Alga 1 Polares Cilindricas Esfericas
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GUIDG.COM – PG. 1
4/1/2010 – ALGA-1: Revisão – Coordenadas: Polares, Cilíndricas e Esféricas.
* Desenvolvido a partir da Apostila de Álgebra 1 (DMAT, UDESC-CCT)* Revisão de conteúdo sem formalidades, com exercícios resolvidos.
Antes do sistema polar, é importante que você esteja familiarizado com a tabela de ângulos notáveis,pois será necessário para a construção de gráficos e localização de pontos (uma calculadora cientifica
irá ajudar).
θ 0π
6 ff
ff π
4 ff
ff π
3 ff
ff π
2 ff
f
π =
180º
sen θ 01
2 f
f 2p wwwwwwwwwwwwwwwww
2 f
ff
ff
f 3p wwwwwwwwwwwwwwwww
2 f
ff
ff
f 1 0
.
Circunferência de raio 1, com centro em (0,0)
cos θ 13p wwwwwwwwwwwwwwwww
2 ff
ff
ff
f 2p wwwwwwwwwwwwwwwww
2 f
ff
ff
f 1
2 f
f0 -1
Coordenadas Polares.
Assim como o sistema cartesiano P(x,y) existem outros sistemas, um deles é o sistema polar, os
outros sistemas que estudaremos serão: as coordenadas cilíndricas e as esféricas.
Considere as figuras ao lado:ρρρρ: letra grega rô, θθθθ: letra grega theta.
No sistema polar, localiza-se um ponto através:
1 - Da distância desse ponto até a origem e
chamamos de ρρρρ.
2 – Pelo ângulo que essa reta forma com o eixo
polar.
Obs: a distância , é chamada de raio vetor .
E o ponto é apresentado na forma P(ρρρρ,,,, θθθθ))))
Os únicos cuidados são:θθθθ > 0> 0> 0> 0 ,,,, e ρρρρ > 0> 0> 0> 0 então estará como na figura 1.
Exemplo: (2,π
4 ff
).
Mas se θ < 0θ < 0θ < 0θ < 0 ,,,, e ρρρρ > 0> 0> 0> 0 então estará como na
figura 2. Exemplo: (2, @3π
4 ff
ff
f)
(fig.1)
(fig.2)
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Exemplos de representação de pontos com o sistema polar, (dica: refaça os exemplos!)
a) P2 @2 ,π
4 ffd e
b) P3 @2 ,@π
4 ff
ffd e
Relação entre o sistema cartesiano e o sistema polar. Convertendo Coordenadas.
(1) Fazendo coincidir a origem do sistema polar (ρ, θ)
com à do sistema cartesiano (x,y) , a relação que se tem
para o primeiro quadrante (fig.3) é o triangulo retângulo,
então a partir disso vale as relações trigonométricas seno e
co-seno.
senθ =cateto oposto
hipotenusa ff
ff
ff
ff
ff
ff
ff
ff
ff
ff
ff=
y
ρ
f
f[ y = ρ A senθ
cosθ =cateto adjacente
hipotenusa ff
ff
ff
ff
ff
ff
ff
ff
ff
ff
ff
ff
ff=
x
ρ
ff[ x = ρ A cos θ (fig.3)
(2) Agora se elevarmos as duas ao quadrado e somarmos membro a membro temos:
y = ρ A senθ [ y2 = ρ2Asen2 θ
x = ρ A cos θ [ x2 = ρ2Acos2 θ
X\Z
Logo: y2 + x2 = ρ2Asen2 θ + ρ2
Acos2 θ
Ou: y2 + x2 = ρ2 sen2 θ + cos2 θb c
Mas: sen2 θ + cos2 θ = 1 (Relação fundamental)
Então: y2 + x2 = ρ2
Ou: ρ =F y2 + x2q wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww
Com essas relações, podemos converter coodernadas polares em cartesianas ou vice e versa.
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Coordenadas cilíndricas:
Agora que já conhecemos o sistema polar, basta adicionar o eixo z e pronto, passamos a ter o sistema
cilíndrico. Este se mostra muito útil quando precisamos determinar áreas e volumes quando a
superfície limite é de revolução.
No sistema cartesiano representamos um ponto
pelas coordenadas P(x,y,z). No cilíndrico porP(ρ, θ, z), que são na verdade as coordenadas
polares (ρ, θ) mais a coordenada z do sistema
cartesiano (ver fig. ao lado).
O que ocorre em cilíndricas, é que escrevemos
as coordenadas polares (para um ponto
qualquer), e arrastamos o ponto no eixo z (do
sistema cartesiano), em qualquer sentido.
Curiosidade: Imagine que você tenha a coordenada ρ ρρ ρ constante, se
variarmos θ em 360º, passamos a ter uma circunferência (de raio ρ ρ ρ ρ )
, e por último arrastando a circunferência no eixo z, então geramos
uma superfície cilíndrica , e por isso o sistema tem esse nome.
Veja a figura ao lado, se você imaginou alguma coisa parecida,
então esta no caminho certo!
Convertendo coordenadas cilíndricas, relações de conversão:
A mesma relação é válida, mas agora
adicionamos o z:
y = ρ A senθ [ y2 = ρ2Asen2 θ
x = ρ A cos θ [ x2 = ρ2Acos2 θ
z = z
X̂̂\̂^̂̂Z
Logo: ρ =F y2 + x2q wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww
Podemos obter θθθθ,,,, dividindo o primeiro pelo
segundo, lembrando da relação:.
tgθ =senθ
cosθ ff
ff
ff
ff.
.
y x
ff=
ρ A senθ
ρ A cos θ
ff
ff
ff
ff
ff
ff
f
.y
x ff
= tgθ
.
Logo: θ = arc tg yx ff
f
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Coordenadas Esféricas:
Visto o sistema polar e o cilíndrico, vamos para
o sistema esférico. Este pode parecer
complicado, mas veremos que é só aparência. A
diferença para o sistema polar é que ele se
encontra no espaço (assim como o cilíndrico).
Defini-se a posição do ponto pela sua distânciaaté a origem ρρρρ (rô), mais duas coordenadas
angulares θθθθ (theta) e φφφφ (fi).
O ponto é apresentado na forma P(ρ, θ, φ), onde
ρ é o raio vetor, θ é a longitude, e φ é a co-
latitude.
Agora o que realmente importa : As relações de conversão entre os sistemas.
Esféricas em cartesianas:
x = OR = ρ A senφ A cosθ
y = RQ = ρ A senφ A senθ
z = QP = ρ A cosφ
X̂̂\̂^̂̂Z
Cartesianas em esféricas:
ρ =F x2 + y2 + z2q wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww .
θ = arc tgyx ff
ff.
φ = arc coszρ ff
.
Demonstração:
Dos triângulos da figura deduzimos:
Triângulo OPQ:
senφ =cateto oposto
hipotenusa ff
ff
ff
ff
ff
ff
ff
ff
ff
ff
ff=
OQ
ρ
ff
ff
ff[ OQ = ρ A senφ
cosφ =cateto adjacente
hipotenusa ff
ff
ff
ff
ff
ff
ff
ff
ff
ff
ff
ff
ff
ff=
QP
ρ ff
ff
ff[ QP = ρ A cos φ
Então: z =
QP= ρ A
cosφ
Agora o triângulo ORQ:
senθ =cateto oposto
hipotenusa ff
ff
ff
ff
ff
ff
ff
ff
ff
ff
ff
f=
RQ
OQ ff
ff
ff[ RQ = OQA sen θ
Substituindo OQ: y = RQ = ρ A senφ A senθ
cosθ =cateto adjacente
hipotenusa f
ff
ff
ff
ff
ff
ff
ff
ff
ff
ff
ff
ff
ff=
OR
OQ f
ff
ff[ OR = OQA cosθ
Substituindo OQ: x = OR = ρ A senφ A cosθ
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Agora se elevarmos todas as relações ao quadrado e somarmos membro a membro, temos:
x2 = ρ2Asen2 φ Acos2 θ
y2 = ρ2Asen2 φ Asen2 θ
z2 = ρ2Acos2 φ
X̂̂^̂\^̂̂̂Z
x2 + y2 + z2 = ρ2Asen2 φ Acos2 θ + ρ2A sen2 φ A sen2 θ + ρ2Acos2 φ
Fatorando:
x2 + y2 + z2 = ρ2Asen2 φ cos2 θ + A sen2 θ
b c+ ρ2
Acos2 φ
Relação fundamental:
x2 + y2 + z2 = ρ2Asen2 φ + ρ2Acos2 φ
Ou:
x2 + y2 + z2 = ρ2 sen2 φ + cos2 φb c
Relação fundamental (de novo):
x2 + y2 + z2 = ρ2
Ou:
ρ =F x2 + y2 + z2q wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww
Agora se pegarmos as duas primeiras relações demonstradas anteriormente e dividirmos, obtemos:
x y ff= ρ
Asenφ
Acosθ
ρ A senφ A senθ f
ff
ff
ff
ff
ff
ff
ff
ff
ff
ff
ff
ff x
y
ff=
cosθ
senθ f
ff
ff
ff
f(invertendo e aplicando a relação: tgθ =
senθ
cosθ
ff
ff
ff
ff)
tgθ =y
x
ff
Assim:
θ = arc tg yx ff
ff
O mesmo para:
z = ρ A cosφ
Então:
z
ρ ff
= cosφ [ φ = arc coszρ f
ff