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Forma normal de Smith Factores invariantes Sistemas de ecuaciones lineales diofanticas Grupos abelianos finitamente generados Grado de anillos afınes Grado de ideales binomiales asociados a lattices
Aplicaciones de la Forma Normal de Smith deuna Matriz Entera
Rafael Heraclio Villarreal Rodrıguez
Departmento de MatematicasCINVESTAV-IPN, Mexico D.F.
XLV Congreso Nacional Sociedad Matematica MexicanaUniversidad Autonoma de Queretaro
28 de octubre al 2 de noviembre de 2012
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Forma normal de Smith Factores invariantes Sistemas de ecuaciones lineales diofanticas Grupos abelianos finitamente generados Grado de anillos afınes Grado de ideales binomiales asociados a lattices
Bosquejo
1 Forma normal de Smith
2 Factores invariantes
3 Sistemas de ecuaciones lineales diofanticas
4 Grupos abelianos finitamente generados
5 Grado de anillos afınes
6 Grado de ideales binomiales asociados a lattices
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Forma normal de Smith Factores invariantes Sistemas de ecuaciones lineales diofanticas Grupos abelianos finitamente generados Grado de anillos afınes Grado de ideales binomiales asociados a lattices
Sea A una matriz no-cero de orden m × n con entradas en Z ysea r el rango de A. Esta matriz se escribe como:
A = (aij) =
a11 · · · a1n...
......
am1 · · · amn
Operaciones Elementales(I) Permutar filas (columnas).
(II) Multiplicar una fila (columna) por −1.(III) Multiplicar una fila (columna) por un entero y sumar a otra
fila (columna).
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Forma normal de Smith Factores invariantes Sistemas de ecuaciones lineales diofanticas Grupos abelianos finitamente generados Grado de anillos afınes Grado de ideales binomiales asociados a lattices
Teorema (Forma normal de Smith)Usando operaciones elementales la matriz A se puede reducira una matriz diagonal:
D =
d1 0 0 · · · 0 0 · · · 00 d2 0 · · · 0 0 · · · 0...
......
......
......
...0 0 0 · · · dr 0 · · · 00 0 0 · · · 0 0 · · · 0...
......
......
... · · ·...
0 0 0 · · · 0 0 · · · 0
= diag{d1, . . . ,dr ,0, . . . ,0},
donde di > 0 y di divide a di+1 para toda i.
La matriz D es la forma normal de Smith de A y d1, . . . ,drson los factores invariantes de A.
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DemostracionSea δ(A) = min{|aij | : aij 6= 0, 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n}.
(1) Podemos suponer que a11 = δ(A).(2) Si a1k 6= 0 para algun k > 1, por algoritmo de la division
a1k = bka11 + b1k , donde 0 ≤ |b1k | < a11.(3) Multiplicando la primera columna de A por −bk y
sumandola a la columna k obtenemos:
B =
a11 · · · −bka11 + a1k = b1k · · · a1n...
......
......
am1 · · · −bkam1 + amk = bmk · · · amn
una matriz equivalente B = (bij) donde b1k = 0 o bienb1k 6= 0 y δ(B) ≤ |b1k | < a11 = δ(A). Si b1k = 0, repetimoseste paso con otro elemento no-cero de la primera fila. Sib1k 6= 0, regresamos al paso (1) con la matriz B.
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(4) Repitiendo este proceso tantas veces como sea necesarioy usando un proceso similar sobre la primera columnaobtenemos una matriz equivalente:
C =
c11 0 · · · 00 c22 · · · c2n...
......
0 cm2 · · · cmn
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(5) Si c11 no divide a algun cij , sumando la fila i a la fila 1obtenemos
C′ =
c11 ci2 · · · cin0 c22 · · · c2n...
......
0 cm2 · · · cmn
y regresamos al paso (1).
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(6) Aplicando pasos (1) a (5) repetidamente obtenemos:
E = (eij) =
e11 0 · · · 00 e22 · · · e2n...
......
0 em2 · · · emn
donde e11 divide a cualquier entrada eij .
(7) Definimos d1 := e11 y se regresa al paso (1) con la matriz:e22 · · · e2n...
...em2 · · · emn
2
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Ejemplo
A = (a11, . . . ,a1n) ∼ D = (mcd{a11, . . . ,a1n},0, . . . ,0)
Ejemplo
A = (12,−5) ∼ (−5,12) ∼ (5,12) ∼ (5,2) ∼ (2,5) ∼ (2,1)∼ (1,2) ∼ (1,0) = D.
I2 =
(1 00 1
)→(
0 11 0
)→(
0 1−1 0
)→ · · · →
(−2 5−5 12
)= Q
AQ = (12,−5)
(−2 5−5 12
)= (1,0) = D
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Ejemplo
A =
(5 0 11 −2 3
)∼(
1 2 35 0 1
)∼(
1 0 05 −10 −14
)∼(
1 0 00 −10 −14
)∼(
1 0 00 10 14
)∼(
1 0 00 10 4
)∼(
1 0 00 4 10
)∼(
1 0 00 4 2
)∼(
1 0 00 2 4
)∼(
1 0 00 2 0
)= D
I2 =
(1 00 1
)→(
0 11 0
)→ · · · →
(0 1−1 5
)= P
I3 =
1 0 00 1 00 0 1
→1 0 0
0 −1 00 0 1
→ · · · →1 0 −1
0 −3 70 −2 5
= Q
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Aop.elem. fila−→ B
⇒ B = EA
Inop.elem. fila−→ E
PAQ =
(0 1−1 5
)(5 0 11 −2 3
)1 0 −10 −3 70 −2 5
=
(1 0 00 2 0
)= D
CorolarioExisten matrices enteras invertibles P y Q tales que
PAQ = diag{d1, . . . ,dr ,0, . . . ,0},
di > 0 para 1 ≤ i ≤ r y di divide a di+1 para 1 ≤ i ≤ r − 1.
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Considere el sistema de ecuaciones lineales
Ax = b, (∗)
donde b = (b1, . . . ,bm)t es un vector entero y x = (x1, . . . , xn)t .
¿Como se determinan las soluciones enteras de este sistema?
Puesto que PAQ = D, el sistema Ax = b se re-escribe como
(P−1D)(Q−1x) = b ⇒ Dy = Pb, donde Q−1x = y
Por tanto para determinar las soluciones enteras del sistemaAx = b es suficiente resolver el sistema
Dy = Pb (∗∗)
y hacer x = Qy .
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EjemploDeterminar las soluciones enteras de la ecuacion
12x1 − 5x2 = 7
Este sistema se puede escribir como Ax = b, donde
A = (12, −5), x = (x1, x2)t , y b = (7)
Recordar que PAQ = D, donde
P = (1), Q =
(−2 5−5 12
), D = (1, 0).
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Dy = (1, 0)
(y1y2
)= Pb = (1)(7) = (7)
∴ y1 = 7, y2 ∈ Z. De la ecuacion
x =
(x1x2
)= Qy =
(−2 5−5 12
)(y1y2
)se obtiene que las soluciones enteras de la ecuacion lineal12x1 − 5x2 = 7 son:
x1 = −14 + 5y2
x2 = −35 + 12y2, y2 ∈ Z.
Comprobando: Si y2 = 0, se tiene
12(−14)− 5(−35) = −168 + 175 = 7.
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EjemploDeterminar las soluciones enteras del sistema
5x1 + x3 = 1x1 − 2x2 + 3x3 = −11
Este sistema se puede escribir como Ax = b, donde
A =
(5 0 11 −2 3
)y b =
(1−11
)Recordar que PAQ = D, donde
P =
(0 1−1 5
), Q =
1 0 −10 −3 70 −2 5
, D =
(1 0 00 2 0
)
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Dy =
(1 0 00 2 0
)y1y2y3
= Pb =
(0 1−1 5
)(1−11
)=
(−11−56
)
∴ y1 = −11, y2 = −28, y3 ∈ Z. De la ecuacion
x =
x1x2x3
= Qy =
1 0 −10 −3 70 −2 5
y1y2y3
se obtienen las soluciones enteras del sistema Ax = b:
x1 = −11− y3
x2 = 84 + 7y3
x3 = 56 + 5y3, y3 ∈ Z.
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∆r (A) = mcd de los r -menores de A.
Teorema (I. Heger)
Sea b ∈ Zm un vector columna tal que rango(A) = rango([A b]).Entonces, el sistema
Ax = b
tiene una solucion entera si y solo si ∆r (A) = ∆r ([A b]).
CorolarioLa ecuacion lineal Diofantina
a11x1 + · · ·+ a1nxn = b1
tiene solucion entera si y solo si mcd(a11, . . . ,a1n) divide a b1.
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Teorema (Grupos abelianos finitamente generados)
Sean a1, . . . ,am las filas de A y sean d1, . . . ,dr los factoresinvariantes de A. Entonces
Zn/〈a1, . . . ,am〉 ' Z/(d1)× · · · × Z/(dr )× Zn−r
' Zd1 × · · · × Zdr × Zn−r
DefinicionSean L = 〈a1, . . . ,am〉 y M = Zn/L.La parte de torsion de M es T (M) := Zd1 × · · · × Zdr .La parte libre de M es F (M) := Zn−r .
ObservacionT (M) = (0)⇔ di = 1 para todo i ⇔ M es libre.F (M) = 0⇔ rango(M) = n⇔ T (M) = M ⇔ M es grupo finito.
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Corolario
∆r (A) = |T (Zn/L)|.
Demostracion: |T (Zn/L)| = d1 · · · dr . Por otra parte PAQ = D ycomo ∆r (A) es invariante bajo operaciones elementales,obtenemos:
∆r (A) = ∆r (PAQ) = ∆r (D) = d1 · · · dr . 2
CorolarioSi n = m y det(A) 6= 0, entonces
|Zn/L| = |det(A)|.
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TeoremaSi a1, . . . ,am son linealmente independientes, entonces
(a) m!vol(conv(0,a1, . . . ,am)) = ∆m(A).
(b) Si n = m, entonces m!vol(conv(0,a1, . . . ,am)) = |det(A)|.
(c) Zn ∩ (R+a1 + · · ·+ R+am) = Na1 + · · ·+ Nam ⇔ ∆m(A) = 1.
Ejemplo
(Comprobando (b)): Sea A la matrix identidad, i.e., a1 = (1,0) ya2 = (0,1). Entonces conv(0,a1,a2) es un triangulo rectangulo conbase y altura 1 y con area/volumen igual a 1/2.
(Ilustrando (a) y (c)) Sea A = (12,−5) = (a1). Entonces conv(0,a1)es un segmento de linea en R2 (que tiene area 0) pero por (a) tenemos1!vol(conv(0,a1)) = ∆1(A) = 1 y por (c) tenemosZ2 ∩ R+(12,−5) = N(12,−5).
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Sea S = K [t1, . . . , tn] un anillo de polinomios con coeficientesen un campo K y sea I un ideal de S.
Sea ` ∈ N, sea S≤` el K -espacio vectorial de polinomios de Sde grado ≤ ` y sea I≤` = I ∩ S≤`. La funcion
HI(`) = dimK (S≤`/I≤`)
es llamada la funcion de Hilbert de S/I. Esta funcion es centralen algebra conmutativa y en geometrıa algebraica.
TeoremaExiste un unico polinomio
hI(x) = λdxd + · · ·+ λ1x + λ0
con λi ∈ Q para todo i tal que hI(`) = HI(`) para `� 0.
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DefinicionEl entero positivo (d !)λd es el grado de S/I y d es la dimension deKrull de S/I.
Ejemplo
Sea S = Q[t1] y sea I = (0). Entonces:
Q[t1]≤i = Q⊕Qt1 ⊕ · · · ⊕Qt i1⇒ HI(i) = i + 1 ∀ i ⇒
grado(S/I) = grado(S) = 1.
Como ejercicio probar que grado(Q[t1, . . . , tn]) = 1.
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Ejemplo
Sea S = Q[t1] y sea I = (td1 + · · ·+ t1 + 1).
Denotamos las clase de t i1 en S/I por t i
1.
td1 + · · ·+ t1 + 1 = 0⇒ t i
1 ∈ Q1⊕Qt1⊕ · · ·⊕Qtd−11 para i ≥ d −1
Para i ≥ d − 1, se tiene Q[t1]≤i/I≤i = Q1⊕Qt1 ⊕ · · · ⊕Qtd−11
Por tanto dimQ(Q[t1]≤i/I≤i) = d para i ≥ d − 1⇒ grado(S/I) = d .
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Un binomio de S es un polinomio de la forma tb − tc , dondeb, c ∈ Nn, y donde, si b = (b1, . . . ,bn) ∈ Nn, definimos
tb = tb11 · · · t
bnn ∈ S.
Un ideal binomial es un ideal generado por binomios.
Dado c = (ci) ∈ Nn, podemos escribir c = c+ − c−, donde c+ yc− son vectores no-negativos.
DefinicionUn subgrupo L de Zn es llamado un lattice (enrejado). Un ideallattice es un ideal de la forma
I(L) = ({tc+ − tc− | c ∈ L}) ⊂ S
para algun lattice L ⊂ Zn.
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Forma normal de Smith Factores invariantes Sistemas de ecuaciones lineales diofanticas Grupos abelianos finitamente generados Grado de anillos afınes Grado de ideales binomiales asociados a lattices
TeoremaSi D = kerZ(A) y v1, . . . , vn son las columnas de A, entonces
|T (Zm/〈v1, . . . , vn〉)| grado(S/I(D))
= (rango(A)!)vol(conv(0, v2 − v1, . . . , vn − v1,−v1)).
Ejemplo
Sea A =
(5 0 11 −2 3
). Las soluciones enteras del sistema Ax = 0
son de la forma y3(−1,7,5) con y3 ∈ Z⇒
D = kerZ(A) = 〈(−1,7,5)〉 y I(D) = (t1 − t72 t5
3 )
Como D = diag(1, 2), tenemos
|T (Z2/〈v1, v2, v3〉| = |Z2/〈(5,1), (0,−2), (1,3)〉| = 2.
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Usando el programa Normaliz obtenemos:
(rango(A)!)vol(conv(0, v2 − v1, . . . , vn − v1,−v1)) =
2!vol(conv((0,0), (−5,−3), (−4,2), (−5,−1))) = 24.
Por el teorema anterior obtenemos
grado(S/I(D)) = 12.
Lo cual es consistente con la nocion intuitiva de grado pues elpolinomio t1 − t7
2 t53 tiene grado 12.
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TeoremaSea L un lattice en Zn.
1 Si rango(L) = n y K = Q, entonces
grado(S/I(L)) = |Zn/L|.
2 Si rango(L) = n − 1 y c1 + · · ·+ cn = 0 para todo(c1, . . . , cn) ∈ L, entonces
grado(S/I(L)) = |T (Zn/L)|.
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FIN