บทท 4 ตวแปรสม

เมอเราเกบรวบรวมขอมลเรยบรอยแลวไมวาขอมลนนจะเปนขอมลเชงคณภาพ หรอ

ขอมลเชงปรมาณ เมอตองการทราบโอกาสทจะเกดเหตการณทสนใจโดยพจารณาจากขอมลในอดต เราจะหาคาความนาจะเปนโดยวธสงเกตจาการทดลอง หรอหาคาความถสมพทธ ซงความนาจะเปนของเหตการณตาง ๆ จะขนอยกบขอมลทเกบรวบรวมมา แตในความเปนจรงขอมลทเราสนใจมคาทเปนไปไดมากกวาทเราเกบรวบรวมมา ดงนนถาตองการทราบความนาจะเปนของเหตการณทนอกเหนอจากขอมลทเกบรวบรวมมาจะท าตองหาความนาจะเปนของตวแปรสมตอไป

ความหมายของตวแปรสม

ตวแปรสม (random variable) หมายถงตวแปรทก าหนดขนมาแทนคาทเปนไปไดทงหมดของขอมลทสนใจซงมคาเปลยนแปลงได มกแทนดวยตวอกษรภาษาองกฤษพมพใหญ เชน X, Y, … และจะแทนคาของตวแปรสมดวย x,y,… ดงตวอยางตอไปน ตวอยาง 4.1 การก าหนดตวแปรสมแทนขอมลทเกบรวบรวม

1. ขอมลทเกบรวบรวม คอ จ านวนลกคาทเขามาซอสนคาในชวงเวลา 12.00 น. ให X เปนตวแปรสมแทนจ านวนลกคาทเขามาซอสนคาในชวงเวลา 12.00 น. x = 0, 1, 2, …. 2. ขอมลทเกบรวบรวมคอจ านวนวนทรานอาหารเวยดนามเปดขายในเดอนมกราคม ให X เปนตวแปรสมแทนจ านวนวนทรานอาหารเวยดนามเปดขายในเดอนมกราคม x = 0, 1, 2, 3, … , 31 3. ขอมลทเกบรวบรวมคออายผปวยชายทไดรบเชอเอดสในประเทศไทย ให X เปนตวแปรสมแทนอายผปวยชายทไดรบเชอเอดส x > 0 4. ขอมลทเกบรวบรวมคอระยะทางทรถยนตวงไดตอน ามน 40 ลตร ให X เปนตวแปรสมแทนระยะทางทรถยนตวงตอน ามน 40 ลตร x > 0

102

จากตวอยาง 4.1 จะเหนวาคาของตวแปรสมนนมคาทแตกตางกน ตวแปรสม 1 และ 2 จะมคาเปนคา ๆ จ านวนจ ากด หรอไมจ ากดกไดโดยทวไปจะเปนจ านวนนบ หรอทเรยกวามคาไมตอเนอง แตในตวแปรสม 3 และ 4 จะมคาเปนชวง ๆ ไมสามารถนบจ านวนได หรอทเรยกวามคาตอเนอง ดงนนตวแปรสมจงแบงออกเปน 2 ประเภท คอ

1. ตวแปรสมแบบไมตอเนอง หรอแบบจด (discrete random variable) 2. ตวแปรสมแบบตอเนอง (continuous random variable) การน าขอมลทเกบรวบรวมไปท านายเหตการณในอนาคต เรยกวาการหาคาความ

นาจะเปนของตวแปรสม เชน ตองการทราบวาในชวงเวลา 12.00 น. ความนาจะเปนทจะมจ านวนลกคาเขามาซอ

สนคาอยางนอย 20 คน เทากบเทาใด นนคอ ตองการทราบคา P(X 20) ตองการทราบวาผชายทมอายในชวง 20 - 45 ป มโอกาสทจะไดรบเชอเอดสมากนอย

เพยงใด นนคอ ตองการทราบคา P(20 X 45 ) การหาคาความนาจะเปนของตวแปรสมแบบไมตอเนอง และแบบตอเนองนน จะม

วธการหาคาทแตกตางกน ซงในเอกสารฉบบนจะขอกลาวแตวธการหาคาความนาจะเปนของตวแปรสมแบบตอเนองเทานน

การหาคาความนาจะเปนของตวแปรสมแบบตอเนองนนสามารถหาไดจากการแจกแจงแบบตาง ๆ ซงเรยกวาการแจกแจงแบบตอเนอง ตอไปน

การแจกแจงแบบปกต (Normal Distribution)

การแจกแจงแบบปกตเปนการแจกแจงของตวแปรสมแบบตอเนองทส าคญในทางสถต ซงมการประยกตใชในชวตประจ าวนมากมาย ขอมลธรรมชาตหรอการทดลองในดานตาง ๆ เชน น าหนก ความสง ระยะทาง คะแนน รายได ผลก าไร เปนตน สวนใหญจะมการแจกแจงแบบปกต หรอใกลเคยงปกต

ถา X เปนตวแปรสมแบบตอเนองทมการแจกแจงแบบปกต ดวยคาเฉลย ความแปรปรวน 2 แลวฟงกชนความหนาแนนของ X คอ

f x e x

x

( ) ,

1

2

1

2

2

โดยท ...71828.2e,...14159.3,0, 2

103

โดยทวไปจะใชสญลกษณ X N~ ( , ) 2 แทน ตวแปรสม X มการแจกแจงแบบปกต

ดวยพารามเตอร และ 2 ถาเขยนกราฟของฟงกชนความหนาแนนของ X เมอ X N~ ( , ) 2 จะ

ไดกราฟลกษณะ ดงน

จะเหนวาลกษณะของกราฟเปนรประฆงคว า และโดยทวไปนยมเรยกกราฟของ f(x) ของการแจกแจงแบบปกตวาโคงปกต (normal curve)

1. คณสมบตของโคงปกต

1. พนทใตเสนโคงปกตมคาเทากบ 1 และมแกนสมมาตรทคาเฉลย จงท าใหพนทใตกราฟของ f(x) ทอยทางขวาของ เทากบพนทใตกราฟ f(x) ทอยทางซายของ

2. คาเฉลย = มธยฐาน = ฐานนยม 3. ปลายเสนโคงปกตจะคอย ๆ ลาดเขาสแกน X แต ไมสมผสแกน X ดงนนการหาคาความนาจะเปนของตวแปรสม X เชน P(X≤x) P(X>x) หรอ

P(x1≤X≤x2) คอการหาคาพนทใตโคงการแจกแจงของตวแปรสม X ดงน

f(x)

P(X>x)

P(x1≤X≤x2)

P(X≤x)

104

เชน ถา X~N(5,9) นนคอ 5 และ 92 ฟงกชนความหนาแนนของ X เปน ดงน

f x e

x

( )

1

3 2

1

2

5

3

2

ดงนนการหาคาความนาจะเปนของตวแปรสม X เชน P(X≤7) P(X>8) หรอ

P(4≤X≤6) คอการหาคาพนทใตโคงการแจกแจงของตวแปรสม X~N(5,9) ดงน

2. การหาพนทใตโคงปกต

การหาพนทใตโคงปกตของขอมลมหลายวธ ดงน 2.1 แบงรปทตองการหาเปนสวนเลก ๆ หาพนทแตละสวนแลวน ามารวมกน 2.2 อนทเกรตฟงกชนเสนความหนาแนนของ X ดงน

2.3 เปดตารางสถต

แตเนองจากลกษณะโคงปกตของตวแปรสม X แตละตวจะแตกตางกนออกไป

ขนอยกบคาเฉลย และความแปรปรวน 2 ดงนนถาก าหนดคา และ 2 ตางกนไปจะไดรปกราฟทแตกตางกน ดงน

P(X>8)

P(4≤X≤6)

P(X≤7)

105

ดงนนเพอความสะดวกในการหาความนาจะเปนของตวแปรสม X จงตองแปลงคาของตวแปรสม X N~ ( , )

2 ใหเปนคาของตวแปรสม )1,0(N~Z 2 เสยกอน

ถาตวแปรสม ),(N~X 2 จะไดวา ตวแปรสม ZX

จะมการแจกแจงแบบ

ปกตดวยคาเฉลย 0 และความแปรปรวน 21 หรอใชสญลกษณ Z N~ ( , )0 1 และเรยกการ

แจกแจงของตวแปรสม Z วาการแจกแจงแบบปกตมาตรฐาน (standard normal distribution) ฟงกชนความหนาแนนของ Z N~ ( , )0 1 จะเปน ดงน

xezfz

,2

1)(

2

2

1

ลกษณะของโคงปกตมาตรฐาน (standard normal curve) เปนดงน

จากรป สงเกตเหนวาจดยอดของโคงปกตมาตรฐานเกดขนทจด Z=0 ส าหรบคาความนาจะเปนของตวแปรสม Z หรอ P(Zz) ซงมคาเทากบพนทแลเงาในรปขางตนสามารถหาไดจากตารางการแจกแจงแบบปกตมาตรฐาน เชนจากตารางจะพบวา P(Z0.06 ) = 0.5239 เปนตน

P(Zz)

106

3. การเปดตารางการแจกแจงแบบปกตมาตรฐานเพอหาความนาจะเปน

3.1 รปแบบ 1 P(Z z) หรอพนททางซายของคา z ทเปนบวก เชน

P(Z 1.96) = ? P(Z 1.96) = 0.9750

3.2 รปแบบ 2 P(Z > z) หรอพนททางขวาของคา z ทเปนบวก เชน

P(Z > 2.06) = ? P(Z > 2.06) = 1 – P(Z ≤ 2.06)

= 1 – 0.9803 = 0.0197

3.3 รปแบบ 3 P(Z –z ) หรอพนททางซายของคา z ทเปนลบ เชน

P(Z –1.96) = ? P(Z –1.96) = P(Z 1.96) = 1 – P(Z 1.96) = 1 – 0.9750 = 0.0250

3.4 รปแบบ 4 P(Z > –z) หรอพนททางขวาของคา z ทเปนลบ เชน

P(Z –1.96) = ? P(Z –1.96) = P(Z 1.96) = 0.9750

107

3.5 รปแบบ 5 P(z1 ≤ Z ≤ z2) หรอพนทระหวางคา z ทเปนบวก เชน

P(0.84 Z 2.45) = ? P(0.84 Z 2.45) = P(Z 2.45) – P(Z 0.84) = 0.9929 – 0.7995 = 0.1934

3.6 รปแบบ 6 P(–z1 ≤ Z ≤ –z2) หรอพนทระหวางคา z ทเปนลบ เชน

P(–2.84 Z –1.45) = ? P(–2.84 Z –1.45) = P(1.45 Z 2.84 )

= P( Z 2.84 ) – P( Z 1.45 ) = 0.9977 – 0.9265 = 0.0712

3.7 รปแบบ 7 P(–z1 ≤ Z ≤ z2) หรอพนทระหวางคา z ทเปนบวกกบลบ เชน

P(–1.50 Z 1.00) = ? P(–1.50 Z 1.00) = P( Z 1.00 ) – P( Z –1.50 ) = 0.8413 – P( Z 1.50 ) = 0.8413 – [ 1 – P( Z 1.50 )] = 0.8413 – [ 1– 0.9332 ] = 0.7745

หมายเหต เนองจากการแจกแจงแบบปกตเปนการแจกแจงของตวแปรสมแบบตอเนอง และ P(X=x) = 0

ดงนน P(X ≤ x) = P(X<x)+P(X=x) = P(X<x)+0 P(X ≤ x) = P(X<x)

P(X x) = P(X>x)+P(X=x) = P(X>x)+0 P(X x) = P(X>x)

108

P(x1≤ X ≤x2) = P(Xx1)+P(X≤x2) = P(X>x1)+P(X<x2) P(x1≤ X ≤x2) = P(x1<X<x2)

ตวอยาง 4.2 ก าหนดให X ~ N( 50,100 ) จงหา

1. P( X 60 ) 2. P( X > 72 ) 3. P( 20 X 80 ) 4. P(X ≤ 62.68 )

1. P( X 60 ) =

10

5060ZP

= P( Z 1.00 ) = 0.8413

2. P( X > 72 ) =

5072ZP

= P( Z > 2.2 ) = 1 - P( Z 2.2 ) = 1 - 0.9861 = 0.0139

3. P( 20 X 80 ) = P Z20 50

10

80 50

10

= P( -3 Z 3 ) = P( Z 3 ) - P( Z -3 ) = 0.9987 - P( Z > 3 ) = 0.9987 - [ 1 - P( Z 3 ) ] = 0.9987 - ( 1 - 0.9987 ) = 0.9987 - 0.0013 = 0.9974

109

4. P(X ≤ 62.68 ) =

10

506862ZP

.

= P(Z ≤ 1.268) เนองจาก P(Z ≤ 1.26) = 0.8962 P(Z ≤ 1.268) = 0.8962 + ? (ใชวธการเทยบบญญตไตรยางค) P(Z ≤ 1.27) = 0.8980 คา z เพมขน 0.01 คาความนาจะเปนเพมขน 0.0018

คา z เพมขน 0.008 คาความนาจะเปนเพมขน 010

001800080

.

.. = 0.00144

ดงนน P(Z ≤ 1.268) = 0.8962 + 0.00144 = 0.89764 หมายเหต จากตวอยางขางตนจะเหนวาไมวาตวแปรสม X จะมคาเปนเทาใด เมอแปลงมาเปนคาของตวแปรสม Z ถงแมไมมคา z ในตารางกสามารถหาคาความนาจะเปนไดเสมอ

4. หลกการประยกตใชตารางการแจกแจงแบบปกตมาตรฐาน

เพอใหการประยกตใชตารางการแจกแจงแบบปกตมาตรฐานนนงายตอการท าความเขาใจ จงขอสรปเปนขนตอน ดงน

1. ก าหนด X เปนตวแปรสมแบบตอเนองแทนขอมลทสนใจ ได ),(~ 2NX 2. ตองการหาคา )( xXP หรอ )( xXP หรอ )( 21 xXxP 3. แปลง )( xXP หรอ )( xXP หรอ )( 21 xXxP เปน

)( zZP หรอ )( zZP หรอ )( 21 zZzP

โดย

xz

4. หาคา )( zZP หรอ )( zZP หรอ )( 21 zZzP 5. สรป และแปลความหมาย

110

ตวอยาง 4.3 โรงงานแหงหนงผลตหลอดไฟฟาทมอายการใชงานเฉลย 900 ชวโมง สวนเบยงเบนมาตรฐาน 50 ชวโมง ถาอายการใชงานของหลอดไฟมการแจกแจงแบบปกต จงหาความนาจะเปนทหลอดไฟจะมอายการใชงาน 800 ถง 1000 ชวโมง วธท า ให X เปนตวแปรสมแทนอายการใชงานของหลอดไฟ

ดงนน )2500,900(N~X 2 หรอ )2500,900(N~X

P( 800 X 1000 ) = P x800 900

50

1000 900

50

= P( -2 Z 2 ) = P( Z 2 ) - P( Z -2 ) = 0.9772 - ( 1 - 0.9972 ) = 0.9972 - 0.0228 = 0.9544 หมายความวาโอกาสทหลอดไฟจะมอายการใชงาน 800 ถง 1000 ชวโมงเทากบ

95.44%

ตวอยาง 4.4 จากมาตรฐานอตสาหกรรมในการผลตอปกรณอเลกทรอนกสชนดหนงจะตองมเสนผานศนยกลางเปน 4.96 ถง 5.08 ม.ม. นอกนนถอวาเปนอปกรณช ารด นาย ก เปนผจดการของโรงงานทผลตอปกรณอเลกทรอนกสชนดนนตองการทราบวาอปกรณอเลกทรอนกสทโรงงานผลตนนมโอกาสอยในเกณฑมาตรฐานมาก นอยเพยงใด จงสมตวอยางอปกรณอเลกทรอนกสมา 200 ชน ปรากฏวาคาเฉลยของเสนผานศนยกลางเปน 5.02 ม.ม. และสวนเบยงเบนมาตรฐานเปน 0.05 ม.ม. จงตอบค าถามของนาย ก วธท า ให X เปนตวแปรสมแทนเสนผานศนยกลางของอปกรณอเลกทรอนกส

ดงนน )0025.0,02.5(N~X

08.5X96.4P =

05.0

02.508.5x

05.0

02.596.4P

= 2.1Z2.1P = 22.1Z0P = 2)5.02.1ZP( = 0.7698 หมายความวาอปกรณอเลกทรอนกสทโรงงานผลตมโอกาสอยในเกณฑมาตรฐาน

76.98%

111

ตวอยาง 4.5 ในการผลตบะหมกงส าเรจรปชนดหนง น าหนกบรรจของบะหมกงส าเรจรปจะมการแจกแจงแบบปกต ดวยน าหนกเฉลย 60 กรม ความแปรปรวน 0.09 กรม2

1. ทางฝายผลตจะสงบะหมออกจ าหนายถาบะหมมน าหนก 59.5–60.5 กรม ถาบะหมมน าหนกนอกเหนอจากนตองถกน ากลบมาบรรจใหม อยากทราบวาในการผลตบะหมกงส าเรจรปของบรษทแหงนมโอกาสทจะตองน าบะหมกลบมาบรรจใหมก %

2. ทางฝายผลตตองการสมบะหมขนมาตรวจ จ านวน 500 หอ จะมบะหมกหอทบรรจไมไดน าหนกทตองการ วธท า ให X เปนตวแปรสมแทนน าหนกบะหมกงส าเรจรป ดงนน X~N(60,0.09)

P(ไมตองน าบะหมกลบมาบรรจใหม) = P(59.5 ≤ X ≤ 60.5) P(ตองน าบะหมกลบมาบรรจใหม) = 1 - P(59.5 ≤ X ≤ 60.5)

=

30

60560Z

30

60559P1

.

.

.

.

= 671Z671P1 .. = 50671ZP21 .. = 509525021 .. = 4525021 . = 0950.

ในการผลตบะหมของบรษทน มโอกาสตองน าบะหมกลบมาบรรจใหม 9.5% ถาสมบะหมมาตรวจจ านวน 500 หอ จะมบะหมทบรรจไมไดน าหนกตามตองการ

47.5 หอ

5. การเปดตารางการแจกแจงแบบปกตเพอหาคา z

จะเหนวาเมอก าหนด ),(~ 2NX ตองการหา )( xXP เราตองด าเนนการ

แปลง )( xXP เปน )( zZP แลวจงหาคาความนาจะเปน โดย

xz

ในบางครงเราอาจก าหนดคาความนาจะเปนของตวแปรสม X นนคอก าหนด )( xXP หรอ )( zZP มากอน แลวจงยอนกลบไปเพอหาคา x ทสอดคลองกบคาความ

นาจะเปนทก าหนด ดงน

112

จากรป ถาก าหนด 9750.0)( zZP นนคอก าหนดพนทดานซายของคา z เทากบ 0.9750 ซงสอดคลองกบคา z= 1.96 เมอทราบคา z แลวจงแปลงเปน x โดย zx ตวอยาง 4.6 จงหาคา z เมอก าหนดคาความนาจะเปนดงน

1. P(Z ≤ z) = 0.9750 เนองจาก P(Z ≤ 1.96) = 0.9750 ดงนน z = 1.96

2. P(Z > z) = 0.0384 เนองจาก P(Z ≤ z) = 1-.0.0384 P(Z ≤ 1.77) = 0.9616 ดงนน z = 1.77

3. P( 0 Z z ) = 0.4147 เนองจาก P( Z z ) = 0.5 + 0.4147 P( Z z ) = 0.9147 P( Z 1.37 ) = 0.9147 ดงนน z = 1.37

z = ?

113

4. P( -z Z z ) = 0.95 จากรปพนททไมไดแรเงามคาเทากบ 0.05 ดงนนพนทสขาวแตละดานจงเทากบ 0.05/2 = 0.025 ดงนน P( Z z ) = 0.95 + 0.025 P( Z z) = 0.9750 P(Z 1.96) = 0.9750 ดงนน z = 1.96 และ –z = -1.96

5. P( Z > z ) = 0.025 เนองจาก P( Z z ) = 1 – 0.025 P( Z z ) = 0.9750 P( Z 1.96 ) = 0.9750 ดงนน z = 1.96

6. P( Z > z ) = 0.05 คา z ทท าให P( Z z ) = 0.95 จากตารางจะพบวา P( Z 1.64 ) = 0.9495 และ P( Z 1.65 ) = 0.9505

แสดงวา z อยระหวาง 1.64 และ 1.65 จากการเทยบบญญตไตรยางค คาความนาจะเปนเพมขน 0.001 คา z เพมขน 0.01 คาความนาจะเปนเพมขน 0.0005 คา z เพมขน 0050

0010

00050010.

.

..

ดงนนจะไดz = 1.64 + 0.005 z = 1.645

หมายเหต จากตวอยาง 4.6 ขอ 6 จะเหนวาไมวาจะก าหนด P( Z z ) เทากบเทาไรกสามารถหาคา z ทสอดคลองกบ P( Z z ) ไดเสมอ

114

เพอความสะดวกในการหาคา z เมอทราบพนททางขวาของ z ดงน )( zZP สามารถเขยนแทนดวยสญลกษณ z ดงน

เชน ก าหนด 0250zZP .)( สามารถเขยนแทนดวยสญลกษณ 0250z . และ

สามารถแทนดวยรป ดงน

จากตารางการแจกแจงแบบปกตมาตรฐานดานลาง จะได 961z 0250 .. ตวอยาง 4.7 จงหาคา z ตอไปน

1. 05.0z 2. 9750.0z 1. คา 05.0z สามารถเขยนแทนดวยรป

ดงนน 6451z 050 ..

z

)zZ(P

025.0z

025.0)zZ(P

05.0z

05.0)zZ(P

115

2. คา 9750.0z สามารถเขยนแทนดวยรป

ซงมลกษณะตรงขามกบรปทแทนคา 025.0z ดงน

นนหมายความวาคา 9750.0z มคาตรงขามกบคา 025.0z ดงนน จาก 96.1z 025.0 จะไดวาคา 961z 97500 ..

ตวอยาง 4.8 ถา X ~ N(3,16) จงหาคาของ x เมอ P( X x ) = 0.8944

จาก P( X x ) = 0.8944 หมายความวา P( Z z ) = 0.8944 ดวย จากตาราง พบวา P( Z 1.25 ) = 0.8944

ดงนน z = 1.25 จาก zx

x = 1.25(4) + 3 = 8

9750.0z

9750.0)zZ(P

025.0)zZ(P

025.0z

025.0)zZ(P

116

ตวอยาง 4.9 ในการปรบปรงการใหบรการในระบบการลงทะเบยนของมหาวทยาลยแหงหนง ผบรหารตองการใหทางบรษททรบจางท าระบบเสนอระยะเวลาในการใหบรการตอคนใหชดเจน ทางบรษทจงท าการเกบรวบรวมขอมลระยะเวลาในการใหบรการจากตวอยาง 100 คน พบวาระยะเวลาเฉลย 3 นาท สวนเบยงเบนมาตรฐาน 0.08 นาท ทางบรษทตองการใหระยะเวลาทเสนอมความผดพลาดเกดขนเพยง 1 % บรษทควรเสนอระยะเวลาในการใหบรการกนาท วธท า ก าหนด X เปนตวแปรสมแทนระยะเวลาในการใหบรการ จะได

)0064.0,3(N~X ถาบรษทเสนอระยะเวลาในการใหบรการไมเกน x นาท จะตองมโอกาสเกดความ

ผดพลาด 1% นนคอ P(X>x) = 0.01 และ P(Z>z) = 0.01 จะได z = 2.326 จาก

186.3

3)08.0)(326.2(

zx

ดงนนทางบรษทควรเสนอเวลา 3.186 นาท ซงจะมโอกาสเกดความผดพลาดเพยง 1% ตวอยาง 4.10 ถายอดขายประจ าปของนวนยายเรองหนงมการแจกแจงแบบปกตแตไมทราบคาเฉลยเลขคณตและสวนเบยงเบนมาตรฐาน อยางไรกตามจากขอมลทเกบมาทราบวารอยละ 40 ของทงหมดมยอดขายเกน 470,000 บาท และรอยละ 10 ของทงหมดมยอดขายเกน 500,000 บาท แลวคาเฉลยเลขคณตและสวนเบยงเบนมาตรฐานของยอดขายควรมคาเทาใด วธท า ก าหนด X เปนตวแปรสมแทนยอดขายประจ าปของนวนยายเรองหนง

จาก รอยละ 40 ของทงหมดมยอดขายเกน 470,000 บาท นนคอ 4002530zP000470XP .).(),( และ

2530000470

.,

หรอ

0004702530 ,. ....................สมการ 1 และ รอยละ 10 ของทงหมดมยอดขายเกน 500,000 บาท นนคอ

1002821zP000500XP .).(),( และ

2821000500

.,

หรอ

0005002821 ,. ....................สมการ 2

117

จากสมการ 1 และ 2 แกสมการเพอหาคา และ จะได 9064462623. และ 5229154.

หมายความวานวนยายเรองนมยอดขายประจ าปเฉลย 462,623.9064 บท และสวนเบยงเบนมาตรฐานของยอดขายเทากบ 29,154.52 บาท

การแจกแจงแบบ t ( The t Distribution )

ในบางครงนนเราไมทราบความแปรปรวน 2 ของประชากรทเราสมตวอยางมา ถา

ในกรณทตวอยางมขนาดใหญ ( n30 ) คา 1n

xx

s

n

1i

2i

2

)( จะเปนตวประมาณทดส าหรบคา 2

ดงนน เราจงใช s2 แทน 2 ได และ s

xZ

ยงคงมการแจกแจงแบบปกตมาตรฐาน แตถา

ตวอยางมขนาดเลก ( n < 30 ) s2 จะไมใชตวประมาณทดของ 2 อกตอไป และ s

xZ

กจะ

ไมใชตวแปรสม Z ทมการแจกแจงแบบปกตมาตรฐานอกตอไป แต s

x จะเปนตวแปรสม T ทม

การแจกแจงแบบ t หรอ Student’s t Distribution การแจกแจงของตวแปรสม T มลกษณะคลายการแจกแจงของตวแปรสม Z โดยทเสน

โคงของการแจกแจงแบบ t จะมลกษณะเปนแบบระฆงคว า และมสมมาตรทจด 0 แตการแจกแจงแบบ t จะมการเปลยนแปลงมากกวา เนองจากคาของตวแปรสม T ขนอยกบการเปลยนแปลงของ x และ s2 ในขณะทการแจกแจงของตวแปรสม Z ขนอยกบการเปลยนแปลงของ x การแจกแจงของ T แตกตางจาก Z ตรงทความแปรปรวนขนอยกบขนาดตวอยาง n ซงมกจะมคามากกวา 1 เสมอ แตเมอตวอยางมขนาดใหญ ( )n การแจกแจงทงสองแบบมลกษณะเหมอนกน ดงน

118

ดงนนถา X เปนตวแปรสม และ s2 เปนความแปรปรวนของตวอยางสมขนาด n ซงสมมาจากประชากรทมการแจกแจงแบบปกตทมคาเฉลย และความแปรปรวน 2 ซงไมทราบคา จะ

ไดวา s

xxT

จะมการแจกแจงแบบ t ดวยองศาแหงความมอสระ (degree of freedom) เทากบ

n-1 เขยนแทนดวยสญลกษณ 1~ ndftT ส าหรบการค านวณหาคา P(T t) สามารถหาไดจากตารางการแจกแจงแบบท ซงให

คา t และ P( T t ) ดงน

เชน ถา 16~ dftT แลว จากตารางการแจกแจงแบบทจะพบวา P(T1.476 ) = 0.9 เปนตน ตวอยาง 4.11 ใหตวแปรสม T มการแจกแจงแบบ t โดยท df เทากบ 16 จงหา

1. P( T < 2.12 ) 2. P( T -2.21 ) 3. P( -2.120 T 2.583 )

1. P( T < 2.12 ) = P( T 2.12 ) = 0.975 2. เนองการโคงการแจกแจงแบบ t มสมมาตรทจด 0 ดงนน

P( T -2.12 ) = P( T > 2.12 ) = 0.025 3. P( -2.120 T 2.583 ) = P( T 2.583 ) - P( T -2.120 )

= 0.99 - 0.025 = 0.965

P(T t)

t

119

ตวอยาง 4.12 ถา 35dftT ~ จงหา 1. P(T ≤ 1.96) 2. P(T ≤ 1.645) 1. P(T ≤ 1.96)

จาก P(T ≤ 1.96) = 0.9750 ขอสงเกต P(Z ≤ 1.96) = 0.9750

2. P(T ≤ 1.645)

จาก P(T ≤ 1.645) = 0.950 ขอสงเกต P(Z ≤ 1.645) = 0.950

หมายเหต จะเหนวาเมอตวอยางขนาดใหญขน นนคอ n > 30 คาความนาจะเปนจากโคงการแจกแจงแบบท จะมคาเขาใกลคาความนาจะเปนจากโคงการแจกแจงแบบปกตมาตรฐาน ดงนน

ถา n ≤ 30 การหา P(T ≤ t) หาจากตารางการแจกแจงแบบท ถา n > 30 การหา P(T ≤ t) = P(Z ≤ z) สามารถหาจากตารางการแจกแจงแบบปกต

มาตรฐานแทนได

การหาคา t จะมลกษณะคลายกบการหาคา z และมกแทนคา t ดวยสญลกษณ

dft , เมอ คอพนททางขวาของ t ดงน

120

ตวอยาง 4.13 จากตารางการแจกแจงแบบ t จงหา 1. 17,975.0t 2. 10,01.0t 3. 490250t ,. 4. 82050t ,. 5. 79010t ,.

1. ท df = 17 จะได P(T t) = 0.975 P(T 2.11) = 0.975 17,975.0t = - 2.11 2. ท df = 10 จะได P(T t) = 0.90 P(T 2.764) = 0.90 10,01.0t = 2.764 3. 490250t ,. = 1.96 4. 82050t ,. = 1.645 5. 79010t ,. = 2.326 จากตวอยาง 4.13 จะเหนวา 961zt 0250490250 ..,. 6451zt 05082050 ..,. 3262zt 01079010 ..,.

หมายเหต เมอ n > 30 เราสามารถหาคา dft , จากคา z ได

121

ตวอยาง 4.14 สมล าไยกระปองยหอหนงจากล าไยกระปองทมน าหนกเปนการแจกแจงแบบปกตมา 12 กระปอง แลวชงน าหนกแตละกระปอง ปรากฏวาไดน าหนกเฉลย 135 กรม สวนเบยงเบนมาตรฐาน 10 กรม ถาเลอกล าไยมา 1 กระปอง ความนาจะเปนทล าไยกระปองจะมน าหนกมากกวา 149 กรม

ให X เปนตวแปรสมแทนน าหนกล าไยกระปอง

จะได P( X 149) = )10

135149T(P

= P( T 1.4) = 1 – P( T 1.4 ) = 1 – 0.90 = 0.10 โอกาสทล าไยกระปองนนจะมน าหนกมากกวา 149 กรม เทากบ 10%

การแจกแจงแบบไคสแควร (Chi – Square Probability Distribution)

ถา ),(N~X 2 แลว )1,0(N~x

Z

จะได 2

1

22 ~

xZ

(ไคสแควร

องศาแหงความเปนอสระ 1) ถาสมตวอยางขนาด n จะได n321 X,,X,X,X

ดงนน 2n

22 ~

xZ

ถา 2

n~X แลวฟงกชนความหนาแนนของ X

คอ

71828.2e,0x;e

)12

n(2

1)x(f

12

n

2xx

2n

รปกราฟของตวแปรสม X ขนอยกบคาองศาแหงความเปนอสระ ดงน

122

ลกษณะของเสนโคง 2 คอ 1. คา 2 มคาตงแต 0 ถง 2. เสนโคงมลกษณะเบขวาซงขนอยกบองศาแหงความเปนอสระ n 3. ถาองศาแหงความเปนอสระมาก โคง 2 จะคลายกบโคงปกต 4. พนทใตโคงทงหมดเทากบ 1

การหาคาความนาจะเปนของตวแปรสมไคสแควรจาก ฟงกชน f(x) นนจะยงยาก

ดงนนเพอความสะดวกจงหาคา ความนาจะเปนของตวแปรสมไคสแควรจากตารางการแจกแจงแบบไคสแควร ตวอยาง 15 1. จงหาคา )3.18(P 2 ถา 2

102 ~

2. ถา 220

2 ~ จงหาคา a ทท าให 975.0)a(P 2

1. จากตารางการแจกแจงแบบไคสแควร ท df = 10 จะได 95.0)3.18(P 2 2. จากตารางการแจกแจงแบบไคสแควร ท df = 20 จาก 975.0)a(P 2

จะได 975.0)2.34(P 2 a = 34.2

การแจกแจงแบบเอฟ (F Probability Distribution)

ถาสมตวอยาง 2 ชด ขนาด m และ n จากประชากรทมการแจกแจงแบบปกต ทมความแปรปรวน 2

1 และ 2

2 และให 2

1s และ 2

2s เปนความแปรปรวนจากตวอยาง จะไดวา

v,u22

22

21

21 F~

s

sF

( เอฟทองศาแหงความเปนอสระ u , v ) เมอ u = m-1 และ v = n-1

ถา F เปนตวแปรสมทมการแจกแจงแบบ v,uF จะมฟงกชนความหนาแนน ดงน

0f;

v

uf11

2

v1

2

u

fv

u1

2

vu

)f(g

2vu

12

u2u

123

รปกราฟของตวแปรสม X ขนอยกบคาองศาแหงความเปนอสระ ดงน

ลกษณะของเสนโคง F 1. f มคาตงแต 0 ถง 2. เสนโคงจะเบขวา ขนอยกบองศาแหงความเปนอสระ u และ v การหาความนาจะเปนของตวแปรสม F จากฟงกชนความนาแนนนนยงยาก เพอความ

สะดวกจงหาคาความนาจะเปนของตวแปรสม F จากตารางการแจกแจงแบบเอฟ ดงตวอยางตอไปน ตวอยาง 4.16 จงหาคา 20,15,99.0f

จาก 01.0)fF(P 20,15,99.0 จากตาราง F ท 01.0 จะได 09.3f 20,15,99.0

หมายเหต ถา 05.01 คา

21,,1f หาจากตารางไมไดโดยตรง เชน 12,10,05.0f จะตองเปดจากตารางท 95.0 ซงไมม ดงนนการหาคา f ในลกษณะเชนนจะตองหาจากความคณสมบต

12

21

,,,,1

f

1f

ดงนน 344.091.2

1

f

1f

10,12,95.012,10,05.0

124

ตวอยาง 4.17 จงหาคา 24,20,01.0f

จากคณสมบตจะได 35.086.2

1

f

1f

20,24,99.024,20,01.0

ตวอยาง 4.18 จงหาคา 21 f,f ทท าให 90.0)fFf(P 21 และ 05.0)fF(P 1 ทองศาแหงความเปนอสระ 9 และ 15 ตามล าดบ เนองจาก 05.0)fF(P 1 ดงนน 95.090.005.0)fF(P 2 59.2f 15,9,95.0 จะได 332.0

01.3

1

f

1f

9,15,95.015,9,05.0

ดงนน 90.0)fFf(P 21 เมอ 59.2f332.0f 21

การใชโปรแกรมส าเรจรป

การใชไมโครซอฟตเอกเซลในการหาคาจากตารางการแจกแจงแบบปกตมาตรฐานนน ใชฟงกชนในกลมของสถต แบงได 2 กรณ ดงน

1. การหาคาความนาจะเปนของตวแปรสม Z หรอ X

ฟงกชนทใชในการหาคาความนาจะเปนของตวแปรสม Z ในรป P(Z z) ไดแก NORM.S.DIST(z,cumulative)

เมอ z แทนคาตวแปรสม z cumulative แทนการระบคา TRUE เมอตองการคาความนาจะเปน และระบคา

FALSE เมอตองการคาฟงกชน z

ฟงกชนทใชในการหาคาความนาจะเปนของตวแปรสม X ในรป P(X x) ไดแก NORM.DIST(x,mean,standard_dev,cumulative)

เมอ x แทนคาของตวแปรสม x mean แทนคาเฉลยของตวแปรสม X standard_dev แทนคาสวนเบยงเบนมาตรฐานของตวแปรสม X cumulative แทนการระบคา TRUE เมอตองการคาความนาจะเปน และระบคา

FALSE เมอตองการคาฟงกชน x

125

2. การหาคา z หรอ x

ฟงกชนทใชในการหาคา z เมอก าหนดความนาจะเปนในรป P(Z z) ไดแก

NORM.S.INV(probability)

เมอ probability แทนคาความนาจะเปนในรป P(Z z) ฟงกชนทใชในการหาคา x เมอก าหนดความนาจะเปนในรป P(X x) ไดแก

NORM.INV(probability,mean,standard_dev)

เมอ probability แทนคาความนาจะเปนในรป P(X x) mean แทนคาเฉลยของตวแปรสม X standard_dev แทนคาสวนเบยงเบนมาตรฐานของตวแปรสม X

ถาทราบรปแบบของฟงกชนกสามารถพมพฟงกชนหาคาความนาจะเปนทตองการได ดงน

จะไดผลลพธดงน

126

หรออาจใชฟงกชนทางสถตจาก เมน Formulas เชนการหาคา P(Z≤1.85) ดงน ขนตอนท 1 เลอกเมน Formulas เลอก Insert Function ในสวน select a category เลอก Statistical ในสวน Select a function เลอก NORM.S.DIST

127

ขนตอนท 2 ใสคาของ Arguments ในสวน z ระบคา z ในทนคอ 1.85 ในสวน cumulative ระบคา true เลอก OK

สรปทายบท

การก าหนดขอมลทสนใจในรปของตวแปรสมเพอค านวณคาความนาจะเปนของเหตการณทสนใจหรอความนาจะเปนของตวแปรสมนนขนอยกบวาตวแปรสมนนเปนตวแปรสมแบบไมตอเนอง หรอตวแปรสมแบบตอเนอง ในเอกสารฉบบนอธบายเฉพาะการวธหาคาความนาจะเปนของตวแปรสมแบบตอเนอง ซงเปนการหาคาพนทใตโคงการแจกแจงแบบตอเนองแบบตาง ๆ โดยใชตารางการแจกแจงแบบปกตมาตรฐาน ตารางการแจกแจงแบบท เปนตน นอกจากนในการแจกแจงแบบตาง ๆ ถาก าหนดคาความนาจะเปนของตวแปรสมยงสามารถหาคาของตวแปรสมทสอดคลองกบคาความนาจะเปนทก าหนดไดดวย

แบบฝกหดทายบท

1. ใหตวแปรสม Z มการแจกแจงแบบปกตมาตรฐาน จงหา 1.1 P( Z 1.37 ) 1.2 P( Z -1.17 )

128

1.3 P( Z -1.75 ) 1.4 P( Z 1.5 ) 1.5 P( 0 Z 1 ) 1.6 P( -2.50 Z 0 ) 1.7 P( -2 Z 2 ) 1.8 P( Z = 1.4 )

2. ให X ~ N( 80,100 ) จงหา 2.1 P( X 100 ) 2.2 P( 65 X 100 ) 2.3 P( X 70 ) 2.4 P( 85 X 95 )

3. ให Z ~ N(0,1) จงหาคาของ z ทท าใหความนาจะเปนในแตละขอเปนจรง 3.1 P( Z z ) = 0.9838 3.2 P( 0 Z z ) = 0.291 3.3 P( Z z ) = 0.121 3.4 P( Z z ) = 0.95 3.5 P( Z > z ) = 0.975

4. ให X ~ N(20,4) จงหาคาคงท x ทท าใหความนาจะเปนในแตละขอเปนจรง 4.1 P( X x ) = 0.90 4.2 P( X x ) = 0.05

5. คะแนนสอบวชาสถตของนกศกษากลมหนงมการแจกแจงแบบปกต โดยมคะแนนเฉลย 500 คะแนน และสวนเบยงเบนมาตรฐาน 100 คะแนน จงหา 5.1 ความนาจะเปนทนกเรยนคนหนงไดคะแนนต ากวา 375 คะแนน 5.2 ความนาจะเปนทนกเรยนคนหนงไดคะแนนไมต ากวา 400 คะแนน

6. ในประชากรหญงกลมหนง พบวาพลงงานทรางกายตองการซงไดรบจากการบรโภคอาหารใน 1 วน มคาเฉลย2100 แคลอร สวนเบยงเบนมาตรฐาน 200 แคลอร และมการแจกแจงแบบปกต จงหา 6.1 ความนาจะเปนทผหญงคนหนงจะไดรบพลงงาน 2200 ถง 2400 แคลอรใน 1 วน 6.2 ความนาจะเปนทผหญงคนหนงจะไดรบพลงงานนอยกวา 2200 แคลอรใน 1 วน

129

7. สมมตวาความกวางของศรษะของผขบขมอเตอรไซตรบจางมการแจกแจงแบบปกตทมคาเฉลยเลขคณต 22.8 นวและสวนเบยงเบนมาตรฐาน 1.1 นว ในการท าหมวกกนนอคตองท าคราวละมากๆ ใหทกคนใสไดยกเวนผทมความกวางของศรษะเลกเกนไป หรอใหญเกนไป กลมละ 5%ซงจะตองสงเปนพเศษ อยากทราบวาผทมขนาดศรษะเทาใดทจะตองสงหมวกกนนอคเปนพเศษ

8. เครองกดน าอดลมเครองหนงไดถกตงไวใหจายน าอดลมโดยเฉลย 7.00 ออนซ ตอถวยสมมตวาสวนเบยงเบนมาตรฐานของน าอดลมทจายคอ 0.10 ออนซ และปรมาณน าอดลมทจายมการแจกแจงแบบปกตจงหา 8.1 เปอรเซนตทเครองกดน าอดลมนจะจายน าอดลมระหวาง 7.10 ถง 7.25 ออนซ 8.2 เปอรเซนตทเครองกดน าอดลมนจะจายน าอดลมอยางนอย 7.25 ออนซ 8.3 เปอรเซนตทเครองกดน าอดลมนจะจายน าอดลมระหวาง 6.80 ถง 7.25 ออนซ

9. ถาฉลากขางกระปองของแฮมทน าเขามาจากตางประเทศระบวามน าหนก 9.00 ปอนดแตในการตรวจสอบพบวาน าหนกทซงไดมการแจกแจงแบบปกตทมคาเฉลยเลขคณต 9.20 ปอนดและสวนเบยงเบนมาตรฐาน 0.25 ปอนด จงหาวา 9.1 จะมแฮมบรรจกระปองทมน าหนกนอยกวาน าหนกทระบไวบนฉลากในสดสวนเทาใด 9.2 ถาบรษททน าเขาตองการลดสดสวนของแฮมบรรจกระปองทมน าหนกนอยกวาทระบไวบนฉลากโดยมทางเลอกสองทางไดแก

วธท 1 เพมน าหนกโดยเฉลยใหเปน 9.25 ปอนดโดยใหสวนเบยงเบนมาตรฐานมคาคงเดม วธท 2 ลดสวนเบยงเบนมาตรฐานเปน 0.15 ปอนดโดยใหน าหนกเฉลยมคาคงเดม

ทานจะแนะน าใหใชทางเลอกใด 10. บรษทผลตผงซกฟอกแหงหนง ใชเครองจกรในการบรรจผงซกฟอกโดยใชหลกการควบคมคณภาพเชงสถต เพอไมใหผงซกฟอกในแตละกลองมากกวาหรอนอยกวาน าหนกทก าหนดไวมากเกนไป จากประสบการณการผลตทราบวา น าหนกผงซกฟอกมการแจกแจงปกตดวยน าหนกเฉลยเทากบ 7 กก. และสวนเบยงเบนมาตรฐานเทากบ 0.4 กก.

10.1 จงหาความนาจะเปนทสมผงซกฟอกมากลองหนงจะหนกเกน 6.5 กก. 10.2 ถามผงซกฟอกจ านวน 25% ของจ านวนทงหมดหนกกวาน าหนกทก าหนดไวคาหนง จง

หาน าหนกทก าหนดนน 10.3 ถาทานซอผงซกฟอกจากบรษทดงกลาว จ านวน 10 กลอง จงหาความนาจะเปนทจะได

ผงซกฟอกน าหนกเกน 7 กก. จ านวน 5 กลอง 10.4 ถาผลตผงซกฟอกจ านวน 200 กลอง จงหาความนาจะเปนทจะไดผงซกฟอกทมน าหนก

นอยกวา 7.93 กก. จ านวน 15 กลอง

130

11. จากตารางการแจกแจงแบบท จงหา 11.1 17,975.0t 11.2 10,01.0t 11.3 49,05.0t 11.4 18,025.0t 11.5 คา t ทท าให 9.0)tTt(P ทองศาแหงความเปนอสระ 23

12. จากตารางการแจกแจงแบบไคสแควร จงหา 12.1 2

28,975.0

12.2 215,005.0

12.4 คา a ทท าให 05.0)a(P 2 ทองศาแหงความเปนอสระ 16

13. จากตารางการแจกแจงแบบเอฟ จงหา 13.1 24,20,01.0f 13.3 20,18,99.0f