ABREVIATURAS

P.- ProyeccionesT.- TrazasM.- Máxima pendiente y máxima inclinaciónDI.- DistanciasI.- InterseccionesPA.- ParalelismoPE.- Perpendicularidad

A.- AbatimientosG.- GirosCP.- Cambios de plano

COLORES

ROJO: Ejercicios propuestos en el actual curso académico.MAGENTA: Ejercicios propuestos en el anterior curso académico.AZUL: Ejercicios propuestos dos cursos atrás.VERDE: Ejercicios propuestos tres cursos atrásTachado: Ejercicios del libro de Patxi

DORADO: Soluciones

Solución 1P

Diédrico.- Proyecciones

1P.- Dibujénse las tres proyecciones de un triángulo (ABC), cuyo vértice (A) pertenece al planovertical de proyección, el vértice (B) al plano horizontal de proyección, el vértice C al ejeOY. El lado BC es frontal.Datos: A(15,?,10) - B(9,10,?) - C(?,?,?). U=1/2El alumno deberá hallar los datos que faltan. Unidades en cm.

Solución

Solución 2P

2P.- La recta R pasa por los puntos A(17,0,24) y B(56,32,32). Encontrar las proyecciones deun punto de dicha recta que tenga un alejamiento de 24 mm, así como las trazas de larecta dada.Papel apaisado. Medidas en mm.Tiempo estimado 2'30"

Solución:

Solucion 3P

3P.- La traza horizontal de un plano oblicuo forma 30E con la LT y la traza vertical, 60Econ la LT. Representar la proyección horizontal de un punto de este plano quetenga 20 mm de cota.

Solución:

4P.- Dado un punto de cota 3 y alejamiento 4, se pide situarlo en los 4 cuadrantes,indicando su posición respecto a los bisectores.

Solución 5P

5P.- Determinar las proyecciones de un punto situado en el 4º cuadrante, en el espaciocomprendido entre el vertical de proyección y el segundo bisector.

Solución:Obsérvese en la zona superior izquierda de la figura la representación espacial de unpunto cualquiera A del 4º cuadrante, comprendido entre el vertical de proyección y el 2ºbisector.Trasladado al diédrico ambas proyecciones del punto deberán quedar por debajo de laLT como corresponde a los puntos del 4º cuadrante, pero en este caso, necesariamente,el alejamiento es menor que la cota por lo que el resultado se presentará según la figura.

1 2 6P.- Por un punto A(2,2,2'5) trazar una horizontal que corte a una recta oblicua R -Rcualquiera. Especificar el punto de intersección. Medidas en cm.

Solución 7P

7P.- Situar un punto A en el horizontal anterior; otro B en el vertical superior; un tercero C enel horizontal posterior y por último, uno D en el vertical inferior, representándolos por susproyecciones.

Solución:

Solución 8P

8P.- Por un punto A(0,1,3) trazar una horizontal que corte a la recta BC, siendo B(1,3,1) yC(6,1,6). Determinar el punto de corte.Medidas en cm.

Solución:

Determínense el punto A y la recta BCdadas por sus coordenadas. Puesto quelas rectas horizontales son aquellas quetienen la proyección vertical paralela alplano horizontal de proyección, tráceseuna recta paralela a la LT y que pasan-

2do por A corte a la proyección vertical

2 2 2B -C en P .

2Bájese una vertical por P para obtener

1P .

1 1A -P será la proyección horizontal de larecta que pasa por el punto de corte P.

Solución 9P

9P.- Sobre una recta dada AB determinar un punto de cota 3 por encima del plano horizontal.Datos: A(1,3,1) B(6,1,6)

Solución:

Determínese la recta AB dada por sus coordenadas. Dicha recta es una recta oblicua que atraviesa el primer cuadrante.Puesto que el punto de cota 3 ha de estar por encima del plano horizontal, el punto tienecota positiva, por lo que el punto pedido también se encuentra en el primer cuadrante.Para determinar el punto de cota 3 pedido, basta con trazar, a 3 cm, una paralela a la LT

2 2 2que corte a A -B en P .

Figura 18P

10P.-11P.-

12P.- La base de un tetraedro regular se encuentra en un plano de perfil. Sabiendo queuno de los lados de la base se encuentra situado en la traza horizontal y que unode los vértices de este lado se halla en la LT, representar la base del tetraedro.

13P.- Dibujar las proyecciones diédricas de los puntos A(3,3,4), B(-3,2,5), C(-2,4,-3)

1 214P.- Conocemos un punto A -A del plano horizontal; hallar las proyecciones de lospuntos de este plano que disten 4 cm de A y 3 cm de la LT.

15P.- Dibújense las tres proyecciones de un triángulo (ABC) cuyo vértice (A) perteneceal primer plano bisector, el lado (AC) es frontal y el lado (BC) es perpendicular alplano frontal de proyección. Dibújese el triángulo en verdadera magnitud. Datos: A(12,?,4) - B(3,10,12) - C(?,?,?). U=1/2 cm.

16P.-17P.- Determinar un punto del plano vertical, situado debajo del horizontal de cota 4.

18P.- Explicar si el punto de la figura se encuentra situado o no, en el plano.

Solución 19P

1 219P.- Se da un punto A -A del tercer diedro, de cota c y alejamiento a; hallar las proyecciones

1 2del punto B -B , simétrico del dado respecto al primer bisector.

Solución:Auxiliándonos de la vista de perfil, desde la cual los planos de proyección se ven comorectas, representamos el punto A del tercer diedro o cuadrante, de cota c y alejamientoa, así como el primer bisector. Por el punto A trazamos una recta perpendicular a él ysobre ésta tomamos el punto B pedido, simétrico del A.Girando el plano horizontal sobre el vertical, en torno a la LT, para hallar la representa-ción diédrica, observamos que las proyecciones horizontales quedan por encima de éstacomo corresponde a la representación de puntos situados en el tercer cuadrante. Ademásla cota del punto B es de igual magnitud que el alejamiento de A y viceversa.

Figura 20P

Solución 20P

20P.-Hallar las proyecciones horizontales de la figura.

Solución:

Trácese por un punto cualquiera un plano de perfil y determínese la traza del plano quepasa por la LT y definido por el punto M.Determinado el plano hállese la 3ª proyección de cada uno de los puntos dados en él.Obtenidos estos es fácil obtener las proyecciones horizontales de todos los vértices dela figura.

3El sentido de la flechas indica el modo de obtención del punto M (necesario paradeterminar la traza del plano) y el de los vértices.

Figura 21-P

21P.- Dado el segmento AB contenido en un plano de perfil, dibujar las proyecciones de unsegmento MN de 10 mm de longitud y que esté contenido y centrado en AB. (Selectividad.Madrid. Setiembre 94)Tiempo estimado 4'

Figura 22P

22P.-Dibujar las proyecciones de un tetraedro regular de arista AB apoyada en el planohorizontal y totalmente contenido en el primer cuadrante. (Selectividad. Setiembre 1994)

23P.- Dibujar las proyecciones: horizontal, vertical y lateral derecha, de un octaedroregular de 5 cm de arista, que está apoyado por uno de sus vértices en el planohorizontal. (Castilla-La Mancha. Selectividad 1994)

Figura 24P

24P.- Explicar si el punto de la figura adjunta se encuentra en el plano á.

Solución 24P:Si un punto tiene su proyección horizontal sobre la traza horizontal del plano oblicuo yademás tiene cota no puede estar situado sobre el plano oblicuo.

Ejercicio 25P

1 225P.- Determinar si el punto A -A está situado en el plano paralelo a la LT.Patxi

Figura 26P

26P.- Hallar las proyecciones horizontales del triángulo situado en el plano oblicuo.Patxi

27P.- Situar un punto de alejamiento 35 mm en el plano en que se encuentra el triánguloABC.Datos: A(20,30,15) B(30,25,25) C(50,30,10)Patxi

Figura 28P

128P.- Dada la proyección horizontal A de un punto A determinar la proyección vertical sabiendoque A dista 3 unidades de la LT.

Izquierdo

Solución:

Solucion 28P

29P.- Dadas las rectas A(-30,50,40), B(28,y,11) y C(0,-25,-30), D(37,-26,-25) determinarsi se cortan o se cruzan, teniendo en cuenta que el punto B pertenece al primerbisector.Pág.27. Ejercicios resueltos de Aparejadores. Tomo I

30P.-

Figura 31P

31P.- Dada la esfera cuyas proyecciones se indican en la figura, dibujar las proyeccionesde un cubo inscrito en ella de modo que cuatro de sus aristas sean verticales, otrascuatro de punta y otras cuatro paralelas a la línea de tierra.

Selectividad. Madrid. Junio 1996

32P.- Dado un plano definido por sus puntos A(30,10,8), B(43,5,23) y C(54,15,17):- Dibujar sus trazas- Colocar sobre el plano la recta horizontal de cota 17 mm y dibujar sus proyeccio-nes. (medidas en mm.)Selectividad. Valencia 1995

Figura 33P

233P.- Siendo L la proyección vertical de un lado de un exágono contenido en el planoP, completar sus proyecciones.

Ejercicio 34P

34P.- Averiguar si se cortan o no dos rectas dadas, una de perfil y otra cualquiera

Ejercicio 35P

35P.- Hallar la proyección horizontal del cuadrilátero ABCD, sabiendo que está contenidoen el plano P.(Madrid. Selectividad junio 1997)

Solución:

Basta trazar rectas horizontales del plano para hallar la proyección horizontal del cua-drilátero

36P.- Determinar las proyecciones de la esfera de centro O y tangente al plano P del que se

1 2conocen sus trazas P y P(Selectividad Donostiarra)

Ejercicio 36P

Solucion 36P

Figura 1T

Solución 1T

DIÉDRICO.- Trazas

1T.-Dibujar las trazas del plano determinado por las rectas R y S.

Solución:Hállense las trazas de la recta R situada en el primer cuadrante siguiendo los pasos delcaso general descrito en la Fig.7.35.A continuación, repítase el proceso para la recta S, situada, como indican sus proyeccio-

snes, en el tercer cuadrante y siguiendo el mismo caso general localícense sus trazas H

sy V . Para ello basta recordar que para hallar la traza horizontal de una recta, se prolongasu proyección vertical hasta la LT y por el punto de corte con ella se levanta una verticalque corte a la proyección horizontal de la recta. El punto de intersección de la vertical conla proyección horizontal de la recta será la traza horizontal. Para hallar la traza vertical basta con prolongar la proyección horizontal de la recta hastala LT lugar por donde pasará la vertical que al cortar a la proyección vertical de la rectadeterminará su traza vertical.El ejercicio se resuelve sabiendo que todas las trazas verticales de los planos unen trazasverticales de las rectas en él contenidas, y que las trazas horizontales de los planos unen,también, trazas horizontales de sus rectas. En el ejercicio planteado, las trazas del planoresultante es una línea al confundirse la traza vertical y la horizontal del plano.

Ejercicio 2T

Solución 2T

2T.-Dibujar las trazas del plano determinado por la recta horizontal r y la frontal s.(Madrid. Selectividad 1994)Tiempo estimado 1'

Solución:

Sabiendo que dos rectas determinan un plano es fácil deducir que la traza horizontal delplano será una línea que pase por las trazas horizontales de las rectas y la traza verticaldel plano unirá las trazas verticales de ambas rectas.

s 1Para resolver el ejercicio basta con trazar por H , y desde la LT, una línea paralela a R

Rpuesto que H se encuentra en el infinito, con lo que se obtendrá la traza horizontal del

1 2 Rplano á . Para obtener la traza vertical del plano á , se hace pasar por V una paralela a

2S .Ambas trazas del plano se encuentran en la LT.

3T.- Hallar las trazas del plano definido por los tres puntos dados y la longitud del ladomayor del triángulo que determinan. (Selectividad. Madrid. Junio 1992)

4T.- La recta R pasa por los puntos A(20,13,8) y B(50,21,18). Encontrar las proyeccio-nes de un punto de dicha recta que tenga un alejamiento de 18 mm, así como lastrazas de la recta dada.

5T.- Dadas las proyecciones de una recta, se pide: Determinar sus trazas e indicar loscuadrantes que atraviesa.

1 2 1 26T.- Hallar las trazas de un plano determinado por dos rectas r -r y s -s paralelas a laLT.Izquierdo. Revisar enunciado

7T.- Un punto tiene sus proyecciones coincidentes con las trazas homónimas de unplano. Explicar si el punto pertenece al plano.Patxi

8T.- La recta A(4,-5,-3), B(0,0,0) y el punto M(4,3,5) definen un plano. Hallar sus trazas.Pág.34. Ejercicios resueltos de Aparejadores. Tomo I

Figura 9T

9T.- Dibujar las trazas del plano á definido por la recta r y el punto A.Ejercicio propuesto para la selectividad 1977. Madrid

Ejercicio 10T

10T.- Mediante paralelismo, hallar las trazas del plano á definido por las rectas r (dadapor A y B) y s, que es paralela a r pasando por el punto C perteneciente al 1er

bisector.Ejercicio propuesto para la selectividad 1977. Madrid

Figura 11T

11T.- Hallar las trazas de la recta R.

Solución 11T

Figura 12T

Solución 12T

12T.- Dibujar las trazas del plano á dado por las rectas, R de perfil, formando 30E con elPV y, S horizontal, formando 45E con el PV. Ambas rectas se cortan en el punto A.Propuesta para la PAU

Solución:

Solución 1M

DIEDRICO.- Máxima pendiente y máxima inclinación

1M.- Dado un plano oblicuo P, dibujar en él: 1) una horizontal del plano, 2) un punto A quepertenezca al plano, 3) una recta de máxima inclinación y que pase por el punto A.Datos: traza horizontal de P= 30E

traza vertical de P= 60E

Solución: Sin comentarios

Solución 2M

2M.- En un plano proyectante vertical cuya traza oblicua forma con la LT un ángulo de 60E,situar una línea de máxima pendiente y en ella un punto de cota 8 mm.

Solución: Dibujamos la recta de máxima pendiente que tiene que tener la proyecciónhorizontal perpendicular a la traza horizontal del plano. Trazamos una paralela a la LT a8 mm para localizar la proyección vertical del punto.

Figura 3M

Solución 3m

2 3M.- Dado un plano á y un punto A de él, de proyección A dada, trazar la recta máximainclinación del plano que pasa por A.(Izquierdo Asensi)

Solución: Siguiendo el caso general dibujamos la proyección vertical de la recta demáxima inclinación que debe ser perpendicular a á y que prolongaremos hasta la LT.Desde esta levantamos perpendicular hasta la traza del plano.Cuando la proyección vertical de la l.m.i. corta a la traza dibujamos otra perpendicular ala LT y ....... (en realidad es una simple aplicación del caso general)

Figura 4M

4M.- Trazar una línea de máxima inclinación del plano P por el punto A del que se conocela proyección A.

DIEDRICO.- Distancias

1DI.- Dados tres puntos: A, B, C por sus proyecciones, se pide:a) trazar el plano determinado por ellos.b) determinar la distancia de un cuarto punto D al plano.Datos: A(0,2,2) B(3,0,5) C6,6,2) D(-5,6,6)

2DI.- Dibujar las proyecciones del segmento correspondiente a la mínima distancia delpunto A(30,20,-20) a la recta r que pasa por P(-60,0,0) y N(0,60,50)Pag.7-22 Ejercicio 7-1 del libro de Dibujo Técnico 1 (Primera parte). Universidad deBilbao. E. Zorrilla y J. Muñiozguren. Resuelto en pág. 7-27

3DI.- Explicar y desarrollar la mínima distancia de un punto a un plano oblicuo.

4DI.- En proyección diédrica, sea el punto A(-20, -58, 24), y las rectas r, pasando porP(0,30,30) y Q(30,20,10) y la s, paralela a r pasando por T(10,50,50). Hallar ladistancia desde el punto A al plano definido por r y s. Cotas en milímetros.(Selectividad. Cantabria. 1995)

5DI.- Hallar la distancia de un punto a un plano oblicuo, cuya traza horizontal forma 45E con laLT. La traza vertical mide 60E.El punto A tiene de cota 40 mm y alejamiento 20 mm y su proyección vertical está sobrela traza vertical del plano.

6DI.- Hallar la distancia de un punto de cota 50 y alejamiento 10, a un plano que pasa por laLT., determinado por un punto M de cota 20 y alejamiento 30.

Figura 7DI

7DI.- Hallar la distancia del punto A, a la recta R.Tiempo estimado 4'

Figura 8DI

8DI.- La recta r es de máxima pendiente de un plano á. Se pide hallar el pie de la perpendiculartrazada desde el punto A sobre dicho plano. (Selectividad junio 93).Tiempo estimado 4'

1 29DI.- Determinar la distancia entre el punto A - A y el plano M.

Figura 10DI

10DI.- Hallar la distancia del punto A al plano P

Figura 11DI

1 2 111DI.-Hallar la distancia, en verdadera magnitud, entre la recta R(R -R ) y el punto A(A -

2A ). Propuesta Alkala NaharTiempo estimado 8´

Figura 12DI

12DI.-Dibujar las posibles proyecciones verticales del segmento AB, sabiendo que suverdadera dimensión es de 45 mm.Ejercicio de la PAU (Junio 1996)

13DI.-Determinar los puntos de la superficie de la esfera que se encuentran a unadistancia de 40 mm del punto A.(PAU. Madrid. Setiembre 2005)

Solución 13DI:

Ejercicio 13DI

Solución 13DI

14DI.- Dadas una semirecta R y uno de sus puntos extremos A, por sus dos proyeccio-nes, hallar las proyecciones del punto extremo B del segmento sabiendo que éste mide4 cm.

Solución 14DI

Ejercicio 14DI

Solución 1I

DIEDRICO.- Intersecciones

1I.- Hallar la intersección de un plano á que pasa por la LT y definido por un punto M de cota4 cm. y 6 cm. de alejamiento, con un plano ß paralelo al plano vertical.El alejamiento de ß son 2 cm.Se pide hallar la cota de la recta intersección.

Solución: Se representan ambos planos por sus trazas y se llevan al perfil, donde se puedeobservar su intersección.Es el caso 6-8 de intersecciones de la Fig.9.13El punto (R) del perfil, donde se cortan las trazas de los dos planos determina la cota dela recta intersección.

Solución 2I

2I.- Un plano cuya traza vertical forma 30E con la LT y 60E la traza horizontal, se corta con unplano paralelo a la LT de igual cota que alejamiento. Hallar la recta intersección.

Solución:

Solución 3I

3I.- Hallar la intersección de 3 planos á, ß y ð, siendo á proyectante horizontal, ß proyectantevertical y ð paralelo a la LT.

Solución:

Solución:

La intersección de 3 planos es siempre un punto. Se deduce fácilmente del hecho de quela intersección de dos planos es necesariamente una recta y la intersección de esta rectacon el plano restante es un punto. Y este es precisamente el camino para resolver elejercicio.Se halla la intersección de dos cualesquiera de los planos; en la resolución se harealizado la intersección de los planos paralelo a la LT y proyectante horizontal (caso 2-

1 27). Obtenemos así la recta intersección R -R .Se halla, nuevamente, la intersección de la recta R con el plano proyectante vertical y seobtiene el punto de intersección de los tres planos, el punto I dado por sus proyecciones

1 2i -i .

4I.- Dados un plano á (oblicuo) y un plano ß (de canto), hallar su intersección.

Figura 5I

Solución 5I

2 2 5I.- Encontrar las trazas verticales p -q de dos planos oblicuos de los que se conocen sus

1 1 1 2trazas horizontales p y q , así como el punto i -i de su intersección.

Solución:

1 2Se resuelve este ejercicio haciendo que el punto intersección I(i -i ) sea un punto comúna dos rectas que a su vez pertenezcan cada una de ellas a los planos dados por sustrazas. Es decir, una recta al plano P y la otra al plano Q. Para ello basta con trazar una rectaauxiliar del plano cualquiera, bien seauna recta oblicua a los planos de pro-yección o una horizontal del plano o unafrontal, que pertenezca al plano P y quecontenga el punto I y otra recta auxiliarcualquiera que pertenezca al plano Q yque contenga, también, el punto I.Las trazas de las rectas auxiliares deter-minan el punto de paso de las trazas de

2 2los planos P y Q .

Solución 6I

6I.- Hallar la intersección de un plano oblicuo con una recta perpendicular a éste.

Solución:Sean á el plano dado y R la recta perpendicular a dicho plano.Trazamos un plano auxiliar â que contenga la recta R.Se halla la intersección de ambos planos y se obtiene una recta que se cortará con la

1 2dada R en el punto I(i -i ).El punto de intersección I es la solución del ejercicio.

Solución 7I

7I.- Hallar la intersección de dos planos oblicuos opuestos, cuyas trazas horizontales secortan fuera del papel.

Solución:Sean á y â dos planos oblicuos cuyas trazas horizontales se cortan fuera del papel.Para hallar la intersección de estos dos planos basta con trazar un plano auxiliarcualquiera que corte sus trazas verticales (en la Fig. el plano Ù).Se hallan las rectas intersección que produce el plano Ù sobre los planos á y â. Las dos

1 2rectas intersección así producidas se cortan según un punto I(I -I ).Uniendo el punto A -punto común de ambos planos por encontrarse en las trazasverticales de los planos- y el punto I se obtiene la recta intersección de los planos á y â.

Solución 8I

8I.- Hallar la intersección de los planos P(-50, 66, 42) y Q(84, 26, 42)

Solución:

Dada la disposición de los planos, la posible dificultad planteada para la resolución de laintersección se solventa aplicando el caso general: desde el punto donde se cortan lastrazas horizontales de los planos se dibuja una perpendicular a la LT y desde ésta unimoscon el punto donde se cortan las trazas horizontales de los planos; obtenemos así la

2proyección vertical de la recta intersección s . Para obtener la proyección horizontal de

1la recta intersección s llevamos desde el punto donde se cortan las trazas horizontales...

Figura 9I

9I.- Hallar las trazas horizontales de dos planos

2 2cuyas trazas verticales á y â dadas sonparalelas a la LT, conociendo las proyecciones

1 2A -A de un punto de la intersección de ambos.(No usar el plano de perfil)

Ejercicio 10I

1 2 10I.-Hallar el punto de intersección de la recta r -r con el plano

Figura 11I

Solución 11I

1 2 11I.- En la figura, el punto A -A pertenece a la intersección de dos planos, de cada uno de loscuales sólo se conoce una traza. Hallar esa intersección. (Trasladar estos datos al papeldel examen)(Selectividad. Navarra. 1992)

Solución:

Trácese una recta auxiliar del plano que contenga el punto A de forma que la trazahorizontal de la recta se encuentre sobre la traza horizontal del plano. La recta auxiliar se convierte en la recta intersección de ambos planos.La traza horizontal del plano á pasará por la traza horizontal de la recta auxiliar. La trazavertical del plano â pasará por la traza vertical de la recta auxiliar.(Mejor solución con rectas horizontal y frontal)

12I.-Dado el esquema de disposición de datos de la figura, dibujar:

1 2 a) Un plano que pase por el punto A , A .

1 2b) Otro plano que pase por ese punto y contenga a la recta r , r (medidas en mm.)(Selectividad. Navarra. 1992)

13I.- Representar los planos P y Q de los que se conocen: la recta r del plano P, la trazahorizontal del plano Q y la proyección horizontal, i, de la intersección de ambos planos.

14I.-Hallar la intersección de un plano oblicuo, con vértice a la izquierda, cuyas trazahorizontal mide 30E y la vertical 120E con un plano proyectante horizontal cuya trazano perpendicular forma 45E con la LT.

Patxi

15I.- Las rectas A(0,0,0), B(7,0,0) y C(7,4,4), D(3,4,4) definen un plano. Hallar la intersecciónde dicho plano con el P, cuyas trazas forman con la LT un ángulo de 45E la horizontal y60E la vertical, teniendo su vértice a la izquierda y coincidente con el punto A.Pág.58. Ejercicios resueltos de Aparejadores. Tomo I

16I.- Dado el plano P(40,30,-50) y la recta A(-30,40,50), B(24,0,0). Hallar el punto deintersección de ambos, indicando su posición en el espacio.PÁG.77. EJERCICIOS RESUELTOS DE APAREJADORES. TOMO I

17I.- Hallar las proyecciones del punto I de intersección entre R y á.Propuesta para ejercicio de selectividad. Madrid junio 1977

18I.- Hallar las proyecciones de la recta r de intersección entre los planos á y âPropuesta para ejercicio de selectividad. Madrid junio 1977

Figura 19I

19I.-Hallar las proyecciones de la recta R de intersección entre los planos á y âPropuesta para ejercicio de selectividad. Madrid junio 1977

Solición 19i

Figura 20I

20I.- Hallar la recta r de intersección entre los planos á y âPropuesta para ejercicio de selectividad. Madrid junio 1977

21I.- Hallar el punto I de intersección entre la recta R y el plano á

Ejercicio 22-I

22I.-Hallar las proyecciones de la recta intersección entre los planos á y â.

Figura 23I

23I.-ABC definen un plano á. a) Hallar las trazas de á b) Hallar la VM de la distancia entre M y á

Corregir los puntos del enunciado. Hacer que A2-B2 sea paralelo a LT, yque b1-C1 sea paralelo a LT

Ejercicio 24I

24I.-Dados los planos á y â hallar: 1º.- La recta i, de intersección de ambos2º.- El punto P donde esta recta corta al primer bisector

(Ejercicio del libro de prácticas de donostiarra. Dibujo Técnico II)

Ejercicio 25I

Solución 25I

25I.- Hallar las proyecciones del punto I, intersección de la recta R con el plano á. Trazar lasproyecciones de la frontal F, del plano á que pasa por el punto I. (Ejercicio del libro de prácticas de donostiarra. Dibujo Técnico II)

Solución:

solución en el cd de ed. Donostiarra

26I.- Hallar la intersección de la recta r con el plano W

Ejercicio 26I

2 1 1 227I.- Hallar la intersección de los planos á y â, donde á coincide con â y á con â .

Solución 27I

Ejercicio 27I

28I.- hallar la intersección de los planos á y â.

Ejercicio 28

Solución 28I

29I.- Hallar la intersección de los planos á y â.

Ejercicio 29I

30I.- Obtener la intersección de la recta r con la placa ABC, indicando con línea gruesay oculta la visibilidad entre la recta y el plano, en ambas proyecciones

Solución 33I.- primer procedimientoSi se sigue paso a paso a teoría podemos obtener el punto 1 de intersección de la rectacon el plano de la siguiente manera. Se hallan las trazas de la placa: trazas de las rectas

S T Q QAC (H ), BC (V ) y AB (H y V ) con lo que se consiguen las trazas del plano á.Se dibuja un plano proyectante que contenga a la recta R.Se halla la intersección de ambos planos. Cuando la recta intersección corta a R seobtiene el punto 1 de intersección de recta y placa.

33I

Solución 33I

Solución 33I.- segundo procedimiento

Dibujar la intersección de las 2 chapas definiendo las partes vistas y ocultas.

DIEDRICO.- Paralelismo

1PA.- Hallar las proyecciones y las trazas de 2 rectas paralelas contenidas en un planode perfil.

Ejercicio 2PA

Solución 2PA

1 22PA.- Dibujar las trazas del plano que contenga al punto P(P -P ) y sea paralelo a lasrectas A y B.(Guía práctica para el alumno. 2º bachillerato. Ed. Donostiarra)

Solución:

Figura 3PA

3PA.- Trazar un plano paralelo al P, a una distancia de él de 15 mm.

2 24PA.- Hallar las trazas horizontales de dos planos, conociendo las trazas verticales á y â que

1 2son paralelas entre sí y las proyecciones a y a , de un punto de la intersección de ambosplanos.

5PA.- Hallar la distancia entre dos planos oblicuos paralelos

Ejercicio 6PA

26PA.- A es la proyección vertical de un punto A perteneciente al 2º Bisector. Trazar por A unplano â paralelo al á.Ejercicio propuesto para selectividad. Madrid junio1997

7PA.- Dada una recta definida por los puntos A y B y un punto D no perteneciente a ella.Se pide:

1.- trazar una recta paralela a AB que contenga a D.2.- hallar las trazas del plano que contiene al segmento AB y al punto D.3.- trazar un plano paralelo al anterior que contenga a un punto dado E.Ejercicio propuesto para selectividad. Madrid junio1997

Solución 7PA

Figura 8PA

8PA.- Trazar por el punto P, un plano paralelo al plano á.Propuesta para la PAU

9PA.- El punto A pertenece a un plano a, cuya recta de máxima pendiente respecto al

plano horizontal es paralela a la recta R. Hallar las trazas de dicho plano.(PAU Madrid 2015)

Ejercicio 9PA

DIEDRICO.- Perpendicularidad

1PE.- Hallar y trazar las proyecciones de la recta perpendicular desde el punto P, al plano dadoá. Representar la verdadera magnitud de dicha recta.

Ejercicio1PE

Ejercicio 2PE

2PE.- Trácese por el punto A la recta perpen-dicular al plano BCD y determínese elpunto de intersección de la recta y elplano.

Figura 3PE

3PE.- Dada la recta R, por sus proyecciones y un punto A, en ella contenido, se pide trazar unplano perpendicular a dicha recta y que pase por A.

4PE.- Dados 3 puntos A, B, y C mediante sus proyecciones, se pide trazar una recta perpendi-cular al plano por ellos determinado y que pase por un punto cualquiera de dicho planodistinto de los dados.A(0,10,11) - B(15,0,30) - C(35,20,20). U=mm. Papel apaisado.Tiempo estimado 6'

Figura 5PE

5PE.- Por una recta S hacer pasar elplano â perpendicular a otrodado á.

Propuesta para la PAU del IES.A. Gaudí. Coslada

Solución: Un plano es perpendiculara otro si contiene al menosuna recta que es perpendicu-lar al otro plano.Se toma un punto cualquierade la recta S y se dibuja porél una recta perpendicular alplano á. Se determina el plano forma-do por S y la perpendicular ytendremos el plano perpendi-cular al dado.

Solucion 5PE

Hallar la intersección de las dos chapas

DIEDRICO.- Abatimientos

1A.- Hallar las proyecciones y el posterior abatimiento por afinidad, de un triángulo situado enun plano oblicuo cualquiera. El triángulo está definido por los puntos A(3, ?, 2) - B(5, ?,4) - C(6, ?, 1'5)Medidas en cm.

2A.- Explicar el proceso de abatimiento de un plano. Caso general.

3A.- Representar una circunferencia situada en un plano perpendicular al plano vertical y cuyatraza vertical forma 45E con la LT. La circunferencia de radio 30 mm es tangente a lastrazas del plano.

4A.- Dado un plano oblicuo con vértice a la izquierda de la LT cuyas trazas horizontal y verticalforman 45E y 60E respectivamente con la LT. Se pide:a) Abatirlo girando en torno a su traza horizontal y hallar su amplitud.b) Situar en el plano abatido un cuadrado de 4 cm. con un lado incluido en la trazahorizontal y un vértice en la traza vertical, hallando las dos proyecciones sobre el plano.

Solución Ejercicio 4A

5A .- Hallar las proyecciones de una circunferencia de 20 mm de radio situada en elplano y tangente a sus trazas. El plano queda definido por las rectas "A" y "B",horizontal y frontal del plano, respectivamente.

6A.- Hallar las proyecciones horizontal y vertical de un circulo de 30 mm de diámetro,contenido en un plano proyectante horizontal sabiendo que el centro de dicho circulo tienede cota y alejamiento 30 y 40 mm respectivamente. La traza horizontal forma con la LTun ángulo de 30E. (Selectividad)

7A.-Hallar las proyecciones de un cuadrado situado en un plano paralelo a la LT. Este planoforma 60E con el pH y dista 2 cm de la LT. Una de las diagonales del cuadrado forma 60Econ la traza horizontal del plano y sus extremos están sobre las trazas de éste.

8A.- Hallar las proyecciones y el posterior abatimiento, de un triángulo situado en un plano quepasa por la LT y cuyos alejamientos son A=2, B=4, C=3. El plano forma 30E con el pH.

9A.- Abatimiento de un triángulo contenido en un plano oblicuo, sobre el horizontal deproyección. (Selectividad)

Figura 10A

10A.- Dado un plano oblicuo y una circunferenciaincluida en él, en su verdadera magnitud yposición, trazar sus proyecciones.

11A.- Un segmento de recta AB está contenido en un plano dado por sus trazas queforman 90E con el pH y 45E con el pV. Sabiendo que la cota de A es de 3 cm. y lade B, 6 cm. y que la separación de las respectivas líneas proyectantes es de 5 cm.,hallar la otra proyección diédrica del segmento y su verdadera magnitud por mediode un abatimiento. (Selectividad. La Laguna. Junio 1993)Tiempo estimado: 1' 15"

12A.- Dibujar las tres proyecciones de un triángulo ABC cuyo vértice A pertenece al primerbisector, el lado AC es frontal y el BC es perpendicular al plano frontal de proyección.Dibujar el triángulo en verdadera magnitud.A(12,7,?) B(3,10,12) C(?,?,?) U=cm E=1/2

13A.- Dibujar las proyecciones de un hexágono regular de 25 mm de lado contenido en el planodado, sabiendo que su centro es el punto O (del que se da la proyección horizontal), yque al situarlo, dos de sus lados sean rectas de perfil. (Selectividad. Alicante. Junio 1993)

Ejercicio 14A

14A.- Se dan: un plano P, por sus trazas; de una recta T y de un punto C pertenecientes a dichoplano, se dan así mismo sus abatimientos (T) y (C) sobre el P. Horizontal de proyección.Una elipse situada en el plano P dado con centro C, se proyecta en planta como unacircunferencia y su abatimiento sobre el P. Horizontal de proyección es tal que estangente a la recta (T) dada.Se pide: determinar la proyección horizontal y el abatimiento de dicha elipse.

15A.- Abatir el plano á y hallar la verdadera magnitud del segmento AB contenido en á

16A.- A partir de la figura se pide: 1º Hallar las proyecciones diédricas de un triángulo rectángulo abc contenido en el

plano á, sabiendo que sus catetos son iguales y su hipotenusa mide 1 m y tienecomo extremo el punto a.

2º ¿Cuántas soluciones puede admitir?. Explicar las posibles soluciones. 3º Hallar y acotar con cifra y unidad la distancia del punto P al plano á.Nota: Se ruega dejar trazados auxiliares. (Selectividad. Málaga. Junio 1993).

17A.- Hallar las proyecciones de un pentágono regular de 20 mm. de lado situado en un planodel que se sabe que la traza vertical forma 120E con la LT y que un lado del pentágonoestá en dichatraza vertical mientras que el siguiente vértice, se encuentra sobre la trazahorizontal.

18A.- Hallar las proyecciones de un cuadrilátero plano (ABCD) y su verdadera magnitud.Datos: A(18,9,10) - B(6,6,13) - C(0,5,8) - D(10,4,3). U=1/2 cm.

19A.- Dibujar el plano P(-6, 5, 6). Abatirlo en torno a la traza horizontal, hallando suverdadera magnitud y situar en el plano abatido un cuadrado de lado 4 cm., con unlado incluido en la traza horizontal y un vértice en la traza vertical, hallando las dosproyecciones sobre el plano.Propuesta para la PAU del IES. Alkala Nahar.

Solución:

El plano será oblicuo. Su vértice estará a la izquierda del punto origen porque eldesplazamiento lateral es negativo (<).Se abate el plano y se dibuja el cuadrado trazando una paralela a la traza horizontal a 4cm.

Figura 20A

20A.- Hallar las proyecciones de un triángulo equiláte-ro contenido en el plano P. Se conoce la pro-yección horizontal de un vértice A y la vertical Bde otro.

21A.- Hallar la verdadera magnitud delsegmento AB que pertenece al planoá, conociendose su proyección verti-

2 2cal A - B .Propuesta para PAU del IES. Las

Lagunas

1 2 22A.-Dibujar un punto P(P -P ) situado a 5 cm de un plano oblicuo de 60E de amplitud, cuyatraza horizontal forma 45E con la LT. El pie de la distancia se encuentra a 3 cm. del planovertical.Patxi

23A.- Determinar la verdadera magnitud de la cara oblicua del objeto representado(PAU. Madrid. Setiembre 2005)

Solución 23A:

Ejercicio 23A

Solución 23A

24A.- Dibujar las proyecciones del hexágono regular contenido en el plano á. Su centroes el punto O, el lado mide 20 mm y dos vértices del polígono tienen el mismo alejamientoque su centro.

Basta con trazar un rec-ta horizontal del planoque contenga al puntoO para determinar latraza horizontal del pla-no. A partir de este momen-to se halla el abatido de

0O y dibujar el hexágo-no en VMG según losdatos para hallar lasproyecciones.

Ejercicio 24A

Solucion 24A

25A.- Dibujar las proyecciones del hexágono regularcontenido en el plano â sabiendo que los puntos A2 y B2son las proyecciones verticales de los dos vértices de mayorcota.

Ejercicio 25A

26A.- Determinar las proyecciones de la bisectriz de las rectas S y F. Ejercicios selectividad. Donostiarra

Ejercicio 26A

Solución 26A

27A.- Dibujar las proyecciones diédricas de un triángulo equilátero ABC conociendo: F,intersección del plano que lo contiene con el plano vertical; las proyecciones del puntoA y la proyección vertical de B.

Ejercicio 27A

Solución 27A

28A.-Determinar las proyecciones de un hexágono regular centrado en el rectángulo ABCD,situado en su mismo plano y con un lado contenido en el segmento AB(Selectividad Donostiarra)

Solución 28A

29A.- Dibujar las proyecciones de un cubo de arista 6 cm, cuya base está apoyada sobre unplano que tiene sus trazas formando 45E con la LT, y se cortan con ella en el punto mása la izquierda posible.La base se sitúa de tal forma que su diagonal pertenece a una recta de máxima pendientedel plano, sabiendo que el vértice de la base situado en dicha recta se sitúa en el planohorizontal con un alejamiento de 4 cm.(Las Palmas de Gran Canaria. Selectividad 1994)

30A.- Dibujar en el sistema diédrico las proyecciones de un triángulo equilátero contenido enel plano abatido dado, sabiendo que los puntos A y B son los extremos del lado de menorcota

Solución

Solucion 30A

Ejercicio 30A

31 A.- Hallar las proyecciones del triángulo ABC del que se conocen las proyecciones delvértice A y el abatimiento sobre el plano horizontal del triángulo.

Solución 31A:En un abatimiento el puntoreal y su proyección estánunidos por una recta per-pendicular a la traza, aligual que el resto de lospuntos del triángulo lo es-tarán con sus respectivasproyecciones horizontalessiendo todas ellas parale-

1las a (A)-A por la razón deafinidad.Además (caso general) lacota del punto A se debellevar perpendicularmente

1a la recta (A)-A siendo latraza horizontal del planoque contiene al triánguloparalela a dicha recta per-pendicular. Para obtener el punto M depaso de la traza basta con trazar la mediatriz (A)-h.

Ejercicio 31A

Solución 31A

32A.- Dibujar las proyecciones del hexágono regular contenido en el plano â sabiendo

2 2que los puntos A -B son las proyecciones verticales de los dos vértices de mayor cota.

Solución 32A

Ejercicio 32A

DIEDRICO.- Giros

1G.- Dado un plano oblicuo cuya traza vertical forma 60E con la LT y 30E la traza horizontal,así como un pentágono regular en proyección vertical, se pide:

a) la proyección horizontalb) su verdadera magnitud por medio de un giro.

2G.- Utilizando un eje de giro perpendicular al plano vertical, hacer girar una recta oblicuahasta convertirla en una recta perpendicular.

3G.- Por giros colocar un plano oblicuo paralelo a uno de los planos de proyección.

1 2 4G.- Girar un punto a -a alrededor de un eje perpendicular al vertical hasta situarlo en unplano oblicuo cualquiera.

5G.- Transformar, mediante giros, el plano á en proyectante horizontal. Ed. Editex

Solución:Utilizamos un eje de giro perpendicular al pV y contenido en el pH. El punto deintersección, que es directo, permanece fijo, y girando la traza vertical hasta que resulteperpendicular a la LT, obtenemos la posición pedida. Admite dos soluciones.

Ejercicio 5G

Solución 5G

6G.- Transformar, mediante giros, el plano á en proyectante vertical. Ed. Editex

Solución 6G:Se gira el plano entorno a un eje que pasando por M es perpendicular al pH.

Solución 6G

7G.- Transformar, mediante giros, el plano á en proyectante vertical. Ed. Editex

Solución 7G:En este caso el giro lo efectuamos en torno a un eje perpendicular al pH y contenido enel pV para facilitar el punto de intersección I.

Ejercicio 7G

Solución 7G

DIEDRICO.- Cambios de Plano

1 21CP.- Transformar un punto dado A -A , de 20 mm de cota y 30 de alejamiento por medio de uncambio de plano, de modo que su nueva proyección vertical esté sobre la nueva linea detierra y la horizontal sobre la primitiva.

2CP.- Por medio de cambios de plano hallar la verdadera magnitud de la distancia entre dosplanos oblicuos paralelos

3CP.- Dado un plano oblicuo cuyas trazas vertical y horizontal forman con la LT 45E y 60Erespectivamente, en el que se sitúa la proyección horizontal de una circunferenciacontenida en dicho plano, hallar:a) proyección vertical de dicha figura.b) la verdadera magnitud por cambio de plano.El centro de la figura tiene de cota y alejamiento 45 y 35 mm. respectivamente. Sudiámetro es 25 mm.

4CP.- En el sistema diédrico trazar una recta determinada por los dos puntos A ( 2, 4) y B (6,2); hallar la verdadera magnitud del segmento AB mediante un cambio de plano.

5CP.- Dado un plano oblicuo en el sistema diédrico con vértice a la izquierda de la LT, cuyastrazas horizontal y vertical forman 60E y 45E respectivamente con la LT. Transformarlomediante un cambio de plano en un plano perpendicular al vertical.

6CP.- Hallar la distancia de un punto A, a un plano oblicuo por medio de un cambio de planovertical.

7CP.- Dado un punto A con cota y alejamiento, cambiar los planos de proyección de forma quelas nuevas proyecciones del punto estén confundidas.

8CP.- Dada una recta oblicua cualquiera hacer un cambio de plano para que quede de perfil.

9CP.- Mediante un cambio de plano, hacer que el plano oblicuo â se transforme en proyectantevertical. (Operar de modo que en el punto N se corten las trazas que se piden).(Dibujo Técnico. Guía práctica para el alumno 2º bachillerato Logse. Ed. Donostiarra.Lámina 21)Copiar gráfico