Análise Bayesiana de Dados - Aula 1mbranco/Aula1_AnaliseBayesiana2016.pdf · de matura˘c~ao. Os...
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Introducao
Analise Bayesiana de Dados - Aula 1 -
Marcia D’Elia Branco
Universidade de Sao PauloInstituto de Matematica e Estatıstica
www.ime.usp.br/ mbranco - sala 295-A -
Marcia D’Elia Branco Analise Bayesiana de Dados - Aula 1 -
Introducao
Paradigmas Bayesiano
Fazer inferencia e usar a informacao para reduzir a incertezasobre um objeto em estudo.
Existe duas fontes de informacao: amostral (associado aoexperimento) e conhecimentos previos (sua experiencia devida)
A incerteza a respeito de tudo o que e desconhecido deve sertraduzida por uma medida de probabilidade.
Interpretacoes subjetiva ou logica de probabilidade.
Probabilidade como uma medida pessoal de incerteza, naocomo o limite da frequencia relativa (postura classica).
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Introducao
Paradigmas Bayesiano
Fazer inferencia e usar a informacao para reduzir a incertezasobre um objeto em estudo.
Existe duas fontes de informacao: amostral (associado aoexperimento) e conhecimentos previos (sua experiencia devida)
A incerteza a respeito de tudo o que e desconhecido deve sertraduzida por uma medida de probabilidade.
Interpretacoes subjetiva ou logica de probabilidade.
Probabilidade como uma medida pessoal de incerteza, naocomo o limite da frequencia relativa (postura classica).
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Introducao
Paradigmas Bayesiano
Fazer inferencia e usar a informacao para reduzir a incertezasobre um objeto em estudo.
Existe duas fontes de informacao: amostral (associado aoexperimento) e conhecimentos previos (sua experiencia devida)
A incerteza a respeito de tudo o que e desconhecido deve sertraduzida por uma medida de probabilidade.
Interpretacoes subjetiva ou logica de probabilidade.
Probabilidade como uma medida pessoal de incerteza, naocomo o limite da frequencia relativa (postura classica).
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Introducao
Paradigmas Bayesiano
Fazer inferencia e usar a informacao para reduzir a incertezasobre um objeto em estudo.
Existe duas fontes de informacao: amostral (associado aoexperimento) e conhecimentos previos (sua experiencia devida)
A incerteza a respeito de tudo o que e desconhecido deve sertraduzida por uma medida de probabilidade.
Interpretacoes subjetiva ou logica de probabilidade.
Probabilidade como uma medida pessoal de incerteza, naocomo o limite da frequencia relativa (postura classica).
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Introducao
Paradigmas Bayesiano
Fazer inferencia e usar a informacao para reduzir a incertezasobre um objeto em estudo.
Existe duas fontes de informacao: amostral (associado aoexperimento) e conhecimentos previos (sua experiencia devida)
A incerteza a respeito de tudo o que e desconhecido deve sertraduzida por uma medida de probabilidade.
Interpretacoes subjetiva ou logica de probabilidade.
Probabilidade como uma medida pessoal de incerteza, naocomo o limite da frequencia relativa (postura classica).
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Introducao
Comparacao com a inferencia classica
Na escola Bayesiana cada observacao e unica.
A escola Classica e baseada na possibilidade de repetirexperimentos sob as mesmas condicoes.
Exemplo 1: Interpretacao da medida de probabilidade.EC: Se lancamos n vezes a mesma moeda sob as mesmascondicoes e calculamos a frequencia relativa do numero de caras,este valor se estabilizara em 1/2 (limite da frequencia relativa).EB: Para voce a credibilidade na ocorrencia de cara e a mesmaque na nao ocorrencia. Se voce tiver que apostar contra umoponente no resultado da moeda (cara) devera apostar 1 contra 1.Entao Prob(cara) = 1/2.
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Comparacao com a inferencia classica
Na escola Bayesiana cada observacao e unica.A escola Classica e baseada na possibilidade de repetirexperimentos sob as mesmas condicoes.
Exemplo 1: Interpretacao da medida de probabilidade.EC: Se lancamos n vezes a mesma moeda sob as mesmascondicoes e calculamos a frequencia relativa do numero de caras,este valor se estabilizara em 1/2 (limite da frequencia relativa).EB: Para voce a credibilidade na ocorrencia de cara e a mesmaque na nao ocorrencia. Se voce tiver que apostar contra umoponente no resultado da moeda (cara) devera apostar 1 contra 1.Entao Prob(cara) = 1/2.
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Introducao
Comparacao com a inferencia classica
Na escola Bayesiana cada observacao e unica.A escola Classica e baseada na possibilidade de repetirexperimentos sob as mesmas condicoes.
Exemplo 1: Interpretacao da medida de probabilidade.EC: Se lancamos n vezes a mesma moeda sob as mesmascondicoes e calculamos a frequencia relativa do numero de caras,este valor se estabilizara em 1/2 (limite da frequencia relativa).
EB: Para voce a credibilidade na ocorrencia de cara e a mesmaque na nao ocorrencia. Se voce tiver que apostar contra umoponente no resultado da moeda (cara) devera apostar 1 contra 1.Entao Prob(cara) = 1/2.
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Comparacao com a inferencia classica
Na escola Bayesiana cada observacao e unica.A escola Classica e baseada na possibilidade de repetirexperimentos sob as mesmas condicoes.
Exemplo 1: Interpretacao da medida de probabilidade.EC: Se lancamos n vezes a mesma moeda sob as mesmascondicoes e calculamos a frequencia relativa do numero de caras,este valor se estabilizara em 1/2 (limite da frequencia relativa).EB: Para voce a credibilidade na ocorrencia de cara e a mesmaque na nao ocorrencia. Se voce tiver que apostar contra umoponente no resultado da moeda (cara) devera apostar 1 contra 1.Entao Prob(cara) = 1/2.
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Introducao
Comparacao com a inferencia classica
Exemplo 2: Faz sentido utilizar toda a informacao disponıvel ousomente a amostral e relevante?
Voce deseja inferir sobre a capacidade de uma pessoa acertarresultados. Apresentam-se para o teste
∗ um especialista em musica que diz ser capaz de diferir asmusicas de Haydn e Mozart.
∗ um bebado que diz ser capaz de acertar os resultados nolancamento de uma moeda.
Se ambos sao submetidos a dez provas e acertam todas elas, entaosua inferencia baseada nos dados e a mesma. Sera razoavel?
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Comparacao com a inferencia classica
Exemplo 2: Faz sentido utilizar toda a informacao disponıvel ousomente a amostral e relevante?
Voce deseja inferir sobre a capacidade de uma pessoa acertarresultados. Apresentam-se para o teste
∗ um especialista em musica que diz ser capaz de diferir asmusicas de Haydn e Mozart.
∗ um bebado que diz ser capaz de acertar os resultados nolancamento de uma moeda.
Se ambos sao submetidos a dez provas e acertam todas elas, entaosua inferencia baseada nos dados e a mesma. Sera razoavel?
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Comparacao com a inferencia classica
Exemplo 2: Faz sentido utilizar toda a informacao disponıvel ousomente a amostral e relevante?
Voce deseja inferir sobre a capacidade de uma pessoa acertarresultados. Apresentam-se para o teste
∗ um especialista em musica que diz ser capaz de diferir asmusicas de Haydn e Mozart.
∗ um bebado que diz ser capaz de acertar os resultados nolancamento de uma moeda.
Se ambos sao submetidos a dez provas e acertam todas elas, entaosua inferencia baseada nos dados e a mesma. Sera razoavel?
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Introducao
Motivacao: Estudo da maturidade sexual do peixe-galo.
Em estudos de populacao de peixes os cientistas estaointeressados na relacao entre o tamanho e a maturidadesexual da femea de uma determinada especie de peixe. Ointeresse e determinar o tamanho em que cerca de 50 % dasfemeas alcancam a maturidade sexual, denominado tamanhode maturacao.
Os dados na Tabela 1 representam o tamanho e a maturidadesexual de 17 femeas capturadas na costa sul do Brasil.
Considere yi o numero de femeas maduras e ni o numerototal de femeas. pi e a probabilidade de que uma femea naclasse i esteja madura.
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Introducao
Motivacao: Estudo da maturidade sexual do peixe-galo.
Tabela 1: Numero de femeas maduras por tamanho.Comprimento (cm) Total Maduras
10 - 20 3 020 - 30 5 130 - 40 4 340 - 70 5 5
Suponha yi uma Binomial(ni, pi) com pi a probabilidade de queuma femea na classe i esteja madura. xi e o ponto medio daclasse i. O modelo logıstico e dado por
log
(pi
1− pi
)= β0 + β1(xi − x)
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Introducao
Motivacao: Estudo da maturidade sexual do peixe-galo.
A quantidade principal de interesse e
LT50 = −β0
β1+ x,
obtida quando substitui-se pi por 0.5.
A analise Bayesiana resulta na obtencao da distribuicao deprobabilidade associada a LT50.
Esta distribuicao de probabilidade representa a incerteza aposterior sobre a quantidade de interesse.
A partir da distribuicao a posterior, pode-se obter umaestimacao pontual igual a 28 cm e um intervalo, deprobabilidade 0.95, igual a (22.65 ; 35.25).
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Motivacao: Estudo da maturidade sexual do peixe-galo.
A quantidade principal de interesse e
LT50 = −β0
β1+ x,
obtida quando substitui-se pi por 0.5.
A analise Bayesiana resulta na obtencao da distribuicao deprobabilidade associada a LT50.
Esta distribuicao de probabilidade representa a incerteza aposterior sobre a quantidade de interesse.
A partir da distribuicao a posterior, pode-se obter umaestimacao pontual igual a 28 cm e um intervalo, deprobabilidade 0.95, igual a (22.65 ; 35.25).
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Introducao
Motivacao: Estudo da maturidade sexual do peixe-galo.
LT50 depende de dois parametros desconhecidos β0 e β1, osquais tambem possuem uma distribuicao de probabilidade aposterior.
Iniciamos com uma medida de probabilidade a priorif(β0, β1), por exemplo, normal bivariada.
Para obter a medida a posterior utilizamos a formula de Bayes
f(β0, β1 | y) =f(y | β0, β1)f(β0, β1)
f(y),
onde f(y | β0, β1) e a probabilidade conjunta de y1, y2, . . . , yksupondo os parametros conhecidos. No nosso caso, estaprobabilidade e o produto de binomias.
A quantidade f(y) e a distribuicao marginal e e obtida pelaintegracao do numerador. Nao existe solucao analıtica ealgoritmos numericos sao necessarios.
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Motivacao: Estudo da maturidade sexual do peixe-galo.
LT50 depende de dois parametros desconhecidos β0 e β1, osquais tambem possuem uma distribuicao de probabilidade aposterior.
Iniciamos com uma medida de probabilidade a priorif(β0, β1), por exemplo, normal bivariada.
Para obter a medida a posterior utilizamos a formula de Bayes
f(β0, β1 | y) =f(y | β0, β1)f(β0, β1)
f(y),
onde f(y | β0, β1) e a probabilidade conjunta de y1, y2, . . . , yksupondo os parametros conhecidos. No nosso caso, estaprobabilidade e o produto de binomias.
A quantidade f(y) e a distribuicao marginal e e obtida pelaintegracao do numerador. Nao existe solucao analıtica ealgoritmos numericos sao necessarios.
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Motivacao: Estudo da maturidade sexual do peixe-galo.
LT50 depende de dois parametros desconhecidos β0 e β1, osquais tambem possuem uma distribuicao de probabilidade aposterior.
Iniciamos com uma medida de probabilidade a priorif(β0, β1), por exemplo, normal bivariada.
Para obter a medida a posterior utilizamos a formula de Bayes
f(β0, β1 | y) =f(y | β0, β1)f(β0, β1)
f(y),
onde f(y | β0, β1) e a probabilidade conjunta de y1, y2, . . . , yksupondo os parametros conhecidos. No nosso caso, estaprobabilidade e o produto de binomias.
A quantidade f(y) e a distribuicao marginal e e obtida pelaintegracao do numerador. Nao existe solucao analıtica ealgoritmos numericos sao necessarios.
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Introducao
Motivacao: Estudo da maturidade sexual do peixe-galo.
Sob a abordagem classica os parametros podem ser estimadosutilizando-se os estimadores de maxima verossimilhanca e ateoria assintotica normal.
As estimativas pontuais, e por intervalo, de maximaverossimilhanca de β1 sao 0.266 e (-00188 ; 0.5526), comconfianca de 95 % .
Sob a abordagem Bayesiana, o intervalo de credibilidade e(0.112 ; 0.795), com probabilidade 95 %.
Esta diferenca justifica-se pela assimetria observada nadistribuicao a posteriori.
Enquanto que o intervalo classico indica que β1 pode ser zero,a distribuicao a posteriori indica claramente um valor positivo.
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Motivacao: Estudo da maturidade sexual do peixe-galo.
Sob a abordagem classica os parametros podem ser estimadosutilizando-se os estimadores de maxima verossimilhanca e ateoria assintotica normal.
As estimativas pontuais, e por intervalo, de maximaverossimilhanca de β1 sao 0.266 e (-00188 ; 0.5526), comconfianca de 95 % .
Sob a abordagem Bayesiana, o intervalo de credibilidade e(0.112 ; 0.795), com probabilidade 95 %.
Esta diferenca justifica-se pela assimetria observada nadistribuicao a posteriori.
Enquanto que o intervalo classico indica que β1 pode ser zero,a distribuicao a posteriori indica claramente um valor positivo.
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Motivacao: Estudo da maturidade sexual do peixe-galo.
Sob a abordagem classica os parametros podem ser estimadosutilizando-se os estimadores de maxima verossimilhanca e ateoria assintotica normal.
As estimativas pontuais, e por intervalo, de maximaverossimilhanca de β1 sao 0.266 e (-00188 ; 0.5526), comconfianca de 95 % .
Sob a abordagem Bayesiana, o intervalo de credibilidade e(0.112 ; 0.795), com probabilidade 95 %.
Esta diferenca justifica-se pela assimetria observada nadistribuicao a posteriori.
Enquanto que o intervalo classico indica que β1 pode ser zero,a distribuicao a posteriori indica claramente um valor positivo.
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Motivacao: Estudo da maturidade sexual do peixe-galo.
Sob a abordagem classica os parametros podem ser estimadosutilizando-se os estimadores de maxima verossimilhanca e ateoria assintotica normal.
As estimativas pontuais, e por intervalo, de maximaverossimilhanca de β1 sao 0.266 e (-00188 ; 0.5526), comconfianca de 95 % .
Sob a abordagem Bayesiana, o intervalo de credibilidade e(0.112 ; 0.795), com probabilidade 95 %.
Esta diferenca justifica-se pela assimetria observada nadistribuicao a posteriori.
Enquanto que o intervalo classico indica que β1 pode ser zero,a distribuicao a posteriori indica claramente um valor positivo.
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Introducao
O modelo parametrico probabilıstico.
Uma medida de probabilidade P e definida em um espaco(X ,A), onde A e uma sigma algebra de elementosmensuraveis.
Um espaco parametrico estatıstico e um conjunto (famılia) demedidas de probabilidade, associadas a um vetor aleatorio X,indexadas por um parametro θ,
(X ,A, Pθ), ∀θ
Sob o ponto de vista Bayesiano e preciso definir uma medidade probabilidade a prior para θ,
(Θ,B, π)
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O modelo parametrico probabilıstico.
Uma medida de probabilidade P e definida em um espaco(X ,A), onde A e uma sigma algebra de elementosmensuraveis.
Um espaco parametrico estatıstico e um conjunto (famılia) demedidas de probabilidade, associadas a um vetor aleatorio X,indexadas por um parametro θ,
(X ,A, Pθ), ∀θ
Sob o ponto de vista Bayesiano e preciso definir uma medidade probabilidade a prior para θ,
(Θ,B, π)
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O modelo parametrico probabilıstico.
Uma medida de probabilidade P e definida em um espaco(X ,A), onde A e uma sigma algebra de elementosmensuraveis.
Um espaco parametrico estatıstico e um conjunto (famılia) demedidas de probabilidade, associadas a um vetor aleatorio X,indexadas por um parametro θ,
(X ,A, Pθ), ∀θ
Sob o ponto de vista Bayesiano e preciso definir uma medidade probabilidade a prior para θ,
(Θ,B, π)
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Introducao
O modelo parametrico binomial.
Sob certas suposicoes, e possıvel definir uma medida deprobabilidade conjunta para X e θ .
Usa-se a formula de Bayes para obter a medida deprobabilidade condicional de θ dado o resultado da amostraX = x
f(θ | x) =P (X = x | θ)f(θ)∑
Θ
P (X = x | θ)f(θ)
f(θ | x) =f(x | θ)f(θ)∫
Θ
f(x | θ)f(θ)dθ
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Introducao
O modelo parametrico binomial
Exemplo 1: O modelo binomial.X | θ, n ∼ Bin(n, θ) , 0 < θ < 1 e n inteiro.Suponha n conhecido, e preciso definir uma medida deprobabilidade para θ.Prior 1:
θ 0.25 0.50 0.75
f(θ) 0.25 0.50 0.25
Para n = 2 a posterior e
θ 0.25 0.50 0.75
f(θ | x = 0) 0.500 0.440 0.060
f(θ | x = 1) 0.214 0.572 0.214
f(θ | x = 2) 0.060 0.440 0.500
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Introducao
O modelo parametrico binomial
Exemplo 1: O modelo binomial.X | θ, n ∼ Bin(n, θ) , 0 < θ < 1 e n inteiro.Suponha n conhecido, e preciso definir uma medida deprobabilidade para θ.Prior 1:
θ 0.25 0.50 0.75
f(θ) 0.25 0.50 0.25
Para n = 2 a posterior e
θ 0.25 0.50 0.75
f(θ | x = 0) 0.500 0.440 0.060
f(θ | x = 1) 0.214 0.572 0.214
f(θ | x = 2) 0.060 0.440 0.500
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Introducao
O modelo parametrico binomial.
Prior 2: θ ∼ Beta(a, b). Entao sua funcao de densidade e
f(θ) =Γ(a+ b)
Γ(a)Γ(b)θa−1(1− θ)b−1 , a > 0 b > 0.
Para obter a marginal f(x) integra-se em θ
f(x) =
1∫0
f(θ)Cn,x(θ)x(1− θ)n−xdθ.
Observe que nao ha necessidade de preocupar-se com a quantidadeCn,x (constante) pois
f(θ | x) =θa+x−1(1− θ)b+n−x−1
1∫0
(θ)a+x(1− θ)b+n−x−1
dθ
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O modelo parametrico binomial.
Prior 2: θ ∼ Beta(a, b). Entao sua funcao de densidade e
f(θ) =Γ(a+ b)
Γ(a)Γ(b)θa−1(1− θ)b−1 , a > 0 b > 0.
Para obter a marginal f(x) integra-se em θ
f(x) =
1∫0
f(θ)Cn,x(θ)x(1− θ)n−xdθ.
Observe que nao ha necessidade de preocupar-se com a quantidadeCn,x (constante) pois
f(θ | x) =θa+x−1(1− θ)b+n−x−1
1∫0
(θ)a+x(1− θ)b+n−x−1
dθ
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O modelo parametrico binomial.
Prior 2: θ ∼ Beta(a, b). Entao sua funcao de densidade e
f(θ) =Γ(a+ b)
Γ(a)Γ(b)θa−1(1− θ)b−1 , a > 0 b > 0.
Para obter a marginal f(x) integra-se em θ
f(x) =
1∫0
f(θ)Cn,x(θ)x(1− θ)n−xdθ.
Observe que nao ha necessidade de preocupar-se com a quantidadeCn,x (constante) pois
f(θ | x) =θa+x−1(1− θ)b+n−x−1
1∫0
(θ)a+x(1− θ)b+n−x−1
dθ
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Introducao
O modelo parametrico binomial.
Podemos mostrar que a distribuicao a posteriori eθ | x ∼ Beta(a+ x, b+ n− x).
Se as distribuicoes a priori e a posteriori estao na mesma classe dedistribuicoes, dizemos que sao conjugadas em relacao ao modeloestatıstico X | θ.
Como escolher a e b ?
Se a = b temos uma distribuicao simetrica.
Se a = b = 1 temos uma uniforme.
A media e a variancia a priori saoE[θ] = a
a+b
V ar[θ] = ab(a+b)2(a+b+1)
.
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O modelo parametrico binomial.
Podemos mostrar que a distribuicao a posteriori eθ | x ∼ Beta(a+ x, b+ n− x).
Se as distribuicoes a priori e a posteriori estao na mesma classe dedistribuicoes, dizemos que sao conjugadas em relacao ao modeloestatıstico X | θ.
Como escolher a e b ?
Se a = b temos uma distribuicao simetrica.
Se a = b = 1 temos uma uniforme.
A media e a variancia a priori saoE[θ] = a
a+b
V ar[θ] = ab(a+b)2(a+b+1)
.
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O modelo parametrico binomial.
Podemos mostrar que a distribuicao a posteriori eθ | x ∼ Beta(a+ x, b+ n− x).
Se as distribuicoes a priori e a posteriori estao na mesma classe dedistribuicoes, dizemos que sao conjugadas em relacao ao modeloestatıstico X | θ.
Como escolher a e b ?
Se a = b temos uma distribuicao simetrica.
Se a = b = 1 temos uma uniforme.
A media e a variancia a priori saoE[θ] = a
a+b
V ar[θ] = ab(a+b)2(a+b+1)
.
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O modelo parametrico binomial.
Podemos mostrar que a distribuicao a posteriori eθ | x ∼ Beta(a+ x, b+ n− x).
Se as distribuicoes a priori e a posteriori estao na mesma classe dedistribuicoes, dizemos que sao conjugadas em relacao ao modeloestatıstico X | θ.
Como escolher a e b ?
Se a = b temos uma distribuicao simetrica.
Se a = b = 1 temos uma uniforme.
A media e a variancia a priori saoE[θ] = a
a+b
V ar[θ] = ab(a+b)2(a+b+1)
.
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O modelo parametrico binomial.
Podemos mostrar que a distribuicao a posteriori eθ | x ∼ Beta(a+ x, b+ n− x).
Se as distribuicoes a priori e a posteriori estao na mesma classe dedistribuicoes, dizemos que sao conjugadas em relacao ao modeloestatıstico X | θ.
Como escolher a e b ?
Se a = b temos uma distribuicao simetrica.
Se a = b = 1 temos uma uniforme.
A media e a variancia a priori saoE[θ] = a
a+b
V ar[θ] = ab(a+b)2(a+b+1)
.
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Graficos da densidade Beta
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
Densidades Beta simetricas
x
dens
idad
e
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Introducao
Graficos da densidade Beta
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
Densidades Beta assimetricas a < b
x
dens
idad
e
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O modelo parametrico binomial.
Usando o seu conhecimento para construir sua a priori.∗ Qual o significado de θ?∗ Informacoes a priori
θ (0.00 - 0.25) (0.25 - 0.50) (0.50 - 0.75) (0.75 - 1.00)
Prob. 0.10 0.40 0.40 0.10
∗ Densidade a priori : θ ∼ Beta(3, 3)
θ (0.00 - 0.25) (0.25 - 0.50) (0.50 - 0.75) (0.75 - 1.00)
Pbeta. 0.1035 0.3965 0.3965 0.1035
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Introducao
Graficos das densidades a posteriori com n=2 e prioriBeta(3,3)
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0.0
1.0
2.0
Priori e Posteriori, n=2, x=0
x
dens
idad
e
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0.0
1.0
2.0
Priori e Posteriori, n=2, x=1
x
dens
idad
e
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0.0
1.0
2.0
Priori e Posteriori, n=2, x=2
x
dens
idad
e
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Graficos das densidades a posteriori com n=50 e prioriBeta(3,3)
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
05
1015
Priori e Posteriori, n=50, x=0
x
dens
idad
e
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
02
46
Priori e Posteriori, n=50, x=25
x
dens
idad
e
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
05
1015
Priori e Posteriori, n=50, x=50
x
dens
idad
e
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Introducao
Graficos das densidades a posteriori com n=50 e prioriBeta(50,50)
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
02
46
8
Priori e Posteriori, n=50, x=0 (Priori II)
x
dens
idad
e
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
02
46
810
Priori e Posteriori, n=50, x=25 (Priori II)
x
dens
idad
e
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
02
46
8
Priori e Posteriori, n=50, x=50 (Priori II)
x
dens
idad
e
Marcia D’Elia Branco Analise Bayesiana de Dados - Aula 1 -
Introducao
Referencias.
Kinas, P.G. e Andrade, H.A. (2010). Introducao a analisebayesiana (com R). Editora: maisQnada.
Loschi, R. (2013). Estadıstica Bayesiana algunos de suaaspectos. Minicurso no Congreso Anual de la SociedadArgentina de Estadıstica, Mendoza
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