Akışkanların Statiği GENELLEŞTİRME STATİĞİN TEMEL...

Akışkanlar Mekaniği EULER DENGE DENKLEMLERİ AKM 204 / Ders Notu H05-S1

[email protected]

Akışkanların Statiği - GENELLEŞTİRME STATİĞİN TEMEL DENKLEMLERİ/ EULER DENGE DENKLEMLERİ

þ = þ (x, y, z) idi ve ilk olarak “þ = þ (z); þ þ (x, y) “ hali ele alınmıştı. þ = þ (x, y, z) genel hali ele alınacak.

Kütlesel kuvvet :

Kx, Ky, Kz ; Birim kütleye etki eden kütlesel kuvvet bileşenleri

;

;

(EULER Denge Denklemleri)

Basıncın yönlere bağlı değişim gradyanları, her yön için akışkanın özgül kütlesi ile kütlesel kuvvet bileşeninin çarpımına eşittir.

EULER Denge Denklemlerinin Sonuçları. Euler denge denklemleri sırasıyla “dx, dy, dz” yolları ile çarpılıp, taraf tarafa toplansın:

þ (x,y,z) + . U(x,y,z) = sabit.

dz

dy

y

þ dx

þ

þ

x

z

; Hidrostatik akışkan ortamı

; Dış Kuvvetler

= dx.dy.dz ; Boyutlarında akışkan elemanı

m = ρ. = ρ . (dx.dy.dz) Hacimsal (kütlesel) kuvvet vektörü

Deplasman vektörü


[email protected]

Buna göre (1). “ þ +.U ” fonksiyonunun değeri ortamın bütün noktalarında aynı olmalıdır. (2). U = Kuvvet potansiyeli fonksiyonu; (3). Bu tip hareketler korunumlu olarak adlandırılırlar; İrdelemeler:

Basıncın sabit olduğu yüzeyler = Eşbasınç yüzeyi = Nivo yüzeyi.

Benzer şekilde U nun sabit olduğu yüzeyler= Eşpotansiyel yüzey.

Eşpotansiyel yüzey = Eşbasınç yüzeyi.

Eşbasınç yüzeylerinde þ = SABİT ise “ d þ =0 ”olur ; buna göre:

Sonuçlar:

için olmalıdır.

Kütlesel kuvvetler, Eşbasınç yüzeylerine diktir.

Yerçekimi alanında sıvıların serbest yüzeyleri yataydır.


[email protected]

Uygulama: Rölatif olarak dengedeki sıvılar=Kütle halinde hareket eden sıvılar.

(1). Sabit ivmeyle hareket eden kap

o Sabit ivme ile çekilen kabın içindeki akışkana bu ivmeye eşit ve ters yönde bir ivme etkir.

(2). Sabit açısal hızla dönen kap

o Eksenden belirli bir uzaklıktaki düşey kesitte basınç dağılışları hidrostatiktir,

veya o Serbest yüzeyden aynı derinlikteki noktalardaki basınçlar aynıdır.

Kaynaklar

1 “Ders notları” , Prof.Dr. İstemi Ünsal, 2 “Engineering Fluid Mechanics 9e ISV”, Clayton T. Crowe, John Wiley High Education, Isbn: 9780470409435, 616 pages,2009. 3 "Fluid Mechanics: Fundamentals and Applications" , Yunus Çengel & John Cimbala, 864 pages , McGraw Hill Higher Education

(December 1, 2006)

z

x

A B

Yüzey denklemi; Eş basınç yüzeylerinde þ =SABİT ve d þ =0 Basınç dağılışı Bir düşey boyunca x=SABİT ve dx=0

M

z

r

ω

h

O

D

r

Yüzey denklemi; Eş basınç yüzeylerinde þ =SABİT ve d þ =0 Basınç dağılışı Bir düşey boyunca x=SABİT ve dx=0


[email protected]

Konu Kavrama Soruları

1. Durgun akım ortamında ve en genel halde Euler Denge Denklemlerini elde ediniz.

2. Yerçekimi alanında sıvıların serbest yüzeyinin yatay olduğunu Euler Denge Denklemlerini yorumlayarak gösteriniz.

3. Yatayla belli bir açı yapan sabit bir ivme ile hareket ettirilen kabın içinde basınç dağılışının

hidrostatik olacağını gösteriniz. Durgun bir kaptaki hidrostatik basınç dağılışı ile arasındaki farkı belirtiniz.

4. Düşeydeki ekseni etrafında dönen bir kapta basınç dağılışı hidrostatik olacağını gösteriniz.

5. Düşeydeki ekseni etrafında dönen bir kapta serbest su yüzeyinin ikinci derece parabol

olacağını gösteriniz.

6. Euler Denge Denklemlerinden yararlanarak yerçekimi alanında hidrostatik basınç dağılımını elde ediniz.

7. Kütlesel kuvvetlerin eşbasınç yüzeylerine dik olduğunu gösteriniz.


[email protected]

KKoonnuuyyllaa iillggiillii ssoorruullaarr

1. Soru ) Su tankeri 2 m/s2 ‘lik sabit bir ivme ile hareket ediyor. Tankerin üstü açık ve içi tam dolu su tankının uzunluğu 8 m,

yüksekliği 2 m ve genişliği 1,5 m’ dir. Buna göre;

a) Tanktaki serbest su yüzeyinin şeklini belirleyiniz

b) Tanktan taşan su hacmini hesaplayınız.

c) Tank tabanındaki A ve B noktalarında basınç değerlerini hesaplayınız.

d) Tabana etki eden basınç kuvvetini hesaplayınız

Çözüm

genel ifadesi probleme göre düzenlenirse ve y–doğrultusunda değişim olmadığı için 2 boyutlu incelemenin yeterli olur ;

, olur. Tanker ivmesi ile sağa doğru hareket ederse tankın içindeki suya bu ivmeye ters doğrultuda ivme etkir.

a)

Serbest su yüzeyinin denklemi için p=sabit için dp=0 olacaktır.

Entegral sabiti x=0 için z=2 m başlangıç koşulu için

, C=2 elde edilir. Böylece ;

ifadesine ulaşılır.

b)

B noktasında x=8 m olduğuna göre

Taşan sıvı hacmi;

Dolu hacim;

Kalan sıvı hacmi;

z

x

a=2 m/s2

ρsu=1000 kg/m3

A B


[email protected]

c) Bir düşey boyunca basınç dağılımı için x=SABİT ’dir ve dx =0 olur.

Genel ifade buna göre düzenlenirse ;

A noktasından geçen düşey boyunca x=0 olduğu dikkate alınarak.

İntegrasyon yapıldığında

C integral sabiti için başlangıç sınır şartı ; z=2 m için þ = þatm

A noktasında zA = 0 olduğuna göre ;

Mutlak basınç olarak ; =

Rölatif basınç değeri ise ;

B noktasından geçen düşey boyunca x=8 m olduğu dikkate alınarak.

İntegrasyon yapıldığında

C integral sabiti için başlangıç sınır şartı ; z = 0,369 m için þ=þatm

B noktasında zB=0 olduğuna göre ;

Mutlak basınç ; =

Rölatif basınç ;

d)

Su tankının tabanındaki basınç kuvveti;

Mutlak basınç kullanılarak ;

ρ =(101325 + 1,1845 . 9,81 . 1000)(12)

Ftaban= 1355339 N = 1355 kN

Rölatif basınç kullanılarak ;

=139439 N = 139,44 kN


[email protected]

2. Soru ) Şekilde üstü açık ve tamamen dolu silindirik kap ω=33.5 r/s açısal hızlayla döndürülmektedir. Kabın içerisinde kalan su

hacmini ve sonrasında durdurulduğunda oluşacak su derinliğini bulunuz.

Not: Paraboloid hacmi, aynı yükseklikteki silindir hacminin yarısına eşittir.

Çözüm:

ρ

genel ifadesi probleme göre düzenlenirse ve y–doğrultusunda değişim olmadığı için 2 boyutlu incelemenin yeterli olur ;

olur.

Silindirik kap açısal hızıyla ile döndürüldüğünde; ve

Serbest su yüzeyinin denklemi için p=sabit için dp=0 olacaktır.

Entegral sabiti x=0,075 için z=0,375 m başlangıç koşulu için

; C=0,053 elde edilir.

Böylece ; ifadesine ulaşılır.

=0,214 m

0,075m

zo

M

z

x

ω

0,375 m

O

ωo=0

0,150 m


[email protected]

3. Soru ) Şekilde üstü açık silindirik kabın çapı 0,50 m , yüksekliği 1,0 m dir. Kap başlangıçta 0,75 m yüksekliğe kadar akışkanla doludur. Silindirik kap ω açısal hızı ile döndürüldüğünde oluşan parabolloidin tabanı kabın tabanına teğet olmaktadır. Kabın döndürüldüğü ω açısal hızı ve taşan akışkan hacmini bulunuz. ( Sonuç : =17,72 r/d , )


4. Soru ) Şekilde üstü açık ve içi tam dolu dikdörtgen tank sağ tarafa doğru 6 m/s2 ivme ile çekliyor. Tankın x doğrultusundaki

uzunluğu 3 m, z doğrultusundaki yüksekliği 2m ve şekil düzlemine dik genişliği 1,5 m dir. Buna göre;

e) Serbest su yüzeyinin şeklini belirleyiniz

f) Tanktan taşan su hacmini belirleyiniz. (Sonuç: taşan=4.13 m3)

g) Tank tabanındaki A ve B noktalarındaki basınçları bulunuz. (Sonuç: ÞA=2γsu ve ÞB=0.165γsu)

h) Tabana etki eden basınç kuvvetini hesaplayınız. (Sonuç: F=4.87γsu)

z

x

a=6 m/s2

ρsu=1000 kg/m3

A B

0,075m

z

x

ω

1 m

ωo=0

0,5 m

0,75 m


[email protected]

5. Soru ) Şekilde üstü açık ve içi kısmen su dolu dikdörtgen tank sağ tarafa doğru 4 m/s2 ivme ile çekliyor. Tankın x

doğrultusundaki uzunluğu 3 m, z doğrultusundaki yüksekliği zo ve şekil düzlemine dik genişliği 2 m dir. Tankın içindeki su

yüksekliği 2 m’dir.

a) Serbest su yüzeyinin şeklini belirleyiniz

b) Tanktan su taşmadığına göre tankın sol tarafındaki su yüksekliğini (yo), sol tarafındaki su yüksekliğini (y1) ve

serbest su yüzeyinin yatayla yaptığı açıyı (β) belirleyiniz. (Sonuç: β=22o)

c) Tank tabanındaki A ve B noktalarındaki basınçları bulunuz. (Sonuç: ÞA=2.61γsu ve ÞB=1.39γsu)

d) Tabana etki eden basınç kuvvetini hesaplayınız. (Sonuç: F=12γsu)

6. Soru ) Şekilde üstü açık ve içi kısmen su dolu dikdörtgen tank yukarıya doğru 9,81 m/s2 ivme ile çekliyor. Tankın x



a) Serbest su yüzeyinin şeklini belirleyiniz

b) Tank tabanındaki A ve B noktalarındaki basınçları bulunuz. (Sonuç: Þtaban=39.24 ρsu )

c) Tabana etki eden basınç kuvvetini hesaplayınız. (Sonuç: Ftaban=235.44 ρsu=24γsu)

z

x

a=4 m/s2

ρsu=1000 kg/m3

A B

z

x

a=9,81 m/s2

ρsu=1000 kg/m3

A B


[email protected]

7. Soru ) Şekilde üstü açık ve içi kısmen su dolu dikdörtgen tank aşağıya doğru 9,81 m/s2 ivme ile çekliyor. Tankın x



d) Serbest su yüzeyinin şeklini belirleyiniz

e) Tank tabanındaki A ve B noktalarındaki basınçları bulunuz.

8. Soru ) Paraboloid şeklinde kap tamamen su ile doludur. Paraboloid hangi ω açısal hızla döndürülürse suyun yarısı kaptan

boşalır. ( Sonuç :

ve ω= 7.92 r/s )


z

x

a=9,81 m/s2

ρsu=1000 kg/m3

A B

0.25m

z

r

ω1=? 0,4 m

ωo=0 için

Z1

Z0

Akışkanların Statiği GENELLEŞTİRME STATİĞİN TEMEL...

Documents

Transcript of Akışkanların Statiği GENELLEŞTİRME STATİĞİN TEMEL...