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Submitted on 1 Jan 1988

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Analyse micromécanique de la rupture des compositescéramiques

P. Pérès, L. Anquez, J. Jamet

To cite this version:P. Pérès, L. Anquez, J. Jamet. Analyse micromécanique de la rupture des composites céramiques.Revue de Physique Appliquee, 1988, 23 (3), pp.213-228. <10.1051/rphysap:01988002303021300>.<jpa-00245764>

213

Analyse micromécanique de la rupture des composites céramiques

P. Pérès, L. Anquez et J. Jamet

ONERA, B.P. 72, 92322 Châtillon-sous-Bagneux, France

(Reçu le 19 juin 1987, accepté le Il décembre 1987)

Résumé. 2014 L’analyse mécanique du comportement à la rupture d’un composite céramique/céramiqueélémentaire constitué d’une fibre gainée de matrice s’appuie sur deux hypothèses essentielles : d’une partl’adaptation locale par glissement fibre-matrice à l’apparition d’une fissure matricielle, et d’autre part ladistribution statistique de défauts. Les conséquences de ces hypothèses sur la multifissuration matricielle, surles comportements non linéaires des composites monofilamentaires sont discutées au regard des résultatsexpérimentaux sur composites unidirectionnels multifilamentaires SiC/alumine.

Abstract. 2014 The fracture mechanic analysis of a basic ceramic-ceramic composite (filament + coating) is basedon two main assumptions : local adaptation by sliding between fibre and matrix when a crack in the matrixappears, and statistical distribution of defects. The consequences of such assumptions concerning themulticracking of the matrix explain the non linear behaviour of such composites. They are discussed in relationwith experimental results obtained on unidirectional multifilaments SiC/alumina composites.

Revue Phys. Appl. 23 (1988) 213-228 MARS 1988,

Classification

Physics Abstracts81.20N - 46.30N - 46.30P

1. Introduction.

L’ensemble des analyses de la rupture des composi-tes céramiques actuellement proposées [1, 2]concerne la propagation de fissures matricielles

longues préexistantes pontées par des fibres.Les premières observations expérimentales

menées à l’Office, notamment sur le refroidissementde composites unidirectionnels SiC/A1203, montrentqu’avant toute création de fissures longues, il y a

développement d’une phase d’initiation de ces fissu-res.

Ainsi, pour de tels systèmes unidirectionnels,nous proposons une première analyse mécanique ducomportement à rupture d’une fibre unitaire gainéepar une matrice céramique. Elle concerne :- les distributions de contraintes dans les deux

composants en présence d’une fissure matricielle ;- l’évolution de la microfissuration matricielle

en introduisant les notions de défauts et de statisti-

que de rupture ;- les évolutions des distributions de contraintes

au sein des composites microfissurés et l’énergie defrottement dissipée à l’interface lors du cyclage detels systèmes.

La deuxième partie s’appuie sur des observationsREVUE DE PHYSIQUE APPLIQUÉE. - T. 23, N. 3, MARS 1988

expérimentales réalisées sur le système compositeunidirectionnel multifilamentaire SiC Nica-

lon/alumine. Elle tentera de dégager les premièresanalogies avec les modèles précédemment décrits.

2. Modèle mécanique du composite monofilamentairesollicité en traction pure.

Faisant l’hypothèse que les contraintes dans ladirection de l’effort de traction sont prédominanteset que la liaison entre la fibre et la matrice àl’interface se fait par cisaillement, le comportementmécanique de ce composite est défini par un systèmede deux équations d’équilibre aux dérivées partiellescouplées (Fig. 1).Ne tenant pas compte de l’équation d’équilibre

suivant la direction perpendiculaire à l’axe de trac-tion, ce modèle néglige les effets de Poisson,excluant ainsi les contraintes de frettage (03C3mrr). Lesconditions aux limites du type déplacement ou

contrainte sont explicitées dans la figure 2, compte,tenu des équations d’équilibre utilisées.

Les constituants sont supposés homogènes et

isotropes.La résolution numérique des équations d’équilibre

a été conduite par un schéma aux différences finies15

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/rphysap:01988002303021300

214

Fig. 1. - Modélisation et équation d’équilibre d’un

composite monofilamentaire soumis à un effort de trac-tion.

[Mechanical modelisation and equilibrium equation of acomposite in tension.]

Fig. 2. - Discrétisation par schéma aux différences finiesdu système composite élémentaire.

[Basic composite discretisation by finite differences

method.] ]

(méthode à cinq points) sur le système discrétisé

(Fig. 2).Les déplacements notés u dans la direction z,

inconnues du problème, vérifient le système d’équa-tions linéaires suivant :

avec

[K] matrice de « rigidité » (sans dimension) ; matricepentadiagonale tenant compte des conditionsaux limites du problème des caractéristiques

dimensionnelles et de l’élasticité des matériaux

{u} vecteur des déplacements de la fibre et de lamatrice suivant l’axe z

(ù) vecteur des conditions initiales et aux limites.

3. Analyse des singularités de contrainte à l’interfaceet introduction de la notion de seuil de glissement.

3.1 CAS D’UNE LIAISON RIGIDE À L’INTERFACE. -

Compte tenu des conditions aux limites lors de lacréation d’une fissure matricielle (Fig. 2) et pour uneliaison fibre-matrice forte (Gjle = « oo » ), les dia-grammes des contraintes dans la matrice révèlentune singularité de contrainte de cisaillement à l’inter-face (Fig. 3a).La fissure perturbe très localement le chargement

de la matrice qui, à une distance caractéristique de lafissure, atteint une valeur constante (Fig. 3b). Lafibre se décharge rapidement avant d’atteindre unevaleur constante (Fig. 3c).Des états de contraintes similaires ont été obtenus

par la résolution des équations complètes de l’élasti-cité, en axisymétrique, par la méthode des élémentsfinis, qui valident le modèle aux différences finiespour des taux volumiques de fibres habituellementrencontrés dans les composites céramiques (20 Vf 50 %) [3]. Cette notion de singularité decontrainte n’ayant pas de signification physique, ilfaut admettre qu’il y ait adaptation locale du maté-riau. Dans le cas présent, où les deux composantssont fragiles, cette adaptation a été figurée par unglissement relatif entre la fibre et la matrice interve-nant au-delà d’un seuil de glissement que nous avonsa priori considéré constant et noté T l. La figure 4,qui schématise cette rhéologie de l’interface, supposede plus une énergie de décohésion nulle à l’initiationdu glissement interfacial.

3.2 INTRODUCTION DE LA NOTION DE SEUIL DEGLISSEMENT DANS LA MODÉLISATION. - La résolu-tion de ce problème a nécessité le développementd’un algorithme de calcul basé sur un processusitératif pour chaque incrément de chargement ducomposite.En supposant les déformations et les déplacements

petits, le système d’équations (1) peut être linéarisé,tel que pour un incrément de charge :

où 8 ue : déplacement élastique.Soit la fonction f telle que à l’interface on ait :

- élasticité pure si |03C4rz| 1 T 1 1- glissement interfacial si 1 T rz 1 &#x3E; 03C41

215

Fig. 3. - Etats de contraintes au voisinage d’une fissure matricielle dans un composite monofilamentaire SiC/verre :a) évolution des contraintes de cisaillement dans la matrice le long de l’axe de traction, b) évolution des contraintes detraction dans la matrice le long de l’axe de traction, c) évolution des contraintes de traction dans la fibre le long de l’axede traction.

[Stresses state near a crack in a SiC/glass composite : a) shear stresses évolution in the matrix along the tensile axis,b) tensile stresses evolution in the matrix along the tensile axis, c) tensile stresses evolution in the fibre along the tensileaxis. ]

Fig. 4. - Modélisation du comportement de l’interface encisaillement.

[Interfacial shear behaviour model.]

où f symbolise la fibrem symbolise la matrice1 symbolise l’interfacee symbolise l’élasticité .

Durant le chargement, la zone de frottement àl’interface augmente d’une façon telle que la fonctionf vérifie :

OÙ Tg = Gi/~ . 03B4uIg,03B4uIg représentant le déplacement relatif de la fibrepar rapport à la matrice à l’interface, dû au glisse-ment, pour un incrément de charge.

216

L’équation (4) permet d’écrire :

avec

Su = déplacement relatif total fibre-matrice

d’où l’on peut écrire que :

donc

8 ug 1 correspond au nouveau déplacement relatif

fibre-matrice à l’interface dû au glissement dansl’incrément de pas de chargement. L’équation (2)s’écrit donc :

qu’on écrit

avec {03B4g} = vecteur des déplacements de frotte-ment, dont les composantes sur la fibre et sur lamatrice à l’interface s’écrivent respectivement :

où K1 et K2 sont des constantes.L’algorithme de résolution utilisé pour résoudre le

problème de glissement à seuil peut être schématisécomme suit :

La convergence, en général monotone, de cet

algorithme devient lente lorsque la rigidité en cisail-lement de l’interface (Gjle) augmente.Les états de contraintes dans la fibre et dans la

matrice sont représentés sur les figures 5a, 5b, 5c,

pour lesquelles le seuil de glissement T1 a été fixé à10 MPa et dont les caractéristiques des constituantset de chargement sont identiques à l’exemple précé-dent (cas des composites SiC/verre). La valeurG1/ E a été choisie telle que le rapport relatif

déplacement interfacial fibre-matrice en dehors de lazone de glissement soit inférieur à 10- 3.

Ces distributions montrent un déchargementlinéaire de la fibre (Fig. 5a) et un chargementlinéaire (quasiment sans gradient dans l’épaisseur dematrice) dans la zone de glissement 1 (Fig. 5b). Au-delà de cette zone, une surcontrainte de traction dela matrice à l’interface apparaît. Des raffinementssuccessifs du maillage ont montré qu’elle avait unevaleur finie significative. Elle est caractéristique desconditions aux limites utilisées à l’interface et de lavaleur Gj/E. Les contraintes de cisaillement dans lamatrice (Fig. 5c) présentent un gradient suivant

l’épaisseur de matrice dans la zone de glissement. Eneffet, on peut écrire en première approximationque :

r m : rayon de la matrice ; rf : rayon de la fibreoù r,7 vérifie l’équation d’équilibre suivante :

La longueur de glissement 1 vérifie l’équation sui-vante :

avec

03C3m : valeur de la contrainte dans la matrice à ladistance caractéristique 1

V f : taux volumique de fibre V f = 2 2Cette analyse mécanique basée sur l’hypothèse du

glissement interfacial peut rendre compte du phéno-mène de fissurations multiples au sens d’ACK ensupposant l’unicité de la contrainte de rupture de lamatrice.

4. Analyse de la rupture par approche statistique.

Cependant, cette approche est insuffisante pourdécrire un système céramique/céramique, où les

défauts peuvent jouer un rôle important. C’est

pourquoi nous faisons maintenant l’hypothèse que larupture fragile de la matrice est gérée par la statisti-que de Weibull et que la propagation instantanéedes fissures autour de la fibre déclenche un glisse-ment interfacial.

Ainsi cette seconde partie, s’appuyant sur les

résultats de l’analyse mécanique précédente, intro-duit maintenant de façon simple la notion de statisti-que de rupture à la fois de la matrice et de la fibre.

217

Fig. 5. - Etats de contraintes au voisinage d’une fissure matricielle après glissement interfacial dans un compositemonofilamentaire SiC/verre : a) évolution des contraintes de traction dans la fibre le long de l’axe de traction,b) évolution des contraintes de traction dans la matrice le long de l’axe de traction, c) évolution des contraintes decisaillement dans la matrice le long de l’axe de traction.

[Stresses state along the tensile axis near a crack after interfacial sliding in a SiC/glass composite : a) tensile stressesevolution in the fibre, b) tensile stresses evolution in the matrix, c) shear stresses evolution in the matrix.]

Faisant l’hypothèse de défauts de volume dans lamatrice et de défauts linéaires dans la fibre, lescalculs analytiques de probabilité dans le compositemonofilamentaire ont été menés en fixant arbitraire-ment la probabilité de rupture des constituants à 0,5(contrainte médiane de rupture).La probabilité de rupture de la matrice et de la

fibre s’exprime respectivement par :

où

a : représente le coefficient de Weibull (paramètrede forme)

Q : : est le coefficient d’échelle lié à un volume deréférence pour la matrice et à une longueur deréférence pour la fibre.

L’approche utilisée consiste à calculer la contrainted’apparition d’une fissure située entre deux autres

218

fissures existantes distantes d’une longueur 2 L,pour une probabilité de rupture à 0,5 (Fig. 6a).

Fig. 6. - Modélisation de la fissuration matricielle dans lecomposite monofilamentaire : a) fissuration non saturée,b) fissuration saturée (2 L = 2lc).

[Modelisation of multicracking in the matrix of compositesystems : a) non saturated cracking, b) saturated cracking.] ]

Cette analyse permet ainsi de calculer en continu :- la déformation à l’apparition de la première

fissure (£0):

avec

Sm : : surface latérale de la matrice

Em : module d’Young de la matrice2 Lo : longueur initiale du composite- la distance interfissure (2 L ) en fonction du

chargement :

avec

o-c = F /S (S : section du composite, F : force appli-quée)- la déformation moyenne (Ëf) du composite en

fonction du chargement :2022 avant la saturation de la fissuration (1 e )

(Fig. 6b)

Ef : module d’Young de la fibreE,, : module d’élasticité du composite (Ee =

Ef V f + Em Vm)2022 après la saturation de la fissuration

- le chargement lors de la rupture du renfort audroit de la fissure (cas avant la saturation de la

fissuration) :

avec

Le détail des calculs est explicité en annexe A.L’algorithme (Fig. 7) permet de simuler le

comportement de composites monofilamentaireslors de sollicitations de traction à forces imposées.

Il a été appliqué à deux systèmes compositescéramiques connus : SiC/verre et SiC/SiC. Dans lepremier cas, la contrainte T 1 est maintenue cons-tante. Le diagramme u / 6 (Fig. 8a) montre quel’apparition de la première fissure dépend du tauxvolumique de fibre, révélant ainsi l’effet du volumesur l’allongement à rupture de la matrice dans lecomposite. Dans le deuxième cas, le taux volumiquede fibre V a été maintenu constant et le diagrammeu / 6 (contrainte moyenne composite/déformationmoyenne composite: ef) (Fig. 8b) montre que

l’apparition de la première fissure correspond à unevaleur unique de l’allongement, et donc est indépen-dante de T 1. L’augmentation des 1 permet unecontribution croissante de la matrice dans la rigiditédu composite, différant ainsi la rupture de pente descourbes a / s . Par ailleurs, ces diagrammes indiquentles points de saturation de la microfissuration de lamatrice et la rupture du renfort.

Ainsi donc, l’introduction de la notion de statisti-que dans la mécanique de la rupture d’un tel systèmemet en évidence la possibilité du phénomène deretard à la microfissuration, qui trouve son origineici dans la notion de volume concerné par lessollicitations. En d’autres termes, toutes choses

égales par ailleurs, un accroissement du taux volumi-que de renforcement correspond à une réduction duvolume de matrice concerné par la sollicitation, etpar suite à un accroissement de la contrainte de

rupture de cette matrice.Par ailleurs, compte tenu des hypothèses du

modèle, il est logique que la contrainte d’apparitionde la première fissure soit strictement indépendantde T puisque le glissement est une conséquence dela présence de la fissure à l’interface.

219

Fig. 7. - Algorithme de calcul de l’évolution de la fissuration matricielle en fonction du chargement.

[Analytical expression of the multicracking evolution.] J

Fig. 8. - Simulation d’essais de traction sur composite céramique monofilamentaire : a) composite SiC/verre. Influencedu taux volumique de fibre, ao déformation à l’apparition de la lère fissure, e, déformation à rupture de la matrice seule,b) composite SiC/SiC. Influence du seuil de glissement.

[Computed tensile loading curves : a) SiC/glass composite - Effect of the fibre volume fraction, 03B50 : first crack in the

matrix, e, : single matrix fracture, b) SiC/SiC composite - Effect of the limiting interfacial shear stress.]

220

Fig. 9. - Simulation des boucles d’hystérésis lors de chargements cycliques et évolution des états de contraintes dans lescomposants : a) courbe de cyclage d’un composite SiC/verre monofilamentaire1) E = 0,1 % Ti = 10 MPa2) E = 0,0625 % L = 0,1 mm3) E = 0,025 %4) E = 0,0375 %,b) évolution des contraintes de traction dans la fibre, c) évolution des contraintes de traction dans la matrice,d) évolution- des contraintes de cisaillement dans la matrice à l’interface.[Computed unloading/reloading curves : a) SIC/glass composite, b) tensile stresses évolution in the fibre, c) tensilestresses evolution in the matrix, d) shear stresses evolution in the matrix close to the interface.]

Par ailleurs, cette approche statistique et la notionde seuil de glissement permettent de décrire l’évolu-tion des densités de microfissures matricielles enfonction du chargement, et par suite le comporte-ment non linéaire du système jusqu’à la saturationde la microfissuration. Soulignons de plus que la loide saturation décrite par une distance interfissure

moyenne est strictement conforme à celle fournie

par la première approche déterministe (Eq. (6)).Enfin, la rupture du renforcement, elle-même

gérée par la statistique, est dépendante de l’état demicrofissuration matricielle.

5. Analyse du comportement non linéaire des systè-mes microfissures.

Ainsi, après avoir introduit successivement la notionde seuil de glissement à l’interface T 1 et celle de

défauts dans les constituants, nous analysons dans leprésent chapitre les conséquences de la premièrenotion sur le comportement non linéaire des systè-mes monofilamentaires préfissurés. Pour cela, nousavons repris le modèle décrit au chapitre 3, pourlequel nous avons introduit des chargements cycli-ques sur l’extrémité du renforcement.

La figure 9a donne un exemple de courbe decyclage traction-compression du composite monofila-mentaire SiC/verre à partir d’un état pour lequel lescontraintes internes sont supposées nulles (o,:contrainte relative à la fibre).Les figures 9b, c, d illustrent les différents états de

contraintes le long de l’axe de traction pour diffé-rents allongements moyens de la fibre lors du

chargement et du déchargement pour un seuil de

221

glissement fixé à 10 MPa. Seul l’état de contraintematricielle à l’interface a été représenté.Le comportement en cyclage modélisé ici concerne

une seule fissure située à une extrémité du système.Il est représentatif d’un système composite compor-tant N fissures, avec un rapport de similitude égal àN en supposant Tl constant dans l’ensemble du

composite.L’énergie de frottement dissipée dans une boucle

d’hystérésis (Fig. 9a) (WD ) peut être évaluée en

première approximation par l’équation suivante :

WD = 2 ?Trf l2 T1/Ef X[03C3-11/6 Ec/(EmVm).l/rf.03C41] (12)

Dans le cas où il n’y a pas glissement sur toute lalongueur L l’équation se simplifie, donnant :

WD = 03C0/24. (Em V m/Ee)2. llef r’ rl . u3(13)

03C3: contrainte appliquée à la fibre au début du

déchargement.Ces équations sont explicitées en annexe B.

6. Etude expérimentale du comportement mécaniquedu composite SiC/alumine unidirectionnel.

6.1 DESCRIPTION DU COMPOSITE SiC / A1203. -Ces composites ont fait l’objet d’une étude de

processus d’élaboration à l’ONERA [4].Ils se caractérisent par l’existence de microfissura-

tions multiples qui se sont développées au cours durefroidissement suivant immédiatement le frittage.Elles ont pour origine les contraintes thermomécani-ques générées par le désaccord dilatométrique fibre-matrice.

En effet, le coefficient de dilatation de la matriced’alumine est supérieur à celui de la fibre SiCNicalon ( a m = 8,7 x 10- 6 ° C-1; a = 3 x10- 6 °C-1).La figure 10 montre l’état de fissuration, après

Fig. 10. - Etat de fissuration d’un matériau compositeunidirectionel SiC/alumine après élaboration.

[Multiple fracture in as-elaborated SiC/alumina compo-

site.] ]

densification à température ambiante, d’un compo-site unidirectionnel SiC/A1203 ayant un taux volumi-que de fibres d’environ 20 %.

Nous constatons une fissuration quasi régulièredans la zone à faible taux volumique de fibres

V f, dont les espaces interfissures varient entre 58 et150 03BCm. La zone à fort V f donne des espacesinterfissures entre 29 et 88 03BCm. La moyenne dans lasurface observée se situe à 60 03BCm. Il apparaîtrait quela fissuration dans ce type de composite soit liée à ladistribution locale des fibres. L’inhomogénéitéobservée est liée à la mise en place des torons(500 filaments) dans le moule d’infiltration. Cette

observation de surface révèle qu’un certain nombrede fissures sont arrêtées par le renforcement.

6.2 EMISSION ACOUSTIQUE AU COURS DU PROCES-SUS DE FRITTAGE. - L’évolution de cette microfissu-ration a été analysée expérimentalement par émis-sion acoustique par l’équipe du Pr. Fantozzi au coursdu traitement de frittage sur un composite unidirec-tionnel SiC/A1203 non fritté de dimensions 20 x20 x 3 mm3.Durant la phase de chauffage jusqu’à 1200 °C et

de densification (1 h à 1 200 °C), l’activité acoustiquereste faible. Lors du refroidissement, par contre, lenombre de salves augmente fortement à partir de800 °C, avec un maximum à 500 °C. En s’annulantvers 300 °C, la fissuration atteint la saturation. Lacourbe de la figure 11 donne l’évolution du nombrede coups cumulés sur le nombre total de coupsenregistrés au cours de l’activité acoustique en

fonction de la température de refroidissement.Des essais de traction réalisés à température

ambiante après un tel traitement ont montré [4] queles fibres n’ont pas été endommagées (voirChap. 6.4), et donc que l’émission acoustique estuniquement due à la fissuration matricielle.

6.3 ANALYSE MÉCANIQUE DE L’ÉMISSION ACOUSTI-QUE. - A l’aide de l’algorithme décrit au chapitre 4,nous avons simulé l’évolution de la microfissurationmatricielle d’un composite monofilamentaire

SiC/alumine, au cours du refroidissement. Les don-nées utilisées sont issues d’études précédentes sur lesmatériaux décrits au chapitre 6.1, à savoir :- module d’Young de la matrice : 60 GPa- contrainte moyenne de rupture de la matrice :

50 MPa- porosité : 35 %- seuil de glissement T 1 mesuré à température

ambiante par microindentation : 37-64 MPa- longueur du composite : 20 mm- taux volumique de fibres : 20 %- module d’Young de la fibre SiC Nicalon :

200 GPa- diamètre moyen de la fibre : 15 03BCm.

La valeur du module de Weibull a été prise égale à

222

Fig. 11. - Evolution de la microfissuration d’origine thermomécanique en fonction du refroidissement dans uncomposite SiC/alumine unidirectionnel. +++ : émission acoustique, --- : émission numérique du refroidissement d’uncomposite monofilamentaire analogue : approche statistique de la rupture.

[Thermomechanical microcracking evolution in an unidirectional SiC/alumina composite during cooling. +++ : acousticemission, --- : computed curve.]

6 (valeur parfaitement plausible), donnant, pour lacontrainte moyenne de rupture de 50 MPa, le para-mètre d’échelle de la loi de Weibull de

25,7 MPa. mm3/6 pour un volume de référence dematrice équivalent à un Vm de 80 %.La simulation décrit (Fig. 11) une progression de

la fissuration au cours du refroidissement qui débutevers 800 °C et qui atteint la saturation vers 300 °C.Nous avons porté l’évolution du nombre de fissurescumulées rapporté au nombre total de fissures enfonction de la température du premier refroidisse-ment.

Si cette simulation ne prétend pas représenter laréalité globale du comportement d’un tel compositemultifilamentaire, elle dégage néanmoins une pre-mière analogie suffisante pour poursuivre une ana-lyse de ce phénomène non linéaire. Une analyse dela sensibilité du module de Weibull (paramètre nondéterminé expérimentalement) montre que ce para-mètre est susceptible de modifier très fortementl’allure des courbes en S. Plus am est grand, plus ledomaine de température au cours duquel s’effectuentces microfissurations est réduit. Par contre, T 1 nemodifie pas leur allure générale mais opère unequasi-translation des courbes. Quand T1 augmente,le domaine de température s’élargit, induisant ainsiun retard à la saturation de la microfissuration et unediminution de la distance moyenne interfissure,x (Tab. de la Fig.11).

6.4 COMPORTEMENT EXPÉRIMENTAL EN CHARGE-MENT CYCLIQUE. - Des essais de traction avec

cyclage ont été entrepris sur ces composites unidirec-tionnels densifiés de dimensions 2 x 2 x 60 mm3,possédant un taux volumique de fibres d’environ25 %.

Les courbes de traction ole ont été obtenues avecun extensomètre optique pour une longueur dejauge de 26 mm (Fig. 12). Ces éprouvettes préfissu-rées présentent au début du chargement des modulesd’élasticité supérieurs à la valeur Ef V f (~ 50 GPa).

Fig. 12. - Essai de traction alternée sur compositeunidirectionnel SiC/alumine.

[Cycling tensile test on an unidirectional SiC/alumina

composite.] ]

223

Ceci s’explique par le fait que la matrice, mêmefissurée, contribue à la rigidité du composite. Au furet à mesure de son allongement, les glissements àl’interface abaissent la rigidité apparente du compo-site jusqu’à une valeur limite de Ef V f, atteinte ici àpartir de 0,1 % de déformation moyenne. Au-delàde 0,3 % de déformation, des ruptures de fibresinterviennent, faisant chuter le module d’élasticité.Dans le domaine des déformations (jusqu’à 0,3 %),où la potentialité des fibres a été maintenue, deuxcyclages ont été réalisés.

Les pentes de chargement et de déchargementsont quasi identiques, de l’ordre de 65 GPa. Cettevaleur est proche de celle de la pente à l’origine(64 GPa). Les boucles d’hystérésis présentent dansleur ensemble la forme des boucles de frottementissues des simulations (Fig. 9a).

6.5 ANALYSE MÉCANIQUE DU CHARGEMENT CYCLI-QUE. - La simulation d’un cyclage en traction surcomposite monofilamentaire SiC/alumine ayant lesmêmes caractéristiques que précédemment(Chap. 6.3) a permis de calculer les énergies defrottement des différentes boucles pour des seuils de

glissement fixés à 37 et 64 MPa (Fig. 13).Faisant l’hypothèse que l’énergie dissipée dans la

boucle d’hystérésis lors du cyclage en traction ducomposite multifilamentaire est égale à la sommedes énergies élémentaires développées par chaque

Fig. 13. - Simulation d’essai de traction alternée sur

composite monofilamentaire SiC/alumine préfissuré(L = 0,1 mm ).

[Computed cycling tensile test on precracked SiC/aluminacomposite (L = 0.1 mm ). ]

fibre dans la zone d’influence de la fissure, nouspouvons écrire :

où

WT : énergie dissipée dans le composite multifila-mentaire à une déformation moyenne don-

née,WD : énergie dissipée dans le composite monofila-

mentaire à la même déformation moyenneque le composite multifilamentaire et au

même taux volumique de fibres,Nf : nombre de fissures dans le composite,N : nombre de fibres travaillant en frottement.Des observations de traction de ces éprouvettes

sous microscope électronique à balayage (Fig. 14)révèlent que toutes les fissures d’origine thermomé-canique ne s’écartent pas lors du chargement. Ladistance moyenne entre les fissures travaillantes estde l’ordre de 200 03BCm. Une telle constatation pourraitêtre expliquée par des seuils de contraintes de

cisaillement à l’interface (03C41) différents, donnantainsi la possibilité aux lèvres des fissures où les

71 sont les plus faibles, de s’écarter fortement.

Fig. 14. - Micrographie d’un composite SiC/alumine souscharge (100 daN) lors d’un essai de traction sous micros-cope électronique à balayage.

[Scanning electron micrograph showing a SiC/alumina

composite loaded in tension (100 daN).]

Considérant que ces fissures traversent toute lasection du composite (N f = 130 ) et que l’ensembledes fibres travaillent (N = 5 500 ), nous pouvonsestimer les énergies mises en jeu lors des cyclages.Le tableau 1 récapitule les résultats expérimentauxet les valeurs théoriques pour les deux boucles.Les énergies calculées sont du même ordre de

grandeur que celles mesurées sur le compositeunidirectionnel à déformations comparables. Nousnotons que le rapport de déformation lors du

224

Tableau I. - Comparaison entre expérience et simu-lation des énergies dissipées lors d’un cyclage entraction. Cas des composites SiClalumine.

[Comparison of experimental results and numericalmodelling on the energies dissipated in

loading/unloading cycles in SiC/alumina composites. ]

déchargement (03B5 ~ 0,4 %) sur la déformation lorsdu rechargement est respectivement de 10 pourT 1= 37 MPa et 15 pour T 1= 64 MPa, alors qu’expé-rimentalement on obtient à une même déformationun rapport de 10 (Fig. 13). Les longueurs de glisse-ment (l ) calculées (Eq. (6)) valident par ailleursl’observation microscopique dans la mesure où 1 esttrès inférieur à la distance entre les fissures travail-lantes.

Ainsi donc, il semblerait que les fissures travaillan-tes au cours de la traction ne concernent pas latotalité des fissures initiées au cours du premierrefroidissement de ce premier matériau. Par consé-quent, la notion de seuil de glissement unique nesemble pas pouvoir être retenue, et de plus cettevaleur de T1 peut évoluer au cours du déplacement.Cette approche pourra être étudiée expérimentale-ment à l’aide d’un dispositif d’indentation instrumen-tée, permettant de caractériser la loi de comporte-ment interfacial lors d’un chargement monotone etcyclique.

7. Conclusion.

Ainsi, avec deux notions relativement simplescommunément admises :- notion de frottement interfacial,- notion de défauts,ces modèles, décrits ci-dessus, permettent de décrireles mécanismes simples de la rupture de systèmescomposites unidirectionnels céramique/céramique.L’apparition d’une fissure matricielle induit une

singularité de contrainte de cisaillement à l’interfacefibre-matrice qui, dans de tels systèmes, ne peut êtreabsorbée qu’en supposant un glissement relatif entreles deux composants. Ce mécanisme fondamental dela rupture matricielle, associé à la notion de défautset par suite de statistique de rupture, a permis de

mettre en évidence des phénomènes que l’analyselinéaire n’explique pas :

1) La multifissuration apparaît à des allongementsgénéralement supérieurs à ceux mesurés sur lamatrice en absence de fibres.

2) Elle se développe généralement dans un

domaine de contraintes relativement étendu.

3) La distance entre fissures observe une borneinférieure caractéristique du système fibre-matriceétudié.

4) Le composite possède un comportement nonlinéaire dissipatif conduisant à des cycles d’hystéré-sis.

Cette première approche, qui décrit la cinétiqued’initiation de fissuration, nécessite cependant unapprofondissement de la notion de volume matriciel.Elle ne représente pas la propagation de fissuresfaisant intervenir des notions de concentration decontraintes ou d’énergie de création de surface

compte tenu du système élémentaire choisi. Par

contre, l’analyse du système multifilamentaire seraregardé sous l’angle de la propagation d’une fissureperpendiculaire au renforcement, permettant ainside calculer les énergies dissipées. Une telle démarchenécessite de préciser la rhéologie de l’interface,traitée par ailleurs à l’aide de la méthode d’indenta-tion instrumentée.

Cet article résume ainsi les premiers résultatsd’une recherche en cours.

Annexe A

Les états de contrainte lors d’une fissuration de lamatrice et après glissement à T 1 constant de la fibrepar rapport à la matrice peuvent être modélisés en

axisymétrique, comme suit (Fig.1A).La longueur de glissement à T 1 constant, 1 ; vérifie

l’équation suivante :

avec

asy contrainte de traction dans la matrice loin de la

fissure (z 1 )app f contrainte de traction dans la fibre au droit de

la fissure

asy f contrainte de traction dans la fibre loin de la

fissure (z 1 ).

Ecriture des équations.

225

Fig. 1A. - Modélisation des états de contraintes dans le composite monofilamentaire après glissement interfacial.

[Stresses state in a single fibre composite after interfacial sliding.]

Pour z 1 :

En dehors de la zone de glissement, il y a égalitédes déformations (e) :

d’où

STATISTIQUE DE RUPTURE DANS LA MATRICE. -

Considérant des défauts de volume, la probabilité derupture de la matrice s’écrit, pour une loi de Weibullà deux paramètres :

avec dv = 2 ’7Tr dr dz.

Domaine d’intégration et de probabilité de rupture.Il concerne la distance entre deux fissures (2 L ).

Intégration.D’après (2) on a :

avec Sm = 7T (r2. - rf2).Le coefficient 2 rend compte de la symétrie des

contraintes dans le domaine 2 L, d’où :

et, compte tenu de l’hypothèse de rupture à 50 % :

on obtient :

Apparition de la première fissure dans la matrice.A traduit la contribution non uniforme du charge-

ment de la matrice. Dans le cas où L est grand parrapport à 1, on a :

A ~ 1, traduisant ainsi un chargement uniforme .

L’apparition de la première fissure dans la matricede longueur 2 L = 2 Lo (où 2 Lo correspond à lalongueur du composite considéré) s’opère à la

contrainte uâsy dans la matrice (d’après (A.4)) :

par un changement de variable, la contrainte équiva-lente appliquée au composite (oc) s’exprime,d’après (A.3) :

Fissuration multiple de la matrice.

L’équation (4) lie la contrainte d’apparition de la

226

fissure intercalaire à la distance interfissure 2 L,nous permettant d’écrire :

ou, par un changement de variable analogue(ue) : 1

Cas de la saturation.

La condition L calculée, inférieure ou égale à lalongueur de glissement entre la fibre et la matrice(4, déterminée à partir de l’équation (1), définit lasaturation.

Sur toute la longueur 2 L, il y a glissement et lescontraintes matricielles restent constantes lors de

chargements supplémentaires.

D’après (A.4), il vient :

STATISTIQUE DE RUPTURE DANS LA FIBRE. - Consi-dérant les défauts par unité de longueur, la probabi-lité de rupture de la fibre pour une loi de Weibull àdeux paramètres s’écrit :

avec dv = Sf dz et Sf = Ilrf.Domaine d’intégration et de probabilité de rupture.Le domaine d’intégration concerne la distance

entre deux fissures existantes (2 L) (voir Fig. 2A).De façon analogue à l’étude de la matrice, on

choisira la probabilité de rupture de la fibre à 50 %.Cependant, sa rupture est concernée par l’ensembledes fissurations de la matrice sur toute la longueurdu composite (2 Lo ), et donc nous pouvons écrireque :

Fig. 2A. - Modélisation de la rupture du renfort dans uncomposite monofilamentaire.

[Fibre cracking in a single fibre composite.]

où Lo/L rend compte en première approximation dela rupture sur la longueur totale du composite(2 Lo ).

Intégration.D’après (A.6), on obtient après intégration :

avec

d’où, à 50 % de probabilité de rupture :

il vient : o o

où, compte tenu du changement de variable (o-c) :

- à l’apparition de la première fissure dans lamatrice, on a comme précédemment : B = 1 ;- à la saturation de la fissuration dans la matrice :

COURBES CONTRAINTES DÉFORMATIONS. - Lorsde la fissuration de la matrice, on calcule la déforma-tion moyenne de la fibre, èf, entre deux fissuresdistantes de 2 L.En effet, cette déformation moyenne est équiva-

lente à celle qui serait calculée sur le compositeentier, d’où :

227

Par substitution des équations (A.6) et par intégra-tion, on obtient :

avec

Quand la longueur de glissement 1 vaut L, ladéformation moyenne s’écrit :

A la saturation de la fissuration, il n’y a plusd’évolution des contraintes dans la matrice puisqu’ily a glissement sur toute la longueur du composite(2 Lo ). Dans ces conditions, la déformation

moyenne sur la longueur critique le (le = 1 = L)s’écrit :

d’où

La pente de la courbe de traction est constante etest égale à Ef V f avec un décalage à l’origine de :

Annexe B

Les déplacements relatifs fibre-matrice le long del’axe de traction calculés à partir du programme dedifférences finies (Chap. 3.2) lors du chargement etdu déchargement sont illustrés par la figure suivante(Fig.1B).

L’énergie dissipée dans la boucle d’hystérésis estproportionnelle à la surface à l’aire comprise entreles courbes 1 et 3.

- Compte tenu des équations simplifiées des

contraintes lors du glissement (Eq. 2.A), les déplace-ments interfaciaux au chargement s’écrivent :

avec

Cette équation décrit bien la courbe 1.

Fig. 1B. - Evolution des déplacements relatifs fibre-

matrice à l’interface le long de l’axe de traction au cours duchargement - Cas composite monofilamentaire SiC/verre.

[Fibre-matrix relative displacements along the tensile axisduring loading, in a SiC/glass composite.]

- Au déchargement, les contraintes de tractiondans la fibre et la matrice (Fig. 9b,c) peuvent êtremodélisées comme suit (Fig. 2B) :

Fig. 2B. - Modélisation des états de contraintes dans lecomposite monofilamentaire après déchargement.

[Stresses state in a single fibre composite after unloading.]

avec

Les déplacements interfaciaux au déchargementdécoulant des états de contraintes simplifiés ci-des-sus s’écrivent :

Ces équations lissent bien la courbe 3 dans leursdomaines d’application respectifs.La surface comprise entre les courbes 1 et 3

correspondant à un demi-cycle s’écrit donc :

228

Dans le cas particulier où il y a liaison forte entrela fibre et la matrice au-delà de la zone de glissement,l’équation (B.3) s’écrit :

L’énergie dissipée dans la boucle d’hystérésisWD s’exprime :

c’est-à-dire

Dans le cas où la zone de glissement ne concernepas la totalité de la longueur L, on a :

Bibliographie

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matrix fiber composites, Acta Metall. 33 (1985)2013-2021.

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ONERA n° 16/3548 M, février 1986.