ANÁLISIS DE SISTEMAS ELECTRÓNICOS REALIMENTADOS · racterísticas como por ejemplo la ganancia de...

ANÁLISIS

DE SISTEMAS ELECTRÓNICOS

REALIMENTADOS

DESVANECIMIENTO

J.M. Milá de la Roca P.

EDITORIAL MIL CARACAS

2006

II

Esta obra se encuentra revisión; cualquier observación que UD tenga se le agradece comunicarla al autor. [email protected]

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PREFACIO

Motivado por las inquietudes de los estudiantes de la Escuela de Ingeniería Eléctrica de la Universidad Central de Venezuela me propuse exponer en este pequeño trabajo el resultado de mi dedicación personal en electrónica básica; específicamente, se-gún mi opinión, sobre uno de los temas fundamentales y de im-portancia capital que se abordan en los estudios de electrónica: la realimentación. Hablando en forma restringida con relación a la electrónica, la realimentación es una necesidad en todos los equipos electrónicos, sin ella no es posible el funcionamiento adecuado de los innumerables equipos electrónicos que rodean al ser humano en la actualidad. De aquí su importancia; de hecho, todos los textos de electrónica básica la tratan y propo-nen una metodología para el análisis de los circuitos que la po-seen. En este trabajo se plantea un nuevo procedimiento para el análisis de las estructuras realimentadas que se denominó des-vanecimiento.

En primer lugar se introduce el concepto de la realimentación como un hecho físico y se estudian las influencias que sobre las características y propiedades de los sistemas ejerce; luego se expone un procedimiento cerrado de solución analítica para el análisis de estructuras electrónicas realimentadas. El procedi-miento descrito es general; o sea, no se requiere de la clasifica-ción previa de la estructura bajo observación. Tal proceder es único, siempre el mismo, independiente de la topología de la estructura. Posteriormente, se interpretan las expresiones, que son obtenidas con la metodología planteada, para relacionarlas con las características y propiedades que se obtienen al reali-mentar un sistema electrónico. Por último, se elabora un con-junto de ejercicios, totalmente resueltos, con el fin de orientar al estudiante sobre la metodología y procedimientos definidos.

El autor espera que los esfuerzos realizados por los lectores al emprender la lectura de las presentes páginas les sea una tarea

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agradable y, lo más importante, sus aspiraciones sobre el tema satisfechas. Así mismo les da las gracias por invertir su invalo-rable tiempo en la lectura de las mismas.

La dedico a los estudiantes de la Escuela de Ingeniería Eléctrica de la Universidad Central de Venezuela, cuyo entusiasmo y cu-riosidad me han inspirado, y cuyas preguntas y sugerencias me han enseñado.

J.M. Milá de la Roca.

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CONTENIDO

1 INTRODUCCIÓN................................................................. 1 2 ESTRUCTURA GENERAL DE LOS CIRCUITOS

REALIMENTADOS ............................................................. 3 2.1 CONSIDERACIONES GENERALES.........................................3 2.2 COMPORTAMIENTO DE LOS SISTEMAS

REALIMENTADOS....................................................................6 3 PROPIEDADES DE LA REALIMENTACIÓN .................. 19

3.1 EFECTO SOBRE LA GANANCIA ...........................................19 3.2 INFLUENCIA DE LA REALIMENTACIÓN EN LA

RELACIÓN SEÑAL RUIDO DE UN AMPLIFICADOR .............21 3.3 INFLUENCIA SOBRE EL ANCHO DE BANDA .......................23 3.4 EFECTO SOBRE LA LINEALIDAD .........................................27 3.5 DISTORSIÓN EN ESTRUCTURAS

REALIMENTADAS. .................................................................33

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4 ANÁLISIS DE SISTEMAS REALIMENTADOS ............. 37 4.1 ANÁLISIS DE SISTEMAS REALIMENTADOS.

AMPLIFICADORES ........................................................... 37 4.2 ANÁLISIS DE SISTEMAS REALIMENTADOS.

ESTRUCTURAS DIFERENCIALES .................................. 41 4.3 ANÁLISIS DE SISTEMAS MÚLTIPLEMENTE

REALIMENTADOS ............................................................ 44 4.4 ANÁLISIS DE LA CONDICIÓN DE LINEALIDAD

PARA LOS SISTEMAS REALIMENTADOS ...................... 65 4.5 CONSIDERACIONES SOBRE LA RESPUESTA DE

FRECUENCIA DE ESTRUCTURAS REALIMENTADAS ............................................................ 68

4.6 ESTRUCTURAS LINEALES A TROZOS .......................... 70

5 IMPEDANCIA ENTRE DOS PUNTOS DE UN SISTEMA REALIMENTADO........................................... 75 5.1 IMPEDANCIA ENTRE DOS PUNTOS

ARBITRARIOS DE UN AMPLIFICADOR REALIMENTADO .............................................................. 75

5.2 IMPEDANCIA ENTRE DOS PUNTOS ARBITRARIOS DE UN SISTEMA REALIMENTADO. AMPLIFICADOR DIFERENCIAL ........ 78

5.3 IMPEDANCIA ENTRE DOS PUNTOS ARBITRARIOS DE UN SISTEMA MÚLTIPLEMENTE REALIMENTADO................................ 80

5.4 MODIFICACIÓN DE LA IMPEDANCIA ENTRE DOS PUNTOS DE UNA ESTRUCTURA.................................... 84

6 OSCILADORES LINEALES ........................................... 89 6.1 OSCILADORES. ESTRUCTURA GENERAL ................... 9 0

6.2 DETERMINACIÓN DE LAS CONDICIONES DE OSCILACIÓN..................................................................... 92

6.3 OSCILADORES POLIFÁSICOS........................................ 95 6.4 ESTABILIDAD EN FRECUENCIA .................................... 96 6.5 ESTABILIDAD EN AMPLITUD Y DISTORSIÓN ............... 99

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7 ESTRUCTURAS REALIMENTADAS QUE PRESENTAN HISTÉRESIS ............................................ 103 7.1 CONSIDERACIONES GENERALES.....................................103 7.2 COMPARADORES. ESTRUCTURA GENERAL ..................105 7.3 REALIMENTACIÓN AGREGADA A ESTRUCTURAS

CON HISTÉRESIS ................................................................110 8 EJEMPLOS. DISPOSITIVOS ACTIVOS

DISCRETOS .................................................................... 127 8.1 AMPLIFICADOR DE DOS ETAPAS......................................127 8.2 AMPLIFICADOR DE ACOPLAMIENTO DIRECTO ...............136 8.3 AMPLIFICADOR DE UNA ETAPA. BJT ...............................138 8.4 AMPLIFICADOR DE UNA ETAPA. FET...............................140 8.5 AMPLIFICADOR DIFERENCIAL. BJT..................................141 8.6 AMPLIFICADOR COMPUESTO. FET BJT............................143 8.7 AMPLIFICADOR DIFERENCIAL. FET .................................147 8.8 RESPUESTA DE FRECUENCIA...........................................149 8.9 COMPARADOR DE LAZO CERRADO .................................152 8.10 AMPLIFICADOR DE TRES ETAPAS (EC, BC, EC)

DOBLEMENTE REALIMENTADO.........................................154 8.11 AMPLIFICADOR DE TRES ETAPAS (EC, EC, EC)

DOBLEMENTE REALIMENTADO.........................................157 8.12 AMPLIFICADOR DE DOS ETAPAS ACOPLAMIENTO

DIRECTO. ESTABILIDAD DE LA TENSIÓN DE SALIDA ..............................................................................162

8.13 FUENTE DE TENSIÓN CONTROLADA POR CORRIENTE .........................................................................164

8.14 AMPLIFICADOR DE TRES ETAPAS (EC, EC, EC) RESPUESTA DE FRECUENCIA...........................................166

8.15 AMPLIFICADOR COMPUESTO. FET BJT. RESPUESTA DE FRECUENCIA...........................................169

8.16 AMPLIFICADOR DE TRES ETAPAS (EC, EC, EC) REALIMENTADO POR RESISTENCIA COMÚN ..................174

8.17 AMPLIFICADOR DE POTENCIA REALIMENTADO .............177 8.18 AMPLIFICADOR COMPUESTO. TRANSISTORES

COMPLEMENTARIOS ..........................................................182 8.19 MODIFICACIÓN DEL NIVEL DE IMPEDANCIA....................189

X

9 EJEMPLOS. AMPLIFICADORES OPERACIONALES ........................................................199 9.1 AMPLIFICADOR OPERACIONAL REAL......................... 199 9.2 FUENTE DE CORRIENTE .............................................. 204 9.3 LIMITADOR REALIMENTADO ........................................ 206 9.4 RECTIFICADOR DE MEDIA ONDA ................................ 212 9.5 RECTIFICADOR DE ONDA COMPLETA

DESPLAZADO................................................................. 215 9.6 ESTRUCTURA LINEAL A TROZOS................................ 218 9.7 ESTRUCTURA LINEAL A TROZOS INVERSORA.......... 221 9.8 GENERADOR DE DIENTES DE SIERRA....................... 226 9.9 GENERADOR DE DIENTES DE SIERRA II .................... 228 9.10 AMPLIFICADOR COMPUESTO...................................... 231 9.11 FILTRO DE 2º ORDEN. MÚLTIPLES

REALIMENTACIONES .................................................... 235 9.12 AMPLIFICADOR MULTIETAPAS .................................... 239 9.13 AMPLIFICADOR MULTIETAPAS II ................................. 241 9.14 AMPLIFICADORES COMPUESTOS.

MULTIETAPAS................................................................ 244 9.15 AMPLIFICADORES COMPUESTOS II.

MULTIETAPAS................................................................ 246 9.16 OSCILADOR TRIFÁSICO................................................ 250 9.17 OSCILADOR PUENTE WIEN.......................................... 253 9.18 OSCILADOR SINTONIZADO DE BAJA

FRECUENCIA ................................................................. 256 9.19 COMPARADOR DE LAZO CERRADO.

OPERACIONAL............................................................... 261 9.20 FORMAS DE ONDAS DE SALIDA .................................. 264 9.21 GENERADOR DE ONDA CUADRADA ........................... 269 9.22 GENERADOR DE FUNCIONES. FORMAS DE

ONDAS TRIANGULARES Y CUADRADAS .................... 274 9.23 GENERADOR DE ONDAS. CICLO DE TRABAJO

VARIABLE ....................................................................... 277 9.24 GENERADOR DE PULSO............................................... 281 9.25 GENERADOR DE PULSO II............................................ 286

XI

9.26 GENERADOR DE ONDAS....................................................289 9.27 GENERADOR DE ONDA DE TRES NIVELES......................293 9.28 GENERADOR CONTROLADO POR TENSIÓN I..................301 9.29 GENERADOR CONTROLADO POR TENSIÓN II.................306 9.30 GENERADOR DE ESCALERA .............................................312 9.31 GENERADOR DE ONDAS DE DURACIÓN VARIABLE .......318 9.32 ESTRUCTURA MULTIPLEMENTE REALIMENTADA I.

COMPORTAMIENTO............................................................322 9.33 ESTRUCTURA MULTIPLEMENTE REALIMENTADA

II. COMPORTAMIENTO. .......................................................333 9.34 GENERADOR DE ONDAS EXPONENCIALES DE

FORMA VARIABLE ...............................................................341 ANEXOS.......................................................................... 349

ANEXO 1 AMPLIFICADOR COMPLETAMENTE CARGADO. BJT........................................................349

ANEXO 2 AMPLIFICADOR COMPLETAMENTE CARGADO. FET .......................................................364

ANEXO 3 ESTRUCTURAS UNIDIRECCIONALES ....................366 ANEXO 4 MULTIPLICACIÓN E INVERSIÓN DE

MATRICES.................................................................369 ANEXO 5 TRANSFORMADA DE LAPLACE. .............................373 ANEXO 6 SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DE TERCER

GRADO. .....................................................................377 BIBLIOGRAFÍA............................................................... 379

1

1 INTRODUCCIÓN

La realimentación es un concepto físico y no una definición ma-temática; tal vez, esta es la razón por la cual este tema presenta cier-tas singularidades para su estudio. El concepto físico consiste en to-mar información de un punto de un sistema cualquiera e introducir esta información en otro punto anterior, con relación al discurrir del proce-so; lográndose de esta manera que forme parte de la información que procesa el sistema e intervenir en la salida. El hecho de tomar infor-mación de un punto e introducirla en otro punto, requiere que la ener-gía disponible en el punto de origen de la información sea mayor que en el punto de destino. Por lo tanto, los sistemas susceptibles de ser realimentados deben poseer un mecanismo que incremente la energía de la información a medida que fluye por el sistema; de otra forma la realimentación no puede realizarse. El objetivo fundamental de la re-alimentación es modificar la salida del sistema y en lo posible hacerla independiente de algunos parámetros del propio sistema. De está for-ma, lograr controlar al sistema con más facilidad; o sea, el valor de la salida dependerá de la entrada y de un menor número de parámetros del propio sistema.

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Las estructuras electrónicas poseen el requisito indispensable para establecer un flujo de información en sentido contrario al que normalmente fluye por ellas; o sea, en su seno encontramos elemen-tos activos que son los responsables del incremento de energía de la información. Específicamente, estos elementos son las fuentes con-troladas que poseen los modelos de los dispositivos activos.

En los sistemas electrónicos la realimentación permite que ca-racterísticas como por ejemplo la ganancia de tensión de un amplifica-dor sea prácticamente independiente a las variaciones que presentan los parámetros de los dispositivos activos que lo constituyen. En la práctica, la realimentación juega un papel de tal importancia que todos los sistemas reales la poseen; y de hecho, se puede decir que su fun-cionamiento dejaría mucho que desear si no estuviera controlado por la realimentación. En general se requieren de tantos lazos, caminos de reinyección de la señal, como características se desean controlar.

En estas páginas se estudiará la realimentación que se le añade a una estructura que posee uno o varios amplificadores electrónicos para controlar sus características. Analizaremos conceptos generales, aplicables a todos los circuitos realimentados. Se planteará un proce-dimiento general para el estudio de los circuitos realimentados; tal mé-todo no requiere de la clasificación previa de la estructura para mode-larla y proceder de una cierta forma que dependa del modelo obtenido para la estructura; el procedimiento propuesto es siempre el mismo, aplicable independientemente de la topología del sistema realimentado que se analiza. Adicionalmente se contemplan un conjunto de ejem-plos resueltos para ilustrar los procedimientos y definiciones que plan-tea el método general propuesto para el análisis de sistemas realimen-tados.

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2 ESTRUCTURA GENERAL DE LOS CIRCUITOS REALIMEN-TADOS

En este capítulo se plantea la configuración mínima que permi-te que una estructura sea realimentada. Adicionalmente se determi-nan los modelos para estudiar el comportamiento de los sistemas re-alimentados.

2.1 CONSIDERACIONES GENERALES

En nuestro caso un amplificador básico representa la parte del sistema al cual se le añadirá realimentación para controlar su caracte-rística entrada salida. El amplificador básico, o sin realimentar, se puede representar por medio de un diagrama de bloques, como el de la figura 2.1.1. Una señal de entrada eX es aplicada a la entrada del amplificador A , que procesa la entrada y suministra la señal de salida

oX ; ambas señales, eX y oX pueden representar

corrientes o tensiones. Por simplicidad asumiremos que las señales poseen la misma dimensión.

AAMPLIFICADOR

Xe Xo

FIGURA 2.1.1 AMPLIFICADOR BÁSICO.

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Para añadir reali-mentación al amplifica-dor básico se debe to-mar parte de la informa-ción de la salida y su-marla con la señal pro-cedente del exterior y formar así la señal de entrada al amplificador. Este proceso se realiza entre la entrada y la salida del amplificador, dado que estamos suponiendo que éstos son los únicos puntos ase-quibles del circuito. En general, cuando se disponen de otros puntos éstos se pueden emplear para realizar la realimentación.

En el diagrama de bloques de la figura 2.1.2, donde se represen-ta la estructura mínima que debe poseer el sistema realimentado, se puede identificar los tres bloques fundamentales que lo forman: a.- El amplificador básico; amplifica la señal aplicada a su entrada,

incrementando la energía de la información. b.- El bloque β; permite la transferencia de información de la salida

del amplificador a una de las entradas del sumador. c.- Sumador; a su salida se encuentra la información de entrada al

amplificador básico, constituida como la suma de la entrada al sis-tema realimentado y la salida del bloque β.

Notar que la ausencia de cualquiera de los tres bloques mencio-nados implica que la estructura no se encuentra realimentada.

La salida del amplificador oX sigue siendo igual a la entrada del propio amplificador multiplicada por su ganancia, o sea:

X X Ao e= ⋅ ..........(2.1.1)

pero en este caso la señal eX es la señal directamente aplicada a la entrada del amplificador y no es la de entrada al sistema realimentado.

La señal de salida oX alimenta tanto a la carga como al bloque β , mediante el cual se canaliza la información proveniente de la salida para reinyectar, por medio del sumador, una fracción de la misma a la

Xe Xo

β

XiΣ

++ Xf

AAMPLIFICADOR

FIGURA 2.1.2 SISTEMA REALIMENTADO.

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entrada del amplificador. La muestra que se reinyecta fX se relacio-na con la salida mediante:

X Xf o= ⋅ β ......... (2.1.2)

La señal de entrada al amplificador básico eX es la salida del blo-que sumador, como se puede ver en la figura 2.1.2. Específicamente:

X X Xe i f= + ......... (2.1.3)

Por lo tanto, al sustituir el valor de fX dado por (2.1.2) se tiene:

β⋅+= oie XXX ......... (2.1.4)

relación que permite observar la modificación que sufre la señal de entrada del amplificador básico.

Sustituyendo la relación (2.1.4) en la expresión de la salida del amplificador dada por (2.1.1) se tiene:

A)XX(X oio β⋅+= ......... (2.1.5)

En la ecuación anterior se puede notar que la salida del sistema depende de ella misma. Propiedad inherente a la trayectoria de reali-mentación; que reinyecta información de la salida a la entrada. La ecuación (2.1.5) se puede reagrupar:

AX)A1(X io ⋅=⋅− β ......... (2.1.6)

de donde despejando la ganancia del sistema realimentado se tiene:

A1

AXX

i

o⋅−

=β

......... (2.1.7)

A la relación io X/X se le llama ganancia del sistema realimenta-do o ganancia de lazo cerrado; generalmente, en la literatura se denota por bfA , como lo hizo el ingeniero Harold Black en 1928, cuando traba-jando para la compañía Wester Electric inventó el amplificador realimen-tado. El producto β ⋅ A recibe el nombre de ganancia de lazo; denomi-nación que se deriva del hecho que la información recorre una trayecto-

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ria cerrada, como se puede ver en el diagrama de la figura 2.1.2.

A1

AA bf ⋅−=

β ..........(2.1.8)

2.2 COMPORTAMIENTO DE LOS SIS-TEMAS REALIMENTADOS

Para un valor particular de la ganancia del amplificador básico, la expresión de la ganancia de lazo cerrado, ver (2.1.8), se puede estu-diar como una función del producto β ⋅ A o ganancia de lazo, tal como se indica en (2.2.1):

A1

A)(A Abf ⋅−=⋅

ββ ..........(2.2.1)

Del análisis de la expresión de la ganancia del sistema realimen-tado, se encuentra que posee una asíntota vertical para el valor 1 de la ganancia de lazo; valor que divide el plano en dos zonas; como se puede apreciar en la representación gráfica de la ganancia del sistema realimentado en función del producto β ⋅ A , que se encuentra en la figura 2.2.1. Notar que el valor de la ganancia del sistema realimenta-do cuando se cruza la asíntota vertical pasa de un valor que tiende a infinito a otro que es menos infinito. Se debe aclarar que el sentido del cambio de más a menos infinito es para el caso particular bajo estudio; donde se defi-ne que el amplificador básico presenta una ganancia positiva; co-

A

Afb

β A

A > 0

A

0

FIGURA 2.2.1 GANANCIA DE LAZO CERRADO

EN FUNCIÓN DE LA GANANCIA DE LAZO; PARA A > 0.

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mo se puede constatar de la gráfica al obtener el valor de la ganancia de lazo cerrado cuando el producto β ⋅ A es nulo. En los casos que la ga-nancia del amplificador básico fuera negativa, simplemente el cambio ocurre en sentido con-trario, de menos a más infinito.

Para el estudio del com-portamiento de la ganancia de lazo cerrado de una estructura real describiremos una situa-ción física. Sea una estructura realimentada, tal que el produc-to β ⋅ A sea negativo, y tiene aplicada una tensión de entrada constan-te. En tal estructura asumimos que el amplificador básico se encuentra formado por elementos reales activos, no es un ente hipotético, posee todas las limitaciones físicas de un amplificador real. Las restricciones más importantes del amplificador para la presente situación la consti-tuyen: en primer término, la disponibilidad de energía finita; y en se-gundo lugar, que su característica de ganancia en función de la señal de entrada pasa de un valor muy pequeño a un valor máximo y luego disminuye, sin cambiar de signo; todos estos cambios en la magnitud de la ganancia ocurren en forma continua, para una señal de entrada variable entre un mínimo y un máximo. Un gráfico de la característica de transferencia del amplificador se encuentra en la figura 2.2.2; la ganancia del amplificador básico, que se obtiene como la derivada de la tensión de salida con respecto a la de entrada, para la característica de la figura 2.2.2 no cambia de signo y es positiva como se observa en el gráfico 2.2.3.

Introduzcamos una alteración en la estructura

FIGURA 2.2.2 CARACTERÍSTICA TRANS-

FERENCIA. AMPLIFICADOR BÁSICO.

FIGURA 2.2.3 GANANCIA DEL AMPLIFICA-

DOR BÁSICO.

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realimentada que emplea como elemento activo el amplificador con las limitaciones indicadas; el cambio consiste en aumentar progresiva-mente el valor del producto β ⋅ A , aumentando el valor de β , de tal forma que durante el cambio realizado se pretenda cruzar la asíntota vertical. En estas condiciones, la tensión de salida tiende en forma continua a un valor muy grande, de hecho tiende a infinito cuando el valor del producto es unitario; posteriormente, la tensión de salida en forma abrupta presentaría un cambio infinito o discontinuidad en su valor. Tal cambio infinito requeriría de energía infinita por parte del sistema; dado que ningún sistema físico puede suministrar energía infinita, la discontinuidad en la tensión de salida del sistema realimen-tado no toma lugar; la tensión se mantiene en el nivel más alto que pueda suministrar el amplificador. Tal comportamiento no se encuen-tra descrito completamente por la relación (2.2.1); la relación no des-cribe el hecho físico que la salida del amplificador se mantiene en el nivel más alto. Por lo tanto, la justificación del comportamiento de la estructura realimentada para todos los valores del producto β ⋅ A se debe realizar estudiando su salida en ambos lados de la asíntota verti-cal. Esto es equivalente a plantear dos modelos diferentes; cada uno de ellos válido en uno de los semiplanos limitados por la asíntota vertical.

En el semiplano de la izquierda; o sea, para aquellos valores de β ⋅ A menores que 1, la tensión de salida presenta un comporta-miento continuo y además incluirá el comportamiento del sistema para el valor particular de β = 0 ; por lo tanto, el modelo es lineal por ser lineal el amplificador básico. El modelo de la estructura realimen-tada será simplemente la expresión de la ganancia de lazo cerrado restringida en un intervalo de validez:

1A

A1A

XX

i

o

≤⋅⋅−

=

ββ ..........(2.2.2)

El proceder del sistema realimentado para el otro semiplano, o sea su modelo, se puede interpretar tomando como base el compor-tamiento de su tensión de salida. Cuando el producto β ⋅ A toma valo-res mayores que la unidad, la tensión de salida se puede describir como una serie de infinitos términos. La tensión de salida es equiva-lente a la suma de la serie de valores que toma la salida, cuando a la

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entrada de la estructura aplicamos un incremento de tensión, y sus efectos se propagan por el sistema en forma secuencial. O sea, en primer lugar se provoca un cambio a la entrada del sistema; el cual se propaga a la entrada del amplificador, reflejándose posteriormente a su salida; por lo tanto, como el cambio provocado a la entrada del sis-tema está presente, la entrada al amplificador estará formada por dos contribuciones: una proporcional a la salida del propio amplificador y la otra contribución es la entrada aplicada al sistema; continuando el pro-ceso de esta forma hasta obtener el enésimo término de la serie. De la relación (2.1.4) se tiene que la entrada al amplificador básico es: eie XAXX ⋅+= β ......... (2.2.3)

Los términos de la serie se obtienen introduciendo el efecto se-cuencial en los cambios aplicados al amplificador básico y calculando la salida: ∆ ∆ ∆X n X n A X ne i e( ) ( ) ( )= + ⋅ −β 1 ......... (2.2.4) donde: ∆ X ne( ) : Entrada al amplificador correspondiente al término n

de la serie. ∆ X ne( )−1 : Entrada al amplificador correspondiente al término

n − 1 de la serie. ∆ X ni ( ) : Entrada al sistema correspondiente al término n de

la serie.

Por lo tanto, considerando que el cambio aplicado a la entrada es constante; o sea, el mismo para todos los n términos, se tiene que los términos de la serie serán: ∆ ∆X Xe i( )1 = ∆ ∆ ∆X X X Ae i i( )2 = + ⋅β ∆ ∆ ∆ ∆ ∆X X X X A A X A Ae i i i i( ) ( ) ( )3 1 2 2= + + ⋅ ⋅ = + ⋅ + ⋅β β β β siendo el término enésimo de la serie de la forma:

∆ ∆X n X A A Ae in n( ) ( )= + ⋅ + ⋅ + + ⋅− −1 2 2 1 1β β βL ......... (2.2.5)

La tensión de salida del sistema realimentado, que es la propia salida del amplificador, se obtiene multiplicado la relación (2.2.5) por la ganancia del amplificador:

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∆ ∆X n X A A A Ao in n( ) ( )= + ⋅ + ⋅ + + ⋅− −1 2 2 1 1β β βL ..........(2.2.6)

Dado que β ⋅ >A 1; la suma de la serie de potencias expresada por (2.2.6) es divergente y se puede concluir que el cambio en la ten-sión de salida tiende a infinito; en el caso del amplificador real su sali-da alcanza el nivel de saturación. Notar que la serie es divergente in-cluso para β ⋅ =A 1.

En la situación que nos ocupa, el amplificador básico posee una ganancia de tensión que siempre es positiva; por lo tanto, el nivel de saturación que alcanza su salida cuando β ⋅ >A 1 corresponderá al límite superior si el incremento en la tensión de entrada al sistema también es positivo y al límite inferior cuando el signo del incremento sea negativo. Por otro lado, considerando tres hechos físicos que se cumplen en el sistema realimentado:

a.- La salida del sistema es la propia salida del amplificador; que se obtiene como el producto de la señal a su entrada multiplicada por la ganancia, que es positiva.

b.- La amplitud de la salida posee valores máximo y mínimo acota-dos; que denominaremos:

X Xo minimo saturacion negativa= & ..........(2.2.7) X Xo maximo saturacion positiva= & ..........(2.2.8)

c.- La variable de entrada al sistema es independiente, de amplitud y signo arbitrarios.

Asignado como entrada al sistema un valor suficientemente ne-gativo, de las dos primeras consideraciones anteriores se tiene que la salida del sistema también será negativa y acotada. Para tal entrada aplicada al sistema de la relación (2.1.4) se tiene:

X X Xe i o min= + β ..........(2.2.9)

como para tales valores de la entrada, la salida del sistema es prácti-camente constante e igual a:

X Xo o min= ........(2.2.10)

Al aumentar la entrada al sistema se puede encontrar el valor

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que satisface la relación (2.1.7); o sea:

X XA

Ai o min=− ⋅1 β

....... (2.2.11)

Por lo tanto, al aumentar la entrada al amplificador como conse-cuencia del incremento en el valor de la entrada al sistema, también lo hace la ganancia del amplificador, ver el gráfico 2.2.3; cuando se satis-face la condición de conmutación, β ⋅ >A 1 , de la relación (2.2.11), con Xo min < 0 se obtiene que el signo de la señal de entrada al sistema es positivo. O sea, la entrada al sistema realimentado es mayor que cero cuando su salida presenta la discontinuidad o conmutación.

0X1Ay

dotanaumeniXconnconmutacio

i >>⋅β

....... (2.2.12)

Algo similar ocurre cuando la señal de entrada al sistema reali-mentado cambia disminuyendo desde un valor muy grande. La entrada para la cual ocurre la conmutación en este caso resulta negativa. O sea:

0X1Ay

uyendomindisiXconnconmutacio

i <>⋅β

....... (2.2.13)

Por lo establecido en estos puntos se puede decir que el modelo para representar la estructura realimentada, cuando el producto β ⋅ A es mayor que la unidad, posee una característica salida entrada con dos discontinuidades; cada una de ellas ocurre cuando los cambios de la variable de entrada poseen un sentido y valor dado. En consecuen-cia el modelo presenta histéresis en la característica que describe la relación entre la salida y la entrada; por lo tanto el sistema no se com-porta como un amplificador en esta región, es un sistema no lineal, cuya característica salida entrada es similar al gráfico de la figura 2.2.4. Se debe resaltar que la trayectoria presenta dos discontinuida-des y que su recorrido posee un sentido específico que depende del signo de la ganancia del amplificador básico. El sentido del recorrido de la trayectoria para un amplificador cuya ganancia sea positiva, co-mo la del presente planteamiento, se encuentra en la figura 2.2.4. El valor de la entrada al sistema dado por la relación (2.2.12), cuando la variable independiente crece y ocurre la conmutación en la salida, se

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denomina encendido; el otro valor, el dado por (2.2.13) se conoce como apagado; como se especifican en las relaciones (2.2.14) y (2.2.15) respectiva-mente; el recorrido de la trayectoria se cono-ce con el nombre de ciclo de histéresis. En la figura 2.2.5 se re-produce la caracterís-tica de salida que pre-senta el sistema reali-mentado cuando el signo de la ganancia del amplificador básico es negativo; notar que el sentido en el cual se recorre ciclo de histéresis es contrario al caso anterior.

X Xi aumentandoy A

i encendidoβ⋅ >= >

10 ........(2.2.14)

X Xi disminuyendoy A

i apagadoβ⋅ >= <

10 ........(2.2.15)

Un modelo lineal a trozos del comportamiento de los sistemas realimentados, cuando el producto β ⋅ >A 1 , se puede obtener em-pleando la información que sobre el proceder de su salida se encuen-tra resumido en las figuras 2.2.4 y 2.2.5. Tal modelo permitirá estudiar sistemas más complejos, en los cuales estos sistemas realimentados se encuentren contenidos.

Específicamente se planteará el modelo para el caso cuyo com-portamiento se encuentra en el gráfico de la figura 2.2.4; o sea, para la ganancia del amplificador básico positiva, A > 0 . Del gráfico se puede apreciar que el sistema posee tres comportamientos diferentes; de-pendiendo de los valores que tome la señal de entrada, iX .

a.- Para valores de Xi menores que el nivel de apagado, ver (2.2.15), la salida de la estructura realimentada es una fuente equivalente

Xo

Xi

Xi de encendidoXi de apagado

Xo de saturación +

Xo de saturación -

FIGURA 2.2.4 CARACTERÍSTICA SALIDA-ENTRADA

DEL SISTEMA REALIMENTADO PARA A > 0 Y β ⋅ >A 1 .

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al nivel de saturación negativo dado por la relación (2.2.7):

X Xo saturacion negativa= & ....... (2.2.16)

b.- Cuando los valores de Xi son mayores que el nivel de encendido, dado por (2.2.14), la salida del sistema es equivalente al nivel de saturación positiva; ver la relación (2.2.8).

X Xo saturacion positiva= & ....... (2.2.17)

c.- En aquellas situaciones que los valores de Xi sobrepasen los niveles de encendido y apagado se debe tener presente el valor inicial de Xi y su sentido de cambio. Por lo tanto se pueden dar dos casos diferentes para la presente situación:

Si el valor inicial de Xi es menor al de apagado y su valor se in-crementa, el modelo de la salida será el correspondiente a la satu-ración negativa, siempre y cuando el nivel de Xi se mantenga por debajo del nivel de encendido. Cuando la entrada alcanza el nivel de encendido la salida conmuta y pasa al valor de saturación positi-vo, manteniendo la salida este valor para cualquier incremento adi-cional y positivo de la entrada.

El otro caso de la presente situación corresponde a los valores iniciales de Xi mayores que el nivel de encendido y su sentido de cambio es disminuyendo. El modelo para la salida es el nivel de saturación positiva para Xi mayores al nivel de apagado. Cuando se alcanza la conmutación el modelo de la sali-da será el valor de la saturación nega-tiva y se mantiene en dicho valor para X Xi i encendido≤ . Los modelos corres-pondientes a cada uno de los casos de la presente si-

Xo

Xi

Xi de encendido Xi de apagado

Xo de saturación +

Xo de saturación -

FIGURA 2.2.5 CARACTERÍSTICA SALIDA-ENTRADA DEL SISTEMA REALIMENTADO PARA A < 0 Y β ⋅ >A 1 .

14

tuación se encuentran en las relaciones (2.2.18) y (2.2.19).

X X X

X X

X X

i inicial i apagado i

o o saturacion

o o saturacion

Xi Xi encendido

Xi Xi encendido

< >

=

=

−

+

<

≥

y ∆ 0

........(2.2.18)

X X X

X X

X X

i inicial i encendido i

o o saturacion

o o saturacion

Xi Xi apagado

Xi Xi apagado

> <

=

=

+

−

>

≤

y ∆ 0

........(2.2.19)

Nótese que basándose en todo lo expuesto anteriormente se concluye que en un amplificador real el producto β ⋅ A nunca pasa a ser mayor que la unidad, puesto que la saturación del amplificador se lo impide; y además, durante el tránsito entre los valores de saturación el amplificador responde a la expresión dada por la relación (2.1.1); pero en este caso la relación es no lineal por ser la ganancia función de la tensión de entrada:

X X A Xo e e= ⋅ ( ) ........(2.2.20)

Por todas las consideraciones anteriores; cuando en una estruc-tura realimentada se emplea como elemento activo un dispositivo con las limitaciones físicas inherentes a los amplificadores reales, el com-portamiento de la ganancia en lazo cerrado no se puede describir con un modelo válido para todo el plano. La asíntota vertical impone una frontera de validez para un modelo lineal, el dado por la relación (2.2.2) y válido en el semiplano de la izquierda; en el otro semiplano la salida no es proporcional a la entrada, de hecho es un nivel constante, impuesto por las limitaciones físicas del amplificador, cuyo valor de-pende tanto del valor pasado como el actual de la señal de entrada; es una región de operación no lineal de la estructura realimentada. El comportamiento de la estructura para todo el plano se esquematiza en la figura 2.2.6; a la izquierda de la asíntota se representa la ganancia realimentada de la estructura y a la derecha se simboliza por medio de un esquema el comportamiento no lineal que posee la estructura.

15

Las aplicaciones lineales del sistema re-alimentado se restringi-rán al semiplano donde el producto β ⋅ A sea menor que la unidad; como se indica en el gráfico de la figura 2.2.6. En la zona de operación lineal del sistema reali-mentado; a su vez, se distinguen claramente dos regiones. Una de ellas, donde el módulo de la ganancia del sis-tema realimentado es menor que el módulo de la ganancia del propio amplificador empleado, se dice que la realimen-tación introducida al amplificador es negativa dado que disminuye el módulo de la ganancia del sistema realimentado con relación a la que posee el amplificador básico. La realimentación que ubica al sistema en la otra región de operación lineal, donde el módulo de la ganancia realimentada es mayor que la del propio amplificador básico, se de-nomina realimentación positiva, aumenta el módulo de la ganancia del sistema; estas zonas se encuentran claramente identificadas en el grá-fico de la figura 2.2.6 con los signos + y −. Cuando la realimentación del sistema es negativa, por medio de la relación (2.1.4) podemos ver que la entrada al amplificador básico es menor que la entrada aplicada al sistema. De (2.1.4) se tiene:

ieeioie X)A1(X)A(XXXXX =⋅+⇒⋅−+=⋅+= βββ

0A

ie A1

XX

>⋅⋅+=

ββ ....... (2.2.21)

expresión que evidentemente corrobora que el valor de la entrada al propio amplificador básico es menor al que posee la entrada del sis-tema; la señal realimentada se resta de la señal de entrada al sistema

A

Afb

β A

LINEAL NO LINEAL

A

1 0

FIGURA 2.2.6 GANANCIA DE LAZO CE-

RRADO EN FUNCIÓN DE LA GANANCIA DE LAZO. A > 0

16

para formar la propia entrada al amplificador, por tal razón esta condi-ción de operación se designa como realimentación negativa.

En aquellos casos que la realimentación sea positiva ocurre todo lo contrario. Como la ganancia de lazo es positiva, pero menor que la unidad por estar el sistema operando linealmente, de la relación (2.1.4) se tiene:

ieeioie X)A1(XAXXXXX =⋅−⇒⋅+=⋅+= βββ

1A0

ie A1

XX

<⋅<⋅−=

ββ ........(2.2.22)

La expresión (2.2.22) indica que la señal de entrada al amplifica-dor básico en este caso es mayor que la entrada al sistema.

En la figura 2.2.7 se encuentran representadas simultáneamente las regiones de operación de una estructura que posea amplificadores cuya ganancia sea positiva o negativa. A la izquierda de la asíntota vertical, zona de operación lineal, se representa el valor de la ganancia de la estructura realimentada; nó-tese que las zonas de la región de operación lineal definidas como zonas de reali-mentación positiva y negativa no cambian cuando se invierte el signo de la ganancia del amplificador bási-co; se encuentran definidas con rela-ción al producto β ⋅ A . A la derecha de la asíntota, la región no lineal, se encuentra un

A

Afb

β A

LINEAL NO LINEAL

A

-A(A)

(-A)

FIGURA 2.2.7 GANANCIA DE LAZO CERRADO EN

FUNCIÓN DE LA GANANCIA DE LA-ZO. Y COMPORTAMIENTO NO LI-NEAL.

17

esquema representativo del ciclo de histéresis que posee la estructura realimentada cuando el producto β ⋅ A es mayor que la unidad; en el esquema se indica el sentido del recorrido del ciclo de histéresis, que depende del signo de la ganancia del amplificador básico; sentido horario cuando la ganancia es negativa y anti horario para positiva. En electrónica lineal se usa tanto la realimentación negativa co-mo la positiva; cada una de ellas tiene aplicaciones específicas. La realimentación negativa en general se emplea para modificar una o más de las características del sistema; como por ejemplo: a.- Desensibiliza la ganancia del sistema; esto es, el valor de la ga-

nancia es menos sensible al valor de los parámetros del circuito que constituye el amplificador básico.

b.- Reduce el efecto del ruido o señales indeseables generadas en el propio circuito.

c.- Extiende el ancho de banda del amplificador. d.- Reduce la distorsión no lineal; o sea, la ganancia del sistema re-

alimentado tiende a ser independiente del nivel de la señal.

La realimentación positiva es útil en aplicaciones como: a.- Diseño de osciladores sinusoidales. b.- Filtros activos. c.- Permite controlar los niveles de impedancia entre dos puntos del

circuito realimentado; inclusive puede alterar su signo. Los sistemas realimentados que operan en la zona no lineal son ampliamente utilizados; constituyen la base fundamental de práctica-mente toda la electrónica no lineal activa. Empleando tales estructu-ras se obtienen diversos bloques funcionales; entre los cuales se en-cuentran:

a.- Comparadores de lazo cerrado. b.- Generadores de formas de ondas periódicas no sinusoidales. c.- Circuitos con memoria; base fundamental de los sistemas digitales

secuénciales.

19

3 PROPIEDADES DE LA REALI-MENTACIÓN

El efecto de la realimentación sobre las propiedades o caracte-rísticas del amplificador básico fueron mencionados en el punto ante-rior. En esta sección, para estructuras realimentadas que operan li-nealmente, se estudiarán los efectos que introduce en el sistema la realimentación empleada.

3.1 EFECTO SOBRE LA GANANCIA

Cuando en un sistema se emplea realimentación la ganancia queda alterada como se indica en la ecuación (2.1.8):

A1

AA bf ⋅−=

β

En general, el amplificador básico empleado en el sistema está construido por dispositivos reales; todos ellos, presentan característi-cas que poseen un valor medio y una incertidumbre o tolerancia. Esta particularidad en las características de los componentes trae como resultado que dos amplificadores construidos con elementos reales del mismo tipo posean diferente ganancia. Por medio de la relación que

20

expresa la ganancia realimentada se puede estudiar el cambio espe-rado en la ganancia del sistema realimentado cuando el amplificador básico posee una ganancia cuyo valor se encuentra acotado entre dos límites.

Supongamos que β es constante. O sea, es la misma para to-dos los amplificadores, fue construida con elementos que se pueden considerar ideales. Calculando el diferencial total de la ganancia re-alimentada, dada por relación anterior se tiene:

2bf

)A1(dAdA⋅−

=β

..........(3.1.1)

Dividiendo la relación (3.1.1) por la relación (2.1.8) se obtiene:

A

dAA1

1A

dA

bf

bf

⋅−=

β ..........(3.1.2)

relación que destaca el efecto de la realimentación ante la presencia de cambios en la ganancia del amplificador básico. Empleando la ecuación (3.1.2) se puede observar que el cambio, expresado como fracción, de la ganancia del sistema realimentado es el cambio de la ganancia del amplificador básico dividido por el factor 1− ⋅β A , o factor de realimentación. Por lo tanto, la realimentación en el sistema produ-ce un efecto diferente según el tipo de realimentación empleado:

a.- Realimentación negativa. En este caso, el producto β ⋅ A es nega-tivo y por lo tanto el cambio esperado en la ganancia realimentada es menor al que posee el amplificador básico; tanto menor cuanto mayor sea el factor de realimentación.

b.- Realimentación positiva. Con este tipo de realimentación ocurre todo lo contrario al caso anterior: cuanto más alto sea el valor de la realimentación positiva, mayor será el cambio esperado en la ganancia del sistema realimentado.

Del análisis anterior se concluye que la realimentación negativa desensibiliza la ganancia del sistema para cambios en la ganancia del amplificador básico, independientemente del origen de los cambios en la ganancia.

Cuando la ganancia del amplificador básico es muy grande, en

21

presencia de realimentación negativa, el factor de realimentación es muy grande y el cambio en la ganancia realimentada tiende a cero, como se puede obtener de la relación (3.1.1) cuando se evalúa el límite para A→∞ :

0)A1(

AdAd

A2bf =

⋅−=

∞→β ......... (3.1.3)

y la ganancia del sistema realimentado, dada por la relación (2.1.8) será:

ββ1

A1AA

Abf =

⋅+=

∞→ ......... (3.1.4)

como se tiene que β es constante la ganancia del sistema no depen-de de las variaciones de A ; nótese que, una vez considerado el límite, la expresión resultante de la ganancia del sistema realimentado es independiente de la ganancia del amplificador básico; como se indica en (3.1.4). En estas condiciones, el valor de la ganancia realimentada es el inverso de β .

3.2 INFLUENCIA DE LA REALIMEN-TACION EN LA RELACIÓN SEÑAL RUIDO DE UN AMPLIFICADOR

En este aparte se estudiará el efecto de la realimentación en la relación señal ruido para un amplificador que cumpla ciertas condicio-nes; en estos casos, la re-alimentación puede em-plearse con el fin de dismi-nuir la relación señal ruido.

En la figura 3.2.1 se indica el esquema de un amplificador el cual posee

A1

Xn Xo= Xi⋅A1 + Xn⋅A1

XiΣ

+

+

FIGURA 3.2.1 AMPLIFICADOR. MODELO

DEL RUIDO.

22

una señal de entrada iX . El amplificador es

afectado por una señal extraña, de origen inter-no o externo, que deno-minamos ruido o señal no deseada. Esta señal de ruido se propaga por el amplificador y forma parte de la salida; su efecto se puede modelar como una fuente de ruido equivalente aplica-da a la entrada del amplificador, y la denominamos nX .

La relación señal ruido a la salida del amplificador será:

n

i

1n

1i

no

io

XX

AXAX

XX

NS

=== ..........(3.2.1)

Nótese que cuanto mayor sea la relación (3.2.1) menor será la influencia del ruido a la salida.

Modifiquemos la estructura del amplificador de la figura 3.2.1 para incluir realimentación. La alteración consiste en colocar en cas-cada un preamplificador A2 , condicionado a que no fuera afectado por las causas que originan las señales de ruido en 1A ; y realimentemos por medio del bloque β el circuito formado por la cascada 12 AA . Un esquema del circuito realimentado de esta forma se indica en la figura 3.2.2; notar que la señal de entrada equivalente al ruido no se cambia de lugar.

Del circuito del sistema realimentado e indicado en la figura 3.2.2, aplicando superposición se tiene que la salida será:

21

1n

21

21io AA1

AX

AA1AA

XX⋅⋅−

+⋅⋅−

⋅=

ββ ........ (3.2.2)

De la expresión anterior se obtiene la relación S N/ de la estruc-tura realimentada:

A1

Xn

XoXiΣ

+

+A2Σ

β

++

FIGURA 3.2.2 SISTEMA REALIMENTADO. MODE-

LO DEL RUIDO.

23

n

i2

1n

21

21

21i

no

io

XX

AAX

AA1AA1

AAXXX

NS

=⋅

⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅

==β

β ......... (3.2.3)

De (3.2.3) se puede concluir que la relación señal ruido de un sistema realimentado se altera en el factor 2A . Se debe aclarar que esto es sólo posible si disponemos de un amplificador 2A que no sea influenciado por las condiciones que originan la señal de ruido en el amplificador 1A . Dado que los cambios en la relación señal ruido de la estructura realimentada son proporcionales al valor de 2A se debe estudiar su valor. Admitiendo que el signo de la realimentación se controla cam-biando el signo del producto 1A⋅β , que la ganancia del amplificador 2A es positiva y su magnitud es tal que mantiene constante la amplitud de la señal deseada a la salida de la estructura independientemente de la magnitud y signo de la realimentación. Manteniendo el nivel de la com-ponente deseada a la salida, para realimentación negativa se tiene:

1A2 > y la relación (3.2.3) aumentará; en los casos que se introduzcan realimentación positiva 1A2 < y la relación señal ruido disminuye.

3.3 INFLUENCIA SOBRE EL ANCHO DE BANDA

Consideremos el esquema de un amplificador realimentado, co-mo el indicado en la figura 3.3.1, en donde el amplifi-cador básico posee una ganancia dependiente de la frecuencia; mientras que los otros dos bloques, red de realimentación y suma-dor, son constantes. La dependencia de frecuencia

Xe Xo

β

XiΣ

++ Xf

A(s)AMPLIFICADOR


24

del amplificador básico posee, a lo sumo, un cero en cero, un polo simple en baja frecuencia y un polo dominante en alta frecuencia; tales que el amplificador básico se puede catalogar como un amplificador de banda ancha que presenta puntos de potencia mitad, denominadas esquina de baja Bw , y esquina de alta frecuencia Aw ; que pueden ser estudiadas por separado dada la aproximación de banda ancha. Nó-tese que esta aproximación consiste en admitir que los elementos reser-vorios de energía del circuito que forman el amplificador básico no se encuentran relacionados entre si.

Empleando la aproximación de banda ancha para la respuesta de frecuencia del amplificador; o sea, cuando se cumple: AB ww << , se puede estudiar la influencia de la realimentación en la respuesta de frecuencia del sistema, considerando los efectos de baja y alta fre-cuencia por separado y luego superponerlos para obtener el compor-tamiento completo.

La dependencia en frecuencia del amplificador básico es:

A

A

B wsw

wssAm)s(A

++= ..........(3.3.1)

en donde: Am : Ganancia a frecuencias medias del amplificador. Bw : Frecuencia de corte inferior. Aw : Frecuencia de corte superior.

Admitiendo que el amplificador del diagrama de bloques de la figura 3.3.1 posee solamente limitaciones en baja frecuencia; la de-pendencia en frecuencia del amplificador será de la forma:

Bws

sAm)s(A+

= ..........(3.3.2)

por lo tanto, la ganancia del sistema realimentado se obtiene sustitu-yendo (3.3.2) en la relación (2.1.7):

βββ

⋅−+⋅−

=

+−

+=

Am1w

s

sAm1Am

wssAm1

wssAm

)s(AB

B

Bf

25

fB

ff wssAm)s(A

+= ......... (3.3.3)

De esta forma el sistema realimentado tendrá una ganancia ca-racterizada por:

β⋅−

=Am1AmAm f ......... (3.3.4)

βAm1

ww B

fB −= ......... (3.3.5)

en donde: Am : Ganancia a frecuencias medias del amplificador bási-

co.

1− ⋅Am β : Factor de realimentación. fAm : Ganancia a frecuencias medias del sistema realimen-

tado. Bw : Frecuencia de corte inferior del amplificador básico. fBw : Frecuencia de corte inferior del sistema realimentado.

En forma similar se procederá para determinar un modelo de la ganancia de la estructura realimentada en función de la frecuencia, válido para las regiones de media y alta frecuencia. En este caso, considerando que la ganancia del amplificador es:

A

Aws

wAm)s(A

+= ......... (3.3.6)

de la relación (2.1.7) se tiene:

AA

A

A

A

A

A

f wAmwswAm

wsw

Am1

wsw

Am)s(A

⋅⋅−+=

+−

+=

ββ

)Am1(ws

)Am1(wAm1Am)s(A

A

Af β

ββ ⋅−+

⋅−⋅−

=

26

fA

fAff ws

wAm)s(A

+= ..........(3.3.7)

)Am1(ww AfA β⋅−= ..........(3.3.8)

donde: mA : Ganancia a frecuencias medias del amplificador bási-

co. β⋅− Am1 : Factor de realimentación. fmA : Ganancia a frecuencias medias del sistema realimen-

tado. Aw : Frecuencia de corte superior del amplificador básico. fAw : Frecuencia de corte superior del sistema realimentado.

La influencia de la realimentación en la respuesta de frecuencia del sistema se puede apreciar en el gráfico de la figura 3.3.2, donde se muestra el diagrama de Bode en magnitud para el sistema realimentado. Por medio del análisis de las relaciones (3.3.4), (3.3.5), (3.3.7) y (3.3.8) se encuentra que: a.- Cuando la ganancia de lazo, evaluada a frecuencias medias, es

negativa el ancho de banda del sistema se extiende en ambos ex-tremos en la misma proporción que disminuye la respuesta a fre-cuencias medias. La frecuencia de corte inferior disminuye y au-menta la superior.

w A fb(-)

A m fb(+)

A m

A m fb(-)

w B fb(-) w B w B fb(+) w Aw A fb(+)

1 > β A > 0

β A = 0

β A < 0

(dB)

(log)

FIGURA 3.3.2 RESPUESTA DE FRECUENCIA DEL SISTEMA REALIMENTADO.

27

b.- Todo lo contrario ocurre cuando la ganancia de lazo es positiva. La ganancia a frecuencias medias aumenta y los polos de la fun-ción de transferencia se acercan entre si. O sea, la frecuencia in-ferior se incrementa y la esquina de alta disminuye; afectados am-bos cambios en frecuencia por el mismo factor que incrementa la ganancia del sistema a frecuencias medias.

La respuesta en función de la frecuencia para la estructura re-alimentada, considerando baja y alta frecuencia, es de la forma:

fA

fA

fBff ws

wwssAm)s(A

++= ......... (3.3.9)

3.4 EFECTO SOBRE LA LINEALIDAD

La característica de transferencia de un amplificador ideal es cons-tante; o sea, independiente de la magnitud de la señal de salida; en cambio, para un amplificador real esto no se cumple; su característica de transferencia es continua pero no lineal, tal característica siempre se podrá aproximar por una constante y el comportamiento promedio del amplificador real se aproximará al ideal. En un amplificador real su ca-racterística de transferencia presenta un aspecto como el indicado en la figura 3.4.1; de la cual se puede apreciar que la ganan-cia posee un valor máximo en la zona central y luego dismi-nuye hasta alcanzar un valor nulo cuando la salida toma los valores de saturación, los cua-les son impuestos por las condiciones de polarización del amplificador.

Emplearemos un amplifi-cador básico, con una caracte-rística similar a la indicada en la figura 3.4.1, para formar un

FIGURA 3.4.1 CARACTERÍSTICA DE TRANS-

FERENCIA PARA UN AMPLI-FICADOR REAL.

28

circuito realimentado. Por simplicidad consideremos una aproximación lineal a trozos, como la indicada en la figura 3.4.2 para su carac-terística de transferencia, la cual presenta zonas con diferentes valores de la ga-nancia. La ganancia del sistema realimentado cam-biará según la variable de salida se encuentre en las diferentes zonas de la carac-terística de transferencia del amplificador. Si la β del sistema se considera constante; la ganancia realimentada para cada una de las tres regiones donde el amplificador posee diferente ganancia es:

1

11fb A1

AA

⋅−=

β ..........(3.4.1)

2

22fb A1

AA

⋅−=

β ..........(3.4.2)

3

33fb A1

AA

⋅−=

β ..........(3.4.3)

donde:

jiónRej

oj dX

dXA = ..........(3.4.4)

Al evaluar (3.4.4) para las dos regiones donde la ganancia se denomina A3 se obtiene como resultado que la respuesta del sistema realimentado es nula; dado que la propia ganancia del amplificador es nula. El amplificador se encuentra saturado; por lo tanto, en estas condiciones no se obtienen cambios en la señal de salida. Un comportamiento diferente se obtiene en las regiones donde la ganancia posee un valor diferente al nulo. En estas condiciones, el cambio relativo de la ganancia del sistema se puede evaluar por medio

Xo

Xe

A3

A2

A1

A1

A2

A3

FIGURA 3.4.2 MODELO LINEAL A TROZOS

PARA LA CARACTERÍSTICA DE TRANSFERENCIA DE UN AM-PLIFICADOR REAL.

29

del cociente de las relaciones (3.4.1) y (3.4.2):

1

2

2

1

2

2

1

1

2fb

1fb

A1A1

AA

AA1

A1A

A

A

⋅−⋅−

=⋅−

⋅−=

βββ

β ......... (3.4.5)

La ecuación (3.4.5) permite estudiar el efecto de la realimenta-ción en la linealidad de la salida, dependiendo del valor de la ganancia de lazo; existiendo, en general, tres comportamientos:

a.- Sin realimentación; o sea, el producto jA⋅β es nulo, por ser nulo el factor β . La relación (3.4.5) es una medida de la no linealidad del amplificador básico. Nótese que para un amplificador ideal la relación es unitaria dado que no presenta cambios en su ganan-cia.

2

1

2fb

1fb

AA

A

A= ......... (3.4.6)

b.- Cuando la realimentación es negativa; el producto jA⋅β menor que cero, se tiene:

1

2

2

10jA2fb

1fb

A1A1

AA

A

A

⋅−⋅−

=<⋅ β

ββ

......... (3.4.7)

Dado que β es constante y 21 AA > , ver el gráfico de la figura 3.4.2, se tiene que la relación (3.4.7) es menor que (3.4.6); por lo tanto, la realimentación negativa provoca que el sistema realimen-tado presente mayor linealidad que el amplificador básico.

Se podría decir que:

11F12

10jA2fb

1fb

F1

AA

A

A

><⋅=

β ......... (3.4.8)

c.- Introduciendo realimentación positiva en el sistema; para β cons-tante y 21 AA > se tiene:

12F2

2

1

1

2

2

11jA02fb

1fb FAA

A1A1

AA

A

A><⋅<

=⋅−⋅−

=ββ

β ......... (3.4.9)

30

El resultado anterior permite concluir que la realimentación posi-tiva acentúa la no linealidad del amplificador básico en la respuesta del sistema. Desde otro punto de vista. El efecto de la realimentación sobre la no linealidad de la ganancia del amplificador también se puede es-tudiar por medio de la relación (3.1.2):

A

dAA1

1A

dA

fb

fb

⋅−=

β

sólo debemos admitir que el cambio en la ganancia del amplificador básico es debido a la magnitud de la señal de salida. La ganancia cambia entre un valor máximo, para valores pequeños de la tensión de salida, y un valor nulo en saturación. En este caso, la variación de la ganancia de un sistema realimentado se puede estudiar por la relación anterior, por no ser la ganancia del amplificador básico la misma para todos los valores de la tensión de salida. Nótese que la relación per-mite calcular cuanto cambia la ganancia del sistema realimentado para cambios en la ganancia del amplificador, no importando el origen de los cambios de la ganancia. Para un amplificador básico ideal, que la ganancia no presente variaciones, el sistema no presentará cambio; en aquellos casos donde el amplificador no sea ideal, directamente de la expresión se tiene que la realimentación negativa da como resultado un amplificador cuya ganancia realimentada presenta mayor lineali-dad. Para realimentación positiva el efecto es todo lo contrario, acentúa la no linealidad del amplificador básico. Cuando interpretamos la rela-ción (3.1.2) estando el amplificador básico en la zona de saturación, debemos tener presente que en este caso el amplificador básico posee una no linealidad infinita y cualquier valor finito del factor de realimenta-ción no la cambiará.

El efecto de la realimen-tación sobre la linealidad de un amplificador se puede modelar de otra forma. Para una señal de entrada sinusoidal la no linealidad del amplificador bá-sico provoca a su salida la pre-sencia de armónicas de la se-

Xr

XoXiΣ

+

+A1

FIGURA 3.4.3 MODELO DEL AMPLIFICA-

DOR NO LINEAL.

31

ñal de entrada; el conte-nido de armónicas de-penderá de las no linea-lidades del amplificador y por lo tanto el cociente entre la fundamental y la suma de todas las armó-nicas también estará relacionado directamente con la no linealidad del amplificador; o sea, la relación aumenta o disminuye con la no lineali-dad. Las no linealidades de un amplificador se pueden modelar como se indica en el diagrama de bloques de la figura 3.4.3. Como se pue-de ver en la figura: el amplificador real se sustituye por uno ideal, to-talmente lineal; a la salida del amplificador ideal se suma una señal artificial rX , equivalente a la suma de todas las armónicas presentes en la salida del amplificador real. La señal de salida será: r1io XAXX += ....... (3.4.10) Empleando como amplificador básico el indicado en la figura 3.4.3 se forma un sistema realimentado; como se encuentra en la figu-ra 3.4.4; en cuya salida la tensión será:

X X AA

XAo i r=

− ⋅+

− ⋅1

1 111

1β β ....... (3.4.11)

Para el análisis de la relación (3.4.11) se debe imponer que la magnitud de la componente fundamental de la señal de salida del sis-tema sea la misma en todos los casos. Al introducirle realimentación al sistema se debe modificar convenientemente la señal de entrada para mantener constante la amplitud de la funda-mental a la salida; la señal de entrada se debe multiplicar por un factor 2A ; como se muestra en la figu-ra 3.4.5. Bajo estas condiciones la salida será:

A1

Xr

XoXiΣ

+

+Σ

β

++

Xe

FIGURA 3.4.4 SISTEMA REALIMENTADO. MODE-

LO DEL AMPLIFICADOR NO LI-NEAL.

Xr

XoXi

Σ

+

+Σ

β

A2+

+

XeA1

FIGURA 3.4.5 SISTEMA REALIMENTADO. SEÑAL DE

ENTRADA MODIFICADA.

32

1

r1

12io A1

1XA1

AAXX

⋅−+

⋅−=

ββ ........(3.4.12)

Imponer la condición de mantener constante la magnitud de la fundamental a la salida, dada por (3.4.10), es equivalente a:

1

12i1i A1

AAXAX

⋅−=

β

de donde: )A1(A 12 ⋅−= β ........(3.4.13) sustituyendo (3.4.13) en la relación (3.4.12):

1

r1io A11XAXX⋅−

+=β

........(3.4.14)

a.- Para el caso de realimentación nula, 0=β , la señal de salida será:

r1io XAXX += ........(3.4.15)

Por lo tanto se tiene la fundamental y el peso de todas sus armóni-cas.

b.- Cuando la realimentación del sistema es negativa:

X X A X Ao A i rβ β⋅ <= +

+ ⋅0 11

11 ........(3.4.16)

relación de donde se tiene que el término que representa las ar-mónicas disminuye con relación a su valor dado por (3.4.15), cuando el sistema no posee realimentación; nótese que el factor que multiplica a la contribución de las armónicas es menor que la unidad.

c.- Imponiendo que la realimentación sea positiva se obtiene:

1

r1i1A0o A11XAXX⋅−

+=<⋅< ββ

........(3.4.17)

en este caso, el peso de las armónicas en la señal de salida se in-crementa.

33

3.5 DISTORSIÓN EN ESTRUCTURAS REALIMENTADAS

Idealmente, la señal de salida de un amplificador posee la misma forma de onda que la señal de entrada. Cuando existen cambios en la forma de onda de salida, éstos son atribuidos a la distorsión que po-see el amplificador. Generalmente, la onda de salida de un amplifica-dor real no es exactamente una replica de la onda de entrada debido a la distorsión causada por las no linealidades de las características entrada salida de los elementos activos o por la influencia de los circui-tos asociados a estos. La distorsión se puede clasificar en tres catego-rías o tipos diferentes: distorsión no lineal, distorsión de frecuencia y distorsión de retardo de fase. Para una estructura específica, la distor-sión presente a la salida de un amplificador puede ser causada por uno de los tipos mencionados; o bien, por la contribución de todos ellos si-multáneamente.

Una estructura activa presenta distorsión no lineal cuando a la salida de un amplificador se generan componentes de frecuencia que no se encuentran presentes en el espectro de la señal de entrada; ésta también es llamada distorsión armónica. La causa principal de la distorsión no lineal es la no linealidad entre la señal de entrada y la salida de la fuente controlada del modelo del dispositivo activo presen-te en el amplificador. En general, es ocasionada por una gran excur-sión dinámica de cualquiera de las señales, de entrada o de salida, o de ambas.

Cuando las no linealidades existen, la salida de la fuente contro-lada se puede expresar por una serie de potencias de la señal de en-trada, ver (3.5.1)

L++++= 3i

2ii00 XcXbXa

_XX ......... (3.5.1)

donde: 0X : Valor constante, depende de las condiciones de pola-

rización del elemento activo empleado.

34

a b c, , ,L : Coeficientes que dependen de las no linealidades de la fuente controlada.

jiX : Señal de entrada elevada a la potencia j

Asumiendo que la señal de entrada es sinusoidal, dada por: X X wti i= $ sen , sustituyendo en (3.5.1):

L++++= wtsenXcwtsenXbsenwtXa_

XX 33i

22ii00

LL +−+−++= )wt3senwtsen3(4Xc

)wt2cos1(2Xb

senwtXa_

XX3i

2i

i00

L+−−+++= wt3sen4Xc3

wt2cos2Xb

wtsen)4Xc3

Xa(2Xb_

XX3i

2i

3i

i

2i

00

..........(3.5.2)

La salida expresada por la relación (3.5.2) contiene componen-tes de frecuencias que no existen en la entrada; éstas son: la compo-

nente de frecuencia cero de magnitud 2Xb 2

i , la segunda y tercera ar-

mónica con amplitudes de 2Xb 2

i y 4Xc3 3

i respectivamente; y también,

se encuentra presente la correspondiente a la frecuencia de la señal

de entrada, cuya magnitud es 4Xc3

Xa3i

i + .

Cuando la señal de entrada al amplificador contiene más de una frecuencia el espectro resultante es más complejo, el número de fre-cuencias introducidas por la no linealidad es mayor; en este caso, se encuentran presentes las frecuencias correspondientes a las señales de entrada, su suma y diferencias, y las armónicas de todas las anteriores.

Los otros dos tipos de distorsión, de frecuencia y por retado de fase, que pueden estar presente a la salida de una estructura activa empleada como amplificador, son consecuencia de la dependencia de frecuencia de la ganancia del amplificador equivalente. Cuando en un amplificador la carga asociada con la fuente controlada posee compo-nentes reactivos; entonces la ganancia de la estructura es un número complejo cuya magnitud y ángulo depende de la frecuencia; en estos

35

casos, la dependencia con la frecuencia de la magnitud de la ganancia introduce distorsión de frecuencia, dado que las diferentes componentes de frecuencia de la se-ñal son amplificadas por un factor diferente; o sea, la estructura introducirá distorsión de frecuencia para los in-tervalos de frecuencia donde la ganancia no sea constante. La dis-torsión de retardo, tam-bién llamada distorsión de corrimiento de fase, resulta por el efecto de la dependencia con la frecuencia del ángulo de fase de la ganancia del amplificador. Ambos tipos de distorsión pro-vocan cambios en la forma de onda de la señal; en la figura 3.5.1 se ilustra un caso particular de distorsión por frecuencia y por corrimiento de fase; la forma de onda de la entrada contiene la fundamental y la tercera armónica. En la ilustración, para el caso de distorsión por fre-cuencia, la fundamental es amplificada por un factor que corresponde al 80% de la amplificación que afecta a la tercera armónica; en cambio cuando la distorsión es por corrimiento de fase el único efecto con-templado es un desplazamiento de 180º en la fase de la tercera armó-nica. En ambos casos, como se puede ver en la figura para el ejemplo particular, se tiene un cambio en la forma de onda, siendo más apre-ciable cuando la distorsión es causada por corrimiento de fase.

En general, al realimentar una estructura de la cual forme parte un elemento activo real; la distorsión de la estructura realimentada es afectada por el factor de realimentación como se estableció en los

DISTORSIÓN DE FRECUENCIA

DISTORSIÓN POR RETARDO DE FASE

FIGURA 3.5.1 DISTORSIÓN POR EFECTO DE LA DEPENDENCIA DE LA GANANCIA DE UN AMPLIFICADOR CON LA FRE-CUENCIA.

36

puntos 3.3 y 3.4.

La realimentación negativa disminuye simultáneamente los tres tipos de distorsión. Al incrementar el ancho de banda de la estructura realimentada disminuye la distorsión de frecuencia y por retardo de fase; y también, para una magnitud de la señal de salida dada, dismi-nuye el contenido de armónicos presentes en la señal de salida como consecuencia de presentar la estructura realimentada menor depen-dencia de la ganancia con la amplitud de la salida.

La realimentación positiva simplemente incrementa la distorsión de la salida; de hecho, acentúa los tres tipos de distorsión que posean los amplificadores de la estructura.

37

4 ANÁLISIS DE SISTEMAS REA-LIMENTADOS

En este punto se planteará un procedimiento general para el análisis del sistema realimentado bajo estudio. El procedimiento se denomina desvanecimiento y es clasificado como general por no re-querir de un análisis previo del sistema para luego asignarlo a una clasificación por su estructura. Utilizando el procedimiento propuesto para todos los sistemas se procede de la misma forma, independien-temente de la topología que posea el sistema realimentado.

4.1 ANÁLISIS DE SISTEMAS REALI-MENTADOS. AMPLIFICADORES

El sistema bajo estudio se representa por medio de una red; donde se identifican los puertos de entrada y salida del sistema, ver diagrama de la figura 4.1.1.

Se anula la señal de entrada y se inspecciona el circuito equivalente del sis-tema a fin de reconocer una trayectoria cerrada por la cual pueda fluir informa-ción; o sea, se identifica la trayectoria de la realimen-

SISTEMAei(entrada)

eo(salida)

FIGURA 4.1.1 SISTEMA BAJO ESTUDIO.

38

tación; en caso de no encontrarla el siste-ma no estará reali-mentado. Pertene-ciente a la trayectoria y delimitada por tres nodos se selecciona una estructura unidi-reccional y se susti-tuye por su modelo equivalente de tensión o de corriente; ver ANEXO 3. El modelo de tensión consta de una fuente dependiente y sus impedancias de entra-da y salida; también se definen los puntos correspondientes al nodo donde se aplica la variable de control, que se denomina 1; y el nodo de salida de la fuente dependiente del modelo, que se identifica como 3. El modelo de corriente se caracteriza por la fuente controlada de co-rriente y la rama por la cual circula la corriente de control, esta rama y la de salida se denominan 1 y 3 respectivamente. Ver figura 4.1.2; también es posible que la estructura unidireccional posea una fuente de tensión controlada por corriente o de corriente controlada por ten-sión; lo esencial es la unidireccionalidad. La deducción del método para todos los modelos de fuentes controladas es similar; en particular se deducirán las relaciones seleccionando, reconociendo y extrayendo un modelo de tensión controlado por tensión. Para la ilustración de los otros modelos de las fuentes controladas se emplearán algunos de los ejemplos de aplicación en los capítulos 8 y 9.

De la red que representa al sistema se extrae la fuente depen-diente del modelo equivalente, así como también los puntos definidos; dejando dentro las impedancias de entrada y salida del modelo. Con todo esto, la red inicial que representa al sistema con una entrada y una salida se con-vierte en otra equivalente que posee dos entradas y dos sali-das, como se muestra en la figura 4.1.3. Nótese que en el sistema modificado el punto definido como 1 corresponde a

e1 e3

Zentrada

Zsalida

+-

e3 = e1 A

1 33

c

ba

i1 i3

i3 = i1 K

1 3

YiYo

a b

c MODELO DE TENSIÓN MODELO DE CORRIENTE

FIGURA 4.1.2 ESTRUCTURA UNIDIRECCIONAL. MODE-LO EQUIVALENTE.

SISTEMAMODIFICADO

ei eo

e1 +-

e3

1 3

oiA⋅e1

FIGURA 4.1.3 SISTEMA MODIFICADO.

39

una salida cuyo valor e1 debe hallarse en función de las entradas ei y e3 ; el punto 3 es una entrada al sistema.

Por medio del sistema modificado se pueden establecer las ecuaciones circuitales que relacionan las entradas con las salidas; por lo tanto:

=+=+=

AXXXX

13

3131ii1

o33oiio

eeeeeeee

......... (4.1.1)

donde:

0

X0

Xi3

oo3

3i

ooi ee

eee

e=

==

=

0

X0

Xi3

131

3i

11i ee

eee

e=

==

=

dada la unidireccionalidad del modelo reconocido y extraído de la red; en el sistema de ecuaciones (4.1.1) la tensión de salida de la fuente controlada 3e puede ser nula por dos razones: por ser nula la variable que la controla o por serlo la constante de proporcionalidad. En nues-tro desarrollo emplearemos la última razón, anularemos la constante de proporcionalidad, haciendo nula la ganancia del amplificador; o sea, el amplificador se desvanece; de allí el nombre del método. Esto se puede interpretar como el condicionamiento requerido para calcular los dos parámetros relacionados con la entrada, o sea:

=+=+=

AXXXX

13

3131ii1

o33oiio

eeeeeeee

......... (4.1.2)

donde los parámetros ahora serán definidos como:

0

X0

X0A

X0A

Xi3

131

i3

oo3

i

11i

i

ooi ee

eee

eee

ee

==

==

==

==

para resolver el sistema; sustituyendo la tercera ecuación del sistema en las otras dos:

40

⋅+=+=

1311ii1

o31oiioXAX

XAXeeeeee

..........(4.1.3)

de la segunda ecuación de (4.1.3):

1ii311 X)XA1( ee =⋅−

31

1ii1 XA1

Xee⋅−

= ..........(4.1.4)

sustituyendo la relación (4.1.4) en la primera ecuación dada por (4.1.3), se obtiene la salida del sistema en función de la entrada.

o331

1iioiio XA

AX1

XX eee

⋅−+= ..........(4.1.5)

relación mediante la cual se puede obtener la función de transferencia del sistema realimentado:

o331

1ioi31

o31ioif

i

o XAX1

AXXAX1

XAXXAe

e⋅−

⋅+=

⋅−

⋅⋅+== ..........(4.1.6)

Un diagrama de bloques equivalente a la relación (4.1.6) se muestra en la figura 4.1.4. Donde se puede ver que la estructura unidireccional reconocida en la red original y modelada por un am-plificador es totalmente equivalente al amplificador básico; al cual se le añadió realimentación para formar el sistema realimentado. El

i 3

eoei

Σo1

Xi1 Σ

X31

Xi o

X3oA

FIGURA 4.1.4 DIAGRAMA DE BLOQUES EQUIVALENTE. SISTEMA REALIMENTA-

DO.

41

bloque oiX que se encuentra entre la entrada y la salida representa una vía directa entre los dos puntos del sistema original; tal bloque puede no estar presente en el sistema bajo estudio. En algunas oportunidades se pretende analizar un sistema que no posee reali-mentación; en estos casos simplemente, el bloque que representa la red de realimentación, 31X es nulo.

En el desarrollo anterior la estructura unidireccional se modeló por medio de una fuente controlada de tensión; en algunas ocasiones es conveniente emplear una fuente de corriente dependiente, contro-lada por tensión o corriente. El procedimiento es totalmente análogo, solamente cambian las dimensiones de los parámetros X pq que permi-ten caracterizar el sistema realimentado.

4.2 ANÁLISIS DE SISTEMAS REALI-MENTADOS. ESTRUCTURAS DI-FERENCIALES

En muchas oportunidades la estructura unidireccional recono-cida en la red que forma el sistema es un amplificador diferencial. En estos casos se puede extraer el amplificador diferencial; notar que igual al caso para un amplificador de una entrada, las impedancias de entrada y salida del mo-delo se dejan dentro; para aplicar el procedi-miento basta con definir la entrada adicional que posee este tipo de am-plificador. El sistema modificado es como el indicado en la figura 4.2.1; donde 1A y 2A son respectivamente las ganancias desde los

A2

i

A1

SISTEMAMODIFICADOei eo

e1 e3

e21

23

0

FIGURA 4.2.1 REALIMENTACIÓN EN BASE A UN

AMPLIFICADOR DIFERENCIAL. SISTEMA MODIFICADO

42

puertos de entrada a la salida del amplificador diferencial; notar que las ganancias 1A y 2A deben permanecer constantes; o sea, al reali-zar el análisis de una de ellas, esta debe ser independiente de las condiciones que se le impongan a la entrada de la otra fuente contro-lada.

Del sistema modificado, donde se reconoce la estructura del amplificador diferencial, figura 4.2.1, se puede plantear el sistema:

+=+=+=+=

22113

3232ii2

3131ii1

o33oiio

AAXXXXXX

eeeeeeeeeeee

..........(4.2.1)

donde para que e3 0= independientemente de 1e y 2e debe ser 0AA 21 == :

0i3

oo302A1A

i

ooi eXX e

eee

=== ==02A1Ai

11i e

eX

===

0i3

131 e

X ee

==

0i3

23202A1Ai

22i e

XX ee

ee

=====

la salida del sistema en función de la entrada es:

o3131232

22i11ioi

i

o XAXAX1

AXAXXe

e⋅−⋅−

⋅+⋅+= ..........(4.2.2)

dado que:

2

AAA

2A

AA cd2

cd1 +−=+=

donde: dA : Ganancia modo diferencial del amplificador reconoci-

do. cA : Ganancia modo común del amplificador reconocido.

la relación (4.2.2) en función de la ganancia diferencial y común del amplificador es:

43

o3

2A

d312A

d32

2A

d2i2A

d1ioi

i

o X)A(X)A(X1

)A(X)A(XX

cc

cc

ee

+−+−−

+−+++=

reagrupando:

o332312

A3231d

2i1i2A

2i1idoi

i

o X)XX()XX(A1

)XX()XX(AX

c

c

ee

+−−−

++−+= ......... (4.2.3)

La diferencia de parámetros X Xi i1 2− de la ecuación (4.2.3) es el cociente de la diferencia de tensión entre los puertos de entrada del amplificador diferencial y la señal de entrada al sistema realimentado. La diferencia 3231 XX − se puede interpretar de manera similar; en este caso, la diferencia de parámetros es la función de transferencia entre la salida del amplificador y su propia entrada.

Definiendo las diferencias de parámetros como: X X X X X Xi i i d d1 2 31 32 3− = − =

De forma análoga; la suma de los parámetros: X Xi i1 2+ y X X31 32+ de la ecuación (4.2.3) se pueden interpretar como propor-cionales a las tensiones modo común que en los puertos de entrada del amplificador producen la señal de entrada al sistema y la salida del mismo respectivamente. Por lo tanto, definiendo:

12 1 2

12 31 32 3( ) ( )X X X X X Xi i i c c+ = + =

sustituyendo en (4.2.3):

ee

o

ii o

d i d c ic

d d c coX

A X A XA X A X

X= +⋅ +

− −1 3 33 ......... (4.2.4)

Para aquellos casos en los cuales la ganancia modo común del amplificador se pueda despreciar se tiene:

ee

o

ii o

d i d

d doX

A XA X X= +⋅

− ⋅1 33 ......... (4.2.5)

Para considerar que la ganancia diferencial sea muy grande, basta con tomar el límite de la relación (4.2.4) cuando dA tiende a infinito; tomando el límite se tiene:

44

LimA

XXX

Xee

o

i di o

i d

do→ ∞

= −3

3 ..........(4.2.6)

Nótese que en este caso se debe imponer una restricción adi-cional a los amplificadores reconocidos. Las ganancias 1A y 2A de los amplificadores serán independientes; esto es, el valor de cada una de ellas no dependerá de las condiciones impuestas en los terminales del otro amplificador.

4.3 ANÁLISIS DE SISTEMAS MÚLTI-PLEMENTE REALIMENTADOS

En general, los circuitos electrónicos poseen múltiples reali-mentaciones. Se introducen tales realimentaciones para lograr que los circuitos se comporten de manera prefijada, independiente de las variaciones en los valores que pueden presentar los elementos em-pleados. En una estructura generalmente se requiere de un lazo de realimentación por cada una de las características que se desea in-sensibilizar con relación a algunos de los parámetros que la definen; de esta forma, el valor de la característica dependerá de un número menor de parámetros y seleccionándolos adecuadamente se asegu-ra el valor deseado para la característica.

El procedimiento planteado en el punto 4.1 permite realizar el análisis de estructuras múltiplemente realimentadas; bastaría con plantear reiteradamente el procedimiento para calcular cada uno de los parámetros pqX definidos. Notar que al reconocer y modelar una estructura unidireccional perteneciente a una trayectoria y ser la es-tructura original múltiplemente realimentada cada uno de los paráme-tros pqX son a su vez funciones definidas en un sistema realimenta-do. Tal procedimiento se repetiría hasta lograr interceptar todas las trayectorias, sólo bajo estas condiciones se podrán evaluar de manera directa los parámetros y luego sustituirlos en la última relación (4.1.6) o equivalente planteada; una vez obtenidos los nuevos parámetros

pqX sustituirlos en la relación, repitiendo el mismo procedimiento has-

45

ta obtener la respuesta deseada. En algunos casos, dependiendo de la topología de la estruc-tura, se podrá seleccio-nar un punto común a todas las trayectorias de realimentación; mode-lando tal punto se rompe-rán todas las trayectorias simultáneamente; en estos casos basta con aplicar una sola vez el procedimiento para lograr la respuesta.

El procedimiento planteado en el punto 4.1, para el análisis de estructuras simplemente realimentadas, se puede generalizar para el caso de n lazos de realimentación manteniendo la restricción de una entrada y una salida del sistema.

Sea un sistema múltiplemente realimentado como el indicado en la figura 4.3.1. Procediendo de manera similar a lo planteado en el punto 4.1, se anula la señal de entrada y se inspecciona el circuito equivalente del sistema a fin de reconocer las trayectorias cerradas y diferentes entre si por las cuales pueda fluir información; o sea, se identifican las trayectorias de la realimentación; notar que una trayec-toria será diferente cuando en ella exista al menos una sección de la trayectoria que no se encuentre contenida en las otras trayectorias reconocidas. Sean n el número de trayectorias identificadas. Perte-necientes a cada una de las trayectorias se seleccionan, modelan y extraen n estructuras unidireccionales. Los modelos de las estructu-ras unideccionales no tienen que ser del mis-mo tipo; o sea, para el análisis de un sistema particular se pueden emplear simultánea-mente modelos de fuentes de tensión y corriente, controlados ambos por tensión o por corriente indistinta-mente. El circuito equi-

SISTEMAei(entrada)

eo(salida)

FIGURA 4.3.1 SISTEMA MÚLTIPLEMENTE REALI-

MENTADO.

1n

SISTEMAMODIFICADOei eo

e11

+-

e31

oi+-

e1ne3n

A1 e11 An e1n11

31 3n

FIGURA 4.3.2 SISTEMA MÚLTIPLEMENTE REALI-

MENTADO. ESTRUCTURA MODIFI-CADA.

46

valente de la estructura modificada al extraer las n fuentes dependien-tes se indica en la figura 4.3.2; en este caso para simplificar la nota-ción, todas las estructuras unidireccionales son modeladas como fuen-tes de tensión controladas por tensión. Empleando el sistema modificado se pueden establecer las ecuaciones circuitales que relacionan las entradas con las salidas; por lo tanto:

e e e ee e e e

e e e ee e

e e

o i i o o n n o

i i n n

n i i n n n n n

n n n

X X XX X X

X X XA

A

= + + += + + +

= + + +=

=

, , ,

, , ,

, , ,

31 31 3 3

11 11 31 31 11 3 3 11

1 1 31 31 1 3 3 1

31 11 1

3 1

L

L

M M

L

M M

..........(4.3.1)

donde cada uno de los parámetros X p q, se encuentran definidos, apli-cando el teorema de superposición, como el cociente entre la variable dependiente y la variable independiente correspondiente, anulando las restantes variables independientes:

0

jhh3i

j3

oo,j30

kk3

i

oo,i eeXeX e

eee

=====≠∀

0

jhh3ij3

k1k1,j30

kk3

i

k1k1,i ee

XeX ee

ee

=====

≠∀

Al aplicar el teorema de superposición se debe tener presente, como en el caso de un lazo de realimentación, que anular la salida de los amplificadores es equivalente a desvanecer el amplificador; esto se puede interpretar como:

0

jhh3ij3

oo,j3

n

0nAi

oo,i eXX ee

eee

=

≠

=

∀

= ==321

47

0

jh

h3ij3

k1k1,j30

nn

i

k1k1,i ee

XAX ee

ee

=====

≠∀

El sistema de ecuaciones dado por (4.3.1) se puede expresar como un sistema de matrices:

[ ] [ ] [ ]1x1n

k3

i

1nx1nx1

o,j31x1

o,i1x1

o eee XX

++

= ......... (4.3.2)

[ ] [ ] [ ]1x1n

k3

i

1nxnnxn

k1,j31xn

k1,i1xn

k1 eee XX

++

= ........ (4.3.3)

[ ] [ ] [ ] [ ]1xn

k1nxn1xn

k1

nxnn

1

1xnk3 eee A

A00A

=

= ......... (4.3.4)

de la relación (4.3.4):

[ ] [ ] [ ]k31

k1 ee A −= ......... (4.3.5)


[ ] [ ] [ ] [ ][ ]

=−

k3

ik1,j3k1,ik3

1 eee XXA ......... (4.3.6)

particionando el segundo miembro:

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]k3k1,j3ik1,ik31 eee XXA +=− ......... (4.3.7)

agrupando:

[ ] [ ][ ][ ] [ ] ik1,ik3k1,j31 ee XXA =−− ......... (4.3.8)

despejando:

[ ] [ ] [ ][ ] [ ] ik1,i1

k1,j31

k3 ee XXA−− −= ......... (4.3.9)

sustituyendo (4.3.9) en la relación (4.3.2) y factorizando la señal de entrada:

48

[ ][ ][ ] [ ][ ] [ ]

i

k1,i1

k1,j31

o,j3o,io e1

eXXA

XX

−

=−−

LLLLLLLLLLLLM ........(4.3.10)

De donde se puede encontrar la función de transferencia de la estructura realimentada:

[ ] [ ][ ] [ ] [ ]

11n1nk1,i

1

nnnnk1,j31

nxn1n1

n1o,j311o,ii

o

xxxx

xxx

XXA

XX1

ee

+

−−+

−

= LLLLLLLLLLLLM

........(4.3.11)

relación que se puede expresar en forma compacta como:

[ ][ ] [ ][ ] [ ]

11n1nE

1

nnnnR1

nxnA

1n1Si

o

xxxx

x

MMMM

1ee

+

−−+

−

= LLLLLLLLLLLL

donde:

SM : Matriz de salida; matriz fila de dimensiones 1 1x n + . AM : Matriz de ganancias; matriz cuadrada de n x n . RM : Matriz de realimentación; matriz cuadrada n x n . EM : Matriz de entrada; matriz columna de dimensiones

n x 1 .

i 3j

eoei

Σo1j

Xi,1j Σ

X3j,1k

Xi o

X3j,oAj

FIGURA 4.3.3 DIAGRAMA DE BLOQUES. SISTEMA MÚLTIPLEMENTE REALIMENTADO.

49

En la figura 4.3.3 se encuentra un diagrama de bloques repre-sentativo de la relación (4.3.11); en ella se debe tener presente que todas las líneas representan vectores, exceptuando las de entrada y salida, tanto del sistema como las del bloque oiX . En la figura 4.3.3-a se puede ver un diagrama de bloque detallado para el caso de una estructura realimentada que posea tres fuentes controladas.

La función de transferencia del sistema múltiplemente reali-mentado en su forma explícita se encuentra en la relación (4.3.12):

X32,11

X33,12

X31,12

A1ΣXi,1111 31

X31,11

X31,13

A2ΣXi,12

12 32

i

ei

X32,13

X32,12

A3ΣXi,1313 33

X33,13

X33,11

X33,0

X31,0

X32,0o

eoΣ

Xi,0

FIGURA 4.3.3-a DIAGRAMA DE BLOQUES DETALLADO. SISTEMA MÚLTIPLEMENTE

REALIMENTADO, TRES FUENTES CONTROLADAS.

50

[ ] [ ]eeo

ii o o o n o

A

A

A

n

n

n n n n

X X X X

X X XX X X

X X Xn

=

•

•

−

M L

L

L

M M L M

L

L

L

M M L M

L

LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL

31 32 3

1

1

1

31 11 32 11 3 11

31 12 32 12 3 12

31 1 32 1 3 1

1

1

2

0 00 0

0 0

, , ,

, , ,

, , ,

, , ,

−

111

12

1

XX

X

i

i

i n

,

,

,

M

........(4.3.12)

Al desarrollar (4.3.12) y expresarla en forma de sumatorias de pro-ductos de términos ordenadas de acuerdo al número de términos que los forman, se obtiene la expresión conocida en el área de sistemas de con-trol como fórmula de ganancia de Mason para gráficos de flujos de señal.

Particularizando la relación (4.3.11) para n = 1 se obtiene la respuesta de un sistema con un lazo de realimentación en su forma matricial:

[ ] [ ] [ ] [ ] =

−=

−=

11,i11,31

o,31oi11,i11,31A

1o,31oi

i

oX

XA1AXXX

X

1XX11

ee

[ ]11,31

o,3111,ioi

11,31

11,io,31oiXA1

XXAX

XA1XAXX1

−+=

−=

El hecho físico de la existencia o no de la realimentación de una estructura se puede comprobar por medio de la relación (4.3.12); para esto basta con analizar el valor de los elementos de la matriz de reali-mentación RM . Por ser cada elemento de la matriz de realimentación la representación de un trozo de las trayectorias cerradas de realimen-tación, el externo a los amplificadores que completan cada trayectoria, se puede concluir que un elemento nulo en la matriz anulará la trayec-toria correspondiente.

51

En general existen diversas situaciones en las cuales la es-tructura posee múltiples realimentaciones. Cuando se tienen ele-mentos de la diagonal principal no nulos y los restantes elementos de RM son nulos; la estructura posee realimentación local, tantos lazos como elementos diferentes de cero se tengan el la diagonal principal. En aquellos casos que se tengan elementos no nulos tan-to en la diagonal principal como en la región triangular superior de la matriz RM la estructura posee múltiples trayectorias de realimenta-ción y se denomina estructura con lazos anidados; nótese que si los elementos no nulos se encuentran ubicados en la diagonal principal y la región triangular inferior la estructura simplemente posee reali-mentación local, al igual que el caso anterior. Existe una tercera posibilidad para que la estructura sea múltiplemente realimentada; corresponde a la condición en la cual todos los elementos de la di-agonal principal son nulos y existen simultáneamente elementos no nulos tanto en la región triangular superior como inferior.

Como se planteó anteriormente, dependiendo de la distribución de los elementos nulos y no nulos en la matriz de realimentación exis-ten diversas posibilidades. Se especifican algunas de ellas que pre-sentan interés particular y se ilustran para el caso de una estructura realimentada que posea dos o tres fuentes controladas. En general, se analizan y determinan las condiciones para que una estructura no po-sea realimentación; y también, aquellas que condicionando elementos de los vectores o de las matrices, ver relación (4.3.12), se obtienen diferentes estructuras multietapas que poseen características particu-lares, apropiadas para aplicaciones especificas.

a.- Todos los elementos de la matriz RM son nulos. Simplemente la estructura no posee realimentación. Su salida es la suma pesada de n+ 1 contribuciones; una por cada amplificador y la correspon-diente a la propia entrada de la estructura. Como se expresa por la relación (4.4.13) y se indica en el diagrama de bloques la figura 4.3.4, para el caso de tres fuentes controladas:

52

[ ]

−

−

=

13,i

12,i

11,i

A1

A1

A1

o,33o,32o,31oii

o

XXX

1

000000000

00

00

00XXXX

3

2

1

1

ee

operando:

13,i3o,3312,i2o,3211,i1o,31oii

o XAXXAXXAXXee

+++= ........(4.3.13)

b.- Todos los elementos que forman la matriz de realimentación RM nulos excepto los que forman la región triangular inferior; en este

caso, la salida también es la suma pesada de n+ 1 contribuciones; la estructura no posee realimentación. Particularizando para una es-tructura de tres amplificadores; el primer elemento no nulo de la re-gión triangular inferior es X31 12, ; la salida estará formada por: los pe-sos correspondientes a los dos último amplificadores alterados por el efecto en cascada de los amplificadores que lo preceden; las restan-tes contribuciones son iguales al caso anterior. La salida para la es-tructura se expresa por (4.3.14) y su representación en diagrama de bloques es la figura 4.3.5:

A1Σ X31,0Xi,11

11 31

A2Σ X32,0Xi,12

12 32

A3Σ X33,0Xi,13

13 33

Σo

eoi

ei

Xi,0

FIGURA 4.3.4 DIAGRAMA DE BLOQUES. SISTEMA DE TRES AMPLIFICADORES Y

MATRIZ DE REALIMENTACIÓN NULA.

53

[ ]

−

−

=

13,i

12,i

11,i

13,3213,31

12,31

A1

A1

A1

o,33o,32o,31oii

o

XXX

1

0XX00X000

00

00

00XXXX

3

2

1

1

ee

)XAXXAAXXAA(X

)XAXXAA(XXAXX

13,i312,i13,323211,i13,3131o,33

12,i211,i12,3121o,3211,i1o,31oii

oee

+++

++++=

....... (4.3.14)

c.- Todos los elementos de la matriz RM nulos excepto los que for-man la región triangular superior, cuyo primer elemento es 11,32X ; este caso es similar al anterior, la salida es la suma pesada de n+ 1 contri-buciones; la distribución de los elementos no nulos de la matriz es tal que en la estructura no se forma una trayectoria cerrada por la cual fluya la información, por lo tanto no posee realimentación. Cuando la estructura la forman tres amplificadores, a su salida se tiene el peso correspondiente a los primeros dos amplificadores que se encuentran alterados por el efecto en cascada de los amplificadores posteriores; las restantes contribuciones que forman la salida son iguales al caso

X31,12

A1Σ11 31

X31,13

X31,0Xi,11

o

eoΣA2ΣXi,12

12 32

i

ei

X32,13

X32,0

A3ΣXi,1313 33

X33,0

Xi,0

FIGURA 4.3.5 DIAGRAMA DE BLOQUES. SISTEMA DE TRES AMPLIFICADORES. REA-

LIMENTACIÓN NULA.

54

anterior. La salida para la estructura se expresa por (4.3.15) y su re-presentación en diagrama de bloques es la figura 4.3.6:

[ ]

−

−

=

13,i

12,i

11,i

12,33

11,3311,32

A1

A1

A1

o,33o,32o,31oii

o

XXX

1

000X00XX0

00

00

00XXXX

3

2

1

1

ee

)XAXXAAXXAA(X

)XAXXAA(XXAXX

11,i112,i11,322113,i11,3331o,31

12,i213,i12,3332o,3213,i3o,33oii

oee

+++

++++=

........(4.3.15)

d.- Existe otra posibilidad teórica para que la estructura no posea las características definidas por la realimentación. Como se establece en el capítulo 3, todas las propiedades de las estructuras realimentadas dependen del factor de realimentación dado por 1 − ⋅β A , expresión que se puede interpretar como 1 − T ; por lo tanto, bastará con imponer que T sea nulo para anular los efectos de la realimentación en la estructura.

A1Σ11 31

X31,0Xi,11

X32,11

o

eoΣA2ΣXi,12

12 32

i

ei

X32,0

A3ΣXi,1313 33

X33,11

X33,0

Xi,o

X33,12

FIGURA 4.3.6 DIAGRAMA DE BLOQUES. SISTEMA DE TRES AMPLIFICADORES. REALIMENTACIÓN NULA.

55

Tal condición no es más que igualar a la unidad el determinante de la matriz diferencia de dos matrices, [ ]R

1A MM −− , de la relación (4.3.12):

1

XXX

XXXXXX

00

00

00

n1,n3n1,32n1,31

12,n312,3212,31

11,n311,3211,31

A1

A1

A1

n

2

1

=

−

L

MLMM

L

L

L

MLMM

L

L

....... (4.3.16)

particularizando la relación anterior para el caso de tres fuentes con-troladas tenemos:

1

XXX

XXX

XXX

13,33A1

13,3213,31

12,3312,32A1

12,31

11,3311,3211,31A1

3

2

1

=

−−−

−−−

−−−

operando:

0AAA)XXXXXXXXX

XXXXXXXXX(

AA)XXXX(AA)XXXX(

AA)XXXX(AXAXAX

32112,3311,3213,3111,3213,3212,3113,3312,3211,31

13,3311,3212,3112,3313,3211,3111,3312,3213,31

3212,3313,3213,3312,323111,3313,3113,3311,31

2111,3212,3112,3211,31313,33212,32111,31

=−−−

−+++

+−+−+

+−+−−−

..... (4.3.17)

Por lo tanto, dado que las matrices M R y M A posee 9 y 3 ele-mentos respectivamente, que se pueden considerar como variables independientes, para encontrar la condición que anula el efecto de la realimentación en la relación (4.3.17) se deben asignar el valor de 11 de las variables presentes y despejar el otro. En general, la relación (4.3.17) siempre tiene solución puesto que todos los elementos que forman la matriz pueden ser de valor arbitrario e independiente. Las condiciones obtenidas para anular la realimentación en la estructura son de carácter teórico. En una estructura real, el pequeño factor de envejecimiento que poseen los componentes y las no linealidades de los amplificadores provocan perturbaciones en las condiciones im-puestas a la estructura; tales cambios en los valores de los elementos

56

que forman la estructura provocan que su respuesta dinámica no co-rresponda al caso de realimentación nula.

e.- Cuando todos los elementos de la diagonal principal de la matriz M R son nulos; en la salida se tienen presentes n + 1contribuciones; la contribución de la propia entrada y las correspondientes a cada una de las n salidas de los amplificadores. Las contribuciones de los amplifi-cadores son afectadas por las realimentaciones cruzadas, las que pro-vienen de las salidas de los otros amplificadores. Imponiendo algunas restricciones adicionales a estas estructuras se obtienen comportamien-tos cuyas características son interesantes; como lo puede ser: una es-tructura que posea redundancia con relación a los elementos activos, esto es equivalente a mantener la ganancia de la estructura cuando un amplificador falla por alguna razón. Por lo tanto, en la presente situación la realimentación es usada para aumentar la confiabilidad de la estructu-ra; nótese que tal uso para la realimentación es un concepto nuevo y exclusivo de las estructuras múltiplemente realimentadas. El número de redundancia que se obtiene de una estructura dada es igual al número de amplificadores menos uno. Considerando la relación (4.3.12), las restricciones para obtener redundancia, o sea mejorar la confiabilidad de la ganancia de la estruc-tura empleando la realimentación múltiple son: imponer que todos los amplificadores posean la misma ganancia y sea negativa; anular el ter-mino oiX de la matriz SM y los correspondientes a la diagonal principal de matriz de realimentación; que los restantes elementos de la matriz

RM sean iguales entre si y su valor igual al modulo del inverso de la ganancia asignada a los amplificadores; así mismo; también deben ser iguales entre si los valores de los elementos de cada una de las matri-ces SM y EM de la relación (4.3.12).

En la figura 4.3.7 se encuentra un diagrama de bloques para una estructura de dos amplificadores, donde se imponen las condiciones men-cionadas: anular oiX y los elementos de la diagonal principal. Para tal es-tructura se demostrará la invariancia de su función de transferencia con relación a la ganancia de los amplificadores. La función de transferencia es:

57

[ ]

−

=−

12,i

11,i

1

12,31

11,32

A1

A1

0,320,31i

o

XX

0XX0

0

0XX0

2

1

1ee

Operando:

++

+

−=

2

12,i12,3111,i0,3211,3212,i

1

11,i0,31

11,3212,31AA1

i

oA

XXXXXX

AX

XXX

1

21ee

....... (4.3.18)

Imponiendo en la relación anterior los hechos que las ganancias son negativas e iguales; que los elementos no nulos de la matriz de realimentación sean iguales y su valor corresponda al modulo del in-verso de la ganancia de los amplificadores; y por último, que los ele-mentos no nulos de las matrices M S y M E sean iguales entre si, se tiene:

)X

A1()X

A1(

XA1

2XXX

A1

XA1

2XX1,31,3

1,31,io,3

21,32

1,31,io,3

i

oee

−+

+=

−

+=

AXX11

A2XX

XA1

2XX 1,io,31,io,3

1,3

1,io,3i

oee

=+

=−

= .......(4.3.19)

Para corroborar la redundancia con relación los amplificadores basta con evaluar el límite de (4.3.18) cuando una de las ganancias tiende a cero:

AXXAXX0A 1,io,3212,io,32

1i

oee

==→

.......(4.3.20)

En la práctica, las estructuras con redundancia de amplificadores se pueden construir para procesar información cuyo ancho de banda se encuentre acotado tanto en las bajas como en alta frecuencia; con-dición impuesta por la no unidireccionalidad de los sumadores pasivos. Utilizando amplificadores de corriente y realizando la suma por medio de

58

transformadores se obtienen sumadores pasivos que son prácticamente unidireccionales en la banda pasante. Nótese que al producirse un corto a la salida de un amplificador de tensión, causado por una falla y no ser unidireccionales los sumadores, la salida de la estructura restante cam-bia de valor; por la razón expuesta se emplean amplificadores de corrien-te.

f.- Para el caso de una estructura de dos fuentes controladas; anu-lando los elementos: X X Xi i, , ,; ;0 12 31 0 la estructura resultante es una cascada realimentada de dos etapas, y cada una de las etapas posee una realimentación local como se puede ver en la figura 4.3.8, donde se encuentra un diagrama de bloques de la estructura. La realimenta-ción local introducida controla determinado comportamiento en cada una de las etapas por separado; en cambio, la realimentación global de la cascada altera la sensibilidad del comportamiento entrada salida de toda la estructura con relación a determinados parámetros. Particularizando la relación (4.3.12) mediante los condicionamien-tos impuestos se obtiene la función de transferencia de la estructura:

[ ]

−

=−

0X

XXXX

0

0X00 11,i

1

12,3212,31

11,3211,31

A1

A1

0,32i

o

2

1

1ee

i

ei

Σ

3111

ΣXi,11 X31,o

eo

o

ΣXi,11

32

Σ

12

Xi,12 X32,o

X31,12

X32,11

A1

A2

FIGURA 4.3.7 DIAGRAMA DE BLOQUES. SISTEMA REALIMENTADO DE DOS AM-

PLIFICADORES CON REDUNDANCIA DE AMPLIFICADORES.

59

[ ]

−

−=

0X

XX

XX1X00 11,i

11,131A

112,31

11,3212,322A

1

0,32i

o

1ee

∆

operando:

)XXXX(AAXAXA1AAXXXX

XX12,3211,3111,3212,312111,31112,322

2112,3111,i0,3212,3111,i0,32

i

oee

−−−−==

∆

.......(4.3.21)

g.- En aquellos casos donde en la estructura realimentada se condi-cionen: el signo de la ganancia de los amplificadores; el valor de X 32 11, y anulando algunos de los elementos de los vectores; para una estruc-tura formada por dos amplificadores, como la indicada en la figura 4.3.9, donde los condicionamientos son: A1 0< ; A2 0> ; X A32 12

12, = ;

Xi ,0 = Xi ,12 = X 31 11, = X 31 0, = 0 la función de transferencia será:

[ ]

−

=−

0X

XXX0

0

0X00 11,i

1

12,3212,31

11,32

A1

A1

0,32i

o

2

1

1ee

operando:

e o

o

i

e i

X i,11 X 32,o

X 32,11

11Σ

31 X 31,12

12

Σ

X32,12

32

A 1 A2

FIGURA 4.3.9 DIAGRAMA DE BLOQUES. SISTEMA REALIMENTADO DE DOS AMPLI-

FICADORES. 0A;0A 21 >< 0XXXX 0,3111,3112,i0,i ==== 2A

112,32X =

60

11,3212,312112,322

2112,3111,i0,3212,3111,i0,32

i

oXXAAXA1

AAXXXXXXe

e−−

==∆

....... (4.3.22)

Al imponer en la relación (4.3.22) el valor de X A32 1212, = resulta:

ee

o

i

iXX X= −

,

,,

11

32 1132 0 ....... (4.3.23)

De la expresión (4.3.23) se concluye que la función de transferencia de la estructura realimen-tada es independiente de los amplificadores empleados. Obsérve-se que esto es así, siempre y cuando se pueda asegurar el condicionamiento impuesto al elemento X 32 12, . De la figura 4.3.9 se puede apreciar que la ganancia de lazo local ( X A32 12 2, ) toma el valor unitario y por lo tanto la ganancia equivalente del segundo amplificador realimentado local-mente tiende a infinito; con este valor la ganancia de la cascada reali-mentada globalmente también tenderá a infinito. Bajo tales condi-ciones la función de transferencia de toda la estructura se puede obte-ner del diagrama de bloques de la figura 4.3.10; para lo cual se debe evaluar el límite:

0,3211,32

11,i0,32

equi11,32

equi11,iequiA

i

o XXX

XAX1

AXLime

e−=

−∞= →

h.- Empleando tres fuentes controladas para construir la estructura realimentada y condicionando algunos elementos de la relación (4.3.12) se obtienen funciones de transferencias empleadas en la sín-tesis de filtros activos.

El diagrama de bloques de la figura 4.3.11 se conoce como am-plificador de realimentación anidada. Al imponer en los elementos de

i

ei

Xi,11 Σ

X32,11

eo

oX32,oAequi

FIGURA 4.3.10 DIAGRAMA DE BLOQUES. SISTEMA

REALIMENTADO DE DOS AMPLIFICA-DORES. ESTRUCTURA EQUIVALENTE.

61

la relación (4.3.12) las condiciones:

X X X X X X X X X

X Xi i i, , , , , , , , ,

, ,

0 12 13 31 0 32 0 31 11 31 13 32 11 32 12

31 12 32 13

0

1

= = = = = = = = =

= =

se tiene que la relación salida entrada de la estructura es:

[ ]

−

=

−

00

X

X10X01X00

00

00

00

1

X000 11,i

1

13,33

12,33

11,33

A1

A1

A1

0,32i

o

3

2

1

ee

.......(4.3.24) operando:

11,3332112,323213,333

32111,i0,32

i

oXAAAXAAXA1

AAAXX

ee

−−−= .......(4.3.25)

Otra estructura de tres amplificadores que también se emplea para la realización de filtros activos se encuentra en la figura 4.3.12. En este caso a los elementos de la relación (4.3.12) se les imponen:

X X X X X X X X

X X X Xi

i i

, , , , , , , ,

, , , ,;0 31 0 32 0 31 11 31 13 32 12 32 13 33 13

31 12 32 13 12 13

0

1 0

= = = = = = = =

= = = =

por lo tanto, la relación salida entrada de la estructura es:

11 31

X31,12

12

Σ

X33,12

X33,11

o

eo

X33,oX32,13

13

Σ

X33,13

33

i

ei

Xi,11 Σ

32

A1 A2 A3

FIGURA 4.3.11 DIAGRAMA DE BLOQUES. REALIMENTACIÓN ANIDADA.

62

[ ]

−

=

−

00

X

010X01

0X0

00

00

00

1

X000 11,i

1

12,33

11,32

A1

A1

A1

0,32i

o

3

2

1

ee

....... (4.3.26)

operando y simplificando la expresión (4.3.26) se obtiene la función de transferencia de la estructura realimentada:

11,322112,3332

32111,i0,32

i

oXAAXAA1

AAAXX

ee

−−= ....... (4.3.27)

El análisis algebraico de las relaciones (4.3.25) y (4.3.27) per-mite concluir que con tales estructuras realimentadas se pueden ob-tener funciones de transferencias en las cuales se pueden asignar de manera independiente los coeficientes del polinomio del denomi-nador; condición que facilita la síntesis de filtros activos, en tal hecho se fundamenta la importancia de ambas estructuras.

En algunas ocasiones en el análisis de una estructura multieta-pas se puede sustituir una de las etapas por un circuito equivalente, independientemente que la etapa sustituida posea o no realimenta-ción local; y de esta manera, para el comportamiento entrada salida de la estructura multietapas modificada, perder información sobre las

11 31X31,12

12

Σ

X33,12

X32,11

o

eo

X33,oX32,13

13

Σ33

i

ei

Xi,11 Σ32

A1 A2 A3

FIGURA 4.3.12 DIAGRAMA DE BLOQUES. ESTRUCTURA ADICIONAL.

63

características internas del bloque sustituido. Realizando un análisis en la estructura multietapas modificada, la realimentación local per-teneciente al bloque sustituido no se encontraran presentes en la expresión; sus efectos fueron considerados al sustituir la etapa por el circuito equivalente.

En aquellos casos que la matriz RM presente algunos elemen-tos nulos en la diagonal principal se tendrá que durante el análisis de la estructura se consideraron como independientes trayectorias ce-rradas de realimentación que no lo son; esto quiere decir que se puede plantear una nueva matriz de realimentación cuya dimensión sea tanto menor como ceros se tengan en la diagonal principal; o sea, para definir la matriz A no es indispensable considerar las fuentes controladas que no poseen realimentación local. En general, tales fuentes controladas, las no realimentadas localmente, formarán parte de los parámetros X p q , o podrán ser absorbidas por un modelo equivalente que incluya otra fuente controlada realimentada local-mente. En estos casos; al disminuir la dimensión de la matriz de re-alimentación algunas de las nuevas trayectorias estarán formadas por la suma de dos o más contribuciones, dependiendo del número de filas y columnas eliminadas en la matriz originalmente planteada. En otras palabras, algunos elementos de la nueva matriz de reali-mentación estarán formados por la suma de varios términos; y cada uno de ellos se obtiene aplicando el teorema de superposición.

La expresión (4.3.12) puede extenderse a los casos para los cuales algunas o todas las estructuras unidireccionales reconocidas y extraídas del sistema múltiplemente realimentado sean amplificadores diferenciales ideales; o sea, posean una ganancia diferencial arbitraria y su ganancia modo común sea nula. Para realizar el cambio, basán-dose en (4.2.5), basta con redefinir los parámetros qpX que se rela-cionan con las entradas de los amplificadores diferenciales; y denotar la respectiva ganancia de la estructura unidireccional como diferencial. La relación (4.3.28) es un caso particular del procedimiento; para su elaboración, de los n amplificadores de la estructura, se consideraron los dos primeros amplificadores como diferenciales ideales, los restan-tes de una entrada:

64

[ ] [ ][ ]

−

•

•=

−

n1,i

13,i

2d,i

1d,i

n1,n3n1,33n1,32n1,31

13,n313,3313,3213,31

2d,n32d,332d,322d,31

1d,n31d,331d,321d,31

A1

A1

A1

A1

o,n3o,33o,32o,31oii

o

X

XXX

XXXX

XXXXXXXXXXXX

000

000

000

000

XXXXX

1

n

3

2d

1d

1ee

M

L

MLMMM

L

L

L

L

MLMMM

L

L

L

LM

LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL

........(4.3.28) donde: pdA : Amplificador diferencial denominado p.

hA : Amplificador de una entrada denominado h.

21pd,j3 XXX −= : Señal diferencial en los puertos de entra-da del amplificador p producida por la sa-lida del amplificador i.

21pd,i XXX −= : Señal diferencial en los puertos de entra-da del amplificador p producida por la se-ñal de entrada a la estructura.

En general, de acuerdo a la definición física de la realimentación, dada en la introducción: “La realimentación consiste en tomar informa-ción de un punto de un sistema cualquiera e introducir esta informa-ción en otro punto anterior, con relación al discurrir del proceso; lo-grándose de esta manera que forme parte de la información que pro-cesa el sistema e intervenir en la salida” y emplear la herramienta ma-temática, desarrollada en el presente numeral, para el análisis de es-tructuras múltiplemente realimentadas se deben tener presentes las condiciones necesarias para que la estructura posea realimentación y no simplemente corresponda con una manipulación algebraica de la expresión para obtener algo similar a lo dado por la relación (2.1.18). Las condiciones necesarias para que la estructura posea realimenta-

65

ción son la presencia de las fuentes controladas y el factor de reali-mentación equi)A(1 ⋅− β . La existencia o no de tal factor se debe a una o varias condiciones impuestas a la matriz de realimentación, ver rela-ción (4.3.11). La existencia de un elemento no nulo en la diagonal principal asegura que la estructura posea realimentación; en este caso se dice que la estructura posee realimentación localizada en una fuen-te controlada. Admitiendo que todos los elementos de la diagonal principal de la matriz de realimentación son nulos, bastará con la exis-tencia de los restantes elementos de una diagonal secundaria, las perpendiculares a la diagonal principal, para que la estructura posea realimentación; En general, el análisis de la estructura por un procedi-miento donde se incluyan todas las fuentes controladas de la estructura es la única forma de obtener una expresión analítica que incluya de ma-nera explícita el efecto de todas las realimentaciones presentes; de otra forma, la expresión es correcta como relación entre los terminales de la estructura, e incluye en forma implícita los efectos de algunos lazos de la realimentación.

4.4 ANÁLISIS DE LA CONDICIÓN DE LINEALIDAD PARA LOS SISTE-MAS REALIMENTADOS

En general, al representar el comportamiento de un sistema re-alimentado, simple o múltiplemente, por las funciones de transferencia que se encuentran definidas por las relaciones (4.1.6), (4.2.4) o (4.3.12) se debe comprobar que la estructura se encuentra operando en la zona lineal; de otra forma, las expresiones no tienen ningún sen-tido físico; o sea, el comportamiento de las estructuras es otro, no co-rresponde al predicho por las relaciones; ver figura 2.2.7. La condición de linealidad o no, se puede comprobar desarrollando y manipulando algebraicamente la función de transferencia hasta obtener una expre-sión equivalente a la (2.1.7); o sea, una fracción cuyo denominador se encuentra formado por una diferencia; luego se procede de forma aná-loga a lo establecido en el numeral 2.1. La función de transferencia

66

será manipulada algebraicamente hasta obtener la expresión equiva-lente; en ésta, tanto el numerador como el denominador dependerán de los parámetros pqX de la estructura realimentada y de las ganancias A i de los modelos unidireccionales extraídos de la estructura al aplicar el método de desvanecimiento. La expresión equivalente será de la forma:

)A,X(T1

)A,X(N

ipq

ipq

i

oee

−= ..........(4.4.1)

Para comprobar la linealidad de la estructura realimentada basta con estudiar el polinomio del denominador de la relación (4.4.1). En aquellos caso que tanto los pqX como las iA sean indepen-dientes de la frecuencia, el comportamiento de la estructura realimen-tada será lineal cuando se cumpla:

1 0− >T X Apq i( , ) ..........(4.4.2)

La expresión (4.4.2) presenta un aspecto algebraico diferente de-pendiendo del tipo de amplificador modelado o del número de ellos. Siendo un amplificado el modelado; la relación (4.4.2) corresponde di-rectamente con el denominador de las relaciones (4.1.6) y (4.2.3) para modelos de una entrada y el amplificador diferencial respectivamente:

1 031− ⋅ >X A ........ (4.4.3)

1 031 32 2 31 32− − − + >A X X X XdAc( ) ( ) .........(4.4.4)

1 03 3− − >A X A Xd d c c ...... (4.4.4-a)

En los casos de las estructuras múltiplemente realimentadas la expresión equivalente a (4.4.2) depende del número de realimentacio-nes independientes consideradas; formalmente corresponde al produc-to del determinante de la partición que se encuentra invertida y formada por una diferencia de dos matrices en la relación matricial (4.3.12), por el producto de las ganancias de todos los amplificadores, Ai . Al desarro-llar tal producto se obtiene la expresión que algebraicamente presenta el aspecto de (4.4.2). La expresión equivalente para el caso de tres amplificadores desvanecidos es:

67

0AAA)XXXXXXXXX

XXXXXXXXX(

AA)XXXX(AA)XXXX(

AA)XXXX(AXAXAX1

32112,3311,3213,3111,3213,3212,3113,3312,3211,31

13,3311,3212,3112,3313,3211,3111,3312,3213,31

3212,3313,3213,3312,323111,3313,3113,3311,31

2111,3212,3112,3211,31313,33212,32111,31

>−−−

−+++

+−+−+

+−+−−−

......... (4.4.5) Para los casos en donde el modelo de la estructura realimentada posea dos amplificadores unidireccionales, la expresión equivalente se puede obtener de la relación (4.4.5) realizando el límite cuando A3 tendiendo a cero; de (4.4.5) obtiene:

0AA)XXXX(AXAX1 2111,3212,3112,3211,31212,32111,31 >−+−− ......... (4.4.6)

En aquellos casos que la función de transferencia en lazo ce-rrado de la estructura realimentada, dada por (4.4.1) dependa de la frecuencia bastará comprobar que todas las raíces del polinomio del denominador de la expresión, o sea los polos de la función, queden en el semiplano izquierdo; el polinomio del denominador es conoci-do como polinomio característico de la función de transferencia en lazo cerrado de la estructura realimentada. Solo se requiere que algunos de los términos pqX o de las iA de la relación (4.4.1) sean función de la frecuencia para que la función de transferencia en lazo cerrado dependa de ella. Para proceder con la prueba se debe ex-presar la función de transferencia como un cociente de polinomios en s y luego calcular las raíces del polinomio del denominador, ver relación (4.4.7); o sea:

ee

o

i

pq i

pq i

mm

mm

nn

nsX s A s

X s A sN sD s

a s a s a s a ss d s d s d s

NT( )

( ), ( )( ), ( )

( )( )

( )( )= = =

+ + + ++ + + +−

−−

−−1

11

1 00

11

1 00

L

L

los polos serán las raíces de:

D s s d s d s d snn

n( ) = + + + + =−−

11

1 00 0L ......... (4.4.7)

68

4.5 CONSIDERACIONES SOBRE LA RESPUESTA DE FRECUENCIA DE ESTRUCTURAS REALIMENTADAS

En general, en una estructura realimentada para obtener la dependencia de frecuencia de la relación salida entrada basta con considerar que cada uno de los términos de las relaciones (4.1.6), (4.2.4) ó (4.3.12) son funciones de frecuencia:

ee

o

ii o

i os X s

X s A s X sX s A s( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( )= +

⋅ ⋅

− ⋅1 3

311 ..........(4.5.1)

ee

o

ii o

d i d c i c

d d c cos X s

A s X s A s X sA s X s A s X s X s( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )= +⋅ +

− −1 3 33 ..........(4.5.2)

[ ] [ ][ ]ee

o

ii o o o n o

n

n

n

n n

s X s X s X s X s

A sA s

A s

X s X s X sX s X s X s

X s X s X

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )( )

( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( )

, , ,

, , ,

, , ,

, ,

= •

•

−

−

31 32 3

1

2

31 11 32 11 3 11

31 12 32 12 3 12

31 1 32 1 3

10 0

0 0

0 0

1

L

L

L

M M M M

L

L

L

M M L M

L n n

i

i

i ns

X sX s

X s,

,

,

,( )

( )( )

( )1

11

12

1

1

−

M

..........(4.5.3)

Racionalizando las relaciones (4.5.1), (4.5.2) y (4.5.3) se obtie-ne la función de transferencia de la estructura realimentada expresada como un cociente de polinomios de s, de la forma:

ee

o

i

mm

mm

nn

nsN sD s

a s a s a s a ss d s d s d s

( )( )( )= =

+ + + ++ + + +

−−

−−

11

1 00

11

1 00

L

L ..........(4.5.4)

donde: m n≤

69

Expresando el numerador y denominador de (4.5.4) en forma de producto se obtiene la función de transferencia de la estructura realimentada en función de sus polos y ceros:

ee

o

im

m

ns a

s z s z s zs p s p s p( )

( )( ) ( )( )( ) ( )=

− − −− − −

1 2

1 2

L

L ......... (4.5.5)

donde: ma : Coeficiente de ms del numerador. iz : Raíces del polinomio numerador. ip : Raíces del polinomio denominador.

En general, cuando la función de transferencia bajo estudio sea adimensional y la estructura realimentada posea un sólo elemento dependiente de frecuencia; la ubicación del polo de la función de transferencia siempre se podrá determinar como el inverso de la cons-tante de tiempo asociada con elemento reservorio de energía y la re-sistencia Thévenin que ve el elemento en la estructura realimentada; o sea, aplicando las relaciones (5.1.6), (5.2.12) o (5.3.1) según el caso particular bajo estudio, para calcular la resistencia. En cambio, el efec-to de la realimentación sobre la ubicación del cero solamente puede ser determinado por medio de un análisis completo, ver relación (4.5.5).

En aquellos casos que se desea considerar la aproximación de banda ancha en la estructura. O sea, considerar los efectos en baja y alta frecuencia por separado; y luego combinar las dos expresiones para obtener la función de transferencia total. Tal proceder debe con-ducir a relaciones para baja y alta frecuencia de la forma:

ee

o

im

b b

b bs baja a

s z s zs p s p( )

( )( )( )( )=

− −− −

1 2

1 2

L

L ......... (4.5.6)

ee

o

im

a a

a as

altaa

p ps p s p

( )( )( )

=− −

1 2

1 2

L

L ......... (4.5.7)

Expresiones que combinadas permiten obtener la respuesta de frecuencia completa:

70

ee

o

im

b b

b b

a a

a as a

s z s zs p s p

p ps p s p( )

( )( )( )( ) ( )( )=

− −− − − −

1 2

1 2

1 2

1 2

L

L

L

L ..........(4.5.8)

Obtener expresiones que posean la estructura algebraica dada por (4.5.6) y (4.5.7) a partir de las expresiones (4.5.1), (4.5.2) ó (4.5.3) requiere que el término )s(X oi sea nulo; de otra forma es imposible factorizar en las expresiones (4.5.6) y (4.5.7) el mismo factor am ; factor común requerido para obtener la respuesta completa dada por la rela-ción (4.5.8).

4.6 ESTRUCTURAS LINEALES A TRO-ZOS

Conceptualmente todos los dispositivos electrónicos son no linea-les; en la mayoría de los casos, para su uso se polarizan en un punto dado de sus características, llamado punto de polarización o trabajo, y luego su comportamiento se representa por un modelo lineal, que es valido en un entorno del punto de operación. En aquellos casos en los cuales las variables que intervienen son de una magnitud tal que la va-riación del punto de trabajo sea relativamente amplia y como conse-cuencia el modelo lineal no sea valido; el análisis de la estructura se realiza empleando relaciones no lineales, generalmente llamado res-puesta a gran señal. En general, el dispositivo electrónico que más fre-cuentemente se encuentra operando para gran señal en una estructura es el diodo; en muchos casos, para evitar el análisis no lineal de la es-tructura, estos dispositivos pueden ser representados por modelos linea-les a trozos continuos. También es común emplear estos modelos, linea-les a trozos continuos, para representar la característica entrada salida de las fuentes controladas y de esta forma representar las limitaciones que en su comportamiento imponen las fuentes de polarización emplea-das.

Todos los conceptos y procedimientos descritos en los anterio-res numerales pueden ser empleados cuando en la estructura analiza-da se incluyen dispositivos no lineales, cuyos modelos se puedan re-

71

presentar por un conjun-to de segmentos linea-les a trozos sin disconti-nuidades; como por ejemplo el modelo de un diodo. En estos casos, la solución general del sistema será la super-posición adecuada de las soluciones de la estructura considerando todos y cada uno de los posibles circuitos equi-valentes de la estructu-ra; estos circuitos se obtienen al tomar cada uno de los segmentos lineales de los modelos y sus combinaciones. Tal procedimiento se conoce como solución li-neal a trozos (piece-wise lineal) y es sumamente útil ya que permite, dada una forma de onda de entrada, hallar la correspondiente forma de salida. Estas estructuras generalmente son empleadas para obte-ner una característica de transferencia especifica, definida por un con-junto de segmentos rectos en el plano formado por la variable de sali-da tomada como depen-diente y como indepen-diente la de entrada, como se indica en la figura 4.6.1.

Se debe aclarar que la presencia de fuentes controladas, amplificadores, en la estructura permite obte-ner características de transferencias cuya sa-lida posea discontinui-dades; dando como resultado una caracte-rística como se muestra

Xo

Xi

FIGURA 4.6.1 CARACTERÍSTICA DE TRANSFE-

RENCIA LINEAL A TROZOS.

X vi = 1

X i

X o

X vi = =1 0

FIGURA 4.6.2 CARACTERÍSTICA DE TRANSFE-

RENCIA LINEAL A TROZOS DIS-CONTINUA.

72

en la figura 4.6.2. La demostración de tal aseveración se realiza-rá para una estructura realimentada que po-sea dos diodos, cuyos modelos se represen-tará por dos rectas que se corten y sean vali-dos solo en las semi-rrectas que represen-tan el estado de con-ducción o no de cada uno de ellos; tal particularidad no restringe la generalidad de la demostración. En estas condiciones la estructura pose tres entradas: dos de ellas consideradas constantes y denomina-das Xa y Xb, que en general corresponden a los niveles de tensión o co-rriente obtenidos de los modelos de los diodos; la otra entrada, llamada X i y considerada como la variable independiente de la característica de transferencia que se desea obtener al representar en un plano la sali-da de la estructura X0 en función de la entrada X i ; como se indica, de forma general, en la figura 4.6.3. Al sustituir los 2 diodos por cada uno de sus modelos lineales, se obtienen los 22 posibles circuitos equiva-lentes de la estructura; o sea, en cada uno de los circuitos equivalen-tes se contemplará el modelo correspondiente a uno de los segmentos de rectas, con los cuales se representa el modelo lineal de cada diodo. Para todos los circuitos equivalentes se identifica la misma estructura unidireccional; o sea el mismo amplificador. Consideremos dos estruc-turas modificadas equivalentes al sistema original, y procedamos co-mo se establece en los numerales anteriores. Un diagrama de bloques para las estructuras modificadas se encuentra en la figura 4.6.4.

Bajo tales condiciones, se obtiene la variable de salida de am-bas estructura; las cuales serán de la forma indicada por la relación 4.6.1:

−++

−++

−+=

m,13

m,03m,1bm,0bb

m,13

m,03m,1am,0aa

m,13

m,03m,1im,0iim,o XA1

XAXXX

XA1XAX

XXXA1

XAXXXX

......... (4.6.1) donde:

ESTRUCTURA REALIMENTADA ELEMENTOS NO LINEALES

MODELOS LINEALES A TROZOS CONTINUOS

X i

X a X o

Xb

O

O

FIGURA 4.6.3 ESTRUCTURA REALIMENTADA QUE

POSEE ELEMENTOS NO LINEALES MODELADOS COMO LINEALES A TROZOS CONTINUOS.

73

m,0X : Variable de salida de la estructura denominada m . iX : Entrada considerada como variable independiente. m : Índice del circuito equivalente obtenido al representar

los estados de los elementos no lineales por la com-binación denominada m .

m,kjX : Parámetro kjX determinado en la estructura modifi-cada denominada m .

aX , bX : Entradas consideradas constantes. A : Estructura unidireccional identificada. Del análisis la relación (4.6.1) se tiene que la suma de los dos últimos términos corresponde al término independiente de la recta que representa la característica de transferencia para estructura modifica-da denominada m . Para un valor dado de la variable independiente,

kX i = , admitamos que cambia de estado un elemento no lineal; al cambiar de estado el elemento no lineal; o sea, de modelo, se tendrá que estudiar otra estructura que denominaremos m + 1 ; resultando del análisis una expresión similar a la (4.6.1) para describir el comporta-miento de la salida 1m,0X + ; en donde los parámetros 1m,qpX + pueden ser diferentes, por ser diferente el circuito equivalente de la estructura al incluir el nuevo modelo del elemento no lineal que cambio de estado.

Considerando lo expuesto anteriormente, basta que la suma de los últimos dos términos de los segundos miem-bros de las expresiones tomen un valor diferente para obtener una dis-continuidad vertical en la característica de transferencia; siempre y cuando la conmutación o cambio de estado del elemento no lineal no ocurra para el valor de la variable independien-te donde las dos expre-

3

X0

Σ01 Σ

Xi o,m

AXi 1,m

X3 1,m

X3 o,mi

Xi

a

XaXa 1,m

b

XbXb 1,m

Xa o,m

Xb o,m FIGURA 4.6.4 DIAGRAMA DE BLOQUES. SISTEMA

LINEAL A TROZOS.

74

siones obtenidas de (4.6.1) se corten en el plano de la característica de transferencia. Nótese que para que una característica de transfe-rencia posea discontinuidades es indispensable que existan las entra-das auxiliares constantes, denominadas aX y bX ; y además, que se satisfaga la desigualdad establecida por relación (4.6.2) para cualquier valor de la variable independiente diferente al establecido por el corte de las rectas definidas por (4.6.1) al considerar dos combinaciones para los estados de los elementos no lineales modelados como rectas. Adicionalmente, del análisis de la relación (4.6.1), se observa que un cambio en los parámetros qpX relacionados con la variable iX sola-mente afecta la pendiente de la característica de transferencia de la estructura.

KXXA1XAX

XXXA1

XAXXX

KXXA1XAX

XXXA1

XAXXX

i1m,13

1m,031m,1b1m,0bb

1m,13

1m,031m,1a1m,0aa

im,13

m,03m,1bm,0bb

m,13

m,03m,1am,0aa

=

−++

−+≠

≠=

−++

−+

+

+++

+

+++

......... (4.6.2) La gráfica mostrada en la figura 4.6.2, que representa una ca-

racterística de transferencia lineal a trozos discontinua, correspondería a una estructura que al menos posea dos elementos no lineales y que para dos valores diferentes de la variable considerada independiente,

0X i = y 1i vX = , se satisfaga la desigualdad dada por (4.6.2).

En general, para el análisis de estructuras realimentadas que contengan elementos no lineales, cuyos modelos sean lineales a trozos continuos, se requiere estudiar todas las estructuras equiva-lentes que resultan al sustituir los elementos no lineales por sus mo-delos; sin embargo, es posible que en una estructura particular dos dispositivos no lineales nunca se encuentren en determinados esta-dos. Como por ejemplo, dos diodos colocados en paralelo e inverti-dos; en este caso es imposible que los dos diodos se encuentren simultáneamente en conducción o en no conducción. Situaciones como esta, que se presentan con relativa frecuencia en los circuitos electrónicos, permiten eliminar estructuras equivalentes y facilitan el estudio de la estructura, dado que se deben considerar un número menor de estructuras equivalentes para su análisis.

75

5 IMPEDANCIA ENTRE DOS PUNTOS DE UN SISTEMA REALIMENTADO

En este capítulo se planteará un procedimiento general para obtener la impedancia entre dos puntos arbitrarios de un sistema re-alimentado. Se estudian tres casos; cada uno de ellos correspondien-tes a los tipos de estructuras unidireccionales reconocidas en el siste-ma realimentado durante un análisis previo. O sea, para amplificado-res unidireccionales que sean de tensión o corriente, los diferenciales y por último cuando la estructura es múltiplemente realimentada.

5.1 IMPEDANCIA ENTRE DOS PUN-TOS ARBITRARIOS DE UN AM-PLIFICADOR REALIMENTADO

Sea el mismo sistema realimentado estudiado anteriormente; donde se reconoce y modela la estructura unidireccional por un ampli-ficador de tensión; donde se anula la señal de entrada y en el puerto de salida se establece una condición deseada. Bajo estas condiciones en los puertos de entrada y salida originales, se definen en el sistema

76

dos puntos arbitrarios a y a' entre los cuales se desea calcular la impe-dancia. El sistema con los puntos a y a' identi-ficados se reproduce en el diagrama de bloques de la figura 5.1.1; donde por claridad del dibujo se omiten los puertos de entrada y salida origina-les. Entre los puntos a y a' se coloca una fuente de corriente ai co-mo excitación, la tensión av se considerará como la salida del siste-ma; nótese que la impedancia deseada no es más que la relación en-tre la salida del sistema y la excitación aplicada.

De una manera similar a la empleada para obtener el sistema de ecuaciones (4.1.2) se tiene:

=+=

+=

AXXXX

13

3131ia1

o33ioaa

eeeieeiv

.......... (5.1.1)

Del sistema (5.1.1) se obtiene:

AX1

XAXX

31

o31iio

a

a

iv

⋅−⋅⋅

+=

AX1

XXA1X

31

XX

1i31io

a

a io

o3

iv

⋅−

−−

= .......... (5.1.2)

En el circuito de la figura 5.1.1 hagamos que la tensión de sali-da sea nula; para esto unimos los puntos a y a' . Del sistema (5.1.1):

+=

+=

3131ia1

o33ioaXX

XX0eieei .......... (5.1.3)

SISTEMAMODIFICADO

e1 +-

e3A⋅e1

va

iaa’

a

FIGURA 5.1.1 IMPEDANCIA ENTRE DOS PUNTOS

DE UN SISTEMA REALIMENTADO.

77

despejando ia de la primera relación y sustituyéndola en la segunda, del sistema anterior, se tiene:

io

o31i31

3

1XX

XXee

−= ..........(5.1.4)

Relación que por definición es 31X , evaluada con los puntos a y a' en cortocircuito; por lo tanto:

io

o31i31cerradocircuito'a,a31 X

XXXX −= ..........(5.1.5)

sustituyendo (5.1.5) en (5.1.2) e imponiendo las condiciones de los puntos se tiene:

abiertocircuitoen'a,a31

cerradocircuitoen'a,a31io

a

aXA1XA1

Xiv

⋅−

⋅−=

que por definición es la impedancia deseada:

caen'a,a31

ccen'a,a31'aaf'aa XA1

XA1ZZ

⋅−

⋅−= ..........(5.1.6)

donde: f'aaZ : Impedancia entre los puntos a y a' del

sistema realimentado.

'aaZ : Impedancia entre los puntos a y a' con el amplificador A desvanecido.

ccen'aaAX1 31 ⋅− : Factor de realimentación del sistema con los puntos a y a' en corto circuito.

caen'aaAX1 31 ⋅− : Factor de realimentación del sistema con los puntos a y a' en circuito abierto.

La ecuación (5.1.6) representa la impedancia entre los puntos a y a' del circuito realimentado y se conoce en la teoría de circuitos eléctricos como la relación de Blackman.

78

5.2 IMPEDANCIA ENTRE DOS PUN-TOS ARBITRARIOS DE UN SIS-TEMA REALIMENTADO. AMPLIFI-CADOR DIFERENCIAL

En aquellos casos donde un amplificador dife-rencial se reconoce como estructura unidireccional en el sistema realimentado, la impedancia entre dos pun-tos arbitrarios se obtiene de manera similar al caso an-terior. El sistema modifica-do, incluyendo el modelo de la estructura diferencial se encuentra en la figura 5.2.1.

De una manera similar a la empleada para obtener el sistema de ecuaciones (4.2.1) se tiene:

+=+=

+=

+=

22113

3232ia2

3131ia1

o33ioaa

AAXXXXXX

eeeeieeieeiv

.......... (5.2.1)

donde:

0v

X0A,A

Xi3

ao3

21a

aoi e

viv

==

==

0i

X0A,A

Xa3

113

21a

11i e

eie

==

==

0X

0A,AX

ai3

223

21a

22i ie

eie

==

==

A2

e2

A1

SISTEMAMODIFICADO

AMPLIFICADORDIFERENCIAL

e1e3

va

iaa’

a

FIGURA 5.2.1 IMPEDANCIA ENTRE DOS

PUNTOS DE UN SISTEMA REA-LIMENTADO. AMPLIFICADOR DIFERENCIAL

79

la salida del sistema en función de la entrada es:

vi

a

a

ioi i

oXX A X A

X A X AX= +

⋅ + ⋅− ⋅ − ⋅

1 1 2 2

32 2 31 131

..........(5.2.2)

vi

a

a

io

i io

ioXX A X A X A X A

XX

X A X A=

− ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅

− ⋅ + ⋅

1

1

32 2 31 1 1 1 2 23

32 2 31 1

( ) ( )

( ) ..........(5.2.3)

vi

a

a

io

i

ioo

i

ioo

XA X

XX

X A XXX

X

X A X A=

− − − −

− ⋅ + ⋅

1

1

2 322

3 1 311

3

32 2 31 1

( ) ( )

( ) ..........(5.2.4)

Al imponer que la tensión va sea nula; o sea, uniendo los pun-tos a y a' se tiene:

0 3 3

1 1 3 31

2 2 3 32

3 1 1 2 2

= +

= +

= += +

i ee i ee i ee e e

a io o

a i

a i

X XX XX XA A

..........(5.2.5)

del sistema (5.2.5) se obtiene:

ee X

XX

X Xo

ioi a a en cc

1

331

31 31= − ≡

' ..........(5.2.6)

ee X

XX

X Xo

ioi a a en cc

2

332

32 32= − ≡

' ..........(5.2.7)

sustituyendo (5.2.6) y (5.2.7) en (5.2.4) se tiene:

vi

a

a

io

a a en ca

a a en cc

XX A X A

X A X A=

− ⋅ + ⋅

− ⋅ + ⋅

1

1

32 2 31 1

32 2 31 1

( )

( )

'

'

..........(5.2.8)

la relación (5.2.8) por definición es la impedancia entre los puntos a y a' .

80

caen'aa131232

ccen'aa131223

'aaf'aa)AXAX(1

)AXAX(1ZZ

⋅+⋅−

⋅+⋅−= .......... (5.2.9)

dado que: X X X A A A A A A X X Xd d c d c c31 32 3 1 2

12 31 32 32 2− = = + = − + + =/ / ( )

de (5.2.9):

Z ZA X X X

A X X Xaa f aa

d dA

a a en cc

d dA

a a en ca

c

c' '

, '

, '

( )

( )=

− ⋅ − +

− ⋅ − +

1

13 2 31 32

3 2 31 32

........ (5.2.10)

Z ZA X A XA X A Xaa f aa

d d c c a a en cc

d d c c a a en ca' '

, '

, '=

− ⋅ −

− ⋅ −

11

3 3

3 3 ........ (5.2.11)

Cuando la ganancia modo común se pueda despreciar se tiene:

Z ZA XA Xaa f aa

d d a a en cc

d d a a en ca' '

, '

, '=

− ⋅

− ⋅

11

3

3 ........ (5.2.12)

cada uno de los términos de las dos relaciones anteriores se encuen-tran definidos en los puntos anteriores.

5.3 IMPEDANCIA ENTRE DOS PUNTOS ARBITRARIOS DE UN SISTEMA MÚLTIPLEMENTE REALIMENTADO

Para evaluar la impedancia entre dos puntos arbitrarios en una estructura múltiplemente realimentada basta con obtenerla por defini-ción. Para lo cual se puede utilizar la expresión (4.3.12), empleando como excitación una fuente de corriente, conectada entre los puntos que se desea conocer la impedancia. En la figura 5.3.1 se encuentra la estructura modificada del sistema múltiplemente realimentado; a la cual entre los puntos a y a' , se le aplica como excitación la fuente de corriente de prueba ia ; así mismo, se define av como la salida del sistema. Por lo tanto, al particularizar la ecuación (4.3.12) para la es-

81

tructura considerada se obtiene la impedancia deseada y dada por (5.3.1). Notar que para la ilustración considerada en la figura 5.3.1, donde todas las estructuras unidireccionales son mo-deladas como fuentes de tensión controladas por tensión, todos los ele-mentos de la expresión matricial relacionados entre la entrada al sistema y todas las salidas de la estructura modifi-cada poseen dimensión de impedancia; la presente ilustración es un caso particular, en cada caso planteado se debe tener presente las dimensiones de los elementos de la expresión matricial.

[ ] [ ][ ]VX X X X

X X XX X X

X X X

XX

X

a

a

i o o o n o

A

A

A

n

n

n n n n

i

i

i

i

n

= •

•

−

−

31 32 3

1

1

1

31 11 32 11 3 11

31 12 32 12 3 12

31 1 32 1 3 1

11

12

11

2

0 00 0

0 0

1

, , ,

, , ,

, , ,

, , ,

,

,

L

L

L

M M L M

L

L

L

M M L M

L

M

,1n

..........(5.3.1)

Analizando los términos que forman el resultado de la relación (5.3.1) y representa la impedancia entre los puntos a y a' , se pueden determinar las condiciones para las cuales la realimentación presente en la estructura no la alteran. El elemento oiX del vector fila MS repre-senta la impedancia entre los puntos cuando todas las fuentes controla-das son anuladas; por lo tanto, la tensión entre sus extremos es exclusi-vamente función de la fuente independiente empleada como excitación, y por definición es la impedancia entre los puntos sin realimentación. Dado que la estructura es realimentada la matriz diferencia de la rela-ción (5.3.1) será no nula; en consecuencia, los restantes elementos del

+-

SISTEMAMODIFICADOia

va

e11e31

a’

a

e3n

+- A1 e11

e1n

An e1n+-

FIGURA 5.3.1 IMPEDANCIA ENTRE LOS PUNTOS

a y a' . SISTEMA MÚLTIPLEMENTE REALIMENTADO. ESTRUCTURA MODIFICADA.

82

vector fila MS, o todos los del vector columna ME, deben ser nulos para que la impedan-cia entre los puntos a y a' no cambie con la realimentación.

Considerando el sentido del fluir la información en la estructura realimentada, se presentan dos situaciones para las cuales la impe-dancia entre dos puntos no es alterada por la realimentación; o sea, es independiente de ella. Cuando en el vector fila MS son nulos los elemen-tos diferentes al oiX , los puntos a y a' se encuentran más adelante que las salidas de todas las fuentes controladas; como ocurre con la impedancia de salida de una estructura realimentada que posea una última etapa unidireccional no realimentada localmente; ver figura 5.3.2.

Para los casos donde el vector columna ME de la relación (5.3.1) es nulo; puntos a y a' se encuentran en una etapa unidireccional no realimentada que precede la estructura realimentada; ver figura 5.3.3.

Nótese que en general, cuando la impedancia entre dos puntos arbitrarios a y a' no es modificada por la realimentación; los paráme-tros circuitales contenidos en el elemento oiX del vector fila de la rela-ción (5.3.1) no se encuentran en ningunos de los elementos que forma la matriz de realimenta-ción; o sea, la realimenta-ción es independiente de la impedancia propia que presenta la estructura entre los puntos arbitra-rios a y a' , cuando se anulan las fuentes contro-ladas.

Para estas estructuras, múltiplemente realimentadas, la relación de Blackman se puede obtener de manera similar a la utilizada en los anteriores numerales y demostrar por inducción; la cual resulta larga para incluirla. La expresión toma la forma general dada en (5.3.2), don-de los términos fueron definidos anteriormente.

ULTIMAETAPA

ESTRUCTURAREALIMENTADA

va

a’

aia

FIGURA 5.3.2 IMPEDANCIA DE SALIDA NO

ALTERADA POR LA REALIMENTACIÓN.

ESTRUCTURAREALIMENTADA

ETAPAPREVIA

va

a’

aia

FIGURA 5.3.3 IMPEDANCIA DE ENTRADA NO

ALTERADA POR LA REALIMENTACIÓN.

83

caen'a,ak1,j31

ccen'a,ak1,j31

'aaf'aaXA

XAZZ

−

−=

−

−

.........(5.3. 2)

Para el caso particular que se consideren tres amplificadores en la estructura múltiplemente realimentada, desarrollando los determinan-tes de la expresión (5.3.2) y simplificando se tiene:

caenáa32112,3311,3213,3111,3213,3212,3113,3312,3211,31

13,3311,3212,3112,3313,3211,3111,3312,3213,31

3212,3313,3213,3312,323111,3313,3113,3311,31

2111,3212,3112,3211,31313,33212,32111,31

ccenaa32112,3311,3213,3111,3213,3212,3113,3312,3211,31

13,3311,3212,3112,3313,3211,3111,3312,3213,31

3212,3313,3213,3312,323111,3313,3113,3311,31

2111,3212,3112,3211,31313,33212,32111,31

áafáa

AAA)XXXXXXXXX

XXXXXXXXX(

AA)XXXX(AA)XXXX(

AA)XXXX(AXAXAX1

AAA)XXXXXXXXX

XXXXXXXXX(

AA)XXXX(AA)XXXX(

AA)XXXX(AXAXAX1

ZZ

−−−

−+++

+−+−+

+−+−−−

−−−

−+++

+−+−+

+−+−−−

⋅=

..........(5.3.3)

En los casos que la estructura posea dos amplificadores, para obtener la expresión correspondiente, simplemente realizamos el límite de (5.3.3) cuando 3A tiende a cero:

caenáa2111,3212,3112,3211,31212,32111,31

ccenaa2111,3212,3112,3211,31212,32111,31áafáa AA)XXXX(AXAX1

AA)XXXX(AXAX1ZZ

−+−−

−+−−⋅=

..........(5.3.4)

Considerando un amplificador unidireccional se obtiene como resultado del límite la relación (5.1.6).

84

5.4 MODIFICACIÓN DE LA IMPEDAN-CIA ENTRE DOS PUNTOS DE UNA ESTRUCTURA

Alterar el nivel de la impedancia entre dos nodos, pertenecientes a una estructura que contenga fuentes controladas, se puede realizar empleando los conceptos establecidos en los numerales anteriores. En estos casos, la realimentación es utilizada para modificar la impe-dancia entre dos puntos de la estructura; generalmente los nodos co-rresponden con los de salida o entrada de la estructura y el efecto que se pretende obtener al añadir la realimentación es la idealización de los parámetros pasivos que permiten definir a la estructura resultante como un cuadrípolo activo. Como por ejemplo; modelando toda la es-tructura resultante como un amplificador de tensión, la realimentación añadida incrementará la impedancia de entrada y disminuirá la de sa-lida; si el modelo corresponde con un amplificador de corriente, el efecto que ejerce la realimentación es todo lo contrario, disminuye la de entrada y aumenta la de salida.

En general, para modificar n impedancia en una estructura será necesario añadir n lazos independientes de realimentación en la es-tructura original. Sin embargo, existen estructuras cuyas topologías son tales que basta un solo lazo de realimentación para modificar si-multáneamente las impedancias de entrada y salida en el sentido de-seado; estas topologías son particulares y ampliamente utilizadas.

Por lo establecido en los numerales anteriores, la impedancia entre dos nodos que se quiere modificar corresponderá con el término

aaZ de las relaciones (5.1.6), (5.2.9) ó (5.3.1); términos que son equi-valentes al oiX de la estructura modificada con el propósito de inter-pretar la impedancia como una función entrada salida de la estructura realimentada y realizar su análisis empleando los procedimientos es-tablecidos en los numerales mencionados. También se establece que la realimentación modificará los niveles de impedancia cuando todos o algunos de los elementos circuitales que intervienen en oiX se en-

85

cuentran presente en el argumento de los elementos de la matriz RM o su equivalente. Adicionalmente, dado que la estructura es suscepti-ble de ser realimentada, que posee fuentes controladas, siempre se le podrá asignar a parte de la estructura original, delimitada por tres no-dos, la característica de unidireccionalidad indispensable para aplicar el procedimiento; concepto que se puede extender a un punto de una rama interior a la región delimitadas por los tres nodos, con la condi-ción que por ella circule toda la información que es transferida de la entrada a la salida del equivalente delimitado por los tres nodos; y en consecuencia la expresión para la impedancia entre dos nodos de una estructura siempre podrá ser evaluada mediante la relación (5.1.6), donde se le asigne a la ganancia del amplificador modelado el valor unitario que resulta al modelar un punto de una rama con la propiedad mencionada, como se indica en la relación (5.4.1):

caen'a,a31

ccen'a,a31oif'a,a X11

X11XZ ´

⋅−

⋅−= .............................(5.4.1)

Analizando la estructura algebraica de la relación (5.4.1) se pue-de concluir que al añadir un lazo de realimentación en una estructura, con el fin de alterar el nivel de impedancia entre dos nodos, que si bien el término oiX es alterado, la influencia o efecto de la realimentación se manifiesta fundamentalmente en el cociente formado por los facto-res de realimentación de la estructura; por lo tanto, la realimentación añadida debe ser tal que el valor de los términos 13X , con los puntos a y á condicionados adecuadamente, sean tales que propicien el resul-tado; o sea, para aumentar la impedancia el término ccená,a13X debe

mayor que caená,a13X , puesto que la ganancia A del modelo unidirec-cional reconocido es constante y la estructura opera linealmente. En aquellos casos en los cuales el cambio deseado sea disminuir el nivel de la impedancia, la relación entre los valores de los parámetros 13X será todo lo contrario. La modificación extrema en los niveles de impe-dancia entre los puntos a y á, cuando se desea que la impedancia sea nula o infinita, se puede lograr imponiendo en las relaciones (5.4.1) el valor cero o infinito, dado que el término oiX puede ser muy grande o muy pequeño pero acotado. Considerando la relación (5.4.1), lo ex-

86

puesto anteriormente es equivalente a condicionar los parámetros 13X según el valor deseado de la impedancia.

Para ∞=′ faaZ ´

=⋅−≠⋅−

⇒∞=⋅−

⋅−

0X110X11

X11X11

caen'a,a31

ccen'a,a31caen'a,a31

ccen'a,a31

por lo tanto, considerando que la estructura opera linealmente se tie-ne:

=<

1X1X

caen'a,a31

ccen'a,a31 ............................. (5.4.2)

Para 0Z faa = , procediendo de manera similar se obtiene:

<=

1X1X

caen'a,a31

ccen'a,a31 ............................. (5.4.3)

En aquellos casos que los niveles de la impedancia deseada no correspondan con los niveles extremos, los parámetros 13X corres-pondientes deben seguir la tendencia impuesta por las relaciones (5.4.2) y (5.4.3) según el caso, pero no alcanzar el valor definido en las relaciones respectivas.

Para una estructura particular, los lineamientos generales descri-tos anteriormente permiten establecer el recorrido externo al amplifica-dor, aquel que completa el lazo para la realimentación añadida a la estructura; o sea, establecer en la estructura original cuales son los dos nodos por los cuales se cierra el lazo que satisface las condicio-nes necesaria para obtener el cambio en el nivel de la impedancia; y calcular de esta forma la expresión del 13X correspondiente, en fun-ción de los elementos del circuito. Una vez obtenida la expresión literal del parámetro 13X , basta con determinar el valor de los elementos añadidos para cerrar el lazo que satisfacen las relaciones establecidas por las relaciones (5.4.2) o (5.4.3). Generalmente por ser éste un caso típico de diseño, donde se tienen más incógnitas que ecuaciones, el procedimiento plantea un sistema de ecuaciones indeterminado con

87

infinitas soluciones; asignando el valor de algunos parámetros circuita-les se podrá obtener una solución particular. Estos lineamientos gene-rales permiten establecer las siguientes relaciones:

Independiente de las condiciones que se impongan a los puntos a y á, por encontrarse la estructura operando linealmente se tendrá:

1X 31 < .............................(5.4.4)

Para disminuir la impedancia entre los puntos a y á se debe cumplir con:

ccen'a,a31caen'a,a31 XX < .............................(5.4.5)

Cuando el efecto deseado sea aumentar la impedancia entre los puntos a y á se debe cumplir con:

ccen'a,a31caen'a,a31 XX > .............................(5.4.6)

Analizando la topología de una estructura particular e imponer que se satisfagan las relaciones (5.4.4), (5.4.5) o (5.4.6) y simultánea-mente incluir el hecho que algunos de los elementos circuitales que constituyen la impedancia entre los puntos a y á de la estructura origi-nal, la que se realimentará para obtener el cambio en el nivel de impe-dancia, se encuentren como argumento en los parámetros 31X , permi-te seleccionar los nodos de la estructura original entre los cuales se colocarán los elementos añadidos para cerrar el lazo. Al modelar un punto como estructura unidireccional, los propios terminales de todos los elementos activos de la estructura original serán los nodos aptos de utilizar para la realimentación; aquellos terminales que por su ubi-cación se encuentren más adelante que el amplificador modelado, con relación al fluir de la información en la estructura, son elegibles como nodos fuentes, de donde fluye la información hacia otro nodo que pre-ceda al amplificador considerado. Al calcular la expresión del término

31X correspondiente e imponer la condición de linealidad, relación (5.4.4), quedarán excluidas algunas alternativas. Imponiendo la condi-ción establecida por una de las relaciones (5.4.5) o (5.4.6), según el caso, se obtienen todos los posibles pares de nodos entre los cuales colocando uno o varios elementos circuitales se consigue el cambio de impedancia deseado.

89

6 OSCILADORES LINEALES

En este capítulo se estudiará el comportamiento de una estructu-ra realimentada capaz de suministrar por sus propios medios una se-ñal de salida sinusoidal.

Tal estructura es denominada oscilador lineal; en ella se encuen-tran tres partes funcionales que establecen las líneas generales y hacen posible su funcionamiento:

a.- Desplazador de fase; determina la frecuencia de oscilación. b.- Amplificador; compensa las perdidas que sufre la señal al reco-

rrer la trayectoria de realimentación. c.- Limitador; acota la amplitud de la señal de salida.

En general, las estructuras que forman un oscilador no se en-cuentran diferenciadas de manera clara en las partes mencionadas; tal clasificación es conceptual. Por ejemplo, el propio amplificador puede contribuir al desplazamiento de fase; y en algunos casos también con-forma el limitador, empleado para esta función la dependencia de su ganancia con la magnitud de la tensión de salida.

90

6.1 OSCILADORES. ESTRUCTURA GENERAL

En un sistema realimentado como el indicado en la figura 6.1.1 se tiene que la entrada al propio amplificador será: X X Xe i f= + .......... (6.1.1)

donde iX representa la señal de entrada y fX es proporcional a la señal de salida. Seleccionemos como entrada al sistema una señal sinusoidal de determinadas características; o sea, una amplitud y fre-cuencia dadas. Bajo estas condiciones de entrada y conocidas las ca-racterísticas de los bloques y el sumador, que forman la estructura re-alimentada, se puede obtener la señal de salida; la cual será:

X X X Ao i f= + ⋅( ) .......... (6.1.2) Tanto la amplitud como la frecuencia de la señal de salida serán fijas; determinadas por las características del sis-tema y la señal de entrada. La señal de salida será constante cuando la entrada al amplifica-dor lo sea; por lo tanto, de la relación (6.1.2) se encuentra que la suma de las señales Xi y X f también debe ser constante.

En el diagrama de bloques de la figura 6.1.1 modifiquemos el bloque β de tal forma que aumente el término fX de la relación (6.1.2) y simultáneamente disminuyamos el otro término, iX ; estos cambios realizados son tales que permiten mantener constante su suma, y por ende la salida de la estructura realimentada. Sustitu-yendo fX en la relación (6.1.1) se tiene:

ββ ⋅+=⋅+= AXXXXX eioie .......... (6.1.3)

Relación que permite plantear:

Xe Xo

β

XiΣ

++

Xf

AMPLIFICADOR


91

β⋅+==

AXXX eiCteXeo

..........(6.1.4)

La solución de la relación (6.1.4), condicionada a mantener la salida constante es:

1A

0XAXXX i

eiCteXeo =⋅

=→⋅+=

= ββ ..........(6.1.5)

O sea, asignar al pro-ducto A ⋅ β un valor unitario es equivalente a mantener la misma señal de salida dada por (6.1.2). Nótese que para este valor del producto A ⋅ β no se requiere señal de entra-da al sistema realimentado; o sea, se puede disponer de salida en el sistema sin apli-carle entrada; como se indica en la figura 6.1.2. El sistema genera una señal de salida con las mismas características que tenia antes de ser modificado. En general, los bloques que constituyen el siste-ma realimentado poseen dependencia de frecuencia; por tal razón la solución de la relación (6.1.5) es una solución compleja y como tal se debe resolver considerando la solución simultánea de sus partes, real e imaginaria. Será equivalente al sistema:

=⋅=⋅

0β)(AIm1β)(ARe

..........(6.1.6)

Generalmente la solución de la parte real del sistema (6.1.6) suministra la información requerida para determinar bajo cuales condi-ciones el sistema es capaz de suministrar la energía que lo mantiene oscilando; en otras palabras, compensar las perdidas que ocasionan los elementos disipativos que se encuentran en la trayectoria de reali-mentación. Por otro lado, la parte imaginaria impone la frecuencia de la señal de salida para la cual ocurre la condición anterior.

Xe Xo

β(s)

Σ

+Xf

A(s)AMPLIFICADOR


ENTRADA NULA.

92

6.2 DETERMINACIÓN DE LAS CONDI-CIONES DE OSCILACIÓN

Para que el comporta-miento de una estructura re-alimentada como la indicada en la figura 6.2.1 se comporte como un oscilador basta con determinar bajo cuales res-tricciones se cumplen las condiciones impuestas por la relación (6.1.6). En general, como se indica en la figura 6.2.1 cada uno de los términos del producto A ⋅ β son funciones de frecuencia; por lo tanto, el producto se podrá expresar como:

)s(D)s(D)s(N)s(N

sdsdsdsdsnsnsnsn

)s(D)s(N)s(A)s(

ip

ip0

011n

1nn

n

001

1m1m

mm

+

+=

++++

++++==⋅

−−

−−

L

Lβ ..... (6.2.1)

donde: )s(N p : Parte par del polinomio del numerador. )s(Ni : Parte impar del polinomio del numerador. )s(Dp : Parte par del polinomio del denominador. )s(Di : Parte impar del polinomio del denominador.

Imponer las condiciones dadas por (6.1.6) a la relación (6.2.1) es:

[ ][ ][ ][ ]

[ ][ ]1 2 2=

+

+=

+ −

+ −=

+ −

−

N s N sD s D s

N s N s D s D s

D s D s D s D s

N s N s D s D s

D s D sp i

p i

p i p i

p i p i

p i p i

p i

( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

N s D s N s D s

D s D sN s D s N s D s

D s D s

p p i i

p i

i p p i

p i

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

−

−=

−

−=

2 2

2 2

1

0 .......... (6.2.2)

Xe Xo

β(s)Xf

A(s)AMPLIFICADOR

FIGURA 6.2.1 OSCILADOR LINEAL.

93

De la segunda ecuación del sistema (6.2.2), para 0)s(D)s(D 2i

2p ≠−

se tiene:

0)s(D)s(N)s(D)s(N ippi =− ..........(6.2.3) por lo tanto, se debe cumplir con las relaciones:

))s(D

)s(D)s(N)s(N

)s(D)s(D)s(N

)s(Ni

pip

p

ipi ==

Sustituyendo cada una de las relaciones anteriores en la primera ecuación del sistema (6.2.2) se tendrá:

1)s(D)s(N

)s(D)s(D

)s(D)s(D)s(D)s(N

)s(D)s(D

)s(D)s(D

)s(D)s(N)s(D)s(N

p

p2i

2p

2i

2p

p

p

2i

2p

ip

ippp

==−

−

=−

−...(6.2.4)

1)s(D)s(N

)s(D)s(D

)s(D)s(D)s(D)s(N

)s(D)s(D

)s(D)s(N)s(D)s(D

)s(D)s(N

i

i2i

2p

2i

2p

i

i

2i

2p

iipi

pi

==−

−=

−

−........(6.2.5)

Para que un sistema realimentado se comporte como un osci-lador lineal; el producto β ⋅ A de la estructura, representado como el

cociente de dos polinomios )s(D)s(N , debe satisfacer una de las dos rela-

ciones:

=

=−

≠−

1)s(D)s(N

0)s(D)s(N)s(D)s(N

0)s(D)s(D

p

p

ippi

2i

2p

..........(6.2.6)

=

=−

≠−

1)s(D)s(N

0)s(D)s(N)s(D)s(N

0)s(D)s(D

i

i

ippi

2i

2p

..........(6.2.7)

94

En el capítulo 4 se determinó que el producto β ⋅ A de un sis-tema realimentado es siempre equivalente a una expresión; además, que dicha expresión se encuentra totalmente definida por los procedi-mientos planteados en el capítulo. La forma algebraica de tal expre-sión cambia de acuerdo al tipo de amplificador unidireccional recono-cido y modelado para el análisis del sistema realimentado. Cuando simplemente es un amplificador la expresión algebraica posee la for-ma: AXA 31 ⋅=⋅β .......... (6.2.8) en cambio, cuando el amplificador es diferencial la equivalencia pre-senta una estructura algebraica diferente, corresponde con: c3cd3d XAXAA −=⋅β .......... (6.2.9)

Por lo tanto, las equivalencias dadas por (6.2.8) y (6.2.9) pueden ser empleadas para encontrar el cociente de polinomios, ver (6.2.1), y aplicar directamente las relaciones (6.2.6) ó (6.2.7) según sea el caso. Generalmente las estructuras múltiplemente realimentadas que requieran de un análisis tal que sea pertinente obtener una relación similar a la dada por (4.3.12) no son empleadas para construir oscila-dores; no obstante el procedimiento es aplicable para tales expresio-nes. En las estructuras empleadas como osciladores que poseen más de una trayectoria cerrada algunas de ellas son locales y las restantes se anulan al desvanecer una fuente controlada. Las trayectorias loca-les son para controlar las especificaciones de una estructura activa que forma parte del amplificador del oscilador y las restantes, son la realimentación que establece las condiciones de operación del oscila-dor; esta trayectoria de realimentación puede estar formada por varios términos aditivos. En los osciladores reales se puede considerar que el proceso de oscilación comienza debido a la señal de ruido presente en todo circui-to. Por ser tal señal ruido blanco, contendrá una componente cuya frecuencia coincide con la de oscilación; componente que inicia el pro-ceso El sistema realimentado amplifica predominantemente tal com-ponente y rechaza las restantes. En general, el amplificador real po-see una característica de salida limitada en amplitud; tal característica limitadora es la que determina la magnitud de la tensión de salida de los osciladores.

95

6.3 OSCILADORES POLIFÁSICOS

Osciladores polifásicos son estructuras realimentadas con varias salidas; estas estructuras son capaces de suministrar, en ausencia de excitación, formas de ondas sinusoidales que guardan entre sí deter-minada relación, una forma de onda por cada salida definida en la es-tructura. Generalmente, cada una de las formas de ondas de salida se encuentra desfasada un ángulo que depende del número de salidas. Por cada una de las salidas deseadas; se impone, en la estructura realimentada que constituye el oscilador, la existencia de una fuente controlada con la finalidad de asegurar la independencia de funciona-miento del oscilador de las características de la carga.

Dado que la condición de oscilación, ver relación (6.1.6), es úni-ca para toda la estructura se concluye que las fuentes controladas deben formar parte de la trayectoria cerrada; o sea, el producto A ⋅ β equivalente de todo el sistema es una estructura que se encuentra co-nectada en cascada y debe poseer tantas secciones como salidas se contemplen para el oscilador; en cada una de las secciones debe existir al menos una fuente controlada. Asociada con cada una de las fuentes controladas se ubica una parte de la red de realimentación; en general, es la parte de la estructura que asegura el cambio de fase entre dos salidas consecutivas.

En la figura 6.3.1 se encuentra un diagrama de bloques para un oscilador trifásico; se identifican las tres salidas, los tres amplificadores y las tres secciones que completan la trayectoria de realimentación y aseguran la dife-rencia de fase en-tre las salidas. En el caso particular que las salidas posean la misma amplitud y se en-cuentren desfasa-das una de otra en

Xo1,e2A1

Xo3,e1

A2 Xo2,e3 A3

eo1 eo2 eo3

FIGURA 6.3.1 DIAGRAMA DE BLOQUES. OSCILADOR

TRIFÁSICO.

96

o120 los productos parciales )1i(e,ioi XA + de la estructura serán igua-les. Para el caso trifásico considerado, la relación (6.2.1) equivalente es de la forma:

0j1))s(X)s(A(A 3e,o +==⋅β .......... (6.3.1)

Las condiciones de oscilación para tales estructuras se obtie-nen al considerar una salida cualquiera y proceder con lo establecido en la sección 6.2.

Para aquellos ca-sos donde el oscilador posea dos salidas desfa-sadas o90 y sus ampli-tudes sean iguales, co-nocidos con el nombre genérico de osciladores de cuadratura, un dia-grama de bloques se indica en la figura 6.3.2. En general el producto 22e,1o AX ⋅ es un inte-grador, que a la frecuencia de operación del oscilador introduce el des-fasaje de o90 requerido entre las dos salidas.

Considerando la ganancia de lazo de la estructura y procediendo con lo establecido en la sección 6.2, se obtienen las condiciones de oscilación:

0j1)s(X)s(A)s(X)s(AA 1e,2o22e,1o1 +==⋅β .......... (6.3.2)

6.4 ESTABILIDAD EN FRECUENCIA

Una de las características más relevantes de los osciladores es su frecuencia de operación. La frecuencia de la señal de salida debe ser constante; independiente de los cambios que las condiciones am-bientales y el uso provoquen en los componentes de la estructura que forma el oscilador.

Xo1,e2A1

Xo2,e1

A2

eo1 eo2

FIGURA 6.3.2 DIAGRAMA DE BLOQUES.

OSCILADOR DE CUADRATURA.

97

Las perturbaciones provocadas en los componentes de la estruc-tura por la temperatura, que es el principal factor ambiental, pueden ser minimizado por la selección adecuada de los componentes; tal selección consistirá en utilizar componentes que presenten un coefi-ciente de temperatura nulo, o su efecto se anulen entre ellos; de esta forma, sus valores serán independientes de los cambios que sufra la temperatura del ambiente donde funcione el oscilador. Al emplear ta-les elementos la frecuencia de la señal de salida tiende a ser constan-te; adicionalmente a las perturbaciones causadas por la temperatura existen otras perturbaciones, como pueden ser: cambios de valor de los componentes por envejecimiento, dependencia del punto de ope-ración de los parámetros del amplificador, cambios en los parámetros del amplificador al sustituir los elementos activos que lo forman, y otros. Cuando se estudia la estabilidad de la frecuencia de la señal de salida de un oscilador se debe aclarar que tal estudio se refiere a las perturbaciones que no se pueden eliminar por selección de los com-ponentes de la estructura.

En general, se puede decir que la frecuencia de la señal de sali-da de un oscilador es función de los componentes que lo forman, y puede cambiar ante cambios de los mismos, independientemente del origen de tales cambios. Dado que a la frecuencia de oscilación se requiere que la estruc-tura introduzca un corrimiento de fase nulo para mantener la oscila-ción; al ocurrir una pequeña alteración en algún componente de la estructura, la frecuencia de oscilación cambiará hasta obtener que el desplazamiento de fase total vuelva a ser nulo. Por tal razón, la estruc-tura del oscilador tendrá buena estabilidad de frecuencia cuando la dependencia de la fase con relación a la frecuencia sea grande; de tal forma que se requiera un pequeño cambio en la frecuencia para co-rregir cualquier corrimiento de fase, provocado por los cambios en los valores de los elementos, y restaurar que la ganancia de lazo posea una fase igual a cero. La condición ideal para la estabilidad de fre-cuencia es cuando la dependencia de la fase con relación a la fre-cuencia sea infinita, como se indica en la relación (6.4.1):

∞== 0wwwd

dϕ ..........(6.4.1)

La condición dada por la relación (6.4.1) es imposible de lograr

98

en una estructura real. Para un oscilador cualquiera el valor de la de-pendencia de la fase con relación a la frecuencia permite establecer una medida de su estabilidad de frecuencia intrínseca, y puede ser empleada para comparar dos estructuras diferentes, bien sea por to-pología o por los valores asignados a los componentes.

En general, las estructuras que forman un oscilador tendrán una estabilidad de frecuencia alta a medida que el eqiQ definido en la ga-nancia de lazo sea más alto. Por lo tanto, se tendrá alta estabilidad de frecuencia empleando filtros de banda estrecha como parte de la es-tructura; este hecho denota la gran estabilidad de frecuencia que po-seen los osciladores construidos con ciertos materiales cristalizados, como el cuarzo, cuyos circuitos eléctricos equivalentes corresponden con un filtro pasa banda estrecho con un Qeqi que puede ser tan gran-de como 500.000.

Para calcular el ángulo de fase que introduce la estructura del oscilador se pueden emplear las relaciones dadas por (6.2.2); el co-ciente de las relaciones define la tangente del ángulo de fase:

)s(D)s(N)s(D)s(N)s(D)s(N)s(D)s(N

jtagiipp

ippi

−

−−=ϕ .......... (6.4.2)

que puede escribirse con una notación más simple:

)s(B)s(A

jtag −=ϕ .......... (6.4.3)

donde: )s(D)s(N)s(D)s(N)s(A ippi −= )s(D)s(N)s(D)s(N)s(B iipp −=

diferenciando la relación (6.4.3) se tiene:

sd)s(B

)s(As

)s(B)s(B

1s

)s(Ajdsec 22

−−=⋅

∂∂

∂∂ϕϕ .......... (6.4.4)

Dado que se desea estudiar la estabilidad de frecuencia en la vecindad de la frecuencia de resonancia se tendrá que:

0)s(A1sec0tagww 2o ==== ϕϕ

sustituyendo en (6.4.4) y multiplicando ambos miembros por la variable

99

s se tiene:

sd)s(B

ss

)s(Ajsd

∂∂

ϕ −=

de donde:

)s(B

ss

)s(Aj

ssd

d∂

∂ϕ−= ..........(6.4.5)

evaluando la relación anterior en la frecuencia de oscilación:

0

00 wjs)s(B

ss

)s(Aj

wwdd

=−=

∂∂ϕ ..........(6.4.6)

Relación que mide la estabilidad de frecuencia de la estructura.

6.5 ESTABILIDAD EN AMPLITUD Y DISTORSIÓN

Las mismas razones que afectan la frecuencia de la señal de salida de un oscilador alteran la ganancia del amplificador que cierra el lazo de realimentación. Por lo tanto, el valor de la ganancia de lazo pude caer por debajo de la unidad, y el circuito dejará de oscilar. En la práctica, normalmente los osciladores se diseñan con un valor de la ganancia de lazo a la frecuencia de oscilación ligeramente superior a la unidad, alrededor del 5%. A medida que el valor de la ganancia de lazo sea mayor también lo es la magnitud de la salida; este incremento en la amplitud de salida provoca que la excursión del punto de opera-ción del dispositivo activo recorra un mayor intervalo; y por lo tanto, los parámetros que definen su modelo incremental no sean constantes. En definitiva, un incremento en la salida del amplificador aumentará el contenido de armónicos, que se traduce en un incremento de la distor-sión presente.

Básicamente existen dos formas conceptualmente diferentes de controlar la amplitud de la salida de un oscilador. Una de ellas es con-

100

trolando la propia magnitud de la salida y la otra es alterando la ga-nancia del amplificador de tal forma de mantener constante la magni-tud de la salida. Ambos procedimientos son realizados por circuitos no lineales agregados a la estructura básica del oscilador.

Una manera de controlar la amplitud de la señal de salida del oscilador es añadiendo al amplificador un circuito no lineal que impon-ga una gran dependencia negativa de la ganancia del amplificador en relación con la amplitud de la señal, a partir de una amplitud dada; o sea, para la condición ideal:

∞−=≥ .CteXXd

Ad

00 .......... (6.5.1)

En la práctica son factibles de construir circuitos no lineales que poseen un comportamiento que se aproximan al indicado por la rela-ción (6.5.1), lográndose una fuerte dependencia negativa, pero nunca infinita. Como ilustración se puede mencionar un circuito limitador

linoX colocado en paralelo con el bloque 1,3X que define la realimen-tación local y fija la ganancia realimentada de todo el amplificador, ver figura 6.5.1; en este caso, se supone que al alcanzar 0X un determina-do valor el bloque no lineal cambia la realimentación de tal manera que la ganancia realimentada disminuye, limitando la magnitud de 0X .

La otra forma de regular la amplitud de la señal de salida es con-trolar la propia señal de salida cambiando suavemente la ganancia del amplificador. En este caso, admitiendo que la señal de entrada al am-plificador es constante y que su salida cambia de valor por un cambio en la ganancia del amplificador, se mide la variable de salida del am-plificador todo el tiempo y en base a su valor promedio cua-drático se actúa sobre alguna de las variables de la realimen-tación local que determinan la ganancia del amplificador; la alteración sobre la ganancia se realiza de manera adecuada, tal que se logre mantener constan-te la amplitud de la salida, como se indica en la figura 6.5.2. Ge-

ΣXi,1

Xi

A

Xno li

X3,1

31

X0

FIGURA 6.5.1 CONTROL DE AMPLITUD

DE SALIDA.

101

neralmente se utiliza como sen-sor de la magnitud de la salida una resistencia dependiente de temperatura; tal resistencia debe tener una constante de tiempo térmica apropiada, debe ser mucho mayor que el período de la señal de salida. Al aumentar el promedio de la señal de sali-da se incrementa la potencia disipada en la resistencia y por lo tanto su temperatura; el incremento de temperatura trae como conse-cuencia un cambio en el valor de la resistencia, que es utilizado para alterar la ganancia del amplificador y mantener constante el valor pro-medio de la salida. Nótese que con tal mecanismo de control se mantie-ne constante la salida del amplificador independiente del origen de la alteración.

En algunas ocasiones es deseable comparar el efecto que pro-ducen diferentes redes de realimentación, que forman parte de un os-cilador, con relación al contenido de armónicos. Admitiendo que la señal de entrada aplicada a un amplificador es constante y conside-rando que su salida también lo sea, se tendrá que el contenido de ar-mónicos generado es independiente de la red de realimentación; el contenido de armónicos es una característica de las no linealidades del propio amplificador. Cada una de las componentes armónicas de la salida al propagarse por la red de realimentación se modifica por el valor de la función de transferencia evaluada a la frecuencia de la ar-mónica respectiva; Por lo tanto:

11,3

n1,3

X

X

−

− ..........(6.5.2)

donde: n1,3X − : Corresponde al término 1,3X de la estruc-

tura realimentada evaluado a la frecuen-cia de la armónica n del espectro de la señal de salida.

11,3X − : Equivalente al término 1,3X de la estruc-

ΣXi,1

Xi

A

Xno li

X3,1

31

X0

FIGURA 6.5.2 CONTROL DE LA GANAN-

CIA DEL AMPLIFICADOR.

102

tura realimentada evaluado a la frecuen-cia fundamental de la señal de salida.

La relación (6.5.2) es una medida del porcentaje de distorsión a la entrada del amplificador, para un circuito dado. Cuando la magnitud de la relación tiende a cero la distorsión es nula.

En general, en una estructura realimentada; cuando la misma salida se obtiene empleando dos redes de realimentación diferente y considerando que el contenido de armónicos generado por el amplifi-cador es el mismo; la componente n de los armónicos es afectada por el factor de realimentación evaluado a la frecuencia del armónico, co-mo se indica en la relación (6.5.3).

n1,3

n XA11H

−⋅−= .......... (6.5.3)

Este factor, nH , es una medida del contenido del armónico n a la salida del amplificador por efectos de la dependencia de frecuencia de la red de realimentación empleada.

Multiplicado las dos últimas relaciones se obtiene un factor que mide la magnitud de la componente n como consecuencia de la red de realimentación utilizada.

n1,311,3

n1,3

XA11

X

X

−−

−

⋅− .......... (6.5.4)

Analizando los resultados obtenidos en el presente punto y en el numeral anterior se concluye que la pureza de la forma de onda de salida de un oscilador se encuentra íntimamente relacionada con la estabilidad de la frecuencia de su salida. O sea, a medida que se au-mente el eqiQ en aquella parte de la estructura que impone la condi-ción dependiente de frecuencia, se obtendrá una mejor estabilidad para la frecuencia del oscilador y será menor el contenido de armóni-cos en la forma de onda de la salida.

103

7 ESTRUCTURAS REALIMENTA-DAS QUE PRESENTAN HIS-TÉRESIS

En este capítulo se estudian las características generales de las estructuras realimentadas que por ser el producto β ⋅ A mayor que la unidad presentan en su característica de transferencia un ciclo de histéresis. También se estudian aquellos casos en los cuales se añade un lazo de realimentación externo a las estructuras que posen un ciclo de histéresis.

7.1 CONSIDERACIONES GENERALES

En la sección 2.2 se demuestra que en una es-tructura realimentada donde el producto β⋅A sea mayor que la unidad el sistema es no lineal, y su característica de transferencia presenta un ciclo de histéresis; caracte-rística similar a la indicada en la figura 7.1.1 donde se indi-can los dos posibles ciclos de histéresis que se pueden presentar en la estructura,

Xo

Xi

Xi de encendidoXi de apagado

Xo de saturación +

Xo de saturación -

A positiva

A negativa

FIGURA 7.1.1 CARACTERÍSTICA DE

TRANSFERENCIA. CICLO DE HISTÉRESIS.

104

dependiendo del signo de la ganancia del amplificador. Notar que el ciclo se recorre en el sentido del reloj cuando la ganancia del amplificador es negativa y en sentido contrario para amplificadores de ganan-cia positiva. De la figura tam-bién se observa que con la señal de entrada aumentando se denomina nivel de encendido al valor que provoca la conmutación de la salida; y cuando la salida conmuta con la señal de entrada disminuyendo el nivel de la señal de entrada correspondiente se denomina apagado. El nivel de la señal de entra-da para el encendido siempre será mayor que el de apagado.

Por otro lado; cuando se analizan estructuras que presenten ciclos de histéresis se debe tener presente que los niveles de satura-ción de la salida del amplificador se encuentran definidos por su pola-rización; y adicionalmente, que el nivel de saturación positiva es siem-pre mayor que el negativo. Por lo tanto, al modificar la polarización del amplificador podemos desplazar verticalmente el ciclo de histéresis.

Los niveles de la entrada a la estructura de la figura 7.1.2 que provocan conmutación en su salida se obtienen mediante la aplicación de la relación (2.2.11); en la cual se asigna como salida los dos niveles de saturación:

A

A1XX saturacion1nconmutacioi⋅−

= − β .......... (7.1.1)

A

A1XX saturacion2nconmutacioi⋅−

= + β .......... (7.1.2)

Para el caso particular de un amplificador con ganancia positiva y considerando que el nivel de la salida de saturación positiva es siempre mayor que el de la negativa, los niveles de encendido y apa-gado para la estructura de la figura 7.1.2 son:

A

A1XX saturacionencendidoi⋅−

= − β .......... (7.1.3)

A

A1XX saturacionapagadoi⋅−

= + β .......... (7.1.4)

XeXo

β

XiΣ

++ Xf

AAMPLIFICADOR


105

Nótese que en la estructura de la figura 7.1.2 el amplificador que se realimenta es el único bloque que presenta restricciones por satu-ración, el resto de los bloques: la malla de realimentación y el sumador se consideran exentos de tal restricción y bajo tales condiciones se obtienen los niveles de encendido, apagado y los correspondientes niveles de salida de la estructura. Se debe tener presente que en al-gunas oportunidades, cuando alguno de los bloques qpX o los suma-dores son estructuras activas, los niveles de saturación del amplifica-dor pueden ocasionar que a su vez la salida de los bloques o sumado-res activos alcance sus propios niveles de saturación; en estos casos, se debe considerar tal hecho para efectuar los cálculos relacionados con los niveles mencionados. En general, cuando se tienen bloques que introducen saturaciones propias la estructura presenta un compor-tamiento a trozos; o sea, intervalos de funcionamiento lineales y otros no lineales. Los cambios en el funcionamiento de la estructura son causados por los niveles de las señales que provocan la saturación de los bloques, que no son el bloque unidireccional considerado.

7.2 COMPARADORES. ESTRUCTURA GENERAL

Para analizar la estructura general de un comparador por los

procedimientos descritos en el capítulo 4 se debe seleccionar como amplificador la etapa de la estructura que por sus condiciones de polari-zación impone los niveles de saturación. Luego se define una salida auxiliar en la propia salida del am-plificador reconocido y extraído de la estruc-tura. Notar que tal amplificador es el re-alimentado y su salida

iA

3

XoXiΣ

o1Xi1 Σ

X31

Xi o

X3o

Xo*

FIGURA 7.2.1 DIAGRAMA DE BLOQUES EQUIVA-LENTE. SISTEMA REALIMENTADO.

106

sólo puede tomar los valores dados por la saturación; por lo tanto, para calcular la salida de la estructu-ra original se le asig-na a la salida auxiliar tales valores y se procede a su cálculo por superposición de la entrada al sistema y la salida auxiliar definida. En una estructura real, los niveles correspondientes a la saturación del ampli-ficador realimentado pueden a su vez ocasionar, en el bloque de sali-da o en el sumador, que la magnitud de su salida alcance los niveles impuestos por la saturación propia, ver figura 7.2.1, y tales niveles de señal se propagan hasta la salida de la estructura. Dependiendo de los niveles de la señal de salida auxiliar y los niveles de la polariza-ción de los circuitos involucrados, o3X y sumador, el nivel de la salida de la estructura tomara su valor, o simplemente se encuentra acota-do a su propia saturación; esta última situación es muy común, dado que en las estructuras reales generalmente se emplea los mismos niveles para las fuentes de alimentación de toda la estructura, de hecho es una sola fuente de alimentación para toda la estructura.

Como primer paso se determina si el comportamiento de la estruc-tura realimentada es o no lineal. El sistema será no lineal si se cumple:

A X⋅ >31 1 .......... (7.2.1)

La salida auxiliar en función de la entrada se obtiene por medio de la relación (4.1.5) convenientemente modificada para la presente situación:

AX1

AXXX31

1ii*o ⋅−= .......... (7.2.2)

despejando la señal de entrada:

i

a

A3

XoXiΣ

o1Xi1 Σ

X31

Xi o

X3o

Xo*

Xa o

Xa1Xa

FIGURA 7.2.2 DIAGRAMA DE BLOQUES EQUIVA-LENTE. ENTRADA ADICIONAL.

107

A

AX1X1XX 31

1i

*oi

⋅−= ..........(7.2.3)

al asignar en la relación (7.2.3) como salida los dos niveles de satu-ración se obtienen los valores de la señal de entrada que provocan la conmutación del amplificador; el nivel de encendido será el mayor de los dos resultados obtenidos.

La salida del sistema realimentado se calcula como la contribución de la salida del amplificador y la entrada al sistema, ambas señales pro-pagadas a la salida de la estructura; de la figura 7.2.1 se obtiene:

o3*ooiio XXXXX += ..........(7.2.4)

Analizando la relación (7.2.4) se concluye que la salida posee un término constante, la contribución correspondiente al nivel de satura-ción; y otro término que es proporcional a la entrada del sistema reali-mentado.

En general, una entrada adicional, considerada constante, puede estar presente en la estructura realimentada; su valor modificará los niveles de encendido y apagado del comparador. La figura 7.2.2 re-presenta tal situación; en este caso, la salida del amplificador conside-rado, la llamada salida auxiliar será:

AX1

AXXAX1

AXXX31

1aa31

1ii*o ⋅−

+⋅−

= ..........(7.2.5)

Los dos niveles de conmutación se obtienen al sustituir los valo-res máximo y mínimo de la salida y despejar, para cada caso, la entra-da correspondiente de la expresión (7.2.5):

1i

1aa

31

1i

*oi X

XX

AAX1

X1XX −

⋅−= ..........(7.2.6)

La estructura algebraica de la relación (7.2.6) demuestra que la entrada adicional al sistema realimentado afecta los niveles de con-mutación del comparador; y su efecto se puede interpretar como un desplazamiento horizontal en la característica de transferencia del sistema. En otras palabras, se podrá ubicar el ciclo de histéresis en una posición arbitraria del eje que representa la entrada considerada

108

como variable en la caracte-rística de transferencia. Su caracterización se completa estableciendo el sentido en el cual se recorre el ciclo de histéresis; como se estable-ció en el numeral anterior, el ciclo se recorre en el sentido del reloj cuando la ganancia del amplificador es negativa y en sentido contrario para amplificadores de ganancia positiva.

La figura 7.2.3 ilustra el efecto que sobre la ubicación del ciclo de histéresis ejerce la entrada adicional de valor constante considerada; para la elaboración del gráfico se selecciono un amplificador de tensión cuya ganancia es positiva y la entrada adicional es una fuente de tensión po-sitiva constante.

En aquellas oportuni-dades donde la estructura unidireccional reconocida sea un amplificador diferencial, como se muestra en la figura 7.2.4; el sistema será no lineal si se cumple la condición:

1)XX()XX(A 23312A

2331dc >−−− .......... (7.2.7)

La salida auxiliar, la del propio amplificador diferencial reconoci-do y modelado, se encuentra definida por una relación similar a (4.2.3); y al incluir una entrada adicional se tiene:

Vo*

Vi

Vi de encendidoVi de apagado

Vo de saturacion +*

V XXa

a

i

1

1

Vo de saturacion −*

FIGURA 7.2.3 AMPLIFICADOR DE TENSIÓN.

DESPLAZAMIENTO DEL CICLO DE HISTÉRESIS.

A2

A1

COMPARADORESTRUCTURAMODIFICADA

Xi

Xo

e1

e3

e2

Xa

X0*

13

oa

i

2

FIGURA 7.2.4 COMPARADOR DE LAZO

CERRADO. ESTRUCTURA DIFERENCIAL.

109

)XX()XX(A1

)XX()XX(AX

)XX()XX(A1

)XX()XX(AXX

32312A

3231d

2a1a2A

2a1ada

32312A

3231d

2i1i2A

2i1idi

*o

c

c

c

c

+−−−

++−+

+−−−

++−=

..........(7.2.8)

c3cd3d

cacdada

c3cd3d

iccdidi

*o XAXA1

XAXAX

XAXA1

XAXAXX

−−

++

−−

+= ..... (7.2.8-a)

Los niveles de conmutación se obtendrán despejando de (7.2.8) la señal de entrada y sustituyendo los niveles de saturación como salida:

)XX()XX(A

)XX()XX(AX

)XX()XX(A

)XX()XX(A1XX

2i1i2A

2i1id

2a1a2A

2a1ada

2i1i2A

2i1id

32312A

3231d*oi

c

c

c

c

++−

++−−

++−

+−−−=

..........(7.2.9)

cicdid

cacadda

cicdid

c3cd3d*oi XAXA

XAXAX

XAXAXAXA1

XX+

−−

+

−−= ...... (7.2.9-a)

Cuando la ganancia diferencial se pueda considerar muy grande se evalúa el límite de la relación anterior:

Xi

Xo

oΣX3o

3X 0

*

A1

Σ2

X32

Xa o

A2

Σ1

Xa

Xa2

i

Xa1

X31

Xi o

Xi1

Xi2

a

FIGURA 7.2.5 DIAGRAMA DE BLOQUES EQUIVALENTE. ESTRUCTURA DIFERENCIAL.

110

2i1i

2a1aa

2i1i

3132*oi XX

XXX

XXXXXX

−

−−

−−

= ........ (7.2.10)

di

daa

di

d3*oi X

XX

XX

XX −−= .....(7.2.10-a)

Para calcular la salida del sistema realimentado se consideran las contribuciones de las dos entradas y la propia salida del amplifica-dor diferencial, como se indica en el diagrama de bloques de la figura 7.2.5. En general, la salida se encuentra definida por una relación que posee tres términos, de la forma:

oaaoiio3*oo XXXXXXX ++= ........ (7.2.11)

El comparador quedará completamente determinado al definir el sentido en el cual se recorre el ciclo de histéresis. Nótese que la es-tructura unidireccional realimentada es un amplificador diferencial y que para compararlo con un amplificador de una sola entrada basta con determinar el signo de la relación que establece la contribución de la variable de entrada a la estructura en los puertos del amplificador:

−+

=−horario

horarioantiXXSign 2i1i ........ (7.2.12)

O sea, en aquellos casos que el resultado de (7.2.12) sea positi-vo, equivalente a un amplificador de una entrada no inversor, el reco-rrido será en sentido contrario a las agujas del reloj; y sentido horario cuando el signo es negativo.

7.3 REALIMENTACIÓN AGREGADA A ESTRUCTURAS CON HISTÉRESIS

En general, al plantearse el estudio de una estructura que de-penda de la frecuencia y posea múltiples realimentaciones se debe proceder como lo establecen los numerales 4.3.3 y 4.4. En aquellos casos, que al aplicar la relación (4.4.7) resulte que el comportamiento de la estructura sea no estable y simultáneamente se obtenga un comportamiento lineal al evaluar la expresión (4.4.2) equivalente de la

111

estructura imponiendo la condición 0w = en la relación; el comporta-miento no lineal de toda la estructura se podrá estudiar al dividir su topología en dos partes relacionadas entre si. Una de ellas, delimitada por tres nodos, que no incluya elementos dependientes de la frecuen-cia y cuyo comportamiento sea no lineal, comparador de lazo cerrado; la otra parte de la estructura original, la exterior a los tres nodos referi-dos anteriormente, tenga un comportamiento estable y la interrelación de ambos bloques constituyan un lazo cerrado de realimentación. El estudio del comportamiento de la estructura original se puede realizar planteando la realimentación del comparador mediante el bloque lineal que dependa de la frecuencia; es de notar que la presencia del com-parador impone que el comportamiento de toda la estructura será li-neal a trozos. Nótese que forzosamente la estructura no lineal recono-cida y limitada por los tres nodos, posee por lo menos una fuente con-trolada realimentada localmente, tal que se satisfagan las condiciones establecidas en los numerales 7.1 y 7.2; adicionalmente, se debe tener presente que en la realimentación local considerada, para establecer el comportamiento no lineal, se deben incluir todas las trayectorias cerradas que se encuentren en el circuito delimitado por los tres no-dos: La parte delimitada por los tres nodos también puede estar for-mada por una estructura múltiplemente realimentada, que contenga más de un amplificador y no incluya elementos dependientes de la frecuencia.

En aquellos casos, que procediendo como se estableció; o sea, el comportamiento de toda la estructura sea no estable y simultánea-mente se obtenga un comportamiento lineal al imponiendo 0w = en la relación (4.4.2), y adicionalmente que la estructura original se pueda dividir en los bloques mencionados, pero estos bloques no formen un lazo de realimentación el comportamiento de toda la estructura sim-plemente será la respuesta de la cascada de los dos bloques; y por lo tanto, su análisis será a trozos. En general, su estudio se realizará por procedimientos de redes eléctricas, puesto que las relaciones estable-cidas por el método de desvanecimiento para obtener la función de transferencia de la estructura no son validas, por ser no estable su comportamiento.

Comprobada la no estabilidad de la estructura original y su com-portamiento lineal cuando 0w ⇒ , se procede a reconocer y dividirla en

112

dos bloque relacionados entre si. Siempre se podrá caracteri-zar el comportamiento de la estructura no lineal, la limitada por los tres nodos, indepen-dientemente de como este constituida el resto de la es-tructura. Tal caracterización o modelo consiste en determinar los niveles de saturación de la salida, los valores de la entrada que provocan la conmutación de la salida y el sentido en el cual se recorre el ciclo de histéresis; todos ellos, condiciones o valores, determinados exclusivamente por elementos circuitales de la estructura delimitada por los tres nodos.

En el punto anterior se caracterizaron las estructuras básicas que constituyen un comparador; desde el punto de vista de su salida, estas estructuras presentan dos modelos diferentes; correspondiendo cada uno de los modelos con la señal presente en la entrada, su sen-tido de variación y el modelo de la salida anterior. Un símbolo general para los comparadores se indica en la figura 7.3.1; en ella la única en-trada considerada variable es la denominada iX ; si existen otras serán consideradas constantes y denotadas en la figura por aX ; también se debe considerar que la salida *

0X definida en la figura para el bloque no lineal coincide con la fuente controlada que alcanza los niveles de satu-ración impuestos por su pola-rización; y por último, en el mismo símbolo se indica el sentido en el cual se recorre el ciclo de histéresis que ca-racteriza al comparador.

En general, añadiendo un lazo de realimentación externa que dependa de la frecuencia a un bloque no lineal como el indicado en la figura 7.3.1 se obtienen es-tructuras capaces de gene-

Com Xa

Xi 1

a 0 *

X0*

FIGURA 7.3.1 SÍMBOLO PARA UN COM-

PARADOR.

X P0

X0*

Com Xa

Xi

1

a

0*

p

Xext Red de Realimentación

Externa (s)

ext

FIGURA 7.3.2 GENERADOR DE FUNCIÓN.

DIAGRAMA DE BLOQUES.

113

rar formas de ondas periódicas no sinusoidales; tales estructuras son denominadas generadores de funciones. Un diagrama de bloques de la estructura no lineal realimentada externamente se encuentra en la figura 7.3.2; donde se pone de manifiesto que la red de realimentación externa posee dos entradas y dos salida; una de las entradas y una de las salidas son empleadas para realizar la realimentación al compara-dor, completar la trayectoria cerrada; o sea, la entrada de la red co-nectada a la propia salida *

0X y su salida a la entrada iX del compa-rador. Uno de los terminales adicionales, identificado como ext, per-mite añadir una señal de entrada independiente a la propia red de re-alimentación, denominada exX ; y el otro terminal, denominado p en la figura, permite definir una salida adicional de la estructura llamada

P0X . El punto p pertenece a la red de realimentación externa y su ubica-

ción es arbitraria, entre la entrada y la salida de la red. En muchas oca-siones la ubicación del punto p coincide con los puntos extremos; o sea, la salida adicional P

0X coincide con la entrada o la salida del propio comparador.

Para el análisis de la estructura total, comparador y red depen-diente de frecuencia, se admitirá que tanto la entrada auxiliar al com-parador, aX , como la externa, exX , poseen un valor constante e inde-pendiente. La aX afectará exclusivamente los niveles de conmutación del comparador, permite realizar una translación horizontal del ciclo de histéresis como lo establecen las relaciones (7.2.6) y (7.2.9); la otra señal exX , por ser un valor constante puede ser tratada de la misma forma que las condiciones iniciales presentes en los elementos de-pendientes de frecuencia; o sea, su efecto se manifiesta sobre las ca-racterísticas temporales de las formas de ondas generadas por la es-tructura, alargando o recortando el tiempo requerido por la señal de salida de la red en alcanzar determinado valor; y por lo tanto, altera el tiempo en el cual la señal de entrada al comparador iX recorre las trayectorias horizontales del ciclo de histéresis.

La señal P0X será una forma de onda periódica cuando la sali-

da *0X del comparador alcance sucesivamente sus dos posibles valo-

res. La señal *0X al ser retardada y aplicada a la entrada del propio

114

comparador, por medio de la red realimentación, provoca los cambios de estados. Por lo tanto, la amplitud y la fase de la señal aplicada a la entrada del comparador deben ser tales que se alcancen los niveles de conmutación en forma sucesiva; o sea, la señal *

0X , aplicada a la entrada de la red externa de realimentación, impone en su salida un recorrido completo del ciclo de histéresis por cada periodo de la forma de onda de salida.

Para calcular la señal realimentada a la entrada del comparador se debe tomar en cuenta que la salida *

0X del propio comparador es una función lineal a trozos, que sólo puede tomar dos valores constan-tes y determinados por las condiciones de polarización de la estructu-ra; o sea, se deben considerar las condiciones iniciales en los elemen-tos dependientes de la frecuencia y la presencia o no de la señal ex-terna exX . Por lo tanto, de la figura 7.3.2 se tiene que la transformada de Laplace de la entrada aplicada al comparador será:

)s(XE)s(X *i,0

*i 0

⋅= .......... (7.3.1) donde: )s(Xi : Transformada de Laplace de la entrada

del comparador.

*0E : Transformada de Laplace de la excitación

total; consiste en la transformada de la ex-citación aplicada, s

*0X , y las contribuciones

convenientemente expresada de las con-diciones iniciales que no dependan de la excitación aplicada, e incluyendo la equi-valente de la señal externa s

exX .

X si0 − ( ) : Transformada de Laplace de la función de transferencia de la red de realimenta-ción.

Partiendo de uno de los niveles de conmutación, denominado 1comX − , y considerando la relación (7.3.1), para asegurar las condicio-

nes que permiten alcanzar en un tiempo finito la conmutación del

115

comparador se requiere que la señal aplicada a su entrada cambie en la magnitud y el sentido impuesto por el ciclo de histéresis del propio comparador. Para el caso general, ambas condiciones, signo y magni-tud, se obtienen operando sobre la transformada inversa de Laplace de la relación (7.3.1); o sea, de la función de tiempo de la forma de onda a la salida de la red de realimentación:

)s(XE)s(X)t(X *i,0

*1i

1i 0

LL ⋅== −− ..........(7.3.2)

Empleando la expresión de X ti ( ) se determina su valor extremo, el cual corresponderá con el máximo o el mínimo de la función, que denotaremos como extmoi )t(X . Luego se evalúa el valor inicial de

)t(Xi ; el cual se encuentra definido por uno de los valores de conmuta-ción del comparador, que denominaremos 1comX − .

El cambio máximo que se puede esperar de la señal a la entrada del comparador en un tiempo arbitrario será:

1comextmoiiextmoi X)t(X)0(X)t(X −−=− ..........(7.3.3)

por lo tanto, considerando que las condiciones de conmutación de un comparador definen un intervalo de valores que posee signo y magni-tud; las condiciones necesarias y suficientes para asegurar la conmu-tación del comparador se obtienen al comparar el signo y la magnitud de la relación (7.3.3) con el signo y la magnitud del recorrido respecti-vo en el ciclo de histéresis del comparador considerando:

1com2com1comextmoi XXSignX)t(XSign −−− −=

− ..........(7.3.4)

1com2com1comextmoi XXX)t(X −−− −≥

− ..........(7.3.5)

donde:

extmoi )t(X : Valor extremo del nivel que puede alcan-

zar la variable de entrada al comparador en un tiempo arbitrariamente grande.

1comX − : Corresponde con el nivel inicial de la varia-

116

ble de entrada al comparador al recorrer el sector del ciclo de histéresis considerado.

2comX − : Corresponde con el nivel final de la varia-ble de entrada al comparador al recorrer el sector del ciclo de histéresis considerado.

Para una estructura real, se deben tener presente las limitacio-nes que imponen las fuentes controladas con relación a los niveles de las señales que de ellas se pueden obtener; o sea, al evaluar el ex-tremo de la señal )t(Xi el resultado teórico puede ser superior al límite impuesto por las condiciones de polarización de las fuentes incremén-tales de donde provienen; por lo tanto, en estos casos en la expresión (7.3.3) se debe emplear como valor extremo )t(Xi el impuesto por las condiciones particulares de polarización. En general, la dependencia en función del tiempo de la forma de onda de salida de la estructura se obtiene por medio de la transforma-da inversa de Laplace de la función definida en un punto cualquiera de la red de realimentación denominado p. Por consiguiente:

21

*p,0

*1P0

1P0

tt)(t)s(XE)s(X)t(f

0LL≤≤+

⋅== −− .......... (7.3.6)

donde: )t(f P

0 : Forma de onda de la salida, considerando el punto p como salida.

)s(X P0 : Transformada de Laplace de la función

de salida definida. *

0E : Transformada de Laplace de la excitación total; consiste en la transformada de la

excitación aplicada, s*0X , y las contribu-

ciones convenientemente expresada de las condiciones iniciales que no depen-dan de la excitación aplicada, e incluyen-do la equivalente de la señal externa s

exX .

)s(X*p,0 : Transformada de Laplace de la función

117

de transferencia entre la salida del propio comparador y el punto p definido como salida.

21 tt)(t ≤≤+ : Lapso de validez de la forma de onda.

El límite 2t del intervalo de validez, que es el mismo para todas las formas de onda, se calcula empleando la función inversa de la se-ñal realimentada al comparador, dada por (7.3.2), evaluada en el valor final del recorrido horizontal del ciclo de histéresis considerado:

22com1

i1 t)X(f))t(X(f == −

−− ..........(7.3.7) donde:

))t(X(f i1− : Función inversa de )t(Xi .

)t(Xi : Forma de onda de la salida, considerando la entrada al comparador como salida.

2comX − : Valor final del recorrido horizontal del ciclo de histéresis considerado.

2t : Instante de tiempo en el cual la señal realimentada alcanza el valor definido por la condición de conmutación; límite del recorrido horizontal considerado.

Nótese que el procedimiento descrito debe ser realizado para cada uno de los dos recorridos horizontales necesarios para completar el ciclo de histéresis.

Dado el funcionamiento de la estructura realimentada, la forma de onda obtenida en la salida del comparador siempre será un tren de pul-sos rectangulares; ocasionalmente, el tren de pulsos puede tener sobre impuesto un nivel constante; cuya amplitud se regula por medio de la polarización de la fuente controlada que constituye la salida del compara-dor. Para una red de realimentación dada, el tiempo de duración de los pulsos y su período de repetición pueden ser alterados por medio del valor asignado a la señal auxiliar aX , puesto que su valor altera los nive-les de conmutación del comparador, como lo establecen las relaciones (7.2.6) y (7.2.9). Cambiando la función de transferencia de la red de re-alimentación, o definiendo como salidas otros puntos a lo largo de ella, se obtienen diferentes formas de ondas, todas ellas con el mismo período.

118

Admitiendo la existencia de una perturbación cualquiera que provoque un comportamiento dinámico en la red de realimentación, como puede ser el encendido de la alimentación de toda la estructura, se analizaran las condiciones impuestas por las relaciones (7.3.4) y (7.3.5). Cuando se satisfacen las dos condiciones, el sistema inicia el funcionamiento con condiciones iniciales diferentes a las de régimen permanente, provocando una evolución transitoria de las formas de ondas en toda la estructura. Tal condición transitoria tendrá como du-ración el tiempo requerido por la señal realimentada en alcanzar el nivel de conmutación; o sea, en la salida del propio comparador se observará una forma de onda cuyo primer pulso es diferente a los res-tantes pulsos. En aquellos casos que sólo se satisfaga la condición de magnitud, la establecida por la relación (7.3.5), la estructura del com-parador realimentado no tendrá el comportamiento dinámico que per-mite el cambio de estado a su salida; o sea, el valor del estado de su salida se propaga por la red de realimentación provocando que la se-ñal de entrada al comparador cambie de valor en sentido contrario al impuesto por el ciclo de histéresis; y por lo tanto, su salida no cambia-ra. Cuando la condición que se satisface es la de signo pero no la de magnitud; simplemente la señal de entrada al comparador no alcanza la condición de conmutación. Algo similar ocurre en la estructura cuando no se satisfacen ninguna de las dos condiciones. Nótese, que en una estructura no lineal realimentada, en la cual no se satisfagan simultáneamente las dos condiciones impuestas y bajo la presencia de una perturbación cualquiera, en todos los puntos de la estructura, ex-ceptuando la salida del comparador, pueden existir formas de ondas no repetitivas que evolucionen en el tiempo. En aquellos casos que la red de realimentación externa sea un filtro pasa bajos de primer orden y la fuente modelada del comparador sea una fuente de tensión controlada por tensión; las relaciones de sig-no y magnitud que definen las condiciones necesarias y suficientes para el funcionamiento de toda la estructura como un generador de funciones presentan un aspecto algebraico más simple. En estos casos, el valor extremo de )t(Xi corresponderá con el valor del Thévenin equivalente; el cual se obtiene considerando el valor de la señal externa exX , el nivel de saturación del amplificador en el recorrido horizontal respectivo y evaluado para tiempo infinito. Por lo tanto:

119

ex2*01extmoi XKXK)t(X += ..........(7.3.8)

donde: 1K y 2K

K 2

: Constantes que dependen de la estructu-ra del circuito.

*0X : Valor de la variable de salida del compa-

rador para el sector del ciclo de histéresis considerado.

exX : Valor de la señal externa.

Partiendo de uno cualquiera de los niveles de conmutación, de-nominado 1comX − , y considerando la relación (7.3.8), para asegurar las condiciones que permiten alcanzar en un tiempo finito la conmutación del comparador se requiere que la señal aplicada a su entrada cambie en la magnitud y el sentido impuesto por el ciclo de histéresis del pro-pio comparador. Ambas condiciones se obtienen de manera similar al caso anterior; o sea, partiendo del nivel de conmutación 1comX − se tiene que el máximo recorrido que puede realizar la señal realimentada es:

1comex2*01 XXKXK −−+ ..........(7.3.9)

por lo tanto, las condiciones necesarias y suficientes para asegurar la conmutación del comparador se obtienen al comparar el signo y la magnitud de la relación (7.3.9) con el signo y la magnitud del recorrido respectivo en el ciclo de histéresis del comparador:

1com2com1comex2*01 XXSignXXKXKSign −−− −=−+ ........(7.3.10)

1com2com1comex2*01 XXXXKXK −−− −=−+ ........(7.3.11)

donde: 1comX − : Corresponde con el nivel inicial de la va-

riable de entrada al comparador al reco-rrer el sector del ciclo de histéresis consi-derado.

2comX − : Corresponde con el nivel final de la variable

120

de entrada al comparador al recorrer el sec-tor del ciclo de histéresis considerado.

En estos casos, la dependencia en función del tiempo de la forma de onda de la señal realimentada externamente, )t(X i , se cal-cula directamente en el dominio tiempo; como la respuesta exponencial de un sistema de primer orden a una excitación que sea un escalón de tensión. Cuando el pasa bajos lo forman una resistencia y un conden-sador, la expresión temporal de )t(Xi es:

CRt

BA)t(X Thi e

−+= ........ (7.3.12)

donde las constantes A y B son determinadas considerando los valo-res tanto de la variable de salida del comparador como de la señal externa aplicada, asumidas constantes; y las condiciones temporales extremas de la tensión en el condensador:

Thex2*01tcti VXKXK)t(v)t(XA =+=== ∞→∞→

1com0tc0ti X)t(v)t(XBA −→→ ===+

Th1com VXB −= −

donde: ThV : Tensión Thévenin entre los extremos del condensador eva-

luada cuando en tiempo tiende a infinito. por lo tanto:

CRt

)VX(V)t(v ThTh1comThc e−

−+= − ........ (7.3.13)

El límite 2t del intervalo de validez se obtiene al evaluar (7.3.13) en el valor final del recorrido horizontal del ciclo de histéresis, que hemos denominado genéricamente como 2comX − :

2comTh

2

Th1comTh2c XCRt

)VX(V)t(v e −− =−

−+=

despejando:

Th2com

Th1comTh2 VX

VXLnCRt

−

−=

−

− ........ (7.3.14)

121

Cuando sea un pasa bajos de primer orden formado por una resistencia y una inductancia, la respuesta exponencial se obtiene de forma similar; resultando que la expresión temporal de la tensión de entrada al comparador es:

LR

t)XKXKX(XKXK)t(X

Th

ex2*011comex2

*01i e−

−−++= − ..(7.3.15)

Al evaluar (7.3.15) en el valor final del recorrido horizontal del ciclo de histéresis, denominado Xcom −2 , se obtiene el límite de validez t2 para la forma de onda:

2comLThR

2ex2

*011comex2

*012i X

t)XKXKX(XKXK)t(X e −− =

−−−++=

de donde:

ex2

*012com

ex2*011comTh

2XKXKX

XKXKXLn

LR

t−−−

−−=

−

− ........(7.3.16)

Los generadores de funciones descritos anteriormente pueden ser modificados para lograr estructuras cuyas salidas sean formas de ondas que evolucionen en el tiempo durante un tiempo dado, y luego de manera espontánea volver a las condiciones iniciales; todo esto como respuesta a un estímulo externo. En este caso, la estructura es llamada generador de pulso. En general, tal comportamiento se obtie-ne al añadir en la red de realimentación, la externa al comparador, un dispositivo no lineal dependiente de tensión o corriente, como por ejemplo un diodo. El estímulo externo o exci-tación es introducida a la estructura como parte de la señal aX , y gene-ralmente es de forma impulsiva; un diagrama de bloques para los ge-neradores de pulsos se muestra en la figura 7.3.3.

X P0

X0*

ComXa

Xi

1

a0*

Red de RealimentaciónExterna (s)

Dispositivono Lineal

FIGURA 7.3.3 GENERADOR DE PULSO.

DIAGRAMA DE BLOQUES.

122

Admitiendo que durante mucho tiempo el dispositivo no lineal se encuentra en un estado tal que imposibilita a la señal realimentada alcanzar una de las condiciones de conmutación, la estructura se en-contrará en una condición inicial de reposo. Al aplicarle al generador de pulso un estímulo externo adecuado, por medio de la variable aX , se obliga la condición de conmutación en el comparador; la misma condición que era inhibida por el dispositivo no lineal; lo cual provoca que la salida del comparador adquiera el estado contrario del que po-seía previamente, en el estado de reposo. Este cambio en la salida del comparador se propaga por la red de realimentación para dar lugar a una variación en la señal iX ; satisfaciéndose en la estructura las con-diciones para la conmutación, dadas por las relaciones (7.3.4) y (7.3.5); transcurrido un tiempo dado, un segundo cambio de estado a la salida toma lugar; posteriormente, al transcurrir otro período de tiempo, la forma de onda propagada por la red de realimentación oca-siona que el elemento no lineal imposibilite nuevamente a la señal de entrada al comparador alcanzar la condición de conmutación; a partir de este momento toda la estructura tendrá las mismas condiciones previas a la excitación; o sea, las que tenia en el estado de reposo. Nótese, que tanto la magnitud como el signo del estímulo que induce la conmutación inicial del comparador deben ser adecuados; así como también, que las condiciones iniciales de los elementos que forman la red de realimentación requeridas para calcular la evolución en función del tiempo de la forma de onda de la salida son impuestas por el ele-mento que inhibir el funcionamiento propio de la estructura; además, posterior a la segunda conmutación se requiere de un lapso de tiempo para que todos los elementos que forman la red de realimentación externa alcancen las mismas condiciones que poseían inicialmente, antes de aplicar el estímulo, llamado tiempo de recuperación.

En general, una forma de onda impulsiva constituye el estímulo externo; el cual es aplicado directamente o indirectamente a la entrada de la fuente controlada que constituye el comparador. Por lo tanto, las condiciones de signo y magnitud del estímulo requerido para la genera-ción de un pulso de salida de la estructura se pueden establecer consi-derando: la entrada donde es aplicado el estímulo, los niveles que po-sen las entradas del amplificador en las condiciones iniciales del gene-rador de pulso y el valor necesario para la conmutación. Admitiendo que

123

la estructura se encuentra en condiciones iniciales, el estímulo externo debe cumplir con: inhinhcomestm XXSignXKSign −= − ........(7.3.17)

inhinhcomestm XXXK −≥ − ........(7.3.18) donde:

K : Constante que depende de la estructura del circuito.

estmX : Nivel de la señal externa empleada para provocar un pulso a la salida de la estruc-tura.

inhcomX − : Nivel de la condición de conmutación que es inhibida por el elemento no lineal.

inhX : Nivel impuesto por el elemento no lineal que impide la operación propia de la es-tructura.

La dependencia en función del tiempo de las formas de onda se obtiene de manera similar al caso anterior, por medio de la trans-formada inversa de Laplace de la función )s(Xi y sus valores límites al ser evaluadas para los tiempos adecuados. A la salida del compara-dor se obtiene un pulso por cada excitación aplicada a la estructura; correspondiendo sus niveles a los valores de saturación del amplifica-dor empleado en el comparador, y la duración del pulso con el tiempo necesario para que la señal )t(Xi cambie su magnitud según lo im-puesto por las condiciones de conmutación. También se debe tomar en consideración un lapso de tiempo denominado tiempo de recupera-ción; que no es más que el tiempo que tarda la señal realimentada en alcanzar el nivel impuesto por el dispositivo no lineal que inhibe la ter-cera conmutación de la estructura. Una vez aplicado el estímulo que provoca la conmutación, la señal realimentación será:

D

*i,0

NL*1i

1i

Tt)(0)s(XE)s(X)t(X

0LL≤≤+

⋅== −− ........(7.3.19)

donde: )t(Xi : Forma de onda de la entrada realimenta-

124

da externamente al comparador. )s(Xi : Transformada de Laplace de la entrada

realimentada al comparador.

NL*0E : Transformada de Laplace de la excitación

total; consiste en la transformada de la ex-

citación aplicada, s*0X , y la contribución

convenientemente expresada de las con-diciones iniciales que no dependan de la excitación aplicada; considerando la con-dición de operación del elemento no lineal.

)s(X i0− : Transformada de Laplace de la función de transferencia de la red de realimenta-ción.

DTt)(0 ≤≤+ : Intervalo de validez de la forma de onda.

El tiempo de duración del pulso de salida, DT , se calcula em-pleando la función inversa de la señal realimentada al comparador, dada por (7.3.7), evaluada en el valor final del recorrido horizontal del ciclo de histéresis considerado:

D2com1

i1 T)X(f))t(X(f == −− ........ (7.3.20)

donde:


DT : Duración del pulso de salida; definido por el instante de tiempo en el cual la señal realimentada alcanza el valor dado por la condición de conmutación; límite del reco-rrido horizontal considerado.

Para calcular el tiempo de recuperación de la estructura se de-be encontrar la expresión de la señal realimentada, )t(Xi , consideran-do las condiciones iniciales impuestas por el recorrido horizontal del ciclo de histéresis respectivo y como condición final la operación del

125

elemento no lineal. El procedimiento es similar al descrito anterior-mente:

R

*i,0

*1i

1i

Tt)(0)s(XE)s(X)t(X

0LL≤≤+

⋅== −− ........(7.3.21)

El tiempo de recuperación de la estructura, RT , no es otra cosa que el tiempo que tardan los elementos dependientes de la frecuencia en alcanzar las condiciones de energía impuestas por la operación del elemento no lineal añadido, y que imposibilita que se logre la condición de conmutación. Se obtiene empleando la función inversa de la señal realimentada al comparador, dada por (7.3.18), evaluada en el valor impuesto por la operación del elemento no lineal:

Rinh1

i1 T)X(f))t(X(f == −− ........(7.3.22)

donde:


)t(Xi : Forma de onda de la salida, considerando la entrada al comparador como salida.

inhX : Nivel impuesto por el elemento no lineal que impide la operación propia de la estructura.

RT : Tiempo de recuperación de la estructura.

Dado el funcionamiento descrito anteriormente; para obtener como salida del circuito una secuencia de pulsos, cuya duración siem-pre sea la misma y la separación entre ellos corresponda con la esta-blecida por los estímulos externos, se debe imponer una condición a la frecuencia de los estímulos aplicados. El tiempo mínimo entre dos estímulos consecutivos debe permitir que todos los elementos depen-dientes de la frecuencia del circuito alcancen las condiciones energéti-cas que poseían inicialmente, las previas al primer estímulo; por lo tanto, la frecuencia máxima de los estímulos será:

RD

imamax TT1f+

= ........(7.3.23)

donde:

126

imamaxf : Frecuencia máxima de la señal externa empleada como estímulo del generador de pulso.

DT : Tiempo de duración del pulso de salida.

RT : Tiempo de recuperación.

En aquellas oportunidades que no se cumpla la restricción im-puesta por (7.3.23) la duración de los pulsos de salida será irregular; puesto que dependerá de las condiciones energéticas alcanzadas por los elementos dependientes de la frecuencia que pertenezcan a la red de realimentación. Las condiciones energéticas serán las adquiridas durante el lapso de tiempo transcurrido entre el final del último pulso considerado y el instante de tiempo correspondiente al siguiente estí-mulo; estos cálculos se realizan por medio de un procedimiento similar al descrito anteriormente y resumido en las ecuaciones (7.3.19) y (7.3.22).

127

8 EJEMPLOS. DISPOSITIVOS ACTIVOS DIS-CRETOS

En esta sección se plantearan diversos problemas y se obten-drán sus soluciones con el fin de ilustrar los conceptos teóricos ex-puestos. En la solución de los problemas se emplearán las relaciones circuitales de los dispositivos activos discretos y los procedimientos que se encuentra en los ANEXOS.

8.1 AMPLIFICADOR DE DOS ETAPAS

Para el amplificador de dos etapas de la figura 8.1.1 y a frecuen-cias medias calcular la ganancia de tensión, resistencia de entrada y la de salida. Se puede suponer que los transistores son iguales, y sus parámetros: 50hfe = ; Ωk1hie = y 0hh oere == .

Con el fin de destacar las diversas alternativas de las cuales se disponen al abordar el análisis de una estructura realimentada, la ex-presión de la ganancia de tensión de la estructura se obtendrá por cuatro alternativas; las expresiones resultantes en apariencia son dife-rentes, pero con algún trabajo algebraico se puede encontrar que to-

128

das ellas son iguales; de otra forma no podría ser, puesto que se pre-tende analizar una misma estructura por cuatro procedimientos dife-rentes. En cada una se reconocerá y modelará una estructura unidirec-cional distinta; todas ellas basadas en lo establecido en el ANEXO 3. Con este fin, en el diagrama circuital original se identificaron dos puntos, designados como A y B .

Anulando la señal de entrada y analizando la estructura del am-plificador de dos etapas se reconoce la trayectoria de realimentación; la cual se encuentra formada por un divisor de tensión donde intervie-nen las resistencias R9 y R10 ; y completan el lazo de realimentación los transistores Q1 y Q2 . Pertenecientes a la trayectoria cerrada se observa varias estructuras unidireccionales, las obvias Q1 y Q2 . Una de estas estructuras unidireccionales que se pueda modelar con una entrada y una salida la constituye el amplificador formado por Q2 ; que será la primera alternativa empleada para el análisis de la estructura. El modelo equivalente del amplificador unidireccional, los puntos 1 y 3 identificados en el circuito original; así como el resto del circuito se indica en la figura 8.1.2. Nótese que para los mismos nodos de los circuitos de las figuras 8.1.1 y 8.1.2 los niveles de las tensiones incre-méntales no cambian; esto debe ser así, de otra forma los dos circuitos no serían equivalentes y los cálculos efectuados para la figura 8.1.2 no

FIGURA 8.1.1 AMPLIFICADOR DE DOS ETAPAS REALIMENTADO.

129

serían válidos para el circuito original.

Los valo-res que carac-terizan el ampli-ficador recono-cido y extraído del circuito se puede calcular directamente del circuito de la figura 8.1.1:

ie

7fe7salie65ent h

RhARRh||R||RR

⋅−===

Aplicando la relación (4.1.2) se tiene:

=+=+=

AXXXX

i3

3131ii1

o33ioio

eeeeeeee

donde:

0

X0

X0A

X0A

Xi3

131

i3

oo3

i

11i

i

oio ee

eee

eee

ee

==

==

==

==

directamente de la figura 8.1.2 se encuentran las cuatro relaciones requeridas para calcular la ganancia de tensión del amplificador reali-mentado y definidas anteriormente.

sal9

sal

sal910feie

sal910fe

i

oio RR

R)RR(||R)1h(h

)RR(||R)1h(0A

X ee

++⋅++

+⋅+=

==

)RR(||R)1h(h

R||Rh0Ae

eXsal910feie

ent3fe

i

11i +⋅++

⋅−=

==

1h

h109sal

1hh

109

i3

oo3

fe

ie

fe

ie

||RRR

||RR

0eeeX

+

+

++

+=

==

FIGURA 8.1.2 AMPLIFICADOR DE DOS ETAPAS MODIFICADO.

130

109

3

109

103

3

131 ||)1(

||0 RRhh

RRhRR

RX

eee

Xfeie

entfeo

i ⋅++

⋅

+=

==

Por lo tanto la ganancia de tensión del circuito será:

Ah R R R

h h R R RR

R R

h R R R hh h R R R

h Rh

R R

R R R

R R

R R

v ffe

ie fe

fe ie

ie fe

fe

ie

hh

hh

hh

iefe

iefe

iefe

=+ ⋅ +

+ + ⋅ + ++

+

−⋅

+ + ⋅ +−

⋅ +

+ +

−+

+ +

+

+

+

( ) ||( )( ) ||( )

|| || ||( ) ||( )

( )||

||

||

11

11

1

10 9 7

10 9 7

7

9 7

3 5 6

10 9 7

7 9 10 1

7 9 10 1

9 10 1

7 9 RR

R Rh R R R h

h h R Rh R

hhh

fe ie

ie fe

fe

ieie

fe10 1

10

9 10

3 5 6

9 10

7

11

||

|| || ||( ) ||

( )+ +

⋅

+ + ⋅−

⋅

Para calcular las resistencias de entrada y salida del amplificador de dos etapas se debe aplicar la fórmula de Blackman. En el circuito de la figura 8.1.2 se imponen las condiciones. Esto es, para la resis-tencia de entrada: el punto i se cortocircuita a tierra o simplemente se deja en circuito abierto; y para cada una de las condiciones se calcula la ganancia de lazo. Un procedimiento análogo se realiza para deter-minar la resistencia de salida. Imponiendo las condiciones en el punto i se obtiene la ganancia de lazo. Para la condición de cortocircuito, la ganancia de lazo es la misma que la calculada para obtener la ganancia de tensión:

109feie

ie653fe

109

10

h1h

1097

h1h

109

cortoen'3

131 R||R)1h(h

h||R||R||RhRR

R

||RRR

||RR

i,ieeX

fe

ie

fe

ie

⋅++

⋅

+++

+==

+

+

dejando el punto i en circuito abierto se tiene:

21109feie

ie653fe

109

10

h1R||Rh

1097

h1R||Rh

109

abiertoen'3

131 R||RR||R)1h(h

h||R||R||RhRR

R

||RRR

||RR

i,ieeX

fe

21ie

fe

21ie

+⋅++

⋅

+++

+==

++

++

adicionalmente se requiere calcular la resistencia de entrada al circuito con el amplificador A desvanecido:

RA

R R h h R R Ri i ie fe' || ||( ( ) ||( ))

== + + ⋅ +

011 2 10 9 7

La resistencia de entrada se obtiene aplicando la relación

131

(5.1.6):

R RA X i i en ccA X i i en caent f ii=

− ⋅− ⋅'

, ', '

11

31

31

R R R h h R R R

h Rh

R R

R R RR

R Rh R R R h

h h R R

h Rh

R R

R R R

ent f ie fe

fe

ie

hh

hh

fe ie

ie fe

fe

ie

h R Rh

h R

iefe

iefe

ie

fe

ie

= + + ⋅ + ⋅

⋅

+⋅

⋅+

+ + +

⋅

+ + ⋅

+⋅

⋅+

+ +

+

+

++

+

1 2 10 9 7

7 9 10 1

7 9 10 1

10

9 10

3 5 6

9 10

7 9 10 1

7 9 10

1

1 1

11 2

( ( ) ( ))

||

||

|| || ||( ) ||

||

|| 1 21

10

9 10

3 5 6

9 10 1 21Rh

fe ie

ie fefe

RR R

h R R R h

h h R R R R+

+

⋅

+ + ⋅ +

|| || ||

( ) ||

Para la resistencia de salida se procede de la misma forma. Imponiendo la condición de cortocircuito la ganancia de lazo es nula; en cambio, para circuito abierto es la misma que la obtenida para el cálculo de la ganancia de tensión:

X

ee o o en corto

311

3

0= =, '

Xee o o

R R

R R R

RR R

h R R R hh h R Ren abierto

hh

hh

fe ie

ie fe

iefe

ie

fe

311

3

9 10 1

7 9 10 1

10

9 10

3 5 6

9 101= =

+

+ + +

⋅

+ + ⋅+

+,

||

||

|| || ||( ) ||'

RA

R R Ro oh

hie

fe' ||( || )=

= + +0 7 9 10 1

Aplicando la relación (5.1.6):

R R R Rh

h

h Rh

R R

R R RR

R Rh R R R h

h h R R

salt fie

fe

fe

ie

hh

hh

fe ie

ie fe

ie

fe

ie

fe

= ++

⋅

⋅

++

+ + +

⋅

+ + ⋅+

+

7 9 10

7 9 10 1

7 9 10 1

10

9 10

3 5 6

9 10

11

11

| | ( | | )

| |

| |

| | | | | |( ) | |

Las tres alternativas restantes para el análisis de la estructura servirán para utilizar el concepto relacionado con un punto pertene-ciente a una estructura unidireccional, al cual se le puedan asignar las propiedades de unidireccionalidad. En algunas oportunidades; al re-conocer una estructura unidireccional se puede escoger un punto de la trayectoria como lo son los puntos identificados como A y B en la figura

132

8.1.1; para tales puntos se podrá realizar un modelo equivalente que posee las propie-dades unidireccio-nales. En cada uno de estos ca-sos se puede ob-tener dos modelos equivalentes dife-rentes. Uno de ellos caracterizado como un amplifi-cador de ganancia unitaria, impedancia de entrada infinita e impedancia de salida igual a la impedancia Thévenin que se ve en sentido contrario al de la infor-mación que fluye por la trayectoria, desde el punto en cuestión. En el otro caso, el modelo será un amplificador de ganancia unitaria, impe-dancia de salida nula y como impedancia de entrada la Thévenin que se ve desde el punto hacia la dirección en la cual fluye la información por la trayectoria; ver ANEXO 3. Estos modelos son de utilidad cuando por alguna razón se reconoce la trayectoria pero no se puede calcular una de las dos impedancias.

Como ilustra-ción, en el ejemplo anterior pertene-ciente a la trayecto-ria: colector de Q1 y el amplificador for-mado por Q2 , esco-jamos un punto A, ubicado en la unión entre el colector de Q1 y las resisten-cias R5 y R6 . En este caso el modelo

FIGURA 8.1.3 AMPLIFICADOR DE DOS ETAPAS.1ª AL-

TERNATIVA PARA EL MODELO DEL PUNTO A DE LA TRAYECTORIA.

FIGURA 8.1.4 AMPLIFICADOR DE DOS ETAPAS. 2ª AL-

TERNATIVA PARA EL MODELO DEL PUNTO A DE LA TRAYECTORIA.

133

del punto de la trayectoria se caracterizará con la impedancia de salida del transistor Q1 y un amplificador de ganancia unitaria. Los valores de los parámetros para el modelo equivalente del punto de la trayectoria son:

13 === ∞ ARRR salent

El circuito del amplificador realimentado incluyendo el modelo del punto A se muestra en la figura 8.1.3 La ganancia de tensión del sistema se obtiene por la relación (4.1.6); para lo cual se deben calcular los parámetros del sistema re-alimentado:

XA

h R R Rh h R R R

RR Rio

o

i

fe

ie fe

ee=

==

+ ⋅ +

+ + ⋅ + +01

110 9 7

10 9 7

7

9 7

( ) ||( )( ) ||( )

Xee A

h Rh h R R Ri

i

fe

ie fe1

1 3

10 9 70 1=

== −

⋅

+ + ⋅ +( ) ||( )

Xee e

h R R R

h R R RR R

R R Roo

i

feh

h

ie

iefe

33

7 9 10 1

3 5 6

5 6

5 6 30=

== −

⋅ +

+ ++||( || )

|| ||||

||

Xee e

XR

R Rh R

h h R Rio

fe

ie fe31

1

33

10

9 10

3

9 100 1=

==

+

⋅

+ + ⋅( ) ||

La ganancia de tensión del circuito será:

Ah R R R

h h R R RR

R R

h Rh h R R R

h R R R

h R R RR R

R R R

h R R R

v ffe

ie fe

fe

ie fe

feh

h

ie

fe

iefe

=+ ⋅ +

+ + ⋅ + ++

+−

⋅+ + ⋅ +

−⋅ +

+ +

− −⋅ +

+

( ) ||( )( ) ||( )

( ) ||( ) ( )||( || )

|| ||||

||

( )||(

11

1 1 1

1 1

10 9 7

10 9 7

7

9 7

3

10 9 7

7 9 10 1

3 5 6

5 6

5 6 3

7 9 10 1

3 5 6

5 6

5 6 3

10

9 10

3

9 1011

|| )

|| ||||

|| ( ) ||

hh

ie

fe

ie fe

iefe

h R R RR R

R R RR

R Rh R

h h R R+

+ + +

⋅

+ + ⋅

Por un simple, pero laborioso, procedimiento algebraico se encuen-tra que la expresión anterior es idéntica a la obtenida con el modelo del amplificador formado por Q2 .

La segunda alternativa para el modelo del punto A es:

ie65ent h||R||RR = 0Rsal = 1A =

El circuito del amplificador modificado se encuentra en la figura

134

8.1.4. Directamente de la figura se calculan los cuatro parámetros y por medio de la relación (4.1.6) se obtiene la ganancia de tensión del ampli-ficador. Para lo cual:

79

7

7910feie

7910fe

i

oio RR

R)RR(||R)1h(h

)RR(||R)1h(0Ae

eX

++⋅++

+⋅+=

==

Xee A

h R R R hh h R R Ri

i

fe ie

ie fe1

1 3 5 6

10 9 70 1=

== −

⋅

+ + ⋅ +

|| || ||( ) ||( )

Xee e

h R R R

hoo

i

feh

h

ie

iefe

33

7 9 10 1

0=

== −

⋅ + +||( || )

Xee e

XR

R Rh R R R h

h h R Rio

fe ie

ie fe31

1

33

10

9 10

3 5 6

9 100 1=

==

+

⋅

+ + ⋅

|| || ||( ) ||

por lo tanto la ganancia de tensión es:

Ah R R R

h h R R RR

R R

h R R R hh h R R R

h R R R

hh R R R

hR

v ffe

ie fe

fe ie

ie fe

feh

h

ie

feh

h

ie

iefe

iefe

=+ ⋅ +

+ + ⋅ + ++

+−

⋅+ + ⋅ +

−⋅ +

− −⋅ +

+

+

( ) ||( )( ) ||( )

|| || ||( ) ||( ) ( )

||( || )

( )||( || )

11

1 1 1

1 1

10 9 7

10 9 7

7

9 7

3 5 6

10 9 7

7 9 10 1

7 9 10 1 10

R Rh R R R h

h h R Rfe ie

ie fe9 10

3 5 6

9 1011

+

⋅

+ + ⋅

|| || ||( ) ||

El cuarto procedimiento planteado para obtener la expresión de la ganancia de la estructura de la figura 8.1.1 se realiza apoyándonos en el punto B; en este caso, el úni-co modelo que se puede encontrar es el caracteriza-do con la impe-dancia de salida. Notar que el pun-to corresponde con la frontera de salida de una estructura unidi-reccional; como

FIGURA 8.1.5 AMPLIFICADOR DE DOS ETAPAS. MODELO

DEL PUNTO B DE LA TRAYECTORIA.

135

se puede probar al calcular la tensión de Thévenin que se ve a la de-recha del punto B, en el sentido del flujo de la información y no resultar nula; por lo tanto, no es unidireccional y el modelo no se puede definir. Los valores de los parámetros para el modelo valido del punto, el rea-lizado en el sentido contrario del flujo de información, serán:

1ARRR 7salent === ∞

Por un procedimiento análogo al anterior, de la figura 8.1.5 se calcula la respuesta del sistema:

79

7

7910feie

7910fe

i

ooi RR

R)RR(||R)1h(h

)RR(||R)1h(0A

X ee

++⋅++

+⋅+=

==

ie

7fe

7910feie

ie653fe

i

11i h

Rh)1(

)RR(||R)1h(hh||R||R||Rh

0AX e

e ⋅−

+⋅++

⋅−=

==

1h

h1097

1hh

109

i3

oo3

fe

ie

fe

ie

||RRR

||RR

0eX e

e+

+

++

+=

==

ie

7fe

109

10

910feie

ie653fe30

i3

131 h

Rh)1(

RRR

R||R)1h(hh||R||R||Rh

X0e

X ee ⋅

−+⋅++

⋅==

=

sustituyendo:

Ah R R R

h h R R RR

R R

h R R R hh h R R R

h Rh

R R

R R R

R R

R R

v ffe

ie fe

fe ie

ie fe

fe

ie

hh

hh

hh

iefe

iefe

iefe

=+ ⋅ +

+ + ⋅ + ++

+

−⋅

+ + ⋅ +−

⋅ +

+ +

−+

+

+

+

+

( ) ||( )( ) ||( )

|| || ||( ) ||( ) ( )

||

||

||

11

11 1

1

10 9 7

10 9 7

7

9 7

3 5 6

10 9 7

7 9 10 1

7 9 10 1

9 10 1

7 9 +

⋅+ + ⋅ +

−⋅

+R

h R R R hh h R R

RR R

h Rhh

h

fe ie

ie fe

fe

ieie

fe10 1

3 5 6

10 9

10

9 10

7

11 1

|||| || ||

( ) || ( )

136

8.2 AMPLIFICADOR DE ACOPLA-MIENTO DIRECTO

En este ejemplo anali-zaremos la ganancia de ten-sión e impedancias de salida y entrada del amplificador de acoplamiento directo cuyo circuito se encuentra en la figura 8.2.1. Los valores de las resistencias son los indi-cados, se puede suponer que los transistores son iguales, y sus parámetros son: hfe = 50 ; h kie = 1 1, Ω y.

En el diagrama del la figura 8.2.1 se encuentra identificado el punto A de la trayectoria unidireccional; el modelo del punto debe ser representado con la impe-dancia de salida del transis-tor Q1 ; puesto que la tensión Thévenin, evaluada en el sentido del flujo de la infor-mación, no es nula; el punto A es la frontera de salida de la estructura unidireccional. El modelo del punto A es:

1ARRR 1salent === ∞

Por medio del circuito del amplificador, que incluye el modelo del

FIGURA 8.2.1 AMPLIFICADOR DE ACO-

PLAMIENTO DIRECTO.

FIGURA 8.2.2 AMPLIFICADOR DE ACO-

PLAMIENTO DIRECTO. ES-TRUCTURA MODIFCADA.

137

punto A, de la figura 8.2.2 se determinan los cuatro parámetros reque-ridos por la relación (4.1.6) para calcular la ganancia de tensión del amplificador; éstos son:

XA

h Rh R h R h R R

R R hR R R h

RR Rio

o

i

fe

ie fe ie

ie

ie

ee=

==

⋅

+ + + ++

+ + +0 12

1 4 5 3

3 5

4 3 5

3

3 5( )( || )||( )||

( )||

XA

h Rh

R R h

R R R hii

fe

ie

R hh ie

R hh ie

ee

iefe

iefe

11 1 3 1 5

4 3 1 50

1

1=

== −

⋅ +

+ +

++

++

( || )||

( || )||

Xee e

h Rh R h R R R ho

o

i

fe

ie fe ie3

3

2

1 3 5 40 1=

== −

⋅

+ + + +( ) ||( || )

Xee e

h R R R hh R h R R R h

h Rh R R

RR Ri

fe ie

ie fe ie

fe

ie31

1

3

3 5 4

1 3 5 4

1

4 5

4

4 501

11=

==

+ +

+ + + +−

⋅

+ +

( ) ||( || )( ) ||( || )

( )||

Ah R

h R h R h R RR R h

R R R hR

R R

h Rh

R R h

R R R h

h Rh R h R R R

v ffe

ie fe ie

ie

ie

fe

ie

R hh ie

R hh ie

fe

ie fe

ie

fe

ie

fe

=⋅

+ + + ++

+ + ++

+

−⋅ +

+ +−

⋅+ + + +

++

++

2

1 4 5 3

3 5

4 3 5

3

3 5

1 3 1 5

4 3 1 5

2

1 3 5 4

1

1 1 1

1

1

( )( || )||( )||

( )||

( || )||

( || )||( ) ( ) ||( || )

( ) ||( || )( ) ||( || ) ( ) ||

hh R R R h

h R h R R R hh R

h R RR

R R

ie

fe ie

ie fe ie

fe

ie1

11 13 5 4

1 3 5 4

1

4 5

4

4 5−

+ ++ + + +

−⋅

+ +

Para calcular las resistencias de entrada y salida del amplificador de acoplamiento directo se emplea la fórmula de Blackman; por lo tanto, se deben imponer condiciones de corto y circuito abierto en los puntos i y o, ver la figura 8.2.2. Para la impedancia de entrada se tiene:

4ie1hhR

35ii Rh||)||RR(0A

Rfe

ie1' ++=

= ++

54

4

54ie

1fe

ie453fe1ie

ie453fe

cortoen'ii31 RR

RR||Rh

Rh)1(

)h||RR(||R)1h(Rh)h||RR(||R)1h(

X++

⋅−

++++

++=

5ie

1fe

ie53fe1ie

ie53fe

abiertoen'ii31 Rh

Rh)1(

)hR(||R)1h(Rh)hR(||R)1h(

X+

⋅−

++++

++=

caen'i,iXA1ccen'i,iXA1

RR31

31'iifent ⋅−

⋅−=

138

sustituyendo se obtiene la expresión para la impedancia de entrada del amplificador de acoplamiento directo. De forma análoga se procede para la impedancia de salida; directamente de la figura 8.2.2 se tiene:

2'oo R0A

R ==

54

4

54

1

4531

45331 ||

)1()||(||)1(

)||(||)1(' RR

RRRh

RhhRRRhRh

hRRRhcortoenoo

Xie

fe

iefeie

iefe

++⋅

−++++

++=

54

4

54

1

4531

45331 ||

)1()||(||)1(

)||(||)1(' RR

RRRh

RhhRRRhRh

hRRRhabiertoenoo

Xie

fe

iefeie

iefe

++

⋅−

++++

++=

como son iguales las dos ganancias de lazo, la resistencia de salida no cambia; por lo tanto:

R RA X o o en ccA X o o en ca

Rsalt f oo=− ⋅− ⋅

='

, ', '

11

31

312

El resultado anterior era de esperar puesto que el lazo de re-alimentación no incluye la resistencia de salida, y no será modificada por efecto de la realimentación.

8.3 AMPLIFICADOR DE UNA ETAPA. BJT

Para ilustrar el empleo de los modelos de fuente de corriente con-trolada se analizará el amplificador emisor común de una etapa, reali-mentado por medio de una resisten-cia en el emisor; mostrado en la figu-ra 8.3.1. Determinar la ganancia de tensión e impedancias de entrada del circuito, admitiendo que los pa-rámetros hre .y hoe son nulos.

FIGURA 8.3.1 AMPLIFICADOR DE UNA ETAPA.

139

La estructura unidireccio-nal en este circuito la constituye la propia fuente de corriente controlada del modelo equiva-lente del transistor; por lo tanto, es conveniente emplear un mo-delo de corriente. El circuito modificado se encuentra en la figura 8.3.2; donde se identifica: la rama 1 , por donde circula la corriente de control para la fuente de-pendiente y la rama 3 , formada por la propia fuente de corriente con-trolada del modelo del transistor. La fuente controlada de corriente es: i K i h ife3 1 1= ⋅ = − ⋅

Del circuito de la figura 8.3.2 se obtiene los parámetros reque-ridos por la relación (4.1.6) para calcular la ganancia de tensión del amplificador; estos son:

00K

Xi

oio e

e=

==

4iei

11i Rh

10K

iX e +

==

=

3i3

oo3 R

0eie

X ==

= ie4

4

i3

131 hR

R0ei

iX

+=

==


Ah R

h

h Rh R hv f

h R fe

feR

h R

fe

ie fe

ie

ie

=− ⋅

+= −

⋅

+ ++

+

13 3

4

4

44

1

1 1( )

( )

La impedancia de entrada se obtiene aplicando la formula de Blackman:

R K R R h Rii ie' || ||( )= = +0 1 2 4

Xi i en corto

RR hie

314

4'=

+ X

i i en abiertoR

R R R hie31

4

4 1 2' ||=

+ +

R RK X i i en cc

K X i i en caR R h R

h

hR R h R hent f ii ie

feR

h R

feR

R R R hie fe

ie

ie

=− ⋅

− ⋅= +

+

+= + +

+

+ +'

||

, '

, '|| ||( ) || || ( )

1

1

1

1131

311 2 4 1 2 4

44

4

4 1 2

FIGURA 8.3.2 AMPLIFICADOR DE UNA

ETAPA. MODELO.

140

8.4 AMPLIFICADOR DE UNA ETAPA. FET

A frecuencias medias calcular la expresión de la ganancia de tensión del circuito de la figura 8.4.1; donde el dispo-sitivo activo posee un modelo caracteri-zado por una fuente de corriente contro-lada por tensión y una resistencia de sa-lida; ver ANEXOS. Sustituyendo el FET por su modelo equivalente se obtiene el circuito de la figura 8.4.2. De la figura, al anular la entrada se reconoce la trayectoria cerra-da por la cual puede circular información, formada por la fuente y las tres resistencias. Perteneciente a la trayectoria cerrada se encuentra la fuente de corriente controlada

sgegm ⋅ , que será la estructura unidireccional que consideraremos para aplicar el procedimiento des-crito en el capítulo 4. La estructura modificada se encuentra en la figura 8.4.3; de ella se determina la expresión alge-braica de los cuatro parámetros requeridos por la relación (4.1.6) para encontrar la ganancia de tensión de la estructura, la cual es:

KX1

XKXX

vv

31

o31sos

s

o⋅−

⋅⋅+= ..........(8.4.1)

Directamente de la figura 8.4.3 se obtienen los parámetros:

1X0X0K1s0Kos ==

==

FIGURA 8.4.1 AMPLIFICADOR

DE UNA ETA-PA. FET.

FIGURA 8.4.2 AMPLIFICADOR DE

UNA ETAPA. CIRCUITO EQUIVALENTE.

141

232d

d0vo3 R

RRrr

Xs ++

==

332d

d0v13 R

RRrr

Xs ++

==

dado que el modelo de la estruc-tura unidireccional reconocida se caracteriza por:

gs1 eegmK =−= sustituyendo en la relación (8.4.1) se obtiene:

)rgm1(RRr

rRgm

Rgm1

Rgm1

vv

d32d

d2

3RRrr

2RRrr

s

o

32d

d

32d

d

⋅+++−=

⋅+

⋅⋅−=

++

++ ......... (8.4.2)

8.5 AMPLIFICADOR DIFERENCIAL. BJT

Para el amplificador de la figura 8.5.1, a frecuencias medias cal-cular la resistencia de entrada, salida y la ganancia de tensión admi-tiendo que la ganancia de corriente de los transistores tiende a infinito.

Por estar polarizado el amplificador diferencial mediante una fuen-te de corriente constante ideal la ganancia modo común de la es-tructura diferencial es nula. Adi-cionalmente se debe tener pre-sente que por tender a infinito la ganancia de corriente de los transistores, la ganancia de ten-sión base emisor es unitaria y la ganancia de tensión emisor co-lector no depende de la resisten-cia asociada a la base. Por lo tanto, únicamente bajo estas

FIGURA 8.4.3 AMPLIFICADOR DE UNA

ETAPA. ESTRUCTURA MODIFICADA.

FIGURA 8.5.1 AMPLIFICADOR DIFE-

RENCIAL. BJT.

142

condiciones, para una estructura diferencial formada por transistores BJT se puede seleccionar la estruc-tura diferencial como el amplificador unidireccional y aplicar el procedi-miento descrito por la ecuación (4.2.5). En la figura 8.5.2 se encuen-tra el circuito modificado; notar que la resistencia de salida del amplifi-cador diferencial posee un valor da-do por la propia resistencia de salida de los transistores. Los parámetros del amplificador diferencial: RRKhA salidafed == ∞=entradaR

De la figura 8.5.2 se tiene: 1X0X idio == 1X

RRR1X o3

21

1d3 =

+−=

Aplicando la relación (4.2.5) se tiene:

1

21

21

1fe

fe

fe

o3d3d

iddio

i

oR

RR1

RRRKh1

1Kh

hLimX

XA1XAXv

v +=

+⋅+

⋅

∞→=

⋅−⋅

+=

La resistencia de entrada tiende a infinito de la misma forma que la ganancia de corriente de los transistores. En cambio, la resistencia de salida se calcula aplicando la relación (5.2.12); por lo tanto:

caen'a,ad3d

ccen'a,ad3d'aaf'aa XA1

XA1ZZ

⋅−

⋅−=

donde:

fe

ieh1hR

12'aa )RR(Z +++=

21

1

RRR

caen'a,ad3ccen'a,ad3 X0X+

−==

Z Limh

R R R hR R h R h h K R

R R

aa f

fe

ie

fe iefe

'( )( )

( )( )=

→ ∞

+ ++ + + + +

+

=2 1

2 1 1

1 2

11

10

FIGURA 8.5.2 MODELO AMPLIFI-

CADOR DIFEREN-CIAL.

143

8.6 AMPLIFICADOR COMPUESTO. FET BJT

Para la estructura de la figura 8.6.1 calcular la ganancia de tensión. Los parámetros de los transistores pueden considerarse como: Q gm rd1 , →∞

Q h h h hfe ie oe re2 0 0, , ,= = .

Con el fin de ilustrar el hecho que en una estructura realimentada se pueden reconocer diferentes fuen-tes controladas unidireccional para aplicar el método de desvanecimien-to planteado y de esta forma obtener una determinada característica de la estructura, se plantean varias alter-nativas.

Anulando la señal de entrada se reconoce una trayectoria cerrada; pertenecientes a la trayectoria, se escoge un punto del conductor que une el drain de Q1 con la base de Q2 . Como a tal punto se le puede asignar la unidireccionalidad, ver ANEXO 3, escogemos como modelo para la estructura unidireccional el obtenido al efectuar el Thévenin en el sentido contrario del fluir de la informa-ción; siendo los parámetros del modelo:

A R R Rent sal= = ∞ =1 2

En la figura 8.6.2 se encuentra el circuito incremental de la estruc-tura modificada. Directamente de la figura 8.6.2, empleando las relacio-

FIGURA 8.6.1 AMPLIFICADOR

COMPUESTO. FET y BJT.

FIGURA 8.6.2 ESTRUCTURA

MODIFICADA.

144

nes que se encuentran en los ANEXOS 1.1 y 1.2 particularizadas para el circuito, se calculan los parámetros qpX necesarios para aplicar la rela-ción (4.1.6) y así obtener la expresión de la ganancia de tensión:

X gm Rgm Ri o, =

+4

41 X gm R

gm Ri , 12

41= −

+ X

h RR h R h

f e gm

ie f e3 0

41

2 3 1= −

+ + +( )

X X Ah R

R h R hR gm

vf e gm

ie f e3 1 3 0 3 2 1

41

2 3

2

1 1= = −

+ + +− ( )

sustituyendo en la relación (4.1.6):

vv

gm Rgm R

gm Rgm R

h RR h R h

h RR h R h

R gmo

i

f e gm

ie f e

f e gm

ie f e

=+

+

−+

−+ + +

+ −+ + +

4

4

4

4

41

2 3

41

2 3

21

11 1

1

1 1 11 1

( )( )

( )( )

vv

gm Rgm R

h Rgm R R h R h h R

gm Rgm R

R h R h

o

i

f e

ie f e f e

ie f e

=+

++ + + +

++ + + +

4

4

4

4 2 3 4

4

2

2 3

11

11

11

11 1

( )( )

simplificando:

[ ]

vv

gm Rgm R

h R

gm R R h R h h R gm Ro

i

f e

ie f e f e

=+

++ + + + +

4

4

4

4 2 3 4 211

1 1( ) ( )

Otra de las posibles alternativas es reconocer como estructura unidireccional el amplificador formado por Q2 , como se muestra en la figura 8.6.3. Los parámetros del modelo para el amplificador son:

Ah R

h R hR h R h R Rfe

ie feent ie fe sal= −

+ += + + =4

33 41

1( )

( )

Directamente de la figura 8.6.3 se determinan los parámetros:

X gm Rgm R

gm Rgm Ri o

sal

sal, =

+=

+1 14

4

Xgm R R

gm Rient

, 12

41= −

+

145

XR gm Ro

gm

gm sal3

1

14

11

=+

=+

XR R gm

R gment

3 12

41=

+

sustituyendo los parámetros an-teriores en la relación (4.1.6) se obtiene la expresión para la ga-nancia de la estructura realimen-tada:

vv

gm Rgm R

gm R Rgm R

Agm R

Agm R R

gm R

o

i

ent

ent

=+

+−

+ +

−+

4

4

2

4 4

2

4

11

11

11

remplazando las expresiones para A y entR se tiene:

[ ]

[ ]vv

gm Rgm R

gmgm R

R h R h

R h R hh R

h R h gm R

h Rh R h

gmgm R

R h R h

R h R h

o

i

ie f e

i e f e

f e

i e f e

f e

i e f e

i e f e

i e f e

=+

++

+ +

+ + + + + +

++ + +

+ +

+ + +

4

4

4

2 3

2 3

4

3 4

4

3 4

2 3

2 3

11

1

1 11

1

11 1

1

1

( )

( ) ( )

( )

( )

( )

simplificando:

[ ]

vv

gm Rgm R

h R

gm R R h R h h R gm Ro

i

f e

ie f e f e

=+

++ + + + +

4

4

4

4 2 3 4 211

1 1( ) ( )

Como tercera posibilidad tomaremos como fuente unidireccional la fuente de corriente controlada del transistor 2Q , como se indica en la figura 8.6.4; donde se identifican las ramas por donde circulan la corriente de control y la controlada, denominadas 1 y 3 respectivamen-te. Los parámetros de la estructura unidireccional son:

)h1(RhRhk fe3ieentfe ++=−= ∞=salR

En este caso, analizando el circuito de la figura 8.6.4 se determi-nan los parámetros:

FIGURA 8.6.3 ESTRUCTURA MODIFI-

CADA. 2ª ALTERNATIVA

146

4

4o,i Rgm1

RgmX

+=

ent4

ent2

ent112v1,i R

1Rgm1RRgm

R1AX

+−== −

4

4gm1

4o3 Rgm1R

RX+

== ent230132v3013 RgmRXAXX == −

sustituyendo los parámetros en la relación (4.1.6) se obtiene la expre-sión para la ganancia de la estructura realimentada:

ent2

4

4

4

4

ent4

ent2

4

4

i

o

RRgmRgm1

RK1

Rgm1R

KR

1Rgm1RRgm

Rgm1Rgm

vv

+−

++−

++

=

remplazando las expresiones para K y entR se tiene: [ ]

[ ])h1(RhR

)h1(RhRgm

Rgm1Rh1

Rgm1Rh

)h1(Rh1

)h1(RhR)h1(RhR

Rgm1gm

Rgm1Rgm

vv

ef3ei2

ef3ei2

4

4ef

4

4ef

ef3eief3ei2

ef3ei2

4

4

4

i

o

+++

++

++

++++++

++

++

+=

simplificando:

[ ]

++++++

+=

24efef3ei24

4ef

4

4

i

o

RgmRh)h1(RhR)Rgm1(

Rh1

Rgm1Rgm

vv

Analizando el desarrollo al-gebraico de cada una de las alter-nativas podemos concluir que re-quieren un número de pasos simi-lares para obtener la expresión de ganancia en forma compacta. En general, se podría decir que se requerirán menos esfuerzos alge-braicos para calcular los paráme-tros X p q cuando la estructura unidi-reccional reconocida y modelada represente un mayor número de elementos de la estructura original.

FIGURA 8.6.4 ESTRUCTURA MODI-

FICADA. 3ª ALTERNA-TIVA

147

8.7 AMPLIFICADOR DIFERENCIAL. FET

Para la estructura dife-rencial de la figura 8.7.1 calcu-lar la ganancia de tensión.

Notar que para el análi-sis del amplificador realimenta-do no se puede hacer uso del concepto de bisección puesto que el circuito no presenta sime-tría. El circuito de la figura 8.7.1 puede ser modelado por el mos-trado en la figura 8.7.2; en el cual se ha modelado como fuen-te unidireccional un punto del

conductor que une el drain de Q2 con la sali-da; el modelo se realiza incluyendo la resistencia de carga. El modelo de la estructura modificada se indica en la figura 8.7.2; donde directamen-te se identifican los pa-rámetros requeridos por la relación (4.1.6), em-pleada para calcular la ganancia de tensión del circuito realimentado.

0Xio = 2321131i AvAvX −− ⋅= 1X o3 = 21221

231 Av

RRRX −+

=

FIGURA 8.7.1 AMPLIFICADOR DIFE-RENCIAL. FET.

FIGURA 8.7.2 MODELO PARA EL AMPLIFICADOR

DIFERENCIAL. FET.

148

Aplicando las relaciones del ANEXO 2 se obtienen las diversas ganancias de tensión definidas anteriormente y referidas al circuito de la figura 8.7.2:

)rgm1(||RRr

||Rrgm

Av

ddrgm1

)2R1R(||DRdr

SDd

drgm1)2R1R(||DRdr

Sd

113

+

++

=

+++

+++

−

)RR(Rr)rgm1()RR(||RAv

21Dd

d21D232 ++

++=−

)rgm1(||R)RR(||Rr

rgm)RR(||RAv

ddrgm1

DRdrS21Dd

d21D212

+

+++

+−=

++−

Los parámetros serán:

)RR(||Rr)rgm1()RR(||R

)rgm1(||RRr

||RrgmX

21Dd

d21D

ddrgm1

)2R1R(||DRdrSDd

drgm1)2R1R(||DRdr

Sd

1i ++++

+

++

=

+++

+++

)rgm1(||R)RR(||Rr

rgm)RR(||RRR

RX

drgm1Rr

S21Dd

d21D

21

231

d

Dd +

+++

++

−=

++

Por lo tanto; la ganancia de tensión del circuito realimentado para este caso particular:

1X1

11X

31

1i

i

ovv

⋅−⋅⋅

=

sustituyendo los parámetros:

)rgm1(||R)RR(||Rr

rgm)RR(||RRR

R1

)RR(||Rr)rgm1()RR(||R

)rgm1(||RRr

||Rrgm

drgm1Rr

S21Dd

d21D

21

2

21Dd

d21D

drgm1)RR(||Rr

SDd

rgm1)RR(||Rr

Sd

i

o

d

Dd

d

21Dd

d

21Dd

vv

+

+++

++

+

++++

+

++

=

+

+

+

++

+

++

149

8.8 RESPUESTA DE FRECUENCIA

Empleando la a-proximación de banda ancha determinar las esquinas de baja y alta frecuencia para la estruc-tura de la figura 8.8.1. Los transistores se pue-den considerar iguales, y poseen una frecuencia de corte infinita, fT = ∞ ; sus parámetros son: hfe = 100 , Ωk2,2hie = ,

0hh oere == .

Anulando la señal de entrada al circuito de la figura 8.8.1 se identi-fica una trayectoria de realimentación. En la trayectoria se encuentra el divisor de tensión formado por 7R y 8R ; y la cascada de dos amplifi-cadores conformados por 1Q y 2Q . Dada la estructura de la trayecto-ria, sólo un amplificador de tensión que incluya la unidireccionalidad de

2Q se puede emplear para el análisis de la estructura realimentada. Notar que 1Q no puede ser modelado por un amplificador de tensión ya que comparte sus terminales; en

1Q se mezclan la información de la señal de entrada y la que fluye por la trayectoria de reali-mentación; o sea, su modelo posee dos entradas y una salida. En la figura 8.8.2 se en-cuentra la estructura modificada del circuito original; en ella el transistor 2Q se sustituyó por el modelo de un amplificador y se identifican los puntos 1 y 3 . La

FIGURA 8.8.1 AMPLIFICADOR. RESPUESTA DE

FRECUENCIA.

FIGURA 8.8.2 AMPLIFICADOR. ES-

TRUCTURA MODIFICADA.

150

ganancia de tensión del modelo incluye la dependencia de frecuencia que introducen los condensadores 1C y 2C presentes en el circuito original, que actúan en baja y alta frecuencia respectivamente; tal dependencia se calcula considerando la aproximación de banda ancha y tomando en cuenta las re-sistencias Thévenin vista por los terminales 1 y 3 ; el circuito para evaluar las esquinas de baja y alta frecuencia se encuentra en la figura 8.8.3:

5,29)hRRR(C

1sie4311

b =+

= 641300RRC

1se52

a ==

La expresión de la ganancia de tensión en función de la frecuen-cia es de la forma:

a

a

bm ss

sss

sA)s(A++

= ..........(8.8.1)

donde:

18,418h

RhA

ie

5fem −=−=

En primer lugar, dado que se desea aplicar el criterio de banda ancha, se debe comprobar que el término ioX del modelo que representa el comportamien-to de la estructura realimentada es nulo, o al menos se pueda despreciar con relación a la ga-nancia de la estructura realimen-tada a frecuencias medias; de otra forma, los cálculos realizados son incorrectos, como se plantea en la sección 4.5. Notar que en general el valor de ioX es arbitrario, puesto que depende de la estructura del cir-cuito y de los valores de los componentes, que se calculan de manera independiente. Para frecuencias medias, empleando las relaciones del aparte 4.1, se encuentran los parámetros qpX que describen el comporta-miento del circuito de la figura 8.8.2:

543,0RR

R)RR(R)1h(h

)RR(R)1h(X

58

5

587feie

587feio =

++++

++=

FIGURA 8.8.3 AMPLIFICADOR. CAL-

CULO DE A(s).

151

763,11)RR(R)1h(h

RRhX

587feie

in1fe1i −=

+++−= 339,0

RRR

RRX

fe

ie

fe

ie

h1h

785

h1h

78o3 =

++

+=

+

+

084,0RRR

R)RR(R)1h(h

RRhRRR

RXX875

7

587feie

in1fe

875

71i31 =

+++++=

++−=

La ganancia a frecuencias medias se obtiene utilizando la rela-ción (4.1.6), donde se particulariza la ganancia del amplificador, dada por (8.8.1), al valor que toma a frecuencias medias:

16,46543,0AX1XAX

Xvv

m31

o3m1iio

i

o +=⋅−⋅⋅

+= ......... (8.8.2)

Comparando los valores de los términos del segundo miembro de la relación (8.8.2) se puede concluir si es o no aplicable la aproxi-mación de banda ancha para la estructura realimentada estudiada. Dado que en este caso la relación de los términos es de 0 011, admiti-remos la validez de la aproximación para calcular la respuesta de fre-cuencia de la estructura realimentada. Por tener el modelo del amplificador un polo en alta, un polo en baja frecuencia, un cero en cero y otro en infinito; y además por ser todos los parámetros qpX independientes de la frecuencia podemos aplicar las relaciones (3.3.5) y (3.3.8) para evaluar las esquinas de baja y alta frecuencia:

8,013,351

5,29XAm1

ss

31

BfB =

+=

−= ......... (8.8.3)

631AA 1019,22)13,351(3,641)XAm1(ss

f⋅=+=−= ......... (8.8.4)

Utilizando la aproximación para el valor de la ganancia a fre-cuencias medias como el segundo término del segundo miembro de la relación (8.8.2) y sustituyendo los valores dados por (8.8.3) y (8.8.4) en la relación (3.3.9) se obtiene la ganancia de tensión de la estructura realimentada en función de la frecuencia:

6

6

fA

fA

fBff

1019,22s

1019,228,0s

s16,46ss

s

sssAm)s(A

⋅+

⋅+

=++

= ......... (8.8.5)

152

8.9 COMPARADOR DE LAZO CERRA-DO

En el circuito de la figura 8.9.1, que se denomina compara-dor de lazo cerrado, determinar las relaciones entre las diferentes resistencias del circuito de tal ma-nera que su comportamiento sea no lineal. La ganancia de corrien-te de los transistores se puede considerar infinita, la tensión base emisor constante y la tensión de saturación colector emisor nula.

El comportamiento de una estructura realimentada será no lineal cuando el producto β ⋅ A o su equivalente sea mayor que la unidad. Analizando el circuito del com-parador de lazo cerrado se concluye que la ganancia de la estructura es positiva; así mismo, anulando la señal de entrada se reconoce una trayectoria cerrada por la cual puede fluir información. Perteneciente a la trayectoria se encuentra el punto denominado A , ver figura 8.9.1, que por estar precedido del transistor 1Q se puede consi-derar unidireccional. El modelo del punto A es un amplificador de tensión cuya ganancia es unitaria; por ser la ganancia de corriente de los transistores infini-ta no se requiere modelar la re-sistencia de salida. La relación 13XA calcula-da en el circuito de la figura 8.9.1 es equivalente al producto β ⋅ A . Del circuito se obtiene:

FIGURA 8.9.1 COMPARADOR DE

LAZO CERRADO.

eo

ei

ei de encendidoei de apagado

eo de saturación +

eo de saturación -


SALIDA. COMPARADOR DE LAZO CERRADO.

153

4

1Q23Q3113 R

R1AvAvX

12== ......... (8.9.1)

relación que es positiva; luego multiplicándola por la ganancia del ampli-ficador modelado e imponiendo la condición de no linealidad se obtiene:

1RR

1AX4

113 >⋅= ......... (8.9.2)

Por ser la ganancia de toda la estructura positiva el comporta-miento de la salida corresponde a la de un circuito no lineal y será simi-lar a la descrita en el capítulo 7. La característica de salida del circuito se reproduce en la figura 8.9.2. Dado que la alimentación del circuito es una batería positiva los niveles de saturación y corte del amplificador formado por 2Q serán positivos, tal amplificador constituye el bloque

o3X de la estructura realimentada; por lo tanto el ciclo de histéresis se encuentra definido en el primer cuadrante; donde se pone en evidencia que la tensión de encendido es mayor que la de apagado; condición que unida a los niveles relativos de la salida permite concluir que al imponer a la señal de entrada el nivel cero el transistor 1Q se encuentra en corte y el transistor 2Q en saturación; o sea:

apagadoencendido ee >

cortado2QQEQBEsaturado2QQEQBE 11

VVVV −− +>+

551

ccBE5

54231

ccBE R

RRVVR

RRR)RR(VV

++>

++++

5154231 RR

1RRR)RR(

1+

>+++

5154321231

321RR

1)RR()RRR(R)RR(

RRR+

>+++++

++ ......... (8.9.3)

Las relaciones (8.9.2) y (8.9.3) forman un sistema de inecua-ciones. Una solución es: 21 R2R = y 22

14 RR =

154

Los valores de R , 3R y 5R no son críticos; un valor razonable sería asignarles el mismo valor de 4R ; o sea: 22

153 RRRR ===

8.10 AMPLIFICADOR DE TRES ETAPAS (EC, BC, EC) DOBLEMENTE RE-ALIMENTADO

Para la figura 8.10.1, donde se anularon las fuentes externas de polarización, se muestra el circuito de un amplificador formado por tres etapas conectadas en cascada, calcular la ganancia de tensión y la im-pedancia de entrada a la estructura. Para los cálculos se admite que la ganancia de corriente de los transistores tiende a infinito, los parámetros hre y hoe son nulos y todas las resistencias son del mismo valor.

Anulando la excitación y analizando la estructura se encuentran dos posibles trayectoria cerradas por las cuales puede fluir la informa-ción; una de ellas constituida por la cascada de los amplificadores formados con los transistores Q1 y Q2 , un divisor de tensión entre R1 y R4 ; la otra, también la cascada de dos amplificadores y un divisor de tensión, los amplificadores formados con los transistores Q2 y Q3 , el divisor de tensión por R6 y R7 . Por lo tanto, se deben reconocer dos estructuras unidirec-cionales para aplicar el procedimiento descri-to en la sección 4.3 y resumida por la relación (4.3.12). Por medio de la figura 8.10.1 se pue-den identificar las dos estructuras unidireccio-nales requeridas: el amplificador formado por Q1 y las resistencias

FIGURA 8.10.1 AMPLIFICADOR DE TRES ETAPAS.

155

R2 y R3 ; para la otra fuente controlada seleccionamos un punto de la rama que une el colector de Q2 con la base de Q3 . Los parámetros de los mode-los de cada una de las estructuras unidireccionales son:

2salidaentrada3

21 RRR

RRA =∞=−=

0RR1A salidaentrada2 =∞==

notar que para el modelo de la segunda estructura unidireccional se escoge como modelo el obtenido en el sentido que fluye la informa-ción, evitando algunos cálculos; de otra forma se requiere calcular la impedancia Thévenin desde el punto, en sentido contrario al fluir de la información y tal es-tructura es realimen-tada. La estructura modificada incluyendo los puntos identificados como: 11, 12, 31, y 32 se encuentran en la figura 8.10.2. En vista de ser la estructura múlti-plemente realimenta-da y no ser evidente su comportamiento lineal; en primer lugar se debe comprobar si opera o no linealmente. La corroboración de la operación lineal se obtiene al satisfacer la relación (4.4.6); para lo cual se debe calcular la matriz de realimentación:

X R RR R

RR R

X R RR R31 11

1 4

2 5

1

1 431 12

1 4

2 5

12

1, ,=++ +

= =++

=

X RR R

R RR R

RR R

X RR R

R RR R32 11

6

6 7

1 4

2 5

1

1 432 12

6

6 7

1 4

2 51 1

41 1

2, ,= −+

++ +

= − = −+

++

= −


( ) ( )1 12

1 1 12

1 1 14

1 1 94

14

2 0+ + − ⋅ ⋅ ⋅ = − = >

por lo tanto el sistema realimentado es lineal y su salida, en función de


ESTRUCTURA MODIFICADA.

156

la entrada, se puede representar por una expresión similar a la dada por (4.3.12). Previamente, de la figura 8.10.2, se calculan los otros parámetros pqX requeridos:

1X1X0X 12,i11,i0,i === 23

)RR(RR

X0X769

80,320,31 −=

+−==

eeo

i

= −

−

−

−

−

= −

−

0 0 32

1 00 1

12

14

1 12

11

38

11

La impedancia de entrada a la estructura se calculará por defini-ción; o sea, con la señal de entrada aplicada se define la corriente de entrada a la estructura como salida. Dado que la estructura es la mis-ma, las trayectorias también lo serán; como consecuencia los amplifica-dores modelados para evaluar la ganancia pueden ser utilizados para evaluar esta nueva función. Resultando varios parámetros pqX iguales; entre ellos todos los que forman la matriz de realimentación; como se mantiene la misma señal de entrada los parámetros relacionados con las entradas de la estructura y los amplificadores también serán iguales a los calculados para la ganancia. Por lo tanto, bastará con encontrar los

pqX relacionados con la salida de corriente definida; o sea, desde todas las entradas de la estructura modificada a la salida de corriente: o,iX ,

o,31X y o,32X .

En la figura 8.10.3 se encuentra el circuito de la estructu-ra con la salida de corriente definida; de ella se pueden deter-minar las expresiones para los tres paráme-tros requeridos en nuestro caso particu-lar:


IMPEDANCIA DE ENTRADA.

157

X XR R R

X RR R

R RR R R R Ri o o o, , ,= =

−+

= − =+

++ +

=0 1 12

1 1 1431

2 532

6

6 7

1 4

2 5 1 4

Por medio de una expresión similar a (4.3.12) se encuentra el inverso de la impedancia de entrada a la estructura realimentada:

ieo

i R R R=

−

−

−

−

−

=

−

0 12

14

1 00 1

12

14

1 12

11

38

11

1

por lo tanto, la impedancia de entrada es:

Z Rent fi

o

ei= =

83

8.11 AMPLIFICADOR DE TRES ETAPAS (EC, EC, EC) DOBLEMENTE RE-ALIMENTADO

Para la figura 8.11.1, donde se muestra el circuito de un amplifica-dor formado por tres etapas emisor común conectadas en cascada, por simplicidad para el dibujo se anularon las fuentes de polarización, calcular la ganancia de tensión y las impedancias de entrada y salida de la estructura; ad-mitiendo que los transisto-res son iguales, su ga-nancia de corriente tiende a infinito, los parámetros hre y hoe son nulos y to-das las resistencias son iguales a R , exceptuando R7 que es 1

2 R .


158

Anulando la señal de entrada y analizando la estructura se encuentran dos posibles trayectorias independientes y cerradas por las cuales puede fluir la información; una de ellas constituida por la cascada de los amplifica-dores formados con los transistores Q1 y Q2 , un divisor de tensión entre las resistencias R3 y R5 ; la otra trayectoria, la cas-cada de los tres transisto-res de la estructura y el divisor de tensión formado por R4 y R1 . Por lo tanto, se deben reconocer dos estructuras unidireccionales para a-plicar el procedimiento descrito en la sección 4.3 y resumida por la relación (4.3.12). Por medio del circuito de la figura 8.11.1 se pueden identificar las dos estructuras unidireccionales requeridas: el amplifica-dor formado por Q2 y las resistencias R6 y R7 ; para la otra fuente con-trolada seleccionamos un punto de la rama que une el colector de Q2 con la base de Q3 . Los parámetros de los modelos de cada una de las estructuras unidireccionales son:

6salidaentrada7

61 RRR2

RR

A ==−=−= ∞ 0RR1A salidaentrada2 === ∞

La estructura modificada incluyendo los puntos 11, 12, 31, y 32 identificados se encuentran en la figura 8.11.2.

En primer lugar se deben calcular los elementos de la matriz de realimentación:

X RR R

X RR R31 11

2

5 631 12

5

5 6

12

12, ,=

+= =

+=

XR R R

RR

R RR

R R R32 118 1 4

9

1

1 4

2

3 5 6

12,

( )( )

=+

+ +=



159

XR R R

RR

R RR

R R32 128 1 4

9

1

1 4

6

6 5

16,

( )= −

++ +

= −

sustituyendo en la relación (4.4.6) se comprueba la linealidad:

( ) ( ), , , ,1 1 031 11 1 32 12 2 31 12 32 11 1 2− − − >X A X A X X A A

( ) ( )1 12

2 1 16

1 12

12

2 1 0+ + + ⋅ ⋅ >

por lo tanto el sistema realimentado es lineal y su salida, en función de la entrada, se puede repre-sentar por una expresión similar a la dada por (4.3.12). Previamente, de la figura 8.11.2, se calculan los otros parámetros pqX :

XR

R R Ri ,08

1 4 8

13

=+ +

=

XR R

R R RR

R R Ri , ( )114 8

1 4 8

2

3 5 61= −

++ + +

= −

XR R

R R RR

R R1 124 8

1 4 8

6

5 6

13, =

++ + +

= X 31 0 0, = XR R R

R32 08 1 4

9

23,

( )= −

+= −

sustituyendo:

eeo

i

= −

−

−−

−

= −

−

13

0 23

12 0

0 1

12

12

12

16

113

117

11

Las impedancias de entrada y salida a la estructura se calcula-rán por definición; o sea, con la señal de entrada aplicada se define la corriente de entrada a la estructura como salida; ver figura 8.11.3.

FIGURA 8.11.3 AMPLIFICADOR DE TRES ETA-PAS. CALCULO DE LA IMPE-DANCIA DE ENTRADA.

160

Dado que la estruc-tura es la misma, las trayectorias también lo serán; por lo tanto, los amplificadores mo-delados para eva-luar la ganancia pueden ser utiliza-dos para evaluar esta nueva función. Resultando varios parámetros pqX iguales; entre ellos todos los que for-man la matriz de realimentación.

Para evaluar la impedancia de entrada se tiene la misma señal de entrada; por lo tanto, los parámetros relacionados con las entradas a la estructura modificada también serán iguales a los calculados para la ganancia. Por lo tanto, bastará con encontrar los pqX relacionados con la salida de corriente definida; o sea, desde todas las entradas de la estructura modificada a la salida de corriente:

XR R R R

X XR R R

R R R Ri, , , (( )

)01 4 8

31 0 32 08 1 4

9 1 4

1 13

0 1 1 13

=+ +

= = = − −+

+=

sustituyendo:

R173

7

311

61

21

21

21

100

21

R310

R31i

1

i

o

1

e ⋅=

−

−−

−

−=

−

al invertir se obtiene la impedancia de entrada a la estructura realimen-tada:

FIGURA 8.11.4 AMPLIFICADOR DE TRES ETAPAS. CAL-CULO DE LA IMPEDANCIA DE SALIDA.

161

R7173

iR

o

ientrada

e ⋅==

La impedancia de salida de la estructura realimentada se calcula en forma similar, por definición; pero en este caso la excitación será una fuente de corriente. En el modelo incremental de la estructura realimentada se aplica como señal de entrada una fuente de corriente entre los terminales que se desea calcular la impedancia, ver figura 8.11.4. Todos los términos qpX de la estructura realimentada serán iguales a los obtenidos para evaluar la ganancia de tensión, excep-tuando los relacionados con el punto de entrada; notar que de esta forma todos los puntos de la estructura modificada son los mismos exceptuando el punto de entrada a la estructura.

De la figura 8.11.4 se calculan los términos correspondientes a la entrada:

X R R R R XR

R R RR

RR R R

Ri i, ,( )( )0 8 1 4 11

8

1 4 81

2

3 5 6

23

12

= + = = −+ + +

= −

XR

R R RR

RR R

Ri,128

1 4 81

6

5 6

16

=+ + +

=

sustituyendo y operando:

R R R

R

Rsalidao

i

ei= = −

−

−−

−

=

−

23

0 23

12 0

0 1

12

12

12

16

12

16

817

11

162

8.12 AMPLIFICADOR DE DOS ETAPAS ACOPLAMIENTO DIRECTO. ES-TABILIDAD DE LA TENSIÓN DE SALIDA

En algunas oportunidades la realimentación negativa se emplea para mejorar el factor de estabilidad de una estructura multietapas cuya polarización sea de acoplamiento directo; evitando de esta forma, que la amplitud máxima de la tensión de salida que puede entregar la estructura se vea alterada, al cambiar la temperatura del am-biente donde opera el amplifica-dor. Para el circuito de la figura 8.12.1, donde el efecto predomi-nante de la temperatura se en-cuentra caracterizado por los cambios en la tensión del diodo base emisor de los transistores, evaluar el cambio de la tensión de sali-da para un cambio unitario de la temperatura ambiente. La tensión um-bral del diodo base emisor cambia a razón de −2 5, /mV Co . Los transisto-res son iguales, con parámetros: hfe = 300 , h kie =5 Ω y h hre oe= = 0 ; la fuen-te de alimentación V Vcc = 12 ; las resistencias: R R R k1 2 5 10= = = Ω ; R k3 2= Ω ; R k4 1= Ω .

De la figura 8.12.1 se puede ver que la polarización de los dos transistores que forman la estructura es dependiente una de otra; y además, la dependencia es tal que analizando la estructura se puede establecer una trayectoria cerrada; o sea, la polarización se encuentra determinada por una realimentación negativa; y por lo tanto la tensión de

FIGURA 8.12.1 AMPLIFICADOR DE DOS ETAPAS. ESTABILIDAD DE LA TENSIÓN DE SALIDA.

163

colector tierra del tran-sistor Q2 dependerá en menor grado de las características de los transistores que cuan-do no exista la reali-mentación.

Admitiendo que los transistores son afectados por los mismos cambios de temperatura, la in-fluencia térmica en el circuito puede modelarse como una fuente in-cremental asociada en serie con cada una de las bases de los transis-tores; de esta forma se puede evaluar los cambios en la tensión de colector tierra como la contribución de las perturbaciones de las ten-siones de base emisor de cada uno de los transistores al cambiar la temperatura de operación, utilizando las relaciones de la ganancia realimentada para corriente continua de la estructura, ver figura 8.12.2; en la figura se incluye el modelo del amplificador reconocido y la iden-tificación de los nodos respectivos. La estructura unidireccional la conforma el transistor Q1 y la re-sistencia R2 , su modelo es:

Ah R

hR R k R h kfe

iesal ent ie1

22600 10 5= − = − = = = =Ω Ω

El calculo de los parámetros comunes a las dos entradas, X3 1, y X3,o se obtienen del circuito de la figura 8.12.2 anulando ambas entra-das:

XR R R h h

R h R R R h h

R hR h R

ie fe

ie ie fe

ie

ie3 1

4 5 1

2 4 5 1

1

1 5

1

10 237,

( )( )

( )( ),=

+ +

+ + + + +=

Xh R

R h R R R h hfe

ie ie fe3 0

3

2 4 5 1 12 034,

( )( ),= −

+ + + += −

Los parámetros relacionados con las entradas equivalentes son:

FIGURA 8.12.2 AMPLIFICADOR DE DOS ETAPAS.


164

Xh

h R R Ri V

ie

ieR h

h

beie

fe

,( )

,1

1 5 4 1

12

0 499−++

−= −

+ += −∆

0946,0RR

R)RR(Rh

)RR(R

)h1()hRR(RhR

RhX

54

4

541ie

541

feie154ie2

3feV0,i 1be

=+++

+

++++=

−−∆

XR h

R R h

R R R h h

R h R R R h hi V

ie

ie

ie fe

ie ie febe,

( )( )

( )( ),1

1

5 1

4 5 1

2 4 5 12

1

10 237− −

= −+

+ +

+ + + += −∆

034,2)h1()hRR(RhR

RhX

feie154ie2

3feV0,i 2be

=++++

=−−∆

Por lo tanto la variación de la tensión de colector tierra del se-gundo transistor de la estructura es:

∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆V V X XA X

A X X XcQ BE i o V i o Vo

i V i Vbe be be be− − − − −= + +−

+

− − − −21 3

1 311 11 2 1 21, , , ,( )

sustituyendo y evaluando:

C/V010,0)237,0499,0(237,06001

034,2600034,20944,00025,0V O2cQ =

−−

⋅−⋅

++−=−∆

8.13 FUENTE DE TENSIÓN CONTRO-LADA POR CORRIENTE

Considerando la figura 8.13.1, donde se muestra el circuito de una estructura realimentada formada por tres etapas emisor común conectadas en cascada; la señal de entrada a la estructura es una fuente de corriente y como salida se define la tensión de colector tierra de la última etapa. Admitiendo que los transistores son iguales, su ga-nancia de corriente tiende a infinito, los parámetros hre y hoe son nu-

165

los y el valor de las resis-tencias son los indicados. Determinar si el funciona-miento del circuito reali-mentado es o no lineal; en caso afirmativo evaluar la relación Vo i/ y la resisten-cia de entrada a la estruc-tura.

Anulando la entrada, abriendo la fuente de co-rriente, se reconoce como perteneciente a la trayecto-ria de realimentación al amplificador formado por el transistor Q2 . El circuito de la estructura modificada se encuentra en la figura 8.13.2; donde se encuentra el modelo unidireccional e identifican los nodos de entrada y salida del mode-lo. Las características de modelo son:

A R R Rentrada salida= − = =∞12

En primer lugar se determina el término 31X , para lo cual se anula la señal de entrada. De la figura 8.13.2 se encuentra que el término 31X posee dos contribu-ciones:

X RR R

RR31 2

12

32

12

1= − + = − + = −

Al evaluar la relación (4.4.3) se comprueba que la estructura posee un comportamiento lineal; sustituyendo en la relación:

FIGURA 8.13.1 FUENTE DE TENSIÓN CON-

TROLADA POR CORRIENTE.

FIGURA 8.13.2 FUENTE DE TENSIÓN CON-TROLADA POR CORRIENTE. ESTRUCTURA MODIFICADA.

166

1 1 1 12

1231− ⋅ = − =X A

De forma análoga se evalúan los restantes parámetros:

R)25

23(R

R2RR3

RRRX

52io −=−=+−= R4)

29

21(R

R2RR

RRR3X

321i −=−=+−=

221

25

R2R

RRX

52o3 −=+−=+−=


V RR

Ro

i = − −−

= −4 21 1

912

12

Para calcular la resistencia de entrada se requiere la resistencia de entrada con el amplificador desvanecido y la ganancia de lazo con los terminales de entrada en cortocircuito:

R Rentrada A= =0 3 X RR R

RRa y a en corto31

22

12

13' =

+=


R R Rentrada realimentada =+

−=3

11 1

712

1312

8.14 AMPLIFICADOR DE TRES ETAPAS (EC, EC, EC) RESPUESTA DE FRE-CUENCIA

Para el circuito de la figura 8.14.1 determinar la ganancia de tensión en función de la frecuencia de la estructura. Todos los transistores se pue-den considerar iguales y sus parámetros: Rhie = , ∞=feh , =oeh hre = 0 ; adicionalmente se puede considerar que todas las resistencias y los con-densadores son del mismo valor e iguales a R y C respectivamente.

167

Analizando el circuito de la figura 8.14.1 se en-cuentra que posee dos con-densadores y por lo tanto su respuesta de frecuencia debe estar formada a lo sumo por la influencia de dos ceros y dos polos. Por ser unidireccional el ampli-ficador formado con el tran-sistor Q3 ; la influencia que introduce C2 en la respues-ta de frecuencia de la es-tructura se encuentra no relacionada con la influen-cia del otro condensador; y se podrá evaluar directa-mente del circuito. El con-densador C1 , que también contribuye con un polo y un cero en la respuesta de fre-cuencia de la estructura, se encuentra ubicado en el seno de un circuito reali-mentado; por lo tanto, la realimentación afectará su influencia. Notar que el cero que introduce 1C no se en-cuentra ubicado en frecuen-cia cero y por lo tanto no podrá emplear la relación (3.3.3); la influencia de la realimentación sobre la ubicación del cero y el polo que produce C1 se debe estudiar en forma general, mediante una relación similar a la dada en (4.5.1).

En general, la expresión algebraica de la ganancia de la estruc-tura en función de la frecuencia será de la forma:

FIGURA 8.14.1 AMPLIFICADOR DE TRES ETA-

PAS. RESPUESTA DE FRE-CUENCIA.

FIGURA 8.14.2 AMPLIFICADOR DE TRES ETA-PAS. ESTRUCTURA MODIFICA-DA.

168

A s A s f sT f( ) ( ) ( )= ⋅ ⋅1 2

donde:

A sf ( ) : Ganancia en función de la frecuencia de la porción realimentada de la estructura.

f s2 ( ) : Efecto en función de la frecuencia introducido por el condensador C2 .

El efecto del condensador C2 se obtiene directamente del circui-to de la figura 8.14.1:

f s s

sR R C

2

7 9 2

1( )

( )

=+

+

Perteneciente a la trayectoria de realimentación, se reconoce y modela la estructura unidireccional formada por el transistor Q2 ; la ganancia del modelo unidireccional es función de la frecuencia; y es:

A s RR

s

sR C

R R C

( ) = −+

+3

4

1

15 1

4 5 1

En la figura 8.14.2 se encuentra la estructura modificada para evaluar los parámetros requeridos por la relación (4.5.1); en ella se incluye el efecto del condensador C2 . Los parámetros X pq son:

XR R

Rf sio = 1 7 9

62 ( ) X

RR Ri1

1

2 6= − X

R RR R

f so37 9

6 82= − ( ) X R

R311

61=

sustituyendo en la ecuación (4.5.1):

)s(fRRRR

s

s

RR

RR

1

s

s

RR

RRR

)s(fR

RR)s( 2

86

97

CRR1CR1

4

3

6

1

CRR1CR1

4

3

61

12

6

47

i

o

154

15

154

15

ee

+

++

+

+

−=

introduciendo los valores de los elementos y operando:

169

ee

o

i

s

s

s

sRC

RC

RC RC RCs

ss

ss

ss

ss

RC

RC

RC

RC

( ) = −+

+

= −+

+

+= −

+

+

+

+

+

12

21

12

22

12

1

2

1

2

12

1

3 12

32

Nótese que para los valores particulares del problema la realimen-tación introduce un polo y un cero; el cero anula el polo definido por 2C y el polo determina la esquina de alta frecuencia de la estructura.

8.15 AMPLIFICADOR COMPUESTO. FET BJT. RESPUESTA DE FRE-CUENCIA

Para la estructura de la figura 8.15.1 determinar la expresión en función de la frecuencia para la ganancia de tensión. Asuma que los parámetros de los transistores son:

Q gm rd1 , →∞ Q h h h hfe ie oe re2 0 0, , ,= = .

Analizando el circuito de la figura se encuentran varias condicio-nes. En primer lugar que los condensadores 1C y 2C no están relacio-nados; por lo tanto, su efecto en función de la frecuencia de la señal de entrada puede ser evaluado por separado. El condensador 1C in-troduce un cero en la función de transferencia de la estruc-tura, ubicado en la frecuencia cero; por lo tanto, su efecto será en baja frecuencia. El condensador 2C anula la se-ñal de salida cuando la fre-cuencia de la información tiende a infinito; o sea, 2C introduce un cero en infinito. Por otro lado; La estructura es realimentada y 1C se encuen-tra fuera del lazo de realimen-

FIGURA 8.15.1 AMPLIFICADOR COMPUES-

TO. FET BJT. RESPUESTA DE FRECUENCIA.

170

tación; en cambio, 2C se encuentra ubicado en el in-terior de la trayectoria de realimentación.

Por lo establecido an-teriormente la función de transferencia de la estructura será una expresión como:

)s(A)s(F)s(vv

fBi

o = ........(8.15.1)

donde )s(FB es la depen-dencia de frecuencia que introduce 1C en la respuesta de la estructura y )s(Af es la ganancia realimentada en función de la frecuencia del resto de la estructura. En la figura 8.15.2 se encuentra una estructura que representa el comportamiento de la relación (8.15.1).

11

B

CR1s

s)s(F+

= ........(8.15.2)

La expresión de la ga-nancia realimentada en fun-ción de frecuencia será de la forma indicada por la rela-ción (4.5.1), particularizada para la estructura de la figura 8.15.2. Analizando la estruc-tura la figura 8.15.2 se puede reconocer e identificar el amplificador formado por 2Q ,

3R y 4R ; que pertenece a la trayectoria de realimentación, el modelo del amplificador es:

)h1(Rh

RhA

fe3ie

4fe

++−= 4saltfe3ieent RR)h1(RhR =++=

FIGURA 8.15.2 AMPLIFICADOR COMPUES-

TO. FET BJT. CIRCUITO IN-CREMENTAL.

FIGURA 8.15.3 ESTRUCTURA MODIFICADA.

CALCULO DE A sf ( ) .

171

En la figura 8.15.3 se encuentra la estructura modificada; Los pa-rámetros pqX requeridos por la relación (4.5.1) serán dependientes de la frecuencia y se obtienen aplicando las relaciones de los ANEXOS:

)Rgm1(ss

sRgm

CRRgm1sCR

RgmRgm1

Rgm)s(X

4a

a4

24

424

4

4Cs1

4Cs1

o,i2

2

++=

++

=+

=

)Rgm1(ssss

Rgm1RRgm

CRRgm1

s

CR1s

Rgm1RRgm

CR

1s

CR1s

Rgm1RRgm

)s(X4a

a

4

ent2

24

4

24

4

ent2

2gm1

4

24

4

ent21,i ++

++

−=+

+

+

+−=

+

+

+−=

)gmR1(ss

s

CRRgm1sCR

1

R)s(X

4a

a

24

424gm

1Cs1

4

gm1

Cs1

0,3

2

2

++=

++

=+

=

X s X s gm R R ss s gm R

gm R Rents

aent3 1 3 0 2

421, ,( ) ( )

( )= =

+ +

Sustituyendo los parámetros en la relación (4.5.1) se obtiene la expresión requerida:

A s gm R ss s gm R

gm R Rgm R

s ss s gm R

h RR

ss s gm R

h RR

ss s gm R

gm R Rf

a

a

ent a

a

fe

ent

a

a

fe

ent

a

aent

( )( )

( ) ( )

( )

=+ +

++

++ + + +

++ +

4

4

2

4 4

4

4

4

42

11 1 1

11

=+ +

++

++ +

++ +

gm R ss s gm R

R Rgm R

s ss s gm R

hR

h RR

ss s gm R

gm R R

a

a

ent a

a

fe

ent

fe

ent

a

aent

4

4

2

4 4

4

42

11 1 1

11

( )( )

( )

[ ] [ ] [ ] =

+ ++

+ + +

+ + + + + +

gm R ss s gm R

R R s s h R s s gm R

gm R s s gm R R R s s gm R h R gm R R sa

a

ent a fe ent a

a ent ent a fe ent a

4

4

2 4

4 4 4 4 211

1

1 1 1( )( ) ( )

( ) ( ) ( )

[ ] =

+ ++

+

+ + + +

gm R ss s gm R

R R s s h

gm R R s s gm R h R gm R R sa

a

ent a f e

ent a fe ent a

4

4

2

4 4 4 211

1 1( )( )

( ) ( )

[ ] [ ]

=+ +

+ + + + + +

+ + + +

gm R ss s gm R

gm R R s s gm R h R gm R R s R R s s h

gm R R s s gm R h R gm R R sa

a

ent a fe ent a ent a f e

ent a fe ent a

4

4

4 4 4 2 2

4 4 4 21

1 1

1 1( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

172

[ ] [ ][ ] [ ]

+++

+++++

++=

4ent2fe4entaent

4ent2fe4entaefent2ent

4a

a4RgmRRh)Rgm1(RsRs

)Rgm1(RRh)Rgm1(RshRRRs)Rgm1(ss

sRgm

[ ][ ]

[ ]

+++

+

++++

+

++=

ent

4ent2fe4enta

efent2ent

4ent2fe4enta

ent

efent2ent

4a

a4

RRgmRRh)Rgm1(R

ss

hRRR)Rgm1(RRh)Rgm1(R

ss

RhRRR

)Rgm1(sssRgm

[ ]

+++

+++

++=

ent

4ent2fe4enta

4a

ent

efent2ent

4a

a4

RRgmRRh)Rgm1(R

ss

)Rgm1(ssR

hRRR)Rgm1(ss

sRgm

[ ]

+++

+=

ent

4ent2fe4enta

ent

efent2enta4

RRgmRRh)Rgm1(R

ss

1R

hRRRsRgm

sustituyendo el valor de as :

[ ]

+++

+=

ent

4ent2fe4ent

24

ent

efent2ent

244f

RRgmRRh)Rgm1(R

CR1s

1R

hRRRCR1Rgm)s(A

........(8.15.3) Por lo tanto, la función de transferencia de la estructura se obtie-ne al multiplicar la relación (8.15.3) por la función )s(FB que aporta el condensador 1C y dada por (8.15.2):

++++

+==

ent

4ent2fe4ent

2411

ent

efent2ent

244fB

i

0

RRgmRRh)Rgm1(R

CR1s

1

CR1s

sR

hRRRCR1Rgm)s(A)s(F)s(

vv

........(8.15.4)

Otra alternativa para calcular la frecuencia de corte en alta, que sólo depende de un condensador y esta influenciada por la realimen-tación presente en la estructura, es utilizar la relación (3.3.8); o direc-tamente evaluar el inverso de la constante de tiempo del condensador

2C que se encuentra dentro del lazo de realimentación; para lo cual se debe calcular la resistencia vista entre los terminales del condensador

173

empleando la relación de Blackman (5.1.6). Ambas alternativas requieren de evaluar la ganancia de lazo a frecuencias medias; la es-tructura modificada para los cálculos a frecuencias me-dias se indica en la figura 8.15.4; se indican los puntos a y a' entre los cuales se debe calcular la resistencia.

Para aplicar la relación (3.3.8) se debe calcular la constante de tiempo del condensador 2C anulando el amplificador A ; o sea, la resistencia vista entre los puntos a y a' de la figura 8.15.4:

4

4gm1

4'aa gmR1RRR

+==

por lo tanto, la frecuencia sin realimentación es:

42

4a RC

gmR1w +=

El factor de realimentación a frecuencias medias:

ent

4ef

4

ent2

ent

4efent2

gm1

4

gm1

1,3 R

Rh

Rgm1RRgm

1R

RhRRgm

R1AX1

++=

++=−

Por medio de la relación (3.3.8) obtenemos la frecuencia de es-quina de la estructura realimentada:

[ ]

++=

++

+=−=

ent

4feent24ent

42ent

4fe

4

ent2

42

41,3afa R

RhRRgm)Rgm1(R

RC1

RRh

Rgm1RRgm

1RC

Rgm1AX1ww

....... (8.15.5)

La relación de Blackman requiere de la ganancia de lazo de la estructura condicionando los puntos a y a' de la figura 8.15.4; así como la resistencia vista entre los puntos anulando la ganancia del


FRECUENCIAS MEDIAS.

174

amplificador. Uniendo los puntos la ganancia de lazo en nula; en cam-bio, para circuito abierto corresponde con la determinada en la alterna-tiva anterior. La resistencia entre los puntos también es la calculada anteriormente. La resistencia entre los puntos de la estructura reali-mentada será:

ent

4fe

4

ent24

4acen'a,a31

ccen'a,a31'aaf'aa

R

Rh

Rgm1RRgm

1

1Rgm1

RXA1XA1

RR

++

+=

⋅−

⋅−=−

++=

++

+==

− ent

4feent24ent

42ent

4fe

4

ent2

42

4

f'aa2fa R

RhRRgm)Rgm1(R

RC1

RRh

Rgm1RRgm

1RC

Rgm1RC

1w

........(8.15.6)

Las expresiones (8.15.5) y (8.15.6) son iguales y corresponden con la frecuencia de corte en alta frecuencia en la relación (8.15.4).

8.16 AMPLIFICADOR DE TRES ETAPAS (EC, EC, EC) REALIMENTADO POR RESISTENCIA COMÚN

Considerando la figura 8.16.1, donde se muestra el circuito de una estructura realimentada formada por tres etapas emisor común conectadas en cascada. La realimentación se introduce mediante una resistencia común a los emisores de las tres etapas. Admitiendo que los transistores son iguales, su ganancia de corriente tiende a infinito, los parámetros hre y hoe son nulos y todas las resistencias poseen el mismo valor. Determinar si el funcionamiento del circuito realimentado es o no lineal; en caso afirmativo evaluar la función de transferencia de tensión de la estructura.

Anulando la entrada y considerando como locales la realimenta-ción introducida por cada una de las resistencias ubicadas en los emi-sores de los transistores; se reconocen tres trayectorias cerradas. Una de ellas la constituye la cascada de los amplificadores base común y

175

colector común formados por los transistores Q1 y Q2 , cie-rra la trayectoria el nodo de unión de las resistencias

2R , R4 y R5 . El segundo lazo cerrado presenta una estruc-tura similar a la anterior, la cascada de los amplificadores formados por Q2 y Q3 , y el nodo definido por la unión de las resistencias R4 , R5 y R7 . La tercera trayectoria no es mas que la cascada de los tres amplificadores formados por los transistores Q1 , Q2 y Q3 y el nodo de unión de las cuatros resistencias: R2 , R4 , R5 y R7 .

De la figura 8.16.1 se puede observar que al anular el flujo de información en la primera y segunda trayectoria definidas, como con-secuencia de suprimir la transferencia de información entre el colector de la base de los pares de transistores Q Q1 2− y Q Q2 3− , automáti-camente se anula la tercera trayectoria cerrada. Por lo tanto para determinar la fun-ción de transferencia basta con modelar dos puntos; per-tenecientes cada uno de ellos al conductor que une cada par de transistores.

En la figura 8.16.2 se encuentra el diagrama circuital de la estructura modificada, incluyendo los modelos de los

FIGURA 8.16.1 AMPLIFICADOR DE TRES

ETAPAS. REALIMENTADO POR RESISTENCIA COMÚN.

FIGURA 8.16.2 AMPLIFICADOR DE TRES

ETAPAS.. ESTRUCTURA MODIFICADA.

176

puntos:

A A R R R Rentrada entrada salida salida1 2 1 2 1 21 0= = = = = =∞

Directamente del circuito de la figura 8.16.2, empleando las expre-siones del ANEXO 1 se obtienen los parámetros X pq .

XR

R R R R

R RR R R R Ri o

i=

+ + ==1 1

46

7 2 4 5

4 5

2 4 5

XR

R R R R

R RR R R R Ro

i31

6

7 2 4 5

2 5

4 2 51 1

4, =+ + =

=

XR

R R R R R Roi

326

7 2 4 51 3

4, =−+ =

= −

XR

R R R R R Rii

, 111

2 4 5 7

34

= −+ =

= −

XR

R R R R

R RR R R R Ri

i, 12

3

4 2 5 7

5 7

2 5 71 1

4=

+ + ==

XR

R R R R

R RR R R R Ri

31 111

2 4 5 7

5 7

4 5 71 1

4, =+ + =

=

43

RRRRRRR

Xi7524

312,31 −=

=+−=

41

RRRRRRR

RRRRR

1Xi547

54

7542

111,32 =

=++=

411

527

52

7524

312,32 =

=++=

RRRRRRR

RRRRR

Xi

Aplicando la expresión (4.4.6) se comprueba si la estructura po-see un comportamiento lineal: 0)1()1( 2111,3212,31212,32111,31 >−−− AAXXAXAX

177

para la estructura analizada se tiene:

( ) ( )114

1 114

134

14

1 134

34

316

34

− − + ⋅ = + =

Dado el resultado anterior la estructura realimentada presenta un comportamiento lineal. La función de transferencia de la estructura se obtiene particula-rizando la relación (4.3.11); para lo cual se requiere realizar previa-mente algunas operaciones:

[ ] [ ][ ]

−

=

−−

=−

−−−

3313

124

1001

XA1

41

43

41

41

1j1,i3

1

32

4143

3313

314

341

41

1ee

i

o −=

−

−

−=

8.17 AMPLIFICADOR DE POTENCIA REALIMENTADO

Los amplificadores de salida de los equipos utilizados para re-producir audio generalmente son una estructura similar a la indicada en la figura 8.17.1-a; la cual es realimentada negativamente para dis-minuir apreciablemente la distorsión que presentan las etapas de po-tencia; la estructura posee un diagrama de bloques similar al indicado en la figura 8.17.1-b. Generalmente el amplificador de potencia lo constituyen dos transistores complementarios conectados como se-guidores de emisor polarizados en clase B y denominada push-pull; tal polarización ocasiona que la característica de transferencia de tensión presente una no linealidad conocida como distorsión de cruce por cero

178

(crossover). El esquema y un modelo para la estructura interna del amplificador de potencia se encuentran en la figura 8.17.1-a, donde se incluyen diodos ideales y fuentes de tensión constantes para modelar la distorsión de la etapa de potencia. El preamplificador A1 , incluido en la figura 8.17.1-b, permite la realimentación negativa de la estructura y además mantiene o aumenta el modulo de la ganancia de tensión de la estructura realimentada, dependiendo del valor asignado a las resis-tencias R1 y R2 . Con el fin de comparar la distorsión de cruce por ce-ro; en el presente problema los valores de las resistencias R1 y R2 fueron asignados para obtener aproximadamen-te el mismo módulo de la ga-nancia de tensión. Determinar las características de transfe-rencia de tensión tanto del amplificador de potencia como de la estructura realimentada.

Para encontrar la fun-ción de transferencia del am-plificador de potencia de la figura 8.17.1-a basta con con-siderar que la tensión sobre la

FIGURA 8.17.1 AMPLIFICADOR DE POTENCIA REALIMENTADO.

(a) ESQUEMA Y MODELO PARA EL AMPLIFICADOR DE PO-TENCIA.

(b) ESTRUCTURA REALIMENTADA.

Vo

Ven

Vd

-Vd

1

1

FIGURA 8.17.2 FUNCIÓN DE TRANSFEREN-

CIA DE TENSIÓN DEL AM-PLIFICADOR DE POTENCIA.

179

resistencia de entrada a la etapa de salida del amplificador es nula si los diodos se encuentran cortados. Para que alguno de los diodos conduzca se requiere que la tensión de entrada supere la tensión de la fuente Vd ; una vez que la tensión de entrada supera tal valor, entra en conducción uno de los diodos; en estas condiciones la entrada neta a la etapa de salida será la entrada más la tensión de la fuente constan-te Vd , que se encuentra en oposición a la tensión de entrada; la expre-sión será:

Vo Ven Vd=

≤0 V V Vo en d Ven Vd

= −≥

Un gráfico que representa las relaciones anteriores se encuentra en la figura 8.17.2. Para la construcción del gráfico se consideraron la condición de conducción de los diodos y la señal de entrada a la etapa de potencia. Al emplear como estructura unidireccional el preamplificador A1 se forma un circuito cuyo diagrama se indica en la figura 8.17.3, donde se identifican los puntos 1 y 3.

Para el análisis de la estructura realimentada se debe considerar que el amplificador modelado presenta un intervalo de la señal de en-trada para el cual su ganancia es nula, como se indica en su función de transferencia. De la función de transferencia del amplificador, ver figura 8.17.2, se encuentra que los puntos definidos para las tensiones de entrada Vd y −Vd pertenecen a las dos trayectorias de la tensión de salida, aquella cuya pendiente es unitaria y para la trayectoria con pendiente nula; por tal razón analizaremos la estructura realimentada e impondremos interva-los de valides de la res-puesta obtenida.

La tensión de sali-da del circuito de la figu-ra 8.17.3 se obtiene con-siderando las dos seña-les de entrada: Vin y Vd . Los parámetros X pq se obtienen directamente

FIGURA 8.17.3 ESTRUCTURA MODIFICADA DEL

AMPLIFICADOR REALIMENTADO.

180

del circuito de la figura 8.17.3. Aquellos parámetros no relacionados con las entradas serán los mismos, en cambio los relacionados con las entradas son diferentes:

X XR R

R R Roin

in3 3 1

1

1 21= =

+

para la entrada Vin :

XR R

R R RXi

in

ini o1

2

2 10=

+=

para la entrada equivalente a la tensión umbral de los diodos, Vd :

XR R

R R RXi

in

ini o1

1

1 21 1=

+=

Para valores negativos de Vin la tensión de salida del amplifica-dor realimentado será:

V VXA X

X V XXA X

Xo ini

o d i oi

o=−

+ +−

1

3 13

1

3 131 1

+−

+++

+−

+= 1

RRRRR

A1

ARRR

RR

1V1

RRRRR

A1

ARRR

RR

VV

21in

1in

21in

1in

d

21in

1in

12in

2in

ino

+

++

−= d

12in

2inin

21in

1ino VA

RRRRR

V

RRRRR

A1

1V

(( (VR R R R R

R R R A R RV

R R

R R R R RA Vo

in in

in inin

in

in ind=

+ +

+ + − + ++

1 2 1

2 1 1

2

2 1 21

)

) ( ) )

((

(V VR R

R R R A R RA V

R R R R R

R R R A R Ro inin

in ind

in in

in in=

+ + −+

+ +

+ + −2

2 1 1

1 2 1

2 1 11 1) ( )

)

) ( )

0inVd2in1o VkVkV

≤+=

En general; por ser la ganancia del amplificador negativa y su

181

módulo mayor que la unidad se tiene que k1 es una constante negati-va cuyo módulo es mayor que la unidad; en cambio k2 es una cons-tante positiva menor que la unidad. En aquellos casos donde se em-plee un amplificador cuya ganancia sea muy grande, la expresión de la tensión de salida tiende a:

V RR

Vo in= − 2

1

Relación que permite concluir que aumentando el factor de re-alimentación de la estructura la distorsión en la tensión de salida dis-minuye; cuando la ganancia del amplificador A1 tiende a menos infinito la distorsión es nula, como se desprende de la relación anterior. Particularizando para los valores considerados en el planteamien-to del problema la tensión de salida de la estructura realimentada es:

0inVdino V023,0V976,0V

≤+−=

Para construcción de la gráfica de la función de transferencia de la estructura realimentada basta con tomar en cuenta que para el in-tervalo de valores de la entrada correspondientes a la zona muerta los diodos se encuentran cortados y por lo tanto la salida del amplificador será nula; y para valores positivos de la señal de entrada la salida será similar a la obtenida. La función de transferencia de tensión se en-cuentra en la figura 8.17.4. Comparando los gráficos de las figuras 8.17.2 y 8.17.4, para los mismos niveles de la ten-sión de salida en ambos casos, se puede concluir que el amplificador reali-mentado presenta menor distorsión que el amplifi-cador de potencia.

Vo

Vin 0,0236 Vd

-0,0236 Vd

-0,976

- 0,976

FIGURA 8.17.4 FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA DE TENSIÓN DEL AMPLIFICADOR REALIMENTADO.

182

8.18 AMPLIFICADOR COMPUESTO. TRANSISTORES COMPLEMENTA-RIOS

Para la estructura de la figura 8.18.1 calcular la ganancia de tensión y las impedancias de entrada y salida. Los transistores pueden considerarse complementarios y sus parámetros son: hf e = 100 , h kie = 4 Ω , hre y hoe son nulos.

Con el fin de ilustrar que una estructura realimentada siempre podrá ser analizada empleando varias alter-nativas, la expresión de la ganancia de tensión se obtendrá reconociendo dife-rentes tipos de fuentes controladas y procediendo a emplear las relacio-nes apropiadas a cada caso.

Anulando la señal de entrada se reconocen dos trayectorias ce-rradas. Pertenecientes a las trayectorias se encuentran dos fuentes controladas; una de ellas la propia fuentes controlada del modelo del transistor 2Q , que rompe el lazo de realimentación formado por 2Q , 2R y 4R ; el modelo de un punto co-rrespondiente a la unión entre el colector de 2Q y el emisor de 1Q constituye la segunda fuente con-trolada. Las dos fuentes controla-das permiten realizar el análisis de la estructura empleando la relación (4.3.12), en la figura 8.18.2 se en-cuentra la estructura modificada,

FIGURA 8.18.1 AMPLIFICADOR COMPUESTO.

FIGURA 8.18.2 ESTRUCTURA MODI-

FICADA I.

183

donde la constante de proporcionalidad de la fuente controlada de corriente será:

efhk −= .

Directamente de la figura 8.18.2 se encuentran los parámetros qpX :

)h1(RhR

RhX

ef31ei1

4ef0i +++

−=

)h1(RhR

RhX

ef31ei1

4ef0,31 +++= 40,32 RX −= 0X 11,i =

2ei2

2

ef31ei1

ef12,i hR

R)h1(RhR

hX

++++−=

0X 11,31 = 2ei2

2

ef31ei1

ef12,31 hR

R)h1(RhR

hX

++++= 311,32 RX = 0X 12,32 =


++++−

++++−

•

•

−

++++++−=

−

2ei2

2

ef31ei1

ef

1

2ei2

2

ef31ei1

ef3

4ef31ei1

4ef

ef31ei1

4ef

S

o

hRR

)h1(RhRh

0

0hR

R)h1(RhR

hR0

k1001

1

R)h1(RhR

Rh)h1(RhR

Rhvv

....... (8.18.1) operando:

++++−

−=

++++−

k1

hRR

)h1(RhRh

R1

0hR

R)h1(RhR

hR0

k1001

2ei2

2

ef31ei1

ef3

2ei2

2

ef31ei1

ef3

++++

=

++++−

− −

1hR

R)h1(RhR

h

Rk1

1

k1

hRR

)h1(RhRh

R1

2ei2

2

ef31ei1

ef

31

2ei2

2

ef31ei1

ef3

∆

184

donde: 2ei2

32

ef31ei1

ef

hRRR

)h1(RhRh

k1

++++−=∆

++++−

++++−

=

=

++++−

++++

2ei2

2

ef31ei1

ef

2ei2

2

ef31ei1

3ef

2ei2

2

ef31ei1

ef

2ei2

2

ef31ei1

ef

3

hRR

)h1(RhRh1

hRR

)h1(RhRRh1

hRR

)h1(RhRh

0

1hR

R)h1(RhR

h

Rk1

1

∆

∆

∆


++++

++++•

•

−

++++++−=

2ei2

2

ef31ei1

ef

2ei2

2

ef31ei1

3ef

4ef31ei1

4ef

ef31ei1

4ef

S

o

hRR

)h1(RhRh1

hRR

)h1(RhRRh1

1

R)h1(RhR

Rh)h1(RhR

Rhvv

∆

∆

considerando que los parámetros de los transistores son iguales, ope-rando y simplificando se tiene:

[ ] )hR()h1(RhRRRhh)hRRh(Rh

vv

ei2ef3ei132efef

ei22ef4ef

S

o+++++

++−= ........(8.18.2)

Una segunda alternativa para calcular la ganancia de tensión se plantea reconociendo y modelando como estructuras unidireccionales las fuentes controladas de corriente de los propios transistores, 1Q y

2Q ; tal alternativa, permite poner en evidencia todos los lazos de re-alimentación de la estructura. En la figura 8.18.3 se encuentra la es-tructura modificada, considerando las fuentes controladas de corriente de ambos transistores como fuentes unidireccionales. De la figura 8.18.3 se obtienen los parámetros qpX :

1ef1 hk −= 2ef2 hk −= 0X 0i = 40,31 RX =

185

40,32 RX −= 0X 12,i =

31ei1

311,31 RhR

RX

++=

2ei2

212,31 hR

RX+

=

31ei1

311,32 RhR

RX++

−=

0X 12,32 = sustituyendo en la relación (4.3.12):

[ ]

++

+

++−

++−

•

•−=

−

0hRR

R

0hR

RhRR

RhRR

R

k10

0k1

1

RR0vv

1ei31

3

1

2ei2

2

1ei31

3

1ei31

3

2

1

44S

o

....... (8.18.3)

operando:

+−

++++−

=

+

++−

++−

22ei2

2

1ei31

3

1ei31

3

1

2ei2

2

1ei31

3

1ei31

3

2

1

k1

hRR

hRRR

hRRR

k1

0hR

RhRR

RhRR

R

k10

0k1

++−

+

++−

∆=

+−

++++−

−

131

3

122

2

131

3

2

1

222

2

131

3

131

3

1

1

11

1

1

eiei

ei

ei

eiei

hRRR

khRR

hRRR

k

khRR

hRRR

hRRR

k

donde: 2ei2

2

1ei31

3

1ei31

3

12 hRR

hRRR

)hRR

Rk1(

k1

++++

++−=∆

FIGURA 8.18.3 ESTRUCTURA MODIFICADA II

186

+++

++=

++

++−

+

++−

1ei31

3

2ei2

2

1ei31

3

21ei31

3

1ei31

3

12ei2

2

1ei31

3

2

hRRR

hRR

hRRR

k1

1

0hRR

R

hRRR

k1

hRR

hRRR

k1

1∆∆

sustituyendo en (8.18.3) y considerando los parámetros de los transis-tores iguales, operando y simplificando se tiene:

[ ] )hR()h1(RhRRRhh

)hRRh(Rh

vv

ei2ef3ei132efef

ei22ef4ef

S

o+++++

++−= ........(8.18.4)

Dada la presencia de un ele-mento nulo en la diagonal principal de la matriz de realimentación RM obtenida al plantear la segunda al-ternativa de análisis, se puede ase-gurar que existe una opción para calcular la expresión de ganancia de la estructura reconociendo y mode-lando una sola fuente unidireccional, la que posee realimentación local; y que tal fuente controlada interrumpe los dos lazos de realimentación si-multáneamente. En este caso la fuente unidireccional es la fuente de corriente controlada del modelo del transistor 1Q . En la figura 8.18.4 se tiene la estructura modificada considerando la propia fuente de corriente del transistor 1Q como fuente unidireccional; el efecto que sobre el comportamiento de la es-tructura ejerce la fuente controlada de 2Q no considerada en éste planteamiento se manifiesta al formar parte de los parámetros qpX , específicamente algunos de ellos dependerán de 2efh o 2ieh . Los pará-metros del modelo para la estructura unidireccional reconocida 1Q son:

1ie1ef hhk −= .

Directamente de la figura 8.18.4 se encuentran los parámetros X pq :

FIGURA 8.18.4 ESTRUCTURA MODIFICADA III.

187

0X 0i = 1ei31

1,i hRR1X++

=

31ei1

3

2ei2

22ef

31ei1

32Qc13 RhR

R)hR

Rh1(RhR

R)i1(X+++

+=++

+=

como la tensión 44Ro Riv = se tiene:

42ei2

22ef3

2ei2

2ei3o R

hRR

)h1(ihR

hiv

+++

+=

el parámetro 03X es:

22222

43 )1( Rhh

hRR

X efeiei

o +++

=


31ei1

3

2ei2

22ef1ef

22ef2ei2ei2

41ef

31ei1

s

o

RhRR)

hRRh1(h1

R)h1(hhR

RhRhR

1

vv

+++++

+++++

−=

considerando los parámetros de los transistores iguales y simplifican-do se tiene:

[ ] )hR()h1(RhRRRhh

)hRRh(Rh

vv

ei2ef3ei132efef

ei22ef4ef

S

o+++++

++−= ....... (8.18.5)

Comparando las matri-ces de realimentación de las relaciones (8.18.1) y (8.18.3) se puede constatar que la matriz de realimentación en la expresión (8.18.1) solamente posee dos elementos no nu-los; en cambio, en la relación (8.18.3) se encuentran tres. La diferencia en las matrices de realimentación tiene su origen en el procedimiento empleado para encontrar la


IMPEDANCIA DE ENTRADA.

188

respuesta de la estructura; en la primera alternativa, se emplea el recur-so de un circuito equivalente, el cual enmascara en la solución uno de los elementos de la matriz, como se establece en el capítulo 4. Para evaluar la impedancia de entrada basta con aplicar la rela-ción (5.3.1). En la figura 8.18.5 se encuentra la estructura modificada y condicionada para los cálculos; directamente de la figura se obtienen los parámetros: 31ei10i RhRX ++= 30,31 RX −= 30,32 RX = 1X 11,i = 0X 12,i =

0X 11,31 = 2ei2

212,31 hR

RX+

= 0X 11,32 = 0X 12,32 =


[ ]

+−

•−++=

−

01

0hR

R00

k10

0k1

1

RRRhRiv

1

2ei2

2

2

13331ei1i

o

operando se tiene:

2ei2

322ef1ef1ei1

2ei2

221331ei1

i

o.ent hR

RRhhhR)1hR

Rkk(RRhRivR

+++=−

++++==

........(8.18.6)

La impedancia de sali-da de la estructura es eviden-te que resulta ser 4R ; por ser nulos los parámetros qpX relacionados con la entrada y las ramas de control de cada una de las fuentes de corrien-te controlada empleadas en la estructura modificada, ver figura 8.18.6; las fuentes con-troladas de corriente se abren para calcular los parámetros. Nótese que la resistencia 4R

FIGURA 8.18.6 ESTRUCTURA MODIFICADA. IMPEDANCIA DE SALIDA.

189

queda fuera de todos los lazos de realimentación de estructura, como se puede ver en la matriz de realimentación, todos sus elementos son independientes de R4 . Por lo tanto:

4i

o.sal R

ivR == ....... (8.18.7)

8.19 MODIFICACIÓN DEL NIVEL DE IMPEDANCIA

Para el amplificador de dos etapas cuyo circuito se encuentra en la figura 8.19.1, admitiendo que todos los transistores son iguales, con parámetros 0hh,600h,100h:Q reoeiefe ==== Ω ; y los valores de las resistencias son: 1,0R1 = ; 22R2 = ; 2,2R3 = ; 5,1R4 = ; 56,0R5 = , todos expresados en Ωk . Determinar los nodos que colocando una resisten-cia entre ellos permite modificar el nivel de la resistencia de entrada o salida de la estructura; así mismo, encontrar la expresión en función de los parámetros circuitales para las resistencias de entrada y salida de la estructura modificada y su tendencia en relación con el valor asignado a la resistencia para establecer la realimentación añadida.

Considerando la figura 8.19.1 y analizando el circuito incremental de la estructura se determina que los nodos identificados como 1E ,

1B , 2B , 2E y 2C , ver figura 8.19.2, se pueden emplear para realimentar la es-tructura y alterar de ésta forma el nivel de la impe-dancia de entrada o salida, según los nodos designa-dos. El punto 2C correspon-de con un nodo de origen; los denominado 1E y 1B sólo pueden ser usados co-mo puntos finales para la parte externa de la realimen-

FIGURA 8.19.1 AMPLIFICADOR DE DOS ETAPAS

MODIFICACIÓN DE IMPEDANCIA.

190

tación añadida a la estructura cuando en-tre los puntos de ori-gen y final se agrega una resistencia FR . En cambio, los no-dos 2B y 2E pueden ser usados como pun-tos de origen o final para la trayectoria externa. Seleccionan-do los nodos 2B y 2E como origen es preci-so tomar los nodos 1E y 1B como puntos finales de la trayectoria. Nó-tese que las señales en 2B y 2E poseen la misma fase; y por lo tanto, al tomar 2B o 2E como nodo de origen para la realimentación el com-portamiento obtenido será equivalente.

Examinando la estructura de la figura 8.19.2, para estudiar los cambios en el nivel de la impedancia de entrada, se reconoce que por la rama que une el colector de 1Q con la base de Q2 fluye toda la in-formación que procesa la estructura; por lo tanto, al modelar un punto de ella, en sentido contrario del fluir de la información, se obtiene la estructura modifica-da de la figura 8.19.3, ver ANEXO 3. En relación a la condición que impo-ne que la expresión de 13X debe incluir en su argumento algún elemento cir-cuital presente en el parámetro oiX ; se puede constatar que empleando los no-dos 1E y 1B como

FIGURA 8.19.2 ESTRUCTURA MODIFICADA. NODOS

1E , 1B , 2B , 2E y 2C .

FIGURA 8.19.3 ESTRUCTURA MODIFICADA. IMPEDAN-

CIA DE ENTRADA.

191

puntos finales para el recorrido externo de la realimentación, existen elementos comunes en sus argumentos; para su demostración, basta con notar que desvaneciendo el amplificador modelado y utilizar cual-quiera de los dos nodos para cerrar el lazo de realimentación; la resis-tencia FR se encuentra presente en el argumento, tanto de la impedan-cia de entrada a la estructura como de la ganancia de tensión que sumi-nistra el transistor 1Q , ver ANEXO 1.

Uniendo mediante la resistencia FR los nodos 2C y 1B e impo-ner la condición de circuito abierto en los terminales de entrada a la estructura se tiene:

0KAvAvX 121221caen'a,a31 == −− .......................... (8.19.1)

expresión que resulta nula, por ser nula la ganancia que suministra 1Q cuando su emisor se encuentra al aire, como lo imponen las condicio-nes establecidas para los terminales de entrada.

Uniendo los puntos a y á se tiene:

F2

2

ef1eiF2

3ef

ef5ei3

1hhR

2F4efccen'a,a31 RR

R)1h(RhRR

Rh

)1h(RhR

RRRhKAvAvX

ef

ei1

121221 +++++++==

++

+

−−

.......................... (8.19.2)

Expresión que es positiva; asignando a la resistencia FR los valores infinito y cero, al evaluar la relación (8.19.2) se tiene:

0XFR

ccen'a,a31 =∞=

38,2X0FRccen'a,a31 =

=

Considerando que ccen'a,a31X es una expresión de FR formada por el cociente entre una función lineal y una cuadrática, con todos sus coeficientes positivos, se puede decir que ccen'a,a31X es una función cóncava hacia arriba. Por lo tanto, dado los valores que toma

ccen'a,a31X para los valores extremos de FR se puede asegurar que existe un valor de FR para el cual la estructura realimentada satisface

192

la condición establecida por (5.4.3); o sea 1X ccen'a,a31 = . Valor que se calcula despejándolo de la relación (8.19.2), resultado para este caso:

Ωk365RF = , con este valor se tiene:

==

0X1X

caen'a,a31

ccen'a,a31 ..........................(8.19.3)

En consecuencia la impedancia de entrada a la estructura será nula; en cambio, asignándole a FR valores mayores la impedancia de entrada simplemente disminuye de valor. Para valores de FR menores que Ωk365 no se satisface la condición de linealidad y la estructura no se comportará como un amplificador.

La alternativa de unir 2C con 1E por medio de una resistencia FR da como resultado una expresión del tipo:

KAvAvX 12122131 −−−= ..........................(8.19.4)

en donde todos los términos son positivos y la constante K cambia de valor dependiendo del condicionamiento impuesto a los terminales de entrada. Por ser negativo el parámetro 31X se satisface la condición de linealidad para todo valor de FR . La realimentación propuesta se puede emplear para alterar el nivel de la impedancia de entrada, sin considerar valores particulares para FR . En estos casos los paráme-tros 31X serán:

F1

1

efF1ei2

3ef

ef5ei3

f

ei21F4ef

ccen'a,a31 RRR

)1h(RRhR

Rh

)1h(RhR

1ehhR

RRRh

X+++++++

+

++

−=

..........................(8.19.5)

)1h(RhRRh

)1h(RhR

1ehhR

RRh

XefFei2

3ef

ef5ei3

f

ei2F4ef

caen'a,a31 ++++++

++

+

=

− ..........(8.19.6)

se puede demostrar que independientemente de los valores de las resistencias, las relaciones anteriores son tales que:

193

ccen'a,a31caen'a,a31 XX < .......................... (8.19.7)

Dado que se satisface la relación (5.4.5) la impedancia de entra-da disminuirá, pero no podrá anularse puesto que no existe valor de

FR que haga ccen'a,a31X igual a la unidad.

Colocando la resistencia FR entre los nodos 2E y 1B se tiene:

KAvAvX 12123131 −−−= .......................... (8.19.8)

Condicionando los terminales de entrada solamente se altera la magnitud del término 121Av − , por lo tanto siempre se satisface la con-dición de linealidad dada por (5.4.4). Para el presente caso, del circuito de la figura 8.9.3 se tiene: 0X caen'a,a31 = .......................... (8.19.9)

por resultar nulo el factor 121Av − cuando la resistencia Thévenin del emisor de 1Q tiende a infinito.

Uniendo los terminales de entrada se tiene:

F2

2

ef1eiF2

3ef

ef

ei12F5efei3

ef

ei12F5ef

ccen'a,a31 RRR

)1h(RhRRRh

1hhR

RRR)1h(hR

1hhR

RRR)1h(X

+++++

+++++

++

++

−=

........................ (8.19.10)

Comparando (8.19.9) con (8.19.10) se concluye que empleando los nodos 2E y 1B , como puntos inicial y final para el recorrido externo de la realimentación, el valor de la impedancia de entrada aumenta; dado que se cumple la relación (5.4.6):

ccen'a,a31caen'a,a31 XX > ........................ (8.19.11)

Como otra alternativa para modificar la impedancia de entrada se tienen los nodos 2E y 1E ; empleados como punto inicial y final del recorrido externo respectivamente, ver figura 8.19.3. La forma general de 31X es:

KAvAvX 12123131 −−= ........................ (8.19.12)

194

relación que posee todos sus términos positivos, puesto que al cambiar las condiciones de los terminales sólo cambia la magnitud de sus facto-res. Considerando el signo positivo de (8.19.12) para comprobar la con-dición de linealidad se debe estudiar su magnitud, ver relación (5.4.4).

)1h(RhRRh

1ehhR

RR)1h(hR

1ehhR

RR)1h(

XefFei2

3ef

f

ei2F5efei3

f

ei2F5ef

caen'a,a31 +++

++

++++

++

++

=

........................(8.19.13)

F1

1

efF1ei2

3ef

f

ei21F5efei3

f

ei21F5ef

ccen'a,a31 RRR

)1h(RRhRRh

1ehhR

RRR)1h(hR

1ehhR

RRR)1h(

X++++

++

++++

++

++

=

........................(8.19.14) Para ∞=FR la realimentación es nula; o sea, 0X 31 = ; en cam-bio, para el otro valor extremo, 0RF = , se tiene que al evaluar (8.19.13) y (8.19.14) ambos resultan mayor que la unidad. Por lo tanto, dado que las expresiones son funciones de FR que presentan conca-vidad hacia arriba, existirán valores para los cuales se satisface la condición de linealidad. Para todo valor de FR , desarrollando y comparando las relacio-nes (8.19.13) y (8.19.14) se tiene que:

)1h(RhRRh

1ehhR

RR)1h(hR

1ehhR

RR)1h(

RRR

)1h(RRhR

Rh

1ehhR

RRR)1h(hR

1ehhR

RRR)1h(

efFei2

3ef

f

ei2F5efei3

f

ei2F5ef

F1

1

efF1ei2

3ef

f

ei21F5efei3

f

ei21F5ef

+++

++

++++

++

++

<

<++++

++

++++

++

++

........................(8.19.15)

Resultado que permite confirmar que existen valores de FR con

195

los cuales se satis-face la condición dada por (5.4.6); o sea, el nivel de la impedancia de en-trada aumenta aña-diendo realimenta-ción a la estructura original. Nótese que to-mar el nodo 2B co-mo origen para el recorrido externo es equivalente a toma 2E , solo se altera el valor de la resistencia FR requerido para obtener un cambio dado en la impe-dancia de entrada. Para estudiar el efecto que sobre la impedancia de salida ejerce la realimentación añadida nos apoyaremos en primer lugar en el circui-to de la figura 8.19.4, procediendo de una forma similar a la empleada para la impedancia de entrada. Las dos alternativas que partiendo del nodo 2E permiten realizar la realimentación, pueden ser descartadas directamente puesto que en el argumento de 31X no se encuentra ningún elemento circuital que forme parte del argumento del parámetro

oiX , evaluado para el circuito de la figura 8.19.4.

Para la alternativa que resulta de unir mediante la resistencia FR los nodos 2C y 1E se tiene que el parámetro 13X con los terminales de salida en circuito abierto es:

F1

1

efF1ei2

3ef

5efei3

ef

ei21F4ef

caen'a,a31 RRR

)1h(RRhR

Rh

R)1h(hR

1hhR

RRRh

X+++++++

+

++

=

−

........................ (8.19.16)

Al unir los puntos a y á , la ganancia de 2Q se anula, por lo tanto:

0X ccen'a,a31 = ........................ (8.19.17)

FIGURA 8.19.4 ESTRUCTURA MODIFICADA. IMPEDANCIA

DE SALIDA.

196

resultados que implican satisfacer las condiciones de linealidad; al comparar las relaciones anteriores se tiene: caen'a,a31ccen'a,a31 XX > ........................(8.19.18)

La expresión (8.19.18) coincide con (5.4.5), hecho que denota que la impedancia de salida de la estructura realimentada disminuye con relación a la impedancia de la estructura original. Una opción más para modificar la impedancia de salida, em-pleando el modelo planteado en la figura 8.19.4, se tiene al relacionar los nodos 2C y 1B mediante la resistencia FR . Al igual que el caso anterior y por la misma razón, el parámetro ccen'a,a31X resulta nulo. Cuando los terminales se dejan en circuito abierto se tiene:

F2

2

ef1eiF2

3ef

5efei3

ef

ei12Fef

caen'a,a31 RRR

)1h(RhRRRh

R)1h(hR

1hhR

RR4RhX

+++++++

++

+

=

........................(8.19.19)

Se debe analizar los valores que puede tomar la relación (8.19.19) al asignar diferentes valores para la resistencia FR . Para el valor infinito de FR la estructura se encuentra en lazo abierto y el pa-rámetro caen'a,a31X será nulo y cuando el valor de FR es nulo la expre-sión es mayor que la unidad; por lo tanto, considerando la concavidad de la expresión existirá un valor de FR para el cual caen'a,a31X sea unitario. Con tal valor de FR se satisfacen tanto la condición de lineali-dad como también la relación (5.4.2); y en consecuencia de éstos dos hechos la impedancia de salida de la estructura realimentada tenderá a infinito. Para un valor de FR mayor que el anterior el parámetro

caen'a,a31X será positivo; satisfaciéndose la relación (5.4.6) se tiene como resultado que la impedancia de salida aumenta, sin llegar a ser infinito. Para el circuito propuesto, el valor de FR con las condiciones dadas en (5.4.2) se obtiene al igualar (8.19.19) a la unidad; resultando

Ωk4,45RF = .

Analizando el circuito modificado de la figura 8.19.2 se comprue-ba que 2B no puede ser utilizado como nodo de origen para alterar la

197

impedancia de sali-da; basta con notar que al asignar como final un nodo que lo anteceda, como 1E o

1B , el lazo de reali-mentación no inclui-ría ningún elemento circuital que forme parte del argumento del parámetro oiX , por efecto de aisla-miento que ejerce la fuente controlada de 2Q .

Como última alternativa para estudiar el cambio de la impedancia de salida de la estructura se puede emplear 2B como nodo final y utili-zar 2C como punto de origen; este análisis se realiza apoyándonos en la estructura modificada de la figura 8.19.5. Del circuito se evidencia que existen elementos circuitales comunes a los argumentos de las expresiones de los parámetros oiX y 13X , con lo cual se satisface una condición necesaria. Uniendo los puntos a y á se tiene:

0X ccen'a,a31 = ........................ (8.19.20)

Para los terminales a y á en circuito abierto, de la figura 8.19.5 se tiene:

F43

3

ef1ei

efcaen'a,a31 RRR

R

)1h(Rh)4RFR(3R4Rh

X+++++

=+

− ...... (8.19.21)

Para ∞=FR la realimentación es nula; o sea, 0X 31 = ; en cam-bio, para el otro valor extremo, 0RF = , se tiene un valor negativo; re-sultado que implica satisfacer la condición de linealidad; y la impedan-cia de salida se puede disminuir, pero para ningún valor de FR será nula, nótese que se satisface la relación (5.4.5).

FIGURA 8.19.5 ESTRUCTURA MODIFICADA 2. IMPE-

DANCIA DE SALIDA.

199

9 EJEMPLOS. AMPLIFICADORES OPE-RACIONALES

En este apartado se plantearán las soluciones a diversos pro-blemas de sistemas realimentados que en su estructura contienen amplificadores operacionales y dispositivos discretos; todo esto para darle una mayor ilustración a los conceptos teóricos expuestos y al método de desvanecimiento planteado para calcular las relaciones básicas que rigen el comportamiento de un sistema realimentado.

9.1 AMPLIFICADOR OPERACIONAL REAL

Para el circuito de la figura 9.1.1 calcular la ganan-cia de tensión que se obtiene del circuito para cada una de las señales de entrada y la resistencia que presenta el circuito a las fuentes de seña-les; resistencia de salida y una aproximación del polo domi-nante en alta frecuencia del circuito.

FIGURA 9.1.1 AMPLIFICADOR OPERA-

CIONAL REAL.

200

El AO y los parámetros del circuito se encuentran caracteriza-do por:

A A RR M R M w r s

d c

in d in c a

= ⋅ = == = =5 10 5 100

1 500 2 10

40 Ω

Ω Ω π /

R k R k R k1 2 31 10 1= = =Ω Ω Ω

Este problema tiene como objetivo justificar numéricamente las aproximaciones que con mu-cha frecuencia se realizan en un circuito realimentado; cuando se emplea como amplificador básico un amplificador operacional real. O sea, un circuito real, integrado o no, que se conoce con esta deno-minación. En el planteamiento se utilizan las especificaciones de un AO de propósito general; en la actualidad prácticamente todos los AO disponibles en el mercado sa-tisfacen ampliamente las características asignadas. Dado el alto valor de la resistencia modo común de entrada con relación a los valores de las resistencias asociadas al AO su efecto se desprecia. El modelo del circuito realimentado mostrado en la figura 9.1.2 permite calcular las expresiones requeridas para evaluarlas numéricamente. Utilizando el teorema de superposición se puede evaluar cada una de las ganancias de tensión del circuito; basta con evaluar las relaciones definidas en el apartado 4.2:

a.- Tomando V2 0= :

X RR R

R R R RR R R R Rio

o

o

o in

o in−

−=+

+ ++ + +

= ⋅12

2 3

1 2 3

39 10( ) ( )

( ) ( )

XR

R RR R R R

R R R R Riin

in o

in o1 1

3

3

3 2

3 2 1

0 000908− =+

+ ++ + +

=( ) ( )

( ) ( ),

XR R R R

R R R R Riin o

in o2 1

3 2

3 2 1

0 909084− =+ +

+ + +=

( ) ( )( ) ( )

,

FIGURA 9.1.2 MODELO PARA EL

SISTEMA REALIMEN-TADO.

201

( ) ( )( ) ( ) 908176,0

RRRRRRRRR

RRR

X1o33in

o33in

3in

in1id −=

+++

++

+−=−

b.- Haciendo V1 0= :

X RR R

R R RR R R R Rio

o

o

o

o in−

−=+

++ + +

= ⋅22

1 2

1 2 3

68 10( )

( )

XR R R R

R R R R Riin o

in o1 2

1 2

1 2 3

0 999002− =+ +

+ + +=

( )( )

,

XR R R

R R R R Rio

in o2 2

1 2

1 2 3

0 000908− =+

+ + +=

( )( )

,

X RR R R R Rid

in

in o− =

+ + +=2

1 2 3

0 998094( )

,

El resto de los términos es común a las dos entradas

X RR R

R R RR R R R Rin

in

in o31

3

3

1 3

1 3 2

690 10=+

++ + +

= ⋅ −( )( )

XR R R

R R R R Rin

in o32

1 3

1 3 2

0 090008=+

+ + +=

( )( )

,

X RR R R R R

RR R Rd

in

in o in3

1 3 2

1

1 3

0 089918= −+ + + + +

= −( )

,

XR R R R

R R R R Roin

in o3

1 3 2

1 3 2

0 990990=+ +

+ + +=

( )( )

,

Para calcular la ganancia de tensión basta con aplicar la rela-ción (4.2.4) para cada entrada:

ee

o

iio

d idA

i i

d dA oX A X X X

A X X XX

c

c= +

⋅ + +

− − +2 1 2

3 2 31 323

1( )( )

VV

X A X X XA X X X

Xoio

d idA

i i

d dA o

c

c1

11 2 1 1 2 1

3 2 31 1 32 13

1= +

⋅ + +

− − +−

− − −

− −

( )( )

VV

AA A

o d

dA

A

dAc

c

c1

3

26

2

26

9 10 0 908186 0 990991 0 089918 90 10 0 090008

0 000908 0 909084 0 990991 0 089918 90 10 0 090008

= ⋅ −⋅ ⋅

+ − ⋅ ++

+ ⋅

+ − ⋅ +−

− −

, ,, ( , )

( , , ) ,, ( , )

202

VV

o

1

3 69 10 10 00748 5 10= ⋅ − + ⋅− −, ..........(9.1.1)

VV

XA X X X

A X X XXo

iod id

Ai i

d dA o

c

c2

22 2 1 2 2 2

3 2 31 2 32 23

1= +

⋅ + +

− − +−

− − −

− −

( )( )

VV

AA A

o d

dA

A

dAc

c

c2

6

2

2

2

8 10 0 998094 0 990991 0 089918 0 090098

0 999002 0 000908 0 990991 0 089918 0 090098

= ⋅ +⋅ ⋅

+ −+

+ ⋅

+ −− , ,

, ,( , , ) ,

, ,

VV

o

2

6 58 10 10 9982 55 10= ⋅ + + ⋅− −, ..........(9.1.2)

Por medio de los resultados numéricos de las relaciones (9.1.1) y (9.1.2) se justifican las aproximaciones que con mucha frecuencia se realizan, la cual consiste en aproximar el resultado al segundo término de las relaciones; o sea, despreciar el camino directo entre la entrada y la salida; y por otro lado, suponer que la ganancia modo común del AO es nula.

El cálculo de las resistencias se realiza por medio de la relación (5.2.10); para lo cual, se deben calcular las resistencias con el amplifi-cador desvanecido y en cada caso condicionar los puntos a y a' para determinar los respectivos parámetros. Notar que para el cálculo de las resistencias de entrada, cuando se cortocircuitan los puntos a y a’ los parámetros tienen el mismo valor que los calculados para la ga-nancia; algo similar ocurre con los parámetros en circuito abierto cuando se desea determinar de la resistencia de salida. Del circuito de la figura 9.1.2:

a.- Resistencia vista por la fuente V1 :

Z R R R R R kaa en o in' ( ) ( ) ,− − = + + + =1 2 3 1 10 999 Ω

con los puntos a y a' en circuito abierto:

X RR R R Rin o

313

3 2

6989 10=+ + +

= ⋅ −

X R RR R R R

in

in o32

3

3 2

0 990011=+

+ + += ,

989022,0RRRR

RX

o2in3

ind3 −=

+++−=

203


ZAA

kaa f Vd

A

dA

c

c' ,, ,, ,

,− =+ ⋅ −

+ ⋅ −=

110 999

1 0 089918 0 0900981 0 989022 0 999901

1 0002

2Ω

b.- Resistencia vista por la fuente V2 :

Z R R R R R kaa en o in' ( ) ,− − = + + + =2 2 1 3 1001 910 Ω

con los puntos a y a' en circuito abierto los parámetros son:

X RR R Ro

311

1 2

0 090090=+ +

= , X RR R Ro

321

1 2

0 090090=+ +

= , X d3 0=

ZA

Maa f Vd

A

A

c

c' ,, ,

,− =+ ⋅ −

−=

21001 910

1 0 089918 0 0900981 0 18018

81982

2

Ω

c.- Resistencia de salida:

En este caso, los parámetros con los puntos a y a' en circuito abierto son los obtenidos para el cálculo de la ganancia; en cambio colocando un corto entre los puntos los parámetros son nulos. Por lo tanto, para aplicar la relación (5.2.10) sólo falta por evaluar la resisten-cia entre la salida del amplificador y el nodo de referencia cuando el amplificador se encuentra desvanecido:

[ ]Z R R R R Raa sal o in' ( )− = + + =2 1 3 99 Ω

aplicando la relación:

ZAaa f sal

dAc' , ,

,− =+ ⋅ −

=99 11 0 089918 0 090098

0 0222

Ω

Para estimar la esquina de alta frecuencia del sistema reali-mentado, admitiendo que Xio = 0 y que el cero de la ganancia de ten-sión modo común es mucho mayor que el polo de la ganancia diferen-cial; por lo tanto, consideraremos la ganancia modo común indepen-diente de la frecuencia. Para obtener la respuesta de frecuencia de la estructura basta con aplicar las relaciones (3.3.7) y (3.3.8); relaciones que deben ser convenientemente modificadas para la estructura dife-rencial empleada como elemento unidireccional; esto es:

204

A s AmW

s WA X X X

A X X XX

Ws Wf f

a f

a f

d idA

i

d dA

a f

a f

c

c( ) ( )

( )=

+=

+ +

− − + +2 1 12

3 2 31 3230

1

[ ]W W Am W A X X Xa f a a d dAc= − ⋅ = − − +( ) ( )1 1 3 2 31 32β

[ ]W W Am Aa f a dAc= − ⋅ = ⋅ + ⋅ − ⋅( ) , , )1 2 10 1 0 089918 0 0900982β π

[ ]= ⋅ + − = ⋅ ⋅2 10 1 4495 9 0 225 2 10 4497 125π π, , , ..........(9.1.3)

Del resultado de la relación (9.1.3) se puede concluir que el efecto de la ganancia modo común del AO en el ancho de banda no es importante, dentro del intervalo de frecuencia donde la ganancia modo común se pueda considerar constante.

9.2 FUENTE DE CORRIENTE

Encontrar las condiciones bajo las cuales el circuito de la figu-ra 9.2.1 se comporta como una fuente corriente controlada por ten-sión y la expresión de la corriente de salida en función de los pará-metros del circuito y las señales de entrada. El AO se encuentra caracterizado por: Ad = ⋅5 104 , Ac = 5 , R0 100= Ω , R Min d = 1 Ω y

R Min c = 500 Ω .

El comportamiento del circuito como una fuente de corriente se asegura encon-trando las condiciones bajo las cuales la resistencia que presenta el circuito entre los puntos a y ′a tiende a infini-to, la vista por la resistencia de carga. Por medio de la re-lación (5.2.11) se calcula la resistencia de salida; dado los

FIGURA 9.2.1 FUENTE DE CORRIENTE.

205

resultados del problema 9.1 no tomaremos en cuenta para los cálculos la resistencia de salida y las resistencias de entrada del AO :

caen'a,ac3cd3d

ccen'a,ac3cd3d'aaf'aa XAXA1

XAXA1RR

−⋅−

−⋅−=

del circuito de la figura 9.2.1 se tiene:

R R R Ra a' ( )= +3 4 5

con los puntos a y ′a en cortocircuito:

X31 0= X RR R32

1

1 2

=+

X RR Rd3

1

1 2

= −+

con los puntos a y ′a en circuito abierto:

X RR R R31

5

3 4 5

=+ +

X RR R32

1

1 2

=+

X RR R R

RR Rd3

5

3 4 5

1

1 2

=+ +

−+

por lo tanto:

R R R RA

RR R A

RR R

AR

R R RR

R R AR

R R RR

R R

aa f

d c

d c

' ( )= ++

+−

+

−+ +

−+

− + +

++

3 4 5

1

1 2

1

1 2

5

3 4 5

1

1 2

5

3 4 5

1

1 2

112

112

......... (9.2.1)

El comportamiento del circuito será él de una fuente de corrien-te cuando la resistencia de salida tienda a infinito; para lo cual, el de-nominador de la relación (9.2.1) debe tender a cero:

1 05

3 4 5

1

1 22

5

3 4 5

1

1 2−

+ +−

+

− + +

++

=A

RR R R

RR R

RR R R

RR Rd

Ac ....... (9.2.2)

En aquellos casos que se tome como nula la ganancia modo común, de (9.2.2) se tiene:

1 05

3 4 5

1

1 2

−+ +

−+

=A

RR R R

RR Rd ......... (9.2.3)

de donde:

206

A R R R R RR R R R Rd =+ + +

− +( ) ( )

( )1 2 3 4 5

2 5 1 3 4

..........(9.2.4)

Si ganancia diferencial tiende a infinito, evaluando el límite de (9.2.1), la resistencia de salida de la estructura será infinita cuando el denominador de la expresión del límite sea nulo:

RR

R RR

2

1

3 4

5

=+ ..........(9.2.5)

condición que posee múltiples soluciones. Una forma sencilla para calcular la corriente de salida en función de la tensión de entrada es considerar que el circuito es una fuente de corriente; y por lo tanto, la corriente por la carga se puede calcular para cualquier valor de Rl diferente de infinito. Aplicando superposición en el circuito de la figura 9.2.1 con Rl = 0 la corriente por el cortocircuito será:

i i isal = +1 2

i iRR R

V RR R

R RR R R R

V12

1 31 2

4

4 5

1 2

1 3 4 52

1 1 1= − =

++

++

Admitiendo como solución de (9.2.5): R R R R R R R R1 5 2 3 42= = = ⋅ = = se obtiene que la corriente de salida es:

isal V VR

= − −( )1 22

9.3 LIMITADOR REALIMENTADO

Para el circuito limitador de la figura 9.3.1 encontrar la caracte-rística de la tensión de salida en función de la tensión Vi ; consideran-do un comportamiento del diodo lineal a trozos como se indica en la figura 9.3.2; la ganancia del AO puede considerarse infinita.

207

Debido a la presencia del diodo, este circuito se debe anali-zar tomando por separado los dos posibles modelos del diodo. Esto es, en primer lugar se admite que el diodo es un circuito abierto, y se resuelve el circuito; luego, el pro-cedimiento se repite para el caso que circule corriente por el diodo, sustituyendo en cada caso el dio-do por su modelo. Por último, sim-plemente es necesario encontrar el punto de intersección de las dos características, o punto de ruptura del limitador. El análisis del circuito cuando por el diodo no circula corriente se realiza directamente de la figura 9.3.1; el circuito simplemente se comporta como un inversor con la salida dada por:

VRR

Vo i= − 2

1 ......... (9.3.1)

Del circuito de la figura 9.3.1 se puede concluir que por el diodo no circu-lará corriente siempre y cuando la ten-sión en su cátodo sea mayor que su tensión umbral; puesto que el AO al estar realimentado, por efecto de R2 , mantendrá el ánodo a cero tensión.

El punto de ruptura de las trayec-torias corresponde a la tensión de salida para la cual el diodo comienza a condu-cir; o sea, cuando la tensión Va se iguale al umbral del diodo invertida de signo, ver figura 9.3.1. En estas condi-ciones se puede plantear la condición:

V V V RR R

V RR Ra d ref o= − =

++

+4

3 4

3

3 4 ......... (9.3.2)

FIGURA 9.3.1 LIMITADOR REALIMEN-

TADO.

FIGURA 9.3.2 CARACTERÍSTICA

DEL DIODO.

208

sustituyendo (9.3.1) en la relación anterior se tiene:

− =+

−+

V V RR R

V RR

RR Rd ref i

4

3 4

2

1

3

3 4

de donde se obtiene la tensión de entrada que determina el punto de ruptura:

V RR

V RR

V R RRi rup ref d− = ++

1

2

4

3

3 4

3

..........(9.3.3)

La segunda trayectoria se analiza sustituyendo el diodo por su modelo en el estado de conducción, como se indica en el circuito de la figura 9.3.3; en la cual se puede apreciar que la tensión de salida es función tanto de la tensión de entrada Vi como de las dos fuentes de tensión constantes Vd y Vref . Para determinar la característica de salida del circuito basta calcu-lar la tensión de salida de un circuito realimentado, el cual posee tres entradas. Aplican-do superposición se tiene:

V V V Vo o v o v o vi d ref= + +− − −

donde:

V Vv vo v o

d refi− =

= = 0 V Vv vo v o

i refd− =

= = 0

V Vv vo v o

i dref− =

= = 0

En una estructura realimentada la ganancia de lazo es única, indepen-diente de donde se apliquen las entra-das y cuantas sean ellas; por lo tanto, el término X d3 será el mismo para todas las entradas; adicionalmente como la

FIGURA 9.3.3 LIMITADOR REALIMENTADO.

DIODO EN CONDUCCIÓN.

FIGURA 9.3.4 CÁLCULO DE X3d.

209

salida de la estructura coincide con la salida del AO , que posee una impedancia de salida nula, el parámetro X o3 será unitario y el X i o nulo para las tres expresiones que representan las componentes de la ten-sión de salida.

X Xo i o3 1 0= =

Para calcular el parámetro X d3 se plantea el circuito de la figu-ra 9.3.4; de donde:

[ ][ ]X

R R R R r R RR R R R r R r R R R Rd

d

d d3

1 3 2 4 3 4

3 4 1 2 2 3 4 1 2

= −+ + +

+ + + + +( ) ( )

( ) ( ) ( ) ......... (9.3.4)

En la figura 9.3.5 se encuentran los modelos de la estructura realimentada que permite calcular las componentes de la tensión de salida y la característica salida entrada del limitador. Directamente de la estructura de la figura 9.3.5-a se obtiene el parámetro Xi d −1 :

[ ][ ] [ ]X

R r R R

R R r R RR r R R R R

R R r R R R R R r R R R Ridd

d

d

d d− = −

+

+ += −

+ ++ + + + + +1

2 3 4

1 2 3 4

2 3 4 3 4

1 2 3 4 3 4 2 3 4 3 4

( )

( )( )

( )( ) ( )

......... (9.3.5)

De los circuitos que se muestran en las figuras 9.3.5-b y 9.3.5-c se obtienen los dos parámetros Xid restantes, necesarios para encon-trar las otras dos componentes de la tensión de salida:

[ ]XR R

R R r R RR R R R

R R R R R R r R R R Ridd d

− = −+ +

= −+

+ + + + +21 2

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4 1 2 3 4 3 4

( )( ) ( ) ( )

......... (9.3.6)

[ ]

XR R

R R r

R r R R

R r R R R

R RR R r R R

R R R R rR R R R r R R R R R R r

idd

d

d

d

d

d d

− = −+

+

+ +=

= −+ +

+ ++ + + + + +

31 2

1 2

4 1 2

4 1 2 3

1 2

1 2 1 2

4 1 2 1

4 1 2 1 3 1 2 1 2 4

( )

( )

( )( )( )

( )( ) ( )( )

..... (9.3.7)

Para calcular la tensión de salida basta con aplicar la relación (4.2.4) para cada una de las señales de entrada; y luego evaluar el límite cuando Ad →∞ ; resultando una relación de la forma:

210

FIGURA 9.3.5 MODELOS PARA LA ESTRUCTURA REALIMENTADA Y CARACTERÍSTI-CA SALIDA-ENTRADA DEL LIMITADOR. (a): MODELO PARA CALCULAR LA CONTRIBUCIÓN DE Vi .

(b): MODELO PARA CALCULAR LA CONTRIBUCIÓN DE Vd .

(C): MODELO PARA CALCULAR LA CONTRIBUCIÓN DE Vref .

(d): CARACTERÍSTICA SALIDA ENTRADA DE LA ESTRUCTURA.

Vo

ViVi-rup

Diodo abierto

Diodo conduciendo

211

V Vlim

AX

A X A X X

A X A X XX V

XXo j i j

dio j

d id j c i j i j

d d c

o i jid j

d− − −

− − −

−−=

→ ∞+

⋅ + +

− − +

=

12

1 12

1 2

3 31 32

33

( )

( )

[ ][ ] [ ]

[ ][ ]

V V

R R R r R RR R R r R R R R R r R R R

R R R R r R RR R R R r R r R R R R

o v i

d

d d

d

d d

i− = −

+ ++ + + + + +

+ + ++ + + + +

2 3 4 3 4

2 3 4 3 4 1 3 4 2 3 4

1 3 2 4 3 4

3 4 1 2 2 3 4 1 2

( )( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( ) ( )

......... (9.3.8)

[ ][ ]

[ ]

V V

R R R RR R R R R R R R r R R

R R R R r R RR R R R r R r R R R R

o v dd

d

d d

d− = −

++ + + + +

+ + ++ + + + +

1 2 3 4

1 2 3 4 1 2 3 4 3 4

1 3 2 4 3 4

3 4 1 2 2 3 4 1 2

( )( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( )

......... (9.3.9)

[ ][ ]

[ ]V V

R RR R r R R

R R R R rR R R R r R R R R R R r

R R R R r R R

R R R R r R r R R R R

o v ref

d

d

d d

d

d d

ref− = −+ +

+ +

+ + + + + +

+ + +

+ + + + +

1 2

1 2 1 2

4 1 2 1

4 1 2 1 3 1 2 1 2 4

1 3 2 4 3 4

3 4 1 2 2 3 4 1 2

( )( )( )

( )( ) ( )( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

....... (9.3.10)

En la figura 9.3.5-d se encuentra un esquema del comportamien-to del limitador. A partir de una tensión de entrada mayor que la tensión de ruptura, dada por la relación (9.3.3), la pendiente de la característica de salida por efecto de la conducción del diodo sufre un cambio; el valor de la pendiente de la característica con el diodo conduciendo se en-cuentra especificado por (9.3.8). En general, el valor de la resistencia R4 se escoge pequeña con relación al valor de R2 ; lográndose de esta for-ma un acentuado cambio en las pendientes. El punto de corte de la prolongación de la característica de salida, con el diodo conduciendo, no es más que la suma de las tensiones dadas por las relaciones (9.3.9) y (9.3.10).

Admitiendo que rd = 0 las componentes de la tensión de salida cuando el diodo conduce serán las especificadas por las relaciones:

212

V V R RR R Ro v ii− = −

+2 4

1 2 4( ) ........(9.3.11)

V V R R RR R Ro v dd− = −

++

2 3 4

3 2 4

( )( )

........(9.3.12)

V V R RR R Ro v refref− = −

+2 4

3 2 4( ) ........(9.3.13)

Notar que tal aproximación es válida para valores de la resisten-cia rd que sean despreciables con relación al paralelo de R3 y R4 .

9.4 RECTIFICADOR DE MEDIA ONDA

Para el circuito de la figu-ra 9.4.1 encontrar la característi-ca de transferencia, tomando como variable independiente la señal denominada entv ; considere el nivel de la tensión de referen-cia refv positivo y tanto los dio-dos como el AO ideales.

La presencia de los dio-dos en la estructura implica que se debe estudiar la posibilidad de un comportamiento no lineal de la estructura para una combinación de los modelos de los diodos, ver relación (4.4.3); en este caso, para ninguna de las cuatro posibles es-tructura que se forman al sustituir los diodos por sus modelos resulta una estructura no lineal. Por ser todas las estructuras resultantes li-neales, la característica de transferencia se encuentra determinada por la intersección de las cuatro rectas que se forman al sustituir los diodos por sus diferentes modelos.

En algunas oportunidades, dependiendo de la ubicación de los diodos en la estructura, es imposible una combinación dada de los

FIGURA 9.4.1 RECTIFICADOR DE ME-

DIA ONDA.

213

estados de los diodos, tales combinaciones de los estados no se deben considerar. Para la estructura de la figura 9.4.1, los dos diodos abierto implicaría que el AO se encontrara en lazo abierto y bastaría un cambio en la señal de entrada que tienda a cero para forzar a un diodo a conducción, dependiendo del signo del cambio conduciría uno u otro diodo; cuando el signo es positivo 1D conduciría, en cam-bio conduce el diodo 2D si el signo es negativo. Por otro lado; al estar unidos de una manera directa el cátodo de 1D con el ánodo de 2D , y sus otros dos terminales relacio-nados directamente con un mismo nodo de la estructura, es imposible que se encuentren conduciendo simultáneamente. Por lo expuesto an-teriormente; para obtener la característica de transferencia de la es-tructura bastará considerar las dos estructuras equivalentes resultan-tes de sustituir los diodos por sus modelos, cuando se encuentran en sus estados complementarios.

Realizando un Thévenin equivalente desde el puerto inversor del AO hacia las entradas se tiene:

V v RR R

v RR RTh ent ref=

++

+3

3 1

1

1 3 R R R

R RTh = +1 3

1 3

Asumiendo una combinación factible de los estados de los dio-dos se obtiene una estructura equivalente. En la figura 9.4.2 se tiene la estructura formada cuando 1D conduce y 2D se encuentra abierto; corresponde con una estructura realimentada; en ella también se indi-can los puntos 1 y 3 para su análisis. Su salida será:

−=

−+=

∞→ 13

031ioiTh

13

031ioiTh

Ao X

XXXV

AX1

XAXXVv lim ......... (9.4.1)

Los parámetros son: 1X1X0X0X 03131ioi ====

FIGURA 9.4.2 ESTRUCTURA EQUIVA-

LENTE. D1 CERRADO D2 ABIERTO.

214

sustituyendo en la relación (9.4.1) se tiene que la característica de salida coincide con el eje horizontal del plano.

0110

0Vv Tho =

⋅

−= ..........(9.4.2)

Para la otra combinación de los estados de los diodos, se forma la estructura equivalente de la figura 9.4.3. Su salida se calcula por medio de la relación (9.4.1) utilizando los parámetros

qpX obtenidos de la figura 9.4.3:

Th2

21ioi RR

RX0X

+==

1XRR

RX 03

2Th

Th13 =

+=

Th

2

31

1ref

31

3ent

Th

2Th

Th2

2Tho R

RRR

RvRR

RvR

RRRR

RVv

++

+−=

++

−=

sustituyendo ThR :

3

2ref

1

2ento R

RvRRvv −−= ..........(9.4.3)

La caracte-rística de salida se obtiene al dibujar en una misma grá-fica las rectas de-finidas por las re-laciones (9.4.2) y (9.4.3) y seleccio-nar el intervalo de validez de cada una de las rectas; o sea determinar la región para ca-


LENTE. D1 ABIERTO D2 CERRADO.

vo

vent

− vRRref

2

3

− vRRref

1

3

D Dcond abierto1 2− −

D Dabierto cond1 2− −

FIGURA 9.4.4 CARACTERÍSTICA DE TRANSFERENCIA.

215

da estado de los diodos. Admitiendo que la señal entV es positiva y arbitrariamente grande el diodo 1D conduce; por lo tanto, la relación (9.4.2) será valida para los valores de la variable de entrada mayores al valor correspondiente al punto de intersección entre las dos rec-tas; punto que corresponde con el cambio de estado de los diodos. La característica de transferencia de la estructura se indica en la figura 9.4.4.

9.5 RECTIFICADOR DE ONDA COM-PLETA DESPLAZADO

Para el circuito de la figura 9.5.1 en-contrar la característi-ca de transferencia, tomando como varia-ble independiente la señal denominada

entv ; considere el nivel de la tensión de refe-rencia refv positivo y tanto los diodos como los AO ideales.

El amplificador operacional 2A en unión a las resistencias aso-ciadas, tanto a sus puertos de entrada como a su salida, forman un sumador inversor. Para plantear su salida, en forma general, se debe disponer del equivalente Thévenin para cada una de sus entradas; o sea, un modelo que las represente. Denominando *

entv a la señal pre-sente en el extremo izquierdo de 3R ; los modelos para cada una de las señales aplicada al inversor son:

FIGURA 9.5.1 RECTIFICADOR DE ONDA COMPLETA

DESPLAZADO.

216

0RvV refThrefrefTh == −−

0RvV entThententTh == −−

Para realizar el Thévenin equivalente a la señal denomi-nada *

entv previamente se debe considerar el comportamiento del circuito de donde proviene. Analizando la estructura de la figura 9.5.1 se concluye que la señal *

entv es el resultado de procesar la señal entV por el circuito lineal a trozos formado por 1A , las resistencias asociadas y los diodos, 1D y 2D . Por lo tanto, el Thévenin equivalente dependerá de los estados de los diodos; en la figura 9.5.2 se encuentra el circuito asociado con el amplificador 1A que permitirá establecer el comportamiento lineal a trozos. De forma similar al proce-dimiento utilizado en el ejemplo 9.4 se tiene:

Cuando la señal de entrada entV es mayor que cero; 1D se en-cuentra abierto y 2D conduce; el modelo para su salida será:

0RRR

vV0v Th1

2ent*

entvThent =−=⇒>−

Para la otra combinación de los estados de los diodos: 2Th*

entvThent RR0V0v ==⇒<−

Por lo tanto la salida de la estructura original, figura 9.5.1, será la de un sumador inversor; en ella se debe considerar que una de las entradas posee un modelo que depende del signo de la variable con-siderada independiente. La característica de salida será lineal a trozos; para valores positivos de la señal de entrada:

6

4ent

5

4ref

3

4

1

2ent

6

4ent

5

4ref

3Th

4

0vvTh0 R

RvRRv

0RR

RRv

RRv

RRv

RRRv

ent

*ent0entv

v −−+

=−−+

−=>−>

simplificando:

FIGURA 9.5.2 CIRCUITO LINEAL A TRO-

ZOS.

217

5

4ref

6

4

3

4

1

2ent0

0v0 R

RvRR

RR

RRvvv

ent

−

−=>

......... (9.5.1)

Cuando la entrada sea menor que cero se tiene:

6

4ent

5

4ref

23

4

6

4ent

5

4ref

3Th

4

0vvTh0entv0 R

RvRRv

RRR0

RRv

RRv

RRRv

ent

*ent

v −−+

=−−+

−=<−<

simplificando:

5

4ref

6

4ent0v0 R

RvRRv

entv −−=< ......... (9.5.2)

La caracte-rística de transfe-rencia de la es-tructura se obtiene al dibujar las rela-ciones (9.5.1) y (9.5.2) en una gráfica; como se indica en la figura 9.5.3. Nótese que la tensión de refe-rencia provoca un desplazamiento vertical del punto de intersección de las características de salida, las dadas por las relaciones (9.5.1) y (9.5.2). Alterando los valores de las resistencias se puede imponer una condición dada en las pendientes de la característica de transferencia; para el caso particular que posean el mismo modulo; o sea, que la estructura de la figura 9.5.1 se comporte como un rectificador de onda completa desplazado, se de-be plantear la condición:

6

4

6

4

3

4

1

2RR

RR

RR

RR

=− ......... (9.5.3)

Una de las soluciones de (9.5.3) es: RR2RRRRR 365421 ======

vo

vent

− vRRref

4

5

− vRRref

6

5

v RR

R R RR R R R R Rref

4

5

1 3 6

2 4 6 1 3 4−


218

9.6 ESTRUCTURA LINEAL A TROZOS

Para el circuito de la figura 9.6.1 encon-trar la característica de transferencia, tomando como variable indepen-diente la señal denomi-nada entv ; considere el nivel de refv positivo y tanto los diodos como los AO ideales.

El comporta-miento del circuito asociado con el amplificador 1A es lineal a trozos por la presencia de los diodos 1D y 2D ; corresponde al establecido para la etapa de entrada en el ejemplo 9.5. O sea, su salida se en-cuentra caracterizada por dos Thévenin equivalentes, dependiendo de la polaridad de la señal de entrada; denominando *

entv a la tensión de salida de la etapa, los Thévenin equivalentes serán:

0RRRvV0v Th

1

2ent*

entvThent =−=⇒>−

2Th*entvThent RR0V0v ==⇒<

−

Por lo tanto, la tensión de salida de la estructura será la superposición de efecto de las entradas a la salida del amplifi-cador formado por 2A y las re-sistencias asociadas; la estructu-ra equivalente se indica en la figura 9.6.2. Calculando la salida se tiene:

FIGURA 9.6.1 ESTRUCTURA LINEAL A TROZOS.


LENTE.

219

+

++

++

+

++

++

+−=

−

−

−

−

−−

3entTh

43entTh

65

5ent

3entTh

43entTh

65

6ref

3entTh

4entTho RR

RRRRR

RvRR

RRRRR

RvRR

RVv

agrupando:

++

+

+

+++

+−=

−

−

−−

65

5ent

65

6ref

3entTh

43entTh

3entTh

4entTho RR

RvRR

RvRR

RRRRR

RVv ....... (9.6.1)

Sustituyendo en la relación (9.6.1) los dos modelos dados por los Thévenin equivalente obtenemos las dos rectas que definen la ca-racterística de transferencia de la estructura; estas son:

++

+

+++

++

=> 65

5ent

65

6ref

3

43

3

4

1

2ent

0vo RR

RvRR

RvR0

RR0R0

RRRvv

ent

agrupando y simplificado:

3

43

65

6ref

65

5

3

43

3

4

1

2ent

0vo R

RRRR

RvRR

RR

RRRR

RRvv

ent

++

+

++

+=>

....... (9.6.2)

La otra recta se obtiene de forma similar:

++

+

+++

++

−=< 65

5ent

65

6ref

32

432

32

4

1

2

0vo RR

RvRR

RvRR

RRRRR

RRR0v

ent

simplificado:

32

432

65

6ref

65

5

32

432ent

0vo RR

RRRRR

RvRR

RRR

RRRvvent

+++

++

++++

=<

......... (9.6.3)

La característica de transferencia de la estructura se obtiene al dibujar las relaciones (9.6.2) y (9.6.3) en una gráfica; como se indica en la figura 9.6.3. Nótese que la característica de transferencia posee una discontinuidad para el valor de la variable tomada como indepen-diente que provoca la conmutación de los diodos, como lo establece la relación (4.6.2). La ecuación (4.6.2) adecuada a la estructura de la figura 9.6.2 toma la forma:

0entd3d

03dda0a

A0ent

d3d

03dda0a

A vXA1

XAXXlim

vXA1

XAXXlim

dd <∞→

>∞→

−+≠

−+

220

0ent

d3

03da0a

0entd3

03da0a

vX

XXX

vX

XXX

<>

−≠− ..........(9.6.4)

Directamente de la figura 9.6.2 se obtienen los parámetros qpX requeridos por la relación anterior; para lo cual la entrada auxiliar aX corresponde a refv :

0XX0ent0ent voavoa ==

<> 1XX

0ent0ent vo3vo3 ==<>

432

32vd3

43

3vd3 RRR

RRX

RRR

X0ent0ent ++

+−=

+−=

<>

56

6vdavda RR

RXX0ent0ent +==

<>

Por ser todos los parámetros qpX iguales excepto uno de ellos se comprueba la desigualdad establecida por la relación (9.6.4); por lo tanto, la característica de transferencia de la estructura presenta una discontinuidad cuando la señal de entrada toma el valor nulo.

−+

+ + +v

R R R RR R R R R R R Rref

1 3 4 6

2 4 5 6 1 3 3 4

( )( ) ( )

vo

vR

R RR R

Rref6

5 6

3 4

3++

23

432

65

6ref RR

RRRRR

Rv

+++

+

−+ +

+ + + + +v

R R R RR R R R R R R Rref

( )( )( ) ( )

2 3 4 6

2 3 4 5 6 5 2 3


221

9.7 ESTRUCTURA LINEAL A TROZOS INVERSORA

Para el circuito de la figura 9.7.1 encontrar la característica de

transferencia, tomando como variable independiente la señal denomi-nada entv . Considere que los valores de las resistencias y los niveles de las tensiones son los indicados.

La presencia de los diodos en la estructura implica que se debe estudiar la posibilidad de un comportamiento no lineal de la estructura para una combinación de los modelos de los diodos; en este caso, para ninguna de las 16 posibles estructura que se forman al sustituir los diodos por sus modelos resulta una estructura no lineal. Por ser todas las estructuras resultantes lineales, la característica de transfe-rencia se encuentra determinada por la intersección de las 16 rectas que se forman al sustituir los diodos por sus diferentes modelos. En el circuito formado por 1A y sus elementos asociados solo son posibles dos de las combinaciones de los modelos de los diodos 1D y 2D , ver ejemplo 9.4; Para los diodos 3D y 4D solo son posibles tres de sus cuatro modelos equivalentes; por su posición es imposible que los dos diodos se encuen-tren conduciendo simultáneamente. Por lo tanto, para el análisis de la estructura solo se requieren de 6 modelos.

El compor-tamiento del circui-to asociado con el amplificador 1A es lineal a trozos por la presencia de los

FIGURA 9.7.1 ESTRUCTURA LINEAL A TROZOS INVER-

SORA.

222

diodos 1D y 2D ; y su salida se encuentra caracterizada por dos Thévenin equivalen-tes, dependiendo de la polaridad de la señal de entrada; denominando *

entv a la tensión de salida de la etapa, los Thévenin equiva-lentes serán:

R20RRvV2Th

0vent*

entvTh0v entent

===>

−>

0Rv2R

RRvVTh

0vent

1

21ent*

entvTh0v entent

==+

=<

−<

El análisis de la etapa formada 2A y sus elementos asociados se realizará suponiendo cada una de las posibilidades que establecen los modelos de los diodos

3D y 4D ; para cada uno de los circuitos formados de esta forma, simplemente se aplica superposición.

Suponiendo que los diodos 3D y 4D se encuentran abiertos, se tiene el

circuito de salida mostrado en la figura 9.7.2. La salida, que depende del signo de la señal de entrada, es:

3entTh

43entTh1ref

3entTh

4entTho RR

RRRv

RRRVv

+

+++

+−=

−

−−

−− ..........(9.7.1)

Sustituyendo en la relación (9.7.1) los dos modelos dados por los Thévenin equivalente obtenemos dos de las rectas que permiten obtener la característica de transferencia de la estructura; estas son:

R10R20R10R10R20v

R10R20R10v

RRRRRv

RRRvv 1refent

32

4321ref

32

4ent

0vo

ent+

+++

+−=

+++

++

−= −−>

simplificando:

FIGURA 9.7.3 CIRCUITO EQUIVALEN-

TE II DE LA SALIDA.


TE I PARA LA SALIDA.

223

34

31vv ent

0vo

ent

+−=>

para signo negativo de la señal de entrada:

22vR

RRvRR

RRRvv ent

3

431ref

3

4

1

21ent

0vo

ent

+−=+

++

−= −<

Cuando el diodo 3D se encuentre cerrado y 4D abierto, para la etapa de salida se tiene el circuito equivalente de la figura 9.7.3; la salida será:

+

+++−

+−=

−

−−−

−−

53entTh

6453entTh1ref

5

642ref

3entTh

64entTho R)RR(

RRR)RR(v

RRR

vRR

RRVv

......... (9.7.2) sustituyendo cuando la señal de entrada es positiva:

532

645321ref

5

642ref

32

64ent

0vo R)RR(

RRR)RR(v

RRR

vRR

RRvv

ent+

+++−

+−= −−

>

3334

331vv ent

0vo

ent

+−=>

para signo negativo de la señal de entrada:

53

64531ref

5

642ref

3

64

1

21ent

0vo RR

RRRRv

RRR

vR

RRR

RRvvent

++−

+−= −−

<

113

112vv ent

0vo

ent

+−=<

Para calcular la salida en la otra condición de los diodos, D3 abierto y D4 cerrado, se emplea el circuito de la figura 9.7.4:

+

++++

+−=

−

−−−

−−

83entTh

7483entTh1ref

8

742ref

3entTh

74entTho R)RR(

RRR)RR(v

RRR

vRR

RRVv

......... (9.7.3) para la señal de entrada positiva:

+

++++

+−= −−

> 832

748321ref

8

742ref

32

74ent

0entvo R)RR(

RRR)RR(v

RRR

vRR

RRvv

224

33

100331v

3340

1120

331vv entent

0vo

ent

+−=++−=>

cuando la señal de entrada sea negativa:

+

+++

−= −−< 83

74831ref

8

742ref

3

74

1

21ent

0entvo RR

RRRRv

RRR

vR

RRR

RRvv

1134

112v

1114

1120

112vv entent

0vo

ent

+−=++−=<

La característica de transfe-rencia de la estructura se define al dibujar las relaciones de la ten-sión de salida obtenidas ante-riormente, se deben considerar las restricciones de cada una. En la figura 9.7.5 se encuentra la gráfica de la característica de transferencia de la estructura; en ella se observa la discontinuidad que introduce la conmutación de los diodos 1D y 2D de la primera etapa y que dos de las caracterís-ticas obtenidas no forman parte de la característica de transferen-cia; puesto que cada una de ellas no intercepta a las otras dos en el semiplano que impone la restricción del signo de la señal de entrada. Nótese que estando los diodos 3D y

4D en circuito abierto, al conmutar los diodos 1D y 2D cambia de valor la resistencia Thévenin a la salida de la primera etapa; por lo tanto, la entrada 1refv − , aplicada a la segunda etapa, es amplificada por un factor que depende de la mencionada resistencia; tal situación es des-crita por la relación (4.6.2), que particularizada a la estructura de la figura 9.7.2 toma la forma:

0entd3d

03dda0a

A0ent

d3d

03dda0a

A vXA1

XAXXlim

vXA1

XAXXlim

dd <∞→

>∞→

−+≠

−+


TE III DE LA SALIDA.

225

0ent

d3

03da0a

0entd3

03da0a

vXXX

XvX

XXX

<>

−≠− ......... (9.7.4)

Directamente de la figura 9.7.2 se obtienen los parámetros qpX requeridos por la relación anterior; para lo cual la entrada auxiliar aX corresponde a 1refv − :

0XX0ent0ent voavoa ==

<> 1XX

0ent0ent vo3vo3 ==<>

43

3vd3

432

32vd3 RR

RX

RRRRR

X0ent0ent +

−=++

+−=

<> 1XX

0ent0ent vdavda ==<>

Por ser todos los parámetros qpX iguales excepto uno de ellos, se comprueba la desigualdad establecida por la relación (9.7.4); por lo tanto, la característica de transferencia de la estructura presenta una discontinuidad cuando la señal de entrada toma el valor nulo.

v vo ent= − +211

3411

v vo ent= − +2 2v vo ent= − +

13

43

v vo ent= − +133

3433

vo

vent

v vo ent= − +133

103

v vo ent= − +2

113

11


226

9.8 GENERADOR DE DIENTES DE SIERRA

La señal de entrada a la estructura de la figura 9.8.1 es un tren de pulsos rectangulares cuya amplitud impone que el transistor

1Q pase de saturación a corte cuando la señal de entrada cam-bia de su valor máximo al mínimo. Considerando el valor de C1 muy grande; A1 , 1D y 1Q como idea-les determinar )t(vo .

Para el análisis de la es-tructura se puede considerar que tanto el transistor 1Q como el diodo

1D poseen un modelo lineal a trozos que corresponden a dos rectas que se cortan en ángulo recto; son dos modelos lineales a trozos con-tinuos; por lo que la estructura posee cuatro circuitos equivalentes. El modelo de 1Q cambiará dependiendo de la señal de entrada; en cam-bio, el diodo conmutará cuando su corriente pase por cero. Dada la ubicación del diodo y 1Q en la estructura se pueden eliminar, para su estudio, las combinaciones de sus modelos que correspondan al diodo cerrado y 1Q abierto y vice-versa. Por lo tanto, los circuitos equivalentes que se deben anali-zar de la estructura son dos.

Una de las estructuras equivalentes, donde 1D y 1Q se encuentran cerrados se indica en la figura 9.8.2; de ella se deduce

FIGURA 9.8.1 GENERADOR DE DIEN-

TES DE SIERRA.


LENTE. Q1 y D1 CERRA-DOS.

227

que el condensador 1C se carga a la tensión refv y la tensión de sali-da de la estructura es nula.

Cuando la señal de entra-da provoca que 1Q cambie de estado, la tensión de salida del amplificador comienza aumentar; tal incremento se propaga por 1C causando que el diodo 1D se corte. Para estas condiciones la estructura equivalente es la mostrada en la figura 9.8.3; en ella se incluyen los puntos 1 y 3 requeridos para aplicar la relación (4.1.6) mediante la cual se encontrará la tensión de salida de la estructura, como causa de la tensión refv que posee el condensador 1C .

Directamente de la figura 9.8.3 se tiene:

1sCR1X0X21

1vov refref +== 1X

1sCR1XX 0321

1v13 ref=

+==

La tensión de salida será:

sCR1

sv

1sCR11

1sCR1

sv

AX1

XAXX

sv

)s(v21

ref

21

21ref

13

031vov

refo

refref

=

+−

+=

−+=

La expresión para la tensión de salida de la estructura en el dominio tiempo es:

tCR1v)t(v

21refo =

La representación de los pulsos de entrada y salida de la es-tructura en función del tiempo se encuentra en la gráfica de la figura 9.8.4. Nótese que el máximo valor de 1T se encuentra limitado por el valor asignado a 1C , que debe ser muy grande con relación a 2C para que durante el tiempo definido por 1T su descarga sea despreciable.


LENTE. Q1 y D1 ABIER-TOS.

228

9.9 GENERADOR DE DIENTES DE SIERRA II

Con el fin de aumentar considerablemente el tiempo de dura-ción de los pulsos de salida del generador de diente de sierra pro-puesto en el problema 9.8 se emplea la estructura de la figura 9.9.1; la cual incluye un zener que sustituye el condensador que realimenta la estructura, cuyo valor debe ser muy grande con relación al condensador que interviene en la pendiente de los pulsos de salida, ver figura 9.8.1. La es-tructura funcionará adecuada-mente siempre que el zener se encuentre polarizado y de esta forma establecer una tensión de entrada constante a la estructu-ra. Para el circuito propuesto

vent

t

t

vo

1T

FIGURA 9.8.4 TENSIÓN DE ENTRADA y TENSIÓN DE SALIDA EN FUNCIÓN DEL

TIEMPO.

FIGURA 9.9.1 GENERADOR DE DIEN-

TES DE SIERRA II.

229

determinar la tensión de salida y la expresión de la duración máxima para los pulsos de salida en función de los parámetros de la estructura.

La estructura de la figura 9.9.1 posee dos modelos equivalen-tes que permiten su análisis; estos corresponden a los dos estados del transistor 1Q , puesto que el diodo zener siempre se encuentra polari-zado y no cambiará de modelo.

Durante los intervalos de tiempo que la señal de entrada se en-cuentra en alto; la señal de salida será nula y por 2R circula una co-rriente que será:

2

zrefR R

vvi

2

−= ............ (9.9.1)

la corriente que circula por la resistencia R1 se encuentra determinada por la tensión del diodo zener:

1

zR R

vi1= ............ (9.9.2)

Cuando la señal de entrada a la estructura cambia a un valor tal que 1Q se corte, el circuito equivalente es el mostrado en la figura 9.9.2; de donde se puede evaluar la tensión de salida como la contri-bución de las dos entradas que posee la estructura realimentada. Identificando el amplificador de ganancia unitaria como estructura uni-direccional, cuya resistencia de entrada es infinita y nula la de salida, definiendo los puntos 1 y 3; por medio de la relación (4.1.6) se puede encontrar la expresión para la tensión de salida; los puntos referidos se incluyen en la figura de la estructura equiva-lente. Directamente de la figura 9.9.2 se obtienen los parámetros

qpX requeridos; nótese que por ser dos las entradas, los relacio-nados con ellas serán cuatro:

0X0X 1vov refref==


LENTE. Q2 CORTADO.

230

1sCR1X0X21

1vov zz +== 1X

1sCR1X 0321

13 =+

=

dado los valores nulos de los parámetros qpX concernientes con la entrada refv su contribución a la salida será nula; por lo tanto, la salida será función únicamente de la tensión del modelo del zener:

sCR

1s

v

1sCR11

1sCR1

sv

AX1

XAXX

sv

)s(v21

z

21

21z

13

031vov

zo

zz

=

+−

+=

−+= .(9.9.3)

que en el dominio del tiempo corresponde a:

tCR1v)t(v

21zo = .............(9.9.4)

La corriente por la resistencia 2R es la suma de las corrientes por el zener y la resistencia 1R . La máxima duración del pulso de sali-da será aquella que anule la corriente del zener; de donde: zRR iii

12+=

2

ozrefR R

)t(vvvi

2

+−= .............(9.9.5)

1

z

1

ooz

1

ozR R

vR

)t(v)t(vvR

v)t(vvi

1=

−+=

−+= − .............(9.9.6)

Cuando los pulsos de salida sean de duración máxima se tiene:

1

z

2

maxozrefRR R

vR

)T(vvvii

12=

−−⇒=

de donde, sustituyendo )T(v maxo por el valor obtenido mediante la re-lación (9.9.4) y despejando se tiene:

−−= 1RR

v

vCRT

1

2

z

ref21max ........ (9.9.7)

231

9.10 AMPLIFICADOR COMPUESTO

En la figura 9.10.1 se encuentra el esquema incre-mental de un amplificador compuesto; donde el AO se puede considerar con ganan-cia infinita y el transistor se caracteriza por sus paráme-tros. Calcular la tensión de salida en función de las en-tradas, la resistencia vista por cada una de las fuentes de entradas y la resistencia de salida del amplificador.

De la figura se reco-noce el propio AO como estructura unidireccional; dado que su ganancia tiende a infinito apli-camos la relación (4.2.6); tomando como nula la resistencia de salida del AO e infinito como la de entrada. En la misma figura 9.10.1 se indican los puntos requeridos para aplicar la relación. La tensión de salida se obtiene aplicando superposición: 2o1oo VVV +=

−= o3

d3

diioioi X

XX

XVV ....... (9.10.1)

Para el cálculo de los parámetros se requiere de las relaciones definidas en el ANEXO 1: El primer término de la tensión de salida, 1oV se obtiene aplican-do la relación (9.10.1) cuando V2 es nulo:

)RR()]Rh(h)h1()h1([Rhh)Rh1(hR])1h(hhh[

Av0AV

VX432ieoerefe2refe2oeie

2refeieoeQ32

d1

oio +++−++−+

−−==

== −

....... (9.10.2)

FIGURA 9.10.1 AMPLIFICADOR COMPUESTO.

232

El parámetro idX será el divisor de tensión entre la entrada y el puerto no inversor del AO invertido de signo; o sea:

42ieoerefe

2refe2oeie3

2ieoerefe

2refe2oeie3

4Q333

Q333

d1

did

R)Rh(h)h1)(h1(

Rhh)Rh1(hR

)Rh(h)h1()h1(Rhh)Rh1(h

R

RZRZR

0AVeX

+++++

−++

++++

−++

−=++

+−=

==

−

−

........(9.10.3) los otros dos parámetros se calculan de manera similar:

⋅−=+

−==

= − 4Q1343

4

13

dd3 RAv

RRR

0VeeX

)RR(])Rh(h)h1()h1([Rhh)Rh1(h

)Rhh1(

432ieoerefe2refe2oeie

2oefe

+++−++−+

++⋅

........(9.10.4) [ ]

)RR(])Rh(h)h1()h1([Rhh)Rh1(hR)RR(hh

Av0V

VX432ieoerefe2refe2oeie

243oefeQ12

13

oo3 e +++−++−+

+−−==

== −

........(9.10.5)

La expresión deseada se obtiene al sustituir los parámetros da-dos por (9.10.2), (9.10.3), (9.10.4) y (9.10.5) en la relación (9.10.1). En aquellos casos donde sean nulos oeh y reh del transistor; los pará-metros modificados del amplificador compuesto para aplicar la expre-sión (4.2.5) se obtienen por medio del límite de cada uno de los anterio-res, estos son:

)RR)(h1(h

Rh0hh

X43feie

2fe

reoeio +++

===

........(9.10.6)

iefe43

iefe3

fe

ie43

fe

ie3

reoeid h)h1)(RR(

h)h1(R

h1hRR

h1hR

0hhX

+++

++−=

+++

++

−===

.....(9.10.7)

)h1()RR(h

)h1(R0hh

Xfe43ie

fe4

reoed3 +++

+−=

== ........(9.10.8)

233

)RR()h1(h

Rh0hh

X43feie

2fe

reoeo3 +++

−===

....... (9.10.9)

De la relación (9.10.1) se obtiene la componente 1oV :

+

+++

+++==

∞→== )h1(R

h)h1(R1

)RR()h1(hRh

VVfe4

iefe3

43feie

2fe1

dA0rehoeh1o

..... (9.10.10)

en aquellos casos que adicionalmente se considere que la ganancia de corriente del transistor tienda a infinito la contribución de la entrada

1V en la salida es:

4

21

hA0hh1o R

RVV

fed

reoe==

∞→=== ..... (9.10.11)

El segundo término de la tensión de salida, 2oV se obtiene apli-cando la relación (9.10.1) cuando 1V es nulo y se procede de manera similar. Notar que sólo basta con calcular los dos parámetros relacio-nados con la entrada 2V , los otros dos serán iguales a los obtenidos para evaluar el efecto de la entrada 1V :

00AV

VXd2

oio =

== ..... (9.10.12)

10AV

eXd2

did =

== ..... (9.10.13)

La contribución en la tensión de salida es:

)Rhh1()RR(hh

RR

VV2oefe

43oefe

4

222o ++

+−−= ..... (9.10.14)

En aquellos casos donde sean nulos los parámetros oeh y reh del transistor la contribución del segundo término en la tensión de salida es:

)h1(

hRR

VVfe

fe

4

222o +

−= ..... (9.10.15)

Cuando la ganancia de corriente del transistor también tienda a infinito se tiene:

234

4

222o R

RVV −= ......(9.10.16)

Para evaluar las resistencias se debe aplicar la relación (5.2.11) cuando Ad tiende a infinito; o sea evaluar el límite.

caen'a,ad3

ccen'a,ad3'aa

caen'a,ad3d

ccen'a,ad3d'aa

df'aa X

XZ

XA1XA1

ZA

LimZ =

⋅−

⋅−∞→

= ......(9.10.17)

Para el cálculo de la resistencia de salida de la estructura con el amplificador desvanecido se emplearán las relaciones del ANEXO 1:

[ ]refe43ieoe

43ieoerefeie2Q222aa hh)RRh(h

)RR(hh)h1)(h1(hRZRZ '

−++

++−++== ......(9.10.18)

el parámetro d3X evaluado en circuito abierto es igual al calculado para obtener la tensión de salida y dado por la relación (9.10.4):

)RR)](Rh(h)h1)(h1([Rhh)Rh1(h)Rhh1(

RX432ieoerefe2refe2oeie

2oefe4acd3 +++−++−+

++⋅−= ..(9.10.19)

de la relación anterior se puede obtener d3X con los puntos a y ′a en corto evaluando el límite de la relación cuando R2 tiende a cero:

)RR](hh)h1)(h1([h

)h1(RX

43ieoerefeie

fe4ccd3 ++−++

+⋅−= ......(9.10.20)

sustituyendo en (9.10.17) se obtiene la resistencia de salida. En aque-llos casos que los parámetros reh y oeh del transistor sean nulos se tiene que la resistencia de salida es:

2

feie

fe4

feie

fe4

2f0 R

)h1(h)h1(

R

)h1(h)h1(

RRR =

++

+⋅−

++

+⋅−

= ......(9.10.21)

Este resultado era de esperar puesto que en este caso la salida del circuito se encuentra fuera del lazo de realimentación. El mismo resul-tado se obtiene cuando la ganancia de corriente del transistor tiende a infinito.

Para calcular la resistencia que presenta la estructura realimen-

235

tada a la fuente 1V se requiere de la resistencia que presenta la es-tructura con el amplificador desvanecido; del ANEXO 1 se tiene:

)Rh(h)h1)(h1(

Rhh)Rh1(hRRZ

2ieoerefe

2refe2oeie43aa '

++++

−+++= ..... (9.10.22)

el parámetro d3X evaluado con los puntos a y ′a en corto es igual al calculado para obtener la tensión de salida y dado por la relación (9.10.4):

)RR(])Rh(h)h1()h1([Rhh)Rh1(h)Rhh1(

RX432ieoerefe2refe2oeie

2oefe4ccd3 +++−++−+

++⋅−=

..... (9.10.23) para evaluar el término d3X con los puntos a y ′a en circuito abierto se calcula el límite de la relación (9.10.23) con R4 tendiendo a infinito:

)Rh(h)h1()h1(

)Rhh1(X

2ieoerefe

2oefeacd3 ++−+

++−= ..... (9.10.24)

Sustituyendo (9.10.22), (9.10.23) y (9.10.24) en (9.10.17) se ob-tiene la resistencia que presenta el circuito realimentado a la fuente

1V . En aquellos casos que los parámetros reh y oeh del transistor sean nulos se tiene que la resistencia de entrada es: 4

43feie

fe4h1

h43fentrsda R

)RR)(h1(h)h1(R

)RR(Rfe

ie =+++

+++=

+ ..... (9.10.25)

La resistencia que presenta la estructura a la fuente V2 tiende a infinito puesto que la resistencia con el amplificador desvanecido tien-de a infinito.

9.11 FILTRO DE 2º ORDEN. MÚLTI-PLES REALIMENTACIONES

Determinar la función de transferencia del filtro de 2º orden cu-ya estructura se indica en la figura 9.11.1. Para los cálculos de la función de transferencia se puede admitir que la ganancia de los am-plificadores tiende a infinito.

236

Para el a-nálisis de la estruc-tura realimentada no se considerará el lazo de reali-mentación local que poseen los amplificadores o-peracionales. Anu-lando la entrada se reconocen dos po-sibles trayectorias de realimentación: a.- El divisor de tensión formado por las resistencias R3 y R2 , y la

cascada de los amplificadores formados con aA y bA .

b.- La cascada de los tres amplificadores constituidos por los tres operacionales.

Dos de las posibles estructu-ras unidirecciona-les que se pueden modelar las consti-tuyen los dos inte-gradores formados con bA y cA . Sus modelos equiva-lentes, los puntos 11, 12, 31 y 32 iden-tificados en el circuito original; así como el resto del circuito se indican en la figura 9.11.2; donde las ganancias de las estructuras unidireccio-nales son:

sCR1A

sCR1A

262

151 −=−=

Directamente del circuito de la figura 9.11.2 se tiene:

0X02A1Ae

ss,e e

e==

== 0X

032eee31

ss,31 e

e==

==1X

032eee31

ss,32 e

e==

==

FIGURA 9.11.1 FILTRO DE 2º ORDEN.

FIGURA 9.11.2 FILTRO DE 20 ORDEN. ESTRUCTURA

MODIFICADA. DOS TRAYECTORIAS.

237

4

41

32

302A1Ae

1111,e R

RRRR

RX e

e ++

====

0X

0AAe

1212,e

21ee

====

4

41

32

202Aee31

1111,31 R

RRRR

RX e

e ++

====

4

101Aee32

1111,32 R

RX ee

−====

1X02Aee31

1212,31 e

e==

==

0X

01Aee32

1212,32 e

e==

==

Empleando las ganancias definidas y los parámetros calcula-dos se obtienen las matrices requeridas por la relación (4.3.12):

[ ] [ ]MS = 0 0 1 [ ]

=−

2

1

A1

A1

10

0A

[ ]

−+

+=01RR

RRR

RRR

M 4

1

4

41

32

2R

[ ]

++=

0R

RRRR

RM 4

41

32

3E

Al sustituir:

[ ]

=+

+

1

100eese

24R

4R1R

3R2R3R

A1

1

∆

donde:

43221

412132121324R)RR(AA

)RR(RA)RR(RAA)RR(R+

+−+++=∆

operando y simplificando:

)RR(R)RR(R

)RR(RA)RR(RAA)RR(RR)RR(AA

324

413

412132121324

43221

e

s

ee

++

+−++++

=

652141

324412

51

26521

324

413

RRCC1

RR

)RR(R)RR(R

RC1ss

RRCC1

)RR(R)RR(R

e

s

ee

+++

+++

=

El cero en la diagonal principal de la matriz RM implica que para el análisis del sistema realimentado podemos disminuir una trayectoria; por lo tanto, la función de transferencia se puede obtener modelando una sola fuente controlada, el integrador formado por bA . Modelando

238

el integrador como se indica en la figura 9.11.3 se puede obtener la función de transfe-rencia del sistema considerando una sola trayectoria de realimentación; dicha trayectoria estará formada por la suma de dos términos. Nótese que el integrador denominado 2A , reconocido como estructura unidi-reccional en la primera alternativa, con éste nuevo planteamiento for-ma parte de los parámetros qpX . En este caso los parámetros son:

0X s,e = 2s,31 AX = 4

41

32

311,e R

RRRR

RX ++

=

4

41

32

2

4

1211,31 R

RRRR

RRRAX

++

+−=

sCR

1A15

1 −= sCR

1A26

2 −=

Aplicando la expresión matricial para una estructura simple-mente realimentada:

[ ]

+

+

+

+−+

= −

441

323

1

441

322

41

21

2e

s

RRR

RRR

RRR

RRR

RRAA

1A01

ee

simplificando:

652141

324412

51

26521

324

413

RRCC1

RR

)RR(R)RR(R

RC1ss

RRCC1

)RR(R)RR(R

e

s

ee

+++

+++

=

FIGURA 9.11.3 FILTRO DE 20 ORDEN. ESTRUCTURA

MODIFICADA. UNA TRAYECTORIAS.

239

9.12 AMPLIFICADOR MULTIETAPAS

Admitiendo que tanto la ganancia dife-rencial de los AO co-mo la de corriente del transistor 1Q del cir-cuito cuyo modelo incremental se en-cuentra en la figura 9.12.1 tienden a infini-to, calcular la ganan-cia de tensión de la estructura. Todas las resistencias son igua-les.

Anulando la señal de entrada en la figura 9.12.1 se reconocen múltiples trayectorias de realimentación. Modelando un punto ubicado a la salida de 2A y antes del nodo de salida se logra interrumpir de manera simultánea todas las trayectorias de realimentación; por lo tanto para eva-luar la ganancia de tensión se puede emplear la relación (4.1.6). La estructura modificada se en-cuentra en la figura 9.12.2; la ganancia del amplificador re-conocido es unitaria, su resistencia de salida es nula por ser

FIGURA 9.12.1 AMPLIFICADOR MULTIETAPAS.

FIGURA 9.12.2 ESTRUCTURA MODIFICADA. AMPLI-

FICADOR MULTIETAPAS.

240

nula la del AO ; notar que el amplificador 2A queda en lazo abierto al extraer el amplificador modelado. La ganancia de tensión de la estruc-tura realimentada será:

1X1

X1XX

VV

31

o31ioi

i

o⋅−

⋅⋅+= ........(9.12.1)

De la figura 9.12.2, desvaneciendo el amplificador extraído se encuentra que: 0X oi = ........(9.12.2)

Para evaluar el parámetro 1iX se deben calcular dos contribu-ciones: una contribución por el puerto inversor del amplificador 2A y la otra por el puerto no inversor del mismo amplificador. Para evaluar la última contribución se puede emplear las relaciones (9.10.11) y (9.10.21) obtenidas en la solución del ejemplo 9.10, particularizadas convenientemente. El parámetro será:

21

8

983

3

54

522

98

8

1

9832

54

51i A

61

RR

RRRR

RRRAA

RRR

R)RR(R

ARR

RX −=

++

++

−=+

++

+−=

........(9.12.3)

Por un procedimiento similar se encuentra que el parámetro X31 posee tres contribuciones:

2983

93

6

72

98

8

1

983

1110

112

54

413 A

RRRRR

RRA

RRR

R)RR(R

RRRA

RRRX

+++

−+

++

−+

−=

simplificando:

2983

93

6

7

1

8

983

3

1110

11

54

4213 A

34

RRRRR

RR

RR

RRRR

RRR

RRRAX −=

++

++

++++

+−= ....(9.12.4)

Directamente del circuito de la figura 9.12.2 se encuentra que el parámetro o3X es unitario:

1X o3 = ........(9.12.5)

Para evaluar la ganancia de tensión de la estructura realimen-tada se debe considerar que 2A tiende a infinito, para lo cual se susti-tuyen las expresiones de los parámetros expresados por (9.12.2),

241

(9.12.3), (9.12.4) y (9.12.5) en la relación (9.12.1) y se evalúa el límite cuando 2A tiende a infinito:

81

1X1

X1XX

Alim

VV

3461

31

o31ioi

2i

o −=−=⋅−

⋅⋅+

∞→= ....... (9.12.6)

9.13 AMPLIFICADOR MULTIETAPAS II

Calcular la tensión de salida para la estructura cuyo circuito in-cremental se encuentra en la figura 9.13.1; para los cálculos puede ad-mitirse que tanto la ganan-cia diferencial de los AO como la de corriente del transistor 1Q tienden a infi-nito. Todas las resistencias son iguales.

Anulando las seña-les de entrada en la figura 9.13.1 se reconocen múlti-ples trayectorias de reali-mentación. Reconociendo y empleando a 2A como estructura unidireccional se interrumpen todas las trayectorias de realimenta-ción; por lo tanto, absor-biendo 1Q por la ganancia infinita de 1A y utilizando un modelo diferencial para el amplificador 2A ; las componentes de la tensión de salida se puede evaluar por medio de la relación

FIGURA 9.13.1 AMPLIFICADOR MULTIETAPAS II.


242

(4.2.6). La estructura modificada se encuentra en la figura 9.13.2; de donde, directamente se puede concluir que por coincidir la salida de la estructura realimentada con el terminal de salida de la fuente controla-da modelada, los parámetros 0iX para ambas entradas son nulos. Los parámetros relacionados con la fuente modelada son:

21

RRR

RRR

RR

1RR

RRR

RRR

XXX54

4

98

8

1

2

1110

11

98

9

6

73213d3 −=

+−

+

+

++

+−=−=

1X 03 =

Los parámetros relacionados con las entradas 1V y 2V son:

210

RRR

RR

1RR

RXXX

98

8

1

2

1110

102i1i1di =−

+

+

+=−=−

10RR

RRR

1XXX98

9

6

72i1i2di =−

+

+=−=−

por lo tanto, al emplear la relación (4.2.6) la tensión de salida será:

21212

21

21

103d3

2d1203

d3

1d110 V2V11V1VX

X

XVX

X

XVV +=

−−

−−=−−=

−−

El análisis de la estructura para calcular la tensión de salida también puede ser realizado reconociendo y modelando el amplifica-dor no inversor formado por 2A , cuya ganancia de tensión es 2; para tal situa-ción, la estructura modifi-cada se encuentra en la figura 9.13.3, y las compo-nentes de la tensión de salida se evalúan mediante la relación (4.1.6). Directa-mente de la figura se ob-tiene: 1X 03 =


AMPLIFICADOR NO INVERSOR.

243

021

21

RRR

RR

1RR

RRR

RRR

X98

8

1

2

1110

11

98

9

6

713 =+−=

+

+

++

+−=

Los parámetros relacionados con las entradas V1 y V2 son:

21

RRR

RR

1RR

RX

98

8

1

2

1110

1011i =

+

+

+=− 1

RRR

RR

1X98

9

6

721i =

+

+=−

La tensión de salida será:

21221

10331

21i203

31

11i10 V2V1

121V1

1

2VX

AX1

AXVX

AX1

AXVV +=

⋅+

⋅=

⋅−

⋅+

⋅−

⋅=

−−

Otra forma alterna para obtener la tensión de salida es emplear la relación (4.3.28), que permite considerar todas las realimentaciones presentes en la estructura múltiplemente realimentada. Directamente de la figura 9.13.1, absorbiendo 1Q , se definen los tres amplificadores co-mo diferenciales ideales y se calculan los parámetros necesarios, consi-derando que los relativos a las entradas de la estructura son dobles:

Para la entrada 1V : 211d,iX = , 0X 2d,i = , 0X 3d,i = ; para la en-

trada 2V : 0X 1d,i = , 0X 2d,i = , 213d,iX = .

Los parámetros comunes para las dos entradas: 0X 0,31 = , 1X 0,32 = , 0X 0,33 = 2

11d,31X −= , 211d,32X = , 0X 1d,33 =

212d,31X = , 2

12d,32X −= , 212d,33X = 0X 3d,31 = , 2

13d,32X −= , 213d,33X −=

Empleando la relación (4.3.28) se tiene:

[ ] +

−−

−

−

−

•=

−

00

0

0

00

00

000100VV 21

21

21

21

21

21

21

21

A1

A1

A1

10

1

3d

2d

1d

1LLLLLLLLLLLLLLLLL

244

[ ]

−−

−

−

−

•+

−

100

0

0

00

00

000100V

1

21

21

21

21

21

21

21

A1

A1

A1

2

3d

2d

1d

1LLLLLLLLLLLLLLLLL

operando y realizando el límite para la expresión cuando la ganancia diferencial tiende a infinito se obtiene: 210 V2VV +=

Para cualquier topología; de los resultados obtenidos se con-cluye que en una estructura múltiplemente realimentada, el único pro-cedimiento que asegura comprobar la existencia o no de la realimen-tación, es un procedimiento que considere todos los amplificadores simultáneamente; de no ser este el procedimiento empleado para el análisis de la estructura, la realimentación puede quedar enmascarada en los modelos empleados. Todo depende de la selección de los mo-delos equivalentes; como ocurre en el segundo procedimiento em-pleado para calcular la tensión de salida. Nótese que todos los análisis darán el resultado correcto, pero solo el procedimiento que contemple todos los amplificadores presentes en la estructura pone de manifiesto todos los lazos de realimentación existentes, como se asegura en el capítulo 4.

9.14 AMPLIFICADORES COMPUESTOS. MULTIETAPAS

En la figura 9.14.1 se encuentra el esquema de una estructura multietapas, formada por dos amplificadores compuestos y realimen-tada. Admitiendo que tanto la ganancia diferencial de los AO como la de corriente de los transistores del circuito tienden a infinito, calcular la ga-nancia de tensión de la estructura, las impedancias de entrada y salida. Todas las resistencias son iguales, de valor R , exceptuando la denomi-nada R2 cuyo valor es 2 ⋅ R .

245

Anulando la señal de entrada en la figura 9.14.1 se reconoce una tra-yectoria de realimentación global; par-te de la trayectoria la forman el AO A2 y 2Q ; estos dispositivos y las resisten-cias 4R , 7R y 5R constituyen un ampli-ficador compuesto. Utilizando los re-sultados del problema 9.10 se puede plantear que el amplificador compues-to es una estructura unidireccional y su modelo es:

4salidaentrada5

4 RRRRR

K ==−= ∞

El circuito modificado de la es-tructura, donde se incluye el modelo del amplificador compuesto, se en-cuentra en la figura 9.14.2; en ella se identifican los puntos requeridos para calcular la ganancia de la estructura empleando la relación (4.1.6). La ganancia de tensión de la estructura realimentada será:

KX1

XKXX

VV

31

o31ioi

i

o⋅−

⋅⋅+=

.......... (9.14.1) De la figura 9.14.2, empleando las relaciones deducidas para el ampli-ficador compuesto en el problema 9.10 y desvaneciendo el amplificador extraído se encuentra que los pará-metros qpX que son:

2RRR

RXX

2R43

21ioi −=−=−== ....... (9.14.2)

2RR

RRR

RRR

XX4

2

43

3

43

213o3 ==

+== ....... (9.14.3)

FIGURA 9.14.1 AMPLIFICADORES COMPUESTOS.


246

sustituyendo:

32

11

RRR

XK1

XK1X

VV

4

2

5

4

4

2

5

4

RR

RR

RR

RR

43

3

o3

o3oi

i

0 −=

+

−+−=

−+= ........(9.14.4)

Las impedancias se calculan por medio de la relación (5.1.6), condicionando en cada caso los puntos apropiados. Por ser ideales los AO , la impedancia de entrada a la estructu-ra con el amplificador desvanecido es infinita y el factor de realimenta-ción es independiente de las condiciones impuestas al nodo de entra-da. Por lo tanto, la impedancia de entrada será infinita. Para evaluar la impedancia de salida de la estructura realimen-tada se requiere calcular la impedancia con el amplificador desvaneci-do; la cual es: R2RZ 2salida ⋅== ........(9.14.5)

El parámetro 31X con los terminales de salida en circuito abier-to es el mismo empleado para calcular la ganancia; por lo tanto, el factor de realimentación requerido es:

321RR

RR

1XK14

2

5

4caen'a,a31 =+=⋅+=⋅− ........(9.14.6)

Cortocircuitando la resistencia 2R en el circuito de la figura 9.14.2 se obtiene que el parámetro 13X es nulo.

La impedancia de salida de la estructura será:

R32

301R2Rsalida =

−= ........(9.14.7)

9.15 AMPLIFICADORES COMPUESTOS II. MULTIETAPAS

En la figura 9.15.1 se encuentra el esquema incremental de una estructura multietapas. Admitiendo que tanto la ganancia diferencial de los AO como la de corriente de los transistores del circuito tienden a

247

infinito, calcular la ga-nancia de tensión de la estructura, las impedan-cias de entrada y salida y la impedancia Thévenin entre los puntos a y b. Todas las resistencias son iguales de valor R , exceptuando la denomi-nada R7 cuyo valor es de 2 ⋅ R .

Anulando la señal de entrada en la figura 9.15.1 se reconocen múltiples trayectorias de realimentación; en donde, adicionalmente a las que se pueden considerar locales se encuentran otras dos; la defi-nida por el divisor de tensión entre 7R y 1R , y la trayectoria donde se encuentran 3A y 4A . Considerando los resultados del problema 9.10, se puede concluir que la estructura del amplificador compuesto, consti-tuido por 1A , 1Q y las resistencias 6R , 8R y 2R , es unidireccional y posee una impedancia de salida cuyo valor es 2R . Por lo tanto, mode-lando un punto ubicado a la salida del amplificador compuesto se logra interrumpir de manera simultánea las dos tra-yectorias de realimenta-ción globales menciona-das; dado que el punto en cuestión se encuentra a la salida de la estructu-ra, para realizar su mo-delo se debe considerar una ganancia unitaria, impedancia de entrada infinita y tomar como impedancia de salida

2R ; esto último, por ser la impedancia vista en el

FIGURA 9.15.1 AMPLIFICADORES COMPUESTOS II.

FIGURA 9.15.2 AMPLIFICADORES COMPUESTOS II.


248

sentido contrario al flujo de información, como lo establece el procedi-miento contemplado en el ANEXO 3. El modelo propuesto e indicado en la figura 9.15.2 permite evaluar la ganancia de tensión de la estruc-tura y las impedancias mediante las relaciones (4.1.6) y (5.1.6); hecho que simplifica los cálculos.

La ganancia de tensión de la estructura realimentada será:

1X1

X1XX

VV

31

o31ioi

i

o⋅−

⋅⋅+= ........(9.15.1)

De la figura 9.15.2, desvaneciendo el amplificador extraído se encuentra que:

41

RR2RR

RRRR

X371

3oi =

++=

++= ........(9.15.2)

Para evaluar el parámetro 1iX se deben calcular dos contribucio-nes; una contribución por el puerto no inversor del amplificador 1A y la otra por el puerto inversor del mismo amplificador. Empleando de mane-ra apropiada los resultados del problema 9.10, las relaciones (9.10.16) y (9.10.11) respectivamente, se tienen cada una de las contribuciones:

141

43

RR

RR

RRRR

RR

RRRRRX

6

2

4

5

731

3

6

2

731

731i −=−−=

++−

+++

−= ........(9.15.3)

Por un procedimiento similar se encuentra el parámetro X31 , que también posee dos términos:

141

43

RR

RR1

R)RR(R

RR

RRR

R)RR(R

X6

2

4

5

2

713

6

2

71

1

2

71313 −=−−=

+−

+

+−= ........(9.15.4)

Directamente del circuito de la figura 9.15.2 se encuentra que el parámetro o3X corresponde con la ganancia del amplificador com-puesto formado con 2A y 2Q :

43

R)RR(R

X2

713o3 =

+= ........(9.15.5)

Sustituyendo en la relación (9.15.1):

81

21

43

41

111

11

41

1X1

X1XX

VV 4

3

31

o31ioi

i

o −=−=⋅+

⋅⋅−+=

⋅−

⋅⋅+= ........(9.15.6)

249

Las impedancias se calculan por medio de la relación (5.1.6), condicionando en cada caso los puntos apropiados.

a.- La impedancia de entrada; los parámetros requeridos son:

La impedancia de entrada al circuito con el amplificador desva-necido es: R4RRRZ 371entrada ⋅=++= ....... (9.15.7)

El factor de realimentación con los terminales de entrada en cor-tocircuito se obtiene empleando el parámetro 31X utilizado para la ga-nancia de tensión, ya que son las mismas condiciones las impuestas en ambos casos a los terminales. El factor será:

211RR

1RR

RRR

R)RR(R

11XA14

5

71

1

6

2

2

713ccen'a,a31 =+=

++

+⋅+=⋅− ..... (9.15.8)

El factor de realimentación con los terminales de entrada en circuito abierto se calcula imponiendo las condiciones en el circuito de la figura 9.15.2:

321RR

1RR

RR

11XA14

5

6

2

2

3caen'a,a31 =+=

++=⋅− ....... (9.15.9)

sustituyendo en (5.1.6) se tiene la resistencia de entrada a la estructura:

R38

32R4Rentrada =⋅= ..... (9.15.10)

b.- Impedancia de salida; procediendo de manera similar se tiene:

R43)RR(RZ 713salida =+= ..... (9.15.11)

El parámetro 31X con los terminales de salida en circuito abier-to es el mismo que se empleo para calcular la ganancia; por lo tanto, el factor de realimentación requerido es:

211RR

1RR

RRR

R)RR(R

11XA14

5

71

1

6

2

2

713caen'a,a31 =+=

++

+⋅+=⋅− ... (9.15.12)

Cortocircuitando los terminales de salida del circuito de la figura 9.15.2, se obtiene que el parámetro 13X es nulo.

La impedancia de salida de la estructura será:

250

R23

012R

43Rsalida =

−= ......(9.15.13)

c.- Impedancia Thévenin entre los puntos a y b. En este caso sola-mente cambia el parámetro 13X en la condición de cortocircuito entre los puntos; cuando los puntos se encuentran en circuito abierto, el parámetro corresponde al empleado para evaluar la ganancia. En es-tas condiciones los factores de realimentación son:

211RR

11RR

RRR

11XA14

5

6

2

2

13ccenb,a31 =+=

+⋅+=⋅− ......(9.15.14)

211RR

1RR

RRR

R)RR(R

11XA14

5

71

1

6

2

2

713caen'a,a31 =+=

++

+⋅+=⋅− ...(9.15.15)

La impedancia Thévenin entre los puntos a y b con el amplifica-dor desvanecido es: R)RR(RZ 317ba =+= ......(9.15.16)

Evaluando la impedancia entre los puntos a y b:

R22RR fb,a == ......(9.15.17)

9.16 OSCILADOR TRIFÁSICO

Determinar la topología de una estructura mínima y los valores de los paráme-tros circuitales empleados para obtener en tres nodos de la estructura formas de ondas senoidales de ten-sión, desfasadas entre ellas 120o e igual magni-tud.

Xo1,e2A1

Xo3,e1

A2 Xo2,e3 A3

eo1 eo2 eo3

FIGURA 9.16.1 DIAGRAMA DE BLOQUES. OSCI-LADOR TRIFÁSICO.

251

Por las condicio-nes de simetría impues-tas a las salidas de la estructura, el diagrama de bloques del circuito co-rresponde al indicado en la figura 9.16.1; donde la ganancia de los amplifi-cadores es la misma y también las características de los bloques que se encuentran entre ellos. Aplicando la relación (6.3.1) se tiene que el producto β ⋅ A equivalente de la estructura será: 3

e,o ))s(X)s(A(A =⋅β ....... (9.16.1) La condición de mínima topología impone que los términos e,oX posean un solo elemento dependiente de la frecuencia. Asignando, para estos términos, una red de retardo de fase formada por una resis-tencia y un condensador; el circuito de la estructura es como el indica-do en la figura 9.16.2.

De la figura 9.16.2 se evalúan los términos de la relación (9.16.1) e imponiendo la condición de oscilación se tiene:

11sRC3CRs3CRs

A

)1RCs(1A 222333

3eqv

33eqv =

+++=

+ ....... (9.16.2)

Identificando en la expresión dada por (9.16.2) las partes par e impar del numerador y denominador se tiene:

3eqvp A)s(N = 0)s(Ni =

1CRs3)s(D 222p += sRC3CRs)s(D 333

i +=

imponiendo la condición dada por (6.2.6):

=+

=+−

11CRs3

A

0)sRC3CRs(A

222

3eqv

3333eqv

....... (9.16.3)

despejando la frecuencia de oscilación de la primera ecuación del sis-tema (9.16.3):

FIGURA 9.16.2 OSCILADOR TRIFÁSICO. ES-

TRUCTURA MÍNIMA.

252

RC

3wCR3s0)3CRs(sRCA

2222223

eqv =⇒−=⇒=+−

sustituyendo en la segunda ecuación:

A s R CR C

R C Aeqv eqv3 2 2 2

2 22 23 1 3 3 1 8 2= + = − + = − ⇒ = −

Dado que el amplifica-dor obtenido debe invertir y además no debe afectar los términos e,oX , cada amplifi-cador estará formado por la cascada de un no inversor y un inversor como se muestra en la figura 9.16.3.

Con el fin de estudiar la posibilidad de disminuir el número de AO empleados para la construcción del oscilador; cambiemos la red de re-tardo de fase por una red de adelanto; también formada por una resis-tencia y un condensador. En este caso la expresión algebraica de la rela-ción (9.16.1) cambia y al imponer la condición de oscilación se tiene:

11sRC3CRs3CRs

CRsA

)1RCs(CRsA

222333

3333eqv

3

3333eqv =

+++=

+ ........(9.16.4)

Identificando las partes par e impar de los polinomios del nu-merador y denominador en (9.16.4) se tiene:

0)s(N p = 3333eqvi CRsA)s(N =

1CRs3)s(D 222p += sRC3CRs)s(D 333

i +=

para este caso se debe imponer la condición dada por (6.2.7):

=+

=+

1sRC3CRs

CRsA

0)1CRs3(CRsA

333

3333eqv

2223333eqv

........(9.16.5)

despejando la frecuencia de oscilación de la primera ecuación del sis-tema (9.16.5):

FIGURA 9.16.3 CIRCUITO DEL AMPLIFICADOR

Aeqv.

253

RC1

31w

CR1

31s0)1CRs3(CRsA

2222223333

eqv =⇒−=⇒=+

sustituyendo en la segunda ecuación:

2A811CR3

CR3A1

CRs3AsRC3CRs)1A( eqv

22

223eqv222

3eqv

3333eqv −=⇒−=+−=⇒+=⇒=−

Utilizan-do la red de adelanto de fa-se, el número de elementos em-pleados en la estructura dis-minuye como se aprecia en la figura 9.16.4. Nótese que la resistencia de la red de adelanto de fase se utiliza para dos propósitos: en la red de adelanto y como parte del sumador de entrada del amplificador inversor.

9.17 OSCILADOR PUENTE WIEN

Para el oscilador de la figu-ra 9.17.1, denominado Puente de Wien, encontrar las condiciones de oscilación y evaluar la cifra de mé-rito para la estabilidad de frecuen-cia de la señal de salida. Emplean-do la cifra de mérito realice la asig-nación apropiada de los valores relativos entre los elementos de la misma clase para lograr mejorar la estabilidad de la frecuencia.

Analizando el circuito de la figura 9.17.1 se encuentra:

FIGURA 9.16.4 OSCILADOR TRIFÁSICO. CIRCUITO MÍNIMO

PARA LA ESTRUCTURA.

FIGURA 9.17.1 OSCILADOR PUENTE

DE WIEN.

254

b

aRR

1A += ........(9.17.1)

1s)CRCRCR(sCCRRsCR

RR

RX

2212112

2121

12

sC1

1sC1

2

sC1

21,3

12

2

++++=

++= ......(9.17.2)

De donde se tiene: 0)s(N p = sCAR)s(N 12i =

1sCCRR)s(D 22121p += s)CRCRCR()s(D 221211i ++=

Aplicando (6.2.7) se encuentran las condiciones de oscilación:

2121

02

212112CCRR

1w0)1sCCRR(sCAR =⇒=+ ........(9.17.3)

1

2

2

1

221211

12CC

1RR

A1s)CRCRCR(

sCAR++=⇒=

++ ........(9.17.4)

Para evaluar la cifra de mérito relacionada con la estabilidad de frecuencia se tiene la relación (6.4.6); previamente se deben obtener los polinomios )s(A y )s(B :

)1sCCRR(sCAR)s(A 2212112 +=

s)CRCRCR(sCAR)s(B 22121112 ++−=

los términos requeridos por la relación (6.4.6):

122

1221

22 CARsRCCAR3

s)s(A

+=∂

∂

)CRCRCR(s1sCCRR3j

)CRCRCR(sCARsCARsRCCAR3jd

221211

22121

2212112

12

123

1221

22

ssd ++

+=

++

+=

ϕ

221211

2121

2212112121

21212121

wwd CRCRCR

CCRR2

)CRCRCR(CCRR

1

1CCRR

1CCRR3d

00 ++

−=++

+−=

ϕ

........(9.17.5)

255

Para estudiar la estabilidad de frecuencia en función de los va-lores relativos de los componentes y mantener la misma frecuencia de oscilación imponemos que:

αα C2121 CCCRRRR ====

por lo tanto, sustituyendo en la relación que representa el factor de mérito, (9.17.5):

αα

ϕ+

−=++

−=2

2CRCRCR

CCRR2d

00

wwd

....... (9.17.6)

de la relación anterior se tiene que α debe ser mínima para obtener la máxima estabilidad en la frecuencia de salida del oscilador; nótese que no puede ser cero. Asignando un valor pequeño para α , como 0,1, se tiene:

952,01,02

22

2d

00

wwd

−=+

−=+

−=α

ϕ

Para esta asignación de los valores relativos, la ganancia del amplificador se debe calcular por la relación (9.17.4):

2121111CC

1RR

A1

2

2

1 =+=++=++=ααα

por lo tanto, la relación de las resistencias que definen la ganancia del amplificador utilizado se obtiene aplicando (9.17.1):

bab

a R20R21RR1A ==+=

Asignando el mismo valor, tanto a los dos condensadores co-mo a las dos resistencia, el factor que los relaciona será igual a la uni-dad; o sea, α = 1 . En este caso, la cifra de mérito para la estabilidad de frecuencia resulta ser:

666,012

22

2d

00

wwd

−=+

−=+

−=α

ϕ

Considerando el valor unitario resultante para α , y procedien-do de manera similar al caso anterior, se obtiene la ganancia del am-plificador:

256

ba1

2

2

1 R2R3111CC

1RR

A =⇒=++=++=

Estos resultados implican que dependiendo de los valores rela-tivos que se asignen a los elementos de la misma clase la estabilidad de frecuencia del oscilador cambia; lográndose, para el caso particular analizado, una mejora en la estabilidad del 43%. Nótese que es prácti-camente imposible alcanzar un factor de estabilidad substancialmente mejor; tal restricción es propiedad intrínseca de la topología de la red de realimentación.

9.18 OSCILADOR SINTONIZADO DE BAJA FRECUENCIA

Un filtro pasa banda, de cualquier naturaleza, de alto Q puede ser empleado como red de realimentación en la construcción de un oscilador lineal con el obje-tivo de lograr alta estabilidad en su frecuencia de salida; compara-da con la obtenida en osciladores que emplean como redes de re-alimentación asociaciones CR ; estas asociaciones R C son co-múnmente empleadas en oscila-dores de baja frecuencia, meno-res que 100 kHz. En el circuito de la figura 9.18.1 se encuentra la estructura básica de un oscilador de baja frecuencia que emplea un filtro activo de banda estrecha de 2º orden como red de realimenta-ción; también se indican los pun-tos 1 y 3 necesarios para el estu-

FIGURA 9.18.1 OSCILADOR SINTONI-

ZADO.

257

dio de la estructura realimentada. Considerando las limitaciones que poseen los dispositivos reales, que afectan el funcionamiento de los circuitos electrónico cuando operan a frecuencia menores a 10 Hz ; en la construcción de osciladores de estas frecuencias se debe tener pre-sente el factor de estabilidad de frecuencia de la señal de salida. En estos casos es importante emplear redes de realimentación cuyas características favorezcan la estabilidad de frecuencia; o sea, deben presentar un eqvQ alto. Con filtros activos se pueden obtener Q del orden de 100 con relativa facilidad, inclusive para frecuencias del or-den de fracciones de Hz . Recordar que se pretende atenuar los efec-tos que sobre la señal de salida del oscilador ejercen las no linealida-des de los elementos reales empleados en el oscilador.

Directamente del circuito de la figura 9.18.1 se encuentra:

b

aRR

A −= ....... (9.18.1)

2121212

11

CCRR1

C1

C1

R12

CR1

1,3s)(s

sX

+++−=

Dada la expresión algebraica de la función de transferencia del filtro activo, se tiene que su factor de calidad se puede calcular como una relación de los coeficientes del polinomio del denominador:

21

21

1

2

212

2121eqv CC

CCRR

)C1

C1(

R1

CCRR1

Q+

=+

= ....... (9.18.2)

La ganancia de lazo cerrado será:

As)(s

sAX

2121212

11

CCRR1

SC1

C1

R12

CR1

1,3+++

−=

De donde se tiene:

0)s(N p = sCR1A)s(N

11i −=

258

2121

2p CCRR

1s)s(D += s)C1

C1(

R1)s(D

212i +=

Aplicando (6.2.7) se encuentran las condiciones de oscilación:

)1CC

(RR

A1s)(

1CRsA

2

1

2

1

C1

C1

R111

212

+−=⇒=+

− ........(9.18.3)

2121

2

2121

2

11 CCRR1s0)

CCRR1s(

CRAs

−=⇒=+− ........(9.18.4)

La cifra de mérito relacionada con la estabilidad de frecuencia se calcula por la relación (6.4.6); previamente se deben obtener los polinomios A s( ) y B s( ) :

)CCRR

1s(CR

As)s(A2121

2

11+−= )

C1

C1(

R1

CRAs)s(B

21211

2+=

los términos requeridos por la relación (6.4.6):

121211111

2

CCRRCRA

CRAs3

s)s(A

−−=∂

∂

)C1

C1(

R1s

CCRR1s3

j)

C1

C1(

R1

CRAs

CCRRCRAs

CRAs3

j)s(B

ss

)s(A

jd

212

2121

2

21211

221211111

3

ssd

+

+=

+

+=−= ∂

∂ϕ

de donde, al sustituir: 2121 CCRR

10 jjws == se obtiene:

21

2122121

21212122121

21212121

wwd CC

CCRCCRRCCRR

2

)C1

C1(

R1

CCRR1

CCRR1

CCRR13

d

00 +

−=+

+−=

ϕ

eqv21

21

1

2

21

212

2121wwd Q2

CCCC

RR2

CCCCR

CCRR12d

00

−=+

−=+

−=ϕ ........(9.18.5)

259

En general, para una aplicación practica los condensadores se asignan del mismo valor; en estas condiciones el modulo del factor de estabilidad para la frecuencia corresponderá con el eqvQ asignado. Admitiendo que los condensadores sean iguales y tomando 20 como valor para eqvQ del filtro activo, de la relación (9.18.2) se obtiene:

12 R1600R = por lo tanto, el valor de la ganancia del amplificador empleado se en-cuentra mediante la expresión (9.18.3):

8001)1

CC(

R1600R

)1CC

(RR

A1

1

2

1

2

1 −=+−=+−=

por ser el amplificador un inversor se tendrá:

abb

a R800RRR

8001

=⇒−=−

y por último, la expresión para la frecuencia de oscilación en función de los valores asignados para los componentes es:

CR401

CCR1600R1

CCRR1w

111121210 ===

Tomando 10 kΩ y 10 µF como los valores base de la resistencia y condensador respectivamente, los componentes empleados y la fre-cuencia de oscilación resultan ser:

F10CCM16Rk10RM8Rk10R 2121ba µΩΩΩΩ ======

sr

41w0 =

En algunas ocasiones, por con-sideraciones que tienen su fundamento en el comportamiento de los amplifica-dores reales, se deben limitar los valo-res de las resistencias empleadas, no sobrepasar determinado valor. Para reducir la relación de los valores de las resistencias empleadas en este tipo de oscilador, los obtenidos cuando se de-

FIGURA 9.18.2 CIRCUITO T

EQUIVALENTE.

260

sean eqvQ elevados, se puede susti-tuir en el filtro activo la resistencia denominada 2R por un circuito de tres resistencias que forman una T , como se indica en la figura 9.18.2. La modificación debe ser tal que abY del circuito modificado corresponda con el inverso de la resistencia 2R ; de una manera similar se puede pro-ceder con la resistencia bR del am-plificador de la estructura realimen-tada; esto último no es tan importan-te dado que el AO se encuentra re-alimentado por aR , cuyo valor es arbitrario. La estructura del oscilador modificado se encuentra en la figura 9.18.3.

De la figura 9.18.2:

54354

4ab RRR

1RR

RY++

=

por lo tanto, al invertir, operar e igualar a 2R se tiene:

54

5332 R

RRRRR ++= ....... (9.18.6)

El factor de calidad equivalente y la frecuencia de oscilación de la estructura modificada se obtienen al sustituir (9.18.6) en las respec-tivas relaciones:

21

21

1

5RR

3eqv CC

CCR

R)1(RQ 5

4

+

++=

215RR

31

0CCR)1(RR

1w

5

4

++

=

La asignación de los valores para las tres resistencias que for-man el cuadripolo equivalente se realiza por ensayo y error, con la condición de minimizar sus valores. Un procedimiento adecuado es

FIGURA 9.18.3 OSCILADOR ES-

TRUCTURA MODI-FICADA.

261

establecer las siguientes relaciones entre las resistencias, tomando como base el valor de 1R :

αα 1

415312RRRRRRKR ====

por lo tanto de la relación (9.18.6) se tiene:

13

11R1

111 RR2RR

RRRK1

αααα

ααα

+=++=

de donde se tiene: 0K23 =−+ αα ....... (9.18.7) El valor de α se obtiene por la solución de (9.18.7), ver ANEXO 6; o empleando un procedimiento numérico, en este caso nótese que la solución de (9.18.7) es un poco menor que la raíz cubica del termino independiente. En el caso del ejemplo numérico anterior; o sea, para 20Qeqv = y K = 1600, empleando (9.18.7) se obtiene: 64,11=α asignando, como en el caso anterior, Ωk10R1 = resultan los valores:

Ωk4,116RR 53 == y Ω1,859R4 = ; valores que evidentemente son me-nores. Nótese que en este caso la resistencia Thévenin que ve el puerto inversor del amplificador empleado en el filtro activo es del or-den de Ωk117 , que es 137 veces menor que en el caso anterior.

9.19 COMPARADOR DE LAZO CERRA-DO. OPERACIONAL

Para la estructura de la figura 9.19.1; donde la ganancia del AO tiende a infinito y su tensión de salida se encuentra acotada entre los valores +

SV y −SV ; comprobar que la estructura se puede compor-

tar como un comparador de lazo cerrado. Imponiendo las condiciones para tal comportamiento calcular las tensiones de conmutación e histé-resis cuando aV es una tensión constante mayor que cero.

262

El funcionamiento no lineal de una estructura reali-mentada se tiene si el producto β ⋅ A , o su equivalente, tienden a un valor mayor que la uni-dad; por lo tanto se debe ana-lizar el circuito para determinar la expresión equivalente al producto β ⋅ A . En la estructu-ra propuesta el amplificador empleado es un diferencial; por lo tanto, podemos emplear la expresión (7.2.7) para com-probar la no linealidad de la estructura y deducir las relaciones que deben cumplir las resistencias asociadas con el amplificador para que se satisfaga el comportamiento no lineal de la misma:

1)XX()XX(A 23132A

2313dC >−−− ........(9.19.1)

De la relación (9.19.1), considerando que Ad ⇒∞ , se encuen-tra que la estructura realimentada será no lineal cuando 0XX 3231 >− , por lo tanto:

3231 XX > ........(9.19.2)

En el circuito de la figura 9.19.1, anulando las dos entradas se obtienen los dos parámetros requeridos por (9.19.2):

21

132

43

331 RR

RXRR

RX+

=+

=

imponiendo la condición de no linealidad se tiene:

X XR

R RR

R R3 1 3 23

3 4

1

1 2> ⇒

+>

+ ........(9.19.3)

de donde se obtiene:

41322

1

4

3 RRRRRR

RR

>⇒> ........(9.19.4)

Imponiendo a los elementos de la estructura las condiciones

FIGURA 9.19.1 COMPARADOR DE LAZO

CERRADO. OPERACIONAL.

263

dadas por (9.19.4) y aplicando la ecuación (7.2.10) se obtienen las tensiones de conmutación:

2e1e

2a1aa

2e1e

3132oe XX

XXV

XXXXVV

−

−−

−−

= ....... (9.19.5)

de la figura 9.19.1 se calculan los parámetros:

0XRR

RXRR

RX0X 2a43

41a

21

22e1e =

+=

+==

sustituyendo en (9.19.5), imponiendo las restricciones dadas por (9.19.4), reemplazando la tensión de salida por sus valores extremos y conside-rando el hecho que por definición −+

SS V>V se obtienen los valores de la tensión de encendido y de apagado del comparador; para lo cual:

21

2

43

4

21

2

43

3

21

1

RRRRR

R

a

RRR

RRR

RRR

S1c VVV+

+

+

+++−

−−

−

−=

21

2

43

4

21

2

43

3

21

1

RRRRR

R

aRR

RRR

RRR

R

S2c VVV+

+

+

++−−

−−

−

−=

)RR(R)RR(RV

)RR(RRRRRVV

432

214a

432

3241S1c +

++

+−

−= +− ....... (9.19.6)

)RR(R)RR(RV

)RR(RRRRRVV

432

214a

432

3241S2c +

++

+−

−= −− ....... (9.19.7)

al considerar (9.19.4) las expresiones anteriores se pueden escribir como:

2o1S1c KV)K(VV +−−= +−

2o1S2c KV)K(VV +−−= −−

donde 1K y 2K son los mó-dulos de los coeficientes de las relaciones (9.19.6) y (9.19.7) evaluados con los valores asignados a las cuatro resistencias del cir-cuito.

2a1S1c KVKVV += +− ....... (9.19.8)

V R R RR R Ra

4 1 2

2 3 4

( )( )

++

Vs

Ve

Ve de encendidoVe de apagado

Vs de saturación +

Vs de saturación -

V de histeresis

FIGURA 9.19.2 CARACTERÍSTICA ENTRADA

SALIDA DEL COMPARADOR.

264

2a1S2c KVKVV += −− ........(9.19.9)

Por medio de la comparación entre las relaciones (9.19.8) y (9.19.9) se concluye que la tensión de encendido es la definida por (9.19.8); dado que la tensión de encendido debe ser mayor que la de apagado:

)RR(R)RR(RV

)RR(RRRRRVV

432

214a

432

4132Sencendidoe +

++

+−

= +− ......(9.19.10)

)RR(R)RR(RV

)RR(RRRRRVV

432

214a

432

4132Sapagadoe +

++

+−

= −− ......(9.19.17)

Para obtener la tensión de histéresis basta con calcular la dife-rencia de las tensiones de conmutación:

)RR(R

RRRRV)RR(R

RRRRVV432

4132S

432

4132Shisteresis +

−−

+−

= −+ ......(9.19.18)

El sentido en el cual se recorre el ciclo de histéresis se obtiene al estudiar el signo de (7.2.12), para este caso:

−=

+−=−

21

22i1i RR

R0SignXXSign

Por lo tanto, el ciclo de histéresis se recorre en el sentido hora-rio, como se indica en el gráfico de la figura 9.19.2 donde se encuentra la característica entrada salida del comparador.

9.20 FORMAS DE ONDAS DE SALIDA

En la estructura de la figura 9.20.1 determinar las formas de ondas de )t(V2 , admitiendo que la resistencia 1R puede tomar los dos valores indicados, y que tanto los diodos como los AO son ideales. La estructura posee dos señales aplicadas como entrada; una de ellas denominada RV , es una fuente de tensión constante; la otra entrada

iV es una tensión variable cuya forma de onda es periódica e indicada en la figura 9.20.2; donde también se incluye su derivada en función del tiempo.

265

Directamente, el análisis del circuito de la figura 9.20.1 permite inferir que la presencia de 3A y sus elementos asociados imponen un comportamiento lineal a trozos para la estructura; similar al descrito en el ejemplo 9.4. El comportamiento es tal que la forma de onda de )t(V2 es la salida de 2A invertida de signo y multiplica por la relación 78 R/R , siempre y cuando )t(Vb sea menor que cero; o sea:

>

<−=

0V;0

0V;RR

VVb

b7

8b

2 ....... (9.20.1)

Analizando el circuito formado por 1A y las cuatro resistencias asociadas, se concluye que pueden formar un comparador de lazo cerrado, comportamiento que dependerá de los valores de los elemen-tos. La condición de linealidad del circuito se determina por medio de la relación (4.4.4-a) considerando que la ganancia diferencial tiende a infinito. Asignando la numeración de los terminales como corresponde a un amplificador diferencial y se indica en la figura 9.20.1, se tiene:

d3dC3CC3Cd3d XAXA10XAXA1 >−⇒>−−

realizando el límite para dA tendiendo a infinito, la estructura será li-neal cuando se satisfaga:

FIGURA 9.20.1 ESTRUCTURA PARA CALCULAR LAS FORMAS DE ONDAS DE SALI-

DA.

266

0X d3 < ........(9.20.2)

anulando las entradas, de la figura 9.20.1:

43

3

21

12313d3 RR

RRR

RXXX

+−

+=−= ........(9.20.3)

considerando los dos valores de R1 se tiene:

⇒−=−==

452,021

5,105,0

k5,0RX

1d3 Ω

linealidad

⇒=−==

0238,021

2111

k11RX

1d3 Ω

no linealidad

Dados los resultados anteriores, la estructura presenta un comportamiento completamente diferente al cambiar el valor de la re-sistencia 1R .

Para Ωk5,0R1 = ; 1A y sus elementos asociados se comportan como un amplificador, cuya tensión de salida aV se obtiene aplicando superposición, con el fin de considerar las dos entradas a la estructu-ra, y la relación (4.2.6). Directamente de la figura 9.20.1 se calculan los parámetros X pq :

452,0X1X0XX d3030R0i −====

FIGURA 9.20.2 SEÑAL DE ENTRADA Y SU DERIVADA.

267

500,0RR

RX;952,0

RRR

X43

4dR

21

2di −=

+−==

+=


V V t V V t Va i R i R= −−

+ −

−

= +( ) ,

,,,

, ( ) ,0 0 9520 452

0 0 5000 452

2 01 1 11

La salida de A2 simplemente será:

V t R Cd Vd tb

a( ) = − 5 ....... (9.20.4)


<

>⋅=

<

>=

0V;0

0V;RR

td)t(Vd

CR01,2

0V;0

0V;RR

td)t(Vd

CRVi

i7

8i5

a

a7

8a5

2

....... (9.20.5) Empleando la forma de onda de la derivada de la señal de entrada al aplicar la relación (9.20.5) se obtiene tensión de salida de la estructura cuando R k1 0 5= , Ω . La forma de onda se encuentra en la figura 9.20.3.

Cuando la resistencia 1R posee el valor de 11 kΩ la estructura es no lineal, como se deduce al aplicar la relación (9.20.3). El compor-tamiento del amplificador A1 y sus elementos asociados corresponde con el de un comparador de lazo cerrado; cuyos niveles de conmuta-ción se obtienen al aplicar la relación (7.2.10). Considerando que los niveles de saturación del AO corresponden con los de alimentación y calculando los restantes parámetros qpX requeridos para aplicar la relación, se obtienen los niveles de conmutación del comparador; di-rectamente de la figura 9.20.1:

FIGURA 9.20.3 FORMA DE ONDA DE LA SEÑAL DE SALIDA, V2(t) PARA

R K1 0 5= , Ω .

268

500,02010

RRR

X476,02110

RRR

X43

4da

21

2di −=−=

+−===

+=

por lo tanto:

65,1476,0

5,01476,00238,012

X

XX

X

XXX

di

daa

di

d3*0encdi =+=−−=−

45,0476,0

5,01476,00238,012

X

XX

X

XXX

di

daa

di

d3*0apagi =+−=−−=−

Para describir completamente el comparador se requiere el sen-tido en el cual se recorre el ciclo de histéresis; el cual se obtiene por la relación (7.2.12):

+=−=− 0476,0signXXsign 2i1i

por lo tanto, el ciclo de histéresis se recorre en sentido contrario al reloj. Los niveles de conmutación del compardor se añadieron en la figura 9.20.2 donde se encuentra la forma de onda de la señal de en-trada y su derivada.

Tomando en cuenta el funcionamiento del compardor de lazo cerrado; cada vez que la forma de onda de la señal de entrada alcan-za el nivel de encendido con pendiente positiva, la salida de A1 con-muta y adquiere el nivel de saturación positiva; y cuando cruza con pendiente negativa el nivel de apagado la salida de A1 conmuta y ad-quiere el nivel de saturación negativa. A la salida del circuito derivador se obtienen impulsos de signos alternos cada vez que la salida del comparador cambie de estado; al actuar el circuito rectificador formado por A3 y sus elementos asociados, se tienen a la salida de la estructu-

FIGURA 9.20.4 FORMA DE ONDA DE LA SEÑAL DE SALIDA, V2(t) PARA

R K1 11= Ω .

269

ra impulsos positivos, cuya amplitud coincide con el nivel de satura-ción positiva, en cada instante de tiempo que la señal de entrada al-canza el nivel de encendido con pendiente positiva, como se indica en la figura 9.20.4.

Por la forma de onda obtenida a la salida del comparador de lazo cerrado, tren de pulsos rectangulares, como respuesta de una forma de onda arbitraria con determinadas característica de amplitud surge el nombre que recibe tal aplicación para un comparador de lazo cerrado: conformador de formas de ondas. En tales circuitos, a su salida se obtiene un tren de ondas rectangulares en los cuales sus características temporales se encuentran directamente relacionadas con los tiempos que tarda la señal de entrada en cruzar los niveles de conmutación del comparador.

9.21 GENERADOR DE ONDA CUADRA-DA

Comprobar que la estructura no lineal de la figura 9.21.1 se comporta como un oscilador no lineal; determinar los valores límites y las características relacionadas con el tiempo de las formas de ondas de las variables denominadas )t(X*

0 y )t(Xi . Los niveles de saturación del AO se pueden considerar simé-tricos y su ganancia de tensión infinita.

Aplicando la relación (4.4.7) se evidencia que el comportamiento de toda la es-tructura no es estable, puesto que:

01CsR

1RR

RX

321

1d3 =

+−

+=

por tanto, se tiene:

FIGURA 9.21.1 GENERADOR DE ONDA CUADRADA.

270

0CR

1RR

s31

2 >=

adicionalmente, considerando 0w = el comportamiento de toda

la estructura en lineal puesto que:

0XRR

RX d3

21

1d3 <−

+= ⇒∞

Por lo tanto, para el estudio del comportamiento de la estructu-ra se puede proceder a modelarla como lo establece el numeral 7.3. Directamente de la figura 9.21.1, se reconoce que el AO y las resisten-cias 1R y 2R forman la estructura no lineal que presenta histéresis; así como también que la red de realimentación externa es el divisor entre el condensador y la resistencia 3R . Dado que la entrada al compara-dor se encuentra definida directamente en el puerto inversor del AO, el signo de (7.2.12) será negativo; por lo tanto, el ciclo de histéresis se recorre en el sentido de las agujas del reloj. Los niveles de conmuta-ción se calculan por la relación (7.2.10), considerando nula la entrada

aX . Directamente de la figura 9.21.1 se obtienen los parámetros nece-sarios.

Los modelos para la salida del comparador son: +=S

VX *o y

−=S

VX *o , dependiendo del estado de la salida considerado.

Los parámetros qpX , los niveles de conmutación del compara-dor y la función de transferencia de la red de realimentación externa al comparador son:

1X0X0XRR

RX 2i1i3221

131 ===

+=

21

1Sapagadoi

211

SRR

R

Sencendidoi RRRVXRR

RV1

VX 21

1

+=

+=

−

−= −

−+++

−

1CsR

1R

)s(X33sC

1sC1

*i,o +

=+

=

Com

Xi

2 0*

X0*

X Si0* , ( )

FIGURA 9.21.2 DIAGRAMA DE BLOQUES.

271

Un diagrama de bloque de la estructura se encuentra en la figura 9.21.2. La comprobación del comportamiento de la estructura es verifi-car que se cumplen las relaciones (7.3.10) y (7.3.11) particularizada adecuadamente; 1K1 = y 0Xex = .

1com2com1com*0 XXSignXXSign −−− −=− ....... (9.21.1)

1com2com1com*0 XXXX −−− −≥− ....... (9.21.2)

En primer lugar comprobaremos las condiciones para la trayec-toria superior del ciclo de histéresis:

21

1S2com

21

1S1comS

*0 RR

RVX

RRR

VXVX+

=+

== +−

−−

+

+−

+=

+−=− −+−+

−21

1S

21

1S

21

1SS1com

*0 RR

RVRR

RVSignRR

RVVSignXXSign

....... (9.21.3)

21

1S

21

1S

21

1SS1com

*0 RR

RV

RRR

VRR

RVVXX

+−

+≥

+−=− −+−+

−

....... (9.21.4) para la trayectoria inferior del ciclo de histéresis se tiene:

21

1S2com

21

1S1comS

*0 RR

RVX

RRR

VXVX+

=+

== −−

+−

−

+−

+=

+−=− +−+−

−21

1S

21

1S

21

1SS1com

*0 RR

RVRR

RVSignRR

RVVSignXXSign

....... (9.21.5)

21

1S

21

1S

21

1SS1com

*0 RR

RV

RRR

VRR

RVVXX

+−

+≥

+−=− +−+−

−

....... (9.21.6)

por ser los niveles de saturación del amplificador simétricos, las cuatro condiciones, establecidas por las últimas relaciones, se satisfacen; por lo tanto, a la salida de la estructura se tiene un tren de pulsos periódicos. Por ser la red de realimentación invariante y los niveles de saturación del amplificador simétricos, los pulsos serán cuadrados de promedio nulo.

272

El periodo de ambas for-mas de ondas, la obtenida a la salida del comparador y la forma de onda de la señal realimentada son los mismos; y se obtiene al determinar el tiempo requerido por la señal realimentada en recorrer el intervalo de valores definido por una de las trayecto-rias horizontales del ciclo de his-téresis; en este caso particular, por las características de simetría men-cionadas anteriormente, el período será el doble del tiempo calculado empleando la relación (7.3.7). Previamente se obtendrá la forma de on-da de la señal realimentada, dada por (7.3.2). De la figura 9.21.1, consi-derando la trayectoria horizontal superior del ciclo de histéresis, para definir las condiciones iniciales del condensador, se obtiene el circuito equivalente transformado, que se encuentra en la figura 9.21.3; de donde aplicado superposición:

CR1

321

1S

21

1S

CR1

3

Si

33S

1CR

1RR

Rs

VRR

Rs

VS

1CR

1s

V)s(X++

−+

++

=−−+

s1

RRRV

)s(s1

RRR

CRV

CRV)s(X

21

1S

CR1

21

1

3

S

3

Si

3+

++

+−=

−−+

s1

RRR

Vs

1s1

RRR

VV)s(X21

1S

CR121

1SSi

3+

+

+−

+−= −−+

cuya transformada inversa es:

21

1S

C3R

21

1SSi RR

RVt

1RR

RVV)t(X e+

+

−−

+−= −−+

simplificando:

C3RS

21

1SSi

tV

RRRVV)t(X e−

−+

+= +−+ ........(9.21.7)

Empleando la función (9.21.7) evaluada para 2t e igualándola

FIGURA 9.21.3 CIRCUITO EQUIVALENTE

TRANSFORMADO.

273

al valor de la conmutación, 2comX , se obtiene el semiperíodo de las formas de onda:

C3R2

S21

1SS

21

1S2i

t

VRR

RVVRR

RV)t(X e−

−+

+=+

= +−++

de donde:

+

−+ −+=

S2

1SS2132

VRRVV)RR(LnCRt ....... (9.21.8)

por ser )t(X*0 una onda cuadrada, su periodo es el doble del calculado

por (9.21.8); y es el mismo para las dos formas de onda de salida:

+

−+ −+⋅=⋅=

S2

1SS2132

VR

RVV)RR(LnCR2t2T ....... (9.21.9)

En el esquema de la figura 9.21.4 se representa las formas de onda de las señales )t(X*

0 y )t(Xi e indican los puntos de mayor inte-rés. En muchas ocasiones, dependiendo de la estructura de la red de realimentación añadida al comparador, cuando posean un solo ele-mento dependiente de la frecuencia, como en el presente caso, la de-pendencia con relación al tiempo y el periodo de las formas de onda se pueden encontrar por un procedi-miento menos laborioso; la forma de onda a la en-trada del comparador,

)t(Xi , será una exponen-cial; pudiéndose determi-nar sus características utilizando sus valores ini-ciales y finales, que son conocidos. Para este caso particular:

C3Ri

tBA)t(X e−

+= ..... (9.21.10)

donde las constantes A y B son determinadas con las condiciones limi-

T

T2

Vapag

Vencd

Xi

VS−

t

VS+

T2

T2T1

T

Xi

X0*

FIGURA 9.21.4 FORMAS DE ONDAS.

274

tes de operación del circuito: +=

∞→= Si V)t(X

tlim

A −

+=

→=+ S

21

1i V

RRR)t(X

0tlim

BA +− −+

=−+= SS21

1 VVRR

RABAB


C3RS

21

1SS

C3Ri

t

VRR

RVV

t

BA)t(X ee−

+−+−

−+

+=+= ......(9.21.11)

expresión que es idéntica a la dada por (9.21.7).

9.22 GENERADOR DE FUNCIONES. ONDAS TRIANGULARES Y CUA-DRADAS

En la figura 9.22.1, donde todas las resistencias son de valor R excepto R3 que es de valor 2 ⋅ R , determinar las características funda-mentales y las formas de ondas de las tensiones )t(Va y )t(Vb .

Al realizar las pruebas con las relaciones (4.4.7) y (4.4.2) se obtiene que la estructura es no estable y su comportamiento a fre-cuencia nula es lineal; por lo tanto, su estudio se puede realizar como se establece en el numeral 7.3. Analizando el circuito formado por 1A y las cuatro resistencias aso-ciadas, R1 , R2 , R3 y R4 se concluye que forman un comparador. Los niveles de conmutación del compara-dor se calculan por medio de la relación (7.2.10), en donde a la tensión de sali-da del AO se le asignan los dos valores de saturación; para el circuito de la figura se tiene:

FIGURA 9.22.1 GENERADOR DE FUNCIONES.

275

43

4

21

1

43

3

RRR

RRR

RRR

*0i XX

+

++ −= ..........(9.22.1)

evaluando (9.22.1), para los dos valores de saturación:

−−++ −==== SSapagSSencd V21

21VVV

21

21VV

Dado que la señal realimentada externamente es aplicada al puerto no inversor del AO el signo de la relación (7.2.12) es positivo; lo que im-pone que el ciclo de histéresis se recorra en sentido contrario del reloj, como se indica en la figura 9.22.2.

La red de realimentación ex-terna es el circuito asociado con

2A ; o sea, un integrador; por lo tanto, los valores extremos que toma su salida se encuentran defi-nidos por la saturación que impone el amplificador 2A . Para comprobar las condiciones de funcionamiento de la estructura como generador de onda se pueden utilizar las relacio-nes (7.3.10) y (7.3.11) particulari-zadas para la estructura, 1K1 = y

0Xext = ; y los niveles de conmutación calculados anteriormente.

Para la trayectoria superior del ciclo de histéresis:

encdapagencdS1comextmo VVSignVVSignXXSign −=−=− −− ....... (9.22.2)

X X V V V Vextmo com S encd apag encd− = − ≥ −−−

1 ....... (9.22.3)

De forma similar se obtienen las condiciones para el recorrido inferior: apagencdapagS1comextmo VVSignVVSignXXSign −=−=− +

− ....... (9.22.4)

apagencdapagS1comextmo VVVVXX −≥−=− +− ....... (9.22.5)

X0*

Xi

Vapag Vencd

VS+

VS−


TRANSFERENCIA.

276

Los resultados indican que se satisfacen las condiciones im-puestas de signo y magnitud, por lo tanto, la estructura de la figura 9.22.1 se comporta como un generador de ondas no sinusoidales.

Considerando la función de transferencia del integrador y apli-cando la relación (7.3.2) se obtiene la expresión general para )t(Xi :

1com5

*0i Vt

CRX)t(X −+−=

1 ........(9.22.6)

Dadas las condi-ciones de simetría que presentan tanto los nive-les de saturación de A1 como los de conmuta-ción del comparado la forma de onda )t(Va es una onda periódica cua-drada de promedio nulo; por lo tanto, )t(Vb será la integral invertida de sig-no de )t(Va , resultando una onda triangular de promedio nulo cuya am-plitud corresponde con el nivel de conmutación del comparador y desfa-sada 180 0 con relación a la onda cuadrada; en la figura 9.22.3 se presen-ta un esquema de ambas formas de onda. Particularizando la relación (9.22.6) para el recorrido horizontal inferior, equivalente a (7.3.7), se de-termina el semiperíodo de las formas de ondas:

encd15

Sapag1b Vt

CRV

V)t(V =+=+

despejando el tiempo que tarda señal V tb( ) en recorrer el segmento inferior del ciclo de histéresis:

CRV

CRV

21V

21

V

CR)VV(t 5

S

5SS

S

5apagencd1 =

+=−=

++−

+

El período de las formas de onda es: CR2t2T 51 =⋅=

T1

Vapag

Vencd

T2

Vb(t)

Va(t)VS+

VS−

t

FIGURA 9.22.3 FORMAS DE ONDAS DE LAS SALIDAS.

277

9.23 GENERADOR DE ONDAS. CICLO DE TRABAJO VARIABLE

Para el circuito de la

figura 9.23.1, los AO pueden considerarse ideales y sus niveles de saturación simé-tricos. Admitiendo que las entradas aplicadas a la es-tructura rV y mV son cons-tantes determinar las carac-terísticas que definen las formas de ondas de las se-ñales )t(Va y )t(Vb .

Al realizar las prue-bas con las relaciones (4.4.7) y (4.4.4) se obtiene que la estructura es no estable y su comportamiento a frecuencia nula es lineal; por lo tan-to, su estudio se puede realizar como se establece en el numeral 7.3. Directamente del circuito de la figura se concluye que la estructura formada por 1A y las resistencias 1R y 2R forman un comparador; cu-ya ventana de histéresis se encuentra afectada por en nivel de la señal

rV y se recorre en sentido contrario al reloj por estar la entrada )t(Xi asociada con el puerto no inversor. Los niveles de conmutación del comparador se calculan con relación (7.2.10), asignando como tensión de salida del AO los dos valores de saturación; o sea, para el circuito de la figura se tiene:

1

21r

1

2*0

RRRr

RRR

RRR

*0i R

RRVRRX10V

0XX

21

1

21

1

21

2+

+−=−

−−

=

++

+ ....... (9.23.1)

evaluando, para los dos valores de saturación:

1

21r

1

2Sapag

1

21r

1

2Sencd R

RRVRRVV

RRRV

RRVV +

+−=+

+−= +− ....... (9.23.2)

En la figura 9.23.2 se encuentra un esquema de la característi-

FIGURA 9.23.1 GENERADOR DE ONDAS. CI-

CLO DE TRABAJO VARIABLE.

278

ca entrada salida del comparador; para realizarlo se asigno una ten-sión positiva como señal rV .

La red de realimentación ex-terna es el circuito asociado con el

2A ; específicamente es un sumador dependiente de la frecuencia que realiza la suma de la señal de salida del comparador, *

0X , con la señal externa mV aplicada a la red de re-alimentación. El circuito de la figura 9.23.3 permite obtener la expre-sión general para la señal )s(Xi en régimen permanente. De la figura:

s

CICRs11

sV

CRs1

sX

)s(X3

m

3

*0

i +

++−=

Empleando la transformada inversa de Laplace se obtiene la expresión en el dominio tiempo:

CIVtCR

XV)t(X m3

*0m

i ++−

= ........(9.23.3)

Particularizando adecuadamente la relación (9.23.3) se obtie-nen las expresiones validas, en régimen permanente, para los recorri-dos horizontales del ciclo de histére-sis; para cada recorrido se deben sustituir tanto la salida del compara-dor como los valores de las condi-ciones iniciales del condensador. Previamente se deben deducir los valores de las condiciones iniciales considerando la continuidad de la tensión en el condensador durante la conmutación. Las CI para cada uno de los recorridos horizontales se obtienen por medio de la relación (9.23.3) evaluada en cero y asignan-do el valor particular de la salida del

VrR R

R1 2

1

+

X0*

Xi

Vapag Vencd

VS+

VS−

FIGURA 9.23.2 CARACTERÍSTICA

DEL COMPARADOR.

FIGURA 9.23.3 RED DE REALI-

MENTACIÓN.

279

comparador:

mapageriorinferiorinfm3

smapageriorinfi VVCICIV0

CRVVV)0(X −=⇒++

−==

−(9.23.4)

mencderiorsuperiorsupm3

smencderiorsupi VVCICIV0

CRVVV)0(X −=⇒++

−==

+(9.23.5)

por lo tanto, las expresiones de )t(Xi validas para cada recorrido serán:

1

apag3

smeriorinfi

Tt0

VtCR

VV)t(X

≤≤

+−

=−

....... (9.23.6)

2

encd3

smeriorsupi

Tt0

VtCR

VV)t(X

≤≤

+−

=+

....... (9.23.7)

Las funciones de tiempo dadas por (9.23.6) y (9.23.7) permiten comprobar las condiciones de funcionamiento de la estructura como oscilador no lineal. Para lo cual, considerando el recorrido inferior del ciclo de histéresis, al aplicar la relación (7.3.4) se tiene la condición de signo; operando con el primer miembro:

apagSapag3

Sm1comextmoi VVSignV

CRVVSignX)t(XSign −=

−−

=

− +−

− ∞

Nótese que el máximo valor que puede alcanzar la señal X ti ( ) lo impone la saturación de 2A ; por lo tanto el signo de la relación anterior será positivo para: −> Sm VV . Operando con el segundo miembro de la relación (7.3.4) se obtiene:

+=

+−=−=− +−−−

1

2S

1

2Sapagencd1com2com R

RVRRVSignVVSignXXSign

por medio de la relación (7.3.5) se comprueba la condición de magnitud:

apagencdapagS1comextmoi VVVVX)t(X −≥−=

− +−

Operando de manera similar para el recorrido superior del ciclo de histéresis se comprueba que la estructura conmuta para la condi-

280

ción +< Sm VV . Por lo tanto, se puede concluir que el circuito de com-portará como un generador no lineal para aquellos valores de la señal externa mV que satisfagan las restricciones:

+− << SmS VVV

Evaluando las relaciones (9.23.6) y (9.23.7) para los extremos de los intervalos 1T y 2T e igualándolas a los niveles de conmutación de encendido y apagado respectivamente, se obtienen las expresiones en función de los parámetros para 1T y 2T :

3sm

apagencd1apag1

3

smencderiorinf1i CR

VV

VVTVT

CRVVV)T(X −

−

−

−=⇒+

−== ......(9.23.8)

3sm

encdapag2encd2

3

smapageriorsup2i CR

VV

VVTVT

CRVVV)T(X +

+

−

−=⇒+

−== ......(9.23.9)

El periodo de las formas de ondas y su ciclo de trabajo serán:

−

−+

−

−=+=

+−Sm

encdapag

Sm

apagencd321

VV

VV

VV

VVCRTTT ......(9.23.10)

+−

+

+−− −

−=

−

−

−+

−

−

−

−==

SS

Sm

Sm

encdapag

Sm

apagencd

Sm

apagencd1

VV

VV1

VV

VV

VV

VV

VV

VV

TT

D ...(9.23.11)

Por ser simétricos los niveles de saturación, de la relación (9.23.11) se tiene:

−=

−

−=

−

−== +−+

+

+−

+

S

m

SS

mS

SS

Sm1

VV1

21

VVVV

VVVV

TTD ......(9.23.12)

La expresión anterior pone de manifiesto que la señal externa mV controla linealmente el ciclo de trabajo de las formas de ondas;

cuando mV recorre el intervalo comprendido entre +SV y −

SV el ciclo de trabajo varia entre 0 y el 100%.

Considerando las condiciones de simetría que presentan tanto los niveles de salutación de los AO como los de conmutación del com-parador se tiene que )t(Va es una onda rectangular periódica de pro-medio no nulo; cuya amplitud es fija y establecida por los niveles de saturación de la fuente controlada que constituye la salida del compa-

281

rador. La otra salida de la estructura, )t(Vb , es una onda triangular de prome-dio no nulo, cuyos valores máximos y mínimos son determinados por los nive-les de conmutación del comparador; y se encuen-tra desfasada 180 0 con re-lación a la onda rectangu-lar. La amplitud de la onda triangular puede ser alterada, como se expresa en la relación (9.23.2), por medio de la entrada auxiliar rV aplicada directamente al compara-dor. El ciclo de trabajo es modificado entre 0 y el 100% al actuar sobre el valor de la entrada mV , como lo establece (9.23.12); correspondién-dole el 50% cuando la señal de control es nula. En la figura 9.23.4 se encuentra un esquema de las formas de onda de salida; para su ela-boración se supone que los niveles de las dos señales de entrada rV y

mV son positivos.

9.24 GENERADOR DE PULSO

Para el circuito de la figu-

ra 9.24.1, determinar la amplitud mínima y la frecuencia máxima de un tren de impulsos positivos,

estX , que aplicado en el puerto no inversor del AO por medio del condensador 1C , cuyo valor es muy pequeño, provoca a la salida del AO una serie de pulsos sin-cronizados con los estímulos aplicados como entrada. Todas las resistencias son iguales; el

T1

Vapag

Vencd

T2 T1 T2

Vb(t)

Va(t)VS+

VS−

t

FIGURA 9.23.4 FORMAS DE ONDAS DE LAS

SALIDAS.

FIGURA 9.24.1 GENERADOR DE PULSO.

282

diodo puede ser considerado ideal y posee una de tensión umbral DV .

La presencia del diodo en la estructura impone un comporta-miento a trozos. Admitiendo que el diodo conduce, por medio de la relación (4.4.4) se tiene:

0RR

RX

21

1d3 >

+=

que denota un comportamiento no lineal de la estructura; o sea, un comparador, que en ausencia de señal de entrada su salida se man-tiene en un estado cualquiera. En cambio, con el diodo abierto, al rea-lizar las pruebas con las relaciones (4.4.7) y (4.4.2) se obtiene que la estructura es no estable y su comportamiento a frecuencia nula es lineal; por lo tanto, su estudio se puede realizar como se establece en el numeral 7.3.

Directamente de la figura se reconoce que la estructura funcio-na como un comparador realimentado externamente; el comparador lo forman el AO y las resistencias 1R y 2R ; por estar la señal )t(Xi apli-cada al puerto inversor el ciclo de histéresis se recorre en sentido horario. A la salida de la red externa de realimentación se encuentra el diodo D ; elemento no lineal que por su posición imposibilita que la tensión realimentada al puerto inversor del AO sobrepase la tensión umbral del diodo. En la figura 9.24.2 se encuentra la característica salida entrada del comparador; en ella se indican los niveles de con-mutación y el valor impuesto por la conducción del diodo. Por medio de la relación (7.2.10), en donde a la tensión de salida del AO se le asignan los dos valores de saturación, se obtienen los niveles de con-mutación; particularmente para el circuito de la figura 9.24.1 se tiene:

1

XX 21

1RR

R*0i

+= ........(9.24.1)

++ == SSencd V21

21VV +− −== SSapag V

21

21VV

La condición de reposo de la estructura, la que adquiere de manera espontánea, se deduce de la característica de salida entrada indicada en la figura 9.24.2. Tomando en cuenta el sentido del recorri-do del ciclo de histéresis y considerando que la salida del amplificador se encuentra en el nivel −

SV en la figura se observar que la señal re-

283

alimentada externamente, )t(X i no podrá disminuir del valor impuesto por el diodo, que se encuentra con-duciendo por ser negativa la salida del amplificador; por lo tanto, no se alcanza la condición de conmuta-ción definida por la tensión de apa-gado.

Al ser aplicado directamente a la entrada no inversora del AO , por medio de 1C , un impulso de características apropiadas, )t(X est , se alcanza la condición de conmu-tación y la salida del comparador cambia al nivel VS

+ ; las condiciones de signo y magnitud del impulso se obtienen por las relaciones (7.3.12) y (7.3.13); nótese que para el caso particular del ejemplo tratado los impulsos que ocasionan la conmuta-ción del circuito son aplicados al puerto no inversor; y por lo tanto, se debe invertir la condición de signo dada por la relación (7.3.12), equi-valente a tomar K1 1= − :

+⇒

+−−=+−=−−= −

− DSDapaginhinhcomestm VV21SignVVSignXXSignXSign

....... (9.24.2)

DSDapagestm VV21VVX +−=+≥ − ....... (9.24.3)

Los resultados de las relaciones anteriores indican que se sa-tisfacen las condiciones admitiendo que la magnitud del estímulo co-rresponde con (9.24.3).

Por ser la red de realimentación un pasa bajos de primer orden; la forma de onda de la señal realimentada externamente, )t(Xi , se calculará directamente en el dominio tiempo:

C3Rt

i eBA)t(X−

+= ....... (9.24.4)

donde las constantes A y B son determinadas con las condiciones limi-tes del circuito:

−VD

V Vapag S= −12

X0*

Xi

VS+

VS−

V Vencd S= +12


TRANSFERENCIA.

284

DiSi V)t(X0t

limBAV)t(X

tlim

A −=→

=+=∞→

= +

++ −−=−−=−+= SDSD VVVVABAB sustituyendo en (9.24.4):

C3Rt

SDSC3R

t

i ee VVVBA)t(X−

++−

+−=+= ........(9.24.5)

Para calcular la duración de cada pulso de salida, DT , se emplea la ecua-ción (7.3.20). Igua-lando la relación (9.24.5) a la condi-ción de conmutación definida por el nivel de encendido y eva-luando para DTt = , se despeja la expresión para el tiempo de duración de los pulsos:

C3RDT

SDSC3R

t

Sencd ee VVVBAV21V

−++

−+ +−=+==

despejando:

+

+

++

+ +=

−

+=

S

SD3

S21

S

SD3D

V

VV2LnCR

VV

VVLnCRT ........(9.24.6)

Para la expresión del tiempo de recuperación se procede de manera similar; las condiciones iniciales y finales son establecidas por el nivel de apagado y el estado −

SV de la salida del amplificador: consi-derando que el recorrido horizontal inferior del ciclo de histéresis se encuentra acotado por la tensión umbral del diodo; o sea:

+− ==→

=+=∞→

= SencdiSi V21V)t(X

0tlim

BAV)t(Xtlim

A

+++−+ =+=−=−+= SSSSS V23VV

21VV

21ABAB

sustituyendo:

Vapag

Vencd

X0*

Xi

−VD

X vi = −

X vestm + +

VS−

t

VS+

TD TR

v+


285

+−+−=+=−

+=−

++−

C3Rt

SC3R

t

SSC3R

t

i eee23

1VV23VBA)t(X (9.24.7)

El tiempo de recuperación del generador de pulso se obtiene al igualar (9.24.7) a la tensión de conducción del diodo:

DC3R

RT

S V23

1V e −=

+−−

+

el tiempo de recuperación es:

DS

S3R

VV

V23LnCRT

−=

+

+ ....... (9.24.8)

Por último, empleando los tiempos dados por (9.24.6) y (9.24.8) en la relación (7.3.21) se obtiene la expresión para la frecuencia má-xima de los impulsos de entrada:

DS

DS3RD

imamax VV

VV3LnCRTT

f1

−

+=+=

+

+

Las características generales de las formas de ondas se en-cuentran en la figura 9.24.4; se indican en forma representativa: el tiempo de duración de los pulsos DT ; el tiempo de recuperación de la estructura TR ; los niveles: saturación, conmutación y el nivel que im-pone la operación del elemento no lineal, señaladas como +

SV , −SV ,

encdV , apagV y DV respectivamente; también se encuentran identifica-

das las señales )t(X*0 , )t(Xi ; las tensiones en los puertos de entrada

del AO que forma el comparador v+ . −v y se ilustra el efecto aditivo del estímulo externo en la tensión del puerto no inversor del AO .

286

9.25 GENERADOR DE PULSO II

Para el circuito de la fi-

gura 9.25.1, determinar las tensiones 0V , 1V y 2V . Los ni-veles de saturación del AO son simétricos y su ganancia infini-ta; el diodo D que es ideal se caracteriza por la tensión um-bral DV . En el instante t = 0 un impulso positivo de amplitud

Restm VV > es aplicado al circuito. Demuestre que la estructura se comporta como un generador de pulso, calcule su duración, e indique en un esquema las for-mas de ondas )t(V0 , )t(V1 y )t(V2 .

La estructura posee un compor-tamiento a trozos dada la presencia del diodo. Para el diodo abierto, el compor-tamiento de la estructura es no estable, puesto que su polinomio característico, ver relación (4.4.7), posee una raíz en cero y para 0w = se tiene una estructu-ra lineal de ganancia infinita; por lo tanto, para este estado del diodo, el comportamiento de la estructura se puede tratar de manera similar a la establecida en el numeral 7.3. Para el otro estado del diodo, conducien-do, la estructura simplemente es un amplificador de ganancia infinita.

Para t < 0 , la diferencia de tensión en los puertos del AO, 0V1 = y R2 VV −= , aseguran que la salida se encuentre en VS

+ .

El circuito formado por el AO y la fuente RV− constituye un comparador de lazo abierto. Esta estructura no presenta histéresis en

FIGURA 9.25.1 GENERADOR DE PULSO II.

FIGURA 9.25.2 COMPARADOR.

287

su característica de transferencia, pero sí un cambio abrupto; tal cam-bio permite efectuar un análisis similar al realizado para un compara-dor con histéresis. Por medio del esquema de la figura 9.25.2 y utili-zando la formula (7.2.10); donde Ra VX −= , se tiene:

0X1X1X0X0X0X 2i1i2a1a3231 ====== de la relación (7.2.10):

RR*0i V

0110V

0100XX −=

−−

+−−

= ....... (9.25.1)

dado el resultado de (9.25.1) las tensiones de conmutación serán las mismas, como se encuentra en la característica de transferencia de la figura 9.25.3. Conceptual-mente se puede interpretar que:

)(VV)(VV RapagRencd −−=+−=

De esta forma, el análisis dinámico de toda la estructura puede ser realizado aplicando los conceptos relativos a los genera-dores de pulsos tratados en el capítulo 7.

La asociación R y C for-man la red externa de realimenta-ción; el diodo D limita la tensión máxima en la entrada de la estruc-tura no lineal. La función )s(Xi se obtiene del circuito transformado de la red de realimentación, ver figura 9.25.4:

RC1

*0i s

1)CIX()s(X+

−=

de donde:

RCt

)CIX()t(X e*0i

−−= ....... (9.25.2)

−VR

X0*

Xi

VS+

VS−


TRANSFERENCIA.

FIGURA 9.25.4 CIRCUITO TRANS-

FORMADO.

288

La estructura responderá al estímulo externo con un cambio de nivel a la salida cuando se cumplan las condiciones establecidas por las relaciones (7.3.12) y (7.3.13); de la figura 9.25.2 se tiene que

1K1 −= y dado que la red es un pasa altos 0Xinh = : 0VSignVSign Restm −−=− ........(9.25.3)

0VV Restm −−≥− ........(9.25.4)

Por lo tanto, la salida de la estructura cambia al nivel de satu-ración negativo como respuesta al estímulo externo. El cambio se propaga por la red causando per-turbación en la entrada del compa-rador; si se satisfacen las relacio-nes (7.3.4) y (7.3.5) tendrá lugar un nuevo cambio a la salida; comple-tándose un pulso. Previamente se debe calcular los valores extremos que puede tomar la salida de la red de realimentación cuando se reco-rre el ciclo de histéresis. Conside-rando (9.25.2), para el recorrido inferior, +−= S

*0 VX y += SVCI :

++− −=−

−= SextremoSSextremoi V2RCt

)VV()t(X e ........(9.25.5)

aplicado las relaciones (7.3.4) y (7.3.5):

)(V)(VSign)(VV2Sign RRRS −++−=−+− + ........(9.25.6)

)(V)(V)(VV2 RRRS −++−>−+− + ........(9.25.7)

para el recorrido superior se tiene: += S*0 VX , −= SVCI ; en este caso el

valor extremo será:

+−+ =−

−= SextremoSSextremoi V2RCt

)VV()t(X e ........(9.25.8)


289

y se tendrá: )(V)(VSign)(VV2Sign RRRS ++−−=+++ ....... (9.25.9)

)(V)(V)(VV2 RRRS ++−−>+++ ..... (9.25.10)

Dado los resultados anteriores la estructura reacciona ante el estímulo con un pulso negativo a la salida del AO . Para el instante de la segunda conmutación, cuando finaliza el pulso de salida, la señal en el puerto no inversor tiende a tomar el valor dado por las relaciones (9.25.9) y (9.25.10), el diodo D actúa, al ser nula la resistencia aso-ciada el condensador adquiere las condiciones finales instantánea-mente; luego el tiempo de recuperación de la estructura es nulo. En la figura 9.25.5 se encuentran las características generales de las formas de ondas: )t(V0 , )t(V1 , )t(V2 .y )t(Vestm . La duración del pulso de salida se obtiene mediante (7.3.17), considerando (9.25.2) particularizada en la trayectoria inferior del ciclo de trabajo, o sea: +−= S

*0 VX , += SVCI

CRT

)VV(V)T(X

D

SSRDi e−

−−=−= ++

R

SD V

V2LnRCT

+= ..... (9.25.11)

9.26 GENERADOR DE ONDAS

Para el circuito de la figura

9.26.1, determinar )t(V0 indicando sus características. La alimenta-ción de la estructura es simétrica, entre ccV y ccV− ; la señal entX es una tensión constante negativa, cuyo valor es V− . Puede conside-rar los diodos y el AO ideal.

En la estructura se en-

FIGURA 9.26.1 GENERADOR DE ONDAS.

290

cuentran 4 diodos que imponen que su comportamiento sea a tro-zos. Los diodos zener simplemen-te acotan los valores máximo y mínimo de la salida del amplifica-dor cuando el diodo 2D se en-cuentre conduciendo. Los diodos

1D y 2D imponen que la estructu-ra posea cuatro circuitos equiva-lentes, dependiendo del estado en el cual se encuentren, que se indi-can en las figuras 9.26.2 a la 9.26.5.

Previo al análisis del com-portamiento temporal de la estruc-tura de deben establecer las con-diciones de operación de los cua-tro modelos equivalentes. Para los modelos de las figuras 9.26.2 y 9.26.3 su comportamiento es el de un amplificador; el primero de ellos no tendrá salida por ser nula su entrada. Para el circuito de la figu-ra 9.26.4 se deben emplear las relaciones (4.4.7) y (4.4.4):

( ) 0RR1sCR

RRR

RX

121

1

43

3d3 =

++−

+=

de donde:

CRRRRRRR

s132

3241 −=

21

1

43

3d3 RR

RRR

R0w

X+

−+

==

Asignando el valor de las resistencias tales que el comportamiento de la estructura no sea esta-ble, que los polos del polinomio característico se encuentren en el se-miplano derecho; o sea:


TE. D1 Y D2 ABIERTOS.


TE. D1 CERRADO Y D2 ABIERTO.


TE. D1 Y D2 CERRADOS.


TE. D1 ABIERTO Y D2 CERRADO.

291

4

3

2

1RR

RR

>

también se obtiene un compor-tamiento lineal de la estructura cuando 0w = . Por consiguiente, el análisis del circuito equivalen-te de la figura puede plantearse como se establece en el numeral 7.3.

Con relación al modelo de la figura 9.26.5 corresponde con un comparador de lazo cerrado cuyos niveles de conmutación son simétricos dada la alimentación del amplificador; por no tener en-trada aplicada su salida puede estar en cualquiera de los dos estados.

El análisis temporal de la estructura partirá en el momento que se encienda la alimentación en el instante t = 0 ; en consecuencia el condensador se encuentra descargado y todos los diodos abiertos, correspondiendo con el circuito equivalente de la figura 9.26.2. En el instante )0(t + el condensador tiende a cargarse negativamente, el dio-do D1 conmuta e implica que el comportamiento de la estructura co-rresponde con la figura 9.26.3; de la cual se tiene que:

1

2

1

2ext0 R

RVRRXV =−=

La tensión de salida obliga a 2D a conducir y el comportamien-to del circuito corresponder con el circuito equivalente de la figura 9.26.4; o sea, un comparador cuyo ciclo de histéresis se recorre en sentido horario. Después de la conmutación de 2D en t( )0+ las tensio-nes de los puestos de entrada del operacional serán:

v V RR R

V RR

RR R+ = +

=+0

3

3 4

2

1

3

3 4

0v =−

dado que el circuito equivalente corresponde con un comparador y en ese instante se cumple −+ > vv la salida será += s0 VV ; como se muestra en la figura 9.26.6 donde se encuentra la gráfica en función del tiempo

VRR

2

1

Vencd

X0* Xi

t =0

v v tC− = ( )v+

t

VS+

T1

T2


292

de las formas de ondas. La red externa de realimentación al comparador, formada por

1R , 2R y 1C posee una señal externa extX constante de valor −V . Las condiciones de conmutación se determinan por las relaciones (7.3.10) y (7.3.11). La tensión de encendido del comparador y la Thévenin equivalente entre los extremos del condensador son:

43

3Zencd RR

RVV+

=

21Z21

Z21

1

21

2Th VRRV

RR1V

RRRV

RRRV −

+=

++

+−=

Para que se satisfagan las condiciones de conmutación se de-be cumplir:

−+

=

−−+

0RR

RVSign0VRRV

RR1Sign

43

3Z21Z

21 ........(9.26.1)

0RR

RV0VRRVRR

1

43

3Z21Z

21−

+≥−−

+ ........(9.26.2)

Admitiendo que se cumplen con las condiciones establecidas por las relaciones anteriores se puede evaluar el tiempo que requiere la señal de entrada al comparador, )t(Xi , para alcanzar la condición de conmutación; o sea, evaluar la relación (7.3.14), convenientemente adecuada a la presente situación, la señal de entrada comienza a cambiar de valor con el condensador descargado:

43

3Z21Z

21

21Z21

21encdTh

ThTh1

RRRVVRRV

RR1

VRRVRR

1

LnCRRVV

VLnCRT

+−−

+

−+

=−

=

........(9.26.3)

El cambio de estado de la salida del comparador provoca la conmutación simultánea de los diodos 1D y 2D ; por lo tanto, el circuito equivalente de la estructura en tales condiciones será el de la figura 9.26.2. La tensión de salida se anula y el condensador tenderá a des-cargarse. En el instante que la tensión del condensador sea nula ocu-rre algo similar a lo contemplado en el instante de encendido del equi-po. El tiempo que tarda el condensador en anular su tensión se evalúa

293

por medio de la relación de descarga de un condensador que posee como condición inicial encdV :

V

VRR

RV

LnCRT 43

3Z

12

++

= ....... (9.26.4)

Para que se satisfagan las condiciones de conmutación dadas por (9.26.1) y (9.26.2) se deben imponer determinadas condiciones a los valores de los componentes que forman la estructura. Una de las factibles asignaciones en los valores es:

1VVZ < 24 RR =

1nRRn

VV

1

2Z>

= nm;1m1m

RR 4

3 >>−=

9.27 GENERADOR DE ONDA DE TRES NIVELES

Para el circuito de la figura 9.27.1, determinar la forma de onda

en función del tiempo de 0V . Los AO y los diodos pueden ser conside-rados ideales, los niveles de saturación del operacional son simétricos correspondiendo a SV± . Las señales V y −V pueden ser consideradas tensiones constantes.

La estructura posee dos diodos que imponen un comportamiento a trozos; los cuatro circuitos equivalentes que dependen del estado de los diodos se encuentran en las figuras 9.27.2 a la 9.27.5. Previo al estudio del compor-tamiento temporal de la estruc-tura de deben establecer las condiciones de operación de los cuatro modelos equivalen-tes. El circuito de la figura 9.27.2, posee la entrada flo-tando y en estas condiciones

FIGURA 9.27.1 GENERADOR DE ONDAS DE

TRES NIVELES.

294

la estructura es lineal y su salida nula. Los circuitos de las figuras 9.27.3 y 9.27.4 poseen un com-portamiento similar; y se debe emplear las relaciones (4.4.7) y (4.4.4) para establecer su com-portamiento. Considerando el circuito de la figura 9.27.4 se tiene:

( ) 0RR1sCR

RRR

RX131

1

45

5d3 =

++−

+=

de donde se tiene:

CRRRRRRR

s153

5341 −=

32

2

45

5d3 RR

RRR

R0w

X+

−+

==

Asignando el valor de las resistencias tales que el comportamiento de la estructu-ra no sea estable, que los polos del polinomio característico se encuentren en el semiplano derecho; o sea imponer que:

4

5

3

2RR

RR

>

también se obtiene un compor-tamiento lineal de la estructura cuando 0w = . En consecuencia el análisis del circuito equiva-lente de la figura puede plan-tearse como se establece en el numeral 7.3; o sea, un compa-rador de lazo cerrado realimen-tado por medio de una estructu-ra lineal dependiente de frecuencia. Para el comportamiento del circui-

FIGURA 9.27.2 CIRCUITO EQUIVALENTE I.

D1 Y D2 ABIERTOS.

FIGURA 9.27.3 CIRCUITO EQUIVALENTE II.

D1 ABIERTO Y D2 CERRADO.

FIGURA 9.27.4 CIRCUITO EQUIVALENTE III.

D1 CERRADO Y D2 ABIERTO.

FIGURA 9.27.5 CIRCUITO EQUIVALENTE III.

D1 Y D2 CERRADOS.

295

to de la figura 9.27.3 simplemente se sustituye 2R por 1R . Con rela-ción al modelo de la figura 9.27.5 simplemente es un sumador inversor que dado la simetría de los valores su salida es nula.

En cada una de las figuras 9.27.3 y 9.27.4 se reconoce un comparador cuya característica de transferencia se recorre en el sen-tido horario, similar al de la figura 9.24.2; en donde las tensiones de conmutación son:

54

5Sencd RR

RVV+

= + 54

5Sapag RR

RVV+

= −

El análisis de la estructura partirá en el momento que se encienda la ali-mentación en el instante t = 0 ; por lo tanto, los condensadores se encuentran descargados y los diodos abier-tos, correspon-diendo con el circuito equivalente de la figura 9.27.2; por alguna razón, como puede ser: diferencias en la respuesta transitoria de las fuentes que suminis-tran las tensiones externas, V y −V , el condensador 2C se carga mas rápidamente que 1C ; por lo tanto, en el instante )0(t + cambia de esta-do el diodo 2D e implica que el comportamiento de la estructura co-rresponde con la figura 9.27.3. En estas condiciones el circuito es un comparador y su salida conmuta, por ser +− < vv , pasando a +

SV como se indica en la figura 9.27.6 donde se encuentra la gráfica en función del tiempo de la forma de onda de la salida.

La red externa de realimentación al comparador, formada por 2R , 3R y 2C posee una señal externa extX constante de valor V− . Las condi-


296

ciones de conmutación se determinan por las relaciones (7.3.10) y (7.3.11). La Thévenin equivalente entre los extremos del condensador 2C es:

32S32

S32

2

32

3Th VRRV

RR1V

RRRV

RRRV

2−

+=

++

+−= ++

Satisfacer las condiciones de conmutación implica cumplir:

+−

+=

+−−

+−+−+

54

5S

54

5S

54

5S32S

32 RRRV

RRRVSign

RRRVVRRV

RR1Sign .....(9.27.1)

54

5S

54

5S

54

5S32S

32 RRRV

RRRV

RRRVVRRV

RR1

+−

+≥

+−−

+−+−+ ......(9.27.2)

Admitiendo que se cumplen con las condiciones establecidas por las relaciones anteriores, se puede evaluar el tiempo que requiere la se-ñal de entrada al comparador, )t(Xi , para alcanzar la condición de con-mutación; o sea, evaluar la relación (7.3.14), convenientemente adecua-da a la presente situación; en éste caso, partiendo de una tensión nula:

54

5S32S

32

32S32

232encdTh

Th2Th1

RRR

VVRRVRR

1

VRRVRR

1

LnCRRVV

VLnCRT

2

2

2

+−−

+

−+

=−

=++

+

........(9.27.3) Durante el intervalo de tiempo 1T el condensador 1C ha adquiri-do la tensión:

)1(V)T(V 1C1R1T

111C e−

−= ........(9.27.4)

sustituyendo 1T por (9.27.3):

−=− encdV2ThV

2ThVLn

1C1R2C2ThR

11C e1V)T(V1

........(9.27.5)

Transcurrido el tiempo 1T , dado por (9.27.3), el comparador conmuta nuevamente; su salida pasa a −

SV provocando el cambio de estado de los diodos 1D y 2D ; 1D se cierra y 2D se corta. En estas condiciones el circuito equivalente de la estructura corresponde con la

297

figura 9.27.4; el condensador 1C posee la tensión dada por (9.27.5) y tiende a cargarse al Thévenin equivalente; 2C , cuya tensión es la de encendido, tiende a V . La tercera conmutación de la estructura se dará si se satisfacen las condiciones requeridas por el comparador figura 9.27.4 partiendo de la tensión de 1C . La tensión 2C también cambiará tendiendo a V− durante el intervalo de tiempo que le lleve al condensador 1C en adquirir el valor de la tensión de conmutación. Las condiciones para que la tensión en 1C provoque la conmutación serán:

+−

+=

+−+

++−+−

54

5S

54

5S

54

5S1S3

31 RRRV

RRRVSign

RRRVRVVR

RR1Sign . (9.27.6)

54

5S

54

5S

54

5S1S3

31 RRR

VRR

RV

RRR

VRVVRRR

1+

−+

≥

+−+

++−+− . (9.27.7)

Admitiendo que se cumplen con las condiciones establecidas por las relaciones anteriores, se puede evaluar el tiempo que requiere la señal de entrada al comparador, )t(Xi , para alcanzar la condición de conmutación; o sea, evaluar la relación (7.3.14), convenientemente adecuada a la presente situación:

1S3

3154

5S

1S331

11C

131Thapag

Th11C11Th2

RVVRRR

1RR

RV

RVVRRR

1)T(VLnCRR

VV

V)T(VLnCRT

1

1

11

−−

−

++

−+

++

−=

−

−=

....... (9.27.8)

Durante el intervalo de tiempo 2T la tensión en el condensador 2C en función del tiempo es:

2C2Rencd22C

t)VVV)t(V e

−++−= ....... (9.27.9)

Al final del intervalo de tiempo 2T , la tensión sobre el condensa-dor 2C en función de los parámetros del circuito es:

2C2R2T

54

5S222C eV

RRR

VV)T(V−

++

+−= + ..... (9.27.10)

sustituyendo la expresión de T2 dada por (9.27.8):

298

1ThVapagV1ThV)1T(1CV

Ln2C2R

1C1ThR

encd222C eVVV)T(V−

−−

++−= ......(9.27.11)

Si la tensión 0)T(V 22C > , en el instante de la conmutación se

abre el diodo 1D y 2D se mantiene abierto; en estas condiciones el circuito equivalente de la estructura corresponde con la figura 9.27.2. La tensión de salida del amplificador es nula y la tensión de los con-densadores 1C y 2C tiende a V y V− respectivamente. La expresión en función del tiempo para la tensión en 2C corresponde con la rela-ción (9.27.9); en cambio, para el condensador 1C será:

1C1Rt

apag31C e)VV(V)t(V−

−+= ......(9.27.12)

La estructura se mantendrá en estas condiciones hasta que la tensión sobre el condensador 2C sea tal que el diodo 2D entre en conducción; en nuestro caso esto corresponde a tensión nula. El inter-valo de tiempo durante el cual la salida del amplificador es nula co-rresponde con el tercer nivel de salida de la estructura; que terminará en el instante que la tensión sobre el condensador 2C sea cero, con lo cual conduce el diodo 2D y la estructura cambia al circuito equivalente de la figura 9.27.3. Este ciclo se repite hasta que el funcionamiento adquiere las condiciones de régimen permanente. Nótese que durante el primer intervalo de tiempo definido como 1T el condensador 1C par-tiendo de una tensión nula adquiere una tensión que denominamos 1V , que empleamos para comprobar la evolución de la estructura; en régimen per-manente la ten-sión inicial del condensador

1C no puede ser cero; de hecho es nega-tiva.

FIGURA 9.27.7 FORMAS DE ONDAS. RÉGIMEN PERMANENTE.

299

Considerando régimen permanente, tal como se indica en la figura 9.27.7, las expresiones para la tensión en los condensadores serán:

11Th1Th11Th111C

CRt

)VV(V)T(V e−

−+= ..... (9.27.13)

11apag21CCRt

)VV(V)t(V e−

−+= ..... (9.27.14)

)CRt

1(V)t(V 222Th12C e

−−= ..... (9.27.15)

22encd22CCRt

)VV(V)t(V e−

−+−= ..... (9.27.16)

donde:

311Th31

1S31Th RRR

RRRVRV

V =++

=−

322Th32

32S2Th RRR

RRRVRV

V =++

=+

las restricciones para la operación de la estructura: encd2Th VSignVSign = ..... (9.27.17)

encd2Th VV ≥ ..... (9.27.18)

apag1Th VSignVVSign1

=− ..... (9.27.19) apag1Th VVV

1≥− ..... (9.27.20)

0)T(V 2B2C > ..... (9.27.21)

0)TT(V 2CB2C =+ ..... (9.27.22)

0)T(V 2C1C < ..... (9.27.23)

encd2AC1C V)TT(V <+ ..... (9.27.24)

Para una forma de onda en donde la duración de los niveles de la tensión de salida sean iguales y además se cumpla que:

S21321 VVCCR3RR ====

del circuito de la estructura se tiene:

300

3ThThThTh R43RRV

21VV

21V

2121===−=

De la relación (9.27.15) igualada a encdV se obtiene AT :

54

5423A RR

RRLnCR43T

−+

= ......(9.27.25)

análogamente de (9.27.13) igualada a apagV se obtiene BT :

−

+=

+ 5R4R5R

21

21

113B

V

VVLnCR

43T ......(9.27.26)

Como se desea que los niveles tengan la misma duración, igua-lando (9.27.25) a (9.27.26) se deduce que la tensión inicial de 11C )t(V

debe ser nula; o sea, 1V cero.

Empleando la relación (9.27.16) y considerando (9.27.22), por ser los niveles de la misma duración, se debe cumplir:

0)VV(V)T2(V)TT(V 2C2RAT2

encd2A2C2CB2C e =−+−==+−

sustituyendo y despejando:

45

4523A RR

RR2LnCR6T++

= ......(9.27.27)

igualando a (9.27.25) se obtiene una relación no lineal entre 4R y 5R , que empleando un procedimiento numérico permite encontrar una solución factible:

Ln R RR R

Ln R RR R

5 4

4 5

5 4

5 4

8 2+−

=++

......(9.27.28)

Para nuestro ejemplo una solución es: 54 R1.1R ≈

301

9.28 GENERADOR CONTROLADO POR TENSIÓN I

Para el circuito

de la figura 9.28.1, determinar la forma de onda en función del tiempo de 0V y 1V . Los AO , el transistor 1Q y el diodo zener pueden ser considerados idea-les y la alimentación de los amplificadores es asimétrica, entre

ccV y cero. La señal entV es una tensión

constante positiva.

En vista que los niveles de alimentación de los AO no son si-métricos y estos son ideales, sus niveles de saturación no serán simé-tricos: CCS VV =+ y 0VS =− .

En general, la estructura posee tres amplificadores interrelacio-nados, dos de ellos los operacionales 1A y 2A ; el tercer amplificador lo forman el transistor 1Q y las resistencias asociadas a los terminales de la base y el colector; adicionalmente se encuentra que posee dos en-tradas de tensión constate: entV y refV . Anulando las entradas se loca-lizan tres trayectorias cerradas, dos de ellas que podemos considerar locales y la otra formada por los tres amplificadores 1A , 2A y el tran-sistor 1Q . Reconociendo el amplificador 2A como estructura unidirec-cional podemos estudiar el comportamiento dinámico del circuito em-pleando las relaciones (4.4.7) y (4.4.4):

( )sRC

KRR

RsRC

1KRR

RX

665

5

665

5d3 −

+=

−−−

+=

FIGURA 9.28.1 GENERADOR CONTROLADO POR

TENSIÓN I.

302

donde K es una constante equivalente al modulo de la ganancia de tensión del amplificador formado por 1Q y las resistencias asociadas a sus terminales, entrando por base y saliendo por colector. Conside-rando que la ganancia diferencial de 2A tiende a infinito, del polinomio característico de la estructura se tiene:

( ) ( )45

656545 RC

1R

RRKs0RRKsRCR

+=⇒=+−

admitiendo que 0w = , de la relación (4.4.4):

00w

XAKRR

R0w

X d3165

5d3 <

=⇒−

+=

=

En consecuencia, el comportamiento de la estructura será no estable por estar ubicados los polos del polinomio característico en el semiplano derecho y para 0w = presenta un comportamiento lineal. Por lo tanto, el comportamiento dinámico de toda la estructura se po-drá estudiar como se establece en el numeral 7.3 al dividirla en dos bloques relacionados; uno de ellos no lineal, un comparador y el otro bloque lineal dependiente de frecuencia

Observando la estructura de la figura 9.28.1 se reconoce que posee un comparador, formado por el amplificador 2A y las resisten-cias asociadas 5R y 6R ; también posee una entrada auxiliar, refV , y dada la ubicación de la señal realimentada Xi su característica de trans-ferencia se recorre en sentido contrario del reloj, como se indica en la figura 9.28.2. El bloque lineal y de-pendiente de frecuencia, la red de realimentación externa, esta forma-do por el transistor 1Q y el circuito asociado con el amplificador 1A , que a su vez posee una entrada constante entV . Dada la presencia de 1Q y su forma de operar, entre corte y saturación, la red externa de realimentación, que lo incluye, ten-drá un comportamiento a trozos.

Los niveles de conmutación

X0*

Xi

Vapag Vencd

VS+

VS−


TRANSFERENCIA.

303

del comparador se calculan por medio de la relación (7.2.10), en donde a la tensión de salida del AO se le asignan los dos valores de saturación; para el circuito de la figura se tiene:

6R5R

5Rcc6R5R

5R*0

6R5R5R

ref6R5R

5R

*0i 2

VX

1V

1XX ++

+++=

−−

−−= ....... (9.28.1)


cccc

Sapagcccc

cccc

Sencd V41

21

2VV

21VV

43

21

2VV

21

21

2VV

21V =+−==+=+= −+

La red de realimentación externa es el transistor 1Q y el circuito asociado con 1A . El transistor 1Q se saturará cuan-do la salida del comparador sea mayor que la tensión umbral del zener y se cortará en caso con-trario; por lo tanto, se obtienen dos circuitos equivalentes para la red de realimentación exter-na, dependiendo del estado de la salida del comparador.

El circuito equivalente de la red de realimentación externa cuando la salida del compara-dor sea ccS

*o VVX == + se mues-

tra en la figura 9.28.3. Directa-mente se obtiene la expresión para 1i )s(X ; o sea, la entrada al comparador cuando 1Q se encuentra conduciendo:

sCI

sCRR11

RRR

sV

sCR1

sV

)s(X 1

14123

3ent

11

ent1i +

++

+−=

sustituyendo y simplificando:


I. Q1 SATURADO.


II. Q1 CORTADO.

304

s

CIs2

VsRC

V21)s(X 1ent

21

ent1i ++=

de donde:

1ent1

ent1i CIV

21t

RCV

21)t(X ++= ...............(9.28.2)

Para el otro estado de la salida del comparador, 0X *o = , el

transistor 1Q se encuentra cortado; el circuito equivalente de la red de realimentación externa se encuentra en la figura 9.28.4. Directamente de la figura se obtiene 2i )s(X :

s

CIsCR

11RR

Rs

VsCR

1s

V)s(X 2

1123

3ent

11

ent2i +

++

+−=

simplificando:

s

CIs2

VsRC

V21)s(X 2ent

21

ent2i ++−=

la expresión en el dominio del tiempo es:

2ent1

ent2i CIV

21t

RCV

21)t(X ++−= ...............(9.28.3)

Las CI para cada uno de los recorridos horizontales se obtienen por medio de las relaciones (9.28.2) y (9.28.3) evaluadas en cero y asig-nando el valor particular de 1comX − del recorrido horizontal considerado:

entapag1apag1ent1i V21VCIVCIV

21)0(X −=⇒=+=

entencd2encd2ent2i V21VCIVCIV

21)0(X −=⇒=+=

Sustituyendo las condiciones iniciales en las relaciones tempora-les se tiene:

apag1

ent1i Vt

RCV

21)t(X += .......... (9.28.4)

encd1

ent2i Vt

RCV

21

)t(X +−= .......... (9.28.5)

305

Para compro-bar las condiciones de funcionamiento de la estructura como generador de onda se pueden utilizar las relaciones (7.3.4) y (7.3.5) particulariza-das para la estructura y los niveles de con-mutación calculados anteriormente; tam-bién se debe considerar que la tensión de entrada a la estructura entV es positiva.


apagencdSapagapagS1comextmo VVSignVSignVVVSignXXSign −==−+=− ++−

....... (9.28.6)

apagencdS1comextmo VVVXX −≥=− +− ....... (9.28.7)

De forma similar se obtienen las condiciones para el recorrido inferior: encdapagS1comextmo VVSignVSignXXSign −==− −

− ....... (9.28.8)

encdapagS1comextmo VVVXX −≥=− −− ....... (9.28.9)

Los resultados indican que se satisfacen las condiciones im-puestas de signo y magnitud, por lo tanto, la estructura de la figura 9.28.1 se comporta como un generador de ondas no sinusoidales. Nótese que la condición de los signos se satisface por ser la señal de entrada positiva.

Para evaluar los tiempos necesarios por la señal )t(Xi para re-correr el ciclo de histéresis se utilizan las relaciones (9.28.4) y (9.28.5), particularizadas en los valores extremos de los respectivos recorridos:

apagencdent

11apag1

1

entencd11i VV

VRC2TVT

RCV

21V)T(X −=⇒+==

Vapag

Vencd

V to ( )

V t1( )T1

VS− = 0

t

T2

V VS cc+ =


306

sustituyendo:

ccent

11 V

21

VRC2

T = ......(9.28.10)

empleando la relación (9.28.5) y de forma similar se obtiene T2 :

ent

cc12 V

VRCT = ......(9.28.11)

La frecuencia de la señal de salida se obtiene al invertir la ex-presión de su periodo, que no es más que la suma de T1 y T2 :

cc

ent

1ent

cc121 V

VRC21f

VV

RC2TTT =⇒=+=

9.29 GENERADOR CONTROLADO POR TENSIÓN II

Para el circuito de la figura 9.29.1, determinar la expresión para

la frecuencia de las formas de ondas de salida. Todos los elementos que forman la estructura pueden ser considerados ideales y su alimen-tación simétrica.

Para un análisis general de la estructura, la podemos dividir en dos bloques rela-cionados; el circui-to formado por 1A los tres transisto-res y los cuatro diodos constituyen dos fuentes de co-rriente, cuyas sali-das son comple-mentarias, I y I− ,

FIGURA 9.29.1 GENERADOR CONTROLADO POR TEN-

SIÓN II.

307

que cargan o descargan el condensador C según la polaridad de la salida de 3A y la operación de la compuerta analógica constituida por los cuatro diodos. A la derecha del condensador, el otro bloque, se encuentra el circuito formado por 2A y 3A . Observando la figura 9.21.1 se localizan tres trayectorias cerradas, dos de ellas que pode-mos considerar locales y el lazo donde se encuentran en cascada 2A y

3A , que se cierra por la compuerta de diodos. Nótese que la tensión 2V se propaga hacia el condensador como una corriente, por efecto

de operación de la compuerta de diodos; por lo tanto, esto es equiva-lente a multiplicar la tensión por una constante dimensional K , cuyas dimensiones corresponden a Ω

1 . Reconociendo el amplificador 3A como estructura unidireccional podemos estudiar el comportamiento dinámico del circuito empleando las relaciones (4.4.7) y (4.4.4):

sCK

RRR

sCK

RRR

X78

8

78

8d3 −

+=−

+=

considerando K positiva, del polinomio característico de la estructura se tiene:

( )CK

RRR

s0RRKsCR8

78788

+=⇒=+−


00w

X0K

RRR

0wX d3

78

8d3 <

=⇒−

+=

=

Dado los resultados anteriores, el comportamiento de la estruc-tura será no estable por estar ubicados los polos del polinomio carac-terístico en el semiplano derecho; y cuando 0w = presenta un compor-tamiento lineal.

Analizando la estructura de la figura 9.29.1 se reconoce que posee un comparador, formado por el amplificador 3A y las resisten-cias asociadas 8R y 7R ; dado que los niveles de alimentación de los AO son simétricos y estos son ideales, sus niveles de saturación se-rán simétricos: CCS VV = .

Los niveles de conmutación del comparador se calculan por medio de la relación (7.2.10), en donde a la tensión de salida del AO

308

se le asignan los dos posibles valores de saturación; para el circuito de la figura se tiene:

7R8R

8R*0

7R8R8R

*0i X

1XX

+

+=

−−= ........(9.29.1)


−+

+=

+= S

78

8apagS

78

8encd V

RRR

VVRR

RV

Dado que al evaluar el signo de (7.2.12), para el comparador formado por 3A , es negativo, el recorrido del ciclo de histéresis será en el sentido horario, como se indica en la figura 9.29.2; donde se en-cuentra su característica de transferencia.

La red de realimentación externa esta formada por los amplifica-dores 1A y 2A , tres transistores y una compuerta analógica formada por cuatro diodos. La red externa posee una entrada de tensión constante denominada entV , cuyo valor corresponde al divisor de tensión formado por las resistencias 2R , 1R y la alimentación positiva. El amplificador 1A , los tres transistores, las resistencias asociadas y la tensión entV como señal de entrada, constituyen dos fuentes de corriente complementa-rias, cuyas salidas son los colectores de 2Q y 3Q . Los cuatro diodos forman una compuerta analógica, controlada por la salida del compara-dor y que permite la carga y descarga del condensador C a corriente constante. Estando la salida del comparador en saturación positiva los diodos 1D y 3D se encuentran cor-tados y tanto 2D como 4D condu-ciendo; por lo tanto, el condensador se cargará con la corriente suminis-trada por 2Q . Cuando la salida del comparador es saturación negativa, el estado de los diodos es comple-mentario al anterior, y el condensa-dor se descargará con la corriente de salida de 3Q ; nótese que la salida de las fuentes de corriente fluyen

X0*

Xi

Vapag Vencd

VS+

VS−

FIGURA 9.29.2 CARACTERÍSTICA SALIDA ENTRADA.

309

constantemente, cargan o des-cargan el condensador, de-pendiendo de la fuente, o circu-lan hacia la salida del compa-rador; en ningún caso se que-dan en circuito abierto. El am-plificador 1A , que se encuentra realimentado negativamente, fija la corriente que circula por

5R en base a la diferencia de tensión entre la alimentación y la señal de entrada, o sea entV ; esta corriente corresponde con la que fluye hacia la carga; en cambio, al ser 65 RR = y

43 RR = el transistor 3Q posee un comportamiento complementario a 2Q ; o sea, una fuente de co-rriente que drena corriente desde la carga.

La expresión de la corriente de salida para cada fuente será:

)RR(RR

VR

VV

RVV

R

VVI

215

1cc

5

1R2R2R

cccc

5

entcc

5

2Ecc2Q +

=−

=−

=−

=+−

)RR(RRVI

216

1cc3Q +

−=

El circuito equivalente de la red de realimentación externa cuando la salida del comparador sea ccS

*o VVX == + se muestra en la

figura 9.29.3; la salida del comparador polariza los diodos de tal forma que 1D y 3D se encuentran cortados, mientras que 2D y 4D condu-ciendo; por lo tanto, el condensador se cargará con la corriente sumi-nistrada por 2Q . Directamente se obtiene la expresión para 1i )s(X :

sCI

sC1

s1

)RR(RRV)s(X 1

215

1cc1i +

+=

de donde:

FIGURA 9.29.3 CIRCUITO EQUIVALENTE I.

+= s*o VX .

FIGURA 9.29.4 CIRCUITO EQUIVALENTE II.

X Vo s* = − .

310

1215

1cc1i CIt

)RR(CRRV)t(X ++

= ........(9.29.2)

Para el otro estado de la salida del comparador, ccS*o VVX −== − ,

los estados de los diodos se invierten y el transistor Q3 drena corriente del condensador. El circuito equivalente de la red de realimentación externa se encuentra en la figura 9.29.4. Directamente de la figura se obtiene 2i )s(X :

sCI

sC1

s1

)RR(RR

V)s(X 2

216

1cc2i +

+−=

la expresión en el dominio del tiempo es:

2216

1cc2i CIt

)RR(CRR

V)t(X ++

−= ........(9.29.3)

Las CI para cada uno de los recorridos horizontales se obtienen por medio de las relaciones (9.29.2) y (9.29.3) evaluadas en cero y asig-nando el valor particular de 1comX − del recorrido horizontal considerado; o sea, los niveles de encendido y apagado de la característica de entra-da del comparador. Las relaciones temporales serán:

apag215

1cc1i Vt

)RR(CRR

V)t(X ++

= ........(9.29.4)

encd216

1cc2i Vt

)RR(CRRV)t(X ++

−= ........(9.29.5)

Para comprobar las condiciones de funcionamiento de la es-tructura como generador de onda se pueden utilizar las relaciones (7.3.4) y (7.3.5) particularizadas para la estructura y los niveles de conmutación calculados anteriormente; también se debe considerar que el valor extremo de la tensión de salida del amplificador 2A lo im-pone su nivel de saturación.


apagencdSapagapagS1comextmo VVSignVSignVVVSignXXSign −==−+=− ++−

........(9.29.6)

apagencdS1comextmo VVVXX −≥=− +− ........(9.29.7)

311

De forma similar se obtienen las condiciones para el recorrido inferior: encdapagS1comextmo VVSignVSignXXSign −==− −

− ..... (9.29.8)

encdapagS1comextmo VVVXX −≥=− −− ....... (9.29.9)

Los resulta-dos indican que se satisfacen las con-diciones impuestas de signo y magni-tud, por lo tanto, la estructura se com-porta como un ge-nerador de ondas no sinusoidales.

Para eva-luar los tiempos necesarios por la señal )t(Xi para recorrer el ciclo de histéresis se utilizan las relaciones (9.29.4) y (9.29.5), particularizadas en los valores extremos de los res-pectivos recorridos:

cc

apagencd

1

2151apag1

215

1ccencd11i V

VVR

)RR(CRTVT)RR(CR

RVV)T(X−+

=⇒++

==

cc

apagencd

1

2162encd2

216

1ccapag21i V

VVR

)RR(CRTVT)RR(CR

RVV)T(X−+

=⇒++

−==

sustituyendo los niveles de conmutación:

cc

SS

78

8

1

2151 V

VVRR

RR

)RR(CRT−+ −

++

= cc

SS

78

8

1

2162 V

VVRR

RR

)RR(CRT−+ −

++

=

La frecuencia de la señal de salida se obtiene al invertir la ex-presión de su periodo, que no es más que la suma de 1T y 2T :

−+ −+

++

=SS

cc

658

78

21

1

VV

V)RR(R

RR)RR(C

Rf

Vapag

Vencd

V t2 ( )

V t1( )T1

V VS cc− =

t

T2

V VS cc+ =


312

Las dos formas de ondas de salida poseen las mismas caracte-rísticas temporales; la denominada )t(V1 , que corresponde con la sali-da de 2A , es la forma de onda de carga y descarga de un condensa-dor a corriente constante, una onda triangular. La otra salida es la de un comparador; por lo tanto, será una onda rectangular. En la figura 9.29.5 se encuentran las formas de ondas; para la realización del dibu-jo se consideraron las condiciones de simetría que presenta la estruc-tura, tanto de la corriente de carga y descarga como de los niveles de saturación de los amplificadores

9.30 GENERADOR DE ESCALERA

Para el circuito

de la figura 9.30.1, determinar la forma de onda en función del tiempo de )t(V0 . Los AO , el transistor 1Q y los diodos pueden ser considerados ideales; la alimentación de los amplificadores es si-métrica, entre ccV y

ccV− .

La estructura de la figura 9.30.1 se pue-de dividir en dos circui-tos diferentes relacionados por medio del diodo 3D . El circuito forma-do por el amplificador 1A y los dispositivos asociados forman un gene-rador de onda rectangular cuyo funcionamiento es similar al establecido en el ejemplo 9.21; el funcionamiento del generador es tal que el periodo de la forma de onda de salida y el intervalo de tiempo que se encuentra en el nivel alto son:

FIGURA 9.30.1 GENERADOR DE ESCALERA.

313

3LnRCT3Ln)RR(CT 11211 =+= ∆

La parte no considerada de la estructura se puede asociar con la operación de los AO 2A , 3A , el transistor 1Q , los diodos 4D , 5D ,

6D y el resto de los dispositivos asociado a sus terminales, todos ellos relacionados. En esta parte se localizan tres trayectorias cerradas, dos de ellas que podemos conside-rar locales y la formada por los tres amplificadores 2A , 3A y el transis-tor 1Q ; la presencia del diodo 4D en esta trayectoria impone que su análisis debe realizarse con cada uno de los modelos del diodo. Reco-nociendo el amplificador 3A como estructura unidireccional podemos estudiar el comportamiento dinámico del circuito empleando las rela-ciones (4.4.7) y (4.4.4):

sRCK

RRR

sRC1K

RRR

Xequi87

8

equi87

8d3 −

+=

−+

+=

donde K y equiR dependen del estado de 4D . K es una constante positiva, cuyo valor es unitario cuando el diodo conduce y mayor que la unidad cuando no conduce; en relación a equiR ésta puede tomar dos valores: 6equi RR = para el diodo conduciendo y 5equi RR = en caso contrario. Nótese que por la forma que se encuentran interconectados

1Q y 4D es imposible que ambos dispositivos se encuentren simultá-neamente conduciendo o no conduciendo.

De la relación anterior, considerando lo expuesto y que 3A tiende a infinito, se tiene que las raíces del polinomio característico de la estructura serán las que satisfacen:

( ) ( )equi8

8787equi8 RC

1R

RRKs0RRKsRCR

+=⇒=+−


X0*

Xi

RR

VZ8

7

V VS Z+ =

V VS Z− = −

−RR

VZ8

7


TRANSFERENCIA.

314

( ) 00w

XAKRR

R0w

X d3287

8d3 <

=⇒−+

+=

=

En consecuencia, el comportamiento de la estructura será no estable por estar ubicados los polos del polinomio característico en el semiplano derecho y para 0w = presenta un comportamiento lineal; por lo tanto, el comportamiento de toda la estructura se puede estudiar como se establece en el numeral 7.3

La parte no considerada de la estructura se puede asociar con un comparador de lazo cerrado que a su vez se encuentra realimenta-do por una estructura externa formada por 2A , 1Q , 4D , 5R , 6R y 2C . El amplificador 3A , las resistencias R , 7R y 8R , los diodos 5D y 6D constituyen el comparador; cuyos niveles de saturación son simétricos de magnitud ZV ; por lo tanto, los niveles de conmutación también se-rán simétricos; el recorrido del ciclo de histéresis será en sentido con-trario al reloj dado que al evaluar el signo de (7.2.12) resulta positivo; como se indica en la figura 9.30.2 donde se encuentra su característi-ca de transferencia.

Dado que el modulo de los niveles de saturación de 1A son mayores que los del comparador formado por 3A , la condición de con-ducción del diodo D3 la establece la salida del generador de onda rec-tangular, )t(V1 ; el diodo se encontrará en conducción cuando el nivel de )t(V1 sea saturación negativa.

La presencia del diodo 4D en la estructura externa que realimenta al comparador impone que su fun-cionamiento sea lineal a trozos. Por lo tanto, si la salida del comparador se encuentra en su nivel alto, el cir-cuito equivalente de la red externa será el indicado en la figura 9.30.3. Nótese que el diodo 4D se encuen-tra en conducción independiente del estado del diodo 3D , en cambio el transistor 1Q se encuentra polariza-

FIGURA 9.30.3 CIRCUITO EQUIVA-

LENTE I. X Vo Z* = .

315

do inversamente. La expresión de la salida del amplificador 2A ; o sea 1i )s(X , que en estas condiciones corresponde con el recorrido hori-

zontal superior del ciclo de histéresis, será:

sCI

sRC1

sX)s(X 1

62

*o

1i +−=

en el dominio del tiempo:

162

Z1i CItRC

1V)t(X +−= ....... (9.30.1)

Siempre que la salida del comparador se encuentre en satura-ción negativa, ZV− , el diodo 4D se encuentra abierto independientemen-te del estado del diodo 3D . El tran-sistor 1Q se encuentra polarizado en corte para los intervalos de tiempo que 3D se encuentre conduciendo; dado que la tensión de saturación negativa de 1A impone en el transis-tor 1Q : ZSSG VVV −= − , que admitimos menor que PV de 1Q ; en cambio, si el diodo 3D se corta 1Q se encuentra polarizado con 0V SG = asegurando que por 5R circule DSSI siempre que el valor de 5R satisfaga con: P5DSSZ VRIV >− . En estas condi-ciones los valores de la tensión de salida del amplificador 2A recorren el tramo horizontal inferior del ciclo de histéresis; su expresión será:

s

CIsC

1s

I)s(X 2

2

DSS2i +=

22

DSS2i CIt

CI)t(X += ....... (9.30.2)

El cambio de tensión a la salida de 2A durante el tiempo que el diodo 3D se encuentre cortado por efecto de la salida en alto del ge-nerador de onda rectangular será:

FIGURA 9.30.4 CIRCUITO EQUIVA-

LENTE II. X Vo Z* = −

316

n1n1i1n11n1i1i CI)t(XCI)t(X)t(X −−+−+− +−+=∆

considerando que las condiciones iniciales del intervalo n + 1 son las condiciones finales del intervalo n se tiene:

1n1in1n1in1n1i1n1i1i )t(XCI)t(XCI)t(X)t(X)t(X +−−−−−+− =+−++=∆

sustituyendo:

3LnCRC

ItC

I)t(X 112

DSS

2

DSS1i == ∆∆ ........(9.30.3)

El comparador formado por 3A conmutará si se satisfacen las relaciones (7.3.4) y (7.3.5), donde se interpretará el cambio en 1i )t(X

producido durante n intervalos de tiempo de carga del condensador 2C , dado por (9.30.3), como el valor extmoi )t(X en las relaciones:

apagencdapag112

DSS1comextmo VVSignV3LnCR

CI

nSignXXSign −=

−=− −

........(9.30.4)

apagencdapag112

DSS VVV3LnCRC

In −≥− ........(9.30.5)

Admitiendo la igualdad de la relación (9.30.5) se obtiene el núme-ro n de intervalos requeridos para alcanzar la condición de conmutación:

1

2

17

8

DSS

Z

1

2

1DSS

encdCC

3LnR1

RR

IV

CC

3LnR1

IVn == ........(9.30.6)

El tiempo que tarda la señal 1i )t(X en alcanzar la conmutación será:

211

2

17

8

DSS

Z21

1

2

17

8

DSS

Z211 RR

CC

R1

RR

IV3LnRR

CC

3LnR1

RR

IV3LnRRnT +=+=+=

........(9.30.7)

Empleando la relación (9.30.1) se evalúa el tiempo requerido por la salida del amplificador A2 en alcanzar la condición de conmuta-ción del recorrido horizontal superior:

317

encd262

Z1262

Z12i VTRC

1VCITRC

1V)T(X +−=+−=

sustituyendo y despejando:

627

82 RC

RR2T =

De forma similar a la empleada para el recorrido horizontal infe-rior se comprueban las condiciones de conmutación para el recorrido superior; empleando la relación (9.30.1) y considerando que su valor extremo se encuentra acotado por el nivel de saturación del amplifica-dor:

encdapagencdS1comextmo VVSignVVSignXXSign −=−=− −− ....... (9.30.8)

encdapagencdS1comextmo VVVVXX −≥−=− −− ....... (9.30.9)

Los resultados indican que se satisfacen las condiciones im-puestas de signo y magnitud; por lo tanto, la estructura se comporta como un generador de ondas, cuya forma se indica en la figura 9.30.5.

V VRRapag Z= − 8

7

V VRRapag Z= − 8

7

t

R C Ln1 1 3

V to ( )

R C Ln2 1 3

T n R R C Ln T= + +( )1 2 1 23 FIGURA 9.30.5 FORMA DE ONDA.

318

9.31 GENERADOR DE ONDAS DE DU-RACIÓN VARIABLE

Para el circuito de la figura 9.31.1, determinar la duración mí-

nima y máxima de los pulsos de salida. Puede considerar todos los dispositivos ideales, los diodos y el transistor poseen una tensión um-bral DV . La señal de entrada VR es una tensión que se puede conside-rar constante, dado que la compo-nente alterna posee una frecuencia muy baja comparada con la funda-mental de los pulsos de salida.

Directamente de la figura se reconoce que el funcionamiento de la estructura es a trozos. Los diodos D1 y D2 se encuentran colocados de tal forma que es imposible que se en-cuentren polarizados en estados com-plementarios; o sea, los dos se encon-trarán encendidos o apagados y su condición dependerá de la salida de A2. La condición de operación de Q1 dependerá de los diodos; cuando los diodos conducen la salida de A2 tiene que ser menor que cero, y el transistor se encontrará activo; en cambio estará cortado cuando los diodos no condu-cen. Durante el transito de Q1 por la zona activa de operación, del estado de corte al de conducción, la estruc-tura formada por Q1, A1 y A2 constituye un comparador de lazo cerrado que a su vez se encuentra realimentado externamente mediante la asociación serie R1 y C; el comparador formado posee una entrada auxiliar VR, consi-

FIGURA 9.31.1 GENERADOR DE ONDAS DE DURA-CIÓN VARIABLE.

FIGURA 9.31.2 COMPARADOR

EQUIVALENTE.

319

derada constante, que define sus niveles de conmutación; dado el estado de con-ducción del transistor Q1, la señal de en-trada VR es invertida de signo por A1 y aplicada directamente en el puerto no inversor de A2 determinando directamente el nivel de conmutación del comparador equivalente. En la figura 9.31.2 se encuen-tra el esquema de la estructura en tales condiciones.

Cuando la salida de A2 es mayor que cero impone el estado de no conduc-ción de los diodos y corte en el transistor Q1; en estas condiciones, A2 y la asociación serie R1 y C forman una estructura lineal cuya salida obedece a la relación de un amplificador: V A v vo = −+ −( ) ....... (9.31.1)

teniendo como tensión en el puerto no inversor la señal de entrada procesada por el amplificador A1 y sus elementos asociados; o sea, en el puerto no inversor de A2 se tiene una señal igual a la señal de entrada. El circuito equivalente de la estructura en estas condiciones se encuentra en la figura 9.31.3

El análisis de la estructura partirá en el momento que se en-cienda la alimentación en el instante t = 0 ; por lo tanto, el condensador se encuentra descargado, la tensión aplicada al puerto inversor de A2 será igual a la señal de entrada; por medio de la relación (9.31.1) se obtiene tensión de salida, que tiende a VS

+ por ser positiva la señal de entrada. Los diodos y el transistor se encuentran cortados; el conden-sador C que se encuentra descargado se cargara según:

)t

1(Vt

BA)t(V C1RS

C1R111C ee

−+

−−=+= ....... (9.31.2)

Transcurrido un tiempo denominado T1 el condensador alcan-za la tensión aplicada al puerto no inversor y la salida de A2 cambia de estado, imponiendo que los diodos y el transistor entren en con-ducción; por lo tanto, la estructura se comportará como un compara-dor de lazo cerrado como el indicado en la figura 9.31.2.

FIGURA 9.31.3 ESTRUCTURA

LINEAL EQUI-VALENTE.

320

El intervalo de tiempo T1 se evalúa al igualar las tensiones en los puertos de A2, o sea, por medio de la relación (7.3.14) adecuada a la presente condición:

RS

S11

VVVLnCRT−

= +

+ ........(9.31.3)

El pulso positivo obtenido a la salida de A2 corresponde al com-portamiento inicial de la estructura; el cual no se repetirá puesto que las condiciones iniciales del condensador son diferentes a las adquiri-das durante el funcionamiento en régimen permanente, como se esta-blece en el numeral 7.3.

Partiendo de una condición inicial de tensión, VR, el condensa-dor tenderá a cargarse a la tensión VS

− ; de donde se concluye que la realimentación externa al comparador satisface la condición de signo; por lo tanto, al alcanzar el nivel de apagado, impuesto por la salida de A1 se satisface la condición de magnitud; dando como resultado la conmutación de la salida de A2. El primer intervalo de tiempo del régi-men permanente será el requerido por la señal Xi, realimentada al comparador, para alcanzar el valor de conmutación; la expresión tem-poral de la variable realimentada es:

C1RSRSi

t)VV(V)t(X e

−−− −+= ........(9.31.4)

Al igualar (9.31.4) con la tensión aplicada al puerto no inversor de A2, - VR, se obtiene la duración del primer semiperíodo de régimen permanente:

RS

SR1

SR

SR12

VV

VVLnCR

VV

VVLnCRT

−

+=

−−

−=

−

−

−

− ........(9.31.5)

Una vez ocurrida la conmutación anterior, los diodos y el tran-sistor cambian de estados; la salida de A1 cambia de signo siendo VR y la estructura equivalente será lineal e indicada en la figura 9.31.3; su salida será +

SV al considerar las tensiones de los puertos de entrada del amplificador y efectuar el limite de la relación (9.31.1) cuando la ganancia del amplificador tiende a infinito. La variable realimentada al puerto no inversor de A2 tiende a +

SV partiendo del valor - VR; por lo

321

tanto, dado que la variable realimentada crece, al igualarse la tensión en los puertos de A2 su salida comienza a cambiar; al tomar el valor de

DV− los diodos y el transistor cambian de estado y en consecuencia el circuito equivalente de la estructura pasa a ser un comparador de lazo cerrado, alcanzando su salida abruptamente el nivel de saturación negativo; posteriormente se repetirá el proceso anterior, dado como resultado un régimen permanente en el comportamiento de la estructu-ra.

La forma de onda de la tensión en el condensador; o sea, la señal realimentada será:

C1RSRSC

t)VV(V)t(V e

−++ +−= ....... (9.31.6)

El tiempo que permanece la salida de A2 en saturación positiva se obtiene al igualar la relación (9.31.6) con la tensión en el puerto no inversor:

C1R3

SRSR3C

T

)VV(VV)T(V e−

++ +−==

RS

RS13

VV

VVLnCRT

−

+=

+

+ ....... (9.31.7)

La duración de los pulsos de salida en régimen permanente será:

RS

RS1

RS

SR132P

VV

VVLnCR

VV

VVLnCRTTT

−

++

−

+=+=

+

+

−

−

por ser iguales los niveles de saturación de A2 se tiene:

RS

RS1P

VVVV

LnCR2T−

+=

+

+

sustituyendo la señal de entrada a la estructura RV por su expresión cuasi estacionaria:

senwt2V

senwt2VLnCR2T

S

S1P

−−

++=

+

+ ....... (9.31.8)

por lo tanto, el mínimo valor de la duración de los pulsos será cuando

322

la onda seno adquiera su mínimo valor, -1; y el máximo cuando sea 1:

1V1V

LnCR2TS

S1MINP

−

+=

+

+ ........(9.31.9)

3V

3VLnCR2T

S

S1MAXP

−

+=

+

+ ......(9.31.10)

9.32 ESTRUCTURA MULTIPLEMENTE REALIMENTADA I. COMPORTA-MIENTO.

Para el circuito

de la figura 9.32.1, donde puede conside-rar los amplificadores ideales y su alimenta-ción simétrica. Deter-minar su comporta-miento y la forma de onda de Vo(t) al cam-biar una de las resis-tencias 2R o 3R , con relación a las otras resistencias que son iguales y de valor R .

En la estructura de la figura se reconocen cinco lazos de reali-mentación. Tres de los cuales se pueden considerar locales, los pro-pios de los tres AO ; y los otros dos lazos incluyen dos AO ; uno de ellos, formado por los circuitos asociados a los amplificadores 1A y 2A ; el otro lazo abarca a 2A y el integrador constituido por 3A y sus ele-mentos asociados. Para el estudio del comportamiento dinámico de la estructura tomaremos como base el propio AO 2A y consideramos las relaciones (4.4.7) y (4.4.4). De (4.4.7):

FIGURA 9.32.1 ESTRUCTURA MULTIPLEMENTE RE-

ALIMENTADA. COMPORTAMIENTO.

323

++

+−

+−−=−

43

4

1

2

43

3

65

52ipq RR

RRR

RRR

RRR

sCR1)s(A),s(X A1)(T1

considerando que 2A tiende a infinito, se tiene que las raíces del poli-nomio característico de la estructura serán las que satisfacen:

( ) ( ) ( )( )( ) 0

sCRRRRRRsCRRRRRsCRRRRRRRRR

65431

654265315431 =++

+++−+−

de donde:

( )( )

( )3142

431

65

5RRRR

RRRRR

RCR

1s−+

+=

sustituyendo el valor de las resistencias que son iguales:

( )32

3RRRR

21

CR1s

−+

= ....... (9.32.1)

De la relación anterior se puede concluir que el comportamien-to de la estructura dependerá del valor relativo asignado a 2R o 3R , dados que sus valores determinan la ubicación de los polos del poli-nomio característico.

Será estable; o sea un amplificador, cuando:

=>=<

RRconRRRRconRR

23

32 ....... (9.32.2)

La estructura tendrá un comportamiento no estable cuando la asignación sea:

=≤=≥

RRconRRRRconRR

23

32 ....... (9.32.3)

En aquellos casos que el comportamiento sea el de un amplifi-cador, se satisface (9.32.2), la expresión para ganancia dependerá del nodo donde se aplique la entrada. Una vez establecida la entrada pro-cediendo como lo establece el capítulo 4 se obtiene la expresión para la ganancia. Admitiendo que la señal de entrada es una fuente de ten-sión aplicada en el extremo izquierdo de 5R , asignando RR3 > y mo-delando 2A como estructura unidireccional, se tiene:

324

65

6dioi RR

RX0X

+==

43

4

1

2

43

3

65

5d3o3 RR

RRR

RRR

RRR

sCR1X1X

++

+−

+−==

sustituyendo en (4.2.5): ( )

( )65

5

4231

43165

5

4231

431

d3

di

2i

o

RRR

RRRRRRR

sCR1s

sRR

RRRRR

RRRXX

AVV

+−+

++−+

=−=∞⇒

de donde, sustituyendo:

RRRR

21

sCR1s

sRRRR

21

VV

3

33

3

i

o

−+

+−+

=

Cuando se le asigne a las resistencias 2R y 3R un valor tal que satisfaga la relación (9.32.3), el comportamiento de la estructura será no estable. En estos caso; sí la estructura cumple con los requisitos exigidos en el numeral 7.3 su comportamiento dinámico se podrá es-tudiar por lo establecido en dicho numeral. O sea, comportamiento no estable y al considerar 0w = la estructura satisfaga la relación (4.4.4); adicionalmente que toda la estructura se pueda dividir en dos bloques relacionados. Uno de estos bloques debe ser un comparador de lazo cerrado y el otro presentar un comportamiento lineal dependiente de frecuencia.

Admitiendo que (9.32.3) se satisface por ser RR3 ≤ y RR2 = , al aplicar la relación (4.4.4) se tiene:

0A

ARR

RRR

RRR

RRR

0wX

33

65

5

43

4

1

2

43

3d3 <

∞⇒+−

++

+−=

=

relación que se cumple para cualquier valor asignado a 3R , por tender la ganancia del operacional a infinito; en consecuencia la estructura satisface la condición de linealidad para 0w = .

El circuito de la figura 9.32.1 se puede dividir en dos bloques interrelacionados; uno de ellos el integrador formado por 3A , que re-alimenta a la estructura que incluye a los AO 1A y 2A e indicada en la

325

figura 9.32.2. Por ser el integrador un bloque lineal, dependiente de la frecuencia, bastará con demostrar que el comportamiento del otro blo-que corresponde con un comparador de lazo cerrado para satisfacer lo exigido en el numeral 7.3. Modelando 2A como estructura unidireccio-nal se tiene:

0RR

RRR

RRR

X43

4

1

2

43

3d3 >

++

+−=

de donde, la relación anterior se satisface sí: 3142 RRRR > ....... (9.32.4)

Por lo tanto, para el valor asignado a 3R , se cumple la con-dición de operación para un com-parador de lazo cerrado y por con-siguiente el análisis del comporta-miento dinámico de toda la estruc-tura se puede realizar como esta-blece el numeral 7.7.3. Este com-parador es una estructura múlti-plemente realimentada, en la cual los bloques que la forman pueden presentar saturaciones propias; y por lo tanto, la estructura presentar un funcionamiento a trozos, inter-valos de operación lineales y otros no lineales

Dado que los niveles de saturación de los amplificadores 1A y

2A son simétricos y que además los valores de 1R y 2R son iguales, para determinar los niveles de conmutación se puede emplear direc-tamente la relación (7.2.10); de otra forma, para estos cálculos se de-bería considerar que la contribución de 1A en la tensión del puerto inversor de 2A se encuentra limitada a la saturación del propio amplifi-cador 1A , nótese que esta contribución no depende de la ganancia de la etapa. Para aplicar (7.2.10) previamente de la figura 9.32.2 se calculan los parámetros qpX :

RRRR

RRR

RR

RRR

X21

RR

RX

3

3

43

4

1

2

43

3d3

65

5di +

−=

++

+−==

+=

FIGURA 9.32.2 BLOQUE FORMADO

POR 1A Y 3A .

326

aplicando (7.2.10) se obtiene:

2RR

RRX

X

XXX

3

3*o

di

d3*oi +

−−=−=

Sustituyendo los dos posibles valores de *oX se tienen los nive-

les de conmutación:

+−

−=

+−

=

+

+

RRRR

V2X

RRRR

V2X

3

3Sapag

3

3Sencd

........(9.32.5)

Al estar asociada la entrada al comparador, realimentación ex-terna, al puerto no inversor de 2A , el signo de (7.2.12) resulta positivo; en consecuencia, el ciclo de histéresis se recorre en sentido contrario del reloj, como lo indica la característica de transferencia de la figura 9.32.3.

La evolución temporal de la salida de 2A , comportamiento di-námico de la estructura de la figura 9.32.1, se comprueba por medio de las relaciones (7.3.4) y (7.3.5), para los dos recorridos horizontales del ciclo de histéresis de la figura 9.32.3. Dado que el valor extremo de la tensión de salida del integra-dor se encuentra acotada por su saturación; para el recorrido hori-zontal superior se tiene:

+−

−=

+−

−=− +−−− S

3

3

3

3SS1comextmo V

RRRR2Sign

RRRRV2VSignXXSign

........(9.32.6)

+−−− +

−−≥

+−

−=− S3

3

3

3SS1comextmo V

RRRR2

RRRRV2VXX ........(9.32.7)

De forma similar se procede para obtener las expresiones co-rrespondientes a la trayectoria inferior del ciclo de histéresis:

X0*

Xi

Vapag Vencd

VS+

VS−


TRANSFERENCIA.

327

+−

=

+−

+=− +++− S

3

3

3

3SS1comextmo V

RRRR2Sign

RRRRV2VSignXXSign

....... (9.32.8)

+++− +

−≥

+−

+=− S3

3

3

3SS1comextmo V

RRRR2

RRRRV2VXX ....... (9.32.9)

Como se satisfacen las cuatro condiciones impuestas de signo y magnitud la salida )t(Vo será una señal que evoluciona periódica-mente. Considerando la función de transferencia del integrador y apli-cando la relación (7.3.2) se obtiene la expresión general para X ti ( ) :

1com*0i Vt

CRX)t(X −+−=

1 ..... (9.32.10)

Dadas las con-diciones de simetría que presentan tanto los niveles de saturación de los amplificadores como los de conmuta-ción del comparado, la forma de onda de sali-da, )t(Vo , es una onda periódica cuadrada de promedio nulo; por lo tanto, )t(X i será su integral invertida de signo, resultando una onda triangular de promedio nulo cuya amplitud corresponde con el nivel de conmutación del com-parador y desfasada 180 0 con relación a la onda cuadrada; en la figura 9.32.4 se presenta un esquema de ambas formas de onda. Particulari-zando la relación (9.32.10) para el recorrido horizontal superior, equiva-lente a (7.3.7), se determina el semiperíodo de las formas de ondas:

apag1S

encd1i VtCR

VV)t(X =−=+

sustituyendo los niveles de conmutación, dados por (9.32.5), y despe-jando el tiempo que tarda señal )t(X i en recorrer el segmento supe-

T1

Vapag

Vencd

T2

Xi(t)

Va(t) VS

+

VS−

t

FIGURA 9.32.4 FORMAS DE ONDAS DE LAS SALIDAS.

PARA RR3 > y RR2 =

328

rior del ciclo de histéresis:

RRRR

CR2V

CRRR

RRV2

V

CR)VV(t

3

3

S3

3S

Sapagencd1 +

−=

+−

=−=+

++

Por la simetría que posee la forma de onda de salida su perío-do es:

RR

RRCR4t2T

3

31 +

−== ........(9.32.9)

En aquellos casos que se desee obtener de la estructura un generador de onda, cumpliendo con la otra alternativa establecida por la relación (9.32.3); o sea RR2 ≥ con RR3 = , Para estos valores el comparador de lazo cerrado se encuentra formado por una estructura que posee dos amplificadores múltiplemente realimentados; la des-igualdad anterior es equivalente a forzar que la ganancia de lazo de la cascada formada por los amplificadores 1A , 2A y sus elementos aso-ciados, sea mayor que la unidad; o sea:

1KRR

RKR

RR

RR

3

4

1

2 >==

siendo K un número positivo mayor que la unidad. Considerando que los niveles de saturación de los dos amplificadores son iguales y reali-zar tal asignación, el amplificador formado por 1A tendrá una ganancia cuyo modulo es superior a la unidad, presentará un comportamiento temporal tal que el lazo de realimentación del cual el forma parte se anula; imponiendo que la cascada formada por los dos amplificadores presente un comportamiento lineal. Este lapso de tiempo de compor-tamiento lineal corresponde con el tiempo que le lleve a la salida de

1A en alcanzar justo el nivel de tensión para provocar en la salida de 2A la saturación; en esta condición de operación lineal coinciden las

tensiones en los puertos del amplificador 2A . Para este nivel de la salida de 2A , el lazo de realimentación se cierra nuevamente y ocurre la conmutación. Adviértase que por ser la salida de 2A el nivel satura-ción, la salida de 1A tiende a un valor que sobrepasa dicho nivel, con-dición que no puede ocurrir ya que el valor de salida se encuentra aco-tado por la propia saturación de 1A . Por todo lo dicho anteriormente la

329

estructura tendrá un comportamiento a trozos; similar al mostrado en la figu-ra 9.32.5, donde se encuentra un es-quema de las for-mas de ondas de las tensiones en cuatro nodos de la estruc-tura: los puertos de entrada y la salida del amplificador 2A , así como también la señal de salida del integrador, denomi-nada iX .

Dado que los niveles de saturación de los amplificadores son simétricos y además los valores de 1R y 2R no son iguales, para de-terminar los niveles de conmutación se debe tomar en consideración que la estructura será un comparador cuando el bloque formado por

1A salga de saturación; o sea, que el nivel de la señal a su entrada sea justa la necesaria para colocar su salida al borde de la zona lineal, nivel de saturación. Por lo tanto la amplitud de la salida del compara-dor que se desea modelar será:

2

1S

*o R

RVX +±= ..... (9.32.10)

De la figura 9.32.2, identificando a 2A como unidireccional se obtienen los parámetros qpX :

43

3

43

4

1

2d3 RR

RRR

RRR

X+

−+

= 65

5di RR

RX

+=

Sustituyendo los valores de las resistencias, considerando (9.32.10) y aplicado (7.2.10) se tiene que los niveles conmutación son:

FIGURA 9.32.5 FORMAS DE ONDAS DE LAS SALIDAS

RR2 ≥ Y RR3 =

330

2

2S

5

65

431

3142S

di

d3*ocomti R

RRVR

RR)RR(R

RRRRV

XX

XX −=

++

−±=−= ++ m

por lo tanto:

−−=

−=

+

+

2

2Sapag

2

2Sencd

RRRVX

RRRVX

......(9.32.11)

Dado el comportamiento a trozos de la estructura su compor-tamiento dinámico abarca los intervalos de tiempo denominados aT y

bT . El análisis del comportamiento dinámico partirá al inicio del interva-lo denominado aT . Durante este tiempo el amplificador 2A se encuen-tra saturado, fuera de la zona lineal; o sea, += So VV . Considerando el ciclo de histéresis, para tal nivel de la tensión de salida el comporta-miento de la estructura se encontrará recorriendo la trayectoria supe-rior del ciclo; en estas condiciones la salida del integrador será:

sS

i CIsCR

1s

V)s(X +−=+

en el dominio tiempo se tiene:

2

2SSencdSi R

RRVtCR

1VXtCR

1V)t(X −+−=+−= +++ ......(9.32.12)

El intervalo de operación correspondiente a aT finaliza cuando el amplificador 2A se encuentra justo en el borde de la zona lineal; por lo tanto, el intervalo terminará en el momento que las tensiones en los puertos de entrada de 2A sean iguales. Durante todo el intervalo aT la tensión en el puerto inversor del amplificador 2A es:

)RR(RR

VRR

RV

RRR

V 4343

S

43

4S

43

3Sv −

+=

++

+=−

+−+ ......(9.32.13)

Sustituyendo los valores de las resistencias en la relación ante-rior se tiene que la tensión en el puerto inversor del amplificador es nula para todo el intervalo aT . La expresión para aT se obtiene em-pleando las relaciones (9.32.12) y (9.32.13) e imponer que las tensio-nes en los puertos sean iguales:

331

)RR(R2

VR

RRVaT

CR1

SVR2

R S

2

2Svv −

−+−−−=+

++ =

⇒

de donde:

2

2a R

RRCRT

−= ..... (9.32.14)

Durante el lapso de tiempo bT , que )t(Vo es variable, ver figura 9.32.5, el funcionamiento de la estruc-tura corresponde con la condición en la cual el lazo de realimentación del circui-to de la figura 9.32.2 se inte-rrumpe; por lo tanto, no será un comparador. El amplifi-cador 1A permanece en esta condición hasta que )t(Vo disminuya de valor y alcance el nivel establecido por la relación (9.32.10); la estructura formada por 2A y 3A constituyen un amplifica-dor realimentado, cuya entrada es la salida de 1A , que es −

SV como se indica en la figura 9.32.6. Adicionalmente, para determinar la expre-sión de )t(Vo valida para el intervalo bT se debe considerar que el integrador posee condiciones iniciales, las cuales corresponden con el valor que toma la salida de 3A al final del intervalo aT , nivel de tensión expresado la relación (9.32.12) evaluada en aTt = ; por lo tanto:

−−

=−

+−= +++a

2

2S

2

2SaST T

CR1

RRRV

RRRVT

CR1VCI

b

De la figura, identificando a 2A como unidireccional se obtie-nen los parámetros qpX :

43

4di RR

RX

+−=

65

5CIdi RR

RXTb +=−

43

3

65

5d3 RR

RRR

RsCR

1X+

−+

−=

FIGURA 9.32.6 BLOQUE LINEAL FORMADO

POR 2A Y 3A .

332

sustituyendo los valores de las resistencias:

21X di −=

21X

TbCIdi =−

+−= 1sCR

121X d3

como ∞⇒2A :

d3TBdi

Tbdi

So X

1Xs

CIX

sV

)s(V

+−= −

−

por lo tanto:

1sCRsCR2

21T

CR1

RRR

sV

21

sV

)s(V a2

2SSo +

−−

+−=+−

sustituyendo aT por el valor expresado en (9.32.14) y simplificando:

CR1s

1V)s(V So +−= − )

que en el dominio tiempo:

CRt

V)t(V eSo

−−= − ......(9.32.15)

La duración de bT se tiene al imponer que la relación anterior sea igual al nivel establecido por (9.32.10):

1

2b

b

S2

1S R

RLnCRTCR

T

VRR

V e =⇒−

−=− −−

sustituyendo valores:

R

RLnCRT 2

b = ......(9.32.16)

Tomando en cuenta la simetría de los niveles de saturación de los amplificadores, el periodo de )t(Vo será el doble de la suma los tiempos establecido por (9.32.14) y (9.32.16):

)R

RLn

RRR

(CR2)TT(2T 2

2

2ba +

−=+= ......(9.32.17)

En general, cuando se tiene un comparador de lazo cerrado

333

formado por una estructura múltiplemente realimentada, que posea dos o más amplificadores interrelacionados, el circuito tendrá un com-portamiento a trozo; cuya representación corresponderá con los nive-les de saturación y adicionalmente segmentos en cuales el funciona-miento de la estructura es lineal. Para obtener una forma de onda rec-tangular como salida del comparador, es recomendable satisfacer (9.32.2) con las resistencias asociadas al amplificador donde se define la salida del comprador; en este caso particular el amplificador 2A . Un esquema de la forma de onda a la salida de 2A en tales condiciones se encuentra en la figura 9.32.4, En caso contrario, cuando se satisfa-cer (9.32.2) con las resistencias asociadas a otro amplificador, donde no se encuentra definida la salida, la forma de onda de salida )t(Vo posee un intervalo de tiempo que se encuentra relacionada con la for-ma de onda )t(X i ; para este caso particular, funcionamiento lineal de

2A y las resistencias asociadas. Nótese que durante ese lapso de tiempo 2A y 3A forman un amplificador realimentado que tiene como entrada un nivel constante, la saturación de 1A .

9.33 ESTRUCTURA MULTIPLEMENTE REALIMENTADA II. COMPORTA-MIENTO.

Para el circuito de la figura 9.33.1, donde puede considerar los

amplificadores ideales y su alimentación simétrica. Determinar la for-ma de onda de )t(Vo para diferentes valores de 6R con relación a R . Los valores de las resistencias son: RRRR 751 === ; 2RR3 = y

R2RR 42 == .

En la estructura de la figura se reconocen tres lazos de reali-mentación que se pueden considerar locales, los propios de los tres AO ; y otros dos lazos que incluyen dos AO ; uno de ellos, formado por los circuitos asociados a los amplificadores 1A y 2A ; el otro lazo abar-

334

ca a 2A y el integrador constituido por 3A y sus elementos asociados. Para el estudio del comportamiento dinámico de la estructura tomare-mos como base el propio 2A identificándolo como una estructura unidi-reccional y consideramos las relaciones (4.4.7) y (4.4.4); de (4.4.7):

++

+−

+−

+−=−

21

2

5

6

21

1

43

4

43

32ipq RR

RRR

RRR

RRR

sCR1

RRR

)s(A),s(X A1)(T1

como la ganancia de 2A tiende a infinito, las raíces del polinomio ca-racterístico de la estructura serán:

( )( ) ( )( )5162432153

5421RRRRRRRRRR

RRRRCR

1s−+++

+=

sustituyendo los valores de la resistencias:

R2R10

R12CR

1s6 −

= ........(9.33.1)

De la relación anterior se puede concluir que el comportamien-to de la estructura dependerá del valor relativo asignado a 6R . Será estable, un amplificador, cuando R51R6 < , por estar ubicados los polos del polinomio caracterís-tico en el semiplano izquierdo; y no estable cuando se impon-ga que R51R6 ≥ .

El comportamiento de la estructura cuando R51R6 < se realiza como se establece en el numeral 4.3 para una estructu-ra múltiplemente realimentada.

Cuando se le asigne a 6R un valor tal que satisfaga la

desigualdad R51R6 ≥ el com-portamiento de la estructura será no estable. En estos caso; sí la estructura cumple con los requisitos exigidos en el nume-

FIGURA 9.33.1 ESTRUCTURA MULTIPLE-

MENTE REALIMENTADA II. COMPORTAMIENTO.

335

ral 7.3 su comportamiento dinámico se podrá estudiar por lo estableci-do en dicho numeral. O sea, ser no estable su comportamiento y que toda la estructura satisfaga la relación (4.4.4) al tomar 0w = ; y que simultáneamente se pueda dividir la estructura en dos bloques relacio-nados. Uno de estos bloques debe ser un comparador de lazo cerrado y el otro presentar un comportamiento lineal dependiente de frecuen-cia.

Para el amplificador 2A ; al aplicar la relación (4.4.4) se tiene:

0A

ARR

RRR

RRR

RRR

RRR

0wX

33

43

4

21

2

5

6

21

1

43

3d3 <

∞⇒+−

++

+−

+=

=

relación que se satisface para cualquier valor asignado a 6R , por ten-der la ganancia del operacional a infinito.

El circuito de la figura 9.33.1 se puede dividir en dos bloques interrelacionados; uno de ellos el integrador formado por 3A , que realimenta a la es-tructura que incluye a los AO 1A y 2A e indicada en la figura 9.33.2. Por ser el integrador un bloque lineal dependiente de la frecuencia, bastará con demos-trar que el comportamiento del otro bloque corresponde con un comparador de lazo cerrado para satisfacer lo exigido. De la figura 9.33.2, identificando 2A como estructura unidireccional se tiene:

521

6251

43

3

21

2

5

6

21

1

43

3d3 R)RR(

RRRRRR

R0

RRR

RR

RRR

RRR

X+

−>

+⇒>

++

+−

+=

al sustituir los valores de las resistencias:

5RR

R3R2R

R22R2R

66 >⇒

−>

+

FIGURA 9.33.2 BLOQUE COMPARADOR.

336

Por lo tanto, para el valor asignado a 6R , se satisface la condi-ción de operación de la estructura como un comparador de lazo cerra-do y por consiguiente el análisis del comportamiento dinámico de toda la estructura se puede realizar como establece el numeral 7.7.3. Para el análisis dinámico se debe considerar que el comparador se encuen-tra formado por un circuito múltiplemente realimentado, que posee bloques cuyas fuentes controladas entran en saturación de manera independiente una de la otra, causando un comportamiento a trozos de toda la estructura.

Dado que los niveles de saturación de los amplificadores 1A y

2A son simétricos y además que los valores de 5R y 6R no son igua-les, para determinar los niveles de conmutación se debe tomar en consideración que la estructura será un comparador cuando el amplifi-cador formado por 1A salga de saturación; o sea, que el nivel de la señal entrada sea justa la necesaria para tener a su salida saturación. Por lo tanto, La amplitud de la salida del comparador que se desea modelar será:

6

S6

5S

*0 R

RVRRVX ++ ±=±= ........(9.33.2)

Directamente de la figura 9.33.2 se tiene que:

51

R3RR2

RRR

R)RR(RRRR

X54

R3R

RX 6

43

3

521

5162d3

4

4di +

−=

++

+−

==+

=

aplicando (7.2.10) se obtienen:

6

6S

6

6S

di

d3*oi R12

R2R10V

45

51

R3RR2

RRV

X

XXX

−=

+−

=−= ++ mm

de donde, los niveles de conmutación son:

−−=

−=

+

+

6

6Sapag

6

6Sencd

R12R2R10

VX

R12R2R10

VX ........(9.33.3)

Por estar asociada la entrada al comparador, realimentación

337

externa, al puerto no inversor de 2A , el signo de (7.2.12) resulta posi-

tivo; por lo tanto, el ciclo de histére-sis se recorre en sentido contrario del reloj. La característica de trans-ferencia se indica el la figura 9.33.3.

La evolución temporal de la salida de 2A , comportamiento di-námico de la estructura de la figura 9.33.1, se comprueba por medio de las relaciones (7.3.4) y (7.3.5), para los dos recorridos horizontales del ciclo de histéresis de la figura 9.33.3. Dado que el valor extremo de la tensión de salida del integra-dor se encuentra acotada por su saturación; para el recorrido horizon-tal superior se tiene:

−−=

−

−=− ++−−

6

6S

6

6SS1comextmo R12

R2R10V4Sign

R12R2R10

V2VSignXXSign

....... (9.33.4)

6

6S

6

6SS1comextmo R12

R2R10V4

R12R2R10

V2VXX−

−≥−

−=− ++−− ... (9.33.5)

De forma similar se obtienen las expresiones para la trayectoria inferior del ciclo de histéresis:

−

=

−

+=− +++−

6

6S

6

6SS1comextmo R12

R2R10V4Sign

R12R2R10

V2VSignXXSign

....... (9.33.6)

6

6S

6

6SS1comextmo R12

R2R10V4

R12R2R10

V2VXX−

≥−

+=− +++− ....... (9.33.7)

Como se satisfacen las cuatro condiciones impuestas de signo y magnitud, la salida )t(Vo será una señal que evoluciona periódica-mente. Un esquema para la forma de onda de la tensión en varios nodos de la estructura se encuentra en la figura 9.33.4; el comporta-miento dinámico de la estructura es a trozos y abarca los intervalos de tiempo denominados aT y bT ; nótese que la salida del amplificador 1A es simplemente una onda rectangular relacionada con )t(Vo . El análi-

X0*

Xi

Vapag Vencd

VS+

VS−


TRANSFERENCIA.

338

sis del comportamiento dinámico partirá al inicio del intervalo denomina-do aT . Durante este intervalo el amplificador

2A se encuentra satu-rado, fuera de la zona lineal; o sea, += So VV . Para tal nivel de la ten-sión de salida, el com-portamiento de la es-tructura se encontrará recorriendo la trayecto-ria superior del ciclo de histéresis; la salida del integrador en estas condiciones es:

sS

i CIsCR

1s

V)s(X +−=+


6

6SSencdSi R12

R2R10VtCR

1VXtCR

1V)t(X −+−=+−= +++ ........(9.33.8)

El intervalo de operación correspondiente a aT finaliza cuando el amplificador 2A se encuentra justo en el borde de la zona lineal; por lo tanto, el intervalo terminará en el momento que las tensiones en los puertos de entrada de 2A sean iguales. Durante todo el intervalo aT la tensión en el puerto inversor del amplificador 2A es:

31V)R2R(

R3V)RR(

RRV

RRR

VRR

RV S

S21

21

S

21

2S

21

1Sv +

++−+ −=−=−

+=

++

+=−

........(9.33.9) La tensión en el puerto no inversor será la contribución de la salida del integrador y la del propio amplificador 2A :

51V

54

R12R2R10Vt

CR1V

RRRV

RRR)t(X S

6

6SS

43

3S

43

4iv ++++ +

−

+−=+

++

=+

......(9.33.10)

FIGURA 9.33.4 FORMAS DE ONDAS PARA

R51R6 ≥

339

La expresión para aT se obtiene empleando las relaciones (9.33.9) y (9.33.10) e imponer que las tensiones en los puertos sean iguales:

31V

51V

54

R12R2R10VT

CR1V SS

6

6SaS

++++ −=+

−

+−

de donde:

+−

=32

R12R2R10CRT

6

6a ..... (9.33.11)

Al finalizar el intervalo aT el amplificador 2A pasa a operación lineal y se mantiene en esta condi-ción hasta finalizar el semi periodo del comportamiento dinámico de la estructura; o sea, todo el intervalo

bT . Durante el funcionamiento lineal de 2A , el circuito formado por 2A y el integrador constituyen una estruc-tura lineal realimentada con una entrada constante, el nivel de satu-ración de 1A , que para el recorrido superior del ciclo de histéresis es −

SV , como se indica en la figura 9.33.4. Adicionalmente se debe considerar que el integrador posee condiciones iniciales; las cuales corresponden al valor de su salida al finalizar el inter-valo anterior, aT , y su valor se obtiene evaluando (9.33.8) en aTt = :

−−

=−

+−= +++a

6

6S

6

6SaST T

CR1

R12R2R10V

R12R2R10VT

CR1VCI

b

Directamente de la figura 9.33.5, reconociendo a 2A como uni-direccional y considerando la condición inicial que posee el condensa-dor, se calculan los parámetros qpX :

31

RR

RX

21

2di −=

+−=

51

RR

RX

43

4CIdi =

+=−

sCR1512sCR2

sCR1

54

31

51

RRR

RRR

sCR1

RRRX

21

1

43

4

43

3d3

+−=−−=

+−

+−

+=

FIGURA 9.33.5 ESTRUCTURA LINEAL.

340

considerando que la ganancia de 2A tiende a infinito se tiene:

d3

CIididS

0 X1X

sCIX

sV

)s(V

+−= −

+

12sCR2sCR15T

CR1

R12R2R10

sV

31

sV)s(V a

6

6SSo +

−−

+−=++

)CR12s(215VT

CR1

R12R2R10

31)s(V Sa

6

6o +

−−

+−= +

sustituyendo aT por la expresión (9.33.11):

)CR12s(215V)s(V So +

= +

y en el dominio tiempo se tiene:

CR12t

215V)t(V eSo

−= + ......(9.33.12)

La expresión anterior tendrá validez hasta que su valor alcance el nivel que ubica la salida del amplificador 1A justo en el nivel de sa-turación, el establecido por la relación (9.33.2). Por lo tanto, de la rela-ción (9.33.12), evaluada para bTt = se puede determinar el tiempo de duración de esta condición:

6S

bSbo R

RVCR12T

215V)T(V e ++ =

−=

despejando:

R2R15Ln

12CRT 6

b = ......(9.33.13)

El periodo de la forma de onda de salida de la estructura será el doble de la suma de los dos intervalos calculados anteriormente:

++−

=+=R2R15Ln

121

32

R12R2R10CR2)TT(2T 6

6

6ba ......(9.33.14)

341

9.34 GENERADOR DE ONDAS EXPO-NENCIALES DE FORMA VARIA-BLE

Para el circuito de la figura 9.34.1, donde puede considerar los

amplificadores ideales y su alimentación simétrica, determinar la forma de onda de Vo(t) para diferentes valores de R1 con relación a R.

La estructura de la figura 9.34.1 se puede dividir en dos circui-tos diferentes relacionados entre si. El amplificador 1A y las dos resistencias asociadas a su puerto no inversor constituyen un compa-rador de lazo cerrado que a su vez se encuentra realimentado por el resto de la estructura original.

Dados los niveles de ali-mentación simétricos de los ope-racionales el comparador forma-do por 1A posee niveles de con-mutación simétricos de valor

2VV Sconm ±= . Por estar la re-alimentación externa aplicada directamente en el puerto inversor de 1A , al determinar el signo de (7.2.12) resulta negativo; por lo tanto, el ciclo de histéresis se re-corre en el sentido del reloj. La característica de transferencia se indica el la figura 9.34.2.

La estructura formada por el amplificador 1A y los elementos asociados realimenta externamen-

FIGURA 9.34.1 GENERADOR DE ON-

DAS EXPONENCIALES DE FORMA VARIABLE.

iX

oX

+SV

−SV

encdV

apagV

FIGURA 9.34.2 CARACTERÍSTICA DE TRANSFERENCIA

342

te al comparador de lazo cerrado; la estructura se puede representar por el circuito equivalente de la figura 9.34.3. Por ser ésta estructura externa realimentada localmente para su análisis se identifican: el am-plificador y los puntos requeridos. Directamente de la figura 9.34.3 se obtiene la expresión para la ganancia realimentada; o sea, la relación (4.1.6):

13

o31ioif X21

X2XXA

−+= ........(9.34.1)

De la figura 9.34.3: 1X0X o3oi ==

)1RCs(RRR

RR

RX

11Cs1

Cs1

1i ++=

+=

)1sCR(RRR

RR

RX

11

1

sC1

1

sC1

113 ++

=+

=

Sustituyendo en (9.34.1):

−+

=

CRRRRsCR

2A

1

11

f ........(9.34.2)

Analizando el denominador de la expresión anterior se encuentra que tal estructura será estable cuando la resistencia 1R satisfaga con:

RR1 ≤ ........(9.34.3)

Admitiendo que 1R satisface la condición dada por (9.34.3); la evolución en el tiempo para Vo(t) se comprueba por medio de las rela-ciones (7.3.4) y (7.3.5), para los dos recorridos horizontales del ciclo de histéresis de la figura 9.34.2. Dado que el valor extremo de la tensión de salida del amplificador 1A se encuentra acotada por su satura-ción; para el recorrido horizontal superior se tiene:

FIGURA 9.34.3 CIRCUITO EQUIVA-LENTE. ESTRUCTURA EXTERNA.

343

−=

−=−−+−

+− 2

V2

VSign2

VVSignXXSign SSSS1comextmo ....... (9.34.4)

2

V2

V2

VVXX SSSS1comextmo

−+−+

− −≥−=− ....... (9.34.5)

De forma similar se obtienen las expresiones para la trayectoria inferior del ciclo de histéresis:

−=

−=−+−+

−− 2

V2

VSign

2V

VSignXXSign SSSS1comextmo .. (9.34.6)

2

V2

V2

VVXX SSS

S1comextmo

+−+−

− −≥−=− ....... (9.34.7)

Como se satisfacen las cuatro relaciones anteriores Vo(t) será una señal que evoluciona periódicamente en el tiempo. Su dependencia temporal se obtiene mediante la relación (7.3.6) parti-cularizada para el circuito trans-formado de la figura 9.34.4; para la trayectoria superior se tiene:

+

+

+

=−−

+

C1RR1RR

1

1sup

C1RR1RR

1

Ssupo

sCRR

sCRR2s

CI

sCRR

R2s

V)s(V

+

+

+

=−−

+

C1RR1RR

sup

C1RR1RR

1

Ssupo

s

IC2

sCR

2s

V)s(V ....... (9.34.8)

Aplicando transformada inversa se tiene:

FIGURA 9.34.4 CIRCUITO TRANS-

FORMADO. ESTRUC-TURA EXTERNA.

344

t

CI2t1RR

VR2)t(V C1RR1RR

supC1RR1RR

1

Ssupo ee

−−−

−+

+

−−= ........(9.34.9)

El valor de supCI se obtiene al considerar la continuidad de la tensión en el condensador durante la conmutación:

4V

CI Ssup

−=


t

2V2

t1

RR

VR2)t(V C1RR1RR

SC1RR1RR

1

Ssupo ee

−−−

−−+

+

−−

=

simplificando:

+

−−

−=

−−

+t

21

RR

R

RR

RV2)t(V C1RR

1RR

11Ssupo e ......(9.34.10)

La expresión temporal de la tensión de salida para el recorrido inferior se obtiene considerando las características de simetría que po-see el comparador formado por A1 y sus resistencias asociadas; o sea, sustituir en (9.34.10) la tensión de saturación positiva por la negativa:

+

−−

−−=

−−

+t

21

RR

R

RR

RV2)t(V C1RR1RR

11Ssupo e ......(9.34.11)

En aquellos casos que la resistencia R1 sea igual R, de la rela-ción (9.34.8) se tiene:

s

CI2

sCR2

sV

)s(V sup

1

Ssupo +=

+ ......(9.34.12)


−=+= +−

+

21t

CR2V

2Vt

CR2V)t(V

1S

S

1Ssupo ......(9.34.13)

345

para la trayectoria inferior:

−−= +

21t

CR2V)t(V1

Sinfo ..... (9.34.14)

Cuando a 1R se le asigna un valor que no satisface la condi-ción de estabilidad del amplificador formado por 1A y sus elementos asociados; o sea: RR1 > , la tensión de salida del amplificador debe ser evaluada directamente del circuito transformado, sin emplear la rela-ción (9.34.1) puesto que no es valida. Del circuito de la figura 9.34.4, considerando que la tensión de salida del amplificador es el doble de la tensión aplicada a su entrada, y que las condiciones iniciales del condensador equivalen al nivel de conmutación dividido por la ganan-cia del amplificador, para el recorrido superior del ciclo de histéresis se tiene:

s1

4V

sC1

R

)s(V

R1)s(V

sV

)s(V SsupC

1SC

SsupC

−++

+

−=

s1

4V

CsR

VRCs

1CsR11)s(V S

21

S

1supC

−++=

−+

despejando y simplificando:

C1RR1RR

S

1

SsupC

s

14

Vs1

CRV)s(V −

−+

+

+= ..... (9.34.15)

Considerando que la tensión de salida es dos veces la del con-densador y aplicando transformada inversa:

+

−−=

−−−−

−+t

4Vt

1RRRV2)t(V C1RR

1RR

SC1RR1RR

1Ssupo ee

simplificando y agrupando:

346

−

−+

−−=

−

+t

41

RRR

RRRV2)t(V C1RR

R1R

11Ssupo e ......(9.34.16)

Para obtener la expresión temporal de la tensión de salida co-rrespondiente a la trayectoria inferior del ciclo de histéresis basta con considerar las condiciones de simetría del comparador; para lo cual sólo se requiere invertir el signo de la relación (9.34.16):

−

−+

−−−=

−

+t

41

RRR

RRRV2)t(V C1RR

R1R

11Sinfo e ......(9.34.17)

La evolución en el tiempo de las formas de onda de la tensión de salida de la estructura será permanente si se satisfacen las relacio-nes (7.3.4) y (7.3.5) aplicadas a las tensiones dadas por las expresio-nes (9.34.16) y (9.34.17); dado el carácter exponencial de ambas, el modulo de sus valores extremos es infinito. O sea, consideraremos los niveles de saturación respectivos para evaluar (7.3.4) y (7.3.5); con lo cual se satisface la condición de modulo para ambas trayectorias. La condición de signo se cumplirá imponiendo que el coeficiente del tér-mino exponencial de las expresiones sea positivo; de otra forma la tensión de salida no evolucionará permanentemente. Imponiendo el signo positivo para el coeficiente del término exponencial se tiene:

R5RR

R0RR4

1RR

R1

111

<>

→>>

−−

Lo cual es equivalente a:

R5RR 1 << ......(9.34.18)

La expresiones para la tensión de salida, relaciones (9.34.10), (9.34.11), (9.34.13), (9.34.14), (9.34.16) y (9.34.17); cuando se satis-face la restricción dada por (9.34.18), corroboran que la forma de onda del generador se modifica al cambiar el valor de la resistencia R1 con relación al asignado a R. Para 1R .< R la salida es la suma de expo-nenciales decrecientes de signos alternados. Cuando los valores asig-nados a las resistencias son iguales se obtiene una onda triangular.

347

Asignándole a 1R un valor que satisface (9.34.18) la forma de onda de la salida corresponde con exponenciales crecientes. En cambio, la forma de onda de salida presenta un comportamiento transitorio al aplicar la alimentación a la estructura cuando se satisface 1R > 5R; la tensión de salida es una exponencial creciente que alcanza el limite de saturación impuesto por A2 ; la magnitud de la tensión a la salida de A2 será creciente o decreciente, dependiendo del estado inicial que adquiera la salida del comparador en el instante de encendido de la fuente de alimentación. O sea, se imponen las condiciones dadas por (9.34.19):

X V V V

X V V VS S

S S

0

0

0

0

*

*

( ) ( )

( ) ( )

= ⇒ ∞ =

= ⇒ ∞ =

+ −

− + ..... (9.34.19)

Nótese que para estas condiciones, la señal realimentada al comparador satisface las condiciones de magnitud pero no las de sig-no; por lo tanto, no se alcanzan los niveles de conmutación y la ten-

Vo(t)

t

Vencd

Vapag

R1 < R Vo(t)

t

Vencd

Vapag

R1 = R

Vo(t)

t

VS+

R1>5R

Vo(t)

t

Vencd

Vapag

R < R1<5R X VS0 0*( ) = −

X VS0 0*( ) = +

VS−


348

sión de salida de los amplificadores no presentan un comportamiento periódico.

En la figura 9.34.5 se encuentra un esquema de las formas de ondas de la tensión de salida para diferentes valores de 1R .

349

ANEXOS

ANEXO 1 AMPLIFICADOR COMPLETA-MENTE CARGADO. BJT

En este resumen se plantean las relaciones ter-minales para un amplificador de una etapa que emplea como elemento activo un transistor BJT modelado tanto por sus parámetros h , como por los correspondien-tes al modelo híbrido π; e indicados en las figuras A-1.2 y A-1.3, respectivamen-te.

En el amplificador, el circuito externo a cada uno de los tres ter-minales del transistor es representado por su Thévenin equivalente; obteniéndose de está forma el amplificador completamente cargado como se muestra en la figura A-1.1. Nótese que en el circuito de la figura, utilizando el teorema de superposición, se pueden definir todas las relaciones terminales requeridas en un caso particular.

FIGURA A-1.1 AMPLIFICADOR COMPLETA-

MENTE CARGADO.

350

ANEXO 1.1 AMPLIFICADOR COMPLETA-MENTE CARGADO. BJT MODELO HÍBRIDO

Empleando los pa-rámetros h , correspon-dientes a la configuración emisor común, como fre-cuentemente se encuen-tran en los manuales de transistores que se deno-minan hi e , hr e , ho e y hf e ; las expresiones para el transistor completamente cargado son:

IMPEDANCIAS:

Z hh h h Z Z h h Z

h Z Ziefe re oe fe re

oe11

2 3 2

2 3

1 11

= ++ − + −

+ +[( ) ( ) ]

( )

Zh Z h h h h Z Z

h h Z Z h hie fe re oe ie

oe ie fe re22

1 1 3

1 3

1 1=

+ + + − + +

+ + −

[( ) ( ) ( )]( )

Zh Z h Z h h Zh h h h Z Zie oe fe re

fe re oe ie33

1 2 2

1 2

11 1

=+ + −

+ − + + +

( ) ( )( ) ( ) ( )

FIGURA A-1.2 BJT. PARÁMETROS h .

351

GANANCIA DE TENSIÓN; ENTRANDO POR BASE:

Saliendo por colector:

AvvV

h h Z Zh Z h Z h h Z h h h h Z Z Z

fe oe

ie oe fe re fe re oe ie12

2

1

3 2

1 2 2 1 2 31 1 1= = −−

+ + − + + − + + +

( )( )( ) [ ( )( ) ( )]

Saliendo por emisor:

AvvV


fe oe


3

1

2 3

1 2 2 1 2 3

11 1 1= =

+ +

+ + − + + − + + +

( )( )( ) [ ( )( ) ( ) ]

GANANCIA DE TENSIÓN; ENTRANDO POR COLECTOR:

Saliendo por base:

AvvV


re oe


1

2

3 1

1 2 2 1 2 31 1 1= =−

+ + − + + − + + +( )

( )( ) [ ( )( ) ( )]


AvvV

h h Z h h Zh Z h Z h h Z h h h h Z Z Z

oe ie re fe


3

2

1 3

1 2 2 1 2 3

11 1 1= =

+ − +

+ + − + + − + + +

[ ( ) ( ) ]( )( ) [ ( )( ) ( ) ]

GANANCIA DE TENSIÓN; ENTRANDO POR EMISOR:

Saliendo por base:

AvvV

h Z h Zh Z h Z h h Z h h h h Z Z Z

oe re


1

3

2 1

1 2 2 1 2 3

11 1 1= =

+ −+ + − + + − + + +

( )( )( ) [ ( )( ) ( )]


AvvV

h h Z h h Zh Z h Z h h Z h h h h Z Z Z

oe ie fe re


2

3

1 2

1 2 2 1 2 3

11 1 1= =

+ − −

+ + − + + − + + +

[ ( ) ( ) ]( )( ) [ ( )( ) ( ) ]

352

GANANCIA DE CORRIENTE; ENTRANDO POR BASE:


Aiii

h h Zh Z Zfe oe

oe12

2

1

3

2 31= =−

+ +( )


Ai ii

h h Zh Z Z

fe oe

oe13

3

1

2

2 3

11

= = −+ +

+ +( )

GANANCIA DE CORRIENTE; ENTRANDO POR COLECTOR:

Saliendo por base:

Aiii

h h Zh h Z Z h h

re oe

oe ie fe re21

1

2

3

1 3= = −

++ + −( )


Aiii

h h h h Zh h Z Z h hre fe oe ie

oe ie fe re23

3

2

1

1 3

1= =

+ − +

+ + −

( ) ( )( )

GANANCIA DE CORRIENTE; ENTRANDO POR EMISOR:

Saliendo por base:

Aiii

h h Zh h h h Z Z

re oe

fe re oe ie31

1

3

2

1 2

11 1= =

− −+ − + + +( )( ) ( )


Aiii

h h h h Zh h h h Z Z

fe re oe ie

fe re oe ie32

2

3

1

1 2

11 1= =

− − +

+ − + + +

( ) ( )( )( ) ( )

353

Dado los avances tecnológicos en la actualidad, el valor de la ganancia de corriente hfe para un dispositivo real se encuentra com-prendido entre 200 y 500; considerando tales valores se pueden obte-ner aproximaciones para las expresiones del transistor completamente cargado evaluando el límite de las obtenidas anteriormente. Las apro-ximaciones permiten obtener en los circuitos que posean tales elemen-tos activos expresiones que si bien son aproximadas son mucho más simples; para la mayoría de los casos sus resultados son muy cerca-nos a la realidad. Tales expresiones simplificadas son:

IMPEDANCIAS:

Z11 =∞ Z h Zh

re

re22

31= −

−( ) Z h Zh

re

re33

2

1= −

−


Saliendo por colector: Saliendo por emisor:

)ZZ(hZZ

Vvv

32re3

2

1

212A

+−−==

)ZZ(hZZ

Vv

v32re3

3

1

313A

+−==


Saliendo por base: Saliendo por emisor:

Av vV21

1

20= = Av v

Vh Z

Z h Z Zre

re23

3

2

3

3 2 3= = −

− +( )

354


Saliendo por base: Saliendo por colector:

Av vV31

1

30= =

)ZZ(hZZ)1h(

Vvv

32re3

2re

2

323A

+−−

−==



Ai ii122

1= =∞ Ai i

i133

1= = −∞



Ai ii211

20= = Ai23 1= −



Ai ii311

30= = Ai i

i322

31= = −

355

En muchas oportunidades algunos parámetros del transistor se pueden aproximar a cero; en estos casos, para encontrar las nuevas relaciones, simplemente se obtiene el límite correspondiente. Admi-tiendo que hre =0 y hoe = 0 las relaciones simplificadas son:

IMPEDANCIAS:

Z h h Zie fe11 31= + +( ) Z22 = ∞ Z h Zh

ie

fe33

1

1=

++

( )( )



Av vV

h Zh Z h Z

fe

ie fe12

2

1

2

1 31= = −

+ + +( ) Av

vV

h Zh Z h Z

fe

ie fe13

3

1

3

1 3

11= =

+

+ + +

( )( )



Av vV21

1

20= = Av v

V233

20= =



3fe1ie

1

3

131 Z)h1(Zh

ZVv

vA+++

== AvvV

h Zh Z h Z

fe

ie fe32

2

3

2

1 31= =

+ + +( )

356



Aiii hfe122

1= = Ai i

ihfe13

3

11= = − +( )



Ai ii211

20= = Ai

ii233

20= =



Aiii h fe

311

3

11= = −+

Aiii

hhfe

fe32

2

3 1= = −+

357

ANEXO 1.2 AMPLIFICADOR COMPLETA-MENTE CARGADO. BJT MODELO HÍBRIDO π

Cuando el modelo empleado para el transis-tor es el híbridoπ, ver figu-ra A-1.3, las relaciones se obtendrán de manera aproximada. La aproxima-ción consiste en: r rx rxπ =

IMPEDANCIAS:

Z r rgmr r

r rgmrr

Z Z gmr rr

Z

rgmrr

Z Zx11

02 3 2

02 3

1 1 1 1

1 1 1= + +

+ − + ++

−

+ ++

+π

ππ

µ

π

µπ

π

µ

π

µ

[( )( ) ( ) ]

( )( )

Zr r Z gmr r

r rgmrr

r r Z Z

rgmrr

r r Z Z gmr rr

x x

x

22

10

1 3

01 3

1 1 1 1

1 1=

+ + + + − + ++

+ +

++

+ + + −

π ππ

µ

π

µπ

π

µπ π

π

µ

[( )( ) ( )( )]

( )( )

Zr r Z

rgmrr

Z gmr rr

Z

gmr rr r

gmrr

r r Z Z

x

x

33

10

2 2

01 2

1 1 1

1 1 1 1=

+ + + ++

−

+ + + ++

+ + +

( ) ( )

( )( ) ( )( )

ππ

µπ

π

µ

ππ

µ

π

µπ

FIGURA A-1.3 BJT. MODELO HÍBRIDO π.

358



AvvV

gmrr

gmrr

Z Z

r r Zr

gmrr

Z gmrrr

Z gmrrr r

gmrr

r r Z Z Zx x

122

1

03 2

10

2 20

1 2 3

1 1

1 1 11 1 1 1

= =

− − ++

+ + + ++

− + + − + +

++ + +

ππ

µ

ππ

µπ

π

µπ

π

µ

π

µπ

( )

( ) ( ) ( )( ) ( )( )


AvvV

gmrr

gmrr

Z Z

r r Zr

gmrr

Z gmrrr

Z gmrrr r

gmrr

r r Z Z Zx x

133

1

02 3

10

2 20

1 2 3

1 1 1

1 1 11 1 1 1

= =

+ + ++

+ + + ++

− + + − + +

++ + +

ππ

µ

ππ

µπ

π

µπ

π

µ

π

µπ

( )

( ) ( ) ( )( ) ( )( )


Saliendo por base:

AvvV

rr r

gmrr

Z Z

r r Zr

gmrr

Z gmrrr

Z gmrrr r

gmrr

r r Z Z Zx x

211

2

03 1

10

2 20

1 2 3

1 1

1 1 11 1 1 1

= =

++

+ + + ++

− + + − + +

++ + +

π

µ

π

µ

ππ

µπ

π

µπ

π

µ

π

µπ

_( )

( ) ( ) ( )( ) ( )( )


AvvV

rgmrr

r r Zrr

gmr Z

r r Zr

gmrr

Z gmrrr

Z gmrrr r

gmrr

r r Z Z Z

x

x x

2 33

2

01 3

10

2 20

1 2 3

1 11

1 1 11 1 1 1

= =

++

+ + − +

+ + + ++

− + + − + +

++ + +

( )( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( )( )

π

µπ

π

µπ

ππ

µπ

π

µπ

π

µ

π

µπ

359


Saliendo por base:

AvvV

rgmrr

Zrr

Z

r r Zr

gmrr

Z gmrrr

Z gmrrr r

gmrr

r r Z Z Zx x

3 11

3

02 1

10

2 20

1 2 3

1 1 1

1 1 11 1 1 1

= =

+ ++

−

+ + + ++

− + + − + +

++ + +

( )

( ) ( ) ( )( ) ( )( )

π

µ

π

µ

ππ

µπ

π

µπ

π

µ

π

µπ


AvvV

rgmrr

r r Z gmrrr

Z

r r Zr

gmrr

Z gmrrr

Z gmrrr r

gmrr

r r Z Z Z

x

x x

322

3

01 2

10

2 20

1 2 3

1 11

1 1 11 1 1 1

= =

++

+ + −

+ + + ++

− + + − + +

++ + +

( )( )_ ( )

( ) ( ) ( )( ) ( )( )

π

µπ π

π

µ

ππ

µπ

π

µπ

π

µ

π

µπ



Ai ii

gmrr

gmrr

Z

rgmrr

Z Z12

2

1

03

02 3

1 1

1 1 1= =− +

+

+ ++

+

ππ

µ

π

µ

( )

( )( )


Ai ii

gmrr

gmrr

Z

rgmrr

Z Z13

3

1

02

02 3

1 1 1

1 1 1= = −

+ + ++

+ ++

+

ππ

µ

π

µ

( )

( )( )

360


Saliendo por base:

Ai ii

rr r

gmrr

Z

rgmrr

r r Z Z gmr rrx

211

2

03

01 2

1 1

1 1= = −

+ ++

++

+ + + −

π

µ

π

µ

π

µπ π

π

µ

( )

( )( )


Ai ii

rr

gmrr

gmrr

r r Z

rgmrr

r r Z Z gmr rr

x

x

233

2

01

01 2

1 1 1

1 1= =

+ − ++

+ +

++

+ + + −

π

µπ

π

µπ

π

µπ π

π

µ

( ) ( )( )

( )( )


Saliendo por base:

Ai ii

rr r

gmrr

Z

gmr rr r

gmrr

r r Z Zx

311

3

02

01 2

1 1 1

1 1 1 1= =

− − ++

+ − + ++

+ + +

π

µ

π

µ

ππ

µ

π

µπ

( )

( )( ) ( )( )


Ai ii

gmr rr r

gmrr

r r Z

gmr rr r

gmrr

r r Z Z

x

x

322

3

01

01 2

1 1 1

1 1 1 1= =

− − ++

+ +

+ − + ++

+ + +

ππ

µ

π

µπ

ππ

µ

π

µπ

( ) ( )( )

( )( ) ( )( )

361

Admitiendo que el parámetro rµ tiende a infinito, las relaciones son:

IMPEDANCIAS:

Z r rgmr

rZ Z

rZ Z

x110

2 3

02 3

1 1

1 1= + ++ +

+ +π

π[ ]

( )

Zr r Z gmr

rr r Z Z

rr r Z Z

x x

x

22

10

1 3

01 3

1 1

1=+ + + + + + +

+ + +

π π π

π

[ ( )]

( )

Zr r Z

rZ

gmrr

r r Z Z

x

x

33

10

2

01 2

1 1

1 1=+ + +

+ + + + +

( )

( )

π

π π



AvvV

gmrr

Z Z

r r Zr

Z gmrr

r r Z Z Zx x

122

1

03 2

10

20

1 2 3

1

1 1 1 1= =

− −

+ + +

+ + + + + +

π

π π π( ) ( ) ( )


AvvV

gmrr

Z Z

r r Zr

Z gmrr

r r Z Z Zx x

133

1

02 3

10

20

1 2 3

1 1

1 1 1 1= =

+ +

+ + +

+ + + + + +

π

π π π( ) ( )

362


Saliendo por base:

AvvV

rZ Z

r r Zr

Z gmrr

r r Z Z Zx x

211

2

03 1

10

20

1 2 3

1

1 1 1 1= =

+ + +

+ + + + + +

_

( ) ( )π π π


Av vV

rZ r r Z

r r Zr

Z gmrr

r r Z Z Z

x

x x

233

2

03 1

10

20

1 2 3

1

1 1 1 1= =

+ +

+ + +

+ + + + + +

( )

( ) ( )

π

π π π


Saliendo por base:

AvvV

rZ Z

r r Zr

Z gmrr

r r Z Z Zx x

3 11

3

02 1

10

20

1 2 3

1 1

1 1 1 1= =

+

+ + +

+ + + + + +

( ) ( )π π π


AvvV

rr r Z gmr Z

r r Zr

Z gmrr

r r Z Z Z

x

x x

3 22

3

01 2

10

20

1 2 3

1

1 1 1 1= =

+ + +

+ + +

+ + + + + +

( )

( ) ( )

π π

π π π

363



Ai ii

gmr r Zr Z Z12

2

1

0 3

0 2 3

= =−

+ +π


Ai ii

r gmr r Zr Z Z13

3

1

0 0 2

0 2 3

= = −+ ++ +

π


Saliendo por base:

Ai ii

Zr r Z Zx

211

2

3

1 3

= = −+ + +π


Ai ii

r r Zr r Z Z

x

x23

3

2

1

1 3

= =− + ++ + +

π

π


Saliendo por base:

Ai ii

r Zr gmr r r r Z Zx

311

3

0 2

0 0 1 2

= = −+

+ + + + +π π


Ai ii

gmr r r r Zr gmr r r r Z Z

x

x32

2

3

0 1

0 0 1 2

= = −+ + +

+ + + + +π π

π π

( )

364

ANEXO 2 AMPLIFICADOR COMPLETA-MENTE CARGADO. FET

En este caso se procede de manera similar al procedimiento em-pleado en el ANEXO 1. El modelo del FET se indica en la figura A-2.1. La nomenclatura se refiere al amplificador completamente cargado de la figura A-2.2; solamente se indicarán las relaciones de impedancia y ga-nancia de tensión.

IMPEDANCIAS:

Z11 = ∞ Z r gmr Zd d22 31= + +( ) Z r Zgmr

d

d33

2

1=

++

FIGURA A-2.2 AMPLIFICADOR COMPLE-

TAMENTE CARGADO.

FIGURA A-2.1 MODELO PARA UN FET.

365

GANANCIA DE TENSIÓN; ENTRANDO POR GATE:

Saliendo por drain: Saliendo por source:

Av vV

gmr Zr Z Z gmr

d

d d12

2

1

2

2 3 1= = −

+ + +( ) Av v

Vgmr Z

r Z Z gmrd

d d13

3

1

3

2 3 1= =

+ + +( )

GANANCIA DE TENSIÓN; ENTRANDO POR DRAIN:

Saliendo por gate: Saliendo por source:

Av vV21

1

20= = Av

vV

Zr Z Z gmrd d

233

2

3

2 3 1= =+ + +( )

GANANCIA DE TENSIÓN; ENTRANDO POR SOURCE:

Saliendo por gate: Saliendo por drain:

Av vV31

1

30= = Av v

VZ gmr

r Z Z gmrd

d d32

2

3

2

2 3

11

= =+

+ + +( )

( )

366

ANEXO 3 ESTRUCTURAS UNIDIRECCIO-NALES

Se plantean los procedimientos genera-les y condiciones para determinar si parte de una red, limitada del resto de la estructura por tres nodos, es unidi-reccional.

Sea una red lineal que posea fuentes, una de ellas considerada independiente y las otras fuentes sean con-troladas. En tal red se identifica una parte de ella que en su interior posea al menos una fuente controlada y no contenga la fuente consi-derada independiente; la parte identificada se encuentra limitada del resto de la red por tres nodos denominados a, b y c, como se indica en la figura A-3.1.

Tomando uno de los nodos como referencia se procede a sustituir la parte identificada por dos circuitos Thévenin equiva-lentes, de tal forma de no alterar el funcionamiento de la red. Los Thévenin son realizados hacia el interior de la porción identificada y entre cada par de nodos. Notar que al sustituir la par-te identificada y limitada de la red por los Thévenin res-

RED

a

b

c

PARTEIDENTIFICADA

Thévenin ac Thévenin bc

vi

vi: Fuente independiente

FIGURA A-3.1 RED. ESTRUCTURA UNIDIRECCIO-NAL.

REDa b

c

ZTh ac

VTh ac

ZTh bc

VTh bc

Vi

FIGURA A-3.2 RED MODIFICADA.

367

pectivos, el comportamiento de la red es idéntico a la red original; por lo tanto, lo será con relación a fuente considerada como independiente. La red modificada al sustituir parte de ella por los Thévenin se indica en la figura A-3.2.

La parte identificada y limitada por los tres nodos será unidirec-cional cuando una de las fuentes Thévenin sea nula. Los nodos de entrada a la estructura unidireccional corresponderán con aquellos cuya tensión Thévenin es nula; y su salida los otros dos nodos.

Una vez comprobada la unidireccionalidad de la parte de la red identificada se debe modelar por un cuadripolo activo unidireccional. Las impedancias de entrada y salida del cuadripolo corresponden a las impedancias de Thévenin evaluadas anteriormente; siendo la de en-trada la correspondiente al circuito Thévenin donde se encontró nula la fuente, y la de salida la otra. Para calcular el valor de la constante de proporcionalidad de la fuente controlada del cuadripolo basta con eva-luar en la parte identificada de la red original la ganancia; o sea, la relación entre la variable de salida y la de entrada al propio cuadripolo. Un modelo de tensión para el cuadripolo activo unidireccional recono-cido se muestra en la figura A-3.3; para su elaboración se supuso que la fuente Thévenin nula fue la asociada al circuito Thévenin entre los nodos a y c. Partiendo del modelo obtenido, fuente de tensión contro-lada por tensión, y utilizando los teoremas de conversión de fuentes se obtienen los otros modelos para la estructura unidireccional; o sea, fuentes de corriente controladas por tensión o por corriente.

En aquellos casos que la parte de la red identificada como unidi-reccional posea uno o más elementos activos, y estos formen más de un circuito unidireccional conectados en cascada, se podrá mode-lar un punto perteneciente a una rama intermedia a ele-mentos activos como estruc-tura unidireccional; general-mente es conveniente esco-ger un punto de un conduc-tor y sustituirlo por un mode-

+-ZTh ac

ZTh bc

K vac

vac

a

c

b

FIGURA A-3.3 CUADRIPOLO ACTIVO UNIDI-

RECCIONAL, MODELO DE TEN-SIÓN.

368

lo que posea una fuente controlada de tensión. La constante de pro-porcionalidad de la fuente controlada del modelo será unitaria y el re-sto del modelo lo forma una de las dos impedancias Thévenin vista en cualquiera de las dos direcciones con relación al flujo de información, la otra impedancia será nula o un circuito abierto dependiendo del ca-so. Cuando el Thévenin es realizado en el sentido del flujo de informa-ción, la impedancia será la de entrada del modelo y la de salida nula; en cambio, cuando el Thévenin se realiza en sentido contrario del fluir de la información la impedancia será la de salida del modelo y la de entrada un circuito abierto. Notar que en ambos casos el comporta-miento de la estructura modificada es equivalente a la estructura origi-nal. El punto considerado debe ser parte de una rama por donde fluya toda la información que procesa la estructura unidireccional, nótese que en el planteamiento se establece una estructura en cascada. El procedimiento descrito puede desplazarse hacia la entrada o la salida de la estructura unidireccional identificada inicialmente. Al correr el punto hasta la entrada o salida solamente se puede obtener un único modelo para cada caso, aquellos que se encuentren en el interior de la estructura delimitada por los tres nodos; dado que corresponden a los casos límites. Los otros dos modelos, los externos, no poseen la con-dición de unidireccionalidad.

369

ANEXO 4 MULTIPLICACIÓN E INVERSIÓN DE MATRICES

En este anexo se incluyen las principales expresiones requeridas para la multiplicación e inversión de matrices.

ANEXO 4.1 MULTIPLICACIÓN DE UNA MA-TRIZ POR UN ESCALAR

El producto de una matriz y un escalar, es una matriz en la cual cada elemento de la matriz se encuentra multiplicado por el escalar; como se indica en la relación (A-4.1.1) para una matriz [ ]A y un esca-lar k:

[ ]k A

k a k a k ak a k a k a

k a k a k a

n

n

n n nn

=

11 12 1

21 22 2

1 2

L

M M M

L

......(A-4.1.1)

ANEXO 4.2 MULTIPLICACIÓN DE UNA MA-TRIZ POR UNA MATRIZ

La multiplicación de una matriz por otra matriz es posible sola-mente entre matrices conformables; o sea, el número de columnas de la primera matriz es igual al número de filas de la segunda. En otra condición, la multiplicación de matrices no está definida.

370

Sea [ ]A una matriz n x m y [ ]B una matriz de m x p. Entonces el producto [ ][ ]A B , que se denomina: [ ]A posmultiplicada por [ ]B ; o [ ]B

premultiplicada por [ ]A , se define como:

[ ] [ ] [ ]A B C C a b

i n j p

i j i k k jk

m

= = =

= ==∑( )

( , , , ; , , , )1

1 2 1 2L L

...... (A-4.2.1)

La matriz producto [ ]C posee la misma cantidad de filas que [ ]A y la misma cantidad de columnas que [ ]B ; por lo tanto [ ]C es una matriz de n x p. Se debe notar que aún cuando [ ]A y [ ]B sean con-formables para [ ][ ]A B , pueden no ser conformables para el producto

[ ][ ]B A , en cuyo caso el producto no está definido.

ANEXO 4.3 INVERSIÓN DE UNA MATRIZ

Para definir el inverso de una matriz previamente se requiere de algunas definiciones:

a.- Menor Mij : Se forma quitando la i-ésima fila y la j-ésima columna de una matriz [ ]A de dimensiones n x n; la matriz resultante es una matriz de (n-1) x (n-1). El determinante de esta matriz de (n-1) x (n-1) se llama menor Mij de la matriz [ ]A .

b.- Cofactor Aij : Se define el cofactor Aij del elemento aij de la ma-triz [ ]A como el resultado de la ecuación:

A Mi ji j

i j= − +( )1 ...... (A-4.3.1)

Es decir, el cofactor Aij del elemento aij es ( )− +1 i j veces el de-terminante de la matriz formada al quitar la fila i-ésima y la co-

371

lumna j-ésima de la matriz [ ]A .

c.- La traspuesta de una matriz [ ]A de dimensión n x m es el resul-tado de cambiar las filas por las columnas; se designa como [ ]A T y sus dimensiones son m x n.

[ ]A

a a aa a a

a a a

a a aa a a

a a a

T

m

m

n n nm

Tn

n

m m nm

=

=

11 12 1

21 22 2

1 2

11 21 1

12 22 2

1 2

L

M M M

L

L

M M M

L

......(A-4.3.2)

d.- Matriz adjunta [ ]adj A : La matriz adjunta de [ ]A es la transpues-ta de la matriz cuyos elementos son los cofactores de [ ]A ; se designa como [ ]adj A y por definición es:

[ ]adj A

A A AA A A

A A A

n

n

n n nn

=

11 21 1

12 22 2

1 2

L

L

M M M

L

......(A-4.3.3)

La matriz inversa de [ ]A se denota por [ ]A −1 y se define como:

[ ] [ ]Aadj A

A− =1 ......(A-4.3.4)

Por lo tanto, la inversa de una matriz [ ]A es la matriz [ ]adj A dividida por el determinante de la matriz [ ]A . Notar que solo es posi-ble invertir una matriz cuadrada.

Se incluyen las fórmulas detalladas para hallar las matrices in-versas para los casos que las matrices sean de dimensión 2 x 2 y 3 x 3:

[ ]Aa bc d

=

siendo ad bc− ≠ 0

[ ]Aad bc

d bc a

− =−

−−

1 1 ......(A-4.3.5)

372

sea:

[ ]Aa b cd e fg h i

=

siendo: ∆ = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ≠a e i d h c g b f g e c a h f d b i 0

[ ]A

e fh i

b ch i

b ce f

d fg i

a cg i

a cd f

d eg h

a bg h

a bd e

−=

−

− −

−

1 1

∆ ...... (A-4.3.6)

373

ANEXO 5 TRANSFORMADA DE LAPLACE.

En este anexo se incluyen algunas de las propiedades de la transformada de Laplace y una breve tabla de transformadas; así co-mo también los circuitos equivalentes transformados para los paráme-tros eléctricos de una red, considerando las condiciones iniciales.

ANEXO 5.1 PROPIEDADES SELECCIONADAS DE TRANSFORMADAS DE LA-PLACE

f t( ) F s( ) cf t( ) c F s( )

f t f t1 2( ) ( )+ F s F s1 2( ) ( )+ d f t

d t( ) sF s f( ) ( )− 0

d f td t

n

n( ) s F s s f s f

s f f

n n n

n n

( ) ( ) ( )

( ) ( )

'

'' ( )

− −

− − −

− −

− −

1 2

3 1

0 0

0 0L

f dt

( )τ τ0∫ F s

s( )

f dt

( )τ τ−∞∫ F s

sf d( ) ( )+−∞∫ τ τ0

e at f t− ( ) F s a( )+ f t u t( ) ( )− −τ τ e st F s− ( )

f g f g t dt

∗ = −∫ ( ) ( )τ τ τ0

F s G s( ) ( )

374

f ct c( ), > 0 1c

F sc

t f t( ) −d F s

d s( )

t f t nn ( ) , ≥ 0 ( ) ( )( )−1 n nF s

f tt( ) F s ds

t( )

0∫

f t f t T( ) ( )= + f t e dt

e

stT

sT

( ) −

−

∫−

0

1

ANEXO 5.2 PARES SELECCIONADOS DE TRANSFORMADA DE LAPLACE

[ ]f t L F s( ) ( )= −1 [ ]F s L f t( ) ( )= δ ( )t 1

u t( ) 1s

e a t− 1

s a+

t 12s

sen k t ks k2 2+

cos k t ss k2 2+

t e at− 1

2( )s a+

375

)ate1(a1 −−

1s s a( )+

e a t k t− sen k

s a k( )+ +2 2

e a t k t− cos s a

s a k+

+ +( )2 2

t nn ; , , ,= 1 2 3 K n

sn!+1

K,3,2,1n;!)1n(

t ta1n e=

−

−−

n)as(1+

ba);(ab

1 tbta ee ≠−−

−− )bs()as(1

++

ba;)ba(ba

1 tbta ee ≠−−

−− )bs()as(

s++

1 12aa t e at( )− + −

12s s a( )+

sen ( )kt + θ s ks k

sen cosθ θ++2 2

cos ( )k t + θ s ks k

cos senθ θ−+2 2

ww tn w t

ne n

11

22

−−−

ςςς sen

ws w s w

n

n n

2

2 22+ +ς

−

−− −

=−

−

−

1

11

1

22

12

ςς ϕ

ϕς

ς

ςe w tn

n w t

tan

sen( )

s

s w s wn n2 22+ +ς

376

ANEXO 5.3 CIRCUITOS EQUIVALENTES DE PARÁMETROS TRANSFORMADOS

Usando transformación de fuentes los circuitos anteriores se convierten en:

FIGURA A-5.3.1 CIRCUITOS EQUIVALENTES TRANSFORMADOS.

FIGURA A-5.3.2 TRANSFORMACIÓN DE FUENTES CIRCUITOS EQUIVALENTES.

377

ANEXO 6 SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DE TERCER GRADO.

Se incluye la expresión más común para la fórmula de Cardano-Tartaglia que permite obtener la solución de la ecuación cúbica general. Sea la ecuación:

a x b x c x d3 23 3 0+ + + = .........(A-6.1)

Haciendo:

xa

y b= −1

( )

reemplazando el valor de x en (A-6.1) se tiene:

y H y G3 3 0− + = .........(A-6.2)

en la que:

H b a c= −2 G a d a bc b= − +2 33 2

Hagamos ahora

AG

H BG

HG G=−

+ − =−

− −2 2

2 2

433

433

los valores de y serán:

y A B A B j A B A B j A B= + − + + − − + − −; ( ) ( ), ( ) ( )12

32

12

32

Si a, b, c, d son reales y si el discriminante G H2 24− es positivo, una de las raíces es real y las otras dos serán valores imaginarios con-jugados; si G H2 24− es igual a cero, las tres raíces son reales y dos de ellas serán iguales entre sí; cuando el discriminante sea negativo, las tres raíces son reales y desiguales entre sí.

379

BIBLIOGRAFÍA

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SCHILLNG AND BELOVE. Eletronic Circuits Discrete and Integrated, Mc Graw Hill, 1968.

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