Sveu£ili²te J. J. Strossmayera u Osijeku

Odjel za matematiku

Ana Kozi¢

Lebesgueova mjera i geometrijska vjerojatnost

Diplomski rad

Osijek, 2015.

Sveu£ili²te J. J. Strossmayera u Osijeku

Odjel za matematiku

Ana Kozi¢

Lebesgueova mjera i geometrijska vjerojatnost

Diplomski rad

Mentor: doc. dr. sc. Dragana Jankov Ma²irevi¢

Osijek, 2015.

Sadrºaj

1 Uvod 4

2 Povijesni pregled 5

3 Osnovno o teoriji mjere 63.1 σ-algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63.2 Mjera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93.3 Vanjska mjera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

4 Lebesgueova mjera 174.1 Lebesgueova vanjska mjera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174.2 Lebesgueova mjera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

5 Geometrijska vjerojatnost 245.1 Vjerojatnosni prostor kao prostor mjere . . . . . . . . . . . . . . . . . 245.2 Denicija geometrijske vjerojatnosti pomo¢u Lebesgueove mjere . . . 265.3 Primjeri geometrijske vjerojatnosti u svakodnevnom ºivotu . . . . . . 29

Literatura 35

Saºetak 37

Title and summary 38

ivotopis 39

1 Uvod

U ovom radu obraeni su neki osnovni pojmovi teorije mjere i vjerojatnosti kao ²tosu σ-algebra, mjera, vanjska mjera, vjerojatnost, te je dana veza izmeu Lebesgueovemjere i deniranja geometrijske vjerojatnosti.

Teorija mjere svoj razvoj zapo£ela je krajem 19. stolje¢a, a zbog primjene ugotovo svakoj grani analize i brojnim podru£jima zike predstavlja zna£ajni diopovijesti matematike 20. stolje¢a. U ovom radu vidjet ¢emo primjenu teorije mjereunutar teorije vjerojatnosti koja se od ºelje za sigurnim dobitkom do matemati£kediscipline razvila u 17. stolje¢u. Ona je matemati£ki temelj statistike, uvelike seprimjenjuje i u raznim podru£jima zike, a njome se koriste i brojne ra£unalnesimulacije.

U poglavlju 2 navedene su neke zanimljive £injenice iz povijesti razvoja teorijemjere i teorije vjerojatnosti, a vi²e detalja £itatelj moºe prona¢i u [1].Osnovni alati potrebni za deniranje Lebesgueove mjere nalaze se u poglavlju 3. Utom poglavlju je opisana domena mjere, zatim je dana njena denicija te su nave-dena njena osnovna svojstva. Takoer je denirana i vanjska mjera te je iskazanCarathéodoryjev teorem koji je vrlo bitan za konstrukciju Lebesgueove mjere kojaje detaljno obraena u poglavlju 4.Geometrijsku vjerojatnost denirat ¢emo u poglavlju 5 upravo pomo¢u Lebesgu-eove mjere te ¢emo dati nekoliko zanimljivih primjera geometrijske vjerojatnosti usvakodnevnom ºivotu.

4

2 Povijesni pregled

Teorija mjere razvila se zbog potrebe ra£unanja duljine, povr²ine, volumena, itd.sloºenijih podskupova od R, odnosno Rd, d ∈ N. Jedan od njenih za£etnika je iÉmile Borel. On je uveo pojam mjere na skupu realnih brojeva, koja je poznata kaoBorelova mjera, a skupovi koje ona mjeri nazivaju se Borelovi skupovi. Klju£na idejabilo je svojstvo prebrojive aditivnosti mjere, poznato i pod nazivom σ-aditivnost,koje kaºe da je mjera unije prebrojivo mnogo disjunktnih skupova jednaka zbrojumjera tih skupova. Borel je svoju teoriju zapo£eo s familijama otvorenih intervaladodjeljuju¢i im kao mjeru njihovu duljinu, a kasnije je nadograivao tu familiju do-davaju¢i komplemente i unije skupova koji su se nalazili u toj familiji. Dobivenafamilija skupova danas je svima poznata kao σ-algebra, a o njoj ¢emo detaljnije go-voriti u poglavlju koje slijedi.Borelov rad je pojednostavio i pro²irio Henri Léon Lebesgue razvijaju¢i teoriju inte-gracije na kojoj po£iva dana²nja analiza. Njegovo glavno dostignu¢e je pro²irivanjeRiemannovog integrala u doktorskoj disertaciji iz 1902. godine. Tada je dao novudeniciju beskona£nog integrala-Lebesgueov integral. Za deniranje Lebesgueovogintegrala, izmeu ostalog, bilo je potrebno do¢i najprije do Lebesgueove mjere ko-joj ¢emo posvetiti puno pozornosti u ovom radu te ¢emo pomo¢u nje denirati igeometrijsku vjerojatnost.

Geometrijska vjerojatnost se prvi puta javlja oko 1665. godine u privatnimrukopisima Isaaca Newtona koji se bavio problemom odreivanja vjerojatnosti da¢e lopta zanemarive veli£ine, ba£ena u krug na slu£ajan na£in, pogoditi jedan oddvaju nejednakih podru£ja kruga. Navedimo jo² nekoliko poznatih problema vezanihuz geometrijsku vjerojatnost:

• Buonov problem nazvan po Georges-Louisu L. Buonu obraen je u mnogim£lancima (vidi npr. [8]).

• Bertrandov paradoks kao primjer koji je smislio Joseph Bertrand koji pokazujeda vjerojatnosti ne moraju biti dobro odreene ako metoda kojom generiramoslu£ajnu varijablu nije jasno zadana (vidi npr. [10]).

• Sylvestrov problem £etiri to£ke koji se bavi ra£unanjem vjerojatnosti da jekonveksna ljuska £etiri slu£ajno odabrane komplanarne to£ke £etverokut. Tajproblem osmislio je James Joseph Sylvester (vidi npr. [15]).

5

3 Osnovno o teoriji mjere

Jedan od glavnih pojmova na kojem se temelje rezultati navedeni u ovome radu jemjera. Takoer, i sama vjerojatnost je specijalna mjera, ²to ¢emo objasniti u 5.poglavlju rada.Matemati£ki gledano, mjera je matemati£ki alat koji je usko povezan s pojmom 'veli-£ina'. Ukoliko s X ozna£imo univerzalni skup, tj. skup koji je nadskup svih skupovakoje ¢emo promatrati, onda mjera nekom skupu A ⊆ X jednozna£no pridruºuje vri-jednost µ(A) koju zovemo mjera skupa A. To je naj£e²¢e nenegativan broj koji moºepredstavljati npr. visinu objekta, njegovu teºinu ili povr²inu, volumen, temperaturuitd. Prirodno je brzopleto pretpostaviti da je µ funkcija

µ : P(X)→ R,

gdje je P(X) := A : A ⊆ X partitivni skup od X koji £esto ozna£avamo i s 2X ,meutim u stvarnosti se to te²ko postiºe. Umjesto toga za domenu mjere uzimamomanju familiju podskupova skupa X na kojoj ¢e mjera biti 'dobro' denirana. Sku-pove takve domene nazivamo izmjerivima i oni ¢e nam biti zanimljivi. Skupove kojinisu u domeni, a podskupovi su od X, nazivamo neizmjerivima i njihovo postojanje¢emo ignorirati kada je god to mogu¢e. Zamislimo, na primjer, da poput starihGrka ºelimo zapisati sve realne brojeve u obliku cjelobrojnih razlomaka. Naravno,mi danas znamo da tako moºemo zapisati samo racionalne brojeve pa su prematome iracionalni brojevi u ovom slu£aju neizmjerivi. Dakle, da bismo mogli deni-rati mjeru, najprije je potrebno denirati odgovaraju¢u domenu. U nastavku ¢emovidjeti da ¢e ta domena biti familija podskupova od X koja zadovoljava odreenasvojstva, a koju zovemo σ-algebra i uobi£ajeno ozna£avamo s A.

3.1 σ-algebra

Ukoliko ºelimo ispuniti uvjet da mjerenje ne ovisi o objektima koje mjerimo (izmje-rivim skupovima familije A), potrebno je da familija A tvori σ-algebru.

Denicija 1. Familiju A podskupova skupa X nazivamo σ-algebra skupova naskupu X ukoliko zadovoljava sljede¢a svojstva:

(σ1) X ∈ A,

(σ2) ako je A ∈ A onda je i Ac ∈ A,

(σ3) za svaki niz (Ai)i∈N skupova iz A vrijedi⋃i∈NAi ∈ A.

Ureeni par (X,A) zovemo izmjeriv prostor , dok elemente familije A nazivamo,kao ²to smo ranije naveli, izmjerivim skupovima.

6

Svojstvo (σ2) σ-algebre na skupu X nazivamo zatvorenost na komplementiranje,dok svojstvo (σ3) zovemo zatvorenost na prebrojive unije. Jednostavno je za uo£itida je svojstvo (σ1) ekvivalentno svojstvu ∅ ∈ A jer je ∅ = Xc. Sli£no, pomo¢u (σ2)i (σ3) moºe se pokazati da je svojstvo (σ3) ekvivalentno svojstvu zatvorenosti naprebrojive presjeke.Uo£imo da je najve¢a σ-algebra skupova na skupu X upravo njegov partitivni skup2X , dok je najmanja σ-algebra na X dvo£lan skup ∅, X.

Iskaºimo nekoliko osnovnih tvrdnji o σ-algebri koje proizlaze iz njene denicije,a koje ¢e nam biti potrebne u nastavku.

Propozicija 1. Presjek⋂i∈I Ai proizvoljno mnogo σ-algebri Ai na skupu X je ta-

koer σ-algebra na skupu X.

Napomena 1. Unija σ-algebri ne mora biti σ-algebra.

Npr. neka je X = a, b, c te A1 = ∅, X, a, b, c i A2 = ∅, X, b, a, cdvije σ-algebre na X. Budu¢i da unija A1 ∪ A2 = ∅, X, a, b, b, c, a, c naprimjer ne sadrºi element a, b, nije zadovoljeno svojstvo (σ3) pa A1 ∪ A2 nijeσ-algebra na skupu X.

Korolar 1. Za bilo koju familiju F podskupova skupa X postoji najmanja σ-algebrakoja sadrºi tu familiju i jednaka je upravo sljede¢em skupu:

σ(F) :=⋂A : A je σ − algebra, F ⊆ A.

Za σ(F) kaºemo da je σ-algebra generirana familijom F .

Dokaz. Iz prethodne propozicije jasno je da je σ(F) uistinu σ-algebra, a da jeto najmanja σ-algebra koja sadrºi familiju F proizlazi iz £injenica da je i ona samasadrºana u presjeku.

Napomena 2.

(i) Ako je A σ-algebra na skupu X onda vrijedi σ(A) = A.

(ii) Neka su F i G familije podskupova skupa X takve da je F ⊆ G. Tada vrijediσ(F) ⊆ σ(G).

Propozicija 2. Za bilo koju familiju F podskupova skupa X vrijedi

σ(F) = σ(F c),

gdje je F c = F c : F ∈ F.

7

Dokaz. Prema prethodnom korolaru σ(F) je σ-algebra. Kako je F ⊆ σ(F), izzatvorenosti σ(F) na komplementiranje slijedi F c ⊆ σ(F), iz £ega zaklju£ujemo daje σ(F c) ⊆ σ(F). Analogno se dobije σ(F) ⊆ σ(F c).

U ovom radu velikim dijelom bavit ¢emo se ra£unanjem mjere raznih podskupovaskupa R. U povijesnom pregledu ve¢ smo spomenuli da se mjera na skupu R nazivaBorelovom. tovi²e, mjera na skupu R naziva se i Lebesgueovom jer je domenaBorelove mjere sadrºana u domeni Lebesgueove mjere ²to ¢emo i dokazati u poglavlju4. Najprije uvedimo preciznu deniciju Borelove σ-algebre.

Denicija 2. σ-algebru na skupu R generiranu familijom svih otvorenih skupovazovemo Borelova σ-algebra i ozna£avamo s B(R), a njezine £lanove zovemo Bo-

relovi skupovi .

Sljede¢im teoremom pokazat ¢emo izuzetno vaºnu £injenicu kako Borelovu σ-algebru generiraju familije svih mogu¢ih vrsta intervala realnih brojeva.

Teorem 1. Borelovu σ-algebru B(R) generiraju sljede¢e familije:

(i) F1 := F ⊆ R : F zatvoren,

(ii) F2 := (−∞, b) : b ∈ R,

(iii) F3 := [a,∞) : a ∈ R,

(iv) F4 := (−∞, b] : b ∈ R,

(v) F5 := (a,∞) : a ∈ R,

(vi) F6 := (a, b] : a, b ∈ R,

(vii) F7 := [a, b] : a, b ∈ R,

(viii) F8 := (a, b) : a, b ∈ R,

(ix) F9 := [a, b) : a, b ∈ R.

Dokaz. Pokazat ¢emo sljede¢e:

B(R) = σ(F1) ⊇ σ(F2) = σ(F3) ⊇ σ(F4) = σ(F5) ⊇ σ(F6) ⊇ σ(F7) ⊇ σ(F8)

⊇ σ(F9) ⊇ B(R)

Sve navedene jednakosti proizlaze iz Propozicije 2.U sljede¢im koracima dokaza koristit ¢emo svojstva zatvorenosti σ-algebre obziromna komplementiranje, prebrojive unije i prebrojive presjeke.

8

(ii) Kako je (−∞, b) = [b,∞)c ∈ σ(F1), a σ(F2) najmanja σ-algebra koja sadrºiF2, slijedi σ(F2) ⊆ σ(F1).

(iv) Kako je (−∞, b] =⋂i∈N

(−∞, b +

1

i

)=

(⋃i∈N

[b +

1

i,∞))c

∈ σ(F3), a σ(F4)

najmanja σ-algebra koja sadrºi F4, slijedi σ(F4) ⊆ σ(F3).

(vi) Kako je (a, b] = (a,∞) ∩ (−∞, b] = (a,∞) ∩ (b,∞)c ∈ σ(F5), zaklju£uju¢i kaoiznad dobivamo σ(F6) ⊆ σ(F5).

(vii) Kako je [a, b] =⋂i∈N

(a− 1

i, b]∈ σ(F6), analogno slijedi σ(F7) ⊆ σ(F6).

(viii) Iz jednakosti (a, b) =∞⋃i=i0

[a +

1

i, b − 1

i

]koja vrijedi za svaki dovoljno velik

prirodan broj i0 dobivamo σ(F8) ⊆ σ(F7).

(ix) Iz jednakosti [a, b) =⋂i∈N

(a− 1

i, b)∈ σ(F8) slijedi da je σ(F9) ⊆ σ(F8).

Ozna£imo s U familiju otvorenih skupova na R. O£ito je σ(U) = B(R). Svaki U ∈ Umoºe se prikazati kao kona£na ili prebrojiva unija meusobno disjunktnih intervalaoblika [a, b), takvih da su a, b ∈ R i a ≤ b (vidi [6, str. 20]), odakle slijedi posljednjainkluzija, tj. B(R) ⊆ σ(F9).

Budu¢i da ¢e nam to biti potrebno kasnije, napomenimo jo² kako Borelovu σ-algebru moºemo denirati i na skupovima Rd, d ∈ N, d > 1 te je ta σ-algebra,B(Rd), generirana familijom otvorenih skupova u Rd.

3.2 Mjera

Nakon ²to smo denirali odgovaraju¢u domenu za mjeru, prije uvoenja njezinedenicije obratimo pozornost jo² i na skup R koji ¢e biti kodomena mjere, a pred-stavlja pro²ireni skup realnih brojeva, tj. R = R∪−∞,∞, dok se koristi i oznaka[−∞,∞]. U [6, str. 27] £itatelj moºe istraºiti kako se pro²iruje ureaj te operacijezbrajanja i mnoºenja sa skupa R na R.

Denicija 3. Mjera na σ-algebri A je svako preslikavanje µ : A → R sa svojstvima:

(µ1) (nenegativnost) µ(A) ≥ 0 za svaki A ∈ A,

(µ2) µ(∅) = 0,

9

(µ3) (σ-aditivnost) za svaki niz (Ai)i∈N disjunktnih skupova iz A vrijedi:

µ

( ∞⋃i=1

Ai

)=∞∑i=1

µ(Ai).

Broj µ(A) zovemo mjera skupa A, a ureenu trojku (X,A, µ) prostor mjere.Nadalje, kaºemo da je mjera µ kona£na ako je µ(X) <∞, dok za mjeru µ kaºemoda je σ-kona£na ako postoji niz (Ai)i∈N skupova iz A takvih da je X =

⋃∞i=1Ai i

µ(Ai) <∞ za svaki i ∈ N.Skup A ∈ A je σ-kona£an obzirom na mjeru µ ako se moºe prikazati kao prebrojivaunija nekih skupova kona£ne µ-mjere.

Navedimo nekoliko jednostavnih primjera mjere.

Primjer 1. Neka je (X,A) izmjeriv prostor. Funkcija µ : A → [0,∞] denirana s

1. (Trivijalna mjera) µ(A) := 0 za svaki A ∈ A je mjera.

2. (Diskretna mjera ili mjera prebrojavanja)

µ(A) :=

n, A kona£an skup s n elemenata∞, A beskona£an skup

takoer je mjera.

3. (Diracova delta mjera) Za to£ku x ∈ X funkcija δx : A → [0,∞] denirana s

δx(A) :=

1, x ∈ A0, x /∈ A

je mjera.

Napomena 3. Neka je (X,A, µ) prostor mjere. Ako je µ(X) = 1, onda za mjeruµ kaºemo da je vjerojatnosna mjera ili vjerojatnost.

Na prethodnu napomenu pozvat ¢emo se u poglavlju 5.2 pri dokazivanju da jegeometrijska vjerojatnost takoer vjerojatnosna mjera.

Kako bismo se lak²e sluºili mjerom, navedimo njena osnovna svojstva.

Propozicija 3. (Osnovna svojstva mjere) Neka je (X,A, µ) prostor mjere.

(i) (monotonost) Ako su A,B ∈ A takvi da je A ⊆ B, onda je µ(A) ≤ µ(B).Specijalno, ako je µ(A) <∞, onda je µ(B\A) = µ(B)− µ(A).

10

(ii) (σ-subaditivnost) Za svaki niz (Ai)i∈N skupova iz A vrijedi

µ

( ∞⋃i=1

Ai

)≤

∞∑i=1

µ(Ai).

(iii) (neprekidnost na rastu¢e nizove) Za svaki rastu¢i niz (Ai)i∈N skupova iz Avrijedi

µ

( ∞⋃i=1

Ai

)= lim

n→∞µ(An).

(iv) (neprekidnost na padaju¢e nizove) Za svaki padaju¢i niz (Ai)i∈N skupova iz Au kojemu je µ(A1) <∞ vrijedi

µ

( ∞⋂i=1

Ai

)= lim

n→∞µ(An).

Dokaz.

(i) Kako su A,B ∈ A, iz (σ2) i (σ3) slijedi da su i Ac te B\A = B ∩Ac ∈ A. SkupB moºemo prikazati na sljede¢i na£in: B = A ∪ (B\A), a kako znamo da jeA ∩ (B\A) = ∅ zbog nenegativnosti i σ-aditivnosti mjere vrijedi

µ(B) = µ(A ∪ (B\A)) = µ(A) + µ(B\A) ≥ µ(A).

Jasno je da ukoliko pretpostavimo da je µ(A) < ∞, iz prethodne jednakostidobivamo µ(B\A) = µ(B)− µ(A).

(ii) Za po£etak denirajmo niz skupova (Bi)i∈N ∈ A :

B1 := A1, Bi := Ai\i−1⋃k=1

Ak, i ≥ 2.

Iz same denicije skupova Bi o£ito je Bi ⊆ Ai pa (i) povla£i µ(Bi) ≤ µ(Ai).Kako su skupovi Bi meusobno disjunktni te je

⋃∞i=1Bi =

⋃∞i=1Ai zbog σ-

aditivnosti mjere µ vrijedi:

µ

( ∞⋃i=1

Ai

)= µ

( ∞⋃i=1

Bi

)=∞∑i=1

µ(Bi) ≤∞∑i=1

µ(Ai),

iz £ega dobivamo traºenu nejednakost.

11

(iii) Neka je (Ai)i∈N rastu¢i niz skupova izA. Neka su pomo¢ni skupoviBi deniranikao u tvrdnji (ii). Zbog pretpostavke A1 ⊆ A2 ⊆ . . . vrijedi

⋃ni=1Bi = An, ²to

povla£i

µ(An) = µ

( n⋃i=1

Bi

)=

n∑i=1

µ(Bi).

Koriste¢i prethodnu jednakost dobivamo:

µ

( ∞⋃i=1

Ai

)= µ

( ∞⋃i=1

Bi

)=∞∑i=1

µ(Bi) = limn→∞

n∑i=1

µ(Bi) = limn→∞

µ(An).

(iv) Neka je niz (Ai)i∈N skupova iz A padaju¢i i µ(A1) <∞. Primjetimo da skupoviA1\Ai = A1 ∩ Aci ∈ A tvore rastu¢i niz. Vrijedi

∞⋃i=1

(A1\Ai) =∞⋃i=1

(A1∩Aci) = A1∩( ∞⋃i=1

Aci

)= A1∩

( ∞⋂i=1

Ai

)c= A1\

∞⋂i=1

Ai ∈ A.

Primjenjuju¢i prethodno dokazanu tvrdnju dobivamo

µ(A1\

∞⋂i=1

Ai

)= µ

( ∞⋃i=1

(A1\Ai))

= limn→∞

µ(A1\An). (1)

Budu¢i da je ∩∞i=1Ai ⊆ An ⊆ A1 te µ(A1) <∞, prema (i) slijedi

µ( ∞⋂i=1

Ai

)≤ µ(An) ≤ µ(A1) <∞

pa se, takoer prema (i), desna strana jednakosti (1) moºe raspisati £imedobivamo

µ(A1\

∞⋂i=1

Ai

)= µ(A1)− µ

( ∞⋂i=1

Ai

)= lim

n→∞(µ(A1)− µ(An))

= µ(A1)− limn→∞

µ(An),

iz £ega slijedi traºena jednakost.

12

3.3 Vanjska mjera

U ovom poglavlju denirat ¢emo vanjsku mjeru. Ona ¢e nam biti od velike vaºnostiza deniranje Lebesgueove vanjske mjere, a upravo ¢emo od Lebesgueove vanjskemjere, uz pomo¢ Carathéodoryjeva teorema, koji ¢e takoer biti dokazan u ovompoglavlju, konstruirati Lebesgueovu mjeru.

Denicija 4. Neka je dan skup X i njegov partitivan skup 2X . Vanjska mjera jefunkcija µ∗ : 2X → [0,∞] koja ima sljede¢a svojstva:

(µ∗1) µ∗(∅) = 0,

(µ∗2) (monotonost) ako su A, B ⊆ X takvi da je A ⊆ B, tada je µ∗(A) ≤ µ∗(B),

(µ∗3) (σ-subaditivnost) za svaki niz (Ai)i∈N skupova iz X vrijedi:

µ∗( ∞⋃i=1

Ai

)≤

∞∑i=1

µ∗(Ai).

Iz denicije je jasno vidljivo da je mjera ujedno i vanjska mjera ako i samo akoje domena mjere jednaka domeni vanjske mjere, tj. 2X .Neka je dan prostor mjere (X,A, µ) i neka je B ksan izmjeriv skup iz A. Za svakiskup A ∈ A vrijedi:

A = A ∩X = A ∩ (B ∪Bc) = (A ∩B) ∪ (A ∩Bc),

pa je iz σ-aditivnosti mjere o£ito

µ(A) = µ(A ∩B) + µ(A ∩Bc).

Vanjska mjera, naime, nema to svojstvo tj. ako je µ∗ vanjska mjera, µ∗ : 2X → [0,∞]i B ∈ 2X proizvoljan skup onda iz svojstva σ-subaditivnosti slijedi:

µ∗(A) ≤ µ∗(A ∩B) + µ∗(A ∩Bc). (2)

Oni skupovi B ∈ 2X za koje se postiºe jednakost prethodnog izraza bit ¢e namposebno zanimljivi te ih stoga u nastavku deniramo.

Denicija 5. Neka je µ∗ : 2X → [0,∞] vanjska mjera na skupu X. Kaºemo da jeskup B ⊆ X µ∗-izmjeriv ako je

µ∗(A) = µ∗(A ∩B) + µ∗(A ∩Bc), ∀A ⊆ X.

13

U nastavku navodimo, s dokazom, vrlo vaºan teorem koji predstavlja jedno odzna£ajnih postignu¢a matemati£ara Constantina Carathéodoryja. Taj teorem nosinjegovo ime, a koristimo ga za konstrukciju mnogih mjera. U nastavku rada upravo¢e nam taj teorem posluºiti kao alat za konstrukciju Lebesgueove mjere.

Teorem 2. (Carathéodory) Neka je µ∗ vanjska mjera na skupu X te Mµ∗ familijasvih µ∗-izmjerivih podskupova od X. Tada vrijedi:

(i) Mµ∗ je σ-algebra na skupu X.

(ii) Funkcija µ∗ :Mµ∗ → [0,∞] je mjera.

Kako bismo dokazali ovaj teorem uo£imo: ako za skup B ⊆ X ºelimo pokazatida je on µ∗-izmjeriv, zbog nejednakosti (2) dovoljno je pokazati da vrijedi

µ∗(A) ≥ µ∗(A ∩B) + µ∗(A ∩Bc), ∀A ⊆ X. (3)

Dokaz.

(i) Za dokaz prve tvrdnje potrebno je provjeriti zadovoljava li familijaMµ∗ svojstvaσ-algebre.

(σ1) O£ito je da ∅, a i X, zadovoljavaju (2). Prema tome vrijedi: ∅, X ∈Mµ∗ .

(σ2) Za µ∗-izmjeriv skup B ∈ Mµ∗ pokaºimo da je Bc takoer µ∗-izmjeriv,tj. da zadovoljava (2):

µ∗(A ∩Bc) + µ∗(A ∩ (Bc)c) = µ∗(A ∩Bc) + µ∗(A ∩B) = µ∗(A).

(σ3) Dokaz σ-aditivnosti provest ¢emo u tri koraka.Tvrdnja 1. Ako su B1, B2 ∈Mµ∗, onda su i B1 ∪B2, B1 ∩B2 ∈Mµ∗ .

Kako smo pokazali da familijaMµ∗ zadovoljava (σ2), dovoljno je pokazatida je npr. B1∪B2 ∈Mµ∗ . U tu svrhu neka jeA ⊆ X proizvoljan podskup.Kako je prema pretpostavci skup B1 µ

∗-izmjeriv, vrijedi:

µ∗(A ∩ (B1 ∪B2)) = µ∗(A ∩ (B1 ∪B2) ∩B1) + µ∗(A ∩ (B1 ∪B2) ∩Bc1)

= µ∗(A ∩B1) + µ∗(A ∩Bc1 ∩B2).

Uo£imo da takoer vrijedi:

µ∗(A ∩ (B1 ∪B2)c) = µ∗(A ∩Bc1 ∩Bc

2).

Pokaºimo sada da skup B1 ∪B2 zadovoljava (2).

14

µ∗(A ∩ (B1 ∪B2)) + µ∗(A ∩ (B1 ∪B2)c) = µ∗(A ∩B1) + µ∗(A ∩Bc1 ∩B2)

+µ∗(A ∩Bc1 ∩Bc

2)

= µ∗(A ∩B1) + µ∗(A ∩Bc1)

= µ∗(A)

Tvrdnja 2. Ako je (Bi)i∈N niz µ∗-izmjerivih i meusobno disjunktnih

skupova, onda je i∞⋃i=1

Bi µ∗-izmjeriv skup.

Metodom matemati£ke indukcije pokaºimo najprije da za svaki A ⊆ Xvrijedi:

µ∗(A) =n∑i=1

µ∗(A ∩Bi) + µ∗(A ∩

( n⋂i=1

Bci

)).

Za n = 1 tvrdnja vrijedi zbog µ∗-izmjerivosti od B1. Pretpostavimo datvrdnja vrijedi za proizvoljan n ∈ N te pokaºimo da vrijedi i za n+ 1:

µ∗(A ∩

( n⋂i=1

Bci

))= µ∗

(A ∩

( n⋂i=1

Bci

)∩Bn+1

)+µ∗

(A ∩

( n⋂i=1

Bci

)∩Bc

n+1

)

= µ∗(A ∩

( n⋃i=1

Bi

)c∩Bn+1

)+ µ∗

(A ∩

( n+1⋂i=1

Bci

))

= µ∗(A ∩Bn+1

)+ µ∗

(A ∩

( n+1⋂i=1

Bci

)).

Nadalje, znamo da je A ⊇ A∩ (∩ni=1Bci ) ⊇ A∩ (∩∞i=1B

ci ) = A∩ (∪∞i=1Bi)

c

pa monotonost vanjske mjere uz prethodno dokazanu jednakost i prijelazna limes n→∞ daje sljede¢e:

µ∗(A) ≥∞∑i=1

µ∗(A ∩Bi) + µ∗(A ∩

( ∞⋃i=1

Bi

)c), (4)

a kori²tenjem σ-subaditivnosti dalje vrijedi:

µ∗(A) ≥ µ∗(A ∩

( ∞⋃i=1

Bi

))+ µ∗

(A ∩

( ∞⋃i=1

Bi

)c)≥ µ∗(A)

15

te je prema (2)⋃∞i=1Bi µ

∗-izmjeriv skup.

Tvrdnja 3. Skup⋃∞i=1 Bi µ

∗-izmjerivih skupova moºemo zapisati u oblikuprebrojive unije novih µ∗-izmjerivih, ali i disjunktnih skupova.

Neka je dan niz µ∗-izmjerivih skupova (Bi)i∈N. Denirajmo niz skupova(Ci)i∈N na sljede¢i na£in:

C1 := B1,

Ci := Bi\i−1⋃k=1

Bk = Bi ∩( i−1⋂k=1

Bck

), i ≥ 2.

Vidimo da su denirani skupovi meusobno disjunktni te da je⋃∞i=1Bi =⋃∞

i=1Ci. Prema tome, primjenjuju¢i prethodno dokazane tvrdnje do-bivamo da su skupovi Ci µ∗-izmjerivi jer su denirani kao presjek ko-na£no mnogo µ∗-izmjerivih skupova te da je skup

⋃∞i=1Ci, tj.

⋃∞i=1Bi µ

∗-izmjeriv.

(ii) Da bi dokazali ovu tvrdnju, potrebno je pokazati da je restrikcija funkcije µ∗

na familiju Mµ∗ σ-aditivna. Neka je dan niz meusobno disjunktnih sku-pova (Bi)i∈N iz Mµ∗ . Koriste¢i prvo σ-subaditivnost od µ∗ te primjenjuju¢inejednakost (4) uz A =

⋃∞i=1Bi dobivamo:

∞∑i=1

µ∗(Bi) ≥ µ∗( ∞⋃i=1

Bi

)≥

∞∑i=1

µ∗(Bi) + 0,

iz £ega slijedi traºena jednakost.

16

4 Lebesgueova mjera

4.1 Lebesgueova vanjska mjera

Kao ²to smo napomenuli u uvodu poglavlja 3.3, da bismo denirali Lebesgueovumjeru, potrebno je, izmeu ostalog, denirati Lebesgueovu vanjsku mjeru, ²to ¢emonapraviti u ovom poglavlju.Navedimo najprije pomo¢ne tvrdnje koje ¢e nam biti potrebne u nastavku, a £ijidetaljan dokaz moºete prona¢i u [6, str. 40].

Denicija 6. Familiju C podskupova nepraznog skupa X zovemo σ-pokriva£ od Xako ima sljede¢a svojstva:

(i) ∅ ∈ C,

(ii) postoji niz (Ci)i∈N £lanova iz C takav da je X =⋃∞i=1 Ci.

Propozicija 4. Neka je C neki σ-pokriva£ nepraznog skupa X, a τ : C → [0,∞]bilo koja funkcija sa svojstvom τ(∅) = 0. Denirajmo funkciju µ∗τ : 2X → [0,∞]formulom

µ∗τ (A) = inf

∞∑i=1

τ(Ci) : Ci ∈ C & A ⊆∞⋃i=1

Ci,

gdje se inmum uzima po svim nizovima (Ci)i∈N u C takvim da je A ⊆⋃∞i=1 Ci.

Funkcija µ∗τ je vanjska mjera.

Sada imamo sav potreban alat za deniranje Lebesgueove vanjske mjere na R.Najprije uzmimo da je C familija svih intervala oblika (a, b), a ≤ b. Uo£imo da je takodenirana familija σ-pokriva£ skupa R. Nadalje, denirajmo funkciju τ : C → [0,∞]s τ((a, b)) := b− a, a ≤ b.Neka je A ⊆ R. Ozna£imo jo² s CA familiju svih nizova (Ci)i∈N, Ci ∈ C, koji pokrivajuskup A:

CA :=

((ai, bi))i∈N : ai ≤ bi & A ⊆∞⋃i=1

(ai, bi).

Denicija 7. Neka je A ⊆ R te τ, C, CA prethodno opisani.Funkciju λ∗ : 2R → [0,∞] deniranu formulom

λ∗(A) = inf

∞∑i=1

τ(Ci) : Ci ∈ C & A ⊆∞⋃i=1

Ci

= inf

∞∑i=1

(bi − ai) : ((ai, bi))i∈N ∈ CA,

gdje se inmum uzima po svim nizovima iz CA, zovemo Lebesgueova vanjska

mjera na R.

17

Uo£imo da je prethodna denicija valjana upravo zbog Propozicije 4.U sljede¢em primjeru pokazat ¢emo da je Lebesgueova vanjska mjera jedno£lanogskupa jednaka nula, ²to ¢e nam biti korisno u nastavku rada.

Primjer 2. Pokaºimo da je λ∗(a) = 0 za svaki realan broj a.

Neka je a ∈ R proizvoljan realan broj. Kako je vanjska mjera nenegativna,tj. λ∗(a) ≥ 0, dovoljno je pokazati da je λ∗(a) ≤ 0 da bismo dobili traºenujednakost. Znamo da za svaki realan broj ε > 0 vrijedi:

a ⊂(a− ε

2, a+

ε

2

)pa iz denicije vanjske mjere λ∗ slijedi:

λ∗(a) ≤ τ

((a− ε

2, a+

ε

2

))= ε.

Kako je ε > 0 proizvoljan, slijedi λ∗(a) = 0.

Iz prethodno dokazane £injenice moºemo naslutiti da ¢e npr. λ∗((a, b)) i λ∗([a, b))biti jednake. Upravo to potvruje nam sljede¢a propozicija.

Propozicija 5. Neka su a, b ∈ R, a < b. Tada je

(i) λ∗([a, b]) = b− a,

(ii) λ∗([a, b)) = b− a,

(iii) λ∗((a, b]) = b− a,

(iv) λ∗((a, b)) = b− a.

Dokaz.

(i) Neka je ε > 0 proizvoljan realan broj. Znamo da vrijedi: [a, b] ⊂(a− ε

2, b+

ε

2

).

Zbog toga je

λ∗([a, b]) = inf

∞∑i=1

(bi − ai) : ((ai, bi))i∈N ∈ C[a,b]

≤ τ

((a− ε

2, b+

ε

2

))= b− a+ ε.

Kako je ε proizvoljan, slijedi λ∗([a, b]) ≤ b − a. Kako bismo pokazali traºenujednakost, potrebno je jo² pokazati obratnu nejednakost, tj. λ∗([a, b]) ≥ b− a.

18

U tu svrhu neka je ((ai, bi))i∈N ∈ C[a,b] bilo koji niz omeenih otvorenih in-tervala koji prekrivaju segment [a, b]. Budu¢i da je segment [a, b] kompaktanskup, svaki njegov otvoren pokriva£ ima kona£an potpokriva£ (Heine-Borelovteorem, vidi [7, str. 28]). Sada bez smanjenja op¢enitosti moºemo pretposta-viti da je [a, b] ⊆ ∪ni=1(ai, bi). Koriste¢i metodu matemati£ke indukcije po n,pomo¢u jednakosti

[a, b] = [a, b] ∩( n⋃i=1

(ai, bi)

)=

n⋃i=1

([a, b] ∩ (ai, bi)

)lako se pokaºe da je b− a ≤

∑ni=1(bi − ai), ²to povla£i b− a ≤

∑∞i=1(bi − ai).

Prema tome, za svaki niz ((ai, bi))i∈N ∈ C[a,b] vrijedi

b− a ≤∞∑i=1

(bi − ai),

odakle dalje dobivamo

b− a ≤ inf

∞∑i=1

(bi − ai) : ((ai, bi))i∈N ∈ C[a,b]

= λ∗([a, b]).

(ii) Budu¢i da je λ∗ monotona funkcija, vrijedi:

λ∗([a, b)) ≤ λ∗([a, b]) = b− a.

Kako bismo dokazali traºenu tvrdnju, pokaºimo jo² obratnu nejednakost. Nekaje ε > 0 bilo koji realan broj takav da je a < b− ε. Tada je [a, b− ε] ⊂ [a, b).Monotonost funkcije λ∗ povla£i λ∗([a, b − ε]) ≤ λ∗([a, b)), a prema prethodnodokazanoj tvrdnji je λ∗([a, b−ε]) = b−a−ε. Dobivamo: b−a−ε ≤ λ∗([a, b)),iz £ega, zbog proizvoljnosti odabira ε, slijedi b− a ≤ λ∗([a, b)), £ime je dokazgotov.

Dokaz preostalih dviju tvrdnji vrlo je sli£an prethodnom pa ga stoga ovdje ne navo-dimo.

Za kraj ovog poglavlja denirajmo pojam izmjerivosti skupa u smislu Lebesgueajer ¢e nam biti potreban za deniranje Lebesgueove mjere na R.

Denicija 8. Skup A ⊆ R je izmjeriv u smislu Lebesguea , odnosno Lebesgueovskup ako je on λ∗-izmjeriv.

19

4.2 Lebesgueova mjera

Lebesgueova mjera bila je veliko otkri¢e kako za teoriju mjere tako i za teorijuintegracije, a sve ²to smo do sada napravili bila je uvertira koja nam u ovom trenutkuomogu¢uje njeno deniranje.

Ako s Mλ∗ ozna£imo familiju svih podskupova od R izmjerivih u smislu Lebe-sguea, tj. familiju svih λ∗-izmjerivih skupova, prema Carathéodoryjevom teoremuMλ∗ je σ-algebra na R. Takoer, prema istome teoremu znamo da je restrikcijaLebesgueove vanjske mjere λ∗ na tu σ-algebru mjera. Tu restrikciju, λ∗|Mλ∗

, ozna£a-vamo s λ i zovemo Lebesgueova mjera na R.Dakle, za svaki A ∈Mλ∗ je λ(A) = λ∗(A).

Kao ²to je re£eno na samom po£etku rada, sljede¢om propozicijom pokazat ¢emoda domena Lebesgueove mjere sadrºi sve Borelove skupove, tj. Borelovu σ-algebru.

Propozicija 6. Svaki Borelov skup na R izmjeriv je u smislu Lebesguea, tj. B(R) ⊆Mλ∗.

Dokaz. Da bismo pokazali da je B(R) ⊆Mλ∗ , dovoljno je pokazati da je svakiBorelov skup B oblika B = (−∞, b], b ∈ R, ujedno sadrºan i uMλ∗ jer je Borelovaσ-algebra najmanja σ-algebra koja sadrºi intervale oblika (−∞, b] (Teorem 1).Kako bismo pokazali da je B ∈ Mλ∗ , prisjetimo se da je dovoljno pokazati kako zasvaki A ⊆ R, λ∗(A) <∞, vrijedi:

λ∗(A) ≥ λ∗(A ∩B) + λ∗(A ∩Bc).

Znamo da za proizvoljan realan broj ε > 0 postoji niz otvorenih intervala ((ai, bi))i∈N

takvih da je A ⊆∞⋃i=1

(ai, bi) i

∞∑i=1

(bi − ai) < λ∗(A) + ε. (5)

Takoer, jasno je da vrijedi i sljede¢e:

A ∩B ⊆∞⋃i=1

(ai, bi) ∩B, A ∩Bc ⊆∞⋃i=1

(ai, bi) ∩Bc,

a upravo iz toga, koriste¢i monotonost i σ-subaditivnost vanjske mjere λ∗, dobivamo:

λ∗(A ∩B) + λ∗(A ∩Bc) ≤∞∑i=1

[λ∗((ai, bi) ∩B) + λ∗((ai, bi) ∩Bc)

]. (6)

Uo£imo da se moºe pojaviti samo jedna od sljede¢ih situacija koje su i prikazanena Slici 1:

20

(i) (ai, bi) ⊆ B = (−∞, b], (ai, bi) ∩Bc = ∅,

(ii) (ai, bi) ⊆ Bc = (b,∞), (ai, bi) ∩B = ∅,

(iii) (ai, bi) ∩B = (ai, b], (ai, bi) ∩Bc = (b, bi).

Slika 1: Mogu¢e situacije

Prema Propoziciji 5 za sva tri slu£aja jasno je kako vrijedi

λ∗((ai, bi) ∩B) + λ∗((ai, bi) ∩Bc) = bi − ai.

Koriste¢i sada nejednakosti (5) i (6) dobivamo

λ∗(A ∩B) + λ∗(A ∩Bc) ≤∞∑i=1

(bi − ai) < λ∗(A) + ε,

a zbog proizvoljnosti broja ε slijedi da je

λ∗(A ∩B) + λ∗(A ∩Bc) ≤ λ∗(A).

Prethodno dokazanu tvrdnju iskoristit ¢emo kod deniranja domene geometrijskevjerojatnosti u poglavlju 5.2. Naime, za ra£unanje geometrijske vjerojatnosti koristit¢emo Lebesgueovu mjeru, ali kako ¢emo navesti primjere za podskupove od Rd,d = 1, 2, 3, najprirodnije je za domenu uzeti pripadnu Borelovu σ-algebru.U sljede¢em primjeru navest ¢emo Lebesgueovu mjeru nekih specijalnih skupovakoja ¢e nam posluºiti kasnije za izra£unavanje geometrijskih vjerojatnosti u skupuR.Primjer 3. Koriste¢i upravo pokazanu £injenicu da je svaki Borelov skup izmjeriv usmislu Lebesguea, iz Primjera 2 i Propozicije 5 slijedi da za sve a, b ∈ R takve da jea < b vrijedi:

21

(i) λ(a) = λ∗(a) = 0,

(ii) λ([a, b]) = λ∗([a, b]) = b− a,

(iii) λ([a, b)) = λ∗([a, b)) = b− a,

(iv) λ((a, b]) = λ∗((a, b]) = b− a,

(v) λ((a, b)) = λ∗((a, b)) = b− a.

Prilikom ra£unanja geometrijske vjerojatnosti morat ¢emo poznavati Lebesgu-eovu mjeru odreenih podskupova od R2 i R3. Kako bismo uop¢e mogli deniratiLebesgueovu mjeru na tim skupovima, najprije moramo uvesti pojam Lebesgueovevanjske mjere na Rd, d ∈ N, d ≥ 1. Na prvi pogled £ini se da bi bilo prirodnijeda smo ovo napravili u prethodnom poglavlju, meutim, kako ¢emo Lebesgueovuvanjsku mjeru na Rd denirati pomo¢u Lebesgueove mjere na R, to nismo moglinapraviti ranije.

Slika 2: d-intervali na Rd, d = 1, 2, 3.

Prvo uvedimo pojam d-intervala na Rd. Intervale oblika (a, b), [a, b], (a, b], [a, b)pri £emu su a, b ∈ R takvi da je a ≤ b, zovemo 1-intervali. Neka su I1, I2, . . . , Id1-intervali. Skup oblika I1 × I2 × . . .× Id zovemo d-interval na Rd.Sada moºemo denirati Lebesgueovu vanjsku mjeru na Rd, za ²to ¢emo se ponovnoposluºiti Propozicijom 4. Najprije primjetimo kako d-interval moºe biti otvoren ilizatvoren skup ili niti jedno od toga. Volumen d-intervala I1 × I2 × . . . × Id, zakoji ¢emo koristiti oznaku vol(I), prirodno moºemo denirati kao umnoºak duljina1-intervala I1, I2, . . . , Id, tj.

vol(I) =d∏i=1

λ(Ii),

22

gdje je λ Lebesgueova mjera na R. Ozna£imo s C familiju d-intervala na Rd. Uo£imoda je ∅ ∈ C te Rd =

⋃∞i=1(−i, i)× (−i, i)× . . .× (−i, i) pa je C σ-pokriva£ skupa Rd.

Funkciju τ : C → [0,∞] denirajmo na sljede¢i na£in:

τ(I) := vol(I), I ∈ C.

Tako denirana funkcija τ zadovoljava uvjet Propozicije 4: τ(∅) = 0. Nadalje, zaskup A ⊆ Rd s CA ozna£imo familiju svih nizova (Ii)i∈N omeenih i otvorenih d-intervala takvih da je A ⊆

⋃∞i=1 Ii. Sada moºemo denirati funkciju λ∗d : 2Rd → [0,∞]

sa

λ∗d(A) = inf

∞∑i=1

vol(Ii) : (Ii)i∈N ∈ CA

i upravo tu funkciju zovemo Lebesgueova vanjska mjera na Rd.

injenica da je Lebesgueova vanjska mjera na Rd uistinu vanjska mjera proizlazi di-rektno iz Propozicije 4. Za nju vrijede sli£ni rezultati kao i za Lebesgueovu vanjskumjeru na R te ih ne¢emo specijalno navoditi. Recimo samo kako je za bilo koji d-interval I na Rd λ∗d(I) = vol(I). Taj rezultat koristit ¢emo kasnije, a njegov detaljandokaz moºete prona¢i u [6, str. 55].

Ukoliko s Mλ∗dozna£imo familiju svih podskupova od Rd izmjerivih u smislu

Lebesguea, tada je ta familija σ-algebra na Rd dok je restrikcija Lebesgueove vanjskemjere na tu σ-algebru, λ∗d|Mλ∗

d

, mjera. Za tu restrikciju uvodimo oznaku λd i zovemo

ju Lebesgueova mjera na Rd.Saºeto, to bi zna£ilo da za svaki skup A ∈Mλ∗d

vrijedi:

λd(A) = λ∗d(A) = vol(A).

23

5 Geometrijska vjerojatnost

5.1 Vjerojatnosni prostor kao prostor mjere

Razvoj teorije vjerojatnosti jedno je od ve¢ih postignu¢a 20. stolje¢a i u potpunostije povezan s razvojem teorije mjere. Prva osoba koja je koristila mjeru kako biopisala vjerojatnost je Borel, dok je 1920. Andrej Nikolajevi£ Kolmogorov aksioma-tizirao vjerojatnost te time postavio njene temelje. On je uveo pojam vjerojatnosnogprostora ²to je naziv za ureenu trojku (Ω,F , P ) koja se sastoji od prostora elemen-tarnih dogaaja (skupa svih mogu¢ih ishoda) Ω, koji predstavlja univerzalni skupba² kao ²to je to bio skup X u prethodnom dijelu rada. Nadalje, familija F podsku-pova od Ω jest σ-algebra, za koju smo do sada koristili oznaku A, i njezine elementenazivamo dogaajima. Naposljetku, imamo funkciju P : F → [0, 1] koju nazivamovjerojatnost . Sada ¢emo navesti aksiomatsku deniciju vjerojatnosti koja ¢e bitivrlo sli£na deniciji mjere ²to je i logi£no jer smo ve¢ ranije napomenuli da je vjero-jatnost specijalna mjera.

Denicija 9. Neka je F σ-algebra na nepraznom skupu Ω. Funkcija P : F → [0, 1]je vjerojatnost ako vrijedi:

(P1) (nenegativnost) P (A) ≥ 0 za svaki A ∈ F ,

(P2) (normiranost) P (Ω) = 1,

(P3) (σ-aditivnost) za svaki niz (Ai)i∈N disjunktnih skupova iz F vrijedi:

P

( ∞⋃i=1

Ai

)=∞∑i=1

P (Ai).

Broj P (A) zovemo vjerojatnost dogaaja A.

Uo£imo kako kod aksiomatske denicije vjerojatnosti svojstvo P (∅) = 0, ²to bipredstavljalo vjerojatnost nemogu¢eg dogaaja, ne spada u aksiome vjerojatnosti.Umjesto njega imamo aksiom P (Ω) = 1, ²to pak predstavlja vjerojatnost sigurnogdogaaja. Uo£imo da ovako denirana funkcija zadovoljava i Napomenu 3, tj. kakoje P (Ω) = 1, P je vjerojatnosna mjera. Osim navedenih, vjerojatnost zadovoljava isva svojstva iz Propozicije 3 te pored toga zadovoljava i dodatna tri svojstva koja¢emo, zajedno sa svojstvom P (∅) = 0, navesti u sljede¢oj propoziciji.

Propozicija 7. Neka je (Ω,F , P ) vjerojatnosni prostor. Tada vrijedi:(i)-(iv) iz Propozicije 3 uz odgovaraju¢e oznake te

(v) (vjerojatnost suprotnog dogaaja) za svaki A ∈ F , P (Ac) = 1− P (A),

24

(vi) (vjerojatnost nemogu¢eg dogaaja) P (∅) = 0,

(vii) za sve A,B ∈ F vrijedi: P (A ∪B) = P (A) + P (B)− P (A ∩B).

Dokaz. Dokazat ¢emo svojstva (v)-(vii).

(v) Kako je Ω = A ∪ Ac, a A i Ac meusobno disjunktni, iz aksioma (P2) i (P3)slijedi:

1 = P (Ω) = P (A ∪ Ac) = P (A) + P (Ac) ⇒ P (Ac) = 1− P (A).

(vi) Budu¢i da je ∅ = Ωc, primjenom prethodnog svojstva i aksioma (P2) dobivamo:

P (∅) = 1− P (Ω) = 1− 1 = 0.

(vii) Znamo da vrijedi :

A ∪B = A ∪ (B\A), B = (A ∩B) ∪ (B\A),

iz £ega primjenom aksioma (P3) dobivamo jednakosti:

P (A ∪B) = P (A) + P (B\A),

P (B) = P (A ∩B) + P (B\A),

iz kojih slijedi traºena jednakost.

25

5.2 Denicija geometrijske vjerojatnosti pomo¢u Lebesgueove

mjere

Ako je prostor elementarnih dogaaja Ω neki podskup skupa realnih brojeva (iliop¢enito podskup skupa Rd), kona£ne mjere, koji nije diskretan, onda govorimo ogeometrijskoj vjerojatnosti. U slu£aju kada je d = 1 pripadna mjera predstavljaduljinu, kada je d = 2 radi se o povr²ini, a u slu£aju d = 3 mjera predstavlja obujamskupova.Od sada pa na dalje, pod pojmom vjerojatnost podrazumjevat ¢emo geometrijskuvjerojatnost, a pod pojmom mjera i izmjerivost skupa podrazumjevat ¢emo Lebe-sgueovu mjeru i izmjerivost skupa u smislu Lebesguea.

Zamislimo da promatramo pokus u kojem na sre¢u odabiremo to£ku x ∈ Ω ⊆ Rd

te neka je A neki izmjeriv podskup od Ω. U nastavku ¢emo denirati i opisatina£in ra£unanja geometrijske vjerojatnosti dogaaja da je na sre¢u odabrana to£kax ujedno i u skupu A, za slu£ajeve kada je d = 1, 2, 3. Za pripadnu σ-algebru na Rd

prirodno uzimamo Borelovu σ-algebru, tj. F = B(Rd).Neka je Ω = [a, b] ⊆ R ograni£en segment i zamislimo da na slu£ajan na£in

odabiremo to£ku x iz danog segmenta. Ako je [c, d] ⊆ [a, b] zanima nas kolikaje vjerojatnost da slu£ajno odabrana to£ka x iz segmenta [a, b] bude ujedno i usegmentu [c, d].Uzimaju¢i u obzir sljede¢e prirodne pretpostavke:

• slu£ajno odabrana to£ka moºe biti bilo koja to£ka iz segmenta [a, b]

• vjerojatnost da odabrana to£ka bude u bilo kojem segmentu [c, d] takvom daje [c, d] ⊆ [a, b] proporcionalna je duljini tog segmenta i ne ovisi o njegovompoloºaju,

Slika 3: Geometrijska vjerojatnost na R

ako sa A ozna£imo dogaaj to£ka x je iz segmenta [c, d] ⊆ [a, b], slijedi da je

P (A) = P (x ∈ A) = k · (d− c),

gdje je k konstanta koju nazivamo koecijent proporcionalnosti.Iz aksioma vjerojatnosti, za dogaaj Ω = to£ka x je iz segmenta [a, b] vrijediP (Ω) = 1 te je stoga

1 = P (Ω) = k · (b− a), odnosno k =1

b− a.

26

Sada je

P (A) =d− cb− a

. (7)

Ako duljinu segmenta interpretiramo kao njegovu Lebesgueovu mjeru λ, tada (7)prelazi u

P (A) = P (x ∈ A) =λ(A)

λ(Ω), za svaki A ⊆ Ω ⊆ R. (8)

Nadalje, promotrimo slu£aj kada je Ω ⊆ R2. Ulogu mjere sada preuzima povr²inate pretpostavljamo da je λ(Ω) < ∞. Zanima nas vjerojatnost slu£ajnog odabirato£ke x iz skupa Ω te ponovno uzimamo u obzir sljede¢e pretpostavke:

• slu£ajno odabrana to£ka moºe biti bilo koja to£ka iz skupa Ω

• vjerojatnost da odabrana to£ka bude u bilo kojem skupu A ⊆ Ω proporcionalnaje povr²ini λ(A) tog skupa i ne ovisi o njegovom obliku i poloºaju.

Ako sa A ozna£imo dogaaj to£ka x je iz skupa A, tada je

P (A) = P (x ∈ A) = k · λ(A),

gdje je k koecijent proporcionalnosti.O£igledno to£ka moºe pasti samo u skup Ω, tj. taj dogaaj je siguran pa je

1 = P (Ω) = P (x ∈ Ω) = k · λ(Ω)

iz £ega slijedi

k =1

λ(Ω).

Prema tome vrijedi

Slika 4: Geometrijska vjerojatnost na R2

P (A) = P (x ∈ A) =λ(A)

λ(Ω), za svaki A ⊆ Ω ⊆ R2. (9)

27

Uz pretpostavku da je Ω ograni£en skup u R3, na analogan na£in dobivamoformulu

P (A) = P (x ∈ A) =λ(A)

λ(Ω), za svaki A ⊆ Ω ⊆ R3 (10)

gdje ulogu Lebesgueove mjere λ sada preuzima obujam.

Funkciju P deniranu s (8), (9) odnosno (10) nazivamo geometrijska vjerojat-nost. U nastavku navodimo i njenu preciznu deniciju.

Denicija 10. Neka je λ Lebesgueova mjera te (Ω,F , P ) vjerojatnosni prostor takavda je Ω ⊆ Rd, d = 1, 2, 3, ograni£en i Lebesgue izmjeriv skup. Geometrijska vjero-jatnost da se realizira dogaaj A ⊆ Ω, koji je takoer ograni£en i Lebesgue izmjerivskup, jednaka je kvocijentu Lebesgueove mjere skupa A i Lebesgueove mjere skupa Ω,tj.

P (A) =λ(A)

λ(Ω).

Uvjerimo se da tako denirana funkcija zadovoljava aksiome vjerojatnosti:

(P1) Za svaki A ⊆ Ω je P (A) ≥ 0 zbog nenegativnosti Lebesgueove mjere.

(P2) P (Ω) = λ(Ω)λ(Ω)

= 1.

(P3) Neka je (Ai)i∈N niz disjunktnih skupova iz F . Iz denicije geometrijske vjero-jatnosti i primjenom σ-aditivnosti Lebesgueove mjere dobivamo:

P

( ∞⋃i=1

Ai

)=

λ(⋃∞

i=1Ai)

λ(Ω)=

∑∞i=1 λ(Ai)

λ(Ω)

=∞∑i=1

λ(Ai)

λ(Ω)=∞∑i=1

P (Ai).

28

5.3 Primjeri geometrijske vjerojatnosti u svakodnevnom ºi-

votu

U ovom poglavlju poku²at ¢emo kroz zanimljive primjere iz svakodnevnoga ºivotapribliºiti ra£unanje vjerojatnosti geometrijskim pristupom.

Primjer 1. Ivana studira na Odjelu za matematiku u Osijeku i stanuje na VijencuPetrove gore. Danas se kasno ustala te je na autobusnu stanicu stigla u 8:45. Ivanase brine ho¢e li sti¢i na predavanje koje po£inje u 9:00. Pogledala je vozni red ipro£itala da autobus dolazi svakih 13 minuta te mu treba 8 minuta da stigne naGajev trg na kojemu se nalazi njezin fakultet. Kolika je vjerojatnost da ¢e Ivaninautobus sti¢i na vrijeme?

Rje²enje. Kako voºnja od Vijenca Petrove gore do stanice koja se nalazi ispredOdjela za matematiku traje 8 minuta, autobus treba na Vijenac Petrove gore sti¢inajkasnije u 8:52, odnosno za najvi²e 7 minuta od kada je Ivana stigla na stanicu.

Slika 5

Ako s A ozna£imo dogaaj autobus je stigao na vrijeme, znaju¢i da autobus stiºena Ivaninu stanicu svakih 13 minuta (²to predstavlja prostor elementarnih dogaajaΩ), vjerojatnost da ona ne¢e zakasniti na predavanje je (vidi Sliku 5)

P (A) =λ(A)

λ(Ω)=

7

13= 0.538,

odnosno pribliºno 54%.

Primjer 2. Nakon predavanja Ivana je krenula u studentski restoran Gaudeamusna ru£ak. Dogovorila se s prijateljicom Marijom, koja studira na drugom fakultetu,da ¢e se na¢i izmeu 12 i 13 sati, kada obje imaju pauzu. I Ivana i Marija morajuse vratiti na fakultet pa su se dogovorile da ¢e pri dolasku u restoran £ekati jednadrugu najvi²e 20 minuta. Kolika je vjerojatnost da ¢e se one sastati?

Rje²enje. Ako s x ozna£imo trenutak Ivaninog dolaska, a s y trenutak Marijinogdolaska u restoran (pri £emu iz danih uvjeta vrijedi x, y ∈ [12, 13]), tada prostorelementarnih dogaaja Ω moºemo zapisati na sljede¢i na£in:

Ω = (x, y) ∈ R2 : 12 6 x 6 13, 12 6 y 6 13.

29

Kako je poznato da ¢e se Ivana i Marija sastati ako i samo ako je |x − y| ≤ 13,

jer je 20 minuta jednako 13sata, ukoliko s A ozna£imo dogaaj da su se one sastale,

slijedi da je

A =

(x, y) ∈ Ω : |x− y| 6 1

3

=

(x, y) ∈ Ω : x− 1

36 y 6 x+

1

3

.

Slika 6

Zbog λ(Ω) = 1, iz Slike 6 je jasno da je vjerojatnost dogaaja A jednaka

P (A) = λ(A) = 1− 4

9=

5

9= 0.556 ≈ 56%.

Prethodna je slika dobivena translacijom kvadrata Ω tako da mu se jedan vrh nalaziu ishodi²tu te je o£ito da prethodni ra£un ne ovisi o spomenutoj translaciji.

Primjer 3. Nakon ru£ka Ivana se vratila na Odjel za matematiku jer se s kolegamadogovorila da zajedno u£e za kolokvij iz kolegija Uvod u vjerojatnost i statistiku, kojije uskoro. Kako je bio lijep dan, odlu£ili su u£iti u dvori²tu. Razmi²ljaju¢i o jednomzadatku primjetili su da su na ºlijeb krova slu£ajno sletjela dva vrapca. Petar jepredloºio da izra£unaju vjerojatnost da je udaljenost vrabaca od krajeva ºlijeba, kaoi njihova meusobna udaljenost barem 2 metra. Darija je dodala da je potrebnouzeti u obzir i duljinu ºlijeba pa su pretpostavili da je ona 20 metara. Koliko iznosivjerojatnost koju su ra£unali?

Rje²enje. Ozna£imo krajeve ºlijeba s A i B, vrapce s C i D te pripadne udalje-nosti x = |C − A|, y = |D − A| (vidi Sliku 7).

30

Slika 7

Kako je duljina ºlijeba 20 metara, slijedi da je Ω = (x, y) ∈ R2 : 0 6 x 620, 0 6 y 6 20. Uzimaju¢i u obzir da su vrapci od krajeva ºlijeba udaljeni barem2 metra te da je njihova meusobna udaljenost takoer barem 2 metra, traºeni do-gaaj moºemo zapisati na sljede¢i na£in:

E = (x, y) ∈ Ω : 2 ≤ x ≤ 18, 2 ≤ y ≤ 18, |y − x| ≥ 2 .

Slika 8

Sa Slike 8 vidimo da dogaaj E moºemo prikazati kao dva pravokutna trokutaod kojih svaki ima obje katete duljine 14, stoga dobivamo da je traºena vjerojatnost

P (E) =λ(E)

λ(Ω)=

14 · 14

20 · 20=

49

100= 0.49,

odnosno 49%.

Primjer 4. Kada se Ivana vratila u stan, odlu£ila se malo odmoriti gledaju¢i tele-viziju. Na programu je bila njena najdraºa emisija - National Geographic. U emisiji

31

su govorili o tome kako se tri svemirska broda pribliºavaju Zemlji i prikazivali susliku s istaknutom kruºnicom na kojoj su svjetlile tri to£ke koje predstavljaju svemir-ske brodove. Ivana je skicirala sliku koju je vidjela i zapitala se kolika je vjerojatnostda je trokut kojeg odreuju ti brodovi ²iljastokutan.

Rje²enje. Ozna£imo svemirske brodove s A, B i C, te neka je r = OA = OB =OC kao na Slici 9. Nadalje, neka x predstavlja duljinu kruºnog luka izmeu to£akaA i B, y duljinu kruºnog luka izmeu to£aka B i C, a preostali kruºni luk imaduljinu opsega kruºnice umanjenog za x + y. Odabir to£aka A, B i C jednozna£noodreuje duljine x i y

Slika 9

te prostor elementarnih dogaaja Ω moºemo zapisati na sljede¢i na£in:

Ω = (x, y) ∈ R2 : x > 0, y > 0, x+ y < 2rπ.

Duljinu kruºnog luka x s pripadnim sredi²njim kutem α = ∠AOB, izraºenom uradijanima, ra£unamo na sljede¢i na£in: x = r · α. elimo da nam pripadni obodnikut ∠ACB = α

2bude manji od π

2pa prema tome imamo uvjet: α < π, odnosno

mora vrijediti:x = r · α < rπ.

Iz uvjeta da kutovi ∠CBA i ∠BAC budu ²iljasti analogno dobivamo uvjete: y < rπte 2rπ − x− y < rπ, tj. x+ y > rπ.Ukoliko s D ozna£imo dogaaj trokut ABC je ²iljastokutan, slijedi da je

D = (x, y) ∈ Ω : x < rπ, y < rπ, x+ y > rπ.

32

Sa Slike 10 vidimo da vjerojatnost dogaaja D moºemo izra£unati na sljede¢i na£in:

P (D) =λ(D)

λ(Ω)=

(rπ)2

2(2rπ)2

2

=1

4= 0.25.

Slika 10

Dakle, vjerojatnost da trokut koji je Ivana skicirala bude ²iljastokutan je 25%.

Primjer 5. Ivana i Marija svaki petak putuju ku¢i kako bi vikend provele s obitelji.Na autobusni kolodvor obje dolaze u slu£ajnim trenutcima izmeu 15 i 16 sati, a i nji-hov autobus takoer dolazi u nekom slu£ajnom trenutku izmeu 15 i 16 sati. Autobusse na kolodvoru zadrºava 15 minuta te zatim nastavlja put. Kolika je vjerojatnostda ¢e Ivana i Marija putovati ku¢i istim autobusom?

Rje²enje. Neka su x i y trenutci dolaska Ivane i Marije redom, te neka je ztrenutak dolaska autobusa na kolodvor. Skup svih mogu¢ih ishoda Ω tada moºemozapisati na sljede¢i na£in:

Ω = (x, y, z) : 0 ≤ x, y, z ≤ 1.

Ozna£imo s Ax dogaaj da je Ivana stigla na autobus te s Ay dogaaj da je Marijastigla na autobus i zapi²imo ih u obliku skupova:

Ax =

(x, y, z) : |x− z| ≤ 1

4

, Ay =

(x, y, z) : |y − z| ≤ 1

4

.

Zanima nas vjerojatnost dogaaja Ivana i Marija su stigle na autobus, tj. vjero-jatnost P (Ax∩Ay) presjeka dvaju dogaaja koji nisu disjunktni. Prema Propoziciji7 znamo da vrijedi:

P (Ax ∩ Ay) = P (Ax) + P (Ay)− P (Ax ∪ Ay). (11)

33

Slika 11 pomo¢i ¢e nam pri izra£unavanju traºene vjerojatnosti.Jasno je da vjerojatnost dogaaja Ax i Ay predstavljaju volumeni dvaju suklad-nih prostora. Jedan od na£ina za izra£unavanje tog volumena jest da od ukupnogvolumena kocke oduzmemo volumen onog prostora koji nas 'ne zanima', a koji jejednak polovini volumena kvadra s pripadnim duljinama stranica: 1, 3

4, 3

4. Takoer

¢emo se posluºiti i svojstvom vjerojatnosti suprotnog dogaaja i iskoristiti da jeP (Ω) = 1 · 1 · 1 = 1 pa dobivamo:

P (Ax) = P (Ay) = 1− P (Acx) = 1− 1

2·(

3

4

)2

· 1 =23

32.

Slika 11

Jo² je potrebno izra£unati vjerojatnost dogaaja Ax∪Ay. Uo£imo da tu vjerojat-nost predstavlja volumen prostora koji je jednak razlici volumena kocke i volumenazelene piramide £ija je osnovica kvadrat duljine stranice 3

4, a visina joj je takoer 3

4.

Prema tome vrijedi:

P (Ax ∪ Ay) = 1− P (Ax ∪ Ay)c = 1− 1

3·(

3

4

)2

· 3

4=

55

64.

Uvr²tavanjem izra£unatih vjerojatnosti u (11) dobivamo:

P (Ax ∩ Ay) =23

32+

23

32− 55

64=

37

64≈ 0.578.

Dakle, vjerojatnost da ¢e Ivana i Marija putovati ku¢i istim autobusom je 57.8%.

34

Literatura

[1] F. M. Brückler, Povijest Matematike II, Odjel za matematiku Sveu£ili²ta uOsijeku, Osijek, 2010.http://www.mathos.unios.hr/∼bruckler/main2.pdf

[2] M. Capi«ski, E. Kopp, Measure, integral and probability, Springer-Verlag,London, 2003.

[3] M. Hyk²ová, A. Kalousová, I. Saxl, Early history of geometric probabilityand geometric stereology, Image Analysis and Stereology, Volume 31, Interna-tional Society for Stereology, 2012.http://www.ias-iss.org/ojs/IAS/article/viewFile/901/806

[4] D. Jankov Ma²irevi¢, A. Kozi¢, Geometrijska vjerojatnost u svakodnevnomºivotu, Osje£ki matemati£ki list(2015), prihva¢en za objavljivanje

[5] A. Johnson, Geometric Probability, COMAP Inc., Bedford, Massachusetts,1995.http://www.comap.com/product/samples/6659.pdf

[6] D. Juki¢, Mjera i integral, Odjel za matematiku Sveu£ili²ta u Osijeku, Osijek,2012.http://www.mathos.unios.hr/index.php/nastava/integrirani-nastavnicki-studij/227

[7] D. Juki¢, Realna analiza, Nastavni materijalihttp://www.mathos.unios.hr/index.php/nastava/integrirani-nastavnicki-studij/200

[8] P. Novakovi¢, Pro²ireni Buonov pokus, Osje£ki matemati£ki list, 11 (2011),2938.http://hrcak.srce.hr/index.php?show=clanak&id_clanak_jezik=111245

[9] M. Pivato, Analysis, measure and probability: A visual introduction, MexicoMcGraw-Hill , Mexico, 2003.http://euclid.trentu.ca/pivato/Teaching/measure.pdf

[10] I. Plav£i¢, T. krti¢, D. Pavrli²ak, Matemati£ki paradoksi, Math.e: Hr-vatski matemati£ki elektroni£ki £asopis, 16 (2010)http://e.math.hr/math_e_article/br16/plavcic_skrtic_pavrlisak/index

35

[11] N. Sarapa , Teorija vjerojatnosti, kolska knjiga, Zagreb, 2002.

[12] N. Sarapa, Vjerojatnost i statistika, kolska knjiga, Zagreb, 1993.

[13] R. L. Schilling, Measure, integral and martingales, Cambridge UniversityPress, Cambridge, United Kingdom, 2005.

[14] M. Sion, History of measure theory in the twentieth century, The Universityof British Columbia, Vancouver, Canada, 1990.http://www.math.ubc.ca/∼marcus/Math507420/Math507420hist.pdf

[15] http://mathworld.wolfram.com/SylvestersFour-PointProblem.html

36

Saºetak

U ovom radu pokazana je veza izmeu Lebesgueove mjere i geometrijske vjerojat-nosti. Prvo je dan kratak povijesni pregled razvoja teorije mjere i teorije vjerojat-nosti te je nabrojano nekoliko poznatih problema iz podru£ja geometrijske vjerojat-nosti. Nakon toga navedeni su neki klju£ni pojmovi vezani uz teoriju mjere kao ²tosu σ-algebra, mjera, vanjska mjera, a naveden je i dokazan Carathéodoryjev teorem.Sve te rezultate koristimo kroz £itav rad, kako za deniranje Lebesgueove vanjskemjere i Lebesgueove mjere tako i za deniciju vjerojatnosnog prostora, odnosno vje-rojatnosti. U posljednjem dijelu rada opisan je spomenuti vjerojatnosni prostor kaoprostor mjere te je naglasak stavljen na kori²tenje Lebesgueove mjere pri denira-nju geometrijske vjerojatnosti koja je detaljno izvedena za prostore elementarnihdogaaja Ω koji su podskupovi od R i R2.

37

Title and summary

Lebesgue measure and geometric probability

In this paper we present connection between Lebesgue measure and geometricprobability. First, a brief history of development of measure and probability theoryand list of few popular problems in geometric probability are given. Afterwards,some key terms related with measure theory, for example σ-algebra, measure, outermeasure, are introduced. Also Carathéodory theorem is stated and proved. We useall those results, trough the entire paper, for dening Lebesgue outer measure andLebesgue measure, and also for denition of probability space, i.e. probability. Innal part, probability space like measurable space is described and accent is puton using Lebesgue measure in dening geometric probability which is described, indetail, for space of elementary events Ω that are subsets of R and R2.

38

ivotopis

Roena sam 11. svibnja 1991. godine u Grada£cu u Bosni i Hercegovini. 1998. upi-sala sam osnovnu ²kolu "Turanj" u Karlovcu, podru£na ²kola "Cerovac Vukmani¢ki"u istoimenom naselju, gdje sam zavr²ila razrednu nastavu. Osnovno²kolsko obrazo-vanje nastavila sam u osnovnoj ²koli Miroslava Krleºe u epinu koje sam zavr²ila2006. godine. Tijekom tog razdoblja sudjelovala sam na natjecanjima iz matematikei drugih predmeta, a najzna£ajnija postignu¢a bila su drugo mjesto na Drºavnomnatjecanju u atletici i tre¢e mjesto na upanijskom natjecanju u£enika u poznavanjuhrvatskog jezika koje sam ostvarila u osmom razredu. Po zavr²etku osnovne ²koledobila sam nagradu za najbolju u£enicu ²kole. Nakon toga sam upisala III. gimnazijuOsijek gdje sam u tre¢em razredu osvojila prvo mjesto na upanijskom natjecanjuu£enika iz informatike u kategoriji osnove informatike za srednjo²kolce. 2010. godineupisala sam se na Odjel za matematiku, Sveu£ili²ta J. J. Strossmayera u Osijekuna petogodi²nji Sveu£ili²ni nastavni£ki studij matematike i informatike. Na zavr-²noj godini studija s doc.dr.sc. Draganom Jankov Ma²irevi¢ napisala sam £lanakGeometrijska vjerojatnost u svakodnevnom ºivotu koji je prihva¢en za objavljivanjeu Osje£kom matemati£kom listu.

39