Álgebra dos Conjuntos - UDESC - ão de Conjuntos Conjuntos nitos Álgebra dos...

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  • lgebra dosConjuntos

    VivianeMaria Beuter

    Conjuntos

    RelaesentreConjuntos

    Operao deConjuntos

    Conjuntosnitos

    lgebra dos Conjuntos

    Viviane Maria Beuter

    Universidade do Estado de Santa Catarina - UDESC

    Centro de Cincias Tecnolgicas - CCT

    Licenciatura em Matemtica

    2014

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    VivianeMaria Beuter

    Conjuntos

    RelaesentreConjuntos

    Operao deConjuntos

    Conjuntosnitos

    Conjuntos

    Na teoria dos conjuntos trs noes so aceitas sem denio(noo primitiva)::

    Conjunto;

    Elemento;

    Pertinncia entre elemento e conjuntos.

    Conjuntos so noes primitivas, assim como pontos, retas e pla-nos so para a geometria euclidiana.

    Indicamos um conjunto, em geral, com uma letra maiscula:A,B,C , ,X ,Y ,Z .

    Denotamos um elemento de um conjunto, em geral, com letrasminsculas: a, b, c , , x , y , z .

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    RelaesentreConjuntos

    Operao deConjuntos

    Conjuntosnitos

    Pertinncia

    Para indicar que um elemento x faz parte de um conjunto Ausamos a notao

    x A,

    que se l x pertence a A.

    Para indicar que x no elemento do conjunto A, escrevemos

    x / A.

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    Conjuntos

    RelaesentreConjuntos

    Operao deConjuntos

    Conjuntosnitos

    Descrio de um conjunto

    Existem essencialmente duas formas de especicar um conjunto.Uma opo, quando possvel, consiste em listar seu elementos.Por exemplo:

    conjunto das vogais: A = {a, e, i , o, u};conjunto dos nmeros primos positivos:B = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 23, };conjunto dos nomes dos dias da semana:C={domingo, segunda, tera, quarta, quinta, sexta, sbado};

    conjunto dos nmeros inteiros divisores de 100:D = {100,50, ,5,4,2,1, 1, 2, 4, 5, , 50, 100}.

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    RelaesentreConjuntos

    Operao deConjuntos

    Conjuntosnitos

    Descrio por uma propriedade

    A segunda maneira consiste em enunciar a propriedades que ca-racterizam os elementos dos conjuntos da seguinte forma

    A = {x | x que vericam a propriedade p(x)}.

    Exemplos:

    E = {x | x vogal};F = {x | x soluo da equao x2 4 = 0};G = {x | x inteiro e divisvel por 5};H = {x | x real e 1 < x 3}.

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    Conjuntosnitos

    Conjuntos Numricos

    conjunto dos nmeros naturais:

    N = {0, 1, 2, 3, 4, };

    conjunto dos nmeros inteiros:

    Z = {0,1,2,3, };

    conjunto dos nmeros racionas:

    Q = { ab| a, b so nmeros inteiros e b 6= 0};

    conjuntos dos nmeros irracionas:

    I = {x | x dzima no perodica};

    conjunto dos nmeros reais:

    R = {x | x Q ou x I};

    conjunto dos nmeros complexos:

    C = {a+ bi | a, b R}.

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    Conjuntosnitos

    Conjunto vazio e conjuntos unitrios

    Conjunto vazio: aquele que no possui elemento algum.Notao: {} ou .

    Exemplos:

    {x | x + 1 = x} = ;{x | x um nmero real e x2 < 0} = ;{x | x 6= x} = .

    Conjuntos unitrios: so aqueles que possuem um nico ele-mento.Exemplos:

    {x | 2x 1 = 3} = {2};{x | x um nmero natural e divisor de 1} = {1}.

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    Conjunto Universo

    Conjunto Universo: Quando vamos desenvolver um determi-nado assunto de Matemtica, admitimos a existncia de um con-junto U ao qual pertencem todos os elementos utilizados no talassunto. Esse conjunto U recebe o nome de conjunto universo.

    Em geometria o Universo o conjunto de todos os pontos.

    O Universo dos nmeros primos o conjunto dos nmerosinteiros.

    No universo U, o conjunto A dos elementos x que vericam acondio p(x), indica-se pela notao:

    A = {x U | p(x)}.

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    Conjuntosnitos

    Exemplos:

    A = {x N | x divide 6} = {1, 2, 3, 6};B = {x Z | x divide 6} = {6,3,2,1, 1, 2, 3, 6};C = {x Q | x2 2 = 0} = ;D = {x R | x2 2 = 0} = {

    2,2}.

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    Conjuntosnitos

    Diagrama de Venn

    Representa-se um conjunto ou operaes com conjuntos atravsde uma gura geomtrica. O conjunto representado por umaletra maiscula situada na regio externa da gura e os elementosdo conjunto por pontos internos a gura.

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    Operao deConjuntos

    Conjuntosnitos

    Igualdade de conjuntos

    Dois conjuntos A e B dizem-se iguais se, e somente se, todoelemento que pertence a um deles tambm pertence a outro.Notao: A = B ( A igual a B)Em smbolos,

    A = B (x)(x A x B).

    Observaes:

    A ordem em que os elementos so listados em um conjunto irrelevante: {

    5,6,7} = {

    7,5,6}.

    A repetio dos elementos em um conjunto irrelevante:{a, b, c} = {a, b, b, c , c , c}.

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    Conjuntosnitos

    Igualdade de Conjuntos

    Propriedades da igualdade de conjuntos

    Reexiva: A = A;

    Simtrica: A = B B = A;Transitiva: (A = B) e (B = C ) (A = C ).

    Conjuntos diferentes: Dois conjuntos A e B so diferentes seexiste ao menos um elemento de A que no pertence a B ouexiste ao menos um elemento de B que no pertence a A.Notao: A 6= B ( A diferente de B)Em smbolos,

    A 6= B ((x)(x A e x / B) ou (y)(y B e y / A)).

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    Conjuntosnitos

    Subcojuntos (Incluso)

    Um conjunto A subconjunto de um conjunto B, se e somentese, todo elemento de A pertence tambm a B. Nesse caso dize-mos que A est contido em B ou B contm A.Notao: A B (A est contido em B) ou B A (Bcontm A).Em smbolos:

    A B (x)(x A x B).

    Exemplo:

    A = {x R |x2 5x + 6 0} B = {x R | x 2 0}.

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    Subcojuntos

    A negao de A B indica-se por A * B e se l: A no estcontido em B.Em smbolos:

    A * B (x)(x A x / B).

    Observao:

    Dois conjuntos so iguais se, e somente se, A B eB A, ou seja,

    A = B (x)(x A x B) (x B x A).

    necessrio distinguir a relao pertinncia () da relaocontinncia (). A primeira relaciona elemento comconjunto. A segunda relaciona (sub) conjunto comconjunto.

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    Conjuntosnitos

    Propriedades da incluso

    Reexiva: A A;

    Transitiva: (A B) (B C ) (A C );

    Antissimtrica: (A B) (B A) (A = B);

    O conjunto vazio est contido em qualquer conjunto A:(A)( A);

    Qualquer que seja o conjunto A num universo U, A estcontido em U : (A)(A U).

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    Conjuntosnitos

    Conjuntos comparveis:

    Dois conjuntos A e B so ditos comparveis se A B ouB A.

    Exemplos:

    Os conjuntos A = {x N | 3 5x 2 20} eB = {x N | 3 x + 2 20} so comparveis, poisA B.

    Os conjuntos C = {x Z | x primo} eD = {x Z | x mpar } no so comparveis. De fato,2 C e 2 / D e, portanto, C * D. Por outro lado,15 D e 15 / C e, portanto, D * C .

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    Conjuntosnitos

    Unio de conjuntos

    Dados os conjuntos A e B, chama-se unio de A e B o conjuntoformado pelos elementos que pertencem a A ou a B.Notao: A B ( A unio B)Em smbolos:

    A B = {x | x A x B}.

    Exemplos:

    Sejam A = {x R | 2 < x