4.1

4.Equation Chapter 4 Section 1 AFFIDABILITÀ IN TERMINI DI SOLLECITAZIONE E

RESISTENZA _________________________________________________________________ 4.1

1 L’AFFIDABILITÁ E L’ANALISI SFORZO-RESISTENZA ____________________________ 4.4

1.1 Affidabilità come PrR L S ______________________________________________________ 4.5

1.2 Affidabilità come Pr 0R S L __________________________________________________ 4.7

1.3 Affidabilità come Pr 1S

RL

_____________________________________________________ 4.16

2 Determinazione del tempo di burn-in ________________________________________________4.18

3 METODO MONTECARLO _______________________________________________________4.21

4 Prove accelerate di durata _________________________________________________________4.24

4.1 Esempio di prova HALT _______________________________________________________________ 4.27

5 Elemento soggetto a carichi ripetuti (Cenni) __________________________________________4.29

4. EQUATION CHAPTER 4 SECTION 1 AF-

FIDABILITÀ IN TERMINI DI SOLLECITA-

ZIONE E RESISTENZA

Per una azienda meccanica l'acquisizione ed il mantenimento di una posizione di suprema-

zia nel mercato richiede il lancio di prodotti tecnologicamente avanzati, altamente affidabili

e, allo stesso tempo, economici. Inoltre, è indispensabile arrivare sul mercato con tempi di

sviluppo sufficientemente brevi, affinché l'esigenza del prodotto nuovo sia ancora attuale.

Questo comporta il contenimento dei tempi di progettazione e di industrializzazione del pro-

dotto oltre al contenimento dei costi in modo da rendere l'offerta competitiva. La compres-

sione dei tempi e dei costi comporta, a sua volta, l'esigenza di sviluppare attività progettuali

preventive in grado di stimare l'affidabilità già durante la fase di progettazione: non è più

possibile, infatti, per aumentare la qualità del prodotto, affidarsi al solo collaudo, che com-

porta costi elevati e non garantisce completamente dall‟assenza di difettosità del prodotto. È,

dunque, necessario rivedere e correggere il processo di progettazione, introducendo nuove

metodologie in grado di valutare l'affidabilità di un prodotto già fin dalle prime fasi della

4.2

sua ideazione: all'insieme delle attività necessarie allo sviluppo di un prodotto intrinseca-

mente affidabile, viene dato il nome di progettazione affidabilistica.

Scopo della progettazione affidabilistica è dunque quello di costruire un prodotto avente

prestabiliti obiettivi di affidabilità, cioè un prodotto in grado di svolgere una data funzione,

sotto date condizioni operative ed ambientali e per un dato periodo di tempo.

In genere, quindi, nella progettazione affidabilistica i problemi sono posti stabilendo i requi-

siti affidabilistici in termini di affidabilità o di probabilità di rottura, dimensionando il pezzo

in modo da ottenere tali requisiti. Nella progettazione meccanica tradizionale, invece, si fis-

sa il coefficiente di sicurezza (detto anche d‟ignoranza) e si esegue il calcolo dimensionale.

In entrambi i casi, si ha a che fare con proprietà dei materiali, con dimensioni dei compo-

nenti e con sollecitazioni esterne applicate che non sono deterministiche (i.e. caratterizzate

da un sol valore), ma mentre nella progettazione meccanica tradizionale si fronteggia tale

situazione mediante il coefficiente di sicurezza (detto, quindi, anche d‟ignoranza poiché na-

sconde l‟ignoranza del progettista relativamente alle proprietà del materiale, alle dimensioni

dei componenti ed alle sollecitazioni esterne applicate), nella progettazione affidabilistica, a

partire dalla conoscenza delle curve di distribuzione probabilistica delle caratteristiche di

sollecitazione e di resistenza, si accetta una finita (e piccola) probabilità di rottura nel di-

mensionamento del componente.

Appare, quindi, chiaro che per una progettazione affidabilistica di un componente sono ne-

cessarie 3 informazioni:

1) Distribuzione di probabilità della sollecitazione.

2) Distribuzione di probabilità delle caratteristiche di resistenza.

3) Il valore, ovviamente, della probabilità di rottura accettabile (PR) o dell‟affidabilità

minima richiesta (R*); evidentemente risulta PR + R

*=1.

Prima di cominciare con la trattazione teorica, è bene svolgere qualche piccola considera-

zione sugli aspetti prima citati.

Distribuzione di probabilità della sollecitazione. Il carattere statistico delle sollecitazioni

applicate su un elemento d‟interesse varia di volta in volta e non può essere generalizzato.

Esempi di variabilità delle sollecitazioni possono essere dati dalla variabilità delle correnti

marine (progettazione di argini), dalle irregolarità del manto stradale (progettazione di so-

spensioni di un autoveicolo), dai cambiamenti nell‟intensità e nella direzione della velocità

del vento (progettazione di riduttori per generatori eolici),… La variabilità di queste solleci-

tazioni sarà, ai fini progettuali, trasformata in una distribuzione di probabilità delle solleci-

tazioni, mediante ipotesi, idealizzazioni e approssimazioni.

Distribuzione di probabilità delle caratteristiche di resistenza. Le caratteristiche di resi-

stenza dell‟elemento d‟interesse dipendono fortemente dalle proprietà di resistenza mecca-

4.3

nica del materiale di cui esso è costituito e dalle sue effettive dimensioni. Per quanto con-

cerne la variabilità delle proprietà meccaniche, per calcoli affidabilistici di primo tentativo

ci si può riferire alle tabelle seguenti:

Coefficiente di variazione C (/)

Resistenza a rottura per materiali metallici 0.05

Resistenza a snervamento per materiali metallici 0.07

Limite di resistenza a fatica per l'acciaio 0.08

Durezza Brinell per l'acciaio 0.05

Tenacità alla frattura per materiali metallici 0.07

Resistenza a rottura MPa Resistenza a snervamento

MPa

Materiale Condizione

alluminio

PAIMglSiCu UNI6 170-68 Fogli 317 13 290 20

alluminio Ergal55/7075

UNI3735 Fogli/barre 586 23 523 26

acciaio legato inox

XSCrNimO UNI16900-71

Ricotto Bar-

re 586 28 262 26

acciaio C20 UNI533I-64 Barre trafilate

a freddo 606 39 537 41

magnesio AZ31B

ASTM B90 Piatti 283 26 165 26

Modulo d‟Elasticità lineare

Media (GPa) Coefficiente di variazione C (/)

Acciaio 207 0.21

Alluminio 69 0.21

Titanio 101 0.62

Ghisa sferoidale 159 0.28

Per quanto concerne, invece, le tolleranze dimensionali, diverse normative considerano che

il campo di tolleranza corrisponda al campo 3 attorno al valore atteso . Se la distribuzio-

ne di probabilità della dimensione del pezzo è di tipo gaussiano, la deviazione standard può

essere calcolata dalla tolleranza L della misura nominale L (che coinciderà col valore atte-

so della distribuzione dimensionale), mediante la semplice relazione: =L/3. Nell‟ambito

della variabilità della distribuzione gaussiana, non più del 0.27% dei valori cade fuori dalla

tolleranza L=3. In generale quando non si conosce la distribuzione di probabilità della

4.4

sollecitazione o della resistenza è possibile utilizzare la distribuzione gaussiana: questa di-

stribuzione, infatti, si dimostra essere conservativa (i.e. pone il progettista in condizioni di

maggiore sicurezza) rispetto alle altre possibili distribuzioni utilizzabili (ad esempio, la log-

normale).

Valore della probabilità di rottura accettabile PR. Allo stato attuale, questa quantità è

fissata in maniera molte volte empirica, senza altre considerazioni sul costo, sulla sicu-

rezza e sull‟impatto ambientale.

1 L’AFFIDABILITÁ E L’ANALISI SFORZO-

RESISTENZA

É noto che un elemento meccanico arriva a rottura quando la sollecitazione dovuta ai carichi

applicati supera le sue capacità di resistenza. Come già accennato in precedenza, in generale

le sollecitazioni applicate e le capacità di resistenza dei dispositivi non sono grandezze co-

stanti ma variano con leggi di distribuzione e per tener conto delle variazioni sia dei cari-

chi applicati sia delle caratteristiche di resistenza che, nella progettazione tradizionale, è

stato introdotto il concetto di ''coefficiente di sicurezza". Una valutazione affidabilistica più

efficace può essere eseguita se sono note le leggi di distribuzione della sollecitazione e della

capacità di resistenza con specifico riferimento alle condizioni operative ed ambientali. E'

possibile in questo modo determinare le probabilità che la sollecitazione che agisce sul

dispositivo sia più bassa della capacità di resistenza dello stesso. La principale differenza

tra la progettazione probabilistica rispetto a quella tradizionale consiste, quindi, nel fatto che

la prima riconosce che esiste una finita probabilità di rottura, nella progettazione classica,

invece, questa possibilità è nascosta dal coefficiente di sicurezza.

Ad ogni tempo, si può definire l‟affidabilità R di un componente come la probabilità che la

sua resistenza S (Strength) risulti maggiore della sollecitazione cui è sottoposto L (Load):

. Questa relazione si può esprimere in altri due modi, equivalenti al primo, ma

che permettono di mettere in luce alcuni aspetti interessanti della progettazione affidabilisti-

ca: e

R P L S

0R P S L 1SL

R P

4.5

1.1 Affidabilità come PrR L S

Se per l‟elemento in esame è nota la funzione densità di probabilità della resistenza,

fS(S), e quella della sollecitazione, fL(L), si può calcolare la sua affidabilità mediante la

seguente espressione:

(4.1)

dove a e b sono rispettivamente il minimo e il massimo valore della sollecitazione (sforzo)

in corrispondenza dei quali la funzione densità di probabilità della sollecitazione assume

valori diversi da zero, mentre l'estremo c è collocato in corrispondenza del massimo valore

della resistenza S per il quale la p.d.f. della resistenza assume valori diversi da zero.

Fig. 1. Particolare della curva di carico e di resistenza.

Infatti, come si vede dalla Fig. 1, la probabilità che nella realtà occorra uno sforzo compreso

in un intervallo dL nell'intorno di un prescelto valore L1 è data da:

(4.2)

La probabilità che la resistenza dell‟elemento sia superiore al valore L1 è data da:

( ) ( )b c

LS

a L

R f S dS f L dL

L,S

fS,f

L

fS(S)

fL(L)

L1

dL

1 11 1 1( )

2 2L

dL dLp L L L f L dL

4.6

(4.3)

Poiché gli eventi espressi dalle due precedenti relazioni sono tra loro indipendenti, la proba-

bilità che l‟elemento non si rompa, quando il livello della sollecitazione è pari L1, è data dal

prodotto delle due precedenti probabilità:

(4.4)

La precedente equazione rappresenta l‟affidabilità elementare, data dalla probabilità che il

componente non si rompa allorché il livello di sollecitazione è nell'intorno di L1.

L‟affidabilità complessiva è data dalla somma di tutte le affidabilità elementari, associate ad

un valore del carico compreso (teoricamente) tra 0 e , vale dire è data dalla somma di tan-

ti termini, come quelli espressi nella (4.4), per diversi valori della sollecitazione applicata:

(4.5)

La relazione (4.1) si ottiene dalla (4.5) semplicemente considerando intervalli, per così dire

fisici di variazione per il livello di sollecitazione e per la capacità di resistenza. Nonostante

ciò, allorché le espressioni delle funzioni di densità di probabilità sono note analiticamente

e, al fine di determinare l'affidabilità di progetto è possibile utilizzare la (4.5) in luogo della

(4.1). Il valore della affidabilità così calcolato rappresenta la previsione, in sede progettuale,

della probabilità di sopravvivenza del componente soggetto ad una distribuzione di solleci-

tazione data da fL e caratterizzato da una distribuzione di resistenza data da fS. Ovviamente,

l‟integrale espresso dalla (4.5) si calcola il più delle volte numericamente. A tal proposito è

molto utilizzato il seguente procedimento che consiste nel discretizzare il carico L e ricavare

per ogni suo valore, la funzione 𝑋 𝐿 = 𝑓𝐿 𝐿 𝑑𝐿𝐿

0= 𝐹𝐿 𝐿 e la funzione 𝑌 𝐿 =

𝑓𝑆 𝑆 𝑑𝑆∞

𝐿= 1− 𝐹𝑆 𝐿 . L‟affidabilità corrisponde all‟integrale 𝑅 = 𝑌𝑑𝑋

1

0, ovvero

all‟area sottesa dalla curva Y(X).

Esempio: Si considerino dati sperimentali relativi alla cinghia di una macchina utensile. Si

hanno a disposizione dati riguardanti dieci valori di carico cui essa è sottoposta e dodici va-

lori di resistenza misurati entrambi sperimentalmente. Determinare l‟affidabilità.

Cap4_RInte.m

1

1 ( )S

L

p S L f S dS

1

1( ) ( )S L

L

dR f S dS f L dL

0

( ) ( )S L

L

R f S dS f L dL

4.7

Si può procedere ricavando le curve limite che rappresentano teoricamente i dati rilevati

sperimentalmente o si può calcolare l‟affidabilità valutando direttamente le probabilità cu-

mulate in maniera ovviamente approssimata.

É evidente, inoltre, che la probabilità di rottura PR si calcola immediatamente dalla (4.5) o

dalla (4.1), giacché risulta: PR=1-R.

1.2 Affidabilità come Pr 0R S L

Secondo questo tipo di formulazione, l‟affidabilità del componente, in sede progettuale, è

definita come la probabilità che sia positiva la differenza tra la caratteristica di resistenza e

l‟attuale stato di sollecitazione. Essendo note le funzioni di distribuzione di probabilità dello

stato di sollecitazione fL e della capacità di resistenza fS , in termini di valore

atteso e varianza, sono immediatamente calcolabili, in base alle formule dell‟algebra delle

variabili casuali, il valore atteso e la deviazione standard della distribuzione di probabilità

Q=S-L. Risulta:

2 2

Q L S (4.6)

Ne deriva che, secondo questa formulazione dell‟affidabilità progettuale, essa è data

dall‟area sottesa dalla distribuzione fQ per valori positivi della variabile casuale Q.

Si può allora scrivere che l‟affidabilità è data dall‟integrale:

(4.7)

2, LL 2, SS

LSQ

[MPa]

f() S

L

Q=S-L

0

d

QR f Q dQ

4.8

dove d è il limite superiore di fQ: tipicamente, se si utilizzano distribuzioni di probabilità no-

te, il limite superiore coincide con +.

Da un punto di vista operativo, come detto in precedenza, se non si conosce la vera distribu-

zione di probabilità dello stato di sollecitazione e della capacità di resistenza, si può utilizza-

re la distribuzione gaussiana. Nel caso in cui, quindi, la distribuzione fL e la fS siano gaus-

siane, allora anche la distribuzione fQ lo è, con valore atteso e deviazione standard dati da

(4.6). Essendo la fQ gaussiana, per il calcolo dell‟affidabilità (pari all‟area sottesa dalla cur-

va fQ per Q>0), ci si serve della variabile standardizzata:

se Q=0, allora 0

2 2Q

Q L S

Q S Lz SM

(4.8)

La quantità SM è detta margine di sicurezza (safety margin) e rappresenta il corrispettivo

del coefficiente di sicurezza per la progettazione affidabilistica; in realtà è proprio il

margine di sicurezza che esprime l‟“ammontare” della sicurezza in una verifica sforzo–

resistenza e non il coefficiente di sicurezza.

Appare chiaro che fissata l‟affidabilità, pari all‟area in grigio della figura precedente o di

quella seguente, è immediatamente noto il valore di SM; fissato questo, si dimensiona il

componente in modo che i suoi valori di S e 2

S siano tali da soddisfare la (4.8).

;Q

Q Qz

L

Sn

R

Q

FQ(Q)

4.9

È il margine di sicurezza che fornisce l‟idea di quanto il dimensionamento sia sicuro e non il

coefficiente di sicurezza; per mostrare tale circostanza ci si può servire del seguente esem-

pio. Si consideri una verifica di resistenza nella quale le popolazioni di carico L e di resi-

stenza S sono così caratterizzate:

L: , LL (100; 50)

S: , SS (200;30)

Il coefficiente di sicurezza del componente è 2. Il margine di sicurezza del sistema è SM =

2 2

L S

S L

= 1.715, ne risulta che la probabilità di cedimento è data da Fn(-SM)=1-Fn(SM)=1-

0.9568=0.04318 (circa il 4%).

Se le popolazioni hanno i seguenti parametri:

L: (300; 50)

S: (600;30)

A parità di coefficiente di sicurezza (2) il margine di sicurezza è ben maggiore SM = 5.15 e

la probabilità di rottura scende a 1.3024·10-7

.

Considerando il caso:

L: (300; 50)

S: (400;30)

Il margine di sicurezza SM è ancora 1.715 e quindi, la probabilità di rottura è del circa 4%,

ma il coefficiente di sicurezza è sceso a 1.33, con uno scarto relativo di circa il 50%, dimo-

–SM

fn(z) R

4.10

strando la sua inadeguatezza nel fornire un‟indicazione vera della probabilità di evitare rot-

ture.

1.2.1 Tipiche situazioni affidabilistiche

Si possono presentare 3 situazioni tipiche, rappresentate nelle figure seguenti, circa il valore

del margine di sicurezza SM:

1.2.1.1 Alto SM

Il valore di SM è elevato (Figura 4-1), le distribuzioni di probabilità della sollecitazione e

della capacità di resistenza sono entrambe strette (bassi valori delle rispettive deviazioni

standard). L‟affidabilità è intrinsecamente elevata e non ci sono pericoli di rottura. Una con-

dizione di questo tipo è il frutto di controlli di qualità in grado di limitare la variabilità dello

stato di sollecitazione e della capacità di resistenza.

f()

resistenza

carico

Figura 4-1. Alto Margine di sicurezza.

1.2.1.2 Basso SM dovuto alla resistenza

Il valore del margine di sicurezza è basso (Figura 4-2), la curva della distribuzione di proba-

bilità della capacità di resistenza ha un‟ampia deviazione standard. Per condizioni di carico

anche non estreme si può avere la rottura del componente, viste le ampie zone in cui la cur-

va di sollecitazione è superiore a quella di resistenza. In questo caso, un‟adeguata metodo-

logia di controllo di qualità può ridurre la deviazione standard della curva di resistenza. Si

4.11

possono in alternativa eseguire prove di sovrasollecitazioni1 (queste prove possono risultare

onerose) sui dispositivi per eliminare la zona di sovrapposizione delle due distribuzioni (ed

avere così componenti con una diversa curva di distribuzione della resistenza): l‟affidabilità

dei componenti sopravvissuti sarà sicuramente più elevata eliminando i componenti deboli

caratteristici della “mortalità infantile”. Per eseguire tale tecnica, però, è necessario che i

sovraccarichi non danneggino i componenti che hanno superato il test. L‟esecuzione di una

prova di sovrasollecitazione determina una distribuzione tronca come in Figura 4-3: l‟area

sottesa dalla curva è ancora unitaria, ma non è più possibile una trattazione analitica. Un ti-

pico esempio di prova di sovrasollecitazione meccanica è la prova di scoppio o la prova i-

draulica per i serbatoi o bombole di stoccaggio del gas.

f()

resistenza

carico

Figura 4-2. Basso margine di sicurezza dovuta alla eccessiva variabilità delle

proprietà di resistenza.

1 Tali prove sono eseguite soprattutto in alcune applicazioni, dove i sistemi di test sono integrati a quelli produttivi, si pensi ad esem-pio a schede o componenti elettronici: si identificano condizioni di esercizio simulate (carico, temperatura,…) ad un livello tale per cui i componenti più deboli presentino l’immediata avaria consentendone lo scarto.

4.12

Figura 4-3. Distribuzione tronca di resistenza dopo una sovrasollecitazione.

1.2.1.3 Affidabilità nel caso di sovrasollecitazione

Considerando la Figura 4-3, s‟immagini che un test sia in grado di eliminare tutti i compo-

nenti che presentano una resistenza minore del valore prefissato S‟. Si può utilizzare la pro-

babilità che la capacità di resistenza sia maggiore di S‟ per calcolare la nuova ' ( )Sf S :

'

( ') ( )S S

S

R S f S dS

La nuova distribuzione dovrà ovviamente avere un‟area unitaria:

' '

'

( )

( ) 1( ')

S

SS

SS

f S dS

f S dSR S

; per cui, portando la costante ( ')SR S sotto il segno

d‟integrale, la nuova distribuzione è: ' ( )( )

( ')

SS

S

f Sf S

R S . In questo caso, l‟affidabilità si de-

termina mediante la seguente:

0

( )

( )'

S

LL

S

f S dS

R f L dLR S

S, L

f

f 'S

fS

S'

fL

4.13

Dividendo l‟integrale del carico da 0 a in 0-S‟ e S‟-:

'

0 '

1( ) ( ) ( )

'

S

L S L

S S L

R f L dL f S dS f L dLR S

(4.9)

Il primo termine della precedente nasce dal considerare che: 0, '

1( )

'S

S L S

f S dSR S

=

'

0, '

( ) S

L S

f S dS

=1, giacché il precedente integrale si può così scrivere:

'

' '

0, ' '

( ) + ( )

S

S S

L S S

f S dS f S dS

, il primo termine è sempre nullo, giacché si è provveduto ad

eliminare tutti i componenti con S<S‟, mentre il secondo è per definizione pari ad 1.

La (4.9), nel caso di distribuzione di partenza gaussiana, si può quindi scrivere:

'

'

0

'

1 ( )

( )

( )

L

S

S L S L

Sn

n

S S

F L f L dL

R f z dz

f z dz

Della precedente espressione è possibile calcolare semplicemente tutto eccetto che il nume-

ratore del secondo termine che va valutato numericamente con un calcolatore. Si noti che,

integrando l‟espressione che fornisce la distribuzione di probabilità tronca della resistenza,

per questa distribuzione si può ricavare la seguente espressione per la funzione cumulata:

𝐹𝑆′ 𝑆 =

𝐹𝑆 𝑆 −𝐹𝑆 𝑆′

𝑅𝑆 𝑆′

1.2.1.4 Basso SM dovuto alla sollecitazione

Si ha ancora un basso margine di sicurezza SM (Figura 4-4), ma questa volta a causa della

grande variabilità della curva di sollecitazione. Questa costituisce sicuramente la situazione

più critica dal punto di vista dell‟affidabilità. Il margine di sicurezza si può aumentare spo-

stando il valore medio della distribuzione di resistenza verso valori più elevati (dimensio-

nando, ad esempio, con più generosità il componente o utilizzando diversi materiali). Quan-

do possibile, si può anche intervenire sulla variabilità della sollecitazione mediante dei limi-

tatori di carico (limitatori di corrente in circuiti elettronici, valvole di massima portata in

circuiti idraulici o pneumatici, valvola di sicurezza per serbatoio con vapore d‟acqua in

pressione, …). Si noti che i limitatori di carico sono dispositivi di due tipi:

4.14

Inibiscono il funzionamento se il carico è superiore ad un prefissato valore (caso

dell‟ascensore): sono dispositivi di sicurezza.

Limitano il carico massimo sollecitante: si parla di dispositivi di „massima‟.

Figura 4-4. Basso margine di sicurezza dovuto alla eccessiva variabilità delle

condizioni di carico.

Figura 4-5. Effetto dei limitatori di carico.

f()

resistenza

carico

L, S

f

f 'L

fL

L'

fS

4.15

Procedendo come prima, nell‟ipotesi che le curve di distribuzione iniziali siano gaussiane, si

determina l‟affidabilità come:

'

0

'

'

0

1 ( )

( )

( )

L

S

L

L S

n L L

L S

n

F S f S dS

R f z dz

f z dz

Si noti che in questo caso, la nuova funzione di distribuzione di probabilità della sollecita-

zione ha la seguente espressione: ' ( )( )

( ')

LL

L

f Lf L

F L .

1.2.2 Loading Roughness

Un‟altra grandezza utilizzata nell‟ambito della progettazione affidabilistica è il loading rou-

ghness (che si può tradurre con dispersione del carico):

2S

2L

LLR

Il LR è un‟indicazione dell‟influenza della variabilità del carico L su quella dell‟intera di-

stribuzione Q ( 2 2

Q L S ). Il LR è sempre compreso tra 0 ed 1; nelle figure seguenti si

riportano le situazioni limite:

LR = 0: la variabilità è tutta da imputare alle caratteristiche di resistenza.

LR = 1: la variabilità è tutta da imputare alle caratteristiche di sollecitazione.

-100 0 100 200 300 400 500 600 [MPa]

f() SLQ=S-L LR=0

4.16

Il valore di LR può essere utilizzato per decidere quale deve essere la via migliore da intra-

prendere per migliorare l‟affidabilità: se LR è basso, si dovrà agire sulle caratteristiche di

resistenza, riducendone la varianza o spostandone il valore medio), mentre se è alto, si potrà

aumentare l‟affidabilità mediante prove di accettazione o limitatori di carico.

1.3 Affidabilità come Pr 1S

RL

Utilizzando quest‟ultima espressione per calcolare l‟affidabilità, è possibile evidenziare la

relazione tra affidabilità e coefficiente di sicurezza. Poiché le probabilità che nella realtà oc-

corra un certo valore della sollecitazione L e della capacità di resistenza S sono state rappre-

sentate mediante le funzioni fL e fS, è possibile ricavare anche la probabilità che si verifichi

un certo valore dell‟attuale coefficiente di sicurezza, dato dal rapporto tra la capacità di resi-

stenza ed il carico applicato: F = S/L. La quantità F è essa stessa una variabile casuale cui si

può associare la distribuzione di probabilità fF avente (per le formule dell‟algebra delle va-

riabili casuali) valore atteso e deviazione standard date da:

S

FL

; 2 2 2 2

2

1F L SS L

L (4.10)

L‟affidabilità è pari a: R= 1

Ff F dF

; cioè pari all‟area rappresentata nella figura seguente:

-100 0 100 200 300 400 500 600 [MPa]

f() SLQ=S-L LR=1

4.17

In pratica, l‟estremo superiore può essere limitato qualora si abbia a che fare con distribu-

zioni non analitiche.

Anche in questo caso, per calcolare operativamente l‟affidabilità, si ricorre all‟utilizzo della

distribuzione normale standardizzata (si ricordi che, anche se la fL e la fS sono distribuite se-

condo una gaussiana, a rigore, la F non è distribuita gaussianamente, ma si è soliti compor-

tarsi come se lo fosse). Si utilizza, inoltre, questo tipo di formulazione quando le variabili

aleatorie sono distribuite secondo una lognormale: in tal caso, il logaritmo del rapporto di S

e L è distribuito secondo una gaussiana ed è facile calcolare l‟affidabilità utilizzando le soli-

te tabelle della standardizzata ed in questo caso non si commette alcuna approssimazione

nella valutazione dell‟affidabilità. Infatti, la variabile aleatoria 𝑙𝑛𝑋 = 𝑙𝑛𝑆

𝐿= 𝑙𝑛𝑆 − 𝑙𝑛𝐿 è di-

stribuita secondo una gaussiana, essendo gaussiane le variabili aleatorie lnS e lnL. Se lnX è

gaussiana, X è distribuita secondo una lognormale, con parametri caratteristici della distri-

buzione 𝜇𝑙𝑛𝑋 e 𝜎𝑙𝑛𝑋 . La variabile aleatoria 𝑧 =𝑙𝑛𝑋 −𝜇 𝑙𝑛𝑋

𝜎𝑙𝑛𝑋 è chiaramente distribuita secondo

una standardizzata. Ciò vuol dire che per l‟affidabilità 𝑅 = 𝑓𝑋 𝑋 𝑑𝑋∞

1= 𝑓𝑧 𝑧 𝑑𝑧

∞

𝑧1, do-

ve 𝑧1 =𝑙𝑛1−𝜇 𝑙𝑛𝑋

𝜎𝑙𝑛𝑋= −

𝜇 𝑙𝑛𝑆 −𝜇 𝑙𝑛𝐿

𝜎𝑙𝑛𝑆2 +𝜎𝑙𝑛𝐿

2. Mediante le formule precedenti, noti i parametri delle di-

stribuzioni della resistenza e del carico, basta calcolare il coefficiente z1: l‟affidabilità si cal-

colerà con le tabelle della gaussiana standardizzata semplicemente come R=1-Fn(z1).

fF(F)

PR

R

4.18

Figura 4-6 Legame tra l’attuale coefficiente di sicurezza e l’affidabilità in funzio-

ne della deviazione standard di F

La Figura 4-6, infine, mostra l‟andamento dell‟affidabilità in funzione di S

FL

(vale a dire

del coefficiente di sicurezza relativo ai valori medi) al variare di F: si possono avere eleva-

te affidabilità anche con piccoli valori del coefficiente di sicurezza, a patto che la variabilità

dello stato di sollecitazione e/o della capacità di resistenza siano piccole (i.e. F piccolo).

2 DETERMINAZIONE DEL TEMPO DI BURN-IN

Può capitare che esistano prodotti il cui iniziale tasso di guasto anziché essere costante o

crescente è decrescente: questo accade tipicamente per i prodotti dell‟industria elettronica:

in tali circostanze, e solo in queste, è conveniente usare la pratica del burn-in che consiste

nel sollecitare il componente per un certo periodo al fine di eliminare dal ciclo produttivo

quelli che sono più deboli. Infatti, la decrescenza del tasso di guasto è dovuta al fatto che,

per ragioni produttive non evitabili (altrimenti, semplicemente, si eviterebbero!), sono rea-

lizzati prodotti di caratteristiche più scadenti, che, se posti in funzione, si romperebbero per

4.19

primi. Lo scopo del burn-in è proprio quello di evitare di mettere in commercio o di far a-

vanzare nella catena produttiva tali prodotti al fine di avere un dispositivo finale, o un si-

stema, più affidabile. Il burn-in propriamente detto consiste in una fase di test, più o meno

lunga, tesa ad eliminare dal lotto i prodotti più difettosi. Quello che interessa in questa sede

determinare è il periodo ottimale di burn-in necessario per raggiungere una certa affidabilità

di missione prefissata.

Indicato con Tburn-in il tempo di burn-in incognito e con Tmis il tempo di missione e con Robb

l‟affidabilità che si intende raggiungere per il dato tempo di missione, è noto che

l‟affidabilità di un componente per una missione di Tmis dopo che esso ha lavorato per un

tempo t=Tburn-in è data da:

( )

( )

mis burn inmis burn in

burn in

R T TR T T

R T

(4.11)

Si desidera determinare la precedente affidabilità in modo che essa risulti maggiore o uguale

a quella obiettivo Robb. A tale scopo si applica la relazione (4.11) per diversi tempi di burn-

in e si termina il calcolo non appena è soddisfatta l‟uguaglianza mis burn in obbR T T R .

Il seguente esempio può essere d‟aiuto per illustrare la metodologia esposta. Si consideri un

lotto di prodotti la cui vita a rottura è esprimibile mediante due distribuzioni di Weibull: la

prima con parametri 1 e 1, la seconda con 2 e 2. Inoltre, solo N1 prodotti del lotto su N

sono ben descritti dalla prima distribuzione, mentre gli altri N2 sono meglio descritti dalla

seconda2 (N1+N2=N). La distribuzione di probabilità a rottura del lotto è ben descritta dalla:

1 21 2

1 2

1 1

1 1 2 2

1 1 2 2

( )

t t

N Nt tf t e e

N N

Mentre l‟affidabilità da:

1 2

1 21 2( )

t tdf t N N

R t e edt N N

.

Immaginando di sottoporre il lotto ad un periodo di burn-in di durata Tburn-in, l‟affidabilità

del prodotto per un tempo di missione Tmis si valuterà tramite la:

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

mis burn in mis burn in

burn in burn in

T T T T

mis burn inT T

N Ne e

N NR T T

N Ne e

N N

(4.12)

2 Questo lo si può capire facendo ricorso alle carte di probabilità.

4.20

Operativamente, si valuterà l‟espressione precedente fin quando l‟affidabilità non sarà suffi-

cientemente vicina a quella obbiettivo.

Volendo fissare le idee, si consideri, ad esempio: 1 =100, 1 = 0.4, 2 = 5000, 2 = 1; inol-

tre, N1/N = 0.05, N2/N=0.95, Robb=0.98 e Tmis = 50 h. L‟affidabilità, per una missione di du-

rata Tmis, al variare del periodo di burn-in, ha l‟andamento (applicando la (4.12)) riportato in

figura 4-7.

Il periodo ottimale di burn-in è, quindi, circa 13.6 h. Testando di più i prodotti del lotto si

aumenta l‟affidabilità di missione, ma si scartano anche più componenti, quindi si registrano

costi maggiori.

La figura 4-8 mostra l‟andamento dell‟affidabilità dei componenti del lotto prima della pro-

va di burn-in e dopo di essa: come si vede, l‟affidabilità per un tempo di missione di 50 ore

è pari al 98% dopo il periodo di burn-in che ha eliminato tutti i componenti che avrebbero

ridotto l‟affidabilità. Si noti che per determinare l‟affidabilità dopo il burn-in è necessario

fare ricorso alle distribuzioni tronche: l‟applicazione della tecnica del burn-in per un tempo

Tburn-in elimina, infatti, tutti i componenti che si rompono prima di Tburn-in, cosicché la curva

di distribuzione è come quella rappresentata in figura 4-9.

figura 4-7 Andamento dell’affidabilità di missione al variare del burn-in

4.21

figura 4-8 Affidabilità e burn-in.

figura 4-9. Densità di probabilità e burn-in.

3 METODO MONTE CARLO

Nell‟esporre i metodi con cui calcolare l‟affidabilità si è fatto il più delle volte ricorso, per il

calcolo effettivo dell‟affidabilità, alla distribuzione normale. Nel caso in cui l‟uso di tale di-

4.22

stribuzione conduca ad approssimazioni non accettabili, o non sia percorribile perché le

funzioni di distribuzione sono “tronche”:

Si possono calcolare gli integrali numericamente.

Si può far ricorso al “metodo Monte Carlo”, particolarmente adatto per la stima affi-

dabilistica di sistemi complessi.

Il metodo Monte Carlo è un processo numerico implementato al calcolatore che, impiegan-

do algoritmi basati sulla generazione di numeri casuali, simula il comportamento aleatorio

di un sistema da un punto di vista affidabilistico. Tale metodo è molto semplice ed è appli-

cabile a qualsiasi distribuzione; lo schema a blocchi che permette l‟implementazione del

metodo è il seguente:

La procedura consiste nell‟estrarre Ntot coppie di numeri (L,S) e contare il numero di casi

NR in cui si abbia L>S. La probabilità di cedimento a rottura è PR=NR/Ntot. Ovviamente

per stimare probabilità a rottura molto piccole il numero Ntot deve essere sufficientemente

grande.

Dal punto di vista teorico, il “metodo Monte Carlo” è basato sulla legge dei grandi numeri:

eseguendo numerose prove (simulate) sul sistema, se ne valuta l‟affidabilità come percentu-

ale di prove in cui il sistema ha funzionato. A differenza dei metodi probabilistici, il metodo

Montecarlo ha carattere “statistico”: infatti, è ovvio che con tale metodo si riesce solo a sti-

mare statisticamente (non a valutare analiticamente o numericamente, anche con metodi a-

nalitici approssimati) l‟affidabilità di un sistema. Generando diverse sequenze di numeri ca-

suali, ogni volta si avrà, in generale, un risultato diverso: in altri termini, il risultato di una

stima Montecarlo è una variabile aleatoria prossima al valore “vero” dell‟affidabilità (che

rimarrà comunque incognito).

4.23

Un grosso vantaggio del metodo è la sua relativa semplicità, mentre lo svantaggio pratico è

legato alla durata del tempo-macchina necessaria a valutare sistemi complessi, poiché per

ottenere stime affidabili è necessario simulare un elevato numero di prove.

Ad esempio, la figura 4-10 riporta per una distribuzione di carico gaussiana (1000;40) ed

una di resistenza sempre gaussiana (1150;50), la probabilità di rottura calcolata analitica-

mente (tramite, il margine di sicurezza SM) e mediante metodo Monte Carlo.

figura 4-10. Andamento della soluzione fornita dal metodo Montecarlo al variare

della numerosità.

3.1 Quadrati latini

E‟ un metodo generalmente adottato per ottenere stime della probabilità di rottura più vicine

al valore vero riducendo il numero di “lanci” statistici da eseguire. Esso si basa sulla suddi-

visione del campo di esistenza delle variabili aleatorie in uno stesso numero N d‟intervalli,

tutti caratterizzati dalla stessa probabilità di accadimento. Per ogni variabile, si estrae un va-

lore da una zona ad una certa probabilità di accadimento e si estrae un altro valore da

un‟altra variabile avente la stessa probabilità di accadimento e così via per tutte le variabili

aleatorie del problema che potranno essere due, tre, e così via. Si permutano randomicamen-

te i valori delle variabili e si valuta quindi la probabilità di rottura considerando il set di va-

lori permutato delle variabili estratte. La probabilità di cedimento risulta: 𝑃𝑓 =𝑁𝑓

𝑁. In questo

modo, si evita che nell‟estrazione casuale ci possano essere ripetizioni di valori estratti da

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

x 104

0.008

0.01

0.012

0.014

0.016

0.018

0.02

Numerosità

Pro

babi

lità

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

x 104

-60

-40

-20

0

20

Numerosità

Sca

rto

rela

tibo

%

4.24

medesime zone, non aggiungendo nulla in più alla comprensione del fenomeno probabilisti-

co e si considera anche l‟effetto delle code delle distribuzioni (aumentando la precisione del

calcolo)

Esempio: Si determini la probabilità di cedimento di un cartellone pubblicitario avente di-

mensioni (AxL) 3 x 4 m sorretto da un sostegno lungo due metri. La velocità del vento può

essere ben rappresentata da una LEVD, avente parametri 𝜆𝑣=24m/s e 𝛿𝑣=3.5m/s. La resi-

stenza a flessione della trave (quindi il momento di prima plasticizzazione) è pari al prodot-

to tra il modulo di resistenza a flessione Wf e la tensione di snervamento f; esse hanno una

distribuzione gaussiana con parametri: (155320,6200) mm3 e (240,12) MPa.

Per quanto noto sulla pressione cinetica esercitata dal vento, il momento che sollecita la rot-

tura della trave è: 𝐿 =𝑣2

1.6ℎ𝐴, dove h è la distanza del centro di applicazione della forza del

vento dal suolo: 2+3·0.5=3.5 m e A è l‟area trasversale del cartello 3·4 = 12 m2. Il problema

in esame è funzione di 3 v.a.: due gaussiane ed una LEVD. Per risolvere il problema si può

utilizzare il metodo di Monte Carlo (classico e con i quadrati latini), o l‟approccio con riso-

luzione diretta degli integrali con metodo numerico.

4 PROVE ACCELERATE DI DURATA

I prodotti che in ambito aziendale fanno uso di tali prove sono molteplici: computer, appa-

recchiature per la trasmissione ottica, le comunicazioni cellulari, gli alimentatori, i disposi-

tivi elettromedicali e varie famiglie di componenti meccanici (tra cui, specie nella compo-

nentistica di grande produzione: valvole, collegamenti filettati, attuatori, …). Tali tecniche

permettono di valutare l‟affidabilità di un prodotto (mediante l‟applicazione su di un suo

prototipo) , sviluppato od in via di sviluppo, in un tempo decisamente inferiore a quello ri-

chiesto dalle normali condizioni di utilizzo (anche se riferite ad un campione da laborato-

rio). La grande utilità di tali prove risiede, inoltre, nel fatto che esse possono essere condotte

anche durante lo sviluppo del prodotto, in modo da ottenere feedback immediati circa il va-

lore dell‟affidabilità raggiunto e sulle sue criticità (in termini sia di progetto che di processo

tecnologico produttivo) ancora da risolvere. Questa circostanza rende le prove accelerate

uno strumento molto utile per aumentare l‟affidabilità di un prodotto senza farne lievitare

eccessivamente il costo: infatti, tanto prima (ad esempio in fase di progetto) si aumenta

l‟affidabilità del prodotto tanto maggiore sarà il risparmio economico. Sebbene, inoltre, tali

prove siano diffuse per una vasta gamma di prodotti esse sono praticamente indispensabili

per tutti quei prodotti caratterizzati da una elevata durata per i quali non sarebbe convenien-

te eseguire prove di durata in condizioni normali di funzionamento.

4.25

Le prove di durata accelerata sono principalmente di tre tipi:

Prova “elefante”: si tratta di una sollecitazione agente per un breve periodo di tempo

e di intensità molto elevata (più elevata di una sollecitazione che ragionevolmente

può interessare il componente che si sta progettando). Poco usata.

Sollecitazione protratta nel tempo: si tratta di una sollecitazione agente per un tem-

po superiore a quello del tipico utilizzo del dispositivo preso in considerazione: in

questo modo, la sollecitazione agente sul prototipo è, di fatto, maggiore di quella cui

il prodotto finale sarà soggetto. Esempio tipico è quello della lavatrice, la quale fun-

ziona tipicamente per 30 min al giorno: prove di sollecitazione protratte nel tempo

consistono nel far funzionare la lavatrice per un tempo continuativo (spegnendola di

tanto in tanto per farla raffreddare ed evitare che essa si possa rompere per una moda-

lità di guasto –il surriscaldamento– non realistica). Adatta quando il prodotto deve

funzionare per poco tempo al giorno.

Sollecitazione aumentata: come visto l‟affidabilità di un componente dipende

dall‟ampiezza della zona di sovrapposizione tra le curve di distribuzione della solle-

citazione e quella della resistenza: aumentando la sollecitazione si aumenta la zona di

sovrapposizione e si porta il componente a rottura in un tempo minore. È la più diffu-

sa.

Nel seguito ci si occuperà delle prove a sollecitazione aumentata o di quello che è definito

processo HALT (Highly Accelerated Life Test). Con il processo HALT si vogliono realizza-

re quelle condizioni ambientali che, applicate al prodotto, spostano la curva degli sforzi a

destra per simulare l‟invecchiamento a cui sarà sottoposto il prodotto. In questo modo, gua-

sti che sarebbero destinati a manifestarsi nel corso di mesi o anni, possono essere rilevati in

un tempo molto più ristretto (giorni o settimane).

Questo processo viene applicato in fase di progettazione dei prodotti, con lo scopo di sotto-

porre i progetti ad uno stress combinato principalmente di tipo termico e meccanico. Si si-

mulano in questo modo condizioni ambientali estremamente severe che provocano un in-

vecchiamento altamente accelerato, in modo da evidenziare velocemente le imperfezioni e

poter valutare tempestivamente l‟affidabilità equivalente del prodotto. L‟approccio classico

alla progettazione affidabilistica consiste nel condurre un test di resistenza su un prototipo

del dispositivo e quindi, nel caso di esito positivo, nel dar luogo al processo produttivo sen-

za cercare di evidenziare possibili criticità del dispositivo stesso. La procedura HALT cam-

bia questo modo di agire in quanto l‟idea che ne è alla base consiste nel forzare i problemi a

manifestarsi per poi eliminarli attraverso conseguenti modifiche al progetto o al processo

produttivo: questo è possibile analizzando i diversi modi di guasto di ciò che si sta proget-

tando. Il processo HALT consiste, quindi, nel sollecitare il dispositivo per mezzo di una sol-

lecitazione maggiore rispetto a quella delle normali condizioni di funzionamento; le solleci-

tazioni più utilizzate per diminuire la vita operativa del prodotto sono il livello di vibrazioni

e la temperatura. In pratica si sottopone il prodotto ad una prova eseguita con carichi di la-

4.26

voro usuali in una apposita camera dove sono aumentati i livelli di vibrazione o la tempe-

ratura di esercizio. La scelta di una sollecitazione piuttosto che di un‟altra dipende dalla ti-

pologia del prodotto: in caso di prodotti con organi in movimento si preferisce utilizzare le

vibrazioni maggiorate in quanto queste presentano una migliore riduzione della vita del pro-

dotto. Nei casi statici si utilizza invece una sollecitazione di temperatura, si aumenta la tem-

peratura di funzionamento usuale del prodotto per produrne un guasto prematuro:

all‟aumentare della temperatura di esercizio aumenta, di fatto, la sollecitazione agente inter-

namente al materiale (si stabilisce, quindi, un‟equivalenza sollecitazione-temperatura).

figura 4-11 Processo HALT: aumento della sollecitazione agente.

Dati i tempi di guasto durante le prove accelerate e i livelli di sollecitazione (espressi in

termini di temperatura della prova) è possibile ricavare l‟affidabilità del componente alle

sollecitazioni usuali di lavoro. Per far questo è necessario avere la prova di affidabilità ese-

guita ad almeno tre livelli differenti di sollecitazione (in modo da poter effettuare una qual-

che regressione e/o verifica-confutazione delle ipotesi affidabilistiche introdotte). L‟idea al-

la base di questo approccio sta nel fatto che è possibile individuare una relazione fra la dura-

ta del componente ad un determinato livello di sollecitazione e la sollecitazione stessa. Il

primo ad applicare un simile approccio fu Arrhenius che individuò una dipendenza espo-

nenziale tra la durata del prodotto e la sua temperatura di funzionamento. Di fatto, un au-

mento della temperatura determina una decrescita esponenziale dell‟affidabilità del prodotto

(a parità di tempo di missione).

Tabella 1. Esempio di correlazione temperatura durata

4.27

Temperatura (°C) Durata (103cicli)

50 21

100 13

150 8

200 5

In tal caso, utilizzando una scala logaritmica per la durata ed una lineare per la temperatura

le due grandezze sono correlate per mezzo di una retta. La durata reale del componente si

determina chiaramente leggendola in corrispondenza della sollecitazione reale. Chiaramente

per poter utilizzare la relazione di Arrhenius è necessario disporre di almeno tre livelli di

sollecitazione, vale a dire tre prove di durata accelerata, questo perché per due punti passa

sempre una retta e non si sarebbe in grado di effettuare alcuna valutazione critica circa i ri-

sultati ottenuti. In generale, a seconda della complessità del fenomeno è possibile creare un

modello che leghi la sollecitazione alla durata mediante un‟equazione del tipo:

B Soll CDurata A e

(4.13)

Dove A, B e C sono costanti che si determinano con un metodo dei minimi quadrati. Si noti

che la correlazione precedente non l‟unica utilizzata, ma è una delle più usate. Inoltre, la

correlazione riportata rappresenta un modello empirico che è in grado di rappresentare com-

plessi legami di dipendenza funzionale in maniera equivalente (e semplice).

4.1 Esempio di prova HALT

Si voglia eseguire un processo HALT su un dispositivo e si immagini di poter provare 300

dispositivi per un tempo complessivo di sei (6) mesi; la temperatura di utilizzo del dispositi-

vo sia 50°C. Si considerano tre prove di rottura accelerata considerando tre diversi livelli di

temperatura: con un aumento di temperatura si simula un aumento di sollecitazione agente

internamente al dispositivo. Le tre temperature devono essere scelte in modo da portare a

rottura tutti i componenti provati entro un tempo di sei mesi.

Non ha senso dividere il lotto complessivo (di 300 prodotti) in tre parti uguali, ma sarà più

sensato dividerli considerando un numero maggiore per la temperatura minore e così via a

decrescere per le temperature maggiori: in questo caso si simulano meglio le condizioni di

effettivo utilizzo del componente aumentando l‟accuratezza della stima.

Vediamo in dettaglio come si determina la durata del componente alla temperatura (e quindi

sollecitazione di effettivo utilizzo), fissato un certo livello di affidabilità di progetto. Si di-

spongono i risultati delle prove, per le diverse sollecitazioni (modellate tramite tre diverse

temperature di prova: 78°C, 110°C 150°C), su una stessa carta di probabilità (di Weibull): si

potranno tracciare, in questo modo, tre diverse rette interpolanti. La Figura 4-12 riporta un

4.28

esempio di tale situazione, nella quale si è scelto un livello di affidabilità di progetto del

95%: tale figura mostra, inoltre, una circostanza abbastanza importante i coefficienti angola-

ri delle diverse rette devono essere tutti (circa) uguali tra loro, questo perché la temperatura

non deve alterare il modo di rottura dei componenti ma solo velocizzare.

Figura 4-12. Rette interpolanti le durate a rottura di un processo HALT

Figura 4-13. Determinazione della durata al livello di affidabilità fissato.

Individuate le durate corrispondenti alla probabilità di rottura del 5% (in questo caso parti-

colare) si riportano le coppie temperatura-durata su un grafico come quello di Figura 4-13.

Tracciando la retta interpolante i diversi punti è possibile leggere la durata cui corrisponde

un‟affidabilità di funzionamento del 5%.

Con le prove di durata accelerata di tipo HALT è, inoltre, possibile stimare anche i parame-

tri della distribuzione di Weibull: il fattore di forma sarà la media dei fattori di forma delle

4.29

diverse prove accelerate, mentre la vita caratteristica si desumerà della relazione che espri-

me l‟affidabilità:

1

( )

ln

t

HALT

progetto

tR t e

R

(4.14)

Dove con Rprogetto si indica l‟affidabilità per la quale è stata calcolata la durata tHALT per

mezzo del processo HALT: solitamente tale affidabilità vale 95%, 92%, 90%. Si noti che il

precedente valore della vita caratteristica non dipende dall‟affidabilità di progetto, in quanto

da essa dipende solo tHALT.

5 ELEMENTO SOGGETTO A CARICHI RIPETUTI (CENNI)

Molte volte capita che la sollecitazione che porta a rottura il componente sia di fatica e

quindi consista in una ripetizione del carico applicato al componente. In questi casi, un me-

todo semplice per determinare l‟affidabilità di primo tentativo del componente è quello di

considerare lo stesso soggetto a molteplici ripetizioni di carico tra loro indipendenti. Chia-

ramente, questo modo di procedere è approssimato in quanto presuppone che il danneggia-

mento non produca un‟alterazione dello stato di sollecitazione interno e di resistenza (cosa

non vera) ed, inoltre, non consente di interpretare i fenomeni di fatica con numero illimitato

di cicli, in quanto il componente non cede se, di fatto, viene superato il limite di resistenza

una sola volta su m applicazioni del carico. Nonostante ciò si ritiene utile riferire qualche

cenno a tale metodologia.

Considerando un generico componente sottoposto a ripetute condizioni di carico indipen-

denti (ed ognuna caratterizzata dalla sua distribuzione di probabilità) Li, con i=1, …, m, la

probabilità di avere uno sforzo minore di S è data dalla probabilità congiunta che tutti gli Li

siano minori della resistenza S del materiale.

figura 4-14 Elemento soggetto a carichi ripetuti.

L1

L2

Lm

4.30

Considerando il generico livello di resistenza S*, per un componente sottoposto ad un singo-

lo carico L, la probabilità che il carico sia minore del suddetto livello di resistenza si può

scrivere:

*

*

0

( )

S

LP L S f L dL

dalla quale, l‟affidabilità è (si noti che si è ragionato in maniera duale a quanto visto in pre-

cedenza):

0 0

( ) ( )

S

L SR f L dL f S dS

per un componente sottoposto ad m molteplici condizioni di carico indipendenti, la proba-

bilità che tutti gli Li siano minori del generico livello di resistenza S* è data dalla produttoria

delle precedenti probabilità:

* *

1..1

m

i ii mi

P L S P L S

=

*

1 0

( )

Sm

Li

i

f L dL

e, quindi:

10 0

( ) ( )

Sm

Li S

i

R f L dL f S dS

Poiché, 0

( ) ( )

S

Li LiF S f L dL , si può scrivere la precedente come:

10

( ) ( )m

Li S

i

R F S f S dS

Se gli m carichi Li sono m ripetizioni indipendenti della stessa condizione di carico, si può

scrivere (questa cosa, come detto in precedenza, può non risultare propriamente corretta per

la fatica):

1

( ) ( )m

m

Li L

i

F S F S

e, quindi:

0

( ) ( )m

L SR F S f S dS

4.31

si osservi che il termine [FL(S)]m non è altro che la funzione cumulativa della distribuzione

dei massimi valori estremi, ed è quindi relativa alla funzione di distribuzione fLm del massi-

mo valore del carico su m ripetizioni dello stesso.

S, L

f

fSfL

fLmax m=10

fLmax m=100

fLmax m=1000

figura 4-15. Spostamento della curva di distribuzione della sollecitazione

L‟affidabilità del componente sottoposta ad m condizioni di carico è, quindi, minore rispetto

al caso di singola applicazione del carico: la distribuzione fLm del valore massimo dei carichi

su m estrazioni, si sposta verso valori di L maggiori rispetto alla “distribuzione madre” fL, al

crescere del numero delle ripetizioni del carico.