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Introducción a los Sistemas No Lineales

Análisis de Sistemas No Lineales

Introducción

Dr. Fernando Ornelas Tellez

Universidad Michoacana de San Nicolas de HidalgoMorelia, Michoacán

DEP-FIE

Dr. Fernando Ornelas Tellez UMSNH-FIE Division de Estudios de Posgrado 1/44


Contenido

1 Introducción a los Sistemas No Lineales

Introducción

Linealidad y principio de superposición

Fenómenos no lineales

Modelos de SNL: continuo y discreto, forzado y no forzado,autónomo y no autónomo

Puntos de equilibrio y puntos fijos.



IntroducciónLinealidad y principio de superposiciónFenómenos no linealesModelos de SNL: continuo y discreto, forzado y no forzado, autónomo y no autónomoPuntos de equilibrio y puntos fijos.

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Introducción








IntroducciónIngeniería de Control

Es el diseño de un sistema (controlador) que actúa sobre otrosistema (planta o proceso) con una finalidad de lograr un objetivo.Así, en ingeniería de control, se diseñan sistemas de control quedirigen o regulan el comportamiento de la salida de una planta oproceso mediante sus elementos de entrada.

–Proceso y SistemaUn proceso es una secuencia de operaciones para obtener un findeterminado (e.g. proceso químico), mientras que un sistema es unconcepto más general, siendo un conjunto de operadores ocomponentes que actúan relacionados de tal manera que realizanuna tarea como una unidad completa.




Intro.Sistema DinámicoEs un sistema cuyo estado evoluciona con el tiempo.

Ejemplos de Sistemas Dinámicos:




Intro.Modelo Matemático de un Sistema DinámicoEs un conjunto de ecuaciones que representan con cierto gradoexactitud la dinámica del sistema físico. El modelo se describegeneralmente como un operador entre las entradas y salidas delsistema, o como un conjunto de ecuaciones diferenciales (casocontinuo) y/o en diferencias (caso discreto).

–

Representación en Espacio de EstadoEl ente matemático para la representación de los sistemasdinámicos a estudiar será el de su representación en espacio deestados. Note que para sistemas dinámicos no lineales, no esposible su representación en el dominio de la frecuencia, como lo espara sistemas lineales.




Representación en Espacio de EstadosNecesidad de Análisis en Espacio de Estados

Los sistemas modernos de control son altamente complejos debidoa:

Múltiples entradas y salidasSistemas variantes en el tiempoDinámica no lineal

Las últimas dos características no pueden ser analizadas fácilmentepor los métodos clásico o incluso imposibles de analizar.




Definición de Estado y Vector de EstadoDefinitionEstado. Es el conjunto más pequeño de variables (variables deestado) tal que con el conocimiento de éstas en t = t0 y elconocimiento de la entrada u para t ≥ t0, se puede determinar porcompleto el comportamiento futuro del sistema dinámico.

–DefinitionVector de estado. Si se necesitan n variables de estado paradescribir el comportamiento del sistema, estas variables son loscomponentes del vector x ∈ Rn.

Un espacio de estados de dimensión n, está compuesto de n ecuacio-nes diferenciales de primer orden que pueden ser lineales o no linealesy variantes en el tiempo.




Representación en Espacio de Estados

La representación de un espacio de estados con n estados y m en-tradas de un sistema no lineal se describe como

x1 = f1 (x1, x2, . . . , xn, u1 ,u2 , . . . , um, t)x2 = f2 (x1, x2, . . . , xn, u1 ,u2 , . . . , um, t)

...xn = fn (x1, x2, . . . , xn, u1 ,u2 , . . . , um, t)

donde xi es el estado, con i = 1, ...,n; uj son las variables de entra-da, con j = 1, ...,m y fi son funciones (generalmente diferenciables)no lineales. O bien, de forma vectorial x =

[x1 x2 · · · xn

]T , u =[u1 u2 · · · un

]T y f (x , u, t) =[

f1 (x , u, t) f2 (x , u, t) · · · fn (x , u, t)]T .

La salida se puede definir como

y = h (x , u, t) .Dr. Fernando Ornelas Tellez UMSNH-FIE Division de Estudios de Posgrado 9/44



EjemploRepresentación en Espacio de Estados

ExampleDetermine la representación en función de trasferencia y en espaciode estados de la siguiente ecuación diferencial.

dn yd tn +an−1

dn−1 yd tn−1 + · · ·+a1

d yd t

+a0 y = b0 u

donde ai y bj son constantes con i = 1, ...,n, j = 1, ...,m; y es lasalida del sistema y u es la variable de entrada. Considerecondiciones iniciales cero. Defina el vector de estado x .




Aspectos Importantes del Espacio de Estados y Dominio dela Frecuencia (Laplace)

¿Es posible obtener la función de transferencia de un sistemano lineal?Sin función de transferencia, ¿como es posible aplicar losmétodos de diseño vistos en control analógico?

Posibles soluciones:

Controladores PID sintonizados por Ziegler Nichols(inconvenientes? )Modelado mediante respuesta en frecuencia (aproximadomediante linealización)




Aspectos Importantes del Espacio de Estados

El modelado en espacio de estados es el apropiado para diseño desistemas de control no lineales. Adecuado para utilizar técnicas avan-zadas de control como:

Control NeuronalTeoría de RegulaciónControl Óptimo Lineal y No LinealAnálisis de Estabilidad en el sentido de LyapunovAlgoritmos Difusos

También puede aplicarse a sistemas lineales.




Intro.Componentes Principales de un Sistema de Control

Un esquema básico de un sistema de control comprenderá:

Planta: es el proceso o sistema sobre el que se desea actuar ocontrolar.Controlador: es el sistema que genera la entrada requeridapara que la planta se comporte de una manera predeterminada.Entrada de Referencia: es la señal externa de referencia paralas salidas de la planta y que el controlador tomará en cuentaen el diseño.Señal de Control: es la señal generada por el controlador yque es aplicada a la planta.Salida de la Planta: es la variable de salida de la planta osistema la cual se desea controlar.




Intro.Tipos de Sistemas de Control

Existen diferentes clasificaciones para los sistemas de control depen-diendo del enfoque del problema a analizar o diseñar, por ejemplo:

De acuerdo a su estructura: sistema de control a lazo abierto ylazo cerrado.De acuerdo a su análisis: esquemas lineales y no lineales.De acuerdo a su comportamiento dependiente o no deltiempo:sistemas variantes e invariantes con el tiempo, o másgeneral, no autónomos y autónomos, respectivamente.De acuerdo al marco del tiempo: sistemas continuos ydiscretos.




Intro.

Dado que la mayoría de los sistemas a analizar y diseñar son sistemasno lineales dinámicos (p.e., circuitos eléctricos, sistemas mecánicos,biológicos, entre otros), es conveniente el uso de herramientas deanálisis no lineal. El objetivo del curso es introducir y comprenderesas herramientas.

En particular, se presentarán herramientas para análisis de estabilidadde sistemas no lineales (SNL), con énfasis en el método de Lyapunov.Adicionalmente se introducen herramientas básicas para control porretroalimentación de SNL incluyendo linealización por retroalimenta-ción (para tratar al sistema no lineal como si fuese lineal).




Intro.

El porque de un análisis de SNL: conocer el comportamiento ypropiedades de un sistema de control es crucial para posteriormentepoder modificarlo o mejorarlo mediante estrategias de control.

Las ventajas en el control de un sistema del cual se tiene conoci-miento de su estructura y comportamiento son inmensas, e incluyenmejoras en su respuesta, análisis de su estabilidad, mejoras en larobustez de los controladores, reducción en el consumo de energía,mayores niveles de seguridad.




Intro.Descripción del Sistema No Lineal

Se analizará un sistema dinámico el cual puede ser modelado porun número finito de ecuaciones diferenciales ordinarias (ODEs) deprimer orden acopladas, representado como

x = f (x ,u, t) (1)

donde x ∈Rn es el vector de estado, u ∈Rm es el vector de entradas(utilizadas para fines de control y que puede ser u(t) ó u(x)) y t esel tiempo. Usualmente se tiene la salida, la cual podemos representarcomo

y = h(x ,u, t) (2)

donde y ∈Rp es un vector de p variables de salida de interés (varia-bles medidas por los sensores de un sistema o proceso).




Intro.Esquema de Control de un Sistema No lineal




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Introducción








Linealidad y Principio de Superposición

Considere un sistema dado en espacio de estado como

x = f (x ,u)

y = h(x ,u).

Por conveniencia, asumiremos que origen es un punto de equilibriopara el sistema, es decir, para xe = 0, ue = 0, hacen que f (0,0) = 0y h(0,0) = 0, si no es así, suponiendo que el punto de equilibrio esxe 6= 0, etc., se hace un cambio de variables como

x = x− xe , u = u−ue , y = y − ye

para obtener

˙x = f (x , u)

y = h(x , u), Con equilibrio en el origen.




Linealidad y Principio de Superposición

Un sistema se dice que es lineal si satisface las siguientes propiedades:

1 y(t;αx1 +βx2,0) = αy(t;x1,0)+βy(t;x2,0)2 y(t;αx0,δu) = αy(t;xo ,0)+δy(t;0,u)

3 y(t;0,δu1 + γu2) = δy(t;0,u1)+ γy(t;0,u2).

La propiedad 2 es la descomposición usual de un sistema en su res-puesta homogénea (u = 0) y la respuesta particular (x0 = 0).

La propiedad 3 es la definición formal del principio de superposición.




Principio de Superposición




Principio de Superposición

DefinitionUn sistema es no lineal si no se aplica el principio de superposición.

Por tanto, para un sistema no lineal la respuesta a dos entradas nopuede calcularse tratando cada una a la vez y sumando los resultados.

(Tarea) Simular un sistema lineal y uno no lineal para comprobar elprincipio de superposición:

x =−ax +u, x(0) = x0, a > 0, y = x

x =−ax3 +u, x(0) = x0, a > 0, y = x .

Simular para una entrada tipo escalón (u1 = 1,u2 = 2) o entradassinusoidales.




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Introducción








No Linealidades

Es deseable que los modelos matemáticos sean lineales, esto por susencillez con respecto a los no lineales, y porque en muchos casospueden representar en forma precisa el comportamiento de sistemasreales. Sin embargo, los avances tecnológicos actuales han generadouna enorme variedad de nuevos problemas y aplicaciones que son deltipo no lineal.

Aunque algunos sistemas físicos tienen una región de operación muycercana a la lineal para cierto rango de valores de entrada y salida,otros sistemas importantes son no lineales para señales de cualquiertamaño.




No Linealidades

En la práctica, muchos sistemas electromecánicos, hidráulicos, neu-máticos, etc., involucran relaciones no lineales entre las variables.Por ejemplo, la salida de un componente puede saturarse para seña-les de entrada grandes. Puede haber una zona muerta que afecte lasseñales pequeñas . (La zona muerta de un componente es un rangopequeño de variaciones de entrada ante las cuales el componente esinsensible). Puede ocurrir una no linealidad de la ley cuadrática enalgunos componentes.




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Introducción








Descripción del Sistema No Lineal

El sistema (1) se dice forzado cuando explícitamente aparece la en-trada u. Cuando para el sistema (1) no aparece explícitamente laentrada u (ya sea por que es cero (no existe) o es utilizada como re-troalimentación), se dice que el sistema es no forzado (o la ecuaciónde estado es no forzada), cuya respuesta viene dada por

x = f (x , t). (3)





En este curso se abordarán tanto sistemas invariantes en el tiempo(Autónomo), donde x = f (x) no depende explícitamente del tiempo.

También se tratarán los sistemas variantes en el tiempo (No Au-tónomo), donde el lado derecho de (3) es una función explícita deltiempo, esto es x = f (x , t).





El sistema no lineal (1) se dice continuo debido a que su comporta-miento viene gobernado por una ecuación diferencial, sin embargo,también existe el modelado discreto o la representación discreta deun sistema, ya sea que tal discretización sea obtenida por la dis-cretización de un modelo continuo, o bien, por que el sistema pornaturaleza sea discreto (p.e., algoritmos de computadora, sistemasmuestreados como el Radar, modelos económicos, convertidores depotencia, etc), que se puede representar con ecuaciones en diferenciascomo

x(k +1) = f (x(k),u(k),k).

Este curso se enfocará principalmente a sistemas no lineales conti-nuos.




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Puntos de Equilibrio

Un concepto importante al trabajar con la ecuación de estado es elconcepto de punto de equilibrio.

DefinitionUn vector xe ∈Rn es un punto de equilibrio del sistema no forzado(3), si

f (xe , t) = 0, ∀t ≥ 0.

Si xe es un punto de equilibrio de (3), entonces la ecuación diferencial

x = f (x , t), ∀t ≥ 0, x(t) = xe

tiene la soluciónx(t) = xe , ∀t ≥ 0

i. e., si el sistema inicia en el equilibrio, este permanecerá en él paratodo tiempo (si ninguna fuerza actúa sobre el sistema).




Múltiples Puntos de Equilibrio

Un sistema lineal x = A(t)x puede tener solamente un punto aisladode equilibrio, x = 0. Así, el sistema sólo puede tener un punto deoperación en estado estable, siempre y cuando el punto de equilibriosea estable, el cual es un atractor del estado del sistema de formaindependiente de la condición inicial.

Un sistema no lineal puede tener más de un punto de equilibrio ais-lado, y el estado puede converger a uno de los muchos puntos deoperación en estado estable, dependiendo de la condición inicial delsistema.

DefinitionUn punto fijo x∗ es aquel que satisface la condición x∗ = T (x∗).

Es decir, el mapeo o transformación T deja a x∗ invariante.Dr. Fernando Ornelas Tellez UMSNH-FIE Division de Estudios de Posgrado 33/44



Sistemas Lineales

Dada la simplicidad de los sistemas lineales, es deseable, si es posible,hacer linealizaciones de sistemas no lineales.

Para ello se requiere que las funciones no lineales f (x ,u, t) y h(x ,u, t)sean lo suficientemente suaves1 para ser expandidas en series de Tay-lor.

1Suficientemente suave implica que las funciones f (x ,u,t) y h(x ,u,t)puedan puedan ser derivables.




Linealización

El método de linealización puede no ser suficiente para el análisis ydescripción del comportamiento de un sistema no lineal en todo elrango de operación. Hay dos limitaciones básicas de la linealización:

1 Ya que la linealización es llevada a cabo sobre un punto deoperación, sólo se puede predecir el comportamiento local delsistema no lineal en una vecindad de ese punto. En general noes sencillo inferir por el comportamiento no local, y de ningunamanera el comportamiento global a través del espacio deestado.

2 La dinámica del sistema no lineal es mucho más rica que la deun sistema lineal. Hay fenómenos no lineales que no podríanobtenerse por los modelos lineales (p.e., tiempo de escapefinito,ciclos limite, múltiples equilibrios aislados, caos, etc.).




Tiempo de Escape Finito

Para un sistema lineal inestable, el estado va a infinito conforme eltiempo se aproxima al infinito

Para un sistema no lineal, el estado puede ir a infinito en un tiempofinito. Por ejemplo, considere la ecuación diferencial

x = x2, x(0) = x0.

La solución es:x(t) =

x0

1− x0t

De esta manera se infiere que x(t)→ ∞ cuando t→ 1x0

.




Ciclos Límites

Para que un sistema lineal invariante en el tiempo llegue a oscilar,este debe tener un par de eigenvalores sobre el eje imaginario (Tarearealizar el oscilador):

x1 = x2

x2 = −ω2x1, ω− constante

la cual no es una condición robusta. Esta condición es imposiblemantener en presencia de perturbaciones, o su amplitud dependeráde la condición inicial.

En casos prácticos, las oscilaciones estables deben ser producidaspor sistemas no lineales. Hay sistemas no lineales los cuales van a unestado de oscilación de amplitud y frecuencia fija, no importando elestado inicial. Este tipo de oscilación es conocido como ciclos límite[1]. Dr. Fernando Ornelas Tellez UMSNH-FIE Division de Estudios de Posgrado 37/44



Determinación de Puntos de EquilibrioEjemplo: Péndulo simple

Considere el péndulo





Usando la segunda ley de Newton, la ecuación de movimiento en aldirección tangencial viene dada por

ml θ =−mg sinθ −kl θ .

Para obtener la representación en espacio de estado del péndulo,definimos x1 = θ y x2 = θ , entonces la ecuación de estado resultantees (Tarea: su deducción)

x1 = x2

x2 = −glsinx1−

km

x2

Para encontrar los puntos de equilibrio, se hace x1 = x2 = 0 y seresuelve para x1 y x2.





(Tarea) Los puntos de equilibrio están localizados en (nπ,0) paran = 0,±1,±2,±3, . . .

De la descripción física del péndulo, es claro que sólo se tienen dosposiciones de equilibrio correspondientes a los puntos de equilibrio(x1,x2) = (0,0) y (x1,x2) = (π,0). Los otros puntos son repeticionesde los anteriores.

La diferencia entre los dos puntos de equilibrio está en sus propieda-des de estabilidad.




Ejemplo: Circuito del Diodo Túnel

Explicar su comportamiento no lineal y discutir sus puntos de equi-librio.




Ejemplo: Sistema Masa-Resorte

Explicar su comportamiento no lineal y discutir sus puntos de equi-librio.


Appendix For Further Reading

For Further Reading I

H. Khalil,Nonlinear Systems,Prentice-Hall, 2002.

J-J. E. Slotine and W. Li,Applied Nonlinear Control,Prentice-Hall, 1991.

M. Vidyasagar,Nonlinear Systems Analysis,Prentice-Hall, 1993.

S. H. Strogatz,Nonlinear Dynamics and Chaos,Perseus Publishing, 2002.


Appendix For Further Reading

For Further Reading II

S. Someone.On this and that.Journal on This and That. 2(1):50–100, 2000.


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