Analisa Real 2
-
Upload
budiman-ali-akbar -
Category
Documents
-
view
239 -
download
3
Transcript of Analisa Real 2
BAB ILIMIT FUNGSI
A. Definisi Limit Fungsi
Definisi limit secara intuisi : mengatakan bahwa berarti
bahwa bilamana dekat tetapi berlainan dari c, maka dekat ke .
Secara matematis dapat dimaklumi bahwa yang berdekatan dengan
definisi limit secara intuisi diatas, yaitu penggunaan istilah “dekat”. Apa
sebenarnya makna dekat itu?. Seberapa dekat itu dikatakan “dekat” ?.
Untuk mengatasi masalah di atas Augustin-Louis Cauchy berhasil
menyusun definisi tentang limit yang masih kita gunakan sampai sekarang.
Pengertian limit secara intuisi di atas jika diberi definisi formal adalah
sebagai berikut.
Dikatakan bahwa berarti bahwa untuk tiap yang diberikan
(betapapun kecilnya) , terdapat yang berpadanan sedemikian sehingga
; yakni ,
B. Teorema Limit
1
L +
L -
L
c - c +c
f (x)
x
1. , jika suatu konstanta
2.
3.
4.
5.
6. Hukum subtitusi :
Jika dan maka
7. jika dan
8. , jika
9. Teorema Apit :
Misalkan pada setiap interval yang memuat c dan
dipenuhi : maka
Pembuktian Teorema
1.
Bukti :
Untuk setiap bilangan positif berapapun kecilnya akan didapat
sedemikian untuk setiap x pada dipenuhi . Dari
, maka berapapun .
2.
Bukti :
Untuk membuktikan teorema ini, berarti jika diberikan suatu
betapapun kecilnya, akan ditemukan sedemikian hingga
.
Sekarang dari
2
Kelihatan bahwa akan memenuhi persyaratan di atas.
Sehingga jika diberikan betapapun kecilnya dan dipilih maka
menunjukkan :
Dengan demikian terbuktilah teoremanya.
3.
Bukti :
Misalkan
Misalkan diberikan , kita harus mendapatkan sedemikian hingga
berakibat (mengingat juga ).
Sekarang dengan telah ditetapkan , kita dapat menyatakan bahwa untuk setiap
yang terletak berlaku:
Ini menunjukkan bahwa :
4.
Bukti :
Andaikan dan
Jika sembarang bilangan positif yang diberikan, maka adalah positif.
Karena , maka terdapat suatu bilangan positif , sedemikian
hingga :
,
Karena limit , maka terdapat suatu bilangan positif
sedemikian hingga :
3
Pilih = min , yaitu pilih sebagai yang terkecil diantara dan ,
maka menunjukkan :
Jadi
Dengan jalan yang sama akan dapat dibuktikan bahwa :
5.
Bukti :
Misal dan
Jika diberikan sembarang maka dan .
Yang akan kita tunjukkan dengan pembuktian ini adalah jika diberikan
, kita harus mendapatkan bilangan sedemikian hingga untuk :
berakibat .
Untuk :
Dari limit , berarti terdapat sedemikian hingga jika
berakibat
Dan dari , berarti terdapat sedemikian hingga jika
berakibat .
Selanjutnya terdapat bilangan ketiga sedemikian hingga jika
berakibat yang berarti
4
Sekarang kita pilih bilangan terkecil dari ketiga bilangan positif
dan jika subtitusi (3),(4), dan (5) ke dalam (2) ,akan
diperoleh jika berakibat :
Kenyataan ini berarti terbukti bahwa :
6. Jika dan maka
Bukti :
Misalkandiberikan , kita harus mendapatkan suatu bilangan
sedemikian hingga apabila berakibat .
Dari , terdapat sedemikian hingga , untuk
akan berakibat
Dan dari , kita dapat memilih sedemikian hingga jika :
berakibat atau dimana .
Dari (1) dapat kita lihat bahwa :
Jika berakibat
Kenyataan terakhir ini menyajikan bukti tersebut.
Contoh Soal
Hitunglah nilai limit berikut :
1.
Jawaban :
5
2.
Jawaban :
; a0
6
BAB IIKEKONTINUAN
A. Definisi
Suatu fungsi dikatakan kontinu di titik , jika ketiga syarat berikut ini
dipenuhi
1. terdefinisi (ada nilainya)
2. ada dan
3.
Jika salah satu atau lebih dari syarat-syarat di atas tidak dipenuhi, maka
dikatakan fungsi tidak kontinu (diskontinu) di titik .
Jika kontinu di setiap titik pada suatu interval, maka dikatakan
kontinu pada interval tersebut.
Contoh 9 :
Diberikan fungsi . Selidiki apakah kontinu di titik !
Penyelesaian :
Diketahui fungsi , maka untuk berlaku :
1. , yaitu terdefinisi
2. dan
3. .
Karena ketiga syarat kekontinuan dipenuhi, maka dapat disimpulkan bahwa
fungsi kontinu di titik .
Sifat-sifat Penting :
1. Jika dan adalah fungsi-fungsi yang kontinu di titik , maka
a. juga kontinu di titik
b. )()( xgxf juga kontinu di titik
c. juga kontinu di titik , asalkan .
7
2. Jika adalah fungsi rasional yang berbentuk , dengan
dan adalah fungsi-fungsi polinom, maka kontinu di semua titik,
kecuali di titik-titik pembuat nol . Jadi nilai-nilai pembuat nol
adalah titik-titik diskontinu dari fungsi .
B. Macam Diskontinuitas
Pada bagian awal telah disebutkan bahwa fungsi dikatakan diskontinu
atau tidak kontinu di titik , jika salah satu atau lebih syarat-syarat
kekontinuan tidak dipenuhi. Beberapa macam diskontinuitas yang dikenal
antara lain :
1. Diskontinuitas Tak Hingga
Pandang fungsi rasional , maka tidak kontinu di titik
, karena tidak terdefinisi dan juga tidak ada. Akan tetapi
fungsi tersebut kontinu di semua nilai , kecuali di . Diskontinuitas
semacam ini dinamakan diskontinuitas tak hingga.
2. Diskontinuitas Terhapuskan
8
Y
2 X
Pandang fungsi rasional . Pada fungsi ini tidak
terdefinisi, yang berarti tidak kontinu di titik sedangkan
(ada). Sehingga jika kita definisikan kembali fungsi di atas
sebagai
maka . Akibatnya kontinu di titik .
Diskontinuitas semacam ini dinamakan diskontinuitas yang terhapuskan.
Perhatikan bahwa grafik dari fungsi dan adalah
identik, kecuali pada titik , di mana grafik fungsi mempunyai
”lubang”.
Menghapus diskontinuitas sama halnya menutup lubang tersebut.
3. Diskontinuitas Lompat
Diberikan fungsi . Selidiki kekontinuan fungsi
di titik . Perhatikan bahwa , terdefinisi dan
(ada). Sehingga diperoleh , yaitu kontinu di
sebelah kanan (disingkat kontinu kanan) pada . Akan tetapi
9
Y
lubang
2
f (x) 2 X
, yaitu tidak kontinu di sebelah kiri (kontinu
kiri) pada . Akibatnya tidak kontinu di titik .
Diskontinuitas semacam ini dinamakan diskontinuitas lompat. Perhatikan
gambar berikut ini :
C. Menentukan Fungsi menjadi Kontinu
Jika diberikan suatu fungsi yang belum diketahui apakah fungsi tersebut
kontinu atau tidak, maka kita dapat menjadikan fungsi tersebut kontinu
dengan menggunakan konsep kontinu kiri dan kontinu kanan.
Suatu fungsi dikatakan kontinu kiri di titik , jika
dan dikatakan kontinu kanan jika . Selanjutnya fungsi
dikatakan kontinu di titik jika kontinu kiri dan kontinu kanan di
titik .
Contoh 10 :
Tentukan konstanta agar fungsi kontinu di
titik .
Penyelesaian :
Agar kontinu di titik , maka haruslah kontinu kiri di titik
, yaitu . Di mana ,
10
Y
1
X
– 1
sedangkan , sehingga diperoleh atau
yaitu .
Selain itu juga harus kontinu kanan di titik , yaitu
. Di mana dan
serta hubungan di atas selalu dipenuhi.
Jadi agar kontinu di titik , maka haruslah .
Contoh 11 :
Diberikan fungsi .
a. Tentukan nilai agar kontinu di mana-mana !
b. Gambarkan grafik fungsi tersebut !
Penyelesaian :
a. Perhatikan bahwa fungsi menunjukkan keanehan di titik ,
sehingga agar kontinu di mana-mana haruslah kontinu di titik
, yaitu harus kontinu kiri dan kontinu kanan di titik .
■ kontinu kiri di
dan , karena harus berlaku
,
maka diperoleh dan .
■ kontinu kanan di
dan dan senantiasa berlaku
.
Jadi agar kontinu di mana-mana haruslah nilai .
b. Dengan diperolehnya nilai , maka fungsi di atas menjadi
dan grafiknya adalah
11
D. Fungsi Kontinu
Definisi
Misalkan A , f : A , dan Fungsi f dikatakan kontinu di c jika
untuk sebarang terdapat sehingga untuk setiap
dengan berlaku
|f(x) – f(c)| < e
Fungsi yang tidak kontinu di c, dikatakan tak kontinu (discontinuous) di c.
Catatan
a. Jika adalah titik limit dari A, dapat disimpulkan bahwa f
kontinu di titik c jika dan hanya jika
.
Jadi, jika c titik limit dari A, maka agar (5.1) terpenuhi, tiga syarat harus
dipenuhi : (i) ada, (ii) ada di dalam , (iii) harus sama
dengan .
b. Jika bukan titik limit dari A, maka terdapat persekitaran
dari c sehingga . Jadi disimpulkan bahwa fungsi f secara
otomatis kontinu di c. Titik c semacam ini disebut titik terasing dari A.
12
2
1
3X
Y
Karena kekontinuan otomatis untuk titik yang demikian, untuk selanjutnya
kita akan membahas kekontinuan hanya di titik limit.
Definisi
Misalkan A , f : A , dan Fungsi f dikatakan kontinu pada B
jika f kontinu di setiap titik dari B.
Teorema :
Misalkan A , f : A , dan Kedua pernyataan berikut ekuivalen:
(a) f kontinu di c.
(b) Jika sebarang barisan bilangan real di dalam A yang konvergen ke c,
maka konvergen ke
Dengan mengambil kontraposisi dari Teorema 5.1.3 di atas, maka diperoleh
kriteria ketakkontinuan berikut.
Teorema (Kriteria Ketakkontinuan)
Misalkan A , f : A , dan Fungsi f tak kontinu di c jika dan
hanya jika terdapat barisan di dalam A yang konvergen ke c tetapi barisan
tidak konvergen ke
Contoh
(a) kontinu pada .
Jika c , maka . Selanjutnya karena maka f kontinu
di setiap titik di c . Jadi, f kontinu pada .
(b) kontinu pada .
Jika c , maka . Karena maka g kontinu di setiap
titik di c . Jadi, g kontinu pada c .
(c) kontinu pada
Telah ditunjukkan bahwa jika , maka . Karena
ini menunjukkan bahwa g kontinu di setiap . Jadi h kontinu pada A.
(d) Fungsi signum tidak kontinu di 0.
13
tidak ada di dalam . Oleh karena itu fungsi sgn tidak kontinu
di 0, meskipun sgn (0) terdefinisi.
(e) Misalkan A = dan f fungsi Dirichlet didefinisikan dengan
Fungsi f tak kontinu di setiap titik di dalam . (Fungsi ini dikenalkan oleh
P.G.L, Dirichlet pada Tahun 1829).
Jika rasional, maka terdapat barisan bilangan irrasional yang
konvergen ke . Eksistensi barisan ini dijamin oleh Teorema Kerapatan.
Karena untuk setiap n N, maka , sementara
. Oleh karena itu, tidak konvergen ke . Jadi f tidak
kontinu di bilangan rasional .
Di pihak lain, jika b bilangan irrasional, maka terdapat barisan bilangan
rasional sehingga konvergen ke b. Karena untuk setiap n
N, maka , sementara . Oleh karena itu, tidak
konvergen ke . Jadi f tidak kontinu di bilangan irrasional b.
Karena setiap bilangan real adalah rasional atau irrasional, maka
disimpulkan bahwa f tidak kontinu di setiap titik dari .
(f) Misalkan Untuk sebarang bilangan irrasional didefinisikan
dengan . Untuk bilangan rasional di dalam A, m dan n
relatif prima, didefinisikan dengan . Fungsi h kontinu di setiap
bilangan irrasional di dalam A, dan tak kontinu di setiap bilangan rasional di
dalam A. (Fungsi ini dikenalkan oleh K.J. Thomae pada Tahun 1875).
Jika rasional, maka terdapat barisan bilangan irrasional di dalam A
yang konvergen ke . Karena , sementara , maka h
tidak kontinu di .
Di pihak lain, jika b bilangan irrasional dan , maka (dengan Sifat
Archimides) terdapat bilangan asli sehingga . Terdapat berhingga
bilangan rasional dengan penyebut yang lebih kecil dari K di dalam interval
. Akibatnya dapat dipilih yang kecil sehingga persekitaran
14
yang tidak memuat bilangan rasional dengan penyebut lebih
kecil dari . Oleh karena itu, untuk , berlaku
.
Jadi Fungsi Thomae h kontinu di bilangan irrasional b.
Catatan
(a) Kadang suatu fungsi f : A tidak kontinu di c, dikarenakan ia tidak
terdefinisi di c. Akan tetapi, jika fungsi f mempunyai limit L di titik c,
maka dapat didefinisikan F pada dengan
yang kontinu di c.
(b) Jika fungsi g : A tidak mempunyai limit di c, maka tidak dapat
dibentuk fungsi G pada yang kontinu di c dengan
mendefiniskan
Untuk meyakini ini, perhatikan bahwa jika ada dan sama
dengan C, maka harus ada dan sama dengan C juga.
E. Kombinasi dari Fungsi Kontinu
Teorema:
Misalkan A , f dan g fungsi pada A, dan b . Jika dan fungsi f
dan g kontinu di c, maka
(a) dan kontinu di c.
(b) Jika h : A kontinu di dan jika untuk setiap
maka hasil bagi kontinu di c.
Bukti: Jika bukan titik limit dari A, maka kesimpulan akan terbukti
dengan sendirinya. Oleh karena itu diasumsikan bahwa adalah titik limit
dari A.
(a) Karena f dan g kontinu di c, maka
15
Sehingga dengan Teorema 4.2.4(a) diperoleh
Jadi kontinu di c. Untuk yang lain dapat dibuktikan dengan cara
serupa.
(b) Karena maka Tetapi karena maka
dengan Teorema 4.2.4(b) diperoleh
Jadi kontinu di c.
Teorema:
Misalkan A , f, g fungsi kontinu pada A, dan b , maka
(a) dan kontinu pada A.
(b) Jika h : A kontinu pada A dan jika untuk setiap
maka hasil bagi kontinu pada A.
Contoh:
(a) Fungsi polinomial kontinu pada .
Misalkan untuk semua x . Dari
Contoh 4.2.5 (c) bahwa untuk sebarang c . Jadi
fungsi polinomial kontinu pada .
(b) Fungsi rasional.
Jika p dan q fungsi polinomial pada , maka terdapat berhingga bilangan
akar real dari q. Jika , maka . Akibatnya
dapat didefinisikan fungsi rasional r dengan
untuk .
Jika , maka
.
16
Dengan kata lain, r kontinu di c. Karena c sebarang bilangan real yang
bukan akar dari q, kita simpulkan bahwa fungsi rasional kontinu di
setiap bilangan untuk mana ia terdefinisi.
(c) Fungsi sinus kontinu pada .
Dalam pelajaran kalkulus untuk x, y, z , diperoleh
, ,
.
Sehingga, jika c , maka
.
Oleh karena itu sin kontinu di c. Karena c sebarang, maka sin
kontinu pada .
(d) Fungsi cosinus kontinu pada .
Untuk x, y, z , berlaku
, ,
cos x – cos y = .
Sehingga, jika c , maka
.
Oleh karena itu cos kontinu di c. Karena c sebarang, maka cos
kontinu pada .
(e) Fungsi tan, cot, sec, csc adalah fungsi-fungsi kontinu dimana ia
terdefinisi.
Sebagai contoh, fungsi tangen yang didefinisikan dengan
apabila (yaitu apabila x ≠/2 + n, n N). Karena sin dan cos
kontinu pada , maka fungsi tan kontinu pada domainnya.
Teorema:
Misalkan A R, f : A dan didefiniskan , untuk
(a) Jika f kontinu di , maka kontinu di
17
(b) Jika f kontinu pada A maka kontinu pada A.
Teorema:
Misalkan A , f : A dan untuk semua Selanjutnya
misalkan didefinisikan sebagai untuk
(a) Jika f kontinu di , maka kontinu di
(b) Jika f kontinu pada A maka kontinu pada A.
F. Komposisi dari Fungsi Kontinu
Berikutnya akan ditunjukkan, jika fungsi f : A kontinu di titik c dan jika
g : B kontinu di maka komposisi juga kontinu di c,
dengan syarat
Teorema:
Misalkan A, B , dan misalkan f : A dan g : B adalah fungsi-
fungsi dengan Jika f kontinu di dan g kontinu di
maka fungsi komposisi : A juga kontinu di c.
Bukti: Diberikan sebarang . Misalkan W adalah persekitaran
Karena g kontinu di b, maka terdapat sehingga jika , ,
maka
.
Karena f kontinu di c, maka untuk di atas terdapat sehingga untuk
, , berlaku
.
Dengan kondisi terakhir ini dan (5.2) berlaku . Jadi, jika
, , maka dipenuhi
.
Karena sebarang, maka kontinu di c.
18
Teorema:
Misalkan A, B , misalkan f : A kontinu pada A dan g : B
kontinu pada B. Jika maka fungsi komposisi : A kontinu
pada A.
Contoh:
(a) Misalkan untuk x .
Dengan Ketaksamaan Segitiga
untuk semua x, c . Jadi, kontinu di c . Jika f : A sebarang
fungsi kontinu pada A, maka menurut Teorema 5.2.8 menyatakan bahwa
kontinu pada A. Hasil ini memberikan bukti alternatif dari
Teorema 5.2.5.
(b) Misalkan untuk .
Mudah difahami bahwa kontinu di sebarang . Jika f : A
sebarang fungsi kontinu pada A dan untuk semua , maka
menurut Teorema 5.2.8 menyatakan bahwa kontinu pada A.
Hasil ini memberikan bukti alternatif dari Teorema 5.2.6.
(c) Misalkan untuk x .
Pada Contoh 5.2.3 (c) telah ditunjukkan bahwa kontinu pada . Jika f :
A kontinu pada A, maka menurut Teorema 5.2.8 menyatakan bahwa
kontinu pada A.
Khususnya, jika untuk , maka fungsi
kontinu di setiap titik . Lihat kembali Contoh 5.1.6 (a).
G. Fungsi Kontinu pada Interval
Definisi:
Fungsi f : A dikatakan terbatas pada A jika terdapat konstanta
sehingga untuk semua Dengan kata lain, suatu fungsi
dikatakan terbatas jika jangkauannya terbatas di dalam .
Teorema (Teorema Keterbatasan):
19
Misalkan interval tertutup terbatas dan misalkan f : I . Jika f
kontinu pada I, maka f terbatas pada I.
Bukti: Andaikan f tidak terbatas pada I, maka untuk sebarang n N terdapat
bilangan sehingga Karena I terbatas maka barisan
terbatas. Oleh karena itu dengan Teorema Bolzano Weierstrass akan terdapat
subbarisan yang konvergen ke bilangan real x. Karena I tertutup dan
anggota dari berada di dalam I, maka diperoleh Oleh karena f
kontinu di c, maka konvergen ke . Selanjutnya dari Teorema di
atas disimpulkan bahwa barisan terbatas. Tetapi hal ini kontradiksi
karena
, r .
Jadi pengandaian harus diingkari menjadi f terbatas pada I.
Definisi:
Misalkan A , f : A . Fungsi f dikatakan mempunyai maksimum
mutlak pada A jika terdapat titik sehingga
dan f dikatakan mempunyai minimum mutlak jika terdapat titik
sehingga
Selanjutnya disebut titik maksimum mutlak bagi f pada A dan titik
minimum mutlak bagi f pada A.
Teorema (Teorema Maksimum-Minimum):
Jika interval tertutup terbatas dan f : A kontinu pada I, maka f
mempunyai maksimum mutlak dan minimum mutlak pada I.
Bukti: Perhatikan himpunan yang merupakan jangkuan
dari f pada I. Pada Teorema sebelumnya telah ditunjukkan bahwa
himpunan terbatas. Misalkan dan Akan ditunjukkan
bahwa terdapat titik dan sehingga dan Akan
ditunjukkan eksistensi dari , sedangkan eksistensi dari ditinggalkan
sebagai latihan bagi pembaca.
20
Karena maka s* - 1/n untuk n N bukan batas atas bagi .
Akibatnya terdapat bilangan sehingga
s* - < f(xn) ≤ s* untuk n N
Karena I terbatas maka barisan terbatas. Oleh karena itu dengan
Teorema Bolzano-Weierstrass terdapat subbarisan yang konvergen
ke bilangan . Karena anggota dari berada di dalam I, maka diperoleh
bahwa Tetapi karena f kontinu di , maka .
Akibatnya diperoleh
s* - < f( ) ≤ s* untuk r N.
Dengan Teorema Apit 3.2.6, disimpulkan bahwa . Jadi
diperoleh
yang berarti bahwa adalah titik maksimum mutlak dari f pada I.
Selanjutnya akan diberikan sebuah teorema yang memberikan cara mencari
akar-akar dari fungsi kontinu.
Teorema (Teorema Akar):
Misalkan I adalah interval dan f : I kontinu pada I. Jika adalah
bilangan-bilangan di dalam I sehingga , maka terdapat bilangan
sehingga
Bukti: Misalkan . Misalkan dan . Jika
, maka diambil dan bukti selesai. Jika , maka diambil
, sementara jika , maka diambil . Dalam
kedua kasus jika , maka dan . Proses biseksi ini
diteruskan.
21
Misalkan interval-interval yang ditentukan dengan proses
biseksi sehingga dan . Misalkan . Jika
, maka diambil dan bukti selesai. Jika diambil
, sementara jika diambil . Dalam
hal ini jika , maka
dan .
Jika proses berakhir dengan melokalisasi titik sehingga , bukti
selesai. Jika proses belum berakhir, kita peroleh barisan interval tersarang
, n N. Karena interval-interval ini ditentukan dengan cara
biseksi, maka . Akibatnya dengan Sifat Interval Tersarang
terdapat titik c sehingga untuk semua n N. Karena untuk
semua n N, maka
dan .
Hal ini memberikan . Karena f kontinu di c, maka
.
Di pihak lain, karena untuk semua n N, maka
. Juga karena untuk semua n N, maka
. Dari kedua hal ini, maka haruslah
Teorema (Teorema Nilai Antara Bolzano):
Misalkan I interval dan f : I kontinu pada I. Jika dan k
memenuhi maka terdapat titik yang terletak di antara a
dan b sehingga
Bukti: Jika dan , maka . Dengan Teorema
5.3.5 terdapat bilangan c dengan sehingga , atau
Tetapi jika ambil sehingga . Akibatnya
terdapat titik c dengan sehingga , yang berarti
22
Teorema:
Jika I interval tertutup terbatas dan f : I kontinu pada I, maka himpunan
juga merupakan interval tertutup terbatas.
Bukti: Misalkan dan maka dari Teorema 5.3.4, m
dan M berada di dalam Lebih lanjut,
Sebaliknya, jika k adalah sebarang anggota dari maka akan terdapat
titik sehingga Jadi, Karena k sebarang, maka dapat
disimpulkan bahwa Dari kedua ketaksamaan yang diperoleh
tersebut, dapat disimpulkan bahwa yang berarti bahwa
juga merupakan interval tertutup terbatas.
Catatan: Jika interval dan f : I kontinu pada I, maka telah
dibuktikan bahwa adalah interval . Tetapi dalam hal ini tidak
selalu interval .
BAB IIIDIFERENSIASI
A. Derivatif
Definisi:
Misalkan I adalah interval, fungsi f : I , dan Bilangan real L
dikatakan derivatif dari f di c jika diberikan sebarang bilangan terdapat
bilangan sehingga untuk setiap dengan
berlaku
Dalam hal ini dikatakan bahwa f diferensiabel di c, dan L ditulis dengan
.
23
Dengan kata lain, derivatif dari f di c diberikan oleh limit
asalkan limitnya ada. Sebagai akibat ketunggalan limit fungsi, maka derivatif
(jika ada) dari fungsi di suatu titik adalah tunggal.
Catatan: Domain fungsi f tidak harus berupa interval (karena titik c yang
diperlukan hanyalah elemen dari domain yang sekaligus titik limit dari domain
tersebut). Hanya saja, akan lebih mudah bagi pembaca untuk memahami
pengertian derivatif pada fungsi yang terdefinisi pada interval. Oleh karena itu,
pembahasan dibatasi pada fungsi yang demikian.
Contoh:
(a) Jika untuk x , maka untuk setiap c ,
.
Dalam hal ini, fungsi terdefinisi pada dan untuk x .
(b) Fungsi diferensiabel di 0 dengan
.
(c) Jika , x , maka h tidak diferensiabel di 0. Karena untuk
,
sehingga tidak ada.
Sekarang ditunjukkan bahwa kekontinuan dari f di titik c adalah syarat perlu
(tetapi bukan syarat cukup) bagi eksistensi derivatif dari f di c.
Teorema:
Jika fungsi f : I diferensiabel di , maka f kontinu di titik c.
Bukti: Untuk sebarang , , diperoleh
24
.
Karena ada, maka dengan mengaplikasikan teorema perkalian limit
diperoleh
.
Jadi , sehingga f kontinu di c.
Kekontinuan fungsi di suatu titik tidak menjamin eksistensi derivatif fungsi di
titik tersebut. Sebagai contoh, fungsi h kontinu di titik 0 tetapi h tidak
diferensiabel di titik tersebut. Jadi, kekontinuan fungsi di suatu titik, bukan
syarat cukup agar fungsi tersebut diferensiabel di titik tersebut.
Terdapat beberapa sifat-sifat dasar dari derivatif yang sangat berguna dalam
menghitung derivatif dari berbagai kombinasi fungsi. Sekarang akan diberikan
justifikasi dari sifat-sifat dasar tersebut yang akan dikenal bagi mahasiswa
tingkat awal.
Teorema:
Jika I adalah interval, , dan fungsi f, g : I , adalah fungsi-
fungsi yang diferensiabel di c, maka
(a) Jika , maka fungsi diferensiabel di c dan
,
(b) Fungsi diferensiabel di c dan
,
(c) (Aturan perkalian) Fungsi diferensiabel di c dan
,
(d)(Aturan pembagian) Jika , maka fungsi diferensiabel di c, dan
.
Bukti:
(c ) Misalkan , untuk , diperoleh
25
Karena g kontinu di c, dengan Teorema 6.1.3, maka .
Karena f dan g diferensiabel di c, dari teorema limit perkalian fungsi,
disimpulkan bahwa
Jadi diferensiabel di c dan persamaan (6.5) dipenuhi.
(d) Misalkan . Karena g diferensiabel di c, maka g kontinu di c.
Karena , maka terdapat interval dengan sehingga
untuk setiap . Untuk , , diperoleh
Dengan memanfaatkan kekontinuan dari g di c dan bahwa f dan g
diferensiabel di c, disimpulkan bahwa
Dengan induksi matematika teorema di atas dapat dikembangkan aturan
diferensiasi berikut.
Jika adalah fungsi-fungsi dari interval I ke yang diferensiabel di
c, maka
(a) Fungsi diferensiabel di c, dan
,
(b) Fungsi diferensiabel di c, dan
26
Khususnya, jika maka
Catatan:
Jika I adalah interval dan fungsi f : I , kita telah memperkenalkan
notasi untuk menyatakan fungsi yang domainnya adalah subset dari I dan
nilainya di titik c adalah derivatif dari f di titik c. Ada notasi lain yang
kadang-kadang digunakan untuk ; sebagai contoh, ada yang menulis Df
untuk .Oleh karena itu,
, D(fg) = (Df).g + f.(Dg)
Ketika x adalah variabel bebas, dalam perkuliahan awal, pada umumnya
ditulis . Sehingga
.
B. Aturan Rantai
Teorema diferensiasi pada fungsi komposisi berikut dikenal sebagai “Aturan
Rantai”. Teorema ini memberikan bentuk derivatif dari fungsi komposisi .
Jika f diferensiabel di c dan g diferensiabel di , maka akan ditunjukkan
bahwa derivatif dari fungsi komposisi di c adalah ( )(c) = (
). Dalam hal ini dapat ditulis dengan
.
Ide dari aturan rantai didapat dari pengamatan bahwa
.
27
Tetapi sayangnya faktor pertama dalam perkalian di atas dapat saja tidak
terdefinisi, yaitu pada saat penyebutnya bernilai 0 untuk nilai dari
x yang mendekati c dan hal ini merupakan suatu permasalahan. Hasil berikut
akan mengatasi masalah tersebut.
Teorema (Aturan Rantai):
Misalkan I, J adalah interval-interval di dalam R, g : I dan f : J
. Jika f diferensiabel di dan g diferensiabel di , maka fungsi
komposisi diferensiabel di c dan
Bukti: Misalkan d = f(c) dan G didefinisikan pada I dengan
Karena g diferensiabel di d, maka diperoleh . Jadi, G
juga kontinu di d. Sekarang, karena f kontinu di c dan dari teorema
komposisi fungsi kontinu, maka kontinu di c, yaitu
.
Selanjutnya dari definisi G diperoleh bahwa
untuk setiap .
Oleh karena itu, jika diperoleh
Akibatnya diperoleh:
.
Jadi, diferensiabel di cI.
Jika g diferensiabel pada I dan f diferensiabel pada J, maka dengan Aturan
rantai diperoleh , yang juga dapat ditulis sebagai
.
Contoh:
28
(a) Jika f : I diferensiabel pada I dan untuk y , n N,
maka Sehingga dengan Aturan rantai diperoleh
untuk Oleh karena itu diperoleh untuk
semua
(b) Misalkan f : I diferensiabel pada I, ,dan untuk
Jika untuk , maka , . Sehingga
diperoleh
untuk
(c) Jika dan untuk x , maka
dan untuk x . Dengan menggunakan fakta ini dan
definisi
untuk x ≠ (2k + 1), k N, maka dengan mengaplikasikan Aturan Pembagian,
diperoleh
dan
untuk x ≠ (2k + 1), k N.
C. Fungsi Invers
Teorema:
Misalkan I adalah interval dan fungsi f : I monoton murni dan
kontinu pada I. Misalkan dan g : J monoton murni dan
merupakan fungsi invers kontinu dari f. Jika f diferensiabel di dan
, maka g diferensiabel di , dan
29
Bukti: Untuk didefinisikan
Karena g : J monoton murni, maka untuk dengan
, sehingga H well-defined pada J. Juga karena , maka
diperoleh
,
sehingga untuk .
Akan dibuktikan bahwa . Diberikan sebarang . Karena f
diferensiabel di , maka terdapat sehingga untuk
, berlaku
.
Tetapi karena g kontinu di , maka untuk di atas, terdapat
sehingga untuk berlaku
.
Karena g satu-satu dan , diperoleh untuk
. Hal ini mengakibatkan
apabila . Karena sebarang, maka .
Tetapi, telah diketahui sebelumnya bahwa untuk .
Karena
untuk , maka disimpulkan bahwa
Jadi, ada dan nilainya sama dengan
30
Teorema:
Misalkan I adalah interval dan fungsi f : I monoton murni pada I.
Misalkan dan g : J merupakan fungsi invers dari f. Jika f
diferensiabel pada I dan untuk , maka g diferensiabel pada J,
dan
Bukti: Jika f diferensiabel pada I, maka f kontinu pada I. Sehingga dengan
Teorema Invers Kontinu, fungsi invers g kontinu pada J.
Catatan: Jika f : I dan g : J fungsi-fungsi yang monoton murni.
Telah ditunjukkan bahwa jika untuk x I, maka g diferensiabel
pada J , maka:
untuk y J
atau dalam bentuk
untuk x I.
Dapat juga ditulis dalam bentuk g’(y) = 1/f’(x).
Contoh:
Misalkan n N bilangan genap, , dan untuk . Dapat
ditunjukkan bahwa f naik murni dan kontinu pada I, sehingga untuk
, fungsi invers juga merupakan fungsi naik murni dan
kontinu pada J. Lebih lanjut, diperoleh untuk . Akibatnya,
jika , maka ada, dan
.
Oleh karena itu dapat disimpulkan bahwa
untuk .
Tetapi, g tidak diferensiabel di 0.
31
BAB IVINTEGRAL RIEMANN
A. Jumlah Riemann
Misalkan sebuah fungsi f yang didefinisikan pada selang tertutup . pandang
suatu partisi p dari selang menjadi n selang bagian (tidak perlu panjangnya
sama) memakai titik-titik . andaikan . pada setiap selang, ambillah sebarang
titik, kita sebut sebagai titik sampel untuk suatu selang bagian ke-i. bentuklah
penjumlahan
Yang selanjutnya kita sebut sebagai jumlah Riemann untuk f yang berpadanan
dengan partisi P
B. Integral Tentu (Integral Reimann)Andaikan f suatu fungsi yang didefinisikan pada selang tutup . Jika ada
, kita katakan f adalah terintegralkan pada . Lebih
32
lanjut, disebut integral tentu (Integral Reimann) f dari a ke b,
diberikan oleh = .
C. Integral Tak Tentu
Manakala integral tertentu adalah sebuah bilangan yang besarnya ditentukan
dengan mengambil limit penjumlahan Riemann, yang diasosiasikan dengan
partisi interval tertutup yang norma partisinya mendekati nol, teorema dasar
kalkulus (lihat bagian bawah) menyatakan bahwa integral tertentu sebuah
fungsi kontinu dapat dihitung dengan mudah apabila kita dapat mencari
antiturunan/antiderivatif fungsi tersebut.
Apabila
Keseluruhan himpunan antiturunan/antiderivatif sebuah fungsi ƒ adalah
integral tak tentu ataupun primitif dari ƒ terhadap x dan dituliskan secara
matematis sebagai:
Ekspresi F(x) + C adalah antiderivatif umum ƒ dan C adalah konstanta
sembarang.
Misalkan terdapat sebuah fungsi , maka integral tak tentu ataupun
antiturunan dari fungsi tersebut adalah:
Perhatikan bahwa integral tertentu berbeda dengan integral tak tentu. Integral
tertentu dalam bentuk adalah sebuah bilangan, manakala integral
tak tentu : adalah sebuah fungsi yang memiliki tambahan konstanta
sembarang C.
D. Teorema Dasar Kalkulus
33
Teorema dasar kalkulus menyatakan bahwa turunan dan integral adalah dua
operasi yang saling berlawanan. Lebih tepatnya, teorema ini menghubungkan
nilai dari anti derivatif dengan integral tertentu. Karena lebih mudah
menghitung sebuah anti derivatif daripada menerapkan definisi integral
tertentu, teorema dasar kalkulus memberikan cara yang praktis dalam
menghitung integral tertentu.
Teorema dasar kalkulus menyatakan:
Jika sebuah fungsi f adalah kontinu pada interval [a,b] dan jika F adalah fungsi
yang mana turunannya adalah f pada interval (a,b), maka
Lebih lanjut, untuk setiap x di interval (a,b),
Sebagai contohnya apabila kita hendak menghitung nilai integral ,
daripada menggunakan definisi integral tertentu sebagai limit dari penjumlahan
Riemann (lihat bagian atas), kita dapat menggunakan teorema dasar kalkulus
dalam menghitung nilai integral tersebut. Anti derivatif dari fungsi
adalah . Oleh sebab itu, sesuai dengan teorema dasar kalkulus,
nilai dari integral tertentu adalah:
Apabila kita hendak mencari luas daerah A dibawah kurva y=x pada interval
[0,b], b>0, maka kita akan dapatkan:
Perhatikan bahwa hasil yang kita dapatkan dengan menggunakan teorema
dasar kalkulus ini adalah sama dengan hasil yang kita dapatkan dengan
34
menerapkan definisi integral tertentu (lihat bagian atas). Oleh karena lebih
praktis, teorema dasar kalkulus sering digunakan untuk mencari nilai integral
tertentu.
35