ชุดกิจกรรมการเรียนรู้ที่ 1...

ชดกจกรรมการเรยนรท 1 เรอง กฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ


คานา

ชดกจกรรมการเรยนรชดท 1 เรอง กฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ ผสอนไดดาเนนการจดทาขน

เพอใชเปนสอประกอบการจดกจกรรมการเรยนการสอนกลมสาระการเรยนรคณตศาสตร รายวชาคณตศาสตรพนฐาน 4 (ค32102) และใชพฒนาทกษะทางดานคณตศาสตรของผเรยนระดบชนมธยมศกษาปท 5 หนวยการเรยนร เรอง ความนาจะเปน โดยมการจดแบงชดกจกรรมทงหมดเปน 5 เลม ดงน

1. ชดกจกรรมการเรยนรท 1 เรอง กฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ 2. ชดกจกรรมการเรยนรท 2 เรอง การทดลองสมและแซมเปลสเปซ 3. ชดกจกรรมการเรยนรท 3 เรอง เหตการณ และการดาเนนการของเหตการณ 4. ชดกจกรรมการเรยนรท 4 เรอง ความนาจะเปนของเหตการณ 5. ชดกจกรรมการเรยนรท 5 เรอง กฎทสาคญบางประการของความนาจะเปน

ผจดทาขอขอบพระคณทานผอานวยการโรงเรยนเฉลมพระเกยรตสมเดจพระศรนครนทร ภเกต ในพระราชปถมภ สมเดจพระเทพพระรตนราชสดาฯ สยามบรมราชกมาร ผเชยวชาญและคณะครทปรกษา ทกทาน ตลอดจนทานทมสวนเกยวของทกทานทไดใหคาแนะนา และคาปรกษาทดตลอดจนใหกาลงใจในการจดทาชดกจกรรมการเรยนรนใหสาเรจลลวงดวยด และหวงเปนอยางยงวาชดกจกรรมการเรยนรชดนคงเปนประโยชนอยางยงแกผเรยน ครผสอนและผทสนใจสามารถนาไปใชในการสงเสรมและพฒนาศกยภาพของผเรยนในดานความร ทกษะกระบวนการทางคณตศาสตรอยางเปนระบบ ตลอดจนสอดคลองกบหลกสตรแกนกลางการศกษาขนพนฐาน พทธศกราช 2551 อกทงยงเนนใหผเรยนไดคดวเคราะห ลงมอปฏบต เรยนรและสรางองคความรไดดวยตนเอง และสามารถนาความรทไดรบไปประยกตใชในชวตประจาวนไดอยางมเหตผล และเนนใหผเรยนมทกษะทสาคญในศตวรรษท 21 ตอไป

ทพวรรณ แซขอ

ก


สารบญ

เรอง หนา

คานา ก สารบญ ข คาแนะนาสาหรบคร ข

คาแนะนาสาหรบนกเรยน ค ขนตอนการใชชดกจกรรมการเรยนร ง คาชแจงการใชชดกจกรรมการเรยนร จ

จดประสงคการเรยนร 1 สาระการเรยนร 1

แบบทดสอบกอนเรยน 2 กระดาษคาตอบแบบทดสอบกอนเรยน 4 ใบความรท 1 5 ใบความรท 2 9 ใบความรท 3 12

ใบกจกรรมท 1.1 14 ใบกจกรรมท 1.2 18 ใบกจกรรมท 1.3 21

แบบทดสอบหลงเรยน 24 กระดาษคาตอบแบบทดสอบหลงเรยน 26 บรรณานกรม 27 ภาคผนวก 29

เฉลยแบบทดสอบกอนเรยน 30 เฉลยใบกจกรรมท 1.1 31 เฉลยใบกจกรรมท 1.2 36 เฉลยใบกจกรรมท 1.3 39 เฉลยแบบทดสอบหลงเรยน 42

แบบบนทกคะแนน 43 เกณฑการประเมน 43

ข


คาแนะนาสาหรบคร

1. ชดกจกรรมการเรยนรชดนมทงหมด 5 เลม 2. ชดกจกรรมการเรยนรนเปนชดท 1 เรอง กฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ 3. สวนประกอบของชดกจกรรมการเรยนรแตละเลมประกอบดวย 3.1 คานา 3.2 คาแนะนาสาหรบคร 3.3 คาแนะนาสาหรบนกเรยน 3.4 ขนตอนการใชชดกจกรรมการเรยนร 3.5 คาชแจงการใชชดกจกรรมการเรยนรสาหรบนกเรยน 3.6 จดประสงคการเรยนร 3.7 แบบทดสอบกอนเรยน 3.8 ใบความร 3.9 ใบกจกรรม 3.10 แบบทดสอบหลงเรยน 3.11 เฉลยแบบทดสอบกอนเรยน 3.12 เฉลยใบกจกรรม 3.13 เฉลยแบบทดสอบหลงเรยน 3.14 แบบบนทกคะแนน 3.15 เกณฑการประเมน 4. ควรศกษาคาแนะนาในการใชชดกจกรรมการเรยนรกอนใชทกครง

คาแนะนาสาหรบนกเรยน

1. ชดกจกรรมการเรยนรชดนมทงหมด 5 เลม 2. ชดกจกรรมการเรยนรนเปนชดท 1 เรอง กฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ 3. ขนตอนในการทาชดกจกรรมการเรยนรสาหรบนกเรยน 3.1 ศกษาทาความเขาใจกบจดประสงคการเรยนร 3.2 ทาแบบทดสอบกอนเรยน 3.3 ศกษาทาความเขาใจใบกจกรรม 3.4 ทาใบกจกรรมดวยความรอบคอบและซอสตย 3.5 ทาแบบทดสอบหลงเรยน 3.6 ตรวจคาตอบจากเฉลยทายชดกจกรรมการเรยนร

ค


ขนตอนการใชชดกจกรรมการเรยนร 1. ครชแจงใหนกเรยนทราบขนตอนในการทาชดกจกรรมการเรยนรและจดประสงคการเรยนร 2. นกเรยนทาแบบทดสอบกอนเรยน 3. นกเรยนศกษาใบความร โดยครอธบายแนะนาเพมเตม 4. นกเรยนปฏบตตามใบกจกรรมระหวางเรยน โดยครสงเกต ใหความชวยเหลอและประเมนผล ทละใบกจกรรมเปนรายบคคล 5. ครตรวจความถกตองในการทาชดกจกรรมการเรยนร หากนกเรยนไมเขาใจ หรอไดคะแนนตากวาเกณฑ ทตงไว ครตองอธบายชแจงใหนกเรยนเขาใจและทบทวนเนอหาใหมเปนรายบคคล 6. นกเรยนทาแบบทดสอบหลงเรยน 7. ครตรวจแบบทดสอบกอนเรยน และหลงเรยนแลวบนทกคะแนนเปนรายบคคล 8. หากนกเรยนไมผานเกณฑครตองสอนซอมเสรม 9. เกณฑการผานรอยละ 70

ง


คาชแจงการใชชดกจกรรมการเรยนรสาหรบนกเรยน

การจดกจกรรมการเรยนรโดยใชชดกจกรรมการเรยนร ชดท 1 กฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ ใหนกเรยนปฏบตตามขนตอนดวยความซอสตยและตงใจ ดงน

1. ศกษาจดประสงคประจาชดกจกรรมการเรยนร 2. ทาแบบทดสอบกอนเรยน ชดกจกรรมการเรยนรชดท 1 กฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ 3. ปฏบตกจกรรมตามขนตอนในชดกจกรรมการเรยนร 4. ทาแบบทดสอบหลงเรยน ชดกจกรรมการเรยนรชดท 1 กฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ 5. มขอสงสยใหปรกษาครผสอนไดทนทตลอดเวลา 6. เกณฑผานการประเมนในใบกจกรรม คดเปนรอยละ 70 โดยหากนกเรยนไมผานการประเมนใน

กจกรรมใด ใหนกเรยนศกษาในใบความร และทาใบกจกรรมนนอกครง แลวทาการประเมนผลใหม

7. นกเรยนฝกปฏบตกจกรรม รวบรวมขอมล และฝกสรปความรดวยตนเอง 8. นกเรยนมปฏสมพนธชวยกนเรยนร ฝกการแลกเปลยนเรยนรระหวางเพอนนกเรยน 9. นกเรยนฝกกระบวนการคด กระบวนการกลมและกระบวนการแกปญหาในกจกรรมการเรยนร 10. นกเรยนฝกประเมนตนเอง ปรบปรงผลงาน ตลอดจนใฝหาความรอยางตอเนองเพราะมการวด

ความกาวหนาระหวางเรยนและหลงเรยนดวยใบกจกรรม และแบบทดสอบยอยหลงการใชชดกจกรรมแตละชด 11. นกเรยนควรทาใบกจกรรมในชดกจกรรมการเรยนรแตละชดใหครบ ไมควรขามใบกจกรรมใดใบกจกรรมหนง เพอใหไดรบความร และฝกฝนทกษะใหครบถวนดวยตนเอง

จ


ชดกจกรรมการเรยนร ชดท 1 เรอง กฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ

จดประสงคการเรยนร

1. เขยนแผนภาพตนไมอยางงายได 2. สรปกฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบทงหมดได 3. ใชกฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบและแผนภาพตนไมอยางงายในการหาจานวนผลลพธทงหมด

ทเกดขนของเหตการณตาง ๆ ได 4. แกโจทยปญหาโดยใชกฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบได

สาระการเรยนร

กฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ

ระยะเวลาทใชฝกทาชดกจกรรมการเรยนรชดท 1 จานวน 8 ชวโมง

1


แบบทดสอบกอนเรยน รายวชาคณตศาสตรพนฐาน 4 (ค32102) ระดบชนมธยมศกษาปท 5

เรอง กฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ

คาชแจง 1. แบบทดสอบชดนมทงหมด 10 ขอ ใชเวลา 10 นาท คะแนนเตม 10 คะแนน 2. ใหนกเรยนทาเครองหมาย X ลงในชองตวเลอกในกระดาษคาตอบทเหนวาถกตองทสด

1. มกางเกงและเสอสาหรบใสไปเทยว 3 ตว และ 4 ตว ตามลาดบ ถาถอวาการแตงกาย 1 ชด ประกอบดวย กางเกง 1 ตว และเสอ 1 ตว ถามวาสามารถแตงกายไปเทยวไดแตกตางกนทงหมดกชด ก. 7 วธ ข. 10 วธ ค. 12 วธ ง. 16 วธ 2. หองเรยนหองหนง มนกเรยน 30 คน ตองการเลอกหวหนาหองและรองหวหนาหอง ตาแหนงละคน จะมวธเลอกทงหมดกวธ ก. 30 วธ ข. 59 วธ ค. 870 วธ ง. 1,230 วธ 3. ตองการจดเรยงตวอกษรในคาวา “SECTOR” โดยขนตนดวย S และลงทายดวย R จะมวธจดได ทงหมดกวธ ก. 12 วธ ข. 24 วธ ค. 72 วธ ง. 120 วธ 4. ถาเดนทางจากมหาสารคามไปขอนแกนได 3 ทาง จากขอนแกนไปอดรธานได 3 ทาง ถาเดนทาง จากมหาสารคามไปอดรธานโดยผานขอนแกน จะมวธเลอกเดนทางไดกวธ ก. 3 วธ ข. 4 วธ ค. 6 วธ ง. 9 วธ 5. หองเรยนหองหนงมประตอย 5 ประต ถาจะเขาประตหนงแลวออกอกประตหนง โดยไมซากบประต ทเขามาจะมวธเขาและออกประตไดทงหมดกวธ ก. 10 วธ ข. 20 วธ ค. 25 วธ ง. 30 วธ 6. ตองการสงจดหมาย 4 ฉบบ ลงในตไปรษณย 4 ต จะมวธสงไดทงหมดกวธ ก. 256 วธ ข. 512 วธ ค. 628 วธ ง. 1,296 วธ

2


7. นกเรยนคนหนงทาขอสอบแบบถกผดทงหมด 10 ขอ เขาจะมวธทาขอสอบไดทงหมดกวธ ก. 10 วธ ข. 20 วธ ค. 512 วธ ง. 1,024 วธ 8. มรางวล 2 รางวล คอ รางวลเรยนดและรางวลผมคณธรรมและจรยธรรม จะมวธเลอกมอบรางวลใหแก นกเรยน 7 คน ไดทงหมดกวธ ก. 14 วธ ข. 25 วธ ค. 30 วธ ง. 42 วธ 9. หยบไพ 1 ใบ จากสารบหนงทม 52 ใบ จงหาจานวนวธทหยบไดไพเปนแตม 4 หรอ 6 หรอ 8 ก. 12 วธ ข. 13 วธ ค. 26 วธ ง. 39 วธ 10. ตองการสรางจานวนคทมสามหลกจากเลขโดด 4 ตว คอ 2, 4, 6, 9 จะสรางไดทงหมดกจานวน โดยมเงอนไขวาใชเลขซากนได ก. 24 วธ ข. 48 วธ ค. 96 วธ ง. 108 วธ

3


กระดาษคาตอบ

แบบทดสอบกอนเรยน เรอง กฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ

ชอ - สกล..................................................................... ชน.......................... เลขท..................... กลมท……………

ขอท ตวเลอก

ก ข ค ง 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

ตารางบนทกคะแนน คะแนนเตม 10 คะแนนทได

เกณฑการประเมน

9 - 10 คะแนน ระดบ 4 ดเยยม 7 - 8 คะแนน ระดบ 3 ด (ผานเกณฑ) 5 - 6 คะแนน ระดบ 2 ปานกลาง 0 - 4 คะแนน ระดบ 1 ปรบปรง

4


ใบความรท 1 เรอง กฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ รายวชาคณตศาสตรพนฐาน 4 (ค32102) ระดบชนมธยมศกษาปท 5

กฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ

ในชวตประจาวนของเรามเหตการณตาง ๆ ทนาสนใจเกดขนมากมายและอาจมบางเหตการณทจาเปนตองนบจานวนวธตาง ๆ ทเปนไปไดทงหมดของเหตการณเหลานน เชน การโยนเหรยญ การเลอกสวมชดเสอผา การโยนลกเตา การจดชดอาหาร การเลอกรบประทานอาหารคาว – หวาน การจดตงคณะกรรมการ การจดการแขงขนกฬาฟตบอล การจดทมบาสเกตบอล การนบจานวนหนงสอในหองสมดตามหมวดวชาตาง ๆ การจดเรยงแสตมปในสมดแสตมป หรอการแลกเปลยนแสตมป เปนตน ซงจากเหตการณตาง ๆ เหลาน จะพบปญหาเกยวกบการนบจานวนวธทงหมดทเหตการณอยางใดอยางหนงจะเปนไปได หรอจานวนวธในการจดชดของสงตาง ๆ

ดงนน ในการนบจานวนวธตาง ๆ ทเปนไปไดทงหมดของการเกดเหตการณดงกลาวหรอ การกระทาใด ๆ โดยกอนทจะกระทามวธการกระทาไดหลายวธแตกตางกน เมอตองการทราบวธการกระทาทแตกตางกนนนวาจะทาไดกวธ เพอจะไดเลอกวธทาตามทตองการหรอวธทเหมาะสมและดทสด การคานวณเพอหาคาตอบสาหรบปญหาของเหตการณเหลาน จะสามารถทาไดงายและรวดเรวขนเมอไดทราบหลกและกฎบางประการของกฎเกณฑเกยวกบเรองการนบ ซงเรยกวา หลกมลฐานเกยวกบการนบ (Fundamental Principles of Counting)

การเขยนแผนภาพตนไม

การเขยนแผนภาพตนไมของเหตการณหนง ๆ เพอแสดงการนบจานวนวธทงหมดทเกดขน และการใชเซตและความสมพนธเกยวกบผลคณคารทเซยนของเซตสองเซตในการหาจานวนวธทงหมด โดยใชขอสรปของความสมพนธของเซตสองเซตเพอใชในการหาจานวนสมาชกทงหมด ไดดงน

สรป จานวนสมาชกทงหมดของ A B เทากบผลคณของจานวนสมาชกในเซต A กบจานวน สมาชกในเซต B นนคอ n(A B) = n(A) n(B)

พจารณาตวอยางเหตการณเกยวกบการจดสงของตาง ๆ โดยใชการเขยนแผนภาพตนไม ดงน

ตวอยางท 1 โรงเรยนแหงหนงจดอาหารกลางวนโดยใหนกเรยนเลอกอาหารคาวไดหนงอยางและขนมไดหนงอยาง ถาโรงเรยนจดอาหารคาว 3 อยางและขนม 2 อยาง นกเรยนจะมวธเลอกอาหารกลางวนไดทงหมดกวธ

5


วธทาท 1 การใชเซตและผลคณคารทเซยนของเซตสองเซตในการหาจานวนวธทงหมด ทาไดดงน ให A เปนเซตของอาหารคาว A = {1, 2, 3} และ B เปนเซตของขนม B = {x, y} พจารณาผลคณคารทเซยนของเซต A และเซต B ดงน A B = {(1, x), (1, y), (2, x), (2, y), (3, x), (3, y)} วธทาท 2 การใชแผนภาพตนไมในการหาจานวนวธทงหมด ทาไดดงน ให อาหารคาว 3 อยาง แทน 1, 2 และ 3 ตามลาดบ และใหขนม 2 อยาง แทน x และ y ตามลาดบ สามารถใชการเขยนแผนภาพตนไมแสดงขนตอนในการคดดงน ขนตอนท 1 ขนตอนท 2 คอนดบ x (1, x) y (1, y) x (2, x) y (2, y) x (3, x) y (3, y) จากแผนภาพจะเหนไดวา มวธเลอกอาหารกลางวนไดทงหมด 6 วธ ขนตอนท 1 มวธเลอกสมาชกในเซต A ได 3 วธ คอ เลอก 1 หรอ 2 หรอ 3 ขนตอนท 2 ในแตละวธของขนตอนท 1 มวธเลอกสมาชกในเซต B ได 2 วธ คอ เลอก x หรอ เลอก y ดงนน จะไดคอนดบทงหมด 6 คอนดบ คอ (1, x), (1, y), (2, x), (2, y), (3, x), (3, y) เพราะฉะนน จานวนวธทจะเลอกอาหารกลางวน คอ จานวนสมาชกของ A B เทากบ 3 2 = 6 วธ

เมอเขาใจวธคดแลว จะใชวธคดสน ๆ ทใชการคณ ไดดงน จานวนวธทจะเลอกอาหารกลางวนซงประกอบดวยอาหารคาว 1 อยางและขนมอก 1 อยาง

จะเทากบผลคณของจานวนชนดของอาหารคาวซงม 3 อยางและจานวนชนดของขนมซงม 2 อยางนนเอง วธทา ขนตอนท 1 มวธเลอกอาหารคาวได 3 วธ ขนตอนท 2 และในแตละวธทเลอกอาหารคาวจะเลอกขนมไดอก 2 วธ ดงนน จานวนวธทงหมดทจะเลอกอาหารกลางวนเทากบ 3 2 = 6 วธ ตวอยางท 2 มเลขโดดอย 4 ตว คอ 2, 5, 6 และ 9 จงหาจานวนวธทจะสรางจานวนทประกอบดวยเลข 2 หลก ซงประกอบดวยตวเลขเหลานวามทงหมดกจานวน (หามใชเลขโดดซากนในจานวนเดยวกน เชน 55, 99, ... เปนตน)

1

21 3

6


วธทา สามารถเขยนแผนภาพตนไม ไดดงน

หลกสบ หลกหนวย หลกสบ หลกหนวย

5 2 5 2 6 2 6 9 2 9 2 5 2 5 6 5 6 9 5 9 2 6 2 6 5 6 5 9 6 9 2 9 2 9 5 9 5 6 9 6

ดงนน จะสามารถสรางจานวนทประกอบดวยตวเลข 2 หลก ซงประกอบดวยเลขโดด 2, 5, 6 และ 9 ไดทงหมด 12 จานวน คอ {(2, 5), (2, 6), (2, 9), (5, 2), (5, 6), (5, 9), (6, 2), (6, 5), (6, 9), (9, 2), (9, 5), (9, 6)}

จากตวอยางขางตน เมอเขาใจวธการคดแลวอาจทาสน ๆ ไดดงน มตวเลขอย 4 ตว คอ 2, 5, 6 และ 9 ตองการสรางจานวนทประกอบดวยตวเลข 2 หลก คอ

หลกสบ กบหลกหนวย พจารณาไดดงน ขนตอนท 1 มตวเลข 4 ตว สรางจานวนทประกอบดวยตวเลขหลกสบได 4 วธ

ขนตอนท 2 ในแตละวธของการสรางจานวนทประกอบดวยตวเลขหลกสบเหลอตวเลข 3 ตว สรางหลกหนวยได 3 วธ

ดงนน จานวนวธทงหมดในการสรางจานวนทประกอบดวยตวเลข 2 หลกเทากบ 4 3 = 12 วธ จากตวอยางขางตนสามารถสรปเปนกฎขอท 1 สาหรบใชในกรณทวไป ไดดงน

กฎขอท 1 หลกเบองตนของการคณ ถาตองการทางานสองอยางโดยทงานอยางแรกทาได n1 วธ และในแตละวธทเลอกทางานอยางแรกน มวธทจะทางานอยางทสองได n2 จานวนวธ ทจะเลอกทางานทงสองอยางเทากบ n1 n2 วธ

7


ตวอยางท 3 เดกชายธวชมกางเกงและเสอสาหรบใสไปเทยว 2 ตว และ 3 ตว ตามลาดบ ถาถอวาการแตงกาย 1 ชดของธวชประกอบดวย กางเกง 1 ตว และเสอ 1 ตว ถามวาธวชสามารถแตงกายไปเทยวไดแตกตางกนทงหมดกชด วธทาท 1 โดยใชกฎขอท 1 หลกเบองตนของการคณ เพราะวาการแตงกาย 1 ชด ประกอบดวย กางเกง 1 ตว และเสอ 1 ตว

ดงนนการแตงกายของธวชแบงไดเปน 2 ขนตอน ดงน ขนตอนท 1 เลอกสวมกางเกง สามารถเลอกได 2 วธ (เพราะมกางเกงใหเลอก 2 ตว) และขนตอนท 2 เลอกสวมเสอ สามารถเลอกได 3 วธ (เพราะมเสอใหเลอก 3 ตว) ดงนน จานวนวธทเดกชายธวชแตงกายไดแตกตางกนทงหมด = 2 3 = 6 วธ (6 ชด) วธทาท 2 ใชแผนภาพตนไม จะไดรปแบบดงน ใหกางเกง 2 ตวแทน ก1 และ ก2 ตามลาดบ และใหเสอ 3 ตวแทน ส1, ส2 และ ส3 ตามลาดบ ส1 ก1ส1 ก1 ส2 ก1ส2 ส3 ก1ส3 ส1 ก2ส1 ก2 ส2 ก2ส2 ส3 ก3ส3 ดงนน จานวนวธทเดกชายธวชแตงกายไดแตกตางกนทงหมด 6 ชด

8



ตวอยางท 4 มอกษรอย 3 ตว คอ A, B, C นาอกษรทงหมดเรยงสลบทกนจะทาไดกวธ และแตละวธเกดขนเปนอะไรบาง จงเขยนผลลพธทงหมด วธทาท 1 เขยนผลลพธทงหมด จะไดรปแบบดงน A B C A C B B A C B C A C A B C B A ดงนน จะเรยงสลบทกนไดทงหมด 6 วธ วธทาท 2 ใชแผนภาพตนไม จะไดรปแบบดงน ผลทได B C = A B C C B = A C B A C = B A C C A = B C A A B = C A B B A = C B A ดงนน จะเรยงสลบทกนไดทงหมด 6 วธ วธทาท 3 ใชกฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ ขนตอนท 1 มอกษรอย 3 ตว เลอกตวอกษรประจาตาแหนงท 1 ได 3 วธ ขนตอนท 2 เหลอตวอกษรอย 2 ตว เลอกตวอกษรประจาตาแหนงท 2 ได 2 วธ ขนตอนท 3 เหลอตวอกษรอย 1 ตว เลอกตวอกษรประจาตาแหนงท 3 ได 1 วธ ดงนน จะเรยงสลบทกนไดทงหมด 3 2 1 = 6 วธ จากตวอยางท 4 สรปผลทไดเปนกฎขอท 2 ซงเปนผลขยายจากกฎขอท 1 ใชกบการทางานหรอปฏบตการทมากกวา 2 อยาง จะไดกฎทว ๆ ไป สาหรบการหาจานวนวธทงหมดในการทางาน k อยาง สรปเปนกฎขอท 2 ไดดงน กฎขอท 2 หลกเบองตนของการคณ ถาการทางานอยางหนงม k ขนตอน ขนตอนทหนงมวธ เลอกทาได n1 วธ ในแตละวธของขนตอนทหนง มวธเลอกทาขนตอนทสองได n2 วธ ในแตละวธททางานขนตอนทหนงและขนตอนทสองมวธเลอกทาขนตอนทสามได n3 วธ เชนนเรอยไปจนถงขนตอนสดทาย คอ ขนตอนท k ทาได nk วธ จานวนวธทงหมด ทจะเลอกทางาน k อยาง เทากบ n1 n2 n3 … nk วธ ตวอยางท 5 ถาตองการทาปายเพอแสดงแบบ ส และขนาด ของรองเทากฬา 6 แบบ แตละแบบม 3 ส และแตละสม 5 ขนาด จะตองจดทาปายทตางกนทงหมดกปายจงจะครบทกแบบ ส และขนาด วธทา รองเทากฬามทงหมด 6 แบบ รองเทาแตละแบบม 3 ส

A

B

C

9


รองเทาแตละสม 5 ขนาด ดงนน จานวนปายทแสดงแบบ ส และขนาด จะตองเทากบ 6 3 5 = 90 แบบ ตวอยางท 6 จานวนคบวกซงมสามหลกมทงหมดกจานวน วธทา เลขโดดทใชในการเขยนตวเลขแสดงจานวนทตองการในหลกทงสามตางกเปนสมาชกของเซต S = {0, 1, 2, 3, ..., 9} การเลอกเลขโดดมาใชเขยนในหลกรอยเปนได 9 วธ คอ จะเปนสมาชกตวใดตวหนงของ S กได ยกเวน 0 การเลอกเลขโดดในหลกสบเปนได 10 วธ คอ จะเปนสมาชกตวใดตวหนงของ S กได เนองจาก จานวนคใด ๆ ตองมเลขโดดในหลกหนวยเปนจานวนคเสมอ ดงนน การเลอกเลขโดดในหลกหนวยจงเปนไดเพยง 5 วธ คอจะเปน 0, 2, 4, 6 หรอ 8 จานวนคทมสามหลกมทงหมดเทากบ 9 10 5 = 450 จานวน ตวอยางท 7 โยนลกเตา 3 ลกพรอม ๆ กน 1 ครง จงหาจานวนวธทจะเกดหนาของลกเตาทเปนไปไดทงหมด วธทา ลกเตาแตละลกจะมวธเกดหนาตาง ๆ ได 6 วธ นนคอ ลกเตา 3 ลก จะมจานวนวธทจะเกดหนาตาง ๆ ได 6 6 6 = 63 = 216 วธ ดงนน จานวนวธทจะเกดขนไดทงหมดเทากบ 216 วธ ตวอยางท 8 โยนเหรยญ 2 อนและลกเตา 1 ลกพรอมกน จะเกดกรณตาง ๆ ไดกวธ วธทา เหรยญอนท 1 จะเกดกรณตาง ๆ ได 2 วธ เหรยญอนท 2 จะเกดกรณตาง ๆ ได 2 วธ ลกเตา 1 ลก จะเกดกรณตาง ๆ ได 6 วธ ดงนน จะเกดกรณตาง ๆ ไดทงหมดเทากบ 2 2 6 = 24 วธ ตวอยางท 9 การโยนเหรยญ 2 อน 2 ครง จะเกดกรณตาง ๆ ไดกวธ วธทา ครงท 1 เหรยญอนท 1 จะเกดกรณตาง ๆ ได 2 วธ ครงท 1 เหรยญอนท 2 จะเกดกรณตาง ๆ ได 2 วธ ครงท 2 เหรยญอนท 1 จะเกดกรณตาง ๆ ได 2 วธ ครงท 2 เหรยญอนท 2 จะเกดกรณตาง ๆ ได 2 วธ ดงนน จะเกดกรณตาง ๆ ไดทงหมดเทากบ 2 2 2 2 = 24 = 16 วธ

หมายเหต โดยทวไป สรปไดดงน 1. ถาโยนเหรยญ n อน พรอมกน 1 ครง (หรอโยนเหรยญ 1 อน n ครง) จานวนวธทเหรยญจะเกดขนเทากบ 2n วธ 2. ถาทอดลกเตา n ลก พรอมกน 1 ครง (หรอทอดลกเตา 1 ลก n ครง) จานวนวธทลกเตาจะเกดขนเทากบ 6n วธ ตวอยางท 10 ในการตอบปญหาแบบถกผด จานวน 5 ขอ ถาในการตอบคาถาม ผตอบตอบปญหาอยางสม จงหาจานวนวธทจะตอบปญหาทง 5 ขอ

10


วธทา ในการตอบปญหาในแตละขอจะตอบได 2 วธ คอ ถกหรอผด นนคอ ขอสอบจานวน 5 ขอ เลอกตอบได 2 2 2 2 2 = 25 = 32 วธ ดงนน จานวนวธทงหมดทจะตอบปญหาทง 5 ขอเทากบ 32 วธ หมายเหต ถามปญหาแบบถกผด n ขอ จะมวธตอบปญหาทงหมดไดเทากบ 2n วธ ตวอยางท 11 หองประชมหองหนงม 10 ประต จงหาจานวนวธทนายอดมศกดเดนเขาหองประชมและกลบออกมาโดยไมซาประตเดม วธทา วธทนายอดมศกดเดนเขาหองประชมได 10 วธ วธทนายอดมศกดเดนกลบออกนอกหองประชม โดยไมซาประตเดมได 9 วธ ดงนน วธทนายอดมศกดเดนเขาหองประชมและกลบออกมา โดยไมซาประตเดมมวธทงหมดเทากบ 9 10 = 90 วธ ตวอยางท 12 มเลขโดด 4 ตว คอ 1, 2, 3 และ 4 จะสรางเลขจานวนบวก 3 หลกไดกจานวน โดยท

1) แตละหลกใชตวเลขซากนได 2) แตละหลกใชตวเลขไมซากน

วธทา 1) หลกหนวยสามารถเลอกเลขไดทงหมด 4 จานวน หลกสบสามารถเลอกเลขไดทงหมด 4 จานวน หลกรอยสามารถเลอกเลขไดทงหมด 4 จานวน ดงนน จะสรางเลขจานวนบวก 3 หลกไดทงหมด 4 4 4 = 64 จานวน 2) หลกหนวยสามารถเลอกเลขไดทงหมด 4 จานวน หลกสบสามารถเลอกเลขไดทงหมด 3 จานวน หลกรอยสามารถเลอกเลขไดทงหมด 2 จานวน ดงนน จะสรางเลขจานวนบวก 3 หลกไดทงหมด 4 3 2 = 24 จานวน ตวอยางท 13 มจดหมาย 3 ฉบบ ถาตองการทงลงในตไปรษณย 2 ต จะมวธทงจดหมายลงในตไปรษณย 2 ตนไดกวธ วธทา จดหมายแตละฉบบ จะมวธทงในตไปรษณยได 2 วธ นนคอ จดหมาย 3 ฉบบ จะมวธทงในตไปรษณยได 2 2 2 = 23 = 8 วธ ดงนน จะมวธทงจดหมายในตไปรษณยไดทงหมด 8 วธ ตวอยางท 14 หมายเลขโทรศพทประกอบดวยเลข 7 ตว และถาเลข 3 ตวแรกเปน 123 จะมไดทงหมดกหมายเลข วธทา หลกหนวย สามารถเลอกเลขได 10 หมายเลข หลกสบสามารถเลอกเลขได 10 หมายเลข หลกรอยสามารถเลอกเลขได 10 หมายเลข หลกพนสามารถเลอกเลขได 10 หมายเลข ดงนน หมายเลขโทรศพทมไดทงหมด 10 10 10 10 = 104 = 10,000 หมายเลข

11



กฎขอท 3 กฎการบวก ถาการทางานใด ๆ สามารถมวธการทางานไดมากกวา 1 ทางหรอ 1 แบบ ซงแตละแบบนนไมสามารถจะทางานนนพรอมกนได จานวนวธททางานนนเสรจสน เทากบผลบวกของจานวนวธททางานเสรจสนในแตละแบบ ตวอยางท 15 คณะวศวกรรมม 3 ภาควชา ภาควชาวศวกรรมโยธา มวชาใหเลอกเรยน 2 วชาภาควชาวศวอตสาหการ มวชาใหเลอกเรยน 3 วชา และภาควชาวศวกรรมไฟฟา มวชาใหเลอกเรยน 4 วชา ถานกศกษาตองเลอกเรยนวชาในคณะวศวกรรม 1 รายวชา จะมวธเลอกเรยนไดกวธ วธทา นกศกษามวธเลอกเรยนในภาควชาวศวกรรมโยธา 2 วธ หรอมวธเลอกเรยนในภาควชาวศวอตสาหการโยธา 3 วธ หรอมวธเลอกเรยนในภาควชาวศวกรรมไฟฟา 4 วธ ดงนน นกศกษาจะมวธเลอกเรยนไดทงหมด 2 + 3 + 4 = 9 วธ ตวอยางท 16 หยบไพ 1 ใบจากไพทงสารบ 52 ใบ จงหาจานวนวธทจะหยบไดไพโพดาหรอโพแดง วธทา จานวนวธหยบไพโพดาได 13 วธ จานวนวธหยบไพโพแดงได 13 วธ ดงนน จานวนวธทจะหยบไดทงหมด 13 + 13 = 26 วธ ตวอยางท 17 มเรอโดยสารขามฟากระหวางทาพระจนทรกบทาพรานนก ซงมเรอโดยสารอย 2 ขนาด คอ เรอโดยสารขนาดใหญ 3 ลา และเรอโดยสารขนาดเลก 5 ลา ถาอทยตองไปทางานโดยเรอโดยสารขามฟากดงกลาวทงไปและกลบ โดยขาไปขามจากทาพรานนก และขากลบขามจากทาพระจนทร ถาอทยไปและกลบดวยเรอโดยสารขนาดเดยว เขาจะไปและกลบไดกวธ ถาเขาไปดวยเรอลาหนง แตจะกลบดวยเรออกลาหนง คอ ขาไปและขากลบไมซากน วธทา โดยใชกฎขอท 3 กฎการบวก ทาได 2 แบบ คอ 1) เลอกไปและกลบดวยเรอขนาดใหญ ขาไปเลอกได 3 วธ และ ขากลบเลอกได 2 วธ นนคอ ไปและกลบโดยใชเรอไมซาเทากบ 3 2 = 6 วธ 2) เลอกไปและกลบดวยเรอขนาดเลก ขาไปเลอกได 5 วธ และ ขากลบเลอกได 4 วธ

12


นนคอ ไปและกลบโดยใชเรอไมซาเทากบ 5 4 = 20 วธ ดงนน จานวนวธทอทยไปและกลบดวยเรอขนาดเดยวกนแตไมซาเรอได 6 + 20 = 26 วธ ตวอยางท 18 จะจดชาย 3 คน และหญง 3 คน เขาแถวตรงไดกวธ โดยใหชายและหญงยนสลบกน วธทา กจกรรมนจดได 2 แบบ คอ แบบท 1 จดใหชายยนอยหวแถว จะจดไดดงน ช ญ ช ญ ช ญ

จะจดชายได 3 2 1 = 6 วธ และ จะจดหญงได 3 2 1 = 6 วธ นนคอ จานวนวธทจะจดชาย 3 คน และหญง 3 คน เขาแถวตรง โดยใหชาย และหญงยนสลบกน ซงชายอยหวแถว จะจดไดทงหมด 6 6 = 36 วธ หรอ แบบท 2 จดใหหญงยนอยหวแถว จะจดไดดงน ญ ช ญ ช ญ ช จะจดหญงได 3 2 1 = 6 วธ และ จะจดชายได 3 2 1 = 6 วธ นนคอ จานวนวธทจะจดชาย 3 คน และหญง 3 คน เขาแถวตรง โดยใหชาย และหญงยนสลบกน ซงหญงอยหวแถว จะจดไดทงหมด 6 6 = 36 วธ ดงนน จานวนวธทงหมดทจะจดชาย 3 คน และหญง 3 คน เขาแถวตรง โดยใหชาย และหญงยนสลบกนไดทงหมด 36 + 36 = 72 วธ

13


ใบกจกรรมท 1.1 เรอง กฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ รายวชาคณตศาสตรพนฐาน 4 (ค32102) ระดบชนมธยมศกษาปท 5


คาชแจง ใหตอบคาถามตอไปน พรอมทงแสดงวธทา

1. ในรานไอศกรมแหงหนงมไอศกรมอยหลายชนด แตเดกชายปเตอรชอบไอศกรมอย 3 ชนด คอ วานลลา ชอกโกเลต และสตรอเบอรร ซงมถวยไอศกรมอย 2 ชนด ดงนน เดกชายปเตอรจะสามารถเลอกรบประทานไอศกรมไดตาง ๆ กน กวธ เขยนแผนภาพตนไมเพอตรวจสอบคาตอบ (ถาในการรบประทานแตละครง ตองประกอบดวยไอศกรม 1 ชนด และถวยไอศกรมโคน 1 ชนด) วธทา

2. ถาการแตงกาย 1 ชด ประกอบดวยเสอ 1 ตว กางเกง 1 ตว และรองเทา 1 ค และ บวชมพมเสอ 3 ตว กางเกง 2 ตว และรองเทา 2 ค ถามวา บวชมพจะเลอกแตงกายไดแตกตางกนทงหมดกชด เขยนแผนภาพตนไมเพอตรวจสอบคาตอบ วธทา

14


3. มถนนจากกรงเทพฯ ถงลพบร 2 สาย และมถนนจากลพบรถงนครราชสมาอย 3 สาย ถาจะขบรถยนตจากกรงเทพฯ ถงนครราชสมา โดยขบผานจงหวดลพบร จะใชเสนทางไดทงหมดกเสนทาง และเขยนแผนภาพแสดงการเดนทางเพอตรวจคาตอบดวย วธทา 4. จากตาบล ก. ไปตาบล ข. ได 3 ทาง และจากตาบล ข. ไปตาบล ค. ได 5 ทาง อยากทราบวาจะเดนทางจากตาบล ก. ไปตาบล ค. โดยผานตาบล ข. ไดกวธ เขยนแผนภาพตนไมเพอตรวจสอบคาตอบ วธทา

15


5. หยบไพ 1 ใบ จากสารบ (52 ใบ) จงหาจานวนวธทหยบไดไพเปนแตม 2 หรอ 3 หรอ 4 หรอ 5 วธทา 6. โยนเหรยญ 1 อนและลกเตา 1 ลกพรอมกน จะเกดกรณตาง ๆ ไดกวธ เขยนแผนภาพ ตนไมเพอตรวจสอบคาตอบ วธทา

16


7. เมอโยนเหรยญหาบาทหนงอนหนงครง เหรยญอาจขนหวหรอกอยกได ถาโยนเหรยญหาบาท 3 เหรยญ จะไดผลลพธตาง ๆ กนทงหมดกวธ อะไรบาง เขยนแผนภาพตนไมเพอตรวจสอบคาตอบ วธทา

8. จากตวเลข 0, 1, 2, 3, 4 นามาสรางจานวนเตมคสามหลกโดยไมใหเลขซากนไดกจานวน วธทา


17





1. นารมเสอ 4 ตว กระโปรง 3 ตว และรองเทา 2 ค ถาการแตงกายนาร 1 ชด ประกอบดวยเสอ กระโปรง และรองเทา อยากทราบวานารจะแตงกายไปเทยวไดตาง ๆ กนกชด วธทา

2. จากตวเลข 1, 2, 3, 4, 5, 6 จะนามาสรางจานวนเตมคบวกทมคามากกวา 400 และนอยกวา 999 โดย ใชตวเลขทกาหนดให และตวเลขในแตละหลกไมซากนไดกจานวน วธทา 3. จากตวเลข 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 จะนามาสรางจานวนเตมคบวก 4 หลก ไดกจานวน โดยท ตวเลขในแตละหลกไมซากน วธทา

18


4. หอประชมแหงหนงมประตเขา - ออก 6 ประต อยากทราบวา วนยจะเขาและออกจากหอประชมตามประตตาง ๆ ไดกวธ ถา 1) เขาและออกจากหอประชมโดยประตใดกได 2) เขาและออกจากหอประชมโดยใชประตไมซากบประตทเขามา 3) เขาและออกจากหอประชม โดยเขาประตใดตองออกประตนน วธทา 5. มเรอโดยสารขามฟากระหวางทาคลองสานกบทาสพระยา 2 ขนาด คอ เรอขนาดใหญ 3 ลา และเรอขนาดเลก 5 ลา ถาดารงซงพกอยทางฝงคลองสานตองใชเรอขามฟากจากคลองสานไปสพระยาทงไปและกลบทกวน ดารงจะเลอกลงเรอโดยสารไปและกลบไดกวธ ถา

1) ไปและกลบดวยเรอขนาดใหญ 2) ไปและกลบดวยเรอขนาดเลก 3) ไปดวยเรอขนาดใหญ และกลบดวยเรอขนาดเลก วธทา 6. ถา ก, ข, ค, ง และ จ วงแขงระยะทาง 100 เมตร จงหาจานวนวธทแตละคนวงเขาเสนชยไดท 1, 2, 3, 4 และ 5 (โดยไมมใครวงเสมอกน) วธทา

19


7. จะจดชาย 4 คน และหญง 4 คน เขาแถวตรงไดกวธ โดยใหชายและหญงยนสลบกน วธทา 8. จากคา “CHULA” ถานาตวอกษรจากคานมาจดเปนคาใหม (โดยไมคานงถงความหมาย) จะไดกคา (ไมนบคาเดม) วธทา 9. ถานาตวอกษรจากคา “VITAMEN” มาสรางเปนคาใหมซงประกอบดวย 4 ตวอกษรตาง ๆ กน จะสรางไดกคา วธทา 10. ขอสอบฉบบหนงม 10 ขอ เปนขอสอบทใหตอบวา จรง หรอเทจ ถานกเรยนคนหนงทาขอสอบนทกขอ จงหาจานวนวธทงหมดทเขาจะตอบขอสอบฉบบน วธทา


20





1. บรษทผผลตเครองประดบแหงหนงผลตสรอยคอ 3 แบบแตละแบบม 5 ส และมขนาดตาง ๆ กน 3 ขนาด ถาจะจดเขาตโชวหนารานใหครบทกแบบ ส และขนาดจะตองใชสรอยทงหมดกเสน วธทา

2. จงหาวา

1) จานวนเตมบวกซงมสามหลกมทงหมดกจานวน 2) จานวนคบวกซงมสามหลกมทงหมดกจานวน 3) จานวนเตมบวกซงมสามหลกและหลกหนวยเปน 0 มทงหมดกจานวน วธทา

21


3. บตรเขาชมการแสดงดนตรกาหนดหมายเลขทนงโดยใชตวเลขแสดงตอนทนงตงแต 1 ถง 10 อกษรแสดงแถวทนง ใช A ถง Z และอกษรซา AA ถง ZZ และตวเลขแสดงตาแหนงทนงตงแต 1 ถง 20 จงหาวาจานวนทนงทงหมด วธทา 4. หมายเลขโทรศพทซงประกอบดวยตวเลข 7 ตว และตวเลขสองตวแรกเปน 93 มไดทงหมดกหมายเลข วธทา

5. เดมหมายเลขทะเบยนรถยนตในประเทศไทยประกอบดวยตวอกษรยอชอจงหวดพยญชนะ

1 ตว และตวเลขโดดตามหลงอก 4 ตว เชน ก.ท.

จ.1234 ซง ก.ท.

เปนชอยอกรงเทพมหานคร จงหา

วากองทะเบยนจะใชระบบนออกทะเบยนใหรถยนตไดทงหมดกคน (สมมตวาใชพยญชนะครบทกตว) ตอมากองทะเบยนรถยนตเปลยนระบบออกทะเบยนรถยนตโดยใชเลข 1 ถง 9 นาหนาพยญชนะ 1 ตว และตามดวยเลขโดด 4 ตว เชน โดยวธนกองทะเบยนจะออกหมายเลขทะเบยนรถยนตในแตละจงหวดเพมขนจากเดมเทาไร วธทา

7น - 2512 กรงเทพมหานคร

22


6. การจดระบบรหสหนงสอของหองสมดแหงหนงประกอบดวยตวอกษรภาษาองกฤษ 2 ตว ตวเลขโดด 3 ตว และตวอกษรภาษาองกฤษ 1 ตว ตวเลขโดด 2 ตว เชน RH513 T45 จงหาจานวนหนงสอทงหมดทจะจดไดโดยใชระบบรหสน และถาตวอกษรภาษาองกฤษ 2 ตวแรกแสดงชนดหนงสอ ซงจดไวเปนตอน จงหาจานวนหนงสอในแตละตอน วธทา 7. จงหาจานวนวธทจะไดผลลพธจากการทอดลกเตาสองลกพรอมกน 1) จานวนแตมเทากน 2) จานวนแตมไมเทากน 3) ผลรวมของแตมเทากบ 9 วธทา

ตารางบนทกคะแนน

คะแนนเตม 10 คะแนนทได

23


แบบทดสอบหลงเรยน รายวชาคณตศาสตรพนฐาน 4 (ค32102) ระดบชนมธยมศกษาปท 5


คาชแจง 1. แบบทดสอบชดนมทงหมด 10 ขอ ใชเวลา 10 นาท คะแนนเตม 10 คะแนน 2. ใหนกเรยนทาเครองหมาย X ลงในชองตวเลอกในกระดาษคาตอบทเหนวาถกตองทสด

1. หองเรยนหองหนงมประตอย 5 ประต ถาจะเขาประตหนงแลวออกอกประตหนง โดยไมซากบประต ทเขามาจะมวธเขาและออกประตไดทงหมดกวธ ก. 10 วธ ข. 20 วธ ค. 25 วธ ง. 30 วธ 2. มกางเกงและเสอสาหรบใสไปเทยว 3 ตว และ 4 ตว ตามลาดบ ถาถอวาการแตงกาย 1 ชด ประกอบดวย กางเกง 1 ตว และเสอ 1 ตว ถามวาสามารถแตงกายไปเทยวไดแตกตางกนทงหมดกชด ก. 7 วธ ข. 10 วธ ค. 12 วธ ง. 16 วธ 3. ถาเดนทางจากมหาสารคามไปขอนแกนได 3 ทาง จากขอนแกนไปอดรธานได 3 ทาง ถาเดนทาง จากมหาสารคามไปอดรธานโดยผานขอนแกน จะมวธเลอกเดนทางไดกวธ ก. 3 วธ ข. 4 วธ ค. 6 วธ ง. 9 วธ 4. ตองการจดเรยงตวอกษรในคาวา “SECTOR” โดยขนตนดวย S และลงทายดวย R จะมวธจดได ทงหมดกวธ ก. 12 วธ ข. 24 วธ ค. 72 วธ ง. 120 วธ 5. ตองการสรางจานวนคทมสามหลกจากเลขโดด 4 ตว คอ 2, 4, 6, 9 จะสรางไดทงหมดกจานวน โดยมเงอนไขวาใชเลขซากนได ก. 24 วธ ข. 48 วธ ค. 96 วธ ง. 108 วธ 6. นกเรยนคนหนงทาขอสอบแบบถกผดทงหมด 10 ขอ เขาจะมวธทาขอสอบไดทงหมดกวธ ก. 10 วธ ข. 20 วธ ค. 512 วธ ง. 1,024 วธ

24


7. มรางวล 2 รางวล คอ รางวลเรยนดและรางวลผมคณธรรมและจรยธรรม จะมวธเลอกมอบรางวลใหแก นกเรยน 7 คน ไดทงหมดกวธ ก. 14 วธ ข. 25 วธ ค. 30 วธ ง. 42 วธ 8. หยบไพ 1 ใบ จากสารบหนงทม 52 ใบ จงหาจานวนวธทหยบไดไพเปนแตม 4 หรอ 6 หรอ 8 ก. 12 วธ ข. 13 วธ ค. 26 วธ ง. 39 วธ 9. ตองการสงจดหมาย 4 ฉบบ ลงในตไปรษณย 4 ต จะมวธสงไดทงหมดกวธ ก. 256 วธ ข. 512 วธ ค. 628 วธ ง. 1,296 วธ 10. หองเรยนหองหนง มนกเรยน 30 คน ตองการเลอกหวหนาหองและรองหวหนาหอง ตาแหนงละคน จะมวธเลอกทงหมดกวธ ก. 30 วธ ข. 59 วธ ค. 870 วธ ง. 1,230 วธ

25


กระดาษคาตอบ

แบบทดสอบหลงเรยน เรอง กฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ



ก ข ค ง 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10



9 - 10 คะแนน ระดบ 4 ดเยยม 7 - 8 คะแนน ระดบ 3 ด (ผานเกณฑ) 5 - 6 คะแนน ระดบ 2 ปานกลาง 0 - 4 คะแนน ระดบ 1 ปรบปรง

26


บรรณานกรม กมล เอกไทยเจรญ . คณตศาสตร ม. 5 เลม 3 ตรงตามหลกสตรปรบปรงใหม สสวท. ลาสด .

กรงเทพฯ : ไฮเอดพบลชชง , 2534. กวยา เนาวประทป . เทคนคการเรยนคณตศาสตร : ความนาจะเปน กลมสาระการเรยนร

คณตศาสตร . กรงเทพฯ : ฟสกสเซนเตอร , 2547. จารส อนสม . คมอคณตศาสตรเพมเตม เลม 2 ชนมธยมศกษาปท 5 ภาคเรยนท 2 . กรงเทพฯ :

ทองพนพรนตง , 2547. ทรงวทย สวรรณธาดา. วารสารแมค ม.ปลาย วทย . กรงเทพฯ : เจาพระยาระบบการพมพ. ฉบบท 7

ปท 14 พฤศจกายน, 2537. หนาท 105 – 120. ธระศกด อรจนานนท . ความนาจะเปนและสถตประยกต เลม 1 . กรงเทพฯ : สกายบกส , 2546. นวลนอย เจรญผล. วารสารแมค ม.ปลาย วทย . กรงเทพฯ : ชวนพมพ. ฉบบท 5 ปท 9 ตลาคม,

2532. หนาท 35 – 47. พพฒน เพรดพรง . ความนาจะเปน . กรงเทพฯ : สมาคมสงเสรมเทคโนโลย (ไทย - ญปน) , 2546. มาโนชญ วณชชานนท. สรปเขมคณตศาสตร ม.ปลาย 4 – 5 – 6. กรงเทพฯ : เจาพระยาระบบการพมพ

, 2534. มาโนชญ วณชชานนท. วารสารแมค ม.ปลาย วทย . กรงเทพฯ : ชวนพมพ. ฉบบท 5 ปท 10

กนยายน, 2533. หนาท 219 – 234. มาโนชญ วณชชานนท. วารสารแมค ม.ปลาย วทย . กรงเทพฯ : โรงพมพประชาชน. ฉบบท 2 ปท 11 มถนายน, 2534. หนาท 113 – 122. มาโนชญ วณชชานนท. วารสารแมค ม.ปลาย วทย . กรงเทพฯ : ชวนพมพ. ฉบบท 6 ปท 11

กรกฎาคม, 2534. หนาท 38 – 48. ลกขณา นลกลด. วารสารแมค ม.ปลาย วทย . กรงเทพฯ : ชวนพมพ. ฉบบท 6 ปท 11 กรกฎาคม,

2534. หนาท 38 – 46. ศกษาธการ, กระทรวง. สถาบนสงเสรมการสอนวทยาศาสตรและเทคโนโลย . หนงสอเรยนคณตศาสตร ค

016 : ระดบมธยมศกษาตอนปลาย . พมพครงท 3. กรงเทพฯ : ครสภาลาดพราว , 2539. สปเกล, เมอรเรย อาร . ทฤษฎและตวอยางโจทย แคลคลสขนสง . กรงเทพฯ : แมคกรอ – ฮล อนเตอร

เนชนแนล เอนเตอรไพรส องค , 2540. สปเกล, เมอรเรย อาร . ทฤษฎและตวอยางโจทย สถตและความนาจะเปน . กรงเทพฯ : แมคกรอ – ฮล อนเตอรเนชนแนล เอนเตอรไพรส องค , 2539. สมจตต ตณจนดา. วารสารแมค ม.ปลาย วทย . กรงเทพฯ : เจาพระยาระบบการพมพ. ฉบบท 6 ปท 16 ตลาคม, 2539. หนาท 65 – 81. สมจตต ตณจนดา. วารสารแมค ม.ปลาย วทย . กรงเทพฯ : เจาพระยาระบบการพมพ. ฉบบท 6 ปท 16 ตลาคม, 2539. หนาท 155 – 164. สมย เหลาวานชย . โจทยคณตศาสตร ม. 4 – 5 – 6 . กรงเทพฯ : อมรการพมพ , 2521. สมย เหลาวานชย . คณตศาสตร ม. 4 – 5 – 6 ตรงตามหลกสตรปรบปรงใหม สสวท. ลาสด .

กรงเทพฯ : เจรญดการพมพ , 2537.

27


สมย เหลาวานชย . คณตศาสตร ม. 4 – 5 – 6 ตรงตามหลกสตรปรบปรงใหม สสวท. ลาสด . กรงเทพฯ : ไฮเอดพบลชชง , 2534.

อนนทศลป รจเรข และจารญ เทยมธรรม. คณตศาสตร 1 . กรงเทพฯ : สานกพมพ พ เอส พ , 2544. อเนก หรญ. ความนาจะเปน ระดบมธยมศกษาตอนปลาย . กรงเทพฯ : ฟสกสเซนเตอร , 2543. อเนก หรญ. คณตศาสตร 016 . กรงเทพฯ : ฟสกสเซนเตอร , 2539. อารมณ แสงเพชรสอง และวรศกด รตนสมบรณ . คณตศาสตร 1 . กรงเทพฯ : พทกษการพมพ ,

2534. V. N. DECHPHUN . คมอและสรปบทเรยนคณตศาสตรมธยมปลาย ฉบบเสรมประสบการณเตรยมสอบ

ประจาภาคเรยนและ Entrance เลม 6 .กรงเทพฯ : สานกพมพวจยและพฒนาวชาการ (ส.ว.พ), 2545.

28


ภาคผนวก

29


เฉลยแบบทดสอบกอนเรยน เรอง กฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ


ก ข ค ง 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

30


เฉลยใบกจกรรมท 1.1 เรอง กฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ รายวชาคณตศาสตรพนฐาน 4 (ค32102) ระดบชนมธยมศกษาปท 5

1. วธทา สามารถเขยนเปนแผนภาพตนไม ไดดงน ใหไอศกรม 3 ชนด แทน ว, ช และ ส ตามลาดบ และ ใหถวยไอศกรมโคน 2 ชนด แทน ถ1 และ ถ2 ตามลาดบ ว ถ1ว ถ1 ช ถ1ช ส ถ1ส ว ถ2ว ถ2 ช ถ2ช ส ถ2ช ดงนน จานวนวธทเดกชายปเตอรสามารถเลอกรบประทานไอศกรมไดตาง ๆ กน ทงหมด 6 วธ ใชกฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ ไดดงน ขนตอนท 1 เดกชายปเตอรมวธเลอกถวยไอศกรมได 2 วธ ขนตอนท 2 ในแตละวธของการเลอกถวยไอศกรมจะเลอกไอศกรมไดอก 3 วธ ดงนน จานวนวธทงหมดทจะเลอกรบประทานไอศกรมไดตางกน คอ 2 3 = 6 วธ 2. วธทา ใชกฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ ไดดงน กจกรรมนม 3 ขนตอน คอ ขนตอนท 1 เลอกสวมกางเกง ซงเลอกได 2 วธ ขนตอนท 2 เลอกสวมเสอ ซงแตละวธทเลอกสวมกางเกงสมารถเลอกสวมเสอได 3 วธ ขนตอนท 3 เลอกสวมรองเทา ซงขณะทเลอกสวมกางเกงและเลอกสวมเสอในแตละวธ สามารถเลอกสวมรองเทาไดอก 2 วธ ดงนน จานวนวธทงหมดทบวชมพจะเลอกแตงกายไดทงสน เทากบ 2 3 2 = 6 วธ หรอ 12 ชด ใหกางเกง 2 ตว แทน ก1 และ ก2 ตามลาดบ และ ใหเสอ 3 ตว แทน ส1, ส2 และ ส3 ตามลาดบ และ ใหรองเทา 2 ค แทน ท1 และ ท2 ตามลาดบ สามารถเขยนเปนแผนภาพตนไม ไดดงน ท1 (ก1, ส1, ท1) ท2 (ก1, ส1, ท2) ท1 (ก1, ส2, ท1) ท2 (ก1, ส2, ท2) ท1 (ก1, ส3, ท1) ท2 (ก1, ส3, ท2)

ส1

ส2

ส3

ก1

31


ท1 (ก2, ส1, ท1) ท2 (ก2, ส1, ท2) ท1 (ก2, ส2, ท1) ท2 (ก2, ส2, ท2) ท1 (ก2, ส3, ท1) ท2 (ก2, ส3, ท2)

ดงนน บวชมพเลอกแตงกายไดแตกตางกนทงหมดเทากบ 12 ชด 3. วธทา สามารถเขยนเปนแผนภาพตนไม ไดดงน ให ล แทน ลพบร และให น แทน นครราชสมา น1 ล1 น2 น3 น1 ล2 น2 น3 ใชกฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบได งานนแบงออกเปน 2 ขนตอน คอ ขนตอนท 1 การเลอกเสนทางจากกรงเทพฯ ไปลพบร ซงเลอกทาได 2 วธ ขนตอนท 2 การเลอกเดนทางจากลพบรไปนครราชสมา ซงเลอกทาได 3 วธ ดงนน จานวนวธทงหมดทเลอกเดนทางทจะขบรถจากกรงเทพฯ ไปนครราชสมา โดยผานลพบร เทากบ = 2 3 = 6 วธ จะเหนไดวามวธเลอกเสนทางจากกรงเทพฯ ถงนครราชสมา โดยผานลพบรไดทงหมด 6 เสนทาง 4. วธทา ใชกฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบได งานนแบงออกเปน 2 ขนตอน คอ ขนตอนท 1 จากตาบล ก. ไปตาบล ข. มวธเดนทางได 3 วธ ขนตอนท 2 จากตาบล ข. ไปตาบล ค. มวธเดนทางได 5 วธ ดงนน จานวนวธเดนทางไดทงหมดเทากบ 3 5 = 15 วธ หรออาจเขยนเปนแผนภาพตนไมไดดงน

ส1

ส2

ส3

ก2

ก1

32


ตาบล ก. ตาบล ข. ตาบล ค. 1 2 1 3 4 5 1 2 2 3 4 5 1 2 3 3 4 5

ดงนน จานวนวธเดนทางไดทงหมดเทากบ 3 5 = 15 วธ 5. วธทา การหยบไพ 1 ใบ ใหไดแตมดงกลาวทาได 4 ทาง คอ 1) หยบใหไดแตม 2 ทาได 4 วธ คอ 2 โพดา หรอ 2 โพแดง หรอ 2 ดอกจก หรอ 2 ขาวหลามตด หรอ 2) หยบใหไดแตม 3 ทาได 4 วธ คอ 3 โพดา หรอ 3 โพแดง หรอ 2 ดอกจก หรอ 3 ขาวหลามตด หรอ 3) หยบใหไดแตม 4 ทาได 4 วธ คอ 4 โพดา หรอ 4 โพแดง หรอ 4 ดอกจก หรอ 4 ขาวหลามตด หรอ 4) หยบใหไดแตม 5 ทาได 4 วธ คอ 5 โพดา หรอ 5 โพแดง หรอ 5 ดอกจก หรอ 5 ขาวหลามตด ดงนน จานวนวธทงหมดทหยบไพ 1 ใบจากสารบใหไดแตมดงกลาว ทาไดเทากบ 4 + 4 + 4 + 4 = 16 วธ 6. วธทา ใชกฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบได งานนแบงออกเปน 2 ขนตอน คอ ขนตอนท 1 โยนเหรยญ 1 อนจะเกดกรณตาง ๆ ได 2 วธ ขนตอนท 2 โยนลกเตา 1 ลกจะเกดกรณตาง ๆ ได 6 วธ ดงนน การกระทา 2 ขนตอนพรอมกนจะเกดกรณตาง ๆ ไดเทากบ 2 6 = 12 วธ หรออาจเขยนเปนแผนภาพตนไมไดดงน

33


เหรยญ ลกเตา 1 2 H 3 4 5 6 1 2 T 3 4 5 6 ดงนน จะเกดกรณตาง ๆ ไดทงหมดเทากบ 2 6 = 12 วธ 7. วธทา ผลลพธทไดจากการโยนเหรยญแตละครงจะเปนหวหรอกอย ม 2 วธ โยนเหรยญแรกมวธ 2 วธ และจากการโยนเหรยญแรกจะเกดวธจากการโยนเหรยญทสอง 2 วธ และจากการโยนเหรยญแรกและเหรยญทสองจะมวธจากการโยนเหรยญทสาม 2 วธ ดงนน จานวนวธทงหมดเทากบ 2 2 2 = 8 วธ สามารถเขยนเปนแผนภาพตนไม ไดดงน ให H แทนการโยนเหรยญแลวขนหว และให T แทนการโยนเหรยญแลวขนกอย H3

H2 T3 H3 T2 T3 H3

H2 T3 H3 T2 ดงนน จะไดวา มผลลพธทงหมด 8 วธ คอ (H1, H2, H3), (H1, H2, T3), (H1, T2, H3), (H1, T2, T3), (T1, H2, H3), (T1, H2, T3), (T1, T2, H3), (T1, T2, T3)

H1

T1

T3

34


ใชกฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบได งานนแบงออกเปน 3 ขนตอน คอ ขนตอนท 1 การโยนเหรยญอนทหนง ซงทาได 2 วธ ขนตอนท 2 การโยนเหรยญอนทสอง ซงทาได 2 วธ ขนตอนท 3 การโยนเหรยญอนทสาม ซงทาได 2 วธ ดงนน จานวนวธทงหมดเทากบ 2 2 2 = 8 วธ 8. วธทา พจารณาเปน 2 กรณทแยกออกจากกนอยางเดดขาด กรณท 1 จานวนเตมคทลงทายดวย 0 ขนตอนท 1 จดหลกหนวยได 1 วธ (ลง 0 ไดตวเดยว) ขนตอนท 2 จดหลกรอยได 4 วธ (ทกตวยกเวน 0) ขนตอนท 3 จดหลกสบได 3 วธ (ยกเวน 0 และตวเลขจากขนตอนท 2) นนคอ สามารถสรางจานวนเตมค 3 หลกและลงทายดวย 0 ได 1 4 3 = 12 จานวน กรณท 2 จานวนเตมคทไมไดลงทายดวย 0 ขนตอนท 1 จดหลกหนวยได 2 วธ (เลอกจาก 2 หรอ 4) ขนตอนท 2 จดหลกรอยได 3 วธ (ทกตวยกเวน 0 และตวเลขจากขนตอนท 1) ขนตอนท 3 จดหลกสบได 3 วธ (ทกตวทเหลอ) นนคอ สามารถสรางจานวนเตมคทลงทายดวย 2 หรอ 4 ได 2 3 3 = 18 จานวน ดงนน จะสามารถสรางจานวนเตมคไดทงหมด 12 + 18 = 30 จานวน

35



1. วธทา กจกรรมนแบงได 3 ขนตอน คอ ขนท 1 เลอกสวมเสอได 4 วธ และขนท 2 ในแตละวธทเลอกสวมเสอ สามารถเลอกสวมกระโปรงไดอก 3 วธ และขนท 3 ในแตละวธทเลอกสวมเสอและกระโปรง ยงสามารถเลอกสวมรองเทาไดอก 2 วธ นนคอ จานวนวธทงหมดเทากบ 4 3 2 = 24 วธ ดงนน นารสามารถแตงกายไดตาง ๆ กนเทากบ 24 ชด 2. วธทา ถาหลกรอยเปนเลข 4 จะเลอกได 1 วธ หลกหนวย เลอกไดจาก 2 หรอ 6 เลอกได 2 วธ หลกสบ เลอกตวเลขทเหลอได 4 วธ นนคอ ถาหลกรอยเปนเลข 4 จะสรางได 1 4 2 = 8 จานวน หรอ ถาหลกรอยเปนเลข 5 จะเลอกได 1 วธ หลกหนวย เลอก 3 วธ (คอ 2 หรอ 4 หรอ 6) หลกสบ เลอกได 4 วธ นนคอ ถาหลกรอยเปนเลข 5 จะสรางได 1 3 4 = 12 จานวน หรอ ถาหลกรอยเปนเลข 6 จะเลอกได 1 วธ หลกหนวย เลอก 2 วธ (คอ 2 หรอ 4) หลกสบ เลอกได 4 วธ นนคอ ถาหลกรอยเปนเลข 6 จะสรางได 1 4 2 = 8 จานวน ดงนน จะสรางเลข 3 หลกทมคาระหวาง 400 และ 999 ได 8 + 12 + 8 = 28 จานวน 3. วธทา สรางได 2 แบบ คอ หลกหนวยเปนเลข 0 หลกหนวย จะเลอกได 1 วธ หลกพน จะเลอกได 6 วธ หลกรอย จะเลอกได 5 วธ หลกสบ จะเลอกได 4 วธ นนคอ จะสรางเลขคทหลกหนวยเปนเลข 0 ได 1 6 5 4 = 120 จานวน หรอหลกหนวยไมเปนเลข 0 หลกหนวย จะเลอกได 3 วธ (คอ 2 หรอ 4 หรอ 6) หลกพน จะเลอกได 5 วธ (ยกเวน 0) หลกรอย จะเลอกได 5 วธ หลกสบ จะเลอกได 4 วธ นนคอ จะสรางเลขคทหลกหนวยไมเปนเลข 0 ได 3 5 5 4 = 300 จานวน

36


ดงนน จะสรางเลขค 4 หลก ไดทงหมด 120 + 300 = 420 จานวน 4. วธทา 1) เขาและออกได 6 6 = 36 วธ 2) เขาและออกได 6 5 = 30 วธ 3) เขาและออกได 6 1 = 6 วธ 5. วธทา 1) ไปและกลบได 3 3 = 9 วธ 2) ไปและกลบได 5 5 = 25 วธ 3) ไปและกลบได 3 5 = 15 วธ 6. วธทา เขาท 1 มได 5 วธ (คอ ก. หรอ ข. หรอ ค. หรอ ง. หรอ จ. คนใดคนหนง) เขาท 2 มได 4 วธ (คอ คนทเหลอ 4 คน ๆ ใดคนหนง) เขาท 3 มได 3 วธ (คอ คนทเหลอ 3 คน ๆ ใดคนหนง) เขาท 4 มได 2 วธ (คอ คนทเหลอ 2 คน ๆ ใดคนหนง) เขาท 5 มได 1 วธ (คอ คนทวงเขาสดทาย) 7. วธทา กจกรรมนจดได 2 แบบ คอ

แบบท 1 จดใหชายยนอยหวแถว จะจดไดดงน ช ญ ช ญ ช ญ ช ญ จะจดชายได 4 3 2 1 = 24 วธ และ จะจดหญงได 4 3 2 1 = 24 วธ นนคอ จานวนวธทจะจดชาย 4 คน หญง 4 คน เขาแถวตรง โดยใหชายและหญง ยนสลบกน ซงชายอยหวแถว จะจดไดทงหมด 24 24 = 576 วธ หรอ แบบท 2 จดใหหญงยนอยหวแถว จะจดไดดงน ญ ช ญ ช ญ ช ญ ช จะจดหญงได 4 3 2 1 = 24 วธ และ จะจดชายได 4 3 2 1 = 24 วธ นนคอ จานวนวธทจะจดชาย 4 คน หญง 4 คน เขาแถวตรง โดยใหชายและหญง ยนสลบกน ซงหญงอยหวแถว จะจดไดทงหมด 24 24 = 576 วธ ดงนน จานวนวธทงหมดทจะจดชาย 4 คน และหญง 4 คน เขาแถวตรง โดยใหชายและหญง ยนสลบกนไดทงหมด 576 + 576 = 1,152 วธ 8. วธทา จากตวอกษรในคาวา CHULA ม 5 ตว ตางกน จะจดเปนคาซงประกอบดวย ตวอกษรดงกลาวทง 5 ตว จะจดไดเทากบ 5 4 3 2 1 = 120 คา ดงนน คาใหมทสรางไดเทากบ 120 - 1 = 119 คา

37


9. วธทา คาวา VITAMEN ประกอบดวยตวอกษร 7 ตวตาง ๆ กน จะสรางคาใหมประกอบดวย ตวอกษร 4 ตว จะสรางได 7 6 5 4 = 840 คา 10. วธทา ขนท 1 เลอกตอบขอท 1 ได 2 วธ (เทจหรอจรง) ขนท 2, ขนท 3, ขนท 4,... ,ขนท 10 เลอกตอบไดขนละ 2 วธ ตามลาดบ (เทจหรอจรง) ดงนน จะไดทงหมดเทากบ 2 2 2 ... 2 = 210 = 1,024 วธ 10

38



1. วธทา ขนท 1 จดแบบได 3 วธ ขนท 2 จดสได 5 วธ ขนท 3 จดขนาดได 3 วธ นนคอ จะจดไดทงหมดเทากบ 3 5 3 = 45 วธ ดงนน ถาจะจดสรอยคอเขาตโชวหนารานใหครบทกแบบ ส และขนาด จะตองใช สรอยคอทงหมดเทากบ 45 ตว 2. 1) วธทา ขนท 1 จดหลกรอยได 9 วธ (เลอกจาก 1, 2, 3, ... , 9) ขนท 2 จดหลกสบได 10 วธ (เลอกจาก 0, 1, 2, 3, ... , 9) ขนท 3 จดหลกหนวยได 10 วธ (เลอกจาก 0, 1, 2, 3, ... , 9) นนคอ จะจดไดทงหมด 9 10 10 = 900 วธ ดงนน จานวนเตมบวกซงมสามหลกมทงหมดเทากบ 900 จานวน 2) วธทา ขนท 1 จดหลกหนวยได 5 วธ (เลอกจาก 1, 3, 5, 7 , 9) ขนท 2 จดหลกรอยได 9 วธ (เลอกจาก 1, 2, 3, ... , 9) ขนท 3 จดหลกสบได 10 วธ (เลอกจาก 0, 1, 2, 3, ... , 9) นนคอ จะจดไดทงหมด 5 9 10 = 450 วธ ดงนน จานวนเตมคซงมสามหลกจะมทงหมดเทากบ 450 จานวน 3) วธทา ขนท 1 จดหลกหนวยได 1 วธ (เลอกจาก 0) ขนท 2 จดหลกรอยได 9 วธ (เลอกจาก 1, 2, 3, ... , 9) ขนท 3 จดหลกสบได 10 วธ (เลอกจาก 0, 1, 2, 3, ... , 9) นนคอ จะจดไดทงหมดเทากบ 1 9 10 = 90 วธ ดงนน จานวนเตมบวกซงมสามหลกและหลกหนวยเปน 0 มทงหมด 90 จานวน 3. วธทา ขนท 1 จดตอนทนงได 10 วธ (เลอกจาก 1, 2, 3, ... , 10) ขนท 2 จดอกษรแสดงทนงได 52 วธ (เลอกจาก A, B, C, …, Z และ AA, BB, CC, …,ZZ) ขนท 3 จดตวเลขแสดงตาแหนงทนงได 20 วธ (เลอกจาก 1, 2, 3, ... , 20) นนคอ จะจดไดทงหมด 10 52 20 = 10,400 วธ ดงนน ทนงในสนามกฬาจะมทงหมดเทากบ 10,400 ทนง

39


4. วธทา ขนท 1 จดตวเลข 2 ตวแรกได 1 วธ (เลอกจาก 93) ขนท 2 จดตวเลข 5 ตว ตอจากขนท 1 ได 10 10 10 10 10 = 105 นนคอ จะจดไดทงหมด 1 105 = 100,000 วธ ดงนน จะมหมายเลขโทรศพทไดทงหมด 100,000 หมายเลข 5. วธทา วธเดม ขนท 1 จดชอยอของจงหวดได 1 วธ ในแตละจงหวด ขนท 2 จดพยญชนะได 44 วธ (เลอกจาก ก, ข, ค, ..., ฮ) ขนท 3 จดตวเลขโดด 4 ตว ได 104 - 1 วธ (ลบดวย 1 เพราะวา 0000 ไมนบ) นนคอ จะจดไดทงหมด 1 44 (104 – 1) = 439,956 วธ ดงนน กองทะเบยนจะใชระบบนออกทะเบยนใหรถยนตไดทงหมด 439,956 คน วธใหม ขนท 1 จดตวเลขนาหนาพยญชนะได 9 วธ (เลอกจาก 1, 2, 3, ... , 9) ขนท 2 จดพยญชนะได 44 วธ (เลอกจาก ก, ข, ค, ..., ฮ) ขนท 3 จดตวเลขโดด 4 ตว ได 104 - 1 วธ (ลบดวย 1 เพราะวา 0000 ไมนบ) นนคอ จะจดไดทงหมด 9 44 (104 – 1) = 3,959,604 วธ ดงนน กองทะเบยนจะใชระบบนออกหมายเลขทะเบยนใหรถยนตไดทงหมด 3,959,604 คน สรป กองทะเบยนออกหมายเลขทะเบยนจงหวดเพมขน = 3,959,604 – 439,956 = 3,519,648 วธ 6. วธทา ขนท 1 จดตวอกษรภาษาองกฤษ 2 ตว ได 26 26 = 676 วธ ขนท 2 จดตวเลขโดด 3 ตว ได 10 10 10 = 103 = 1,000 วธ ขนท 3 จดตวอกษรภาษาองกฤษ 1 ตว ได 26 วธ (เลอกจาก A, B, C, …, Z) ขนท 4 จดตวเลขโดด 2 ตว ได 10 10 = 102 = 100 วธ นนคอ จะจดไดทงหมดเทากบ 676 1,000 26 100 = 1,757,600,000 วธ ดงนน จะมหนงสอทงหมดเทากบ 1,757,600,000 เลม สรป หนงสอแตละตอนจะม 1 1,000 26 100 = 2,600,000 เลม 7. 1) วธทา ขนท 1 ทอดลกเตาลกแรก ผลทไดม 6 วธ (จาก 1, 2, 3, 4, 5, 6) ขนท 2 ทอดลกเตาลกทสอง ผลทไดเหมอนผลของลกแรก จะมได 1 วธ นนคอ จะไดทงหมดเทากบ 6 1 = 6 วธ ดงนน จะไดแตมตรงกนม 6 วธ 2) วธทา ขนท 1 ทอดลกเตาลกแรก ผลทไดม 6 วธ (จาก 1, 2, 3, 4, 5, 6) ขนท 2 ทอดลกเตาลกทสอง ผลทไดใหตางจากผลของลกแรก จะมได 5 วธ (ตดไป 1 วธ จากขนท 1)

40


นนคอ จะไดทงหมดเทากบ 6 5 = 30 วธ ดงนน จะไดแตมตางกนม 30 วธ ขอควรทราบ จานวนแตมตางกน อาจหาไดจาก (6 6) - 6 = 30 เอาจานวนวธทเปนไปไดทงหมด ลบดวยจานวนแตมเทากน ผลทได คอ จานวนแตมทไมเทากน 3) วธทา ขนท 1 ทอดลกเตาลกแรก ผลทไดมเพยง 4 วธ (เลอกจาก 3, 4, 5, 6) ขนท 2 ทอดลกเตาลกทสอง เพอใหไดแตมทผลรวมของแตมทง 2 ลกเปน 9 จะมไดเพยง 1 วธ นนคอ จะไดทงหมดเทากบ 4 1 = 4 วธ ดงนน ผลรวมของแตมเทากบ 9 จะมได 4 วธ คอ (3, 6), (4, 5), (5, 4) และ (6, 3)

41


เฉลยแบบทดสอบหลงเรยน



ก ข ค ง 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

42


แบบบนทกคะแนน



รายการ คะแนนเตม คะแนนทได ผลการประเมน

แบบทดสอบกอนเรยน 10 ใบกจกรรมท 1.1 10 ใบกจกรรมท 1.2 10 ใบกจกรรมท 1.3 10

แบบทดสอบหลงเรยน 10 รวม 50


การผานเกณฑในการทาแตละใบกจกรรม นกเรยนจะตองทาใบกจกรรมไดถกตองไมนอยกวารอยละ 70 ใบกจกรรมท 1.1 ผานเกณฑตองไดคะแนนไมนอยกวา 7 คะแนน ใบกจกรรมท 1.2 ผานเกณฑตองไดคะแนนไมนอยกวา 7 คะแนน ใบกจกรรมท 1.3 ผานเกณฑตองไดคะแนนไมนอยกวา 7 คะแนน

การผานเกณฑในการทาแบบทดสอบ นกเรยนจะตองทาแบบทดสอบไดถกตองไมนอยกวารอยละ 70

แบบทดสอบกอนเรยน ผานเกณฑตองไดคะแนนไมนอยกวา 7 คะแนน แบบทดสอบหลงเรยน ผานเกณฑตองไดคะแนนไมนอยกวา 7 คะแนน

สรปผลการประเมน

ผานเกณฑการประเมน ไมผานเกณฑการประเมน

43

ชุดกิจกรรมการเรียนรู้ที่ 1...

Documents

Transcript of ชุดกิจกรรมการเรียนรู้ที่ 1...