ao Particle detection and interactions Física de …deangeli/fismod/PPLectureE1.pdfCinemática...

Particle detection and interactionsFísica de Partículas (2 aulas) - Outubro 2011

Fernando Barao

[email protected]

Departamento de Fısica

IST - Instituto Superior Tecnico

Fernando Barao , Dep. de Fısica (IST) -1- Detection and interactions


Cinemática relativista


Relativistic mechanics

✔ Total Energy

E = γmc2 = mc2√1−β2

[GeV]

✔ Linear Momentum

~p = γm~v = m~v√1−β2

[GeV/c]

✔ Kinetic Energy

T = E −mc2 = (γ − 1)mc2 [GeV]

✔ Lorentz factor

γ = 1 + Tmc2 γ = E

mc2

γ2 = 11−β2 ⇒ β =

√1− 1

γ2

γβ = pm c =

√(Em

)2 − 1

Relação entre ~p e E

E2 = (pc)2 + (mc2)2

~pE = γm~v

γmc2 = ~vc = ~β

Natural Units

✔ Energy

1 [eV] ≃ 1.6× 10−19 [C] . 1 [V]

1 [eV] ≃ 1.6× 10−19 [J]

Massasme 0.511 MeV/c2

mµ 105.658 MeV/c2

mπ 139.570 MeV/c2

mp 938.272 MeV/c2


Interacções de partículascom a matéria


Interacções das partículas : sumário

✔ noc ao de secc ao eficaz

✔ livre percurso m edio

✔ probabilidade de interacc ao

✔ detecc ao de partıculas

✔ interacc ao de partıculas carregadas

◮ perda de energia : aprox. cl assica

◮ express ao de Bethe-Bloch

◮ exemplo : medida da perda de energia em AMS

✔ perda de energoia em electr oes

✔ Range da partıcula

✔ multiple scattering

✔ interacc ao de fot oes


Interaction rate : cross section ( σ)

A secção eficaz de um processo físico :

✔ traduz a possibilidade de ocorrência do processo

✔ o seu cálculo é possível, conhecendo as leis de interacção

entre as partículas

✔ possui unidades de área (1 barn = 10−28 m2)

∆ x

Φ

Rint = ΦA σ n∆x

A taxa de interacções (Rint) depende de :

✔ taxa de partículas incidentes Rinc = Φ A [/sec]

◮ Φ ≡ fluxo de partículas incidentes [m−2.s−1]

◮ A ≡ área de incidência do feixe [m2]

✔ densidade de partículas-alvo por unidade de área

ntarget = n∆x [/m2]

◮ n ≡ densidade de partículas-alvo [m−3]

◮ ∆x ≡ espessura do alvo [m]

✔ . . .e obviamente da secção eficaz σ


Interaction probability

A probabilidade que uma partícula tem de interagir

por unidade de comprimento do material

atravessado, depende de :

n densidade de alvos [/m3]

σ secção eficaz [m2]

A densidade de alvos de um material qualquer

depende de :

ρ densidade do material [gr/cm3]

A massa de uma mole [gr]

NA número de Avogadro [/mole]

p = n σ

n = NA × ρ

A︸︷︷︸nb of moles per cm3


Probabilidade de Interacção numa distância x

Suponhamos um feixe de N partículas a atravessar um material de

densidade ρ [gr/cm3], no qual a probabilidade de interacção por

unidade de comprimento é p = NAρAσ

dx

N

• O número de partículas sobreviventes após terem percorrido uma

distância dx :

N(x+ dx) = N(x)− p dx N︸︷︷︸• Como N(x+ dx) ≃ N(x) + dN

dxdx, tem-se :

dN = −p dx N

• Integrando :∫ N

N0

dNN

= −∫ ℓ

0p dx, obtém-se : N = N0 e−p ℓ

• A probabilidade de a partícula não interagir após percorrer uma

distância ℓ é então : Pint = e−p ℓ

✔ p = NAρAσ

✔ N = N0 e−p ℓ

✔ Pint = e−p ℓ


Livre Percurso Médio ( λint)

O livre percurso médio de uma partícula define-se como sendo o

valor médio da distância percorrida pela partícula sem que tenha

sofrido qualquer interacção :

λint =

∫∞0

x Pint(x) dx∫∞0

Pint(x) dx

Como a probabilidade de uma partícula não interagir ao

atravessar uma distância x de material é Pint(x) = e−p x, vem :

λint =

∫∞0

x e−p x dx∫∞0

e−p x dx

=

[−x

p e−p x

]∞0

+∫∞0

1pe

−p x dx[1pe

−p x]∞0

=1

p

✔ λint =1p

✔ p = 1λint

✔ Pint = e− x

λint


Interacções das partículas com a matéria

Detecção de partículas

✔ a detecção das partículas neutras (fotões ) ou carregadas (electrões, muões,

protões ) faz-se através da sua interacção com a matéria.

✔ as partículas carregadas interagem essencialmente através de mecanismos

de ionização e excitação do átomo. No caso das partículas relativistas a

perda de energia por radiação de Bremsstrahlung também tem que ser

considerada.

✔ os fotões interagem com a matéria, produzindo partículas carregadas, através

dos mecanismos efeito fotoeléctrico , efeito de Compton e produção de

pares .


Perda de energia de uma partícula carregada ( dEdx )

✔ Colisões inelásticas com o átomo

A passagem de uma partícula carregada por um meio material é caracterizada por uma perdade energia

( dEdx

), devido essencialmente às colisões inelásticas com os electrões atómicos do meio. Ocorre assim uma

excitação do átomo ou mesmo a sua ionização .

◮ Apesar da quantidade de energia transferida em cada colisão ser pequena, o grande número de colisões

existentes leva à perda de energia .

✔ Dispersão elástica pelo núcleo

Muito pouca energia transferida devido à diferença de massas núcleo-partícula incidente.

◮ Desvio da partícula da trajectória inicial (multiple scattering)

✔ Bremsstrahlung

Electrões deflectidos no campo eléctrico do núcleo (~a = d~vdt

), radiam.

✔ Radiação de Cerenkov

Ondas de choque electromag. criadas quando a velocidade da partícula é maior que a da luz no meio (v = cn

)

✔ Radiação de Transição

Emissão de radiação electromagnética quando partículas altamente relativistas atravessam materiais dieléctricos

diferentes.


dEdx : aproximação clássica (fórmula de Bohr)

Vejamos o que se passa na interacção de uma partícula pesada de massa m,

carga ze e velocidade ~v com um electrão atómico que se encontra à distância b

da trajectória da partícula.

✔ Assume-se o electrão como livre e inicialmente em repouso e a partícula

pesada incidente não sofre desvio.

Momento linear transferido transferido para o electrão

∆p =

∫ +∞

−∞~F dt =

∫e ~E dt

Do campo eléctrico aplicado, pode-se considerar somente a componente

transversa E⊥ e tendo como dt = dxv

:

∆p =e

v

∫ +∞

−∞E⊥ dx

Tendo em conta o fluxo do campo eléctrico transverso :

∆p =z e2

2 π ε0 v b

v

M

e

b

v

E E

Ze

e

Fluxo do campo ~E

Pela lei de Gauss tem-se :

∫~E⊥ · d~S = z e

ε0∫E⊥ 2πb dx = z e

ε0

∫E⊥ dx = z e

2 π ε0 b


dEdx : energy transfer ( ∆E)

✔ The incident charged particle (ze) can interact with both

nuclei and electrons of the atoms

✔ The transfered energy to the bound particle (mass, m

and charge, Z) :

∆E =∆p2

2 m=

(1

4πε0

)2 1

m c22 z2 Z2 e4

b2 β2

=(me c2)2

m c22 z2 Z2

β2

( re

b

)2

✔ A large contribution to the energy transfer from close

interactions is espected from the dependence,

∆E ∝ 1b2

✔ The ratio of the energy transfered to electrons

(m = me) and nucleus (m = A mp) :

∆E(e)

∆E(n)=

2

Z

mp

me∼ 4000

Z

atomic electrons are responsible for most of the energy loss

The classical electron radius is obtained by

looking into the equivalence of the relativistic

energy (E = mec2) and the electron

electrostatic energy (Ue).

Calculating the electrostatic energy stored by a

uniform charged sphere of radius re :

✔ work to bring dq to a sphere charged with q :

dW = φdq = 14πε0

qrdq

with,

q = ρ 43πr3, dq = ρ4πr2dr

dW = 43

πε0

ρ2r4dr

✔ sphere electrostatic energy (e = ρ4/3πr3e ) :

UE = 43

πε0

ρ2∫ re0 r4dr = 3

5e2

4πε0

1re

✔ classical electron radius :

mec2 = e2

4πε0

1re

⇒ re = 14πε0

e2

mc2



Energia transferida para o electrão

∆E =p2

2 me=

1

2 me

(z e2

2 π ε0 v b

)2

Para se obter a energia total perdida pela partícula, temos que ter em conta o

número total de electrões existentes na região de parâmetro de impacto relevante.

Energia perdida pela partícula para os electrões do meio

dE(b) = ne 2 π b db dx ∆E =

(z e2

)2

4 π ε20

ne

me v2db

bdx

Integrando no parâmetro de impacto db :

−dE

dx=

(z e2

)2

4 π ε20

ne

m v2ln

(bmax

bmin

)

Número de electrões

x

dx

db

Numa coroa cilíndrica

infinitesimal de espessura db,

onde a densidade de electrões

é ne, tem-se :

d ne = ne 2 π b db dx



Limites do parâmetro de impacto

Para se estabelecer os limites dos parâmetros de impacto, isto é, as distâncias mínimas e

máximas de interacção entre a partícula incidente e o electrão, devem-se ter em conta alguns

argumentos físicos.

bmin

O parâmetro de impacto mínimo é estabelecido pelo comprimento de onda de De Broglie do electrão,

bmin ∼ λ = hp= h

γ m v

bmax

O parâmetro de impacto máximo : assume-se a interacção entre o campo eléctrico da partícula incidente e um

electrão livre. No entanto :

✔ os electrões encontram-se ligados aos átomos, possuindo uma dada frequência orbital associada (ν)

✔ a aproximação do electrão livre pode ser feita se o tempo de colisão for pequeno quando comparado com o

período T = 1ν

do electrão ; o tempo de interacção é dado por : tint ∼ bγ

1v

tint < T ⇒ bmax ∼ γvν

b

eT



Substituindo os limites dos parâmetros de impacto :

−dE

dx=

(z e2

)2

4 π ε20

ne

me v2ln

(γ2 m v2

h ν

)

As frequências dos electrões que interagem com a partícula variam, tomando-se portanto um valor médio para a sua

energia < I >= hν ,

−dE

dx=

(z e2

)2

4 π ε20

ne

me v2ln

(γ2 m v2

< I >

)

Existe uma dependência da densidade electrónica do meio atravessado ne ; observar-se-ão então variações

grandes de energia perdida para diferentes meios. No entanto, tendo em conta que :

ne = ρA

NA Z ⇒ neρ

= ZA

NA ∼ cte

pode-se definir a variável espessura : t = ρ x [g.cm−2]

−dE

dt=

(z e2

)2

4 π ε20

NA

me v2Z

Aln

(γ2 m v2

< I >

)[MeV.cm2.g−1]


Quantum treatment of the energy loss

✔ Bethe and Bloch in the early 1930s treated the energy loss problem taking into

account Quantum Mechanics principles :

◮ energy transfer to atomic electrons occur in discrete amounts

◮ wave nature of particles

✔ atomic collisions classified according to momentum transfer to the atomic

electron. Classicaly, to large impact parameters correspond low momentum

transfers and vice-versa

✔ the energy loss by the traversing particle due to the atomic electrons

interactions :

dE ∼∫

w · dσ

dwdw · ne

︸︷︷︸prob

· dx

◮ energy loss in every collision, w

◮ electron density, ne = Z ρA NA


dEdx : a fórmula de Bethe-Bloch

O cálculo da perda de energia pela mecânica quântica foi realizado por Bethe e Bloch.

−1

ρ

dE

dx≡ −dE

dt= 2 π NA r2e mec

2

︸︷︷︸0.1535 MeV ·cm2.g−1

Z

A

z2

β2

[ln

(2 me γ

2 v2 Tmax

I2

)− 2β2 − δ

]

re Raio clássico do electrão (re = 2.817 × 10−13 cm)

re = e2

4 π ε0 mec2

me Massa do electrão (me = 0.511 MeV/c2 )

NA Número de Avogadro (Na = 6.023 × 1023 mol−1)

ρ Densidade do meio material atravessado

z Carga eléctrica da partícula incidente

Z Número atómico do meio material

A Número de massa do meio material

I Energia média de excitação

I

Z=

{12 + 7

Z [eV ] (Z<13)

9.76 + 58.8Z−1.19 [eV ] (Z>=13)

β Velocidade da partícula incidente (β = vc )

γ Factor de Lorentz (γ−1 =√

1 − β2)

δ Correcção de densidade

Tmax Energia máxima transferida na colisão

Tmax ∼ 2 mec2 β2 γ2 (M >> me)


dEdx : a correcção de densidade ( δ)

A partícula incidente no material polariza os átomos e desta forma os electrões mais afastados vêem

um campo eléctrico menor. A correcção de densidade δ é aplicada para se ter em conta o facto de os

electrões mais distantes contribuirem então menos para a perda de energia.

δ =

0 X < X0

4.6052 ·X + C + a (X1 −X)m X0 < X < X1

4.6052 ·X + C X > X1

X = log (βγ) = log

1√

1β2 − 1

Material I [eV] -C a m X1 X0

Plástico Cintilador 64.7 3.20 0.1610 3.24 2.49 0.1464

Ar 85.7 10.6 0.1091 3.40 4.28 1.742

Água (H2O) 75 3.50 0.0911 3.48 2.80 0.24

Chumbo (Pb) 823 6.20 0.0936 3.16 3.81 0.3776

Ferro (fe) 286 4.29 0.1468 2.96 3.15 -0.0012

Alumínio (Al) 166 4.24 0.0802 3.63 3.01 0.1708


Perda de energia do muão ( µ) no Cobre


dEdx : dependência na energia

A perda de energia de uma partícula carregada mostra uma dependência com a velocidade que

varia para diferentes regiões de velocidade.

✔ Para muito baixas velocidades (β < 0.05), a fórmula de Bethe-Bloch deixa de se verificar. Neste

domínio em que a velocidade da partícula é comparável à velocidade dos electrões atómicos, a

partícula atrai electrões diminuindo a sua carga efectiva e desta forma a perda de energia diminui.

✔ Para velocidades da partícula na região β ∼ [0.05, 0.1] a perda de energia é dominada pelo factor

1/β2, diminuindo até um valor mínimo obtido em β ∼ 0.96 ou γβ ∼ 3.5 ; este valor de dEdx

mínimo é conhecido como minimum ionizing value.

A dependência da perda de energia dEdx

∝ 1β2 ∝ M

Ena massa é usada para a identificação de

partículas nesta região de velocidades.

✔ Para velocidades acima do dEdx

mínimo, o termo ln(γβ) domina, dando origem à região de

relativistic rise.


Energy loss

✔ A perda de energia por colisões atómicas só depende da velocidade da partícula incidente

✔ A perda de energia mínima acontece para γβ ∼ 3.5 (minimium ionizing particle)

✔ dEdt

∝ β−5/3

✔ dEdt

|min ∼ 2 MeV.cm2/g


dEdx : desenvolvimento e aproximações

Desenvolvendo :

ln(

2meγ2v2TmaxI2

)= ln

(2mec

2

Iγ2v2

c2Tmax

I

)= ln

(2mec

2

I

)+ ln

(γ2v2

c2

)+ ln

(Tmax

I

)

e tendo em conta que para massas M >> me : Tmax ∼ 2mec2β2γ2, vem :

ln(

2meγ2v2TmaxI2

)= ln

(2mec

2

I

)+2 ln (γβ)+ln

(2mec

2

I

)+2 ln (γβ) = 2 ln

(2mec

2

I

)+4 ln (γβ)

A perda energia vem então expressa como :

1ρ

dEdx

≃ 0.1535β2

Z

A︸︷︷︸∼0.5

z2[2 ln

(2 me c2

I

)+ 4 ln (γβ)− β2 − δ

2

][MeV.cm2.g−1]

Ou numa aproximação mais grosseira : 1ρ

dEdx

≃ 0.1535β5/3 z2

[ln

(2 me c2

I

)][MeV.cm2.g−1]

Silicium

Z=14

ρ = 2.33 gr/cm3

1β2 = 1 +

(1γβ

)2

1

10

1 10 100

gamma*beta

dE/dx Silicium

f1(x)f2(x)

-0.25

-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

1 10

gamma*beta

dE/dx Silicium

1-f2(x)/f1(x)


Perda de energia no detector AMS

✔ AMS : detector a instalar na Estação Espacial Internacional (ISS) em 2009

✔ Faz identificação de partículas (e, p, He,...) e caracterização em velocidade, momento linear, energia, carga

eléctrica

✔ A carga eléctrica é medida pela deposição de energia em 6 planos de silício (300 µm de espessura)

< ∆E >∝ Z2 β−5/3 ∝ Z2

[(mp

)2+ 1

]


Range da partícula

Uma dada partícula de energia E0 e massa M penetra num meio material perdendo energia nas colisões

atómicas por excitação e ionização à taxa dEdx

dada pela fórmula de Bethe-Bloch. Desprezando o efeito do

multiple scattering, a distância de paragem da partícula (particle range) é dada por :

R =

∫ R

0dx =

∫ Mc2

E0

dE(+ dE

dx

) =

∫ E0

Mc2

dE(− dE

dx

)

Na região de baixas velocidades,

γβ > 2 ⇒(

E0M

)> √

5 ⇒ E0 > √5Mc2

pode-se usar a expressão aproximada para a perda de energia : −(

dEdx

)= κ

β2 .

Tendo em conta que : β2 = 1−(

M c2

E

)2

Vem :

R =

∫ E0

Mc2

[1−

(M c2

E

)2]

dE

κ=

1

κ

[E0 +Mc2

(Mc2

E0− 2

)]=

1

κ

T20

E0

[cm]


Muon range on water

Question

Evaluate the maximal energy a muon (mµ = 105 MeV/c2) can have to stop

within a water reservoir h = 30 cm heigh.

✔ Take the aproximated Range equation and have it equal to h

h = 1κ

[E0 +Mc2

(Mc2

E0− 2

)]

✔ Maximal energy :

T0 = E0 −Mc2 = h κ2

(1 +

√1 + 4Mc2

h k

)

✔ water (ρ = 1 gr/cm3) :

κ ∼ 0.1535︸︷︷︸[MeV/cm]

ln

(2mec2

I

)

︸︷︷︸9.5

+ · · ·

∼ 1.46 [MeV/cm]

T0 ∼ 1230 1.46

(1 +

√1 + 4 105

30 1.46

)∼ 93 MeV

E0

R

Cosmic Ray Laboratory (IST) - 2nd

cycle


Energy loss of light particles (electrons and positrons)

✔ Electrons and positrons lose energy by ionization (as heavier particles

do) and also by radiation, due to their small mass :(dEdx

)tot

=(dEdx

)coll

+(dEdx

)rad

✔ Radiation occurs when the incident particle accelerates under the

effect of the atomic coulombian field produced by the nucleus charge

(Ze) and atomic electrons (e).

✔ The electrical field contribution of the electrons to the radiating power

can be neglected (e/Ze) ; although, its presence can shield the

nuclear charge seen by the incident particle.

✔ At high energies the radiation loss can be the prevaling mode.


Energy loss electrons and positrons : ionization

✔ For electrons crossing matter, the energy loss ionization mechanism involves colllisions between

identical particles.

✔ Cross-section for the scattering of a relativistic electron with kinetic energy E from a free electron

acquiring a kinetic energy w (Moller) :dσdw

= 2π e4

mev2

[1w2 − 1

w(E−w)mec

2(2E+mec2)

(E+mc2)2+ 1

(E−w)2+ 1

(E+mec2)2

]

✔ The energy loss due to collisions is obtained by integration the collision probability times the

transfered energy : dEdx

=∫w ne

dσ

dwdw

︸︷︷︸Pint

dEdx

≃ 2 π NA r2e (mec2) ρZA

1β2

{ln

[12

(mec

2

I

)2(γ + 2)3

]+ F

(T

mec2

)+ · · ·

}

F (T/(mec2), depends on the electron charge sign.

Tmec2

= γ − 1, is the electron kinetic energy expressed in terms of its mass.

✔ For relativistic electrons (β → 1), the dEdx

obtained from above is essentially the same obtained

from the heavy particle dEdx

formula.


Energy loss : bremsstrahlung

✔ The strength of the electric field felt by the incident particle of mass M and charge z, depends on the amount of

screening from the electrons around the nucleus.

✔ For a particle of energy Ei that radiates a photon of energy κ, the effect of the screening can be parametrized in

terms of :

Ef = Ei − κ, final electron energy

t = 100 mec2 k

Ei Ef Z1/3 = 100 mec2

Z1/3

k/EiEi(1−k/Ei)

✔ The radiated power depends on the charge acceleration :dEdt

= 23

e2

c3a2

✔ The bremsstrahlung differential cross-section for a particle of energy E radiating a photon of energy κ in the field

of a nucleus of charge Z is (in the limit of complete screening, t → 0) :

dσdκ

≃ 5 α z4 Z2 r2e1κ

(meM

)2 [1 +

(κE

)2 − 23

(κE

)]ln

(183Z1/3

Mme

)

The contribution of the atomic electrons can be included by replacing Z2 → Z(Z+ 1).

✔ The energy loss :(

dEdx

)rad

= na︸︷︷︸na=NA

ρA

E1

E

∫ E−Mc2

0κ

dσ

dκdκ

︸︷︷︸σrad


Energy loss : critical energy ( Ec)

✔ The radiative total cross-section, obtained by integrating in the photon energy range, is given for the complete

screening aproximation by :

σrad ≃ 4 α Z(Z + 1) z4 r2e(me

M

)2ln

(183Z1/3

Mme

)

✔ and therefore the energy loss :

−(

dEdx

)rad

= NAρA

E σrad ≃ E z4(me

M

)24 NA

ρ

Aα r2e Z(Z + 1) ln

(183

Z1/3

M

me

)

︸︷︷︸1

X0−(

dEdx

)rad

= EX0

, where X0 is the radiation length

✔ The critical energy (Ec) is the energy above which the radiation

losses become dominant over the collision losses :

( dEdx )

rad

( dEdx )

col

∼ z2 E meM2

2π

α (Z + 1)ln

(183

Z1/3Mme

)

2 ln

(mec2

I

)+4 ln γ

Ec ∼ 600(

1z

Mme

)21

Z+1[MeV]

Interesting( !) : Ec(µ) ∼(

mµ

me

)2Ec(e) ∼ 4× 104 Ec(e)

2 5 10 20 50 100 200

Copper X0 = 12.86 g cm−2

Ec = 19.63 MeV

dE

/dx ×

X0 (

MeV

)

Electron energy (MeV)

10

20

30

50

70

100

200

40

Brems = ionization

Ionization

Rossi: Ionization per X0 = electron energy

Total

Bre

ms

≈ EE

xact

brem

sstr

ahlu

ng


Energy loss for electrons : bremsstrahlung

✔ The bremsstrahlung differential cross-section for an electron of energy E radiating a

photon of energy κ in the field of a nucleus of charge Z or an electron is (in the limit of

complete screening, t → 0) :

dσdκ ≃ 4 α Z(Z + 1) r2e

1κ

[1 +

(κE

)2 − 23

(κE

)]ln(

183Z1/3

)

✔ The energy loss :(dEdx

)rad

= E NAρ

A4 α Z(Z + 1) r2e ln

(183

Z1/3

)

︸︷︷︸1

X0

= EX0

✔ The critical energy : Ec ∼ 600Z+1 [MeV]

✔ The number of radiated photons above a certain photon energy κth along a path L is :

N bremssγ =

∫L

∫ κmax

κthNA

ρ

A︸︷︷︸na

dσdκ dκ dx = L

X0

∫ κmax

κth

[1k + κ

E2 − 23

1E

]dκ


Electrons energy loss : critical energy

2 5 10 20 50 100 200

Copper X0 = 12.86 g cm−2

Ec = 19.63 MeV

dE

/dx ×

X0 (

MeV

)

Electron energy (MeV)

10

20

30

50

70

100

200

40

Brems = ionization

Ionization

Rossi: Ionization per X0 = electron energy

Total

Bre

ms

≈ EE

xact

brem

sstr

ahlu

ng

Ec (

MeV

)

Z

1 2 5 10 20 50 100 5

10

20

50

100

200

400

610 MeV________ Z + 1.24

710 MeV________ Z + 0.92

SolidsGases

H He Li Be B CNO Ne SnFe


Electron energy loss : radiation length

✔ The radiation length, L0, corresponds to the mean interaction

length for the radiation process :1L0

= na σrad = NAρA

σrad

1L0

≃ 4 NAρA

α Z2 r2e

[ln

(183Z1/3

)][cm−1]

X0 = L0 ρ ≃ 716.4 [g.cm−2] A

Z(Z+1) ln(

287√Z

)

✔ energy loss due to radiation :

−(

dEdx

)= E

X0⇒ E = E0 e

− xX0

✔ Total energy lost :

−(

dEdx

)tot

∼ a+ EX0

where a is the collision energy loss assumed essentially

energy independent.

Mat. ρ (g.cm−3) L0 (cm)

H2 0.0708 891

He 0.125 755

Li 0.534 155

Be 1.85 35.3

B 2.37 22.2

C 2.27 18.8

N2 0.808 47.0

O2 1.14 30.0

Ne 1.20 24.0

Al 2.70 8.89

Fe 7.86 1.12

Pb 11.37 0.56

Air 0.0012 30050.

H2O 1.0 36.1

Scint. 1.03 42.4


Muon energy loss : critical energy

/home/sierra1/deg/dedx/rpp_mu_E_loss.pro

Thu Apr 4 13:55:40 2002

Muon energy (GeV)

dE

/d

x (

MeV

g−1

cm

2)

H (gas) total

U tot

al

Fe to

tal

Fe

brem

s

Fe

nucl

0.1

1

10

100

1000

102101 103 104 105

Fe

pair

Fe ion

Fe

radi

ativ

e to

tal

___________

(Z + 2.03)0.879

___________

(Z + 1.47)0.838

100

200

400

700

1000

2000

4000

Eµc

(G

eV

)

1 2 5 10 20 50 100

Z

7980 GeV

5700 GeV

H He Li Be B CNO Ne SnFe

SolidsGases


Cosmic muons flux : dEdx effect

Question

Evaluate the cosmic muon flux arriving at a detector under an amount

h of matter (rock, Z = 11, A = 22, ρ = 3 gr/cm3).

✔ The muon flux arriving at the earth surface follows a law :

Φ0(E0) = A E−α [m−2.sr−1.s−1.GeV−1]

1 10 100 1000

100.

1000.

pµ [GeV/c]

p µ1.

7 dN/d

pµ

[m

−2 s−1

sr−1

(GeV

/c)1.

7 ] ��

��

��

�� (E0)

Detector

Φ0

Rock


Cosmic muons flux deep underground

✔ Muons suffer losses by ionization and bremsstrahlung :

−(dEdx

)= a+ bE

a ∼ 2 MeV/gr/cm2

b ∼ 0.1 (gr/cm2)−1

✔ Muon energy as function of distance :

∫ T

T0

dE

( dEdx )

=∫ x

0dx ⇒

∫ T

T0

dE

( ab+E)

= −b∫ x

0dx ⇒

[ln

(ab+ E

)]TT0

= −bx

T =(ab+ T0

)e−bx − a

b

✔ Muon flux at a given depth :

dNdE

= dNdE0

dE0dE

= Φ(E0)dE0dE

As, dT = dT0 e−bx and T0 =

(ab+ T

)e+bx − a

b, we get :

Φ(E) = A e−bx[(T + a

b

)ebx − a

b

]−α


ao Particle detection and interactions Física de …deangeli/fismod/PPLectureE1.pdfCinemática...

Documents

Transcript of ao Particle detection and interactions Física de …deangeli/fismod/PPLectureE1.pdfCinemática...