9 livros distintos que estão em oferta em uma livraria, Fátima deseja escolher 5 para comprar. De quantos modos diferentes Fátima pode escolher os 5 livros?

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Devemos escolher 5 livros dentre 9, isto é, formar um grupo de 5 livros a partir de um grupo de 9. Desse modo podemos realizar esse processo de maneiras diferentes.

= 9 . 7 . 2 = 126 maneiras.

2) Sobre uma circunferência são marcados 8 pontos distintos. Quantos triângulos com vértices nos pontos dados é possível construir?

Devemos observar que para formamos um triangulo devemos ter três pontos não alinhados. Mas quaisquer três pontos de uma circunferência nunca estão

alinhados. Assim podemos tomar quaisquer três pontos dessa circunferência.Tomar três pontos a partir de 8, o que temos a fazer é formar um grupo de três pontos a partir de 8. A quantidade de maneiras de realizar esse processo é .

ou seja, 56 triângulos diferentes.

Exercícios:

1) Quantas comissões de 4 pessoas podem ser formadas com 8 pessoas?

2) Dispomos de um conjunto com 8 elementos distintos. Sabendo disso calcule quantos subconjuntos podemos formar com:a) 1 elemento b) 2 elementosc) 3 elementos d) 5 elementose) 6 elementos f) 8 elementos

3) Nas eleições nacionais de quatro em quatro, dentre outros cargos elegemos, em eleições alternadas, dois senadores da república. Supondo que em Minas Gerais em 2002 (último ano que isso ocorreu) candidataram-se 12 pessoas para o cargo. Quantas maneiras distintas têm um eleitor para escolher seus senadores?a) 120 b) 132 c) 24 d) 66

4) Em uma sala de aula com 10 alunos, quantos grupos de 3 pessoas podem ser formados?a) 30 b) 60 c) 110 d) 120 e) 16

5) Formam-se comissões de três professores entre os sete de uma escola. O número de comissões distintas que podem, assim, ser formados é:

A) 35 B) 45 C) 210 D) 73 E) 7!

6) Quantos grupos de 7 pessoas se podem formar com 6 corintianos e 5 palmeirenses, de mos que em cada grupo se encontrem 4 corintianos?

a) 70 b) 110 c) 130 d) 150 e) 210

7) Numa congregação de 30 professores, 14 lecionam matemática, O número de comissões com 14 professores que podem ser formadas de modo que, em cada uma, tenha apenas um professor de matemática éa) 7540 b) 7840 c) 8040 d) 8340

8) Uma empresa tem 3 diretores e 5 gerentes. Quantas comissões de 5 pessoas podem ser formados, contendo no mínimo um diretor?

A) 500 B) 720 C) 4500 D) 25 E) 55

9) Uma urna contém 10 bolas brancas e 6 pretas. De quantos modos é possível tirar 7 bolas dos quais pelo menos 4 bolas sejam pretas?

10) Um técnico de futebol de salão tem à disposição 8 jogadores de linha e 2 goleiros. Um time deve ter quatro jogadores de linha e um goleiro. O número de times distintos que o técnico pode escalar é:a) 60 b) 70 c) 80 d) 120 e) 140

Gabarito:1)70 2) a)8 b)28 c)56 d)56 e)28 f)1 3) d 4) d 5) a 6) d 7) b 8) e 9) 2080 10) e

PROBABILIDADE

Espaço Amostral e Evento

Suponha que em uma urna existam 5 bolas vermelhas e 1 bola branca. Extraindo-se, ao acaso, uma das bolas, é provável que esta seja vermelha. Isto não significa que não saia a bola branca, mas que é mais fácil a extração de uma vermelha. Os casos possíveis são seis:

S = {V, V, V, V, V, B}

Cinco são favoráveis a extração da bola vermelha. Dizemos que a probabilidade da extração de uma bola

vermelha é e a da bola branca é .

Se as bolas da urna fossem todas vermelhas, a extração de uma vermelha seria certa e de probabilidade igual a 1. Consequentemente, a extração de uma bola branca seria impossível e de probabilidade igual a zero.

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Espaço amostral: dado um fenômeno aleatório, isto é, sujeito ás leis do acaso, chamamos de espaço amostral ao conjunto de todos os resultados possíveis de ocorrerem (S)Exemplos:Lançamento de um dado e observação da face voltada para cima:

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Lançamento de uma moeda e observação da face voltada para cima:

S = {C, R}, onde C indica cara e R coroa. Evento: qualquer subconjunto do espaço amostral.Exemplos:Tomemos o lançamento de um dado como exemplo:

Ocorrência do resultado 3: {3} Ocorrência do resultado par: {2, 4, 6} Ocorrência do resultado maor que 6:

(evento impossível)

Exercícios resolvidos:1) Considerar o experimento “registrar as faces voltadas para cima”, em três lançamentos de uma moeda.a) Quantos elementos tem o espaço amostral?b) Escreva o espaço amostral.

Solução:a) o espaço amostral tem 8 elementos, pois para cada lançamento temos duas possibilidades e assim, para três lançamentos: 2 . 2 . 2 = 8b) S = {(C, C, C), (C, C, R), (C, R, C), (R, C, C), (R, R, C), (R, C, R), (C, R, R), (R, R, R)}

2) Obter o nº de elementos do evento “soma de pontos maior que 9 no lançamento de dois dados”.

Solução:O evento pode ser tomado por pares ordenados com soma 10, soma 11 ou soma 12. Indicando o evento pela letra A, temos: A = {(4, 6), (5, 5), (6, 4), (5, 6), (6, 5), (6, 6)}, logo n(A) = 6 elementos.ProbabilidadeDado um espaço amostral S, com n(S) elementos, e um evento A de S, com n(A) elementos, a probabilidade do evento A é P(A), tal que:

Exemplos:1) No lançamento de duas moedas, qual a probabilidade de obtermos cara em ambas?

Solução:Espaço amostral S:S = {(C, C), (C, R), (R, C), (R, R)} n(S) = 4Evento A:A = {(C, C)} n (A) = 1

Assim a probabilidade: P(A) = .

2) Jogando-se uma moeda três vezes, qual a probabilidade de se obter cara pelo menos uma vez?

Solução: Espaço amostral S:S = {(C, C, C), (C, C, R), (C, R, C), (R, C, C), (R, R, C), (R, C, R), (C, R, R), (R, R, R)} n(S) = 8

Evento A:A = {(C, C, C), (C, C, R), (C, R, C), (R, C, C), (R, R, C), (R, C, R), (C, R, R), n (A) = 7

Assim a probabilidade: P(A) = .

3) Considere o lançamento de dois dados. Calcule a probabilidade de:

a) sair a soma 8

Observe que neste caso, o espaço amostral U é constituído pelos pares ordenados (i,j), onde i = número no dado 1 e j = número no dado 2.

É evidente que teremos 36 pares ordenados possíveis do tipo (i, j) onde i = 1, 2, 3, 4, 5, ou 6, o mesmo ocorrendo com j.

As somas iguais a 8, ocorrerão nos casos:(2,6),(3,5),(4,4),(5,3) e (6,2). Portanto, o evento "soma igual a 8" possui 5 elementos. Logo, a probabilidade procurada será igual a p(A) = 5/36.

b) sair a soma 12

Neste caso, a única possibilidade é o par (6,6). Portanto, a probabilidade procurada será igual a p(A) = 1/36.

4) Uma urna possui 6 bolas azuis, 10 bolas vermelhas e 4 bolas amarelas. Tirando-se uma bola com reposição, calcule as probabilidades seguintes:

a) sair bola azul

p(A) = 6/20 = 3/10 = 0,30 = 30%

b) sair bola vermelha

p(A) = 10/20 =1/2 = 0,50 = 50%

c) sair bola amarela

35

p(A) = 4/20 = 1/5 = 0,20 = 20%

Vemos no exemplo acima, que as probabilidades podem ser expressas como porcentagem. Esta forma é conveniente, pois permite a estimativa do número de ocorrências para um número elevado de experimentos. Por exemplo, se o experimento acima for repetido diversas vezes, podemos afirmar que em aproximadamente 30% dos casos, sairá bola azul, 50% dos casos sairá bola vermelha e 20% dos casos sairá bola amarela. Quanto maior a quantidade de experimentos, tanto mais a distribuição do número de ocorrências se aproximará dos percentuais indicados.

Exemplo:

Em uma certa comunidade existem dois jornais J e P. Sabe-se que 5000 pessoas são assinantes do jornal J, 4000 são assinantes de P, 1200 são assinantes de ambos e 800 não lêem jornal. Qual a probabilidade de que uma pessoa escolhida ao acaso seja assinante de ambos os jornais?

SOLUÇÃO:

Precisamos calcular o número de pessoas do conjunto universo, ou seja, nosso espaço amostral. Teremos:

n(U) = N(J U P) + N.º de pessoas que não lêem jornais.

n(U) = n(J) + N(P) – N(J ÇP) + 800

n(U) = 5000 + 4000 – 1200 + 800

n(U) = 8600

Portanto, a probabilidade procurada será igual a:

p = 1200/8600 = 12/86 = 6/43.

Logo, p = 6/43 = 0,1395 = 13,95%.

A interpretação do resultado é a seguinte: escolhendo-se ao acaso uma pessoa da comunidade, a probabilidade de que ela seja assinante de ambos os jornais é de aproximadamente 14%.(contra 86% de probabilidade de não ser).

Exercícios1) Uma urna contem três bolas numeradas com 1, 2 e 3. Retirando-se sucessivamente duas bolas dessa urna, obtém-se um par ordenado. O número de pares ordenados possíveis, fazendo-se extrações com reposição, é: R: 9

2) Uma urna contem três bolas numeradas com 1, 2 e 3. Retirando-se sucessivamente duas bolas dessa urna, obtém-se um par ordenado. O número de pares ordenados possíveis, fazendo-se extrações sem reposição, é: R: 6

3) Uma urna contem três bolas numeradas com 1, 2 e 3. Retirando-se simultaneamente duas bolas dessa

urna, obtém-se um conjunto. O número de conjuntos possíveis é: R: 3

4) Considere o seguinte experimento aleatório: "lançar dois dados e observar os números obtidos nas faces superiores". O número de elementos do espaço amostral desse experimento é: R: 36

5) Jogamos dois dados. A probabilidade de obtermos

pontos iguais nos dois é: R:

a) b) c) d) e)

6) A probabilidade de se obter pelo menos duas caras

num lançamento de três moedas é: R:

a) b) c) d) e)

Adição de Probabilidades

A B: interseção dos eventos A e B.Representa a ocorrência simultânea dos eventos A e B.

OperaOperaçções com eventosões com eventos

Sejam A e B dois eventos de um espaço amostral.

A B: união dos eventos A e B.Representa a ocorrência de pelo menos um dos eventos, A ou B.

União de dois eventos AB – ocorrência de A ou B.

Interseção de dois eventos AB – ocorrência de A e B.

Sendo A e B eventos do mesmo espaço amostral A, tem-se que:

“A probabilidade da união de dois eventos A e B é igual a soma das probabilidades de A e B, menos a probabilidade da intersecção de A com B”.

Eventos mutuamente exclusivos: são aqueles cuja ocorrência de um elimina a possibilidade de ocorrência do outro. Neste caso a probabilidade de ocorrência de um ou outro evento é expressa por:

36

Já que = 0.

Exemplo:1) Uma urna contém 2 bolas brancas, 3 verdes e 4 azuis. Retirando-se uma bola da urna, qual a probabilidade de que ela seja branca ou verde?Solução:Nº de bolas brancas: n(B) = 2Nº de bolas verdes: n(V) = 3Nº de bolas azuis: n(A) = 2

A probabilidade de obtermos uma bola branca ou uma bola verde é dada por:

Porém, , pois o evento bola branca e o evento bola verde são mutuamente exclusivos.Logo: , ou seja:

2) Jogando-se um dado, qual a probabilidade de se obter o número 4 ou um número par? Solução:O número de elementos do evento número 4 é n(A) = 1O número de elementos do evento número par é n(B) = 3Logo, , pois temos o nº4 e ele é par.

Exercícios:1) Uma urna contém 20 bolas numeradas de 1 a 20. Seja o experimento “retirada de uma bola” e considere os eventos:A = a bola retirada possui um número múltiplo de 2.B = a bola retirada possui um número múltiplo de 5.Então a probabilidade do evento é:

a) b) c) d) e)

R: (d)

2) Um número é escolhido ao acaso entre os 20 inteiros, de 1 a 20. A probabilidade do número escolhido ser primo ou quadrado perfeito é:

a) b) c) d) e)

R: (e)

Probabilidade Condicional

A probabilidade de um evento A ocorrer, dado que se sabe que um evento B ocorreu, é chamada probabilidade condicional do evento A dado B. Ela é denotada por e calculada por:

ou

Analogamante:

ouA probabilidade de um evento B ocorrer, dado que se sabe que um evento A ocorreu, é chamada probabilidade condicional do evento B dado A. Ela é denotada por e calculada por:

ou

Analogamente:

Eventos independentes:Os eventos A e B são independentes se o fato de um deles ter ocorrido não altera a probabilidade da ocorrência do outro, isto é:

ou

Então da relação e se A e B forem independentes, temos:

Exemplo:Escolhida uma carta de baralho de 52 cartas e sabendo-se que esta carta é de ouros, qual é probabilidade de ser dama?Solução:Um baralho com 52 cartas tem 13 cartas de ouros, 13 de copas, 13 de paus e 13 de espadas, tendo uma dama de cada naipe.Observe que queremos a probabilidade da carta ser uma dama de ouros num novo espaço amostral, que é o das cartas de ouros. Logo, temos:- evento A: cartas de ouros- evento B: dama- evento : dama de ouros

Exercícios:1) Jogam-se um dado e uma moeda. Dê a probabilidade de obtermos cara na moeda e o número

5 no dado. R:

2) De uma urna que contém 5 bolas pretas , 3 verdes e 4 amarelas, retiram-se ao acaso e sem reposição, duas bolas; qual a probabilidade de elas serem pretas?

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R:

3) Um juiz de futebol possui três cartões no bolso. Um é todo amarelo, outro é todo vermelho e o terceiro é vermelho de um lado e amarelo do outro. Num determinado lance, o juiz retira, ao acaso, um cartão do bolso e mostra a um jogador. A probabilidade da face que o juiz vê ser vermelha e da outra face, mostrada ao jogador, ser amarela é:

a) b) c) d) e)

R: (e)

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