Ãlgebra (Grupo II)..docx

8/18/2019 Ã lgebra (Grupo II)..docx

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ACADEMIA PRE-UNIVERSITARIA Y DE REFORZAMIENTO “SANTA CATALINA” 1

SISTEMAS DE ECUACIONES

Se llama sistema de ecuaciones o sistema de ecuaciones simultáneas al conjunto de dos o más ecuaciones

que se verifican para un mismo valor de la o las incógnitas.

Ejemplos:

=−

=+

192y2x

302yx

=+−

−=−+=+−

1!"yx

#2"3y$x23"2y3x

=+−

=+−

$" yx

1%" yx 222

Discusión de la solución de un sistema de ecuaciones:

Sea el sistema&

=+

=+

222

111

c y'xa

c y'xa

( se tiene&

a) Sistema compatible determinado:

)n sistema de ecuaciones será compati'le determinado si tiene al menos una solución. *uede

o'servarse en este tipo de sistemas que el n+mero de ecuaciones es igual al n+mero de incógnitas ovaria'les.

Se cumple&2

1

2

1

'

'

a

a≠

Obseración:

Si el determinante del sistema es diferente de cero

( )0,s ≠- se dice que el sistema admite solución

+nica.

b) Sistema compatible indeterminado:

)n sistema de ecuaciones será compati'le indeterminado si tiene infinitas soluciones. *uedeo'servarse en este tipo de sistemas que existen más incógnitas que ecuaciones.

Se cumple&2

1

2

1

2

1

c

c

'

'

a

a==

c) Sistema incompatible:

)n sistema de ecuaciones será incompati'le si no tiene solución. eneralmente en este tipo de

sistemas el n+mero de ecuaciones es mayor que el n+mero de incógnitas.

Se cumple&

2

1

2

1

2

1

c

c

'

'

a

a≠=

Sistemas de m!s Ecuaciones "ue Incó#nitas:

eneralmente un sistema que tiene más ecuaciones que incógnitas es /*45/678.

E$E%CICIOS & '%O()EMAS DE A')ICACI*N:%esoler los si#uientes ejercicios + problemas aplicando el marco teórico + propiedades estudiadas sobre Sistemas de Ecuaciones )ineales,

1. alcular el valor de x : 2y;- luego de resolver el sistema&

−=+

=+

.//$.........10y12x

......./$2........9y!x

Eduardo Vásqu! V"#! $ %#&'ra (AULA II)


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4< 13 6< 1$ < 19 =< $0 8< 1%

2. alcular x.y; del sistema&

=+

=+

...//!.........2

yx

.../11........ y2

3x

.4< % 6< # < 1% =< 12 8< 21

3. alcular x > y; del sistema&

−=+

−=−

%0#yx

102yx

.

4< 1 6< 2 < 3 =< >1 8< >2

$. alcular x; en el sistema&

=+

=−−−

−−

2 y%x

1$3y$x11

11

.

4< 0-2 6< >0-2 < 0- =< >0- 8< 0-12

. 7uego de resolver el sistema&

=−+−=+−

=−+

..///$.........2" y2x........//1........." yx

......./........."2y3x

. alcular el valor de& x : 2y > 3"

4< 1 6< 2 < 3 =< $ 8<

%. alcular x : y; del sistema&

=+

−=−

.//13........3y$x

../9.........y%x

.

4< 1 6< 2 < 3 =< $ 8<

!. ?esolver el sistema&

=+

=+

.//!x........2 < >1 =< 0 8< 1

9. ?esolver el sistema&

=−

=+

//..........%

11

y

x

!

.../..........%

y

1

x

1

. =ar como respuesta&;2x : 3y;

4< 11 6< 12 < 13 =< 1$ 8< 1


=+

=+

=+

..///..........%

y""3y

....//..........#

x"2"3x

....../..........%

xy$yx

.=ar como respuesta& x : y : ";.

4< 1$$ 6< 13% < 1$0 =< 220 8< 4



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ACADEMIA PRE-UNIVERSITARIA Y DE REFORZAMIENTO “SANTA CATALINA” +

11. 7uego de resolver el sistema&

=+−

−=+

−=−

.///9.........$y"3x

.......//13........3y2"

./..........13........2yx

- indicar el valor de& x : y : ";.

4< $ 6< 2 < % =< 1 8< #


=+

=+

=+

=+−=+

Au

3u"

2xA

1" y1 yx

. Balle y;

4< 1 6< 2 < 3 =< $ 8<


( ) ( )

( ) ( )

−=++−

=−−+

//..........2'2a y'ax'a

......./..........$a'....... y'ax'a22

. *ara luego calcular el valor de x : y;.

4< a 6< ' < a' =< a > ' 8< 2a

1$. =el siguiente sistema- calcular x & y;&

=+

+=+

....//..........2a'.......ay'x

......./..........'a'yax 22

.

4< a 6< ' < a' =< a : '

8<

'a

1. =el sistema mostrado- calcular el valor de @xy y : " > A; del sistema&

=++

=++

−=++

=++

$A" y

1A"x

1A yx

" yx

.

4< >1 6< >2 < >3 =< 8< 3

1!. alcular el valor de& x > y : " > A; del sistema&

=++

=++

=++

=++

......./C20........A" y

......///1#........A"x

........//1%........A yx

........./.........1" yx

.

4< 3 6< % < >% =< >3 8<

1#. ?esolver el sistema de ecuaciones&

=+−

==

2#0"2y3x11

"

!

y

x

( y dar como respuesta& 8 D 2x > y : ".

4< 0 6< %0 < !0 =< #0 8< 90

19. 8ncontrar y&x; del sistema&

( ) ( )

( )

−=−

−=+

.......@22 < >$ =< ># 8< >1%



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20. 7uego de resolver el sistema&

( )

( )

( )

=+=+

=+

....///13x"......"x3%

........//y"......." y1#

........./xy....... yx12

( el valor de& x : y > ";- es&

4< 1 6< 2 < 3 =< $ 8<

21. Balle x : y : "; al resolver el sistema&

( ) ( )( ) ( )

( )( )

=++

=++=++

......@3


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3%. Si iriam y 4ndrea juntan sus propinas- tendrEan entre las dos 200 soles- pero si iriam le regala !0 soles a4ndrea- Jsta tendrEa el triple de lo que le queda a iriam. Fuánto tiene cada unoG.

4< & #0 y 4& 120 6< & 120 y 4& #0 < & 110 y 4& 90 =< & 90 y 4& 110 8< 4& 100 y & 100

3!. =ividir 1000 en dos partes tales que si de los K% de la primera se resta 1K$ de la segunda( se o'tiene 10.

alcula la segunda parte.

4< 3$0 6< 1$0 < #%0 =< 2$0 8< !%0

3#. 7a suma de dos n+meros es %( su diferencia dividida entre el n+mero menor- da # por cociente y de residuo(

Fcuáles son estos n+merosG.

4< 9 y % 6< y 10 < 2 y 13 =< 0 y 1 8< %0 y 39. 8l perEmetro de un rectángulo es de 2$cm. 7a diferencia entre la 'ase y la altura es de 2cm. alcula su área.

4< 32cm2 6< 2#cm2 < 2cm2 =< 3cm2 8< 30cm2

$0. )n padre reparte SK. 13 00 entre sus dos Hijos. 8l mayor reci'ió SK. 9 000 menos que el do'le de lo que

reci'ió el menor. Fuánto reci'ió el menorG.

4< SK. 00 6< SK. % 000 < SK. ! 00 =< SK. # 000 8< SK. % 00

$1. Lue valor de'e tener n; para que el sistema sea incompati'le&

( )

( )

=+−

=+−

%2yx2n

$yxn3

.

4<

!1%

6<

1%!

<

1%1

=<

1% 8< 4

$2. alcular el valor de m; si el sistema&

+=−

=+

/3......../2m3mymx

....../..........1.........myx

- es incompati'le.

4< 1 6< >1 < >3 =< 0 8< 2

$3. alcular m.n; sa'iendo que el sistema&

( )

=−

+=+−

.......//m.........2y2x

.../1.........n$yx12m

- admite infinitas soluciones.

4< >3 6< >2 < >1 =< 2 8< 1

$$. *ara que el sistema&

=+=+

...@2


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columnas2 yfilas3

tiene4NNmatri" 7a

! 1

0-! O

3 2

4

−

−

−

=

columnas3 yfilas2

tiene6NNmatri"7a

i 2O 0!1 2

6

−=

columnas3 yfilas3

tieneNNmatri"7a

% $ 3

0 9

2 1

=

columnas2 yfilas2

tiene=NNmatri" 7a

327og 30PSen

5g$P 1007og=

2

=

Orden de una matri-:

Sea la matri" 4; de m; filas y n; columnas- se denomina orden de la matri" 4;- a la representación& m x n

Ejemplos:

columnas2 yfilas3tieneporque

2(3xordendees4NNmatri" 7a

$ 1

0-9 OQ

3

4

−

−

=

columnas3 yfilas2tieneporque

2x3ordendees6NNmatri"7a

2iQ 3O 01 3 3

6

−=

columnas$ y$filastieneporque

$x$ordendeesNmatri"N7a

1 0 $

1 3 2 2

% 2 $ 0

9 $ % 1

=

.orma /eneral de una Matri-:Sea la matriz A de orden mxn (tiene m flas y n columnas), luego la orma general o explicita de la matriz Aserá:

mxn.........aaaa. ...

. ...

. ...

. ...

.a..........aaa

.a..........aaa

..a..........aa a

4

mnm3 m2m1

3n333231

2n232221

1n131211

=

=enotamos con aij al elemento genJrico de la matri" 4- dicHo elemento está u'icado en la fila i; y en la columna j;.

5eniendo en cuenta al elemento genJrico a ij- la matri" 4 podrá ser representada en forma a'reviada de la siguiente

manera&

[ ]

=

==

n.((........$(3(2(1( j

m..((........$(3(2(1(i&donde a4

mxnij

I#ualdad de Matrices:=adas las matrices 4 y 6- se dice que estas matrices son iguale si y solo si&

4m'as son del mismo orden.

7os elementos correspondientes son iguales.

Ejemplos:

7as matrices 4 y 6 son iguales&

−=∧

−−

=−

6 3

2 1 4

2%

2$

22

porque&

a< 4m'as matrices son del mismo orden& 2 x 2

'< 7os elementos correspondientes son iguales&



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ACADEMIA PRE-UNIVERSITARIA Y DE REFORZAMIENTO “SANTA CATALINA” /

2

21'a 1111 ===

R

2

$2'a 1212 ===

2

%3'a 2121

−=−==

R

'a 2222 −=−==

Matrices Especiales:

0) Matri- .ila:

4quella matri" que tiene una fila y dos o más columnas. 8s una matri" de orden 1 x n. Se le conoce tam'iJn como

matri" fila.

Ejemplos:

7a matri" 4 es una matri" fila de orden 1 x 3&

( )1 # $4 =

7a matri" 6 es una matri" fila de orden 1 x $&

−−= i O 3 2

16

7a matri" es una matri" fila de orden 1 x &

−= Sen30P 0 3 5g$P

22

1) Matri- Columna:

4quella matri" que tiene una columna y dos o más filas. 8s una matri" de orden n x 1. Se le conoce tam'iJn como

matri" columna.

Ejemplos:

7a matri" = es una matri" columna de orden 2 x 1&

−

=3

0 =

7a matri" 8 es una matri" columna de orden $ x 1&

−

=

3

O

101

8

7a matri" es una matri" columna de orden % x 1&

−

−=

T

3$

1000

3O

127og

13P5g

3

2

2) Matri- Nula:

4quella matri" en la que todos sus elementos son cero.

Ejemplos:

7a matri" es una matri" nula de orden 2 x 2&

=

0 0

0 0


=

0 0 0

0 0 0



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=

0 0 0

0 0 0

0 0 0

3) Matri- %ectan#ular:

4quella matri" en la que el n+mero de filas es diferente al n+mero de columnas( )nm ≠

.

Ejemplos:

4 es una matri" rectangular de orden 2 x 3&

=

9 $ 1

3 2 14

6 es una matri" rectangular de orden 3 x 2&

−

−−

=

% 3

2

$ 1

6

es una matri" rectangular de orden& 3 x $&

−

=

i3 # %

3 3

1 1 0

O 2 2 2

1

3

4) Matri- Cuadrada:

4quella matri" en la que el n+mero de filas es igual al n+mero de columnas @m D n


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++

+−+=+

−+

=+

33 02

1% 2 &



10/18


=

−

−=

1Q3 @Q$


11/18


−

−=−

1 20

1 26

3, Multiplicación de una matri- 5ila por una matri- columna:

=ada la matri" fila& 4 D @a 11 a12 a13 a1$ ................. a1n


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Ejemplos:Sean las matrices&

−=∧

−=

=

3!0

1 2

2 3Q

1 6 (

0 2

3 14

Halla lo siguiente&

a) A x B:

++−

++−=

++

++=

−

=

02 010

%1 9%6x4

@0


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Tra-a de una matri-:

7a tra"a de una matri" cuadrada es la suma de los elementos de la diagonal principal. 7a tra"a de una matri"

cuadrada 4 se denota por 5ra"@4


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( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

( ) 24det

%$4det

23$14det

$ 3

2 14det

−=

−=

−=

=

8l determinante de la matri"

=

$ 3

2 14

- será&

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

( ) #6det

101#6det

2%Q3Q6det

%Q 2

Q36det

=

−=

−=

=


−

−=

% 2

36

será&

( )

( ) ( )( )

( )

( )

( ) -%2det

0-3!%det#

3$3det

2

3

$

1232det

23 $

1

2

3 2

det

=

−=

−=

−=

=


=23

$

13

2 2

será.

Determinante de una matri- de orden 2:

Sea la matri" cuadrada

=

333231

2322 21

131211

a a a

a aa

a a a

4

- su determinante se denota por&

333231

232221

131211

a a a

a a a

a a a

det@4< =

.

8l determinante de una matri" cuadrada se calcula utili"ando la ?egla de S4??)S&

Se repite la primera y segunda columna a continuación de la +ltima columna.

Se multiplican los elementos de la diagonal principal al igual que los elementos de cada una de las paralelas a la

diagonal principal. Se suman los tres productos anteriores.



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Se multiplican los elementos de la diagonal secundaria al igual que los elementos de cada una de las paralelas a la

diagonal secundaria. Se suman los tres productos anteriores.

7uego la diferencia de am'as sumas será el determinante de la matri" 4;.

3231333231

2221232221

1211131211

a a a a aa a a a a

a a a a a

det@4


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ACADEMIA PRE-UNIVERSITARIA Y DE REFORZAMIENTO “SANTA CATALINA” 1.

. Si& 4 : 6 D - calcular x.y;- donde&

++

−=∧

−=

=

1 y y

3 1 y

$ y

1!6(

x

$ $4

.

4< 10# 6< 10! < 10% =< 10 8< 4

%. Balla el valor de& @2x > y< : @2" > A3 < 3 =< 2 8< !

#. alcula a : ' > m;- si la matri"&

−−−

−−−

−−−

=

111

$m 1

$0

a

'

10

a

11$m 11

3' '

2a

a$0 '20 1

2a

7

- es igual a la matri" identidad de

orden tres.

4< 1$ 6< 1 < 1% =< 1! 8< 1#

9. alcula& x : y : A; sa'iendo que la matri"&

−−

−−

−

−

−

=

1$ %A 39

y

2$$A 3 !x

y2! 23

1x 2

( es diagonal.

4< 3# 6< 39 < $0 =< $1 8< $2

10. alcula a : ' > c( si&

−−

−

=

+

c 1c

10a '

a 21c

19 #

1$ 1

21

9

$ 11

! 2

.

4< 2% 6< 2# < $2 =< $ 8< >2%

11. alcula a : ' : c; de&

=

−

−+

− c '

1 2 a

3 1 2

0 1 1

2 $ 1

1 3 2

.4< ! 6< % < =< $ 8< 3

12. ?esuelve la ecuación&

−

−

=

−

− x

3 1

1 2 .x

$ 1

2 32.3x

. =a como respuesta el mayor elemento.

4< 1-% 6< 0-9 < 2-3 =< >0-3 8< 4

13. Si&

−

=∧

−

=3 2

$!6

$ 1

3 2 4

- despeja V; de& @V > 4 365 .

4<

−

−

1 21

11 1

6<

−

21 1

11 1

<

21 1

11 1

=<

−

−−

21 1

11 1 8< 4



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ACADEMIA PRE-UNIVERSITARIA Y DE REFORZAMIENTO “SANTA CATALINA” 1/

1$. Sean las matrices&

−−=∧

−

−=

−=

3 2

# $

x% 1

y% 26 (

y1

x 3yx4

- si 4 D 6. Balla la tra"a de la matri"& 34 :

2.

4< 3 6< < ! =< 9 8< 11

1. alcula& a > ' : c;- si&

=

−

−

c

'a

1

$ 3

.

3 2

1 0 1$ 3 2

.

4< 30 6< 31 < 32 =< 33 8< 3$

1%. Si&

−

=

−

−

=3 1 2

1 # $6 y

1 0

2 1

1 2

4

. Balla& 5ra"@4.62 < >1 =< 1 8< 3

1!. =adas las matrices&

−−−

−

=

−−−

−−

= 3 1

3 1

3 1

6 y

$ 3 1

$ 1

3 2

4

( calcula& @4 : 61 =< >2 8< 29

19. alcula m;- si&

012 m

3 2=

.4< 2 6< $ < % =< # 8< 4

20. Simplifica&

a '

' a

' a'

a' a

5 2

2

=

.

4< 10 6< 20 < 30 =< 8< 0

21. alcula el determinante de la matri"&

−

+=

1n n

n 1n4

.

4< 1 6< >1 < n =< >n 8< n2

22. alcula el siguiente determinante&

3 2

0 1 3

2 $ 1

−

−

−

.

4< ! 6< 1! < 2! =< 3! 8< $!

23. alcula x; en&

1$ 3

2 1x=

+

.

4<

$

1

6<

$

3

<

!

1

=<

!

3

8<

#

1



18/18


2$. alcula el valor del siguiente determinante&

% $ 2

! $ 1

9 % 3

.

4< 32 6< $ < 0 =< 2$ 8< 4

2. Balla el determinante de&

$ 1

% 3 1! 2 1

.

4< 3 6< 2 < 1 =< 0 8< >1

2%. ?esuelve la ecuación&

x#2 1

3 1x+=

−+

.

4< 1 6< 2 < 3 =< $ 8<

2!. ?esuelve&

02x 1$x

12x 12x=

++

+−

.

4< 1 6< 2 < >1 =< >2 8< 3

2#. ?esuelve la ecuación&

0

1 1 10x

3 1 2

x x 3

=+

−

−

.

4<

22$ ±−6<

22$ ±<

222 ±−=<

222 ±8<

22# ±−

29. alcula x; en&

93 2 $x 3!

2 3

=

.

4< 1 6< 3 < =< ! 8< 9

30. alcula el valor del determinante de la matri" resultante&

+

+

=

3

1 9$

%

1 3

$ 2

1 327

.

4< 2 12 6< 2 130 < 2 13 =< 2 1$0 8< 2 1$


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