การอิินทเกรตเชิ งซ อน - Silpakorn University ·...
73
การอินทิเกรตเชิงซอน โดย นางสาวอารีรัตน วองกก สารนิพนธนี้เปนสวนหนึ่งของการศึกษาตามหลักสูตรปริญญาวิทยาศาสตรมหาบัณฑิต สาขาวิชาคณิตศาสตรและเทคโนโลยีสารสนเทศ ภาควิชาคณิตศาสตร บัณฑิตวิทยาลัย มหาวิทยาลัยศิลปากร ปการศึกษา 2549 ISBN 974 - 11 - 6266 - 9 ลิขสิทธิ์ของบัณฑิตวิทยาลัย มหาวิทยาลัยศิลปากร
Transcript of การอิินทเกรตเชิ งซ อน - Silpakorn University ·...
การอนทเกรตเชงซอน
โดย นางสาวอารรตน วองกก
สารนพนธนเปนสวนหนงของการศกษาตามหลกสตรปรญญาวทยาศาสตรมหาบณฑต สาขาวชาคณตศาสตรและเทคโนโลยสารสนเทศ
ภาควชาคณตศาสตร บณฑตวทยาลย มหาวทยาลยศลปากร
ปการศกษา 2549 ISBN 974 - 11 - 6266 - 9
ลขสทธของบณฑตวทยาลย มหาวทยาลยศลปากร
COMPLEX INTEGRATION
By Areerat Vongkok
A Master’s Report Submitted in Partial Fulfillment of the Requirements for the Degree MASTER OF SCIENCE
Department of Mathematics Graduate School
SILPAKORN UNIVERSITY 2006
ISBN 974 - 11 - 6266 - 9
บณฑตวทยาลย มหาวทยาลยศลปากร อนมตใหสารนพนธเรอง “การอนทเกรตเชงซอน” เสนอโดย นางสาวอารรตน วองกก เปนสวนหนงของการศกษาตามหลกสตรปรญญาวทยาศาสตรมหาบณฑต สาขาวชาคณตศาสตรและเทคโนโลยสารสนเทศ
....................................................................... (รองศาสตราจารย ดร.ศรชย ชนะตงกร)
คณบดบณฑตวทยาลย วนท...........เดอน...........................พ.ศ.............
ผควบคมสารนพนธ
รองศาสตราจารย วาร เกรอต คณะกรรมการตรวจสอบสารนพนธ .............................................................................ประธานกรรมการ (รองศาสตราจารย ดร.ฉววรรณ รตนประเสรฐ) ………../…….………/………. .............................................................................กรรมการ (รองศาสตราจารย วาร เกรอต) ………../…….………/………. .............................................................................กรรมการ (รองศาสตราจารย ดร.สบสกล อยยนยง) ………../…….………/……….
ง
K 45308312 : สาขาวชาคณตศาสตรและเทคโนโลยสารสนเทศ คาสาคญ : การอนทเกรตเชงซอน
อารรตน วองกก : การอนทเกรตเชงซอน (COMPLEX INTEGRATION) อาจารยผควบคมสารนพนธ : รศ. วาร เกรอต. 66 หนา. ISBN 974-11-6266-9
ในสารนพนธฉบบน เราจะศกษาการอนทเกรตเชงซอน ซงเปนแนวคดของการอนทเกรตฟงกชนเชงซอนบนเสนโคงทเรยกวาคอนทวร นอกจากนเราศกษาทฤษฎบทสาคญของคอนทวรอนทกรล เมออนทแกรนดเปนฟงกชนวเคราะห ไดแก ทฤษฎบทของโคช-กอซาท และสตรอนทกรลของโคช สดทายเราประยกตทฤษฎบททงสองในการหาคาของรมนนอนทกรล และ อมพรอบเพออนทกรล
ภาควชาคณตศาสตร บณฑตวทยาลย มหาวทยาลยศลปากร ปการศกษา 2549 ลายมอชอนกศกษา........................................................................................................ ลายมอชออาจารยผควบคมสารนพนธ...........................................................................
จ
K 45308312 : MAJOR : MATHEMATICS AND INFORMATION TECHNOLOGY
KEY WORD : COMPLEX INTEGRATION
AREERAT VONGKOK : COMPLEX INTEGRATION : ASSOC. PROF. WAREE KAROT. 66 pp. ISBN 974-11-6266-9
In this project we study integration of complex functions on curves called contours.
We also study main theorems of contour integrals of which integrands are analytic functions. These main theorems are Cauchy-Goursat Theorem and Cauchy’s Integral Formula. Finally we apply these two theorems to evaluate Riemann integrals and improper integrals. Department of Mathematics Graduate School, Silpakorn University Academic Year 2006 Student’s signature ………………………………………………..………..………. Master’s Report Advisor’s signature ……………………………………..…………
ฉ
กตตกรรมประกาศ
สารนพนธฉบบนสาเรจลลวงไดดวยความกรณาจาก รองศาสตราจารย วาร เกรอต
อาจารยผควบคมสารนพนธทใหคาปรกษา แนะนา แกไขในสวนทบกพรองตาง ๆ และชวยเตมเตมความร จนทาใหสารนพนธฉบบนสาเรจไดดวยด
ขอกราบขอบพระคณอาจารยภาควชาคณตศาสตร ภาควชาสถต และภาควชาคอมพวเตอร คณะวทยาศาสตร มหาวทยาลยศลปากร ทกทานทไดประสทธประสาทวชา ความร จนทาใหขาพเจาประสบความสาเรจไดดวยด
ขอขอบคณเพอน ๆ ในสาขาวชาคณตศาสตร และเทคโนโลยสารสนเทศ และเพอน ๆ รวมรนSC 26 (สาขาวชาคณตศาสตร) ทมสวนชวยเหลอ ใหคาปรกษา และเปนกาลงใจดวยด รวมทงกาลงใจจากเพอน ๆ รวมงาน
สดทายขอกราบขอบพระคณพอ และแม ทใหการสนบสนนการศกษา และเปนกาลงใจดวยดเสมอมา รวมทงกาลงใจจากญาตพนอง ในการศกษาจนทาใหประสบความสาเรจไดในวนน
สารบญ
หนาบทคดยอภาษาไทย...................................................................................................................... งบทคดยอภาษาองกฤษ................................................................................................................. จกตตกรรมประกาศ....................................................................................................................... ฉบทท
1 บทนา............................................................................................................................... 12 ทฤษฎบทพนฐาน............................................................................................................. 23 การอนทเกรตเชงซอน...................................................................................................... 18 3.1 เสนโคง และพาราเมทไทรเซชน............................................................................. 18 3.2 คอนทวรอนทกรล................................................................................................... 27 3.3 ทฤษฎบทหลกมลของคอนทวรอนทกรล................................................................ 434 การประยกตของคอนทวรอนทกรล................................................................................. 58
บรรณานกรม............................................................................................................................... 64บญชสญลกษณ............................................................................................................................ 65ประวตผวจย................................................................................................................................ 66
บทท 1 บทนา
(INTRODUCTION)
การอนทเกรตเชงซอน เปนหวขอในการวเคราะหเชงซอนทนาสนใจ ซงมการนาไปประยกตใชอยางกวางขวาง ทงในคณตศาสตรประยกต ฟสกส และวศวกรรมศาสตร เปนตน
ในสารนพนธนเราจะเรมศกษาบทนยาม และทฤษฎบทพนฐานตางๆ ทเกยวของในการศกษาการอนทเกรตของเชงซอน พรอมทงแนวคดการอนทเกรตของฟงกชนเชงซอนบนเสนโคง ศกษาทฤษฎบทสาคญของคอนทวรอนทกรลเมออนทแกรนดเปนฟงกชนวเคราะห ไดแก ทฤษฎบทของโคช-กอซาท และสตรอนทกรลของโคช และการนาทฤษฎบททงสองนไปประยกตใชในการหาของคาของรมนนอนทกรล และอมพรอบเพออนทกรล รายละเอยดของแตละบทมดงตอไปน
บทท 2 : กลาวถงบทนยาม และทฤษฎบทพนฐานของจานวนจรง และจานวนเชงซอน ซงจาเปนในการศกษาการอนทเกรตเชงซอน
บทท 3 : ศกษาแนวคดการอนทเกรตของฟงกชนเชงซอน และคณสมบตทเกยวของ การคาอนทกรลตามเสนโคงของฟงกชน ทเรยกวา คอนทวรอนทกรล และเราจะศกษาทฤษฎบทสาคญของคอนทวรอนทกรล ไดแก ทฤษฎบทของโคช-กอซาท และสตรอนทกรลของโคช
บทท 4 : ศกษาการนาคณสมบตของการอนทเกรตเชงซอน และทฤษฎบทสาคญของคอนทวรอนทกรล ไปประยกตใชในการหาคาของรมนนอนทกรล และอมพรอบเพออนทกรลบางรป
บทท 2
ทฤษฎบทพนฐาน (BASIC THEOREMS)
ในบทนจะกลาวถงบทนยาม และทฤษฎบทพนฐานตางๆ ทใชในการศกษาการอนท
เกรตเชงซอนโดยจะขอละการพสจน สาหรบผทสนใจสามารถศกษารายละเอยดไดจาก [1] , [2] และ [3]
ในสารนพนธฉบบน จะแทนเซตของจานวนจรงทงหมดดวย R และเซตของจานวนเชงซอนทงหมดดวย 2R นอกจากนสญลกษณ BA ⊂ แทนความหมายวา A เปนสบเซตของ B บทนยาม 2.1 : ให I เปนชวงเปด และ Ia∈ ถา f เปนฟงกชนซงนยามคาททกจดใน I และอาจยกเวนทจด a เรากลาววาจานวนจรง L เปนลมตของ f ท a (limit of f at a ) ถาสาหรบแตละ
0>ε จะมจานวนจรง 0>δ ซงสอดคลองวา ε<− Lxf )( ถา δ<−< ax0 เราเขยนแทนความหมายตามบทนยามโดย Lxf
ax=
→)(lim และกลาววา )(lim xf
ax→หา
คาได (exists) บทนยาม 2.2 : ให f เปนฟงกชนซงนยามคาบนชวง ),( ba เรากลาววาจานวนจรง L เปนลมตของ f เมอ x เขาใกล a ทางขวา (limit of f as x approaches a from the right) ถาสาหรบแตละ 0>ε จะมจานวนจรง 0>δ ซงสอดคลองวา ε<− Lxf )( ถา δ<−< ax0
เราเขยนแทนความหมายตามบทนยามโดย Lxfax
=+→
)(lim และกลาววา )(lim xfax +→
หาคาได (exists) บทนยาม 2.3 : ให f เปนฟงกชนซงนยามคาบนชวง ),( ba เรากลาววาจานวนจรง L เปนลมตของ f เมอ x เขาใกล b ทางซาย (limit of f as x approaches b from the left) ถาสาหรบแตละ 0>ε จะมจานวนจรง 0>δ ซงสอดคลองวา ε<− |)(| Lxf ถา 0<−<− bxδ
เราเขยนแทนความหมายตามบทนยามโดย Lxfbx
=−→
)(lim และกลาววา )(lim xfbx −→
หาคาได (exists)
3
บทนยาม 2.4 : ให RD ⊂ และ RDf →: เรากลาววา f ตอเนองท a (continuous at a ) เมอ Da∈ ถา )()(lim afxf
ax=
→
บทนยาม 2.5 : กาหนดให Rbaf →],[: เรากลาววา f ตอเนองเปนชวง (piecewise continuous)บน ],[ ba ถามจานวนเตมบวก n ซง nIIIba ∪∪∪= ...],[ 21 และสอดคลองเงอนไขตอไปน สาหรบ nk ,...,2,1=
(1) kI เปนชวงปด และ φ=∩ οο21 kk II ถา 21 kk ≠
(2) f มความตอเนองบน οkI
(3) )(lim xfkax +→
และ )(lim xfkbx −→
หาคาได
เราจะเขยนแทนความหมายตามบทนยาม 2.5 ดวยสญลกษณ ],[ baPCf ∈ บทนยาม 2.6 : กาหนดให f เปนฟงกชนมขอบเขตบนชวง ],[ ba และ },...,,{ 1 no xxxP = เปนพารทชนบนชวง ],[ ba ให }:)(inf{ 1 iii xxxxfm ≤≤= − และ
}:)(sup{ 1 iii xxxxfM ≤≤= − เราเรยก ∑=
−−=n
iiii xxmfPL
11)(),( วาผลบวกลางของ f
เทยบกบพารทชน P (lower sum of f relative to partition P ) และ เรยก
∑=
−−=n
iiii xxMfPU
11)(),( วาผลบวกบนของ f เทยบกบพารทชน P (upper sum of f
relative to partition P ) บทนยาม 2.7 : ให f เปนฟงกชนมขอบเขตบนชวง ],[ ba ถา { } { }),(inf),(sup fPUfPL
PP= เรา
เรยกคาทไดนวา อนทกรลของ f (integral of f ) บน ],[ ba และเขยนแทนดวย ∫b
af หรอ ∫
b
adxxf )(
และกลาววา f อนทเกรตได (integrable) บน ],[ ba ทฤษฎบท 2.8 : ถา f ตอเนองบนชวง ],[ ba แลว f อนทเกรตไดบนชวง ],[ ba ทฤษฎบท 2.9 : ถา f และ g อนทเกรตไดบนชวง ],[ ba แลว gf βα + อนทเกรตไดบน ],[ ba สาหรบทกจานวนจรงα และ β
4
ทฤษฎบท 2.10 : ถา f มขอบเขต และตอเนองททกจดบนชวง ],[ ba และอาจยกเวนทจดซงมจานวนนบถวน แลว f อนทเกรตไดบนชวง ],[ ba ทฤษฎบท 2.11 : ถา Rbaf →],[: สอดคลอง บทนยาม 2.5 แลว f อนทเกรตไดบน ],[ ba และ
∑ ∫∫=
=n
k
b
a
b
a
k
k
dxxfdxxf1
)()(
ทฤษฎบท 2.12 : The First Fundamental Theorem of Calculus ถา f อนทเกรตไดบนชวง ],[ ba และมฟงกชน g ซง fg =′ บนชวง ],[ ba แลว
)()( agbgfb
a−=∫
บทนยาม 2.13 : ระบบจานวนเชงซอน (complex number system) คอ ระบบ ),,,( 2 ⋅+R โดยท ถา ),( yxz = และ ),( vuw = เปนสมาชกของ 2R แลว
),( vyuxwz ++=+ ),( yuxvyvxuwz +−=⋅ 22 yxz += ทฤษฎบท 2.14 : ),,( 2 ⋅+R เปนฟลด นนคอ ),,( 2 ⋅+R มคณสมบตดงตอไปน
(1) คณสมบตปดภายใตการบวกและการคณ 2),(),,( Rdcba ∈ 2),(),( Rdcba ∈+⇒ และ 2),(),( Rdcba ∈⋅
(2) กฎการเปลยนกลมได (2.1) )],(),[(),(),()],(),[( fedcbafedcba ++=++ (2.2) )],(),[(),(),()],(),[( fedcbafedcba ⋅⋅=⋅⋅
ทก ๆ 2),(),,(),,( Rfedcba ∈ (3) กฎการสลบท
(3.1) ),(),(),(),( badcdcba +=+ (3.2) ),(),(),(),( badcdcba ⋅=⋅
ทก ๆ 2),(),,( Rdcba ∈
5
(4) กฎการแจกแจง ),(),(),(),()],(),[(),( febadcbafedcba ⋅+⋅=+⋅
ทก ๆ 2),(),,(),,( Rfedcba ∈ (5) การมเอกลกษณ
(5.1) ),(),()0,0( baba =+ (5.2) ),(),()0,1( baba =⋅
ทก ๆ 2),( Rba ∈ นนคอ )0,0( และ )0,1( เปนเอกลกษณสาหรบการบวกและการคณของ 2R ตามลาดบ
(6) การมอนเวอรส (6.1) )0,0(),(),( =−−+ baba
ทก ๆ 2),( Rba ∈ เมอกาหนด ),( ba มาให ),( ba −− จะเปนจานวนเชงซอนจานวนเดยวทสอดคลอง (6.1) นนคอ ),( ba −− เปนอนเวอรสของ ),( ba สาหรบการบวก
(6.2) )0,1(),(),( 2222 =+
−
+⋅
bab
baaba
ทก ๆ 2),()0,0( Rba ∈≠ เมอกาหนด ),( ba มาให ),( 2222 bab
baa
+
−
+ จะเปน
จานวนเชงซอนจานวนเดยวทสอดคลอง (6.2) นนคอ ),( 2222 bab
baa
+
−
+ เปนอนเวอรสของ
),( ba สาหรบการคณ ขอสงเกต 2.15 : ทก ๆ จานวนเชงซอน ),( ba เราสามารถเขยน
)0,()1,0()0,(),0()0,(),( bababa ⋅+=+= และถาเราแทน )1,0( ดวย i เรยกวาหนวยจนตภาพ (imaginary unit) จะไดวาเราสามารถเขยน
),( ba ใหอยในรป iba + เมอเราเขยนจานวนเชงซอน ในรปดงกลาว เราจะเหนไดวา เมอ ibaz +=1 และ idcz +=2 เปนจานวนเชงซอนสองจานวนแลวเราได
dbcazz ==⇔= ,21 การบวกและการคณจานวนเชงซอนในรปใหมจะเปนดงน )()()()( dbicaidciba +++=+++ )()()()( bcadibdacidciba ++−=+⋅+
ใหสงเกตวาทกจานวนจรง a เราสามารถเขยนแทน a ดวย 0ia + นอกจากนเราจะได 12 −=i
6
บทนยาม 2.16 : ถา ),( yxz = เปนสมาชกใน 2R แลวเรยก ),( yx − วาสงยคของ z (complex conjugate of z ) เขยนแทนโดยสญลกษณ z ทฤษฎบท 2.17 : ถา iyxz += และ ivuw += แลว
(1) )(2 zRzz =+ (2) )(2 ziIzz =− (3) 2zzz =⋅ (4) wzwz ±=±
บทนยาม 2.18 : ถา iyxyxz +== ),( เปนจดบนระนาบเชงซอน เมอเวกเตอร z ทามม θ กบแกน x (ดรป 2.1) แลว )sin(cossincos),( θθθθ irirryxz +=+== เมอ
22 yxzr +== และ θθ sin,cos ryrx ==
รป 2.1
เราเรยกการเขยน z ในรป )sin(cos θθ ir + วารปเชงขว (polar form) ของ z และ
เรยก θ วาอารกวเมนต (argument) ของ z เขยนแทนโดย )arg(z เหนไดวาอารกวเมนตของ z ไมไดมเพยงคาเดยว กลาวคอ ถา θ เปนอารกวเมนตของ z แลว πθ k2+ กเปนอารกวเมนตของ z ดวย เมอ k เปนจานวนเตมใด ๆ ในบางกรณเราอาจใชสญลกษณ θcisr แทนรปเชงขว
)sin(cos θθ ir + ขอสงเกต 2.19 : (1) 0=z กตอเมอ 0=z
(2) ถา 0≠== φθ ciswcisww แลว πφθ k2=− สาหรบบางคาของจานวนเตม k
7
(3) ถา 0≠z แลวมอารกวเมนตของ z เพยงคาเดยว ซงเรยกวา อารกวเมนตหลก (principal argument) ของ z เขยนแทนโดย zArg ซง ππ ≤<− )(zArg
(4) ถา θcisrw = แลว )( θ−= cisrw ทฤษฎบท 2.20 : ถา θcisrz = และ φcissw = แลว )(cisrszw φθ += ขอสงเกต 2.21 : ถา z และw เปนจานวนเชงซอนแลว
(1) wzzw = (2) wzzw ⋅=
ทฤษฎบท 2.22 : ถา θcisrz = และ φcissw = และ 0≠w แลวม q ใน 2R เพยงคาเดยวซง
zwq = และ )( φθ −= cissrq
โดยทฤษฎบท 2.22 ทาใหสรปไดวา เราหาคาของ
wz ไดงาย เมอเขยน z และw ให
อยในรปเชงขว กลาวคอ ถา θcisrz = และ φcissw = และ 0w ≠ แลว
)( φθ −= cissr
wz
บทนยาม 2.23 : ให 2Rz∈ , 0≠z และ n เปนจานวนเตมบวก แลว นยาม
10 =z และ nn
zz 1
=−
ทฤษฎบท 2.24 : ทฤษฎบทของเดอมวฟวร (De Moivre’s Theorem) ถา )sin(cos θθ irz += แลว สาหรบแตละจานวนเตมบวก n ใดๆ เราได
)sin(cos θθ ninrz nn += ทฤษฎบท 2.25 : ให θcisrw = และ Ν∈n แลวสมการ wzn = มคาตอบทงหมด k คา คอ
121 ,...,,, −no zzzz เมอ
8
1,...,2,1,0,)2( −=+
= nkn
kcisrz nk
πθ
เราเรยก 121 ,...,,, −no zzzz วารากท n ของ w นนคอรากท n ของ w มทงหมด n คา
ตอไปนจะกลาวถงอสมการตาง ๆ ของจานวนเชงซอน ซงจะนาไปใชในการศกษาการวเคราะหเชงซอน ประการแรกเราไดอสมการตอไปน )()( zRzRz ≥≥ และ )()( zIzIz ≥≥ ทฤษฎบท 2.26 : ให wz, และ p เปนจานวนเชงซอน แลว
(1) wzwz +≤+ (2) wppzwz −+−≤− (3) wzwz −≤−
บทนยาม 2.27 : ให ∈p 2R และ 0>ε นยาม อาณาเขตของ p (neighborhood of p ) ในรศม ε เขยนแทนโดย ),( εpN หรอ )( pNε ดงน { }εε <−= pzzpN :),(
เหนไดชดวา p เปนสมาชกของทกอาณาเขตของ p ในการศกษาทางการวเคราะหเชงซอน เราจะเกยวของกบอาณาเขตของ p ทไมมจด p ซงจะเขยนแทนเซตนโดย ),( εpN ′ หรอ )( pNε′ นนคอ { }εε <−<=′ pzzpN 0:),( บทนยาม 2.28 : ให 2RS ⊂ และ 2Rp∈
(1) p เปนจดลมตของ S (limit point of S ) กตอเมอ สาหรบแตละ ),( εpN ′ จะมจดใน S อยางนอย 1 จด นนคอ
p เปนจดลมตของ S กตอเมอ สาหรบแตละ 0>ε จะไดวา φε ≠′∩ ),( pNS (2) ให *S แทนเซตของจดลมตทงหมดของ S เราเรยกเซต *SS ∪ วาโคลเชอรของ
S (closure of S ) เขยนแทนโดย S (3) S เปนเซตปด (closed set) กตอเมอ SS ⊂* นนคอ แตละจดลมตของ S อยใน S
9
(4) จด p เปนจดภายในของ S (interior point of S ) กตอเมอม 0>r ซง SrpN ⊂),( และจะเขยนแทนเซตของจดภายในทงหมดของ S โดย οS
(5) S เปนเซตเปด (open set) กตอเมอ สาหรบแตละจด p ใน S มจานวนจรง 0>ε ซง SpN ⊂),( ε
(6) จด p เรยกวาจดขอบของ S (boundary point of S ) กตอเมอ ),( εpN มสมาชกของ S และสมาชกของ SR −2 สาหรบทก 0>ε
(7) เซตของจดขอบทงหมดของ S เรยกวาขอบของ S (boundary of S ) และเขยนแทนดวยสญลกษณ )(SB
(8) เซต S เปนเซตมขอบเขต (bounded set) กตอเมอ มจานวนจรง 0>r ซง ))0,0((rNS ⊂
(9) เซต S เปนเซตเชอมโยง (connected set) ถาไมมสบเซต BA, ของ 2R ซง สอดคลอง BAS ∪= , φ≠A , φ≠B และ BABA ∩==∩ φ
(10) เซต S เปนโดเมน (domain) กตอเมอ S เปนเซตเปดซงเปนเซตเชอมโยง และไมเปนเซตวาง
(11) บรเวณ (region) ใน 2R คอ สบเซตของ 2R ซงเปนยเนยนของโดเมน D กบสบเซตของ )(DB บทนยาม 2.29 : ให 2RD ⊂ เราจะเรยก 2: RDf → วาฟงกชนเชงซอนบน D (complex function on D )
สาหรบแตละ Dyxz ∈= ),( จะเขยนแทนสวนจรงและสวนจนตภาพ ของ )(zf ดวย ),())(( yxuzfR = และ ),())(( yxvzfI =
ดงนน ),(),()( yxivyxuzf += ตวอยางเชน ถา iyxzf −=)( จะไดวา xyxu =),( และ yyxv −=),( และ ถา 22)( yxzf += จะไดวา 22),( yxyxu += และ 0),( =yxv บางครงเราอาจเขยน ivuzf +=)( แทนฟงกชนเชงซอน
บทนยาม 2.30 : กาหนดให f เปนฟงกชนเชงซอนบน D ให *Dzo ∈ และ 2Rwo ∈ แลว จะเรยก ow วาลมตของ )(zf เมอ z เขาใกล oz
(limit of )(zf as z approaches oz ) กตอเมอ สาหรบแตละ 0>ε จะมจานวนจรง 0>δ ซง
10
ถ า DzNz o ∩′∈ )(δ แลว )()( owNzf ε∈ และจะ เข ยนแทนดวย สญลกษณ o
zzwzf
o=
→)(lim
บทนยาม 2.31 : กาหนดให f เปนฟงกชนเชงซอนบน D และให Dzo ∈ แลวจะกลาววาฟงกชน f ตอเนองท oz ( f is continuous at oz ) กตอเมอ สาหรบแตละ 0>ε จะม 0>δ ซง ถา )( ozNDz δ∩∈ แลว ))(()( ozfNzf ε∈ นนคอ
))(()]([ oo zfNzNDf εδ ⊂∩
เขยนแทนความหมายตามบทนยามดวยสญลกษณ )( ozCf ∈ และ ถา )( ozCf ∈
สาหรบทก Dzo ∈ แลวเรากลาววา f ตอเนองใน D ( f continuous in D ) และเขยนแทนโดย )(DCf ∈
ทฤษฎบท 2.32 : กาหนดให ivuzf +=)( เปนฟงกชนเชงซอนบน D ถา *),( Dyxz ooo ∈= แลว
ooozz
wivuzfo
=+=→
)(lim
กตอเมอ o
zzuyxu
o=
→),(lim และ o
zzvyxv
o=
→),(lim
ทฤษฎบท 2.33 : ให f เปนฟงกชนเชงซอนบนD และ ),(),()( yxivyxuzf += ให Dyxz ooo ∈= ),( แลว f ตอเนองท oz กตอเมอ u และ v ตอเนองท oz
บทนยาม 2.34 : กาหนดให f เปนฟงกชนเชงซอนบน D และให οDzo ∈
ถาo
ozt zt
zftf
o −−
→
)()(lim หาคาได
แลวจะเรยกลมตนวาอนพนธของ f ท oz (derivative of f at oz ) และเขยนแทนดวยสญลกษณ )( ozf ′ หรอ )( ozf
dzd และกลาววา f มอนพนธท oz (differentiable at oz )
11
หมายเหต 2.35 : ถา f เปนฟงกชนเชงซอนบน D พจารณา )(:{ zfzE ′= หาคาได} ดงนนเราสามารถพจารณาฟงกชนเชงซอนกาหนดบน E ดวยคา )(zf ′ และจะเขยนแทนฟงกชนนโดย f ′
และเรยก f ′ วาอนพนธของ f (derivative of f ) ในทานองเดยวกนสญลกษณ )(nf แทนอนพนธของ )1( −nf สาหรบจานวนเตมบวก 2≥n เมอหา )1( −nf ได ทฤษฎบท 2.36 : ให f เปนฟงกชนเชงซอน ถา )(zf ′ หาคาได แลว f ตอเนองท z ทฤษฎบท 2.37 : กาหนดให f เปนฟงกชนเชงซอน ถา f มอนพนธท ooo iyxz += แลวทจด ),( oo yx จะไดวา
(1) อนพนธยอย xyx vuu ,, และ yv หาคาได (2) อนพนธยอย xyx vuu ,, และ yv สอดคลองสมการโคช-รมนน ตอไปน
yx vu = และ xy vu −= และ
),(),(),(),()( ooyooyooxooxo yxiuyxvyxivyxuzf −=+=′ ทฤษฎบท 2.38 : กาหนดให ),(),()( yxivyxuzf += เปนฟงกชนเชงซอนบนD และ ให
οDzo ∈ ถาม 0>ε ซง xyx vuu ,, และ yv หาคาไดททกจดใน )( ozNε และ yxyx vvuu ,,,
ตอเนอง และสอดคลองสมการโคช-รมนนท oz แลว )( ozf ′ หาคาได
ในการศกษาคอนทวรอนทกรล ซงกลาวถงในบทท 3 เราจะเกยวของกบฟงกชนเชงซอนในรปตอไปน
)()()( tiytxtz +=
และไดผลสรปเกยวกบความตอเนองและอนพนธ ดงจะกลาวในทฤษฎบท ตอไปน ทฤษฎบท 2.39 : กาหนดให )()()( tiytxtz += เมอ ],[ bat ∈ แลว
(1) )(tz มลมตท t กตอเมอ )(tx และ )(ty มลมตท t และ
)(lim)(lim)(limˆˆˆ
tytxtztttttt →→→
+=
สาหรบจดปลายบนชวง ],[ ba จะไดวา )(lim tzat +→
และ )(lim tzbt −→
หาคาได
12
(2) )(tz ตอเนองท t กตอเมอ )(tx และ )(ty ตอเนองท t (3) )(tz มอนพนธท t กตอเมอ )(tx และ )(ty มอนพนธท t และ
)()()( tyitxtz ′+′=′
ทฤษฎบท 2.40 : กาหนดให f เปนฟงกชนเชงซอนบนD แลว จะกลาววา f เปนฟงกชนวเคราะหท oz (analytic function at oz ) กตอเมอ ม 0>r ซง f มอนพนธททกจดใน )( or zN และเขยนแทนดวยสญลกษณ )( ozAf ∈
จะกลาววา f เปนฟงกชนวเคราะหใน S (analytic function in S ) กตอเมอ f เปนฟงกชนวเคราะหททกจดใน S และเขยนแทนดวยสญลกษณ )(SAf ∈
ถา )( 2RAf ∈ แลวเรยก f วา ฟงกชนเอนไทร (entire function) ตวอยางของฟงกชนเอนไทร ไดแก ฟงกชนพหนาม บทนยาม 2.41 : ให g และ f เปนฟงกชนเชงซอนบน X และบน Y ตามลาดบ นยาม ฟงกชนคอมโพสท (composite function) gf ο ดงน
))(())(( pgfpgf =ο สาหรบแตละ Xp∈ ซง Ypg ∈)( ทฤษฎบท 2.42 : ถา f และ g วเคราะหไดท oz แลวฟงกชนตอไปนวเคราะหไดท oz
(1) gf + (2) gf − (3) gf ⋅ (4) gf / ถา 0)( ≠ozg (5) fg ο ถา g วเคราะหไดท )( ozf
ทฤษฎบท 2.43 : ทฤษฎฟงกชนผกผน (Inverse Function Theorem) ถา f เปนฟงกชนหนงตอหนง และเปนฟงกชนวเคราะหในเซตเปด 2RG ⊂ เเลวจะไดวา
(1) 1−f เปนฟงกชนวเคราะหใน )(Gf (2) ถา )(Gfw∈ แลว
)(1)()( 1zf
wf′
=′− เมอ )(1 wfz −=
13
ทฤษฎบท 2.44 : กฎลกโซ (chain Rule) ให f และ g เปนฟงกชนเชงซอน โดยท )( ozg ′ และ ))(( ozgf ′ หาคาได แลว )()( ozgf ′ο หาคาได และ )())(()()( ooo zgzgfzgf ′⋅′=′ο
บทนยาม 2.45 : ฟงกชนเชงกาลง (exponential function) ze หรอ )exp(z นยามสาหรบทก
2),( Ryxz ∈= ดงน )sin(cos yiyeee xyixz +== +
สาหรบกรณท iyz = เราได yiyeiy sincos +=
ทฤษฎบท 2.46 : ให 2),( Ryxz ∈= แลว ฟงกชนเชงกาลง ze มคณสมบตดงตอไปน
(1) ze เปนฟงกชนเอนไทร และสอดคลองกบ zz ee
dzd
=
(2) )(21cos iziz eez −+=
)(21sin iziz eei
z −−=
(3) )(21cosh zz eez −+=
)(21sinh zz eez −−=
(4) xz ee = (5) 2121 zzzz eee +=⋅ (6) z
z
ee 1
=−
(7) 0≠ze (8) zniz ee =+ π2 สาหรบทกจานวนเตม n
ขอสงเกต 2.47 : สาหรบทกจานวนเชงซอน iyxz += เราได πkyez 2)arg( += เมอ
,...2,1,0 ±±=k
14
บทนยาม 2.48 : กาหนด z เปนจานวนเชงซอน เรากลาววา ลอการทมของ z ( logarithm of z ) เขยนแทนโดย zlog เมอ 0≠z นยามคาดงน
)arg(lnlog zizz +=
เหนไดวา zlog มคาไดหลายคาเนองจาก )arg(z มคาหลายคา บทนยาม 2.49 : ลอการทมสาคญ (principal logarithm) เขยนแทนโดย zLog นยามดงน
0,)(ln ≠+= zziArgzzLog
เมอ )(zArg เปนอารกวเมนตของ z และ ππ ≤<− )(zArg เราอาจเรยกลอการทมสาคญวา แขนงสาคญ (principal branch) ของลอการทม ขอสงเกต 2.50 : zLog ไมตอเนอง สาหรบ oxz = เมอ 0<ox เนองจาก
⎩⎨⎧
<−>
=→ 0)(,
0)(,)(lim
zIzI
zArgoxz π
π
ดงแสดงดวยรป 2.2 เราเรยกเสนหยกในรป 2.2 วาเปนแขนงตด (branch cut) ของ zLog นอกจากนเราไดวา zLog ตอเนองททก z ซงไมเปนจดบนแขนงตด
รป 2.2
สาหรบแขนงทวไปของ zlog เมอ πθθ 2)arg( +≤< oo z แลวแขนงตดของ zlog
คอเสนหยกในรป 2.3
15
รป 2.3
บทนยาม 2.51 : ฟงกชนกาลง (power function) αz เมอα เปนคาเชงซอนคงท และ นยามสาหรบ ทก 2),( Ryxz ∈= สาหรบ 0≠z ดงน
zez logαα = บทนยาม 2.52 : พารทชน nP ของชวง ],[ ba คอ เซต{ }no ttt ,...,, 1 ซง
bttta no =<<<= ...1 นอรม (norm) ของ nP เขยนแทนโดย nP คอ คามากสดใน
{ }njtt jj ,...,2,1:1 =− − สวนแตงเตม (augmentation) ของ nP คอ เซต{ }nttt ′′′ ,...,, 21 ซง jjj ttt ≤′≤−1
ทก nj ,...,2,1= บทนยาม 2.53 : ให ),( yxf เปนฟงกชนคาจรงกาหนดบนγ เมอ 2R⊂γ กาหนดโดย
)()()( tiytxtz += และ ],[ bat∈ สาหรบพารทชน { }non tttP ,...,, 1= ของ ],[ ba จะไดลาดบ ),(),...,,(),,( 11 nnoo yxyxyx ของจดบนγ เมอ )( ii txx = , )( ii tyy = ทก ni ,...,2,1,0=
ถา { }nn tttQ ′′′= ,...,, 21 เปนสวนแตงเตมของ nP แลว ),(),...,,(),,( 2211 nn yxyxyx ′′′′′′ เปนจดบนγ เชนเดยวกน เมอ )( ii txx ′=′ , )( ii tyy ′=′ ทก ni ,...,2,1,0= กาหนด
∑=
∆′′=n
iiiin xyxfJ
1),( )( 1−−=∆ iii xxx
ถาลมตของ nJ มเมอ 0→nP และคาของ J ไมขนกบจด ),(),,( iiii yxyx ′′ ทงหลาย เรยกลมต
16
นวาอนทกรลตามเสน (line integrals) ของ ),( yxf เทยบกบ x บนγ เขยนแทนลมตนโดย ∫γ
dxyxf ),(
นยามอนทกรลตามเสน ของ ),( yxg เทยบกบ y บนγ ไดในทานองเดยวกน ดงนน
∑∫=→
∆′′=n
iiii
Pxyxfdxyxf
n 10),(lim),(
γ
∑∫=→
∆′′=n
iiii
Pyyxgdyyxg
n 10),(lim),(
γ
โดยทวไปสญลกษณ dyyxgdxyxf ),(),(∫ +γ
แทน ∫∫ +γγ
dyyxgdxyxf ),(),(
ทฤษฎบท 2.54 : ถา ),( yxf ตอเนองบนเสนโคงเรยบC เมอ C กาหนดโดย )()()( tiytxtz +=
และ ],[ bat ∈ แลว ∫C
dyyxf ),( หาคาได และ
dtdt
tdxtytxfdxyxfb
aC∫∫ =
)())(),((),(
dtdt
tdytytxfdyyxfb
aC∫∫ =
)())(),((),(
บทนยาม 2.55 : ให R เปนบรเวณปดมขอบเขตบนระนาบ และปดลอมดวยเสนโคงC ซงเปนคอนทวรปดอยางงาย ( กลาวถงในบทท 3) เราเรยก R วาบรเวณมาตรฐาน (standard region) การแบงยอย (subdivision) ของ R คอ เซต { }nRRRRS ,...,,)( 21= ซง i
n
iRR
1=∪= เมอแตละ iR เปน
บรเวณมาตรฐาน ซง φ≠∩ οοji RR สาหรบ ji ≠
บทนยาม 2.56 : ให 2RA ⊂ นยามเสนผานศนยกลาง (diameter) ของ A เขยนแทนโดยสญลกษณ )(Aδ ดงน
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ ∈−+−= AyxyxyyxxA jjiijiji ),(),,(:)()(lub)( 22δ
17
บทนยาม 2.57 : ให { }nRRRRS ,...,,)( 21= เปนการแบงยอยของบรเวณมาตรฐาน R นยามเมส(mesh) ของ R เขยนแทนโดย ))(( RSµ ดงน
{ })(),...,(),(max 21))(( nRS RRR δδδµ =
บทนยาม 2.58 : กาหนดให ),( yxf ฟงกชนตอเนอง บนบรเวณมาตรฐาน R และมคาไมเปนลบ
ถา ∑=→
∆n
iiii Ayxf
RS 10),(lim
))((µ หาคาได เมอ iii Ryx ∈),( และ Ai∆ เปนพนทของ iR แลว
เรยกลมตนวา อนทกรลสองชน (double integral) ของ f บน R เขยนแทนคาลมตโดยสญลกษณ
∫∫R
dAyxf ),(
บทท 3
การอนทเกรตเชงซอน (COMPLEX INTEGRATION)
เราไดศกษาการอนทเกรตฟงกชนของตวแปรเดยวของจานวนจรงมาแลว ในบทนจะ
ศกษาการอนทเกรตเชงซอน ซงเปนแนวคดของการอนทเกรตฟงกชนเชงซอนบนเสนโคงทเรยกวา คอนทวร นอกจากนเราศกษาทฤษฎบทของโคช-กอซาท และสตรอนทกรลของโคช เมอฟงกชนเชงซอนนน เปนฟงกชนวเคราะห ซงเปนทฤษฎบททสาคญของการอนทเกรต และจะนาไปประยกตใชในบทท 4 เรมตนในหวขอท 3.1 เราจะศกษาเสนโคงในระนาบ xy 3.1 เสนโคง และพาราเมทไทรเซชน (Curves and Parametrization)
เสนโคง (curve) C ในระนาบ xy ถกกาหนดโดยฟงกชนคาจรง )(tx และ )(ty เมอ ],[ bat∈ และเขยนแทน C ดงน
(3.1.1) )()()(: tiytxtzzC +== เมอ ],[ bat∈
เรยกตวแปร t วาพารามเตอรของเสนโคง (parameter of the curve) และเรยก )(tz วาพาราเมทไทรเซชน (parametrization) ของ C จดเรมตน (initial point) ของC คอ
)()()( aiyaxaz += และจดปลาย (final point) ของ C คอ )()()( biybxbz += เหนไดวาพาราเมทไทรเซชนของ C จะเปนการกาหนดทศทางจากจดเรมตนของ C ไปยงจดปลายของ C
เรากลาววา C เปนเสนโคงปด (closed curve) ถาจดเรมตนและจดปลายเปนจดเดยวกน นนคอ
(3.1.2) )()( bzaz =
เทรซของ C (trace of C ) เปนเซตของจดในระนาบเชงซอน ซงสอดคลอง (3.1.1)
19
ตวอยาง 3.1.1 : จงหาเทรซและทศทางของ C itzC =: เมอ ]1,1[−∈t
วธทา : เทรซของ C คอ { 0:),( =xyx และ }11 ≤≤− y
จดเรมตนและจดปลาย ของ C คอ iz −= และ iz = ตามลาดบ ตวอยาง 3.1.2 : จงหาเทรซและทศทางของเสนโคง ตอไปน
titetzC it sincos)(:1 +== เมอ ]2,0[ π∈t titetzC it sincos)(:2 +== เมอ ]3,0[ π∈t
วธทา : เทรซของ 1C คอ { txyx cos:),( = และ ty sin= เมอ }]2,0[ π∈t
จดเรมตนและจดปลาย ของ 1C คอ 1)0( =z และ 1)2( =πz ตามลาดบ ดงนน 1C เปนเสนโคงปด
เทรซของ 2C คอ { txyx cos:),( = และ ty sin= เมอ }]3,0[ π∈t จดเรมตนและจดปลาย ของ 2C คอ 1)0( =z และ 1)3( −=πz ตามลาดบ ดงนน 2C ไมเปนเสนโคงปด
นอกจากนเหนไดวา 1C และ 2C เปนเสนโคงทมเทรซเดยวกน ดงรป 3.1.1
(1) 1C
(2) 2C
รป 3.1.1 หมายเหต : เรยกเสนโคง 1C วาวงกลมหนงหนวย (unit circle)
20
เรากลาววาเสนโคง C ใน (3.1.1) ตอเนอง (continuous) ถาฟงกชนเชงซอน )(tz เปนฟงกชนตอเนองใน ],[ ba และ กลาววา C ตอเนองเปนชวง (piecewise continuous) ถามจานวนเตมบวก n ซง nIIIba ∪∪∪= ...],[ 21 และสอดคลองเงอนไขตอไปน สาหรบ nk ,...,2,1=
(1) ],[ kkk baI = และ φ=∩ οο21 kk II ถา 21 kk ≠ และ { }nkk ,...,2,1, 21 ∈
(2) )(tz ตอเนองใน οkI
(3) )(lim tzkat +→
และ )(lim tzkbt −→
หาคาได
ตวอยาง 3.1.3 : จงตรวจสอบวาเสนโคง C ตอไปน มความตอเนอง หรอมความตอเนองเปนชวงหรอไม
2110
)1()3()1(
)(:≤≤≤≤
⎩⎨⎧
−+−+
==tt
tiiti
tzzC
วธทา : ประการแรกจะตรวจสอบวาเสนโคง C มความตอเนองหรอไม
itzt
+=−→
1)(lim1
และ 2)(lim1
=+→
tzt
ดงนน )(tz ไมมความตอเนองท 1 เพราะฉะนน เสนโคง C ไมมความตอเนอง
ตอไปจะแสดงวาเสนโคง C มความตอเนองเปนชวง สาหรบ )1,0(∈ot เราได
)()(lim ooott
tzitttzo
=+=→
และ
)0(0)(lim0
ztzt
==+→
และ )1(1)(lim1
zitzt
=+=−→
สาหรบ )2,1(∈ot เราได o
tttiitz
o)1()3()(lim −+−=
→ และ
)1(2)(lim1
ztzt
==+→
และ )2(1)(lim2
zitzt
=+=−→
ดงนน )(tz มความตอเนองเปนชวงบน ]2,0[ เพราะฉะนนเสนโคง C มความตอเนองเปนชวง รป 3.1.2 แสดงถงเทรซ และทศทางของC
ถา ถา
21
รป 3.1.2 บทนยาม 3.1.4 : กาหนดให )(: tzzC = เมอ ],[ bat ∈ เปนเสนโคง
(1) เราจะกลาววา C มอนพนธ (differentiable) ถา )(tz′ หาคาได สาหรบ ],[ bat∈
และจะกลาววา C มอนพนธตอเนอง (continuously differentiable) ถา )(tz′ มความตอเนอง สาหรบทก ],[ bat∈
(2) เสนโคง C เปนเสนโคงเรยบ (smooth curve) ถา C มอนพนธตอเนอง และ 0)( ≠′ tz ทก ],[ bat ∈
(3) เสนโคง C เปนเสนโคงเรยบเปนชวง (piecewise smoot : pws) หรอ คอนทวร(contour) เมอสามารถแบงโดเมน ],[ ba ของ )()()(: tiytxtzC += ออกเปนชวงยอยจานวนจากด ซง )(tx′ และ )(ty′ มความตอเนองบนทกชวงยอยปด และ 0)( ≠′ tz ททกจดภายในของชวงยอยปด
นนคอ C เปนยเนยนของเสนโคงเรยบจานวนจากด nCCC ,...,, 21 เมอจดปลายของ iC
เปนจดเรมตนของ 1+iC สาหรบ 1,...,2,1 −= ni และจะเขยน nCCCC +++= ...21 ตวอยาง 3.1.5 : จงพจารณาเสนโคงตอไปนวาเปนเสนโคงเรยบ หรอเสนโคงเรยบเปนชวงหรอไม (1) titzC =)(:1 เมอ 11 ≤≤− t (2) tittzC +=)(:2 เมอ 11 ≤≤− t
วธทา : (1) สาหรบ ]1,1[−∈t ให 0)( =tx และ tty =)( ดงนน )()()( tiytxtz +=
เนองจาก )(ty′ หาคาไมไดท 0=t และ 1)( −=′ ty ถา )0,1[−∈t , 1)( =′ ty ถา ]1,0( −∈t ดงนนโดยทฤษฎบท 2.39 (3) จะไดวา
22
1001
)(<<<<−
⎩⎨⎧−
=′tt
ii
tz
และสรปวา 1C ไมเปนเสนโคงเรยบ
ตอไปจะพจารณาวา 1C เปนเสนโคงเรยบเปนชวงหรอไม เนองจาก ]0,1[−∈t เราได itz −=′ )( เปนฟงกชนตอเนอง และ 0)( ≠′ tz สาหรบ ]1,0[∈t เราได itz =′ )( เปนฟงกชนตอเนอง และ 0)( ≠′ tz ดงนน 1C เปนเสนโคงเรยบเปนชวง ดงแสดงเทรซ และทศทางของ 1C ในรป 3.1.3
รป 3.1.3
(2) สาหรบ ]1,1[−∈t ให ttx =)( และ =)(ty || t ดงนน )()()( tiytxtz += เนองจาก )(ty′ หาคาไมไดท 0=t และ 1)( −=′ ty ถา )0,1[−∈t , 1)( =′ ty ถา ]1,0( −∈t ดงนนโดยทฤษฎบท 2.9 (3) จะไดวา
1001
11
)(<<<<−
⎩⎨⎧+−
=′tt
ii
tz
และสรปวา 2C ไมเปนเสนโคงเรยบ ตอไปจะพจารณาวา 2C เปนเสนโคงเรยบเปนชวงหรอไม
เนองจาก ]0,1[−∈t เราได itz −=′ 1)( เปนฟงกชนตอเนอง และ 0)( ≠′ tz สาหรบ ]1,0[∈t เราได itz +=′ 1)( เปนฟงกชนตอเนอง และ 0)( ≠′ tz ดงนน 2C เปนเสนโคงเรยบเปนชวง ดงแสดงเทรซ และทศทางของ 2C ในรป 3.1.4
ถา ถา
ถา ถา
23
รป 3.1.4
บทนยาม 3.1.6 : เรากลาววาเสนโคง )()()(: tiytxtzC += เมอ ],[ bat ∈ เปนเสนโคงอยางงาย (simple curve) ถา
(3.1.3) )()( τztz = กตอเมอ τ=t
นนคอในเชงเรขาคณต เสนโคงอยางงายเปนเสนโคงทไมตดตวเอง และกลาววา C เปนเสนโคงปดอยางงาย (simple closed curve) ถา C เปนเสนโคงปดซงสอดคลอง (3.1.3) สาหรบทกคาของ t และ τ ยกเวนทจดเรมตนและจดปลาย ตามลาดบ
ทฤษฎบททสาคญในการอนทเกรตเชงซอน คอ Jordan Curve Theorem ซงจะขอกลาวถงในทนโดยขอละการพสจน เนองจากการพสจนอยนอกเหนอขอบเขตของสารนพนธน ทฤษฎบท 3.1.7 : Jordan Curve Theorem
ถา C เปนคอนทวรปดอยางงาย แลว C แบงระนาบออกเปน 2 บรเวณซงบรเวณหนงมขอบเขตและอกบรเวณหนงไมมขอบเขตและแตละบรเวณมเทรซของC เปนขอบ
เรยกบรเวณทมขอบเขตวา interior ของC และเรยกบรเวณทไมมขอบเขตวา exterior ของC เขยนแทนโดย )(CI และ )(CE ตามลาดบ บทนยาม 3.1.8 : สาหรบเสนโคงปดอยางงาย )(: tzzC = เมอ ],[ bat ∈ เราจะกลาววา C มทศทางทวนเขมนาฬกา (counterclockwise oriented) กตอเมอ t แปรคาในโดเมนจาก a ถง b เราไดวา )(tz เคลอนทไปในทศทางททาให )(CI อยซายมอของการเคลอนท
24
บทนยาม 3.1.9 : กาหนดเสนโคง )(: tzzC = เมอ ],[ bat ∈ นยามเสนโคง C− ดงน
(3.1.4) )(: 1 tzzC −=− เมอ ],[ abt −−∈ ขอสงเกต 3.1.10 : เหนไดวา C และ C− เปนเสนโคงทมเทรซเดยวกน แตมทศทางตรงขามกน
พสจน : ให )(: tzzC = เมอ ],[ bat ∈ และ 21,TT เปนเทรซของC และ C−
ตามลาดบ ดงนน { }],[:)(1 battzT ∈= { }],[:)(12 abttzT −−∈=
(1) จะแสดงวา 21 TT ⊂ ให ],[ bat ∈ ดงนน ],[ abt −−∈− และ 1)( Ttz ∈
แต 21 )()( Ttztz ∈−=
(2) จะแสดงวา 12 TT ⊂ ให ],[ abt −−∈ ดงนน ],[ bat∈− และ 21 )( Ttz ∈
แต 11 )()( Ttztz ∈−=
จะเหนวาจดเรมตนของC คอ )(az และ )()( 1 azaz −= ซงเปนจดปลายของ C− ในทานองเดยวกนจดปลายของ C คอ )(bz และ )()( 1 bzbz −= ซงเปนจดเรมตนของ C− ตวอยาง 3.1.11 : จงแสดงวาเสนโคง C กาหนดดงตอไปน
633220
6)1(4
)1()(:
≤<≤<≤≤
⎪⎩
⎪⎨
⎧
+−−−
+=
ttt
ittii
titzC
เปนคอนทวร วธทา : เนองจากบนชวง ]2,0[ เราได itz +=′ 1)( เปนฟงกชนตอเนอง และ 0)( ≠′ tz
สาหรบชวง ]3,2[ เราได itz −=′ 1)( เปนฟงกชนตอเนอง และ 0)( ≠′ tz และ สาหรบชวง ]6,3[ เราได 1)( −=′ tz เปนฟงกชนตอเนอง และ 0)( ≠′ tz
25
ดงนน )(tz′ ไมตอเนองบน ]6,0[ และC เปนคอนทวร ดงแสดงเทรซ และทศทางของC ในรป 3.1.5
รป 3.1.5
ตวอยาง 3.1.12 : จงหาเสนโคง C และ C− เมอเทรซของC คอสวนของเสนตรงกาหนดโดยสมการ xy 2= ซงมจดเรมตนท i21+ และ จดปลายท i42+
วธทา : ให tx = และ 2t=y จะไดวา
tittzC 2)(: += เมอ ]2,1[∈t เปนเสนโคงทมจดเรมตนท )2,1( และจดปลายท )4,2( และ เทรซเปนสวนของเสนตรง xy 2=
ดงนน เสนโคง C− กาหนดดงน titzC 2)(1)(: +−=− เมอ ]1,2[ −−∈t
ตวอยาง 3.1.13 : จงแสดงวาเสนโคง C ซงมเทรซเปนวงร 14
22
=+ yx เปนเสนโคงปดอยางงาย
และจงหาพาราเมทไทรเซชนของC ซงใหทศทางของเสนโคงเปนทศทางทวนเขมนาฬกา วธทา : ให tx cos2= และ ty sin=
จะไดวา tittzC sincos2)(: += เมอ ][0,2π∈t เปนเสนโคงซงมเทรซเปนวงร และมทศทางทวนเขมนาฬกา เนองจาก tittz cossin2)( +−=′ สาหรบทก ][0,2π∈t เปนฟงกชนตอเนอง และ 0)( ≠′ tz
นอกจากน 2)2()0( == πzz ดงนน C เปนเสนโคงปดอยางงาย เหนไดวาเสนโคง C− เปนดงน
26
tittzC sincos2)(: −=− เมอ ,0][-2π∈t บทนยาม 3.1.14 :
(1) ให 2RD ⊂ เปนบรเวณ เรากลาววา D เปนบรเวณเชอมโยงเชงเดยว (simply connected region) กตอเมอ D สอดคลองวา ถา C เปนเสนโคงปดอยางงาย ซง DC ⊂ แลว
DCI ⊂)( (2) ถาบรเวณ D ไมเปนบรเวณเชอมโยงเชงเดยว เรากลาววาD เปนบรเวณเชอมโยง
หลายเชง (multiply connected region) ในกรณท D เปนบรเวณเชอมโยงเชงเดยว และ D เปนโดเมน เราจะเรยก D วาโดเมน
เชอมโยงเชงเดยว (simply connected domain) เชนเดยวกบ ในกรณท D เปนบรเวณเชอมโยงหลายเชง และ D เปนโดเมน เราจะเรยก D วาโดเมนเชอมโยงหลายเชง (multiply connected domain) ตวอยาง 3.1.15 : พจารณาโดเมนในรป 3.1.6
(1) (2)
รป 3.1.6 จะเหนวา โดเมน รป3.1.6 (1) เปนโดเมนเชอมโยงเชงเดยว และโดเมนรป3.1.6 (2) เปน
โดเมนเชอมโยงหลายเชง ตอไปจะนยามเสนโคงทสมมลกน ซงมความสาคญในการนยามคอนทวรอนทกรล
บทนยาม 3.1.16 : ให 1C และ 2C เปนเสนโคงเรยบเปนชวง กาหนดดงน
)(: 11 tzzC = เมอ ],[ bat ∈ )(: 22 τzzC = เมอ ],[ dc∈τ
27
เรากลาววา 1C และ 2C เปนเสนโคงทสมมลกน (equivalent curves) ถาม ],[],[: badc →φ ซงสอดคลองเงอนไขตอไปน
(1) φ เปนฟงกชนเพม (2) φ′ ตอเนองเปนชวงบน ],[ dc (3) )())(( 21 ττφ zz = สาหรบทก ],[ dc∈τ
เมอ )(τφ=t
สาหรบทฤษฎบทตอไปน เราจะนาไปใชโดยขอละการพสจน ทฤษฎบท 3.1.17 : ให )()()(: 1111 tiytxtzzC +== เมอ ],[ bat∈
)()()(: 2222 τττ iyxzzC +== เมอ ],[ dc∈τ (1) ถา 1C และ 2C เปนเสนโคงทสมมลกน และเปนเสนโคงเรยบเปนชวง แลว 1C และ
2C จะมจดเรมตน จดปลาย เทรซ และทศทางเดยวกน (2) ถา 1C และ 2C เปนเสนโคงเรยบอยางงาย และไมเปนเสนโคงปด ทมเทรซ จดเรมตน
และจดปลายเดยวกน แลว 1C และ 2C เปนเสนโคงทสมมลกน (3) ถา 1C และ 2C เปนเสนโคงปดเรยบอยางงาย ทมเทรซ และทศทางเดยวกน แลว 1C
และ 2C เปนเสนโคงทสมมลกน
3.2 คอนทวรอนทกรล (Contour Integrals)
ในหวขอน เราจะศกษาแนวคดของการอนทเกรตฟงกชนเชงซอนบนคอนทวร โดยเรมตนจะนยามอนทกรลของฟงกชนคาเชงซอนของตวแปรจรง บทนยาม 3.2.1 : กาหนดให 2],[: RbaF → เมอ )()()( tiVtUtF += นยามอนทกรลจากด
เขต (definite integral) ของ F บน ],[ ba เขยนแทนโดย ∫b
adttF )( ดงน
(3.2.1) ∫ ∫ ∫+≡b
a
b
a
b
adttVidttUdttF )()()(
28
ถา ∫b
adttU )( และ ∫
b
adttV )( หาคาได เรากลาววา F อนทเกรตไดบน ],[ ba (integrable
over the interval ],[ ba )
ตวอยาง 3.2.2 : จงหาคาของ ∫1
0)( dttF เมอ
titetF t +=
2)(
วธทา : จาก )(tF ทกาหนด โดยบทนยาม 3.2.1 จะไดวา
∫ ∫∫ +=1
0
1
0
1
0
1)(2
dtt
idttedttF t
1
0
1
0)2()(
21 2
tiet +=
ie 2)1(21
+−=
ตวอยาง 3.2.3 : จงหาคาของ ∫ −
1
0)( it
dt
วธทา : เนองจาก
)1()(
)()(
)(1
)(1
2 +
+=
++
⋅−
=− t
ititit
itit
ดงนน
∫ ∫∫∫+
++
=+
+=
−
1
0
1
022
1
02
1
0 111)(dt
tidt
ttdt
tit
itdt
1
01
1
0
2 tan)]1[ln(21 tit −++=
4
)2(ln21 iπ
+= บทนยาม 3.2.4 : ให 2],[: RbaF → เรากลาววา F ตอเนองเปนชวง (piecewise continuous) บน
],[ ba ถามจานวนเตมบวก n ซง nIIIba ∪∪∪= ...],[ 21 และสอดคลองเงอนไขตอไปน สาหรบ nk ,...,2,1=
29
(1) kI เปนชวงปด และ φ=∩ οο21 kk II ถา 21 kk ≠
(2) F มความตอเนองใน οkI
(3) )(lim tFkat +→
และ )(lim tFkbt −→
หาคาได
เมอ ka และ kb เปนจดปลายซายและจดปลายขวาของชวง kI ตามลาดบ ทฤษฎบทตอไปนแสดงใหเหนวาการมคณสมบตตอเนองเปนชวงเปนเงอนไขทเพยงพอ
สาหรบการอนทเกรตได ทฤษฎบท 3.2.5 : ถา 2],[: RbaF → สอดคลองบทนยาม 3.2.4 แลวF อนทเกรตไดบน ],[ ba และ
(3.2.2) ∑ ∫∫=
=n
k
b
a
b
a
k
k
dttFdttF1
)()(
พสจน : กาหนดให 2],[: RbaF → มความตอเนองเปนชวง และ
)()()( tiVtUtF += แลวโดยทฤษฎบท 2.39 (2) U และ V มความตอเนองเปนชวงบน ],[ ba โดยทฤษฎบท 2.11 สรปไดวา U และ V อนทเกรตไดบน ],[ ba และ
∫b
adttF )(
∫∫ +=b
a
b
adttVidttU )()(
∑ ∫∑ ∫==
+=n
k
b
a
n
k
b
a
k
k
k
k
dttVidttU11
)()(
∑ ∫∫= ⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡+=
n
k
b
a
b
a
k
k
k
k
dttVidttU1
)()(
∑ ∫=
=n
k
b
a
k
k
dttF1
)(
30
ทฤษฎบท 3.2.6 : กาหนดให F และ G เปนฟงกชนจาก ],[ ba ไป 2R (1) ถา F และ G อนทเกรตไดบน ],[ ba แลว GF βα + อนทเกรตไดบน ],[ ba
เมอα และβ เปนจานวนเชงซอนใด ๆ และ
(3.2.3) ∫∫∫ +=+b
a
b
a
b
adttGdttFdttGtF )()()]()([ βαβα
(2) (fundamental theorem of calculus for complex numbers) กาหนดให 2],[: RbaG → ถาอนพนธอนดบหนงของ G เปนฟงกชนซงมขอบเขต และตอเนองบน ],[ ba แลว
(3.2.4) )()()()( aGbGtGdttG ba
b
a−==′∫
พสจน : (1) เปนผลทไดจากบทนยาม 3.2.1 และ ทฤษฎบท 2.9 (2) กาหนดให 2],[: RbaG → และ G′ มขอบเขต และตอเนองบน ],[ ba ดงนนโดย
ทฤษฎบท 2.8 และโดยบทนยาม 3.2.1 สรปไดวา G อนทเกรตไดบน ],[ ba และ
[ ]∫∫ ′+′=′b
a
b
adttVitUdttG )()()(
โดยทฤษฎบท 2.12 จะไดวา
)()()( aUbUdttUb
a−=′∫
และ
)()()( aVbVdttVb
a−=′∫
ดงนน
∫∫∫ ′+′=′b
a
b
a
b
adttVidttUdttG )()()(
[ ] [ ])()()()( aVbViaUbU −+−=
[ ] [ ])()()()( aVaUibiVbU +−+=
31
)()( aGbG −= ทฤษฎบท 3.2.7 : กาหนดให 2],[: RbaF → และ F อนทเกรตไดบน ],[ ba แลว F อนทเกรตไดบน ],[ ba และ
(3.2.5) ∫∫ ≤b
a
b
atFdttF )()( dt
พสจน : ให )()()( tiVtUtF += อนทเกรตไดบน ],[ ba
ให ∫=b
adttFI )( เขยน I ในรปเชงขวได คอ =I θieI
จะแสดงวา ∫=b
adttFI )](Re[)Re( เนองจาก
∫∫∫ +==b
a
b
a
b
adttVidttUdttFI )()()(
ดงนน
∫∫ ==b
a
b
adttUdttFI )()(Re)Re(
∫=b
adttF )](Re[
จะแสดงวา ∫=b
a
i dttFeI )](Re[ θ เนองจาก
∫=b
a
i dttFeI )(θ
∫−=b
a
i dttFeI )(θ
∫ −=b
a
i dttFe )(θ
เพราะวา I เปนจานวนจรง เราสรปไดวา
32
∫ −=b
a
i dttFeI )(Re θ ∫ −=b
a
i dttFe )](Re[ θ
จะแสดงวา ∫∫ ≤b
a
b
atFdttF )()( dt เนองจาก
≤− )](Re[ tFe iθ )(tFe iθ− = =− )(tFe iθ )()( tFcis θ−
ดงนน
∫∫ ≤= −b
a
b
a
i dttFdttFeI )()](Re[ θ
เพราะฉะนน ∫∫ ≤b
a
b
atFdttF )()( dt
บทนยาม 3.2.8 : กาหนดให C เปนเสนโคงทมอนพนธ เมอ
)()()(: tiytxtzzC +== เมอ bta ≤≤ นยามความยาวของเสนโคง C (length of C ) เขยนแทนโดย L ดงน
(3.2.6) { }∫∫ ′+′==b
a
b
adttytxdt
dtdzL
2122 )]([)]([
เราเหนไดวา ในกรณทC เปนเสนโคงเรยบ )(CL จะหาคาได ตวอยาง 3.2.9 : จงหาความยาวของเสนโคง ]1,1[,)1()(: 2 −∈+= ttitzC
วธทา : )1(2)( ittz +=′
∫−
+=1
1)1(2 dtitL
{ }∫−
+=1
1
2122 )2()2( dttt ∫−
=1
122 dtt
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡= ∫
−
1
122 dtt
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡+= ∫∫
−
1
0
0
122 dttdtt
33
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡+=
−
1
0
20
1
2
2222 tt
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +=
21
2122
22=
บทนยาม 3.2.10 : กาหนดให )()()(: tiytxtzzC +== สาหรบ ],[ bat∈ เปนเสนโคงเรยบ และ ),(),()( yxivyxuzf += นยามบนเทรซของ C
เรานยามคอนทวรอนทกรล (contour integral) ของ f บน C เขยนแทนโดย
∫C
dzzf )( ดงน
(3.2.7) ∫∫ ′=b
aCdttztzfdzzf )())(()(
เมอ ))(),(())(),(())(( tytxivtytxutzf += เรากลาววา f อนทเกรตไดบนC (integrable over C ) เมออนทกรลทางขวามอของ
(3.2.7) หาคาได
บทนยาม 3.2.11 : ให C เปนเสนโคงเรยบเปนชวง ซง nCCCC +++= ...21 และ f เปนฟงกชนเชงซอนนยามบนเทรซของC
เรานยามคอนทวรอนทกรล (contour integral) ของ f บนC เขยนแทนโดย ∫C
dzzf )(
ดงน
(3.2.8) ∑ ∫∫=
=n
k CC k
dzzfdzzf1
)()(
และกลาววา f อนทเกรตไดบนC ถาอนทกรลแตละเทอมทางขวามอของ (3.2.8) หาคาได เงอนไขทเพยงพอสาหรบ f ทจะอนทเกรตไดบนเสนโคงเรยบC คอ f ตอเนองเปนชวงบน C ดงจะพสจนในทฤษฎบทตอไปน ทฤษฎบท 3.2.12 : ถา f เปนฟงกชนเชงซอนซงตอเนองเปนชวงบนเทรซของเสนโคงเรยบ
)(: tzzC = แลว f อนทเกรตไดบน C และ
34
(3.2.9) ∫ ∫∫ ++−=C CC
udyvdxivdyudxdzzf )()()(
เมอ ),(),()( yxivyxuzf += พสจน : ให ),(),()( yxivyxuzf += มความตอเนองเปนชวงบนเทรซของเสนโคง
เรยบ )(: tzzC = เมอ ],[ bat∈ จากบทนยาม 3.2.10 เราได
∫∫ ′=b
aCdttztzfdzzf )())(()(
∫ ′+′+=b
adttyitxtytxivtytxu )]()())][(),(())(),(([
∫ +′−′=b
adttytytxvtxtytxu )]())(),(()())(),(([
dttytytxutxtytxvi )]())(),(()())(),(([ ′+′
∫ +′−′=b
atytytxvtxtytxu )]())(),(()())(),(([
∫ ′+′b
adttytytxutxtytxvi )]())(),(()())(),(([
∫ ∫ ++−=C C
udyvdxivdyudx )()(
ทฤษฎบท 3.2.13 : ให 1C และ 2C เปนเสนโคงเรยบอยางงาย ทมเทรซ จดเรมตนและจดปลายเดยวกน (หรอ ถา 1C และ 2C เปนเสนโคงปด ทมทศทางเดยวกน) แลว ถา )(zf มความตอเนองในบางโดเมนทเปนจดภายในเทรซของ 1C และ 2C จะไดวา
(3.2.10) ∫∫ =
21
)()(CC
dzzfdzzf
35
พสจน : โดยทฤษฎบท 3.1.17 (3) จะไดวา 1C และ 2C เปนเสนโคงทสมมลกน ดงนนม ],[],[: badc →φ ซงสอดคลองบทนยาม 3.1.16 และ
)(: 11 tzzC = เมอ ],[ bat∈ ))((: 12 τφzzC = เมอ ],[ dc∈τ
และ )(τφ=t โดยบทนยามของคอนทวรอนทกรล เราได
∫∫ =d
cCdz
ddzfdzzf ττφτ
τφ ))](([)))((()( 112
∫ ′=d
cd
ddzzf ττφτφτφ ))(()))((( 11
∫ ′=b
adttztzf )())(( 11 (แทนคา )(τφ=t )
∫=
1
)(C
dzzf
ตวอยาง 3.2.14 : จงหาคาของ ∫ ++
Cdzixyyx )( 2
เมอ 32,21,
)4(22
)(:≤≤≤≤
⎩⎨⎧
−++
==tt
tiit
tzzC
วธทา : ในทน C เปนคอนทวร และ 21 CCC += ดงแสดงเทรซของ 1C และ 2C (ดรป
3.2.1) ให ixyyxzf ++= 2)( เมอ iyxz += ดงนน
∫∫∫ +=
21
)()()(CCC
dzzfdzzfdzzf
ในการหาคาของ ∫1
)(C
dzzf เราให
ittz 2)( += เมอ 21 ≤≤ t
36
ดงนน 1)( =′ tz และ )2()4()2()())(( tititftztzf ++=+=′ ดงนนโดยบทนยาม 3.2.10 จะไดวา
∫∫∫ ++=2
1
2
12)4()(
1
tdtidttdzzfC
2
12
2
1
2)()4
2( titt
++=
i3231
+=
ในทานองเดยวกนเราหาคาของ ∫2
)(C
dzzf โดยให
)4(2)( titz −+= เมอ 32 ≤≤ t ดงนน
itz −=′ )( และ
)))(4(2()())(( itiftztzf −−+=′ ))(416820( 2 itiitt −−+−+= ttiiti 416820 2 −+−−−= )208()416( 2 ++−−= ttit ดงนนโดยบทนยาม 3.2.10 จะไดวา
∫∫∫ ++−−=3
2
23
2)208()416()(
2
dtttidttdzzfC
3
2
233
22 )204
3()216( tttitt ++−−=
i3
1396 −=
37
เพราะฉะนน idzzfdzzfdzixyyxCCC
34
217)()()(
21
2 −=+=++ ∫∫∫
รป 3.2.1
หมายเหต : สาหรบ ∫C
dzzf )( เมอ C เปนเสนโคงปดเรยบ เราจะใชทศทางของ C ทเปนทศทาง
ทวนเขมนาฬกา ตวอยาง 3.2.15 : ให C เปนเสนโคงปดเรยบกาหนด ดงน
iteitzC +=)(: เมอ π20 ≤≤ t จงหา
(1) ∫C
zdz (2) ∫C
dzz (3) ∫−C
n dziz )(
1 ,...2,1,0, ±±=n
วธทา : เทรซของC เปนวงกลม ดงแสดงในรป 3.2.2 โดยทฤษฎบท 3.1.4 (2) จะไดวา
itietz =′ )( (1) ให zzf =)(
ดงนน )()()())(( tztztztzf ′=′
itititit eieieei −=+= 2))((
38
∫∫∫ −=ππ 2
0
2
0
2 dtedtiezdz itit
C
ππ 2
0
2
02 )(1)(
21 itit e
ie −= 0=
(2) ให )( zzf = ดงนน
)()()())(( tztztztzf ′=′ ))(( itit ieei −+−=
itei +=
∫∫∫ −=ππ 2
0
2
0z dteidtdz it
C
ππ 2
020 )(1)( ite
iit +=
iπ2=
(3) ให nizzf
)(1)(−
=
ดงนน )(
))((1)())(( tz
itztztzf n
′−
=′
)())((
1 itnit ie
iei −+=
nitei −= 1)(
∫∫ −=−
π2
0
1)()(
1 dteidziz
nit
Cn
11
0)(
2)(2
0
20
≠=
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=−
==
− nn
e
iit
it π
π π
เมอ
เมอ
39
รป 3.2.2
ตวอยาง 3.2.16 : จงหาคาของ dzzC∫ เมอ itetzC =)(: สาหรบ ]2,0[ π∈t และ ใชแขนงสาคญ
ของ 2/1z วธทา : ถาใชอารกวเมนตหลกของ ite เราไดวาทก itetz =)( จะไดวา
ππ ≤<− )( iteArg เมอ ]2,0[ π∈t
เนองจาก nteit π2)arg( += ,...1,0, ±=n
ดงนนทก )(tz บนC
πππ
π 2,0,
2)]([
≤<≤≤
⎩⎨⎧−
=tt
tt
tzArg
แขนงสาคญของ 2/1z คอ
)(log21
2/1)(tz
eztz ==
[ ]))(()(ln
21 tziArgtz
e+
= เมอ 0≠z และจาก 1)( =tz จะไดวา
)]([2)(
tzArgi
etz = ดงนน
40
πππ
π 2,0,
)( )2)(2(
2
≤<≤≤
⎪⎩
⎪⎨⎧
= − tt
eetz ti
it
นอกจากน itietz =′ )( และโดยบทนยาม 3.2.10
dtietzdzz it
C∫∫ =π2
0
)(
dteiedtie itiit ∫∫ −+=π
π
ππ 2
23
0
23
)32
32()
32
32( ii
−+−−=
34i
−=
โดยทฤษฎบท 3.2.12 จะไดทฤษฎบทตอไปน
ทฤษฎบท 3.2.17 : ให C เปนคอนทวร และ )(zf เปนฟงกชนเชงซอน ซงตอเนองเปนชวงบนเทรซ ของ C แลว f อนทเกรตไดบน C แลวไดวา
(1) ถา f และ g อนทเกรตไดบน C แลว gf βα + อนทเกรตไดบน C และ
(3.2.11) ∫∫∫ +=+CCC
gdzfdzdzgf βαβα ][
สาหรบทกจานวนเชงซอน α และ β (2) ถา f อนทเกรตไดบน C แลว )(zf อนทเกรตไดบน C และ
∫∫ ′≤b
aCdttztzfdzzf )())(()(
ดงนน ถา Mzf ≤)( สาหรบ z บนเทรซของC แลว
(3.2.12) MLdzzfC
≤∫ )(
เมอ L เปนความยาวของC
41
(3) ถา f อนทเกรตไดบน C แลว )(zf อนทเกรตไดบน C− และ
(3.2.13) ∫∫ −=− CC
dzzfdzzf )()(
(4) ถา )(zF มอนพนธซงเปนฟงกชนตอเนองบนโดเมนทมเทรซของ C เปนจดภายใน แลว
(3.2.14) )()()()( 11
ozz
CzFzFzFdzzF
o−==′∫
เมอ oz และ 1z เปนจดเรมตนปละจดปลายของ C ตามลาดบ
โดยเฉพาะเมอC เปนเสนโคงปด จะไดวา 0)( =′∫C
dzzF
พสจน : (1) เปนผลทไดจากทฤษฎบท 3.2.6 (1) (2) เนองจาก f อนทเกรตไดบน C ดงนนโดยทฤษฎบท 3.2.7 สรปไดวา f
อนทเกรตไดบน C และจะได
∫∫ ′=b
aCdttztzfdzzf )())(()(
∫ ′≤b
adttztzf )())((
∫ ′=b
adttztzf )())((
ถา Mzf ≤)( จะไดวา
∫∫ ′≤b
aCdttzMdzzf )()(
∫ ′=b
adttzM )(
ML=
42
(3) ∫∫−
−−
−′−−=a
bCdttztzfdzzf )())(()(
∫ ′=a
bdzzf τττ )())(( เมอ t−=τ
∫−=C
dzzf )(
(4) ให ivuF += และ )()()( tiytxtz += เมอ ],[ bat∈
เพราะวา )()( zfzF =′ ดงนน
)())((]))(([ tztzFtzF ′′=′
)())(( tztzf ′= เพราะฉะนน
=′∫C
dzzF )( ∫C
dzzf )(
∫ ′=b
adttztzf )())((
∫ ′′=b
adttztzF )())((
∫ ′=b
adttzF ]))(([
batzF ))((=
))(())(( azFbzF −=
)()( 1 ozFzF −=
43
ทฤษฎบทตอไปนนาไปใชในบทท 4 เราจะขอกลาวถงโดยละการพสจน
ทฤษฎบท 3.2.18 : การเปลยนตวแปร (Change of Variables) ให zC เปนคอนทวรในระนาบเชงซอน z และ )(zgw = เปนฟงกชนวเคราะห ซงม
อนเวอรส และ 0≠′g ในบางอาณาเขตทกจดในเทรซของ zC ไปยงคอนทวร wC ในระนาบเชงซอน w ถา f อนทเกรตไดบน zC เราไดวา
(3.2.15) ∫∫ −
−
′=
wz CC wggdwwgfdzzf))((
))(()( 1
1
เมอ wz CCw =)( 3.3 ทฤษฎบทหลกมลของคอนทวรอนทกรล (Fundamental Theorems of Contour
Integrals)
ในหวขอนจะศกษาทฤษฎบทหลกมลของคอนทวรอนทกรล ซงมการประยกตตวอยางกวางขวาง คอ ทฤษฎบทของโคช-กอซาท และสตรอนทกรลของโคช กอนอนจะขอกลาวถงทฤษฎบทของกรน โดยขอละการพสจน ทฤษฎบท 3.3.1 : ทฤษฎบทของกรน (Green’s Theorem)
ให D เปนบรเวณภายในของเสนโคงC ทเปนเสนโคงปดอยางงาย และ เปนเสนโคงเรยบเปนชวง ถา ),( yxφ และ ),( yxψ เปนฟงกชนทมอนพนธตอเนองบน CD∪ แลว
(3.3.1) dxdyyx
dydxDC
)(∫∫∫ ∂∂
−∂∂
=+φψψφ
สามารถดการพสจนจาก [6] ทฤษฎบท 3.3.2 : ทฤษฎบทของโคช – กอซาท (Cauchy – Goursat Theorem)
กาหนดให C เปนคอนทวรปดอยางงาย และ )(CICD ∪= (ดรป 3.1.1) ถา )(DAf ∈ แลว
44
(3.3.2) 0)( =∫C
dzzf
รป 3.3.1
พสจน : ในหวขอตอไปเราจะแสดงวาฟงกชนวเคราะหมอนพนธทกอนดบ ซงเปนฟงกชนตอเนอง ดงนนเราจะพสจนทฤษฎบทน โดยกาหนดวา )(zf เปนฟงกชนวเคราะหและ )(zf ′ เปนฟงกชนตอเนอง ให
),(),()( yxivyxuzf += และ
)()()(: tiytxtzC += เมอ ],[ bat∈ ดงนนโดยทฤษฎบท 3.2.12
∫ ∫∫ ++−=C CC
udyvdxivdyudxdzzf )()()(
โดยทฤษฎบท 3.3.1
dxdyyv
xuidxdy
yu
xvdzzf
DDC)()()( ∫∫∫∫∫ ∂
∂−
∂∂
+∂∂
−∂∂
−=
dxdyyv
xui
yu
xv
D)]()([
∂∂
−∂∂
+∂∂
+∂∂
−= ∫∫
dxdyvuiuv yxD
yx )]()([ −++−= ∫∫
โดยทฤษฎบท 2.37 yx vu = และ xy vu −=
ดงนน 0)( =∫C
dzzf
45
ตวอยาง 3.3.3 : จงแสดงวา ∫ =+C zdz 0
2 4 เมอ C คอ วงกลมหนงหนวย
วธทา : ให 42
1)(z
zf+
=
เนองจากรากท 4 ของ -2 มคาสมบรณเทากบ 4 2 ซงมากกวา 1 ดงนน )(zf วเคราะหไดท ทกจดบนC และทกจดซงอยภายในC เพราะฉะนน โดยทฤษฎบท 3.3.2
∫ =+C zdz 0
2 4
ตวอยาง 3.3.4 : ให oz เปนจานวนเชงซอน และC เปนคอนทวรปดอยางงาย ซง )(CEzo ∈ จง
แสดงวา ∫ =−C
ndz
az0
)(1 สาหรบทกจานวนเตมบวกn
วธทา : ให )(CICD ∪= และ
nazzf
)(1)(−
=
ดงนน )()( DAzf ∈ โดยทฤษฎบท 3.3.2
เราไดวา ∫ =−C
ndz
az0
)(1
ผลสบเนองทสาคญของทฤษฎบทของโคช-กอซาท คอ ทฤษฎบทตอไปน
ทฤษฎบท 3.3.5 : ใหD เปนโดเมนเชอมโยงเชงเดยว และ )(DAf ∈ ถา 1C และ 2C เปนคอนทวรอยางงายในD ซงมจดเรมตนและจดปลาย เดยวกน แลว
(3.3.3) ∫∫ =
21
)()(CC
dzzfdzzf
46
พสจน : ให 1C และ 2C เปนคอนทวรอยางงายในD (ดรป 3.3.2(1)) ซงมจดเรมตน oz
และจดปลาย 1z ดงนน 21 CC − เปนคอนทวรอยางงายทอยในD โดยทฤษฎบท 3.3.2 จะไดวา
0)(21
=∫−CC
dzzf
เนองจาก
∫∫∫−−
+=
2121
)()()(CCCC
dzzfdzzfdzzf
∫∫ −=
21
)()(CC
dzzfdzzf
ดงนน
∫∫ =
21
)()(CC
dzzfdzzf
(1) (2)
รป 3.3.2
ขอสงเกต 3.3.6 : (1) จากทฤษฎบท 3.3.5 เราสรปไดวาคาของ ∫C
dzzf )( ไมขนกบเทรซของC
กลาวคอ ไมวาC ซงเปนคอนทวรอยางงายในD โดยมจดเรมตน oz และจดปลาย 1z จะมเทรซ
ลกษณะใด จะไดคา ∫C
dzzf )( มคาคงท และจะเขยนแทนคาอนทกรลนโดย ∫1
)(z
zo
dzzf
(2) ทฤษฎบท 3.3.5 ยงคงเปนจรง ถงแมวา 1C และ 2C จะตดกนจานวนจากดครง (ดรป 3.3.2(2)) เนองจากเราจะพจารณาผลบวกจากดของอนทกรลบนคอนทวรปดอยางงาย
47
ตวอยาง 3.3.7 : จงหาคา ∫+C
dzz
z)1( 2 เมอ C เปนครงวงกลม
21
21
=−z ซงอยเหนอแกน x
วธทา : ให
)1()(
2zzzf+
= และ )]1[log(21)( 2zzF +=
ดงนน )(zf วเคราะหไดททกจดยกเวนท iz −= หรอ iz = ให 1C เปนสวนของเสนตรงท )0,0( และ )0,1( ดงนน 1C กาหนดโดย ttzC =)(:1 เมอ ]1,0[∈t โดยทฤษฎบท 3.3.5 จะไดวา
∫∫∫ =+
==1
02 )2(ln
21
)1()()(
1
dtt
tdzzfdzzfCC
(1) (2)
รป 3.3.3 ทฤษฎบท 3.3.8 : Indefinite Integrals
กาหนดใหD เปนโดเมนเชอมโยงเชงเดยว และ )(DAf ∈ ให Dzo ∈ นยามฟงกชนF สาหรบทก z ในD ดงน
∫=z
zo
dfzF ζζ )()(
แลวไดวา (1) )(DAF ∈
(3.3.4) )()( zfzF =′
48
(2) สาหรบทก Dz ∈1 จะไดวา
(3.3.5) )()()( 1
1
o
z
zzFzFdzzf
o
−=∫
พสจน : (1) ให Dz∈ เราตองการแสดงวา
0)()()(lim0
=−−+
→zf
hzFhzF
h
สาหรบจานวนเชงซอนh ซง Dhz ∈+ เราไดวา
∫∫∫++
=−=−+hz
z
z
z
hz
zdfdfdfzFhzF
oo
ζζζζζζ )()()()()(
เนองจาก
∫+
=hz
zdzf
hzf ζ)(1)(
ดงนน
ζζ dzffh
zfh
zFhzF hz
zo
])()([1)()()(∫+
−=−−+
ถาเลอก h เลกพอ และเลอกคอนทวรอยางงาย C เปนสวนของเสนตรง ซงมความยาว h (ดรป 3.3.4) แลวจะได
hh Mh
hMzf
hzFhzF
=≤−−+ )()()(
เมอ hM เปนคามากสดของ )()( zff −ζ บนเซต { }hz ≤−ζζ : เนองจาก f มความตอเนอง เราสามารถเลอก h ใหเลกพอ ซงจะทาให hM มคานอยเทาทตองการ ดงนน
)()( zfzF =′
(2) เปนผลทไดจากทฤษฎบท 3.2.17(4)
49
รป 3.3.4 ทฤษฎบท 3.3.9 : ทฤษฎบทของโคช-กอซาท สาหรบโดเมนเชอมโยงหลายเชง (Cauchy –Goursat for multiply connected domain)
ให no CCCC ,...,,, 21 เปนคอนทวรปดอยางงายใน 2R ซงสอดคลองเงอนไขตอไปน (1) )( oj CIC ⊂ เมอ nj ,...,2,1= (2) )( kj CEC ⊂ ถา { }nkj ,...,2,1, ∈ และ kj ≠
ถา )(DAf ∈ เมอ ))(()(1
jn
joo CICICD
=∪−∪=
แลว
(3.3.6) ∑ ∫∫=
=n
j CC j
dzzfdzzf1
)()(
(1) (2)
รป 3.3.5
50
พสจน : เราจะพจารณาการพสจนตามรป 3.3.5 (2) เมอ 1=n
จะไดวา oCCC +Γ−+−+Γ= )()( 1
โดยทฤษฎบท 3.3.2 จะไดวา
0)( =∫C
dzzf
และ
0)()()(1
=+= ∫∫∫− oCCC
dzzfdzzfdzzf
0)()(1
=+−= ∫∫oCC
dzzfdzzf
ดงนน
∫∫ =
1
)()(CC
dzzfdzzfo
เพราะฉะนน เมอ 1>n ในทานองเดยวกน ∑ ∫∫=
=n
j CC jo
dzzfdzzf1
)()(
ตวอยาง 3.3.10 : จงหาคา ∫ −C
dzzz )1(1 เมอC เปนรปสเหลยม ดงรป 3.3.6
วธทา : ให
zzzzzf 1
11
)1(1)( −
−=
−=
เนองจาก )(zf วเคราะหททกจด z ยกเวนท 0=z หรอ 1=z ให 1C และ 2C เปนวงกลม 1−z
31
= และ z31
= ตามลาดบ
131)(:1 += itetzC และ itetzC
31)(:2 = เมอ ]2,0[ π∈t
โดยทฤษฎบท 3.3.9 จะไดวา
51
∫∫∫ +=
21
)()()(CCC
dzzfdzzfdzzf
∫∫ −−
+−−
=
21
)11
1()11
1(CC
dzzz
dzzz
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡−
−+
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡−
−= ∫ ∫∫ ∫
2 21 1
11
111
1
C CC Cdz
zdz
zdz
zdz
z
∫∫ −−
=
21
11
1
CCdz
zdz
z
0222
0
2
0=−=−= ∫∫ iiidtidt ππ
ππ
รป 3.3.6
ทฤษฎบท 3.3.11 : สตรอนทกรลของโคช (The Cauchy Integral Formula) ให D เปนโดเมนเชอมโยงเชงเดยว และC เปนคอนทวรปดอยางงายในD
ถา )(CIzo ∈ และ )(DAf ∈ แลว
(3.3.7) )()(21
oC o
zfdzzzzf
i=
−∫π
พสจน : ให )(CIzo ∈ เนองจาก oz เปนจดภายในของ f ดงนน
จะม oC ซง )(CICo ⊂ สมมต oC เปนวงกลม ozz − oR=
52
โดยทฤษฎบท 3.3.9 จะไดวา
∫∫ −=
−oC oC o
dzzzzfdz
zzzf )()(
∫ −+−
=
oC o
oo dzzz
zfzfzf )()()(
∫∫ −+
−−
=
oo C oo
C o
o dzzz
zfdzzz
zfzf 1)()()(
โดยตวอยาง 3.2.15 (3) เราไดวา
idzzz
oC oπ21
=−∫
ดงนน
∫∫ −−
=−−
oC o
oo
C odz
zzzfzf
zifdzzzzf )()(
)(2)( π
เนองจาก )(zf เปนฟงกชนวเคราะห จงมความตอเนองททกจดซงอยใน )( oo CIC ∪ ดงนน ให 0>ε จะมจานวนจรง 0>δ ซงสอดคลองวา
ozz − δ< แลว )()( ozfzf −πε
4<
เมอเลอก δ<oR และ จะไดวาความยาวของ oC เปน oRπ2
εεππε
<=≤−−
∫ 21)2)(
4(
)()(o
oC o
o RR
dzzz
zfzf
o
ดงนน )(2)(o
C ozifdz
zzzf π=
−∫
ตวอยาง 3.3.12 : จงหาคาของ ∫C
dzz1 เมอ
(1) C เปนวงกลมหนงหนวย (2) C เปนวงร 141 22 =+ yx
53
วธทา : (1) ให 1)( =zf เนองจาก )(zf วเคราะหททกจด 2Rz∈ ดงนน ถาให 2RD = และ 0=oz แลว )(CIzo ∈ โดยทฤษฎบท 3.3.11 จะไดวา
)0(20)( ifdz
zzf
Cπ=
−∫
iπ2=
(2) ให 1)( =zf เนองจาก )(zf วเคราะหททกจด 2Rz∈ ดงนน ถาให 2RD = และ 0=oz แลว )(CIzo ∈ โดยทฤษฎบท 3.3.11 จะไดวา
)0(20)( ifdz
zzf
Cπ=
−∫
iπ2=
ตวอยาง 3.3.13 : จงหาคาของ ∫ −C
zdz
ze
1 เมอ C คอ วงกลม 21−z 1=
วธทา : ให zezf =)( เหนไดวา )(zf วเคราะหททกจานวนเชงซอน z
ถาให 2RD = และ 1=oz แลว )(CIzo ∈ และโดยทฤษฎบท 3.3.11 จะไดวา
))()(2(1)(
oC
zfidzz
zf π=−∫
iefi ππ 2))1()(2( ==
54
ทฤษฎบทตอไปนเปนนยทวไปของสตรอนทกรล ทฤษฎบท 3.3.14 : สตรอนทกรลของโคชสาหรบการอนพนธ (The Cauchy Integral Formula for Derivatives)
กาหนดฟงกชน )(zf วเคราะหไดททกจดซงอยบนหรออยภายในคอนทวรปดอยางงาย C ถา oz เปนจดภายในของC แลว สาหรบทกจานวนเตมบวก n )()(
on zf หาคาได และ
(3.3.8) ∫ +−=
Cn
oo
n dzzz
zfi
nzf 1)(
)()(
2!)(π
พสจน : จะพสจนทฤษฎบท เฉพาะเมอ 1=n เราจะแสดงวา
∫−
=′C o
o dzzzzf
izf 2)(
)(21)(π
นนคอ ตองการแสดงวา
0)(
)(21)()(
lim 20=
−−
−+∫→ C o
ooh
dzzzzf
ihzfhzf
π
ถา )(CIzo ∈ แลว hzo + เมอ h มระยะทางทนอยพอ สาหรบ )(CIhzo ∈+ โดยทฤษฎบท 3.3.11 เราสรปไดวา
∫ −−
+−=
−+
C oo
oo dzzzhzzh
zfih
zfhzf]1
)(1[)(
21)()(π
∫ −−−=
C oodz
hzzzzzf
i ))(()(
21π
ดงนน
∫∫−−−
=−
−−+
C ooC o
oo dzhzzzz
zfi
hdzzzzf
ihzfhzf
)()()(
2)()(
21)()(
22 ππ
เพราะวา )(zf เปนฟงกชนวเคราะห จงมความตอเนองบนC ดงนน
)(zf M≤
55
และ )(CIzo ∈ ใหd เปนระยะทางจาก oz ถงC
ozz − d≥
เราจะได
hzz o −− ≥ hzz o −− hd −≥
ดงนน
)(2)()(
21)()(
22 hdd
hMLdz
zzzf
ihzfhzf
C o
oo
−≤
−−
−+∫ ππ
รป 3.3.7 เพราะฉะนน เมอ 2=n ในทานองเดยวกน เราตองแสดงวา
∫−
=′′C o
o dzzzzf
izf 3)(
)(21)(π
หรอ 0)(
)(21)()(
lim 30=
−−
′−+′∫→ C o
ooh
dzzzzf
ihzfhzf
π
56
ตวอยาง 3.3.15 : กาหนดให C เปนวงกลม z 2= จงหา
(1) ∫C
zdz
ze
2 (2) ∫−C
dzizz
z32 )2(
sin
วธทา : (1) ให zezf =)( เหนไดวา )(zf วเคราะหททกจานวนเชงซอน z
และ zezf =′ )( ถาให 2RD = และ 0=oz แลว )(CIzo ∈ และโดยทฤษฎบท 3.3.14 จะไดวา
))()(2()0()(
2 oC
zfidzz
zf ′=−
∫ π
ifi ππ 2))0()(2( =′=
(2) ให 32 )2(sin)(
izzzzf−
= เหนไดวา )(zf วเคราะหททกจานวนเชงซอน z ยกเวน
ท 0=z และ2iz =
กาหนดให 1C และ 2C เปนคอนทวรปดอยางงาย ซง )(0 1CIzo ∈= และ )(2 2CIizo ∈=
ตามลาดบ (ดรป 3.3.8) และโดยทฤษฎบท 3.3.9
∫∫∫ −+
−=
−21
323232 )2(sin
)2(sin
)2(sin
CCCdz
izzzdz
izzzdz
izzz
พจารณา ∫−
132 )2(
sin
Cdz
izzz
ให 31)2(
sin)(izzzf
−= เหนไดวา )(1 zf วเคราะหททกจานวนเชงซอน z
6
231
)2()2(sin6cos)2()(
izizzzizzf
−
−−−=′ และ 0=oz แลว )( 1CIzo ∈
โดยทฤษฎบท 3.3.14 จะไดวา
57
))((!1
)2()0(
)(12
1o
Czfidz
z
zf ′=−
∫π
πππ 2))(2())0()(2( 1 =−=′= iifi
พจารณา ∫∫−
=−
223232
)2
(8
sin)2(
sin
CCdz
izz
zdzizz
z
ให 228sin)(
zzzf = เหนไดวา )(2 zf วเคราะหททกจานวนเชงซอน z
จะไดวา )sincos4sin6(81)( 2342
zz
zz
zzzf −−=′′ และ
2izo = แลว )( 2CIzo ∈
ดงนน
))((!2
)2(
)2
(
)(23
2
2
oC
zfidziz
zf ′′=−
∫π
))2
()(( 2ifi ′′= π
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +
−= )
21cosh4
21sinh
225(1)(
iiπ
)21cosh8
21sinh25(
2+−=
π
เพราะฉะนน )21cosh8
21sinh25(
22
)2(sin
32 +−+=−
∫ππ
Cdz
izzz
รป 3.3.8
บทท 4
การประยกตของคอนทวรอนทกรล (Applications of Contour Integrals)
ในบทนเราจะศกษาการประยกตทฤษฎบทของโคช-กอซาท และสตรอนทกรลของโคช
ในการหาคาของรมนนอนทกรลของบางรป ประการแรกเราจะหาคาของอนทกรลตอไปน
∫=π2
0)cos,(sin dxxxFI
โดยการใชสตรอนทกรลของโคช
ตวอยาง 4.1 : จงหาคา ∫ +=
π2
0cos21 dx
xI
วธทา : เนองจาก
)(212
1cos21)(
ixix eexxf
−++=
+=
ดงนน ถาให )(
212
1)(iziz ee
zf−++
=
และ xzCz =: เมอ ]2,0[ π∈x (ดรป 4.1(1)) แลวได
∫ −++=
zC izizdz
eeI
)(212
1
โดยทฤษฎบท 3.2.18 เมอให izew = แลว iwdzdziedw iz == และ wC เปนวงกลม 1=w (ดรป 4.1(2)) และจะไดวา
∫∫++
=++
=
ww CCdw
wwidw
wwiw
I14
12
)]1(212[
12
59
∫ +−−−−−=
wCdw
wwi )]32()][32([12
จะเหนวา )]32()][32([
1+−−−−− ww
วเคราะหททกจดw ยกเวนท 32 −−=w
และ 32 +−=w โดยทฤษฎบท 3.3.11 เมอให
)32(1)(−−−
=w
wf และ 32 +−=ow
ดงนน
))()(2)(2()]32()][32([
12o
Cwfi
idw
wwiw
π=+−−−−−∫
))()(2)(2( owfii
π=
)32
1)(2)(2( ii
π=
3
2π=
เพราะฉะนน 3
2cos212
0
ππ=
+∫ dxx
(1) (2)
รป 4.1 ตอไปเราจะใชทฤษฎบทของโคช-กอซาท และ สตรอนทกรลของโคช หาคาของรมนนอนทกรล และอมพรอบเพออนทกรลบางรป
60
ตวอยาง 4.2 : ให 0>R จงแสดงวา ∫ =+−
−πθ
θπ
2
022
221
cos221 d
rRrRrR เมอ Rr <<0
อนทแกรนด 22
22
cos2 rRrRrR
+−
−
θ นมชอเรยกวา Poisson kernel ซงมความสาคญใน
การวเคราะหเชงซอน
วธทา : พจารณา 22
22
cos2sin2
))(())((
rRrRrRirR
reRreRreRreR
reRreR
ii
ii
i
i
+−
+−=
−−
−+=
−
+−
−
θ
θθθ
θθ
θ
θ
2222
22
cos2sin2
cos2 rRrRrRi
rRrRrR
+−+
+−
−=
θ
θ
θ
ดงนน
∫ ∫ −
+=
+−
−π π
θ
θθ
πθ
θπ
2
0
2
022
22)
21Re(
cos221 d
reRreRd
rRrRrR
i
i
ให θirez = แลว izireddz i == θθ
แลว ∫∫ −+
=−
+
Ci
i
zdz
zRzR
id
reRreR
πθ
π
π
θ
θ
21
21 2
0 เมอ C คอวงกลม
z r=
เพราะฉะนน
∫∫ −+
=−
+
Ci
idz
zRzzR
id
reRreR
)(21
21 2
0π
θπ
π
θ
θ
∫ −+=
Cdz
zRzi)21(
21π
∫∫ −+=
CCdz
zRidz
zi2
211
21
ππ
โดยทฤษฎบท 3.3.11 จะได
1121
=∫C
dzziπ
61
หาคาของ ∫ −C
dzzRi
221π
ไดดงน
ให zR
zf−
=2)( ดงนน 2)(
2)(zR
zf−
=′ , z r≤ เมอ Rz ≠
เนองจาก )(zf วเคราะหททกจด ซงอยภายใน หรอ อยบนC โดยทฤษฎบท 3.3.2 ไดวา
02=
−∫C
dzzR
หรอ
0221
=−∫
Cdz
zRiπ
เพราะฉะนน
121 2
0=
−
+∫π
θ
θθ
πd
reRreR
i
i
ทาใหไดวา
∫ =+−
−πθ
θπ
2
022
221
cos221 d
rRrRrR
ตวอยาง 4.3 : จงแสดงวา ∫∞
∞−
−− =22
2cos bx ebxdxe π
วธทา : ให 2
)( zezf −= แลว )(zf วเคราะหไดททกจดบนบรเวณ ซงบรรจรปสเหลยม { :),( yx z a≤ และ }by ≤≤0 (ดรป 4.2)
ให 4321 CCCCC +++= โดยทฤษฎบท 3.3.2 จะไดวา
∫=C
dzzf )(0
∫∫∫∫ +++=
4321
)()()()(0CCCC
dzzfdzzfdzzfdzzf
62
และ
∫∫∫∫ +−−−
+−+−
−
− +++=0
)()(
0
)( 22220
b
iyaa
a
ibxb
iyaa
a
x idyedxeidyedxe
∫∫ −−
−
− +=b
ayiyaa
a
x dyeiedxe0
)2( 222
∫∫ +−
−
− −−−b
ayiyaa
a
xb dyeiedxxbibxee0
)2( 2222)2sin2(cos
เนองจาก 02sin =∫−
a
axbdx และ ayiee iayiay 2sin222 =− −
ดงนน
∫∫∫ −
−
−
−
− +−=b
yaa
a
xba
a
x aydyeebxdxeedxe0
2sin22cos022222
จากแคลคลส เราทราบวา
∫∫∞
∞−
−
−
−
∞→= dxedxe x
a
a
xa
22lim
π= และเนองจาก
02sin2lim0
22=∫−
∞→
bya
aaydyee
เพราะฉะนน
∫−
−∞→
a
a
xba
bxdxee 2coslim22 หาคาได
และ
∫∫∞
∞−
−
−
−
∞→= bxdxeebxdxee xb
a
a
xba
2cos2coslim2222
π=
63
ดงนน 222cos bx ebxdxe −
∞
∞−
− =∫ π
รป 4.2
64
บรรณานกรม
[1] นรศรา สขผอง ผลสบเนองของการมคณสมบตการลเขาแบบยนฟอรม สารนพนธ ภาควชาคณตศาสตร คณะวทยาศาสตร มหาวทยาลยศลปากร 2549.
[2] นวฒน คงอยสข ฟงกชนวเคราะห สารนพนธ ภาควชาคณตศาสตร คณะวทยาศาสตร มหาวทยาลยศลปากร 2549.
[3] บวร นอยแสง จานวนเชงซอน เอกสารประกอบการสมมนาทางคณตศาสตร ภาควชาคณตศาสตร คณะวทยาศาสตร มหาวทยาลยศลปากร 2548.
[4] วาร เกรอต แคลคลส สานกพมพเอมพนธ 2539. [5] วาร เกรอต ทฤษฎของตวแปรเชงซอน โรงพมพมหาวทยาลยศลปากร 2526. [6] Derrick, W. R., Complex Analysis and Applications 2 nd ed.,Wadsworth International
Group, 1984. [7] Moore, T. O. and Hadlock, E. H., Complex Analysis, World Scientific Publishing, 1991. [8] Rubenfeld, L. A., A First Course In Applied Complex Variables, John Wiley & Sons,
1985.
65
บญชสญลกษณ
)( fR : สวนจรงของฟงกชนเชงซอน f )( fI : สวนจนตภาพของฟงกชนเชงซอน f
)(zArg : อารกวเมนตของจานวนเชงซอน z οS : เซตของจดภายในทงหมดของ S *S : เซตของจดลมตทงหมดของ S
S : เซต *SS ∪ ),( εpN : อาณาเขตของ p ในรศมε ),( εpN ′ : อาณาเขตของ p ในรศมε ซงไมรวม p
)( ozCf ∈ : ฟงกชน f ตอเนองทจด oz ],[ baPCf ∈ : ฟงกชน f ตอเนองเปนชวงบน ],[ ba
)(SAf ∈ : ฟงกชน f วเคราะหไดใน S )(CI : interior ของC )(CE : exterior ของC )(CL : ความยาวของเสนโคงC
66
ประวตผวจย ชอ - สกล นางสาวอารรตน วองกก ทอย 7 ถนนรษฎา ตาบลกนตง อาเภอกนตง จงหวดตรง 92110 ททางาน คณะสถาปตยกรรมศาสตร มหาวทยาลยศลปากร วงทาพระ
ถนนหนาพระลาน กรงเทพมหานคร 10200 ประวตการศกษา
พ.ศ. 2544 สาเรจการศกษาปรญญาวทยาศาสตรบณฑต สาขาวชาคณตศาสตร มหาวทยาลยศลปากร วทยาเขตพระราชวงสนามจนทร จงหวดนครปฐม
พ.ศ. 2545 ศกษาตอระดบปรญญาวทยาศาสตรมหาบณฑต สาขาวชาคณตศาสตรและเทคโนโลยสารสนเทศ บณฑตวทยาลย
มหาวทยาลยศลปากร วทยาเขตพระราชวงสนามจนทร จงหวดนครปฐม
ประวตการทางาน
พ.ศ. 2544-2546 เจาหนาทสถต โรงพยาบาลเทพากร จงหวดนครปฐม พ.ศ. 2546-ปจจบน นกวเคราะหนโยบายและแผน คณะสถาปตยกรรมศาสตร
มหาวทยาลยศลปากร กรงเทพมหานคร
