Análisis y Control de Sistemas Lineales · Realimentación de estado integral (2) Se define un...
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Análisis y Control de
Sistemas Lineales
Sintonía del PID 2DoF
Contenido
◼ Realimentación de estado integral (REI)
◼ El PID 2DoF como REI
◼ Cálculo de las constantes del PID
◼ Ejemplos y ejercicios
◼ Resumen
◼ Referencias
Realimentación de estado
integral
◼ Se parte de un sistema tipo 0, que no tiene
polos en el origen y se le agrega un nuevo
estado, la integral del error r-y.
r(t) y(t)x(t)u(t)
(t)
)()()()(
)()()(
ttrtytr
tkttu I
Cx
Kx
−=−=
+−=
)()(
)()(
tty
tut
Cx
BAxx
=
+=
Realimentación de estado
integral (2)
◼ Se define un nuevo vector de estado
aumentado
◼ Se escriben las ecuaciones del sistema
aumentado para t > 0
)(1
)(0)(
)(
0)(
)(trtu
t
t
t
t
+
+
−=
0Bx
C
0Ax
)(
)(
t
t
x
Realimentación de estado
integral (3)
◼ Se desea que en estado estacionario y() = r;
por lo que , con (), u() y x()
tendiendo a valores constantes.
0=
)(1
)(0)(
)(
0)(
)(
+
+
−=
ru
0Bx
C
0Ax
)(1
)(0)(
)(
0)(
)(trtu
t
t
t
t
+
+
−=
0Bx
C
0Ax
repetida
Realimentación de estado
integral (4)
◼ Con r(t) escalón, r() = r, constante, para t > 0.
Al restar las ecuaciones anteriores tenemos:
◼ Se definen nuevas variables diferencia
)()()(
)()()(
)()()(
−=
−=
−=
ututu
tt
tt
e
e
e
xxx
)()(0)()(
)()(
0)()(
)()(−
+
−
−
−=
−
−utu
t
t
t
t Bxx
C
0Axx
Realimentación de estado
integral (5)
◼ Entonces
◼ Se definen
◼ Por lo que
◼ Finalmente
)(0)(
)(
0)(
)(
ˆˆ
tut
t
t
te
e
e
e
e
BA
Bx
C
0Ax
+
−=
)()()( tkttu eIee +−= Kx
1n)(
)()(
+
=
t
tt
e
e
xe
)(ˆ)(ˆ)( tutt eBeAe +=
)(ˆ)( ttue eK−=
1n
ˆ+
−= IkKK
( ) )(ˆˆˆ)( tt eKBAe −=
Controlabilidad
◼ La controlabilidad puede probarse con la
matriz de controlabilidad aumentada
𝐌 = 𝐁 𝐀𝐁 𝐀2𝐁 … 𝐀𝑛−1𝐁
◼ Opcionalmente, la controlabilidad puede
probarse verificando que la matriz
tiene rango n+1.
)1)*(1(0
++
−nn
C
BA
Estructura del PID_2DoF
y(t)r(t)
𝐼_𝑃𝐷(𝑠) = +(R s − Y s )Ki
s− Y s Kp − Y(s)Kd
s
(ns + 1)
Kds
(ns + 1)
Kp
PID_2DoF como REI
r(t)
𝐼_𝑃𝐷(𝑡) = 𝐾𝑖න0
𝑡
𝑟 𝑡 − 𝑦 𝑡 𝑑𝑡 − y t 𝐾p −𝑑𝑦 𝑡
𝑑𝑡𝐾d
Cálculo de las ganancias
◼ Los valores deseados de los valores propios
de se especifican como ;
entonces, si el sistema es de estado
completamente controlable, la matriz 𝐊 = [Kp Kd −Ki], compuesta de matriz de
realimentación de estados K = [K1 K2] y de la
constante integral Ki para el sistema
homogéneo
pueden determinarse.
121 ,, , +n KBA ˆˆˆ −
( ) )(ˆˆˆ)( tt eKBAe −=
Cálculo de 𝐊
◼ Para este caso, con la matriz de ganancias
𝐊 = 𝐾𝑝 𝐾𝑑 −𝐾𝑖
◼ Expresamos la planta en FCC, forma
canónica controlable, con la salida como
primera variable de estado.
ሶ𝐱 =0 1
−𝑎0 −𝑎1
𝑦ሶ𝑦 +
0𝑏0
𝑢
𝐲 = 1 0𝑦ሶ𝑦
Modelo aumentado 𝐀, 𝐁, 𝐊
𝐀 =𝐀 0−𝐂 0
=0 1 0
−𝑎0 −𝑎1 0−1 0 0
𝐁 =𝐁0
=0𝑏00
𝐊 = 𝐾𝑝 𝐾𝑑 −𝐾𝑖
Encontrando el polinomiocaracterístico con 𝐀, 𝐁, 𝐊
𝜑 𝑠 = 𝑑𝑒𝑡 𝑠𝑰 − 𝐀 − 𝐁𝐊
𝜑 𝑠 = 𝑠3 + 𝑎1 + 𝐾𝑑𝑏0 𝑠2 + 𝑎0 + 𝐾𝑝𝑏0 𝑠 + 𝐾𝑖𝑏0
◼ Se calcula el polinomio característico a partir
de los polos deseados, denominados 𝜇𝑖, para
luego comparar uno a uno los coeficientes.
𝜑 𝑠 = 𝑠 − 𝜇1 ∗ 𝑠 − 𝜇2 ∗ 𝑠 − 𝜇3
Ejemplo 1: PID_2DoF
◼ Se tiene el modelo de un levitador magnético
G(s), linealizado alrededor de 2cm. Se desea:
𝐺 𝑠 =−2200
(s + 220)(s + 30) (s − 30)
a) Estabilizar el sistema y ubicar los polos
dominantes de lazo cerrado en:
s1,2 = -3 ± j3 y en s3 = -20
a) Eliminar el error de estado estacionario
Dimensione un compensador PID_2DoF para
cumplir con estos objetivos
Ejemplo 1: Reducción del
orden de la planta*
◼ Sustituyendo el polo menos dominante por su
equivalente de CD
G s =−2200
s + 30 s − 30 lims→0
(s + 220)
G s =−10
s + 30 s − 30
* El modelo a utilizar debe tener orden 2
Ejemplo 1: Representación de
la planta en forma FCC
◼ Se expresa G(s) en forma desarrollada
◼ Se transcribe a forma canónica controlable,
con la salida como primera variable de
estado.
ሶ𝐱 =0 1
900 0𝐱 +
0−10
𝑢
𝐲 = 1 0 𝐱
G s =−10
𝑠2 − 900
Ejemplo 1: Prueba de
controlabilidad
◼ Se comprueba que el rango de la matriz
◼ sea n+1
3
001
100900
010
=
−
−rango
− 0C
BA
Ejemplo 1: Cálculo de 𝐊
◼ Evaluando el polinomio característico del
sistema deseado
𝜑 𝑠 = 𝜆 + 3 − 3𝑗 ∗ 𝜆 + 3 + 3𝑗 ∗ 𝜆 + 20
𝜑 𝑠 = 𝑠3 + 26𝑠2 + 138𝑠 + 360
Comparando coeficientes con
𝜑 𝑠 = 𝑠3 + 𝑎1 + 𝐾𝑑𝑏0 𝑠2 + 𝑎0 + 𝐾𝑝𝑏0 𝑠 + 𝐾𝑖𝑏0
Ejemplo 1: Cálculo de 𝐊
◼ Comparando coeficientes, con
𝑎1 = 0, 𝑎0 = −900 𝑦 𝑏0 = −10
𝑎1 + 𝐾𝑑𝑏0 = 26 ⇒ 𝐾𝑑 =(26 − 𝑎1)
𝑏0= −2.6
𝑎0 + 𝐾𝑝𝑏0 = 138 ⇒ 𝐾𝑝 =(138 − 𝑎0)
𝑏0= −103.8
𝐾𝑖𝑏0 = 360 ⇒ 𝐾𝑖 =360
𝑏0= −36
Ejemplo 1: Modelo en Simulink
◼ Simulación del comportamiento ante
perturbaciones, con d = 0.02.
Ejemplo 1: Resultados PID_DoF
◼ Respuesta ante perturbaciones con ref. = 0.02m cte.
3 4 5 6 7 8
0.01
0.015
0.02
0.025
Tiempo [s]
Am
plitu
d
Respuesta ante perturbaciones impulsivas en la entrada y salida de la planta
Acción de control [V/100]
Posición [m]
Referencia [m]
Ejemplo 1: Análisis de resultados
◼ El control REI para el PID_2DoF funciona
estabilizando la planta y eliminando la
influencia de las perturbaciones, impuestas
tanto a la entrada como a la salida de la
planta.
◼ La respuesta tiene un sobrepaso apreciable
al recuperarse de las perturbaciones.
Eventualmente la ubicación de los polos
dominantes con un mayor amortiguamiento
relativo mejore esta respuesta.
Ejemplo 2: Requisitos
◼ Para el sistema siguiente, con un I_PD,
coloque los polos de lazo cerrado en las
ubicaciones [-4+3j, -4-3j, -10]
◼ Se verifica la controlabilidad y resulta que la
matriz tiene rango n+1
0 1 0( ) ( )
5 6 4
( ) 1 0 ( )
t u t
y t t
= +
− −
=
x x
x
0 1 0
5 6 40
1 0 0
= − − − −
A B
C
Ejemplo 2: Cálculo de
ganancias
◼ El polinomio característico deseado es
◼ Con 𝑎0 = 5, a1 = 6 y b0 = 4
𝐾𝑑 =(18 − 𝑎1)
𝑏0= 3
𝐾𝑝 =(105 − 𝑎0)
𝑏0= 25
𝐾𝑖 =250
𝑏0= 62.5
3 2( ) 18 105 250s s s s = + + +
Ejemplo 2: Resultados
Ejemplo 2: Análisis de result.
◼ Puede observarse en la gráfica de respuesta
temporal que la salida se comporta como se
esperaba:
◼ Tiene un tiempo de estabilización de aprox. 1s, debido a la
ubicación de los polos dominantes a cuatro unidades del
eje imaginario.
◼ Posee un sobreimpulso menor al 2% debido a que los
polos dominantes tienen un amortiguamiento de 0.8.
◼ Presenta cero error de estado estacionario ante una
entrada escalón, debido a la acción integral.
◼ Muestra la eliminación del efecto a la salida de las
perturbaciones; aplicadas a la entrada y salida de la planta
en 6 y 8 segundos respectivamente.
Ejercicio 1: Diseño de servo
◼ Se tiene la planta dada por G(s). Se desea:
a) Obtener una respuesta sin sobrepaso que se
estabilice en 200ms o menos y un Mp <=5%.
b) Eliminar el error de estado estacionario
Objetivo: Dimensione un compensador
PID_2DoF para cumplir con estos dos requisitos.
𝐺 𝑠 =1331
𝑠2 + 39.17𝑠 + 1265
Ejercicio 1: Diseño de servo
Ejercicio 1: Diseño de servo
- Referencia
- Posición
- Acción de control
- Estado x1
- Estado x2
Resumen
◼ El método de realimentación de estado integral
corrige el error de estado estacionario, aún ante
perturbaciones o variaciones de parámetros;
pues aumenta el tipo de sistema en uno.
◼ Las ganancias requeridas Kp, Kd y Ki para un
PID 2DoF pueden calcularse por sustitución
directa con el método de REI.
Referencias
◼ Ogata, Katsuhiko. „Ingeniería de Control
Moderna“, Pearson, Prentice Hall, 2003, 4ª
Ed., Madrid.
◼ Dorf, Richard, Bishop Robert. „Sistemas de
control moderno“, 10ª Ed., Prentice Hall,
2005, España.