Aplikasi Pd 3 New

Aplikasi Persamaan Diferensial

Desi Fagil Rachman.D.P Frisky Rahmawati Maulana.B.Z

BAB I

PENDAHULUAN

Persamaan diferensial adalahpersamaan yang mengandung fungsi danturunannya. Adapun persamaan diferensialbiasa adalah persamaan yang mengandungturunan biasa, yaitu turunan dengan satupeubah bebas dan persamaan diferensialparsial adalah persamaan yangmengandung turunan parsial, yaitu turunandengan peubah bebas lebih dari satu.Karena salah satu yang akan menjadi titikfokus pada bab pembahasan adalahmenentukan solusi dengan metodepersamaan diferensial order 1 padaaplikasi permasalahan di bidang teknik,fisika, dan biologi maka untuk persamaandiferensial biasa order 1 yang mempunyaibentuk umum : F(x,y, dy/dx) = 0 ,dapat dituliskan dalam bentuk derivatifyaitu = F(x, y) atau dalam bentukdiferensial yaitu M (x,y) + N (x,y) = 0(Herris Herdiana, 2002).

Pada pembahasan ini akan dijelaskanbeberapa aplikasi persamaan diferensialdalam beberapa bidang, yaitu diantaranya:teknik, kedokteran, dan biologi. Aplikasipersamaan diferensial dalam setiapbidangnya bermanfaat untuk mencari

solusi dari setiap masalah yang berkaitandengan persamaan diferensial. Sepertihalnya aplikasi persamaan diferensial padabidang teknik, persamaan diferensiallinear order satu

Menyelesaiakan masalah campurankimia dimana persamaan diferensial suatucara yang bisa membantu untuk mencarijumlah garam dalam larutan dalam satuanmenit dan persamaan diferensial linearorder satu juga membantu menghitungarus dalam rangkaian listrik dalam satuandetik. Adapun, penerapan persamaandiferensial dalam bidang fisika membantumenyelesaikan masalah tentang kekekalanmomentum, persamaan diferensialmembantu menghitung kecepatan darisuatu benda dalam suatu peristiwa setelahledakan yang mengakibatkan duakomponen terpisah secara berlawananarah.

Tujuan penulisan ini adalah untuklebih memahami dan mengetahui materipersamaan diferensial jika diterapkandalam bidang teknik, kedokteran, fisikadan biologi.

1



BAB IIPEMBAHASAN

Berikut ini akan dibahas aplikasipersamaan diferensial di beberapa bidang,diantaranya:

A. MATEMATIKA TEKNIK (Modelpersamaan diferensial linear ordersatu).

Penggunaan persamaan deferensialdalam permodelan, khususnya dibidangilmu teknik dan rekayasa yang palingsederhana adalah menggunakan persamaandiferensial linear order satu.

Persamaan diferensial biasa linearorder satu adalah suatu persamaan yangberbentuk:

y + P(x)y = Q(x) . (1)Ciri dari persamaan diferensial

linear adalah y dan y bersifat linear,sedangkan P dan Q fungsi-fungsi dari x.Untuk menentukan menyelesainumumnya, diperoleh dari persamaan (1)adalah:

y + P(x)y = Q(x)

(dy/dx) + P(x)y = Q(x)dy + [P(x)y Q(x)]dx = 0

Jika suatu persamaan (1)mempunyai sifat makapersamaannya disebut persamaandiferensial non eksak. Dengan demikianhitung = ( ).

Maka faktor integrasinyamerupakan fungsi dari x. Misalkan uadalah faktor integrasi, fungsi u(x) yangdiberikan oleh:u = e ( ) (2)

Bila faktor integrasi persamaan (2)dikalikan dengan persamaan (1),dihasilkan:

u = e ( )[y + P(x)y]e ( ) = Q(x)e ( )Atau,ye ( ) = Q(x)e ( )

Dengan demikian penyelesaianumm persamaan diferensial linear adalah:ye ( ) = Q(x)e ( ) dx + cContoh 1. Model campuran kimia.

Dalam suatu bejana berisi 16 galon,air asin yang mengandung 5 pon larutangaram. Air asin mengalir kedalam bejanayang mengandung 2 pon larutan garamtiap galon, dengan laju 3 galon tiap menit.Campuran dipertahankan merata dengancara mengaduk. Air asin mengalir keluardengan laju 1 galon tiap menit. Berapakahjumlah garam dalam larutan setelah 4,5menit. x(t) bila diketahui x(0) = 12.

Penyelesaian:Perumusan model: andaikan x

menyatakan jumlah garam pada saat tmenit. Menurut hukum kimia, lajuperubahan garam pada saat t sama denganlaju masuk dikurangi dengan laju keluar,sehingga:= laju masuk laju keluarMengingat,Laju masuk= [konsentrasi][kecepatan].

= [2 pon/galon][3galon/menit].= 6 pon/menit.

Laju keluar = [konsentrasi][kecepatan].Dimana kecepatan keluar bejana 1

galon/menit, danKonsentrasi =a. Dimana A adalah jumlah garam pada

saat t.

2



b. Dan B adalah jumlah galon air asindalam bejana pada saat t.AB = x16 + (3 1)t = x16 + 2t

Maka laju keluar bejanadiberikanoleh,Laju keluar =

Dengan demikian persamaandiferensialnya dapat ditulis menjadi:dxdt = 6 x16 + 2t ataudxdt + x16 + 2t = 6

Persamaan merupakan persamaandiferensial linear order satu, dimana( ) = dimana Q(t) = 6, dengansyarat x(0) = 12.

Dari p(t) faktor integrasi persamaanlinear diberikan oleh,u = exp 116 + 2t dt = e ( )= 16 + 2t

Sehingga penyelesaian umumpersamaan linear adalah:= 116 + 2t [616 + 2t dt]

= 6[16 + 2t dt]Misal u = 16 + 2t

= 2

dt =

6[u du]= 6 . [u du]= 3 . u + c= 2 u + c= 2(16 + 2 ) / +atau, ( ) = 2(16 + 2 ) + 16 + 2

Karena diketahui x(0) = 12, makadihasilkan:

12 = 32 + atau, c = 80Jadi, penyelesaian persamaan

diferensialnya adalah,( ) = 2(16 + 2 )

Selanjutnya untuk t = 4,5, dihasilkan:( ) = 2(16 + 2 ) 8016 + 2t(4,5) = 2(16 + 2(4,5)) = 34Jadi, jumlah garam dalam larutan

setelah 4,5 menit adalah 34 pon.

Contoh 2. Rangkaian R L.Sebuah rangkaian listrik sederhana

terdiri dari sebuah tahanan R, induktasi L,dan tegangan E(t). Hitunglah arus dalamrangkaian setelah t detik, I(t) bila diketahuiI(0) = 0. Bila sumber tegangannya E(t) =E0.

Penyelesaian:Perumusan model: Menurut hukumkirchoff, jumlah tegangan sama gayaelektromotif, E(t) yakni:EL + ER = E(t)Berdasarkan kenyataan bahwa:

1. Tegangan pada tahanan, ER = R.i2. Tegangan pada induktor, EL =

Dengan demikian untuk rangkaianseperti tergambar dihasilkan,

+R.i = E(t)atau,= ( ) i ,+ i = ( )

Persamaan adalah persamaandiferensial linear order satu, dengan( ) = Rdan Q(t) = E(t)

3



Faktor integrasi persamaandiferensial linear adalah:u = exp dt =

Dengan demikian, penyelesaianumum persamaan diferensial adalah,i(t) = + 1 E(t)

Karena diketahui, E(t) = E0 dan I(0)= 0, dari ruas kanan persamaan persamaandiatas dihasilkan:E = 0Sehingga penyelesaian umumnya adalah,i(t) = + Ei(t) = c + Ei(t) = + E = + Ekarena diketahui, I(0) = 0, maka diperoleh:0 = + E atau, c = E

Jadi penyelesaian persamaandiferensialnya adalah:i(t) = E +Eatau,i(t) = E 1

Persamaan ini merupakan persamaanyang menyatakan arus dalam rangkaiansetelah t detik.

B. KEDOKTERAN (Model persamaandiferensial linear order satu).

KLIRENS OBATKlirens obat adalah suatu ukuran

eliminasi obat dari tubuh tanpamempermasalahkan prosesnya. Klirensobat / tubuh total adalah jumlah total dariseluruh jalur klirens dalam tubuh,termasuk klirens obat lewat ginjal (klirensrenal), dan kliners hepar (kliners hepatik).

Klirens dapat ditakrifkan sebagaivolume cairan (yang mengandung obat)yang dibersihkan dari obat persatuanwaktu. Klirens dapat ditakrifkan sebagailaju eliminasi obat dibagi konsentrasi obatdalam plasma pada waktu tersebut.

Laju perubahan xenobiotika dalamtubuh adalah dAb/dt, laju perubahanbergantung pada laju absorpsi daneliminasi xenobiotika. Laju perubahan inisama dengan laju absorpsi dikurangi lajueliminasi.dAdt = dAdt dAdt

Dimana A = jumlah xenobiotika didalam saluran pencernaan gastrointestinal track, A = jumlah xenobiotikayang dieliminasi dari tubuh.

Kata xenobiotik berasal dari bahasayunani yaitu xenos yang artinya asing.Xenobiotika adalah zat asing yang masukdalam tubuh manusia contohnya: zatkimia, pewarna makanan, pengawetmakanan, dan sebagainya.

Contoh. Laju perubahan xenobiotika.Jika dalam suatu unit darurat

dihadapi seorang pasien yang menderitagangguan fungsi hati disebabakanxenobiotika. Jika diketahui laju jumlahxenobiotika 9t2 dan laju jumlahxenobiotika yang dieliminasi adalah 2t.Hitunglah laju perubahan xenobiotika!

Penyelesaian:Misalkan t = waktu, laju jumlahxenobiotika = AGI/dt dan laju jumlahxenobiotika yang dieliminasi = dAe/dt.Akan dicari laju perubahan xenobiotika,dAdt = dAdt dAdt = dAdt = 9tdt 2tdtdAdt = 18t 2

4



Jadi, laju perubahan xenobiotika dalamtubuh adalah 18t 2.

C. FISIKA (Model model persamaandiferensial linear order satu).

Contoh 1. Laju kecepatan.Kota Bogor memantau ketinggian air

dalam tangki air berbentuk tabung denganalat pencatat otomatis. Secara tetap airdipompa kedalam tangki dengan laju 2400dm/jam, seperti diperlihatkan pada gambar5. Selama suatu periode 12 jam tertentu(dimulai pada tengan malam), permukaanair naik dan turun sesuai dengan grafikgambar 6. Jika jari-jari tangki adalah 20dm, berapa laju air yang sedang digunakanpada pukul 7.00?

Penyelesaian:Andaikan t menyetakan banyaknya

jam setelah tengah malam, dan h sebagaiketinggian air dalam tangki pada saat t,dan V sebagai volume air dalam tangkipada pada saat itu (lihat gambar 5). Maka2400 (dV/dt) adalah laju pada mana airsedang digunakan pada sebarang waktu t.Karena kemiringan garis singgung di t = 7maka kemiringannya kira-kira -3 (lihatgambar 6), dapat disimpulkan bahwa dh/dt -3.

Untuk sebuah tabung, V = r h ,sehingga:V = (20) hDiferensialkan, diperoleh:dVdt = 400 dhdtPada saat t = 7,

400(3) 3770Jadi, penduduk kota Bogor

menggunakan air dengan laju 2400 + 3770= 6170 dm/jam pada pukul 7.00.

Contoh 2. Laju kecepatan.Sebuah balon dilepaskan pada jarak

150 kaki, dari seorang pengamat yangberdiri di tanah. Diketahui balon naiksecara lurus keudara dengan laju 8meter/detik, seberapa cepat jarak antarapengamat dan balon bertambah padawaktu balon berketinggian 50 kaki?

Pemyelesaian:Andaikant = banyaknya detik setelah balondilepaskan.h= ketinggian balon.s = jarak dari pengamat dengan balon.

Diketahui: = 8Ditanyakan: pada saat h = 50

Variabel s dan h berubahberdasarkan waktu (mereka adalah fungsi-fungsi implisit dari t).s2 = h2 + (150)2 (1)

Diferensialkan secara implisitterhadap t dan memakai aturan rantai,diperoleh:s2 = h2 + (150)22 = 2 Atau,= (2)

Pada saat h = 50, dari persamaan (1)diperoleh:= (50) + (150) = 5010

s

150h

Untuk t > 0

5



Subtitusikan nilai s, h, dan diperoleh:5010 = 50(8) dan= 810 2,53Pada saat h = 50, jarak antara balon

dan pengamat bertambah dengankecepatan 2,53 kaki/detik.

D. BIOLOGI (Model modelpersamaan diferensial linear ordersatu).

PERTUMBUHAN JUMLAH BAKTERIJika y fungsi bernilai positif dalam

t, dan k suatu konstanta persamaandifferensial = .(1)

Menyatakan bahwa laju perubahan ysebanding dengan besarnya y padasebarang waktu t. Persamaan (1) adalahpersamaan differensial terpisahkan dandapat ditulis : = ln = += ( )= = [ ] .........(2)Dimana A= konstanta sebarang.

Nilai konstanta k dalam persamaan(2) tergantung pada sifat masalah. Jika kbernilai positif maka persamaan (2)disebut hukum pertumbuhan eksponensial.Jika k bernilai negative maka persamaan(2) disebut hokum peluruhan eksponensial.

Contoh.Jumlah bakteri dalam suatu kultur

adalah 200, setelah dua jam menjadi 7.200.di bawah persyaratan perkembangan yangideal, menjadi berapa jumlah bakterisetelah enam jam?

Penyelesaian:Di bawah persyaratan yang

menguntungkan laju perkembanganbakteri dalam suatu kultur sebandingdengan jumlah bakteri pada saat itu. Jika ybanyaknya bakteri dalam kultur padawaktu t maka laju perkembangannyaadalah: = ..................(1)

Dengan k faktor pembanding,denganmengintegralkan persamaan (1),= = ln y = kt + C (2)

Pada saat awal t = 0 jumlah bakteriy = 200 sehingga dengan memasukkannilai tersebut ke persamaan (2);ln 200 = k(0) + CMemasukkan C ke persamaan (2) menjadi:ln y = kt + ln 200untuk t = 2 jam ; y = 7.200diperoleh,

ln y = kt + Cln 7.200 = 2k + ln 200k = [ln 7.200 ln 200]= . = ln 36 = 36= ln 36 = ln 6

Memasukkan k ke persamaan (2) menjadi:ln y = t ln 6 + ln 200ln y = ln (6t . 200)

untuk t = 6 jam y = .?ln y = 6 ln 6 + ln 200ln y = ln 46.656 (200)y = 9.331.200

Jadi setelah enam jam jumlah bakterimenjadi 9.331.200.

6

6



BAB III

PENUTUP

Demikian pembahasan aplikasipersamaan diferensial pada bidang teknik,fisika, kedokteran dan biologi , yang dapatkami paparkan. Atas kekurangannya mohonmaaf karena kesempurnaan hanya milikALLAH SWT.

Semoga pembahasan aplikasipersamaan diferensial yang telah disusundapat bermanfaat untuk semua pembacakhususnya untuk kami sebagai penyusun.Aamiin

1. KESIMPULANAplikasi persamaan diferensial

dalam setiap bidangnya bermanfaat untukmencari solusi dari setiap masalah yangberkaitan dengan persamaan diferensial.

Berikut ini aplikasi persamaandiferensial di beberapa bidang, diantaranya:

a. Matematika TeknikPada bidang teknik,persamaandiferensial linear order satu diterapkanuntuk menyelesaikan masalah campurankimia, dimana persamaan diferensialsuatu cara yang bisa membantu untukmencari jumlah garam dalam larutandalam satuan menit dan persamaandiferensial linear order satu jugamembantu menghitung arus dalamrangkaian listrik dalam satuan detik.

b. KedokteranPenerapan persamaan diferensial dalambidang kedokteran membantumenyelesaikan masalah tentang klirens

obat yaitu untuk menghitung ukuraneliminasi obat dari tubuh tanpamempermasalahkan prosesnya.

c. FisikaPenerapan persamaan diferensial dalambidang fisika membantu menyelesaikanmasalah tentang kekekalan momentum,persamaan diferensial membantumenghitung kecepatan dari suatu bendadalam suatu peristiwa setelah ledakanyang mengakibatkan dua komponenterpisah secara berlawanan arah.

d. BiologiPenerapan persamaan diferensial padabidang biologi, digunakan untukmembantu menyelesaiakan masalahuntuk mencari pertumbuhan jumlahbakteri.

2. SARANKurangnya pemahaman bukan

merupakan penghalang untuk mencoba.tetapi, beranilah mencoba untuk dapatmemahami.

Setelah membahas materi mengenaisuatu penerapan persamaan diferensial padabeberapa bidang diantaranya: biologi,fisika, kedokteran, dan teknik. Kamimengharapkan agar kedepannya materi inidikembangkan lebih jauh terutamamemperbanyak contoh soal. Selanjutnyakami juga mengharapkan kritik dan saranyang bersifat membangun.

7



DAFTRA PUSTAKA

Andrew.B.C.Y.U, Leon.S.1988.Biofarmasetika dan Farmakokinetika Terapan.Surabaya.Airlangga University Press

Edwin, Pucell, Dale Varberg. 1987. Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid 1 Edisi Kelima.Jakarta. Erlangga

Kanginan Marthen.1994. Fisika SMU kelas 1 caturwulan 1.Jakarta.Erlangga

Prayudi.2006.Matematika Teknik Persamaan Diferensial, Transformasi Laplace, DeretFourier. Yogyakarta.Graha Ilmu

Wirasuta.G.A.M.2006.Buku Ajar Taksikologi Umum.Bali.www.buku-ajar-taksikologi-umum.com

Zakylubismy.2011.Aplikasi Persamaan Diferensial Parsial.http://zakylubismy.blogspot.Com/2011/02/ aplikasi-persamaan-diferensial-parsial.html?m=0

8

Aplikasi Pd 3 New

Documents

Transcript of Aplikasi Pd 3 New