ALJABAR MATRIKS pertemuan 10 Oleh : L1153 Halim Agung,S.Kom
description
Transcript of ALJABAR MATRIKS pertemuan 10 Oleh : L1153 Halim Agung,S.Kom
ALJABAR MATRIKSpertemuan 10
Oleh :L1153
Halim Agung,S.Kom
Hasil kali skalar di dalam Rn
Hasil kali xTy disebut hasil kali skalar dari x dan y. secara khusus , jika x = {x1,…,xn} dan y = {y1,…,yn} , maka
Contoh :Jika x = dan y = maka
Hasil kali skalar di dalam R2 dan R3Jika diberikan sebuah vektor x di R2 dan R3 , maka panjang Euclidisnya dapat didefinisikan dalam bentuk hasil kali skalar
Jika diberikan dua vektor taknol x dan y , maka kita dapat menganggap keduanya sebagai segmen-segmen garis berarah yang berawal dititik yang sama. Sudut antara 2 vektor atau segmen garis berarah tersebut kemudian didefinisikan sebagai sudut ϴ
xnynyxyxyxT ...2211
1
2
3
2
3
4 82.13.24.3 yxT
3
223
22
21
22
212/1
Rx
Rx
jika
jika
xxx
xxxxx T
Teorema :Jika x dan y adalah dua vektor taknol didalam salah satu R2 atau R3 dan ϴ adalah sudut diantaranya , maka
Jika x dan y adalah dua vektor taknol maka kita dapat menyebutkan arah – arah mereka dengan membentuk vektor – vektor satuan ,
dan
Jika ϴ adalah sudut antara x dan y , maka
cosinus dari sudut antara vektor – vektor x dan y adalah hasil kali skalar dari vektor-vektor arah yang bersesuian dengan u dan v
cosyxyxT
xx
u1
yy
v1
vuyx
yx TT
cos
Akibat :(Ketaksamaan Cauchy-Schwarz) jika x dan y adalah vektor – vektor didalam salah satu R2 atau R3 , maka dengan kesamaan akan berlaku jika dan hanya jika salah satu dari vektor-vektor tersebut adalah 0 atau vektor yang satu adalah kelipatan dari vektor yang satunya lagi jika dan hanya jika cos ϴ = ±1
Definisi :Vektor – vektor x dan y didalam R2 (atau R3) dikatakan ortogonal jika xTy = 01. Vektor 0 adalah ortogonal dengan setiap vektor di R22. Vektor – vektor (3,2) dan (-4,6) adalah ortogonal di R23. Vektor – vektor (2,3,-1) dan (1,1,1) adalah ortogonal di R3 , dll
yxyxT
Proyeksi skalar dari x pada y :
Proyeksi vektor dari x dan y :
Contoh :Titik Q adalah titik pada garis y = x/3 yang terdekat ke titik (1,4). Tentukan koordinat Q.
Jawab :Ambil vektor w = (3,1)T adalah sebuah vektor dalam arah garis y = x/3. misalkan v = (1,4)T. jika Q adalah titik yang diinginkan , maka QT adalah proyeksi vektor dari v pada w
Jadi Q = (2,1;0,7) adalah titik terdekat.
y
yxT
yyy
yxy
yup
T
T
1
.
7,0
1,2
1
3.
10
7w
ww
wvQ
T
TT
Notasi :Jika P1 dan P2 adalah dua titik dalam ruang 3 dimensi , kita akan melambangkan vektor dari P1 dan P2 dengan
Jika N adalah vektor taknol dan Po adalah yang tertentu , maka himpunan titik – titik P sedemikian sehingga adalah ortogonal terhadap N akan membentuk sebuah bidang Π didalam ruang 3 dimensi yang melalui Po.
Vektor N dan bidang Π dikatakan normal satu sama lain.
Sebuah titik P = (x1,y1,z1) akan terletak pada Π jika dan hanya jika
Jika N = (a,b,c)T dan Po = (xo,yo,zo) , persamaan ini dapat ditulis dalam bentuk :a(x – xo) + b(y – yo) + c(z – zo) = 0
PoP
2.1 PP
0NPoPT
Contoh 1:Tentukan persamaan dari sebuah bidang yang melewati titik (2,-1,3) dan normal ke vektor N = (2,3,4)T
Jawab : adalah
atau
2(x - 2) + 3(y + 1) + 4(z – 3) = 0
Contoh 2 :Tentukan jarak dari titik (2,0,0) ke bidang x + 2y +2z = 0
Jawab : Vektor N = (1,2,2)T adalah normal ke bidang dan bidang melalui titik asal.Misalkan v = (2,0,0)T. jarak d dari (2,0,0) ke bidang adalah harga mutlak dari proyeksi skalar dari v pada N, jadi
.)3,1,2( TzyxPoP 0NPoPT
3
2
N
Nvd
T
Ortogonalitas dalam RnJika x ϵ Rn , maka panjang Euclidus dari x didefinisikan dengan
Ketaksamaan Cauchy-Schwarz berlaku di Rn. Akibatnya
Sudut antara 2 vektor taknol x dan y didalam Rn adalah
Vektor – vektor x dan y dikatakan ortogonal jika xTy = 0.
Seringkali simbol ┴ digunakan untuk menandakan ortogonalitas.
2/1222
21
2/1... n
T xxxxxx
11 yx
yxT
0,cosyx
yxT
Latihan1. Carilah sudur antara vektor – vektor v dan w untuk setiap vektor – vektor
dibawah ini.1. v = (2,1,3)T dan w = (6,3,9)T
2. v = (4,1)T dan w = (3,2)T
2. Carilah titik yang berada pada garis y = 2x yang terdekat ke titik (5,2)3. Carilah titik yang berada pada garis y = 2x + 1 yang terdekat ke titik (5,2)4. Carilah jarak dari titik (1,1,1) ke bidang 2x + 2y + z = 05. Carilah jarak dari titik (2,1,-2) ke bidang 6(x – 1) + 2(y – 3) + 3(z + 4) = 06. Untuk setiap vektor pada no 1 tentukan proyeksi skalar dan proyeksi vektor
dari v pada w7. Carilah persamaan dari bidang normal untuk vektor N yang diberikan dan
melewati titik Po , jika N = (2,4,3)T dan Po = (0,0,0)
Ruang bagian ortogonal
Misalkan A adalah matriks m x n dan misalkan x ϵ N(A). Karena Ax = 0 , kita dapatkan ai1.x1 + ai2.x2 + … + ain.xn = 0 untuk setiap i = 1, … , m
Persamaan diatas mengatakan bahwa x ortogonal terhadap vektor kolom ke i dari AT untuk i = 1, … , m karena x ortogonal pada setiap vektor kolom dari AT , maka x ortogonal ke setiap kombinasi linear dari vektor – vektor kolom AT sehingga jika y sembarang adalah vektor dalam ruang kolom AT , maka xTy = 0.
Jadi setiap vektor didalam N(A) ortogonal ke setiap vektor didalam ruang kolom dari AT.Jika dua ruang bagian dari Rn memiliki sifat ini , maka kita karakan bahwa ruang bagian tersebut ortogonal
Definisi :Dua ruang bagian X dan Y dari Rn dikatakan ortogonal jika xTy = 0 untuk setiap x ϵ X dan setiap y ϵ Y. jika X dan Y ortogonal , kita tulis X ┴ Y.
Definisi : Misalkan Y adalah suatu ruang bagian dari Rn. Himpunan semua vektor – vektor didalam Rn yang ortogonal pada setiap vektor di Y akan dinotasikan dengan Y┴ .
Jadi , Y┴ = { x ϵ Rn | xTy = 0 untuk setiap y ϵ Y }Himpunan Y┴ disebut komplemen ortogonal dari Y
Catatan.Ruang bagian X = rentangan(e1) dan Y = rentangan(e2) dari R3 yang diberikan pada contoh sebelumnya adalah ortogonal , tetapi kedua ruang bagian tidak saling komplemen ortogonal, Sesungguhnya .
X┴ = Rentang(e2,e3) dan Y┴ = Rentang(e1,e3)
1. Jika X dan Y adalah ruang bagian ortogonal dari Rn , maka X ∩Y = {0}.2. Jika Y adalah ruang bagian dari Rn , maka Y┴ juga merupakan ruang bagian dari Rn.
Ruang – Ruang bagian pokok (FUNDAMENTAL SUBSPACES)Misalkan A adalah matriks m x n. vektor b ϵ Rm berada didalam ruang kolom dari A jika dan hanya jika b = A x untuk x ϵ Rn .
Jika kita menganggap A adalah sebuah operator pemetaan Rn ke dalam Rm maka ruang kolom dari A adalah sama dengan peta dari A.
R(A) = peta dari A = ruang kolom dari A = {b ϵ Rm | b = A x untuk x ϵ Rn}R(AT) = ruang kolom dari AT = ruang baris dari A = ruang bagian dari Rm
= {y ϵ Rn | y = AT x untuk x ϵ Rn}
Teorema :Jika A adalah sebuah matriks m x n , maka N(A) = R(AT)┴ dan N(AT) = R(A)┴
Secara khusus , hasil ini juga berlaku untuk matriks B = AT ,Jadi N(AT) = N(B) = R(BT) ┴ = R(A)┴
Contoh.Misalkan A =
Ruang kolom dari A terdiri dari semua vektor dalam bentuk
Perhatikan bahwa , jika x adalah sembarang vektor di Rn dan b = Ax , maka
b =
Ruang nol dari AT terdiri dari semua vektor dalam bentuk β(-2,1)T.Karena (1,2)T dan (-2,1)T ortogonal, maka setiap vektor di R(A) akan ortogonal terhadap setiap vektor dalam N(AT).
Hubungan yang sama berlaku antara R(AT) dan N(A).R(AT) berisi vektor – vektor dalam bentuk αe1 dan N(A) terdiri dari semua vektor – vektor dalam bentuk βe2.Karena e1 dan e2 ortogonal , tiap vektor dalam R(AT) ortogonal terhadap setiap vektor dalam N(A)
02
01
2
1
2
2
1
12
11
2
1
02
01x
x
x
x
x
Teorema.Jika S adalah ruang bagian dari Rn , maka dim S + dim S┴ = n. Lebih lanjut , jika [x1, … , xr] adalah basis untuk S dan [xr+1 , … , xn] adalah basis untuk S┴ , maka [x1, … , xr, xr+1 , … , xn] adalah basis untuk Rn.
Bukti Jika S = {0} , maka S┴ = Rn dan dim S = dim S┴ = 0 + n = n
Jika S ≠ {0} , maka misalkan [x1 , … , xr] adalah basis untuk S dan definisikan X sebagai matriks r x n dimana baris ke – I adalah xi
T untuk tiap i. Berdasarkan definisi ini maka matriks X mempunyai rank r dan R(XT) = S.
S┴ = R(XT)┴ = N(X)Dim S┴ = dim N(X) = n - r
Definisi.Jika U dan V adalah ruang – ruang bagian dari ruang vektor W dan setiap w ϵ W dapat ditulis secara tunggal sebagai penjumlahan u + v , dimana u ϵ U dan v ϵ V , maka kita katakan bahwa W adalah penjumlahan langsung (direct sum) dari U dan W dan kita tulis
TeoremaJika S adalah ruang bagian dari Rn , maka
TeoremaJika S adalah ruang bagian dari Rn , maka (S┴)┴ = S
VUW
SSRn
Contoh :Misalkan A =
Jawab :Kita dapat mencari basis untuk N(A) dan R(AT) dengan mentransformasikan A kedalam bentuk eselon baris tereduksi.
Karena (1,0,1) dan (0,1,1) membentuk basis untuk ruang baris A , maka (1,0,1)T dan (0,1,1)T membentuk basis untuk R(AT) . Jika x ϵ N(A) , maka berdasarkan bentuk eselon baris tereduksi dari A bahwa x1 +x3 = 0
x2 + x3 = 0jadi , x1 = x2 = -x3
Dengan menetapkan x3 = α , kita dapat melihat bahwa N(A) terdiri dari semua vektor berbentuk α(1,-1,1)T.
Perhatikan bahwa (-1,-1,1)T adalah ortogonal terhadap (1,0,1)T dan (0,1,1)T
431
110
211
000
110
101
220
110
211
431
110
211
Contoh :Misalkan A =
Jawab :Untuk mencari basis untuk R(A) dan N(AT) reduksikan AT kedalam bentuk eselon baris tereduksi
Jadi (1,0,1)T dan (0,1,2)T membentuk sebuah basis untuk R(A) . Jika x ϵ N(AT) , maka x1 = -x3x2 = -2x3
Jadi N(AT) adalah ruang bagian dari R3 yang direntang oleh (-1,-2,1)T
Perhatikan bahwa (-1,-2,1)T adalah ortogonal terhadap (1,0,1)T dan (0,1,2)T
431
110
211
000
210
101
210
210
101
412
311
101
LatihanTentukan basis untuk R(AT) , N(A) , R(A) dan N(AT) :1.
2.
3.
4.
86
43A
43
12
31
24
A
042
131A
2211
1100
1110
0001
A
Ruang hasil kali dalam
Definisi :Hasil Kali dalam pada ruang vektor V adalah sebuah operasi pada V yang menunjuk setiap pasang vektor – vektor x dan y didalam V sebuah bilangan real (x,y) yang memenuhi syarat berikut :1. (x,y) ≥ 0 dengan persamaan jika dan hanya jika x = 02. (x,y) = (y,x) untuk semua x dan y didalam V3. (αx + βy , z) = α(x,z) + β(y,z) untuk semua x,y,z didalam V dan semua skalar α dan β
Sebuah ruang vektor V dengan hasil kali dalamnya disebut ruang hasil kali dalam
Jika v adalah sebuah vektor di dalam sebuah ruang hasil kali dalam V , panjang atau norma dari v diberikan oleh
Dua vektor u dan v dikatakan ortogonal jika (u,v) = 0
),( vvv
Teorema(Hukum phytagoras) jika u dan v adalah vektor – vektor ortogonal didalam sebuah ruang hasil kali dalam V, maka
DefinisiJika u dan v adalah vektor – vektor didalam ruang hasil kali dalam V dan v ≠ 0 , maka proyeksi skalar dari u pada v diberikan oleh
Dan proyeksi vektor dari u pada v diberikan oleh
NormaDefinisi : sebuah ruang vektor V dikatakan ruang linear bernorma jika untuk setiap vektor v ϵ V dikaitkan dengan sebuah bilangan real yang disebut norma dari v yang memenuhi :1. ≥ 0 dengan kesamaan berlaku jika dan hanya jika v = 02. untuk tiap skalar α3. untuk semua v , w ϵ VSyarat ketiga disebut ketaksamaan segitiga
222vuvu
v
vu,
vvv
vuv
vp
,
,1
vv
vv wvwv
TeoremaJika V sebuah ruang hasil kali dalam , maka persamaan untuk semua v ϵ V mendefinisikan sebuah norma pada V
Secara umum , sebuah norma adalah cara untuk mengukur jarak antara vektor
DefinisiMisalkan x dan y adalah vektor – vektor didalam ruang linear yang bernorma , jarak antara x dan y didefinisikan sebagai bilangan
Dimana
vvv ,
yx 22 )22()11( yxyxyx
Latihan
1. Jika diberikan x = (1,1,1,1)T dan y = (8,2,2,0)T
1. Tentukan sudut ϴ antara x dan y2. Cari proyeksi vektor p dari x pada y3. Periksa bahwa x – p ortogonal terhadap p4. Hitung dan periksa apakah hukum phytagoras dipenuhi.
222,, xppx