Ajuste de curvas. Regresión. -...

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Ajuste de curvas.Regresion.

Curso: Metodos Numericos en IngenierıaProfesor: Dr. Jose A. Otero HernandezCorreo: [email protected]: http://metodosnumericoscem.weebly.comUniversidad: ITESM CEM

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Introduccion Regresion por mınimos cuadrados

Topicos

1 Introduccion

2 Regresion por mınimos cuadradosRegresion lineal por mınimos cuadradosEjemploPrograma MATLAB: linregr.mRegresion cuadratica por mınimos cuadradosPrograma MATLAB: cuadregr.mEjemplo

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Topicos

1 Introduccion

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Ajuste de curvasEs comun que los datos se den como valores discretos,Se podrıa necesitar la estimacion de un punto entrevalores discretos,Se podrıa necesitar una curva que ajuste los datos paraobtener estimaciones intermedias,Se podrıa necesitar una version simplificada de unafuncion complicada,Estas aplicaciones se conocen como ajuste de curvas.

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Metodos generales para el ajuste de curvas

Regresion: Si los datos exhiben un grado significativo de erroro ”ruido”, entonces la estrategia sera obtener una sola curvaque represente la tendencia general de los datos.

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Metodos generales para el ajuste de curvas

Interpolacion: Si se sabe que los datos son muy precisos,entonces la estrategia sera colocar una curva o una serie decurvas que pasen por cada uno de los puntos.

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Regresion lineal por mınimos cuadrados

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Regresion lineal por mınimos cuadradosProblema: Ajustar a una lınea recta (y = a0 + a1x) el conjuntode puntos:(x1, y1),(x2, y2),· · · ,(xn, yn).El error (e) es la diferencia entre el modelo (linea recta) y ladata, es decir es la diferencia entre el valor verdadero de y y elvalor aproximado a0 + a1x. Por lo cual, se puede determinarcomo:

e = y − a0 − a1x

Para cada punto (xi, yi) se define un error ei. La estrategiapara ajustar la linea recta consiste en minimizar la suma de loscuadrados de los errores entre los valores verdaderos y losvalores aproximados. Esto es:

Sr =

n∑i=1

e2i =

n∑i=1

(yi − a0 − a1xi)2

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e = y − a0 − a1x

Sr =

n∑i=1

e2i =

n∑i=1

(yi − a0 − a1xi)2

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e = y − a0 − a1x

Sr =

n∑i=1

e2i =

n∑i=1

(yi − a0 − a1xi)2

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Ajuste de una lınea recta por mınimos cuadradosPara determinar los valores de a0 y a1, hay que derivar Sr conrespecto a cada uno de los coeficientes (a0, a1) e igual a cero:

∂Sr

∂a0= −2

n∑i=1

(yi − a0 − a1xi) = 0

∂Sr

∂a1= −2

n∑i=1

(yi − a0 − a1xi)xi = 0

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Ajuste de una lınea recta por mınimos cuadrados

0 =

n∑i=1

yi −n∑

i=1

a0 −n∑

i=1

a1xi

0 =

n∑i=1

yixi −n∑

i=1

a0xi −n∑

i=1

a1x2i

n∑i=1

yi = na0 +

(n∑

i=1

xi

)a1

n∑i=1

xiyi =

(n∑

i=1

xi

)a0 +

(n∑

i=1

x2i

)a1

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0 =

n∑i=1

yi −n∑

i=1

a0 −n∑

i=1

a1xi

0 =

n∑i=1

yixi −n∑

i=1

a0xi −n∑

i=1

a1x2i

n∑i=1

yi = na0 +

(n∑

i=1

xi

)a1

n∑i=1

xiyi =

(n∑

i=1

xi

)a0 +

(n∑

i=1

x2i

)a1

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a1 =

nn∑

i=1xiyi −

n∑i=1

xin∑

i=1yi

nn∑

i=1x2i −

(n∑

i=1xi

)2

a0 =

n∑i=1

yi

n− a1

n∑i=1

xi

n

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Ejemplo

Ejemplo 1Ajuste a una lınea recta los valores de x y y dados en lasiguiente tabla:

xi yi1 0.52 2.53 2.04 4.05 3.56 6.07 5.5

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Ejemplo

Solucion

clear ; clc ;x =[1 2 3 4 5 6 7 ] ;y= [ 0 . 5 2.5 2.0 4.0 3.5 6.0 5 . 5 ] ;n= length ( x ) ;sxy=sum( x .∗ y )sx2=sum( x .∗ x )sx=sum( x )sy=sum( y )a1=(n∗sxy−sx∗sy ) / ( n∗sx2−(sx ) ˆ 2 )a0=sy / n−a1∗sx / n

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Ejemplo

Solucion

% Solucion ejemplo 1sxy = 119.5000sx2 = 140sx = 28sy = 24a1 = 0.8393a0 = 0.0714y = 0.0714+0.8393∗x

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Programa MATLAB: linregr.m

Programa Matlab

function [ a ] = l i n r e g r ( x , y )% l i n r e g r : A jus te de curva con regres ion l i n e a l% Entrada : x , y−−−−Sal ida : a = [ a1 , a0 ]n = length ( x ) ;i f length ( y ) ˜=n , error ( ’ x−y d i f e r e n t e s long i tudes ’ ) ; endsx = sum( x ) ; sy = sum( y ) ;sx2 = sum( x .∗ x ) ; sxy = sum( x .∗ y ) ;a ( 1 ) = ( n∗sxy−sx∗sy ) / ( n∗sx2−sx ˆ 2 ) ;a ( 2 ) = sy / n−a ( 1 ) ∗sx / n ;% Ploteo de l a data y l i n e a rec ta a justadaxp = l inspace (min ( x ) ,max( x ) ,2 ) ;yp = a ( 1 ) ∗xp+a ( 2 ) ;plot ( x ’ , y ’ , ’ o ’ , xp , yp ) ; grid on

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Programa MATLAB: linregr.m

Ejemplo 1: Programa Matlab

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Regresion cuadratica por mınimos cuadrados

Regresion cuadratica por mınimos cuadradosProblema: Ajustar a un polinomio cuadratico(y = a0 + a1x+ a2x

2) el conjunto de puntos:(x1, y1),(x2, y2),· · · ,(xn, yn).El error (e) se puede determinar como:

e = y − a0 − a1x− a2x2

Para cada punto (xi, yi) se define un error ei.La estrategia para ajustar el polinomio cuadratico consiste enminimizar la suma de los cuadrados de los errores entre losvalores verdaderos y los valores aproximados. Esto es:

Sr =

n∑i=1

e2i =

n∑i=1

(yi − a0 − a1xi − a2x

2i

)2

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e = y − a0 − a1x− a2x2

Sr =

n∑i=1

e2i =

n∑i=1

(yi − a0 − a1xi − a2x

2i

)2

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e = y − a0 − a1x− a2x2

Sr =

n∑i=1

e2i =

n∑i=1

(yi − a0 − a1xi − a2x

2i

)2

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e = y − a0 − a1x− a2x2

Sr =

n∑i=1

e2i =

n∑i=1

(yi − a0 − a1xi − a2x

2i

)2

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Ajuste del polinomio cuadratico por mınimos cuadradosPara determinar los valores de a0, a1 y a2, hay que derivar Sr

con respecto a cada uno de los coeficientes (a0, a1, a2) e iguala cero:

∂Sr

∂a0= −2

n∑i=1

(yi − a0 − a1xi − a2x

2i

)= 0

∂Sr

∂a1= −2

n∑i=1

(yi − a0 − a1xi − a2x

2i

)xi = 0

∂Sr

∂a2= −2

n∑i=1

(yi − a0 − a1xi − a2x

2i

)x2i = 0

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Ajuste del polinomio cuadratico por mınimos cuadrados

n∑i=1

yi = na0 +

(n∑

i=1

xi

)a1 +

(n∑

i=1

x2i

)a2

n∑i=1

xiyi =

(n∑

i=1

xi

)a0 +

(n∑

i=1

x2i

)a1 +

(n∑

i=1

x3i

)a2

n∑i=1

x2i yi =

(n∑

i=1

x2i

)a0 +

(n∑

i=1

x3i

)a1 +

(n∑

i=1

x4i

)a2

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Programa para la solucion del sistema

clear ; clc ;syms a0 a1 a2 n sx sy sx2 sxy sx3 sx4 sx2y ;eq1=n∗a0+sx∗a1+sx2∗a2−sy ;eq2=sx∗a0+sx2∗a1+sx3∗a2−sxy ;eq3=sx2∗a0+sx3∗a1+sx4∗a2−sx2y ;[ a0 a1 a2 ]= solve ( eq1 , eq2 , eq3 , a0 , a1 , a2 )

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Solucion del sistema

a0=( sx2y∗sx2ˆ2−sxy∗sx2∗sx3−sx4∗sy∗sx2+sy∗sx3ˆ2−sx∗sx2y∗sx3+sx∗sx4∗sxy ) / ( sx4∗sxˆ2−2∗sx∗sx2∗sx3+sx2ˆ3−n∗sx4∗sx2+n∗sx3 ˆ 2 )

a1=( sx2 ˆ2∗ sxy+n∗sx2y∗sx3−n∗sx4∗sxy−sx∗sx2∗sx2y+sx∗sx4∗sy−sx2∗sx3∗sy ) / ( sx4∗sxˆ2−2∗sx∗sx2∗sx3+sx2ˆ3−n∗sx4∗sx2+n∗sx3 ˆ 2 )

a2=( sx2y∗sxˆ2−sxy∗sx∗sx2−sx3∗sy∗sx+sy∗sx2ˆ2−n∗sx2y∗sx2+n∗sx3∗sxy ) / ( sx4∗sxˆ2−2∗sx∗sx2∗sx3+sx2ˆ3−n∗sx4∗sx2+n∗sx3 ˆ 2 )

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Programa MATLAB: cuadregr.m

function [ a ] = cuadregr ( x , y )% cuadregr : A jus te de curva con regres ion cuadra t i ca% Entrada : x , y−−−−Sal ida : a=[a2 , a1 , a0 ]n = length ( x ) ;i f length ( y ) ˜=n , error ( ’ x−y d i f e r e n t e s long i tudes ’ ) ; endsx=sum( x ) ; sy=sum( y ) ; sx2=sum( x .∗ x ) ; sxy=sum( x .∗ y ) ;sx3=sum( x .∗ x .∗ x ) ; sx4=sum( x .∗ x .∗ x .∗ x ) ; sx2y=sum( x .∗ x .∗ y ) ;a ( 3 ) =( sx2y∗sx2ˆ2−sxy∗sx2∗sx3−sx4∗sy∗sx2+sy∗sx3ˆ2−sx∗sx2y

∗sx3+sx∗sx4∗sxy ) / ( sx4∗sxˆ2−2∗sx∗sx2∗sx3+sx2ˆ3−n∗sx4∗sx2+n∗sx3 ˆ 2 ) ;

a ( 2 ) =( sx2 ˆ2∗ sxy+n∗sx2y∗sx3−n∗sx4∗sxy−sx∗sx2∗sx2y+sx∗sx4∗sy−sx2∗sx3∗sy ) / ( sx4∗sxˆ2−2∗sx∗sx2∗sx3+sx2ˆ3−n∗sx4∗sx2+n∗sx3 ˆ 2 ) ;

a ( 1 ) =( sx2y∗sxˆ2−sxy∗sx∗sx2−sx3∗sy∗sx+sy∗sx2ˆ2−n∗sx2y∗sx2+n∗sx3∗sxy ) / ( sx4∗sxˆ2−2∗sx∗sx2∗sx3+sx2ˆ3−n∗sx4∗sx2+n∗sx3 ˆ 2 ) ;

% Ploteo de l a data y l i n e a rec ta a justadaxp = l inspace (min ( x ) ,max( x ) ,100) ;yp = a ( 3 ) +a ( 2 ) ∗xp+a ( 1 ) ∗xp . ˆ 2 ;plot ( x ’ , y ’ , ’ o ’ , xp , yp ) ; grid on