แผนการจดการเรยนรท 2 รายวชาคณตศาสตร(พนฐาน) 3 รหสวชา ค 42101 กลมสาระการเรยนรคณตศาสตรโรงเรยนนารายณคำาผงวทยา ระดบชนมธยมศกษาปท 5 ภาคเรยนท 1 ปการศกษา 2553สาระท 4 หนวยการเรยนรท 1 เรอง ความหมายของลำาดบ

เวลา 4.00 ชวโมงมาตรฐาน ค 4.1 อธบายและวเคราะหแบบรป (pattern) ความสมพนธ และฟงกชนตาง ๆ ไดตวชวด เขาใจความหมายของลำาดบเลขคณต และลำาดบเรขาคณต หาพจนตาง ๆ ของลำาดบเลขคณตและลำาดบเรขาคณตและนำาไปใช (ค 4.1-5)วนท เดอน พ.ศ. 2553 ผเขยน ครศกดอนนต อนนตสข……………………………………………………………………………………………………………….ผลการเรยนรทคาดหวง

เขาใจความหมายของลำาดบ และหาพจนทวไปของลำาดบจำากดทกำาหนดใหได

จดประสงคการเรยนร 1. บอกความหมายของลำาดบได2. บอกความหมายของลำาดบจำากดหรอลำาดบอนนตได3. เขยนลำาดบในรปแจงพจนได

สาระการเรยนร1. ลำาดบ2. การเขยนลำาดบในรปแจงพจน

กระบวนการจดการเรยนร

1. ขนสรางความสนใจ ครแจงใหนกเรยนทราบวา เมอเรยนจบคาบเรยนวนนแลว นกเรยนจะสามารถ

1. บอกความหมายของลำาดบได2. บอกความหมายของลำาดบจำากดหรอลำาดบอนนตได3. เขยนลำาดบในรปแจงพจนได4. หาพจนทวไปของลำาดบทกำาหนดใหได

2. ขนสำารวจและคนหา 1. ครนำาอภปรายโดยใหนกเรยนพจารณาความสมพนธของแบบรป

ตอไปน

1 2 3 4 5 6

ในแบบรปขางตน พบวา ลำาดบทของรปและจำานวนจดในรปมความสมพนธกน

รปท 1 2 3 4 5 6จำานวน

จด1 3 6 10 15 21

จากตารางจะเหนวา ความสมพนธของลำาดบทของรปและจำานวนจดในแตละรปเปนฟงกชน

ทม {1, 2, 3, 4, 5, 6} เปนโดเมน และม {1, 3, 6, 10, 15, 21} เปนเรนจ 2. ครและนกเรยนรวมกนศกษาใบความรท 1 เรอง ความหมายของลำาดบ และอภปรายเกยวกบฟงกชน y = f(x) และสรปไดวา - โดเมนของฟงกชน คอ สมาชกตวหนาของคอนดบทกคอนดบในฟงกชน - เรนจของฟงกชน คอ สมาชกตวหลงของคอนดบทกคอนดบในฟงกชน 2. ครตงคำาถามใหนกเรยนรวมกนแสดงความคดเหนเกยวกบฟงกชนทนกเรยนอธบายวา ฟงกชนซงโดเมนเปนเซตของจำานวนนบหรอ“เซตยอยของจำานวนนบ เชน f(1), f(2), f(3), …, f(n), … นเรยกวา ลำาดบ (ลำาดบ คอ ฟงกชนทมโดเมนเปนจำานวนเตมบวก n ตวแรก หรอ ลำาดบ คอ ฟงกชนทมโดเมนเปนจำานวนเตมบวก) 3. ครยกตวอยางฟงกชนและโดเมนของฟงกชน พรอมทงระบวาเปนลำาดบหรอไม ดงน - f1 = {(1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5)} โดเมนของฟงกชน คอ {1, 2, 3, 4} และ เปนลำาดบ - f2 = {(2, 4), (4, 6), (6, 8), . . . } โดเมนของฟงกชน คอ{2, 4, 6, . . . }และ ไมเปนลำาดบ - f3 = {(1, 1), (2, -1), (3, 1), (4, -1)}โดเมนของฟงกชน คอ{1, 2, 3, 4} และ เปนลำาดบ - f4 = {( , 1), ( , 3), ( , 3)} โดเมนของฟงกชน

คอ และ ไมเปนลำาดบ4. ครและนกเรยนรวมกนศกษาใบความรท 1 เรอง ความหมายของ

ลำาดบ และอภปรายเกยวกบความหมายของลำาดบจำากดหรอลำาดบอนนต จนสรปไดวา

- ลำาดบจำากด คอ ฟงกชนซงโดเมนเปนเซตของจำานวนเตมบวก {1, 2, 3, …, n} สำาหรบบางคาคงตว n - ลำาดบอนนต คอ ฟงกชนซงโดเมนเปนเซตของทกจำานวนธรรมชาต (N) และสมาชกในเรนจ เรยกวาพจนของลำาดบ โดยทเรนจเมอ an เรยกวา พจนท n

- ในกรณทไมระบสมาชกในโดเมนใหถอวาเปนลำาดบอนนต 5. ครชใหนกเรยนเหนความแตกตางของลำาดบจำากดและลำาดบอนนตวา ลำาดบจำากดสามารถบอกพจนสดทายของลำาดบได“ แตลำาดบอนนตไมสามารถบอกพจนสดทายของลำาดบได ”

6. ครและนกเรยนรวมกนศกษาใบความรท 1 เรอง ความหมายของลำาดบ และอภปรายเกยวกบการเขยนลำาดบในรปแจงพจน แลวยกตวอยางการหาพจนถดไปของลำาดบ ดงน

ตวอยางท 1 จงเขยนสพจนแรกของลำาดบ an =

วธทำา จาก an = จะได a1 = =

a2 = =

a3 = =

a4 = =

ดงนน 4 พจนแรกของลำาดบนคอ , , , ตวอยางท 2 จงเขยนสพจนแรกของลำาดบ an = (–2)n วธทำา จาก an = (–2)n

จะได a1 = (–2)1 = –2a2 = (–2)2 = 4a3 = (–2)3 = –8a4 = (–2)4 = 16

ดงนน 4 พจนแรกของลำาดบนคอ –2, 4, –8, 16ตวอยางท 3 จงหาพจนถดไปสองพจนของลำาดบ 200 , 195 , 190 , 185 , ……….

วธทำา 200 , 195 , 190 , 185 , 180 , 175

–5 –5 –5 –5 –5

ตวอยางท 4 จงหาพจนถดไปสองพจนของลำาดบ 1 , 4 , 16 ,64 , ……….

วธทำา 1 , 4 , 16 , 64 , 256 , 1024

4 4 4 4 4 7. ครและนกเรยนรวมกนศกษาเพมเตมจากตวอยางท 1-4 ในหนงสอเรยน หนา 4-6 8. นกเรยนทำาแบบฝกเสรมประสบการณท 1 แลวรวมกนเฉลยในชนเรยน

9. ครเปดโอกาสใหนกเรยนสอบถามเนอหา เรอง ความหมายของลำาดบ วามสวนไหนทไมเขาใจและใหความรเพมเตมในสวนนน

3. ขนลงขอสรป 1. ครมอบหมายใหนกเรยนสรปความคดรวบยอดเกยวกบเนอหาทไดเรยนในวนน 2. ครมอบหมายใหนกเรยนทำาแบบฝกหดท 1.1.1 ในหนงสอเรยน สงนอกเวลาเรยน

3. ครมอบหมายใหนกเรยนไปศกษาความร เรอง การหาพจนทวไปของลำาดบ ซงจะเรยนในคาบตอไปมาลวงหนา

สอการเรยนการสอน

1. หนงสอเรยนวชาคณตศาสตรพนฐาน ม. 5 เลม 1 ของ สสวท.2. ใบความรท 1 เรอง ความหมายของลำาดบ

3. แบบฝกเสรมประสบการณท 1 เรอง ความหมายของลำาดบ 4. แบบฝกหดท 1.1.1

การวดผลประเมนผล

การวดผลประเมนผลดาน

วธการวด เครองมอวด เกณฑการผาน

1. ดานความร ความเขาใจ

1.การสร ปความคดรวบยอด2.การทำาแบบฝกหด

1.การสรปความคดรวบยอด2. แบบฝกหดท 1.1.1

1. ทำาไดถกตอง 70 % ขนไป

2. ดานทกษะกระบวนการ

สงเกตจากการปฏบตกจกรรมในชนเรยน

แบบสงเกตพฤตกรรมการทำางาน/ทกษะคณตศาสตร

ไดคะแนนในระดบ 2 ขนไป

3. ดานคณลกษณะทพงประสงค

การสงเกตพฤตกรรมความสนใจ และตงใจเรยน

แ บ บ ส ง เ ก ตพ ฤต กร ร ม ค วา มสนใจและตงใจเรยน

ไดคะแนนในระดบ 2 ขนไป

กจกรรมเสนอแนะ :: - ควรจดกจกรรมฯ โดยเรยนสวนเนอหาและทำาแบบฝกเสรมประสบการณ 2 ชวโมงและใหนกเรยนทำาแบบฝกหดแลวรวมกนเฉลยในชนเรยน 2 ชวโมง (รวม 4 ชวโมง)--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------แนวการจดกจกรรมเพมเตมเนอหา ความหมายของลำาดบ และการหาพจนทวไปของลำาดบจดประสงค เพอใหผเรยนเขาใจความหมายของลำาดบและรจกวธการหาพจนทวไปของลำาดบจำากด

ความหมายของลำาดบผสอนใหผเรยนเขยนจำานวนตอไปน

1) จำานวนนบ 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , ...2) จำานวนเตมบวกทเปนจำานวนค 2 , 4 , 6 , 8 , 10 , ...3) จำานวนเตมบวกทเปนจำานวนค 1 , 3 , 5 , 7 , 9 , ...4) จำานวนเตมบวกทเขยนไดในรปกำาลงสองสมบรณ 1 , 4 , 9 , 16 , 25 , ...

ผสอนแนะนำาวาจำานวนทเขยนอยในแบบรปขางตนเรยกวา ลำาดบของจำานวน และแตละจำานวนในลำาดบเรยกวา พจน5) ผสอนใหผเรยนหาจำานวนถดไปของลำาดบตอไปน พรอมทงบอกเหตผลประกอบ

1) 5 , 10 , 15 , 20คำาตอบ : จำานวนถดไปคอ 25เหตผล : ผลตางของแตละจำานวนเทากบ 5 และ 20

+ 5 = 252) 1 , 8 , 27 , 64

คำาตอบ : จำานวนถดไปคอ 125เหตผล : แตละจำานวนเขยนอยในรปกำาลงสามของ

จำานวนเตมจำานวนถดไปคอ พจนท 5 ซงมคาเทากบ 53

ผสอนใหผเรยนหาจำานวนถดไปของลำาดบตอไปน พรอมทงใหเหตผลประกอบคำาตอบ

1) 7 , 14 , 21 , 28 5) 8 , 64 , 216 , 5122) 4 , 16 , 36 , 64 6) 4 , 9 , 25 , 493) 1 , 27 , 125 , 343 7) 11 , 22 , 33 , 444) 1 , 3 , 9 , 27 8) 1 , 9 , 36 , 100

ในกรณทผเรยนไมสามารถหาคำาตอบได ผสอนอาจแนะนำาวธการสงเกต โดยการยกตวอยางทหลากหลายเพอใหผเรยนหาขอสรปและคำาตอบทตองการไดดงน

พจารณาผลตางของจำานวนในพจนทอยถดไปแตละควา ผลตางดงกลาวมคาเพมขนหรอลดลง

ในกรณทพจนถดไปมคาเพมขน พจนทอยถดไปอาจจะไดจากการบวกหรอคณพจนกอนหนานนดวย จำานวนใดจำานวนหนง

ในกรณทพจนถดไปมคานอยลง พจนทอยถดไปอาจจะไดจากการลบหรอหารพจนกอนหนานนดวยจำานวนใดจำานวนหนง

จากการสงเกตดวยวธการทกลาวมาจะชวยทำาใหไดขอสรปทงายขนดงตวอยางตอไปน

จงหาพจนถดไปของลำาดบตอไปน1) 1 , 4 , 7 , 10 พจารณาผลตางของพจนแตละคในลำาดบ 1 , 4 , 7 , 10

1 4 7 10

3 3 3 3พบวาลำาดบของผลตางมคาเพมขนคงทเทากบ 3นนคอพจนทอยถดไปจะไดจากการนำา 3 ไปบวกกบจำานวนทอยใน

พจนกอนหนานนดงนน พจนถดไปคอ 10 + 3 หรอ 13

2) 100 , 99 , 97 , 94 พจารณาผลตางของแตละพจนในลำาดบ 100 , 99 , 97 , 94

100 99 97 94

-1 -2 -3 -4พบวาลำาดบของผลตางมคาลดลงทละ 1 ไปเรอย ๆ และพจนถดจาก

94 ควรจะมคาลดลงจาก 94 เทากบ 4 นนคอ มคาเทากบ 94 – 4 หรอ 90

จงหาพจนถดไปของลำาดบตอไปนอก 2 พจน1) 1 , 3 , 7 , 13

คำาตอบ 1 3 7 13 21 31

2 4 6 8 10

พจนถดไปจะไดจากการบวกพจนกอนหนานนดงน 13 + 8 = 21 และ 21 + 10 = 312) 16 , 8 , 4 , 2

คำาตอบ 16 8 4 2 1

÷2 ÷2 ÷2 ÷2 ÷2

พจนถดไปจะไดจากผลหารของพจนกอนหนานนดวย 2

3) 2 , 20 , 200 , 2000คำาตอบ 2 20 200 2000 20000 200000

10 10 10 10 10พจนถดไปจะไดจากผลคณของพจนกอนหนานนดวย 10

เมอผเรยนมความเขาใจในวธการหาพจนทวไปของลำาดบจำากดจากตวอยางทผสอนนำาเสนอแลว ผสอนอาจใหโจทยเพมเตม โดยพจารณาจากความสามารถของผเรยน เพอใหผเรยนไดฝกทกษะดงนจงหาพจนถดไปของลำาดบตอไปน

1) 2 , 6 , 10 , 14 10) 20 , 10 , 5 , 2.52) 200 , 195 , 190 , 185 11) 2 , 3 , 6 , 113) 1 , 4 , 16 , 64 12) 3 , 5 , 9 , 154) 729 , 243 , 81 , 27 13) 4 , 7 , 12 , 195) 2 , 7 , 17 , 32 14) 50 , 49 , 47 , 44

6) 5 , 10 , 30 , 120 15) 60 , 58 , 54 , 487) 5 , 4 , 1 , -4 16) 5 , 9 , 17 , 298) 100 , 98 , 94 , 88 17) 8 , 13 , 23 , 389) 7 , 7 , 14 , 42 18) 78 , 75 , 69 , 60คำาตอบ 1) 18 2) 180 3) 256 4)

9 5) 526) 600 7) –11 8) 80 9) 168

10) 1.2511) 18 12) 23 13) 28 14) 40

15) 4016) 45 17) 58 18) 48

สำาหรบบางชนเรยนทผเรยนมความสนใจในเรองการหาพจนทวไปของลำาดบ ผสอนอาจเพมการหาพจนถดไปจากลำาดบทกำาหนดใหโดยวธพจารณาจากผลตางของพจนจากตวอยางทกลาวมาแลว ซงบางครงอาจยงไมสามารถสรปคำาตอบได

ในกรณ เชนนอาจจะใชวธพจารณาลำาดบของผลตางทไดอกครง ดงตวอยางตอไปนตวอยาง จงหาพจนถดไปของลำาดบ 3 , 9 , 19 , 37 , 67 พจารณาผลตางของลำาดบ 3 , 9 , 19 , 37 , 67

3 9 19 37 67

6 10 18 30พบวาผลตางมคาเพมขน แตยงไมสามารถหาพจนถดจาก 67 ไดเพราะไมสามารถบอกไดวา พจนถดไปของลำาดบ 6, 10, 18, 30

คอจำานวนใดพจารณาผลตางของลำาดบ 6 , 10 , 18 , 30

6 10 18 30

4 8 12พบวา ผลตางของลำาดบมคาเพมขนครงละ 4 นนคอ

จากพจนแรกคอ 4 พจนถดไปไดจากผลบวกของพจนแรกคอ 4 บวกกบ 4

ซงเทากบ 8 และพจนถดไปคอ 8 + 4 ซงเทากบ 12 ในทำานองเดยวกนพจนถดไปของ 12 จะเทากบ 12 + 4 หรอ 16*

3 9 19 37 67

6 10 18 30

4 8 12 16 *จาก 16 * จะสามารถหาพจนถดไปของลำาดบของผลตางครงแรก

คอ 30 พจนถดไปไดจากผลบวกของ 30 + 16 ซงเทากบ 46**3 9 19 37 67

6 10 18 30 46**

4 8 12 16 *และจาก 46** เราสามารถหาพจนถดไปของลำาดบ 3, 9, 19, 37,

67 พจนถดไปไดจาก 67 + 46 ซงเทากบ 1133 9 19 37 67 113

6 10 18 30 46**

4 8 12 16 *และดวยวธการเดยวกนน จะสามารถหาพจนถดไปของลำาดบ 3, 9,

19, 37, 67 ไดอกดงนลำาดบของผลตางครงทสอง คอ 4 , 8 , 12 , 16 , 20 , 24ลำาดบของผลตางครงทหนง คอ 6 , 10 , 18 , 30 , 46 , 66 ,

90จากผลตางครงท 1 และ 2 หาพจนถดไปของลำาดบ 3, 9, 19, 37,

67, 113 ไดดงน

3 9 19 37 67 113 179 269

6 10 18 30 46 66 90

4 8 12 16 20 24

จะไดลำาดบ 3 , 9 , 19 , 37 , 67 , 113 , 179 , 269สำาหรบลำาดบทกำาหนดใหบางลำาดบอาจจะตองใชวธเดยวกบทกลาวมา

ขางตนหาผลตางครงท 3 หรอมากกวานนเพอหาพจนถดไป ดงตวอยางตอไปนตวอยาง จงหาพจนถดไปทกำาหนดให โดยใชวธพจารณาผลตางของพจนทอยถดกน

1 1 2 3 5 8 13 21 34

0 1 1 2 3 5 8 13

1 0 1 1 2 3 5

-1 1 0 1 1 2

ลำาดบของผลตางครงท 1 คอ 0 , 1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13ลำาดบของผลตางครงท 2 คอ 1 , 0 , 1 , 1 , 2 , 3 , 5ลำาดบของผลตางครงท 3 คอ -1 , 1 , 0 , 1 , 1 , 2มขอสงเกต จากลำาดบของผลตางครงท 3 ซงเทากบ -1, 1, 0, 1,

1, 2 ดงนพจนท 3 คอ 0 ไดจาก ผลบวกของจำานวนในพจนท 1 และ 2

-1 +1 = 0

พจนท 4 คอ 1 ไดจาก ผลบวกของจำานวนในพจนท 2 และ 3 1 + 0 = 1

พจนท 5 คอ 1 ไดจาก ผลบวกของจำานวนในพจนท 3 และ 4 0 + 1 = 1

พจนท 6 คอ 2 ไดจาก ผลบวกของจำานวนในพจนท 4 และ 5 1 + 1 = 2

ผสอนใหผเรยนหาพจนถดไปของลำาดบทกำาหนดใหดงนจากลำาดบผลตางครงท 3 พจนถดไปของลำาดบ -1, 1, 0, 1, 1, 2

คอ 3* และจะไดพจนถดไปของลำาดบของผลตางครงท 2 เทากบ 8**พจนถดไปของลำาดบของผลตางครงท 1 เทากบ 21***นนคอพจนถดไปของลำาดบ 1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , 21 , 34

เทากบ 21 + 34 หรอ 551 1 2 3 5 8 13 21 34 55

0 1 1 2 3 5 8 13 21***

1 0 1 1 2 3 5 8**

-1 1 0 1 1 2

โจทยเพมเตมจงหาพจนถดไปของลำาดบทกำาหนดใหตอไปน

1) 2 , 11 , 26 , 47, 74 5) 2 , 9 , 20 , 37 , 622) 3 , 12 , 23 , 37 , 55 6) 2 , 6 , 15 , 34 , 683) 1 , 9 , 18 , 30 , 47 7) 3 , 3 , 6 , 9 , 154) 4 , 7 , 12 , 19 , 28 8) 4 , 6 , 10 , 16 , 26

คำาตอบ 1) 107 5) 97

2) 78 6) 122 3) 71 7) 24 4) 39 8) 42

ความคดเหนของผบงคบบญชาความเหนหวหนากลม

สาระการเรยนรคณตศาสตร

..........................

.........................

..........................

.........................

..........................

.........................ลงชอ....................................... (นายชชวาล มนคง)

ความเหนหวหนากลมบรหารวชาการ

..........................

.........................

..........................

.........................

..........................

.........................ลงชอ....................................... (นางเพมศร งามยง)

ความเหนรองผอำานวยการ

กลมบรหารวชาการ .........................................................................................................................................................ลงชอ....................................... (นายประเสรฐ สนทอง)

ความเหนของผบรหารโรงเรยน..........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

ลงชอ..........................................................

( นายธนชย สทธยานช) ผอำานวยการโรงเรยนนารายณคำาผงวทยา ..................../..................../..................

ใบความรท 1เรอง ความหมายของลำาดบ

ลำาดบ (Sequence) คอ ฟงกชนทมโดเมนเปนเซตจำานวนนบ 1,2,3, ...

เชน สมมตเรามฟงกชน f(n) = n2 + 1 เมอ n = 1,2,3,... เราจะได f(1) = 2, f(2) = 5, f(3) = 10,

f(4) = 17, ... คาฟงกชนเหลานทเขยนตอกนเปน 2, 5, 10, 17, ... จะเรยกวา ลำาดบ

นยมเขยนฟงกชนดวย an คอใช a1, a2, a3, ..., an แทน f (1), f (2), f (3), ..., f (n) เพอใหทราบวาเปนลำาดบ (โดเมนเปนจำานวนนบเทานน)

เรยก a1 วา “พจน (term) ท 1” ของลำาดบ, เรยก a2 วาพจนท 2 ของลำาดบ, ไปเรอยๆ จนถงพจนท n ใดๆ เขยนแทนดวย an จะเรยกวา พจนทวไป (general term) ของลำาดบ

เชน ลำาดบ 2,5, 10, 17, ... มพจนทวไปเปน an = n2 + 1 หรออนๆ 1, 2, 3, 4, ... มพจนทวไปเปน an = n หรออนๆ

3, 6, 9, 12, ... มพจนทวไปเปน an = 3n หรออนๆ

1, 3, 5, 7, ... มพจนทวไปเปน an = 2n - 1 หรออนๆ 1, 4, 9, 16, ... มพจนทวไปเปน an = n2 หรออนๆ

1, , , , ... มพจนทวไปเปน an

= หรออนๆ

-1, 1, -1, 1,... มพจนทวไปเปน an = (-1)n หรออนๆ

1,-2, 3,-4, ... มพจนทวไปเปน an = (-1)n-1n หรออนๆ 3, 17, 47, 99, 179, ... มพจนทวไปเปน an = n(n+1)2- 1 หรออนๆ

คำาวา หรออนๆ“ ” ในทนเนองจากลำาดบหนงๆ ทใหมา จะหาพจนทวไปไดมากกวา 1 แบบเสมอ เชน ลำาดบ 2, 4, 8,... อาจมพจนทวไปเปน an = 2n ซงทำาให a4 =16 หรอมพจนทวไปเปน 2n an = (n + 1)(n2 – n + 6)/6 ซงทำาให a4 =15

ลำาดบ 1, 2, 3, 4, ... อาจมพจนทวไปเปน an= n ซงทำาใหพจนท 5 มคาเทากบ 5 หรอ an = (n-1)(n-2)(n-3)(n-4) + n = n4 -10n3

+ 35n2 - 49n+24 กได ซงทำาให a5 =29 (กลายเปนลำาดบทตางกน)- ลำาดบทมจำานวนพจนทแนนอน เชน 8 พจน, 15 พจน, หรอ n

พจนกได จะเรยกวา ลำาดบจำากด (finite sequence)

- ลำาดบทมจำานวนพจนมากจนนบไมได จะเรยกวา ลำาดบอนนต (infinite sequence)

การเขยนลำาดบในรปแจงพจน คอ การเขยนลำาดบเรยงจากพจนท 1 พจนท 2 พจนท 3 ไปเรอย ๆ (เขยนเฉพาะสมาชกของเรนจ) แลวคนแตละพจนดวยเครองหมายจลภาค เชน 3, 5, 7, . . .

การเขยนลำาดบในรปแจงพจนพจารณา f(n) = n + 3 เมอ n {1, 2, 3, 4}

ถา n = 1 จะได f(1) = 1 + 3 = 4 n = 2 จะได f(2) = 2 + 3 = 5 n = 3 จะได f(3) = 3 + 3 = 6 n = 4 จะได f(4) = 4 + 3 = 7

เมอนำาคาเหลานมาเขยนเรยงกนจะได f(1), f(2), f(3), f(4) ซงเปนอกรปแบบหนงของลำาดบ

จะเหนวา โดเมน คอ {1, 2, 3, 4} และ เรนจ ค อ {4, 5, 6, 7}

เรยกลำาดบขางตนนวา ลำาดบจำากดและเรยก f(1) วาพจนท 1 ของลำาดบ แทนดวย a1

f(2) วาพจนท 2 ของลำาดบ แทนดวย a2

f(3) วาพจนท 3 ของลำาดบ แทนดวย a3

f(4) วาพจนท 4 ของลำาดบ แทนดวย a4

แต f(1) = 4f(2) = 5f(3) = 6f(4) = 7

ดงนน 4, 5, 6, 7 จงเรยกวา ลำาดบเชนเดยวกน

ซงการเรยงลำาดบในลกษณะนเรยกวา การเขยนลำาดบในรปแจงพจน

และเรยก 4 วา พจนท 1 ของลำาดบ (a1)5 วา พจนท 2 ของลำาดบ (a2)6 วา พจนท 3 ของลำาดบ (a3)7 วา พจนท 4 ของลำาดบ (a4)

ตวอยางท 1 กำาหนด an = 2n – 1 เมอ n {1, 2, 3, 4, 5}

จงเขยนลำาดบในรปแจงพจนวธทำาจาก an = 2n – 1

a1 = 2(1) – 1 = 1a2 = 2(2) – 1 = 3a3 = 2(3) – 1 = 5a4 = 2(4) – 1 = 7a5 = 2(5) – 1 = 9

ลำาดบในรปแจงพจน คอ 1, 3, 5, 7, 9ตวอยางท 2กำาหนด an = 10 – 2n เมอ n {1, 2, 3, . . ., 9} จงเขยนลำาดบในรปแจงพจนวธทำาจาก an = 10 – 2n

a1 = 10 – 2(1) = 8a2 = 10 – 2(2) = 6a3 = 10 – 2(3) = 4. . .. . .. . .a9 = 10 – 2(9) = -8

ลำาดบในรปแจงพจน คอ 8, 6, 4, . . . , -8

การเขยนลำาดบนอกจากจะเขยนโดยการแจงพจนแลว อาจจะเขยนเฉพาะพจนทวไป พรอมทงระบสมาชกในโดเมน เชน ลำาดบ 1, 3, 6, 10,15 อาจเขยนแทนดวย an = เมอ n {1, 2, 3, 4, 5} ลำาดบ 1, 3, 5, 7, 9,…, 2n-1,… อาจเขยนแทนดวย an = 2n-1 เมอ n เปนจำานวนเตมบวก

หมายเหต :: ในกรณทกำาหนดลำาดบโดยพจนทวไป ถาไมไดระบสมาชกในโดเมนใหถอวา ลำาดบนนเปนลำาดบอนนต เชน 2, 5, 8, 11, 14 เปนลำาดบจำากด

4, 7, 10, 13, 16, . . . เปนลำาดบอนนต an = 8n เมอ n = 1, 2, 3, 4 เปนลำาดบจำากด an = เปนลำาดบอนนต

ตวอยางท 3 จงเขยนสพจนแรกของลำาดบ an = 2n + 5วธทำา จาก an = 2n + 5

จะได a1 = 2(1) + 5 = 7a2 = 2(2) + 5 = 9a3 = 2(3) + 5 = 11a4 = 2(4) + 5 = 13

ดงนน 4 พจนแรกของลำาดบนคอ 7, 9, 11, 13

ตวอยางท 4 จงหาพจนถดไปสองพจนของลำาดบ 2 , 6 , 10 , 14 , 18 , 22วธทำา 2 , 6 , 10 , 14 , 18 , 22

+4 +4 +4 +4 +4

ตวอยางท 5 จงหา 4 พจนแรกของลำาดบ เมอกำาหนด พจนท n คอ an

=

วธทำา an =

ดงนน a1 = =

a2 = =

a3 = =

a4 = =

ดงนน 4 พจนแรกของลำาดบ คอ , , ,

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

แบบฝกเสรมประสบการณท 1เรอง ความหมายของลำาดบ

ขอ 1 จากฟงกชนทกำาหนดให จงบอกโดเมนและเรนจของฟงกชน 1.1) f1 = {(3, 1), (4, 2), (5, 3)}

1.2 ) f2 = {(1, x), (2, y), (3, z)} 1.3) f3 = {(1, 2), (2, 4), (3, 5), . . . , (8, 10)}

1.4) f4 = {(1, 6), (2, 7), (3, 8), . . . } 1.5 ) f5 = {(1, a), (2, b), (3, c), . . . } 1.6) f6 = {(2, 3), (4, 6), (8, 12)}

1.7) f7 = {(5, 7), (7, 9), (9, 11), . . ., (15, 17)}

1.8 ) f8 = {(1, 3), (2, 4), (3, 5), . . . }

ขอ 2 จงพจารณาฟงกชนแตละขอตอไปนวาเปนหรอไมเปนลำาดบ 2.1) f1 = {(1, 4), (2, 8), (3, 12), . . . }

2.2) f2 = {(1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5), (5, 6)} 2.3) f3 = {(2, 1), (3, 2), (4, 3)} 2.4) f4 = {(1, 3), (2, 4), (3, 5), (4, 6), . . . , (7, 9)} 2.5) f5 = {(3, 4), (4, 5), (5, 6), (6, 7), (7, 8)} 2.6) f6 = {(1, 5), (2, 8), (3, 11), (4, 14)}

2.7) f7 = {(x, y) | y = 2x – 3 เมอ x = 1, 2, 3 } 2.8) f8 = {(x, y) | y = 3x2 – 1 เมอ x I+ }

2.9) f9 = {(a, b) | b = 4a2 – 5 เมอ a = 1, 2, 3, 4 } 2.10) f10 = {(x, y) | y = x3 เมอ x = 1, 2, 3, . . . }

ขอ 3 จงพจารณาลำาดบแตละขอตอไปนวาเปนลำาดบจำากดหรอลำาดบอนนต 3.1) 2, 8, 14, 20, 26, 32, 38

3.2) 4, 7, 10, 13, 16, . . . 3.3) 1, 4, 9, 16, 25, . . . 3.4) an = 2n2 – 1 เมอ n = 1, 2, 3

3.5) an = 8n เมอ n = 1, 2, 3, 43.6) 6, 10, 14, 18, 22, 26

3.7) an = 3n + 7 เมอ n I+ 3.8) an = n3 เมอ n I+ 3.9) an = 2n – 10 เมอ n = 1, 2, 3, . . .

3.10) 2, 5, 8, 11, 14

ขอ 4 จงเขยนสพจนแรกของลำาดบตอไปน 4.1) an = 2n – 1

4.2) an = 2n2

4.3) an = 2n2 – 2 4.4) an =

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

เฉลยแบบฝกเสรมประสบการณท 1เรอง ความหมายของลำาดบ

ขอ 1 1.1) โดเมน คอ {3, 4, 5}และ เรนจ คอ {1, 2, 3}1.2) โดเมน คอ {1, 2, 3} และ เรนจ คอ {x, y, z}

1.3) โดเมน คอ {1, 2, 3, . . . , 8} และ เรนจ คอ {3, 4, 5, . . . , 10}

1.4) โดเมน คอ {1, 2, 3, . . . } และ เรนจ คอ {6, 7, 8, . . . } 1.5 ) โดเมน คอ {1, 2, 3, . . . } และ เรนจ คอ {a, b, c, . . .} 1.6) โดเมน คอ {2, 4, 8}และ เรนจ คอ {3, 6, 12}

1.7) โดเมน คอ {5, 7, 9, . . . , 15} และ เรนจ คอ {7, 9, 11, . . . , 17}

1.8) โดเมน คอ {1, 2, 3, . . . } และ เรนจ คอ {3, 4, 5, . . .}ขอ 2 2.1) f1 = {(1, 4), (2, 8), (3, 12), . . . }

คำาตอบ คอ เปนลำาดบ2.2) f2 = {(1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5), (5, 6)} คำา

ตอบ คอ เปนลำาดบ 2.3) f3 = {(2, 1), (3, 2), (4, 3)} คำาตอบ คอ ไมเปนลำาดบ 2.4) f4 = {(1, 3), (2, 4), (3, 5), (4, 6), . . . , (7, 9)}

คำาตอบ คอ เปนลำาดบ 2.5) f5 = {(3, 4), (4, 5), (5, 6), (6, 7), (7, 8)} คำาตอบ คอ ไมเปนลำาดบ 2.6) f6 = {(1, 5), (2, 8), (3, 11), (4, 14)} คำาตอบ คอ เปนลำาดบ

2.7) f7 = {(x, y) | y = 2x – 3 เมอ x = 1, 2, 3 }คำาตอบ คอ เปนลำาดบ

2.8) f8 = {(x, y) | y = 3x2 – 1 เมอ x I+ } คำาตอบ คอ เปนลำาดบ

2.9) f9 = {(a, b) | b = 4a2 – 5 เมอ a = 1, 2, 3, 4 }คำาตอบ คอ เปนลำาดบ

2.10) f10 = {(x, y) | y = x3 เมอ x = 1, 2, 3, . . . } คำาตอบ คอ เปนลำาดบขอ 3 3.1) 2, 8, 14, 20, 26, 32, 38 ค ำา ต อ บ คอ ลำาดบจำากด 3.2) 4, 7, 10, 13, 16, . . . ค ำา ต อ บ คอ ลำาดบอนนต

3.3) 1, 4, 9, 16, 25, . . . ค ำา ต อ บ คอ ลำาดบอนนต

3.4) an = 2n2 – 1 เมอ n = 1, 2, 3 ค ำา ต อ บ คอ ลำาดบจำากด

3.5) an = 8n เมอ n = 1, 2, 3, 4 ค ำาตอบ คอ ลำาดบจำากด

3.6) 6, 10, 14, 18, 22, 26 ค ำา ต อ บ คอ ลำาดบจำากด

3.7) an = 3n + 7 เมอ n I+ ค ำา ต อ บ คอ ลำาดบอนนต

3.8) an = n3 เมอ n I+ ค ำา ต อ บ ค อ ลำาดบอนนต

3.9) an = 2n – 10 เมอ n = 1, 2, 3, . . . ค ำาตอบ คอ ลำาดบอนนต

3.10) 2, 5, 8, 11, 14 ค ำา ต อ บ ค อ ลำาดบจำากด

ขอ 4 4.1) an = 2n – 1 a1 = 2(1) – 1 = 1a2 = 2(2) – 1 = 3a3 = 2(3) – 1 = 5

a4 = 2(4) – 1 = 7 ดงนน สพจนแรกของลำาดบน คอ 1, 3, 5, 7

4.2) an = 2n2

a1 = 2(12) = 2a2 = 2(22) = 8a3 = 2(32) = 18a4 = 2(42) = 32

ดงนน สพจนแรกของลำาดบน คอ 2, 8, 18, 32 4.3) an = 2n2 – 2

a1 = 2(12) – 2 = 0

a2 = 2(22) – 2 = 6 a3 = 2(32) – 2 = 16

a4 = 2(42) – 2 = 30 ดงนน สพจนแรกของลำาดบน คอ 0, 6, 16, 30

4.4) an = a1 = a2 = a3 = a4 =

ดงนน สพจนแรกของลำาดบน คอ

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

แบบฝกหด 1.1.1 (จากหนงสอเรยน)

1. จงเขยนสพจนแรกของลำาดบตอไปน1) an = 2n + 52) an = 3) an = (–2)n4) an = 5) an =

6) an = 7) an = (n – 1)(n + 1)8) an = n(n – 1)(n – 2)

2. จงหาพจนถดไปสองพจนของลำาดบทกำาหนดใหตอไปน1) 2 , 6 , 10 , 14 , …2) 200 , 195 , 190 , 185 , … 3) 1 , 4 , 16 ,64 , …4) 729 , 243 , 81 , 27 , …5) 2 , 7 , 17 , 32 , …6) 5 , 10 , 30 , 120 , …7) 5 , 4 , 1 , –4 , …8) 100 , 98 , 94 , 88 , …

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

เฉลยแบบฝกหด 1.1.1 (จากหนงสอเรยน)ขอ 1. 1) จาก an = 2n + 5

จะได a1 = 2(1) + 5 = 7a2 = 2(2) + 5 = 9a3 = 2(3) + 5 = 11a4 = 2(4) + 5 = 13

ดงนน 4 พจนแรกของลำาดบนคอ 7, 9, 11, 13

2) จาก an = จะได a1 = =

a2 = =

a3 = =

a4 = =

ดงนน 4 พจนแรกของลำาดบนคอ , , ,

3) จาก an = (–2)n

จะได a1 = (–2)1 = –2a2 = (–2)2 = 4a3 = (–2)3 = –8a4 = (–2)4 = 16

ดงนน 4 พจนแรกของลำาดบนคอ –2, 4, –8, 164) จาก an =

จะได a1 = = 2a2 = =

a3 = =

a4 = =

ดงนน 4 พจนแรกของลำาดบนคอ 2, , ,

5) จาก an =

จะได a1 = = 0

a2 = = 1

a3 = = 0

a4 = =

ดงนน 4 พจนแรกของลำาดบนคอ 0, 1, 0,

6) จาก an =

จะได a1 = =

a2 = =

a3 = =

a4 = =

ดงนน 4 พจนแรกของลำาดบนคอ , , ,

7) จาก an = (n – 1)(n + 1)จะได a1 = (1 – 1)(1 + 1) = 0

a2 = (2 – 1)(2 + 1) = 3a3 = (3 – 1)(3 + 1) = 8a4 = (4 – 1)(4 + 1) = 15

ดงนน 4 พจนแรกของลำาดบนคอ 0, 3, 8, 158) จาก an = n(n – 1)(n – 2)

จะได a1 = 1(1 – 1)(1 – 2) = 0a2 = 2(2 – 1)(2 – 2) = 0a3 = 3(3 – 1)(3 – 2) = 6a4 = 4(4 – 1)(4 – 2) = 24

ดงนน 4 พจนแรกของลำาดบนคอ 0, 0, 6, 24ขอ 2. 1) 2 , 6 , 10 , 14 , 18 , 22

+4 +4 +4 +4 +4

2) 200 , 195 , 190 , 185 , 180 , 175

–5 –5 –5 –5 –5

3) 1 , 4 , 16 , 64 , 256 , 1024

4 4 4 4 4

4) 729 , 243 , 81 , 27 , 9 , 3

÷3 ÷3 ÷3 ÷3 ÷3

5) 2 , 7 , 17 , 32 , 52 , 77

+5 +10 +15 +20 +25

6) 5 , 10 , 30 , 120 , 600 , 3600

2 3 4 5 6

7) 5 , 4 , 1 , –4 , –11 , –20

–1 –3 –5 –7 –9

8) 100 , 98 , 94 , 88 , 80 , 70

–2 –4 –6 –8 –10