Aplikasi Laplace Untuk Penyelesaian Pers
-
Upload
danang-joyoe -
Category
Documents
-
view
98 -
download
2
Transcript of Aplikasi Laplace Untuk Penyelesaian Pers
Aplikasi Laplace untuk penyelesaian pers. Deferensial
Muhammad Nizam
2
Ekspansi Pecahan Parsial:Review
• Transformasi Laplace dari suatu persamaan differensial f(t) lazimnya diberikan dalam bentuk:
)(
)()(
sD
sNsF
• Bentuk ekspansi pecahan parsial dari F(s) bergantung pada akar-akar persamaan karakteristiknya (denumerator).– Kasus 1: Persamaan karakteristik hanya memiliki akar real dan tidak sama
N(s) adalah numerator (pembilang) dalam s, D(s) denumerator
(penyebut) dalam s
))...()((
)()(
21 Nssssss
sNsF
Dalam kasus tersebut pecahan parsialnya dapat dituliskan dalam bentuk:
)(...
)()()(
2
2
1
1
N
N
ss
K
ss
K
ss
KsF
Ki (i=1,…,N) adalah konstanta
yang harus dicari
3
Ekspansi Pecahan Parsial:Review
))...()()...()((
)()]()[(
1121 Niiiiiii
issii ssssssssss
sNsFssK
i
• Kasus 2: Persamaan karakteristik hanya memiliki akar kompleks
Mnnnnnn ssssss
sNsF
)2...()2()2(
)()(
222
221
22
Dalam kasus tersebut pecahan parsialnya dapat dituliskan dalam bentuk:
Mnn
MM
nnnn ss
BsA
ss
BsA
ss
BsAsF
)2(...
)2()2()(
222
2222
122
11
Konstanta K dicari dengan persamaan berikut:
Jika persamaan karakteristik hanya memiliki M pasangan complex-conjugate, F(s) dapat dituliskan sbb:
Dimana Ai dan Bi konstanta yang dicari dengan menyamakan pangkat dalam s
Dr.-Ing. Mohamad Yamin 4
Ekspansi Pecahan Parsial:Review
• Kasus 3: Persamaan karakteristik memiliki akar real, tidak sama dan kompleks
MnnnnnnN ssssssssssss
sNsF
)2...()2()2)()...()((
)()(
222
221
2221
Dalam kasus tersebut pecahan parsialnya dapat dituliskan dalam bentuk:
Mnn
MM
nnnn
N
N
ss
BsA
ss
BsA
ss
BsA
ss
K
ss
K
ss
KsF
)2(...
)2()2(
)(...
)()()(
222
2222
122
11
2
2
1
1
Pecahan Parsial X(s)
• Derajat P(s) < derajat Q(s)
)(
)()(
sQ
sPsX
• Jika X(s) berbentuk pecahan parsial yang pembilang dan penyebutnya berbentuk polinomial
Pecahan Parsial X(s)
• Akar-akar Q(s) berbeda, tidak ada yang sama
nk
sXpsA
ps
A
ps
A
ps
AsX
pspsps
sPsX
kps
k
n
n
n
k
,...2,1
)().(lim
)(...
)()()(
))...()((
)()(
2
2
1
1
21
tpn
tptp neAeAeAtx ...)( 2121
x(t) menjadi :
Pecahan Parsial X(s)• Jika pi = pk
*, maka penyelesaian dapat diselesaikan secara khusus yang menghasilkan x(t) merupakan fungsi Cosinus dan Sinus
Pecahan Parsial X(s)
• Q(s) mempunyai akar rangkap
kk
k
ps
rk
pslr
lr
kl
kps
k
n
n
rr
nr
sXpsds
d
lrA
sXpsA
ps
A
ps
A
ps
A
ps
A
ps
AsX
pspsps
sPsX
)(.)(lim)!(
1
)().(lim
)(...
)(
)(...
)()()(
))...(()(
)()(
2
2
1
12
1
12
1
11
21
Sistem LTI dengan penyelesaian Pers Diferensial koefisien konstan
• Sistem mempunyai hubungan
Sistem LTISistem LTI x(t) y(t)
j
jm
jj
n
ii
i
i
m
m
mm
m
m
n
n
nn
n
n
dt
xdb
dt
yda
atau
bdt
dxb
dt
xdb
dt
xdb
adt
dya
dt
yda
dt
yda
00
011
1
1
011
1
1
...
...
Sistem LTI dengan Pers Diferensial
• Supaya dapat diselesaikan, sistem harus diketahui 1. x(t) untuk t>02. y(0-),y´(0-),...,y(n-1)(0-)3. x(0-),x´(0-),...,x(m-1)(0-)
Secara fisis butir 3 sulit dipenuhi, oleh karena itu hanya dipakai keadaan awal x(0),x´(0)... Walaupun ini juga beresiko menyebabkan hasil tidak tepat 100%.
Transformasi Laplace
• Contoh soal
0
2)(
32
2
1)(
2
1
3)2)(1(
4
22)3)(1(
4
2
3
1)3)(2(
4
321)(
)3)(2)(1(
4)(
3212
23
21
23
3
2
1
321
t
eeetx
ssssX
sss
sA
sss
sA
sss
sA
s
A
s
A
s
AsX
sss
ssX
ttt
Transformasi Laplace
• Contoh soal
12
12
1
)22(
2)2()()(
)22(
)()22()(
22)(
)22(
1)(
3
2
1
2131
221
232
21
2321
2
A
A
A
sss
AsAAsAAsX
sss
AsAsssAsX
ss
AsA
s
AsX
ssssX
Transformasi Laplace
0
)()()(
1)1(
1
2
1
1)1(
1
2
1)(
1)1(
2
2
1)(
22
1)(
21
21
21
22222
1
222
1
221
21
t
tSinetCosetx
ss
s
ssX
s
s
ssX
ss
s
ssX
tt
Transformasi Laplace
0
2)(
)2(
2
2
1
1
1)(
221)!22(
1
12)1(
1
21)!12(
1
11)2(
)2(21)(
)2)(1()(
22
2
12
211
21
212111
2
t
teeetx
ssssX
ss
sA
ssss
s
ds
dA
ss
sA
s
A
s
A
s
AsX
ss
ssX
ttt
15
Ekspansi Pecahan Parsial:dengan software MatLab
• Fungsi transfer, F(s)=N(s)/D(s):
0,
...
...
)(
)(
011
1
011
1
mn
nn
nn
mm
mm
ba
asasasa
bsbsbsb
den
num
sD
sN
• Ekspansi pecahan parsialnya adalah
]...[
]...[
01
01
aaaden
bbbnum
nn
mm
)()(
)(...
)2(
)2(
)1(
)1(
)(
)(sk
nps
nr
ps
r
ps
r
sD
sN
• Dalam MatLab numerator (pembilang), num dan denumerator (penyebut), den dituliskan dalam bentuk vektor baris yang dinyatakan dengan koefisiennya
k(s) adalah direct term
• Perintah
>>[r,p,k]=residue(num,den)
Perintah ini akan mencari residu, poles dan direct term dari ekspansi
pecahan parsial N(s)/D(s)
16
Contoh
32 )1(
2
)1(
0
)1(
1
)(
)(
ssssD
sN
• Dengan menggunakan MatLab, tentukan ekspansi pecahan parsial dari fungsi transfer berikut:
Solusi dengan MatLab:
>>num=[1 2 3];
>>den=[1 3 3 1];
>>[r,p,k]=residue(num,den)
r = 1.0000 0.0000 2.0000
p = -1.0000 -1.0000 -1.0000
k = []
133
32
)(
)(23
2
sss
ss
sD
sN
Ekspansi pecahan parsialnya:
17
Prosedur Solusi pers. Differensial dengan:Transformasi Laplace
1. Transformasi persamaan differensial ke dalam domain s dengan transformasi Laplace menggunakan tabel transformasi Laplace.
2. Manipulasi persamaan aljabar yang telah ditransformasikan untuk mendapatkan variabel outputnya.
3. Lakukan ekspansi pecahan parsial terhadap persamaan aljabar pada langkah 2.
4. Lakukan invers transformasi Laplace dengan tabel transformasi Laplace untuk mendapatkan solusi dalam domain t.
18
Contoh:Solusi Persamaan Differensial
s
sYyssYysysYs1
5)(2)0(33)0´(02
tftydt
tdy
dt
tyd523
2
2
Diberikan persamaan differensial sbb:
Dimana f(t) adalah fungsi unit step dengan kondisi awal y(0)=-1 dan y´(0)=2. Transformasi Laplace menghasilkan:
)23(
5)(
5)()23(
5)(2332
2
2
22
2
sss
sssY
sssYsss
ssYssYssYs
Fungsi unit step dari tabel transformasi
Laplace
Menggunakan teorema differensiasi
transformasi Laplace
Solusi dalam domain t diperoleh dengan
invers transformasi Laplace
19
)2)(1(
5
)23(
5)(
2
2
2
sss
ss
sss
sssY
2
3
)1(
5)]()2[(
5)2(
5)]()1[(
2
5
)2)(1(
5)]([
2
2
2
1
2
0
ss
sssYsC
ss
sssYsB
ss
ssssYA
s
s
s
Invers transformasi Laplace dilakukan dengan memanipulasi penyebut (denumerator) dalam fungsi Y(s) kedalam akar-akarnya:
)2)(1(
5
)2()1()(
2
sss
ss
s
C
s
B
s
AsY
Ekpansi dalam pecahan parsial,
Dimana A, B dan C adalah koefisien
20
)2(2
3
)1(
5
2
5)(
ssssY
Persamaan Y(s) dalam bentuk pecahan parsial menjadi
Dengan invers transformasi Laplace (di dapat dari tabel), persamaan dalam domain waktu y(t) menjadi
tt eety 2
2
35
2
5)(
Dengan t≥0
Transformasi Laplace
21)0(
1)0(
0,)(
3107
y
y
tetx
dengan
xxyyy
t
ttttt
ss
eeeeety
ssssssY
ss
s
sss
ssY
ss
s
sss
ssY
ss
ssY
ssssYss
sXsssYss
sXssXsYssYssYs
masukanadabelumkarenaxexwalaupun
sXxssXsYyssYysysYs
25
211
61
31
21
25
211
61
31
21
215
22
15
2
2
215
)1()3(
212
212
212
0
.2
)(
)5()2()5()2()1()(
)5)(2()5)(2)(1(
)3()(
)107()107)(1(
)3()(
107)(
1
137)(107
)(37)(107
)(3)()(101)(7)(
0)0(,1)0(
)(3)0()()(10)0()(7)0()0()(
Penggunaan Matlab pada penyelesaian laplace