Album de desene realizate cu functii supermatematice Selariu – 2012
-
Upload
stroie-claudiu-cristian -
Category
Documents
-
view
156 -
download
13
description
Transcript of Album de desene realizate cu functii supermatematice Selariu – 2012
Ion Ghiocel, P R E F A Ţ Ă
P R E F A Ţ Ă
Pentru PREFAŢĂ, fiind “repartizate” doar 2(două) pagini, sunt nevoit să intru direct în subiect,
predicat, complement, cât, mai ale , în sfera complimentelor... Căci, dacă DEX-ul defineşte un ALBUM
drept “caiet în care se păstrează fotografii, ilustrate, mărci poştele, versuri, citate etc.”, în cazul de faţă
contemplăm o alcătuire aparte, inter, intra şi transdisciplinară, cu imagini (şi nu numai) de referinţă, care
nu pot lăsa insensibilă percepţia retinei & creierului...
Nemargini de sugestivitate „afişează” autorul încă de la coperta principală, unde, desparte în
silabe şi scrie titlul pe două rânduri ... În tendinţa generalizată de „cosmopolitism” (cu accent pe engleză),
dublând consoana L şi substituind vocala U prin OO, rezultă ALL BOOM, adică, într-o traducere (cât se
poate de) liberă, totul (e) senzaţional !
De altfel, oricine are privilegiul să “răsfoiască“ ALBUMul nu va considera exagerată deducţia din
fraza anterioară! În plus, experienţa de viaţă şi de-o viaţă mă îndeamnă să fiu prudent (până la avariţie) cu
aprecierile pozitive, conştient fiind că unele elogii neagă valoarea (e ca şi cum ai spune că Shakespeare
are talent...) ...Şi totuşi, cu toată circumspecţia de rigoare, adevărul nu trebuie (nu poate fi) escamotat !
O precizare sunt dator a face, în calitate de prim “cititor” (am primit de-a lungul timpului, capitol
cu capitol, în ritmul elaborării, ceea ce mi-a dat răgazul să analizez / aprofundez toate detaliile): precum,
între artele frumoase, muzica se distinge detaşat, aşişderea, între multiplele albume imaginabil, ALBUMul
prezent este absolut singular...
S-a spus că, în înţelegerea muzicii (e vorba, evident, de MAREA MUZICĂ, de sorginte cultă)
sunt de parcurs trei etape :
1) nebulos-afectivă (percepţie preponderent senzorială),
2) lucid-intelectuală (cu accent pe depistarea unui „suport literar”),
3) afectiv-intelectuală (recepţie, deopotrivă, prin simţire şi raţiune ).
Paralelismul invocat în alineatul anterior se menţine, astfel încât simpla răsfoire (în ordine, ori
aleatorie) a filelor din ALBUM induce senzaţia de plăcere, de dragoste la prima vedere...
Varietatea “exponatelor”, insolitul unora dintre ele, eleganţa, simetria “punerii în pagină”,
cromatica etc. etc. stau la originea desfătării ochiului, dar, în egală măsură, incită la prospecţiuni
intelectuale ...
O amplă şi doctă INTRODUCERE (30 file !) explicitează geneza “figurilor” inserate, destinatari
fiind, fără criterii discriminatorii : ingineri, matematicieni, pictori, graficieni, arhitecţi ş.m.a.
Noile complemente de matematică, reunite sub titulatura de matematică excentrică (ME), extind
(teoretic, la infinit) aria de aplicabilitate, FUNCŢIILE SUPERMATEMATICE ŞELARIU fiind argumente
indubitabile în acest sens ! Autorul a trudit îndelung (cu deosebire, în ultimele trei decenii) şi fecund pe
ogorul elitist al domeniului: simpla consultare a BIBLIOGRAFIEI atestând că, din 67 “poziţii”
menţionate, 42 (articole, studii, conferinţe, lucrări propriu-zise) îi aparţin în exclusivitate , iar 13 sunt
colaborări cu personalităţi de pregnantă notorietate ştiinţifică .
Sintagme şocante, precum “multiplicarea vertiginoasă a dimensiunilor Universului” devin
plauzibile (şi explicitate) prin înlocuirea timpului (din spaţiul cvadridimensional al lui Einstein) cu
excentricitatea (e)...Pe cale de consecinţe, clasicele corpuri geometrice (pentru e = 0) : sferă, cilindru, con
se metamorfozează (pt. e = +/- 1) respectiv, în cub, prismă, piramidă ...
Ion Ghiocel, P R E F A Ţ Ă
Pe lângă “expunerea de motive” şi relaţiile explicative, zeci de grafice, varii figuri şi reprezentări
întregesc spectrul introductiv, de aşa manieră încât consultarea ALBUMului propriu-zis să se facă în
deplină cunoştinţă de cauză.
Dacă este să enumerăm “repere” din CUPRINS, vom menţiona, pentru început, elementele
specific matematice : cuburi, conuri, piramide, diferite variante de tor, “obiecte” ale matematicii centrice
& excentrice şi lista e departe de a fi completă...
Nu lipsesc cele ce s-ar încadra în categoria“utilitare”: lampioane, pocale, clepsidre, împletituri,
nici cele numite de autor “fluturaşi”, „caracatiţe”, „farfurii zburătoare”, „meduze” etc., toate realizate
superlativ d.p.d.v. al formelor şi cromaticii !
„Arătări în 3 vederi”, „aranjamente în 3D”, linii de nivel, joc de ape, ouă colorate şi
încondeiate (chiar excentrice!) ş.m.a. adaugă valenţe suplimentare de netăgăduit. Cu referire la “ultimul
sortiment” din înşiruirea anterioară, mică paranteză se impune. Într-una din magnificele sale poeme,
regretatul Nichita Stănescu afirmă : „Cu asupra de măsură / Făcui cercului curbură / Şi, gândindu-l în
ecou, / L-am ogivă pân-la ou”. Poetul nepereche reuşeşte (pe parcursul unui singur catren) două
performanţe :
(1) să curbeze cercul şi
(2) să dea substantivului ogivă valenţe de verb, în sensul că a ogivat cercul până la stadiul de ou..!
Imprevizibilul autor al ALBUMului nu se lasă mai prejos, şi, graţie SUPERMATEMATICII sale,
capacitează galinaceele să producă ouă excentrice !
Spirit ordonat prin excelenţă, autorul nu ezită a organiza chiar HAOSul, 27 de imagini (inserate în
pag.164-167) stau mărturie în acest sens...
În sfera sculptural - ecumenică, se remarcă Statuia lui Budha, cât şi multiplele ipostaze ale
coloanei fără sfârşit, la care eroticul şi ereticul nu se exclud, ci, dimpotriv, sunt complementare...
Nu ar fi completă această înşiruire, fără evidenţierea celor 24 ipostaze ale organului numit GURĂ
(vezi pag.109-112), implicat / implicată într-un esperanto gestual de subtil rafinament...
Anexa 1 aduce pertinente clarificări în calificarea SPAŢIULUI MATEMATICII CENTRICE
drept caz particular al SPAŢIULUI SUPERMATEMATIC (e = 0), iar Anexa 2 se doreşte a fi (şi este!) un
eseu ÎN CĂUTAREA INVIZIBILULUI... Parafrazându-l pe Blaise Pascal, autorul ALBUMului proclamă
sentenţios: „Universul este un cerc /(o sferă) – sau poate avea oricare altă formă geometrică 3D inchisă-
al cărui excentru E(e, ε) e pretutindeni , iar circumferinţa nicăieri” !
& & &
La capătul acestor modeste consideraţii, este de subliniat faptul că un ALBUM nu poate fi
povestit, ci trebuie văzut, răsfoit, stăruit asupra fiecărei pagini, studiat în ansamblu...
...Strădania vă va fi răsplătita „cu asupra de măsură”...Mă pun chezaş în această speţă !
„Vânturile, valurile” au favorizat întâlnirea (subsemnatului cu autorul) în urmă cu 54 de ani !
Timp de un lustru am fost colegi la Institutul Politehnic Timişoara, Facultatea de Mecanică, secţia
TCM...
Perioadă suficientă de cunoaştere reciprocă ...Mărturisesc sincer că aş avea suficiente motive să-l
„bârfesc”, din invidie, pur şi simplu... În studenţie mă depăşea la toate capitolele : era f. bun matematician,
desenator, caricaturist, campion regional şi la două zone la gimnastică, fotbalist de performanţă... Ca să nu
mai vorbesc de cariera didactică postuniversitară, activitatea ştiinţifică de largă recunoaştere internaţională
...............................................................
Aşadar...recomand cu toată căldura acest ALBUM, cu deplin temei putând fi consemnat, pentru
prezent şi posteritate, ALL BOOM !
Ing.Ioan Ghiocel
ALBUM DE DESENE
REALIZATE CU FUNCŢII SUPERMATEMATICE ŞELARIU
5
Motto: “ Creaţia- singurul surâs al tragediei noastre”
Lucian Blaga
Capitolul 1 I N T R O D U C E R E
FUNCŢIILE SUPERMATEMATICE
CARE AU FĂCUT POSIBILĂ REALIZAREA ACESTUI ALBUM
Nu INTRODUCEREA, ci PREFAŢA este cea mai importantă parte a unei cărţi. Chiar şi
criticii o citesc. De aceea, am lăsat-o pe sema unui coleg şi prieten care ştie să mă laude. Imi plac,
sincer, laudele! Şi să ofer, dar, mai ales, să le primesc. Dacă găsiţi măcar simpatic acest ALBUM, la
preţul la care l-aţi achizitionat, nu vă sfiiţi, comunicaţi-ne. Printr-un e-mail. Adresa este dată în finalul
introducerii. Aşa se obişnuieşte. Puteţi folosi şi adresa Redacţiei Editurii “ TREIRA “ din Oradea.
Să nu uitaţi să o felicitaţi pentru că a publicat acest ALBUM. Numai aşa, o nouă ediţie a
ALBUM-ului ar putea soluţiona cererea pieţei. Alţii citesc introducerea după ce au terminat de răsfoit
/ citit întreaga carte. E bine şi aşa, numai scrieţi-ne ! De bine !
Aici nu e cazul. Un ALBUM întâi se răsfoieşte, apoi se citeşte pe sărite şi doar cei ce găsesc
teme, sau desene, care i-ar putea interesa, mai continuă. Să citească şi să admire, dacă este cazul, şi
sperăm să fie, doar ce-i interesează. Din când în când, mai privesc desenele care le-au rămas întipărite
pe retină, de fapt în / pe creier, dar aşa se zice: “pe retină”.
Nimeni nu citeşte matematica din “scoarţă în scoarţă”. Darămite, o introducere, chiar dacă este
o introducere “artistică”, zice autorul, în aceste frumoase taine ale noii matematici. De aceea, vă
sfătuim să vă ascundeţi banii într-o carte de Matematică. Pe asta n-o deschide nimeni !
Cu supermatematica e cu totul şi cu totul altfel. Unii se descurajează chiar de la început. Nu
citesc nici măcar introducerea. Prefaţa, nici atât. Apoi cârcotesc, cârcotesc, cârcotesc.
De aceea îmi permit, în INTRODUCERE, să le spun lucrurilor pe nume: Nu vă place
matematica, săriţi peste Introducere ! De ce e necesară o prezentare a “uneltelor matematice de
desenare” ? Mi-am pus şi eu această întrebare în anul 2007, când a apărut primul ALBUM de acest fel
în SUA. Locul 10, în topul de 10, în luna august 2007, din peste 1650 de lucrări, după o statistică
Gallup. Ȋn lunile următoare s-a vândut şi mai bine ! Mi-a răspuns editorul: “Americanii vor să ştie cum
l-ai facut, ca să poată face şi ei !” Inteligentă constatare, inteligenţi americanii ăştia ! Dar românii ?
Românii, vor şi ei să ştie ? Vor şi ei să facă ? Să facă şi mai bine ? Mai bine ca americanii ?
Pentru orice eventualitate, am specificat, în numeroase cazuri şi ecuaţiile utilizate. Şi vă spun
un secret: Multe din formele prezentate în ALBUM sunt rezultatul scrierii greşite a unor ecuaţii (v.
Fig. 7,b). Le-am denumit … “modificate”. Ecuaţiile. Dacă mi-au placut, le-am salvat, şi vi le prezint
şi dumneavoastră. “De gustibus et coloribus non est disputandum”, a zis Seneca !
Albumul, pe care-l ţineţi în mână, mi-aş dori să vă fie un aliat fidel în lupta / dorinţa voastră
de descifrare plăcută a tainelor noilor complemente de matematică, reunite sub denumirea de
supermatematică. De aceea, INTRODUCEREA a fost scrisă, intenţionat, nu în limbaj matematic, ci
într-un limbaj comun, de poveste, pe înţelesul tuturor.
Acest ALBUM este realizat tehnic în diverse programe de matematică, precum
MATHEMATICA 8 a lui Stephan Wolfram dar nu este o carte de matematică. Şi nici autorul nu este
matematician. “Spune-le c-ai fost fotbalist” mi-a sugerat cineva, “aşa se va vinde mai bine”! Aşa-i !
Introducerea ALBUM-ului este despre supermatematică, mai precis, o poveste despre
supermatematică, o poveste despre ce-ar putea fi nou (dar chiar este nou !) în matematică.
De aceea, ea poate fi citită fără dificultate de colegii autorului. De ingineri. Chiar şi
matematicienii ar putea găsi, fară un efort exagerat, unele lucruri noi, extrem de noi, care ar putea să-i
ALBUM DE DESENE
REALIZATE CU FUNCŢII SUPERMATEMATICE ŞELARIU
6
intereseze. Cei cu un ascuţit simt artistic, pictori, graficieni, arhitecţi şi alţii, care agreează acest
ALBUM, pot găsi în el, în ALBUM, forme noi care ar putea să-i inspire ! Dacă nu, măcar banii
ascunşi! Ne inspirăm din natură, dar puteţi uşor constata că şi supermatematica este o a doua natură.
Ȋnseşi graficele diverselor funcţii supermatematice, în sine, sunt suficient de “artistice” pentru a fi
incluse în prezentul ALBUM, chiar în această Introducere (v. Fig.2, Fig.3, Fig.4, Fig.5, Fig.6, ş.m.a.).
Funcţiile, care stau la baza generării obiectelor mai tehnice şi mai mult sau mai puţin artistice,
neogeometrice, incluse în acest album, sunt denumite funcţii supermatematice (FSM).
Denumirea de neogeometrice le-a dat-o reputatul matematician american, de origine română,
Prof. Dr. Math. Florentin Smarandache, şeful Departamentului de Stiinţă şi Matematică al
Universităţii Gallup din New Mexico.
Tot el a adăugat la “supermatematice” şi denumirea de “Şelariu”, ca să se deosebească de
alte, eventuale, funcţii supermatematice. Asta înseamnă să ai viziunea viitorului ! El este şi primul
editor al albumului “TEHNO ART OF SELARIU SUPERMATHEMATICS FUNCTIONS” în Editura
ARP (American Research Press), 2007. El i-a stabilit şi titlul. Poate de aceea se vinde atât de bine.
Aceste funcţii sunt rodul a 42 de ani de cercetări, începute în anul 1969, la Universitatea din
Stuttgart, timp în care au fost publicate peste 67 de lucrări, în acest domeniu, scrise de peste 21 autori,
aşa cum se poate deduce şi din capitolul de Bibliografie.
Orice carte, care se respectă, chiar şi un ALBUM, care se respectă şi el, trebuie să fie
prevăzut/ă sau să conţină şi o Bibliografie, din care să rezulte stadiul de dezvoltare al domeniului
respectiv. Ȋn ceea ce priveşte supermatematica, acesta este satisfăcător spre mulţumitor, dar se putea
şi mai bine ! Detalii cu privire la cine, ce şi cum au pus frâne supermatematicii, se găsesc în Revista
Agero Stuttgart (http://www.agero-stuttgart.de/) în articolul “ Nimic despre supermatematică,
totul despre prostie ”.
Fig.1 Schiţă explicativă pentru definirea funcţiilor supermatematice circulare excentrice
(FSM-CE) cosinus (cex1,2θ) şi sinus (sex1,2θ) de variabilă excentrică θ ◄
şi de variabilă centrică α (Cexα1,2 şi Sexα1,2) ►
Denumirea de supermatematică (SM) aparţine regretatului matematician Prof. em. dr. doc.
ing. Gheorghe Silaş care, la susţinerea primelor lucrări din acest domeniu [1], [3], la Prima Conferinţă
Naţională de Vibraţii în Construcţia de Maşini, Timişoara, 1978, intitulate “ FUNCŢII CIRCULARE
ALBUM DE DESENE
REALIZATE CU FUNCŢII SUPERMATEMATICE ŞELARIU
7
EXCENTRICE” a declarat: “ Tinere, dumneata nu ai descoperit numai nişte funcţii, ci o nouă
matematică, o supermatematică ”. M-am bucurat, la cei 40 de ani, câţi aveam atunci, ca un
adolescent. Şi am constatat, cu multă satisfacţie, că s-ar putea să aibă dreptate ! Ȋn 1978 ! Ȋn 2000,
deci după 22 de ani, mi-a propus să scriu un articol de supermatematică în revista de “Mecanica
Solidului Rigid” la care era redactor. Aşa s-a născut lucrarea [26] “TRANSFORMAREA RIGUROASĂ
ÎN CERC A COMPLIANŢEI”. Importantă, zicem noi. Are şi frecvenţă negativă !
Fig.2 FSM-CE cosinus cexθ ◄ şi sinus sexθ ► excentrice de variabilă excentrică θ
Prefixul super se justifică astăzi, pentru a scoate în evidenţă apariţia noilor complemente de
matematică, reunite sub denumirea de matematică excentrică (ME), cu entităţi mult mai importante
şi infinit mai numeroase decât entităţile existente în actuala matematică, ordinară, pe care suntem
obligaţi să o denumim matematică centrică (MC).
1 2 3 4 5 6
1.0
0.5
0.5
1.0
1 2 3 4 5 6
1.0
0.5
0.5
1.0
ALBUM DE DESENE
REALIZATE CU FUNCŢII SUPERMATEMATICE ŞELARIU
8
Fiecărei entităţi din MC îi corespund o infinitate de entităţi similare în ME, astfel că,
supermatematica (SM) este reuniunea celor două domenii, adică SM = MC ME şi MC este un caz
particular, de excentricitate nulă a ME. Adică, MC = SM(e = 0).
Fiecărei funcţii cunoscute în MC îi corespund o familie, cu o infinitate de funcţii în ME şi, în
plus, dacă după infinit se mai poate plusa, apar o serie de funcţii noi, cu largi utilizări în matematică şi
în tehnologie. Ȋn ordine alfabetică: aex, bex, cex, dex, (e, f, g, h, i, j k, l, m, n, o, p - deocamdată NU !)
qcos sau coq, qsin sau siq, rex, sex, tex, uex, vtan sau tav, vtex sau texv, - V de la Voinoiu Octavian!-
Astfel, la x = cosα îi corespunde familia de funcţii x = cexθ ≡ cex(θ, S) ≡ cex [θ, S(s, ε)] în
care s = e/R este excentricitatea liniară (numerică s şi reală e) şi ε este excentricitatea unghiulară,
ambele fiind coordonatele polare ale excentrului S(s,ε), corespunzător cercului unitate / trigonometric
şi, respectiv, E(e,ε) corespunzator cercului oarecare, de raza R (Fig.1).
Fig.3 FSM-CE cosinus Cexα1,2 ◄ şi sinus Sexα1,2 ► excentrice de variabilă centrică α
Excentrele S şi E sunt considerate poli ai unei drepte excentrice d, care se roteşte în jurul lui
E sau S cu unghiul de poziţie θ, generând, astfel, funcţiile trigonometrice excentrice, sau funcţii
supermatematice circulare excentrice (FSM-CE), prin intersecţia lui d cu cercul unitate (v.Fig.1).
Deoarece, o dreaptă, dusă prin S, interior cercului (s ≤ 1 e < R), intersectează cercul în
două puncte W1 şi W2, notate concentrat W1,2, rezultă că vor exista două determinări ale funcţiilor
supermatematice circulare excentrice (FSM-CE): una principală, de indice 1 cex1θ şi una
secundară de indice 2 cex2 θ, notate concentrat cex1,2θ (Fig.2). Ideea ne-a fost sugerată de Prof. Dr.
1 2 3 4 5 6
1.0
0.5
0.5
1.0
1 2 3 4 5 6
1.0
0.5
0.5
1.0
ALBUM DE DESENE
REALIZATE CU FUNCŢII SUPERMATEMATICE ŞELARIU
9
Math. Horst Klep pentru a aduce de acord Trigonometria, care, de la Euler încoace, operează cu
semidrepte, cu Geometria Analitică, care operează, de când lumea, cu drepte.
S(s = 0, ε = 0), R = 1 S(s = ± 1, ε = 0), R = 1
Fig.4 Transfigurarea obiectelor geometrice ale matematicii centrice (MC)
E şi S au fost denumite ex-centre pentru că au fost expulzate din centrul O(0,0). Această
expulzare a condus la apariţia ME şi, implicit, a SM. Prin ea, toate obiectele matematice s-au
ALBUM DE DESENE
REALIZATE CU FUNCŢII SUPERMATEMATICE ŞELARIU
10
multiplicat de la unu la infinit: unei unice funcţii din MC, de exemplu cosα, corespunzându-i o
infinitate de funcţii cexθ, graţie posibilităţilor infinite de plasare în plan a excentrului S şi / sau E.
S(e,ε) poate ocupa o infinitate de poziţii, în planul în care se află cercul unitate sau
trigonometric. Pentru fiecare poziţie, a lui S şi E, se obţine câte o familie de funcţii cexθ, sexθ, texθ,
ctexθ şi multe altele, care, aparent, nu au corespondente în centric ca: aexθ, bexθ, rexθ, dexθ, ş.m.a.
Dacă S este un punct fix, atunci se obţin funcţii SM circulare excentrice (FSM–CE) de
excentru (punct) fix, sau cu s şi ε constante. Dar, S sau E se pot deplasa, în plan, după diverse reguli
sau legi, în timp ce dreapta d, care generează funcţiile, denumită dreaptă generatoare excentrică,
prin intersecţia ei cu cercul, se roteşte cu unghiul θ în jurul lui S şi / sau E (Fig.1). Ȋn acest caz, avem
de-a face cu FSM-CE de excentru S/E punct variabil, adică s = s (θ) şi/sau ε = ε (θ).
Dacă poziţia variabilă a lui S/E este reprezentată tot de FSM-CE, de acelaşi excentru S(s, ε)
sau de un alt excentru S1(s1, ε1), atunci se obţin funcţii de dublă excentricitate. Prin extrapolare, se pot
obţine funcţii de triplă şi de multiplă excentricitate. Prin urmare, FSM-CE sunt funcţii de atâtea
variabile câte dorim, sau câte sunt necesare în aplicaţia respectivă, pe care vrem să o rezolvăm. Numai
aşa se poate face faţă multiplicării vertiginoase a dimensiunilor Universului, care, de la
cvadridimensional, câte dimensiuni i-a atribuit Albert Eistein, cu excentricitatea şi nu cu timpul ca a
patra dimensiune, a proliferat continuu în numărul de dimensiuni.
Transformarea sferei în cub Transformarea cilindrului circular în cilindru pătrat
Transformarea conului în piramidă Transformarea cilindrului în prismă
Fig.5 Metamorfozarea obiectelor matematice centrice
Dacă x, y, z sunt dimensiunile liniare de localizare în spaţiu, dacă θ, φ, ψ, sunt dimensiunile
unghiulare de orientare, atunci excentricităţile liniare ex, ey, ez şi cele unghiulare εθ, εφ, εψ sunt noile
dimensiuni de formare ale spaţiului, dimensiuni până de curând invizibile (v. ȊN CĂUTAREA
INVIZIBILULUI, Revista Agero Stuttgart sau Anexa 2). Ele sunt dimensiunile de formare sau de
deformare ale spaţiului. Aşa se explică de ce, pentru e = 0, cu aceleaşi ecuaţii, se obţine sfera, conul
cilindrul, iar pentru e = ± 1 se obţine cubul, piramida şi, respectiv, prisma, toate perfecte, aşa cum se
poate constata din figurile 4 şi 5.
ALBUM DE DESENE
REALIZATE CU FUNCŢII SUPERMATEMATICE ŞELARIU
11
Toate aceste obiecte geometrice aparţin matematicii centrice (MC), dar transfigurarea sau
transformarea / metamorfozarea sferei în cub, de exemplu, este un proces continuu, aşa cum se poate
constata din figura 5. Numai obiectele de la extremităţile transformării, pentru e = 0 şi e = ±1, aparţin
MC, celelalte obiecte, corespunzătoare pentru e (0, 1) sau e (-1, 0), într-o infinitate de forme,
aparţin matematicii excentrice (ME).
Dacă distanţele de la O la punctele W1,2, de pe cercul C(1,O), sunt constante şi egale cu raza
R = 1 a cercului trigonometreic C(O,1), distanţe pe care le vom denumi raze centrice, distanţele de la
S la W1,2, notate cu r1,2, sunt variabile şi sunt denumite raze excentrice ale cercului unitate C(1,O) şi
reprezintă, totodată, noi funcţii supermatematice circulare excentrice (FSM-CE). Au fost denumite
funcţii radiale excentrice şi notate cu rex1,2θ, dacă se exprimă în funcţie de variabila denumită
excentrică θ şi, în acelaşi timp motoare, care este unghiul θ la excentrul E. Sau, funcţii radiale
excentrice, de variabile centrice α1,2, notate Rexα1,2, dacă se exprimă în funcţie de unghiul α, sau de
variabila centrică, unghiul la centrul O(0,0) al cercului C(O,1), (Fig.1, cu graficele în Fig.5,a).
Dreapta d, denumită dreaptă excentrică, este împărţită de excentrul S d în cele două
semidrepte: una pozitivă d+
şi una negativă d─. De aceea, se poate considera r1 = rex1θ un segment
orientat pozitiv pe d ( r1 > 0), iar r2 = rex2θ un segment orientat în sens negativ pe d ( r2 < 0 ) şi
în sensul semidreptei negative d ─.
Prin relaţii trigonometrice simple, în triunghiurile oarecare OSW1,2, sau, mai precis, scriind
teorema sinusului (în funcţie de θ) şi teorema lui Pitagora generalizată (pentru variabilele α1,2) în
aceste triunghiuri, rezultă imediat expresiile invariante ale funcţiilor radial excentrice, şi anume:
r1,2(θ) = rex1,2 θ = ─ s.cos(θ ─ ε) ± )(sin1 22 s şi
r1,2(α1,2) = Rexα1,2 = ± )cos(..21 2,1
2 ss .
Fig.6 Lemniscatele lui Booth în 2D ◄ şi în 3D►
Câteva observaţii, legate de aceste funcţii REX (˝rege˝), se impun :
Funcţiile radial excentrice exprimă distanţa, în plan, în coordonate polare, dintre două puncte :
S(s,ε ) şi W1,2 (R =1, α1,2), pe direcţia dreptei excentrice d, înclinată cu unghiul θ faţă de axa Ox; Ele
au fost normate, adică au devenit adimensionale, la sugestia Prof. Dr. Ing. Dan Perju.
Ca urmare, cu ajutorul lor, şi numai al lor, pot fi exprimate ecuaţiile tuturor curbelor plane
ALBUM DE DESENE
REALIZATE CU FUNCŢII SUPERMATEMATICE ŞELARIU
12
cunoscute, cât şi a altora noi, care au apărut odată cu apariţia ME. Această constatarea, ca şi
denumirea de ˝rege˝, aparţine Prof. Dr. Math. Octavian Emilian Gheorghiu, şeful, de atunci, al
Catedrei de Matematica 1 a Universităţii ˝POLITEHNICA ˝ din Timişoara, anterior, în tinereţe,
asistent al Acad. Grigore C. Moisil. Un exemplu il reprezintă lemniscatele lui Booth (v. Fig.6),
exprimate prin relaţiile, în coordonate polare, de ecuaţia
ρ(θ) = R (rex1 θ + rex 2 θ) = ─ 2 s.R cos(θ - ε) pentru R = 1, ε = 0 şi s [0, 3]
şi care constituie o transformare continuă a unui cerc în două cercuri tangente exterior (v. Fig.6, ◄ în
2D), dar care, d.p.d.v. tehnic, poate constitui un amestecător de fluide, cu două conducte de aducţiune
la întrare şi una sau două la ieşire, mai dificil de proiectat, asistat de calculator, în mod obişnuit.
Fig. 7,a FSM-CE radial excentrice de variabilă excentrică θ
rex1,2θ ◄ şi de variabilă centrică α Rexα 1,2θ ► în 2D ▲ şi în 3D ▼
Graţie acestui obiect 3D, autorul a fost invitat de Prof. Dr. Horvat, şeful Departamentului de
Tehnologie al Universităţii din Budapesta, unde, la 3 decembrie 1998, a ţinut o Conferinţă despre
SUPERMATEMATICĂ, la care a fost invitată şi Catedra de Matematică a Universităţii din Budapesta.
Ca urmare, au fost parafate două colaborări în acest domeniu.
1 2 3 4 5 6
2
1
1
2
1 2 3 4 5 6
2
1
1
2
ALBUM DE DESENE
REALIZATE CU FUNCŢII SUPERMATEMATICE ŞELARIU
13
O altă consecinţă, consistă în generalizarea definiţiei cercului:
“ Cercul este curba plana, ale cărei puncte M se găsesc la distanţele r(θ) = R.rex [θ, E(e, ε)] =
R.Rex [α, E(e, ε)], faţă de un punct oarecare din planul cercului E(e, ε) ”.
Dacă S ≡ O(0,0), atunci s = 0 şi rex θ = 1 constant şi r(θ) = R constant, obţinându-se
definiţia clasică a cercului: puncte situate la aceeaşi distanţă R de centrul cercului O.
Funcţiile rexθ şi Rexα exprimă funcţiile de transmitere de ordinul zero, sau de transfer al
poziţiei, din teoria mecanismelor şi este raportul dintre parametrul R(α1,2), ce poziţionează elementul
condus OM1,2 şi parametrul r1,2(θ) = R rex1,2θ ce poziţionează elementul conducător EM1,2.
Ȋntre aceşti doi parametri, există urmatoarele relaţii, care se deduc la fel de simplu din figura /
schiţa de definire a FSM–CE (Fig. 1 ◄).
Ȋntre unghiurile de poziţie ale celor două elemente, condus şi conducător, există relaţiile
şi
θ = α1,2 ± β1,2(α1,2) = α1,2 ± arcsin[)cos(..21
)sin(.
2,1
2
2,1
ss
s] = Aex(α1,2), în care sunt
unghiurile din punctele W1,2 sub care se văd centrul O şi excentrul S, privind pe direcţiile dreptelor
centrice OW1,2 şi excentrice W1,2S în sensul lor pozitiv şi rotind privirea, în sens trigonometric pozitiv,
adică sinistrorum sau levogin. Se va putea constata că β1 + β2 = π.
Fig. 7,b FSM-CE radial excentrice, de variabilă centrică, modificate
Toate FSM–CE au expresii invariante, din care cauză ele nu trebuie tabelate; tabelate fiind
funcţiile centrice, din MC, cu ajutorul cărora se exprimă. Ȋn toate expresiile lor, se va găsi, invariabil,
unul dintre radicalii funcţiilor radial excentrice de variabilă excentrică
del1,2θ = Depistarea celor două determinari este simplă: pentru + (plus) în faţa radicalilor se obţine,
întotdeauna, prima determinare (r1 > 0), principală 1 şi pentru semnul ─ (minus) se obţine cea de a
doua determinare (r2 < 0), secundară 2. Regula ramâne valabilă pentru toate FSM–CE.
Prin convenţie, prima determinare, principală, de indice 1, se poate utiliza / scrie şi fără indice,
când confuziile sunt excluse.
Funcţiile aex1,2θ şi Aexα1,2 sunt FSM-CE denumite amplitudine excentrică deoarece ele
ALBUM DE DESENE
REALIZATE CU FUNCŢII SUPERMATEMATICE ŞELARIU
14
se pot utiliza la definirea FSM-CE cosinus şi sinus excentrice tot aşa cum funcţia amplitudine sau
amplitudinus am(k,u) a lui Jacobi se foloseste la definirea funcţiilor eliptice Jacobi:
sn(k,u) = sin[am(k,u)] şi cn(k,u) = cos[am(k,u)] .
Adică:
cex1,2θ = cos[aex1,2(θ, S)] şi Cexα1,2 = cos[Aex(α1,2, S)] (Fig.2) şi
sex1,2θ = sin [aex1,2(θ, S)] şi Sex α1,2 = cos[Aex(α1,2 ,S)] , (Fig.3) ;
Funcţiile radiale excentrice pot fi considerate ca module ale vectorilor de poziţie ai
punctelor W1,2 de pe cercul unitate C(1,O), vectori exprimaţi prin relaţiile , în
care radθ este vectorul unitate de direcţie variabilă, sau versorul / fazorul direcţiei dreptei d+, a cărui
derivată este fazorul derθ = d(radθ)/dθ şi reprezină vectori perpendiculari pe direcţiile dreptelor
OW1,2, tangenţi la cerc în punctele W1,2. Ei sunt denumiţi fazorii radial centric şi derivată centrică.
Fig.8 FSM-CE beta excentrice de variabilă excentrică
Totodată, modulul funcţiei radθ este corespondentul, în MC, a funcţiei rexθ pentru s = 0 θ
= α când rexθ = 1 iar derα1,2 sunt versorii tangenţi la cercul unitate în punctele W1,2.
3 2 1 1 2 3
1
1
2
3
4
ALBUM DE DESENE
REALIZATE CU FUNCŢII SUPERMATEMATICE ŞELARIU
15
Fig. 9 FSM-CE derivată excentrică dex1,2θ ◄de variabilă excentrică şi Dexα1,2►
1 2 3 4 5 6
0.5
1.0
1.5
2.0
1 2 3 4 5 6
0.8
1.0
1.2
1.4
1.6
1.8
2.0
ALBUM DE DESENE
REALIZATE CU FUNCŢII SUPERMATEMATICE ŞELARIU
16
Derivatele vectorilor de poziţie ai punctelor W1,2 C, în funcţie de timp,
sunt vectorii viteză = Ω. dex1,2θ. derα = Ω.[1
] derα, în care dex1,2θ este FSM-CE
denumită derivată excentrică de variabilă excentrică θ deoarece dex1,2θ =
, iar inversa ei este
funcţia de variabilă centrică α, deoarece Dexα1,2= dθ( ))/(dα(1,2) .
Fig. 10 FSM-Q cosinus cvadrilob coqθ ◄ şi sinus cvadrilob siqθ►
Se poate observa că, introducerea fazorilor radθ, radα şi derθ, derα ne scuteşte de scrierea
vectorilor cu o bară deasupra lor. Fazorii în funcţie de θ, sau ai direcţiei θ, sunt defazaţi în avans faţă
de fazorii în funcţie de α cu unghiul β = arcsin[s.sin(θ-ε)] ≡ bexθ (Fig.8).
Ȋn figura 8 sunt reprezentate graficele FSM-CE beta excentrice bex1,2θ: bex2θ sus şi bex1θ
jos şi se poate constata, facil, că suma lor este π, adica β1 + β1 = π, sau bex1θ + bex2θ = π.
Ele, ca şi multe alte FSM-CE, sunt importante pentru că pot genera / reprezenta funcţii
periodice triunghiulare simetrice, ca funcţii de θ şi în dinţi de ferestrău, ca funcţii de α, pentru
excentricitatea s = ±1, fără serii Fourier şi mult mai perfect / bine decât acestea.
Dimensiunea de deformare s, deformează funcţiile cosα şi sinα deplasându-le punctele de
acelaşi y cu distanţa bexθ, pe direcţia orizontală Ox, aşa cum se poate constata în figura 2,
1 2 3 4 5 6
1.0
0.5
0.5
1.0
1 2 3 4 5 6
1.0
0.5
0.5
1.0
ALBUM DE DESENE
REALIZATE CU FUNCŢII SUPERMATEMATICE ŞELARIU
17
transformându-le în FSM-CE cexθ şi, respectiv, sexθ. Ecartul ±1, care este şi domeniul de definiţie al
acestor funcţii, se păstrează intact. Nu şi în cazul funcţiilor supermatematice elevate (FSM-EL), la
care, deplasarea punctelor funcţiilor elevate, faţă de cele circulare centrice, la creşterea valorii
dimensiunii de deformare s, are loc pe verticală, de unde provine şi denumirea lor.
{s, -1 , 1}◄ ► {s, -2 , 2}
{s, -1 , 1}◄ ► {s, -2 , 2}
Fig. 11 FSM-CE amplitudine excentrică (denumite, ca generalizare a dreptei, şi strâmbe plane)
de variabilă excentrică θ aexθ ◄şi de variabilă centrică α Aexα ►
Ȋn mişcarea de rotaţie pe cerc a punctelor W1,2, cu viteze de module variabile v1,2 = dex1,2θ,
dreapta generatoare d se roteşte în jurul excentrului S cu viteza unghiulară Ω.
Modulele vectorilor viteză au expresiile prezentate în continuare, prin FSM-CE derivată
excentrică dex1,2θ şi Dexα1,2. Expresiile funcţiilor SM–CE dex1,2θ, derivat excentric de θ, sunt,
totodată şi derivatele unghiurilor α1,2 (θ) în funcţie de variabila motoare sau independentă θ, adică
dex1,2θ = dα1,2 (θ)/d θ =
=
, ca funcţie de θ şi
Dexα1,2 = dθ/dα1,2 =
=
, ca funcţii de α1,2 .
FSM–CE dex1,2θ, prezentate în figura 9 ◄ şi, respectiv Dexα1,2 ►, iar jos ▼sunt prezentate
în stare asamblată. Aceste funcţii sunt, după părearea autorului, cele mai frumoase funcţii periodice în
general şi cele mai frumoase FSM-CE în special, la fel de frumoase ca şi funcţiile cvadrilobe FSM-Q
(Fig.10), nu numai pentru că FSM-Q au fost introduse în Matematică de autor prin lucrarea [19].
1 2 3 4 5 6
1
2
3
4
5
6
1 2 3 4 5 6
2
4
6
1 2 3 4 5 6
1
2
3
4
5
6
1 2 3 4 5 6
1
2
3
4
5
6
ALBUM DE DESENE
REALIZATE CU FUNCŢII SUPERMATEMATICE ŞELARIU
18
]
Fig.12 EXCENTRICE CIRCULARE
1.0 0.5 0.5 1.0
1.0
0.5
0.5
1.0
1.0 0.5 0.5 1.0
1.0
0.5
0.5
1.0
1.0 0.5 0.5 1.0
1.0
0.5
0.5
1.0
1.0 0.5 0.5 1.0
1.0
0.5
0.5
1.0
1.0 0.5 0.5 1.0
1.0
0.5
0.5
1.0
1.0 0.5 0.5 1.0
1.0
0.5
0.5
1.0
ALBUM DE DESENE
REALIZATE CU FUNCŢII SUPERMATEMATICE ŞELARIU
19
FSM-Q siq[θ,S] se aseamănă destul de mult cu funcţia eliptică Jacobi sinus eliptic sn(u,k) şi
coq[θ,S] cu cosinus eliptic cn(u,k), iar FSM-CE aexθ şi Aexα se aseamănă cu funcţia eliptică
amplitudine am(u,k), sau amplitudinus, transformată în funcţie periodică de perioada 2π cu ajutorul
lui K(k).
FSM-CE amplitudine excentrică prezintă o importanţă deosebită deoarece ele generalizează
noţiunea de dreaptă. Ele generează familii de strâmbe şi, pentru dimensiunea de deformare sau
excentricitatea numerică liniară s = 0, se obţine dreapta. Ȋn figura 11, dreapta este prima bisectoare.
Fig.13 EXCENTRICE CVADRILOBE
Iar, pentru s = ±1 se obţine linia frântă, formată din segmente de linii drepte.
Aşa cum rezultă şi din figura 11, FSM-CE de variabilă excentrică sunt continue numai în
domeniul s [-1,1], iar cele de variabilă centrică sunt continue pentru oricare valoare a excentricităţii
s şi e. Observaţia este valabilă pentru toate FSM-CE.
S-a demonstrat [23, 24] că, funcţiile SM-CE derivat excentric dex1,2θ exprimă funcţiile de
transfer, sau raportul de transmitere de ordinul 1, sau ale vitezelor unghiulare, din teoria
mecanismelor, pentru toate (!) mecanismele plane cunoscute. Pentru detalii v.[23], §6.4 pag. 201 …
217.
Funcţia radial excentric rex θ exprimă exact deplasarea mecanismului bielă - manivelă S =
R.rex θ, a cărui manivelă motoare are lungimea r, egală cu excentricitatea reala e şi lungimea bielei L
este egală cu raza cercului R, un mecanism atât de cunoscut, pentru că intră în componenţa tuturor
autoturismelor, cu excepţia acelora cu motor Wankel. Şi aplicaţiile funcţiilor radiale excentrice ar
putea continua, dar vom reveni la aplicaţiile mai generale ale FSM-CE.
2 1 1 2
1
1
2
3
3 2 1 1 2 3
3
2
1
1
2
3
ALBUM DE DESENE
REALIZATE CU FUNCŢII SUPERMATEMATICE ŞELARIU
20
Fig.14,a RACHETE SUPERMATEMATICE ROMANEŞTI
Fig.14,b Ajutaje pentru rachetele romaneşti
Concret, unicelor forme de cerc, pătrat, parabolă, elipsă, hiperbolă, diverse spirale, ş.m.a. din
MC, grupate acum sub denumirea de centrice, denumire dată de regretatul matematician Anton
Hadnady, le corespund o infinitate de forme excentrice, de acelaşi gen: excentrice circulare (Fig.12),
pătratice (cuadrilobe Fig.13), spirale (Fig.15,b şi Fig.15,d) sub formă de elice (Fig.15,a, Fig.15,c şi
ALBUM DE DESENE
REALIZATE CU FUNCŢII SUPERMATEMATICE ŞELARIU
21
Fig.15,e), parabolice, eliptice, hiperbolice [V. 24, SUPERMATEMATICA. FUNDAMENTE VOL.II]
ş.m.a. Cu unele dintre ele putându-se reprezenta obiecte tehnice ca rachete, ajutaje (Fig.14) ş.m.a.
ParametricPlot3D[{{0.3 Cos[t] Exp[0.2 (0.25 t-ArcSin[1 Sin[0.25 t]])], 0.3 Sin[t] Exp[0.2
(0.25 t-ArcSin[1 Sin[0.25 t]])],
0.5 (0.25 t-ArcSin[Sin[0.25 t]])} }, {t,0,26}]
Cu FSM-CE amplitudine excentrică (aex) de variabilă excentrică , de excentricitate numerică liniară s = 1 şi unghiulară ε = 0
Fig.15,a ELICEA SUPERMATEMATICẮ
PolarPlot[{0.3 Exp[0.2 (t/4-ArcSin[ Sin[t/4]])]}, {t,0,10 Pi}] ParametricPlot[{{0.3 Cos[t] Exp[0.2(0.25t-ArcSin[1Sin[0.25 t]])],
0.3Sin[t] Exp[0.2 (0.25t- ArcSin[1 Sin[0.25 t]])]}},{t,0,26}]
Fig.15,b SPIRALE SUPERMATEMATICE Ecuaţii parametrice în 2D cu FSM-CE amplitudine excentrică aexθ
www.supermathematica.com ; www.supermatematica.ro
Oricare excentrică, pentru excentricitate nulă (e = 0), degenerează într-o centrică, care
reprezintă, totodată, şi curba ei generatoare. De aceea, însăşi MC aparţine ME, pentru unicul caz (s =
e = 0), din infinitatea de cazuri posibile în care poate fi plasat, în plan, un punct denumit excentru E(e,
ε). Caz în care, E se suprapune peste unul sau două puncte denumite centru: originea O(0,0) a unui
reper, considerat originea O(0,0) a sistemului referenţial şi / sau centrul C(0,0) al cercului unitate,
ALBUM DE DESENE
REALIZATE CU FUNCŢII SUPERMATEMATICE ŞELARIU
22
pentru funcţii circulare, respectiv, centrul de simetrie al celor două ramuri ale hiperbolei echilaterale,
pentru funcţii hiperbolice centrice şi excentrice.
A fost suficient ca un punct E să fie expulzat din centru (O şi/sau C), pentru ca, din lumea
MC să apară o nouă lume a ME, iar reuniunea celor două lumi să dea naştere lumii SM.
Şi această apariţie, a avut loc în oraşul revoluţiei române, din 1989, Timişoara, acelaşi oraş în
care, la 3 noiembrie 1823, Janos Bolyay scria: "Din nimic am creat o nouă lume". Cu aceste cuvinte
a anunţat descoperirea formulei fundamentale a primei geometrii neeuclidiene.
ParametricPlot3D[{(0.3 Cos[t]/Sqrt[1-(0.9 Sin[t])^2]) Exp[0.2 (0.25 t-ArcSin[1 Sin[0.25 t]])], (0.3 Sin[t]/Sqrt[1-(0.9 Cos[t])^2]) Exp[0.2 (0.25 t-ArcSin[1 Sin[0.25 t]])], 0.5 (0.25 t-ArcSin[Sin[0.25 t]])} ,{t,0,26}]
Fig.15,c ELICE SUPERMATEMATICE PĂTRATE de excentricitate numerică s = 1, în care FCC cos şi sin sunt înlocuite cu FSM cvadrilobe
cosinus coq şi sinus siq cvadrilobe (în engleză quadrlobics*)
ParametricPlot[{{(0.3 Cos[t]/Sqrt[1-(0.9 Sin[t])^2]) Exp[0.2 (0.25 t-ArcSin[1 Sin[0.25 t]])], (0.3 Sin[t]/Sqrt[1-(0.9 Cos[t])^2]) Exp[0.2 (0.25 t-ArcSin[1 Sin[0.25 t]])]} },{t,0,26}]
Fig.15,d SPIRALE SUPERMATEMATICE
El din nimic, eu din efortul colectiv de multiplicare a funcţiilor periodice, funcţii necesare
INGINERULUI pentru a descrie anumite fenomene periodice, am completat matematica cu noi funcţii,
cu noi obiecte, în general, cu o infinitate de entităţi matematice complet noi (Fig. 15).
ALBUM DE DESENE
REALIZATE CU FUNCŢII SUPERMATEMATICE ŞELARIU
23
Dacă Euler, la definirea funcţiilor trigonometrice, ca funcţii circulare directe, n-ar fi ales trei
puncte confundate: originea O, centrul cercului C şi S ca pol al unei semidrepte, cu care a intersectat
cercul trigonometric/unitate, FSM-CE puteau fi cunoscute demult, eventual sub o altă denumire.
ParametricPlot3D[{1/13 (2 t) Cos[t] (5+Cos[(2 π t)/13+u]), 1/13 (2 t) Sin[t] (5+Cos[(2
π t)/13+u]),
8 (0.25 t+1/13 0.3 (2 t) Sin[(2 π t)/13+u]-ArcSin[Sin[0.25 t]])},{t, 0, 26},{u, 0, 2π}]
CIRCULARẮ PẮTRATẮ
sx = 0,4; sy = 0; sz = 0,25 ◄ TRIUNGHIULARE ► sx = 0,9; sy = 0; sz = 0,25
ParametricPlot3D[{1/13 (2 t) Cos[t-ArcSin[0.9 Sin[t]]] (5+Cos[(2 π t)/13+u]), 1/13 (2 t)
Sin[t] (5+Cos[(2 π t)/13+u]),
8 (0.25 t+1/13 0.3 (2 t) Sin[(2 π t)/13+u]-ArcSin[Sin[0.25 t]])},{t, 0, 26},{u, 0, 2π}
Fig.15,e ELICE SUPERMATEMATICE
www.supermathematica.com ; www.supermatematica.ro
Ȋn funcţie de modul în care se ”splitează” (separă câte un punct, din cele suprapuse, sau
toate), apar următoarele tipuri de FSM:
ALBUM DE DESENE
REALIZATE CU FUNCŢII SUPERMATEMATICE ŞELARIU
24
O ≡ C ≡ S Funcţii Centrice, aparţinând MC; iar cele aparţinând ME sunt
O ≡ C ≠ S Funcţii Supermatematice Circulare Excentrice (FSM-CE);
O ≠ C ≡ S Funcţii Supermatematice Circulare Elevate (FSM-CEL);
O ≠ C ≠ S Funcţii Supermatematice Circulare Exotice (FSM-CEX);
Fig.16 ELICE: ARCURI SPIRALE DE DIVERSE SECŢIUNI
www.supermathematica.com ; www.supermatematica.ro
ALBUM DE DESENE
REALIZATE CU FUNCŢII SUPERMATEMATICE ŞELARIU
25
Aceaste complemente noi de matematici, reunite sub denumirea provizorie de SM, sunt
unelte, sau instrumente, deosebit de utile, de mult aşteptate, dovadă fiind numărul mare şi diversitatea
funcţiilor periodice introduse în matematică şi modul, uneori complicat, de a se ajunge la ele,
încercându-se substituirea cercului cu alte curbe, în majoritate lor închise.
Fig.17 SFERA-CUB ◄ CONOPIRAMIDA ŞI PIRAMIDA CONICĂ ►
ALBUM DE DESENE
REALIZATE CU FUNCŢII SUPERMATEMATICE ŞELARIU
26
Pentru obţinerea unor funcţii speciale şi periodice noi, s-a încercat înlocuirea cercului
trigonometric cu pătratul sau cu rombul, aşa cum a procedat fostul şef al Catedrei de Matematică de
Fig.18 Miriapozi şi cvadripozi. Rampe suport pentru lansarea rachetelor româneşti
la Facultatea de Mecanica din Timişoara, profesorul universitar Dr. mat. Valeriu Alaci, descoperind
funcţiile trigonometrice pătratice şi rombice. Apoi, profesorul de matematică timişorean Eugen Vişa
ALBUM DE DESENE
REALIZATE CU FUNCŢII SUPERMATEMATICE ŞELARIU
27
Fig.19 TOR CENTRIC ŞI TOR EXCENTRIC
ALBUM DE DESENE
REALIZATE CU FUNCŢII SUPERMATEMATICE ŞELARIU
28
a întrodus funcţiile pseudo-hiperbolice, iar profesorul de matematici M. O. Enculescu a definit
funcţiile poligonale, înlocuind cercul cu un poligon cu n laturi; pentru n = 4 obţinând funcţiile
trigonometrice pătratice Alaci.
De curând, matematiciana americană, de origine română, Prof. Malvina Baica de la
Universitatea Wisconsin, impreună cu Mircea Cấrdu au completat spaţiul dintre funcţiile circulare
Euler şi funcţiile pătratice Alaci cu funcţiile transtrigonometrice (Periodic Transtrigonometric
Functios), infratrigonometrice ş.m.a. Matematicianul sovietic Marcuşevici a descris, în lucrarea “Funcţii sinus remarcabile”
funcţiile trigonometrice generalizate şi funcţiile trigonometrice lemniscate.
Ȋncă din anul 1877, matematicianul german Prof. Dr. August Biehringer, substituind
triunghiul dreptunghic cu unul oarecare, a definit funcţiile trigonometrice înclinate.
Fig.20 CLEPSIDRE SUPERMATEMATICE
Savantul englez, de origine română, ing. George (Gogu) Constantinescu a înlocuit cercul cu
evolventa şi a definit funcţiile trigonometrice ramâneşti: cosinus românesc şi sinusul românesc,
exprimate de funcţiile Corα şi Sirα cu care a soluţionat exact unele ecuaţii diferenţiale neliniare ale
teoriei sonicităţii, creată de el. Şi ce puţin cunoscute sunt, toate aceste funcţii, chiar şi în România !
Ce simple pot deveni şi, de fapt, sunt lucrurile complicate! Acest paradox sugerează că, prin simpla
deplasare / expulzare a unui punct dintr-un centru şi prin apariţia excentrului, poate să apară o nouă
lume, lumea ME şi, totodată, un nou univers, universul SM.
Apropo de paradox. Cel care l-a contrazis pe Albert Einstein, Prof. Dr. Math. Florentin
Smarandache este şi iniţiatorul curentului de avangardă numit paradoxism, la care participă peste
300 de scriitori de pe glob. Pentru introducerea în Matematică a ”SFEREI PĂTRATE” şi a ”CUBULUI
CIRCULAR” (vezi figura 17), autorul acestui ALBUM a fost admis în Asociaţia Internaţională de
Paradoxism, ca membru de onoare (cu diplomă), cu deviza, referitoare la Supermatematică ”Orice
ALBUM DE DESENE
REALIZATE CU FUNCŢII SUPERMATEMATICE ŞELARIU
29
este posibil, chiar şi imposibilul ”, iar Universitatea Gallup, din Now Mexico, i-a acordat un
CERTIFICAT DE APRECIERE pentru contribuţiile aduse la dezvoltarea Matematicii.
Fig. 21 CUB ÎN CAROURI ŞI CUB CIOBIT
Fig.22 CUBUL ROMȂNESC, cel mai uşor cub din lume (V = 0), format din 6 piramide cu vârful comun, fără suprafeţele lor de bază.
Şi, fiindcă suntem în zona aprecierilor, nici Academia României nu s-a lăsat mai prejos şi, în
anul 1983, i-a acordat autorului Premiul ”Traian Vuia” pentru automatizări, pe anul 1981 (!), pentru
primul robot industrial românesc REMT-1 şi prima linie automată robotizată de la ”Electromotor” din
ALBUM DE DESENE
REALIZATE CU FUNCŢII SUPERMATEMATICE ŞELARIU
30
Timişoara. ”Premiul” a fost de 0 lei, 0 bani !.Şi, în acele vremuri, se ştia, doar teoretic, ce-i criza
economică mondială. Autorul a mai conceput, proiectat şi realizat, primul robot românesc (didactic),
din Laboratorul său de Proiectarea Dispozitivelor, Dispozitive de Automatizare a Proceselor de
Producţie şi Roboţi Industriali, primul robot industrial pur pneumatic ”Voinicel I”, care şi-a pierdut
braţul sub berbecul unei prese vechi cu fricţiune, în procesul de producţie de la ”Ambalajul Metalic”
din Timişoara şi a conceput şi proiectat în 1985, pentru URSS, în cadrul unui contract internaţional,
robotul de deservire a preselor de materiale plastice ”ROMAPET” (RObot MAteriale Plastice
Electrotimiş Timişoara). Ȋn paragraful de ”laude” poate fi acceptată şi înfiinţarea, îniţial la Catedra de
TCM şi apoi la Facultatea de Mecanică, a Universităţii ”POLITEHNICA” din Timişoara a primei
specializări din domeniul MECATRONICII din România.
celθ, pentru S(s [0,1], ε = 0) selθ, pentru S(s [0,1], ε = 0)
celθ, pentru S(s [0,1], ε = 1) selθ, pentru S(s [0,1], ε = 0)
Fig.23 FSM ELEVATE directe ══ şi inverse║
Noţiuni ca ”Supermathematics Functions” şi ”Funcţii circulare excentrice” au apărut pe
cele mai utilizate motoare de căutare ca Google, Yahoo, Altavista ş.a. încă de la apariţia Internetului.
Noile noţiuni, cum ar fi cea de cuadrilobe « quadrilobas », cu care sunt numite excentricele
care umplu continuu spaţiul dintre un cerc şi un pătrat, circumscris cercului, au fost incluse şi în
dicţionarul de matematică. Intersecţia cudrilobei cu drepta d generează noile funcţii denumite cosinus
cuadrilob şi sinus cuadrilob. Cu unele forme matematice noi, ca cele din figura 18, se mândresc şi o
serie de web-site-uri care crează şi distribuie programe de matematică performante.
Acelaşi lucru se întâmplă şi cu torul (Fig.18) care, din tor circular poate deveni pătrat, ca
formă şi/sau în secţiune. Diferenţa consistă în faptul că supermatematica poate să facă acest lucru
2 2 4 6
2
2
4
6
1 1 2 3 4 5 6
1
1
2
3
4
5
6
2 4 6
2
4
6
2 2 4 6
2
2
4
6
ALBUM DE DESENE
REALIZATE CU FUNCŢII SUPERMATEMATICE ŞELARIU
31
simplu, cu FSM derivată excentrică, sau cu funcţii cvadrilobe şi chiar cu funcţii centrice, pe când
”restul omenirii” are nevoie de programe de matematică special realizate în acest scop.
ParametricPlot3D[{{0.4 u Cos[t]+8,0.1 u Sin[t-ArcSin[0.8 Sin[t]]],9.5-4.5 u},{3.5 u-
2,((0.7-0.1 u)Cos[t])/ ,((1-0.1 (u+0.25 u2))
Cos[t+/2])/ },
{4-2.1 u, (1.4-0.4 u) Cos[t], (1.2-0.4 u) Sin[t]},{2.5 u-0.5,0.3 Cos[t], 0.3 Sin[t]+0.8},
{1+4 u,(0.7-0.1 u) Cos[t], (0.8-0.2 u) Sin[t]},{0.8 u Cos[t] +3.5,-4.5+2 u,
0.2 u Sin[t-ArcSin[0.8 Sin[t-5.8]]]},{0.8 u Cos[t]+3.5,4.5-2 u,
0.2 u Sin[t-ArcSin[0.8 Sin[t-5.8]]]}},{t,0,2 },{u,1,2}]
Fig.24 AVION SUPERMATEMATIC
Chiar dacă se scrie doar ”Cub”, ”Thor”, ”Sferă”, ş.a., în spatele lor se află programe elaborate
de matematică, uneori ”stufoase”, realizate cu mare efort şi multe cunoştinte de matematică şi, mai
ales, de programare pe calculatoare numerice.
Beneficiile pe care SM le aduce, în ştiinţă şi în tehnologie, sunt mult prea numeroase pentru a
fi etalate aici. Dar, ne face o deosebită plăcere să amintim că SM şterge graniţele dintre liniar şi
neliniar; liniarul aparţinând MC, iar neliniarul fiind apanajul ME, ca şi dintre ideal şi real, sau dintre
perefecţiune şi imperfectiune.
Se afirmă că Topologia este o parte a matematicii care nu face deosebire dintre un covrig şi o
ceaşcă. Ambele au câte un orificiu perforat. Ei bine, SM nu face distincţie dintre un cerc (e = 0) şi un
pătrat perfect (s = ± 1), dintre un cerc şi un triunghi perfect, dintre elipsă şi un dreptunghi perfect,
dintre o sferă şi un cub perfect ş.m.a; cu aceleaşi ecuaţii parmetrice obţinându-se atât formele ideale
ale MC (cerc, elipsă, sferă ş.m.a) cât şi cele reale (pătrat, dreptunghi, cub ş.m.a.), care nu aveau, până
de curând, adică, până la apariţia supermatematicii, ecuaţii matematice de definiţie.
Pentru s [-1,1], în cazul funcţiilor de variabilă excentrică de θ, ca şi în cazul funcţiilor de
variabilă centrică α, pentru s [-, +], se obţin o infinitate de forme intermediare, ca de exemplu,
pătrat, dreptunghi sau cub cu colţuri rotunjite şi cu laturi şi, respectiv, feţe din ce în ce mai curbate,
odată cu creşterea excentricitaţii s. Ceea ce facilitează utilizarea noilor funcţii SM la desenarea şi
ALBUM DE DESENE
REALIZATE CU FUNCŢII SUPERMATEMATICE ŞELARIU
32
reprezentarea unor piese tehnice, cu muchii rotunjite sau teşite, în programele SM-CAD / CAM, care
nu mai utilizează computerul ca pe o planşetă de desen, ci realizează obiectele tehnice dintr-odată, prin
ecuaţii parametrice, cu consecinţe remarcabile în economia de memorare a acestora; memorate fiind
ecuaţiile şi nu imensitatea de pixeli care definesc / mărginesc o piesă tehnică. A se vedea figura 24.
Numeroasele funcţii prezentate, fiind pentru întâia dată introduse în matematică, pentru
fixarea lor în memorie, autorul a considerat necesară o prezentare a ecuaţiilor lor, astfel încât, cei ce
doresc să contribuie la extinderea aplicaţiilor lor, să o poată face.
Funcţiile SM circulare elevate (FSM-CEL), denumite astfel, pentru că, prin modificarea
excentricităţii numerice s, punctele curbelor funcţiilor sinus elevat selθ ca şi a funcţiei circulare
elevate cosinus elevat celθ ”se elevează”, adică se ridică pe verticală ieşind din ecartul de [-1, +1] al
celorlalte funcţii sinus şi cosinus centrice şi excentrice.
Graficele funcţiilor celθ şi selθ pot fi simplu reprezentate prin produsele :
cel1,2θ = rex1,2θ.cosθ şi Celα1,2 = Rexα1,2.cosθ
sel1,2θ = rex1,2θ.sinθ şi Selα1,2 = Rexα1,2.sinθ
şi sunt prezentate, împreună, în figura 23, numai cele directe şi cele inverse, de variabilă excentrică θ.
Cele mai generale funcţii SM sunt funcţiile circulare exotice, care sunt definite pe un cerc
unitate, ne centrat în originea sistemului de axe xOy şi nici în excentrul S, ci într-un punct oarecare
C(c, γ), din planul cercului unitate, de coordonate polare (c, γ), în reperul xOy.
Foarte multe dintre planşele cuprinse în ALBUM sunt realizate cu FSM-CE de excentru
variabil şi de arce care sunt multipli n de θ (n.θ).
Relaţiile folosite, pentru fiecare caz în parte, sunt prezentate explicit, în majoritatea cazurilor
utilizându-se funcţiile matematice centrice, prin care, aşa cum s-a văzut, pot fi exprimate toate
funcţiile SM, mai ales atunci când programele de vizualizare a graficelor nu dispun de FSM.
Primele desene în 3D, ale funcţiei rex[θ, s], au fost reprezentate, cu mulţi ani în urmă, de
regretatul Prof. Dr. Ing. Victor Ancuşa, prin deplasarea manuală a hârtiei în imprimanta Hp, unică în
Timişoara la acea vreme, cu câte un pas, pentru fiecare valoare atribuită excentricităţii s [0, 2].
Primul program de (super)matematică, de vizualizare a FSM-CE, fără scrierea explicită a
relaţiilor lor de definiţie, ci scriind doar cex(θ, e, ε), sex(θ, e, ε), rex(θ, e, ε), dex(θ, e, ε) ş.a.m.d. a fost
ALBUM DE DESENE
REALIZATE CU FUNCŢII SUPERMATEMATICE ŞELARIU
33
realizat, sub denumirea comercială de Realan10, Realan11, Realan12, de programatorul american de
excepţie, de origine română, Dr. ing. Dan Micşa în cadrul Proiectului de Diplomă de absolvire a
Secţiei de TCM (v. imaginile dinspre parc a unora dintre laboratoarele secţiei), a Facultaţii de
Mecanică, din cadrul Universităţii ”POLITEHNICA” din Timişoara, promoţia 1991.
Primul program de vizualizare a FSM-CE, de excentre variabile, adică funcţii şi nu constante,
a fost realizat apoi de Prof. dr. ing. Dănuţ Şoşdean, atunci asistent, acum şeful Catedrei de TCM.
Ceea ce nu înseamnă că, în viitor, computerele nu vor avea implementate noile complemente
de matematică, pentru a le lărgi vast domeniul lor de utilizare. Microsoft a zis că mai cugetă asupra
avantajelor şi dezavantajelor acestei acţiuni. Cugetă, ardeleneşte, de peste 10 ani !
Şi nici specialiştii în realizarea de programe de proiectare, asistate de calculator
CAD/CAM/CAE, nu vor întârzia prea mult în realizarea noilor programe, fundamental diferite, prin
care obiectele tehnice sunt realizate cu FSM circulare sau hiperbolice parametrice, aşa cum sunt
exemplificate unele realizări ca avioane (Fig. 24), case ş.a. în http://www.eng.upt.ro/~mselariu şi cum
o şaibă poate fi reprezentata ca o excentrică toroidală (sau ca un “tor excentric”) pătrată sau
dreptunghiulară într-o secţiune axială şi, respectiv, o placă pătrată cu un orificiu central pătrat poate fi
un “tor pătrat de secţiune pătrată”. Toate acestea, deoarece SM nu face distincţie dintre cerc şi pătrat,
sau dintre elipsă şi dreptunghi, aşa cum s-a mai afirmat.
Dar, cele mai importante realizări pot fi obţinute în ştiinţă prin soluţionarea unor probleme
neliniare, deoarece SM reuneşte, într-un tot unitar, cele două domenii atât de diferite în trecut, dintre
care domeniul neliniar necesita ingenioase abordări pentru rezolvarea fiecărei probleme în parte.
Astfel, în domeniul vibraţiilor, caracteristici elastice statice (CES) neliniare moi (regresive)
sau tari (progresive) se pot obţine foarte simplu scriind y = m.x, numai că m nu mai este m = tanα, ca
în cazul liniar (s = 0), ci m = tex1,2θ şi în funcţie de semnul excentricităţii numerice s, pozitiv sau
negativ, sau pentru S plasat pe axa x negativă (ε = π) sau pe axa x pozitivă (ε = 0), se obţin cele două
tipuri de caracteristici elastice neliniare şi, evident, pentru s = 0 se va obţine CES liniară.
ALBUM DE DESENE
REALIZATE CU FUNCŢII SUPERMATEMATICE ŞELARIU
34
Deoarece, funcţiile cexθ şi sexθ ca şi Cexα şi Sexα şi combinaţiile lor, sunt soluţii ale unor
ecuaţii diferenţiale de ordinul doi, cu coeficienţi variabili, s-a constatat că şi pentru s = ± 1, şi nu
numai pentru s = 0, se obţin sisteme liniare (Cebâşev). La acestea, masa (punctul M) se roteşte pe cerc
cu o viteză unghiulara ω = 2.Ω = constant, dublă (faţă de a sistemului liniar de s = 0 de ω = Ω =
constant), dar se roteşte numai o jumătate de perioadă, iar în cealaltă jumătate de perioadă stagnează
în punctul A(R,0), pentru e = sR = R sau ε = 0 şi în punctul A’(─ R, 0), pentru e = ─ s.R = ─1, sau ε
= π. Ȋn acest fel, perioada de oscilaţie T, a celor trei sisteme liniare, este aceeaşi şi egală cu T = Ω /
2π. Pentru celelalte valori, intermediare, ale lui s şi e se obţin sisteme de CES neliniare.
Proiecţia, pe oricare direcţie, a mişcării de rotaţie a punctului M pe cercul de raza R, egală cu
amplitudinea oscilaţiei, cu viteza unghiulară ω = Ω.dex θ variabilă (după funcţia dexθ) este o mişcare
oscilantă neliniară.
Apariţia funcţiei ”rege” rex θ şi a proprietăţilor ei a facilitat apariţia unei metode hibride
(analitico-numerică) prin care s-a obţinut o relaţie simplă, cu numai doi termeni, de calcul a
integralei eliptice complete de prima speţă K(k), cu o precizie incredibil de mare, de minimum 15
zecimale exacte, după numai 5 paşi. Realizarea paşilor următori, poate conduce la obţinerea unei noi
relaţii de calcul a lui K(k), cu precizie considerabil mai mare şi cu posibilităţi de extindere şi la alte
integrale eliptice şi nu numai. Relaţia lui E(k), după 6 paşi, are aceeaşi precizie de calcul [23], [24].
Apariţia FSM a facilitat apariţia unei noi metode de integrare, denumita integrare prin
divizarea diferenţialei [25]. Cu nete avantaje, ce rezultă din soluţionarea simplă, în domeniul real, al
unor integrale rezolvabile în domeniul complex prin teorema reziduurilor.
SM nu este o lucrare încheiata ci, de abia o introducere în acest domeniu vast, un prim pas,
un pas mic al autorului şi un pas uriaş al matematicii.
Ne oprim aici, pentru a nu va răpi din plăcerea de-a vă delecta privirea cu planşele prezentului
ALBUM.
Albumul debutează cu entităţi geometrice ”luminoase” : LAMPIOANELE.
Deşi par produse chinezeşti, ele sunt realizate cu funcţii 100% româneşti, funcţii introduse în
diverse programe demonstrative, ca cel prezentat în continuare.
Lampioanele sunt realizate după un program demonstrativ, întocmit cu contribuţia lui
Michael Schreiber, la sugestia lui John Snadden şi prezentat de "Duck Cut" from The Wolfram
Demonstrations Project_ http://demonstrations.wolfram.com/DuckCut/ în care funcţia
circulară centrică sint a fost substituită cu FSM-CE sext modificată
, în sensul că,
în expresia funcţiei sext modificată, notată sexmt, FCC arcsin[ ] a fost substituită cu arctan[], iar ca
FSM-QL siqt, de expresie siqt =
, a fost modificată astfel siqmt =
.
Ȋn rezumat sint
= siqm[θ ≡ t, S(s,ε)], ceea ce constituie
modificarea în discuţie / cauză.
Prin modificarea valorii excentricitătilor numerice s în FSM-CE sexmt şi în FSM-QL siqmt
se pot obţine diversele forme, prezentate în ALBUM, iar cititorul / răsfoitorul poate obţine şi el, la
rândul lui, multe alte forme care-i plac mai mult.
Vizionare plăcută !
Autorul
e-mail : [email protected]
www.supermathematica.com
www.supermatematica.ro
www.eng.upt.ro/~mselariu
www.cartiAZ.ro
ALBUM DE DESENE
REALIZATE CU FUNCŢII SUPERMATEMATICE ŞELARIU
35
L A M P I O A N E 1
După un program în care FCC au fost substituite cu FSM-CE
"Duck Cut" from The Wolfram Demonstrations Project_ http://demonstrations.wolfram.com/DuckCut/
ALBUM DE DESENE
REALIZATE CU FUNCŢII SUPERMATEMATICE ŞELARIU
36
L A M P I O A N E 2
www.Supermathematica.com www.eng.upt.ro/~mselariu www.Supermatematica.ro
ALBUM DE DESENE
REALIZATE CU FUNCŢII SUPERMATEMATICE ŞELARIU
37
L A M P I O A N E 3
www.Supermatematica.ro
ALBUM DE DESENE
REALIZATE CU FUNCŢII SUPERMATEMATICE ŞELARIU
38
L A M P I O A N E 4
www.Supermathematica.com www.eng.upt.ro/~mselariu www.Supermatematica.ro
ALBUM DE DESENE
REALIZATE CU FUNCŢII SUPERMATEMATICE ŞELARIU
39
L A M P I O A N E 5
www.Supermatematica.ro
ALBUM DE DESENE
REALIZATE CU FUNCŢII SUPERMATEMATICE ŞELARIU
40
L A M P I O A N E 6
www.Supermathematica.com www.eng.upt.ro/~mselariu www.Supermatematica.ro
ALBUM DE DESENE
REALIZATE CU FUNCŢII SUPERMATEMATICE ŞELARIU
41
POCALE 1
www.Supermatematica.ro
ALBUM DE DESENE
REALIZATE CU FUNCŢII SUPERMATEMATICE ŞELARIU
42
POCALE 2
www.Supermathematica.com www.eng.upt.ro/~mselariu www.Supermatematica.ro
ALBUM DE DESENE
REALIZATE CU FUNCŢII SUPERMATEMATICE ŞELARIU
43
A R Ă T Ă R I A L B A S T R E Ȋ N 3 V E D E R I 1
www.Supermatematica.ro
ALBUM DE DESENE
REALIZATE CU FUNCŢII SUPERMATEMATICE ŞELARIU
44
A R Ă T Ă R I G A L B E N E Ȋ N 3 V E D E R I 2
www.Supermathematica.com www.eng.upt.ro/~mselariu www.Supermatematica.ro
ALBUM DE DESENE
REALIZATE CU FUNCŢII SUPERMATEMATICE ŞELARIU
45
A R Ă T Ă R I R O Ş I I Ȋ N 3 V E D E R I 3
www.Supermatematica.ro
ALBUM DE DESENE
REALIZATE CU FUNCŢII SUPERMATEMATICE ŞELARIU
46
A R Ă T Ă R I C I A N Ȋ N 3 V E D E R I 4
www.Supermathematica.com www.eng.upt.ro/~mselariu www.Supermatematica.ro
ALBUM DE DESENE
REALIZATE CU FUNCŢII SUPERMATEMATICE ŞELARIU
47
A R Ă T Ă R I P E S T R I Ţ E Ȋ N 3 V E D E R I 5
www.Supermatematica.ro
ALBUM DE DESENE
REALIZATE CU FUNCŢII SUPERMATEMATICE ŞELARIU
48
A R Ă T Ă R I P E S T R I Ţ E Ȋ N 3 V E D E R I 6
www.Supermathematica.com www.eng.upt.ro/~mselariu www.Supermatematica.ro
ALBUM DE DESENE
REALIZATE CU FUNCŢII SUPERMATEMATICE ŞELARIU
49
A R Ă T Ă R I P E S T R I Ţ E Ȋ N 3 V E D E R I 7
www.Supermatematica.ro
ALBUM DE DESENE
REALIZATE CU FUNCŢII SUPERMATEMATICE ŞELARIU
50
A R Ă T Ă R I P E S T R I Ţ E Ȋ N 3 V E D E R I 8
www.Supermathematica.com www.eng.upt.ro/~mselariu www.Supermatematica.ro
ALBUM DE DESENE
REALIZATE CU FUNCŢII SUPERMATEMATICE ŞELARIU
51
C L E P S I D R E D I V E R S C O L O R A T E 1
www.Supermatematica.ro
ALBUM DE DESENE
REALIZATE CU FUNCŢII SUPERMATEMATICE ŞELARIU
52
C L E P S I D R E D I V E R S C O L O R A T E 2
www.Supermathematica.com
ALBUM DE DESENE
REALIZATE CU FUNCŢII SUPERMATEMATICE ŞELARIU
53
C U B U R I D I V E R S E
www.Supermatematica.ro
ALBUM DE DESENE
REALIZATE CU FUNCŢII SUPERMATEMATICE ŞELARIU
54
C U B U R I S U P R A P U S E
www.Supermathematica.com
ALBUM DE DESENE
REALIZATE CU FUNCŢII SUPERMATEMATICE ŞELARIU
55
CUBURI DIVERSE PRELUCRATE 1
www.Supermatematica.ro
ALBUM DE DESENE
REALIZATE CU FUNCŢII SUPERMATEMATICE ŞELARIU
56
CUBURI DIVERSE PRELUCRATE 2
www.Supermatematica.ro
ALBUM DE DESENE
REALIZATE CU FUNCŢII SUPERMATEMATICE ŞELARIU
57
CUBURI DIVERSE PRELUCRATE 3
www.Supermatematica.ro
ALBUM DE DESENE
REALIZATE CU FUNCŢII SUPERMATEMATICE ŞELARIU
58
CUBURI DIVERSE PRELUCRATE 4
www.Supermatematica.ro
ALBUM DE DESENE
REALIZATE CU FUNCŢII SUPERMATEMATICE ŞELARIU
59
CUBURI CVADRILOBE IN 3 VEDERI 1
www.SuperMatematica.ro
CUBURI CVADRILOBE IN 3 VEDERI 2
www.SuperMatematica.ro
ALBUM DE DESENE
REALIZATE CU FUNCŢII SUPERMATEMATICE ŞELARIU
61
CUBURI CVADRILOBE 3
www.SuperMatematica.ro
CUBURI CVADRILOBE 4
www.SuperMatematica.ro
ALBUM DE DESENE
REALIZATE CU FUNCŢII SUPERMATEMATICE ŞELARIU
63
CVADRILOBE EXCENTRICE SPECIALE 1
DE EXCENTRICITATE NUMERICĂ LINIARĂ s = 1
ParametricPlot[{( Cos[3x])/ Sqrt[1-(0.9Sin[3 x])^2],(Sin[x]) / Sqrt[1-
(0.9 Cos[4 x])^2]}, {x,0,2 Pi}]
ParametricPlot[{Cos[t+ArcSin[Sin [Sin[2 t]]]]/Sqrt[1-(Sin[Sin [t+Arc
Sin[Sin[2t]]]])^2], Sin[t+ArcSin[
Sin[Sin[2t]]]]/Sqrt[1-(Cos[Sin[t +ArcSin[Sin[2t]]]])^2]},{t,0,2Pi}
ParametricPlot[{( Sin[3 x])/ Sqrt[1-(0.9 Cos[3 x])^2], ( Cos[x]) / Sqrt[1-(0.9 Sin[4
x])^2]},
{x,0,2 Pi}]
DE EXCENTRICITATE NUMERICĂ
LINIARĂ s = 0.8
DE EXCENTRICITATE NUMERICĂ
LINIARĂ s = 0.5
ParametricPlot[{Cos[t-ArcSin[0.8 Sin[Sin[t-Pi/2]]]] /Sqrt[1-
( 0.8 Sin[t-ArcSin[0.8 Sin[Sin[t]]]])^2], Sin[t-ArcSin[- 0.8 Sin[Sin[t]]]]/Sqrt[1+(0.8 Cos[t-ArcSin[- 0.8 Sin[Sin[t-
Pi/2]]]])^2]},{t,0,2 Pi}]
ParametricPlot[{Cos[t-ArcSin[0.5 Sin[Sin[t-Pi/2]]]]/ Sqrt[1-(0.5
Sin[t-ArcSin[0.5Sin[Sin[t]]]])^2],Sin[t-ArcSin[0.5Sin[Sin[t]]]]/Sqrt[1+(0.5 Cos[t-ArcSin[- 0.5 Sin[Sin[t-
Pi/2]]]])^2]},{t,0,2 Pi}]
www.SuperMatematica.Ro
1.0 0.5 0.5 1.0
2
1
1
2
1.0 0.5 0.5 1.0
1.5
1.0
0.5
0.5
1.0
1.5
1.0 0.5 0.5 1.0
2
1
1
2
1.5 1.0 0.5 0.5 1.0
1.0
0.5
0.5
1.0
1.5
1.0 0.5 0.5 1.0
1.0
0.5
0.5
1.0
CVADRILOBE EXCENTRICE SPECIALE 2
ParametricPlot[{(Cos[3x])/ Sqrt [1-(0.9Sin[Sin[Sin[Sin[3 x]]]]) ^ 2
],(Sin[Sin[Sin[Sin[x]]]])/Sqrt[1-
(0.9Cos[4 x])^2]}, {x,0,2Pi}]
ParametricPlot[{(Cos[5 x])/ Sqrt [1-(0.9 Sin[5 x])^2],
Sin[x]/ Sqrt [1-(0.9 Cos[4
x])^2]},{x,0,2 Pi}]
ParametricPlot[{(Cos[3x])/ Sqrt [1-(0.9 Sin[Sin[Sin[Sin[3 x]]] ]) ^ 2],
(Sin[Sin[Sin[Sin[x]]]]) /Sqrt [1 -(0.9 Cos[5
x])^2]}, {x,0,2 Pi}]
ParametricPlot[{(Cos[x])/Sqrt[1-(0.9 Sin[Sin [Sin[
Sin[3x]]]])^2], (Sin[Sin[Sin[Sin[x]]]])/
Sqrt[1-(0.9 Cos[5 x])^2]}, {x,0,2 Pi}]
ParametricPlot[{{( Cos[3 x])/Sqrt[1-(0.8 Sin[Sin[
Sin[3 x]]])^2], (Sin[5 x])/
Sqrt[1-(0.9 Cos[5 x])^2]}}, {x,0,2 Pi}]
www.SuperMatematica.Ro
1.0 0.5 0.5 1.0
1.5
1.0
0.5
0.5
1.0
1.5
1.0 0.5 0.5 1.0
2
1
1
2
1.0 0.5 0.5 1.0
1.5
1.0
0.5
0.5
1.0
1.5
1.0 0.5 0.5 1.0
1.5
1.0
0.5
0.5
1.0
1.5
1.0 0.5 0.5 1.0
1.0
0.5
0.5
1.0
ALBUM DE DESENE
REALIZATE CU FUNCŢII SUPERMATEMATICE ŞELARIU
R E L I E F P L O T 1
www.SuperMathematica.com ; www.supermatematica.ro
66
R E L I E F P L O T 2
www.SuperMathematica.com ; www.supermatematica.ro
ALBUM DE DESENE
REALIZATE CU FUNCŢII SUPERMATEMATICE ŞELARIU
JOC DE APE 1
www.SuperMathematica.com ; www.supermatematica.ro
68
JOC DE APE 2
www.SuperMathematica.com ; www.supermatematica.ro
ALBUM DE DESENE
REALIZATE CU FUNCŢII SUPERMATEMATICE ŞELARIU
JOC DE APE 3
www.SuperMathematica.com ; www.supermatematica.ro
70
JOC DE APE 4
www.SuperMathematica.com ; www.supermatematica.ro
ALBUM DE DESENE
REALIZATE CU FUNCŢII SUPERMATEMATICE ŞELARIU
JOC DE APE 5
www.SuperMathematica.com ; www.supermatematica.ro
72
JOC DE APE 6
www.SuperMathematica.com ; www.supermatematica.ro
ALBUM DE DESENE
REALIZATE CU FUNCŢII SUPERMATEMATICE ŞELARIU
JOC DE APE 7
www.SuperMathematica.com ; www.supermatematica.ro
74
LINII DE NIVEL 1
www.SuperMathematica.com
ALBUM DE DESENE
REALIZATE CU FUNCŢII SUPERMATEMATICE ŞELARIU
LINII DE NIVEL 2
www.SuperMathematica.com
76
LINII DE NIVEL 3
www.SuperMathematica.com
ALBUM DE DESENE
REALIZATE CU FUNCŢII SUPERMATEMATICE ŞELARIU
LINII DE NIVEL4
www.SuperMathematica.com
78
LINII DE NIVEL 5
www.SuperMathematica.com
ALBUM DE DESENE
REALIZATE CU FUNCŢII SUPERMATEMATICE ŞELARIU
LINII DE NIVEL 6
www.SuperMathematica.com
80
LINII DE NIVEL 7
www.SuperMathematica.com
ALBUM DE DESENE
REALIZATE CU FUNCŢII SUPERMATEMATICE ŞELARIU
M E D U Z A 1
www.SuperMatematica.ro
ALBUM DE DESENE
REALIZATE CU FUNCŢII SUPERMATEMATICE ŞELARIU
82
M E D U Z E 2
www.SuperMatematica.Ro
ALBUM DE DESENE
REALIZATE CU FUNCŢII SUPERMATEMATICE ŞELARIU
O B I E C T E G E O M E T R I C E A L E M A T E M A T I C I I C E N T R I C E 1
www.SuperMathematica.com www.eng.upt.ro/~mselariu www.SuperMathematica.com
ALBUM DE DESENE
REALIZATE CU FUNCŢII SUPERMATEMATICE ŞELARIU
84
O B I E C T E G E O M E T R I C E A L E M A T E M A T I C I I C E N T R I C E 2
www.SuperMathematica.com www.eng.upt.ro/~mselariu www.SuperMathematica.com
ALBUM DE DESENE
REALIZATE CU FUNCŢII SUPERMATEMATICE ŞELARIU
O B I E C T E G E O M E T R I C E A L E M A T E M A T I C I I E X C E N T R I C E 3
www.SuperMathematica.com www.eng.upt.ro/~mselariu www.SuperMathematica.com
ALBUM DE DESENE
REALIZATE CU FUNCŢII SUPERMATEMATICE ŞELARIU
86
O B I E C T E G E O M E T R I C E A L E M A T E M A T I C I I E X C E N T R I C E 4
www.SuperMathematica.com www.eng.upt.ro/~mselariu www.SuperMathematica.com
ALBUM DE DESENE
REALIZATE CU FUNCŢII SUPERMATEMATICE ŞELARIU
O B I E C T E G E O M E T R I C E A L E M A T E M A T I C I I E X C E N T R I C E 5
www.SuperMathematica.com www.eng.upt.ro/~mselariu www.SuperMathematica.com
ALBUM DE DESENE
REALIZATE CU FUNCŢII SUPERMATEMATICE ŞELARIU
88
ELEMENTE ALE COLOANELOR IMBRATIŞĂRII DINTRE GALBEN ŞI CIAN
www.SuperMathematica.com www.eng.upt.ro/~mselariu www.SuperMathematica.com
ALBUM DE DESENE
REALIZATE CU FUNCŢII SUPERMATEMATICE ŞELARIU
89
ELEMENTE ALE COLOANELOR IMBRATIŞĂRII DINTRE GALBEN ŞI CIAN
www.SuperMathematica.com www.eng.upt.ro/~mselariu www.SuperMathematica.com
ALBUM DE DESENE
REALIZATE CU FUNCŢII SUPERMATEMATICE ŞELARIU
90
ELEMENTE ALE COLOANEI IUBIRII ETERNE 1
www.SuperMatematica.RO
ALBUM DE DESENE
REALIZATE CU FUNCŢII SUPERMATEMATICE ŞELARIU
91
ELEMENTE ALE COLOANEI IUBIRII ETERNE 2
www.SuperMatematica.RO
ALBUM DE DESENE
REALIZATE CU FUNCŢII SUPERMATEMATICE ŞELARIU
92
ELEMENTE ALE COLOANEI EXCENTRICE
A RECUNOŞTINŢEI FĂRĂ SFȂRŞIT 3
www.SuperMatematica.RO
ALBUM DE DESENE
REALIZATE CU FUNCŢII SUPERMATEMATICE ŞELARIU
93
ELEMENTE ALE COLOANELOR IMBRATIŞĂRII VEŞNICE 6
www.SuperMathematica.com www.eng.upt.ro/~mselariu www.SuperMathematica.com
ALBUM DE DESENE
REALIZATE CU FUNCŢII SUPERMATEMATICE ŞELARIU
94
ELEMENTE ALE COLOANELOR IMBRATIŞĂRII VEŞNICE 7
www.SuperMatematica.RO
ALBUM DE DESENE
REALIZATE CU FUNCŢII SUPERMATEMATICE ŞELARIU
95
ELEMENTE ALE COLOANELOR IMBRATIŞĂRII VEŞNICE 7
www.SuperMatematica.RO
ALBUM DE DESENE
REALIZATE CU FUNCŢII SUPERMATEMATICE ŞELARIU
96
ELEMENTE ALE COLOANELOR IMBRATIŞĂRII VEŞNICE 7
www.SuperMatematica.RO
ALBUM DE DESENE
REALIZATE CU FUNCŢII SUPERMATEMATICE ŞELARIU
97
ELEMENTE ALE COLOANELOR IMBRATIŞĂRII VEŞNICE 7
www.SuperMatematica.RO
ALBUM DE DESENE
REALIZATE CU FUNCŢII SUPERMATEMATICE ŞELARIU
98
ELEMENTE ALE COLOANELOR IMBRATIŞĂRII VEŞNICE 8
www.SuperMatematica.Ro
ALBUM DE DESENE
REALIZATE CU FUNCŢII SUPERMATEMATICE ŞELARIU
99
ELEMENTE ALE COLOANELOR IMBRATIŞĂRII VEŞNICE 8
www.SuperMatematica.Ro
ALBUM DE DESENE
REALIZATE CU FUNCŢII SUPERMATEMATICE ŞELARIU
100
ARANJAMENTE ȊN 3 D
www.SuperMatematica.Ro
ALBUM DE DESENE
REALIZATE CU FUNCŢII SUPERMATEMATICE ŞELARIU
101
C A P S U L A S P A Ţ I A L Ă
C A P S U L E S P A Ţ I A L E
www.Supermatematica.ro
ALBUM DE DESENE
REALIZATE CU FUNCŢII SUPERMATEMATICE ŞELARIU
102
P L Ă C I L E P R O T E C T O A R E A L E C A P S U L E I S P A Ţ I A L E
www.Supermatematica.ro
ALBUM DE DESENE
REALIZATE CU FUNCŢII SUPERMATEMATICE ŞELARIU
103
F A R F U R I I Z B U R A T O A R E
www.SuperMathematica.com
ALBUM DE DESENE
REALIZATE CU FUNCŢII SUPERMATEMATICE ŞELARIU
104
www.SuperMathematica.com
ALBUM DE DESENE
REALIZATE CU FUNCŢII SUPERMATEMATICE ŞELARIU
105
STATUIA LUI BUDHA STILIZATĂ
DIN PORTELAN ROZ DIN STICLA COLORATA
DIN SARMA DIN LUT
www.Supermatematica.ro
ALBUM DE DESENE
REALIZATE CU FUNCŢII SUPERMATEMATICE ŞELARIU
106
OBIECTE SUPERMATEMATICE MULTICOLORE CU GOLURI 1
www.SuperMatematica.ro
ALBUM DE DESENE
REALIZATE CU FUNCŢII SUPERMATEMATICE ŞELARIU
107
OBIECTE SUPERMATEMATICE MULTICOLORE CU GOLURI 2
www.SuperMatematica.ro
ALBUM DE DESENE
REALIZATE CU FUNCŢII SUPERMATEMATICE ŞELARIU
108
OBIECTE SUPERMATEMATICE MULTICOLORE CU GOLURI 3
www.SuperMatematica.ro
ALBUM DE DESENE
REALIZATE CU FUNCŢII SUPERMATEMATICE ŞELARIU
109
G U R A . . .
LA CARE NU AJUNGI …. LA ….NAS … D E B R O S C O I
…. ZĂU DRAGĂ ?… … C A O . . . L A D Ă
… CARE SPUNE “ NU MAI SPUNE…” … DE CONFERENŢIAR
www.Supermatematica.ro
ALBUM DE DESENE
REALIZATE CU FUNCŢII SUPERMATEMATICE ŞELARIU
110
G U R A . . .
… NEINCREZATOARE … MARE
… CARE ŞOPTEŞTE … AŞTEPTȂND SĂ CADĂ PARA …
… M I S T I C A … CARE SUSEŢINE ECHIPA…
www.Supermatematica.ro, www.Supermathematica.com
ALBUM DE DESENE
REALIZATE CU FUNCŢII SUPERMATEMATICE ŞELARIU
111
G U R I . . .
… CARE AU CAZUT… DE ACORD I N D I S P U T A V E R B A L A
CEA MICĂ MUŞCĂ PE CEA MARE … ȊN UNANIMITATE DE PĂRERI
…CARE SE SUSŢIN RECIPROC … CASCATE
www.Supermatematica.ro
ALBUM DE DESENE
REALIZATE CU FUNCŢII SUPERMATEMATICE ŞELARIU
112
G U R A …
… NEAGRA IN CERUL GURII …ȊNCRȂNCENATĂ
… C Ă S C A T Ă … DE PADURAR
… ECOLOGICĂ … ȊNCHISĂ
www.Supermatematica.ro, www.Supermathematica.com
ALBUM DE DESENE
REALIZATE CU FUNCŢII SUPERMATEMATICE ŞELARIU
IMPLETITURI 1
www.SuperMatematica.Ro
ALBUM DE DESENE
REALIZATE CU FUNCŢII SUPERMATEMATICE ŞELARIU
114
IMPLETITURI 2
www.SuperMatematica.Ro
ALBUM DE DESENE
REALIZATE CU FUNCŢII SUPERMATEMATICE ŞELARIU
IMPLETITURI 3
www.SuperMatematica.Ro
ALBUM DE DESENE
REALIZATE CU FUNCŢII SUPERMATEMATICE ŞELARIU
116
IMPLETITURI 4
www.SuperMatematica.Ro
ALBUM DE DESENE
REALIZATE CU FUNCŢII SUPERMATEMATICE ŞELARIU
IMPLETITURI 5
www.SuperMatematica.Ro
ALBUM DE DESENE
REALIZATE CU FUNCŢII SUPERMATEMATICE ŞELARIU
118
OBIECTE SM STRANII 1
www.Supermatematica.ro
ALBUM DE DESENE
REALIZATE CU FUNCŢII SUPERMATEMATICE ŞELARIU
OBIECTE SM STRANII 2
www.Supermatematica.ro
ALBUM DE DESENE
REALIZATE CU FUNCŢII SUPERMATEMATICE ŞELARIU
120
SEMICONURI CU SEMIPIRAMIDE CONCAVE ŞI SEMIPIRAMIDE CONVEXE
www.SuperMatematica.ro, www.eng.upt.ro/mselariu, www.SuperMathematica.com
ALBUM DE DESENE
REALIZATE CU FUNCŢII SUPERMATEMATICE ŞELARIU
121
SUPRAFEŢE SM ȊN DOUĂ VEDERI 1
www.SuperMathematica.com
ALBUM DE DESENE
REALIZATE CU FUNCŢII SUPERMATEMATICE ŞELARIU
122
SUPRAFEŢE SM ȊN DOUĂ VEDERI 2
www.SuperMathematica.com
ALBUM DE DESENE
REALIZATE CU FUNCŢII SUPERMATEMATICE ŞELARIU
123
SUPRAFEŢE SM ȊN DOUĂ VEDERI 3
www.SuperMathematica.com
ALBUM DE DESENE
REALIZATE CU FUNCŢII SUPERMATEMATICE ŞELARIU
124
SUPRAFEŢE SM ȊN DOUĂ VEDERI 4
www.SuperMathematica.com
ALBUM DE DESENE
REALIZATE CU FUNCŢII SUPERMATEMATICE ŞELARIU
125
SUPRAFEŢE SM ȊN DOUĂ VEDERI 5
www.SuperMathematica.com
ALBUM DE DESENE
REALIZATE CU FUNCŢII SUPERMATEMATICE ŞELARIU
126
S U P R A F E Ţ E C O M P L E X E Ȋ N T R E P Ă T R U N S E 1
Plot3D[{0,5 Re[tanv(z)], 0,5 Im[sin(z)]}],
z = x+i.y, x [ -2π, 2π] ,y [-π, π]
Plot3D[{ Re[siqx+i.aexy], 0,5 Im[sinx+i.aexy]}],
z = x+i.y, x [ -2π, 2π] ,y [-2π, 2π]
Plot3D[{Re[coqx + i.y], Abs[coqx+i.y]}]
y [0, 2] ◄ z = x+i.y, x [ -2π, 2π] , ►y [-π, π]
Legenda:
www.SuperMathematica.com www.eng.upt.ro/~mselariu www.SuperMatematica.Ro
ALBUM DE DESENE
REALIZATE CU FUNCŢII SUPERMATEMATICE ŞELARIU
127
S U P R A F E Ţ E C O M P L E X E Ȋ N T R E P Ă T R U N S E 2
Plot3D[{0,5Abs[sinz]-2, 0,5Abs[sinz], 0,5 Re[sinx/Abs[cosy]]}]
y [0, 2] ◄ z = x+i.y, x [ -2π, 2π] , ►y [-π, π]
◄Plot3D[{0,5 Abs[sinz], 0.5Im[sinz]}] Plot3D[{0,5 Abs[sinz], 0.5Abs[sinz]}]►
Z = x + i.y, x [ -2π, 2π] , y [-π, π]
www.SuperMathematica.com www.eng.upt.ro/~mselariu www.SuperMatematica.Ro
ALBUM DE DESENE
REALIZATE CU FUNCŢII SUPERMATEMATICE ŞELARIU
128
S U P R A F E Ţ E C O M P L E X E Ȋ N T R E P Ă T R U N S E 3
]
www.SuperMathematica.com www.eng.upt.ro/~mselariu www.SuperMathematica.com
ALBUM DE DESENE
REALIZATE CU FUNCŢII SUPERMATEMATICE ŞELARIU
129
S U P R A F E Ţ E C O M P L E X E C A V E Ȋ N T R E P Ă T R U N S E 4
Plot3D[{Abs[aex(x) + i.y] +1, Abs[aexz]},
{x,- π, π },{- π , π }, s = 0,98]
Plot3D[{Abs[aex(x) + i.y] , Im[aexz]},
{x,- π, π },{- π , π }, s = 0,98]
Plot3D[{Re[aex(x) + i.y], Im[aexz]},
{x,- π, π },{- π , π }, s = 0,98]
Plot3D[{Abs[aex(x) + i.y], Re[aex(x) + i.y]},
{x,- π, π },{- π , π }, s = 0,98]
www.SuperMathematica.com www.eng.upt.ro/~mselariu www.SuperMatematica.Ro
ALBUM DE DESENE
REALIZATE CU FUNCŢII SUPERMATEMATICE ŞELARIU
130
S U P R A F E Ţ E C O M P L E X E Ȋ N T R E P Ă T R U N S E 5
Plot3D[{tanz, sinz}, {x,-2 π, 2π },{y,-π ,π}]
z = x +i.y
Plot3D[{Re[coqx+iy], Re[siqx,+iy],
Abs[siqx +iy]},{x, -2π, 2π},{y,-π, π }]
Plot3D[{0,5Re[sexx+i.y],0,5Abs[cos(aexx+i.y) +1,
0,5Abs[sex(x +i.y)] ] ]},{x,-2π, 2π},{y, -π, π}] Plot3D{Re[coq(x+π/2)+iy], Re[coqx+i.y], -1,
Abs[siqx+i.y]-2},{x,-2π, 2π,},{y,-π, π}]
Plot3D[{0.5(Abs[cosz], Re[cosz], Im[cos(x+Pi/2 +i.y0])]},{x,-2 π, 2 π },{- π, π }]
www.SuperMathematica.com www.eng.upt.ro/~mselariu www.SuperMatematica.Ro
ALBUM DE DESENE
REALIZATE CU FUNCŢII SUPERMATEMATICE ŞELARIU
131
TOR SM COMPLET ȊN TOR SM SECŢIONAT 1
www.SuperMatematica.ro
ALBUM DE DESENE
REALIZATE CU FUNCŢII SUPERMATEMATICE ŞELARIU
132
OBIECTE GEOMETRICE ALE MATEMATICII E X C E N T R I C E
TURNURI VALERIU ALACI
SAU CILINDRUL CONICO-PĂTRAT
www.SuperMatematica.RO
ALBUM DE DESENE
REALIZATE CU FUNCŢII SUPERMATEMATICE ŞELARIU
133
TURNURI VALERIU ALACI
www.SuperMatematica.RO
ALBUM DE DESENE
REALIZATE CU FUNCŢII SUPERMATEMATICE ŞELARIU
134
Toruri SM bicolore 1
www.SuperMatematica.ro
ALBUM DE DESENE
REALIZATE CU FUNCŢII SUPERMATEMATICE ŞELARIU
135
www.SuperMatematica.ro
ALBUM DE DESENE
REALIZATE CU FUNCŢII SUPERMATEMATICE ŞELARIU
136
www.SuperMatematica.ro
ALBUM DE DESENE
REALIZATE CU FUNCŢII SUPERMATEMATICE ŞELARIU
137
TOR EXCENTRIC REALIZAT DIN SEGMENTE CENTRICE
www.SuperMatematica.ro
ALBUM DE DESENE
REALIZATE CU FUNCŢII SUPERMATEMATICE ŞELARIU
138
www.SuperMatematica.ro
ALBUM DE DESENE
REALIZATE CU FUNCŢII SUPERMATEMATICE ŞELARIU
139
FIGURI CU ROLE DE RULMENT SI TOR PATRAT 1
www.SuperMatematica.Ro
ALBUM DE DESENE
REALIZATE CU FUNCŢII SUPERMATEMATICE ŞELARIU
140
FIGURI CU ROLE DE RULMENT SI TOR PATRAT 2
www.SuperMatematica.Ro
ALBUM DE DESENE
REALIZATE CU FUNCŢII SUPERMATEMATICE ŞELARIU
141
FIGURI CU ROLE DE RULMENT SI TOR PATRAT 3
www.SuperMatematica.Ro
ALBUM DE DESENE
REALIZATE CU FUNCŢII SUPERMATEMATICE ŞELARIU
142
F L U T U R A Ş I
www.SuperMatematica.ro
ALBUM DE DESENE
REALIZATE CU FUNCŢII SUPERMATEMATICE ŞELARIU
143
C A R A C A T I T E 1
www.Supermatematica.ro
ALBUM DE DESENE
REALIZATE CU FUNCŢII SUPERMATEMATICE ŞELARIU
144
C A R A C A T I T E 2
www.Supermatematica.ro
ALBUM DE DESENE
REALIZATE CU FUNCŢII SUPERMATEMATICE ŞELARIU
145
C U R B E F R U M O A S E
2 2 4 6
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
2 2 4 6
2
1
1
ALBUM DE DESENE
REALIZATE CU FUNCŢII SUPERMATEMATICE ŞELARIU
146
C U R B E C V A D R I L O B E F R U M O A S E
www.SuperMatematica.ro, www.eng.upt.ro/mselariu, www.SuperMathematica.com.
1 2 3 4 5 6
1.0
0.5
0.5
1.0
2 2 4 6
1.0
0.5
0.5
1.0
1 2 3 4 5 6
1.0
0.5
0.5
1.0
1 2 3 4 5 6
1.0
0.5
0.5
1.0
ALBUM DE DESENE
REALIZATE CU FUNCŢII SUPERMATEMATICE ŞELARIU
147
E L I C E S U P E R M A T E M A T I C E
ALBUM DE DESENE
REALIZATE CU FUNCŢII SUPERMATEMATICE ŞELARIU
148
C U B U R I C U P A N G L I C I
www.Supermatematica.ro
ALBUM DE DESENE
REALIZATE CU FUNCŢII SUPERMATEMATICE ŞELARIU
149
O B I E C T E I N C U B U R I I N T R E I V E D E R I 1
www.Supermatematica.ro
ALBUM DE DESENE
REALIZATE CU FUNCŢII SUPERMATEMATICE ŞELARIU
150
O B I E C T E I N C U B U R I I N T R E I V E D E R I 2
www.Supermatematica.ro
ALBUM DE DESENE
REALIZATE CU FUNCŢII SUPERMATEMATICE ŞELARIU
151
A R T Ă P E S A R M Ă 1
www.Supermathematica.com www.eng.upt.ro/~mselariu www.Supermatematica.ro
ALBUM DE DESENE
REALIZATE CU FUNCŢII SUPERMATEMATICE ŞELARIU
152
A R T Ă P E S A R M Ă 2
www.Supermatematica.ro
ALBUM DE DESENE
REALIZATE CU FUNCŢII SUPERMATEMATICE ŞELARIU
153
A R T Ă P E S A R M Ă 3
www.Supermathematica.com www.eng.upt.ro/~mselariu www.Supermatematica.ro
ALBUM DE DESENE
REALIZATE CU FUNCŢII SUPERMATEMATICE ŞELARIU
154
A R T Ă P E S A R M Ă 4
www.Supermatematica.ro
ALBUM DE DESENE
REALIZATE CU FUNCŢII SUPERMATEMATICE ŞELARIU
155
DANS POPULAR ROMȂNESC
www.SuperMatematica.ro
ALBUM DE DESENE
REALIZATE CU FUNCŢII SUPERMATEMATICE ŞELARIU
156
TOR SUPERMATEMATIC VIU COLORAT
www.SuperMathematica.com www.SuperMatematica.Ro
ALBUM DE DESENE
REALIZATE CU FUNCŢII SUPERMATEMATICE ŞELARIU
157
MELCI EXCENTRICI
www.SuperMathematica.com ; www.supermatematica.ro
ALBUM DE DESENE
REALIZATE CU FUNCŢII SUPERMATEMATICE ŞELARIU
158
FIGURI PE CORPURI GEOMETRICE 1
www. SuperMathematica.com
ALBUM DE DESENE
REALIZATE CU FUNCŢII SUPERMATEMATICE ŞELARIU
159
FIGURI PE CORPURI GEOMETRICE 2
www. SuperMathematica.com
ALBUM DE DESENE
REALIZATE CU FUNCŢII SUPERMATEMATICE ŞELARIU
160
FIGURI PE CORPURI GEOMETRICE 3
www. SuperMathematica.com
ALBUM DE DESENE
REALIZATE CU FUNCŢII SUPERMATEMATICE ŞELARIU
161
FLORI ARTIFICIALE SM 1
www.SuperMathematica.com; www.SuperMatematica.ro
ALBUM DE DESENE
REALIZATE CU FUNCŢII SUPERMATEMATICE ŞELARIU
162
FLORI ARTIFICIALE SM 2
www.SuperMathematica.com; www.SuperMatematica.ro
ALBUM DE DESENE
REALIZATE CU FUNCŢII SUPERMATEMATICE ŞELARIU
163
FLORI ARTIFICIALE SM 3
www.SuperMathematica.com; www.SuperMatematica.ro
ANEXA 1 la ALBUMUL DE DESENE
REALIZATE CU FUNCŢII SUPERMATEMATICE ŞELARIU
187
Moto: “Mecanica este paradisul ştiinţelor matematice,
deoarece prin ea se ajunge la fructele matematicii ”
Leonardo da Vinci
“Ori de câte ori aud de “cvadridimensional”
matematicienii sunt scuturaţi de un frison mistic..”
Albert Einstein
SPAŢIUL MATEMATICII CENTRICE (ME)
ŞI SPAŢIUL MATEMATICII EXCENTRICE ( ME)
Spaţiul este o categorie filozofică ce desemnează forme obiective şi universale de existenţă a
materiei în mişcare. Spaţiului exprimă ordinea, poziţia (localizarea şi orientarea), distanţa, mărimea,
forma şi întinderea obiectelor coexistente în lumea reală ca şi a corpurilor sau părţilor ce formează
aceste obiecte. Pentru Newton, spaţiul şi timpul sunt absolute, obiective şi universale, deci
independente de materia în mişcare. Acesta ar putea fi numit spaţiul matematicii centrice (MC).
şi s = 1 v’ > v s’ > s
Fig. 1.12 Contracţia spaţiului (L) şi dilatarea temporală (t) stânga
şi variaţia lor cu creşterea vitezei dreapta.
www.SuperMathematica.ro
Constituirea geometriilor neeuclidiene de către Lobacevski, Bolyai, Gauss, Riemann, ş.a. a
contribuit la formarea concepţiei, conform căreia, proprietăţile geometrice spaţiale nu sunt
pretutindeni aceleaşi, fiind determinate de proprietăţile lui fizice. Spaţiul este deci neomogen şi
anizotrop. Teoria relativităţii lui Einstein, a demonstrat că proprietăţile spaţio-temporale (lungimea
corpurilor şi durata fenomenelor v.Fig.1.12), depind de viteza de deplasare a sistemelor materiale şi
că structura sau proprietăţile continuului spaţio-temporal variază în funcţie de concentrarea maselor
substanţei şi de intensitatea câmpului gravitaţional generat de către acestea. De aceea, ea a fost
numită şi teoria fizică a spaţiului şi timpului. Dacă acesta ar fi spaţiul matematicii excentrice (ME),
atunci, se poate adăuga că, în acest spaţiu, toate entităţile sau figurile geometrice se pot
metamorfoza, prin existenţa excentricităţii ca o nouă dimensiune a acestui spaţiu, sau, mai precis,
ca noi dimensiuni ale lui.
Excentricitate pote fi considerată un amănunt, dar nu este ! Şi, chiar dacă ar fi, “Nu neglijaţi
amănuntele. Amănuntele creează perfecţiunea şi perfecţiunea nu-i un amănunt !” ne-a îndemnat,
cu aproape 500 de ani înainte, Michelangelo Buonarroti.
Excentricitate reală poate fi distanţa de la punctul E(e,ε) până la un punct O(0,0), considerat
centru, ca în matematica excentrică (ME). O diferenţă de potenţial în electricitate, o diferenţă de
presiune în hidraulică, datorită căreia fluidul se deplasează într-un sens sau altul într-o conductă. Fără
această excentricitate-- diferenţă de presiune, mişcarea nefiind posibilă; fluidul staţionând.
Diferenţa dintre originile a două sisteme inerţiale, sau spaţiu deplasării relative a acestora este
e = s.t, şi nu timpul t, aşa cum se consideră în continuare, caz în care excentricitatea este o mărime
variabilă care creşte continuu, în care raportul s =
a fost denumit excentricitate numerică.
Fără existenţa unei excentricităţi originare oarecare, apariţia şi mişcarea în univers n-ar fi fost
posibilă. “Amănutele crează perfecţiunea şi perfecţiunea nu-i un amănunt !” Cât de mult adevăr în
spusele lui Michelangelo Buonarroti !
Fig. 1.13 Contracţia spaţiului (LE) şi dilatarea temporală (tE) în cazul factorului Lorentz
excentric, pe direcţia θ <
www.SuperMathematica.ro
În figura 1.12 este schiţată situaţia a două sisteme inerţiale, iniţial suprapuse în O(0, 0), sau a
unui sistem considerat fix în originea O(0, 0) şi al doilea, care se deplasează, pe direcţia axei x (ε = 0),
cu viteza v, o fracţiune (0,6 în figura 1.12) din viteza c a luminii în vid, astfel că, deplasarea relativă a
celor doua sisteme s = , este dată de o nouă dimensiune a spaţiului e, adică e = s.t =
, care este
excentricitatea liniară reală variabilă este e iar s este excentricitatea liniară numerică, ambele, aici,
considerate constante. Acesta este spaţiul 2 D excentric, notat 2DE cu 3 dimensiuni: x, y şi e =
, în
care e variază uniform, în raport cu timpul t. Dacă E se deplasează pe o direcţie de orientare ε, faţă de
axa x, ε = ct, situaţia nu se schimbă, decât dacă deplasarea se realizează şi pe direcţia z, caz în care ne
situăm în spatiul 3D excentric, spaţiu 3D cu patru dimensiuni: x, y, z şi e, notat 3DE, dacă ε = ct şi cu
5 dimensiuni dacă ε este variabil ε = ε (t) . Excentricitatea unghiulară fiind ε.
In figura 1.12, sunt reprezentate contracţia spaţiului (L < 0) şi dilatarea temporală (t > 0)
pentru un unghi la excentrul S de θ = π/2 şi pentru unitatea de lungime L = R = 1 şi respectiv, unitatea
de timp t = R = 1 e = s. Acestea sunt
ANEXA 1 la ALBUMUL DE DESENE
REALIZATE CU FUNCŢII SUPERMATEMATICE ŞELARIU
189
(1.26)
.
În aceeaşi figură, în partea dreptă, este prezentată accentuarea dilatării timpului şi a contracţie
temporale la o creşterea viteze de la v la v’.
.Factorul Lorentz centric (s), constant pentru un anumit s şi
factorul Lorentz excentric E (s, θ), variabil în funcţie de θ pentru un anumit s
E ≤ , θ =
E =
Variaţia unităţii de lungime L datorită contracţiei, în cele două cazuri
(s =
) E (s, θ)
Fig. 1.14 Factorii Lorentz centric şi excentric E
Se observă şi din figură că, pentru v = c s = 1 şi L – L, adică lungimea se reduce la
zero (L’ 0, L = L’ - L = 1) şi timpul se dilată nemărginit t’ = t ∞.
În relaţiile anterioare, factorul Lorentz, notat în mod obişnuit cu γ, aici a fost notat cu
(litera grecească fiind mai apropiată de iniţiala numelui lui Lorentz decât gama - γ) şi are expresia
(1.27) =
=
> 1
Pentru o anumită valoare a vitezei v = ct., rezultă o excentricitate numerică s = ct. şi, ca
urmare, şi un factorul Lorentz constant, pentru care contracţia spaţiului şi, mai precis, a unitaţii de
lungime L pe direcţia y (Fig. 1.12) este şi dilatarea temporală a unitaţii de timp t va fi t’ =
.t.Se poate deduce că aceste valori sunt invariante la sensul de deplasarea (pozitiv pe semiaxa x+ sau
1.5 1.0 0.5 0.5 1.0 1.5
1.2
1.4
1.6
1.8
2.0
negativ pe direcţia semiaxei negativa x–, şi, evident, nici la unitaţi de lungime şi timp orientate pe x,
dar marcate pe sensurile pozitive sau negative ale direcţiei y, aşa cum se observă şi în figura 1.15.
Pentru θ = ±
, = E astfel că L = L’ – L minim şi t = t’ – t maxim posibil, pentru o
anumita valoare a lui s [ 0, 1].
Deşi mărimile L, L’, t, t’ sunt reprezentate pe directia y, ele corspund deplasării relative ale
sistemelor inerţiale pe direcţia axei x. Ca urmare, contracţia L şi dilatarea t au loc pentru lungimi L
şi lungimi de undă sau frecvenţe, care măsoară timpul, orientate tot pe direcţia de mişcare x.
L = L’ – L şi LE, pentru L = 1 t = t’ – t şi LE, pentru t = 1
Fig. 1.15 Contracţiile lungimilor şi dilatarea temporală pentru cei doi factori Lorentz
centric şi excentric E, pentru s [ 0, 1] cu pasul 0,1
www.SuperMathematica.ro
Fig. 1.16 Deformaţiile unui disc circular la deplasarea lui pe direcţia x cu viteza v,
o fracţiune s din viteza c a luminii în vid s [0, 1], cu pasul 0,1, e =
t,
în 2D stânga şi în 3D în dreapta
www.SuperMathematica.ro
Dacă, în relaţiile anterioare, unghiul θ este diferit de un unghi drept, atunci fenomenul de
dilatare a timpului se accentuează, iar cel de contracţie a spaţiului se atenuează, odată cu scăderea lui θ
(Fig. 1.13 şi 1.14). Pentru direcţia de θ = 0, lungime L, care este orientată pe direcţia de deplasare x,
nu-şi modifică lungimea, oricarear fi raportul s al vitezelor (Fig. 1.14), astfel că L’ = L şi atenuarea
contracţiei lungimii este completă l = 0, iar dilatarea temporală este maximă posibilă, deoarece t’
∞. Dacă unghiul θ =
însemnă mărimi reprezentate pe axa y dar orientate pe direcţia x, atunci
θ = 0 poate înseamna aceleaşi marimi reprezentate pe direcţia x dar orientate pe direcţia transversală y.
Se poate obţine, astfel, un factor Lorentz variabil E, denumit factor Lorentz excentric,
variabil cu direcţia θ de orientare a mărimii, pentru a se deosebi de cel constant centric . Expresie lui
E este
3 2 1 1 2 3
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
3 2 1 1 2 3
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
ANEXA 1 la ALBUMUL DE DESENE
REALIZATE CU FUNCŢII SUPERMATEMATICE ŞELARIU
191
(1.28) E =
=
[, 1], pentru θ [
],
În consecinţă, fenomenul de contracţie a lungimilor depinde de direcţia θ, de orientare în
spaţiu a lungimii etalon, fiind maximă pe direcţia de mişcare relativă x de deplasare a sistemului
inerţial mobil, adică θ =
E(θ) = şi minimă (zero) pe direcţia transversală y (θ = 0).
Ca urmare, un disc circular, care se deplasează pe direcţia x cu viteza v, fracţiune s =
din
viteza c a luminii în vid (Fig.1.16), se va turti pe directia x, astfel că, la atingerea vitezei absolute a
luminii în vid, viteză v = c s = 1, va deveni o bara de lungime Ly = 2R, pe direcţia transversală de
mişcare y şi de dimensiune Lx = 0 pe direcţia de mişcare x. Pierzându-şi una dintre cele două
dimensiuni, de fapt discul circular va dispărea.
La întrebarea “Ce se va întâmpla cu discul la viteze supraluminale ?” vă poate răspunde Prof.
Dr. math. Florentin Smarandache, seful Departamentului de Ştiinţă şi Matematica a Universităţii
Gallup din New Mexico (SUA), care a elaborat o teorie în cazul vitezelor ce depasesc viteza luminii.
De aceea, în matematica centrică (MC), există doar 3 dimensiuni liniare x, y, şi z care sunt,
totodată, şi dimensiuni de formare a obiectelor 3D, prin ecuaţiile lor parametrice, de exemplu.
Fig. 1.17 Factorii Lorentz şi E = E(θ = 0,8
) stânga, precum şi
variaţia lungimii L = 1 în funcţie de s =
şi θ [0, π] dreapta
www.SuperMathematica.Ro
Ecuaţia polară a obiectului de lungime L=1, care se deformează, contractându-se la L’, odată
cu creşterea vitezei relative s, de deplasare a sistemului inerţiale pe direcţia x ( v s ), în aceste
situaţii, este
(1.29) ρ = ,
iar, în coordonate parametrice, este
(1.30)
,
cu graficelor din figurile 1.15, 1.16 şi 1.17.
NOI DIMENSIUNI ALE SPAŢIULUI ŞI CONSECINŢELE LOR :
HIBRIDAREA ŞI METAMORFOZAREA MATEMATICĂ
Spaţiul este o entitate abstractă care reflectă o formă obiectivă de existenţă a materiei. Apare
ca o generalizare şi abstractizare a ansamblului de parametri prin care se realizeazã deosebirea între
diferite sisteme ce constituie o stare a universului.
El este o formă obiectivă şi universală a existenței materiei, inseparabilă de materie, care are
aspectul unui întreg neîntrerupt cu trei dimensiuni și exprimă ordinea coexistenței obiectelor lumii
reale, poziția, distanța, mărimea, forma, întinderea lor.
În concluzie, se poate afirma că spaţiul apare ca o sinteză, ca o generalizare şi abstractizare a
constatărilor cu privire la o stare, la un moment dat, a universului.
În cadrul mecanicii clasice, noţiunea de spaţiu este aceea a modelului spaţiului euclidian
tridimensional (E3) omogen, izotrop, infinit.
Când se discută despre spaţiu, primul gând este îndreptat spre poziţie, adică noţiunea de
poziţie este direct asociată noţiunii de spaţiu. Poziţia este exprimată în raport cu un sistem de referinţă
(reper) sau, mai scurt, printr-un sistem de coordonate.
Un obiect tridimensional are în spaţiu E3 6 grade de libertate, constituite din cele 3
translaţii, pe direcţiile X, Y şi Z şi din 3 rotaţii, în jurul axelor X, Y şi Z, notate, respectiv, cu θ, φ, ψ
în Matematică şi în Mecanică şi cu A, B şi C, în tehnologie şi în robotică.
Un obiect poate fi “realizat” sau, mai precis, poate fi reprodusă imaginea lui în spaţiul virtual,
când apare în 3D, pe ecranul monitorului unui computer, prin folosirea unor programe tehnice (CAD)
sau matematice comerciale (MATHEMATICA, MATLAB, MATHCAD, MAPLE, DERIVE, ş,a.) sau
speciale, care folosesc FSM-Excentrice, Elevate sau/şi Exotice - la descrierea obiectelor, cum este
SM-CAD-CAM.
Transformarea sferei în cub Transformarea cilindrului circular în cilindru pătrat
Transformarea conului în piramidă Transformarea cilindrului în prismă
Fig. 1.18 Metamorfozarea obiectelor matematice
www.SuperMathematica.Ro
Prin modificarea excentricitaţii, obiectele cunoscute şi formate în domeniul centric al
supermatematicii (SM), adică, în matematica centrică (MC), pot fi deformate în domeniul excentric al
SM, adică, în matematica excentrică (ME) şi transformate iniţial în obiecte hibride, proprii ME, ca,
apoi, să fie re-transformate în obiecte de alt gen, cunoscute în MC. Ca de exemplu, deformarea unui
con perfect (s = 0) în cono-piramide [s (0, 1)] cu baza un pătrat perfect şi vârful conic, care
constitue obiectele hibride, situate între con şi piramidă, pâna la transformarea ei într-o piramidă
perfectă (s = ± 1) cu baza un pătrat perfect (Fig.1.18). Obiectul poate fi realizat în fapt, prin diversele
ANEXA 1 la ALBUMUL DE DESENE
REALIZATE CU FUNCŢII SUPERMATEMATICE ŞELARIU
193
metode de prelucrare mecanice [v. Mircea Şelariu, Cap.17 Dispozitive de prelucrare,
PROIECTAREA DISPOZITIVELOR, EDP, Bucureşti, 1982, coordonator Sanda-Vasii Roşculeţ] de
formare (turnare, sinterizare), deformare (la cald şi la rece), dislocare (decupare, aşchiere, eroziune,
netezire) şi agregare (sudare şi lipire).
Conopiramidă Cilindru C/P
Sferocub Cilindru C/T
Fig.1.19 Obiecte matematice hibride
www.SuperMathematica.Ro
În ambele cazuri, sunt necesare mişcări ale sculei şi/sau ale piesei, respectiv, ale spotului
luminos care delimitează pe ecran un pixel şi trece de la un pixel la altul.
Mişcarea este strâns legată de spaţiu şi de timp.
Mişcarea mecanică poate fi de
formare în timp a corpurilor şi, implicit, a obiectelor ;
schimbarea în timp a poziţiei obiectelor, sau a părţior sale, denumite corpuri, în
raport cu alte corpuri, alese drept sisteme de referinţă;
schimbarea în timp a formei corpurilor şi, implicit, a formei obiectelor, prin
deformarea lor .
Spaţiul reflectă raportul de coexistenţă dintre obiecte şi fenomene, sau părţi ale acestora,
indicând:
întinderea/mărimea lor, denumită dimensiune de gabarit;
locul obiectelor, prin coordonatele liniare X, Y, Z, în spatiul 3D, denumite dimensiuni de
localizare;
orientarea obiectelor, în spaţiul 3D, prin coordonatele unghiulare , , , sau A, B ,C,
denumite dimensiuni de orientare;
poziţiile relative sau distanţele dintre obiecte, denumite dimensiuni de poziţionare, dacă se
referă la localizarea şi orientarea absolută şi/sau relativă a obiectelor, iar dacă se referă la părţi
ale acestora, numite corpuri, atunci sunt denumite dimensiuni de coordonare;
forma obiectelor şi, respectiv, evoluţia fenomenelor, denumite dimensiuni de formare, care
definesc, totodată, şi ecuaţiile de definire a obectelor;
deformarea obiectelor şi modificarea evoluţiei fenomenelor, denumite dimensiuni de
deformare sau excentricităţi.
Strâmbe de variabilă excentrică θ Strâmbe de variabilă centrică
Fig.1.20 Strâmbele ce trec prin punctul P(2, 3) ca o generalizare a dreptei
www.SuperMathematica.Ro
Ultima dimensiune a spaţiului, excentricitatea, făcând posibilă apariţia matematicii
excentrice (ME) şi realizând trecerea din domeniul matematicii centrice în cel al matematicii
excentrice, precum şi saltul de la o singură entitate matematică, existentă în Matematică şi domeniul
centric, la o infinitate de entităţi, de acelaşi gen, dar deformate din ce în ce mai pronunţat, odată cu
creşterea valorii excentricităţii numerice s, până la transformarea lor în alte genuri de obiecte, existente
în domeniul centric. Un exemplu, devenit deja clasic, este deformarea continuă a unei sfere până la
transformarea ei într-un cub (Fig.1.18), prin utilizarea aceloraşi dimensiuni de formare (ecuaţii
parametrice), atât pentru sferă cât şi pentru cub, doar excentricitatea modificându-se: fiind s = e = 0
pentru sfera de rază R şi s = ± 1, sau e = R, pentru cubul de latură L = 2R; pentru s [(-1, 1) \ 0]
obţinându-se obiecte hibride, proprii matematicii excentriec (ME), anterior inexistente în
Matematică, sau, mai precis, în Matematica Centrică (MC).
2 2 4 6
2
2
4
6
8
ANEXA 1 la ALBUMUL DE DESENE
REALIZATE CU FUNCŢII SUPERMATEMATICE ŞELARIU
195
Aşa cum s-a mai prezentat, dreapta este un spaţiu unidimensional şi, totodată, în
Supermatematică (SM), o strâmbă de excentricitate zero (Fig. 1.20).
Creşterea excentricităţii, de la zero la unu, transformă linia dreaptă într-o linie frântă,
ambele existând şi sunt cunoscute în Matematica Centrică, nu şi restul strâmbelor, care sunt proprii
Matematicii Excentrice, fiind generate de FSM-CE amplitudine excentrică. Astfel, dreapta de
coeficient unghiular m = tan = tan
= 1 care trece prin punctul P(2, 3) are ecuaţia
(1.26) y – 3 = x – 2,
iar familia de strâmbe, din aceeaşi familie cu dreapta, au ecuaţia
(1.27) y [x, S(s, ε)] – y0 = m {aex [, S(s, ε)] –x0},
(1.28) y – y0 = m{θ – arcsin[s.sin(θ–ε)]} – x0 , m = tan = 1, P(2, 3), s [-1, +1], în coordonate excentrice θ (Fig. 20 stânga) şi, în coordonate centrice , ecuaţia este
(1.29) y[x, S(s, ε)] - y0 = m (Aex [, S(s, ε)] –x0),
(1.30) y – y0 = m { + arcsin
}, m = tan = 1, P(2, 3), s [-1, +1],
(1.31) y – y0 = m {
}.
Diferenţa, dintre cele două tipuri de strâmbe, de θ şi de , este aceea, că cele de θ sunt
continue numai pentru excentricitatea numerică din domeniul s [ -1, 1], pe când cele de sunt
continue pentru toate valorile posibile a lui s, adică s [- ∞ , +∞].
Linia frântă este cunoscută în Matematica Centrică (MC) dar fără să i se cunoască ecuaţiile ei
! Ceea ce nu mai este cazul în SM şi, evident, şi în ME unde se obţine pentru valoarea s = 1 a
excentricităţii numerice s (Fig. 1.20).
Un fenomen asemănător metamorfozării matematice, prin care din MC un obiect cunoscut
trece prin matematica excentrică (ME) luând forme hibride şi se reîntoarce în matematica centrică
(MC), ca un alt tip de obiect (Fig.1.18), este considerat că ar avea loc şi în fizică: din vid apar
continuu particule de un anumit tip şi se reîntorc în vidul cosmic. Aceleaşi sau altele ?
Cosmologia are o teorie ce se aplică întregului Univers, formulată de Einstein în 1916:
relativitatea generală. Ea afirmă că forţa de gravitaţie, ce se exercită asupra obiectelor, acţionează şi
asupra structurii spaţiului, care îşi pierde cadrul rigid şi imuabil, devenind maleabil şi curb, în funcţie
de materia sau energia pe care le conţine. Adică, spaţiul se deformează.
Continuum-ul spaţiu-timp, al relativităţii generale, nu este conceput fără conţinut, deci nu
admite vidul! Cum spunea şi Einstein ziariştilor, care îl rugau să le rezume teoria sa: "Înainte, se
credea că, dacă toate lucrurile ar dispărea din Univers, timpul şi spaţiul ar rămîne, totuşi. În teoria
relativităţii, timpul şi spaţiul dispar, odată cu dispariţia celorlalte lucruri din univers."
Aşa cum s-a mai afirmat, s = e = 0 este lumea MC a liniarului, a entităţilor perfecte, ideale, în
timp ce infinitatea de valori posibile atribuite excentricităţiilor s şi e, nasc ME şi, totodată, lumi ce
aparţin realului, lumii imperfecte, tot mai indepărtată de lumea ideală cu cât s şi e sunt mai îndepărtate
de zero.
Ce se întâmpla dacă e = s 0 ? Lumea reală, ca şi ME dispar şi cum lume ideală nu exista,
dispare totul !
Ceea ce susţine teoria autorului din SUPERMATEMATICA. Fundamente, Vol. I, Editura
POLITEHNICA, Timisoara, Cap. 1 INTRODUCERE prin care expansiunea universului este un proces
de desvoltare a ordinii în haosul absolut, o trecere progresivă a spaţiului haotic în ordine din ce în ce
mai pronunţată.
În concluzie, spaţiul, ca şi timpul, se formează şi se deformează, adică, excentricitatea
spaţiului, de o anumită valoare, duce la formarea spaţiului, apoi, prin modificare valorii ei, spaţiul se
deformează/modifică.
Forma modificată a spaţiului este dependentă de valoarea excentricităţii, care devine o nouă
dimensiune a spaţiului: dimensiunea de deformare.
Energia şi masa materiei să crească odată cu creşterea excentricităţii ? Sau invers?
Excentricitatea să determine valoarea masei şi a energiei prezente / localizate într-un anumit loc în
spaţiu ?
Instalarea unei piese de prelucrat (obiect de prelucrat) în spaţiul de lucru a unei maşini-unelte
moderne, cu comenzi numerice de conturare (CNC), este foarte asemănătoare cu “instalarea “ unui
obiect matematic în spaţiul euclidian tridimensional R3. De aceea, vom folosi unele noţiuni din
domeniul tehnologic.
În tehnologie, instalarea este operaţia premergătoare prelucrării; numai un obiect / piesă
instalată poate fi prelucrată. Ea presupune următoarele faze sau operaţii tehnologice, în această
succesiune / ordine; numai înfăptuirea unei faze, facând posibilă trecerea la realizarea fazei următoare:
1. ORIENTAREA, este acţiunea sau operaţia prin care elementele geometrice ale obiectului,
care sunt baze de referinţă tehnologică de orientare, prescurtat baze de orientare (BO), primesc o
direcţie bine determinată, faţă de direcţiile unui sistem de referinţă. În tehnologie, faţă de direcţiile
unor mişcări principale şi/sau secundare de lucru, sau/şi faţă de direcţiile mişcărilor de reglare
diemensională a sistemului tehnologic.
Drept baze de orientare (BO) pot servi :
3) Un plan al obiectului, respectiv o suprafaţă plană a piesei, dacă ea există, caz în care,
această suprafaţă, determinată de trei puncte de contact dintre obiect şi dispozitiv, este denumită bază
de referinţă tehnologică de orientare de aşezare (BOA), sau, pe scurt, bază de aşezare (BA), fiind
determinată, teoretic, de cele trei puncte comune de contact ale piesei cu dispozitivul, care are sarcina
de a realiza instalarea piese în cadrul maşinii de lucru. Drept BA, în principiu, se alege suprafaţa cea
mai întinsă a piesei, dacă nu există altfel de condiţii de poziţie, sau de la care suprafaţa rezultată în
urma prelucrării are impusă precizia cea mai înaltă, sau condiţii de paralelism cu BA.
Punând condiţia păstrării contactului piesă / dispozitiv pe BA, obiectul / piesa pierde 3 grade
de libertate, dintre care, o translaţie pe direcţia, s-o numim Z, perependiculară pe BA (plan) şi două
rotaţii: în jurul axelor X, notată în tehnologie cu A şi în jurul axei Y, notată în tehnologie cu B.
Obiectul / piesa se mai poate roti în jurul axei Z, rotaţie notată cu C şi se poate translata pe
BA pe direcţiile X şi Y păstrând în permanenţă contactul cu BA.
De la această suprafaţă se stabileşte, în tehnologie, coordonata z, de exemplu, ca distanţă
dintre BOA şi baza tehnologică de prelucrare (BTP), sau, pe scurt, bază de prelucrare (BP), adică
planul pe care îl va genera pe piesă scula de prelucrat. Dacă o suprafaţă se prelucrează integral /
complet (prin frezare, de exemplu, cu freze de mari dimensiuni, pentru o singură trecere), atunci
celelalte coodonate / dimensiuni y şi x pot fi stabilite cu foarte mare aproximaţie, întrucât ele nu
influenţează precizia realizării suprefeţei plane, la distanţa z de BA, rezultate în urma prelucrării piesei
şi denumită bază tehnologică de prelucrare (BTP), sau, pe scurt, bază de prelucrare (BP). A cărei
cerinţă tehnologică este să fie paralelă cu BOA şi să fie situată la distanţa z de aceasta. Dimensiunea z
fiind, în acest caz, o dimensiune de formare a piesei, pe de o parte şi dimensiune de coordonare, în
acelaşi timp, pentru poziţia relativă scula-piesă, iar, d.p.d.v. tehnologic, una dintre dimensiunile de
reglare dimensională a sistemului tehnologic MDPS (Maşină-Dispozitiv-Piesă-Sculă). Matematic
exprimat, două suprafeţe plane situate la distanţa z, ca urmare, paralele între ele.
2) O dreaptă aparţinând obiectului, dacă aceasta există, ca axe şi/sau muchii, ca intersecţie de
-suprafeţe- plane în Matematică.
În Tehnologie, muchiile se evită, datorită neregularităţii lor, adică, a abaterilor de la forma
geometrică liniară, a semifabricatelor, ca şi a pieselor, în urma prelucrarii semifabricatelor lor.
În Tehnologie, această dreaptă este determinată de cele două puncte de pe o suprafaţă a piesei,
alta decât BA, comună piesei şi dispozitivului, care realizează baza de orientare a piesei şi a
dispozitivului, ca elemente dedublate, dreaptă denumită bază de orientare de dirijare (BOD), sau pe
scurt baza de dirijare (BD), denumire care derivă din faptul că aceste două elemente de dirijare
dirijează /ghidează mişcarea obiectului / piesei în vederea localizarii lui, dacă în tot timpul mişcării se
menţine contactul piesă-dispozitiv. În acest fel BD preia 2 grade de libertate ale obiectului: translaţia
pe o direcţie perpendiculară pe dreapta determinată de cele două puncte de contact piesa / dispozitiv,
ce materializează BD, translaţie pe direcţia Y, de exemplu, dacă BD este paralelă, întotdeauna, cu BA
din planul XOY şi rotaţia în jurul axei Z, notată în tehnologie cu C.
Drept BOD se alege, în principiu, din motive lesen de înţeles, care vizează precizia de ghidare,
suprafaţa cea mai lungă a piesei, dacă nu există alte raţiuni impuse, prin desenul de execuţie al piesei.
ANEXA 1 la ALBUMUL DE DESENE
REALIZATE CU FUNCŢII SUPERMATEMATICE ŞELARIU
197
De la BOD poate fi stabilită / măsurată cota / dimensiunea y, paralelă cu BOA şi
perpendiculară pe BOD, ca de exemplu, perpendiculară pe z, fiindcă BOD este paralelă cu BOA.
Astfel, dacă cele două puncte aparţin unei obiect paralelipipedic, mărginit, deci, de suprafeţe
plane, şi BOD este paralelă cu BOA, păstrând contactul piesă / dispozitiv pe cele două baze, printr-o
mişcare de translaţie, piesa mai poate fi doar translatată, în dispozitiv, pe direcţia X, până când
tamponează un element de localizare.
1) De la acesta, denumit element de localizare, respectiv baza tehnologică de localizare
(BTL), sau, pe scurt, baza de localizare (BL) poate fi stabilită coordonata / dimensiunea x
perpendiculară simultan pe y şi z. Dar fără să fie coordonate / dimensiuni / segmente concurente într-
un punct comun O(x,y,z) ca în matematică, decât, dacă BOD şi BTL coboară la nivelul BOA şi, în
plus, BTL se deplaseaza spre BOD şi va fi conţinută şi în ea, ambele urmând să fie conţinute în BOA,
astfel că, punctul O(x,y,z) ca şi BTL va fi un vârf al piesei paralelipipedice, conţinut simultan în
planul BOA, dreapta BD în punnctul BL, rezultând, în acest caz că O(x,y,z) BL .
Dacă, localizarea se realizează printr-o mişcare de translaţie, aşa cum s-a presupus anterior, ea
mai poartă denumirea de localizare prin translaţie (LT).
Dacă, localizarea se realizează printr-o mişcare de rotaţie a obiectului, atunci este denumită
localizare prin rotaţie (LR). În acest caz BD poate fi, sau este, deobicei, o axă a unei suprafeţe de
rotaţie (cilindrice sau sferice) a obiectului, denumită baza de orientare de centrare (BOC) în jurul
căreia, obiectul se roteşte, până când, un alt corp al piesei, tamponează elementul de localizare prin
rotaţie. Sau, până când un fixator pătrunde intr-un orificiu perpendicular pe BOC sau intr-un canal
paralel cu BOC.
Fig. 1.21 Schimbarea prin rotaţii succesive a orientării unui obiect în 3D Reproducere din “Mica enciclopedie matematica” Ed.Tehnica, Buc., 1980
Obiectele care nu prezintă elemente / baze de orientare, cum ar fi sfera în matematică şi
bilele de rulment în tehnologie, de exemplu, sunt obiecte neorientabile.
2. LOCALIZAREA, este operaţia sau acţiunea de stabilire a locul, în spaţiul euclidian
tridimensional E3, a unui punct O(x,y,z) caracteristic al obiectului, ce aparţine unui element de
referinţă de orientare al acestuia, de la care se stabilesc coordonatele / dimensiunile liniare x, y, z faţă
de un sistem de referinţă dat, sau, în tehnologie, faţă de scula de prelucrare.
Punctul O(x,y,z) al obiectelor neorientabile este centrul de simetrie al acestora, iar al pieselor
orientabile, ca cele paralelipipedice, în Tehnologie, de exemplu, punctul O(x,y,z) este diseminat în
trei puncte distincte, pentru fiecare coordonată în parte Ox ⊂ BL pentru x , Oy ⊂ BD pentru y şi Oz ⊂
BA pentru z, aşa cum s-a explicat anterior.
Fig. 1.22 Conopiramida în stânga,
conul, cubul românesc de volum nul şi piramida în dreapta
www.SuperMathematica.Ro
In tehnologie, succesiunea orientare localizare este obligatorie; numai un obiect orientat
poate fi apoi localizat. Ca şi în matematică, dealtfel. Intâi se alege un sistem de referinţă solidar cu
obiectul (O, x, y, z) apoi, unul invariant (O, X, Y, Z) ce coincide, iniţial, cu celălalt, în spaţiul 3D sau
euclidian tridimensional E3 şi apoi se operează diverse transformări de translaţii şi / sau de rotaţii aşa
cum se poate observa cu rotaţiile unui cub, prezentate în figura 1.21.
Reuniunea dintre orientare şi localizare reprezintă cea mai importantă acţiune / operaţie
tehnologică, denumită poziţionare, adică:
ANEXA 1 la ALBUMUL DE DESENE
REALIZATE CU FUNCŢII SUPERMATEMATICE ŞELARIU
199
orientarea ∪ localizarea = poziţionare Dacă poziţionarea obiectului este realizată / desăvârşită / implinită, atunci, poate fi menţinută
poziţia relativă piesă / dispozitiv prin operţia de fixare a piesei în dispozitiv. În continuare pot fi
stabilite cotele / dimensiunile dintre scula şi piesă, astfel, încât să se obţină piesa la dimensiunile şi
preciziile impuse prin desenul de execuţie al piesei.
Această operaţie tehnologică este denumita reglare dimensională. Cu care, operaţia de
instalare este incheiată şi prelucrarea piesei poate să înceapă.
Ca urmare, istalarea unui obiect este o reuniune a poziţionarii cu fixarea şi cu reglarea
dimensională a sistemului tehnologic, adică:
instalare = poziţionare ∪ fixare ∪ reglare (dimensională) În Tehnologie, fixarea se poate realiza prin forţă (de fixare) sau prin formă (care impiedică
deplasarea piesei în timpul preucrării).
În Matematică, fixarea se “realizeaza” prin convenţie. Zicând că sistemul (O, x, y, z) este
legat de piesă el nu se mai poate deplasa relativ faţă de ea (dezlega), ci numai împreună cu obiectul,
deci sunt “fixate“ unele de altele (Fig. 1.21).
Astfel, în Matematică, fixarea obiectelor, faţă de sistemele de referinţa, se subînţelege, sau se
realizează de la sine, ea nu mai există, pentru că în Matematică nu există “forţe matematice”; ele fiind
proprii Mecanicii, în speţă dinamicii ei şi nici scule de prelucrare, nici diverse dimensiuni de
coordonare, de reglare dimensionala, de prelucrare ş.a.
De aceea, în Matematica Centrică (MC), există doar 3 dimensiuni liniare x, y, şi z care sunt,
totodată, şi dimensiuni de formare a obiectelor 3D, prin ecuaţiile lor parametrice, de exemplu. Ca urmare, în această Matematica Centrică (MC) entităţi ca dreapta, pătratul, cercul, sfera,
cubul ş.a. sunt unice, pe când, în Matematica Excentrică (ME) şi, implicit în Supermatematică (SM),
ele sunt multiplicate la infinit prin hibridare, hibridare posibilă prin introducerea noii dimensiuni a
spaţiului excentricitatea.
Hibridarea matematică poate fi definită ca procesul matematic de încrucişare a două entităţi
matematice din MC. Adică, de trecere continuă de la o entitate oarecare, existentă în MC, la o altă
entitate, existentă în MC, printr-o infinitate de entităţi hibride, proprii doar ME. Altfel spus, o
transformare a unei entităţi matematice centrice în altă entitate matematică centrică, acţiune devenită
posibilă în cadrul Matematicii Excentrice prin utilizarea funcţiilor supermatematice.
Prin metamorfozare se obţin entităţi noi, anterior inexistente în MC, denumite entităţi
hibride, ca şi entităţi excentrice sau supermatematice (SM), pentru a se deosebi de cele centrice, şi
prin denumire, pentru că, prin formă, diferă esenţial.
Primul corp obţinut prin hibridare matematică a fost conopiramida: un obiect
supermatematic cu baza pătrată a unei piramide şi cu vârful unui con circular drept, rezultat din
transformarea continuă a pătratului unitate de L = 2 în cercul unitate de R = 1, şi/sau invers (Fig.1.19
şi 1.22). Ecuaţiile parametrice ale conopiramidei se obţin din ecuaţiile parametrice ale conului circular
drept, în care FCC sunt înlocuite/convertite cu funcţiile supermatematice cvadrilobe (FSM-Q)
corespondente
(1.32)
, (Fig. 1.19 şi 1.22),
deoarece FSM-Q pot realiza transformarea continua a cercului în pătrat şi invers, ca şi FSM-CE
derivate excentrice dex1,2θ.
Cubul românesc din figura 1.22 – dreapta - mijloc, “cel mai uşor cub din lume”, este cubul
de volum nul, obţinut din 6 piramide, fără suprafeţele lor de bază pătrate, cu vârful comun în centrul
de simetrie al cubului.
176
CONICE SUPERMATEMATICE CIRCULARE EXCENTRICE
www.SuperMatematica.Ro
ALBUM DE DESENE
REALIZATE CU FUNCŢII SUPERMATEMATICE ŞELARIU
COŞULEŢE INCHISE 1
www.SuperMatematica.ro
178
COŞULEŢE INCHISE 2
www.SuperMatematica.ro
ALBUM DE DESENE
REALIZATE CU FUNCŢII SUPERMATEMATICE ŞELARIU
COŞULEŢE INCHISE 3
www.SuperMatematica.ro
180
COŞULEŢE INCHISE 4
www.SuperMatematica.ro
ALBUM DE DESENE
REALIZATE CU FUNCŢII SUPERMATEMATICE ŞELARIU
COŞULEŢE INCHISE 5
www.SuperMatematica.ro
182
COŞULEŢE INCHISE 6
www.SuperMatematica.ro
ALBUM DE DESENE
REALIZATE CU FUNCŢII SUPERMATEMATICE ŞELARIU
COŞULEŢE INCHISE 7
www.SuperMatematica.ro
184
www.SuperMatematica.ro
ALBUM DE DESENE
REALIZATE CU FUNCŢII SUPERMATEMATICE ŞELARIU
TOR EXCENTRIC REALIZAT DIN SEGMENTE EXCENTRICE 1
www.SuperMatematica.ro
186
TOR EXCENTRIC REALIZAT DIN SEGMENTE EXCENTRICE 2
www.SuperMatematica.ro
ANEXA 1 la ALBUMUL DE DESENE
REALIZATE CU FUNCŢII SUPERMATEMATICE ŞELARIU
187
Moto: “Mecanica este paradisul ştiinţelor matematice,
deoarece prin ea se ajunge la fructele matematicii ”
Leonardo da Vinci
“Ori de câte ori aud de “cvadridimensional”
matematicienii sunt scuturaţi de un frison mistic..”
Albert Einstein
SPAŢIUL MATEMATICII CENTRICE (ME)
ŞI SPAŢIUL MATEMATICII EXCENTRICE ( ME)
Spaţiul este o categorie filozofică ce desemnează forme obiective şi universale de existenţă a
materiei în mişcare. Spaţiului exprimă ordinea, poziţia (localizarea şi orientarea), distanţa, mărimea,
forma şi întinderea obiectelor coexistente în lumea reală ca şi a corpurilor sau părţilor ce formează
aceste obiecte. Pentru Newton, spaţiul şi timpul sunt absolute, obiective şi universale, deci
independente de materia în mişcare. Acesta ar putea fi numit spaţiul matematicii centrice (MC).
şi s = 1 v’ > v s’ > s
Fig. 1.12 Contracţia spaţiului (L) şi dilatarea temporală (t) stânga
şi variaţia lor cu creşterea vitezei dreapta.
www.SuperMathematica.ro
Constituirea geometriilor neeuclidiene de către Lobacevski, Bolyai, Gauss, Riemann, ş.a. a
contribuit la formarea concepţiei, conform căreia, proprietăţile geometrice spaţiale nu sunt
pretutindeni aceleaşi, fiind determinate de proprietăţile lui fizice. Spaţiul este deci neomogen şi
anizotrop. Teoria relativităţii lui Einstein, a demonstrat că proprietăţile spaţio-temporale (lungimea
corpurilor şi durata fenomenelor v.Fig.1.12), depind de viteza de deplasare a sistemelor materiale şi
că structura sau proprietăţile continuului spaţio-temporal variază în funcţie de concentrarea maselor
substanţei şi de intensitatea câmpului gravitaţional generat de către acestea. De aceea, ea a fost
numită şi teoria fizică a spaţiului şi timpului. Dacă acesta ar fi spaţiul matematicii excentrice (ME),
atunci, se poate adăuga că, în acest spaţiu, toate entităţile sau figurile geometrice se pot
metamorfoza, prin existenţa excentricităţii ca o nouă dimensiune a acestui spaţiu, sau, mai precis,
ca noi dimensiuni ale lui.
Excentricitate pote fi considerată un amănunt, dar nu este ! Şi, chiar dacă ar fi, “Nu neglijaţi
amănuntele. Amănuntele creează perfecţiunea şi perfecţiunea nu-i un amănunt !” ne-a îndemnat,
cu aproape 500 de ani înainte, Michelangelo Buonarroti.
Excentricitate reală poate fi distanţa de la punctul E(e,ε) până la un punct O(0,0), considerat
centru, ca în matematica excentrică (ME). O diferenţă de potenţial în electricitate, o diferenţă de
presiune în hidraulică, datorită căreia fluidul se deplasează într-un sens sau altul într-o conductă. Fără
această excentricitate-- diferenţă de presiune, mişcarea nefiind posibilă; fluidul staţionând.
Diferenţa dintre originile a două sisteme inerţiale, sau spaţiu deplasării relative a acestora este
e = s.t, şi nu timpul t, aşa cum se consideră în continuare, caz în care excentricitatea este o mărime
variabilă care creşte continuu, în care raportul s =
a fost denumit excentricitate numerică.
Fără existenţa unei excentricităţi originare oarecare, apariţia şi mişcarea în univers n-ar fi fost
posibilă. “Amănutele crează perfecţiunea şi perfecţiunea nu-i un amănunt !” Cât de mult adevăr în
spusele lui Michelangelo Buonarroti !
Fig. 1.13 Contracţia spaţiului (LE) şi dilatarea temporală (tE) în cazul factorului Lorentz
excentric, pe direcţia θ <
www.SuperMathematica.ro
În figura 1.12 este schiţată situaţia a două sisteme inerţiale, iniţial suprapuse în O(0, 0), sau a
unui sistem considerat fix în originea O(0, 0) şi al doilea, care se deplasează, pe direcţia axei x (ε = 0),
cu viteza v, o fracţiune (0,6 în figura 1.12) din viteza c a luminii în vid, astfel că, deplasarea relativă a
celor doua sisteme s = , este dată de o nouă dimensiune a spaţiului e, adică e = s.t =
, care este
excentricitatea liniară reală variabilă este e iar s este excentricitatea liniară numerică, ambele, aici,
considerate constante. Acesta este spaţiul 2 D excentric, notat 2DE cu 3 dimensiuni: x, y şi e =
, în
care e variază uniform, în raport cu timpul t. Dacă E se deplasează pe o direcţie de orientare ε, faţă de
axa x, ε = ct, situaţia nu se schimbă, decât dacă deplasarea se realizează şi pe direcţia z, caz în care ne
situăm în spatiul 3D excentric, spaţiu 3D cu patru dimensiuni: x, y, z şi e, notat 3DE, dacă ε = ct şi cu
5 dimensiuni dacă ε este variabil ε = ε (t) . Excentricitatea unghiulară fiind ε.
In figura 1.12, sunt reprezentate contracţia spaţiului (L < 0) şi dilatarea temporală (t > 0)
pentru un unghi la excentrul S de θ = π/2 şi pentru unitatea de lungime L = R = 1 şi respectiv, unitatea
de timp t = R = 1 e = s. Acestea sunt
ANEXA 1 la ALBUMUL DE DESENE
REALIZATE CU FUNCŢII SUPERMATEMATICE ŞELARIU
189
(1.26)
.
În aceeaşi figură, în partea dreptă, este prezentată accentuarea dilatării timpului şi a contracţie
temporale la o creşterea viteze de la v la v’.
.Factorul Lorentz centric (s), constant pentru un anumit s şi
factorul Lorentz excentric E (s, θ), variabil în funcţie de θ pentru un anumit s
E ≤ , θ =
E =
Variaţia unităţii de lungime L datorită contracţiei, în cele două cazuri
(s =
) E (s, θ)
Fig. 1.14 Factorii Lorentz centric şi excentric E
Se observă şi din figură că, pentru v = c s = 1 şi L – L, adică lungimea se reduce la
zero (L’ 0, L = L’ - L = 1) şi timpul se dilată nemărginit t’ = t ∞.
În relaţiile anterioare, factorul Lorentz, notat în mod obişnuit cu γ, aici a fost notat cu
(litera grecească fiind mai apropiată de iniţiala numelui lui Lorentz decât gama - γ) şi are expresia
(1.27) =
=
> 1
Pentru o anumită valoare a vitezei v = ct., rezultă o excentricitate numerică s = ct. şi, ca
urmare, şi un factorul Lorentz constant, pentru care contracţia spaţiului şi, mai precis, a unitaţii de
lungime L pe direcţia y (Fig. 1.12) este şi dilatarea temporală a unitaţii de timp t va fi t’ =
.t.Se poate deduce că aceste valori sunt invariante la sensul de deplasarea (pozitiv pe semiaxa x+ sau
1.5 1.0 0.5 0.5 1.0 1.5
1.2
1.4
1.6
1.8
2.0
negativ pe direcţia semiaxei negativa x–, şi, evident, nici la unitaţi de lungime şi timp orientate pe x,
dar marcate pe sensurile pozitive sau negative ale direcţiei y, aşa cum se observă şi în figura 1.15.
Pentru θ = ±
, = E astfel că L = L’ – L minim şi t = t’ – t maxim posibil, pentru o
anumita valoare a lui s [ 0, 1].
Deşi mărimile L, L’, t, t’ sunt reprezentate pe directia y, ele corspund deplasării relative ale
sistemelor inerţiale pe direcţia axei x. Ca urmare, contracţia L şi dilatarea t au loc pentru lungimi L
şi lungimi de undă sau frecvenţe, care măsoară timpul, orientate tot pe direcţia de mişcare x.
L = L’ – L şi LE, pentru L = 1 t = t’ – t şi LE, pentru t = 1
Fig. 1.15 Contracţiile lungimilor şi dilatarea temporală pentru cei doi factori Lorentz
centric şi excentric E, pentru s [ 0, 1] cu pasul 0,1
www.SuperMathematica.ro
Fig. 1.16 Deformaţiile unui disc circular la deplasarea lui pe direcţia x cu viteza v,
o fracţiune s din viteza c a luminii în vid s [0, 1], cu pasul 0,1, e =
t,
în 2D stânga şi în 3D în dreapta
www.SuperMathematica.ro
Dacă, în relaţiile anterioare, unghiul θ este diferit de un unghi drept, atunci fenomenul de
dilatare a timpului se accentuează, iar cel de contracţie a spaţiului se atenuează, odată cu scăderea lui θ
(Fig. 1.13 şi 1.14). Pentru direcţia de θ = 0, lungime L, care este orientată pe direcţia de deplasare x,
nu-şi modifică lungimea, oricarear fi raportul s al vitezelor (Fig. 1.14), astfel că L’ = L şi atenuarea
contracţiei lungimii este completă l = 0, iar dilatarea temporală este maximă posibilă, deoarece t’
∞. Dacă unghiul θ =
însemnă mărimi reprezentate pe axa y dar orientate pe direcţia x, atunci
θ = 0 poate înseamna aceleaşi marimi reprezentate pe direcţia x dar orientate pe direcţia transversală y.
Se poate obţine, astfel, un factor Lorentz variabil E, denumit factor Lorentz excentric,
variabil cu direcţia θ de orientare a mărimii, pentru a se deosebi de cel constant centric . Expresie lui
E este
3 2 1 1 2 3
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
3 2 1 1 2 3
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
ANEXA 1 la ALBUMUL DE DESENE
REALIZATE CU FUNCŢII SUPERMATEMATICE ŞELARIU
191
(1.28) E =
=
[, 1], pentru θ [
],
În consecinţă, fenomenul de contracţie a lungimilor depinde de direcţia θ, de orientare în
spaţiu a lungimii etalon, fiind maximă pe direcţia de mişcare relativă x de deplasare a sistemului
inerţial mobil, adică θ =
E(θ) = şi minimă (zero) pe direcţia transversală y (θ = 0).
Ca urmare, un disc circular, care se deplasează pe direcţia x cu viteza v, fracţiune s =
din
viteza c a luminii în vid (Fig.1.16), se va turti pe directia x, astfel că, la atingerea vitezei absolute a
luminii în vid, viteză v = c s = 1, va deveni o bara de lungime Ly = 2R, pe direcţia transversală de
mişcare y şi de dimensiune Lx = 0 pe direcţia de mişcare x. Pierzându-şi una dintre cele două
dimensiuni, de fapt discul circular va dispărea.
La întrebarea “Ce se va întâmpla cu discul la viteze supraluminale ?” vă poate răspunde Prof.
Dr. math. Florentin Smarandache, seful Departamentului de Ştiinţă şi Matematica a Universităţii
Gallup din New Mexico (SUA), care a elaborat o teorie în cazul vitezelor ce depasesc viteza luminii.
De aceea, în matematica centrică (MC), există doar 3 dimensiuni liniare x, y, şi z care sunt,
totodată, şi dimensiuni de formare a obiectelor 3D, prin ecuaţiile lor parametrice, de exemplu.
Fig. 1.17 Factorii Lorentz şi E = E(θ = 0,8
) stânga, precum şi
variaţia lungimii L = 1 în funcţie de s =
şi θ [0, π] dreapta
www.SuperMathematica.Ro
Ecuaţia polară a obiectului de lungime L=1, care se deformează, contractându-se la L’, odată
cu creşterea vitezei relative s, de deplasare a sistemului inerţiale pe direcţia x ( v s ), în aceste
situaţii, este
(1.29) ρ = ,
iar, în coordonate parametrice, este
(1.30)
,
cu graficelor din figurile 1.15, 1.16 şi 1.17.
NOI DIMENSIUNI ALE SPAŢIULUI ŞI CONSECINŢELE LOR :
HIBRIDAREA ŞI METAMORFOZAREA MATEMATICĂ
Spaţiul este o entitate abstractă care reflectă o formă obiectivă de existenţă a materiei. Apare
ca o generalizare şi abstractizare a ansamblului de parametri prin care se realizeazã deosebirea între
diferite sisteme ce constituie o stare a universului.
El este o formă obiectivă şi universală a existenței materiei, inseparabilă de materie, care are
aspectul unui întreg neîntrerupt cu trei dimensiuni și exprimă ordinea coexistenței obiectelor lumii
reale, poziția, distanța, mărimea, forma, întinderea lor.
În concluzie, se poate afirma că spaţiul apare ca o sinteză, ca o generalizare şi abstractizare a
constatărilor cu privire la o stare, la un moment dat, a universului.
În cadrul mecanicii clasice, noţiunea de spaţiu este aceea a modelului spaţiului euclidian
tridimensional (E3) omogen, izotrop, infinit.
Când se discută despre spaţiu, primul gând este îndreptat spre poziţie, adică noţiunea de
poziţie este direct asociată noţiunii de spaţiu. Poziţia este exprimată în raport cu un sistem de referinţă
(reper) sau, mai scurt, printr-un sistem de coordonate.
Un obiect tridimensional are în spaţiu E3 6 grade de libertate, constituite din cele 3
translaţii, pe direcţiile X, Y şi Z şi din 3 rotaţii, în jurul axelor X, Y şi Z, notate, respectiv, cu θ, φ, ψ
în Matematică şi în Mecanică şi cu A, B şi C, în tehnologie şi în robotică.
Un obiect poate fi “realizat” sau, mai precis, poate fi reprodusă imaginea lui în spaţiul virtual,
când apare în 3D, pe ecranul monitorului unui computer, prin folosirea unor programe tehnice (CAD)
sau matematice comerciale (MATHEMATICA, MATLAB, MATHCAD, MAPLE, DERIVE, ş,a.) sau
speciale, care folosesc FSM-Excentrice, Elevate sau/şi Exotice - la descrierea obiectelor, cum este
SM-CAD-CAM.
Transformarea sferei în cub Transformarea cilindrului circular în cilindru pătrat
Transformarea conului în piramidă Transformarea cilindrului în prismă
Fig. 1.18 Metamorfozarea obiectelor matematice
www.SuperMathematica.Ro
Prin modificarea excentricitaţii, obiectele cunoscute şi formate în domeniul centric al
supermatematicii (SM), adică, în matematica centrică (MC), pot fi deformate în domeniul excentric al
SM, adică, în matematica excentrică (ME) şi transformate iniţial în obiecte hibride, proprii ME, ca,
apoi, să fie re-transformate în obiecte de alt gen, cunoscute în MC. Ca de exemplu, deformarea unui
con perfect (s = 0) în cono-piramide [s (0, 1)] cu baza un pătrat perfect şi vârful conic, care
constitue obiectele hibride, situate între con şi piramidă, pâna la transformarea ei într-o piramidă
perfectă (s = ± 1) cu baza un pătrat perfect (Fig.1.18). Obiectul poate fi realizat în fapt, prin diversele
ANEXA 1 la ALBUMUL DE DESENE
REALIZATE CU FUNCŢII SUPERMATEMATICE ŞELARIU
193
metode de prelucrare mecanice [v. Mircea Şelariu, Cap.17 Dispozitive de prelucrare,
PROIECTAREA DISPOZITIVELOR, EDP, Bucureşti, 1982, coordonator Sanda-Vasii Roşculeţ] de
formare (turnare, sinterizare), deformare (la cald şi la rece), dislocare (decupare, aşchiere, eroziune,
netezire) şi agregare (sudare şi lipire).
Conopiramidă Cilindru C/P
Sferocub Cilindru C/T
Fig.1.19 Obiecte matematice hibride
www.SuperMathematica.Ro
În ambele cazuri, sunt necesare mişcări ale sculei şi/sau ale piesei, respectiv, ale spotului
luminos care delimitează pe ecran un pixel şi trece de la un pixel la altul.
Mişcarea este strâns legată de spaţiu şi de timp.
Mişcarea mecanică poate fi de
formare în timp a corpurilor şi, implicit, a obiectelor ;
schimbarea în timp a poziţiei obiectelor, sau a părţior sale, denumite corpuri, în
raport cu alte corpuri, alese drept sisteme de referinţă;
schimbarea în timp a formei corpurilor şi, implicit, a formei obiectelor, prin
deformarea lor .
Spaţiul reflectă raportul de coexistenţă dintre obiecte şi fenomene, sau părţi ale acestora,
indicând:
întinderea/mărimea lor, denumită dimensiune de gabarit;
locul obiectelor, prin coordonatele liniare X, Y, Z, în spatiul 3D, denumite dimensiuni de
localizare;
orientarea obiectelor, în spaţiul 3D, prin coordonatele unghiulare , , , sau A, B ,C,
denumite dimensiuni de orientare;
poziţiile relative sau distanţele dintre obiecte, denumite dimensiuni de poziţionare, dacă se
referă la localizarea şi orientarea absolută şi/sau relativă a obiectelor, iar dacă se referă la părţi
ale acestora, numite corpuri, atunci sunt denumite dimensiuni de coordonare;
forma obiectelor şi, respectiv, evoluţia fenomenelor, denumite dimensiuni de formare, care
definesc, totodată, şi ecuaţiile de definire a obectelor;
deformarea obiectelor şi modificarea evoluţiei fenomenelor, denumite dimensiuni de
deformare sau excentricităţi.
Strâmbe de variabilă excentrică θ Strâmbe de variabilă centrică
Fig.1.20 Strâmbele ce trec prin punctul P(2, 3) ca o generalizare a dreptei
www.SuperMathematica.Ro
Ultima dimensiune a spaţiului, excentricitatea, făcând posibilă apariţia matematicii
excentrice (ME) şi realizând trecerea din domeniul matematicii centrice în cel al matematicii
excentrice, precum şi saltul de la o singură entitate matematică, existentă în Matematică şi domeniul
centric, la o infinitate de entităţi, de acelaşi gen, dar deformate din ce în ce mai pronunţat, odată cu
creşterea valorii excentricităţii numerice s, până la transformarea lor în alte genuri de obiecte, existente
în domeniul centric. Un exemplu, devenit deja clasic, este deformarea continuă a unei sfere până la
transformarea ei într-un cub (Fig.1.18), prin utilizarea aceloraşi dimensiuni de formare (ecuaţii
parametrice), atât pentru sferă cât şi pentru cub, doar excentricitatea modificându-se: fiind s = e = 0
pentru sfera de rază R şi s = ± 1, sau e = R, pentru cubul de latură L = 2R; pentru s [(-1, 1) \ 0]
obţinându-se obiecte hibride, proprii matematicii excentriec (ME), anterior inexistente în
Matematică, sau, mai precis, în Matematica Centrică (MC).
2 2 4 6
2
2
4
6
8
ANEXA 1 la ALBUMUL DE DESENE
REALIZATE CU FUNCŢII SUPERMATEMATICE ŞELARIU
195
Aşa cum s-a mai prezentat, dreapta este un spaţiu unidimensional şi, totodată, în
Supermatematică (SM), o strâmbă de excentricitate zero (Fig. 1.20).
Creşterea excentricităţii, de la zero la unu, transformă linia dreaptă într-o linie frântă,
ambele existând şi sunt cunoscute în Matematica Centrică, nu şi restul strâmbelor, care sunt proprii
Matematicii Excentrice, fiind generate de FSM-CE amplitudine excentrică. Astfel, dreapta de
coeficient unghiular m = tan = tan
= 1 care trece prin punctul P(2, 3) are ecuaţia
(1.26) y – 3 = x – 2,
iar familia de strâmbe, din aceeaşi familie cu dreapta, au ecuaţia
(1.27) y [x, S(s, ε)] – y0 = m {aex [, S(s, ε)] –x0},
(1.28) y – y0 = m{θ – arcsin[s.sin(θ–ε)]} – x0 , m = tan = 1, P(2, 3), s [-1, +1], în coordonate excentrice θ (Fig. 20 stânga) şi, în coordonate centrice , ecuaţia este
(1.29) y[x, S(s, ε)] - y0 = m (Aex [, S(s, ε)] –x0),
(1.30) y – y0 = m { + arcsin
}, m = tan = 1, P(2, 3), s [-1, +1],
(1.31) y – y0 = m {
}.
Diferenţa, dintre cele două tipuri de strâmbe, de θ şi de , este aceea, că cele de θ sunt
continue numai pentru excentricitatea numerică din domeniul s [ -1, 1], pe când cele de sunt
continue pentru toate valorile posibile a lui s, adică s [- ∞ , +∞].
Linia frântă este cunoscută în Matematica Centrică (MC) dar fără să i se cunoască ecuaţiile ei
! Ceea ce nu mai este cazul în SM şi, evident, şi în ME unde se obţine pentru valoarea s = 1 a
excentricităţii numerice s (Fig. 1.20).
Un fenomen asemănător metamorfozării matematice, prin care din MC un obiect cunoscut
trece prin matematica excentrică (ME) luând forme hibride şi se reîntoarce în matematica centrică
(MC), ca un alt tip de obiect (Fig.1.18), este considerat că ar avea loc şi în fizică: din vid apar
continuu particule de un anumit tip şi se reîntorc în vidul cosmic. Aceleaşi sau altele ?
Cosmologia are o teorie ce se aplică întregului Univers, formulată de Einstein în 1916:
relativitatea generală. Ea afirmă că forţa de gravitaţie, ce se exercită asupra obiectelor, acţionează şi
asupra structurii spaţiului, care îşi pierde cadrul rigid şi imuabil, devenind maleabil şi curb, în funcţie
de materia sau energia pe care le conţine. Adică, spaţiul se deformează.
Continuum-ul spaţiu-timp, al relativităţii generale, nu este conceput fără conţinut, deci nu
admite vidul! Cum spunea şi Einstein ziariştilor, care îl rugau să le rezume teoria sa: "Înainte, se
credea că, dacă toate lucrurile ar dispărea din Univers, timpul şi spaţiul ar rămîne, totuşi. În teoria
relativităţii, timpul şi spaţiul dispar, odată cu dispariţia celorlalte lucruri din univers."
Aşa cum s-a mai afirmat, s = e = 0 este lumea MC a liniarului, a entităţilor perfecte, ideale, în
timp ce infinitatea de valori posibile atribuite excentricităţiilor s şi e, nasc ME şi, totodată, lumi ce
aparţin realului, lumii imperfecte, tot mai indepărtată de lumea ideală cu cât s şi e sunt mai îndepărtate
de zero.
Ce se întâmpla dacă e = s 0 ? Lumea reală, ca şi ME dispar şi cum lume ideală nu exista,
dispare totul !
Ceea ce susţine teoria autorului din SUPERMATEMATICA. Fundamente, Vol. I, Editura
POLITEHNICA, Timisoara, Cap. 1 INTRODUCERE prin care expansiunea universului este un proces
de desvoltare a ordinii în haosul absolut, o trecere progresivă a spaţiului haotic în ordine din ce în ce
mai pronunţată.
În concluzie, spaţiul, ca şi timpul, se formează şi se deformează, adică, excentricitatea
spaţiului, de o anumită valoare, duce la formarea spaţiului, apoi, prin modificare valorii ei, spaţiul se
deformează/modifică.
Forma modificată a spaţiului este dependentă de valoarea excentricităţii, care devine o nouă
dimensiune a spaţiului: dimensiunea de deformare.
Energia şi masa materiei să crească odată cu creşterea excentricităţii ? Sau invers?
Excentricitatea să determine valoarea masei şi a energiei prezente / localizate într-un anumit loc în
spaţiu ?
Instalarea unei piese de prelucrat (obiect de prelucrat) în spaţiul de lucru a unei maşini-unelte
moderne, cu comenzi numerice de conturare (CNC), este foarte asemănătoare cu “instalarea “ unui
obiect matematic în spaţiul euclidian tridimensional R3. De aceea, vom folosi unele noţiuni din
domeniul tehnologic.
În tehnologie, instalarea este operaţia premergătoare prelucrării; numai un obiect / piesă
instalată poate fi prelucrată. Ea presupune următoarele faze sau operaţii tehnologice, în această
succesiune / ordine; numai înfăptuirea unei faze, facând posibilă trecerea la realizarea fazei următoare:
1. ORIENTAREA, este acţiunea sau operaţia prin care elementele geometrice ale obiectului,
care sunt baze de referinţă tehnologică de orientare, prescurtat baze de orientare (BO), primesc o
direcţie bine determinată, faţă de direcţiile unui sistem de referinţă. În tehnologie, faţă de direcţiile
unor mişcări principale şi/sau secundare de lucru, sau/şi faţă de direcţiile mişcărilor de reglare
diemensională a sistemului tehnologic.
Drept baze de orientare (BO) pot servi :
3) Un plan al obiectului, respectiv o suprafaţă plană a piesei, dacă ea există, caz în care,
această suprafaţă, determinată de trei puncte de contact dintre obiect şi dispozitiv, este denumită bază
de referinţă tehnologică de orientare de aşezare (BOA), sau, pe scurt, bază de aşezare (BA), fiind
determinată, teoretic, de cele trei puncte comune de contact ale piesei cu dispozitivul, care are sarcina
de a realiza instalarea piese în cadrul maşinii de lucru. Drept BA, în principiu, se alege suprafaţa cea
mai întinsă a piesei, dacă nu există altfel de condiţii de poziţie, sau de la care suprafaţa rezultată în
urma prelucrării are impusă precizia cea mai înaltă, sau condiţii de paralelism cu BA.
Punând condiţia păstrării contactului piesă / dispozitiv pe BA, obiectul / piesa pierde 3 grade
de libertate, dintre care, o translaţie pe direcţia, s-o numim Z, perependiculară pe BA (plan) şi două
rotaţii: în jurul axelor X, notată în tehnologie cu A şi în jurul axei Y, notată în tehnologie cu B.
Obiectul / piesa se mai poate roti în jurul axei Z, rotaţie notată cu C şi se poate translata pe
BA pe direcţiile X şi Y păstrând în permanenţă contactul cu BA.
De la această suprafaţă se stabileşte, în tehnologie, coordonata z, de exemplu, ca distanţă
dintre BOA şi baza tehnologică de prelucrare (BTP), sau, pe scurt, bază de prelucrare (BP), adică
planul pe care îl va genera pe piesă scula de prelucrat. Dacă o suprafaţă se prelucrează integral /
complet (prin frezare, de exemplu, cu freze de mari dimensiuni, pentru o singură trecere), atunci
celelalte coodonate / dimensiuni y şi x pot fi stabilite cu foarte mare aproximaţie, întrucât ele nu
influenţează precizia realizării suprefeţei plane, la distanţa z de BA, rezultate în urma prelucrării piesei
şi denumită bază tehnologică de prelucrare (BTP), sau, pe scurt, bază de prelucrare (BP). A cărei
cerinţă tehnologică este să fie paralelă cu BOA şi să fie situată la distanţa z de aceasta. Dimensiunea z
fiind, în acest caz, o dimensiune de formare a piesei, pe de o parte şi dimensiune de coordonare, în
acelaşi timp, pentru poziţia relativă scula-piesă, iar, d.p.d.v. tehnologic, una dintre dimensiunile de
reglare dimensională a sistemului tehnologic MDPS (Maşină-Dispozitiv-Piesă-Sculă). Matematic
exprimat, două suprafeţe plane situate la distanţa z, ca urmare, paralele între ele.
2) O dreaptă aparţinând obiectului, dacă aceasta există, ca axe şi/sau muchii, ca intersecţie de
-suprafeţe- plane în Matematică.
În Tehnologie, muchiile se evită, datorită neregularităţii lor, adică, a abaterilor de la forma
geometrică liniară, a semifabricatelor, ca şi a pieselor, în urma prelucrarii semifabricatelor lor.
În Tehnologie, această dreaptă este determinată de cele două puncte de pe o suprafaţă a piesei,
alta decât BA, comună piesei şi dispozitivului, care realizează baza de orientare a piesei şi a
dispozitivului, ca elemente dedublate, dreaptă denumită bază de orientare de dirijare (BOD), sau pe
scurt baza de dirijare (BD), denumire care derivă din faptul că aceste două elemente de dirijare
dirijează /ghidează mişcarea obiectului / piesei în vederea localizarii lui, dacă în tot timpul mişcării se
menţine contactul piesă-dispozitiv. În acest fel BD preia 2 grade de libertate ale obiectului: translaţia
pe o direcţie perpendiculară pe dreapta determinată de cele două puncte de contact piesa / dispozitiv,
ce materializează BD, translaţie pe direcţia Y, de exemplu, dacă BD este paralelă, întotdeauna, cu BA
din planul XOY şi rotaţia în jurul axei Z, notată în tehnologie cu C.
Drept BOD se alege, în principiu, din motive lesen de înţeles, care vizează precizia de ghidare,
suprafaţa cea mai lungă a piesei, dacă nu există alte raţiuni impuse, prin desenul de execuţie al piesei.
ANEXA 1 la ALBUMUL DE DESENE
REALIZATE CU FUNCŢII SUPERMATEMATICE ŞELARIU
197
De la BOD poate fi stabilită / măsurată cota / dimensiunea y, paralelă cu BOA şi
perpendiculară pe BOD, ca de exemplu, perpendiculară pe z, fiindcă BOD este paralelă cu BOA.
Astfel, dacă cele două puncte aparţin unei obiect paralelipipedic, mărginit, deci, de suprafeţe
plane, şi BOD este paralelă cu BOA, păstrând contactul piesă / dispozitiv pe cele două baze, printr-o
mişcare de translaţie, piesa mai poate fi doar translatată, în dispozitiv, pe direcţia X, până când
tamponează un element de localizare.
1) De la acesta, denumit element de localizare, respectiv baza tehnologică de localizare
(BTL), sau, pe scurt, baza de localizare (BL) poate fi stabilită coordonata / dimensiunea x
perpendiculară simultan pe y şi z. Dar fără să fie coordonate / dimensiuni / segmente concurente într-
un punct comun O(x,y,z) ca în matematică, decât, dacă BOD şi BTL coboară la nivelul BOA şi, în
plus, BTL se deplaseaza spre BOD şi va fi conţinută şi în ea, ambele urmând să fie conţinute în BOA,
astfel că, punctul O(x,y,z) ca şi BTL va fi un vârf al piesei paralelipipedice, conţinut simultan în
planul BOA, dreapta BD în punnctul BL, rezultând, în acest caz că O(x,y,z) BL .
Dacă, localizarea se realizează printr-o mişcare de translaţie, aşa cum s-a presupus anterior, ea
mai poartă denumirea de localizare prin translaţie (LT).
Dacă, localizarea se realizează printr-o mişcare de rotaţie a obiectului, atunci este denumită
localizare prin rotaţie (LR). În acest caz BD poate fi, sau este, deobicei, o axă a unei suprafeţe de
rotaţie (cilindrice sau sferice) a obiectului, denumită baza de orientare de centrare (BOC) în jurul
căreia, obiectul se roteşte, până când, un alt corp al piesei, tamponează elementul de localizare prin
rotaţie. Sau, până când un fixator pătrunde intr-un orificiu perpendicular pe BOC sau intr-un canal
paralel cu BOC.
Fig. 1.21 Schimbarea prin rotaţii succesive a orientării unui obiect în 3D Reproducere din “Mica enciclopedie matematica” Ed.Tehnica, Buc., 1980
Obiectele care nu prezintă elemente / baze de orientare, cum ar fi sfera în matematică şi
bilele de rulment în tehnologie, de exemplu, sunt obiecte neorientabile.
2. LOCALIZAREA, este operaţia sau acţiunea de stabilire a locul, în spaţiul euclidian
tridimensional E3, a unui punct O(x,y,z) caracteristic al obiectului, ce aparţine unui element de
referinţă de orientare al acestuia, de la care se stabilesc coordonatele / dimensiunile liniare x, y, z faţă
de un sistem de referinţă dat, sau, în tehnologie, faţă de scula de prelucrare.
Punctul O(x,y,z) al obiectelor neorientabile este centrul de simetrie al acestora, iar al pieselor
orientabile, ca cele paralelipipedice, în Tehnologie, de exemplu, punctul O(x,y,z) este diseminat în
trei puncte distincte, pentru fiecare coordonată în parte Ox ⊂ BL pentru x , Oy ⊂ BD pentru y şi Oz ⊂
BA pentru z, aşa cum s-a explicat anterior.
Fig. 1.22 Conopiramida în stânga,
conul, cubul românesc de volum nul şi piramida în dreapta
www.SuperMathematica.Ro
In tehnologie, succesiunea orientare localizare este obligatorie; numai un obiect orientat
poate fi apoi localizat. Ca şi în matematică, dealtfel. Intâi se alege un sistem de referinţă solidar cu
obiectul (O, x, y, z) apoi, unul invariant (O, X, Y, Z) ce coincide, iniţial, cu celălalt, în spaţiul 3D sau
euclidian tridimensional E3 şi apoi se operează diverse transformări de translaţii şi / sau de rotaţii aşa
cum se poate observa cu rotaţiile unui cub, prezentate în figura 1.21.
Reuniunea dintre orientare şi localizare reprezintă cea mai importantă acţiune / operaţie
tehnologică, denumită poziţionare, adică:
ANEXA 1 la ALBUMUL DE DESENE
REALIZATE CU FUNCŢII SUPERMATEMATICE ŞELARIU
199
orientarea ∪ localizarea = poziţionare Dacă poziţionarea obiectului este realizată / desăvârşită / implinită, atunci, poate fi menţinută
poziţia relativă piesă / dispozitiv prin operţia de fixare a piesei în dispozitiv. În continuare pot fi
stabilite cotele / dimensiunile dintre scula şi piesă, astfel, încât să se obţină piesa la dimensiunile şi
preciziile impuse prin desenul de execuţie al piesei.
Această operaţie tehnologică este denumita reglare dimensională. Cu care, operaţia de
instalare este incheiată şi prelucrarea piesei poate să înceapă.
Ca urmare, istalarea unui obiect este o reuniune a poziţionarii cu fixarea şi cu reglarea
dimensională a sistemului tehnologic, adică:
instalare = poziţionare ∪ fixare ∪ reglare (dimensională) În Tehnologie, fixarea se poate realiza prin forţă (de fixare) sau prin formă (care impiedică
deplasarea piesei în timpul preucrării).
În Matematică, fixarea se “realizeaza” prin convenţie. Zicând că sistemul (O, x, y, z) este
legat de piesă el nu se mai poate deplasa relativ faţă de ea (dezlega), ci numai împreună cu obiectul,
deci sunt “fixate“ unele de altele (Fig. 1.21).
Astfel, în Matematică, fixarea obiectelor, faţă de sistemele de referinţa, se subînţelege, sau se
realizează de la sine, ea nu mai există, pentru că în Matematică nu există “forţe matematice”; ele fiind
proprii Mecanicii, în speţă dinamicii ei şi nici scule de prelucrare, nici diverse dimensiuni de
coordonare, de reglare dimensionala, de prelucrare ş.a.
De aceea, în Matematica Centrică (MC), există doar 3 dimensiuni liniare x, y, şi z care sunt,
totodată, şi dimensiuni de formare a obiectelor 3D, prin ecuaţiile lor parametrice, de exemplu. Ca urmare, în această Matematica Centrică (MC) entităţi ca dreapta, pătratul, cercul, sfera,
cubul ş.a. sunt unice, pe când, în Matematica Excentrică (ME) şi, implicit în Supermatematică (SM),
ele sunt multiplicate la infinit prin hibridare, hibridare posibilă prin introducerea noii dimensiuni a
spaţiului excentricitatea.
Hibridarea matematică poate fi definită ca procesul matematic de încrucişare a două entităţi
matematice din MC. Adică, de trecere continuă de la o entitate oarecare, existentă în MC, la o altă
entitate, existentă în MC, printr-o infinitate de entităţi hibride, proprii doar ME. Altfel spus, o
transformare a unei entităţi matematice centrice în altă entitate matematică centrică, acţiune devenită
posibilă în cadrul Matematicii Excentrice prin utilizarea funcţiilor supermatematice.
Prin metamorfozare se obţin entităţi noi, anterior inexistente în MC, denumite entităţi
hibride, ca şi entităţi excentrice sau supermatematice (SM), pentru a se deosebi de cele centrice, şi
prin denumire, pentru că, prin formă, diferă esenţial.
Primul corp obţinut prin hibridare matematică a fost conopiramida: un obiect
supermatematic cu baza pătrată a unei piramide şi cu vârful unui con circular drept, rezultat din
transformarea continuă a pătratului unitate de L = 2 în cercul unitate de R = 1, şi/sau invers (Fig.1.19
şi 1.22). Ecuaţiile parametrice ale conopiramidei se obţin din ecuaţiile parametrice ale conului circular
drept, în care FCC sunt înlocuite/convertite cu funcţiile supermatematice cvadrilobe (FSM-Q)
corespondente
(1.32)
, (Fig. 1.19 şi 1.22),
deoarece FSM-Q pot realiza transformarea continua a cercului în pătrat şi invers, ca şi FSM-CE
derivate excentrice dex1,2θ.
Cubul românesc din figura 1.22 – dreapta - mijloc, “cel mai uşor cub din lume”, este cubul
de volum nul, obţinut din 6 piramide, fără suprafeţele lor de bază pătrate, cu vârful comun în centrul
de simetrie al cubului.
ANEXA 2 la ALBUMUL DE DESENE REALIZATE CU FUNCŢII
SUPERMATEMATICE ŞELARIU
Moto 1:”Speranţa vede invizibilul, simte intangibilul şi împlineşte imposibilul”
Charles Caleb Calton
Moto 2 “ Adevăratul mister al lumii este vizibilul, nu invizibilul” Oscar Wilde
Moto 3: ” Universul este un cerc al cărui centru e pretutindeni, iar circumferinţa nicăieri”.
Blaise Pascal
Moto 4 : ”Universul este o sferă (sau oricare alta formă geometrică închisă 3D)
a cărei excentru e pretutindeni, iar învelişul nicăieri.
Adică, mai precis, un obiect 3D, de dimensiuni nule, întors pe dos ”
Mircea Eugen Şelariu Autorul
ÎN CĂUTAREA INVIZIBILULUI
Din start trebuie spus că aceasta este o acţiune sortită eşecului, dar speranţa…
Speranţa moare ultima..
Acceptând, astăzi, teoria Big Bang-ului, înseamnă că suntem pe această planetă albastră,
numită Pamânt sau Terra, ca pe o navă cosmică, în zbor continuu şi halucinant spre necunoscutul
denumit viitor, oricare ar fi el, în spaţii ale căror dimensiuni savanţii le multiplică necontenit.
Dacă nu putem să ne oprim, pentru a gândi, atunci măcar să gândim din mers, la îndemnul lui
Sorin Comoroşan, şi în mare viteză, la perpetua întrebare: cine suntem, de unde venim, încotro ne
îndreptam şi în ce stadiu de dezvoltare se află inteligenţa noastră, la momentul în care fizicienii, şi nu
numai ei, caută materia neagră sau materia invizibilă, considerată majoritară în univers.
Sfera este, prin natura ei, un obiect neorientabil, fiind deja gata ordonată. Dacă este făcută
dintr-un material cristalin, perfect transparent, ea este invizibilă. Ca urmare nu vom şti niciodată dacă
este / există, unde este, cât de mare este, dacă noi suntem exteriori sau interiori ei, ş.a.m.d.
De exemplu, bila de rulment, fiind lipsită de elemente de tipul axelor de simetrie (distincte)
are gradul de dezordine maximă a ordonarii (DMO) cel mai redus posibil: DMO = 0. Nu se poate afirma
că o bilă sferică este cu capul în sus sau în jos, că este rotită spre stânga sau spre dreapta ş.a.m.d.
pentru că nu are « excentricitatea » sau excrescenţa, numită cap sau coadă, care să ne permita să
discernem acest lucru.
Sfera matematică reprezintă, în acest caz, ordinea perfectă sau dezordinea minimă, în
interiorul căreia nu exista spaţiu şi nici timp. O să vedem de ce.
Ordonarea obiectelor de lucru, s-a dovedit a fi cel mai complex proces de automatizare,
ultimul realizat în tehnică, de-abia parţial, prin care s-a închis lanţul proceselor complet şi complex
automatizate şi s-a deschis calea robotizării, cibernetizării şi mecatronizării sistemelor de producţie, în
care omul devine anacronic, cu consecinţe greu de imaginat, chiar în viitorul foarte apropiat.
Complexitatea procesului de ordonare a obiectelor poate fi exprimată de raportul convenţional
de complexitate KC, a cărui expresie este (Mircea Eugen Şelariu, ” DISPOZITIVE DE
AUTOMATIZARE A PROCESELOR DE PRODUCTIE”, Cap. 20 din ”Proiectarea Dispozitivelor”
coordonator Vasii-Roşculet Sanda, EDP, Buc., 1982) raportul dintre coeficientul de complexitate al
obiectului ideal KI şi a celui real KR, adică KC = KI / KR, ambi coeficienţi determinandu-se cu una şi
aceeaşi relaţie :
KI,R = 1 + 1.A2 + 2. A3 + 3. A4 + … + (n-1). An + … în care An reprezintă numărul de axe de
simetrie, de ordinul n, pe care le are obiectul real şi, respectiv, cel ideal, din grupa în care se
încadrează obiectul real.
Un obiect prezintă (are) o axă de simetrie de ordinul n dacă, prin rotirea lui în jurul ei cu 2 /
n, obiectul se va oglindi / proiecta identic pe un plan.
Dezordinea, ca şi haosul, care reprezinta o dezordine maximă, cresc cu creşterea numărului
axelor de simetrie ale obiectelor şi cu ordinul n al acestora. Dar, tot sfera matematică prezintă o
ANEXA a 2-a la ALBUMUL DE DESENE
REALIZATE CU FUNCŢII SUPERMATEMATICE ŞELARIU
201
infinitate de axe de simetrie de ordin maxim (infinit), deoarece, o rotire oricât de neînsemnată în jurul
unei axe imaginare, ce trece sau nu prin centrul sferei, nu modifică cu nimic oglindirea sub formă de
cerc / disc a sferei pe un plan.
În spaţiul unei astfel de sfere amfotere, de rază nedeterminată, spaţiul nu există din cauza
haosului şi timpul nu poate exista din cauza ordinii perfecte. Timpul fiind perceput numai dacă spaţiul
este ocupat şi scurgerea lui este sesizabilă numai prin schimbarea a ceea ce il ocupă, numai prin
schimbarea poziţiei în spaţiu, adică a localizării şi / sau a orientării a ceea ce există.
Desen realizat de Ion Măldărescu, Agero http://www.agero-stuttgart.de
Această sferă nevăzută, absolut transparentă, pare a fi, în primul moment al devenirii vizibile
a unui punct al ei, adimensional, excentrului ei, un nimic.
(Pentru excentru vezi www.supermatematica.ro sau www.eng.upt.ro/~mselariu )
Dar din acest " nimic " s-a născut întregul univers. Acest nimic este de fapt "totul ", în primul
moment, numai că, cea mai mare parte a lui este, încă, invizibilă.
Să nu uităm că, aşa cum s-a constatat prin observaţii recente, un orificiu spaţio-temporal,
numit gaură neagră, de dimensiunea unui grăunte de nisip, în acest moment, " înghite" galaxii
ANEXA 2 la ALBUMUL DE DESENE REALIZATE CU FUNCŢII
SUPERMATEMATICE ŞELARIU întregi. Impresia că o întregă galaxie trece prin gaura neagră, ca prin " urechea unui ac ", este o
iluzie, o idee falsă. De fapt nu " înghite ", pentru că " nimic nu dispare şi nimic nu apare, ci totul se
transformă ". În acest punct, care dacă nu e centru e cu siguranţă un excentru, are loc fie un proces
de ordonare, încă nedesavârşit, care se va fi terminat mai rapid decât în mod obişnuit, într-o ordine
perfectă, fie că are loc un proces de revine, la fel de rapid, la starea iniţială a dezordinii absolute, din
care s-a pornit, ceea ce conduce la acelaşi obiect nevăzut.
Albul imaculat este un amestec al tuturor culorilor ! Sticla, cristalul, cele mai transparente
materiale, se obţine din nisip. Organizarea face diferenţa ! Nisipul rămâne în sticlă, în cristal, nu
dispare ! Adică, se modifică poziţia reciprocă a diverselor elemente componente în cadrul sistemului,
ceea ce este dat de dimensiunile de coordonare sau excentricitatea, într-un sens mai general, a
părţilor componente. Un cilindru plin şi o ţeavă cilindrică (la care cele două corpuri cilindrice, cel plin
şi cel gol, au axele situate la distanţa e = 0) au acelaşi centru de simetrie şi acelaşi grad de dificultate al
ordonarii, deci aceeaşi dezordine maxima DMO = 2.
Dar, dacă unul dintre aceste obiecte işi pierde centrul de simetrie, prin existenţa unui orificiu
excentric, la distanta e ≠ 0 faţă de fostul centru de simetrie, atunci dezordinea lui se amplifică. Este,
deci, suficientă apariţia unei excentricităţi e, oricât de reduse, pentru ca un proces de ordonare să
înceapă, sau, dimpotrivă, să revină la starea iniţială de haos, sensul procesului depinzând de semnul
excentricităţii.
" Nava " noastră cosmică se deplasează în sensul în care dezordinea se transformă în ordine,
entropia sistemului scade şi organizarea sistemului urcă pe trepte din ce în ce mai înalte şi saltă de pe
un nivel de organizare pe un altul, din ce în ce mai complex, cu inteligenţă din ce în ce mai ridicată,
complexitatea fiind o caracteristica a tuturor sistemelor. Complicarea, mai ales cea inutilă - nu,
simplificarea -da.
Unele dintre coordonatele universului (spaţiu s [x, y, z, e] şi timpul t) determină un
hiperspaţiu, denumit spaţiu energetic, denumit generic impropriu şi "plan energetic", în care se poate
reprezenta mişcarea de expansiune a ordinii în domeniul dezordinii şi, ca urmare, în care creşte masa
materiei vizibile a universului, odată cu creşterea stării de ordonare, din ce în ce mai completă a
acesteia, fără să ajungă la apogeu. Restul materiei din sferă, materia neagră sau materia invizibilă
rămânând, în continuare, invizibilă, chiar dacă sau, mai precis, deşi ea, materia invizibila, există.
Există dar este imposibilă, invizibilă şi intangibilă: nu se poate vedea, nu se poate pipăi, niciodată,
decât din şi după momentul în care devine vizibilă !
În caz contrar, apariţia materiei vizibile din cea invizibilă trebuind să se făcă instantaneu, ceea
ce, se ştie, că nu este cazul, deoarece ar nega din start evoluţia evenimentelor în univers. La un click
totul apare instantaneu şi pentru totdeauna ! Ceea ce contravine realităţii. Universul ar fi unul static.
Observaţiile astronomice, recente, ne arată că de jur imprejurul nostru, la distanţe de mii de
ani lumină, universul este mai puţin evoluat decât în zona noastră. Ceea ce demonstreză că
transformarea haosului, a sferei invizibile, în ordine, ca parte vizibilă a sferei, a început dintr-un punct,
centrul sau excentrul, sferei spre exteriorul ei; ordonarea în zona centrală a sferei fiind mai
pregnantă, mai evoluată, decât spre periferie, indicănd că, în zona centrală, procesul de ordonare a
început mai demult decât la periferie şi universul vizibil, periferic, este limita părţii vizibile a sferei.
Fenomen care, la antamarea lui, poate fi denumit chiar şi Big Bang.
Dacă viteza de propagare a ordinii în haos este mai mică decât viteza de evoluţie a mijloacelor
de scrutare a universului, atunci va veni o zi în care vom spune că am scrutat marginile universului
(vizibil) spunând: mai încolo nu-i nimic !. Pentru că "mai incolo" este zona sferei încă invizibilă.
În caz contrar, această zi nu va veni niciodată.
Perpendicular pe "planul energetic", inălţat maiestos pe verticală, este " planul sinergetic",
mai precis spaţiul sinergetic în care o altă coordonată, verticală, exprimă fie gradul de organizare
(ordonare), fie cantitatea de informaţie, fie calitatea, în esenţă inteligenţa la un moment dat a
sistemului, în expansiunea lui continuă în interiorul sferei invizibile nemărginite. Ce noroc avem că
planeta noastră se află într-o galaxie poziţionată mai spre centrul sau excentrul sferei invizibile, mai
spre punctul în care a aparut Big Bang-ul. Într-o zonă mai evoluată. Sau mă înşel ?
ANEXA a 2-a la ALBUMUL DE DESENE
REALIZATE CU FUNCŢII SUPERMATEMATICE ŞELARIU
203
Faptul de a căuta, cu asiduitate, materia negră a universului, materia invizibilă, acea materie
care încă nu există, dacă nu este un exemplu prea bun al gradului de inteligenţă al omenirii este, în
schimb, un exemplu elocvent al cerbiciei speciei umane.
Succes omule !
CĂUTAŢI, CĂUTAŢI, CĂUTAŢI…
CHIAR DACĂ NU GĂSIŢI NIMIC … EVOLUAŢI !
CEL MAI USOR CUB DIN LUME
DE LATURĂ L = 2 ŞI DE VOLUM V = 0
www.SuperMathematica.com www.SuperMatematica.ro
CEL MAI USOR CUB DIN LUME,
ESTE VIZIBIL, ȊN SUPERMATEMATICĂ,
EXISTĂ ŞI TOTUŞI…. NU EXISTĂ ȊN REALITATE !
ALBUM DE DESENE
REALIZATE CU FUNCŢII SUPERMATEMATICE ŞELARIU
204
B I B L I O G R A F I E
IN DOMENIUL S U P E R M A T E M A T I C I I
1 Şelariu Mircea
Eugen
FUNCŢII CIRCULARE EXCENTRICE Com. I Conferinţă Naţională de
Vibraţii în Construcţia de Maşini ,
Timişoara , 1978, pag.101...108.
2 Şelariu Mircea
Eugen
FUNCŢII CIRCULARE EXCENTRICE
şi EXTENSIA LOR.
Bul .Şt.şi Tehn. al I.P. ”TV”
Timişoara, Seria Mecanică, Tomul
25(39), Fasc. 1-1980, pag. 189...196
3
Şelariu Mircea
Eugen
STUDIUL VIBRAŢIILOR LIBERE
ale UNUI SISTEM NELINIAR,
CONSERVATIV cu AJUTORUL
FUNCŢIILOR CIRCULARE
EXCENTRICE
Com. I Conf. Naţ. Vibr.în C.M.
Timişoara,1978, pag. 95...100
4 Şelariu Mircea
Eugen
APLICAŢII TEHNICE ale FUNCŢIILOR
CIRCULARE EXCENTRICE
Com.a IV-a Conf. PUPR, Timişoara,
1981, Vol.1. pag. 142...150 A V-a
5 Şelariu Mircea
Eugen
THE DEFINITION of the ELLIPTIC
ECCENTRIC with FIXED ECCENTER
Conf. Naţ. de Vibr. în Constr. de
Maşini,Timişoara, 1985,
pag.175...182
6 Şelariu Mircea
Eugen
ELLIPTIC ECCENTRICS with MOBILE
ECCENTER
Com.a IV-a Conf. PUPR, Timişoara,
1981, Vol.1. pag. 183...188
7 Şelariu Mircea
Eugen
CIRCULAR ECCENTRICS and
HYPERBOLICS ECCENTRICS
Com. a V-a Conf. Naţ. V. C. M.
Timişoara, 1985, pag. 189...194.
8 Şelariu Mircea
Eugen
ECCENTRIC LISSAJOUS FIGURES Com.a IV-a Conf. PUPR, Timişoara,
1981, Vol.1. pag. 195...202
9 Şelariu Mircea
Eugen
FUNCŢIILE SUPERMATEMATICE cex
şi sex- SOLUŢIILE UNOR SISTEME
MECANICE NELINIARE
Com. a VII-a Conf.Nat. V.C.M.,
Timişoara,1993, pag. 275...284.
10
Şelariu Mircea
Eugen
SUPERMATEMATICA
Com.VII Conf. Internaţ. de Ing.
Manag. şi Tehn.,TEHNO’95
Timişoara, 1995, Vol. 9: Matematicπ
Aplicată,. pag.41...64
11
Şelariu Mircea
Eugen
FORMA TRIGONOMETRICĂ
a SUMEI şi a DIFERENŢEI
NUMERELOR COMPLEXE
Com.VII Conf. Internat. de Ing.
Manag. şi Tehn., TEHNO’95
Timişoara, 1995, Vol. 9: Matematică
Aplicată, pag. 65...72
12
Şelariu Mircea
Eugen
MIŞCAREA CIRCULARĂ
EXCENTRICĂ
Com.VII Conf. Internaţ. de Ing.
Manag. şi Tehn. TEHNO’95.,
Timişoara, 1995 Vol.7: Mecatronică,
Dispozitive şi Rob.Ind.,pag. 85...102
13
Şelariu Mircea
Eugen
RIGIDITATEA DINAMICĂ
EXPRIMATĂ CU FUNCŢII
SUPERMATEMATICE
Com.VII Conf. Internaţ. de Ing.
Manag. şi Tehn., TEHNO’95
Timişoara, 1995 Vol.7: Mecatronică,
Dispoz. şi Rob.Ind., pag. 185...194
14
Şelariu Mircea
Eugen
DETERMINAREA ORICÂT DE EXACTĂ
A RELAŢIEI DE CALCUL A
INTEGRALEI ELIPTICE COMPLETE
DE SPETA ÎNTÂIA K(k)
Bul. VIII-a Conf. de Vibr. Mec.,
Timişoara,1996, Vol III, pag.15 ... 24
ALBUM DE DESENE
REALIZATE CU FUNCŢII SUPERMATEMATICE ŞELARIU
205
15 Şelariu Mircea
Eugen
FUNCŢII SUPERMATEMATICE
CIRCULARE EXCENTRICE DE
VARIABILĂ CENTRICĂ
TEHNO ’ 98. A VIII-a Conferinţă de
inginerie menagerială şi tehnologică ,
Timişoara 1998, pag 531..548
16 Şelariu Mircea
Eugen
FUNCŢII DE TRANZIŢIE
INFORMAŢIONALĂ
TEHNO ’ 98. A VIII-a Conferinţă de
inginerie menagerială şi tehnologică ,
Timişoara 1998, pag 549… 556
17
Şelariu Mircea
Eugen
FUNCŢIILE SUPERMATEMATICE
CIRCULARE EXCENTRICE DE
VARIABILA CENTRICA CA SOLUŢII
ALE UNOR SISTEME OSCILANTE
NELINIARE
TEHNO ’ 98. A VIII-a Conferinţă de
inginerie menagerială şi tehnologică ,
Timişoara 1998, pag 557…572
18
Şelariu Mircea
Eugen
INTRODUCEREA STRÂMBEI ÎN
MATEMATICĂ
Lucr. Simp. Naţional “Zilele
Universităţii Gh. Anghel” Ed. II-a,
Drobeta Turnu Severin, 16-17 mai
2003, pag. 171 … 178
19
Şelariu Mircea
Eugen
QUADRILOBIC VIBRATION SYSTEMS
The 11 –th International Conference
on Vibration Engineering, Timişoara,
Sept. 27-30, 2005 pag. 77 … 82
20 Şelariu Mircea
Eugen
SMARANDACHE STEPPED FUNCTIONS International Journal “Scientia
Magna” Vol.3, Nr.1, 2007 , ISSN
1556-6706
21 Şelariu Mircea
Eugen
TEHNO-ART OF ŞELARIU
SUPERMATHEMATICS FUNCTIONS
(ISBN-10):1-59973-037-5
(ISBN-13):974-1-59973-037-0
(EAN): 9781599730370
22 Şelariu Mircea
Eugen
PROIECTAREA DISPOZITIVELOR DE
PRELUCRARE, Cap. 17 din
PROIECTAREA DISPOZITIVELOR
Editura Didactică şi Pedagogică,
Bucureşti, 1982, pag. 474 ... 543
Coord onator Vasii Roşculeţ Sanda
23 Şelariu Mircea
Eugen
SUPERMATEMATICA.
FUNDAMENTE
Editura “POLITEHNICA” ,
Timişoara, 2007
24 Şelariu Mircea
Eugen
SUPERMATEMATICA.
FUNDAMENTE VOL.I EDIŢIA A II-A
Editura “POLITEHNICA” ,
Timişoara, 2012
25 Şelariu Mircea
Eugen
SUPERMATEMATICA.
FUNDAMENTE VOL.II
Editura “POLITEHNICA” ,
Timişoara, 2012
26 Şelariu Mircea
Eugen
TRANSFORMAREA RIGUROASA IN
CERC A DIAGRAMEI POLARE A
COMPLIANTEI
Buletiul celei de a X-a Conf. de Vibr.
Mec.cu participare interatională, Bul.
Şt. al Univ. "Politehnica" din
Timşoara, Seria Mec. Tom 47(61),
mai 2002, Vol II, pag.247…260.
27 Şelariu Mircea
Eugen
UN SISTEM SUPERMATEMATIC CU
BAZĂ CONTINUĂ DE APROXIMARE
A FUNCŢIILOR
www.CartiAZ.ro
28 Şelariu Mircea
Eugen
DE LA REZOLVAREA TRIUNGHIURILOR
LA FUNCŢII SUPERMATEMATICE (SM) www.CartiAZ.ro
29 Şelariu Mircea
Eugen
FUNCŢIILE SUPERMATEMATICE
CIRCULARE COSINUS ŞI SINUS
EXCENTRICE (FSM-CE cexθ ŞI sexθ)
DE VARIABLĂ EXCENTRICĂ θ,
DERIVATELE ŞI INTEGRALELE LOR
www.CartiAZ.ro
30 Şelariu Mircea
Eugen
LOBE EXTERIOARE ŞI CVAZILOBE
INTERIOARE CERCULUI UNITATE www.CartiAZ.ro
31 Şelariu Mircea
Eugen
METODĂ DE INTEGRARE PRIN
DIVIZAREA DIFERENŢIALEI www.CartiAZ.ro
32 Şelariu Mircea FUNCŢII COMPUSE AUTOINDUSE (FAI) www.CartiAZ.ro
ALBUM DE DESENE
REALIZATE CU FUNCŢII SUPERMATEMATICE ŞELARIU
206
Eugen ŞI FUNCŢII INDUSE (FI)
33 Şelariu Mircea
Eugen
FUNCŢII SUPERMATEMATICE
CIRCULARE EXCENTRICE INVERSE
(FSM-CEI)
www.CartiAZ.ro
34 Şelariu Mircea
Eugen
FUNCŢII HIPERBOLICE EXCENTRICE www.CartiAZ.ro
35 Şelariu Mircea
Eugen
ELEMENTE NELINIARE LEGATE ȊN
SERIE www.CartiAZ.ro
36 Şelariu Mircea
Eugen
I NTERSECŢII ȊN PLAN
www.CartiAZ.ro
37 Şelariu Mircea
Eugen
LINIILE CONCURENTE ŞI PUNCTELE
LOR DE INTERSECŢIE ÎNTR-UN
TRIUNGHI
www.CartiAZ.ro
38 Şelariu Mircea
Eugen
MIŞCAREA CIRCULARĂ EXCENTRICĂ
DE EXCENTRU PUNCT MOBIL
www.CartiAZ.ro
39 Şelariu Mircea
Eugen
TEOREMELE POLIGOANELOR
PĂTRĂTE, DREPTUNGHIURI ŞI
TRAPEZE ISOSCELE Ş
www.CartiAZ.ro
40 Şelariu Mircea
Eugen
UN SISTEM SUPERMATEMATIC CU
BAZĂ CONTINUĂ DE APROXIMARE
A FUNCŢIILOR
www.CartiAZ.ro
41 Şelariu Mircea
Eugen
FUNCŢIILE SM – CE rex1,2θ CA SOLUŢII
ALE ECUAŢIILOR ALGEBRICE
DE GRADUL AL DOILEA CU O
SINGURĂ NECUNOSCUTĂ
www.CartiAZ.ro
42 Şelariu Mircea
Eugen
TEOREMA Ş A BISECTOARELOR UNUI
PATRULATER INSCRIPTIBIL ŞI
TEOREMELE Ş ALE TRIUNGHIULUI
www.CartiAZ.ro
43
Petrişor
Emilia
ON THE DYNAMICS OF THE DEFORMED
STANDARD MAP
Workshop Dynamicas Days'94,
Budapest, şi Analele Univ.din
Timişoara, Vol.XXXIII, Fasc.1-1995,
Seria Mat.-Inf.,pag. 91...105
44 Petrişor
Emilia
SISTEME DINAMICE HAOTICE Seria Monografii matematice,
Tipografia Univ. de Vest din
Timişoara, 1992
45
Petrişor
Emilia
RECONECTION SCENARIOS AND THE
THRESHOLD OF RECONNECTION IN
THE DYNAMICS OF NONTWIST MAPS
Chaos, Solitons and Fractals, 14
(2002) 117-127
46
Petrişor
Emilia
NON TWIST AREA PRESERVING MAPS
WITH REVERSING SYMMETRY GROUP
International Journal of Bifurcation
and Chaos, Vol.11, no 2(2001) 497-
511
47
Cioara Romeo
FORME CLASICE PENTRU FUNCŢII
CIRCULARE EXCENTRICE
Proceedings of the Scientific
Communications Meetings of "Aurel
Vlaicu" University, Third Edition,
Arad, 1996, pg.61 ...65
48
Preda Horea
REPREZENTAREA ASISTATĂ A
TRAIECTORILOR ÎN PLANUL
FAZELOR A VIBRAŢIILOR NELINIARE
Com. VI-a Conf.Naţ.Vibr. în C.M.
Timişoara, 1993, pag.
49
Filipescu
Avram
APLICAREA FUNCŢIILOR EXCENTRICE
PSEUDOHIPERBOLICE
( ExPH ) ÎN TEHNICĂ
Com.VII-a Conf. Internat.de Ing.
Manag. şi Tehn. TEHNO'95,
Timişoara, Vol. 9. Matematică
aplicată, pag. 181 ... 185
UTILIZAREA FUNCŢIILOR Com.VII-a Conf. Internaţ.de Ing.
ALBUM DE DESENE
REALIZATE CU FUNCŢII SUPERMATEMATICE ŞELARIU
207
50 Dragomir
Lucian
SUPERMATEMATICE IN CAD / CAM :
SM-CAD / CAM. Nota I-a:
REPREZENTARE ÎN 2D
Manag. şi Tehn. TEHNO'95,
Timişoara, Vol. 9. Matematică
aplicată, pag. 83 ... 90
51
Şelariu Şerban
UTILIZAREA FUNCŢIILOR
SUPERMATEMATICE IN CAD / CAM :
SM-CAD / CAM. Nota I I -a:
REPREZENTARE ÎN 3D
Com.VII-a Conf. Internaţ.de Ing.
Manag. şi Tehn. TEHNO'95,
Timişoara, Vol. 9. Matematică
aplicată., pag. 91 ... 96
52 Staicu
Florenţiu
DISPOZITIVE UNIVERSALE de
PRELUCRARE a SUPRAFEŢELOR
COMPLEXE de TIPUL
EXCENTRICELOR ELIPTICE
Com. Ses. anuale de com.şt.
Oradea ,1994
53
George
LeMac
THE ECCENTRIC TRIGONOMETRIC
FUNCTIONS: AN EXTENTION
OF CLASSICAL TRIGONOMETRIC
FUNCTIONS.
The University of Western Ontario,
London, Ontario, Canada
Depertment of Applied Mathematics
May 18, 2001
54
Şelariu Mircea
Ajiduah
Cristoph
Bozântan Emil
Filipescu
Avram
INTEGRALELE UNOR FUNCŢII
SUPERMATEMATICE
Com. VII Conf.Internaţ. de
Ing.Manag. şi Tehn. TEHNO’95
Timişoara. 1995,Vol.IX: Matem.
Aplic. pag.73...82
55 Şelariu Mircea
Fritz Georg
Meszaros A.
ANALIZA CALITĂŢII MIŞCARILOR
PROGRAMATE cu FUNCŢII
SUPERMATEMATICE
IDEM, Vol.7: Mecatronică,
Dispozitive şi Rob.Ind.,
pag. 163...184
56 Şelariu Mircea
Szekely Barna
ALTALANOS SIKMECHANIZMUSOK
FORDULATSZAMAINAK ATVITELI
FUGGVENYEI MAGASFOKU
MATEMATIKAVAL
Bul.Şt al Lucr. Premiate,
Universitatea din Budapesta,
nov. 1992
57 Şelariu Mircea
Popovici
Maria
A FELSOFOKU MATEMATIKA
ALKALMAZASAI
Bul.Şt al Lucr. Premiate,
Universitatea din Budapesta,
nov. 1994
58 Smarandache
Florentin
Şelariu Mircea
Eugen
IMMEDIATE CALCULATION OF SOME
POISSON TYPE INTEGRALS USING
SUPERMATHEMATICS CIRCULAR EX-
CENTRIC FUNCTIONS
arXiv:0706.4238, 2007
59
Konig
Mariana
Şelariu Mircea
PROGRAMAREA MIŞCARII DE
CONTURARE A ROBOŢILOR
INDUSTRIALI cu AJUTORUL
FUNCŢIILOR TRIGONOMETRICE
CIRCULARE EXCENTRICE
MEROTEHNICA, Al V-lea Simp.
Naţ.de Rob.Ind.cu Part .Internaţ.
Bucuresti, 1985
pag.419...425
60 Konig
Mariana
Şelariu Mircea
PROGRAMAREA MIŞCĂRII de
CONTURARE ale R. I. cu AJUTORUL
FUNCŢIILOR TRIGONOMETRICE
CIRCULARE EXCENTRICE
Merotehnica, V-lea Simp. Naţ.de RI
cu participare internatională,
Buc.,1985, pag. 419 ... 425.
61 Konig
Mariana
Şelariu Mircea
THE STUDY OF THE UNIVERSAL
PLUNGER IN CONSOLE USING THE
ECCENTRIC CIRCULAR FUNCTIONS
Com. V-a Conf. PUPR, Timişoara,
1986, pag.37...42
62 Staicu
Florentiu
Şelariu Mircea
CICLOIDELE EXPRIMATE CU
AJUTORUL FUNCŢIEI
SUPERMATEMATICE rex
Com. VII Conf. Internatională de
Ing.Manag. şi Tehn ,Timişoara
“TEHNO’95”pag.195-204
62 Gheorghiu
Em. Octav
FUNCŢII CIRCULARE EXCENTRICE
Ses.de com.şt.stud.,Secţia
Matematică,Timişoara, Premiul II la
ALBUM DE DESENE
REALIZATE CU FUNCŢII SUPERMATEMATICE ŞELARIU
208
Şelariu Mircea
Bozântan Emil
DE SUMĂ DE ARCE Secţia Matematică, 1983
64 Gheorghiu
Emilian Octav
Şelariu Mircea
Cojerean
Ovidiu
FUNCŢII CIRCULARE EXCENTRICE.
DEFINIŢII, PROPRIETẮŢI, APLICAŢII
TEHNICE.
Ses. de com. şt.stud. Secţia
Matematică, premiul II la Secţia
Matematică, pe anul 1985.
65 Şelariu Mircea
Eugen,
Bălă Dumitru
WAYS OF PRESENTING THE DELTA
FUNCTION AND AMPLITUDE
FUNCTION JACOBI
Proceedings of the2nd World
Congress on Science, Economics and
Culture, 25-29 August 2008 New
York, paper published in Denbridge
Journals, p.42 … 55
66 Dumitru Bălă SUPERMATHEMATICAL – ŞELARIU
FUNCTIONS BETA ECCENTRIC bex
SOLUTIONS OF SOME OSCILATORY
NON-LINIAR SYSTEMS (SO)
Proceedings of the2nd World
Congress on Science, Economics and
Culture, 25-29 August 2008 New
York, paper published in Denbridge
Journals, p.27 … 41
67 Şelariu Mircea
Eugen
Smarandache
Florentin
Niţu Marian
CARDINAL FUNCTIONS AND INTEGRAL
FUNCTIONS
International Journal of Geometry
Vol.1 (2012), N0. 1, 5-14
68
ALBUM DE DESENE
REALIZATE CU FUNCŢII SUPERMATEMATICE ŞELARIU
209
C U P R I N S U L A L B U M U L U I
Cap. Planşe D E N U M I R E A C A P I T O L U L U I PAGINA
0 - P R E F A Ţ A 3…4
1 - I N T R O D U C E R E 1 5…34
2 6 L A M P I O A N E 1 35…40
2 P O C A L E 41…42
3 ARATARI ȊN 3 VEDERI 43…50
4 2 CLEPSIDRE DIVERS COLORATE 51…52
1 CUBURI DIVERSE 53
1 CUBURI SUPRAPUSE 54
4 CUBURI DIVERSE PRELUCRATE 1 55…58
5 4 CUBURI CVADRILOBE IN 3 VEDERI 59…62
2 CVADRILOBE SPECIALE 63…64
2 RELIEF PLOT 65…66
7 JOC DE APE 67…73
7 LINII DE NIVEL 74…80
2 MEDUZA 81…82
2 OBIECTE GEOMETRICE ALE MAT EMATICII CENTRICE 83…84
7 3 OBIECTE GEOMETRICE ALE
MAT EMATICII EXCENTRICE
85…87
8 2 ELEMENTE ALE COLOANELOR IMBRATIŞĂRII DINTRE
GALBEN ŞI CIAN
88…89
2 ELEMENTE ALE COLOANEI IUBIRII ETERNE 90…91
1 ELEMENTE ALE COLOANEI EXCENTRICE
A RECUNOŞTINŢEI FĂRĂ SFȂRŞIT
92
7 ELEMENTE ALE COLOANELOR IMBRATIŞĂRII VEŞNICE 93…99
9 1 ARANJAMENTE ȊN 3D 100
2 C A P S U L A S P A Ţ I A L Ă 101…102
2 F A R F U R I I Z B U R A T O A R E 103…104
1 STATUIA LUI BUDHA STILIZATĂ 105
3 OBIECTE SUPERMATEMATICE MULTICOLORE CU GOLURI 106…108
4 G U R A . . . 109…112
10 5 IMPLETITURI 113…117
2 OBIECTE SM STRANII 118…119
ALBUM DE DESENE
REALIZATE CU FUNCŢII SUPERMATEMATICE ŞELARIU
210
1 SEMICONURI CU SEMIPIRAMIDE CONCAVE 120
11 5 SUPRAFEŢE SM ȊN DOUĂ VEDERI 121…125
5 S U P R A F E Ţ E C O M P L E X E Ȋ N T R E P Ă T R U N S E 126…130
12 1 TOR SM COMPLET ȊN TOR SM SECŢIONAT 131
2 OBIECTE GEOMETRICE ALE MATEMATICII
E X C E N T R I C E TURNURI VALERIU ALACI
132…133
3 Toruri SM bicolore 1 134…136
2 TOR EXCENTRIC REALIZAT DIN SEGMENTE CENTRICE 137…138
3 FIGURI CU ROLE DE RULMENT SI TOR PATRAT 139…141
13 1 F L U T U R A Ş I 142
2 C A R A C A T I T E 1 143…144
1 C U R B E F R U M O A S E 145
1 C U R B E C V A D R I L O B E F R U M O A S E 146
1 E L I C E S U P E R M A T E M A T I C E 147
3 C U B U R I C U P A N G L I C I 148…150
14 4 A R T Ă P E S A R M Ă 151…154
1 DANS POPULAR ROMȂNESC 155
1 TOR SUPERMATEMATIC VIU COLORAT 156
1 MELCI EXCENTRICI 157
3 FIGURI PE CORPURI GEOMETRICE 1 158…160
3 FLORI ARTIFICIALE SM 1 161…163
15 4 HAOS CENTRIC ŞI HAOS EXCENTRIC 164…167
4 O U Ă C O L O R A T E Ş I Î N C O N D E I A T E 168…171
2 OUĂ ȊNCONDEIATE 172…173
2 OUĂ EXCENTRICE SM 174…175
16 1 CONICE SUPERMATEMATICE CIRCULARE EXCENTRICE 176
8 COŞULEŢE INCHISE 177…184
2 TOR EXCENTRIC REALIZAT DIN SEGMENTE EXCENTRICE 185…186
17 Anexa 1: SPAŢIUL MATEMATICII CENTRICE (ME)
ŞI SPAŢIUL MATEMATICII EXCENTRICE ( ME)
187…199
18 Anexa 2 :ȊN CĂUTAREA INVIZIBILULUI 200..202
19 B I B L I O G R A F I E 204…208
20 C U P R I N S 209…210