i

ANALISIS KOMPLEKS

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA

PENDIDIKAN GURU MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN

ALAM BERSTANDAR INTERNATIONAL

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG

2011

ii

Pendahuluan

Teori fungsi dari variabel kompleks, disebut juga ringkasan variabel

kompleks atau analisis kompleks, adalah salah satu hal yang baik dan berguna

dalam cabang matematika.

Buku ini disusun untuk digunakan sebagai suplemen untuk semua bahan ajar

yang tersedia untuk perkuliahan dalam teori variabel kompleks dan aplikasinya.

Buku ini terdiri dari tujuh bab dan setiap bab dimulai dengan definisi, dan

teorema serta contoh soal, tentu saja dilengkapi dengan latihan sederhana.

Penyusun harap setiap siswa memahami materi setiap bab dan mampu menerapkan

rumus manapun untuk menyelesaikan setiap soal di buku ini.

Supriyono

iii

GARIS BESAR

A. Kompetensi Dasar

Memahami konsep dan menerapkan rumus atau sifat-sifat Sistem Bilangan

Kompleks ( ), Topologi Bidang Kompleks, Fungsi Elementer, Fungsi Limit,

Kekontinuan Fingsi, Transformasi, dan integral kompleks.

B. Standar Kompetensi

Siswa-siswa mampu memahami konsep dan menerapkan rumus atau sifat-sifat

Sistem Bilangan Kompleks ( ), Topologi Bidang Kompleks, Fungsi Elementer,

Fungsi Limit, Kekontinuan Fingsi, Transformasi, dan integral kompleks.

C. Prasyarat

Kalkulus dan Persamaan Diferensial Biasa

D. Metode pembelajaran

Penjelasan (ceramah), tanya jawab, diskusi

iv

Daftar isi

Pendahuluan........................................................ii

General overview................................................iii

A. Kompetensi Dasar...................................iii

B. Standar Kompetensi ...............................iii

C. Prasyarat..................................................iii

D. Metode pembelajaran..............................iii

Daftar isi.....iv

Bab I

Sistem Bilangan Kompleks...1

Nilai mutlak.......3

Teorema De Moivre......5

Bab II

Topologi bidang kompleks........7

Titik dalam........7

Titik limit...9

Titik batas..........9

Bab III

Fungsi Elementer...........11

Fungsi eksponensial...11

Fungsi logaritma........12

Fungsi trigonometri.......14

Fungsi hiperbolik.......16

Bab IV

Limit fungsi...............17

Prinsip apit.............21

Bab V

Kekontinuan fungsi.......22

Turunan kompleks.........23

v

Turunan fungsi invers....................24

Turunan fungsi komposisi.....................24

Persamaan Cauchy-Rieman (C-R)....26

Fungsi analitik.......28

Titik singular..28

Fungsi harmonis..30

Bab VI

Transformasi....33

Transformasi linier.......33

Transformasi kuadrat.......34

Transformasi invers......35

Transformasi mobius........36

Bab VII

Integral kompleks.........40

Integral garis komplek..................40

Lengkungan tertutup sederhana........41

Daerah terhubung......42

Teorema Bliss....51

Integral kompleks dan teorema Cauchy........54

Teorema Annulus .....56

Rumus integral Cauchy ........61

Daftar pustaka.......64

vi

Bab 1

Sistem Bilangan Kompleks ( )

A. Pendahuluan

Tidak ada nilai bilangan real yang memenuhi persamaan suku banyak

. Untuk memperoleh solusi dari ini dan persamaan yang ekivalen, diperkenalkan

himpunan bilangan kompleks.

B. Teorema-teorema

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................dsb

vii

Bab II

Topologi Bidang Komplek

A. Pendahuluan

Jika ( ) ( ), maka

| | | | dan jarak di antara titik (x,y) dan (u,v) adalah

| | ( ) ( )

B. Teorema-teorema

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................dsb

viii

Bab III

Fungsi Elementer

A. Pendahuluan

Fungsi Konstan

Fungsi konstan adalah ( )

{ }

Fungsi Identitas

Fungsi identitas adalah ( ) ( )

Fungsi Eksponensial

Fungsi eksponensial adalah ( )

B. Teorema-teorema

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................dsb

ix

Bab IV

Fungsi Limit

A. Pendahuluan

Definisi: adalah sebuah fungsi

( ) | ( ) |

Jika | | ( )

B. Teorema-teorema

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................dsb

x

Bab V

Kekontinuan Fungsi

A. Pendahuluan

Definisi :

Fungsi disebut

(1) Kontinu di , jika ( ) ( )

( ( ) )

(2) Kontinu jika f kontinu di

Sehingga kontinu jika dan hanya jika

| | | ( ) ( )|

(3) Kontinu seragam pada

( ) | ( ) ( )|

B. Teorema-teorema

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................dsb

xi

Bab VI

Transformasi

A. Pendahuluan

1) Transformasi linier

Transformasi linier kita tulis

2) Transformasi kuadrat

Transformasi kuadrat

3) Transformasi invers

Transformasi invers kita tulis

4) Transformasi Mobius ( )

Jika ( )

adalah konstanta kompleks dan , mak

{ ( ) }

{ } {

}

{

} {

}.

Kita ambil sebarang dan

.

B. Teorema-teorema

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................dsb

xii

Bab VII

Integral Kompleks

A. Pendahuluan

I. Integral garis kompleks

Pada bidang kompleks, kita dapat menuliskan kurva c :

( )

1) Bentuk parameter:

( )

[ ] : kontinu

[ ] : kontinu

2) Bentuk kartesius: ( )

( )

( )

B. Teorema-teorema

........................................................................................

........................................................................................

........................................................................................dsb