Aplicaciones de lateoría delcontrol a laeconomía · este sistema de ecuaciones. utilizando el...

INGENIERIA ELECTRICA

Aplicaciones de la teoría del controla la economía

La teorla del control se ha desarrollado y aplicadoampliamente en muchas áreas de la Ingenlerla. En losúltimos ailos se ha venido aplicando también, en camposdiferentes a los de la Ingenierla como por ejemplo enEcologla, Economla, diversas áreas de 8iologla, Sicologla,etc.; con excelentes resultados. Los éxitos conseguidosderivan entre otros del hecho de que dichos camposencierran procesos claramente Identificables como decontrol, y, evidentemente también, del gran avance logradoen el desarrollo de la teorla del control.En este articulo nos ocuparemos de las aplicaciones de lateorla del control a la Economla, especlficamente a losmodelos macroeconómicos. El trabajo es básicamente unarecopilación de información relacionada con el tema, ypretende despertar el interés por él en nuestro medio. Alfinal se presenta una blbliografla extensa.

WOLF KERPEL S.IngenieroProfesor del Departamento de Ingenlerla EléctricaUniversidad Nacional

Pág. 27-37Ingeniería e InvestigaciónVolumen 4 NI! 1Trimestre 1 - 1986

TERMINOLOGIAInicialmente es importante y a la vez resultainteresante hacer una relación entre la termino-logía utilizada por los economistas y la utilizadapor los ingenieros de control, a través de la tabla1 .

ECONOMISTAS

TABLA 1

INGENIEROS DE CONTROL

Variables endógenas Variables de estado

Variables exógenas: Variables de entrada:Variables políticas Variables de controlVariables exógenas nocontroladas Variable de disturbio

Ecuaciones estructurales Ecuaciones de estado

Características básicas de los modelos económe-tricos [1].1} En general, un modelo macroeconométrico

dinámico es un sistema de ecuaciones simul-táneas, de diferencia, normalmente no linea-les, variables con el tiempo y estocásticas. Esesistema de ecuaciones, llamado por los eco-nomistas ecuaciones estructurales puede es-cribirse como:

x, = f(Xt, Xt-1• .u. Zt) + Et

donde:Xt : vector de variables endógenas (de

estado) en el tiempo t.lJt : vector de variables exógenas políticas

(de control) en t.Z, vector de variables exógenas no suje-

tas a control (disturbio) en t.Et vector aleatorio de residuos con media

cero y uniformemente distribuidos enel tiempo (ruido blanco)vector de funcionestiempo de caracterización del modelo.

Como puede apreciarse, el sistema es simul-táneo con respecto a Xt que aparece aambos lados de la Ec. (1 ), y por lo tanto debesolucionarse con el fin de obtener Xt ,da-

( 1 )

Ingenlerla e Investigación 27


dos Xt-1• Ut• Zt y Et . Este es un aspectoausente de la mayoría de modelos utilizadosen ingeniería.

2) Las funciones fi normalmente son no-lineales, pero monótonas.

3) Los modelos son normalmente muy grandes,a pesar de que con base en las identidades decontabilidad que relacionan las variablesendógenas, se puede reducir su tamañoeliminando algunas de menor importancia ypor tanto el número de ecuaciones. Sinembargo, al escribir el modelo como unsistema de ecuaciones de primer orden (for-ma normal) para efectuar los cálculos decontrol necesarios, es preciso introducir unagran cantidad de variables endógenas adicio-nales para eliminar aquellas que involucranretardos en el tiempo.

4) Los modelos están sujetos a una gran incerti-dumbre no sólo en los parámetros descono-cidos de las ecuaciones estructurales (1). sinotambién en la misma especificación de estasecuaciones. En el primer caso, la incertidum-bre es inherente a la estimación estadística deun gran número de parámetros utilizando unnúmero limitado de observaciones de seriesde tiempo. En el segundo caso, la incertidum-bre se debe principalmente a la insuficienciade la teoría económica en la especificación depatrones de respuesta en el tiempo y gradosde agregación adecuados para diferentesvariables económicas. Dados estos dos tiposrje incertidumbre los "fabricantes" de mode-I,)S econométricos han prestado mucho me-nos atención al problema de los errores demedición con el cual tratan específicamentelos ingenieros de control.

Usos de los modelos econométricosLos modelos econométricos se utilizan paraefectuar pronósticos y deducir las consecuenciaseconómicas de la fijación de trayectorias alterna-tivas de las variables políticas Ut Por lo tanto,

son herramienta fundamental en la elaboraciónde planes de desarrollo económico.A continuación se presentan 2 sencillos ejemplosde modelos macroeconómicos lineales.

Ejemplo 1Modelo tipo Harrod para la economía de un país [2]Variables endógenas:Y« = ingreso nacional o producto nacional en

el período KCk = consumo en el período KIk inversión en el período KK = período de tiempo considerado. K = 0, 1,

2, ...variable política (de control):

Gk = gasto gubernamentalLa ecuación básica de contabilidad es:Yk = Ck + Ik + Gk (2)

sea m la propensión marginal al consumo (Om 1).entonces,Ck = mYk (3)Sea r el factor de crecimiento, entonces:Yk+1 - Yk = rlk (4)

Después de un poco de álgebra se llega a laecuación estructural:Yk+1 = [1 + r(1 - m)]Yk - rGk (5)

Que sólo tiene una variable endógena (Yk). Tantola inversión como el consumo pueden obtenersecomo salidas del sistema utilizando las expresio-nes (3) y (4).En la figura 1 se muestra el diagrama de bloquesdel sistema.

Ejemplo 2Modelo tipo Samuelson para la economía de un

país [2]Este modelo está conformado por las siguientesecuaciones:

(6)

(Identidad básica de contabilidad)

r

m..__----t1 + r (1- m)1-----1

6: denota un período de retardo(1-m): es la propensión marginal al ahorro.

IK

28 Ingenieria e Investigación

FIGURA 1. Modelo tipo Harrod para la economia de un pais.


Mientras que en el modelo anterior. el consumoen un período es directamente proporcional alingreso en ese mismo período a través de lapropensión marginal al consumo. en este modeloes directamente proporcional al ingreso delperíodo anterior también a través de la propen-sión marginal al consumo.Manipulando las ecuaciones (6). (7) Y (8) se llegaa las siguientes:Ck+1 = mCk + ml, + mGk (9)Ik+1 = (m - 1)Ck + urnl, + umGk (10)En la figura 2 se muestra el diagrama de bloquesdel sistema.

Solución de las ecuaciones estructuralesno lineales

A partir del modelo generalizado dado por la eco(1) para poder efectuar una proyección de Xt .

dados Xt-1. Ut y Zt ; usualmente se resuelveeste sistema de ecuaciones. utilizando el métodode Gauss-Siedel con X, . igual a su esperanzacero. Algunos ingenieros se sorprenderán al leeresto. pues es bien sabido que en gran cantidad de

FIGURA 2. Modelo tipo Samuelsonpara la economía de un país.

(8)

aplicaciones prácticamente se ha desechado estemétodo y se utilizan otros procedimientos basa-dos en el método de Newton Raphson. Sinembargo. es importante recordar que la conver-gencia del método de Newton está altamentecondicionada al punto inicial de iteracción y queIgualmente surgen problemas de estabilidad conlos llamados sistemas de ecuaciones mal condi-cionados. La experiencia ha demostrado que elmétodo de Gauss-Seidel. se comporta bien paracasi todos los modelos eco no métricos [1]

Ejemplo 3A continuación se presenta un modelo de laeconomía de los Estados Unidos entre los años1955 a 1968 realizado por Pindyckytomado de lareferencia [3]. El modelo es lineal. se basa enperíodos trimestrales (como es costumbre en esepaís) y consta de 3 variables de control (exóge-nas) y 10 variables de estado (endógenas).Además. para escribir el modelo en la formanormal se requieren 18 variables de estadoadicionadas por las razones expuestas anterior-mente.En la tabla 2 se presentan las variables endóge-nas. en la 3 las variables políticas y en la 4 lasvariables exógenas adicionales.

TABLA 2Variables endóaenas

Símbolos Definición Unidades

X11kl = e,X21kl = INk

X31kl = IVk

~Ikl = CI4k

Xslkl = Ik

Xelkl = I~

X71kl = PkXelkl = Dk

X91kl = Sk

X10lkl = IDk

Consumo personalInversión no en vrviendalnversrón en v.viendaCambio en mventanosTasa de Interés a corto plazoTasa de Interés a largo plazolndice de preciosDesempleoSalario por horaIngreso después de Impuestos

Miles de millones de dólaresGiqadó lar es (10 dólares)GiqadótaresGiqandólar esPorcentajePorcentajeAño base 1958PorcentajeDólaresGiqandó lar es

Ingeniería e Investigación 29


TABLA 3Variables políticas

Simbolos Definición Unidades

U'lkl = IMPkU21kl = GkU31kl = COMk

Impuestos recogidosGasto gubernamentalCambio en la oferta monetaria

(glgadólares) GDGDGD

TABLA 4Variables ex6genas adicionales

Definición Ecuación equivalente

X"lkl = c,., X'lIkl = XlIk-lIX'21kl = INVk-1 X'21kl = X21k-1IX'31kl = ci.., X'31kl = X.lk-lIX'41kl = Ik-, X'41kl = ~Ik-"X'51kl = Ik-2 X'51kl = X'4Ik-1IXlIllkl = 14-, XlIlIkl = Xelk-lIX17lkl = 14-2 X17lkl = X'Slk-lIX'81kl = ILk-3 X'81kl = X17lk-lIX,elkl = 14-4 X'91kl = X'8Ik-1IX20lkl = 1Lc.-5 X20lkl = XlIllk-lIXz'lkl = Pk-, X211kl = X71k-1IX221kl = Pk-2 X221kl = Xzllk-lIX231kl = o.., Xz31kl = Xelk-lIXz41kl = Dk-2 X241kl = Xz31k-1IX251kl = Dk-3 Xz51kl = X241k-1I'X28lkl = IDlk-, X281kl = X'Olk-',X271kl = IDlk-2 Xz71kl = Xz6Ik-',Xzlllkl = IDlk-3 X281kl = Xz71k-1I

El modelo asume tasa de impuestos sobre el PNB(Producto Nacional Bruto). del 15% Y constantepara el período de estudio. Además. se tiene laidentidad de contabilidad:PNBk = Ck + INVk + IVk + Clk + Gk (11 )Además de las tres variables de control existenotras dos variables exógenas. pero éstas no soncontrolables. o sea son disturbios; la primeravariable de disturbuio Z'¡k) es una nueva variableauxiliar cuyo valor es unitario:Z'(k) = 1 para todo K (1 2)La segunda variable disturbio Z'¡k) se relacionacon el PNB potencial y está dada por:Z2(k) = 0.85 PNBk potencial (13)Las ecuaciones estructurales correspondientes alas 10 variables exógenas básicas son:

X1Ik) = h,.7X7Ik) + h,.1OX,O(k) + f,.,X,(k-,) ++ f,.7X7(k-,) + f,,9X9(k-,) + h,1OX1O(k)++ K

",Z'¡k-,)

X2(k)= h2"OX,0(k) + f2,2X2(k-1) + f2,1OX1O(k-1)++ h,,2X,2Ik-,) + f2,,9X,9(k-,) ++ f2,20X20(k-1)+ f2,27X27(k-1)+ h,2SX2Slk-1I

X3(kl h3"OX,0(kl + h,3X3(k-1) + h,,4X,4(k-,) ++ h"SX,S(k-,1 + h,26X26(k-11 + K3"Z,(k-,)

X4(kl h4,1X'¡kl + h4,10X1O(kl+ f4,4X4(k-1) ++ f4,11X11(k-1) + f4,26X26(k-11++ K4"Z,(k-,)

30 IngenIería e Investigación

XS(k)= hS,7X7(k) + hS"OX,0(k) + fS,SXS(k-1)++ fS,7X7(k-1) + fS"OX,O(k-,) ++ gS,3U3(k-1) + KS"Z,(k-,)

Xs(k) he,SXs(kl + h6,1OX,0(k) + f6,6X6(k-1) ++ f6,26X26(k-1) + Ka" Zllk-lI

X71kl h7.aX'Olkl + h,7X7Ik-1I + h,9X9Ik-1I ++ h,'OX,Olk-lI t h,,3X,3(k-,) + k7,1Z'¡k-1) ++ k7,2Z2(k-1)

XS(k) hS,1OX,O(k)+ fS,SXa(k-1) + fS,9X9(k-1) ++ fS"OX,0(k-,) + fS,26X26(k-1) ++ KS,1Z'¡k-1) + KS,2Z2(k-1)

X9(k) = h9,10X1O(k)+ f9,9X9(k-1) + f9,1OX,O(k-,) ++ f9,22X22(k-1) + f9,2SX2S(k-1)+ K9,1Z'¡k-1)

X,O(k) = h,o"X'¡k) + h,o,2X2(k) + h1O,3X3(k)+ *+ h,o,4X4(k)+g,0" U'¡k-1) + g1O,2U2(k-1)(14)

entonces, en forma matricial las ecuaciones deestado se pueden escribir como:Xk = IHXk + IFXk-1 + G UJk-1 + IKZk-1 (1 5)que después de algunas manipulaciones puedellevarse a la forma normal:Xk+1 = IAXk + IBUJk + CZk ( 16)

donde: lA = {II - IHr'IFlB {II - IHr'(3e = {II - IHr'IK

11 = matriz identidad ( 1 7)

El modelo se diseñó con base en la experiencia ylas leyes económicas. Los coeficientes se deter-minaron utilizando técnicas de análisis de regre-sión de series de tiempoSi se comparan los datos obtenidos de la soluciónde las ecuaciones (16) con los reales. se observaque en algunos casos y períodos. las proyeccio-nes dadas por el modelo son excelentes. mientrasque en otros no. Esto es explicable si se tiene encuenta que:1) El autor del modelo lo forzó a que fuera lineal

e invariable con el tiempo lo cual ciertamenteda una gran simplicidad. pero no en lo másadecuado para modelos econométricos degran escala. La ecuación (1) que es reperesn-tativa. de los modelos actuales no es lineal yes de parámetros variables con el tiempo.

2) La economía de los EE.UU. se caracterizó porun conjunto de políticas fiscales yeconómi-cas entre otras, nada uniformes durante el

Para los datos de los parámetros ver la ref. 131


437 Consumo ($US*109)

410

380

352Del modelo

323

295

266K-~~~~~~'_~~~~ __~'_~1955 1960 1965 1968

FIGURA 3. Consumo.

5.326 R(Porcentaje)

4.600

3.870

3.145

2.400

1700

0.9601955 19651960 1968

FIGURA 4. Interés a corto plazo.

119.1(Indice de precios)P

114.3Normalizado: primer

Trimestre de 1958 =109.5

1955 1960 19681965Tiempo

FIGURA 5. Indice de precios.

período de estudio y hubo una recesión entrelos años 58 y 59 que obviamente el modelono toma en cuenta, dando resultados muydiferentes de los reates. especialmente en loreferente a la inversión en vivienda, las tasasde interés y el desempleo. El mejor desempe-ño del modelo se alcanza para los años 61 a66. Posteriormente, la economía de los EE.UU.tomó un camino mucho más inflacionario,talvez disparado por la guerra de Vietnam, yde nuevo, el comportamiento del modelo sedistancia de la realidad. En las figuras 3, 4,5Y 6 se puede apreciar lo expuesto.

D (Tasa de desempleo)7.4%

6.5%

5.7%

4.9%

4.0%

3.2%

2.3% '--....L..-.I._.._..L..-_._--L_L..-....L-_._--L_..__~;...¡_,..

1955 1960 1965 1968FIGURA 6. Tasa de desempleo.

140P (Indice de precios)

130Normalizado 1958 = 100

120

110

100

Real90

80 L..-~~~~~~~~~~~~~~1955 1960 1965 1968

FIGURA 7. Indice de precios

D x 100%(Tasa de desempleo)

8%

6%r,\ -,

\\ '"\./ \ (

'v

4%

2%

o-2% '--~-.I.~L..-~~_L-....L.._'__"~....L-_'_~_~

1955 1960 1965 1968

FIGURA 8. Tasa de desempleo.

Un modelo econométrico también es útil (comocualquiera de un sistema de control) paraestudiar la sensibilidad de algunas (o todas) lasvariables endógenas a cambios en las variablesexógenas. En las figuras 7 y 8 se observa elefecto que tendría un aumento del gasto guber-namental entre los años 60 a 68 sobre el índicede precios agregado.

Ejemplo 4Optimización de la economía de un país productor

de petróleo. Aplicación del control óptimo [4]Este modelo [4] se desarrolló para estudios de

Ingenieria e Investigación 31


planeación de la economía de Kwait. un pequeñopaís que depende casi totalmente de las rentas dela exportación del petróleo. El ajuste de lasvariables políticas se realiza con base en laoptimización de un índice de comportamiento. Elvalor presente del ingreso futuro durante unperíodo de 50 años, basado en la selección de 5políticas sucesivas de 10 años cada una.El modelo divide la economía del país en dossectores: el petrolero y el no petrolero; caso típicode un país poco desarrollado industrialmente quedepende-de la exportación de un solo producto.Asume que el superávit se utiliza enteramente eninversiones en países más desarrollados.Para la optimización se utilizan dos variables decontrol: la tasa de producción de petróleo y la tasade Inversión en el sector petrolero.

Estructura del modeloLa población sigue un patrón de crecimientoexponencial con una disminución lineal de la tasade crecimiento. El objetivo socioeconómico esmantener el ingreso per cápita en términos reales,constante durante el tiempo de estudio (elingreso per cápita de Kuwait es uno de los másaltos del mundo).

El sector petroleroLas reservas de petróleo se mantienen en produc- .tividad parcial. Inherentemente, la producciónplaneada se restringe por problemas técnicos al20% de las reservas productoras Estas últimas,pueden incrementarse por inversiones en elsector. La inversión está limitada a un porcentajedel ingreso nacional. Se asume que las necesida-des de inversión están inversamente relacionadascon la porción no productiva de las reservas poruna función no lineal basada en las observacio-nes. Esta función se utiliza para. el cálculo delmultiplicador de desarrollo petrolero (M DP) Elcosto de producción por barril (CPB) sique unarelación Inversa no lineal similar.Se asume que el consumo interno de petróleo percápita crece linealmente desde un nivel bajoinicial, hasta un valor alto final. Se asume tambiénun precio fijo (en términos reales) para las ventasinternas de petróleo como una política de bienes-tar.El precio del petróleo para exportación es uno delos parámetros de planeación investigados en elestudio. Se asume que (en términos reales) sigueun trayecto lineal hasta alcanzar varios nivelesplaneados (el estudio se realizó en 1981).

Costos deGanancias = ventas depetróleo producción de las

ventas internasy exportaciones.

El sector no petroleroEl modelo ilustra el creciente interés de los paísesmenos desarrollados, que dependen fuertemente32 Ingenieria e Investigación

de la exportación de un solo producto, dealcanzar un desarrollo socioeconómico balan-ceado. Por lo tanto, se fija como una meta que lafracción del consumo privado satisfecha por laproducción no petrolera doméstica, debe tripli-carse al final del período contemplado. Para ellose requiere un aumento en la inversión en elsector no petrolero para ensanchar su capacidadproductora. Se asume un margen de ganancia del10% para contabilizar el Ingreso Nacional (IN)Los servicios del Estado suministran, una porcióndel ingreso no monetario: educación, salud,transporte y otros. La porción monetaria delsalario y la renta crean consumo y ahorros. Lassuposiciones anteriores se plasman en las si-guientes identidades:Consumo privado = salarios y renta - ahorro

privadoConsumo total = consumo privado + servicios

del gobiernoIngreso personal bruto = consumo total +

ahorro privadoIngreso Nacional salarios y renta +

ganancias + interésdonde:Ganancias = ganancias del sector petrolero +, ganancias del sector no petrolero'Interés = interés de inversiones externasEl Ingreso Neto para Inversión (IIN) es el remanen-te del Ingreso Nacional, después de llevar a cabolos planes de desarrollo. Estos últimos incluyenlos gastos en el consumo total e inversión en lossectores petroleros y no petroleros:IIN = IN - (CT + ISNP + ISP) (18)donde:

CT: consumo totalISNP: inversión en el sector no petroleroISP: inversión en el sector petrolero

Indice de optimizaciónEl índice de optimización (J) mide el desempeñode los planes de producción e Inversión enpetróleo. El índice refleja el valor presente delingreso y recursos futuros, midiendo el Ingresoneto acumulado y las reservas productoras res-tantes.

(19)donde:J = VP - IF valor presente del ingreso futuro

incluyendo las reservas productivas.

V = factor de penalización del uso de lasreservas.Es uno de los parámetros de planea-ción.

J, valor presente del ingreso neto futuroal cual se le aplica una tasa dedescuento social S.valor presente de las reservas pro-ductoras que queda a las generacio-


nes futuras al final del tiempo deestudio (RP) a la cual se le aplica latasa de descuento social S. tomandoen cuenta la inflación (r).

50J1 = I IINI!) * e-st

t=O(20)

J2 = RPI50l PFP * e-50I,-s) (21 )RPP(K) = Reservas Productoras del Petróleo

año KPFP = Precio final del petróleo

Implantación del modeloEl modelo se programó para simulación encomputador. Se utilizó una rutina de optimizaciónpara establecer programas de producción einversión que maximicen el índice seleccionado.Esta rutina encuentra los valores óptimos (duran-te cada período de 10 años) de las variablespolíticas A y B definidas como:

APolítica de producción petrolera

Max.~_~_~_~__~~~~~~-----------

Alto

Med.

l3ajo

Min. ¡_-----------~~~~~~~

o 20 5010 30 40Tiempo (años)

Ul

~.~

20<ti.cQ)'O 16UlQ)e.2 12.ce-o 8oo:;¡'O 4o....e,

OO 10

Producción petrolera

IPe-- 9000-12000---15000

4020 30 50Tiempo (años)

PPA = RPP y B ISP= --¡¡¡r--

PP: = Producción de Petróleo

El tiempo de estudio (50 años) se dividió enperíodos de 10 años. durante los cuales A y Bpermanecen fijos tales que maximicen ajo A partirde ellos se calcula la producción de petróleo y lainversión en el sector petrolero óptimas.

Análisis de resultadosA partir de diferentes conjuntos de parámetros deplaneación. se obtuvo los programas y políticaspara la prod ucción e inversión óptimos. así comolos niveles del índice de planeación J.La corrida de referencia utiliza los siguientesparámetros de planeación.IPe = $12.000.00. Ingreso per cápita (dólares)PFP = $30.00 precio final del petróleo (dólares).

B Política de inversión petrolera

-II

Max.

Alto

Med.

Bajo

Min.

o 10 20 30 40 50Tiempo (años)

Inversión petrolera

(i) 20Q)....~-o 16'OIUl

IPeQ)e 12 _ 9000.2.c - 12000

8 ---15000e-oUl....Q) 4>e

OO 10 20 30 40 50

Tiempo (años)

IPe ($) 9000 12000 15000

J($ X 1010) 633 613 603

FIGURA 9. Efectos del cambio en el IPe



v 2.5 penalización del uso de lasreservas

Efectos de cambios al ingreso per cápita (lPC)En la figura 9 se muestran los efectos asociados alcambio del IPe.Se observa que los efectos en la producción sonmenores para diferentes patrones de las políticasy niveles de inversión.Se observa el compromiso existente entre el nivelde vida medio. medido por ellPC y el legado delpaís a las futuras generaciones.

Efecto de cambiar el precio final del petróleo deexportación (PFP)

En la figura 10 se observa los efectos asociadoscon el cambio en el precio final del petróleo deexportación. Existe una relación directa entre eseprecio final y el índice de Planeación. Un precio

Alto

Política de producción petrolera

Max.~==~======,~----~IIIIIIIIL _

Med.

BajoIIL.Min.

o 10 502' 30 40Tiempo (años)

Cñ~.¡: 20....ro.oQl"O 16CIlQlc:o 12.oc: 8'ooo:J

4"Oo....o,

OO

Producción petrolera

PFP_ 30-- 22.5

10 20 4030 50Tiempo (años)

final más bajo conlleva a menor producción einversión durante los 50 años.

Efecto del cambio en el factor de penalizaciónde las reservas productoras (V)

Para diferentes valores de V se observa (ver fig ura 11 ).

v Jl v . J2 J = Jl + V' J2

o1

2 55.0

620618606537

620621613682

o37

145

Max.

Alto .... .._...__

Med.

Bajo

Min.

en 20::JiR-CIl 16Qlc:.2iD 12c:-o 8~Ql>c: 4

OO

($ X 10'°)

varía inversamente con Vvaría directamente con Vtiende a ser casi constante

Política de inversión petrolera

IIIIII..__----------------r~~-=I II IL J

O 20 30 4010 50Tiempo (años)

Inversión petrolera

PFP__ 30-- 22.5

10 20 4030 50Tiempo (años)

PFP ($) 22.5 30.0

J rs *10'°) 578 613


FIGURA 10. Efectos del cambio en el PFP


l' Política de producción petrolera l'Política de inversión petrolera

A B

Max. Max.-..

IAlto I Alto

I 1----I I

Med. I Med. II III I

sajo , I Bajo ..... II

~======-- ===-JIMin._ L_ Min._

O 10 20 30 40 50 O 10 20 30 40 50Tiempo (años) Tiempo (años)

(j) /~ /'C 20 /... 20 W /l1l.o :::) IQ) * iu 16 CI) 16 I

V Q) V ICI) c:Q).2 Ie O O

.2 14 1 .o 14 1 I:.o 2.5 2.5 I

c: Ie '0 5 I'0 8 5 .¡¡; 8... Io Q)

Io >::J e Iu 4 4e __ -a.. ~./ I

O 10 20 30 40 50 O 10 20 30 40 50Tiempo (años) Tiempo (años)

V O 1 2.5 5

J$ 620 E10 621 E10 613 E10 682 E10

FIGURA 11. Efectos de cambiar V

La relación inversa entre el valor social V, asigna-do a las reservas restantes y J1 confirma que unmayor éntasis en mantener las reservas restantes

enterradas redunda lógicamente en un menoringreso neto.

AAPBBCINBEXBEXPBNPBPCBCBEXCIPCCINCPCTEXP

DICCIONARIO DE VARIABLESFactor de producción fuera de las reservasAhorro privadoFracción de IN dedicado a ISPBeneficios por consumo internoBeneficios de exportaciónBarriles exportadosBeneficios del sector no petroleroBeneficios del sector petroleroCosto por barrilCosto por barril exportadoConsumo interno de petróleoCosto del consumo interno de petróleoConsumo privadoConsumo totalValor de las exportaciones



GillEIIEIINIISNPINIPBIPCISPISPCMDPPDVPEOPEXPFPPINPOBLPPRORPPRSERT5SGSYRTGTI%TllTI2TVSDVCIVPFIVPIF

VSD

Gastos internos del ingresoInversiones externasIntereses de inversiones externasIngresos destinados a inversión externaInversión interna para el sector no petroleroIngreso nacionalIngreso personal brutoIngreso per cápitaInversión para desarrollo del sector petroleroInversión para desarrollo del sector petrolero en dólares corrientesMultiplicador del desarrollo petroleroPrecio implícito de aumentoPrecio de exportación en el año inicialPrecio de exportaciónPrecio de exportación de petróleo al final del períodoPrecio internoPoblaciónProducción de petróleoReservas inicialesReservas en producción de petróleoReservas sin explotarTasa de reservas remanentesServicios GobiernoSalarios y rentaTasa de aumento de la poblaciónTasa de inflaciónTasa de interés para inversiónTasa de intereses para tomar préstamosTasa de descuento del valor socialValor del consumo internoValor presente del flujo de ingresos futurosValor presente de los ingresos futuros para el valor total durante el período.Incluye las reservas.Valor social de descuento

Valores iniciales:GII(O) = 4E9IE(O) = 10E9IN(O) = 12E9PEO = 15.0PDV(O) = 1

POBL(O) = 1E6RO(O) = 87E9RPP(O) = 33E9Tll = 10%TI2=13%

TI% = 6.6%TVSD = 7.5%VPFI = OVSD(O) = 1

IPC = 9000. 12000. 15000PFP = 22.5. 30.0V = O. 1. 2.5. 5.

ECUACIONES DEL MODELOAP(K) = O 1 * IPB(K)BCIN(K) = VIC(K) - CCIN(K)BEX(K) = EXP(K) - CBEX(K)BNP(K) = 0.2 * GII(K)BP(K) = BEX(K) + BCIN(K)Si RT5 > = 0.5 entoncesCB(K)= 0.75sino

CB(K) = 12.0 - 22.5 * RT5(K-l)CBEX(K) = CB(K) * PEXP(K) * PDV(K-l)CCIN(K) = CB(K) * CIP(K) * PDV(K-l)CIP(K) = POBL(K-l) * (10 + 0.1 * K)CP(K) = 0.7 * IPB(K)CT(K) = CP(K) + SG(K)EXP(K) = PEX(K) * PEXP(K) • PDV(K-l)GII(K) = CP(K) * (1/6 + K/150)IE(K) = IE(K-l) + IIN(K)Si lE >O entonces IIE(K) = IE(K-l) * TllSi lE < O entonces IIE(K) = IE(K-l) * TI2IIN(K) = IN(K) - CT(K) - IISNP(K) - ISPC(K)

IISNP(K) = 4 * (GII(K) - GII(K-l))IN(K) = IIE(K) + SYR(K) + BP(K) + BNP(K)IPB(K) = POBL(K-l) * IPC * PDV(K-l)ISP(K) = B(K) * IN(K-l )/PDV(K-l)ISPC(K) = ISP(K) * PDV(K-l)MDP(K) = RSE(K) + RSE(K) **2 + RSE(K) **3PDV(K) = PDV(K-l) + TI% • PDV(K-l)PEX(K) = PEO + (PFP - PEO) • K/50PEXP(K) = PP(K) - CIP(K)PIN(K) = PEOPOBL(K) = POBL(K-l) + TG(K)' POBL(K-l)PP(K) = A(K) * RPP(K-l)RSE(K) = RT5(K-l) - (PPR(K-l )/RO)RT5(K) = RT5(K-l) - PP(K)/ROSG(K) = 0.2 • IPB(K)SYR(K) = CP(K) + AP(K)TG(K) = 0.07 - 0.001 * KVIC(K) = PIN(K) • CIP(l) • PDV(K-l)VPFI(K) = VPFI(K-l) + IIN(K) • VSD(K-l)VPIF = VPFI(50) + V • PFP • RPP(50) • PDV(50)



* VSD(50)VSD(K) = VSD(K-l) - TVSD * VSD(K-l)

CONCLUSION y RECOMENDACIONLas técnicas de la teoría del control se puedenaplicar positivamente a los modelos macroeco-nómicos. El éxito radica en que los ingenieros decontrol hace mucho tiempo que trabajan en losproblemas inherentes al control de sistemas degran escala. El ejemplo obvio es el de los sistemasde potencia eléctrica que en el departamento seha trabajado ampliamente.

La recomendación (también obvia) es que seconforme un equipo de trabajo para explotar laaplicabilidad de la teoría del control a la Econo-mía, integrado por ingenieros especializados encontrol, economistas especializados en econome-tría y posiblememente estadísticas y matemáti-cas.

AgradecimientosA Ricardo Pardo y Armando Salazar por sucolaboración y a Eduardo Machado por suestímulo.

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Ingeniería e Investigación 37

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