Disciplina: Matemtica Srie: 3EM - 4 BIMESTRE Professor: Gilson Assunto: Anlise Combinatria

ANLISE COMBINATRIA

ARRANJO SIMPLESA m,p m (m 1) (m 2) (m 3 ) ...(m p 1)

FORMULRIO

ALTERA A ORDEMou

ALTERA O AGRUPAMENTOA m,p

m! (m p)!

PERMUTAES SIMPLES

PERMUTAES COM REPETIO:

Pm = Am,m = m!

a Pm,b,c,...,k

m! a!. b!. c!..... k !

COMBINAES SIMPLES

FORMULRIO

ALTERA A ORDEM NO ALTERA O AGRUPAMENTO

Cmp ,

m! p!.(mp)!ou

Cm,p

Am,p p!

1

Importante: COMBINAES COMPLEMENTARES

Cp Cmp m mExemplo:

C17 C 3 20 20

TESTES:01) Numa cidade os telefones so dados por nmeros de sete algarismos. O prefixo de um bairro 42. Nesse bairro, o nmero de telefones possveis, com todos os algarismos distintos, : (A) 40.320 (B) 30.320 (C) 10.720 (D) 8.320 (E) 6.720

02) Quantos nmeros mpares, de algarismos diferentes, situados entre 2.000 e 4.000, podem ser formados com os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5 e 6 ? (A) 100 (B) 120 (C) 180 (D) 240 (E) 360

03)(UFRGS) - Os nmeros dos telefones de uma cidade so constitudos por 6 dgitos. Sabendo que o primeiro dgito nunca pode ser zero e que os nmeros dos telefones passaro a ser de 7 dgitos, o aumento possvel na quantidade dos telefones ser: (A) (B) (C) (D) (E) 81.10 3 90.10 4 81.10 5 81.10 5 90.103

04)(CEFET-PR) - Dentre as permutaes das letras da palavra TRINGULO, o nmero das que comeam por vogal : (A) (B) (C) (D) (E) P9 P8 2.P8 4.P8 P4.P8

2

05) O nmero de anagramas que podemos formar com as letras da palavra ARARA : (A) (B) (C) (D) (E) 120 60 30 20 10

06)(PUCSP) - Quantas matrizes quadradas de ordem 3 podem ser formadas, usando os nmeros 1, 2, 3 e seis zeros ? (A) (B) (C) (D) (E) 84 120 504 720 3024

07) O nmero de tringulos que podem ser traados utilizando-se 12 pontos de um plano, no havendo 3 pontos em linha reta, : (A) (B) (C) (D) (E) 4.368 220 180 144 48

08)(PUCRS) - Numa reunio de jovens, h 10 rapazes e 5 garotas. O nmero de grupos de 5 jovens que poderiam ser formados, tendo cada grupo no mximo 1 rapaz : (A) (B) (C) (D) (E) 42 50 51 84 102

09)(UFRGS) - Um professor organizou uma lista com 4 questes de Geometria e 6 de lgebra, da qual indicou um conjunto diferente de 7 questes para cada um de seus alunos resolver. O nmero de alunos que recebeu todas as questes de Geometria para resolver , no mximo, de (A) (B) (C) (D) (E) 15 20 35 42 120

3

10)(FGV-SP) - Dois grupos de excursionistas, um deles com 20 elementos e o outro com 15 elementos, encontram-se em um certo local de um pas distante. Se todas as pessoas de um grupo cumprimentarem todas as pessoas do outro grupo, o nmero de cumprimentos ser igual a: (A) (B) (C) (D) (E) 35 300 595 1190 1200

11)(UFRGS) - De um ponto A a um ponto B existem 5 caminhos; de B a um terceiro ponto C existem 6 caminhos; e de C a um quarto ponto D existem tambm 6 caminhos. Quantos caminhos existem para ir do ponto A ao ponto D ? (A) (B) (C) (D) (E) 17 30 180 680 4080

TESTES COMPLEMENTARES12) Quantos nmeros de 4 algarismos distintos podem ser formados com os algarismos 0, 1, 2, 3, 4 e5? (A) (B) (C) (D) (E) 60 240 300 360 420

13)(PUCRS) - Uma pessoa deseja viajar por via rodoviria de uma cidade A para uma cidade B, passando obrigatoriamente por 2 outras cidades X e Y. Existem 3 estradas que ligam A a X, 4 estradas ligando X a Y e 2 estradas de Y a B. O nmero total de trajetos, nestas condies, ligando A a B, : (A) (B) (C) (D) (E) 9 14 18 24 29

14) O nmero de permutaes distintas possveis com as oito letras da palavra PARALELA, comeando todas com a letra P, ser de: (A) (B) (C) (D) (E) 24 120 360 420 720

4

15)(FUVEST) - Num programa transmitido diariamente, uma emissora de rdio toca sempre as mesmas 10 msicas, mas nunca na mesma ordem. Para esgotar todas as possveis seqncias dessas msicas sero necessrios aproximadamente: (A) (B) (C) (D) (E) 100 dias 10 anos 1 sculo 10 sculos 100 sculos.

16)(UFRGS) -Para colocar preos em seus produtos, uma empresa desenvolveu um sistema simplificado de cdigo de barras formado por cinco linhas separadas por quatro espaos. Podem ser usadas linhas de trs larguras possveis e espaos de duas larguras possveis. O nmero total de preos que podem ser representados por esse cdigo (A) (B) (C) (D) (E) 1440. 2880. 3125. 3888. 4320.

17)(UFSM) - No Brasil, as placas dos automveis sero formadas por 3 letras e 4 algarismos. Considerando que nosso alfabeto tem 26 letras, o nmero de placas diferentes possveis, sem que haja repetio de letras e algarismos, (A) (B) (C) (D) (E) 26 x 10 4 26 x 25 x 24 x 10 3 x 26 x 4 x 10 26 x 25 x 24 x 10 x 9 x 8 x 7 3 26 x 10 x 9 x 8 x 73 4

18)(PUCRS) Formam-se todos os nmeros compreendidos entre 2000 e 3000, com algarismos distintos, escolhidos entre 1, 2, 3, 4 e 5. O total de nmeros assim formados (A) (B) (C) (D) (E) 24 48 60 120 240

19)(UFRGS) - O nmero mximo de quadrilteros com vrtices em 8 pontos distintos marcados em um crculo : (A) (B) (C) (D) (E) 24 70 840 350 1680

5

20)(PUC) - Em um plano h 11 pontos, sendo que apenas 5 esto em linha reta. O nmero de tringulos distintos que se pode formar unindo-se 3 quaisquer desses pontos : (A) (B) (C) (D) (E) 165 155 145 135 125

21)(PUC) - Com os algarismos 1, 2, 3, 4 e 5 formam-se os nmeros possveis de 3 algarismos distintos. Dentre esses, os divisveis por 2 so em nmero de: (A) (B) (C) (D) (E) 24 36 40 54 60

22)(PUC) - O nmero de fraes diferentes entre si e diferentes de 1 que podem ser formadas com os nmeros 3, 5, 7, 11, 13, 19 e 23 : (A) 35 (B) 42 (C) 49 (D) 60 (E) 120

23)(UFRGS) - Um trem de passageiros constitudo de uma locomotiva e 6 vages distintos, sendo um deles restaurante. Sabendo-se que a locomotiva deve ir frente, e que o vago restaurante no pode ser colocado imediatamente aps a locomotiva, o nmero de modos diferentes de montar a composio : (A) (B) (C) (D) (E) 120 320 500 600 720

24)(MACK) - Com os algarismos 1, 2, 3, 4 e 5 e sem repetio, pode-se escrever x nmeros maiores que 2500. Calcule x. (A) (B) (C) (D) (E) 79 120 162 198 240

6

25)(UECE) - A quantidade de nmeros inteiros compreendidos entre os nmeros 1000 e 4500 que podemos formar utilizando somente os algarismos 1, 3, 4, 5 e 7, de modo que no figurem algarismos repetidos, : (A) (B) (C) (D) (E) 48 54 60 72 90

26)(UFRGS) O nmero de circunferncias do plano cartesiano que contm trs pontos do conjunto { (0,0) , (1,1) , (3,3) , (4,4) , (2,0) , (2,3) , (3,1) } (A) (B) (C) (D) (E) 4 31 35 186 221

27)(UFRGS) - Com os algarismos mpares pode-se formar n nmeros maiores que 200 e que tenham apenas trs algarismos distintos. O valor de n (A) (B) (C) (D) (E) 10 48 60 72 96

28)(UFRGS) - Em uma classe de 12 alunos, um grupo de 5 ser selecionado para uma viagem. De quantas maneiras distintas este grupo poder ser formado, sabendo que, entre os 12 alunos, 2 so irmos e s podero viajar se estiverem juntos ? (A) (B) (C) (D) (E) 30.240 594 462 408 372

29)(PUCRS) - O maior nmero de retas definidas por 12 pontos dos quais 7 so colineares (A) (B) (C) (D) (E) 44 45 46 90 91

7

30)(UFRGS) - O nmero de mltiplos de trs, com quatro algarismos distintos, escolhidos entre 3 , 4 , 6,8e9 (A) (B) (C) (D) (E) 24 36 48 72 96

31)(UFRGS) - No sistema de emplacamento de veculos que comea a ser implantado, as placas tm 3 letras como prefixo, podendo haver letras repetidas. Usando apenas as vogais, o nmero mximo de prefixos (A) (B) (C) (D) (E) 15 35 60 90 125

32)(UFRGS) - O nmero mximo de tringulos que se pode obter quando se escolhem, para seus vrtices, 10 pontos distintos, sobre uma elipse, (A) (B) (C) (D) (E) 40 60 120 300 720

33)(PUCRS) - Num torneio internacional de voleibol participam 5 pases, cada um com uma seleo e um juiz. Levando em conta que todos os times devem se confrontar duas vezes e que os juzes no podem apitar as partidas das quais o seu pas participa, o nmero mximo de partidas que um juiz apita no torneio (A) (B) (C) (D) (E) 20 15 12 10 6

8

TEORIA DAS PROBABILIDADESEm um experimento aleatrio chamamos de n(U) o nmero de elementos do espao amostral e de n(A) o nmero de um determinado evento. A probabilidade de ocorrncia do evento A ser representada por P(A) e calculada por:

P( A )

n( A ) n(U)

TESTES:01)(FGV) - Uma urna contm 50 bolinhas numeradas de 1 a 50. Sorteando-se uma bolinha, a probabilidade de que o nmero observado seja mltiplo de 8 : (A) (B) (C) (D) (E) 3/25 7/50 1/10 8/50 1/5

02) No lanamento de um dado no viciado o resultado foi um nmero maior do que 3, qual a probabilidade de esse ser um nmero par ? (A) (B) (C) (D) (E) 1/6 1/2 1/3 2/5 2/3

03) Numa comunidade de 1000 habitantes, 400 so scios de um clube A, 300 de um clube B e 200 de ambos. Escolhendo-se uma pessoa ao acaso, qual a probabilidade dessa pessoa ser scia de A ou de B ? (A) (B) (C) (D) (E) 75% 60% 50% 45% 30%

04) Uma pessoa joga uma moeda quatro vezes, qual a probabilidade de sair CARA nas quatro jogadas ? (A) (B) (C) (D) (E) 1/2 1/4 1/8 1/16 1

9

05)(UPF) - Uma urna contm 3 bolas brancas e 4 bolas pretas. Tira-se, sucessivamente, 2 bolas. Ento a probabilidade das bolas serem da mesma cor, : (A) (B) (C) (D) (E) 1/7 2/7 3/7 4/7 5/7

06)(CESGRANRIO) - Um prdio de trs andares, com dois apartamentos por andar, tem apenas trs apartamentos ocupados. A probabilidade de cada um dos trs andares tenha exatamente um apartamento ocupado : (A) (B) (C) (D) (E) 2/5 3/5 1/2 1/3 2/3

07)(VUNESP) - Dois jogadores, A e B vo lanar um par de dados. Eles combinam que, se a soma dos nmeros dos dados for 5, A ganha, e, se essa soma for 8, B quem ganha. Os dados so lanados. Sabe-se que A no ganhou. Qual a probabilidade de B ter ganho? (A) (B) (C) (D) (E) 10/36 5/32 5/36 5/35 no se pode calcular sem saber os nmeros sorteados

08) Se num grupo de 10 homens e 6 mulheres sorteamos 3 pessoas para formarem uma comisso, qual a probabilidade de que essa comisso seja formada por 2 homens e 1 mulher? (A) (B)

3 9

56

56 15 (C) 56 (D) 27 56 33 (E) 56

10

09)(UFRGS) - Dentre um grupo formado por dois homens e quatro mulheres, trs pessoas so escolhidas ao acaso. A probabilidade de que sejam escolhidos um homem e duas mulheres de (A) (B) (C) (D) (E) 25%. 30%. 33%. 50%. 60%.

10)(UFRGS) - Em uma gaveta, cinco pares diferentes de meias esto misturados. Retirando-se ao acaso duas meias, a probabilidade de que elas sejam do mesmo par de (A) (B) (C) (D) (E) 1/10. 1/9. 1/5. 2/5. 1/2.

11)(UFRGS) - As mquinas A e B produzem o mesmo tipo de parafuso. A porcentagem de parafusos defeituosos produzidos, respectivamente, pelas mquinas A e B de 15% e de 5%. Foram misturados, numa caixa 100 parafusos produzidos por A e 100 produzidos por B. Se tirarmos um parafuso ao acaso e ele for defeituoso, a probabilidade de que tenha sido produzido pela mquina A de (A) 10% (B) 15% (C) 30% (D) 50% (E) 75%

12) Uma urna contm 10 bolas numeradas de 1 a 10. So sorteadas duas bolas sem reposio e verifica-se que o nmero da primeira maior do que o nmero da segunda. Qual a probabilidade de que esses nmeros sejam consecutivos? (A) (B)

2 4

39 39 13 13

(C) 2 (D)

4

(E) 6

13

11

TESTES COMPLEMENTARES13)(FUVEST - SP) - Escolhido ao acaso um elemento do conjunto dos divisores positivos de 60, a probabilidade de que ele seja primo : (A) (B) (C) (D) (E) 1/2 1/3 1/4 1/5 1/6

14)(VUNESP - SP) - Numa gaiola esto 9 camundongos rotulados , 1 , 2 , 3 , . . . , 9 . Selecionando-se conjuntamente 2 camundongos ao acaso (todos tm igual possibilidade de serem escolhidos) , a probabilidade de que na seleo ambos os camundongos tenham rtulo mpar : (A) (B) (C) (D) (E) 0,3777... 0,47 0,17 0,2777... 0,1333...

15)(FEI-SP) - Em uma pesquisa realizada em uma Faculdade foram feitas duas perguntas aos alunos. Cento e vinte responderam sim a ambas; 300 responderam sim primeira; 250 responderam sim segunda e 200 responderam no a ambas. Se um aluno for escolhido ao acaso, qual a probabilidade de ele ter respondido no primeira pergunta? (A) (B) (C) (D) (E) 1/7 1/2 3/8 11/21 4/25

16)(FATEC-SP) - Considere todos os nmeros de cinco algarismos distintos obtidos pela permutao dos algarismos 4, 5, 6, 7 e 8. Escolhendo-se um desses nmeros, ao acaso, a probabilidade de ele ser um nmero mpar : (A) (B) (C) (D) (E) 1 1/2 2/5 1/4 1/5

12

17)(F . Objetivo - SP) - Uma urna contm apenas 10 bolas. Essas bolas so de diversas cores, e somente 4 so brancas. Sabe-se que as bolas diferem apenas na cor. Retira-se uma bola ao acaso, e em seguida retira-se outra bola, sem reposio da primeira. A probabilidade de obter duas bolas que no sejam ambas brancas : (A) (B) (C) (D) (E) 2/15 13/15 1/3 3/5 2/9

18)(EFOA-MG) - Uma pessoa tem em mos um chaveiro com 5 chaves parecidas, das quais apenas uma abre determinada porta. Escolhe uma chave ao acaso, tenta abrir a porta, mas verifica que a chave escolhida no serve. Na segunda tentativa, com as chaves restantes, a probabilidade de a pessoa abrir a porta de: (A) (B) (C) (D) (E) 20% 25% 40% 75% 80%

19)(U.C.SALVADOR) - das 180 pessoas que trabalham em uma empresa, sabe-se que 40% tm nvel universitrio e 60% so do sexo masculino. Se 25% do nmero de mulheres tm nvel universitrio, a probabilidade de selecionar-se um funcionrio dessa empresa que seja do sexo masculino e no tenha nvel universitrio : (A) (B) (C) (D) (E) 5/12 3/10 2/9 1/5 5/36

20)(F .Maring - PR) - Um nmero escolhido ao acaso entre 20 inteiros, de 1 a 20. A probabilidade de o nmero escolhido ser primo ou quadrado perfeito : (A) 1 (B) 2 (C) 4 (D) 2 (E) 3

5 25 25 5 5

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21)(FASP) - Um colgio tem 400 alunos. Destes, 100 estudam Matemtica , 80 estudam Fsica , 100 estudam Qumica , 20 estudam Matemtica , Fsica e Qumica , 30 estudam Matemtica e Fsica , 30 estudam Fsica e Qumica e 50 estudam somente Qumica. A probabilidade de um aluno , escolhido ao acaso , estudar Matemtica e Qumica : (A) (B) (C) (D) (E) 1/10 1/8 2/5 5/3 3/10

22)(CESCEM-SP) - De um total de 100 alunos que se destinam aos cursos de Matemtica, Fsica e Qumica, sabe-se que: 1) 30 destinam-se Matemtica e, destes, 20 so do sexo masculino; 2) o total de alunos do sexo masculino 50, dos quais 10 destinam-se Qumica; 3) existem 10 moas que se destinam ao curso de Qumica. Nestas condies, sorteando-se um aluno, ao acaso, do grupo total e sabendo-se que do sexo feminino, a probabilidade de que ele se destine ao curso de Matemtica vale:

1 5 (B) 1 4 1 (C) 3 (D) 1 2(A) (E) 1

23)(UFRGS) - Considere dois dados, cada um deles com seis faces, numeradas de 1 a 6. Se os dados so lanados ao acaso, a probabilidade de que a soma dos nmeros sorteados seja 5 (A) (B) (C) (D) (E)

1 . 15 2 . 21 1 . 12 1 . 11 1 . 9

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24)(ENEM) As 23 ex-alunas de uma turma que completou o Ensino Mdio h 10 anos se encontraram em uma reunio comemorativa. Vrias delas haviam se casado e tido filhos. A distribuio das mulheres, de acordo com a quantidade de filhos, mostrada no grfico abaixo.

Um prmio foi sorteado entre todos os filhos dessas ex-alunas. A probabilidade de que a criana premiada tenha sido um(a) filho(a) nico(a) (A) (B) (C) (D) (E)

1 . 3 1 . 4 7 . 15 7 . 23 7 . 25

GABARITOS ANLISE COMBINATRIA01) E 02) D 03) D 04) D 05) E 06) C 07) B 08) C 09) B 10) B 11) C 12) C 13) D 14) D 15) E 16) D 17) D 18) A 19) B 20) B 21) A 22) B 23) D 24) D 25) C 26) B 27) B 28) E 29) C 30) D 31) E 32) C 33) C

TEORIA DAS PROBABILIDADES01) A 02) E 03) C 04) D 05) C 06) A 07) B 08) D 09) E 10) B 11) E 12) C 13) C 14) D 15) D 16) C 17) B 18) B 19) B 20) E 21) A 22) A 23) E 24) E

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