Análisis v2.doc 1

1. Análisis de Sistemas Realimentados 1. Análisis de Sistemas Realimentados 1

1.1. INTRODUCCIÓN .......................................................................................................... 2

1.2. ESTABILIDAD ............................................................................................................. 2

1.3. ESTRUCTURAS DE REALIMENTACIÓN ........................................................................ 3

1.3.1. Sistemas Estables e Inestables .......................................................................... 5

1.3.2. Estabilización de un Sistema Inestable ............................................................. 6

1.3.3. Inestabilización de un Sistema Estable ............................................................. 7

1.4. ENFOQUE CLÁSICO .................................................................................................... 9

1.4.1. Estabilidad relativa. .......................................................................................... 9

1.4.2. Márgenes de estabilidad y diagramas de Bode .............................................. 10

1.4.3. Márgenes de ganancia y fase .......................................................................... 12

1.5. VISIÓN MODERNA .................................................................................................... 13

1.5.1. Funciones de Sensibilidad Nominales ............................................................ 15

1.5.2. Estabilidad de lazo cerrado en base al Polinomio Característico ................ 18

1.5.3. Pico de sensibilidad ......................................................................................... 20

1.6. ROBUSTEZ ................................................................................................................ 24

1.6.1. Error de modelado .......................................................................................... 24

1.6.2. Estabilidad Robusta ........................................................................................ 27

Análisis v2.doc 2

1.1. Introducción Dado un controlador y una planta conectados en realimentación, vamos a plan-

tear y contestar las siguientes preguntas: ¿Es el lazo cerrado estable? ¿Cuáles son las sensibilidades a distintas perturbaciones? ¿Cuál es el impacto de errores de modelado? ¿Es capaz de seguir referencias? 1.2. Estabilidad

Un sistema es estable si excitado con una entrada acotada, la salida permanece acotada.

Análisis v2.doc 3

1.3. Estructuras de Realimentación Realimentación: reduce el efecto de perturbaciones disminuye la sensibilidad a errores de modelado estabiliza sistemas inestable pero puede... inestabilizar un sistema estable generar oscilaciones en sistemas con una respuesta en lazo abierto suave generar alta sensibilidad a ruido de medición.

Análisis v2.doc 4

( )y s

( )G s( )u s

Sis

( )y s( )r s

+ -( )R s ( )G s

( )u s

Análisis v2.doc 5

1.3.1. Sistemas Estables e Inestables Tanto en lazo abierto como en lazo cerrado, para que un sistema sea estable

se debe cumplir que los polos del sistema deben tener su parte real negativa. En lazo abierto tengo un sistema

( )( )

( )

N sG sD s

=

Para que sea estable, se debe cumplir que las raíces de ( )D s , los polos del sistema, deben tener su parte real negativa.

Si se realimenta el sistema con un regulador, ( )( )

( )

P sR sL s

= , el sistema en lazo

cerrado resulta:

( )( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )1 1

N s P sG s R s N s P sD s L sM s N s P sG s R s D s L s N s P s

D s L s

= = =+ ++

El polinomio ( ) ( ) ( ) ( )D s L s N s P s+ debe tener sus raíces con parte real nega-tiva.

Punto crítico: ( ) ( )1 0G s R s+ =

Análisis v2.doc 6

1.3.2. Estabilización de un Sistema Inestable

( )1

1G s

s=

−, ( ) 2R s = , ( )

( ) ( )

( ) ( )

221

21 111

G s R s sM sG s R s s

s

−= = =+ ++

−

0 0.5 1 1.5 2 2.50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

Análisis v2.doc 7

1.3.3. Inestabilización de un Sistema Estable

( )

( )( )( )

11 1 1

G ss s s

=+ + +

, ( ) 10R s = ,

( )( )

( )( )

310 13,1544 0,0772 1.8658j

sM ss s

+=

+ − ±

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

Análisis v2.doc 8

Visión Clásica: respuesta a un cambio en la referencia o márgenes de fase y ganancia

Visión Moderna: La Banda de los Seis (según Astrom)

Análisis v2.doc 9

1.4. Enfoque Clásico No es completo Es importante por ser tradicional

1.4.1. Estabilidad relativa. A menudo se necesita obtener alguna medida cuantitativa de cuán lejos de ser

inestable está un lazo nominal.

( )( ) ( )

( ) ( )1G s R sM s

G s R s=

+

El punto crítico de estabilidad es cuando ( ) ( )01 0G s R s+ = [1.1]

o ( ) ( )0 1 0G s R s j= − + [1.2]

Se puede medir la distancia de la respuesta en frecuencia nominal al punto de estabilidad crítica 1 0j− + .

Este punto corresponde a 0dB y -180º en el diagrama de Bode o Nyquist

Análisis v2.doc 10

1.4.2. Márgenes de estabilidad y diagramas de Bode Los márgenes de estabilidad pueden describirse y cuantificarse también en

diagramas de Bode. (MG: distancia a 0db en 180gr)

Frequency (rad/sec)

Pha

se (d

eg);

Mag

nitu

de (d

B)

Bode Diagrams

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40From: U(1)

10-2 10-1 100 101-250

-200

-150

-100

-50

To: Y

(1)

Mf

Mg

Análisis v2.doc 11

Ejemplo Stephanopoulos.

( )y s( )r s

+ -( )R s ( )G s

( )u s

( )y s( )r s

+ -( )R s ( )G s

( )u s

Análisis v2.doc 12

1.4.3. Márgenes de ganancia y fase En un diagrama polar (Nyquist), el sistema es inestable si encierra al 1 0j− + .

Definimos margen de ganancia gM y margen de fase fM

( )1020 loggM a= −

fM φ=

El margen de ganancia marca la ganancia adicional que llevaría el lazo cerra-

do a la condición de estabilidad crítica. El margen de fase cuantifica el retardo de fase puro que debería agregarse pa-

ra alcanzar la misma condición de estabilidad crítica.

Análisis v2.doc 13

1.5. Visión Moderna Sistema SISO de un grado de libertad transferencia modificable: controlador ( )R s . planta nominal ( )0G s .

( )y s( )r s

+ -( )R s ( )G s

( )u s ( )ed s ( )sd s+++

+

( )md s+

+

donde ( )r s : Referencia ( )ed s , ( )sd s y ( )md s : Perturbaciones ( )y s : Salida ( )u s : Control ( )R s : Controlador

( )0G s : Modelo nominal de la planta

Análisis v2.doc 14

( )( )

( )

P sR sL s

= , ( )( )

( )

00

0

B sG s

A s=

Señales de interés (ignorando el estado inicial)

( )( )

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )[ ]0

01 m eR su s r s d s G s d s

G s R s= − −

+

( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )[ ]0 00

11 m s ey s G s R s r s d s d s G s d s

G s R s= − + +

+

Análisis v2.doc 15

1.5.1. Funciones de Sensibilidad Nominales Función de sensibilidad

( )( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

00

0 0 0

11

A s L sS sG s R s A s L s B s P s

= =+ +

[1.3]

Función de sensibilidad complementaria

( )( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

0 00

0 0 01G s R s B s P sT s

G s R s A s L s B s P s= =

+ + [1.4]

Función de sensibilidad a perturbación de entrada

( )( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

0 00

0 0 01iG s B s L sS sG s R s A s L s B s P s

= =+ +

[1.5]

Función de sensibilidad de control

( )( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

00

0 0 01uK s A s P sS s

G s R s A s L s B s P s= =

+ + [1.6]

Análisis v2.doc 16

Las funciones de sensibilidad están relacionadas algebraicamente: ( ) ( )0 0 1S s T s+ = [1.7]

( ) ( ) ( )( )

( )

00 0 0i

T sS s S s G sR s

= = [1.8]

( ) ( ) ( )( )

( )

00 0

0u

T sS s S s K sG s

= = [1.9]

Análisis v2.doc 17

Con las funciones de sensibilidad y bajo condiciones iniciales nulas, se pueden construir la forma compacta

( )

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

( )

( )

0 0 0

0

0

1

1e

s

m

r sG s R s G s G s R sd sy s R s G s R s R s R s

u s d sG s R s

d s

− − − − = +

[1.10]

( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

( )

( )

( )

0 0 0 0

0 0 0 0

ei

su u u

m

r s

d sT s S s S s T sy su s d sS s T s S s S s

d s

− = − − −

[1.11]

Análisis v2.doc 18

1.5.2. Estabilidad de lazo cerrado en base al Polinomio Característico El Lazo nominal es el resultante de conectar un controlador al modelo nominal

de la planta. Estabilidad interna: El lazo nominal es internamente estable si las ocho funcio-

nes transferencia en [1.10] son estables. Todas las señales en el lazo acotadas para cada conjunto de entradas ( )r t ,

( )ed t , ( )sd t y ( )md t acotadas.

Teorema. [Estabilidad interna nominal] Dado el lazo cerrado de la Figura 1 con el controlador y modelo definidos arriba. Entonces el lazo cerrado es internamente estable si y sólo si todas las raíces de la ecuación característica a lazo cerrado

( ) ( ) ( ) ( )0 0 0A s L s B s P s+ = [1.12]

tienen parte real negativa. La estabilidad interna implica más que la estabilidad de la referencia a la salida. No debe haber cancelaciones de polos inestables entre planta y controlador. La ecuación característica [1.12] es de la forma ( ) 0p s = , donde ( )p s es el

polinomio característico del lazo cerrado.

Análisis v2.doc 19

Ejemplo 1.1. Sistema de Segundo Orden

( )

( )( )03

4 2G s

s s=

+ − +, ( )

2sR ss

− += [1.13]

puede verse que la función de sensibilidad complementaria nominal

( )0 234 3

T ss s

=+ +

[1.14]

es estable. Sin embargo, la sensibilidad a perturbación de entrada nominal

( )

( )( )0 23

2 4 3isS s

s s s=

− + + + es inestable.

Por el Teorema de estabilidad interna nominal, el lazo cerrado no es interna-mente estable, ya que ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )2

0 0 2 4 3A s L s B s P s s s s+ = − + + + .

Análisis v2.doc 20

1.5.3. Pico de sensibilidad Indicador alternativo de estabilidad relativa es el pico de la función de sensibili-

dad. Recordar que

( )( ) ( )

00

11

S sG s R s

=+

( ) ( ) ( )10 01 G j R j S jω ω ω−+ =

El radio η del círculo tangente al gráfico de ( ) ( )0G j R jω ω es la recíproca del pico de la sensibilidad nominal. Cuanto mayor sea este pico, más cerca de la ines-tabilidad estará el lazo.

Análisis v2.doc 21

El pico de sensibilidad es un indicador de estabilidad relativa más confiable

que los márgenes de fase y ganancia: un sistema puede tener buenos márgenes de fase y ganancia y aún estar cerca de ser inestable.

Por otro lado, un bajo valor del pico de sensibilidad garantiza márgenes de ga-nancia y fase mínimos.

Análisis v2.doc 22

g=tf(10,poly([-1 -1 -1])); s=1/(1+g); bode(s,g)

Frequency (rad/sec)

Pha

se (d

eg);

Mag

nitu

de (d

B)

Bode Diagrams

-150

-100

-50

0

50From: U(1)

10-1 100 101 102-400

-300

-200

-100

0

100

200

300

400

To: Y

(1)

G

1/(1+GK)

1/(1+GK)

G

Análisis v2.doc 23

g=tf(10,poly([-1 -1 -1])); s=1/(1+g); nyquist(s,g)

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

Nyquist Diagrams

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10From: U(1)

To: Y

(1)

1/(1+GK)

GK

Análisis v2.doc 24

1.6. Robustez Analiza el efecto de variaciones de la planta respecto a su valor nominal. Se utilizan las funciones de sensibilidad nominal.

1.6.1. Error de modelado La función de transferencia real se puede expresar como ( ) ( ) ( )( )0 1G s G s G s∆= + [1.15]

donde ( )G s∆ es el modelo de error multiplicativo (MEM)

( )( )

( )01G sG s

G s∆ = − [1.16]

este error es desconocido pero generalmente acotable ( ) ( )G jω ε ω∆ < [1.17]

Análisis v2.doc 25

Ahora las funciones de sensibilidad serán

( )( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

11

A s L sS sG s R s A s L s B s P s

= =+ +

[1.18]

( )( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )1G s R s B s P sT s

G s R s A s L s B s P s= =

+ + [1.19]

( )( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )1iG s B s L sS sG s R s A s L s B s P s

= =+ +

[1.20]

( )( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )1uR s A s P sS s

G s R s A s L s B s P s= =

+ + [1.21]

Se define

( )( )

( )01G sG s

G s∆ = − [1.22]

( )( ) ( )0

11

S sT s G s∆

∆=

+ [1.23]

Análisis v2.doc 26

quedando ( ) ( ) ( )

0S s S s S s∆= [1.24]

( ) ( ) ( )( ) ( )0 1T s T s G s S s∆ ∆= + [1.25]

( ) ( ) ( )( ) ( )0 1i iS s S s G s S s∆ ∆= + [1.26]

( ) ( ) ( )0u uS s S s S s∆= [1.27]

Análisis v2.doc 27

1.6.2. Estabilidad Robusta Se dice que un sistema es robustamente estable si es internamente estable

con la planta real. Teorema. [Estabilidad robusta] Sea una planta con modelo nominal ( )0G s y

transferencia real ( )G s ; sea ( )R s un controlador que estabiliza internamente la planta nominal y si ( ) ( )G s R s y ( ) ( )0G s R s tienen el mismo número de polos ines-tables.

Entonces, el controlador ( )R s logra la estabilidad del lazo real si se cumple: ( ) ( )0 1T j G jω ω∆ < [1.28]

o

( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 01G j R j G j G j R jω ω ω ω ω∆ < + [1.29]

La estabilidad es robusta frente a un dado error ( )G jω∆ si el punto de estabili-dad crítica 1 0j− + se encuentra fuera del disco de centro en ( ) ( )0G j R jω ω y ra-dio ( ) ( ) ( )0G j R j G jω ω ω ω∆ ∀ .

Análisis v2.doc 28

Vemos que un pico elevado de sensibilidad hace pequeño ( ) ( )01 G j R jω ω+ en [1.29], disminuyendo la tolerancia a error de modelado MEM para preservar es-tabilidad robusta.