1. SCIENCES SUPAide-mmoire IUT Licence Master coles dingnieurs AIDE-MMOIRE TRAITEMENT DU SIGNAL Francis Cottet

2. TRAITEMENT DU SIGNAL

3. Illustration de couverture : Lionel Auvergne Nouvelle prsentation, 2005 Dunod, Paris, 2000 ISBN 2 10 049690 5

4. Seuls les esprits cultivs sont libres pictte, 1er sicle mes parents, Franoise, Joseph et Maza

5. Table des matiresAVANT-PROPOS XINOTATIONS ET ABRVIATIONS XIII PARTIE 1 : LE TRAITEMENT DES SIGNAUX ANALOGIQUESCHAPITRE 1 DFINITIONS ET REPRSENTATION DES SIGNAUX 31.1 Dnitions 31.2 Reprsentation des signaux 7CHAPITRE 2 TRANSFORMATIONS DE FOURIER 132.1 Analyse spectrale des fonctions priodiques 132.2 Analyse spectrale des fonctions non priodiques 24

6. VIII Table des matiresCHAPITRE 3 SYSTMES DE TRANSMISSION. FILTRAGE 313.1 Systmes de transmission 313.2 Filtrage 363.3 Corrlation 50CHAPITRE 4 MODULATION DES SIGNAUX 574.1 Introduction 574.2 Modulation damplitude 604.3 Modulation exponentielle 69CHAPITRE 5 SIGNAUX ALATOIRES. BRUIT 915.1 Signaux alatoires 915.2 Le bruit 100 PARTIE 2 : LE TRAITEMENT DES SIGNAUX NUMRIQUESCHAPITRE 6 NUMRISATION DES SIGNAUX 1116.1 chantillonnage 1116.2 Quantication du signal chantillonn 1316.3 Restitution du signal 135CHAPITRE 7 ANALYSE SPECTRALE DES SIGNAUX DISCRETS 1497.1 Les diffrentes reprsentations frquentielles 1497.2 Transforme de Fourier discrte 1517.3 Transforme de Fourier rapide 1567.4 Convolution et corrlation numriques 1637.5 Les fentres de pondration 167

7. Table des matires IXCHAPITRE 8 FILTRAGE NUMRIQUE 1798.1 Introduction 1798.2 Synthse des ltres numriques rponse impulsionnelle innie 1878.3 Synthse des ltres numriques rponse impulsionnelle nie 2028.4 Ralisation des ltres numriques 2058.5 Techniques avances de ltrage numrique 210ANNEXES 213A.1 Impulsion de Dirac 213A.2 Fonctions mathmatiques utilises en traitement du signal 216A.3 Transforme de Laplace 224BIBLIOGRAPHIE 227LEXIQUE ANGLAIS-FRANAIS 229INDEX 231

8. Avant-proposLe contenu et lorganisation de ce livre ont t dvelopps partir de lidedirectrice selon laquelle, dans une application de mesures, de tests ou decontrle dun procd physique, le concepteur se trouve confront deschoix de traitements des signaux mettre en uvre an de rpondre ces besoins. Lefcacit, leffet produit, la ncessit, la validit du rsultatsont autant de questions auxquelles il est difcile de rpondre sans uneconnaissance et une pratique minimum de la discipline que constitue letraitement du signal. Ce livre est compos de deux grandes parties : le traitement des signauxanalogiques (partie 1) et le traitement des signaux numriques (partie 2).Les cinq premiers chapitres sont consacrs aux bases du traitement dessignaux analogiques et les trois suivants traitent des signaux numriques. Le chapitre 1 prsente les dnitions ncessaires la comprhensionde louvrage. Il permet de plus de prciser les diffrentes reprsentationsdes signaux et de xer les notations utilises par la suite. Le chapitre 2 est

9. XII Avant-proposconsacr aux transformations de Fourier des signaux analogiques prio-diques et non priodiques qui constituent la base du traitement des signaux.Cette analyse spectrale des signaux analogiques permet de bien dcrire lareprsentation duale de tous signaux : temps et frquence. Le chapitre 3prsente la thorie gnrale des systmes de transmission et traite du l-trage analogique. Cette prsentation permet ainsi une extension tous lestypes de ltres et de sollicitations de ces ltres. Le chapitre 4 tudie undes aspects importants du traitement des signaux : la modulation. Les m-thodes les plus utilises y sont prsentes. Le chapitre 5 aborde le traite-ment des signaux alatoires en particularisant ltude au signal de bruit . La transformation des signaux analogiques en signaux numriques esttudie en dtail au chapitre 6. Ce chapitre, qui prsente en particulier lethorme dchantillonnage, est sans doute le plus important de cet ou-vrage. Le chapitre 7 est consacr lanalyse spectrale des signaux num-riques. Le chapitre 8 prsente les concepts de base du domaine trs richeque constitue le ltrage numrique avec des applications simples de di-verses mthodes. Laspect thorie du signal a volontairement t limit au strict n-cessaire pour la comprhension des modles utiliss. Les bases mathma-tiques indispensables et utiles sont rappeles avec un maximum de simpli-cit et de concision en annexe. Ce livre na pas pour but dtre un ouvrage exhaustif. Dans cet ouvrage,nous nous contenterons dune approche pragmatique. En effet, il existe denombreux ouvrages qui dcrivent de faon complte toutes les mthodeset techniques utilises dans le domaine du traitement du signal, sujet trsvaste et en constante volution. Par contre, il est destin aux tudiants quidsirent acqurir une formation de base dans les techniques du traitementdu signal. De plus cet ouvrage offre un outil de base tous les technicienset ingnieurs qui travaillent dans le domaine du test, de la mesure ou ducontrle de procds. Ainsi cet ouvrage permettra son lecteur de sinitierrapidement aux bases du traitement des signaux an de les mettre en uvrede faon pertinente.

10. Notations et abrviationsxy Produit de convolutionArctg (x) Fonction arctangenteb(t) Signal bruitcos(x) Fonction cosinusodaleCAN Convertisseur analogique-numriqueCNA Convertisseur numrique-analogiqueCovxy (t) Fonction de covarianceCxx (t) Fonction dautocorrlationCxy (t) Fonction dintercorrlation xe Fonction exponentielle nEsp [x ] Esprance de xn ou moment dordre n de la variable xf Frquence

11. XIV Notations et abrviationsF Transforme de FourierFFT Transforme de Fourier rapidegfen (t) Fonction de la fentre de pondrationh(t) Rponse impulsionnelle ou percusionnelle dun ltreH(f ), H(p) ou H(z) Fonction de transfert dun ltreJn (x) Fonction de Bessel de premire espce dordre nL Transforme de Laplacelog(x) Fonction logarithme base 10Ln (x) Fonction logarithme nprienm Moyenne temporelleOMA Onde module en amplitudeOMF Onde module en frquencep Frquence complexe (oprateur de Laplace)PgnT0 (x) Peigne de Dirac (suite de pic de Dirac)q Quantum de conversionrxy Coefcient de corrlations(t) Signal temporels (t) Complexe conjugu de la variable s(t)s (t) Moyenne temporelle du signal s(t)se (t) Signal temporel chantillonnse,P (t) Signal temporel chantillonn tronqu ou limit tem- porellementS(f ) Transforme de Fourier du signal s(t)Se (f ) Transforme de Fourier du signal chantillonn se (t)Se,P (f ) Transforme de Fourier du signal chantillonn tron- qu se,P (t)

12. Notations et abrviations XVsin(x) Fonction sinusodalesinc(x) Fonction sinus cardinal [sin(px)/(px)]sind (t) Rponse indicielle (rponse au signal u(t))Sxx (f ) Densit spectrale ou spectre en puissanceSxy (f ) Densit spectrale dinteractiont TempsTz Transforme en zTFD Transforme de Fourier discrteTe (= 1/Fe ) Priode dchantillonnage dun signalT0 (= 1/F0 ) Priode dun signalu(t) chelon unit ou fonction de HeavisideVe Tension dentreVs Tension de sortiewmk N Fonction ej2pkm/Nd(x) Pic de DiracGxy (t) Fonction de corrlation statistiqueLt (t) Fonction triangle de base gale tv, V Pulsation (= 2pf )Pt (x) Fonction porte de largeur tsx cart type de la variable x

13. PARTIE 1 Le traitementdes signaux analogiques

14. Chapitre 1 Dnitions et reprsentation des signaux1.1 DFINITIONS1.1.1 Dnitions de baseUn signal est la reprsentation physique de linformation quil transportede sa source son destinataire. Il sert de vecteur une information. Ilconstitue la manifestation physique dune grandeur mesurable (courant,tension, force, temprature, pression, etc.). Les signaux, considrs dansce livre, sont des grandeurs lectriques variant en fonction du temps s(t)obtenues laide de capteurs. Mais le traitement du signal sapplique tousles signaux physiques (onde acoustique, signal optique, signal magntique,signal radiolectrique, etc.). Le traitement dimages peut tre considrcomme une extension du traitement du signal aux signaux bidimensionnels(images).

15. 4 1 Dnitions et reprsentation des signaux Le bruit est dni comme tout phnomne perturbateur gnant la per-ception ou linterprtation dun signal, par analogie avec les nuisancesacoustiques (interfrence, bruit de fond, etc.). La diffrentiation entre lesignal et le bruit est articielle et dpend de lintrt de lutilisateur : lesondes lectromagntiques dorigine galactique sont du bruit pour un ing-nieur des tlcommunications par satellites et un signal pour les radioas-tronomes. La thorie du signal a pour objectif fondamental la description ma-thmatique des signaux. Cette reprsentation commode du signal per-met de mettre en vidence ses principales caractristiques (distributionfrquentielle, nergie, etc.) et danalyser les modications subies lors dela transmission ou du traitement de ces signaux. Le traitement du signal est la discipline technique qui, sappuyant surles ressources de llectronique, de linformatique et de la physique appli-que, a pour objet llaboration ou linterprtation des signaux. Son champdapplication se situe donc dans tous les domaines concerns par la percep-tion, la transmission ou lexploitation des informations vhicules par cessignaux. Le traitement de linformation fournit un ensemble de concepts per-mettant dvaluer les performances des systmes de transfert dinforma-tions, en particulier lorsque le signal porteur de message est bruit. Celainclut les mthodes de codage de linformation dans le but de la r-duction de redondance, de la correction des erreurs, de la condentialit(cryptage). Lensemble des concepts et mthodes dvelopps dans le trai-tement de linformation et du signal forme la thorie de la communica-tion.1.1.2 Principales fonctions du traitement du signalLes fonctions du traitement du signal peuvent se diviser en deux catgo-ries : llaboration des signaux (incorporation des informations) et linter-prtation des signaux (extraction des informations). Les principales fonc-tions intgres dans ces deux parties sont les suivantes :

16. 1.1 Dnitions 5 laboration des signaux : synthse : cration de signaux de forme approprie en procdant par exemple une combinaison de signaux lmentaires ; modulation, changement de frquence : moyen permettant dadapter un signal aux caractristiques frquentielles dune voie de transmission ; codage : traduction en code binaire (quantication), etc. Interprtation des signaux : ltrage : limination de certaines composantes indsirables ; dtection : extraction du signal dun bruit de fond (corrlation) ; identication : classement dun signal dans des catgories prala- blement dnies ; analyse : isolement des composantes essentielles ou utiles dun signal de forme complexe (transforme de Fourier) ; mesure : estimation dune grandeur caractristique dun signal avec un certain degr de conance (valeur moyenne, etc.).1.1.3 Les systmes numriquesLes qualits actuelles du traitement numrique de linformation conduisent son dveloppement pour rsoudre les problmes de contrle/commandede procds industriels. Le systme de traitement numrique, schmatissur la gure 1.1, va raliser la saisie de linformation, traiter ces informa-tions suivant un programme de contrle (rgulation, ltrage numrique,etc.) et daprs des valeurs de consignes entres par lutilisateur, envoyerdes signaux de commande au processus industriel pour atteindre le com-portement recherch. Le systme numrique prsente, en effet, un grandnombre davantages par rapport un contrle de processus par un systmeanalogique :

17. 6 1 Dnitions et reprsentation des signaux reproductibilit des systmes (circuits logiques) ; stabilit : pas de drive en temps ou en temprature ; adaptabilit et souplesse demploi (modication du programme) ; abilit : circuits trs grande intgration ; rapidit : jusqu 10 ms environ en temps rel. Les grandeurs physiques (mouvement mcanique, variation de temp-rature, etc.) lies aux procds physiques contrls mis en jeu doivent tretransformes en signaux analogiques lectriques (courant ou tension) : celaest le rle des capteurs ou transducteurs (quartz, thermocouple,...) dans lecas de la mesure. Inversement, la commande au niveau du processus estfaite laide dactionneurs ou rcepteurs (moteur, vanne,...) qui trans-forment le signal analogique lectrique reu en grandeurs physiques (ner-gie mcanique, chaleur, etc.). Procd Actionneur physique Capteur signal signal analogique analogique Interface de conversion Interface de conversion numrique/analogique numrique/analogique signal signal numrique numrique Systme numrique de contrle/commande Figure 1.1 Chane dacquisition et de restitution de donnes dun procd physique pilot par un systme numrique. Dans le cas des traitements par des systmes numriques, ces signauxanalogiques transmis ou reus seront transforms en signaux numriques.Ce rle est rempli par des interfaces lectroniques spcialises qui sontcomposes de diffrents lments : les convertisseurs analogiques-num-riques et numriques-analogiques, les chantillonneurs-bloqueurs, les

18. 1.2 Reprsentation des signaux 7multiplexeurs, les amplicateurs gain programmable, etc. Les fonctionsdu traitement numrique sont trs nombreuses : ltrage, analyse spectrale,modulation, dtection, estimation, transcodage, gnration de signaux, re-connaissance, correction, etc.1.2 REPRSENTATION DES SIGNAUX1.2.1 Modlisation des signauxUn signal exprimental est une grandeur physique et doit donc tre phy-siquement ralisable. Les mesures macroscopiques analogiques, ralises partir dappareils de mesures comme un oscilloscope, fournissent descourbes tension en fonction du temps du type de celle reprsente surla gure 1.2. Ces signaux physiques sont reprsents par des fonctions s(t) valeurs relles dune variable relle t. Par consquent, le signal possdeles caractristiques suivantes : nergie borne ; amplitude borne ; continu temporellement ; causal (s(t) = 0 pour t < 0) ; spectre du signal born (tend vers 0 lorsque f tend vers ). Mais sur le plan thorique, pour la commodit du calcul et ltude decertains phnomnes, les signaux sont reprsents par des fonctions : nergie thorique innie ; avec des discontinuits (signal carr) ; dnies sur R (signaux non causaux) ; spectre du signal inni ; valeurs complexes : s(t) = Ae jvt = A (cos vt + j sin vt) (1.1)

19. 8 1 Dnitions et reprsentation des signaux signal : s(t ) amplitude borne temps : t support born Figure 1.2 Reprsentation dun signal physique rel. Remarque : il est important de noter que lintroduction de tels mo- dles mathmatiques ncessite une interprtation des rsultats ob- tenus aprs traitement pour retrouver ensuite la ralit.1.2.2 Classication des signauxPour faciliter ltude des signaux, diffrents modes de classication peuventtre envisags : reprsentation temporelle des signaux ; reprsentation spectrale ; caractristique morphologique (signal continu ou discret).a) Reprsentation temporelle des signauxLa premire classication, base sur lvolution du signal en fonction dutemps, fait apparatre deux types fondamentaux : les signaux certains (ou dterministes) dont lvolution en fonction du temps peut tre parfaitement dcrite par un modle mathmatique. Ces signaux proviennent de phnomnes pour lesquels on connat les lois physiques correspondantes et les conditions initiales, permettant ainsi de prvoir le rsultat ;

20. 1.2 Reprsentation des signaux 9 les signaux alatoires (ou probabilistes) dont le comportement tempo- rel est imprvisible et pour la description desquels il faut se contenter dobservations statistiques. Parmi les signaux dterministes, on distingue les signaux priodiquesdont les signaux sinusodaux sont un cas particulier : s(t) = A sin 2p/T t + w (1.2)avec T la priode du signal et w la phase. Les signaux non priodiques se composent dune part des signaux pseudo-priodiques forms dune somme de sinusodes de priodes diffrentes etdautre part des signaux transitoires dont lexistence est limite dans letemps. Ces signaux certains peuvent en principe tre reproduits rigoureuse-ment identiques eux-mmes. Dans cet ouvrage nous nous intresseronsprincipalement ce type de signaux, except le signal dit de bruit, qui faitpartie de la deuxime catgorie. En ce qui concerne les signaux alatoires, ils sont dits stationnaireslorsque leur valeur moyenne est indpendante du temps, cest--dire queles rsultats de leur analyse statistique restent les mmes quel que soitle moment o lon en observe une partie dtermine. De plus ces signauxalatoires stationnaires sont ergodiques sil est identique de faire unemoyenne statistique un instant donn sur diffrents essais ou de faireune moyenne temporelle sufsamment longue sur un seul de ces essais.b) Classication spectraleUn signal peut tre class suivant la distribution de son amplitude, sa puis-sance ou son nergie en fonction de la frquence (spectre du signal). Ledomaine des frquences occup par son spectre est aussi appel la largeurde bande spectrale du signal DF (cf. gure 1.3) : DF = Fmax Fmin

21. 10 1 Dnitions et reprsentation des signaux puissance du signal F frquence : f Fmin Fmax Figure 1.3 Distribution spectrale dun signal avec la dnition de la largeur de bande spectrale D F. Cette caractristique, exprime en hertz (Hz), est absolue. Aussi il estncessaire de la comparer au domaine de frquences dans lequel se situele signal. En considrant la frquence moyenne Fmoy = (Fmax + Fmin )/2, onpeut distinguer deux types de signaux : les signaux bande troite avec DF/Fmoy petit (soit Fmax # Fmin ) ; les signaux large bande avec DF/Fmoy grand (soit Fmax Fmin ). Pour les signaux bande troite, il est possible de les classer par ledomaine de variation de la frquence moyenne Fmoy : Fmoy < 250 KHz signaux basses frquences (BF) 250 KHz < Fmoy < 30 MHz signaux hautes frquences (HF) 30 MHz < Fmoy < 300 MHz signaux trs hautes frquences (VHF) 300 MHz < Fmoy < 3 GHz signaux ultra hautes frquences (UHF) Fmoy > 3 GHz signaux super hautes frquences (SHF) Lorsque la frquence du signal devient trs grande, pratiquement su-prieure quelques trahertz (THz = 1012 Hz), la longueur donde lest le paramtre de rfrence (l = c/F avec c : vitesse de la lumire300 000 Km/s) : 700 nm < l < 0,1 mm signal lumineux infrarouge 400 nm < l < 700 nm signal lumineux visible 10 nm < l < 400 nm signal lumineux ultraviolet

22. 1.2 Reprsentation des signaux 11c) Les signaux analogiques et numriquesLe temps est un paramtre important de classication. Comme nous ve-nons de le voir, le traitement numrique des signaux conduit faire ladistinction entre les signaux dits temps continus (signaux continus) etles signaux dits temps discrets (signaux discrets ou chantillonns). Unautre paramtre des signaux traits est prendre en compte, cest lampli-tude qui peut aussi tre continue ou discrte (quantie). Ainsi quatre formes de signaux, qui se retrouvent dans un systme nu-mrique de contrle dun processus physique, peuvent tre distingues(cf. gure 1.4) : signal amplitude et temps continus (signal analogique) : s(t) ; signal amplitude discrte et temps continu (signal quanti) : sq (t). Ce signal correspond celui qui est fourni la sortie dun circuit convertis- seur numrique-analogique pour la commande dun actionneur ; signal amplitude continue et temps discret (signal chantillonn) : s(nTe ). Ce signal, obtenu laide dun circuit chantillonneur-bloqueur, est transmis un circuit convertisseur analogique numrique pour obte- nir un signal numrique utilisable par un ordinateur ; signal amplitude discrte et temps discret (signal logique ou num- rique) : sq (nTe ). Ce dernier cas correspond en ralit une suite de nombres cods en binaire. Ces nombres, utiliss au sein dun ordina- teur, se transmettent sous la forme de plusieurs signaux de type num- rique 0 V (0 logique) ou 5 V (1 logique) se propageant en parallle : 8 signaux pour un nombre cod sur 8 bits. On appelle numrisation dun signal lopration qui consiste faire passer un signal de la reprsentation dans le domaine des temps et des amplitudes continus au domaine des temps et des amplitudes discrets. Cette opration de numrisation dun signal peut tre dcompose endeux tapes principales : chantillonnage et quantication.

23. 12 1 Dnitions et reprsentation des signaux La restitution (ou linterpolation) constitue le processus inverse qui in-tervient lors du passage du signal numrique au signal analogique : com-mande dun actionneur. Ces trois tapes sont indissociables. En effet, le signal, tant le supportphysique dune information, doit conserver au cours de ces modicationstout le contenu informatif initial. Cette condition, ajoute la notion decot limite dun systme, va tre la base de la numrisation des signauxet de ltude du traitement numrique. signal analogique : s(t ) signal quantifi : sq (t ) amplitude amplitude temps temps signal chantillonn : s (nTe) signal numrique : s q (nTe ) amplitude amplitude temps temps Figure 1.4 Classication morphologique des signaux.

24. Chapitre 2 Transformations de Fourier2.1 ANALYSE SPECTRALE DES FONCTIONS PRIODIQUES2.1.1 Dveloppement en srie de FourierSi s(t) est une fonction priodique de t, de priode T0 (= 1/F0 ), elle peutscrire sous la forme dune somme de fonctions sinusodales et cosinu-sodales de frquences f multiple de la frquence F0 , dite frquence fon-damentale. Soit : s(t) = a0 + (an cos 2pnF0 t + bn sin 2pnF0 t) (2.1) n=1o an et bn sont les coefcients de la srie de Fourier. Ils se calculent partir des relations suivantes : T0 1 a0 = s(t) d t = s(t) (2.2) T0 0

25. 14 2 Transformations de Fourieravec a0 appel valeur moyenne ou composante continue T0 2 an = s(t) cos(2pnF0 t) d t pour n 1 (2.3) T0 0et T0 2 bn = s(t) sin(2pnF0 t) d t pour n 1 (2.4) T0 0 En introduisant la reprsentation complexe, nous pouvons donner uneforme plus gnrale de lexpression de ce dveloppement en srie de Fou-rier : + s(t) = S (nF0 ) e j2pnF0 t (2.5) n= T0 1 1avec S (nF0 ) = (an j bn ) = s(t) e j2pnF0 t d t pour n 1 2 T0 0et S (0) = a0 = s(t) (2.6) Le concept de frquence ngative na pas de signication physique. Ilpeut tre vu comme la traduction du sens de rotation de la vitesse angulaireou pulsation (v = 2p f ). Ainsi la fonction relle cos (vt) ou cos (2pft) peuttre exprime comme la somme de deux fonctions complexes dans le plancomplexe (cf. gure 2.1) : cos (vt) = 1/2 e jvt + ejvt Ces valeurs ngatives de la frquence sont introduites uniquement dansun but de rendre symtrique la fonction de reprsentation des frquences.Dans le cas de signaux rels, nous avons : an = an et bn = bn Les coefcients du dveloppement S(nF0 ) sont en gnral une grandeurcomplexe qui peut scrire sous la forme : S(nF0 ) = |S(nF0 )| e jwn (2.7)

26. 2.1 Analyse spectrale des fonctions priodiques 15avec pour module : |S(nF0 )| = a2 + b2 n n (2.8)et pour phase wn : wn = Arctg bn /an (2.9) Partie imaginaire e j t t Partie relle t e j t cos ( t )Figure 2.1 Introduction des frquences ngatives dans lexpression des signaux.2.1.2 Reprsentations frquentiellesLes coefcients S(nF0 ) reprsentent les composantes du spectre en fr-quence de s(t). En introduisant limpulsion de Dirac d(x) qui est dcriteen annexes, la reprsentation frquentielle du signal est forme de pics deDirac de poids |S(nF0 )| rparties sur tout laxe des frquences positiveset ngatives (cf. gure 2.2). Par convention, on dessine chaque raie en luidonnant une hauteur proportionnelle son poids |S(nF0 )| . Il est importantde noter que ce spectre S( f ) est en gnral complexe, form dune partierelle et dune partie imaginaire, et devrait donc tre reprsent dans unsystme trois dimensions : axe des frquences f , axe de la partie ima-ginaire Im {S( f )} et axe de la partie relle Re {S( f )}. Lexpression duspectre est la suivante : + S( f ) = S(nF0 ) d ( f nF0 ) (2.10) n= T0 1avec S (nF0 ) = s(t) e j2pnF0 t d t pour n 1 et S (0) = s(t) T0 0

27. 16 2 Transformations de Fourier La reprsentation frquentielle ou le spectre en frquence S( f ) du si- gnal s(t) est constitu de la composante continue la frquence 0, du fondamental la frquence F0 (ou harmonique dordre 1) et des diff- rents harmoniques aux frquences f = n F0 . Il est important de remar- quer que le spectre dune fonction priodique, de priode T0 (= 1/F0 ), est discontinu et compos de raies dont lcart minimum est, sur laxe des frquences, F0 . Cette reprsentation complexe du signal distribue donc, dans le domainefrquentiel, les contributions du signal symtriquement de part et dautrede lorigine sur laxe des frquences : cest la reprsentation spectrale bi-latrale S( f) (frquences positives et ngatives). S(f ) |S(F0 ) | |S(F0)| |S(nF0) | |S(2 F0) | |S(2 F0) | |S(nF0) | F0 |S(0)| f nF0 2F0 F0 0 F0 2F0 nF0 Figure 2.2 Reprsentation frquentielle bilatrale dun signal priodique de priode T0 (= 1/F0 ). Seule la reprsentation unilatrale Srel ( f ) (spectres composs de fr-quences positives uniquement), calcule directement partir des quations2.1 2.4 (srie de Fourier), est une reprsentation relle qui peut tre obte-nue partir danalyseurs de spectres ou de transformateurs de Fourier quiprsentent le module de ce spectre. partir de lexpression initiale 2.1,nous pouvons crire : s(t) = a0 + cn cos(2pnF0 t + wn ) (2.11) n=1avec cn = 2 |S(nF0 )| = 2 a2 + b2 n n

28. 2.1 Analyse spectrale des fonctions priodiques 17 Les coefcients cn reprsentent les amplitudes des composantes duspectre rel Srel ( f ) en reprsentation unilatrale (cf. gure 2.3). Il est trsais de passer de lune lautre des reprsentations par la relation suivante : S( f ) = k Srel ( f ) (2.12)avec k = {2 si f > 0 ; 1 si f = 0 ; 0 si f < 0}.2.1.3 Quelques propritsNous avons une correspondance unique entre la fonction x(t), son dvelop-pement en srie de Fourier et par consquent sa reprsentation spectraleX( f ). Nous crirons donc cette rciprocit sous la forme : F x(t) X( f )a) Proprit de linarit F Ftant donn x(t) X( f ) et y(t) Y( f ), nous avons : F A x(t) + B y(t) A X( f ) + B Y( f ) avec A et B des constantes S rel(f ) c1 cn a0 c2 frquence : f 0 F0 2F0 nF0 Figure 2.3 Reprsentation frquentielle unilatrale dun signal priodique de priode T0 (= 1/F0 ).b) Proprit de paritSi la fonction x(t) est paire, alors les coefcients bn sont nuls : T0 1 1 X (nF0 ) = an = x(t) cos (2pnF0 t) d t 2 T0 0

29. 18 2 Transformations de Fourier Si la fonction x(t) est impaire, alors les coefcients an sont nuls : T0 j j X (nF0 ) = bn = x(t) sin (2pnF0 t) d t 2 T0 0 Soit la fonction x(t) et X( f) sa reprsentation frquentielle, nous avons : Fonction x(t) Reprsentation frquentielle X( f ) relle paire relle paire relle impaire imaginaire impaire relle complexe (partie relle paire, partie imaginaire impaire)c) Proprit de translation Ftant donn x(t) X( f ), nous avons : F x(t u) X( f ) ej2pufet rciproquement : F X( f n) x(t) e+j2pnt2.1.4 Exemples de dveloppements en srie de FourierNous prsentons ci-aprs un ensemble de fonctions priodiques (de p-riode T0 = 1/F0 ) et de leurs dveloppements en srie de Fourier sousla forme dune reprsentation frquentielle bilatrale (partie imaginaire Im {S( f )} ou partie relle Re {S( f )}). Ainsi, partir de cette table et desproprits associes cette transformation, il est possible de dterminerla reprsentation spectrale de la plupart des fonctions priodiques usuellessans effectuer les calcul donns par les relations 2.1 2.4.a) Signaux sinusodaux et cosinusodaux Reprsentation temporelle Reprsentation spectrale Signal sinusodal :s(t) = A sin(2pF0 t) jA S( f ) = (d ( f + F0 ) d ( f F0 )) 2 (cf. gure 2.4)

30. 2.1 Analyse spectrale des fonctions priodiques 19 Reprsentation temporelle Reprsentation spectrale Signal cosinusodal :s(t) = A cos(2pF0 t) A S( f ) = (d ( f + F0 ) + d ( f F0 )) 2 (cf. gure 2.5)b) Signaux carrs Reprsentation temporelle Reprsentation spectrale Signal carr pair composante continuenulle : +s(t) = sc1 (t) 2A (1)p Sc1 ( f ) = d ( f (2p + 1) F0 )avec sc1 (t) = A pour t [T0 /2, T0 /4] p p= 2p + 1et sc1 (t) = A pour t [T0 /4,T0 /4] (cf. gure 2.6)et sc1 (t) = A pour t [T0 /4,T0 /2] Signal carr pair composante continue Sc2 ( f ) = 1/2 Sc1 ( f ) + A/2 d ( f )non nulle (= A/2) : As(t) = sc2 (t) Sc2 ( f ) = d ( f ) 2 +soit A (1)p + d ( f (2p + 1) F0 )sc2 (t) = 1/2 sc1 (t) + A/2 p p= 2p + 1 (cf. gure 2.7) Signal carr impair composante continuenulle : Sc3 ( f ) = Sc1 ( f ) e j2p(T0 /4) fs(t) = sc3 (t) Sc3 ( f ) +soit : 2A jsc3 (t) = sc1 (t + T0 /4) = d ( f (2p + 1) F0 ) p p= 2p + 1avec sc3 (t) = A pour t [0,T0 /2] (cf. gure 2.8)et sc3 (t) = A pour t [T0 /2,T0 ] Signal carr impair composante continue Sc4 ( f ) = 1/2Sc1 ( f )e j2p(T0 /4) f +A/2d ( f )non nulle (= A/2) : A Sc4 ( f ) = d ( f )s(t) = sc4 (t) 2 +soit : A j + d ( f (2p + 1) F0 )sc4 (t) = 1/2 sc1 (t + T0 /4) + A/2 p p= 2p + 1 (cf. gure 2.9)

31. 20 2 Transformations de Fourier Im{S(f )} Re{S(f )} A /2 A /2 F0 f f F0 0 F0 0 F0 A/2 Figure 2.4 Reprsentation Figure 2.5 Reprsentation spectrale bilatrale dun signal spectrale bilatrale dun signal sinusodal. cosinusodal. Re{Sc1(f )} Re{Sc 2(f )} A /2 2A/ A/ 3F0 3F0 f 3F0 3F 0 f F0 0 F0 F 0 0 F0 2A/3 A/3 Figure 2.6 Reprsentation Figure 2.7 Reprsentation spectrale bilatrale du signal carr spectrale bilatrale du signal carr pair sc1 (t). pair sc2 (t). Im{Sc3(f )} Im{Sc4(f )} A/2 2A/ A/ Re{Sc4(f )} 2A/3 A/3 F0 3F0 f F0 3F0 f 3F0 F0 0 3F0 F0 0 2A/3 A/3 2A/ A/ Figure 2.8 Reprsentation Figure 2.9 Reprsentation spectrale bilatrale du signal carr spectrale bilatrale du signal carr impair sc3 (t). impair sc4 (t).

32. 2.1 Analyse spectrale des fonctions priodiques 21c) Signaux impulsionnels Reprsentation temporelle Reprsentation spectrale Signal impulsionnel pair composante + 2At sin (pnF0 t)continue nulle : Si1 ( f ) = d ( f n F0 )s(t) = si1 (t) pour t < T0 T0 n= pnF0 t A d( f )avec si1 (t) = A pour t [T0 /2,t/2] sin (px)et si1 (t) = A pour t [t/2,t/2] (cf. annexes : fonction = sinc(x))et si1 (t) = A pour t [t/2,T0 /2] px 1 A Si2 ( f ) = Si1 ( f ) + d ( f ) Signal impulsionnel pair composante 2 2continue non nulle (= At/T0 ) : Si2 ( f ) +s(t) = si2 (t) At sin (pnF0 t) 1 A = d ( f n F0 )soit : si2 (t) = si1 (t) + T0 n= pnF0 t 2 2 (cf. gure 2.10) Si3 ( f ) = Si1 ( f ) e j2p(t/2) f Signal impulsionnel composante conti- + 2At sin (pnF0 t)nue nulle: Si3 ( f ) = s(t) = si3 (t) T0 n= pnF0 tsoit : si3 (t) = si1 (t + t/2) e jpnF0 t d ( f n F0 ) A d( f ) Signal impulsionnel composante conti- 1 A Si4 ( f ) = Si1 ( f ) e j2p(t/2) f + d ( f )nue non nulle (=At/T0 ) : 2 2 +s(t) = si4 (t) At sin (pnF0 t) 1 A Si4 ( f ) = e jpnF0 tsoit : si4 (t) = si1 (t + t/2) + T0 n= pnF0 t 2 2 d ( f n F0 ) Re{Si 2(f )} A /T0 sin( f ) f 4F0 4F0 3F0 3F0 f 6F0 F0 0 F0 6F0 2F0 2F0 2/ 1/ 1/ 2/Figure 2.10 Reprsentation spectrale bilatrale du signal impulsionnel pair si2 (t).

33. 22 2 Transformations de Fourier Remarque : le signal impulsionnel pair composante continue non nulle si2 (t) a pour limite la fonction peigne de Dirac PgnA (x) lorsque A tend vers linni, t vers 0 et en conservant le produit At gal 1 (cf. annexes).d) Signaux triangulaires Reprsentation temporelle Reprsentation spectrale Signal triangulaire pair composantecontinue nulle :s(t) = st1 (t) 4A + 1avec St1 ( f ) = d ( f (2p + 1) F0 ) p2 p= (2p + 1) 2 4Ast1 (t) = A + t pour t [T0 /2,0] T0 4Aet st1 (t) = A t pour t [0,T0 /2] T0 Signal triangulaire pair composante St2 ( f ) = 1/2 St1 ( f ) + A/2 d ( f ) +continue non nulle (= A/2) : 2A 1 St2 ( f ) = 2 d ( f (2p + 1) F0 )s(t) = st2 (t) p p= (2p + 1) 2soit A + d(f)st2 (t) = 1/2 st1 (t) + A/2 2 Signal triangulaire impair composantecontinue nulle : St3 ( f ) = St1 ( f ) e j2p(T0 /4) f +s(t) = st3 (t) j4A (1) p St3 ( f ) = 2 d ( f (2p + 1) F0 )soit : p p= (2p + 1) 2st3 (t) = st1 (t + T0 /4) Signal triangulaire impair composante 1 A St4 ( f ) = St1 ( f ) e j2p(T0 /4) f + d ( f )continue non nulle (= A/2) : 2 2 +s(t) = st4 (t) j2A (1) p St4 ( f ) = 2 d ( f (2p + 1) F0 )soit : p p= (2p + 1) 2 1 A Ast4 (t) = st1 (t + T0 /4) + + d(f) 2 2 2

34. 2.1 Analyse spectrale des fonctions priodiques 23e) Signaux divers Reprsentation temporelle Reprsentation spectrale Signal rampe impair composante conti-nue nulle : +s(t) = sr1 (t) jA (1) n Sr1 ( f ) = d ( f nF0 )avec p n=,n=0 n 2Asr1 (t) = t pour t [T0 /2,T0 /2] T0 Signal rampe composante continue nonnulle (= A/2) : + jA 1 Sr2 ( f ) = d ( f nF0 )s(t) = sr2 (t) 2p n n=,n=0avec A 1 A + d(f)sr2 (t) = sr1 (t + T0 /2) + 2 2 2 Signal dent de scie ou rampe inverse composante continue non nulle (= A/2) : + jA 1 Sr2 ( f ) = d ( f + nF0 )s(t) = sr3 (t) 2p n n=,n=0avec A 1 A + d(f)sr3 (t) = sr1 (t + T0 /2) + 2 2 2 2A Signal sinusodal redress double alter- S( f ) = d(f)nance : p + 2A 1s(t) = A |sin(2pF0 t)| d ( f 2pF0 ) p p=,p=0 4p2 1 Signal sinusodal redress simple alter-nance : A jAs(t) = ssa (t) S( f ) = d(f) d ( f F0 ) p 4 +avec A 1 + d ( f 2pF0 ) ssa (t) = A sin (2pF0 t) pour t [0,T0 /2] p p=,p=0 4p2 1et ssa (t) = 0 pour t [T0 /2,T0 ]

35. 24 2 Transformations de Fourier2.2 ANALYSE SPECTRALE DES FONCTIONS NON PRIODIQUES2.2.1 Transforme de FourierOn peut considrer la transforme de Fourier des fonctions non-priodiquescomme une extension de la transformation prcdente pour laquelle la p-riode est innie. Lintervalle de frquence F0 tend alors vers zro et lespectre devient alors une fonction continue. Do, la transforme de Fou-rier de s(t), note S( f ) ou F{s(t)}, et la transforme de Fourier inverse,note F 1 {S( f )} : + S( f ) = s(t) ej2pf t d t (2.13) et + s(t) = S( f ) e+j2pf t d f (2.14) S( f ) est une fonction de f , en gnral complexe, qui comprend doncune partie relle Re [S( f )] et une partie imaginaire Im [S( f )] : + Re [S( f )] = s(t) cos (2p ft) d t (2.15) et + Im [S( f )] = s(t) sin (2p ft) d t (2.16) Pour que la transforme de Fourier de s(t) existe et soit rciproque, ilsuft que s(t) soit une fonction de carr sommable. Cela signie que s(t),ainsi que sa transforme de Fourier, sont nergie nie. Toutes les fonc-tions existant physiquement vrient ces conditions parce quon les ob-serve sur un temps ni.2.2.2 Proprits de la transforme de FourierNous avons une correspondance unique entre la fonction x(t) et sa transfor-me de Fourier X( f ) ou reprsentation spectrale. Nous crirons donc cette

36. 2.2 Analyse spectrale des fonctions non priodiques 25rciprocit sous la forme : F x(t) X( f ) Nous retrouvons les mmes proprits que pour le dveloppement ensrie de Fourier.a) Proprit de linarit F Ftant donn x(t) X( f ) et y(t) Y( f ), nous avons : F A x(t) + B y(t) A X( f ) + B Y( f ) avec A et B des constantesb) Proprit de paritSoit la fonction x(t) et X( f ) sa reprsentation frquentielle, nous avons : Fonction x(t) Reprsentation frquentielle X( f ) relle paire relle paire relle impaire imaginaire impaire relle complexe (partie relle paire, partie imaginaire impaire) imaginaire paire imaginaire paire imaginaire impaire relle impaire imaginaire complexe (partie relle impaire, partie imagi- naire paire) F tant donn x(t) X( f ), nous avons : F x(t) X(f ) avec x signiant le complexe conjugu

37. 26 2 Transformations de Fourierc) Proprit de translation Ftant donn x(t) X( f ), nous avons : F x(t u) X( f ) ej2pufEt rciproquement : F X( f n) x(t) e+j2pntd) Proprit dhomothtie Ftant donn x(t) X( f ), nous avons : F x(a t) 1/ |a| X(/a) avec a Re) Proprit de drivation Ftant donn x(t) X( f ), nous avons : d x(t) F (j2pf ) X( f ) dtet plus gnralement : d n x(t) F (j2pf )n X( f ) d tn De cette proprit de drivation, on en dduit la transforme des signaux valeur moyenne nulle qui facilite le calcul du spectre de signaux commecelui de la fonction chelon unit u(t). Soit un signal x(t) de la forme : x(t) = Ax + x0 (t) avec x0 (t) de valeur moyenne nulle Nous pouvons crire : t d x0 (t) x(t) = Ax + dt avec Ax la constante dintgration dt

38. 2.2 Analyse spectrale des fonctions non priodiques 27 d x0 (t) F tant donn X0 ( f ), il vient : dt F x(t) 1/( j2p f ) X0 ( f ) + Ax d ( f )2.2.3 Exemples de transformes de FourierNous prsentons ci-aprs un ensemble de fonctions non priodiques et deleurs transformes de Fourier. Ainsi, partir de cette table des transfor-mes de Fourier et des proprits associes cette transformation, il estpossible de dterminer la reprsentation spectrale de la plupart des fonc-tions usuelles sans effectuer le calcul intgrale donn par la relation 2.13. Reprsentation temporelle Reprsentation spectrale Fonction porte : sin (p f t)s(t) = A.Pt (t) S( f ) = A t = A t sinc ( f t) pf tavec Pt (t) = 1 pour t [t/2, + t/2] sin (px) (cf. annexes : fonction = sinc(x))et Pt (t) = 0 pour t [t/2, + t/2] px Fonction sinus tronque (limite linter- S( f )valle [t/2, + t/2] : jAt sin (pt ( f + F0 )) sin (pt ( f F0 )) s(t) = A sin (2pF0 t) Pt (t) = 2 pt ( f + F0 ) pt ( f F0 ) Fonction cosinus tronque (limite lin- S( f )tervalle [t/2, + t/2] : A t sin (pt ( f + F0 )) sin (pt ( f F0 )) s(t) = A cos (2pF0 t) Pt (t) = + 2 pt ( f + F0 ) pt ( f F0 ) Fonction sinus cardinal: A sin (p tt) S( f ) = Pt ( f )s(t) = A sinc ( tt) = A t p tt Fonction sinusodale de variable quadra- p ptique : S( f ) = A cos (pf )2 /a +s(t) = A sin a t2 a 4 Fonction cosinusodale de variable quadra-tique : p p S( f ) = A cos (pf )2 /a s(t) = A cos a t2 a 4

39. 28 2 Transformations de Fourier Reprsentation temporelle Reprsentation spectrale Fonction triangle:s(t) = A L2t (t) S( f ) = A t [sinc (t f )]2avec L2t (t) = 1 + t/t pour t [t,0] sin (pt f ) 2L2t (t) = 1 t/t pour t [0, + t] =At pt fet L2t (t) = 0 pour t [t, + t] Fonction sinus cardinal quadratique : A sin (pnt) 2 S( f ) = L2n ( f )s(t) = A [sinc (nt)]2 = A n pnt Fonction exponentielle symtrique : 2Aa S( f ) =s(t) = A ea|t| avec a > 0 a2 + 4p2 f 2 Fonction rapport du second ordre : A As(t) = 2 avec a > 0 S( f ) = ea| f | a + 4p2 t2 2ado le cas particulier : As(t) = avec a > 0 S( f ) = A p e2p| f | 1 + t2 Fonction dHeaviside ou chelon unit :s(t) = u(t) 1 1 S( f ) = + d(f)avec u(t) = 0 pour t < 0 j2p f 2et u(t) = 1 pour t 0 Fonction signe : ts(t) = sgn(t) = 1 |t| S( f ) =avec sgn(t) = 1 pour t < 0 et sgn(t) = 1 jp fpour t 0 Drive de la fonction signe : d (sgn(t)) S( f ) = 2s(t) = = 2 d (t) dt Fonction exponentielle dcroissante : As(t) = A u(t) eat avec a > 0 S( f ) = a + j2p f

40. 2.2 Analyse spectrale des fonctions non priodiques 29 Reprsentation temporelle Reprsentation spectrale Fonction impulsionnelle exponentielle : A (b a)s(t) = A u(t) eat ebt avec a > 0 S( f ) =et b > 0 (a + j2p f ) (b + j2p f ) Fonction sinusodale amortie : A (2pF0 ) S( f ) =s(t) = A u(t) sin (2pF0 t) eat avec a > 0 (a + j2pf )2 + (2pF0 )2 Fonction cosinusodale amortie : A (a + 2p f ) S( f ) =s(t) = A u(t) cos (2pF0 t) eat avec a > 0 (a + j2p f )2 + (2pF0 )2 A Fonction cosinusodale causale : S( f ) = d ( f + F0 ) + d ( f F0 ) 4s(t) = A u(t) cos (2pF0 t) 2f + 2 jp f 2 F0 jA Fonction sinusodale causale : S( f ) = d ( f + F0 ) d ( f F0 ) 4s(t) = A u(t) sin (2pF0 t) 2jf + 2 p f 2 F0 Fonction rampe amortie par une gaus-sienne : 2 2s(t) = A t ept S( f ) = A j f epf Fonction rampe centre :s(t) = 1 pour t t/2 1 sin (pt f ) 1 S( f ) = + d(f)s(t) = 1/2 + t/t pour |t| < t/2 j2p f pt f 2s(t) = 0 pour t = t/2 Fonction gaussienne : 2 2s(t) = A ept S( f ) = A epf Fonction gaussienne quelconque: p (pf )2 2 S( f ) = A e as(t) = A eat a Pic de Dirac : S( f ) = 1s(t) = d(t)

41. 30 2 Transformations de Fourier Reprsentation temporelle Reprsentation spectrale Pic de Dirac de poids A : S( f ) = As(t) = A.d(t) Fonction constante : S( f ) = A d ( f )s(t) = A Peigne de Dirac de priode T0 : S( f ) = F0 PgnF0 ( f ) + +s(t) = PgnT0 (t) = d (t k T0 ) = F0 d ( f k F0 ) k= k= + +s(t) = T0 PgnT0 (t) = T0 d (t k T0 ) S( f ) = PgnF0 ( f ) = d ( f k F0 ) k= k= Fonction exponentielle complexe : S( f ) = A d ( f F0 )s(t) = A ej2pF0 t Pic de Dirac en t = T0 : S( f ) = A ej2pT0 fs(t) = A d (t T0 ) Remarques : la fonction chelon unit u(t) permet en particulier de rendre un signal quelconque s(t) causal en ralisant le produit s(t) u(t). La fonction porte Pt (t) permet de dcouper dans un signal une portion de dure nie. Cette opration conduit transfor- mer un signal thorique (reprsentation mathmatique) en un signal rel nexistant que pendant un temps ni de dure t, correspondant au temps de mesure ou dobservation.

42. Chapitre 3 Systmes de transmission. Filtrage3.1 SYSTMES DE TRANSMISSION3.1.1 Dnitions et propritsa) Comparaison des grandeurs dentre et de sortieUn systme de transmission fait correspondre un signal dentre e(t)quelconque un signal de sortie s(t), rponse du systme de transmission,fonction du signal dentre e(t) et des caractristiques du systme de trans-mission. Pour le systme de transmission, on ralise une comparaison desgrandeurs dentre et de sortie en exprimant le rapport des puissances desdeux grandeurs (de mme nature). Le logarithme base 10 de ce rapport

43. 32 3 Systmes de transmission. Filtrageest alors exprim en bel ; mais lunit pratique est le dcibel (abrvia-tion db) : Adb = 10 log10 s(t)/e(t) (3.1) Si on compare pour un appareil (par exemple un amplicateur), les puis-sances dentre et de sortie, le rapport en puissance est donn par : Adb = 10 log10 Ps /Pe (3.2)avec un gain si Adb > 0 et un affaiblissement si Adb < 0. Si on exprime ce rapport en puissance en fonction des tensions Ve et Vsaux bornes des charges rsistives identiques, on obtient : Adb = 20 log10 Vs /Ve (3.3) Cette convention permet dexprimer, par un mme nombre, le rapport entension et le gain en puissance si les rsistances (ou impdances) dentreet de sortie sont identiques. Quelques valeurs utiles sont donnes dans letableau ci-aprs : Rapport des tensions Vs /Ve 1/10 1/2 1/ 2 2 10 100 Gain ou affaiblissement en db 20 6 3 6 20 40b) Bande passanteCette comparaison des puissances ou tensions dentre et de sortie dunsystme de transmission est utilise lorsque lon veut tudier linuencedune autre grandeur : par exemple la frquence. On considre une tension sinusodale, fournissant lentre supposersistive (indpendante de la frquence), une puissance moyenne constantequelle que soit la frquence : Pe constant. On tudie lvolution de la puis-sance de sortie sur une charge rsistive en fonction de la frquence :Ps = Ps ( f ). Ps passe par un maximum Psm qui est considr comme unerfrence. La courbe ainsi obtenue reprsente la rponse du systme detransmission une entre xe en fonction de la frquence.

44. 3.1 Systmes de transmission 33 On appelle bande passante du systme de transmission la zone de fr-quences pour lesquelles on a Ps /Psm < 0,5 ou Adb = 3 db. Ainsi labande passante 3 db est la tranche des frquences pour lesquelleslaffaiblissement de la puissance de sortie, puissance entrante constante,est infrieur 3 db par rapport sa valeur maximale (cf. gure 3.1).Si lon applique cette dnition pour les tensions, on obtient un rapport tension sortie / tension maximale (Vs /Vsm ) devant tre suprieur ou degal 1/ 2 ( 0,7). On dnit galement une bande passante 6 db(Vs /Vsm = 0,5). Vs /V sm Ps /Psm Adb Bande passante 3 db 1 1 0 f 0,7 0,5 -3 Figure 3.1 Bande passante 3 db dun systme de transmission.c) Proprit dun systme de transmissionNous allons nous intresser des systmes de transmission qui possdentles trois proprits suivantes : linarit, continuit et stationnarit. Systmes linairesEn considrant s1 (t) rponse e1 (t) et s2 (t) rponse e2 (t), le systme detransmission, not S.T., est dit linaire si : S.T. a e1 (t) + b e2 (t) a s1 (t) + b s2 (t) Il est important de remarquer que presque tous les systmes sont li-naires pour les faibles signaux (premire approximation). Dautre part,une des consquences de la linarit est que, pour prvoir la rponse

45. 34 3 Systmes de transmission. Filtrageune action quelconque, il suft de connatre la rponse pour une collec-tion dnombrable de signaux dentre. Lextension de la proprit de li- S.T.narit scrit de la faon suivante : si ei (t) si (t) , alors : + + S.T. e (t) = ai ei (t) s (t) = ai si (t) i=1 i=1 Systmes continusSoit sn (t) la suite des rponses paramtres par n en (t), le systme est ditcontinu si nous avons la proprit suivante S.T. lim en (t) lim sn (t) n+ n+ Remarque : il est intressant de noter quun intgrateur pur est un systme continu, mais pas un drivateur pur . Systmes stationnairesUn systme est stationnaire si son comportement est indpendant de lori-gine du temps, donc, si s(t) est la rponse e(t) : S.T. e (t u) s (t u) Les ltres sont dnis comme des systmes de transmission linaires, continus et stationnaires.3.1.2 La convolutiona) DnitionUne impulsion brve, injecte lentre dun systme de transmission li-naire, continu et stationnaire, donne en sortie un signal de dure nie.Cette rponse est appele rponse impulsionnelle (ou percussionnelle) dultre et note h(t). Dans le cas gnral, cest--dire pour signal dentre

46. 3.1 Systmes de transmission 35quelconque, nous avons une relation mathmatique qui lie le signal den-tre e(t) et le signal de sortie s(t) pour un systme de transmission pos-sdant les trois proprits vues prcdemment ou ltre, not S.T.-L.C.S.,soit : + S.T.-L.C.S. e (t) s (t) = e (t) h (t t) d t = e (t) h (t) (3.4) Cette opration, appele convolution et note , exprime la rponse un signal quelconque partir de celle un signal type (rponse impul-sionnelle) ; la rponse dpend du ltre, caractris par h(t), et de lhis-toire du signal. Le calcul de la convolution est complexe. Il ncessite denombreuses tapes de calculs : pour chaque point de la rponse s(t), il estncessaire dlaborer la fonction h(t t), symtrique de la rponse impul-sionnelle par rapport laxe des ordonnes et dcale temporellement, puisle produit par le signal dentre e(t) et enn lintgration sur la variable t. Les ltres, qui sont dnis comme des systmes de transmission li- naires, continus et stationnaires, sont des systmes de convolution.b) Proprits commutativit : x y = y x associativit : x (y z) = (x y) z distributivit par rapport laddition : x (y + z) = x y + x z lment neutre (pic de Dirac) : x d = d x = xc) Thorme de PlancherelLa relation trs importante entre la transforme de Fourier et le produit deconvolution snonce sous la forme du thorme suivant : La transforme de Fourier dun produit de convolution est un produit simple et rciproquement.

47. 36 3 Systmes de transmission. Filtrage Ainsi, pour deux signaux x(t) et y(t) ayant pour transformes de Fourierrespectives X( f ) et Y( f ), nous avons : F F x (t) y (t) X ( f )Y ( f ) et x (t)y (t) X ( f ) Y ( f ) (3.5 et 3.6)d) Convolution des signaux priodiquesPour deux signaux priodiques rels x(t) et y(t) de priode T0 , on dnit laconvolution de la manire suivante : T0 1 Pconv (t) = x (t) y (t t) d t (3.7) T0 03.2 FILTRAGE3.2.1 Fentrage temporela) Principes gnrauxLe terme de ltrage est habituellement utilis dans le domaine frquen-tiel. Aussi dans le domaine temporel, nous parlerons plus de fentrage, quede ltrage, temporel qui peut tre dni comme lopration consistant prlever, interrompre ou seulement attnuer un signal. Ainsi, le signal desortie s(t) est le produit du signal dentre e(t) et de la fonction temporelledu ltre ou de la fentre g(t) : s (t) = e (t) g (t) La modication quentrane ce fentrage temporel au niveau du spectrede e(t) est donne en appliquant le thorme de Plancherel la relationprcdente : F s (t) = e (t) g (t) S ( f ) = E ( f ) G ( f ) (3.8) Par consquent, pour un ltre de fonction temporelle g(t) quelconque, lespectre du signal de sortie sera diffrent de celui du signal dentre cons-quence du produit de convolution. Ainsi les actions temporelles telles que

48. 3.2 Filtrage 37le prlvement dun signal (cas de toutes mesures ralises pendant untemps ni) ou linterruption (interrupteur mont sur le circuit dun haut-parleur) ou encore lattnuation (attnuation ralise pendant un temps ni laide dun potentiomtre rglant le volume du son) sont des ltres oufentrages temporels qui vont modier le spectre du signal. Dans le premier cas (dcoupage dune tranche temporelle dun signal),si la dure t, dite dure de la mesure, tend vers linni, nous pouvonsvrier la cohrence de la relation 3.8 ; tant donn que g(t) = 1 pourtout t, il vient : F g (t) = 1 G ( f ) = d ( f )donc s (t) = e (t) g (t) = e (t) pas de modication du signalet S(f) = E (f)d(f) = E (f) pas de modication du spectreb) Mesure dun signalLenregistrement par un appareil ou le traitement par ordinateur dun signalimpose un temps ni au signal quil soit analogique ou chantillonn. Ceproblme de la dure nie dun signal est celui de la mesure. Pour modliser cette troncature temporelle du signal, on utilise la fonc-tion porte temporelle Pt (t) de largeur t. Comme nous lavons vu la trans-forme de Fourier de cette fonction porte est la fonction sinus cardinalsinc(tf ) (cf. chapitre 2). Ainsi, les relations de modications du signal dues la mesure sur une dure nie t sont : sin (ptf ) s (t) = e (t) Pt (t) et S(f) = E (f) ptf Linuence de cette fentre temporelle sur le signal et sur son spectrepeut tre trs importante. Plus lobservation ou la mesure du signal seralongue et plus le spectre du signal sera prcis, cest--dire peu perturb parcette fentre temporelle physiquement invitable. Prenons lexemple dun signal cosinusodal pur de priode T0 . Le spectrede ce signal est reprsent par deux pics de Dirac situs aux frquences F0

49. 38 3 Systmes de transmission. Filtrageet F0 . Soit : F 1 e(t) = cos(2pF0 t) E ( f ) = [d ( f + F0 ) + d ( f F0 )] 2 En utilisant les relations prcdentes, on obtient le signal mesur s(t)(cest--dire e(t) tronqu et limit t) et son spectre S( f ) : s (t) = cos (2pF0 t) Pt (t)et t sin (pt ( f + F0 )) sin (pt ( f F0 )) S( f ) = + 2 pt ( f + F0 ) pt ( f F0 ) Nous obtenons ainsi un spectre form de deux fonctions de type sinccentres sur les frquences F0 et F0 (cf. gure 3.2). Dans le cas gnral dun signal priodique quelconque avec un spectreform dun ensemble de raies de diverses importances, le fentrage tem-porel, cest--dire la mesure dun tel signal, conduit un spectre formde la somme de toutes les fonctions sinc places au niveau des frquencesexistantes avec une amplitude proportionnelle limportance de la raie. Cersultat peut conduire une interprtation errone du spectre : distinctionimpossible de deux frquences proches, localisation dune frquence sansexistence relle, etc. Remarque : il est donc important de constater que le spectre dun signal tronqu temporellement, cest--dire mesur sur un temps ni (cas rel), va tre modi dans le sens o chaque composante du spectre sera transforme en une forme sinc(x). Ce rsultat cor- respond au principe dincertitude : une connaissance complte du signal sur laxe des temps conduit une dtermination prcise dans le domaine frquentiel alors quune connaissance limite temporel- lement du signal induit un ou sur la dtermination du spectre de ce signal. Une tude complte de cet effet de fentrage temporel et des moyens de le limiter est faite dans le chapitre 7.

50. 3.2 Filtrage 39 S(f ) spectre modifi : /2 sinc( f ) spectre initial f F0 0 F0 Figure 3.2 Modication du spectre en frquence dun signal sinusodal par une troncature temporelle ou mesure.3.2.2 Filtrage frquentiela) Thorme fondamental des ltresLes termes de ltre ou de ltrage sappliquent en gnral plus des sys-tmes dnis par un produit dans lespace des frquences. De la mmemanire que dans le domaine temporel, nous parlerons de ltrage frquen-tiel comme lopration consistant prlever, interrompre ou seulement at-tnuer tout ou partie des composantes frquentielles dun signal. Ainsi, lespectre S( f ) du signal de sortie s(t) est le produit du spectre E( f ) signaldentre e(t) et de la fonction frquentielle du ltre H( f ) : S(f) = E (f) H (f) La modication quentrane ce ltrage frquentiel au niveau de la re-prsentation temporelle e(t) est donne en appliquant le thorme de Plan-cherel la relation prcdente : F S ( f ) = E ( f ) H ( f ) s (t) = e (t) h (t) (3.9) Le thorme fondamental des ltres sappuie sur la dnition mme desltres comme systmes de convolution. Le ltre est dni par sa rponseimpulsionnelle, note h(t), et par sa fonction de transfert, note H( f ) ou

51. 40 3 Systmes de transmission. FiltrageH(p) rciproquement transforme de Fourier ou de Laplace de h(t) (cf. an-nexes). La rponse s(t) dun tel ltre un signal dentre e(t) est donnepar les oprations des relations 3.9, soit : Convolution dans lespace temps + s (t) = e (t) h (t) = e (t) h (t t) d t (3.10) Produit dans lespace des frquences (transforme de Fourier ou deLaplace) : S(f) = E (f) H (f) ou S (p) = E (p) H (p) (3.11) De plus, dans la pratique, un ltre sera souvent caractris par sa r-ponse indicielle sind (t), cest--dire sa rponse un chelon unit u(t) : + sind (t) = u (t) h (t) = u (t) h (t t) d t (3.12) 0 La relation de base 3.10 peut prendre diffrentes formes suivant les ca-ractristiques temporelles des signaux e(t) et h(t) : h(t) causal (ltre ralisable : cf. paragraphe suivant) : t s (t) = e (t) h (t t) d t e(t) causal (exemple du signal u(t) chelon unit ) : + s (t) = e (t) h (t t) d t 0 e(t) et h(t) causaux : t s (t) = e (t) h (t t) d t 0 partir de ces relations, il est possible de dterminer la rponse uneaction ou signal dentre quelconque. Mais il peut tre trs intressant de passer dans le domaine frquentielpour dterminer la rponse, car lopration raliser est alors un produit