ALGA_cap2

Capitolul 2

Geometrie analitica ın spatiu

2.1 Vectori ın spatiu

Pozitia unui punct ın spatiu este fixata ın mod unic cu ajutorul unei triplete ordonate denumere reale, numite coorodonatele punctului, obtinuta cu ajutorul unui sistem de axeformat dintr-un punct O (0, 0, 0) numit originea sistemului si trei drepte perpendiculareıntre ele, punctul de perpendicularitate fiind O.

Axele Ox,Oy,Oz se numesc axe de coordonate.

Planul xOy este determinat de punctul O si dreptele Ox,Oy, planul xOz determinat depunctul O si dreptele Ox,Oz iar planul zOy determinat de punctul O si dreptele Oz,Oy.Planele xOy, yOz, xOz se numesc plane de coordonate.

Daca A(1, 0, 0), B(0, 1, 0), C(0, 0, 1) atunci vom nota vectorii reprezentati de−→OA =

−→i ,−→OB =

−→j si

−→OC =

−→k .

Vectorii ın spatiu se introduc analog cu vectorii ın plan iar operatiile care se fac cu acestivectori sunt aceleasi cu cele din plan.

Urmatoarele teoreme si definitii sunt similare cu cele din plan.

19

20 CAPITOLUL 2. GEOMETRIE ANALITICA IN SPATIU

Definitia 2.1 Fie punctul M (x, y, z) . Vectorul−−→OM este numit vectorul de pozitie al

punctului M fata de sistemul de coordonate introdus. Notam −→r =−−→OM iar daca exista

posibilitate de confuzie, notam −→r M =−−→OM si vom citi −→r M vector de pozitie a lui M sau

M(−→r M).

Teorema 2.1 Vectorul −→r = −−→OM se poate exprima ın mod unic ca o combinatie liniara devectorii

−→i ,−→j ,−→k ,

−→r = x−→i + y

−→j + z

−→k .

Daca consideram un vector oarecare din spatiu si ıl pozitionam cu punctul initial ınorigine, atunci el este complet determinat de punctul final. Putem construi un singurparalelipiped dreptunghic cu laturile paralele cu Ox,Oy si Oz. −→r = x

−→i + y

−→j + z

−→k se

numeste expresia analitica a vectorului −→r .

Teorema 2.2 Daca A (x1, y1, z1) si B (x2, y2, z2) atunci−→AB = (x2 − x1)

−→i +(y2 − y1)

−→j +

(z2 − z1)−→k .

Exercitiul 2.1 Sa se scrie expresia analitica a vectorului determinat de punctele (3,−2, 1)si (−1, 5, 4).

Exercitiul 2.2 Sa se scrie expresia analitica a vectorului determinat de punctele (4, 3,−1)si (−1, 2,−3) .

Exercitiul 2.3 Sa se scrie expresia analitica a vectorului determinat de punctele (3,−2, 1)si (−1, 5, 4) si sa se reprezinte grafic.

Teorema 2.3 Daca −→a = x1−→i + y1

−→j + z1

−→k si

−→b = x2

−→i + y2

−→j + z2

−→k atunci au loc

relatiile:

a) −→a +−→b =³x1−→i + y1

−→j + z1

−→k´+³x2−→i + y2

−→j + z2

−→k´= (x1 + x2)

−→i +(y1 + y2)

−→j

+(z1 + z2)−→k .

2.1. VECTORI IN SPATIU 21

b) −→a −−→b =³x1−→i + y1

−→j + z1

−→k´−³x2−→i + y2

−→j + z2

−→k´= (x1 − x2)

−→i +(y1 − y2)

−→j

+(z1 − z2)−→k .

c) α−→a = α³x1−→i + y1

−→j + z1

−→k´= (αx1)

−→i + (αy1)

−→j + (αz1)

−→k .

Exercitiul 2.4 Fie −→a = 2−→i +−→j −3−→k si

−→b = −−→i +5−→j +2−→k . Sa se calculeze −→a +−→b ,

−→a −−→b , 2−→a −−→b .

Exercitiul 2.5 Sa se determine punctul final al vectorului−→AB stiind ca este un reprezen-

tant al vectorului −→a = 2−→i +−→j − 3−→k si A (2,−3, 6) .

Exercitiul 2.6 Sa se determine punctele initial si final ale vectorului−→AB = 2

−→i −4−→j +−→k

stiind ca (2,−3, 5) sunt coordonatele mijlocului segmentului [AB] .

2.1.1 Produs scalar ın spatiu

Definitia 2.1 Fie −→u ,−→v sunt doi vectori liberi ın spatiu. Produsul scalar al perechiiordonate de vectori liberi (−→u ,−→v ) este definit prin

−→u ·−→v =

½0, daca −→u =

−→0 sau −→v =

−→0 ,

k−→u k k−→v k cos^(−→u ,−→v ) daca −→u 6= −→0 si −→v 6= −→0 . (2.1)

Expresia analitica a produsului scalar.Observam ca

−→i · −→i = 1,

−→j · −→j = 1,

−→k · −→k = 1,

−→i · −→j =

−→j · −→i = 0,

−→i · −→k =−→

k ·−→i = 0 si −→j ·−→k =−→k · −→j = 0. Folosind aceste relatii si ınlocuind ın produsul scalar

pe −→u = x1−→i + y1

−→j + z1

−→k si −→v = x2

−→i + y2

−→j + z2

−→k , obtinem

−→u ·−→v =³x1−→i + y1

−→j + z1

−→k´·³x2−→i + y2

−→j + z2

−→k´=

= x1x2³−→i ·−→i

´+ x1y2

³−→i ·−→j

´+ x1z2

³−→i ·−→k

´+ y1x2

³−→j ·−→i

´+

+ y1y2³−→j ·−→j

´+ y1z2

³−→j ·−→k

´+ z1x2

³−→k ·−→i

´+ z1y2

³−→k ·−→j

´+ z1z1

³−→k ·−→k

´=

= x1x2 + y1y2 + z1z1,de unde rezulta expresia analitica a produsului scalar.

Definitia 2.2 Fie −→u si −→v doi vectori din spatiu nenuli, O originea sistemului de coor-

donate si punctele A si B astfel ıncat−→OA ∈ −→u ,

−→OB ∈ −→v . Unghiul [AOB, unghiul dintre

vectorii−→OA si

−→OB cu masura cuprinsa ıntre 00 si 1800, se numeste unghiul dintre vec-

torii −→a si−→b si se mai noteaza ^ (−→u ,−→v ) .

Utilizarea produsului scalar:- pentru a demonstra ortogonaliatatea vectorilor: doi vectori −→u ,−→v sunt ortogonali

(perpendiculari) daca produsul lor scalar este egal cu 0,- pentru a calcula lungimea unui vector: kuk2 = −→u ·−→u , kuk =

px21 + y21 + z21.

- pentru a calcula unghiul a doi vectori nenuli: cos^(−→u ,−→v ) =−→u ·−→vk−→u k k−→v k .


Observatia 2.1 Deoarece |cos^(−→u ,−→v )| ≤ 1 rezulta |−→u ·−→v |k−→u k k−→v k ≤ 1 si se obtine inegali-

tatea Chauchy-Schwarz|−→u ·−→v | ≤ k−→u k k−→v k .

Aceasta inegalitate se poate scrie, ınlocuind expresiile analitice produsului scalar si alungimii vectorilor:

|x1x2 + y1y2 + z1z1| ≤qx21 + y21 + z21

qx22 + y22 + z22

sau(x1x2 + y1y2 + z1z1)

2 ≤¡x21 + y21 + z21

¢ ¡x22 + y22 + z22

¢.

Teorema 2.4 Proprietati ale produsului scalar. Daca −→u ,−→v si −→w sunt trei vectoriın spatiu, atunci:a) −→u ·−→v = −→v ·−→u ,b) (−→u +−→v ) ·−→w = −→u ·−→w +−→v ·−→w ,c) α (−→u ·−→v ) = (α−→u ) ·−→v = −→u · (α−→v ) ,d)−→0 ·−→u =

−→0 .

Verificarea acestor relatii se face prin calcul direct.

Exercitiul 2.7 Fie vectorii −→u = 2−→i +−→j −3−→k si −→v = −−→i +5−→j +2−→k . Sa se calculeze

−→u +−→v , −→u −−→v ,−→u ·−→v si cosinusul unghiului dintre −→u ,−→v .

Exercitiul 2.8 Fie vectorii −→u = 3−→i +

−→j + 3

−→k si −→v = −−→i + 2−→k . Sa se calculeze

−→u +−→v , −→u −−→v ,−→u ·−→v si cosinusul unghiului dintre −→u ,−→v .

Exercitiul 2.9 Sa se studieze ortogonalitatea vectorilor −→u = 3−→i +

−→j − 2−→k si −→v =

2−→i − 4−→j +−→k .

Exercitiul 2.10 Sa se calculeze lungimea proiectiei vectorului −→u = 3−→i + 2

−→j +

−→k pe

−→v = 3−→i + 4

−→j −−→k .

Exercitiul 2.11 Sa se calculeze versorii vectorilor −→u = 2−→i +−→j −2−→k si −→v = −4−→j +3−→k .

Exercitiul 2.12 Sa se demonstreze ca oricare ar fi doi vectori din spatiu

k−→u +−→v k ≤ k−→a k+°°°−→b °°° .

(inegalitatea triunghiulara)

Exercitiul 2.13 Sa se demonstreze ca oricare ar fi −→u ,−→v doi vectori din spatiu

k−→u +−→v k2 + k−→u −−→v k2 = 2¡k−→u k2 + k−→v k2

¢.

(egalitatea paralelogramului)


Exercitiul 2.14 Sa se demonstreze ca oricare ar fi −→u ,−→v doi vectori din spatiu

−→u ·−→v =1

4k−→u +−→v k2 − 1

4k−→u −−→v k2 .

Exercitiul 2.15 Sa se demonstreze ca oricare ar fi −→u ,−→v doi vectori ortogonali din spatiu

k−→u +−→v k2 = k−→u k2 + k−→v k2 .

(Teorema lui Pitagora)

Exercitiul 2.16 Sa se demonstreze ca oricare ar fi −→u ,−→v doi vectori din spatiu−→u ⊥−→v ⇔ k−→u +−→v k = k−→u −−→v k .

Exercitiul 2.17 Sa se demonstreze ca oricare ar fi −→u ,−→v doi vectori din spatiu(−→u +−→v )⊥ (−→u −−→v )⇔ k−→u k = k−→v k .

2.1.2 Produs vectorial

Definitia 2.3 Fie −→u = x1−→i + y1

−→j + z1

−→k si −→v = x2

−→i + y2

−→j + z2

−→k doi vectori ın

spatiu. Produsul vectorial al vectorilor −→u si −→v , notat −→u ×−→v , este vectorul definit astfel:−→u ×−→v = (y1z2 − y2z1)

−→i − (x1z2 − x2z1)

−→j + (x1y2 − x2y1)

−→k .

sau, sub forma de determinant,

−→u ×−→v =

¯¯−→i−→j−→k

x1 y1 z1x2 y2 z2

¯¯ . (2.2)

Determinantul din relatia (2.2) se dezvolta dupa prima linie.

Exercitiul 2.18 Fie vectorii −→u = 3−→i +−→j − 2−→k si −→v =

−→i +2

−→j +−→k . Sa se calculeze

−→u ×−→v si −→u ×−→v . Este adevarata relatia −→u ×−→v = −→u ×−→v ? Este −→u ×−→v perpendicularpe −→u ? Dar pe −→v ?

Proprietatile produsului vectorial

Teorema 2.5 Vectorul −→u ×−→v introdus prin Definitia 2.3 are urmatoarele proprietati:a) −→u ×−→v =

−→0 ⇔−→u k −→v ceea ce ınseamna ca vectorii −→u ,−→v sunt coliniari;

b) −→u ×−→v = −−→v ×−→u ;(proprietatea de anticomutativitate)c) α(−→u ×−→v ) = α−→u ×−→v = −→u × α−→v ,α ∈ R;d) −→u × (−→v +−→w ) = −→u ×−→v +−→u ×−→w ;e) k−→u ×−→v k2 = k−→u k2 k−→v k2 − (−→u ·−→v )2 (Identitatea lui Lagrange)f) k−→u ×−→v k = k−→u k k−→v k sin^ (−→u ,−→v ) .g) k−→u ×−→v k = A¤, unde A¤ reprezinta aria paralelogramului construit cu vectorii liberi−→u si −→v .


Demonstratie. Fie −→u = x1−→i + y1

−→j + z1

−→k , −→v = x2

−→i + y2

−→j + y2

−→k .

a) −→u ×−→v =−→0 ⇔

⎧⎨⎩ y1z2 − y2z1 = 0x1z2 − x2z1 = 0x1y2 − x2y1 = 0

⇔ y1y2= z1

z2= x1

x2= 1

α(cu conventia ca anularea

unui numitor este echivalenta cu anularea si a numaratorului respectiv). Rezulta x1 =

αx2, y1 = αy2, z1 = αz2 ⇒ −→u = x1−→i + y1

−→j + z1

−→k = αx2

−→i + αy2

−→j + αz2

−→k =

α(x2−→i + y2

−→j + y2

−→k ) = α−→v ⇒ −→u ,−→v coliniari.

b) −→u ×−→v =

¯¯−→i−→j−→k

x1 y1 z1x2 y2 z2

¯¯ ,−→v ×−→u =

¯¯−→i−→j−→k

x2 y2 z2x1 y1 z1

¯¯

Cei doi determinanti difera printr-o schimbare de linii, ceea ce face ca ei sa aiba valoricontrare, deci −→u ×−→v = −−→v ×−→u .

(Daca ıntr-un determinant se schimba ıntre ele doua linii, atunci se schimba semnuldeterminantului.)

c) α(−→u ×−→v ) = α

¯¯−→i−→j−→k

x1 y1 z1x2 y2 z2

¯¯ =

¯¯−→i−→j−→k

αx1 αy1 αz1x2 y2 z2

¯¯ = α−→u ×−→v ,

α(−→u ×−→v ) = α

¯¯−→i−→j−→k

x1 y1 z1x2 y2 z2

¯¯ =

¯¯−→i−→j−→k

x1 y1 z1αx2 αy2 αz2

¯¯ = −→u × α−→v ,

de unde rezulta ca α(−→u ×−→v ) = α−→u ×−→v = −→u × α−→v .

(Daca elementele unei linii se ınmultesc cu un scalar α, atunci determinantul se ınmul-teste cu α.)

d) Fie −→u = x1−→i + y1

−→j + z1

−→k , −→v = x2

−→i + y2

−→j + y2

−→k , −→w = x3

−→i + y3

−→j + y3

−→k

−→u × (−→v + −→w ) =

¯¯−→i

−→j

−→k

x1 y1 z1x2 + x3 y2 + y3 z2 + z3

¯¯ =

¯¯−→i−→j−→k

x1 y1 z1x2 y2 z2

¯¯ +

¯¯−→i−→j−→k

x1 y1 z1x3 y3 z3

¯¯ =

−→u ×−→v +−→u ×−→w .

e) k−→u ×−→v k2 = (y1z2 − y2z1)2 + (x1z2 − x2z1)

2 + (x1y2 − x2y1)2 = x21y

22 + x21z

22 −

2x1x2y1y2 − 2x1x2z1z2 + x22y21 + x22z

21 + y21z

22 − 2y1y2z1z2 + y22z

21 ,

k−→u k2 k−→v k2−(−→u ·−→v )2 = (x21 + y21 + z21) (x22 + y22 + z22)−(x1x2 + y1y2 + z1z1)

2 = x21y22+

x21z22 − 2x1x2y1y2 − 2x1x2z21 + x22y

21 + x22z

21 + y21z

22 − 2y1y2z21 + y22z

21 − z41 + z21z

22.

Din compararea celor doua egalitati rezulta identitatea lui Lagrange.

f) Folosim identitatea lui Lagrange si definitia produsului scalar

k−→u ×−→v k2 = k−→u k2 k−→v k2 − (−→u ·−→v )2 = k−→u k2 k−→v k2 − (k−→u k k−→v k cos^ (−→u ,−→v ))2 =k−→u k2 k−→v k2 (1− cos2^ (−→u ,−→v )) = k−→u k2 k−→v k2 sin2^ (−→u ,−→v ) .g) Fie

−→OA ∈ −→u ,

−→OB ∈ −→v


A¤ =°°°−→OA°°° · h = k−→v k (k−→u k sin^(−→u ,−→v )) = k−→u k k−→v k sin^(−→u ,−→v ) = k−→u ×−→v k .¥

Teorema 2.6 Fie −→u = x1−→i + y1

−→j + z1

−→k , −→v = x2

−→i + y2

−→j + y2

−→k . Vectorul −→u ×−→v

este perpendicular pe −→u si −→v .

−→u · (−→u ×−→v ) = x1 (y1z2 − y2z1)− y1 (x1z2 − x2z1) + z1 (x1y2 − x2y1) = 0.Analog −→v · (−→u ×−→v ) = 0.

Exercitiul 2.19 Sa se demonstreze ca:1. −→u ×−→0 = −→0 ×−→u =

−→0 .

2. −→u ×−→u =−→0 .

3.−→i ×−→j = −→k ,

−→j ×−→i = −−→k ,

−→j ×−→k =

−→i ,−→k ×−→i = −→j .

Figura urmatoare este utila pentru memorarea acestor rezultate. Referitor la aceastafigura produsul vectorial a doi vectori consecutivi care parcurg drumul ın sensul acelor deceas este urmatorul vector si produsul vectorial a doi vectori consecutivi care parcurg drumulın sens contrar acelor de ceas este urmatorul vector cu semnul minus ın fata.

Exercitiul 2.20 Este produsul vectorial asociativ? Sa se calculeze, de exemplu,−→i ×

³−→j ×−→j

´si³−→i ×−→j

´×−→j .

Exercitiul 2.21 Sa se calculeze aria triunghiului determinat de punctele: A (2, 2, 0) ,B (−1, 0, 2) si C (0, 4, 3) . Folosind acest rezultat sa se determine ınaltimea din A ın tri-unghiul ABC.

2.1.3 Produsul mixt

Definitia 2.2 Fie vectorii liberi −→u ,−→v ,−→w . Numarul −→u · (−→v ×−→w ) se numeste produsulmixt al vectorilor −→u ,−→v ,−→w .


Definitia 2.3 Trei vectori din spatiu se numesc coplanari daca se gasesc ın acelasi plan.

Teorema 2.7 Fie vectorii liberi −→u ,−→v ,−→w . Atuncia) Daca −→u · (−→v ×−→w ) = 0⇔vectorii sunt coplanari.b) Daca vectorii nu sunt coplanari, modulul produsului mixt al vectorilor −→u ,−→v ,−→w ,

|−→u · (−→v ×−→w )| , este volumul paralelipipedului construit pe cei trei vectori aplicati ın acelasipunct.c) Daca⎧⎨⎩−→u = x1

−→i + y1

−→j + z1

−→k

−→v = x2−→i + y2

−→j + z2

−→k

−→w = x3−→i + y3

−→j + z3

−→k

atunci

−→u · (−→v ×−→w ) =

¯¯ x1 y1 z1x2 y2 z2x3 y3 z3

¯¯ .

Demonstratie.

a) −→u · (−→v ×−→w ) = 0 ⇔⇔

⎧⎨⎩−→u ⊥ −→v ×−→w−→v q −→w−→u =

−→0 sau −→v =

−→0 sau −→w =

−→0⇔ −→u ,−→v ,−→w sunt

coplanari.b) Fie −→u · (−→v ×−→w ) 6= 0. Cu notatiile de mai jos, ϕ 6= 900, avem−→u · (−→v ×−→w ) = k−→u k k−→v ×−→w k cosϕ = ±(aria bazei)(ınaltimea)⇒

|−→u · (−→v ×−→w )| = (aria bazei)(ınaltimea) = volumul paraleleipipedului.

c) −→u ·(−→v ×−→w ) = x1(y2z3−y3z2)−x2(y1z3−y3z1)+x3(y2z1−y1z2) =

¯¯ x1 x2 x3y1 y2 y3z1 z2 z3

¯¯ .¥

Exercitiul 2.22 Sap se calculeze produsul mixt al vectorilor −→u = 3−→i − 2−→j − 5−→k , −→v =−→

i + 4−→j − 4−→k , −→w = 3

−→j + 2

−→k


2.1.4 Dreapta ın spatiu

O dreapta (d) ın spatiu este unic determinata prin:a) un punct si un vector director −→u 6= 0;b) doua puncte distincte;c) intersectia a doua plane.Dreapta determinata un punct si un vector director −→u 6= 0.Determinam ecuatia dreptei (d) care contine punctul M0 si si are directia data de vec-

torul −→u . Fie date ın spatiu: punctul M0 cu vectorul de pozitie −→r 0 si vectorul −→u ,−→u 6= 0.Atunci un punct M cu vectorul de pozitie −→r se afla pe dreapta (d) daca si numai daca

(d) : (−→r −−→r 0)×−→u = 0, (2.3)

echivalent cu

(d) : −→r = −→r 0 + α−→u , α ∈ R. (2.4)

Justificare: M ∈ (d)⇔ −−−→M0M = α−→u ⇔ −→r −−→r 0 = α−→u ⇒vectorii −→r −−→r 0 si −→u suntcoliniari ⇒(2.3). Din −→r −−→r 0 = α−→u ⇒(2.4).H

Ecuatia (2.3) se numeste ecuatia vectoriala a dreptei determinata de un punctsi de un vector director.Daca M0(x0, y0, z0) si −→u = l

−→i + m

−→j + n

−→k atunci un punct M(x, y, z) se afla pe

dreapta (d) determinata de punctul M0(x0, y0, z0) si −→u = l−→i +m

−→j + n

−→k daca si numai

daca ⎧⎨⎩ x = x0 + αly = y0 + αmz = z0 + αn

. (2.5)

Justificare: ınlocuim ın (2.4) −→r0 = x0−→i + y0

−→j + z0

−→k ,−→u = l

−→i + m

−→j + n

−→k si

−→r = x−→i + y

−→j + z

−→k si folosim egalitatea a doi vectori.H


Formulele (2.5) se numesc ecuatiile parametrice ale dreptei (d), α fiind un para-metru real, iar l,m, n se numesc parametrii directori ai dreptei (d). Daca l,m, n 6= 0,

ecuatiile (2.5) se pot scriex− x0

l=

y − y0m

=z − z0n

numite ecuatiile canonice ale

dreptei (d) determinata de un punct si de un vector director.

Exercitiul 2.23 Fie (d1) si (d2) doua drepte paralele cu vectorii −→u1 = −→i +−→k , respectiv

−→u2 = −−→i +−→j +2−→k . Sa se scrie ecuatiile parametrice ale dreptei perpendiculare simultan

pe (d1) si (d2) si care trece prin punctul A(2, 3, 0).

Rezolvare. Fie −→u directia dreptei (d) ceruta prin enunt. −→u ⊥ −→u1 ,−→u ⊥ −→u2 ⇒ −→u estecoliniar cu −→u1 ×−→u1 ,

−→u1 ×−→u1 =

¯¯−→i−→j−→k

1 0 1−1 1 2

¯¯ = −−→i − 3−→j +−→k .

FieM (x, y, z) ∈ (d) ,−−→AM = α (−→u1 ×−→u1 )⇒ (x− 2)−→i +(y − 3)−→j +z−→k = α³−−→i − 3−→j +−→k

´⎧⎨⎩ x = 2− αy = 3− 3αz = α

.¨

Dreapta determinata de doua puncte distincte. Fie date punctele M1 cu vec-torul de pozitie −→r 1, M2 cu vectorul de pozitie −→r 2, M1 6= M2. Deducem ecuatia drepteideterminata de aceste doua puncte. Punctul M cu vectorul de pozitie −→r apartine drepteideterminate de punctele M1 si M2 daca si numai daca vectorul

−−−→M1M2 este coliniar cu

vectorul−−−→M1M, adica

−→r −−→r 1 = α(−→r 2 −−→r 1) (2.6)

Relatia (2.6) se numeste ecuatia vectoriala a dreptei determinata de doua puncte.Daca stim coordonatele punctelor M1(x1, y1, z1), M2(x2, y2, z2) deducem a alta forma a

ecuatiilor dreptei determinata de doua puncte.Inlocuim ın (2.6) −→r1 = x1

−→i + y1

−→j + z1

−→k ,−→r2 = x2

−→i + y2

−→j + z2

−→k si −→r = x

−→i +

y−→j + z

−→k obtinem ⎧⎨⎩ x = x1 + α(x2 − x1)

y = y1 + α(y2 − y1)z = z1 + α(z2 − z1)

. (2.7)

Relatiile (2.7) se numesc ecuatiile parametrice ale dreptei date prin doua puncte.

In acest caz convenim sa scriem:x− x1x2 − x1

=y − y1y2 − y1

=z − z1z2 − z1

si se numesc ecuatiile

canonice ale dreptei date prin doua puncte.

Exercitiul 2.24 Sa se scrie ecuatia dreptei determinata de punctele P (4, 2,−1) si Q (0, 2, 3) .


Exercitiul 2.25 Sa se determine punctul de intersectie al dreptelor⎧⎨⎩ x = 3 + 2αy = 2− αz = 5 + α

,

⎧⎨⎩ x = −3− βy = 7 + βz = 16 + 3β

.

2.1.5 Planul ın spatiu

Geometric, un plan (π) poate fi determinat de:a) un punct al sau si un vector normal la plan, adica un vector

−→N ⊥ (π);

b) un punct si doi vectori necoliniari din plan;c) trei puncte necoliniare din plan;d) o dreapta si un punct exterior ei.Planul determinat de un punct al sau si de un vector normal la plan. Fie M0

cu vectorul de pozitie −→r 0 si−→N ,−→N 6= 0 un vector normal la plan. Atunci un punct M cu

vectorul de pozitie −→r apartine planului daca si numai daca verifica ecuatia:

−→N · (−→r −−→r 0) = 0. (2.8)

Justificare: Fie planul (π) planul cautat. M ∈ (π),M0 ∈ (π), [M0M ] ⊂ (π)⇔ M0M ⊥−→N ⇔ −→N ·M0M = 0⇔−→N · (−→r −−→r 0) = 0.H

Ecuatia (2.8) se numeste ecuatia vectoriala a planului determinat de un punct si unvector normal la plan.Fie punctul M0(x0, y0, z0) si

−→N = A

−→i + B

−→j + C

−→k 6= 0. Atunci M(x, y, z) apartine

planului (π) daca si numai daca

A(x− x0) +B(y − y0) + C(z − z0) = 0 (2.9)

sau, notand D = − (Ax0 +By0 + Cz0) ,

Ax+By + Cz +D = 0. (2.10)


Justificare: M ∈ (π)⇔ −→N · (−→r −−→r 0) = 0. Dar −→r −−→r 0 = (x− x0)−→i + (y − y0)

−→j +

(z − z0)−→k ⇒ (2.9)⇔(2.10).H

Ecuatia (2.10) se numeste ecuatia generala a planului determinat de un punct sidirectia sa normala.Planul determinat de un punct al sau si doi vectori necoliniari din plan.Fie planul (π) care contine punctul M0, cu vectorul de pozitie −→r 0, si vectorii −→u ,−→v

vectori din spatiu necoliniari, −→u ×−→v 6= 0. Atunci un punct M, cu vectorul de pozitie −→r ,apartine planului (π) daca si numai daca vectorii −→u ,−→v ,

−−−→M0M sunt coplanari. Conditia de

coplanaritate a celor trei vectori −→u , −→v ,−−−→M0M = −→r −−→r 0 se poate exprima prin faptul ca

produsul mixt al acestora este egal cu zero,

−→u · (−→v × (−→r −−→r 0)) = 0. (2.11)

Planul determinat de trei puncte necoliniare. Fie M1 cu vectorul de pozitie r1,M2 cu vectorul de pozitie −→r 2 si M3 cu vectorul de pozitie −→r 3, trei puncte necoliniaresituate ın planul (π) a carui ecuatie trebuie sa o deducem. Atunci un punct M cu vectorulde pozitie −→r apartine planului (π) daca si numai daca vectorii

−−−→M1M,

−−−→M1M2,

−−−→M1M3 sunt

coplanari ⇔ −−−→M1M ·³−−−→M1M2 ×

−−−→M1M3

´= 0, adica

(−→r −−→r 1) · ((−→r 2 −−→r 1)× (−→r 3 −−→r 1)) = 0. (2.12)

Daca −→r i = xi−→i + yi

−→j + zi

−→k , i = 1, 2, 3 si −→r = x

−→i + y

−→j + z

−→k atunci relatia (2.12)

este echivalenta cu¯¯ x− x1 y − y1 z − z1x2 − x1 y2 − y1 z2 − z1x3 − x1 y3 − y1 z3 − z1

¯¯ = 0⇔

¯¯ x y z 1x1 y1 z1 1x2 y2 z2 1x3 y3 z3 1

¯¯ = 0.

Exercitiul 2.26 Sa se scrie ecuatia planului determinat de punctele A (1, 0, 1) , B (−1, 4, 1)si C (−2,−2, 2) .


Exercitiul 2.27 Sa se deseneze planul x+ 2y + 3z = 6.

Exercitiul 2.28 Sa se deseneze planul x+ 2y = 4.

Definitia 2.4 Fie planele (π1), (π2) cu vectorii normali−→N1,−→N2. Se numeste unghiul for-

mat de planele (π1), (π2) unghiul dintre vectorii normali−→N1,−→N2.

Observatia 2.2 Daca notam cu α unghiul dintre cele doua plane, α = \((π1), (π2)), atunci

cosα =

−→N1 ·−→N2°°°−→N1

°°°°°°−→N2

°°° . (2.13)

Teorema 2.8 Fie planele (π1), (π2) de ecuatii(π1) A1x+B1y + C1z +D1 = 0(π2) A2x+B2y + C2z +D2 = 0.Atunci (π1) ⊥ (π2) daca si numai daca normalele la plan sunt perpendiculare, adica

A1A2 +B1B2 + C1C2 = 0; (2.14)

Demonstratie. Formula (2.13) se poate rescrie, tinand seama de ecuatiile planurilor side expresia vectorilor normali, de forma

cosα =A1A2 +B1B2 + C1C2p

A21 +B21 + C2

1

pA22 +B2

2 + C22

, α =π

2⇒ cosα = 0 si de aici rezulta (2.14).¥

Exercitiul 2.29 Sa se determine ecuatia planului (π) ce trece prin punctele A(2, 0, 0),B(0, 0, 3) si face un unghi de 60◦ cu planul orizontal xOy.

Rezolvare. Ecuatia generala a planului (π) este Ax+By+Cz+D = 0. Impunem conditiileca punctele A si B sa se gaseasca ın plan.2A+D = 0, 3C +D = 0⇒ A = −D

2, C = −D

3.

Ecuatia planului devine −D2x+By − D

3z +D = 0. Normala la planul (π) este

−→N (P ) =

−D2

−→i + B

−→j − D

3

−→k , iar normala la planul xOy,

−→N (xOy) =

−→k . Unghiul dintre cele doua

plane se calculeaza

12=

−D3q¡

−D2

¢2+B2 +

¡−D3

¢2 , B = ±D√3

6⇒

−D2x± D

√3

6y − D

3z +D = 0⇒ Dx∓D

√3y + 2Dz + 6D = 0⇒ x∓

√3y + 2z + 6 = 0.

Dreapta ca intersectie de doua plane. Fie doua plane de ecuatii(π1) A1x+B1y + C1z +D1 = 0(π2) A2x+B2y + C2z +D2 = 0.Daca planele nu sunt paralele, atunci intersectia lor este o dreapta de ecuatii:

(d) :

½A1x+B1y + C1z +D1 = 0A2x+B2y + C2z +D2 = 0

Directia dreptei este data de vectorul produs vectorial dintre normalele la cele douaplane.


Definitia 2.5 Fie planele½(π1) : A1x+B1y + C1z +D1 = 0(π2) : A2x+B2y + C2z +D2 = 0

. (2.15)

Familia de plane πα,β : α (A1x+B1y + C1z +D1) + β (A2x+B2y + C2z +D2) = 0, cuα, β ∈ R, se numeste fascicol de plane cu planele de baza π1 si π2.

Exercitiul 2.30 Fie dreapta

(d) :

½x− y − 3z + 2 = 02x+ y + 2z − 3 = 0

si planul (P ) : x+ y + z + 1 = 0. Se cere:a) Sa se scrie ecuatia planului ce determinat de dreapta (d) si punctul O(0, 0, 0).b) Sa se scrie ecuatia planului ce contine dreapta (d) si e perpendicular pe planul (P ).

Exercitiul 2.31 Sa se determine ecuatia planului (P ) ce trece prin dreapta de intersectiea planelor (P1) : x + 5y + z = 0, (P2) : x − z + 4 = 0, stiind ca face un unghi de 45◦ cuplanul (P3) : x− 4y − 8z + 14 = 0.

Rezolvare. Scriem ecuatia fascicolului de plane care trece prin dtreapta de intersectie aplanelor (P1) si (P2)

α (x+ 5y + z) + β (x− z + 4) = 0⇔ (α+ β)x+ 5αy + (α− β) z + 4β = 0.Vectorul normal al unui plan din fascicol este−→N f = (α+ β)

−→i + 5α

−→j + (α− β)

−→k .

Vectorul normal la planul (P3) este−→N (P3) =

−→i − 4−→j − 8−→k .

cosπ

4=

α+ β − 20α− 8 (α− β)q(α+ β)2 + 25α2 + (α− β)2

√1 + 16 + 64√

2

2=

9β − 27α9p27α2 + 2β2

⇒ β = −34α

Inlocuim ın ecuatia fascicolului de plane si simplificam prin α¡α− 3

4α¢x+ 5αy +

¡α− 3

4α¢z − 4 · 3

4α = 0

x+ 20y + z − 12 = 0.

Exercitiul 2.32 Sa se scrie ecuatia planului care contine punctul P (1, 3,−2) si este per-pendicular pe dreapta determinata de punctele A(2, 5, 1) si B(0, 1,−3).

Exercitiul 2.33 Sa se scrie ecuatia planului care contine doua drepte de ecuatii:⎧⎨⎩ x = 1y = 3 + 2αz = 4 + α

,

⎧⎨⎩ x = 1 + 4βy = 3 + 2βz = 4 + 2β

.

Exercitiul 2.34 Sa se scrie ecuatia planului care contine doua drepte de ecuatii:⎧⎨⎩ x = 1 + αy = 3− 2αz = −2 + 2α

,

⎧⎨⎩ x = 4 + βy = 2− 2βz = −1 + 2β

.


Exercitiul 2.35 Fie planul (P ) : x− y + 2z = 0 si punctul A(1, 0, 1). Se cere:a) sa se determine coordonatele proiectiei punctului A pe planul (P );b) sa se determine coordonatele proiectiei punctului A pe dreapta d(M1,M2), unde

M1(0, 2, 1) si M2(−2, 0, 1).

Exercitiul 2.36 Se considera punctul M(2, 1,−3), dreapta (d) : x − 2 = y = 2z + 1 siplanul (P ) : x+ 2y − 3z + 4 = 0.a) Sa se afle distantele de la punctul M la (P ) si la dreapta (d).b) Sa se afle unghiul dintre dreapta si plan.

ALGA_cap2

Documents

Transcript of ALGA_cap2