Aerodinamica & Gasdinamica A.A. 2009-2010 Flussi …pier.unirc.eu/cestino/Lezioni.pdf · γ −1...

26/11,2-3/12 2009 :

Aerodinamica & GasdinamicaA.A. 2009-2010

Flussi comprimibili

Prof. Renato [email protected]

Ing. Pierpaolo Garofalo

[email protected]

Dipartimento di EnergeticaUniversita Politecnica delle Marche

26 novembre 2-3 dicembre 2009

Ricci-Garofalo Aerodinamica & Gasdinamica,A.A. 2009-2010,Flussi comprimibili p. 1/114

26/11,2-3/12 2009 :

Argomenti I

Flussi comprimibiliIntroduzioneComportamento comprimibile dei fluidi

Richiami di termodinamicaEquazione di stato dei gas perfettiEnergia interna ed entalpiaPrimo principio della termodinamicaEntropia e secondo principio della termodinamicaComprimibilitaEquazioni dei fluidi inviscidi comprimibiliGrandezze totali o di arrestoLe onde d’urto

Flussi comprimibili confinatiFlussi quasi unidimensionaliAndamento della velocita in convergenti e divergenti


26/11,2-3/12 2009 :

Argomenti II

Flusso isoentropico in ugelli supersoniciGrandezze starRelazione Mach-AreaComportamento fisico dell’ugelloLa portata di un ugelloEsercizio

DiffusoriGeneralitaDiffusore: caso ideale e caso reale


26/11,2-3/12 2009 Flussi comprimibili: Introduzione

Cenni storici

V Conferenza di Volta

Alte velocita nell’aviazione

Roma 20 settembre 1935


26/11,2-3/12 2009 Flussi comprimibili: Comportamento comprimibile dei fluidi

Comportamento comprimibile dei fluidi

Un fluido assume un comportamento che puo essere ritenutocomprimibile allorche il suo moto rientra in una delle seguenticategorie:

• alto subsonico;

• transonico;

• supersonico;

• ipersonico.

Attenzione!In tali circostanze la densita del fluido non puo essere ritenuta costante!

ρ 6= cost


26/11,2-3/12 2009 Richiami di termodinamica:

Richiami di termodinamica

• Equazione di stato dei gas perfetti

• Energia interna ed entalpia

• Primo principio della termodinamica

• Entropia e secondo principio della termodinamica

• Relazioni isoentropiche


26/11,2-3/12 2009 Richiami di termodinamica: Equazione di stato dei gas perfetti

Equazione di stato dei gas perfetti

DefinizioneUn gas perfetto e un gas nel quale le forze intermolecolari possono essere

trascurate. Per essi vale l’equazione di stato dei gas perfetti.

p V = nℜT

in cui ℜ = 8314.4 J/(Kmol K) e la costante universale dei gas perfetti.

Per l’aria in condizioni standard m = 28.96kg/kmol e

R = ℜ/m = 287J/(Kg K); V e il volume occupato dalle n moli di gas

alla pressione p e alla temperatura T .


26/11,2-3/12 2009 Richiami di termodinamica: Equazione di stato dei gas perfetti

Equazione di stato per gas reali

In realta per un gas reale risulta:

p V

nℜT6= 1

a causa della presenza di:

1 forze intermolecolari;

2 V 6= 0 quando p → ∞;

3 legge di van der Waals:

(

p +a

v2

)

(v − b) = R T

• a e una costante;• b e il covolume.


26/11,2-3/12 2009 Richiami di termodinamica: Energia interna ed entalpia

Energia interna

L’energia interna di un gas e una misura dell’energia cineticaposseduta dalle molecole che lo costituiscono.L’energia interna di un gas contenuto in un volume di controllosara data dalla somma delle energie possedute da tutte le molecolecostituenti. Se si considera una molecola di gas biatomico, qualead esempio l’ossigeno O2, l’energia cinetica da essa possedutapotra essere vista come la somma dei seguenti contributi:



Energia interna

1 energia cinetica traslazionale della molecola vista come corporigido;

2 energia cinetica rotazionale della molecola intorno ai tre assicoordinati passanti per il suo baricentro;

3 energia cinetica associata alla vibrazione dei singoli atomicostituenti la molecola;

4 energia elettronica legata alla velocita di rotazione deglielettroni dei singoli atomi intorno ai rispettivi nuclei.

5

e = e1 + e2 + e3 + e4



Energia vibrazionale di una molecola biatomica

Z

X

Y

Energia

E. cinetica

E. cineticavibrazionale

elettronica

Vtraslazionale

E. cinetica

rotazionale

Figura: Gradi di liberta di una molecola biatomica.



Energia interna e cinetica

Gli effetti della comprimibilita interessano quindi i flussi ad alta velocitadotati di una elevata energia cinetica.Incrementi di energia cinetica determinano decrementi di energia internae viceversa cui corrispondono conseguenti variazioni della temperatura delfluido.

Energia

internacinetica

Energia

Figura: Ciclo energia cinetica ⇔ energia interna.



Energia totale

L’energia totale massica del gas contenuto in un volumetto dv chesi muove con velocita V sara data dalla somma della sua energiainterna (energia vibrazionale) e della sua energia cinetica(traslazionale di corpo rigido, ovvero con le molecole congelate

nella loro posizione all’interno del volumetto).

Etot =

(

e +V 2

2

)



Entalpia

L’entalpia massica del gas sara data dalla somma:

h = e + p v



Energia interna ed entalpia funzioni della temperatura

L’energia interna e l’entalpia in un gas perfetto dipendono dallasola grandezza di stato temperatura. In virtu di cio sono essestesse funzioni di stato.

e = cv T

h = cp T



Calori specifici

Il calore secifico a volume costante cv e a pressione costante cp

possono essere ragionevolmente ritenuti costanti quando latemperatura dell’aria si mantiene al di sotto dei 1000K . I calorispecifici sono legati alla costante R del gas perfetto cui siriferiscono, introducendo il loro rapporto γ = cp/cv :

cp =

(∂q

∂T

)

p

=∂h

∂T=

γ R

γ − 1

cv =

(∂q

∂T

)

v

=∂e

∂T=

R

γ − 1


26/11,2-3/12 2009 Richiami di termodinamica: Primo principio della termodinamica

Primo principio della termodinamica

Sistema

eδ

δ

qδ

Ambienteesterno

Contorno

chiuso

w

Figura: Sistema chiuso che scambia energia con l’esterno.



Enunciato per sistemi chiusi

Il primo principio della termodinamica (qui espresso nella sua formaper sistemi chiusi) stabilisce che la variazione dell’energia interna diun sistema e data dal bilancio netto tra scambi di energiameccanica e termica che avvengono, attraverso il suo contorno,con l’ambiente esterno.

δq + δw = de



Enunciato per processi reversibili

Per un sistema che evolva secondo una trasformazione reversibile,l’espressione del lavoro elementare scambiato dal sistema chiusocon l’esterno risulta essere:

δw = −p dv

per cui:

δq − p dv = de



Trasformazioni notevoli

Nonostante le energie termica e meccanica possano esserescambiate tra sistema ed esterno in infiniti modi diversi, i tipi diprocessi principalmente chiamati in causa nello studio di flussicomprimibili risultano essere:

• adiabatico;

• reversibile;

• isoentropico.


26/11,2-3/12 2009 Richiami di termodinamica: Entropia e secondo principio della termodinamica

Considerazioni

Se il primo principio della termodinamica afferma il bilancioenergetico totale di un sistema, esso non spiega perche letrasformazioni abbiano un verso spontaneo di evoluzione

piuttosto che un altro.



Enunciato di Clausius

E impossibile realizzare una macchina con funzionamento ciclico ilcui unico effetto sia il trasferimento di una quantita di calore da un

corpo a bassa temperatura a un altro a temperatura piu alta.

Affinche cio possa accadere la macchina dovra anche ricevereenergia dall’esterno.



Disuguaglianza di Clausius

Per un ciclo termodinamico chiuso qualunque vale la:

∮δq

T≤ 0

Nel caso di un ciclo reversibile la disuguaglianza di Clausius invecediventa: ∮

δqrev

T= 0



Entropia

e la quantita sotto il segno di integrale diventa un differenzialeesatto della grandezza di stato s entropia:

ds =δqrev

T

In quanto grandezza di stato le sue variazioni dipendonoesclusivamente dagli stati finale ed iniziale di una qualunquetrasformazione che li unisce.

ds =δqrev

T=

δq

T+ dsirr



Calore di irreversibilita

p

v

A

B

Irreve

rsibile

Reversi

bile

Figura: Ciclo chiuso con irreversibilita



Calore di irreversibilita

Dalla disuguaglianza di Clausius discende che:

sB − sA ≥(Irr)

∫ B

A

δq

T

per cui la variazione di entropia dipendera sia dal caloreeffettivamente scambiato δq, sia da quello generato per effetto diirreversibilita dsIrr > 0:

ds =δq

T+ dsIrr



Direzione di evoluzione

ds ≥ δq

Tse tr. adiabatica ⇒ ds ≥ 0

Una trasformazione termodinamica evolve sempre in modo tale chel’entropia del sistema e dell’ambiente esterno aumenti o al limite

rimanga costante.



Relazioni

T ds = de + p dv ⇒ s2 − s1 = Cv lnT2

T1+ R ln

v2

v1

T ds = dh − v dp ⇒ s2 − s1 = Cp lnT2

T1− R ln

p2

p1



Relazioni isoentropiche

Un processo isoentropico e un processo reversibile ed adiabatico.L’entropia non varia poiche sono nulli il calore di irreversibilita equello scambiato con l’ambiente esterno.

p2

p1=

(ρ2

ρ1

)γ

=

(T2

T1

) γ

(γ−1)

Le relazioni sopra sono importanti in quanto nella maggior parte deiproblemi i flussi comprimibili possono essere assunti isoentropici.


26/11,2-3/12 2009 Richiami di termodinamica: Comprimibilita

Definizione di comprimibilita

p p+dp

v+dvv

Figura: Definizione di comprimibilita

DefinizioneLa comprimibilita puo essere

definita come la variazione

relativa di volume subita da un

elemento di fluido per effetto di

una variazione unitaria di

pressione.

τ = −1

v

(∂v

∂p

)



Comprimibilita isoterma e isoentropica

La comprimibilita assume valori diversi secondo il tipo di compressioneesercitata:

• se la compressione e isoterma:

τT = − 1

v

(∂v

∂p

)

T

• se la compressione e isoentropica:

τs = − 1

v

(∂v

∂p

)

s



Comportamento incomprimibile

Chiaramente un gas e un fluido comprimibile (τ non trascurabile),tuttavia, esprimendo la variazione subita dalla densita in termini dicomprimibilita e variazione di pressione:

dρ = ρ τ dp

si vede subito come, a causa delle variazioni di velocita subite dalfluido, per esempio dall’infinito al punto di arresto, le variazioni dipressione nei flussi a bassa velocita possano entro certi limitiessere ritenute ininfluenti sulla variazione di densita.


26/11,2-3/12 2009 Richiami di termodinamica: Equazioni dei fluidi inviscidi comprimibili

Equazioni dei fluidi inviscidi comprimibili

1 Equazione di continuita;

2 Equazione di conservazione della quantita di moto;

3 Equazione dell’energia;

4 Equazione di stato dei gas perfetti.



Equazione di continuita e della quantita di moto

∂ρ

∂t= ∇ · (ρV)

∂ρV

∂t+ ∇ (ρV ⊗ V) = −∇p + ρ f



Equazione dell’energia e di stato dei gas perfetti

ρd

(

e + V 2

2

)

dt= ρq −∇ · (p V) + ρ (f V) + Qvisc + Wvisc

p = ρ R T


26/11,2-3/12 2009 Richiami di termodinamica: Grandezze totali o di arresto

Grandezze totali o di arresto

Definizione

Le grandezze totali o di arresto di un fluido sono quelle grandezze

fisiche del fluido che viene arrestato adiabaticamente.



Trasformazione adiabatica

L’equazione dell’energia, prima espressa in forma Lagrangiana nonconservativa, puo essere riscritta facendo comparire l’entalpiamassica:

ρd

(

h + V 2

2

)

dt= ρq +

∂p

∂t+ ρ (f V) + Qvisc + Wvisc

mostra come in una particella fluida, non necessariamenteinviscida, in moto permanente, adiabatico e senza scambiare lavoroattraverso il suo contorno, rimanga costante la quantita h + V 2/2.



Trasformazione adiabatica

ρd

(

h + V 2

2

)

dt= 0 ⇒ h +

(V 2

2

)

= cost

In condizioni di moto permanente cio varra anche lungo ciascunalinea di corrente del campo di moto.In particolare, se tutte le linee di corrente appartengono ad ununico campo uniforme, h + V 2/2 avra lo stesso valore in tutto ilcampo di moto.



Entalpia di arresto

L’entalpia totale e quella del fluido arrestato adiabaticamente. Daquanto detto in precedenza:

h +V 2

2= h0

ed il particolare:

L’entalpia di arresto h0 e la stessa in ogni punto di un campo dimoto permanente adiabatico e pari a quella della correnteindisturbata.



Temperatura di arresto

Sostituendo nella relazione precedente:

• h0 = Cp T0 per gas perfetto

• a =√

γRT la velocita del suono

• Cp = γRγ−1

• Si ottiene:

T0 = T

(

1 +γ − 1

2M2

)

con M numero di Mach



Flussi adiabatici ed isoentropici

Se l’entalpia e la temperatura di arresto si mantengono costanti incampi di moto sia adiabatici che isoentropici permanenti,altrettanto non puo dirsi per la pressione di arresto.

La pressione di arresto rimane invariata all’interno del campo dimoto permanente solo se il flusso e isoentropico.



Flussi adiabatici ed isoentropici

T

s

Po

To

T

P

P<Po

Figura: Pressione di arresto in flussi adiabatici

T ds = δQIrr



Pressione di arresto

La pressione di arresto e la pressione del fluido arrestatoisoentropicamente

P0 = P

(

1 +γ − 1

2M2

) γ

γ−1

ricorrendo alle relazioni isoentropiche e immediato ricavare anchela densita di arresto:

ρ0 = ρ

(

1 +γ − 1

2M2

) 1γ−1



Pressione di arresto

1

2

T0,1h0,1

T0,2h0,2

ho,1=ho,2To,1=To,2

Flusso Adiabatico

Figura: Flusso adiabatico

1

2

T0,1h0,1

T0,2h0,2

ho,1=ho,2To,1=To,2

Flusso Isoentropico

Po,1=Po,2Po,1

Po,2

Figura: Flusso isoentropico


26/11,2-3/12 2009 Richiami di termodinamica: Le onde d’urto

La velocita del suono

Rappresenta la velocita con cui si propagano le piccoleperturbazioni in seno ad un fluido.

La propagazione avviene per effetto delle collisioni delle molecoledisturbate su quelle adiacenti trasferendo parte della loro energia inuna specie di effetto domino. Questo processo genera delle piccoleperturbazioni infinitesime dp dT dρ, che si propagano alla velocitadetta appunto del suono.



La velocita del suono

E logico aspettarsi che la velocita del suono sia paragonabile aquella delle molecole che collidono all’interno del gas che, comesuggerito dalla teoria cinetica, vale:

√

8 R T

π

In effetti la velocita del suono e circa tre quarti di quella mediamolecolare, ma comunque rimane il fatto che:

la velocita del suono di un gas caloricamente perfetto dipende,oltre che dalla sua natura, solo dalla sua temperatura.



Espressione della velocita del suono

21

p+dp

T+dT

ρ+δρ

a a+da

p

T

ρ

Figura: Onda stazionaria

Se si fissa il riferimento sull’onda dipressione in movimento alla velocitadel suono a, considerando che:

• il carattere infinitesimale dellaperturbazione permette ditrascurare i fenomeni diconduzione termica e viscosi;

• non avvengono scambi dilavoro ne di calore;

• il flusso che la attraversasubisce una trasformazioneisoentropica



Espressione della velocita del suono

Dall’equazione di continuita e dalla conservazione della quantita dimoto si ottiene l’espressione della velocita del suono:

ρa = (ρ + dρ)(a + da)p + ρa2 = (p + dp) + (ρ + dρ)(a + da)2

}

⇒ a =

√

∂p

∂ρ

tenendo inoltre in conto la isoentropicita del fenomeno:

a =

√(

∂p

∂ρ

)

s

⇒ a =√

γRT



Il numero di Mach

Il numero di Mach e espresso come rapporto tra la velocita delfluido e la velocita del suono.

M =V

a

Esso confronta fisicamente l’energia cinetica ordinata dellemolecole del fluido con l’energia cinetica disordinata di vibrazionetermica.

V 2

2

e=

V 2

2

CvT⇒=

γ(γ − 1)

2M2



Flussi incomprimibili: quando?

ρ/ρο

ρ/ρο

0.32

0.95

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Variazione isoentropica della densita’ col Mach

0.95

M

Figura: Limite accettabile di incomprimibilita



Le onde d’urto

Parte essenziale dei flussi supersonici e il calcolo della forma edell’intensita delle onde d’urto.

Un onda d’urto puo essere vista come una regione del campo dimoto supersonico estremamente sottile (dell’ordine di 10−5mm),attraverso la quale le proprieta del flusso cambianorepentinamente. In essa avviene un processo irreversibile,adiabatico, quasi esplosivo di compressione del fluido, tale da farsubire alla pressione un incremento praticamente discontinuo.



Onde oblique ed onde frontali

M1 V1

ho1

To1 T1

Po1 P1

s1

s2>s1

Po2<Po1 P2>P1

To2=To1 T2>T1

ho2=ho1

M2<M1 V2<V11

2

Figura: Onda d’urto obliqua

M1 V1

ho1

To1 T1

Po1 P1

s1

21

s2>s1

Po2<Po1 P2>P1

To2=To1 T2>T1

M2<1 V2<V1

ho2=ho1

Figura: Onda d’urto retta



Onde oblique ed onde frontali

Un flusso supersonico risulta:

• ancora supersonico, seppur caratterizzato da un numero diMach inferiore, a valle di un’onda d’urto obliqua (a meno chequesta non sia di particolare intensita);

• subsonico a valle di un’onda d’urto retta.


26/11,2-3/12 2009 Flussi comprimibili confinati:

Introduzione

Verranno di seguito trattati i flussi comprimibili confinati, la cuiconoscienza e fondamentale per la progettazione di gallerie delvento ad alta velocita, motori a razzo, turboreattori, ecc.


26/11,2-3/12 2009 Flussi comprimibili confinati:

Argomenti

Equazioni per flussiquasi unidimensionali

Flussi in ugelli Flussi in diffusori

Gallerie supersoniche


26/11,2-3/12 2009 Flussi comprimibili confinati: Flussi quasi unidimensionali

Flussi quasi unidimensionali

Flusso quasi unidimensionale

Flusso unidimensionale

T=T(x)u=u(x)

A=A(x)

ρ=ρ( )x

p=p(x)

Figura: Flusso uni e quasi uni dimensionale.



Flussi quasi unidimensionali

Si puo sfruttare l’ipotesi di flusso quasi unidimensionale quando levariazioni dell’area trasversale del tubo di flusso considerato sonomodeste. In tal caso le grandezze in gioco possono essere ritenutefunzioni di una sola variabile, es. x .



Equazioni del moto quasi unidimensionale

1

dS

2

Superficie di controllo

Volume di controllo

T2A2

u2ρ2

p2

ρ1u1p1T1A1

Figura: Volume di controllo quasi unidimensionale.



Equazione di continuita e della quantita di moto

L’equazione di conservazione della massa:

ρ1A1u1 = ρ2A2u2 ⇒ d(ρAu) = 0

L’equazione di conservazione della quantita di moto:

{

S

(ρVdS)V = −{

S

p dSsecondo x=⇒

{

S

(ρVdS) u = −{

S

p dS ı

e considerando le superfici A1, A2, AL costituenti la superficie dicontrollo:

ρ2A2u22 − ρ1A1u

21 = −p2A2 + p1A1 −

{

S

p dS ı ⇒ dp = −(ρu)du



Equazione dell’energia

L’equazione dell’energia risulta:

{

S

ρ

(

e +V 2

2

)

VdS = −{

S

pVdS

[

−ρ1u1A1

(

e1 +V 2

1

2

)]

+

+

[

ρ2u2A2

(

e2 +V 2

2

2

)]

= − [−p1u1A1 + p2u2A2]

che opportunamente riorganizzata puo essere scritta:



Equazione dell’energia ed equazione di stato

p

ρ+ e +

u2

2= cost ⇒ h +

u2

2= cost ⇒ h0 = cost ⇒ dh + u du = 0

L’equazione di stato, per un gas caloricamente perfetto (Cp

indipendente da T ):

p = ρRT

h = Cp T



Riepilogo delle incognite e delle relazioni

Le incognite che descrivono l’atto di moto permanente, inviscido,isoentropico, comprimibile quasi unidimensionale sono cinque: ρ,T , p, u, h.

Equazione algebrica differenziale

Continuita ρAu = cost d(ρAu) = 0

Quantita di motoˆ

ρiAiu2i + pAi

˜i=2

i=1= −

vS

p dS ı dp + (ρu)du = 0

Energiapρ

+ e + u2

2= cost dh + u du = 0

Stato p = ρRT

Entalpia h = Cp T


26/11,2-3/12 2009 Flussi comprimibili confinati: Andamento della velocita in convergenti e divergenti

Andamento della velocita in convergenti e divergenti

Si possono trarre delle conclusioni illuminanti circa il flusso quasiunidirezionele in condotti convergenti e divergenti cercando diesprimere la variazione di velocita come funzione della variazionedella sezione.

dρ

ρ+

du

u+

dA

A= 0 equazione di continuita

dp

ρ=

dp

dρ

dρ

ρ= −udu equazione della quantita di moto

dp

dρ=

(dp

dρ

)

S

= a2 velocita del suono isoentropica



Andamento della velocita in convergenti e divergenti

Dalle tre equazioni si ottiene la relazione cercata:

dA

A= (M2 − 1)

du

u



Convergenti e divergenti supersonici

Le condizione di flusso sono essenzialmente quattro:

M < 1 M > 1

Convergente dAA

< 0 duu

> 0 dAA

< 0 duu

< 0

Divergente dAA

> 0 duu

< 0 dAA

> 0 duu

> 0

Tabella: Condizioni di flusso possibili



Convergenti e divergenti supersonici

M<1

Velocita’ u aumenta

M<1

Velocita’ u diminuisce

M>1

Velocita’ u diminuisce

M>1

Velocita’ u aumenta



Convergenti e divergenti supersonici: osservazioni

Dalla formula ottenuta e dalle figure riportate si puo concludere che:

ugello se si vuole portare isoentropicamente un flusso da una velocitasubsonica ad una velocita supersonica occorrera dapprimaaccelerarlo in un condotto convergente fino a fargli raggiungere lacondizione sonica nella sezione ristretta; l’ulteriore accelerazionedovra avvenire nella parte divergente del condotto.

diffusore se si vuole portare isoentropicamente un flusso da una velocitasupersonica ad una velocita subsonica occorrera dapprimadecelerarlo in un condotto convergente fino a fargli raggiungere lacondizione sonica nella sezione ristretta; l’ulteriore decelerazionedovra avvenire nella parte divergente del condotto.



Osservazione

Nella gola (sezione di area minima) di un ugello o di undiffusore supersonico si ha sempre una condizione di flussosonico.


26/11,2-3/12 2009 Flusso isoentropico in ugelli supersonici:

Flusso isoentropico in ugelli supersonici

In un ugello il flusso viene accelerato isoentropicamente dallo statodi arresto a supersonico.Si avra flusso subsonico nel tratto convergente, sonico nella sezionedi gola, supersonico nel divergente.

Si ricavera di seguito la relazione che lega il numero di Mach delflusso all’area della sezione di passaggio.D’ora in poi l’andamento dell’area della sezione in funzionedell’unica coordinata x sara ritenuto noto.


26/11,2-3/12 2009 Flusso isoentropico in ugelli supersonici: Grandezze star

Grandezze star

E comodo introdurre ai fini di quanto segue le cosiddettegrandezze asteriscate. Esse sono analoghe alle grandezze di arrestopero si riferiscono ad un flusso che viene acceleratoadiabaticamente fino alla condizione sonica.In un ugello le condizioni soniche vengono raggiunteadiabaticamente nella sezione di gola: a quest’ultima sarannoquindi pertinenti le grandezze asteriscate. In particolate nellasezione di gola sara:

M∗ = 1 con u∗ = a∗ =√

γRT ∗


26/11,2-3/12 2009 Flusso isoentropico in ugelli supersonici: Relazione Mach-Area

Relazione Mach-Area

Si parte dall’equazione di continuita:

ρ∗a∗A∗ = ρuA

che puo essere espressa, introducendo la densita di arresto, intermini di rapporto tra l’area della sezione generica considerata equella della sezione di gola:

A

A∗=

ρ∗

ρ

a∗

u=

ρ∗

ρ0

ρ0

ρ

1

M∗



Relazione Mach-Area

u*p*T*A*

uopoToAoA*

8

uepeTeAe

M<1 M>1

M=1

Figura: Flusso isoentropico supersonico in un ugello



Relazione Mach-Area

Ciascuno dei tre termini che compaiono nell’espressione delrapporto di aree verra espresso in funzione del numero di Machlocale.Il flusso passa isoentropicamente dalle condizioni di arresto a quelledella sezione in esame con l’entalpia totale che rimane costante

h0 = cost



Relazione Mach-Area

CpT0 = CpT +a2

2

dividendo tutto per a = γRT :

CpT0

γRT=

Cp

γR+

1

2

sfruttando l’equazione di stato p = ρRT e la relazione isoentropicap0/p = (ρ0/ρ)γ si ottiene la relazione cercata:

ρ

ρ0=

(

1 + M2 γ − 1

2

) 11−γ



Relazione Mach-Area

La relazione appena trovata viene usata per ottenere l’espressionedi ρ∗/ρ0 ricordando che nella sezione di gola M∗ = 1:

ρ∗

ρ0=

(γ + 1

2

) 11−γ

Resta da ricavare l’espressione di M∗:

M∗ =u

u∗

Sfruttando sempre il fatto che il flusso evolve adiabaticamente sisfrutta la conservazione dell’entalpia totale:

CpT +u2

2= CpT

∗ +a2

2



Relazione Mach-Area

Cp

a2

︷︸︸︷

TγR

γR+

u2

2= Cp

u∗2=a∗2

︷︸︸︷

T ∗γR

γR+

a∗2

2

Cpa2

γR+

u2

2= Cp

a∗

γR+

a∗2

2

dividendo per u2 e dopo alcuni passaggi:

M∗2 =M2 (γ + 1)

2

1 + M2(γ − 1)

2



Relazione Mach-Area

Sostituendo le tre espressioni appena ricavate in quella di partenzasi ottiene la relazione cercata:

(A

A∗

)2

=1

M2

[2

γ + 1+ M2 γ − 1

γ + 1

]



Relazione Mach-Area

0

2

4

6

8

10

0.5 1 1.5 2 2.5 3

(A*/

A)2

M

(A*/A)2

Figura: Relazione Mach-Area



Considerazioni: relazione Mach-Area

La relazione Mach-Area rappresenta una soluzione di flussoisoentropico associato ad una data distribuzione assegnata di aree.Si osserva che per ciascun valore del rapporto A∗/A esistono duepossibili soluzioni isoentropiche, una subsonica ed una supersonica.



Considerazioni: relazione p/po

Se il rapporto tra la pressione di uscita e quella di ingresso esuperiore al valore critico che rende sonico il flusso nella sezione digola (p∗/p0 = 0.528), il flusso sara subsonico in tutto il condotto.La conservazione della massa imporra la stessa velocita in sezionidi condotto aventi la stessa area. Se il rapporto tra la pressione diuscita e di ingresso e inferiore al valore critico il flusso diventerasupersonico nella parte divergente ma, affinche permangano lecondizioni isoentropiche, il valore di pressione di uscita dovraassumere un valore ben preciso pertinente alla soluzioneisoentropica.



Considerazioni

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0 1 2 3 4 5

p/po

M

p/popcr/po=0.528

Figura: Andamento del rapporto di pressione.


26/11,2-3/12 2009 Flusso isoentropico in ugelli supersonici: Comportamento fisico dell’ugello

Comportamento fisico dell’ugello

E utile descrivere il comportamento fisico del flusso all’interno diun ugello, immaginando di partire da condizioni di arresto, ossia distessa pressione in corrispondenza delle sezioni di ingresso e diuscita. In una tale situazione ovviamente non sara presente alcunmoto. Si immagini di ridurre la pressione nell’ambiente di uscita adun valore pe1 leggermente minore di p0. Si instaurera un flussodalla sezione di ingresso a quella di uscita ed una conseguenteredistribuzione delle pressioni all’interno del condotto. La portatadell’ugello aumentera come conseguenza della diminuzione della pe .



Comportamento fisico dell’ugello subsonico

ue pe Te

Ae

M

x

M<

1

1 0M

e1

Me3

Me2

0

0.528

1

x

pe/p

o

M<

1

Mt

ut pt Tt

At

uo po To

Ao

8

At

pe3/

pope

2/po

pe1/

po

Figura: Ugello isoentropico subsonico.




Riducendo ulteriormente la pressione dell’ambiente di uscita, siraggiungera il valore pe3 discriminante che rende sonica la sezionedi gola.

A partire dalla pressione discriminante pe3 ogni ulteriore

diminuzione della pressione: non produrra piu alcun

incremento della portata, l’ugello diventera “chocked” ossia

strozzato; le condizioni di flusso nel tratto subsonico

rimarranno “congelate”.

Si noti che al di sopra della pressione critica il condotto rimanesubsonico e tutte le infinite soluzioni di flusso sono isoentropiche.




E importante notare che al di sotto di pe3 la soluzione di flussoisoentropico diventa unica, ossia quella corrispondente alla“pressione di adattamento” pe6.Qualsiasi valore di pressione esterna pe3 > pe > pe6 non

ammette flusso isoentropico.

Nella parte divergente del condotto si manifesta un’onda d’urtoretta che si sposta verso la sezione di uscita, di mano in mano chela pe esterna approccia la pressione di adattamento pe6. Attraversol’onda d’urto, che separa le due zone sub e supersonicaisoentropiche, si ha un brusco incremento di pressione e di entropia.



Comportamento fisico dell’ugello supersonico

u* p* T*

A*

M

x

M<

1M

>1

1 0 0

0.528

1

x

Me6

pe6/

po

T/T

o

p/po

0.8331

Te6

/To

uo po To

Ao

A*

8

M*=

1

Te6

pe6

ue6

Ae

Figura: Ugello isoentropico supersonico.



Comportamento fisico dell’ugello non isoentropico

uo po To

Ao

A*

8

ue pe Te

Ae

u* p* T*

A*M*=

1

M<

1

0

0.528

1

x

pe/p

o

pe6/

po

M>

1

d

pe1/

pope

2/po

pe3/

pope

’/po

pe’’/

po

M’<

1M

’’<1

Urto retto

Urto retto

Figura: Ugello non isoentropico supersonico.




Di mano in mano che la pressione esterna scende, l’onda d’urto sisposta verso la sezione di uscita. Per un certo valore della pressioneambiente pe5 l’onda durto si trovera esattamente sulla sezione diuscita. Questa separera la parte supersonica interna (totalmenteisoentropica) del flusso, che avra cosı avuto modo di raggiungere ilvalore di pressione pe6, dall’ambiente esterno alla pe5.




uo po To

Ao

A*

8

Ae

Te5

ue5

pe5

u* p* T*

A*M*=

1

M<

1

0

0.528

1

x

pe6/po

pe5/po

ue6

pe6

Te6

M>

1

01

pe/p

o

M

x

Me6

Me5

Figura: Ugello supersonico: urto sull’uscita.




Diminuendo ulperiormente la pressione dell’ambiente di uscita adun valore pb tale da essere pe6 < pb < pe5 l’urto si indeboliradiventando obliquo e spostandosi al di fuori della sezione di uscita.Attraverso l’urto obliquo il flusso subira una compressione da pe6 alvalore esterno pb. L’ugello in questa configurazione si dicesottoespanso poiche il flusso e stato espanso ad una pressioneminore di quella dell’ambiente esterno alla quale si raccordera conun urto di compressione obliquo.




uopoToAoA*

8

ue6pe6Te6

ubpbTb

pe6<pb<pe5

u*p*T*A*

M*=1

M<1 M>1

Figura: Ugello supersonico sottoespanso: urto obliquo.



Comportamento fisico dell’ugello adattato

Quando la pressione dell’ambiente di uscita raggiunge il valoreesatto pb = pe6 della pressione di adattamento l’urto scompare.L’ugello in questa configurazione si dice adattato poiche haespanso isoentropicamente, quindi senza fenomeni di irreversibilita,il flusso fino alla pe6 di adattamento esterna.



Comportamento fisico dell’ugello adattato

uopoToAoA*

8

ue6pe6Te6

u*p*T*A*

M*=1

M<1M>1

Figura: Ugello supersonico adattato.




Quando la pressione dell’ambiente di uscita scende al di sotto delvalore della pressione di adattamento pb < pe6 il flusso deveespandersi per raggiungere la pressione esterna. Compaiono delleonde di espansione all’uscita. L’ugello in questa configurazione sidice sovraespanso poiche ha espanso il flusso fino alla pe6

maggiore della pb ambiente.




u*p*T*A*

M*=1

M<1M>1

ue6pe6Te6

uopoToAoA*

8

pb<pe6

Figura: Ugello supersonico sovraespanso.



Geometria dell’ugello

Figura: Ugello supersonico

Si ricordi che la geometria dell’ugelloA(x) e stata data come assegnata. Ineffetti il dimensionamento geometricodi un ugello in grado di accelerareisoentropicamente un flusso dallacondizione di arresto fino al motosupersonico andrebbe fatto ricorrendoal “metodo delle caratteristiche”.Questo permetterebbe di tenere inconto gli effetti tridimensionali delmoto supersonico e di ricavarel’andamento A(x).


26/11,2-3/12 2009 Flusso isoentropico in ugelli supersonici: La portata di un ugello

Portata attraverso un ugello

Si e visto che la portata che attraversa un ugello dipende dalladifferenza di pressione tra la sezione di ingresso e quella di uscita.Riducendo la pressione dell’ambiente di uscita rispetto a quella diingresso si inneschera un flusso la cui portata prisulta espressadalla nota relazione:

m = ρAu

Rielaborando l’espressione della portata massica la si puo esprimerein funzione del rapporto tra la pressione esterna e di arresto:

m = Ap

RTu = A

√γ

R

p√T

M = AP0

√γ

RT0

(p

p0

) √

T0

TM




Sostituendo in questa ultima relazione le espressioni√

T0T

e di M

ricavate in precedenza e relative alle relazioni isoentropiche:

√

T0

T=

(P0

P

) γ−12γ

M =

√√√√

[(P0

P

) γ−1γ

]

2

γ − 1




si ottiene l’espressione della portata massica in funzione delrapporto tra la pressione di uscita e quella di arresto:

m =Ap0√RT0

√

2γ

γ − 1

(p

p0

) 1γ

√

1 −(

p

p0

) γ−1γ




Partendo dal valore (p/p0) = 1 e diminuendo la pressionedell’ambiente esterno la portata aumenta fino a raggiungere unvalore massimo. Come si e gia visto tale valore corrisponde a quelloche rende sonica la gola. Diminuendo ulteriormente il valore dellapressione esterna l’ugello risultera chocked. Il flusso presenteradelle onde d’urto all’interno dell’ugello finche non si perverra allapressione esterna di adattamento. Volendo calcolare la pressione digola Pt che rende massima la portata, bastera eseguire la derivatadella m e ricavare il rapporto (pt/p0) per il quale:

dm

d(

pt

p0

) = 0




Dallo svolgimento dei calcoli si ottiene:

dm

d(

pt

p0

) = 0per=⇒

(pt

p0

)

=

(2

1 + γ

) γ

γ−1

= 0.528

Se (pt/p0) < 0.528 la portata rimane costante. Cio si spiegapensando che l’informazione di abbassamento della pressioneesterna, che viaggia alla velocita del suono, non riesce a risalire ilflusso che nella sezione di gola e sonico.




0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

dm/d

t

(p/po)

Andamento della portata

0.528

dm/dt

Figura: Andamento della portata




La portata massima ottenibile risulta:

m =Atp0√RT0

0.6847 =⇒ m ∝ Atp0√RT0

Essa puo essere comunque incrementata agendo sull’area dellasezione di gola At e sulle grandezze di arresto p0 e T0.


26/11,2-3/12 2009 Flusso isoentropico in ugelli supersonici: Esercizio

Esercizio

Esercizio 1

Si dimostri che un endoreattore supersonico sviluppa la spintamassima quando e funzionante i condizioni di adattamento. Sisupponga che l’area nel tratto divergente sia una funzione linearedella coordinata e che il flusso sia isoentropico.Svolgimento

Prima di tutto si applica l’equazione della conservazione dellaquantita di moto per ricavare l’espressione della spinta:

uem = −Ae(pe − p0) + Θ

che viene esercitata sul gas contenuto all’interno del volume dicontrollo.



Esercizio

Questa rappresenta in verso opposto la spinta che il gas espulsoesercita ulle pareti dell’ugello.

Θ = uem + Ae(pe − p0)

u*p*T*A*

uepeTeAe

M>1

M=1

uopoTo

Figura: Schema di endoreattore



Esercizio

La pe nella sezione di uscita potra essere variata alterando lalunghezza del tratto divergente. La condizione di massima spintasara ottenuta imponendo:

dΘ = 0

d(ueme) + d [Ae(pe − p0)] = 0

ue

=0︷︸︸︷

dme +medue + (pe − p0)dAe + Aedpe = 0

ueAeρedue + (pe − p0)dAe + Aedpe = 0

Ae (ρeuedue + dpe)︸︷︷︸

=0

+(pe − p0)dAe = 0



Esercizio

Infatti sfruttando l’ipotesi di adiabaticita del flusso:

h0 = cost

d(h0) = 0 ⇒ dhe + uedue = 0

dhe = −uedue

e di isoentropicita:

Tedse = dhe − vedpe = 0

dhe = vedpe

si ottiene in definitiva:

ρeuedue + dpe = 0



Esercizio

Si conclude quindi che T e stazionaria per pe = p0 ossia nellecondizioni di adattamento. Resta da dimostrare che la condizionetrovata e un massimo per la spinta.

d2Θ ≶ 0

d [dAe(pe − p0)] ≶ 0

d2Ae︸︷︷︸

=0

(pe − p0) + dAedpe ≶ 0

dAedpe ≶ 0



Esercizio

Conclusione

Dato che l’ugello e per ipotesi supersonico allora dpe/dAe < 0 percui:

dAedpe < 0

quindi alla condizione adattatamento corrisponde un massimo dellaspinta Θ.



Considerazioni

uepeTeAe

u*p*T*A*

M=1

uopoTo

M>1

L

(p−po)

Figura: Lunghezza ugello adattato

Si puo intuire qualitativamentedalla figura a fianco come lacondizione di spinta massimacorrisponta a quella di un ugellola cui lunghezza e tale da nonrenderlo ne sovraespanso (aventemargine di guadagno di spinta),ne sottoespanso (aventecontributi di spinta negativi).


26/11,2-3/12 2009 Diffusori: Generalita

Diffusori

Un diffusore e un condotto atto a rallentare il flusso che lo attraversadalla sua sezione di ingresso a quella di uscita. La forma geometrica deidiffusori subsonici e, come si puo intuire da quanto studiato circa icondotti divergenti e convergenti, drasticamente diversa da quella deidiffusori supersonici:

Figura: Presa d’aria di unG91 PAN

Figura: Presa d’aria di unLightning

Figura: Presa d’aria di unSR-71


26/11,2-3/12 2009 Diffusori: Diffusore: caso ideale e caso reale

Diffusore ideale

Tenendo conto del fatto che:

• il rallentamento del flusso deve essere fatto in modo che sianoevitati il piu possibile fenomeni dissipativi;

• la pressione totale del flusso puo essere vista qualitativamentecome la misura della sua capacita di compiere lavoro;

si intuisce come un diffusore debba essere concepito in modo taleche la sua geometria venga elaborata mantenendo inalterata la

pressione totale del flusso che lo attraversa.



Diffusore reale

Si puo facilmente immaginare come la realizzazione di un diffusoreisoentropico sia possibile solo idealmente: la stessa geometria deltratto convergente disturberebbe il flusso generando la nascita dionde d’urto oblique che distruggerebbero la natura isoentropica delflusso. A questo si aggiungono gli effetti dovuti alla viscosita delgas reale che produrrebbe un incremento dell’entropia nello stratolimite a partire dalle pareti solide. In un diffusore reale il flussoviene rallentato da una serie di onde d’urto oblique riflesseall’interno del condotto che nella gola e costituito da un tratto asezione costante. In genere il passaggio al regime subsonicoavviene attraverso un’onda d’urto retta debole.



Diffusore reale

Infine il definitivo rallentamento avviene nel tratto divergente delcondotto. E da notare come la presenza dello strato limite porti adavere una sezione di gola piu grande nel caso reale rispetto aldiffusore ideale.

u*p*T*A*

M*=1

po1so1

p02=po1so2=so1

M1>1 M2<1

Figura: Diffusore ideale

M<1

M~1

po2<po1M2<1

so2>so1

M1>1

po1so1

Urto retto debole

Figura: Diffusore reale


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