Algebra di Boole e Algebra di Boole e Funzioni BinarieFunzioni Binarie

Algebra di Boole e Algebra di Boole e Funzioni BinarieFunzioni Binarie

----

Algebra di Boole 2

Sommario

• Variabili Binarie• Negazione• Somma Logica• Prodotto Logico• Relazioni- propriet

à• Funzioni• Minterm

• Teoremi• Maxterm• Forme Canoniche• Fine lezione

Algebra di Boole 3

Variabili Binarie

• Variabile binaria: grandezza matematica che può assumere due soli valori: 0 o 1.

• Sulle variabili binarie definiamo tre operatori: negazione, somma e prodotto.

• La negazione di una variabile binaria a si indica con a’ (“non a” o “a negato”)

oppure con ( a o con ā )

Algebra di Boole 4

Negazione• Possiamo rappresentare il valore di x’

tramite tabella di verità:

x x’

0 1

1 0

Modi equivalenti per negare una variabile X

XXXXX o ,,,',~

Algebra di Boole 5

Somma logica

• La somma di n variabili binarie x1, x2, x3, --- xn vale 0 solo se tutte le xi (1≤i≤n) valgono contemporaneamente 0, vale 1 in ogni altro caso.

x1 x2 x1 + x2

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 1

esempio di somma logica di due variabili x1 e x2 mediante tabella di verità

Algebra di Boole 6

Prodotto logico• Il prodotto di n variabili binarie x1, x2, x3, --- xn

vale 1 solo se tutte le xi (1≤ i ≤n) sono contemporaneamente 1, vale 0 in ogni altro caso

x1 x2 x1 . x2

0 0 0

0 1 0

1 0 0

1 1 1

esempio di prodotto logico di due variabili x1 e x2 mediante tabella di verità

Algebra di Boole 7

Relazioni e proprietà

Somma Prodotto

x + 1 = 1 x · 0 = 0

x + 0 = x x · 1 = x

x1 + x2 = x2 + x1 x1 · x2 = x2· x1

x1 + x2 + x3 = (x1 + x2) + x3 x1 · x2· x3= (x1 · x2) · x3

x1· x2+ x1· x3= x1· (x2 + x3) (x1 + x2) · (x1 + x3) = x1+ x2 · x3

• Le relazioni e proprietà degli operatori somma e prodotto logico sono riportate nella tabella

Algebra di Boole 8

Relazioni e proprietà

• Per la negazione valgono le seguenti relazioni e proprietà:

Negazione

0’’ = 0

1’’ = 1

x’’ = x

x + x‘ = 1

x · x’ = 0

x’’ x due volte negato

Algebra di Boole 9

Funzioni

• Con n variabili binarie (x1, x2, … xn) si possono formare 2n configurazioni diverse.

• Se prendiamo, ad esempio, 2 variabili: x1, x2 dato che ognuna di loro può valere 0 od 1, si possono creano le seguenti quattro (22) configurazioni diverse: 00, 01, 10, 11.

• Così con 3 variabili binarie si potranno formare al massimo 23=8 configurazioni diverse che sono:

000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111.

Algebra di Boole 10

Funzioni

• Diremo che una variabile y è funzione di n variabili indipendenti x1, x2, … xn e si scrive:

y = F (x1, x2, … xn)

• quando esiste un criterio che fa corrispondere in modo univoco ad ognuna delle 2n configurazioni di x un determinato valore y (ovviamente 0 o 1).

Algebra di Boole 11

Funzioni• Tutte le diverse funzioni di n variabili (x1,x2,

…xn) che si possono costruire sono pari a

• Ad esempio tutte le diverse funzioni che si possono formare con 3 variabili sono pari a

n22

25622 823

Algebra di Boole 12

Funzioni

• Una funzione può essere rappresentata sotto forma di tabella di verità, scrivendo accanto ad ognuna delle 2n diverse configurazioni di x1, x2, … xn il valore assunto dalla y.

• Ad esempio la seguente tabella rappresenta la tabella di verità di una delle 256 funzioni possibili di tre variabili binarieCliccare sull’immagine

Algebra di Boole 13

Funzioni

Cliccare sull’immagine

Una tabella delle 256 funzioni a 3 variabili

Algebra di Boole 14

Minterm• Se consideriamo 3 variabili, la scrittura x1x2x3 = 011

indica tra le 23=8 configurazioni possibili, quella in cui x1 vale 0, x2 vale 1 e x3 vale 1.

• Questa configurazione si scrive semplicemente con il

prodotto x1x2x3 ( questo e’ un minterm)

• Se in una configurazione una variabile compare con 1 si assume il valore diretto se invece compare con uno 0 si assume il valore negato.

• Consideriamo la funzione di 3 variabili rappresentata sotto forma di tabella di verità in fig.1 e le 3 configurazioni in cui la stessa vale 1

• Avremo che la funzione vale 1 per le seguenti configurazioni:

x1x2x3 x1x2x3 x1x2x3

Ciascuno di questi prodotti si chiama minterm

Algebra di Boole 15

Minterm• Conoscendo la tabella di verità fi una

funzione , la espressione algebrica potrà essere espressa sotto forma di somme di prodotti dei termini minimi.

• Nel caso della funzione in Fig 1 scriveremo

y = x1x2x3 + x1x2x3 + x1x2x3

• Se una funzione è direttamente espressa sotto forma di somme di minterm sarà possibile costruire la sua tabella di verità, mettendo 1 nelle configurazioni relative ai minterm, e 0 negli altri casi.

Algebra di Boole 16

Minterm• Ad esempio data la funzione di 3 variabili

F(x,y,z) = xy’z + xyz’ + x’yz

la sua tabella di verità sarà:

x y z F(x,y,z)

0 0 0 0

0 0 1 0

0 1 0 0

x’yz 0 1 1 1

1 0 0 0

xy’z 1 0 1 1

xyz’ 1 1 0 1

1 1 1 0

Algebra di Boole 17

Teoremi

TEOREMI Diretto Versione Duale

Idempotenza x + x + x + ---+ x = x x · x · x · --- ·x = x

Assorbimento

x + xy = x x · (x +y) = x

x + x’y = x + y x · (x’ + y) = x · y

xy +yz + x’z = xy + x’z (x +y)·(y+z)·(x’+z) = (x+y) · (x’+z)

De Morgan (x+y)’ = x’ · y’ (x · y)’ = x’ + y’

Algebra di Boole 18

Maxtem• Il teorema di De Morgan applicato alla

funzione della fig.1 ci consente di scrivere la funzione in questo modo:

• y = (x1+x2+x3)· (x1+x2+x3)· (x1+x2+x3)· ·(x1+x2+x3)· (x1+x2+x3)

• ossia sotto forma di prodotto di somme.

• Ciascuna delle somme chiama maxterm (termine massimo).

Algebra di Boole 19

Maxtem

• L’espressione della y come prodotto di maxterm si può ottenere dalla tabella di verità della funzione;

• ci sono tanti maxterm quanto sono i valori 0 della funzione;

• ogni maxterm è la somma di tutte le variabili dirette o negate a seconda che la configurazione contenga 1 o 0.

Algebra di Boole 20

Forma Canonica

• Entrambe le espressioni della funzione sotto forma di:

– somme di prodotti (minterm)

– prodotti di somme (maxterm)

• si chiamano forme canoniche di una funzione binaria.

Algebra di Boole 21

MACCHINA DEL CAFFE’/Te’

• ESEMPIO : Costruire un circuito logico che simuli una macchina che fornisce (previo inserimento di una moneta) caffè o tè.

• Se selezioniamo il pulsante del caffè la macchina dovrà fornire il caffè.

• Se selezioniamo il pulsante del tè la macchina dovrà fornire il tè.

• Se selezioniamo entrambi i pulsanti (del Tè e del caffè) la macchina dovrà fornire Tè.

Algebra di Boole 22

Costruiamo la tabella di verità della macchina

S C T Uscita-Tè Uscita-caffè

0 0 0 0 0

0 1 0 0 0

0 1 1 0 0

0 0 1 0 0

1 0 0 0 0

1 1 0 0 1

1 0 1 1 0

1 1 1 1 0

Algebra di Boole 23

Sfruttiamo la rappresentazione con i minterm per la colonna UC= Uscita-caffè

* * ( * )*( * )cU S C T C S C T

Ricordare DE-MORGAN

Algebra di Boole 24

• Sfruttiamo la rappresentazione con i minterm per la colonna UT= Uscita-Tè

* * * * *TU S C T S C T S T

Algebra di Boole 25

E ORA IL CIRCUITOGrazie a queste relazioni possiamo ottenere il circuito logico richiesto:

Prossima Lezione:Prossima Lezione:ARCHITETTURA DEGLI ARCHITETTURA DEGLI

ELABORATORIELABORATORI

Prossima Lezione:Prossima Lezione:ARCHITETTURA DEGLI ARCHITETTURA DEGLI

ELABORATORIELABORATORI

Arrivederci!Arrivederci!