จํานวนข้อที่ PAT 1 ( 6 ออกสอบครั้งลุ่ด )...

5 ข้อ PAT1 ทีออกชัวร์ๆ ่ 100% #TCAS61 #dek61 www.nisittutor-online.com 1.

เน้ือหา PAT 1 ทั้งหมด พ.ย. 57 มี.ค. 58 ต.ค. 58 มี.ค. 59 ต.ค.59 มี.ค.60

1. เซต 1 2 2 2 2 2

2. จํานวนจริง 1 3 2 1 2 1

3. ตรรกศาสตร์ 3 2 2 2 2 2

4. เรขาคณิตวิเคราะห์ 3 3 3 3 2 3

5. ความสัมพันธ์+ฟังก์ชัน* 1 2 3 3 4 3

6. ตรีโกณมิติ* 5 5 4 4 4 4

7. เอกซ์โพ+ล็อก* 5 4 4 6 4 6

8. เมตริกซ์ 2 2 2 2 2 2

9. เวกเตอร์ 1 1 2 2 2 2

10. จํานวนเชิงซ้อน 2 2 1 1 1 1

11. ลําดับและอนุกรม 3 3 3 3 4 3

12. แคลคูลลัส* 5 5 5 5 6 4

13. ความน่าจะเป็น 3 3 4 2 2 2

14. สถิติ* 5 5 5 5 5 6

15. กําหนดการเชิงเส้น 1 1 1 1 2 1

16. เชาว์ปัญญา 4 2 2 3 1 3

คะแนนเฉล่ีย ( เต็ม 300 ) 51.56 55.34 52.61 46.03 42.82 50.23

ข้อสอบมีทั้งหมด 45 ข้อ ให้เวลา 3 ชม. 30 ข้อแรกปรนัย 5 ตัวเลือก ข้อละ 6 คะแนน , 15 ข้อหลัง อัตนัย ข้อละ 8 คะแนน

จํานวนข้อที่ออกสอบ PAT 1 ( 6 ครั้งล่าสดุ )


ครั้งท่ี เดือน / ปี ท่ีสอบ

ค่า Z และ การแจกแจง

ปกต ิ

คสพ.เชิงฟังก์ชัน ระหว่างข้อมูล

กําหนด การเชิงเส้น

การหาจํานวน

สมาชิกเชต

ลิมิต และ ความต่อเนื่อง

1. มี.ค / 52 2 1 1 0 0

2. ก.ค / 52 1 1 1 1 0

3. ต.ค / 52 2 1 1 1 0

4. มี.ค / 53 1 0 0 1 1

5. ก.ค / 53 1 0 0 1 1

6. ต.ค / 53 0 0 0 1 1

7. มี.ค / 54 2 1 1 1 2

8. ต.ค / 54 1 0 1 1 1

9. มี.ค / 55 1 0 1 1 1

10. ต.ค / 55 2 1 1 2 1

11. มี.ค / 56 1 1 1 0 1

12. ธ.ค / 56 1 1 1 1 1

13. เม.ย / 57 1 1 1 1 1

14. พ.ย / 57 1 1 1 1 0

15. มี.ค / 58 1 1 1 2 2

16. ต.ค / 58 1 1 1 2 2

17. มี.ค / 59 1 1 1 1 2

18. ต.ค / 59 1 1 2 1 1

19. มี.ค / 60 2 1 1 2 2

5 ข้อ PAT1 ที่ออกชัวร์ 100 % !!!


ครั้งท่ี เดือน / ปี ท่ีสอบ

ตอบ 1 ตอบ 2 ตอบ 3 ตอบ 4 ตอบ 5 ตอบ 6 ตอบ 7 ตอบ 8

3. ต.ค / 52 - 2 ข้อ - 3 ข้อ - 2 ข้อ - 2 ข้อ

4. มี.ค / 53 - 1 ข้อ - - - 3 ข้อ 3 ข้อ -

5. ก.ค / 53 - 6 ข้อ 2 ข้อ 2 ข้อ - - - -

6. ต.ค / 53 3 ข้อ 2 ข้อ 1 ข้อ 1 ข้อ - - - -

7. มี.ค / 54 - 1 ข้อ 2 ข้อ 3 ข้อ - - - 2 ข้อ

8. ต.ค / 54 - 2 ข้อ 1 ข้อ 2 ข้อ 2 ข้อ 1 ข้อ - -

9. มี.ค / 55 2 ข้อ - - 1 ข้อ 1 ข้อ 3 ข้อ - -

10. ต.ค / 55 - 2 ข้อ 2 ข้อ - - 2 ข้อ - -

11. มี.ค / 56 - 2 ข้อ 1 ข้อ 2 ข้อ - - - -

12. ธ.ค / 56 - 1 ข้อ 2 ข้อ 1 ข้อ - - - -

13. เม.ย / 57 - - 1 ข้อ - 1 ข้อ - - -

14. พ.ย / 57 - - 1 ข้อ 1 ข้อ - - - -

15. มี.ค / 58 - - - 1 ข้อ - - - -

16. ต.ค / 58 - - - 1 ข้อ - - - -

17. มี.ค / 59 - - 3 ข้อ - 1 ข้อ - - -

18. ต.ค / 59 - - 1 ข้อ 3 ข้อ - - - -

19. มี.ค / 60 - - - 2 ข้อ - - - -

รวม 5 19 17 23 5 11 3 4

ตารางแสดงจํานวนคําตอบของข้อสอบ PAT 1 ส่วนเติมคํา ( อัตนัย )


กลยุทธ์การสอบ PAT 1 ให้ได้ 100 คะแนน UP 1) ต้องรู้ว่าสอบก่ีบท บทอะไรบ้าง บทไหนออกเยอะออกน้อย 2) ข้อสอบมีก่ีข้อ ก่ีตอน ข้อละกี่คะแนน 3) คณะที่เราต้องการ คะแนน PAT1 ต้องเท่าไรถึงติด 4) หัวข้อไหนออกบ่อยสุด และเก็บคะแนนไม่ยาก 5) สถิติปีละประมาณ 5 ข้อ ไม่ยาก ต้องได้อย่างน้อย 4 ข้อ !! ข้อที่ 1. ค่ากลางข้อมูล ( ค่าเฉลี่ยเลขคณิต , มัธยฐาน , ฐานนิยม )

ข้อที่ 2. การวัดตําแหน่งข้อมูล ข้อที่ 3. การวัดการกระจายข้อมูล ข้อที่ 4. ค่ามาตรฐานและการแจกแจงปกติ ข้อที่ 5. ความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันระหว่างข้อมูล

6) ถ้านักเรียนอ่านไม่ทัน พื้นฐานอ่อน แนะนําเท(ทิ้ง) บทที่ยากหรือไม่ชอบ เช่น ตรีโกณมิติ , ลําดับและอนุกรม , จํานวนเชิงซ้อน , เวกเตอร์ , ความสัมพันธ์และ ฟังก์ชัน , ฯลฯ ฝึกโจทย์บทที่เราเข้าใจให้ทําได้จริงๆ ( ข้อสอบ PAT 1 เก่าๆสําคัญมาก )


ค่ามาตรฐาน ( Standard score , Z score )

คือ คา่ท่ีไว้ใช้เปรียบเทียบคะแนนดิบจากข้อมลูตัง้แต่ 2 กลุม่ขึน้ไปว่าคะแนนดิบตวัใดมีคา่มากกวา่ เม่ือ xi คือ คะแนนดิบตวัท่ี i

Zi = σ

μix คือ คา่เฉล่ียเลขคณิตของประชากร

คือ สว่นเบ่ียงเบนมาตรฐานของประชากร

หรือ Zi = S

xxi x คือ คา่เฉล่ียเลขคณิตของกลุม่ตวัอย่าง

S คือ สว่นเบ่ียงเบนมาตรฐานของกลุม่ตวัอยา่ง

Ex1. น้องพลอยูโ่รงเรียนประจําจงัหวดั , น้องแนนอยูโ่รงเรียนประจําอําเภอ , น้องเหมง่อยูโ่รงเรียนประจําตําบล และ น้องเอ๊กซ์

อยูโ่รงเรียนประจําหมู่บ้าน เป็นนกัเรียนชัน้ ม.6 ซึง่มีผลการสอบวิชาคณิตศาสตร์ พร้อมกบัคา่เฉล่ียเลขคณิต ( ) และ

สว่นเบ่ียงเบนมาตรฐาน ( ) เป็นดงันี ้ จงพิจารณาวา่ใครเก่งกวา่กนั

คะแนน น้องพล ( xi )

85

79

8

สมบัตค่ิามาตรฐานที่ควรทราบ (1) Z = 0 ผลรวมคา่มาตรฐานของคะแนนดิบทกุตวัจะเทา่กบัศนูย์เสมอ

(2) Z2 = N ผลรวมกําลงัสองคา่มาตรฐานของคะแนนดิบทกุตวัจะเทา่กบัจํานวนข้อมลูเสมอ

(3) z = 1 สว่นเบ่ียงเบนมาตรฐานของคา่มาตรฐานเทา่กบั 1 เสมอ

คะแนน น้องแนน ( xi )

36

30

5

คะแนน น้องเหมง่ ( xi )

92

94

2

คะแนน น้องเอ๊กซ์ ( xi )

35

40

10

ข้อท่ี 1. คา่มาตรฐาน และ พื้นท่ีใต้โค้งปกต ิ


Ex2. ในการสอบครัง้หนึง่ P’1 สอบได้ 55 คะแนน คิดเป็นคะแนน มาตรฐานได้เทา่กบั 0.5 ถ้าสมัประสทิธิของการแปรผนัของ์

คะแนนห้องนีมี้คา่ 20% จงหาคะแนนเฉล่ียของคะแนนนกัเรียนห้องนี ้1. 55 2. 50 3. 45 4. ข้อมลูไมเ่พียงพอ Ex3. ในคา่เฉล่ียเลขคณิตของคะแนนสอบของนกัเรียนห้องหนึง่เทา่กบั 538 คะแนน และสว่นเบ่ียงเบนมาตรฐานเท่ากบั 83.2

คะแนน ถ้านาย ก. และ นาย ข. ได้คะแนนมาตรฐานตา่งกนั 0.7 แล้วคะแนนสอบนาย ก. และ นาย ข. จะตา่งกนัเทา่ใด 1. 58.42 2. 59.84 3. 58.24 4. 58.94 Ex4. ผลการสอบของนกัเรียนวิชาคณิตศาสตร์จํานวน 20 คน มีคา่เฉล่ียเลขคณิตของคะแนนเทา่กบั 60 , สว่นเบ่ียงเบน

มาตรฐานเทา่กบั 10 ถ้าผลรวมของคา่มาตรฐานของคะแนนของนกัเรียนกลุม่นีเ้พียง 19 คน เทา่กบั 2.5 แล้ว นกัเรียนอีก 1 คนท่ีเหลือจะสอบได้คะแนนเทา่ใด

1. 35 2. 37.5 3. 62.5 4. 85 Ex5. ข้อมลูชดุหนึง่มีผลรวมของคา่ทกุคา่ในข้อมลูเท่ากบั 120 และผลรวมของกําลงัสองของคา่มาตรฐานทกุคา่ในข้อมลูเทา่กบั 5

จงหาคา่เฉล่ียของข้อมลูชดุนี ้


ส่ิงที่น้องๆควรร้เก่ียวกับพืน้ที่ใต้เส้นโค้งปู กต ิ(1) สว่นประกอบของพืน้ท่ีใต้เส้นโค้ง (2) พืน้ท่ีจากตารางวดัจากแกนกลางเสมอ (3) พืน้ท่ี 2 ฝ่ังสมมาตรกนั

การแจกแจงปกต ิ และ เส้นโค้งปกต ิ เป็นเร่ืองท่ีจะสามารถโยงความสมัพนัธ์ระหวา่ง คะแนนดิบ ( xi ) คา่มาตรฐาน ( Z ) พืน้ท่ีใต้เส้นโค้งปกติ ( A ) เปอร์เซน็ต์ไทล์ ( Pr )


ตวัอย่างความสัมพันธ์ระหว่างค่า Z กับ ค่าเปอร์เซน็ต์ไทล์ (1) เม่ือ Z เป็น + (2) เม่ือ Z เป็น –


Ex1. ผลการสอบของผู้สมคัรเข้าทํางานในบริษัทแหง่หนึง่ 1,000 คน มีการแจกแจงปกติ ได้คา่เฉล่ียเลขคณิตเทา่กบั 42 สว่น

เบ่ียงเบนมาตรฐานเทา่กบั 3 ถ้าบริษัทต้องการรับเฉพาะผู้ ท่ีสอบได้ตัง้แต ่ 48 คะแนนขึน้ไป จะมีผู้ ท่ีได้รับเลือกเข้าทํางาน ในบริษัทนีก่ี้คน ( กําหนดท่ี z = 1 ได้ A = 0.3413 และท่ี z = 2 ได้ A = 0.4773 )

Ex2. ในการทดสอบคณิตศาสตร์ ปรากฏคะแนนจากการสอบนีแ้จกแจงได้เป็นรูปโค้งปกติโดยมีผู้ เข้าสอบทัง้สิน้ 1,000 คน มี

คะแนนเฉล่ียได้ 72 คะแนนและสว่นเบ่ียงเบนมาตรฐานเทา่กบั 10 คะแนน จงหาวา่ผู้สอบได้คะแนนอยา่งยอดเย่ียมตรง P86 จะคิดเป็นคะแนนดิบท่ีประมาณเทา่ไร ( กําหนด z = 1.08 ตรงกบัพืน้ท่ีใต้เส้นโค้งปกติ 0.3608 ) ( ตอบ 4 )

1. 80 2. 81 3. 82 4. 83 Ex3. ในการสอบวิชาหนึง่มีคะแนนเต็ม 20 คะแนน โดยการแจกแจงเป็นรูปโค้งปกติมีคา่มธัยฐานเทา่กบั 14 คะแนน ถ้ามี

คนสอบได้คะแนนต่ํากวา่ 11.88 คะแนน อยู ่ 11.51% จงหาสว่นเบ่ียงเบนมาตรฐานของคะแนนสอบครัง้นี ้ เม่ือกําหนด Z = 1.2 ได้ A = 0.3849 ( ตอบ 3 )

1. 1.56 2. 1.64 3. 1.77 4. 1.84


Ex4. ผลการสอบวิชาคณิตศาตร์ของนกัเรียนแหง่หนึ่ง ปรากฏวา่มีการแจกแจงความถ่ีแบบปกติ คา่เฉล่ียเลขคณิตของ

คะแนนสอบเทา่กบั 45 และสมัประสทิธิการแปรผนัเทา่กบั ์ 20 % ถ้านางสาวแดงซึง่เป็นนกัเรียนในห้องนีส้อบได้คะแนนในตําแหน่งเปอร์เซนต์ไทล์ท่ี 88 จงคํานวณหา

คะแนนสอบนางสาวแดง ( คิดเป็นคะแนนเลขเต็มหน่วย ) โดยกําหนด ( ตอบ 2 )

Z 1.170 1.175 1.180 1.200

A 0.3790 0.3800 0.3810 0.3849

1. 46 คะแนน 2. 56 คะแนน 3. 66 คะแนน 4. 71 คะแนน Ex5. ข้อมลูชดุหนึง่มีการแจงแจงปกติ โดยท่ีคา่สงูสดุของข้อมลูมีคา่เทา่กบัคา่เปอร์เซนต์ไทล์ท่ี 97.5 และ คา่ต่ําสดุของข้อมลู มีคา่เทา่กบัคา่เปอร์เซนต์ไทล์ท่ี 33 ถ้าสว่นเบ่ียงเบนมาตรฐานของข้อมลูเทา่กบั 10 แล้ว พิสยัของข้อมลูชดุนีเ้ทา่กบั เทา่ใด กําหนดตารางแสดงพืน้ท่ีใต้เส้นโค้งดงันี ้( ตอบ 24 )

Z .44 1.96

A .17 .475


Ex6. คะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์ และ ฟิสกิส์ ของนกัเรียนห้องหนึ่ง มีผลดงันี ้

วิชาคณ่ิตศาสตร์ มีคา่เฉล่ียเลขคณิต 60 คะแนน สว่นเบ่ียงเบนมาตรฐาน 10 คะแนน วิชาฟิสกิส์ มีคา่เฉล่ียเลขคณ่ิต 64 คะแนน สว่นเบ่ียงเบนมาตรฐาน 8 คะแนน สมมติุวา่คะแนนของวิชาทัง้สองมีการแจกแจงปกติ โดยท่ี นาย ก. สอบคณิตศาสตร์ได้ 45 คะแนน คิดเป็นเดไซล์ท่ี 2

ของวิชาคณ่ิตศาสตร์ ถ้า นาย ก. สอบวิชาฟิสกิส์ได้ 76 คะแนน จะคิดเป็นเปอร์เซนต์ไทล์ท่ีเท่าใดของวิชาฟิสกิส์ ( ตอบ 4 ) 1. P20 2. P40 3. P60 4. P80


1. คะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์ของนกัเรียนห้องหนึง่ มีการแจกแจงปกติ โดยมีคา่มธัยฐานเทา่กบั 60 คะแนน ถ้านกัเรียนท่ีสอบได้คะแนนน้อยกวา่ 55.5 คะแนน มีอยูร้่อยละ 18.41 แล้ว นกัเรียนท่ีสอบได้คะแนนสงูกวา่ 64 คะแนน มีจํานวณคิดเป็นร้อยละเทา่กบัข้อใดตอ่ไปนี ้ ( ครัง้ที่ 15 มี.ค. 58 ) ( ตอบ 1 )

เม่ือกําหนดพืน้ท่ีเส้นโค้งปกติ ระหวา่ง 0 ถงึ Z ดงันี ้

Z 0.7 0.8 0.9 1.0 พืน้ท่ี 0.2580 0.2881 0.3159 0.3413

1. 21.19 2. 24.20 3. 25.80 4. 28.81 2. คะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์ของนกัเรียนห้องหนึง่มีการแจกแจงปกติ โดยมีสมัประสทิธิของการแปรผนัของคะแนนสอบวิชานี ้ ์

เทา่กบั 25 % และ มีนกัเรียนร้อยละ 15.87 ท่ีสอบได้คะแนนมากวา่ 85 คะแนน ถ้านาย ก เป็นนกัเรียนคนหนึง่ในห้องนี ้สอบได้ 47.6 คะแนน จะอยู่ในตําแหน่งเปอร์เซน็ไทล์ตรงกบัข้อใดตอ่ไปนี ้ ( ครัง้ที่ 16 ต.ค. 58 ) ( ตอบ 4 )

เม่ือกําหนดพืน้ท่ีใต้เส้นโค้งปกติ ระหวา่ง 0 ถึง Z ดงันี ้

Z 0.4 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 พืน้ท่ี 0.1554 0.3159 0.3413 0.3643 0.3849 0.4032

1. 34.46 2. 18.41 3. 13.57 4. 11.51 5. 9.68

ข้อสอบ PAT1 ( 5 ครั้งล่าสุด ) ออกทุกครั้ง !!!


3. คะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์ของนกัเรียนห้องหนึง่ จํานวน 30 คน มีการแจกแจงปกติ และ มีคา่เฉล่ียเลขคณิตเทา่กบั 64

คะแนน นกัเรียนชายห้องนีมี้ 18 คน คะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์ของนกัเรียนชายห้องนีมี้คา่เฉล่ียเลขคณิตเทา่กบั 64 คะแนน และ ความแปรปรวนเทา่กบั 10 สว่นคะแนนสอบของนกัเรียนหญิงมีสว่นเบ่ียงเบนมาตรฐานเทา่กบั 5 คะแนน ถ้านางสาว ก. เป็นนกัเรียนคนหนึง่ในห้องนี ้ สอบได้คะแนนตรงกบัเปอร์เซน็ต์ไทล์ท่ี 22.66 ของนกัเรียนทัง้ห้อง แล้ว คะแนน สอบของนางสาว ก. เทา่กบัเทา่ใด ( ครัง้ที่ 17 มี.ค. 59 ) ( ตอบ 61 )

เม่ือกําหนดพืน้ท่ีเส้นโค้งปกติ ระหวา่ง 0 ถงึ z ดงันี ้

Z 0.5 0.6 0.75 1.0 1.25

พืน้ท่ี 0.1915 0.2257 0.2734 0.3413 0.3944

4. ในการสอบวิชาคณิตศาสตร์ของนกัเรียนห้องหนึง่ คะแนนสอบมีคา่เฉล่ียเลขคณิตและสว่นเบ่ียงเบนมาตรฐานเทา่กบั a และ b

คะแนน ตามลําดบั นาย ก. และ นาย ข. เป็นนกัเรียนในห้องนี ้นาย ก. สอบวิชาคณิตศาสตร์ครัง้นีไ้ด้คะแนน 68 คะแนน คิดเป็นคา่มาตรฐานเทา่กบั 1.5 ถ้าครูผู้สอนวิชานีป้รับคะแนนใหม ่ โดยเพ่ิมคะแนนของนกัเรียนทกุคนเป็นสองเทา่ของคะแนนเดิม คะแนนใหม่ของนาย ข. มากกวา่คะแนนใหมข่องนาย ก. อยู ่ 6 คะแนน และ คะแนนใหม่ของนาย ข. คิดเป็นคา่มาตรฐานเทา่กบั 1.9 แล้ว คา่ของ a + b เทา่กบัเทา่ใด ( ครัง้ที่ 18. ต.ค. 59 ) ( ตอบ 64.25 )


5. ถ้าคะแนนสอบวิชาหนึง่ของนกัเรียนจํานวน 80 คน มีการแจกแจงปกติ

และมีสมัประสทิธิของสว่นเบ่ียงเบนควอไทล์เทา่กบั ์31

มีนกัเรียนคนหนึ่งในห้องนีส้อบได้คะแนน 39 คะแนน คิดเป็นค่ามาตรฐานเทา่กบั 1.5 และมีนกัเรียนจํานวน 60 คน ท่ีมีคะแนนสอบมากกวา่ 15 คะแนน แล้วสว่นเบ่ียงเบนมาตรฐานของคะแนนสอบเทา่กบัข้อใดตอ่ไปนี ้( ครัง้ที่ 19. มี.ค. 60 ) ( ตอบ 4 )

1. 9.5 คะแนน 2. 10 คะแนน 3. 10.5 คะแนน 4. 11 คะแนน 5. 11.5 คะแนน 6. คะแนนสอบวิชาคณิตศาตร์ของนกัเรียนกลุม่หนึ่งมีการแจกแจงปกติ

ถ้านกัเรียนท่ีสอบได้คะแนนน้อยกวา่ 74 คะแนน มีจํานวนคิดเป็นร้อยละ 97.73 และนกัเรียนท่ีสอบได้คะแนน 53 คะแนน จะตรงกบัเปอร์เซน็ต์ไทล์ท่ี 6.68 แล้วคา่เฉล่ียเลขคณิตของคะแนนสอบของนกัเรียนกลุม่นีเ้ทา่กบัเทา่ใด ( ครัง้ที่ 19. มี.ค. 60 ) ( ตอบ 62 ) กําหนดตารางแสดงพืน้ท่ีใต้เส้นโค้งปกติมาตรฐานระหวา่ง 0 ถึง z ดงันี ้

Z 0.5 1 1.5 2 2.5 A 0.1915 0.3413 0.4332 0.4773 0.4938


ความสัมพันธ์ที่มีแนวโน้มเป็นกราฟเส้นตรง

แผนภาพการกระจาย ( Scatter Diagram )

คือ แผนภาพจดุท่ีใช้แสดงถงึแนวโน้มความสมัพนัธ์ระหวา่งตวัแปรตาม กบั ตวัแปรต้น ( ตวัแปรอิสระ ) วา่สมัพนัธ์กนัในลกัษณะใด โดยในระดบัชัน้ ม.ปลาย จะแบ่งเป็น 3 แบบ คือ

(1) เส้นตรง (2) พาราโบลา (3) exponential

รูปสมการทัว่ไป : Y = mX + c

สมการปกติ :

n

1iiy =

n

1iixm + cN

n

1iiiyx =

n

1i

2ixm +

n

1iixc

ส่ิงที่ควรรู้

(1) ตวัแปรต้นนิยมแทนด้วย x ตวัแปรตามนิยมแทนด้วย y ( แตใ่นบางครัง้จะขึน้อยูก่บัโจทย์ ) และต้องเอาตวัแปรต้นทํานายตวัแปรตาม ห้ามเอาตวัแปรตามมาทํานายตวัแปรต้นย้อนกลบั

(2) สมการเส้นตรงท่ีได้จะผ่านจดุ ( x , y ) เสมอ (3) การหาคา่ m , c สามารถทําได้ 2 วิธี กลา่วคือ 3.1 ใช้การแก้สมการปกติ 2 สมการ 2 ตวัแปร

3.2 ใช้สตูร m =

22 xnxyxnxy

,, cc == y –– mm x

การวิเคราะห์ความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันระหว่างข้อมลู

คือ การพยากรณ์คา่ตวัแปรตาม ( Dependent variable ) เม่ือทราบคา่ตวัแปรต้น ( ตวัแปรอิสระ , Independent variable)

“ ตวัแปรต้น ( ตวัแปรอิสระ ) เป็นตวักําหนดคา่ตวัแปรตาม “

เช่น “ แมจ่ะซือ้ Honda Jazz ให้ถ้าฉนั Ent ติดอนัดบัหนึง่ ” ตวัแปรต้น อนัดบัหนึง่ , ตวัแปรตาม Honda Jazz

ข้อท่ี 2. ความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันระหว่างข้อมูล


Ex1. P’1 เป็นเจ้าของธุรกิจปัม้นํา้มนัโดยเร่ิมขยายกิจการจากตอนเร่ิมต้นท่ีมีเพียง 2 สาขาจนปัจจบุนัมีถงึ 10 สาขาได้ผล

ประกอบการ ( กําไร/เดือน ) แสดงตามตารางด้านลา่ง

จํานวนปัม้ 2 3 5 7 9 10

กําไร / เดือน ( แสน ) 1 3 7 11 15 17

หาก P’1 ต้องการขยายกิจการเปิดปัม้นํา้มนั 100 ปัม้ อยากทราบวา่จะได้กําไรเดือนละเทา่ไร

วิธีทํา ตวัแปรต้น จํานวนปัม้นํา้มนั ( x ) ตวัแปรตาม กําไร ( y )

จํานวนปัม้นํา้มนั ( x ) กําไร ( y ) x2 xy

2 1 4 2 3 3 9 9 5 7 25 35 7 11 49 77 9 15 81 135

10 17 100 170

36 54 268 428


Ex2. จากการวดัความสมัพนัธ์ระหวา่งเวลา t เป็นวินาที และระยะทาง s เป็นเมตรของการเคล่ือนท่ีของวตัถชิุน้หนึง่ได้ดงัตาราง

t 2 5 7 8

s 1 2 3 4

ถ้าความสมัพนัธ์ของการเคล่ือนท่ีนีเ้ป็นแบบเส้นตรงแล้ว จะทํานายเวลาท่ีใช้เป็นเทา่ใดเม่ือวตัถเุคล่ือนท่ีได้ทาง 6.25 เมตร ( ตอบ 3 ) 1. 10 วินาที 2. 12 วินาที 3. 13 วินาที 4. 15 วินาที Ex3. จากสมการความสมัพนัธ์เชิงฟังก์ชนั Y = mX + c และกําหนดให้

X = 5 , Y = 7 , 115YX5

1iii

, 130X

5

1i

2i

, 200Y

5

1i

2i

ถ้า X = 7 จงหาวา่ Y มีค่าได้ตามข้อใด ( ตอบ 1 ) 1. –17 2. 31 3. 101 4. 151


Ex4. จากการเก็บข้อมลูเก่ียวกบัผลการสอบกลางภาคและปลายภาคของนกัเรียนกลุม่หนึง่มีผลดงันีมี้คา่

X = 25 และ Y = 55 โดยท่ีสมการเส้นตรงแสดงความสมัพนัธ์ระหวา่งคะแนนสอบกลางภาคกบัปลายภาค ผา่นจดุ ( 2,9 ) ถ้านาย ก. สอบกลางภาคได้ 15 คะแนน เขาจะสอบปลายภาคได้สกัก่ีคะแนน ( ตอบ 1 )

1. 35 2. 40 3. 45 4. 50

Ex5. ความสมัพนัธ์ระหวา่งรายได้ ( X ) และรายจ่าย ( Y ) โดยเฉล่ียตอ่เดือนของผู้ มีรายได้ในอําเภอแหง่หนึง่เป็น

Y = 0.85X + 200 จงพิจารณาข้อความใดตอ่ไปนี ้ ไมถ่กูต้อง ( ตอบ 4 )

1. บคุคล 2 คนมีรายได้ตา่งกนั 1000 บาท จะมีรายจ่ายตา่งกนัโดยประมาณอยู ่ 850 บาท 2. แต่ละบคุคลจะมีรายจ่ายโดยเฉล่ียโดยประมาณ 1900 บาท เม่ือมีรายได้โดยเฉล่ีย 2000 บาท 3. บคุคลหนึง่มีรายได้ 1500 บาท จะมีรายจ่ายเฉล่ียประมาณ 1475 บาท 4. แต่ละบคุคลในอําเภอนี ้ จะมีรายได้ท่ีมากกวา่รายจ่าย


Ex6. จงพิจารณาข้อมลู X และ Y ตอ่ไปนี ้

X –2 –1 0 1 2

Y 1 a a + 1 a + 2 a + 6

เม่ือ a เป็นคา่คงตวัและให้ X และ Y มีความสมัพนัธ์เชิงฟังก์ชนัเป็นเส้นตรง โดยท่ี คา่ Y เฉล่ียเลขคณิตได้ 4.4 ถ้า x = 2 แล้วจะประมาณคา่ Y ได้เทา่ใด ( ตอบ 3 ) 4 2. 6 3. 8 4. 10


Ex1. ข้อมลูตอ่ไปนี ้ แสดงยอดขายเคร่ืองสบูนํา้ ของบริษัทแหง่หนึง่ ตัง้แต่ พ.ศ. 2530 ถงึ พ.ศ. 2534

พ.ศ. 2530 2531 2532 2533 2534

ยอดขายเคร่ืองสบูนํา้ ( 1,000 เคร่ือง ) 1 2 4 5 7

1.1 จงเขียนแผนภาพการกระจาย 1.2 จงหาสมการของความสมัพนัธ์เชิงฟังก์ชนัระหว่างเวลาและยอดขายเคร่ืองสบูนํา้เพ่ือทํานายยอดขาย 1.3 จงทํานายยอดขายเคร่ืองสบูนํา้ในปี พ.ศ. 2537 1.4 จงทํานายยอดขายเคร่ืองสบูนํา้ เฉล่ียใน 6 เดือนแรกของปี พ.ศ. 2536 ปี พ.ศ. x y xy x2 2530 –2 1 –2 4 2531 –1 2 –2 1 2532 0 4 0 0 2533 1 5 5 1 2534 2 7 14 4

0 19 15 10

ความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันของข้อมลที่อย่ในรปอนุกรมเวลา ู ู ู ( Time series Data )

คือ การพยากรณ์คา่ตวัแปรตาม เม่ือตวัแปรต้นเป็นข้อมลูเชิงคณุภาพ ( เช่น ปี , เดือน ) โดยเราจําเป็นต้องสมมติตวัเลขขึน้มาแทนคา่ตวัแปรต้นเหลา่นัน้ ดงันี ้(1) ถ้าโจทย์ให้จํานวนตวัแปรต้นมาเป็นจาํนวนค่ี (2) ถ้าโจทย์ให้จํานวนตวัแปรต้นมาเป็นจาํนวนคู่


Ex2. ข้อมลูตอ่ไปนีเ้ป็นรายได้หน่วยล้านบาทของบริษัทแหง่หนึง่จําแนกตามรายเดือน ปี 2550 เป็นดงันี ้

เดือน ม.ค. ก.พ. มี.ค. เม.ย. พ.ค. มิ.ย.

รายได้ ( ล้านบาท ) 1.2 1.5 2.0 3.0 3.5 4.5

จงประมาณวา่ในเดือนสงิหาคม ปี พ.ศ. 2550 นีบ้ริษัทจะมีรายได้เทา่ใด 5 ล้านบาท 2. 5.5 ล้านบาท 3. 5.64 ล้านบาท 4. 5.75 ล้านบาท

ปี พ.ศ. x y xy x2 ม.ค. –5 1.2 –6 25 ก.พ. –3 1.5 –4.5 9 มี.ค. –1 2.0 –2 1 เม.ย. 1 3.0 3 1 พ.ค. 3 3.5 10.5 9 มิ.ย. 5 4.5 22.5 25

0 15.7 23.5 70


1. กําหนดให้ (x1,y1) , (x2,y2) , (x3,y3) , (x4,y4) , (x5,y5) เป็นจดุ 5 จดุบนระนาบ

โดยท่ี

5

1iix = 20 ,

5

1i

2ix = 100 ,

5

1iiy = 45 ,

5

1i

2iy = 485 และ

5

1iiiyx = 220

ถ้าความสมัพนัธ์ระหวา่ง xi และ yi เป็นความสมัพนัธ์เชิงฟังก์ชนัแบบเส้นตรง y = ax + b เม่ือ x เป็นตวัแปรอิสระ และ a , b เป็นจํานวนจริง พิจารณาข้อความตอ่ไปนีว้า่ถกูหรือผิด (ก) a2 + b2 = 5 (ข) ถ้า x เป็นจํานวนเตม็ แล้ว y เป็นจํานวนค่ี ข้อใดตอ่ไปนีถ้กูต้อง ( ครัง้ที่ 15 มี.ค. 58 ) ( ตอบ 1 )

1. (ก) ถกู และ (ข) ถกู 2. (ก) ถกู แต่ (ข) ผิด 3. (ก) ผิด แต่ (ข) ถกู 4. (ก) ผิด และ (ข) ผิด 2. จากการสํารวจปริมาณอาหารเสริมท่ีใช้เลีย้งสตัว์ชนิดหนึง่ จํานวน 8 ตวั ได้ข้อมลูซึง่แสดงความสมัพนัธ์ระหว่างอาย ุ( ปี ) ของ

สตัว์ชนิดนี ้ และปริมาณอาหารเสริม ( กิโลกรัม ) ท่ีใช้เลีย้งสตัว์ดงักลา่วตอ่สปัดาห์ ปรากฏผลดงันี ้

อาย(ุ ปี ) : x 1x 2x 3x 4x 5x 6x 7x 8x

ปริมาณอาหารเสริมตอ่สปัดาห์ ( กิโลกรัม ) : y 1y 2y 3y 4y 5y 6y 7y 8y

โดยท่ี

8

1iix = 40 ,

8

1iiy = 48 ,

8

1i

2ix = 210 ,

8

1i

2iy = 380 ,

8

1iiiyx = 270

และ 3 = 10x....xx 821

สมมติวา่กราฟแผนภาพกระจายท่ีแสดงความสมัพนัธ์ระหวา่งปริมาณอาหารเสริมท่ีใช้เลีย้งสตัว์ตอ่สปัดาห์ และอายขุองสตัว์ดงักลา่ว อยูใ่นรูปแบบเส้นตรง ถ้าสตัว์ชนิดนีมี้อาย ุ 4 ปี จะต้องใช้ปริมาณปริมาณอาหารเสริมท่ีใช้เลีย้งสตัว์ตอ่สปัดาห์ประมาณก่ีกิโลกรัม ( ครัง้ที่ 16 ต.ค. 58 ) ( ตอบ 3 )



3. กําหนดข้อมลู x และ y มีความสมัพนัธ์ ดงันี ้

x 1 3 4 5 7 y 0 3 6 7 9

โดยท่ี x และ y มีความสมัพนัธ์เชิงฟังกชันัแบบเส้นตรง ถ้า y = 8 แล้วคา่ของ x เทา่กบัข้อใดตอ่ไปนี ้ ( ครัง้ที่ 17 มี.ค. 59 ) ( ตอบ 2 ) 1. 5.94 2. 5.86 3. 7.1 4. 7.23 5. 8 4. กําหนดข้อมลู 2 ชดุ คือข้อมลู (x) และ ข้อมลู (y) ดงันี ้

x x1 x2 x3 x4 x5 y y1 y2 y3 y4 y5

โดยท่ี 1 xi 25 สําหรับ i = 1 , 2 , 3 , 4 , 5

5

1i

2ix = 175 ,

5

1iiiyx = 1575 ,

5

1iii yx = 275 ,

5

1iii yx20 = 250

และ ข้อมลูทัง้สองชดุมีความสมัพนัธ์เชิงฟังก์ชนัแบบเส้นตรง คือ y = mx + c เม่ือ m , c เป็นจํานวนจริงถ้า x = 4 แล้วคา่ประมาณของ y จะเท่ากบัเทา่ใด ( ครัง้ที่ 18. ต.ค. 59 ) ( ตอบ 43.5 )


5. ให้ R1 , R2 , R3 , R4 , R5 เป็นรูปส่ีเหล่ียมมมุฉาก 5 รูป มีข้อมลู ดงันี ้

R1 R2 R3 R4 R5 ความกว้าง (x) x1 x2 x3 x4 x5 ความยาว (y) y1 y2 y3 y4 y5

โดยท่ี 0 xi 10 สําหรับ i = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 คา่เฉล่ียเลขคณิตของความกว้างของรูปส่ีเหล่ียม 5 รูป เทา่กบั 5 หน่วย คา่เฉล่ียเลขคณิตของความยาวของรูปส่ีเหล่ียม 5 รูป เทา่กบั 8 หน่วย คา่เฉล่ียเลขคณิตของพืน้ท่ีของรูปส่ีเหล่ียม 5 รูป เทา่กบั 51.8 ตารางหน่วย และความแปรปรวนของความกว้างเทา่กบั 12 สมมติวา่กราฟแผนภาพการกระจายท่ีแสดงความสมัพนัธ์ความกว้างและความยาว อยูใ่นรูปแบบเส้นตรง

ถ้าสร้างรูปส่ีเหล่ียมมีความกว้าง 2 หน่วย แล้วความยาว ( โดยประมาณ ) ของรูปส่ีเหล่ียมนีเ้ท่ากบัข้อใดตอ่ไปนี ้ ( ครัง้ที่ 19. มี.ค. 60 ) ( ตอบ 1 ) 1. 5.05 หน่วย 2. 5.55 หน่วย 3. 5.75 หน่วย 4. 6.05 หน่วย 5. 6.55 หน่วย


Ex1. จงวาดกราฟอสมการท่ีกําหนดให้ตอ่ไปนี ้

(1) –2x + 5y 20

กราฟของอสมการเชิงเส้น

หลกัการวาดกราฟของอสมการเชิงเส้นมีดงันี ้

(1) ให้วาดเหมือนกราฟของสมการ โดยท่ี ถ้าเป็น , เป็นเส้นประ และ ถ้าเป็น , เป็นเส้นทบึ (2) ให้ลองแทนจดุพิกดัท่ีไม่ได้อยูบ่นกราฟลงในอสมการแล้วพิจารณาผลลทัธ์ท่ีเกิดขึน้

2.1 ถ้าอสมการเป็นจริง ให้แรเงาไปทิศทางท่ีครอบคลมุจดุดงักลา่ว 2.2 ถ้าอสมการเป็นเทจ็ ให้แรเงาไปทิศทางตรงข้ามกบัจดุดงักลา่ว

ข้อท่ี 3. กําหนดการเชงิเส้น ( Linear Programming )


(2) 3x – 2y + 6 0

(3) x 2y

(4) 2y x21


(5) y 6 (6) x – 2

(7) 2y – 4 0 (8) 3x – 2 0

(9) y 0 (10) x 0


Ex1. x + y 7 , x 1 , y 0

Ex2. x + y – 1 0 , –x + y + 1 0 , –2x – y + 1 0

กราฟของระบบอสมการเชิงเส้น


Ex3. 3x + 2y 12 , x + 2y 8 , x 0 , y 0

Ex4. 2x + 3y 15 , 3x + y 12 , x 0 , y 0


Ex5. 3x + y 6 , –4x + 3y 12 , x 0 , y 0 Ex6. 3x + 5y 15 , x –2y 2 , x 0 , y 0


Ex7. 4x + 2y 100 , 2x+4y 140 , x 60 , y 40

Ex8. y – x 4 , x + 3y 9

x + y 12 , x 0 , y 0


Ex9. 5x + 2y 300 , x + y 90 , 5x – y –20 ,

0 y 70 , x 0


Ex1. ร้านขนมปังแหง่หนึง่ จ้างคนงานชายชัว่โมงละ 15 บาท และ จ้างเดก็ชัว่โมงละ 10 บาท

คนงานชายสามารถทําขนมปัง ได้ 24 ชิน้ และ เค้ก 6 ชิน้ตอ่ชัว่โมง เดก็สามารถทําขนมปัง ได้ 12 ชิน้ และ เค้ก 10 ชิน้ตอ่ชัว่โมง ถ้าร้านขนมปังต้องการทําขนมปังไมต่ํ่ากวา่ 504 ชิน้ และ เค้กไมต่ํ่ากวา่ 154 ชิน้ จะมีวิธีให้คนงานชาย และ

เดก็ทาํงานคนละก่ีช่ัวโมง จงึจะเสียค่าใช้จ่ายน้อยสุด ( ตอบ ชาย 19 ชัว่โมง และ เดก็ 4 ชัว่โมง )

การแก้ปัญหากาํหนดการเชิงเส้นโดยวธีิใช้กราฟ

(1) สมมติให้ได้เสียก่อนวา่ จะให้ x และ y แทนอะไร (2) สร้างฟังก์ชนัวตัถปุระสงค์ ( Objective function ) โดยดจูากสิง่ท่ีโจทย์ถาม (3) สร้างฟังก์ชนัอสมการเง่ือนไข ( Constraint inequalities ) (4) วาดกราฟของอสมการเง่ือนไขทัง้หมด เพ่ือหาอาณาบริเวณท่ีหาคําตอบได้ ( Feasible region ) (5) นําพิกดัจดุมมุของรูปหลายเหล่ียมของอาณาบริเวณท่ีหาคําตอบได้แทนลงในฟังก์ชนัวตัถปุระสงค์ เพ่ือหาคา่สงูสดุ หรือ คา่ต่ําสดุท่ีต้องการ


Ex2. โรงงานแหง่หนึง่ผลติสนิค้าออกมาจําหน่าย 2 ชนิด คือ ชนิด A และ B สนิค้าชนิด A แตล่ะชิน้ต้องผลติด้วย

เคร่ืองจกัรเป็นเวลา 1 ชัว่โมง หลงัจากนัน้ต้องนํามาตกแตง่ด้วยมืออีก 2 ชัว่โมง แตถ้่าใช้เคร่ืองจกัรดงักลา่วผลติ สนิค้าชนิด B แตล่ะชิน้จะใช้เวลาผลติ 1.5 ชัว่โมง หลงัจากนีนํ้ามาตกแตง่ด้วยมืออีก 1 ชัว่โมง

ถ้าในแต่ละวนัเคร่ืองจกัร และ คนท่ีทําหน้าท่ีตกแต่งทํางาน 8 ชัว่โมง สินค้าชนิด A ได้กําไรชิน้ละ 600 บาท สนิค้า B ได้กําไรชิน้ละ 700 บาท ถ้าผู้จดัการของโรงงานต้องการกาํไรจากการผลติสนิค้ามากที่สุด เขาควรผลติสนิค้าชนิดละก่ีชิน้ต่อวัน ( ตอบ ควรผลิตสนิค้า A 2 ชิน้ , สินค้า B 4 ชิน้ต่อวนั )


Ex3. บริษัทแหง่หนึง่มีโรงงานอยู ่ 2 แหง่ ในแตล่ะวนั

โรงงานท่ีหนึง่ผลิตสนิค้า เกรด A ได้ 18 หน่วย เกรด B ได้ 15 หน่วย และ เกรด C ได้ 7 หน่วย สําหรับโรงงานท่ีสองผลิตสนิค้า เกรด A ได้ 9 หน่วย เกรด B ได้ 30 หน่วย และ เกรด C ได้ 1 หน่วย บริษัทต้องการผลติสนิค้าสง่ลกูค้าโดยเป็นสนิค้า เกรด A 162 หน่วย , เกรด B 315 หน่วย และ เกรด C 28 หน่วย บริษัทควรจะเปิดโรงงานผลติสนิค้าแห่งละก่ีวัน จงึจะเสียค่าใช้จ่ายน้อยที่สุด ถ้าคา่ใช้จ่ายในการผลิตสนิค้าของ โรงงานท่ีหนึง่ และ โรงงานท่ีสองเทา่กบั 40,000 บาท/วนั และ 30,000 บาท/วนั ตามลําดบั

( ตอบ เปิดโรงงานท่ีหนึง่ 5 วนั , โรงงานท่ีสอง 8 วนั )


Ex4. เจ้าของโรงงานแหง่หนึง่มีสารเคมีในการทําปุ๋ ยอยู ่ 2 ชนิด คือ A และ B

เขา ผสมสารเคมี A และ B ทําปุ๋ ยชนิดท่ีหนึง่ด้วย อตัราสว่น 3 : 1 ผสมสารเคมี A และ B ทําปุ๋ ยชนิดท่ีสองด้วย อตัราสว่น 1 : 3

ถ้าปุ๋ ยชนิดท่ีหนึง่ได้กําไรกิโลกรัมละ 30 บาท และ ชนิดท่ีสองกําไรกิโลกรัมละ 60 บาท ถ้าเขามีสารเคมี A และ B อยูเ่พียง 60 กิโลกรัม และ 30 กิโลกรัม ตามลําดบั เขาจะได้กาํไรสงสุดเท่าใดู


1. นาย ก. วางแผนปลกูมนัหรือสบัปะรดบนท่ีดิน 150 ไร่ โดยมีข้อมลูในการลงทนุดงันี ้ ในการปลกูมนัจะต้องลงทนุคา่ต้นกล้าไร่

ละ 200 บาท และใช้แรงงานไร่ละ 10 ชัว่โมง ในการปลกูสบัปะรดจะต้องลงทนุคา่ต้นกล้าไร่ละ 300 บาท และ ใช้แรงงานไร่ละ 12.5 ชัว่โมง นาย ก. มีเงินลงทนุสําหรับต้นกล้า 40,000 บาท และ มีแรงงานไมเ่กิน 1,850 ชัว่โมง ถ้าปลกูมนัได้กําไรไร่ละ 1,500 บาท ปลกูสบัปะรดจะได้กําไรไร่ละ 2,000 บาท ข้อใดตอ่ไปนีถ้กูต้อง ( ครัง้ที่ 15 มี.ค. 58 ) ( ตอบ 3 )

1. ปลกูสบัปะรดอยา่งเดียว จะได้กําไรสงูสดุ 300,000 บาท 2. ปลกูมนั 10 ไร่ ปลกูสบัปะรด 140 ไร่ จะได้กําไรสงูสดุ 295,000 บาท 3. ปลกูมนั 50 ไร่ ปลกูสบัปะรด 100 ไร่ จะได้กําไรสงูสดุ 275,000 บาท 4. ปลกูมนั 110 ไร่ ปลกูสบัปะรด 40 ไร่ จะได้กําไรสงูสดุ 245,000 บาท



2. ภายใต้อสมการข้อจํากดั ตอ่ไปนี ้

x + 2y 4 , x – y 1 , x + y 1 , x 0 และ y 0 สมการจดุประสงค์ในข้อใดตอ่ไปนี ้ท่ีมีคา่มากท่ีสดุ ( ครัง้ที่ 16 ต.ค. 58 ) ( ตอบ 5 ) 1. z = 2x + 2y 2. z = 3x + 2y 3. z = 2x + 3y 4. z = x + 4y 5. z = 4x + y


3. กําหนดสมการจดุประสงค์ P = 7x – 5y และอสมการข้อจํากดัดงันี ้

x + 3y – 12 0 , 3x + y – 12 0 ,

x – 2y + 17 0 และ 9x + y – 56 0 พิจารณาข้อความตอ่ไปนี ้(ก) ถ้า ( a,b ) เป็นจดุมมุท่ีสอดคล้องกบัอสมการข้อจํากดัและให้ค่า P มากท่ีสดุ แล้ว a2 + b2 = 40 (ข) ผลตา่งระหวา่งคา่มากท่ีสดุและคา่น้อยท่ีสดุของ P เทา่กบั 70 (ค) ถ้า A และ B เป็นพิกดัของจดุมมุท่ีสอดคล้องกบัอสมการข้อจํากดั โดยท่ี P มีคา่มากท่ีสดุท่ีจดุ A และ P มีคา่น้อย

ท่ีสดุท่ีจดุ B แล้วจดุ A และ B อยูบ่นเส้นตรง 7x + 5y = 52 ข้อใดตอ่ไปนีถ้กูต้อง ( ครัง้ที่ 17 มี.ค. 59 ) ( ตอบ 4 ) 1. ข้อ (ก) และ ข้อ (ข) ถกู แต ่ ข้อ (ค) ผิด 2. ข้อ (ก) และ ข้อ (ค) ถกู แต ่ ข้อ (ข) ผิด 3. ข้อ (ข) และ ข้อ (ค) ถกู แต ่ ข้อ (ก) ผิด 4. ข้อ (ก) และ ข้อ (ข) และ ข้อ (ค) ถกูทัง้สามข้อ 5. ข้อ (ก) และ ข้อ (ข) และ ข้อ (ค) ผิดทัง้สามข้อ


4. กําหนดให้ P = 4x + 5y เป็นฟังก์ชนัจดุประสงค์

โดยมีอสมการข้อจํากดั ดงันี ้

x + 2y 10

x + y 6

3x + y 8

x 0 และ y 0 คา่ของ P มีค่าน้อยที่สุด ตรงกบัข้อใดตอ่ไปนี ้( ครัง้ที่ 18. ต.ค.59 ) ( ตอบ 3 )

1. 24.0 2. 26.8 3. 28.0 4. 29.0 5. 40.0

5. กําหนดให้ x 0 และ y 0

ถ้า y3x2

121

1212 และ

y2x3

121

5

121

แล้ว 2x + 5y มีคา่มากท่ีสดุเทา่กบัข้อใด ( ครัง้ที่ 18. ต.ค.59 ) ( ตอบ 20 )


6. ให้ a และ b เป็นจํานวนจริงบวก

กําหนดให้ P = ax – 15y โดยมีอสมการข้อจํากดัดงันี ้

3x + by 9

3x + 2by 18

1 x 5 และ y 0 ถ้าคา่ของ P มีคา่น้อยท่ีสดุ เท่ากบั –8.25 และ คา่ของ P มีคา่มากท่ีสดุ เทา่กบั 15 แล้ว คา่ของ a2+b2 เทา่กบัเท่าใด ( ครัง้ที่ 19. มี.ค.60 ) ( ตอบ 109 )


โจทย์แบบที่ 1. โจทย์แผนภาพเวนน์ – ออยเลอร์ Ex1. ในแผนภาพท่ี กําหนดให้ U , A , B และ AB มีจํานวนสมาชิก

100 , 40 , 25 และ 16 ตวั ตามลําดบั จงเติมจํานวนสมาชิกของ เซตตา่งๆ ลงในตารางตอ่ไปนี ้

เซต A – B B – A AB A B (AB)

จํานวนสมาชิก

Ex2. กําหนด n(U ) = 90 , n(A) = 60 , n(B) = 55 และ n(AB) = 30 จงหาจํานวนสมาชิกของเซตในแตล่ะข้อ

1. AB 2. A – B 3. B – A

ข้อท่ี 4. การหาจํานวนสมาชิกของเซตจํากัด

A B U

A B U

โจทย์ 2 เซต

A B


4. A 5. B 6. A B

7. AB 8. A– B 9. AB

10. AB 11. AB 12. B A

Ex3. กําหนด n(A) = 5 , n(B) = 7 และ n(AB) = 2 จงหา n[ ( A–B )( B–A ) ]

Ex4. กําหนด n(A) = 20 , n(B) = 30 และ n(AB) = 40 จงหา n(AB)


Ex5. ให้ A และ B เป็นสบัเซตของ U และ n(U ) = 50 ถ้า n(AB) = 10 และ n(AB) = n(AB) = 15

แล้ว n(AB) เทา่กบัเทา่ใด Ex6. จากการสอบถามผู้ชายจํานวน 50 คน พบวา่ มี 29 คน ชอบ เจนน่ี มี 21 คน ชอบพอลลา่ มี 10 คน ชอบทัง้ เจนน่ี และ พอลลา่ จงหา

1. มีก่ีคนชอบ เจนน่ี หรือ พอลลา่ 2. มีก่ีคนไมช่อบ เจนน่ี และ ไมช่อบ พอลลา่ 3. มีก่ีคนชอบ เจนน่ี แต ่ ไมช่อบ พอลลา่ 4. มีก่ีคนชอบ พอลลา่ แต ่ ไมช่อบ เจนน่ี 5. มีก่ีคนชอบ เจนน่ี หรือ ไมช่อบ พอลลา่ 6. มีก่ีคนชอบ พอลลา่ หรือ ไมช่อบ เจนน่ี

Ex7. จากการตรวจสขุภาพของคนกลุม่หนึง่พบวา่ มีคนท่ีสายตาสัน้จํานวน 35% ของคนทัง้หมด มีคนท่ีฟันผจํุานวน 48 % ของ

คนทัง้หมด และมีคนท่ีสายตาไม่สัน้และฟันไมผ่จํุานวน 29 % ของคนทัง้หมด จงหาจํานวนเปอร์เซนต์ของ 1. คนท่ีสายตาสัน้ หรือฟันผ ุ2. คนท่ีสายตาสัน้ และฟันผ ุ3. คนท่ีสายตาสัน้ แตฟั่นไมผ่ ุ4. คนท่ีสายตาไมส่ัน้ แตฟั่นผ ุ5. คนท่ีสายตาสัน้ หรือฟันไมผ่ ุ


โจทย์แบบที่ 2. โจทย์ชาย – หญิง Ex1. ชมรมถ่ายภาพมีสมาชิก 25 คน เป็นนกัเรียนชาย 14 คน ปรากฏวา่มีสมาชิกท่ีถ่ายภาพเป็น 9 คน มีสมาชิกท่ีเป็น

นกัเรียนหญิงหรือถ่ายภาพเป็น 16 คน จงหาว่าจํานวนสมาชิกท่ีเป็นนกัเรียนหญิง และ ถ่ายภาพเป็นมีก่ีคน ( ตอบ 4 คน ) Ex2. ห้องเรียนห้องหนึง่มีนกัเรียนชาย 30 คน และนกัเรียนหญิง 20 คน จากการสอบวิชาคณิตศาสตร์และฟิสิกส์พบวา่

มีนกัเรียนสอบตกวิชาคณิตศาสตร์ 15 คน ในจํานวนนีเ้ป็นนกัเรียนชาย 7 คน มีนกัเรียนสอบตกวิชาฟิสกิส์ 10 คน ในจํานวนนีเ้ป็นนกัเรียนชาย 4 คน มีนกัเรียนสอบตกทัง้สองวิชา 3 คน ในจํานวนนีเ้ป็นนกัเรียนหญิง 1 คน จงหา 1. จํานวนนกัเรียนท่ีสอบคณิตศาสตร์ตก แต่สอบฟิสกิส์ได้ 2. จํานวนนกัเรียนท่ีสอบฟิสกิส์ตก แตส่อบคณิตศาสตร์ได้ 3. จํานวนนกัเรียนท่ีสอบได้ทัง้สองวิชา 4. จํานวนนกัเรียนชายท่ีสอบได้ทัง้สองวิชา 5. จํานวนนกัเรียนหญิงท่ีสอบได้เพียงวิชาเดียว


โจทย์แบบที่ 3. โจทย์ 2 เซตไม่เก่ียวกัน Ex1. ในเดือนท่ีแล้ว P’1 มาสอนเพียง 11 วนัเทา่นัน้ และพบวา่ไมมี่วนัใดในเดือนนัน้ท่ี P’1 จะมาสอนเตม็วนั กลา่วคือ

ถ้าไมข่าดสอนตอนเช้า ก็ขาดสอนตอนบา่ย ถ้า P’1 ขาดสอนตอนเช้า 17 วนั และ ขาดสอนตอนบา่ย 12 วนั จงหา

1. จํานวนวนัท่ี P’1 ขาดสอนทัง้วนั 2. จํานวนวนัท่ี P’1 มาสอนตอนเช้า 3. จํานวนวนัท่ี P’1 มาสอนตอนบา่ย 4. จํานวนวนัท่ีต้องสอนทัง้หมดในเดือนท่ีแล้ว Ex2. ระหวา่งไปพกัตากอากาศ มีฝนตก 13 วนั ถ้าหากฝนตกตอนเช้า ตอนบา่ยอากาศจะแจ่มใส แตถ้่าวนัไหนฝนตก

ตอนบา่ย ตอนเช้าอากาศก็ต้องแจ่มใส ถ้าระหวา่งไปพกัตากอากาศ มีอากาศแจ่มใสตอนเช้า 11 วนั และ อากาศแจ่มใสตอนบา่ย 12 วนั ถามวา่ไปพกัตากอากาศก่ีวนั ( ตอบ 18 วนั )


โจทย์แบบที่ 1. โจทย์แผนภาพเวนน์ – ออยเลอร์ Ex1. กําหนด n(U ) =49 , n(A) = 20 , n(B) = 25 , n(C) = 18 , n(AB) = 13 , n(AC) = 11

, n(BC) = 12 , n(ABC) = 8 จงหาจํานวนสมาชิกของเซตในแต่ละข้อตอ่ไปนี ้

1. ABC 2. A – B 3. AB

4. AC 5. AB 6. AC 7. C – A 8. B – C 9. ( A–B ) – C

10. ( ACB) 11. ( ABC) 12. ( CAB )

13. ABC 14. BAC 15. ABC

โจทย์ 3 เซต

A B

C


Ex2. ในการสอบถามรสนิยมในการเลือกเคร่ืองด่ืมของนกัเรียน ม 4. โรงเรียน Saint Leo ( มธัยมวดัสงิห์ ) จํานวน 100 คน

พบวา่ มีนกัเรียนท่ีชอบด่ืมนํา้อดัลม 40 คน มีนกัเรียนท่ีชอบด่ืมนํา้ผลไม้ 45 คน มีนกัเรียนท่ีชอบด่ืมนํา้เปลา่ 39 คน มีนกัเรียนท่ีชอบด่ืมนํา้อดัลม และ นํา้ผลไม้ 12 คน มีนกัเรียนท่ีชอบด่ืมนํา้อดัลม และ นํา้เปลา่ 15 คน มีนกัเรียนท่ีชอบด่ืมนํา้ผลไม้ และ นํา้เปลา่ 10 คน และมีนกัเรียนท่ีชอบด่ืมนํา้ทัง้สามชนิด 5 คน จงหาจํานวนคนท่ี

1. ชอบด่ืมนํา้เหลา่นีอ้ยา่งน้อยหนึง่ชนิด 2. ชอบด่ืมนํา้เหลา่นีเ้พียงสองชนิด 3. ชอบด่ืมนํา้เหลา่นีเ้พียงชนิดเดียว 4. ไมช่อบด่ืมนํา้เหลา่นีเ้ลยแม้แต่ชนิดเดียว Ex3. จากการสํารวจความนิยมในการฟังเพลงของคน 300 คน พบวา่แตล่ะคนชอบเพลงลกูทุง่ เพลงลกูกรุง หรือ เพลงไทยเดิม อยา่งน้อยหนึง่ประเภท ปรากฏวา่

ชอบเพลงลกูทุง่ 120 คน ชอบทัง้เพลงลกูกรุงและเพลงไทยเดิม 45 คน ชอบเพลงลกูกรุงอยา่งเดียว 70 คน ชอบทัง้เพลงลกูทุง่และเพลงลกูกรุง แตไ่มช่อบเพลงไทยเดิม 30 คน ชอบเพลงไทยเดิมอยา่งเดียว 80 คน ไมช่อบเพลงไทยเดิมและไมช่อบเพลงลกูกรุง 50 คน อยากทราบวา่มีคนชอบเพลงลกูทุง่ และ เพลงไทยเดิม แตไ่มช่อบเพลงลกูกรุงก่ีคน ( 25 คน )


Ex4. ถ้ากําหนดจํานวนสมาชิกของเซตตา่ง ๆ ตามตารางตอ่ไปนี ้

แล้วจํานวนสมาชิกของ ( AB )C เทา่กบัข้อใดตอ่ไปนี ้( O–NET’51 ) ( ตอบ 1 ) 1. 23 2. 24 3. 25 4. 26

โจทย์แบบที่ 2. โจทย์ใช้สตรู Ex1. จากการสํารวจชาวสวนในอําเภอแหง่หนึง่ซึง่มี 1,000 ครัวเรือน พบวา่แตล่ะครอบครัวปลกูผลไม้อยา่งน้อยหนึง่ชนิด

คือ เงาะ , มงัคดุ , หรือ ทเุรียน ปรากฏวา่ 400 ครัวเรือนไมป่ลกูทกุเรียน , 380 ครัวเรือนไม่ปลกูมงัคดุ , 542 ครัวเรือนไมป่ลกูเงาะ , 294 ครัวเรือนปลกูทัง้เงาะและมงัคดุ , 277 ครัวเรือนปลกูทัง้มงัคดุและทเุรียน , 190 ครัวเรือนปลกูทัง้เงาะและทเุรียน มีก่ีครัวเรือนท่ีปลกูผลไม้ทัง้ 3 ชนิด

เซต AB AC BC ABC ABC

จํานวนสมาชิก 25 27 26 30 7


โจทย์แบบที่ 3. โจทย์สมมตติวัแปร Ex1. นกัเรียน 78 คน จะต้องเรียนพิเศษอยา่งน้อย 1 วิชา จากวิชาคณิตศาสตร์ เคมี และฟิสกิส์ ไม่มีใครเลยท่ีเรียนวิชา

คณิตศาสตร์และเคมี , ในจํานวนนีมี้ 16 คนท่ีเรียนวิชาฟิสิกส์เทา่นัน้ , มีอยู ่ 5 คนท่ีเรียนคณิตศาสตร์และฟิสกิส์ , มี 10 คนท่ีเรียนเคมีและฟิสกิส์ และ จํานวนคนท่ีเรียนเคมีมากกวา่เรียนคณิตศาสตร์อยู่ 6 คน มีนกัเรียนท่ีเรียนเคมีก่ีคน ( ตอบ 34 คน )

Ex2. จาการสํารวจการลงทะเบียนเรียนวิชาคณิตศาสตร์ ฟิสกิส์ และ เคมี ของนกัเรียนกลุม่หนึง่จํานวน 200 คน พบวา่ มีนกัเรียนไมเ่ลือกเรียนวิชาใดเลย 18 คน มีนกัเรียนท่ีเลือกเรียนคณิตศาสตร์และฟิสกิส์ แตไ่มเ่ลือกเคมี 44 คน มีนกัเรียนท่ีเลือกเรียนคณิตศาสตร์และเคมี แตไ่มเ่ลือกฟิสกิส์ 38 คน มีนกัเรียนท่ีเลือกเรียนเคมีและฟิสกิส์ แตไ่มเ่ลือกคณิตศาสตร์ 42 คน

มีนกัเรียนท่ีเลือกเรียนคณิตศาสตร์ 120 คน มีนกัเรียนท่ีเลือกเรียนฟิสกิส์ 116 คน มีนกัเรียนท่ีเลือกเรียนเพียงวิชาเดียว 32 คน

จงหาจํานวนนกัเรียนท่ี (1) เลือกเรียนทัง้สามวิชา ( ตอบ 26 ) (2) เลือกเรียนคณิตศาสตร์เพียงวิชาเดียว ( ตอบ 12 ) (3) เลือกเรียนฟิสกิส์เพียงวิชาเดียว ( ตอบ 4 )


Ex3. กําหนดให้ A , B , C เป็นเซต n(AB) = 32 , n(AC) = 39 , n(BC) = 35 , n(ABC) = 2 ,

n[ (AB)–C ] = 8 , n[ (AC)–B ] = 4 , n[ (BC)–A ] = 6 ดงันัน้ n(ABC) เทา่กบัเทา่ใด ( ตอบ 43 ) Ex4. ในการสํารวจความนิยมของคนกลุม่หนึง่จํานวน 40 คน พบวา่นิยมเคร่ืองด่ืมอยา่งน้อยหนึง่ชนิด คือ โค้ก 21 คน

, เป๊ปซ่ี 16 คน และเบียรสงิห์ 19 คน และนิยมทัง้สามชนิด 3 คน มีผู้ นิยมชนิดเดียวก่ีคน ( ตอบ 27 คน )


1. สําหรับเซต X ใดๆ กําหนดให้ P(X) แทนเพาเวอร์เซตของเซต X

ถ้า A , B , C , D และ E เป็นเซตจํากดั โดยท่ี P(D) = { , {1} , D , E } , DE AB , BC =

, { 2 , 3 , 4 ,5 } AB , 2 B และ

P(A) P(AC) P(B) P(C–A)

8 2 32 4

แล้วจํานวนสมาชิกของเซต ABC เทา่กบัเทา่ใด ( ครัง้ที่ 15. มี.ค.58 ) ( ตอบ 8 )

2. การสอบคดัเลือกพนกังานของหน่วยงานแหง่หนึง่ พบวา่จํานวนผู้ เข้าสอบทัง้หมด 160 คน เป็นผู้ชายเข้าสอบคิดเป็นร้อยละ 55 แตเ่ม่ือประกาศผลสอบพบวา่ในบรรดาผู้ ท่ีสอบได้เป็นผู้ชายคิดเป็นร้อยละ 70 และในบรรดาผู้ ท่ีสอบไม่ผา่นเป็นผู้ชายคิดเป็นร้อยละ 40 จํานวนผู้ ท่ีสอบได้เป็นผู้หญิงเทา่กบัข้อใดตอ่ไปนี ้( ครัง้ที่ 15. มี.ค.58 ) ( ตอบ 3 )

1. 16 คน 2. 20 คน 3. 24 คน 4. 28 คน



3. ให้ S แทนคอมพลีเมนต์ของ S และ n(S) แทนจํานวนสมาชิกของเซต S ให้ A , B และ C เป็นเซตใดๆ

โดยท่ี A( BC ) = , n(A) = 12 , n(B) = 15 , n(C) = 16 , n(ABC) = 20 และ

n(AB) = n(BC) = n(AC) ข้อใดตอ่ไปนีไ้มถ่กูต้อง ( ครัง้ที่ 16. ต.ค. 58 ) ( ตอบ 5 )

1. n(ABC) = 10

2. n(AB) = 11

3. n(AB) = 4

4. n[ (AB)C ] = 12

5. n[ (AB)C ] = 5 4. ในการสํารวจความชอบเรียนวิชาคณิตศาสตร์ วิชาภาษาไทย และ วิชาภาษาองักฤษ ของนกัเรียนกลุม่หนึง่

พบวา่ มีนกัเรียนชอบเรียนวิชาคณิตศาสตร์ 150 คน มีนกัเรียนชอบเรียนวิชาภาษาไทย 80 คน มีนกัเรียนชอบเรียนวิชาภาษาองักฤษ 60 คน และ มีนกัเรียน 30 คน ชอบเรียนทัง้สามวิชา นกัเรียนกลุม่นีมี้จํานวนอยา่งมากก่ีคน ( ครัง้ที่ 16. ต.ค. 58 ) ( ตอบ 230 )


5. ในการสํารวจนกัเรียนห้องหนึง่ เก่ียวกบัความชอบเรียนวิชาคณิตศาสตร์ วิชาภาษาองักฤษ และ วิชาภาษาไทย

พบวา่นกัเรียนในห้องนีช้อบเรียนวิชาดงักลา่วอยา่งน้อย 1 วิชา และ มี 24 คน ชอบเรียนวิชาคณิตศาสตร์ มี 22 คน ชอบเรียนวิชาภาษาองักฤษ มี 21 คน ชอบเรียนวิชาภาษาไทย มี 21 คน ชอบเรียนเพียงวิชาเดียว

และ มี 4 คน ชอบเรียนทัง้สามวิชา จํานวนนกัเรียนท่ีชอบเรียนวิชาภาษาองักฤษ หรือ วิชาภาษาไทยแตไ่มช่อบวิชาคณิตศาสตร์เท่ากบัข้อใดตอ่ไปนี ้( ตอบ 3 )

( ครัง้ที่ 17. มี.ค.59 ) 1. 16 คน 2. 17 คน 3. 18 คน 4. 19 คน 5. 20 คน

6. ให้ S แทนคอมพลีเมนต์ของเซต S และ n(S) แทนจํานวนสมาชิกของเซต S กําหนดให้ U แทนเอกภพสมัพทัธ์ โดยท่ี n(U ) = 70

ถ้า A , B และ C เป็นสบัเซตของ U โดยท่ี ABC และ

n( AB) = 25 , n( B–C ) = 18 , n( CA) = 16 และ n[ (AB)–C ] = 7

แล้ว n( ABC ) เทา่กบัเทา่ใด ( ครัง้ที่ 18. ต.ค.59 ) ( ตอบ 4 )


7. จากการสํารวจนกัเรียนกลุม่หนึ่งจํานวน 80 คน เก่ียวกบัการเป็นสมาชิกของชมรม 3 ชมรม คือ ชมรมคณิตศาสตร์ ชมรม

การแสดง และชมรมกีฬา ปรากฏวา่มี 30 คน เป็นสมาชิกของชมรมคณิตศาสตร์ โดยในจํานวนนีมี้นกัเรียน 20 คน เทา่นัน้ท่ีเป็นสมาชิกของชมรมคณิตศาสตร์เพียงชมรมเดียว มี 5 คน ท่ีเป็นสมาชิกของชมรมการแสดงและชมรมกีฬา แตไ่ม่เป็นสมาชิกของชมรมคณิตศาสตร์ และมี 10 คนท่ีไมเ่ป็นสมาชิกของชมรมใดเลย พิจารณาข้อความตอ่ไปนี ้(ก) มี 15 คน ท่ีเป็นสมาชิกของชมรมอยา่งน้อย 2 ชมรม (ข) มี 55 คน ท่ีเป็นสมาชิกของชมรมใดชมรมหนึง่เพียง 1 ชมรมเทา่นัน้ (ค) มี 50 คน ท่ีเป็นสมาชิกของชมรมการแสดงหรือชมรมกีฬา ข้อใดตอ่ไปนีถ้กูต้อง ( ครัง้ที่ 19. มี.ค.60 ) ( ตอบ 4 )

1. ข้อ (ก) และ ข้อ (ข) ถกู แต ่ ข้อ (ค) ผิด 2. ข้อ (ก) และ ข้อ (ค) ถกู แต ่ ข้อ (ข) ผิด 3. ข้อ (ข) และ ข้อ (ค) ถกู แต ่ ข้อ (ก) ผิด 4. ข้อ (ก) ข้อ (ข) และ ข้อ (ค) ถกูทัง้สามข้อ 5. ข้อ (ก) ข้อ (ข) และ ข้อ (ค) ผิดทัง้สามข้อ 8. ผลการสํารวจกลุม่คนจํานวน 120 คน เก่ียวกบัสายตาปกติและสายตาสัน้ พบวา่

อตัราสว่นของจํานวนคนท่ีมีสายตาปกติตอ่จํานวนคนสายตาสัน้เทา่กบั 3 : 2 ในกลุม่คนท่ีสายตาปกติ มีอตัราสว่นจํานวนผู้หญิงตอ่จํานวนผู้ชายเทา่กบั 5 : 1 ในกลุม่คนท่ีมีสายตาสัน้ มีอตัราสว่นของจํานวนเดก็ตอ่จํานวนผู้ใหญ่เทา่กบั 1 : 3 ผลรวมของจํานวนผู้หญิงท่ีสายตาปกติและจํานวนเดก็ท่ีมีสายตาสัน้เทา่กบัเทา่ใด ( ครัง้ที่ 19. มี.ค.60 ) ( ตอบ 72 )


วิธีการหาค่า )x(flimax

1. ให้แทน x = a ลงใน f(x) ได้คา่เทา่ไรตอบเท่านัน้ โดยท่ี 0k

= , k

= 0 , k

= , k0 = 0

2. แตถ้่าแทนแล้วได้คา่เป็น 00

,

, –P , 0 , 1, 0 , 00 ( Indeterminate form ) ห้ามสรุป !! ให้รีบทําตอ่ โดยการ

(2.1) ดงึตวัร่วม (2.2) แยก factor (2.3) คณูด้วยคอนจเูกต

(2.4) ใช้กฎของโลปิตาล ( L’Hopital’s Rule ) ใช้ได้เฉพาะ 00

,

)x(flimax

= สว่นdiff

เศษdiff diff เศษสว่น

Ex1. จงหา 3x2x1x2x

lim 2

2

2x

Ex2. จงหา 4 2

0x16xlim

ลิมิตของฟังก์ชัน

ทฤษฎีบทเก่ียวกบัลมิิต ให้ f และ g เป็นฟังก์ชนั โดยท่ี y = f(x) และ g(x) ตามลําดบั ถ้า )x(flim

ax = A และ )x(glim

ax = B

(1) Climax

= C เม่ือ C เป็นคา่คงตวั

(2) )]x(g)x(f[limax

= )x(flimax

)x(glimax

= A + B

(3) )]x(g)x(f[limax

= )x(flimax

)x(glimax

= AB

(4)

)x(g)x(f

limax

= )x(glim

)x(flim

ax

ax

= BA

; B0

(5) )x(fClimax

= C )x(flim

ax = CA

(6) n

ax)x(flim

=

n

ax)x(flim

= An

ข้อท่ี 5. ลมิิตและความต่อเน่ืองของฟังก์ชัน


Ex3. จงหา 3x2x1x2x

lim 2

2

1x

Ex4. จงหา

1x2x2xx

lim 2

2

1x

Ex5. จงหา 2x

11xlim

2x


4x25lim

2

3x

Ex7. จงหา 3x27x

lim3

3x



1xlim

3

1x

Ex9. จงหา h

xhxlim

0h

เม่ือ x 0 Ex10. จงหา xcos1

xtan2lim 2

2

0x มีคา่เทา่ใด

Ex11. จงหา 5x82x

13xlim

2x


Ex12. จงหา 3x9

xlim

0x

Ex13. จงหา x1x

x3x

2x 22

622lim

Ex14. จงหา 3ix

ix3ix2lim

i3x


ความหมายของ

(1) )(lim xfax

f(x) มีคา่ประมาณเทา่ไร ถ้า x มีคา่ใกล้ๆ a จะหาคา่ได้ก็ตอ่เม่ือ ( ลมิิตซ้าย = ลมิิตขวา )

(2) )(lim xfax

f(x) มีคา่ประมาณเทา่ไร ถ้า x มีคา่น้อยกวา่ a อยูนิ่ดๆ ( ลิมิตซ้าย )

(3) )(lim xfax

f(x) มีคา่ประมาณเทา่ไร ถ้า x มีคา่มากกวา่ a อยูห่น่อยๆ ( ลมิิตขวา ) (4) )(af f(x) มีคา่เท่ากับเทา่ไร ถ้า x มีคา่เทา่กบั a

เวลาหาคา่ f(a) ให้แทน x = a ลงใน f(x) ทนัที ห้ามเปล่ียนแปลงรูปแบบ f(x)

Ex1. จากกราฟของฟังก์ชนัตอ่ไปนีจ้งหาคา่

(1) )x(flim9x

= …………….

(2) )x(flim9x

= …………….

(3) )x(flim9x

= …………….

(4) f(–9) = ……………..

(5) )x(flim6x

= …………….

(6) )x(flim6x

= …………….

(7) )x(flim6x

= …………….

(8) f(–6) = …………….. (9) )x(flim

3x = ……………. (10) )x(flim

3x = …………….

(11) )x(flim3x

= ……………. (12) f(–3) = ……………..

(13) )x(flim2x

= ……………. (14) )x(flim2x

= …………….

(15) )x(flim2x

= ……………. (16) f(2) = ……………..

(17) )x(flim4x

= ……………. (18) )x(flim4x

= …………….

(19) )x(flim4x

= ……………. (20) f(4) = ……………..

(21) )x(flim7x

= ……………. (22) )x(flim7x

= …………….

(23) )x(flim7x

= ……………. (24) f(7) = ……………..

(25) )x(flim9x

= ……………. (26) )x(flim9x

= …………….

(27) )x(flim9x

= ……………. (28) f(9) = ……………..

–9 –6 –3 2 4 7 9

7 4

9

–2

–4 –6


แบบที่ 1. ความต่อเน่ืองบนช่วง [ a,b ] ฟังก์ชนัจะมีความตอ่เน่ืองบนช่วง [ a,b ] ก็ตอ่เม่ือ สามารถวาดกราฟของฟังก์ชนันัน้ผา่นช่วง [ a,b ] ได้โดยไมต้่องยกปากกา

แบบที่ 2. ความต่อเน่ืองที่จุดใดๆ ฟังก์ชนัจะมีความตอ่เน่ืองท่ีจดุ x = a ก็ตอ่เม่ือ สามารถวาดกราฟของฟังก์ชนันัน้ผา่นจดุ x = a ได้โดยไมต้่องยกปากกา

.

a b ( A )

a b ( B )

a b ( C )

ความต่อเน่ืองของฟังก์ชัน

a

( A )

a

( B )

a

( C )

นิยาม f จะต่อเน่ืองที่จุด x = a ก็ต่อเม่ือ

(1) f(a) หาคา่ได้ (2) )x(flim

ax หาคา่ได้ ( ลมิิตซ้าย = ลมิิตขวา )

(3) (1) = (2)

ข้อควรระวัง วิธีการหาคา่ )x(flimax

กบั f(a) ไมเ่หมือนกนั

เช่น กําหนดให้ f(x) = 2x4x2

จงหาคา่ของ f(2) และ )x(flim2x


Ex1. กําหนดให้ f(x) =

2x1เม่ือx35

1xเม่ือ4

1x0เม่ือx2

จงหาคา่ )x(flim1x

Ex2. f(x) = 3x

9x 2

จงหาคา่ )x(flim

3x + )x(flim

3x

Ex3. f(x) =

4xเม่ือ;8x


3x25 2

จงตรวจสอบวา่ f ตอ่เน่ืองท่ีจดุ x = 4 หรือไม ่


Ex4. g(x) =

2xเม่ือ;1kx


6xx 2

ถ้า g ตอ่เน่ืองท่ี x = 2 แล้วคา่ k มีคา่เทา่ใด


3xเม่ือbx3

3x1เม่ือax

1xเม่ือ4x 2

ถ้า f เป็นฟังก์ชนัตอ่เน่ืองท่ี x = – 1 และ x = 3

แล้ว a+b มีคา่เทา่ไร


1xเม่ือ8x

1x0เม่ือbax

0xเม่ือ1x3 2

ถ้า f เป็นฟังก์ชนัตอ่เน่ืองทกุๆคา่ x แล้ว a–b มีคา่เทา่ไร


1. กําหนดให้ a เป็นจํานวนจริงบวก ซึง่สอดคล้องกบั aax

1x51x5lim

0x

= 80

คา่ของง a2 + a + 58 เทา่กบัข้อใดตอ่ไปนี ้( ครัง้ที่ 15. มี.ค.58 ) ( ตอบ 4 ) 1. 64 2. 78 3. 130 4. 330

2. กําหนดให้ f เป็นฟังก์ชนั ซึง่นิยามโดย f(x) =

0x,x

1x5bx1

0x,ba

0x,a2e

2

x2

เม่ือ a และ b เป็นจํานวนจริง

ถ้าฟังก์ชนั f มีความตอ่เน่ืองท่ี x = 0 แล้วค่าของ 15a + 30b เทา่กบัเทา่ใด ( ครัง้ที่ 15. มี.ค.58 ) ( ตอบ 15 )



3. คา่ของ

1xx2

1x1

1lim 2

3

1x เทา่กบัข้อใดตอ่ไปนี ้ ( ครัง้ที่ 16. ต.ค. 58 ) ( ตอบ 1 )

1. 0 2. 0.5 3. 1 4. 2 5. 4

4. กําหนดให้ฟังก์ชนั f(x) =

1x,2x3

1x1,bax

1x,x

2

3

เม่ือ a , b เป็นจํานวนจริง

ถ้าฟังก์ชนั f ต่อเน่ือง สําหรับทกุจํานวนจริง x แล้วคา่

2

2

dx)x(f เทา่กบัเทา่ใด ( ครัง้ที่ 16. ต.ค. 58 ) ( ตอบ 9.25 )


5. ให้ f เป็นฟังก์ชนั โดยท่ี f(x) =

bx,abx2

bxa,abxx

ax,4bx2

เม่ือ a และ b เป็นจํานวนจริง และ f เป็นฟังก์ชนัตอ่เน่ืองบนเซตของจํานวนจริง พิจารณาข้อความตอ่ไปนี ้(ก) ( fof )( a–b ) = a – b (ข) f( a+b ) = f(a) – f(b)

(ค) f(f(2)) = f(f(2)) ข้อใดตอ่ไปนีถ้กูต้อง ( ครัง้ที่ 17. มี.ค.59 ) ( ตอบ 1 )

1. ข้อ (ก) และ ข้อ (ข) ถกู แต ่ ข้อ (ค) ผิด 2. ข้อ (ก) และ ข้อ (ค) ถกู แต ่ ข้อ (ข) ผิด 3. ข้อ (ข) และ ข้อ (ค) ถกู แต ่ ข้อ (ก) ผิด 4. ข้อ (ก) และ ข้อ (ข) และ ข้อ (ค) ถกูทัง้สามข้อ 5. ข้อ (ก) และ ข้อ (ข) และ ข้อ (ค) ผิดทัง้สามข้อ

6. คา่ของ 3 2

2

2x 4x2

2xxlim

เทา่กบัเทา่ใด ( ครัง้ที่ 17. มี.ค.59 ) ( ตอบ 9 )


7. คา่ของ x12

x

x2x

2x22

522lim

เทา่กบัเทา่ใด ( ครัง้ที่ 18. ต.ค.59 ) ( ตอบ 12 )

8. คา่ของ 12x

3x3lim

3

1xx

3x

เทา่กบัเทา่ใด ( ครัง้ที่ 19. มี.ค.60 ) ( ตอบ 81 )

9. กําหนดให้ a เป็นจํานวนจริง และ

f(x) =

ax,5x

15

ax,5xx

2

2

ถ้าฟังก์ชนั f มีความตอ่เน่ืองทกุจํานวนจริง x แล้วคา่ของ f(a) + f(–a) เทา่กบัข้อใด ( ครัง้ที่ 19. มี.ค.60 ) ( ตอบ 10 )

จํานวนข้อที่ PAT 1 ( 6 ออกสอบครั้งลุ่ด )...

Documents

Transcript of จํานวนข้อที่ PAT 1 ( 6 ออกสอบครั้งลุ่ด )...