Antrian II
-
Upload
deddysetiadi -
Category
Documents
-
view
145 -
download
7
description
Transcript of Antrian II
Mahasiswa mampu menjelaskan asumsi model antrian (C2) dan menggunakan model-model antrian untuk memecahkan masalah antrian (C3)
Mahasiswa mampu menjelaskan asumsi model antrian (C2) dan menggunakan model-model antrian untuk memecahkan masalah antrian (C3)
Mahasiswa dapat menjelaskan model antrian dan menggunakan model antrian serta aplikasinya dengan benar
banyaknya kedatangan
probabilitas x kedatangan
rata-rata tingkat kedatangan
dasar logaritma natural 2,718
x(x-1)(x-2), dibaca x fakttorial
x
P(x)
λ
e
X!
=
=
=
=
=
mengikuti distribusi Poisson
variabel random
Jika banyaknya kedatangan per satuan
waktu mengikuti distribusi poisson dengan
rata-rata tingkat kedatangan λ maka waktu
antar kedatangan (inter arrival time) akan
mengikuti distribusi exponensial negatif
dengan rata-rata 1/λ
Jika banyaknya kedatangan per satuan
waktu mengikuti distribusi poisson dengan
rata-rata tingkat kedatangan λ maka waktu
antar kedatangan (inter arrival time) akan
mengikuti distribusi exponensial negatif
dengan rata-rata 1/λ
Mengikuti distribusi
eksponensial negatif
Tingkat pelayanan mengikuti distribusi
Poisson
waktu pelayanan
probabilitas yang berhubungan dengan t
rata-rata tingkat pelayanan
rata-rata waktu pelayanan
2,718
t
f(t)
μ
1/μ
e
=
=
=
=
=
•Pengantri harus disiplin dan sabar menunggu giliran
•Umumnya diasumsikan pengantri dilayani atas dasar FCFS
•Pengantri harus disiplin dan sabar menunggu giliran
•Umumnya diasumsikan pengantri dilayani atas dasar FCFS
Tingkah laku pengantri yang dapat mempengaruhi perhitungan waktu pelayanan dan waktu tunggu
Tingkah laku pengantri yang dapat mempengaruhi perhitungan waktu pelayanan dan waktu tunggu
Adalah :Pengantri yang meninggalkan sistem sebelum dilayani reneging
•Panjang antrian & waktu tunggu memiliki nilai konstan setelah sistem berjalan selama periode tertentu steady state/keseimbangan.
•Keadaan steady state tidak berlangsung lama keadaan transient.
•Panjang antrian & waktu tunggu memiliki nilai konstan setelah sistem berjalan selama periode tertentu steady state/keseimbangan.
•Keadaan steady state tidak berlangsung lama keadaan transient.
Jika λ kurang dari μ maka traffic intensity (utilization) faktor adalah :
Jika rasio ini mendekati 1 maka panjang antrian yang diharapkan akan mendekati tak terbatas
Asumsi : Tingkat Pelayanan (μ) > Tingkat kedatangan pengantri (λ)
asumsi sumber kedatangan & panjang antrian adalah tak terbatas
Seringkali tidak realistis
Hubungan antara Hubungan antara Tingkat kedatangan Tingkat kedatangan ((λλ)/Tingkat Pelayanan ()/Tingkat Pelayanan (μμ) dan panjang antrian) dan panjang antrian
0.0 0.1 1.0
Pan
jan
g a
ntr
ian
λλ /μμ
Notasi Kendall Banyak variasi model antrian Model diringkas dlm notasi Kendall yang diperluas, yaitu : [ a / b / c / d / e / f ] Notasi Kendall yg asli : [ a / b / c ]Keterangan :
a : distribusi kedatanganb : distribusi keberangkatan atau waktu pelayanan, untuk a dan b M : Poisson, Ek : Erlang
D : Deterministik/konstanc : banyaknya pelayanan paraleld : disiplin antri; FCFS, LCFS, random, dll.e : jlh maks pengantri dlm sistem (antri & dilayani)f : jlh sumber kedatangan
Jika tiga dr notasi Kendall tdk disebutkan, berarti :[ . / . / . / FCFS / ~ / ~ ]
Model Satu Saluran Satu TahapModel Satu Saluran Satu Tahap[M/M/1][M/M/1]
Model ini : kedatangan dan keberangkatan mengikuti distribusi Poisson (M), terdapat satu pelayan, kapasistas pelayanan dan sumber kedatangan tak terbatas
Model antrian yang paling sederhana
Penentuan ciri-ciri operasi dpt dilakukan setelah diperoleh probabilitas n pengantri dalam sistem, Pn.
Melalui penurunan matematika dalam kondisi steady state dapat ditunjukkan bahwa :
nn RRP 1
R ,.....3,2,1ndimana dan
Bertolak dari rumus itu dapat diperoleh ciri-ciri operasi lain, seperti:
1. Probabilitas pada k atau lebih pengantri dalam sistem :
2. Rata-rata banyaknya pengantri dalam sistem :
R
RnPL
nn
10
3.3. Rata-rata banyaknya pengantri yang sedang antriRata-rata banyaknya pengantri yang sedang antri
4.4. Rata-rata waktu menunggu dalam sistemRata-rata waktu menunggu dalam sistem
5.5. Rata-rata waktu antriRata-rata waktu antri
6.6. Proporsi waktu nganggur pelayanProporsi waktu nganggur pelayan
R
RLq
1
2
1W
qW
RPa 1
Contoh 1Contoh 1
• Penumpang kereta api datang pada sebuah loket mengikuti distribusi Poisson dengan tingkat rata-rata 20 orang per jam. Misalkan secara rata-rata setiap penumpang dilayani 2 menit dan waktu layanan mengikuti distribusi eksponensial. Setelah sistem dalam steady state, carilah:
• a. P4 b. L c. Lq d. W e. Wq f. Po
Jawaban 1Jawaban 1 Tingkat kedatangan rata-rata (Tingkat kedatangan rata-rata (λλ) 20 per jam, dan ) 20 per jam, dan
tingkat pelayanan rata-rata (tingkat pelayanan rata-rata (μμ) 30 per jam, sehingga R ) 30 per jam, sehingga R =2/3.=2/3.
33.0321
4203030
20
6101
2030
1
33.1
32194
2
32132
9216
32
321
4
4
o
q
q
P
memitW
menitjamW
penumpangL
penumpangL
Pa.
b.
c.
d.
e.
f.
243
Contoh 2Contoh 2
• Misalkan kepala stasiun mengganti penjaga loket yang ada dengan penjaga yang lebih trampil, waktu pelayanan berkurang dari rata-rata 2 menit per penumpang menjadi 1,5 menit per penumpang (40 penumpang per jam). Namun upah penjaga yang trampil adalah Rp. 1200 per jam, yang berarti dua kali upah penjaga yang ada. Kepala stasiun juga memperkirakan biaya menunggu pengantri Rp. 50 per menit. Haruskah kepala stasiun mengganti penjaga yang ada dengan penjaga yang lebih trampil?
Jawaban 2.Jawaban 2.• Ciri-ciri sistem yang diperlukan untuk menganalisis Ciri-ciri sistem yang diperlukan untuk menganalisis
masalah itu adalah Wmasalah itu adalah Wqq dan P dan Poo yang dihitung seperti yang dihitung seperti berikutberikut
%3,3330
201
415
1
203030
20
Po
menitjamWq
Kasus 1.Pelayan yang ada memberikan= 30 penumpang
Kasus 2.Pelayan terampil memberikan= 40 penumpang
%5040
201
5,140
1
204040
20
Po
menitjamWq
Krn λ 20 orang per jam & loket dibuka 8 jam sehari, shg banyak pengantri diperkirakan 160 orang.
Waktu antri (menunggu), kasus 1 = 160 x 4 = 640 menit
kasus 2 = 160 x 1,5 = 240 menitRingkasan kedua unsur biaya :
Jadi penggantian pelayan akan menurunkan total biaya
Komponen Biaya Kasus 1 Kasus 2
Biaya tunggu pengantri 640x50 = 32.000,- 240x50 = 12.000,-
Biaya pelayanan 8 x 600 = 4.800,-
8x1.200 = 9.600,-
Total Biaya Rp. 36.800,- Rp. 21.600,-
Model Banyak Saluran Satu Tahap Model Banyak Saluran Satu Tahap [M/M/c][M/M/c]
Jika Jika steady statesteady state tercapai, tercapai, operating operating characteristics-characteristics- nya adalah:nya adalah:
1
1!
1!!
1
2
,!
,!
1
0
q
q
co
q
cnjikaPn
cnjikaPon
n
c
n
cno
WW
LW
LL
cc
cPL
P
ccn
P
o
n
n
c ! cn-c
Contoh 3Contoh 3• Karena beberapa alasan angkutan
kereta api makin diminati. Misalkan kedatangan calon penumpang mengikuti distribusi Poisson dengan rata-rata 75 per jam. Misalkan lagi, waktu pelayanan mengikuti distribusi eksponensial negatif dengan rata-rata 2 menit. Jika dibuka 3 loket, setelah steady state tercapai carilah operating characteristicsnya!
Jawaban 3Jawaban 3• Diketahui
csehingga c = 90, maka R = 75/90 = 0.8333
sistemdalammenitjamjamW
menunggumenitjamW
sistemdalampenumpangcalonL
menunggupenumpangcalonL
P
q
q
o
8.430
10467.0
8.20467.075
5.3
630
755.3
5.390751!3
907530750449.0
0449.0625.156625.6
1!33075
!23075
!13075
!03075
1
2
3
3210
Jika kepala stasiun ingin mengganti Jika kepala stasiun ingin mengganti pelayan atau mengubah jumlah loket, pelayan atau mengubah jumlah loket, maka maka operating characteristicsoperating characteristics yang yang baru perlu ditemukan untuk baru perlu ditemukan untuk membantu mengevaluasi perubahan membantu mengevaluasi perubahan biaya pelayanan dan biaya biaya pelayanan dan biaya menunggu. Dengan demikian tingkat menunggu. Dengan demikian tingkat pelayanan yang diharapkan lebih pelayanan yang diharapkan lebih menguntungkan dari segi biaya menguntungkan dari segi biaya dapat diketahui.dapat diketahui.