Algebra di Boole e Funzioni Binarie Lezione Prima.
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Algebra di Boole e Algebra di Boole e Funzioni BinarieFunzioni Binarie
Algebra di Boole e Algebra di Boole e Funzioni BinarieFunzioni Binarie
Lezione PrimaLezione Prima
Prof. Abramo Carmelo 2
Sommario
• Variabili Binarie• Negazione• Somma Logica• Prodotto Logico• Relazioni- propriet
à• Funzioni• Minterm
• Teoremi• Maxterm• Forme Canoniche• Mappe di
Karnaugh• Fine lezione
Prof. Abramo Carmelo 3
Variabili Binarie
• Variabile binaria: grandezza matematica che può assumere due soli valori: 0 o 1.
• Sulle variabili binarie definiamo tre operatori: negazione, somma e prodotto.
• La negazione di una variabile binaria x si indica con x° (“non x” o “x negato”)
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Negazione
• Possiamo rappresentare il valore di x° tramite tabella di verità:
x x°
0 1
1 0
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Somma logica
• La somma di n variabili binarie x1, x2, x3, --- xn vale 0 solo se tutte le xi (1≤i≤n) valgono contemporaneamente 0, vale 1 in ogni altro caso.
x1 x2 x1 + x2
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1
esempio di somma logica di due variabili x1 e x2 mediante tabella di verità
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Prodotto logico
• Il prodotto di n variabili binarie x1, x2, x3, --- xn vale 1 solo se tutte le xi (1≤i≤n) sono contemporaneamente 1, vale 0 in ogni altro caso
x1 x2 x1 . x2
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1
esempio di prodotto logico di due variabili x1 e x2 mediante tabella di verità
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Relazioni e proprietà
Somma Prodotto
x + 1 = 1 x · 0 = 0
x + 0 = x x · 1 = x
x1 + x2 = x2 + x1 x1 · x2 = x2· x1
x1 + x2 + x3 = (x1 + x2) + x3 x1 · x2· x3= (x1 · x2) · x3
x1· x2+ x1· x3= x1· (x2 + x3) (x1 + x2) · (x1 + x3) = x1+ x2 · x3
• Le relazioni e proprietà degli operatori somma e prodotto logico sono riportate nella tabella
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Relazioni e proprietà
• Per la negazione valgono le seguenti relazioni e proprietà:
Negazione
0°° = 0
1°° = 1
x°° = x
x + x ° = 1
x · x° = 0
x°° x due volte negato
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Funzioni
• Con n variabili binarie (x1, x2, … xn) si possono formare 2n configurazioni diverse.
• Se prendiamo, ad esempio, 2 variabili: x1, x2 dato che ognuna di loro può valere 0 od 1, si possono creano le seguenti quattro (22) configurazioni diverse: 00, 01, 10, 11.
• Così con 3 variabili binarie si potranno formare al massimo 23=8 configurazioni diverse che sono:
000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111.
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Funzioni
• Diremo che una variabile y è funzione di n variabili indipendenti x1, x2, … xn e si scrive:
y = F (x1, x2, … xn)
• quando esiste un criterio che fa corrispondere in modo univoco ad ognuna delle 2n configurazioni di x un determinato valore y (ovviamente 0 o 1).
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Funzioni• Tutte le diverse funzioni di n
variabili (x1,x2,…xn) che si possono costruire sono pari a
(22)n
• Ad esempio tutte le diverse funzioni che si possono formare con 3 variabili sono pari a
(22)3= 28 = 256
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Funzioni• Una funzione può essere
rappresentata sotto forma di tabella di verità, scrivendo accanto ad ognuna delle 2n diverse configurazioni di x1, x2, … xn il valore assunto dalla y.
• Ad esempio la seguente tabella rappresenta la tabella di verità di una delle 256 funzioni possibili di tre variabili binarieCliccare sull’immagine
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Minterm• Se consideriamo 3 variabili, la scrittura x1x2x3 = 011
indica tra le 23=8 configurazioni possibili, quella in cui x1 vale 0, x2 vale 1 e x3 vale 1.
• Questa configurazione si scrive semplicemente con il prodotto x°1x2x3
• Se in una configurazione una variabile compare con 1 si assume il valore diretto se invece compare con uno 0 si assume il valore negato.
• Consideriamo la funzione di 3 variabili rappresentata sotto forma di tabella di verità in fig.1 e le 3 configurazioni in cui la stessa vale 1
• Avremo che la funzione vale 1 per le seguenti configurazioni:
x°1x2x°3 x°1x2x3 x1x°2x3
Ciascuno di questi prodotti si chiama minterm
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Minterm
• La funzione conoscendo la sua tabella di verità, potrà essere espressa sotto forma di somme di prodotti dei termini minimi.
• Nel caso della funzione in esempio scriveremo
y = x°1x2x°3 + x°1x2x3 + x1x°2x3
• Se una funzione è direttamente espressa sotto forma di somme di minterm sarà possibile costruire la sua tabella di verità, mettendo 1 nelle configurazioni relative ai minterm, e 0 negli altri casi.
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Minterm• Ad esempio data la funzione di 3 variabili
F(x,y,z) = xy°z + xyz° + x°yz
la sua tabella di verità sarà:
x y z F(x,y,z)
0 0 0 0
0 0 1 0
0 1 0 0
x°yz 0 1 1 1
1 0 0 0
xy°z 1 0 1 1
xyz° 1 1 0 1
1 1 1 0
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Teoremi
TEOREMI Diretto Duale
Idempotenza x + x + x + --- x = x x · x · x · --- x = x
Assorbimento
x + xy = x x · (x +y) = x
x + x°y = x + y x · (x° + y) = x · y
xy +yz + x°z = xy + x°z (x +y)·(y+z)·(x°+z) = (x+y) · (x°+z)
De Morgan (x+y)° = x° · y° (x · y)° = x° + y°
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Maxtem
• Il teorema di De Morgan applicato alla funzione della fig.1 ci consente di scrivere la funzione in questo modo:
• y = (x1+x2+x3)· (x1+x2+x°3)· (x1+x°2+x°3)· .(x°1+x°2+x3)· (x°1+x°2+x°3)
• ossia sotto forma di prodotto di somme.
• Ciascuna delle somme chiama maxterm (termine massimo).
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Maxtem
• L’espressione della y come prodotto di maxterm si può ottenere dalla tabella di verità della funzione;
• ci sono tanti maxterm quanto sono i valori 0 della funzione;
• ogni maxterm è la somma di tutte le variabili dirette o negate a seconda che la configurazione contenga 1 o 0.
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Forma Canonica
• Entrambe le espressioni della funzione sotto forma di:
– somme di prodotti (minterm)
– prodotti di somme (maxterm)
• si chiamano forme canoniche di una funzione binaria.
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Mappe di KARNAUGH
• Le mappe di Karnaugh sono delle tabelle che permettono in modo immediato la rappresentazione e la semplificazione di funzioni booleane fino 6 variabili.
0 1
x° x• Mappa di K. per funzione ad 1
variabile x
• Mappa di K. per funzione a 2 variabili x,y con all’interno rappresentati i relativi minterm x
0 1y
0 x°y° xy°
1 x°y xy
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Mappe di KARNAUGH
• La mappa di K. per una funzione a 3 variabili x,y,z è un rettangolo diviso in 8 celle come nell’esempio.
• Al solito dentro le celle sono stati scritti i relativi minterm. xy
00 01 11 10z
0 x°y°z° x°yz° xyz° xy°z°
1 x°y°z x°yz xyz xy°z
Le coordinate della tabella vanno sistemate in modo che nel passaggio da una cella all’altra ci sia un sola variazione. Infatti le coordinate per la xy saranno 00 01 11 10.
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Mappe di KARNAUGH
• Una mappa di K. per 4 variabili x,y,v,z è un rettangolo diviso in 16 celle.
• All’interno indichiamo al solito i relativi minterm.
xy00 01 11 10
vz
00x°y°v°z
°x°yv°z° xyv°z° xy°v°z°
01 x°y°v°z x°yv°z xyv°z xy°v°z
11 x°y°vz x°yvz xyvz xy°vz
10 x°y°vz° x°yvz° xyvz° xy°vz°
Si omette di parlare delle mappe di K. a 5 e 6 variabili
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Mappe di KARNAUGH• Le Mappe di K. costituiscono un altro metodo per
rappresentare una funzione booleana;• basta scrivere 1 in quelle caselle che hanno le
coordinate della tabella di verità in cui la funzione vale 1.
x y zF(x,y,z)
0 0 0 1
0 0 1 0
0 1 0 1
0 1 1 1
1 0 0 0
1 0 1 1
1 1 0 0
1 1 1 1
xy00 01 11 10
z
0 1 1
1 1 1 1
Rappresentazione con Mappa di K. della funzione a lato.
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binariebinarie
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Arrivederci!Arrivederci!