Análisis Dinámico: Ecuaciones diferenciales no lineales de...
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IntroduccionSolucion modelo general
EjemplosEjemplos de aplicacion economica
Analisis Dinamico: Ecuaciones diferencialesno lineales de primer orden: la ecuacion de
Bernouilli
Jesus Getan y Eva Boj
Facultat d’Economia i EmpresaUniversitat de Barcelona
Mayo de 2017
Jesus Getan y Eva Boj EDO no lin. de primer orden de Bernouilli 1 / 63
IntroduccionSolucion modelo general
EjemplosEjemplos de aplicacion economica
Introduccion
Solucion modelo generalModo 1Modo 2
EjemplosEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5
Ejemplos de aplicacion economicaEjemplo 1
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EjemplosEjemplos de aplicacion economica
Introduccion
Las ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO) de Bernouilli,las denotaremos
α0(x)y′ + α1(x)y = f(x)yr, (1)
donde r ∈ R junto con que r 6= 0, 1 y α0(x) 6= 0 para todo x,
i.e. la ecuacion 5y′ − 3xy = 2y0.5.
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EjemplosEjemplos de aplicacion economica
Notese que,
si r = 0, tenemos la ecuacion diferencial lineal
α0(x)y′ + α1(x)y = f(x),
i.e. la ecuacion 5xy′ + (x+ 3)y = 2xy0.
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EjemplosEjemplos de aplicacion economica
Si r = 1, tenemos la ecuacion diferencial lineal
α0(x)y′ + α1(x)y = f(x)y,
simplificando
α0(x)y′ + (α1(x)− f(x)) y = 0.
i.e. la ecuacion 2xy′ + 3x2y = 2xy1, simplificando
2xy′ +(3x2 − 2x
)y = 0.
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EjemplosEjemplos de aplicacion economica
I ¿Como distinguir los elementos de las ecuaciones?
α0(x)y′ + α1(x)y = f(x)yr,
I Termino de primer ordenI Termino de orden ceroI Termino de potencia con r 6= 0, 1.
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EjemplosEjemplos de aplicacion economica
I ¿Como distinguir los elementos de las ecuaciones?
α0(x)y′ + α1(x)y = f(x)yr,
I Termino de primer ordenI Termino de orden ceroI Termino de potencia con r 6= 0, 1.
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EjemplosEjemplos de aplicacion economica
I ¿Como distinguir los elementos de las ecuaciones?
α0(x)y′ + α1(x)y = f(x)yr,
I Termino de primer ordenI Termino de orden ceroI Termino de potencia con r 6= 0, 1.
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EjemplosEjemplos de aplicacion economica
I ¿Como distinguir los elementos de las ecuaciones?
α0(x)y′ + α1(x)y = f(x)yr,
I Termino de primer ordenI Termino de orden ceroI Termino de potencia con r 6= 0, 1.
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EjemplosEjemplos de aplicacion economica
Modo 1Modo 2
Solucion de la ecuacion
α0(x)y′ + α1(x)y = f(x)yr. (2)
Modo 1: Hacemos el cambio z = y(1−r).
Sabemos que y = z
1
1− r , y′ =1
1− rz
1
1− r−1z′ =
z
r
1− r1− r
z′.
Sustituyendo en (2) resulta
α0(x)z
r
1− r1− r
z′ + α1(x)z
1
1− r = f(x)z
r
1− r .
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Modo 1Modo 2
Simplificandoα0(x)
1− rz′ + α1(x)z = f(x).
Volviendo a simplificar, obtenemos
z′ +α1(x)(1− r)
α0(x)z =
f(x)(1− r)α0(x)
.
Resultando una ecuacion diferencial lineal de primer orden quese resuelve por el metodo estudiado.
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Modo 1Modo 2
Modo 2: Hacemos
y(x) = u(x)v(x) (3)
y derivamosy′ = u′v + uv′.
Sustituimos en la ecuacion (2) resultando
α0(x)u′v + α0(x)uv′ + α1(x)uv = f(x) (uv)r
Reordenando(α0(x)u′ + α1(x)u
)v + α0(x)uv′ = f(x) (uv)r . (4)
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Modo 1Modo 2
Para determinar la funcion u exigimos que
α0(x)u′ + α1(x)u = 0,
de dondeu′
u= −α1(x)
α0(x).
Resolviendo, tenemos que
u(x) = e−
∫ α1(x)
α0(x)dx
. (5)
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Modo 1Modo 2
Sustituyendo (5) en (4) y reordenando obtenemos
v′
vr=f(x)ur
α0(x)u.
Que es una ecuacion de variables separables y su solucion es
v1−r
1− r=
∫f(x)ur
α0(x)udx,
reordenando
v(x) =
((1− r)
∫f(x)ur
α0(x)udx
) 11−r
.
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Modo 1Modo 2
La solucion general sera
y(x) = e−
∫ α1(x)
α0(x)dx(
(1− r)∫
f(x)ur
α0(x)udx
) 11−r
con
u(x) = e−
∫ α1(x)
α0(x)dx
.
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Ejemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5
Ejemplo 1
Hallar la solucion general de
3(1 + x2)dy
dx= 2xy(y3 − 1).
Simplificamos y reordenamos los terminos
y′ +2x
3(1 + x2)y =
2x
3(1 + x2)y4.
Observamos que es una ecuacion de Bernoulli en y.
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Ejemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5
Para su resolucion aplicaremos el cambio de variable: z = y−3.
El cambio implicadz
dx= z′ = −3y−4y′, por tanto,
−1
3z′ = y−4y′.
Para resolver, multiplicamos la ecuacion por y−4 resultando laexpresion
y−4y′ +2x
3(1 + x2)y−3 =
2x
3(1 + x2),
en la que aplicamos el cambio.
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Ejemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5
Se trata de resolver la ecuacion lineal
z′ − 2x
1 + x2z = − 2x
1 + x2.
La ecuacion homogenea asociada es
z′ − 2x
1 + x2z = 0.
La solucion de la homogenea es
zh = C(1 + x2).
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Ejemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5
Proponemos como solucion particular
z (x) = C (x) (1 + x2).
Derivamos y obtenemos
z′ = 2xC (x) + (1 + x2)C ′ (x) .
Sustituimos z y z′ en la ecuacion completa
2xC (x) + (1 + x2)C ′ (x)− 2x
1 + x2C (x) (1 + x2) = − 2x
1 + x2.
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Ejemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5
Simplificamos y resolvemos la ecuacion diferencial resultante
C ′ (x) =−2x
(1 + x2)2,
C (x) = (1 + x2)−1.
Por tanto, la solucion particular es
zp = 1.
La solucion completa es
z = zh + zp = C(1 + x2) + 1. (6)
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Ejemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5
Deshacemos el cambio de variable, que era z = y−3, yobtenemos como solucion
y−3 = C(1 + x2) + 1,
finalmentey =
13√C(1 + x2) + 1
.
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Ejemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5
Ejemplo 2
Hallar la solucion general de
2dy
dx=y
x− x
y2,
con y(1) = 1.Operamos y reordenamos los terminos
y′ − 1
2xy =
x
2y−2.
Observamos que es una ecuacion de Bernoulli en y.
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Ejemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5
Para su resolucion aplicaremos el cambio de variable: z = y3.
El cambio implicadz
dx= z′ = 3y2y′, por tanto,
1
3z′ = y2y′.
Para resolver, multiplicamos la ecuacion por y2 resultando laexpresion
y2y′ +1
2xy3 =
−x2.
en la que aplicamos el cambio.
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Ejemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5
Se trata de resolver la ecuacion lineal
z′ − 3
2xz = −3x
2.
La ecuacion homogenea asociada es
z′ − 3
2xz = 0.
La solucion de la homogenea es
zh = Cx
3
2 .
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Ejemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5
Proponemos como solucion particular
z (x) = C (x)x
3
2 .
Derivamos y obtenemos
z′ = C (x)3
2x
1
2 + C ′ (x)x
3
2 .
Sustituimos z y z′ en la ecuacion completa
C (x)3
2x
1
2 + C ′ (x)x
3
2 − 3
2xCx
3
2 = −3x
2.
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Ejemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5
Simplificamos y resolvemos la ecuacion diferencial resultante
C ′ (x) = −3
2x−
1
2 ,
C (x) = −3x
1
2 .
Por tanto, la solucion particular es
zp = −3x2.
La solucion completa es
z = zh + zp = Cx
3
2 − 3x2.
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Ejemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5
Deshacemos el cambio de variable, que era z = y3, yobtenemos como solucion
y3 = Cx
3
2 − 3x2,
finalmente
y =
3
√Cx
3
2 − 3x2.
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Ejemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5
Si aplicamos la condicion y(1) = 1 obtenemos:
y(1) =
3
√C(1)
3
2 − 3(1)2 = 3√C − 3 = 1,
dandonosC = 4.
Por tanto, la solucion es
y =
3
√4x
3
2 − 3x2.
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Ejemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5
Ejemplo 3
Resolver la ecuacion diferencial
y
1
2dy
dx+ y
3
2 = 1,
con y(0) = 4.Operamos y reordenamos los terminos
y′ + y = y−
1
2 .
Observamos que es una ecuacion de Bernoulli en y.
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Ejemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5
Para su resolucion aplicaremos el cambio de variable: z = y
3
2 .
El cambio implicadz
dx= z′ =
3
2 y
1
2 y′, por tanto,3
2z′ = y
1
2 y′.
Para resolver, multiplicamos la ecuacion por y1
2 resultando laexpresion
y
1
2 y′ + y
3
2 = 1.
en la que aplicamos el cambio.
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Ejemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5
Se trata de resolver la ecuacion lineal
z′ +3
2z =
3
2.
La ecuacion homogenea asociada es
z′ +3
2z = 0.
La solucion de la homogenea es
zh = Ce−
3x
2 .
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Ejemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5
Proponemos como solucion particular
z (x) = C (x) e−
3x
2 .
Derivamos y obtenemos
z′ = C ′ (x) e−
3x
2 + C (x) (−3
2)e−
3x
2 .
Sustituimos z y z′ en la ecuacion completa
C ′ (x) e−
3x
2 + C (x) (−3
2)e−
3x
2 +3
2C (x) e
−3x
2 =3
2.
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Ejemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5
Simplificamos y resolvemos la ecuacion diferencial resultante
C ′ (x) =3
2e
3x
2 ,
C (x) = e
3x
2 .
Por tanto, la solucion particular es
zp = 1.
La solucion completa es
z = zh + zp = Ce−
3x
2 + 1.
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EjemplosEjemplos de aplicacion economica
Ejemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5
Deshacemos el cambio de variable, que era z = y
3
2 , yobtenemos como solucion
y
3
2 = Ce−
3x
2 + 1,
despejando
y = (Ce−
3x
2 + 1)
2
3 .
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EjemplosEjemplos de aplicacion economica
Ejemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5
Si aplicamos la condicion y(0) = 4 obtenemos:
y(0) = (Ce−
0
2 + 1)
2
3 = 4,
luegoC = 7.
Por tanto, la solucion es
y = (7e−
3x
2 + 1)
2
3 .
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EjemplosEjemplos de aplicacion economica
Ejemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5
Ejemplo 4
Hallar la solucion general de
e−x(y′ − y) = y2.
Observamos que es una ecuacion de Bernoulli en y.
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Ejemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5
Para su resolucion aplicaremos el cambio de variable: z = y−1.
El cambio implicadz
dx= z′ = −y−2y′, por tanto, −z′ = y−2y′.
Para resolver, multiplicamos la ecuacion por y−2 resultando laexpresion
y−2y′ − y−1 = ex.,
en la que aplicamos el cambio.
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Ejemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5
Se trata de resolver la ecuacion lineal
z′ + z = −ex.
La ecuacion homogenea asociada es
z′ + z = 0.
La solucion de la homogenea es
zh = Ce−x.
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Ejemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5
Proponemos como solucion particular
z (x) = C (x) e−x.
Derivamos y obtenemos
z′ = C ′ (x) e−x − C (x) e−x.
Sustituimos z y z′ en la ecuacion completa
C ′ (x) e−x − C (x) e−x + C (x) e−x = −ex.
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EjemplosEjemplos de aplicacion economica
Ejemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5
Simplificamos y resolvemos la ecuacion diferencial resultante
C ′ (x) = −e2x,
luego
C (x) = −1
2e2x.
Por tanto, la solucion particular es
zp = −1
2ex.
La solucion completa es
z = zh + zp = Ce−x − 1
2ex.
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EjemplosEjemplos de aplicacion economica
Ejemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5
Deshacemos el cambio de variable, que era z = y−1, yobtenemos como solucion
y−1 = Ce−x − 1
2ex,
y, de aquı
y = (Ce−x − 1
2ex)−1.
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EjemplosEjemplos de aplicacion economica
Ejemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5
Ejemplo 5
Resolver la ecuacion diferencial
y2dx+ (xy − x3)dy = 0.
Operamos y reordenamos los terminos
y2dx
dy+ (xy − x3) = 0,
y2x′ + yx = x3,
x′ +1
yx =
1
y2x3.
Observamos que es una ecuacion de Bernoulli en x.
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EjemplosEjemplos de aplicacion economica
Ejemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5
Para su resolucion aplicaremos el cambio de variable:w = x−2.
El cambio implicadw
dy= w′ = −2x−3x′, por tanto,
−1
2w′ = x−3x′.
Para resolver, multiplicamos la ecuacion por x−3 resultando laexpresion
x−3x′ +1
yx−2 =
1
y2,
en la que aplicamos el cambio.
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EjemplosEjemplos de aplicacion economica
Ejemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5
Se trata de resolver la ecuacion lineal
w′ − 2
yw = − 2
y2.
La ecuacion homogenea asociada es
w′ − 2
yw = 0.
La solucion de la homogenea es
wh = Cy2.
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EjemplosEjemplos de aplicacion economica
Ejemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5
Proponemos como solucion particular
w (y) = C (y) y2.
Derivamos y obtenemos
w′ = C ′ (y) y2 + C (y) 2y.
Sustituimos w y w′ en la ecuacion completa
C ′ (y) y2 + C (y) 2y − 2
yC (y) y2 = − 2
y2.
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IntroduccionSolucion modelo general
EjemplosEjemplos de aplicacion economica
Ejemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5
Simplificamos y resolvemos la ecuacion diferencial resultante
C ′ (y) = −2y−4,
luego
C (y) =2
3y−3.
Por tanto, la solucion particular es
wp =2
3y.
La solucion completa es
w = wh + wp = Cy2 +2
3y.
Jesus Getan y Eva Boj EDO no lin. de primer orden de Bernouilli 43 / 63
IntroduccionSolucion modelo general
EjemplosEjemplos de aplicacion economica
Ejemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5
Deshacemos el cambio de variable, que era w = x−2, yobtenemos como solucion
x−2 = Cy2 +2
3y,
por tanto
x = (Cy2 +2
3y)−
1
2 .
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EjemplosEjemplos de aplicacion economica
Ejemplo 1
Ejemplo 1El modelo Solow considera, en el sentido macro, que laproduccion (Q), el capital (K) y la mano de obra (L) secombinan teoricamente con
Q = f (K,L) con K,L > 0.
Se supone que∂f
∂K> 0,
∂f
∂L> 0 (productos marginales positivos).
∂2f
∂K2< 0,
∂2f
∂L2< 0 (retornos decrecientes para cada factor).
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IntroduccionSolucion modelo general
EjemplosEjemplos de aplicacion economica
Ejemplo 1
La funcion de produccion f (K,L) se considera homogenea degrado 1, es decir, con retornos constantes a escala, por tanto
L
Lf (K,L) = L
(1
L
)1
f (K,L) = Lf
(K
L,L
L
)= Lf
(K
L, 1
),
pudiendo transformarse en
Q = f (K,L) = Lf
(K
L, 1
)= LΦ (r) . (7)
Donde r =K
Ly Φ (r) = f
(K
L, 1
)para simplificar.
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EjemplosEjemplos de aplicacion economica
Ejemplo 1
Las hipotesis de Solow son
dK
dt= sQ, (8)
donde s es constante llamada propension marginal al ahorro.
dL
dt= λL λ > 0, (9)
y λ es llamada tasa de crecimiento de la mano de obra.
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EjemplosEjemplos de aplicacion economica
Ejemplo 1
Si (9) la vemos como
dL
dtL
= λ,
nos indica que la fuerza laboral crece exponencialmente.
(i.e. al resolver la EDO da L = Ceλt).
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EjemplosEjemplos de aplicacion economica
Ejemplo 1
Vamos a construir el modelo completo a partir de lasecuaciones (7), (8) y (9).Sustituyendo (7) en (8) resulta
dK
dt= sLΦ (r) . (10)
Como r =K
L⇒ K = rL, diferenciando
dK
dt= L
dr
dt+ r
dL
dt.
Sustituyendo (9) en esta ecuacion obtenemos
dK
dt= L
dr
dt+ λLr. (11)
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EjemplosEjemplos de aplicacion economica
Ejemplo 1
Igualamos (10) y (11),
sLΦ (r) = Ldr
dt+ λLr,
simplificando L,
sΦ (r) =dr
dt+ λr,
reordenando,dr
dt+ λr = sΦ (r) . (12)
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EjemplosEjemplos de aplicacion economica
Ejemplo 1
Recordando la notacion de clase para las EDO esta ecuacionse puede escribir al hacer r = y y t = x como
y′ + λy = sf(y). (13)
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IntroduccionSolucion modelo general
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Ejemplo 1
Si consideramos la funcion de produccion de Cobb-Douglas
Q = f (K,L) = KαL1−α (1 > α > 0),
y aplicamos el modelo
Q = L
(K
L
)α= Lrα (r =
K
L),
en este caso y recordando (10), Φ(r) = rα.Sustituimos en (12)
dr
dt+ λr = srα. (14)
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Ejemplo 1
Resolvemos la ecuacion haciendo el cambio r = uv.Derivamos el cambio y sustituimos en la ecuacion (14)resultando
u′v + v′u+ λuv = suαvα.
Simplificando (u′ + λu
)v + v′u = suαvα.
Resolvemosu′ + λu = 0,
Resultandou(x) = e−λt.
Sustituyendo en la ecuacion y reordenando
v′e−λt = se−λαtvα,
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Ejemplo 1
v−αv′ = se(1−α)λt,
integrando ∫v−αdv = s
∫e(1−α)λtdt,
resulta
v−α+1
−α+ 1=se(1−α)λt
(1− α)λ+ C1 ⇒ v(x) =
(se(1−α)λt
λ+ C1
) 11−α
y la solucion generale es
r(t) = e−λt
(se(1−α)λt
λ+ C1
) 11−α
. (15)
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Ejemplo 1
Si consideramos la condicion inicial de que ro es el capital percapita para t = 0 ¿Cual es la solucion?Si en (15) sustituimos t = 0 resulta
r(0) = r0 =( sλ
+ C1
) 11−α
.
Despejando C1 y sustituyendo en la solucion general
C1 = r1−α0 − s
λ.
Finalmente obtenemos la solucion del problema
r(t) = e−λt
(se(1−α)λt
λ+ r1−α0 − s
λ
) 11−α
.
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Ejemplo 1
Calculamos la expresion resultante cuando t→∞:( sλ
) 11−α
.
Obtenemos que el equilibrio varıa directamente con lapropension marginal al ahorro e inversamente con la tasa decrecimiento de la mano de obra λ.
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Ejemplo 1
Ejemplo numericoFuncion de produccion de Cobb-Douglas:
Q = L
(K
L
)α= Lrα (r =
K
L).
Las hipotesis del problema son:(a) λ = 0.1 como tasa de crecimiento de la poblacion.(b) s = 0.15 como tasa de ahorro.(c) α = 0.3.
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Ejemplo 1
Sustituimos los valores dados en la ecuacion (14):
dr
dt+ 0.1r = 0.15r0.3.
Observamos que es una ecuacion de Bernoulli en r.
Para su resolucion aplicaremos el cambio de variable:
z = r0.7.
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Ejemplo 1
El cambio implicadz
dt= z′ = 0.7r−0.3r′, por tanto,
1
0.7z′ = r−0.3r′.
Para resolver, multiplicamos la ecuacion por r−0.3 resultando laexpresion
r−0.3r′ + 0.1r0.7 = 0.15,
en la que aplicamos el cambio.
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Ejemplo 1
Se trata de resolver la ecuacion lineal
z′ + 0.07z = 0.105.
La ecuacion homogenea asociada es
z′ + 0.07z = 0.
La solucion de la homogenea es
zh = Ce−0.07t.
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Ejemplo 1
Proponemos como solucion particular
z (t) = C (t) e−0.07t.
Derivamos y obtenemos
z′ = C ′ (t) e−0.07t − 0.07C (t) e−0.07t.
Sustituimos z y z′ en la ecuacion completa
C ′ (t) e−0.07t − 0.07C (t) e−0.07t + 0.07C (t) e−0.07t = 0.105.
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Ejemplo 1
Simplificamos y resolvemos la ecuacion diferencial resultante
C ′ (t) = 0.105e0.07t,
luego
C (t) =0.105
0.07e0.07t.
Por tanto, la solucion particular es
zp = 1.5.
La solucion completa es
z = zh + zp = Ce−0.07t + 1.5.
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Ejemplo 1
Deshacemos el cambio de variable, que era z = r0.7, yobtenemos como solucion
r0.7 = Ce−0.07t + 1.5,
por tanto
r (t) = (Ce−0.07t + 1.5)
1
0.7 .
Calculamos la expresion en el equilibrio (cuando t→∞):
re = (1.5)10.7 .
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