ผศ.ดร.สุจินตìคมฤทัย,Ph.D.pioneer.netserv.chula.ac.th/~ksujin/317Note9.pdf ·...
30
Lecture 9 สุจินต์ คมฤทัย – 1 / 30 การแปลงฟูเรียร์ (Fourier Transformation) ผศ.ดร.สุจินต์ คมฤทัย, Ph.D.
Transcript of ผศ.ดร.สุจินตìคมฤทัย,Ph.D.pioneer.netserv.chula.ac.th/~ksujin/317Note9.pdf ·...
Lecture 9 สจนต คมฤทย – 1 / 30
การแปลงฟเรยร (Fourier Transformation)
ผศ.ดร.สจนต คมฤทย, Ph.D.
ประยกตอนกรมฟเรยร: BVP
Solving ODE
EX 1
EX 2
Fourier integral
EX 3
EX 4
Four cosine/sine
EX 5
Fourier transform
EX 6
EX 7
Properties
Lecture 9 สจนต คมฤทย – 2 / 30
บทนยาม สมการเชงอนพนธสามญ
y′′ + ay′ + by = f(x), (0 < x < L)
ทกำหนดคาขอบแบบใดแบบหนงในสามแบบตอไปน
1. y(0) = A, y(L) = B (Dirichlet)2. y′(0) = A, y′(L) = B (Neumann)3. cy(0)− dy′(0) = A, cy(L) + dy′(L) = B (Robin)
เรยกวาปญหาคาขอบสองจด (Two points boundary valueproblems หรอ BVP)
ประยกตอนกรมฟเรยร: BVP
Solving ODE
EX 1
EX 2
Fourier integral
EX 3
EX 4
Four cosine/sine
EX 5
Fourier transform
EX 6
EX 7
Properties
Lecture 9 สจนต คมฤทย – 3 / 30
• ถา A = B = 0 จะเรยกปญหาคาขอบวาเปนชนดเอกพนธ
• ถา A 6= 0 หรอ B 6= 0 จะเรยกวาชนดไมเอกพนธ
• ในวชานจะศกษาเฉพาะสมการในรป
y′′ + by = f(x) (0 < x < L)
และกำหนดคาขอบเอกพนธแบบ Dirichlet หรอ Neumannเทานน ซงจะสามารถใชอนกรมฟเรยรได
• การศกษาปญหาคาขอบสองจดเปนเรองละเอยดออน สามารถศกษาเพมเตมไดในหวขอ Sturm-Liouville problems
ประยกตอนกรมฟเรยร: BVP
Solving ODE
EX 1
EX 2
Fourier integral
EX 3
EX 4
Four cosine/sine
EX 5
Fourier transform
EX 6
EX 7
Properties
Lecture 9 สจนต คมฤทย – 4 / 30
ปญหาไมเอกพนธ หากคาขอบคอ Dirichlet y(0) = A, y(L) = B
พจารณาฟงกชน
y = y −(
AL− x
L+B
x
L
)
หากคาขอบเปน Neumann y′(0) = A, y′(L) = B แปลงฟงกชน
y = y −(
A2Lx− x2
2L+B
x2
2L
)
ฟงกชน y สอดคลองกบปญหาคาขอบเอกพนธ เมอแกปญหาคาขอบเอกพนธได y แลว สามารถหา y ได
ประยกตอนกรมฟเรยร: BVP
Solving ODE
EX 1
EX 2
Fourier integral
EX 3
EX 4
Four cosine/sine
EX 5
Fourier transform
EX 6
EX 7
Properties
Lecture 9 สจนต คมฤทย – 5 / 30
Method กระจายอนกรมฟเรยรของผลเฉลย y ใหสอดคลองกบเงอนไขคาขอบทกำหนดให
1. Dirichlet
y′′ + cy = f(x) 0 < x < L
y(0) = y(L) = 0⇒ Fourier Sine
2. Neumann
y′′ + cy = f(x) 0 < x < L
y′(0) = y′(L) = 0⇒ Fourier Cosine
ตวอยาง 1
Solving ODE
EX 1
EX 2
Fourier integral
EX 3
EX 4
Four cosine/sine
EX 5
Fourier transform
EX 6
EX 7
Properties
Lecture 9 สจนต คมฤทย – 6 / 30
EX. จงแกปญหาคาขอบสองจดตอไปน
y′′ + 4y = 4x, y(0) = y(1) = 0
วธทำ เนองจากเงอนไขคาขอบเปนแบบ Dirichlet เอกพนธจะใชการกระจายอนกรมฟเรยรไซน
4x =∞∑
n=1
(
2
1
∫ 1
0
4x sin(nπx)dx
)
sin(nπx),
=∞∑
n=1
8
(−x cos(nπx)
nπ+
sin(nπx)
(nπ)2
)
∣
∣
∣
1
0sin(nπx),
=∞∑
n=1
8(−1)n+1
nπsin(nπx)
ตวอยาง 1
Solving ODE
EX 1
EX 2
Fourier integral
EX 3
EX 4
Four cosine/sine
EX 5
Fourier transform
EX 6
EX 7
Properties
Lecture 9 สจนต คมฤทย – 7 / 30
ใหผลเฉลย y(x) เขยนไดในรปอนกรมฟเรยรไซนเปน
y(x) =∞∑
n=1
bn sin(nπx)
จะไดวา
y′′(x) =∞∑
n=1
(−bnn2π2) sin(nπx)
แทนอนกรมของ y, y′′, f(x) ลงในสมการเชงอนพนธได
∞∑
n=1
(−bnn2π2 + 4bn) sin(nπx) =
∞∑
n=1
8(−1)n+1
nπsin(nπx)
ตวอยาง 1
Solving ODE
EX 1
EX 2
Fourier integral
EX 3
EX 4
Four cosine/sine
EX 5
Fourier transform
EX 6
EX 7
Properties
Lecture 9 สจนต คมฤทย – 8 / 30
เทยบสมประสทธจะไดวา
−bnn2π2 + 4bn =
8(−1)n+1
nπ⇒ bn =
8(−1)n+1
nπ(4− n2π2)
ดงนนผลเฉลยทตองการของปญหาคาขอบสองจด คอ
y(x) =
∞∑
n=1
8(−1)n+1
nπ(4− n2π2)sin(nπx)
ตวอยาง 2
Solving ODE
EX 1
EX 2
Fourier integral
EX 3
EX 4
Four cosine/sine
EX 5
Fourier transform
EX 6
EX 7
Properties
Lecture 9 สจนต คมฤทย – 9 / 30
EX. จงแกปญหาคาขอบสองจดตอไปน
y′′ + 2y = x, y′(0) = y′(π) = 0
วธทำ อนกรมฟเรยรโคไซน
x =1
2
(
2
π
∫ π
0
xdx
)
+∞∑
n=1
(
2
π
∫ π
0
x cos(nx) dx
)
cos(nx),
=π
2+
∞∑
n=1
2
π
(
x sinnx
n+
cosnx
n2
)
∣
∣
∣
π
0cos(nx),
=π
2+
∞∑
n=1
2((−1)n − 1)
n2πcosnx
ตวอยาง 2
Solving ODE
EX 1
EX 2
Fourier integral
EX 3
EX 4
Four cosine/sine
EX 5
Fourier transform
EX 6
EX 7
Properties
Lecture 9 สจนต คมฤทย – 10 / 30
ใหผลเฉลย y(x) เขยนไดในรปอนกรมฟเรยรโคไซนเปน
y(x) =a02
+∞∑
n=1
an cosnx
จะได
y′′ =∞∑
n=1
(−ann2) cosnx
แทนอนกรมของ y, y′′, x ในสมการเชงอนพนธได
a02
+∞∑
n=1
(−ann2 + 2an) cosnx =
π
2+
∞∑
n=1
2((−1)n − 1)
n2πcosnx
ตวอยาง 2
Solving ODE
EX 1
EX 2
Fourier integral
EX 3
EX 4
Four cosine/sine
EX 5
Fourier transform
EX 6
EX 7
Properties
Lecture 9 สจนต คมฤทย – 11 / 30
เทยบสปส.ได
a0 = π, a2 = a4 = · · · = 0
และสำหรบ n เลขคไดวา
an =4
n2(n2 − 2)π
ดงนน
y(x) =π
2+
∞∑
n odd
4
n2(n2 − 2)πcosnx
ฟเรยรอนทกรล
Solving ODE
EX 1
EX 2
Fourier integral
EX 3
EX 4
Four cosine/sine
EX 5
Fourier transform
EX 6
EX 7
Properties
Lecture 9 สจนต คมฤทย – 12 / 30
• Fourier series ชวยแกปญหาทเกยวของกบฟงกชนคาบบน(−∞,∞) หรอปญหาทเกยวของกบฟงกชนทโดเมน [0, L]
• ในการศกษาปญหาจำนวนมากเกยวของกบฟงกชน ทมโดเมนR = (−∞,∞) และไมเปนฟงกชนคาบ
• หวขอนจะศกษาการแทนฟงกชนทวไปดวยฟเรยรอนทกรลและนยามการแปลงฟเรยรตอไป
ฟเรยรอนทกรล
Solving ODE
EX 1
EX 2
Fourier integral
EX 3
EX 4
Four cosine/sine
EX 5
Fourier transform
EX 6
EX 7
Properties
Lecture 9 สจนต คมฤทย – 13 / 30
แนวคด ให f : (−∞,∞) → R สำหรบ L > 0 ถา x ∈ [−L,L]
จากอนกรมฟเรยรไดวา
f(x) =a02
+∞∑
n=1
(an cosωnx+ bn sinωnx) (ωn :=nπ
L)
=1
2L
∫ L
−L
f(x) dx
+∞∑
n=1
[(
1
L
∫ L
−L
f(y) cosωny dy
)
cosωnx
+
(
1
L
∫ L
−L
f(y) sinωny dy
)
sinωnx
]
ฟเรยรอนทกรล
Solving ODE
EX 1
EX 2
Fourier integral
EX 3
EX 4
Four cosine/sine
EX 5
Fourier transform
EX 6
EX 7
Properties
Lecture 9 สจนต คมฤทย – 14 / 30
Take limit L → ∞ จะไดวา
1
2L
∫ L
−L
f(x) dx → 0
ให △ω = ωn+1 − ωn = π/L จะได
f(x) =∞∑
n=1
[(
1
π
∫
∞
−∞
f(y) cosωny dy
)
cosωnx
+
(
1
π
∫
∞
−∞
f(y) sinωny dy
)
sinωnx
]
△ω
ฟเรยรอนทกรล
Solving ODE
EX 1
EX 2
Fourier integral
EX 3
EX 4
Four cosine/sine
EX 5
Fourier transform
EX 6
EX 7
Properties
Lecture 9 สจนต คมฤทย – 15 / 30
ดงนนโดยการพจารณาผลบวกรมนน
∆ω → dω, ωn → ω
จะไดวา
f(x) =
∫
∞
0
[(
1
π
∫
∞
−∞
f(y) cosωy dy
)
cosωx
+
(
1
π
∫
∞
−∞
f(y) sinωy dy
)
sinωx
]
dω
ฟเรยรอนทกรล
Solving ODE
EX 1
EX 2
Fourier integral
EX 3
EX 4
Four cosine/sine
EX 5
Fourier transform
EX 6
EX 7
Properties
Lecture 9 สจนต คมฤทย – 16 / 30
ทฤษฎบท ให f : (−∞,∞) → R ตอเนองเปนชวง ๆ โดยf ′(x±) มคาททก x และ
∫
∞
−∞|f(x)| dx < ∞ จะไดวา
f(x) =
∫
∞
0
[a(ω) cosωx+ b(ω) sinωx] dω
เมอ
a(ω) =1
π
∫
∞
−∞
f(x) cosωx dx, b(ω) =1
π
∫
∞
−∞
f(x) sinωx dx
ซงเรยกวาสตรฟเรยรอนทกรลของ f
ฟเรยรอนทกรล
Solving ODE
EX 1
EX 2
Fourier integral
EX 3
EX 4
Four cosine/sine
EX 5
Fourier transform
EX 6
EX 7
Properties
Lecture 9 สจนต คมฤทย – 17 / 30
การลเขา ถา f ตอเนองท x จะได
f(x) =
∫
∞
0
[a(ω) cosωx+ b(ω) sinωx] dω
แตถา f ไมตอเนองท x จะได
f(x+) + f(x−)
2=
∫
∞
0
[a(ω) cosωx+ b(ω) sinωx] dω
แตในทางปฎบตจดทฟงกชนไมตอเนอง มกไมมผลตอการศกษาระบบ
ตวอยาง 3
Solving ODE
EX 1
EX 2
Fourier integral
EX 3
EX 4
Four cosine/sine
EX 5
Fourier transform
EX 6
EX 7
Properties
Lecture 9 สจนต คมฤทย – 18 / 30
EX. จงหาฟเรยรอนทกรลของ
f(x) =
1 |x| < 1
0 |x| > 1
ตวอยาง 4
Solving ODE
EX 1
EX 2
Fourier integral
EX 3
EX 4
Four cosine/sine
EX 5
Fourier transform
EX 6
EX 7
Properties
Lecture 9 สจนต คมฤทย – 19 / 30
EX. จากสตรฟเรยรอนทกรลในตวอยางทแลว
f(x) =
1 |x| < 1
0 |x| > 1=
2
π
∫
∞
0
cosωx sinω
ωdω
จงแสดงวา∫
∞
0
sinω
ωdω =
π
2
ฟเรยรโคไซน และไซนอนทกรล
Solving ODE
EX 1
EX 2
Fourier integral
EX 3
EX 4
Four cosine/sine
EX 5
Fourier transform
EX 6
EX 7
Properties
Lecture 9 สจนต คมฤทย – 20 / 30
ทฤษฎบท
(1) ถา f เปนฟงกชนคจะไดสตรฟเรยรโคไซนอนทกรล
f(x) =
∫
∞
0
a(ω) cosωx dω, a(ω) =2
π
∫
∞
0
f(x) cosωx dx
(2) ถา f เปนฟงกชนคจะไดสตรฟเรยรไซนอนทกรล
f(x) =
∫
∞
0
b(ω) sinωx dω, b(ω) =2
π
∫
∞
0
f(x) sinωx dx
ฟเรยรโคไซน และไซนอนทกรล
Solving ODE
EX 1
EX 2
Fourier integral
EX 3
EX 4
Four cosine/sine
EX 5
Fourier transform
EX 6
EX 7
Properties
Lecture 9 สจนต คมฤทย – 21 / 30
บทนยาม ให f : [0,∞) → R และ fE, fO : (−∞,∞) → R
เปนฟงกชนคและฟงกชนคตามลำดบทขยาย f
1. f(x) = Fourier cosine integral ของ fE เรยกวาการกระจายฟเรยรโคไซนอนทกรลของ f นนคอ
f(x) =
∫
∞
0
a(ω) cosωxdω, a(ω) =2
π
∫
∞
0
f(x) cosωxdx
2. f(x) = Fourier sine integral ของ fO เรยกวาการกระจายฟเรยรไซนอนทกรลของ f นนคอ
f(x) =
∫
∞
0
b(ω) sinωxdω, b(ω) =2
π
∫
∞
0
f(x) sinωxdx
ตวอยาง 5
Solving ODE
EX 1
EX 2
Fourier integral
EX 3
EX 4
Four cosine/sine
EX 5
Fourier transform
EX 6
EX 7
Properties
Lecture 9 สจนต คมฤทย – 22 / 30
EX. จงหาฟเรยรโคไซนอนทกรลของ
f(x) = e−kx, x > 0
โดย k > 0 เปนคาคงตว ใชสตร Integration by parts∫
e−kx cosωx dx = − k
k2 + ω2e−kx
(
−ω
ksinωx+ cosωx
)
+ C
การแปลงฟเรยร
Solving ODE
EX 1
EX 2
Fourier integral
EX 3
EX 4
Four cosine/sine
EX 5
Fourier transform
EX 6
EX 7
Properties
Lecture 9 สจนต คมฤทย – 23 / 30
ทฤษฎบท สตรฟเรยรอนทกรลของ f เขยนในเทอมทเกยวกบจำนวนเชงซอนไดเปน
f(x) =1
2π
∫
∞
−∞
∫
∞
−∞
f(y)eiω(x−y) dy dω
โดย i =√−1 และ
eik = cos k + i sin k
การแปลงฟเรยร
Solving ODE
EX 1
EX 2
Fourier integral
EX 3
EX 4
Four cosine/sine
EX 5
Fourier transform
EX 6
EX 7
Properties
Lecture 9 สจนต คมฤทย – 24 / 30
พสจน จากฟเรยรอนทกรล
f(x) =1
π
∫
∞
0
∫
∞
−∞
f(y)(cosωy cosωx+ sinωy sinωx) dy dω
=1
π
∫
∞
0
∫
∞
−∞
f(y) cosω(x− y) dy dω
=1
2π
∫
∞
−∞
∫
∞
−∞
f(y) cosω(x− y) dy dω
เนองจาก f(y) sinω(x− y) เปนฟงกชนคในตวแปร ω ดงนน∫
∞
−∞
∫
∞
−∞
f(y) sinω(x− y) dωdy = 0
การแปลงฟเรยร
Solving ODE
EX 1
EX 2
Fourier integral
EX 3
EX 4
Four cosine/sine
EX 5
Fourier transform
EX 6
EX 7
Properties
Lecture 9 สจนต คมฤทย – 25 / 30
ดงนน
f(x) =1
2π
∫
∞
−∞
∫
∞
−∞
f(y) [cosω(x− y) + i sinω(x− y)] dydω
=1
2π
∫
∞
−∞
∫
∞
−∞
f(y)eiω(x−y)dydω
ตามตองการ
การแปลงฟเรยร
Solving ODE
EX 1
EX 2
Fourier integral
EX 3
EX 4
Four cosine/sine
EX 5
Fourier transform
EX 6
EX 7
Properties
Lecture 9 สจนต คมฤทย – 26 / 30
บทนยาม สำหรบฟงกชน f(x) ให
F [f ](ω) = F (ω) =1√2π
∫
∞
−∞
f(x)e−iωx dx
เรยก F = F [f ] วาผลการแปลงฟเรยรของ f(x)
ในทางกลบกนสำหรบฟงกชน F (ω) ให
F−1[F ](x) = f(x) =1√2π
∫
∞
−∞
F (ω)eiωx dω
เรยก f = F−1[F ] วาผลการแปลงฟเรยรผกผนของ F (ω)
การแปลงฟเรยร
Solving ODE
EX 1
EX 2
Fourier integral
EX 3
EX 4
Four cosine/sine
EX 5
Fourier transform
EX 6
EX 7
Properties
Lecture 9 สจนต คมฤทย – 27 / 30
ทฤษฎบท สตรฟเรยรอนทกรลของฟงกชน f(x) คอ
f(x) = F−1 [F (ω)]
เมอ F (ω) = F [f ]
บทพสจน จากฟเรยรอนทกรล
f(x) =1
2π
∫
∞
−∞
∫
∞
−∞
f(y)eiω(x−y)dydω
=1√2π
∫
∞
−∞
(
1√2π
∫
∞
−∞
f(y)e−iωydy
)
eiωxdω
=1√2π
∫
∞
−∞
F (ω)eiωxdω = F−1[F ]
ตวอยาง 6
Solving ODE
EX 1
EX 2
Fourier integral
EX 3
EX 4
Four cosine/sine
EX 5
Fourier transform
EX 6
EX 7
Properties
Lecture 9 สจนต คมฤทย – 28 / 30
EX. จงหาผลการแปลงฟเรยรของฟงกชน
f(x) =
1 |x| < 1
0 |x| > 1
Note. สตรอนทกรล∫
ekxdx =ekx
k+ C
เปนจรงเมอ k เปนจำนวนเชงซอนดวย พสจนไดโดยIntegration by parts
ตวอยาง 7
Solving ODE
EX 1
EX 2
Fourier integral
EX 3
EX 4
Four cosine/sine
EX 5
Fourier transform
EX 6
EX 7
Properties
Lecture 9 สจนต คมฤทย – 29 / 30
EX. จงหาผลการแปลงฟเรยรของฟงกชน
f(x) =
e−ax x > 0
0 x < 0
เมอ a > 0 เปนคาคงตว
สมบตของการแปลงฟเรยร
Solving ODE
EX 1
EX 2
Fourier integral
EX 3
EX 4
Four cosine/sine
EX 5
Fourier transform
EX 6
EX 7
Properties
Lecture 9 สจนต คมฤทย – 30 / 30
ทฤษฎบท
(1) สมบตเชงเสน
F [af + bg] = aF [f ] + bF [g]
(2) การแปลงฟเรยรของอนพนธ
F [f (n)] = (iω)nF [f ]
(3) ทฤษฎบทสงวฒนาการ
F [f ∗ g] =√2πF [f ]F [g]
โดย (f ∗ g)(x) =∫
∞
−∞f(x− y)g(y) dy
![QUREQD6 - Santa Clara County, California · ì ì ì ì ì ì ì ì ì ì ì ì ì ì ì ì ì ì ì ì ì ì ììîï ì µ Ç l } } l l ^ v } v l ^ v } v l } v P ^ ] v P](https://static.fdocuments.net/doc/165x107/5f7e8ea4df862a52d11eb765/qureqd6-santa-clara-county-california-.jpg)
