Apostila10-Atividades de Contagem

7/29/2019 Apostila10-Atividades de Contagem

1/79


2/79

principal

2009/10/28

page 2

Estilo OBMEi

i

i

i

i

i

i

i


3/79

principal

2009/10/28

page i

Estilo OBMEi

i

i

i

i

i

i

i

Sumrio

1 Mensagens Secretas Obtidas por Substituio

Introduo ao Estudo de Permutaes 1

1.1 Criptografia de Jlio Csar . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Construo de Aparatos que Ajudam a Criptografar . 4

1.3 Princpios de Contagem em Criptografia . . . . . . . . 151.4 Quantas Maneiras Diferentes de Criptografar Podemos

Construir? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.5 Como Quebrar o Cdigo de Jlio Csar . . . . . . . . 21

2 A Escrita Braille e o Cdigo Binrio

Introduo ao Estudo de Combinaes 30

2.1 Explorando Conceitos Matemticos com a Linguagem

Braille . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.2 Combinaes Matemticas . . . . . . . . . . . . . . . . 48

2.3 As Combinaes e a Linguagem Braille . . . . . . . . . 51

2.4 Matemticos com Problemas Visuais . . . . . . . . . . 54

i


4/79

principal

2009/10/28

page ii

Estilo OBMEi

i

i

i

i

i

i

i

ii SUMRIO

2.5 O Sistema Binrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56


5/79

principal

2009/10/28

page 1

Estilo OBMEi

i

i

i

i

i

i

i

Captulo 1

Mensagens Secretas Obtidas

por Substituio

Introduo ao Estudo de

Permutaes

Enviar mensagens secretas uma tarefa muito antiga; ela nasceu

com a diplomacia e com as transaes militares. Hoje em dia, entre-

tanto, com o advento da comunicao eletrnica, muitas atividades

essenciais dependem do sigilo na troca de mensagens, principalmente

aquelas que envolvem transaes financeiras e uso seguro da Internet.

A cincia que estuda sistemas de envio e recepo de mensagens

secretas chama-se CRIPTOLOGIA. Simplificadamente, temos o se-

guinte diagrama:

1


6/79

principal

2009/10/28

page 2

Estilo OBMEi

i

i

i

i

i

i

i

2 CAP.1: MENSAGENS SECRETAS OBTIDAS POR SUBSTITUIO

MensagemMensagemMensagemMensagem

original secretasecretasecretaenviada recuperada

Codificao Decifrao

Espionagem

Nosso objetivo apresentar atividades com criptografia atravs de

aparatos que possam efetivamente ser construdos com materiais sim-

ples (papel, palito de dente, clipe, furador de papel, cola e tesoura)

para explorar alguns aspectos matemticos destas construes, prin-

cipalmente os ligados contagem.

1.1 Criptografia de Jlio Csar

Um dos primeiros sistemas de criptografia conhecido foi elaborado

pelo general Jlio Csar, no Imprio Romano. Jlio Csar substituiu

cada letra, pela terceira letra que a segue no alfabeto.

A B C D E F G H I J K L M N O P

D E F G H I J K L M N O P Q R S

Q R S T U V W X Y Z

T U V W X Y Z A B C

Segundo este sistema, a palavra MATEMTICA passa a ser

PDWHPDWLFD.


7/79

principal

2009/10/28

page 3

Estilo OBMEi

i

i

i

i

i

i

i

SEC.1.2: CONSTRUO DE APARATOS QUE AJUDAM A CRIPTOGRAFAR 3

Atividade 1: Decifre a mensagem:

OHJDO FRQVHJXL

Ao invs de caminhar 3 letras para frente, podemos andar um

outro nmero de letras e teremos um novo mtodo de cifrar men-

sagens. Este nmero chamado de chave ou senha do sistema crip-

togrfico; ele deve ser conhecido apenas por que envia a mensagem epor quem a recebe.

Podemos tambm transformar letras em nmeros, segundo uma

ordem pr-estabelecida. Por exemplo:

A=0 B=1 C=2 D=3 E=4 F=5 G=6 H=7

I=8 J=9 K=10 L=11 M=12 N=13 O=14 P=15

Q=16 R=17 S=18 T=19 U=20 V=21 W=22 X=23

Y=24 Z=25

Deste modo, a letra codificada obtida da letra original, somando-

se 3 ao nmero correspondente. E se o resultado ultrapassar 25? Caso

isto ocorra, a letra codificada estar associada ao resto da diviso por

26 do nmero associado letra original somado com 3. Por exemplo,

a letra Y corresponde originalmente ao nmero 24, somando-se 3,

obteremos 24 + 3 = 27 e, dividindo 27 por 26, obteremos resto 1 que

corresponde letra B. Assim Y deve ser codificado por B.

Se um espio conhecer a chave (o nmero de letras que andamos

- no nosso exemplo igual a 3), poder facilmente decifrar uma men-sagem interceptada, trocando cada letra pela terceira anterior. Mas,

no se conhecendo a chave, como decifrar mensagens criptografadas?

Pense um pouco a respeito disso.


8/79

principal

2009/10/28

page 4

Estilo OBMEi

i

i

i

i

i

i

i


1.2 Construo de Aparatos que Ajudam a Crip-

tografar

Vamos apresentar cinco aparatos simples para agilizar a crip-

tografia no estilo de Jlio Csar:

as rguas deslizantes, o quadrado de Vigenre1,

os crculos giratrios e

dois projetos: a lata de criptografar e o CD para criptografar.

Como veremos, so todos variaes simples de um mesmo tema.

Atividade 2: Recorte e monte as rguas deslizantes, con-

forme as instrues na pgina seguinte.

1Blaise Vigenre foi um diplomata francs, estudioso de Criptografia, que viveu

no sculo XVI.


9/79

principal

2009/10/28

page 5

Estilo OBMEi

i

i

i

i

i

i

i


26 25 24 23 21 2022 18 1619 17 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z

26 25 24 23 22 21 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1A

B C D E F G

H

I J K L

M N O

PQ R S

TU V W

XYZA

B C D

E F G H I J K

LM N O

PQ R S

TU V W

XYZ

Recorte estepequeno retngulo

Instrues da Rgua

Recorte os dois retngulos com as letras. Corte na linhapontilhada e encaixe a Segunda fita no corte pontilhadoda primeira. Veja como ficaro encaixadas:

Deslize a rgua interna para codificar, letra a letra, asmensagens.

Como se deve proceder para decodificar uma mensagemcriptografada?

Aviso: Esta pgina est no encarte que veio junto com a apostila.


10/79


11/79

principal

2009/10/28

page 7

Estilo OBMEi

i

i

i

i

i

i

i


As diferentes posies que a rgua deslizante ocupa quando movi-

mentada podem ser simultaneamente visualizadas no quadrado de

Vigenre:

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z

B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z A

C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z A B

D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z A B C

E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z A B C D

F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z A B C D E

G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z A B C D E F

H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z A B C D E F G

I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z A B C D E F G H

J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z A B C D E F G H I

K L M N O P Q R S T U V W X Y Z A B C D E F G H I J

L M N O P Q R S T U V W X Y Z A B C D E F G H I J K

M N O P Q R S T U V W X Y Z A B C D E F G H I J K L

N O P Q R S T U V W X Y Z A B C D E F G H I J K L M

O P Q R S T U V W X Y Z A B C D E F G H I J K L M N

P Q R S T U V W X Y Z A B C D E F G H I J K L M N O

Q R S T U V W X Y Z A B C D E F G H I J K L M N O PR S T U V W X Y Z A B C D E F G H I J K L M N O P Q

S T U V W X Y Z A B C D E F G H I J K L M N O P Q R

T U V W X Y Z A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S

U V W X Y Z A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T

V W X Y Z A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U

W X Y Z A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V

X Y Z A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W

Y Z A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X

Z A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y

Atividade 3: Utilizando a rgua deslizante ou o

quadrado de Vigenre, decifre a mensagem:

UHV JVUZLNBP KLJPMYHY UHKH

Leia em voz alta o que voc decifrou.


12/79

principal

2009/10/28

page 8

Estilo OBMEi

i

i

i

i

i

i

i


Atividade 4: Recorte e monte os discos giratrios, con-

forme as instrues da prxima pgina. Nos espaos

vazios complete cada um deles com uma letra diferente

sua escolha para que voc tenha sua maneira de crip-

tografar.


13/79

principal

2009/10/28

page 9

Estilo OBMEi

i

i

i

i

i

i

i


1 23

4

5

6

7

8

9

10

11

1213141516

17

18

19

20

21

22

23

24

25 26

A B C D E F

G H I J K L

M N O P Q R

S T U V W X

Y Z

Recorte as letras do alfa-

beto abaixo, embaralhe-as

e cole-as uma a uma nos

espaos vazios do crculo

maior.

A B CD

E

F

G

H

I

J

KL

MNOPQ

R

S

T

U

V

W

XY

Z


14/79

principal

2009/10/28

page 10

Estilo OBMEi

i

i

i

i

i

i

i



15/79

principal

2009/10/28

page 11

Estilo OBMEi

i

i

i

i

i

i

i


Atividade 5:

Projetos prticos de criptografia

Lata de criptografar

CD para criptografar

Para confeccionar este aparato voc vai precisar de um CD que

no tenha mais uso e tambm de sua caixinha.

Reproduza e recorte o crculo e cole-o no CD. O CD deve ser

encaixado dentro da caixinha.

O quadrado com o furo no meio deve ser colocado na capa do CD.Para fazer a mquina funcionar voc deve recortar na parte detrs

da caixinha dois pequenos retngulos, suficientes para introduzir os

dedos e girar o CD.


16/79

principal

2009/10/28

page 12

Estilo OBMEi

i

i

i

i

i

i

i


Faa entalhes nestes

locais que permitam

colocar os dedos e girar

o CD.


17/79

principal

2009/10/28

page 13

Estilo OBMEi

i

i

i

i

i

i

i


Crculo para Criptografia

A B CD

E

F

G

H

I

J

KL

MNOPQ

R

S

T

U

V

W

XY

Z

Recorte

este crculo e cole

em um CD que j foi

descartado. Encaixe

o CD na posiousual dentro da

caixinha.

A BC

D

E

F

G

H

I

J

K

LMNOP

Q

R

S

T

U

V

W

XY

Z

Recorte este

crculo central e

obtenha um quadrado

com furo no meio. Este

deve ser colocado na capa

do CD. Atravs deste

furo pode-se ver o

CD girar.

Aviso: Use um CD

usado como molde

em uma folha de pa-

pel e copie a figura

ajustando o tamanho

para ser igual ao do

CD.


18/79

principal

2009/10/28

page 14

Estilo OBMEi

i

i

i

i

i

i

i



19/79

principal

2009/10/28

page 15

Estilo OBMEi

i

i

i

i

i

i

i

SEC.1.3: PRINCPIOS DE CONTAGEM EM CRIPTOGRAFIA 15

Atividade 6: Resolva a seguinte questo (OBMEP 2007)

1.3 Princpios de Contagem em Criptografia

Nos sistemas que seguem o princpio do de Jlio Csar, podemos

usar 25 chaves diferentes para obter codificaes diferentes, j que

o sistema com chave 0 (ou 26), no codifica nada. Nestes sistemas

o alfabeto codificado seguindo a ordem usual, apenas iniciando em

um lugar diferente. Se, entretanto, pudermos alterar a ordem, obtere-

mos um enorme nmero de maneiras de criptografar. Vejamos alguns

exemplos:


20/79

principal

2009/10/28

page 16

Estilo OBMEi

i

i

i

i

i

i

i


a) Alfabeto quebrado ao meio:

A B C D E F G H I J K L M N O

N O P Q R S T U V W X Y Z A B

P Q R S T U V W X Y Z

C D E F G H I J K L M

b) Troca de dois vizinhos:


B A D C F E H G J I L K N M P

P Q R S T U V W X Y Z

O R Q T S V U X W Z Y

Observe que nenhuma letra ficou no seu lugar original. Neste

caso, dizemos que houve um desordenamento.

c) Usando a sequncia que aparece no teclado do computador:


Q W E R T Y U I O P A S D F G

P Q R S T U V W X Y ZH J K L Z X C V B N M

Aqui tambm houve desordenamento.


21/79

principal

2009/10/28

page 17

Estilo OBMEi

i

i

i

i

i

i

i

SEC.1.4: QUANTAS MANEIRAS DIFERENTES DE CRIPTOGRAFAR PODEMOSCONSTRUIR? 17

Atividade 7: Usando o cdigo:

A B C D E F G H I J K L

Z Y X W V U T S R Q P O

M N O P Q R S T U V W

N M L K J I H G F E D

X Y Z

C B A

Decifre a mensagem:

Z TIZNZ V ZNZITZ

Leia de trs para frente a mensagem decifrada.

1.4 Quantas Maneiras Diferentes de Criptogra-

far Podemos Construir?

Digamos que no planeta Plunct os alfabetos fossem formados por

apenas trs smbolos: , , e . Poderamos criptografar mensagens

de seis maneiras diferentes:

A primeira dessas maneiras a trivial e no serve para codificar

nada. Sem listar as mensagens, poderamos concluir que existem seis

maneiras diferentes de permutar as letras deste alfabeto? claro que


22/79

principal

2009/10/28

page 18

Estilo OBMEi

i

i

i

i

i

i

i


sim: para a primeira letra existem 3 possibilidades de codificao,

para a segunda apenas duas e para a terceira resta somente uma

possibilidade. Pelo Princpio Multiplicativo da Contagem, so

3 2 1 = 6 Se uma deciso puder ser tomada de maneirasdiferentes e se, uma vez tomada esta primeira deciso,

outra deciso puder ser tomada de maneiras diferentes,

e nt o, no to ta l s er o tomadas deci s es .

m

n

m n

O Princpio Multiplicativo da Contagem:

as possibilidades. H uma notao muito til para se trabalhar como

produtos do tipo acima, camada fatorial. Por exemplo, o fatorial de

3 3! = 3 2 1. No caso geral, para um inteiro positivo n, define-se

n! = n (n 1) (n 2) . . . 3 2 1 e, por conveno, 0! = 1.

Observe que dentre estas, so trs as possibilidades que mantm

a ordem usual (1 2 3 1) inalterada:

Quantos desordenamentos h neste caso? Apenas dois:


23/79

principal

2009/10/28

page 19

Estilo OBMEi

i

i

i

i

i

i

i

SEC.1.4: QUANTAS MANEIRAS DIFERENTES DE CRIPTOGRAFAR PODEMOSCONSTRUIR? 19

No planeta Plact (talvez mais evoludo que Plunct) so quatro as

letras empregadas: , , e . H, neste caso, 4 3 2 1 = 4! = 24

maneiras diferentes de permutar as letras. Dentre estas, apenas 4

respeitam a ordem usual . Quais so elas?

H 9 desordenamentos:

O que ocorre se usarmos as 26 letras de nosso alfabeto? Podemos

inferir algo?

Existem 26! maneiras diferentes de criptografar, isto d

403 291 461 126 605 635 584 000 000


24/79


25/79

principal

2009/10/28

page 21

Estilo OBMEi

i

i

i

i

i

i

i

SEC.1.5: COMO QUEBRAR O CDIGO DE JLIO CSAR 21

1.5 Como Quebrar o Cdigo de Jlio Csar

Mapas de tesouros

Vamos ilustrar a teoria da decifrao com

um trecho de um conto do escritor EdgarAllan Poe, intitulado O Escaravelho de

ouro2.

O personagem principal deste conto, em

uma certa altura da obra, encontra um

velho pergaminho que acredita ser um

mapa de um tesouro, com os seguintes di-

zeres:

(53+305) )6*; 4826) 4.)4);806*;48+8

60))85;1(;:*8+83(88)5*+;46(;88*96*?;8)*(;485);5*+2:*(;4956* 2

(5*-4)88* ; 4069285);)6+8)4;1(9;48081 ; 8:81;48+85;4) 485 +

528806* 81(9;48; (88;4 ( ? 34;48) 4 ; 161 ; : 188; ?;

No conto, aps uma anlise baseada na freqncia das letras do al-

fabeto ingls feita pelo protagonista, a mensagem toma a seguinte

forma:A good glass in the bishops hostel in the devils seat forty-

one degrees and thirteen minutes north-east and by north main

branch seventh limb east side shoot from the left eye of the

deaths-head a bee line form the tree through the shot fifty feet

out.

2Este conto faz parte do livro Histria de Mistrio e Imaginao de Edgar

Allan Poe, Editorial Verbo, no. 15, Lisboa.


26/79

principal

2009/10/28

page 22

Estilo OBMEi

i

i

i

i

i

i

i


Como isto foi obtido? A letra que aparece com mais frequncia

na lngua inglesa a letra e; muitas vezes ela aparece dobrada ee. Na

mensagem secreta acima o smbolo 8 aparece 33 vezes, muito mais do

que as outras letras e portanto plausvel que 8 deva significar a letra

e. Substituindo 8 por e e tentando o mesmo esquema com outras

letras possvel decifrar a mensagem. Sua traduo para o portugus

:

Um bom vidro na hospedaria do bispo na cadeira do diabo

quarenta e um graus e treze minutos nordeste e quarta de norte

ramo principal stimo galho do lado leste a bala atravs do olho

esquerdo da cabea do morto uma linha de abelha da rvore

atravs da bala cinquenta ps para fora.

O conto ento revela, de uma maneira fantstica, como, a partir destas

informaes, o personagem principal encontra um tesouro h muito

tempo enterrado por um pirata que passou pelo lugar descrito na

mensagem.

O estudo da frequncia das letras do alfabeto constitui um mtodo

eficaz para se quebrar mensagens no estilo de Jlio Csar.

Frequncia aproximada das letras em portugus


27/79

principal

2009/10/28

page 23

Estilo OBMEi

i

i

i

i

i

i

i


A B C D E F G H I J K L

14,6 1,0 3,8 4,9 12,5 1,0 1,3 1,2 6,1 0,4 0,02 2,7

M N O P Q R S T U V W X

4,7 5,0 10,7 2,5 1,2 6,5 7,8 4,3 4,6 1,6 0,01 0,2

Y Z

0,01 0,4

Curiosidade: apesar da letra a aparecer em quase todos os textos

escritos em portugus, possvel encontrar textos em que esta letra

no aparece nunca ou quase nunca. Voc conseguiria escrever um

texto com 5 linhas sem usar nenhuma vez a letra a?

Como curiosidade, veja como aproximadamente se distribuem as

letras no espanhol e no ingls:


28/79

principal

2009/10/28

page 24

Estilo OBMEi

i

i

i

i

i

i

i


Atividade 8: Usando as frequncias das letras em por-

tugus, decifre a mensagem abaixo e complete a tabela para

registrar as substituies encontradas.

Urtklm tr dqapuakcftr ltr iasqtr aj nmqsuouar

lacfdqa t jakrtoaj tetfxm a cmjniasa t steait ntqt

qaofrsqtq tr ruersfsufcmar akcmksqtltr.

Observe na tabela as ocorrncias:

Nmero de vezes Nmero de vezes

Letra que aparece Letra que aparece

na frase na frase

t 18 l 4

a 16 j 4

r 13 n 3

q 9 i 3

s 8 o 3

u 6 e 3

m 6 d 1

f 6 p 1

k 5 x 1

c 5

Como a frequncia de letras em portugus segue a ordem; A E O R SI N , muito provavelmente a letra t deve ser a codificao da letra

A, pois a mais frequente, assim como a deve ser a codificao da

letra E, que a segunda mais freqente, mas isto, por enquanto, s


29/79

principal

2009/10/28

page 25

Estilo OBMEi

i

i

i

i

i

i

i


uma especulao.

Se substituirmos t por A e a por E na mensagem criptografada,

chegaremos a

UrAklm Ar dqEpuEkcfAr lAr iEsqAr Ej nmqsuouEr

lEcfdqE A jEkrAoEj AeAfxm E cmjniEsE A sAeEiA nAqA

qEofrsqAq Ar ruersfsufcmEr EkcmksqAlAr.

Ser que j conseguimos descobrir o que est escrito? Vamos analisar

a terceira letra mais frequente; a letra r que aparece 13 vezes na frase.

Ela pode estar codificando as seguintes letras ou O ou R ou S.

Se r codificar O a mensagem fica:

UOAklm AO dqEpuEkcfAO lAO iEsqAO Ej nmqsu-

ouEO lEcfdqE A jEkOAoEj AeAfxm E cmjniEsE A sAeEiA

nAqA qEofOsqAq AO OueOsfsufcmEO EkcmksqAlAO.

Se r codificar R a mensagem fica:

URAklm AR dqEpuEkcfAR lAR iEsqAR Ej nmqsu-

ouER lEcfdqE A jEkRAoEj AeAfxm E cmjniEsE A sAeEiA

nAqA qEofRsqAq AR RueRsfsufcmER EkcmksqAlAR.

Se r codificar S a mensagem fica:

USAklm AS dqEpuEkcfAS lAS iEsqAS Ej nmqsuouES

lEcfdqE A jEkSAoEj AeAfxm E cmjniEsE A sAeEiA nAqA

qEofSsqAq AS SueSsfsufcmES EkcmksqAlAS.


30/79

principal

2009/10/28

page 26

Estilo OBMEi

i

i

i

i

i

i

i


Das trs opes acima a mais provvel a terceira, pois muitas palavras

terminam em S.

A quarta letra a ser analisada a letra q. Provavelmente ela a

codificao da letra O ou da letra R.

Se for da letra O, a mensagem fica:

USAklm AS dOEpuEkcfAS lAS iEsOAS Ej nmOsu-

ouES lEcfdOE A jEkSAoEj AeAfxm E cmjniEsE A sAeEiA

nAOA OEofSsOAO AS SueSsfsufcmES EkcmksOAlAS.

(observe a palavra nAOA em negrito, ela corresponde a alguma palavra

em portugus?). melhor ficar com a segunda opo em que a letra

q corresponde letra R:

USAklm AS dREpuEkcfAS lAS iEsRAS Ej nmRsu-

ouES lEcfdRE A jEkSAoEj AeAfxm E cmjniEsE A sAeEiAnARA REofSsRAR AS SueSsfsufcmES EkcmksRAlAS.

A palavra Ej em negrito uma pista de que a letra j deve ser a

codificao da letra m. Se for, a mensagem se transforma em:

USAklm AS dREpuEkcfAS lAS iEsRAS EM nmRsu-

ouES lEcfdRE A MEkSAoEM AeAfxm E cmMniEsE A

sAeEiA nARA REofSsRAR AS SueSsfsufcmES Ekcmk-

sRAlAS.

A palavra MEkSAoEM deve ser a codificao de MENSAGEM. Logo

k corresponde letra N e o corresponde letra G. Fazendo essas

substituies:


31/79

principal

2009/10/28

page 27

Estilo OBMEi

i

i

i

i

i

i

i


USANlm AS dREpuENcfAS lAS iEsRAS EM nmR-

suGuES lEcfdRE A MENSAGEM AeAfxm E cmMniEsE

A sAeEiA nARA REGfSsRAR AS SueSsfsufcmES ENcmN-

sRAlAS.

Podemos reconhecer as palavras em negrito: lEcfdRE deve ser DE-

CIFRE e REGfSsRAR deve ser REGISTRAR. Se assim for, l D, c C mesmo, f I, d F e s T. Fazendo estas substituies:

USANDm AS FREpuENCIAS DAS iETRAS EM nm-

RTuGuES DECIFRE A MENSAGEM AeAIxm E CmM-

niETE A TAeEiA nARA REGISTRAR AS SueSTITu-

ICmES ENCmNTRADAS.

possvel decifrar agora? Se voc no conseguir, volte e releia o

enunciado da atividade 8.

Se voc achou trabalhoso decifrar a mensagem da Atividade acima,

saiba que existem vrios softwares que fazem esta tarefa brincando.

Veja por exemplo os sites:

http://demonstrations.wolfram.com/CipherEncoder/

http://demonstrations.wolfram.com/LetterHighlightingInText/

Veja tambm a beleza do recurso criptogrfico utilizado na poesia

abaixo:


32/79

principal

2009/10/28

page 28

Estilo OBMEi

i

i

i

i

i

i

i


PULSAR

Poesia Concreta de Augusto de Campos

Variaes

1) Uma maneira de encriptar mensagens consiste em escolher uma

palavra chave que deve ser mantida em segredo por quem as

envia e por quem as recebe. Esta palavra no deve ter letras

repetidas. Por exemplo, consideramos a palavra TECLADO.

Para fazer a troca de letras, podemos usar a seguinte corres-

pondncia:

A B C D E F G H I J K L M NT E C L A D O B F G H I J K

O P Q R S T U V W X Y Z

M N P Q R S U V W X Y Z


33/79


34/79


35/79

principal

2009/10/28

page 31

Estilo OBMEi

i

i

i

i

i

i

i

31

Trata-se de um texto escrito em Braille, um mtodo de escrita

desenvolvido para que pessoas com deficincias visuais possam ler

pelo tato. Seu criador, Louis Braille, ficou cego aos trs anos de idade

devido a um ferimento no olho feito com um objeto pontiagudo que

seu pai usava para fabricar selas de animais; o ferimento infeccionou

e isto provocou tambm a perda da viso no outro olho, provocando

sua deficincia visual total.

O cdigo Braille baseado em um arranjo 3 2 de pontos, dis-

postos como nas pedras de um domin:

3 2

(Trs linhas e duas colunas)

Para registrar uma dada letra do alfabeto, alguns desses 6 pontos

so marcados ou perfurados, de modo a se tornarem sobressalentes,para que possam ser sentidos com as pontas dos dedos das mos.

Neste texto, quando um ponto estiver marcado, usaremos um cr-

culo negro e, quando no estiver, um crculo branco. Veja os exemplos:

Somente a primeira casa foi marcada: oponto que est na primeira linha e na

primeira coluna aparece em negro.

Letra

a

A letra k tem marcas pretas em dois pontos: o

ponto da primeira linha e da primeira coluna e

o ponto da terceira linha e primeira coluna.

Letra

k


36/79

principal

2009/10/28

page 32

Estilo OBMEi

i

i

i

i

i

i

i

32 CAP.2: A ESCRITA BRAILLE E O CDIGO BINRIO

Atividade 1:

a) Quantos diferentes padres (disposies de pontos)

podemos formar usando o sistema 32 descrito acima?

b) Se quisermos codificar

todas as letras minsculas,

todas as letras maisculas,

os algarismos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9,

os sinais de pontuao: . (ponto final), : (dois

pontos), ? (ponto de interrogao), ! (ponto de

exclamao) e , (vrgula),

os sinais de operaes matemticas: +, , e ,

os padres obtidos nas dimenses 32 sero sufi-cientes?

c) Quantos padres podemos formar se dispusermos pon-

tos arranjados em um quadrado 22? E em um retn-

gulo 14? Porque ser que eles no so usados?

Eis aqui a maneira usual de codificar em Braille as letras mins-

culas e os algarismos:


37/79


38/79

principal

2009/10/28

page 34

Estilo OBMEi

i

i

i

i

i

i

i


Smbolo paranmero

Smbolorestituidorpara letra

Observe tambm que a mesma configurao de

pontos usada ora para denotar algumas letras,

ora para denotar os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6,

7, 8, 9 e 0. A fim de evitar confuso, para re-

presentar os nmeros, usa-se um smbolo inicial,

antecedendo as 10 primeiras letras do alfabeto.

Quando houver risco de confuso, para voltar no-vamente a usar o smbolo para significar letras,

devemos anteced-las com outro smbolo inicial,

indicando a restaurao, ou seja, indicando que

os smbolos que viro sero novamente letras.

Veja como so as representaes dos dez algarismos:

Letra aminscula

Smbolo

nmeropara

Smbolo

nmeropara

Letra bminscula

Smbolo

nmeropara

Smbolo

nmeropara

Smbolo

nmeropara

Smbolo

nmeropara

Smbolo

nmeropara

Smbolo

nmeropara

Smbolo

nmeropara

Smbolo

nmeropara

Letra cminscula

Letra dminscula

Este conjuntorepresentao nmero 1




Este conjuntorepresenta





Letra eminscula


o nmero 6


Letra fminscula

Letra gminscula


o nmero 7


o nmero 8

Letra hminscula


o nmero 9

Letra iminscula


o nmero 0

Letra jminscula


39/79

principal

2009/10/28

page 35

Estilo OBMEi

i

i

i

i

i

i

i

35

Atividade 2:

a) Traduza para a linguagem usual

O que voc acha que significa?

b) Escreva em Braille a frase: Louis Braille (1809-1852)

nasceu na Frana. No se esquea de usar o smbolo

para maisculas e o smbolo que transforma letras em

nmeros. Voc j leu esta frase antes?

Voc deve ter notado na atividade anterior que apenas letras e

nmeros no so suficientes para escrever todas as frases que dese-

jamos. Na verdade existem muitos outros smbolos que so usados

em Braille; eles tambm variam de pas para pas. Veja alguns exem-

plos tpicos usados em portugus:

Todos os sinais grficos tm representao em Braille. Veja alguns:

, ; : . ? ! ( ) [ ] *

Veja tambm alguns smbolos usuais da Matemtica:


40/79


41/79

principal

2009/10/28

page 37

Estilo OBMEi

i

i

i

i

i

i

i

37

a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 k

b 2 b 2 b 2 b 2 b 2 l

c 3 c 3 c 3 c 3 c 3 m

d 4 d 4 d 4 d 4 d 4 n

e 5 e 5 e 5 e 5 e 5 o

f 6 f 6 f 6 f 6 f 6 p


42/79

principal

2009/10/28

page 38

Estilo OBMEi

i

i

i

i

i

i

i



43/79


44/79

principal

2009/10/28

page 40

Estilo OBMEi

i

i

i

i

i

i

i



45/79

principal

2009/10/28

page 41

Estilo OBMEi

i

i

i

i

i

i

i

41

+ + + + + maiscula

nmero maiscula

nmero nmero

nmero nmero

= = = = > nmero

> < < Sinal res-tituidor de

letra

Sinal res-

tituidor de

letra

nmero


46/79

principal

2009/10/28

page 42

Estilo OBMEi

i

i

i

i

i

i

i



47/79

principal

2009/10/28

page 43

Estilo OBMEi

i

i

i

i

i

i

i

43

Tabela para consulta:

Letras e nmeros em Braille


48/79

principal

2009/10/28

page 44

Estilo OBMEi

i

i

i

i

i

i

i


2.1 Explorando Conceitos Matemticos com a

Linguagem Braille

Existem 26 = 64 configuraes que podem ser obtidas no cdigo

de Braille usual 32. fcil descobrir que isto verdade, quando

aplicamos o Princpio Multiplicativo da Contagem: h duas possibili-dades para a primeira casa ou ela marcada ou no (ou pintamos

de preto ou de branco) - do mesmo modo h duas possibilidades para

cada uma das outras casas, o que resulta em

2 2 2 2 2 2 = 26 possibilidades.

Se uma deciso puder ser tomada de maneiras

diferentes e se, uma vez tomada esta primeira deciso,

outra deciso puder ser tomada de maneiras diferentes,ento, no total sero tomada s d ecis es .

m

n

m n

O Princpio Multiplicativo da Contagem:

Vale a pena explorar este exemplo com estratgias diferentes.

Mtodo 1: Focando na quantidade de pontos, indepen-

dentes de estarem pintados ou no:

Comeando com um s ponto, teremos s 2 possibilidades:

Com dois pontos h 4 possibilidades, pois h duas escolhas para

cada uma das configuraes j vistas acima (com um ponto apenas):


49/79

principal

2009/10/28

page 45

Estilo OBMEi

i

i

i

i

i

i

i

SEC.2.1: EXPLORANDO CONCEITOS MATEMTICOS COM A LINGUAGEMBRAILLE 45

J com trs pontos h 8 possibilidades (duas para cada uma das

configuraes com dois pontos vistas acima):

Continuando assim, com quatro pontos teremos 16 configuraes

distintas, com cinco pontos 32 configuraes e, claro, com 6 pontos

chegaremos a 64 padres diferentes de pontos. Isto fcil de entender:

cada configurao em um estgio anterior produz duas novas confi-

guraes no estgio seguinte. Dentre as 64 possibilidades, temos dois

casos extremos: um em que nenhum dos pontos marcado e outro

em que todos os seis pontos so marcados:

Em Braille, por

motivos bvios,

esta

configurao

no usada.

Na linguagem Braille, esta

configurao tem a funo de

referencial de posio, para

auxiliar a indicar sinais grficos

tais como a crase ou o trema.

usada para indicar a letra.

Mtodo 2: Focando na quantidade pintada de pontos:

Com nenhum ponto marcado temos apenas uma configurao:


50/79

principal

2009/10/28

page 46

Estilo OBMEi

i

i

i

i

i

i

i


Com apenas um ponto marcado, temos 6 possibilidades:

As configuraes com dois pontos marcados totalizam 15. Veja:

Todas estas conf iguraes tm ponto

preto na casa com a seta, s est fal-

tando uma que j foi contada, pois ela a

primeira configurao do grupo anterior.

Todas estas tm a primeira

casa marcada em preto (veja

a seta

Todas estas tm ponto preto na

casa com a seta, mas esto faltando

duas que j foram contadas anterior-mente.

Todas estas tm ponto preto

na casa com a seta, esto fal-

tando trs que j foram conta-

das anteriormente.

Resta somente esta ltima

configurao que no apa-

receu em nenhum dos gru-

pos anteriores,

Deste modo, com dois pontos pretos h 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15possibilidades.

Com trs pontos marcados em negro, h 20 possibilidades. Veja:


51/79

principal

2009/10/28

page 47

Estilo OBMEi

i

i

i

i

i

i

i

SEC.2.1: EXPLORANDO CONCEITOS MATEMTICOS COM A LINGUAGEMBRAILLE 47

Poderamos continuar agora exibindo todas as configuraes com

4 pontos negros (so 15 ao todo), todas com 5 pontos pretos (so 6

no total) e todas com 6 pontos negros (apenas 1), mas no faremos

isto porque h um belo argumento de simetria aqui:

Escolher 4 pontos para marcar com preto entre 6 pontos brancos

o mesmo que escolher 2 pontos para marcar de branco entre

6 negros!

De modo anlogo, o nmero de escolhas de 5 pontos para pint-

los de preto dentre 6 pontos brancos o mesmo nmero de

escolhas de 1 nico ponto para pintar de branco dentre 6 pontos

negros.

Simetricamente s h uma possibilidade em que todos os pon-

tos esto marcados e s h uma possibilidade em que todos os

pontos no esto marcados.


52/79

principal

2009/10/28

page 48

Estilo OBMEi

i

i

i

i

i

i

i


Resumidamente, temos:

Nmero de pontos

negros

Nmero de possveis

configuraes

Total

S

M

E

T

R

I

I

A

0

1

1

1

2

3

4

5 6

6

6

15

15

20

64

Estes padres so encontrados nas combinaes, que passaremosa estudar.

2.2 Combinaes Matemticas

Existem situaes envolvendo contagens em que a ordem dos ele-

mentos importante e outras em que no. Para entender melhor este

fato, vamos comparar os dois exemplos abaixo:

Exemplo 2.1. De quantas maneiras diferentes podemos estacionar 3carros em 2 garagens?


53/79

principal

2009/10/28

page 49

Estilo OBMEi

i

i

i

i

i

i

i

SEC.2.2: COMBINAES MATEMTICAS 49

Soluo:

A resposta muito simples, se pensarmosda seguinte maneira: existem 3 possibili-dades para preencher a primeira garagem,mas apenas duas para a estacionarmos nasegunda; pelo Princpio Multiplicativo, o

nmero total de maneira 3 2 = 6 possi-bilidades.Se A, B e C so os carros, essas 6maneiras so as seguintes: AB, BA, AC,CA, BC e CB.

Exemplo 2.2. Quantas saladas de frutas diferentes podemos fazer

usando duas das seguintes frutas: abacaxi, banana ou caqui?

Soluo:

Procedemos como antes: primeiro escolhemosumas das trs frutas (3 possibilidades), depois

a segunda e ltima fruta (2 possibilidades).Com isto teremos 3 2 = 6 possibilidades.Entretanto o nmero de saladas de frutas no 6 e sim 3. Porqu?

Se a, b e c so as frutas, essas 6 escolhas so as seguintes: ab, ba,

ac, ca, bc e cb; mas uma salada de frutas feita com abacaxi e banana

a mesma que uma feita com banana e abacaxi, ou seja ab = ba e

de modo semelhante, ac = ca e bc = cb. O que importante obser-

var aqui que quando duas frutas so permutadas, elas produzem

a mesma salada. Neste caso a ordem de escolha das frutas no importante e o nmero correto de saladas

3 2

2= 3.


54/79

principal

2009/10/28

page 50

Estilo OBMEi

i

i

i

i

i

i

i


O nmero 2 no denominador corresponde permutao de duas fru-

tas. Ou seja, contamos tudo como se a ordem fosse importante e

dividimos o resultado pelo nmero de permutaes de 2 elementos.

Este ltimo exemplo o prottipo do que se chama em Matem-

tica de uma combinao simples. Observe bem o que fizemos:

Aplicamos o Princpio Multiplicativo para se obter todas as pos-

sibilidades, respeitando a ordem (3 2 = 6).

Dividimos o resultado obtido acima pelo nmero de permu-

taes da quantidade previamente combinada que d o tamanho

de cada escolha (como combinamos fazer saladas com apenas 2

frutas, dividimos por 2! = 2, obtendo (3 2)/2 = 3).

No caso geral, se tivermos n objetos distintos nossa disposio

e tivermos que escolher p objetos distintos dentre esses, obteremos

as combinaes simples de n elementos tomados p a p. claro que

p n.

O nmero total dessa combinaes denotado por Cpn e calculado

da seguinte maneira:

Cpn

=n (n 1) . . . (n (p 1))

p (p 1) (p 2) . . . 3 2 1

ou, em notao fatorial:

Cpn

=n!

p!(n p)!

(voc sabe justificar porque vale esta ltima frmula?).


55/79

principal

2009/10/28

page 51

Estilo OBMEi

i

i

i

i

i

i

i

SEC.2.3: AS COMBINAES E A LINGUAGEM BRAILLE 51

No exemplo das saladas de frutas, n = 3, p = 2 e o nmero de

saladas de frutas C23

=3!

2!(3 2)!=

3 2!

2!1!= 3. Vejamos mais um

exemplo:

Exemplo 2.3. Quantos so os subconjuntos de {a,b,c,d,e} que pos-

suem exatamente trs elementos?

Soluo: A resposta C35

=5!

3!(5 3)!=

5 4 3!

3!2!= 10 pois a ordem

dos elementos listados em um conjunto no relevante. De fato os

subconjuntos so os seguintes: {a,b,c}, {a,b,d}, {a,b,e}, {a,c,d},

{a,c,e}, {a,d,e}, {b,c,d}, {b,c,e}, {b,d,e}, {c,d,e}.

2.3 As Combinaes e a Linguagem Braille

Podemos analisar agora todas as possibilidades da escrita Braille

em uma clula 3 2:

Neste caso, o nmero de pontos que podemos combinar entre si

n = 6.


56/79

principal

2009/10/28

page 52

Estilo OBMEi

i

i

i

i

i

i

i


Nmero de pontos em preto Quantidade de combinaes distintas

p = 0 C06

=6!

0!(6 0)!= 1

p = 1 C16

=6!

1!(6 1)!= 6

p = 2 C26

=6!

2!(6 2)!= 15

p = 3 C3

6 =

6!

3!(6 3)! = 20

p = 4 C46

=6!

4!(6 4)!= 15

p = 5 C56

=6!

5!(6 1)!= 6

p = 6 C66

=6!

6!(6 6)!= 1

Podemos, a partir deste exemplo, inferir algumas concluses:

A simetria dos resultados acima sugere que Cpn = Cnp

n . De

fato,

Cpn

=n!

p!(n p)!=

n!

(n p)!(n (n p))!= Cnp

n.

C2n

igual soma dos n-1 primeiros nmeros naturais. De fato,

C2n

=n!

2!(n 2)!=

n.(n 1)

2= 1 + 2 + . . . + (n 1).

C0n

+ C1n

+ C2n

+ . . . + Cnn

= 2n.

Para ver porque isto vlido, observe que Cpn o nmero de subcon-

juntos com exatamente p elementos do conjunto {1, 2, . . . , n} e por-

tanto C0n

+ C1n

+ C2n

+ . . . + Cnn

o nmero total de subconjuntos de


57/79

principal

2009/10/28

page 53

Estilo OBMEi

i

i

i

i

i

i

i

SEC.2.4: MATEMTICAS COM PROBLEMAS VISUAIS 53

{1, 2, . . . , n}. Devemos responder ento a seguinte pergunta: quantos

so os subconjuntos de {1, 2, . . . , n}?

Para determinar um desses subconjuntos, olhamos para o nmero

1 e perguntamos: ele est ou no no subconjunto? Existem apenas

duas respostas: sim ou no. Olhamos para o nmero 2 e repetimos a

pergunta: 2 est ou no no subconjunto em considerao? Mais uma

vez temos duas respostas e continuamos assim at o nmero n. No

total teremos que tomar n decises e, cada uma delas, admite apenas

duas possibilidades. Pelo Princpio Multiplicativo, existiro ento

2 2 . . . 2 = 2n decises,

e como cada deciso determina um e um s subconjunto, teremos que

o nmero total de subconjuntos de {1, 2, . . . , n} 2n.

Atividade 4:

a) Procedendo como na linguagem Braille, se ao invs de

uma clula 3 2, tivermos uma 3 4, como a da figura,

quantas configuraes diferentes teremos no total?

b) Em uma clula 3 4, quantas so as configuraes que

possuem exatamente 5 pontos marcados?

c) Em uma clula nm, quantas configuraes diferentes

podemos formar?

d) Em uma clula n m, quantas configuraes tm exa-

tamente p pontos marcados?


58/79

principal

2009/10/28

page 54

Estilo OBMEi

i

i

i

i

i

i

i


2.4 Matemticos com Problemas Visuais

Eratstenes (nasceu em 276 a.C. e faleceu em

194 a.C.) foi o diretor da Biblioteca de Alexandria e

um homem de grande distino em muitos ramos do

conhecimento.Em Matemtica trabalhou com o problema da du-

plicao do volume do cubo, com nmeros primos o

crivo de Eratstenes at hoje empregado na Teoria dos Nmeros -

e, surpreendentemente, calculou com preciso o raio da Terra, com-

parando sombras em duas diferentes cidades do Egito. Ele tambm

calculou a distncia entre o Sol e a Lua, usando medies durante

eclipses e fez muitas descobertas em Geografia. Mesmo atuando em

tantos ramos do conhecimento seu apelido era Beta, pois em cada

rea especfica sempre havia um outro pensador cujo trabalho espe-cializado tinha mais volume ou profundidade que o de Eratstenes. Na

velhice se tornou deficiente visual e conta-se que morreu de inanio,

deixando voluntariamente de comer.

Leonhard Euler (1707-1783, l-se iler), foi

um grande matemtico do sculo XVIII, trabalhou

em quase todos os ramos da Matemtica: teo-

ria dos nmeros, equaes diferenciais, clculo das

variaes, fundamentos do Clculo e Topologia,

ramo da Geometria que foi fundador. Para Eu-ler estes campos de pesquisa estavam intimamente

conectados; seus trabalhos, to criativos eram, que chegam a beirar

a genialidade. Perdeu totalmente a viso de um olho em 1738, poca


59/79

principal

2009/10/28

page 55

Estilo OBMEi

i

i

i

i

i

i

i

SEC.2.4: MATEMTICAS COM PROBLEMAS VISUAIS 55

em que uma catarata comeou a se desenvolver no outro olho. Em

1771 uma operao mal sucedida da catarata deixou-o com deficincia

visual total. Apesar da cegueira, devido a sua notvel memria, mais

metade de seu volumoso trabalho foi realizado depois que se tornou

completamente deficiente visual.

Joseph Plateau (1801-1883, l-se plat)

era professor de uma escola secundria em Lige

(Frana); durante o perodo que lecionava elaborou

sua tese de doutorado sobre as impresses que a luz

exerce no olho. Em 1829, realizou um experimento

imprudente que consistia em olhar diretamente para

a luz do sol, por isto seus olhos ficaram irritados durante anos e sua

viso ficou restrita. Em 1841 sofreu uma infeco nos olhos e, em dois

anos, perdeu completamente sua viso. Antes disto, porm, realizou

experimentos para estudar as formas das bolhas de sabo, originando

assim o estudo das superfcies mnimas em Geometria Diferencial.

Sua velhice foi atpica: bem humorado, apesar dos problemas com a

viso, seu estado fsico e mental eram excelentes, sempre envolvido

com ensino, em contato direto com estudantes.

Lev Pontryagin (1908-1988), nasceu quando

sua me Tatyana Pontryaguin tinha 29 anos de

idade. Ela foi uma costureira e uma mulher notvel

que teve um importante papel na carreira matem-

tica de seu filho. Com 14 anos de idade Pontryagin

sofreu um acidente com uma exploso que o tornou

deficiente visual total. Desta poca em diante sua

me assumiu completamente a responsabilidade de cuidar de todos


60/79

principal

2009/10/28

page 56

Estilo OBMEi

i

i

i

i

i

i

i


os aspectos de sua vida. Apesar de grandes dificuldades, ela tra-

balhou por muitos anos como sua secretria, lendo artigos cientfi-

cos em diversas lnguas, escrevendo frmulas em manuscritos, cor-

rigindo trabalhos, etc. Pontryagin foi um dos grandes matemticos do

sculo XX, foi chefe de departamento de Matemtica na Rssia e vice-

presidente da Unio Internacional de Matemtica. Atuou em quase

todas as reas de Matemtica, com destaque em Topologia, lgebra,Equaes Diferenciais, Teoria do Controle e Sistemas Dinmicos.

Para maiores informaes consulte o site

http://turnbull.mcs.st-and.ac.uk/history/

2.5 O Sistema Binrio

Vamos estudar agora o sistema em que as clulas possuem umalinha somente e 6 colunas. Ele ser muito semelhante ao sistema usual

da linguagem Braille 3 2,pois existe uma correspondncia um-a-um

entre as configuraes com clulas 3 2 e configuraes em clulas

1 6. Veja:

3 2 1 6

Sistemas do tipo 1 n servem para escrever nmeros na base 2 e,assim sendo, tm muitas aplicaes na Matemtica e na Informtica.

Podemos escrever qualquer nmero natural na base 2, utilizando-

se para isto apenas os dgitos 0 e 1. Para compreender como isto pode


61/79

principal

2009/10/28

page 57

Estilo OBMEi

i

i

i

i

i

i

i

SEC.2.5: O SISTEMA BINRIO 57

ser realizado, trabalharemos, por simplicidade, com os nmeros que

vo de 0 a 63.

Dado um nmero qualquer (tomaremos como exemplo o nmero

41), veja como agrupar para escrever o nmero na base 2:

41 = 20 2 + 1 41 = 10 4 + 1

.

41 = 5 8 + 1

Formamos 20 pares,

observe que sobra

uma unidade

Usamos os 20 pares

anteriores para formar

10 grupos de quatro

elementos cada um.

.

Usamos os 10 grupos de

quatro elementos obtidos

anteriormente para agrup-

los em cinco grupos maio-

res com oito elementos

cada.

41 = 2 16 + 1 8 + 1 41 = 1 32 + 1 8 + 1

Usamos os 5 grupos de oito

elementos obtidos anteriormente

para agrup-los em dois grupos

maiores com dezesseis elementos

cada. Note que sobra um grupo de

oito elementos e tambm uma

unidade.

Finalmente usamos os dois grupos de

dezesseis elementos que surgiram no

estgio anterior para agrup-los em

um nico grupo maior com trinta e

dois elementos. Alm desses restam

um grupo de oito e uma unidade

simples.


62/79

principal

2009/10/28

page 58

Estilo OBMEi

i

i

i

i

i

i

i


Concluso:

41 = 1 25 + 0 24 + 1 23 + 0 22 + 0 21 + 1 20 .

Esta expresso escrita abreviadamente na seguinte forma:

41 = (1 0 1 0 0 1)2

(l-se: 41 um, zero, um, zero, zero, um, na base 2).

Veja como represent-lo no estilo Braille:

20

21

22

23

24

25

Os nmeros de 0 a 63 podem ser representados na base 2, de

acordo com o seguinte diagrama de rvore:


63/79

principal

2009/10/28

page 59

Estilo OBMEi

i

i

i

i

i

i

i



64/79

principal

2009/10/28

page 60

Estilo OBMEi

i

i

i

i

i

i

i


Atividade 5: Resolva o seguinte problema (OBMEP 2007)

Atividade 6: Um pequeno computador de papel os

cartes binrios

Vamos utilizar cartes de cartolina perfurados para trabalhar com

nmeros de 0 a 31, utilizando-se a base 2. Esses nmeros podem ser

escritos com apenas 5 dgitos, observe:


65/79

principal

2009/10/28

page 61

Estilo OBMEi

i

i

i

i

i

i

i


Base 10 Base 2 Base 10 Base 2 Base 10 Base 2 Base 10 Base 2

0 00000 8 01000 16 10000 24 11000

1 00001 9 01001 17 10001 25 11001

2 00010 10 01010 18 10010 26 11010

3 00011 11 01011 19 10011 27 11011

4 00100 12 01100 20 10100 28 11100

5 00101 13 01101 21 10101 29 11101

6 00110 14 01110 22 10110 30 11110

7 00111 15 01111 23 10111 31 11111

a) Recorte, perfure e corte as fendas dos cartes das pginas se-

guintes.

b) Cada buraco representar o nmero 1 e cada fenda o nmero

0. Faa um mao com as cartas. Se voc colocar um pa-

lito (ou um canudo ou um clipe) por alguns dos buracos do

mao, e levant-lo, algumas cartas cairo e outras ficaro pre-

sas no palito. Repetindo organizadamente este procedimentovoc poder realizar vrias operaes com os nmeros binrios

de 0 a 31. Veja algumas delas:

Separar as cartas pares da mpares. Basta colocar o palito no

primeiro furo direita e levantar. Todas os cartes com nmeros

pares cairo.

Com somente 5 colocaes de palitos e levantamentos possvel

colocar as cartas de 0 a 31 em ordem crescente. Embaralhe as

cartas. Comece colocando o palito no primeiro buraco da direita(casa das unidades). Com cuidado levante o mao, deixando que

as cartas caiam, mas mantendo a ordem. Coloque as cartas que

caram na frente das demais e repita o mesmo procedimento


66/79

principal

2009/10/28

page 62

Estilo OBMEi

i

i

i

i

i

i

i


para todos os demais 4 buracos, sempre mantendo a ordem.

Quanto terminar as cartas estaro em ordem.

Pode-se localizar qualquer nmero de 0 a 31 com a colocao do

palito e levantamento do mao 5 vezes. Isto se deve ao fato de

que qualquer nmero natural tem representao nica na base

2. Veja como voc pode fazer para localizar a carta 23:

24 23 22

21 20

000002

Coloque o palito na casa das unidades e levante o mao, descarte

as que caram. A seguir coloque no buraco 21, levante e descarte as

que caram. Prossiga, colocando o palito na casa 22, descarte as que

caram. Coloque na casa 23, levante e descarte as que ficaram presas.

Agrupe as cartas que caram e mais uma vez use o palite na casa 2 4.

A carta que ficou presa a 23.

Responda:

1. Se fizermos cartas com 6 buracos ao invs de 5, quantos nmeros

diferentes obteremos?

2. Qual o nmero mnimo de buracos que teremos fazer nos

cartes para representar os nmeros de 0 at 127?3. Leia a prxima atividade O dia do aniversrio na pgina 71 e

descreva uma maneira de adivinhar o aniversrio de uma pessoa

usando os cartes perfurados que voc fabricou.


67/79

principal

2009/10/28

page 63

Estilo OBMEi

i

i

i

i

i

i

i



68/79

principal

2009/10/28

page 64

Estilo OBMEi

i

i

i

i

i

i

i



69/79

principal

2009/10/28

page 65

Estilo OBMEi

i

i

i

i

i

i

i


12= )

2

0110 0(

13= )

2

0110 1(

14= )

2

1110 0(

15= )

2

1110 1(

16= )

2

0001 0(

17= )

2

0001 1(

18= )

2

1001 0(

19= )

2

1001 1(

20= )

2

0101 0(

21= )

2

0101 1(+16

+ +16 8 4 + 1

4 + 1 +16+ +1 6 8 4 + 1

4

+16+ +1 6 8 4 + 1

2 + 1 +16+ +16 8 4 + 1

2

+8+ +1 6 8 4 + 1

4 + + 1+ +1 6 8 4 + 1

2

16 + +1 6 8 4 + 1 1+ 16+ +1 6 8 4 + 1

+ +1 6 8 4 + 1

48 ++ +1 6 8 4 + 1

2+

8 ++ +1 6 8 4 + 1

4 ++ +1 6 8 4 + 1

1 8+ +1 6 8 4 + 1

4+


70/79

principal

2009/10/28

page 66

Estilo OBMEi

i

i

i

i

i

i

i



71/79

principal

2009/10/28

page 67

Estilo OBMEi

i

i

i

i

i

i

i



72/79

principal

2009/10/28

page 68

Estilo OBMEi

i

i

i

i

i

i

i



73/79

principal

2009/10/28

page 69

Estilo OBMEi

i

i

i

i

i

i

i



74/79

principal

2009/10/28

page 70

Estilo OBMEi

i

i

i

i

i

i

i



75/79

principal

2009/10/28

page 71

Estilo OBMEi

i

i

i

i

i

i

i


Atividade 6: O dia de aniversrio


76/79

principal

2009/10/28

page 72

Estilo OBMEPi

i

i

i

i

i

i

i


Como funciona o truque:

Como adivinhar o dia em que uma pessoa nasceu:

1. Pea pessoa que indique em quais dos calendrios a data de

seu nascimento aparece sublinhada.

2. Some os primeiros nmeros sublinhados que aparecem nos ca-

lendrios que a pessoa escolheu e voc descobrir a data de seu

aniversrio, sem que ela lhe conte.

Por exemplo: Se a pessoa nasceu no dia 7, os calendrios em que este

nmero aparece sublinhado so: o primeiro, o segundo e o terceiro.

Somando os primeiros nmeros sublinhados destes trs calend-

rios teremos 1 + 2 + 4 = 7. No legal? Se voc seguir o roteiro

abaixo, poder descobrir o signo e tambm o ms que a pessoa nasceu.

Como adivinhar o ms em que uma pessoa nasceu

consulte seu horscopo para encontrar o ms de

nascimento:

ries 21 de maro a 20 de abril

Hoje um dia muito favorvel para lidar com clculos matemticos. Abra

sua mente para a beleza da Matemtica e no deixe de acreditar no seu

potencial criativo. Voc nasceu no dia ...


77/79

principal

2009/10/28

page 73

Estilo OBMEPi

i

i

i

i

i

i

i


Touro 21 de abril a 20 de maio

Um ciclo de novas idias se abre para voc. Tudo se alterna tal qual uma

funo trigonomtrica. tempo de estudar e desenvolver os seus potenciais

criativos. Voc nasceu no dia...

Gmeos 21 de maio a 20 de junho

Hoje um dia em que muitas coisas no caminham muito de acordo com seus

planos, mas lembre-se que problemas devem estar nos livros de Matemtica

e mesmo assim eles podem ser solucionados! Voc nasceu no dia ...

Cncer 21 de junho a 21 de julho

Alegre-se! Hoje um dia harmonioso para voc interagir, fazer novas

amizades e dar incio a projetos pessoais como o estudo da Matemtica.

Voc nasceu no dia ...

Leo 22 de julho a 22 de agosto

Problemas existem, mas com disposio, talento e criatividade voc vence

qualquer obstculo. Quando estudar Matemtica, no desista, a soluo

sempre estar a seu alcance. Voc nasceu no dia ...

Virgem 23 de agosto a 22 de setembro

Hoje um dia de muita sensibilidade e pensamento positivo. Realize hoje

mesmo seus sonhos, estudando Matemtica com dedicao. Acredite no seu

potencial. Voc nasceu no dia ...


78/79

principal

2009/10/28

page 74

Estilo OBMEPi

i

i

i

i

i

i

i


Libra 23 de setembro a 22 de outubro

Hoje um dia favorvel para lidar com os assuntos da Geometria. Comece

investindo no seu visual e surpreenda a todos, principalmente seu professor,

fazendo todos os exerccios de Matemtica. Voc nasceu no dia ...

Escorpio 23 de outubro a 21 de novembro

bem provvel que o que voc esteja procurando externamente esteja dentro

de voc, por isto, resolva voc mesmo seus problemas de Matemtica, sem

procurar ajuda. Voc consegue! Voc nasceu no dia ...

Sagitrio 22 de novembro a 21 de dezembro

Descubra seu potencial criativo, resolvendo problemas de Matemtica. Com

isso estar afastando a rotina e admirando a beleza desta cincia. Observe

o mundo com os olhos da razo! Voc nasceu no dia ...

Capricrnio 22 de dezembro a 20 de janeiro

No se aborrea com pequenos atritos do dia-a-dia. No de deixe abalar

quando no encontrar imediatamente a soluo de um problema de Mate-

mtica. No desista e entenda que h propsitos maiores cujas portas sero

abertas pela dedicao e estudo. Voc nasceu no dia ...

Aqurio 21 de janeiro a 19 de fevereiro

Hoje a vida lhe dar tudo para ser feliz. H tesouros que temos e muitas

vezes no os percebemos; por exemplo, h uma satisfao enorme quando

resolvemos um belo problema de Matemtica. Voc nasceu no dia ...


79/79

principal

2009/10/28

page 75

Estilo OBMEi

i

i

i


Peixes 20 de fevereiro a 20 de maro

Hoje um dia de oportunidades e novidades, principalmente nos estudos.

Voc ir resolver com facilidade todos os problemas de Matemtica que lhe

forem apresentados. tempo fazer planos, trabalhar as idias criativas e

execut-las. Voc nasceu no dia...

Podemos implementar todas as operaes que so realizadas nabase 10 tambm na base 2. Existem mquinas simples que ajudam

a entender como estas operaes so feitas. Uma delas est indicada

abaixo.

Bons estudos! Bom divertimento!

Apostila10-Atividades de Contagem

Documents

Transcript of Apostila10-Atividades de Contagem