จํานวนนับ (Natural Numbers)jessada/BUSINESS/BusinessI_02.pdf ·...

จํานวนนับเปนระบบจํานวนแรกที่มนุษยใชในประวัติของ

มนุษยชาติโดยทั่วไปจํานวนนับจะหมายถึง

1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,…,99,100,101,…,999,1000,1001,…

และมักใชสัญลักษณ แทนเซตของจํานวนนับN

จํานวนนับ (Natural Numbers)

หมายเหตุ จะไดกลาวถึงเนื้อหาเรื่องเซตอยางละเอียดในภายหลัง

คุณสมบัติของจํานวนนับ

•คุณสมบัตปิดการบวก

จํานวนนับสองจํานวนบวกกัน ยังเปนจํานวนนับ

•คุณสมบัตกิารเปลี่ยนกลุมการบวก

ให a,b,c แทนจํานวนนับใดๆ

a b+ ∈N

( ) ( )a b c a b c+ + = + +

•คุณสมบัตกิารสลับที่การบวก

•คุณสมบัตปิดการคูณ

จํานวนนับสองจํานวนคูณกัน ยังเปนจํานวนนับ

•คุณสมบัตกิารเปลี่ยนกลุมการคูณ

a b b a+ = +

( ) ( )ab c a bc=

ab∈N

•คุณสมบัตกิารสลับที่การคูณ

•คุณสมบัตกิารกระจาย

ab ba=

( )( )a b c ab ac

a b c ac bc

+ = +

+ = +

จํานวนนับมีคุณสมบัติปดการลบกันหรือไม?

(จํานวนนับลบกนัยังเปนจาํนวนนบัหรือไม?)

คุณสมบัติของจํานวนนับและ 0

ให a แทนจํานวนใดๆ ใน {0}∪N•คุณสมบัติเอกลักษณการบวก

•คุณสมบัติเอกลักษณการคูณ

•0 คูณกับจํานวนใด ได 0

0 0a a a+ = + =

1 1a a a= =

0 0 0a a= =

มีคุณสมบัติปดการลบกันหรือไม?{0}∪N(จํานวนนับรวมหรือศูนยลบกันยังคงเปนจํานวนนับหรือศูนยหรือไม?)

จํานวนเต็ม เปนระบบจํานวนที่พัฒนามาจากระบบจํานวนนบั

…,-3,-2,-1,0,1,2,3,…

และมักใชสัญลักษณ แทนเซตของจํานวนเต็มZ

จํานวนเต็ม (Integer Numbers)

คุณสมบัติของจํานวนเต็มให a,b,c แทนจํานวนเต็มใดๆ


จํานวนเต็มสองจํานวนบวกกัน ยังเปนจํานวนเต็ม




จํานวนเต็มสองจํานวนคูณกัน ยังเปนจํานวนเต็ม




•คุณสมบัติเอกลักษณการบวก



0 0a a a+ = + =

1 1a a a= =

0 0 0a a= =

•คุณสมบัตปิดการลบ

•การดําเนินการผกผันภายใตการบวก

ให a,b แทนจํานวนเต็มใดๆ

a b− ∈Z

( ) 0a a a a+ − = − =

0 0− =

Z

1,2,3,…0

…,-3,-2,-1

เอกลักษณการบวกจํานวนลบ

…<-3<-2<-1<0<1<2<3<…

การเปรียบเทียบจํานวนเต็ม

จํานวนบวก

•กฎไตรวิภาค (Trichotomy law)

22 21− − =

1,2,3,…


x 1,2,3,…


1,2,3,…


…,-3,-2,-1

จํานวนลบ

x …,-3,-2,-1


1,2,3,…


1,2,3,…


x

…,-3,-2,-1


x

…,-3,-2,-1


…,-3,-2,-1


…,-3,-2,-1


1,2,3,…


22 21− × − =

22 21− × =

22 21× − =

ไมควรเขียนอยางนี้!!!

( ) ( )22 21− × − =

22 21− × =

( )22 21× − =

มีคุณสมบัติปดการหารกันหรือไม?Z(จํานวนเต็มหารกันยังคงเปนจํานวนเต็มหรือไม?)

จํานวนเต็มยังไมมคีุณสมบตัิปดการหาร แตเราสนใจที่จะหาร

จํานวนเต็ม โดยการพิจารณาวาหารแลวไดจํานวนเต็มเทาใด

เหลือเศษหรือไม แลวเศษนัน้มีคาเทาใด

ถา a และ b เปนจํานวนเต็มใดๆ ที่ แลว เราจะเรียกวา

a หารดวย b ลงตัว ถา

“สามารถหารจํานวนเต็ม c อีกจํานวนหนึ่ง ซึ่ง b=ac”

และเรียก a วาเปนตัวหาร (divisor) หรือ ตัวประกอบ (factor)

ของ b และใชสัญลักษณแทน a หารดวย b ลงตัวคือ

สําหรับสัญลักษณแทน a หารดวย b ไมลงตัวคือ

0a

การหารลงตัว (Divisibility)

≠

|a b|a b

เศษเหลือ (Remainder)

สําหรับสองจํานวนเต็ม a และ b ใดๆ ซึ่ง a>0 แลว

เราจะสามารถเขียนให b อยูในรูป

ไดเสมอ เมื่อ q เปนจํานวนเต็มใดๆ และ r เปนจํานวนเต็มซึ่ง

เรียก q วา ผลหาร (quotient) และเรียก r วา

เศษเหลือ (remainder)

b aq r= +

0 r a≤ <

182 13 = +

54 10 = +

50 8 − = +

2006 1 = +

2 3 − = +

0 9 = +

จํานวนเฉพาะ (Prime Numbers)

จํานวนเฉพาะ คือ จํานวนเต็มบวก ที่มีคามากกวา 1 และ มี

จํานวนที่สามารถหารลงตัวคือ 1 และตัวจํานวนนั้นเอง

ตัวอยางจํานวนเฉพาะเชน

2,3,5,7,13,…,101,...

จํานวนเฉพาะเปนจํานวนคูไดหรือไม?

จํานวนใดตอไปนี้ไมใชจํานวนเฉพาะ

1.)293

2.)487

3.)661

4.)835

5.)997

ห.ร.ม หรือ หารรวมมาก

GCD or Greatest Common Divisor

ห.ร.ม ของจํานวนเต็มบวก a และ b หมายถึง จํานวน

เต็มที่มากที่สุดที่หารทั้ง a และ b ลงตัว

385 = 105*3 + 70

105 = 70*1 +35

70 = 35*2 +0

หารลงตัว

ห.ร.ม.

การหาห.ร.ม.ของ 385 และ 105 โดย

ระเบียบวิธีของ Euclid (Euclidean Algorithm)

ระเบียบวิธีของ Euclid (Euclidean Algorithm)

การหาห.ร.ม.ของ 252 และ 198 โดย

จงหาห.ร.ม.ของ 555 และ 629

แบบฝกหัด

เฉลย 37

ค.ร.น. หรือ คูณรวมนอย

LCM or Least Common Multiplier

ค.ร.น. ของจาํนวนเต็มบวก a และ b หมายถึง

จํานวนเต็มที่นอยที่สุดที่ทั้ง a และ b หารลงตัว

ทฤษฎีบท ถา a และ b เปนจํานวนเต็มบวกใดๆ แลว และ

c เปนห.ร.ม. ของ a และ b จะไดวา

ค.ร.น. = ab .ห.ร.ม.

จงหาค.ร.น.ของ 385 และ 105

1115

2. จงเรียงลําดับคาตอไปนี้จากนอยไปมาก

912

1318


1. จงหาค.ร.น. และ ห.ร.ม. ของ 105,120,150

จํานวนตรรกยะ เปนระบบจํานวนที่พัฒนามาจากระบบจํานวนเตม็

โดยขยายแนวคดิใหสามารถใชการหาร (ผกผันการคูณ) ได

และมักใชสัญลักษณ แทนเซตของจํานวนตรรกยะQ

จํานวนตรรกยะ (Rational Numbers)

จํานวนตรรกยะ คือ จํานวนที่สามารถถูกเขียนไดในรูปเศษสวน

ของเศษซึ่งเปนจํานวนเต็ม และ สวนซึ่งเปนจํานวนเต็มทีไ่มเปน

ศูนย เชน

0 11 11 11 22 6, , , , , , ...9 3 3 3 6 22

−−

−

ในบางครั้งเราอาจจะเขียนจํานวนตรรกยะในรูปของทศนิยมก็ได

เชน

1 0.52=

1 0.333...3

− = −2 0.45=

จงเขียน ใหอยูในรูปทศนิยม185

จํานวนตรรกยะ คือ สามารถถูกเขียนไดในรูปของทศนิยมซ้าํ

ไดเสมอ เชน

43 6.1428571428571428571428571428571...7

=

6.142857=

1 0.333... 0.33

− = − = −

17 1.1333... 1.1315

= =


จงเขียนเศษสวนตอไปนี้ใหอยูในรูปทศนิยมซ้ํา

1.

2.

3.

236

1790

1799

ระวัง !!! การใชสัญลักษณ อาจจะใชในความหมายอืน่ซึ่ง

ไมใช ก็ได และ อยาเขียน หรือกําหนดใหสวนเปน 0

1a

คุณสมบัติของจํานวนตรรกยะที่เพิ่มเติมจากจํานวนเต็ม

ให a,b แทนจํานวนตรรกยะใดๆ

สําหรับทุกๆ จะสามารถหา0a ≠

−

(ผกผนัการคูณ) ซึ่ง

1 1 1aa a a− −= =

สําหรับผกผันการคูณ เรานิยมเขียนแทน ดวย1a− 1a

1a

10

1a−

2 2 1 2 2(2 2 )2 2 2 2

x y x yx y x y+= + = + = +

ขอควรจํา

(2 )(2 ) 1 1(2 )(2 ) ( 2 )(2 ) (2 ) 22 2 2

1 (2 )( 2 ) (2 ) 22

x y x y x y x y xy

x y x y xy

= = = =

= = =

การกระจาย

การเปลี่ยนกลุมการคูณการสลับที่

ทฤษฎีบทของพีทากอรัส

ถา a,b และ c เปนความยาวของดานของสามเหลี่ยม

มุมฉาก ซึ่ง c เปนดานที่อยูตรงขามมุมฉากแลว

2 2 2a b c+ =

2a

2b

2c

จงหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมมุมฉาก ซึ่งมีความยาวดานประกอบ

มุมฉากดานหนึ่งยาว 6 หนวย และ ความยาวดานตรงขามมุม

ฉากยาว 10 หนวย

พบวาถา a=1 ,b=1 จะไมสามารถหาจํานวนตรรกยะ

c ใดๆ ที่ 2 2 2 2 21 1 2c a b= + = + = ได

ระวัง !!!ไมจําเปนวาความยาวดานประกอบมุมฉาก

เปนจํานวนเต็มแลวความยาวดานตรงขามมุมฉาก

จะตองเปนจํานวนเต็ม

ชาวอียิปตในสมัยโบราณ คนพบวา

“อัตราสวนระหวางเสนรอบวงกลมกับเสนผาน

ศูนยกลางตองเปนคาคงตัวเสมอ”

แตไมสามารถเขียนคาอัตราสวนนั้นในรูปแบบ

ของจํานวนตรรกยะได

และเรียกอัตราสวนของเสนรอบวงตอเสนผานศูนยกลางวา

(Pi พาย)

จํานวนอตรรกยะ เปนจํานวนที่แตกตางจากจํานวนตรรกยะคือ

ไมสามารถถูกเขียนไดในรูปของเศษสวนของจํานวนเต็ม หรือ

ทศนิยมซ้ําได

จํานวนอตรรกยะ (Irrational Numbers)

ตัวอยางจํานวนอตรรกยะ

2 , 3, 5, ...

1sin1, cos 0.5, tan , ...4

,e π

2ln 2, log 2,...

จํานวนอตรรกยะมีคุณสมบัติเหลานี้หรือไม

•คุณสมบัตปิดการบวก?

•คุณสมบัตกิารสลับที่การบวก?

•คุณสมบัตกิารเปลี่ยนกลุมการบวก?

•คุณสมบัตปิดการคูณ?

•คุณสมบัตกิารเปลี่ยนกลุมการคูณ?

•คุณสมบัตกิารสลับที่การคูณ?

เราเรียกเซตของจํานวนที่ประกอบดวยจํานวนตรรกยะ และ

อตรรกยะวา เซตของจํานวนจริง และเรียกสมาชิกในเซตวา

จํานวนจริง นิยมเขียนสัญลักษณ แทนเซตของจํานวน

จริงและ นิยมเขยีนสัญลักษณ แทนเซตของจํานวน

อตรรกยะ

RcQ

จํานวนจริง (Real Numbers)


จํานวนจริงสองจํานวนบวกกัน ยังเปนจํานวนจริง




จํานวนจริงสองจํานวนคูณกัน ยังเปนจํานวนจริง



คุณสมบัติของจํานวนจริง


•คุณสมบัติเอกลักษณการบวก



0 0a a a+ = + =

1 1a a a= =

0 0 0a a= =

•คุณสมบัตปิดการลบ

•การดําเนินการผกผันภายใตการบวก

R

0

เอกลักษณการบวก

จํานวนจริงลบ จํานวนจริงบวก<<

•กฎไตรวิภาค (Trichotomy law)

•คุณสมบัตปิดการหาร (ยกเวน 0)

•การดําเนินการผกผันภายใตการคูณ

เซตยอยของจํานวนจริงที่นาสนใจ

N จํานวนนับ

Z จํานวนเต็ม

Q จํานวนตรรกยะ

cQ จํานวนอตรรกยะ

* \{0}=Z Z จํานวนเต็มแตไมรวม 0

* \{0}=Q Q จํานวนตรรกยะแตไมรวม 0* \{0}=R R จํานวนจริงแตไมรวม 0

+Q+R

จํานวนเต็มบวก (ความหมายเดียวกับจํานวนนับ)

+Z

จํานวนตรรกยะบวก

จํานวนจริงบวก

จํานวนจริง (Real Numbers)

จํานวนจริง เปนระบบที่ถกูสรางขึ้นมาทดแทน ระบบ

จํานวน อื่นๆ (จํานวนนับ จํานวนเต็ม จํานวนตรรกยะ)

โดยที่เราสามารถทําการบวก ลบ คณู หาร เปรียบเทยีบ

คาความมากนอย และมีความตอเนื่อง ดังนั้นจํานวนจริง จึง

เขามามีบทบาทในชีวิตประจําวันของมนุษย เปนอยางมาก

( , )a b =

[ , )a b =

( , ]a b =

[ , ]a b =

[ , )a ∞ =

( , )b−∞ =

( , )a ∞ =

( , ]b−∞ =

ชวงและความหมายของชวง

เสนจํานวน

0 1 2 3 4-4 -3 -2 -1

จุดเริ่มตนทิศทางบวกทิศทางลบ

0 1 2 3 4-4 -3 -2 -1

2 π5−

เซตยอยและชวงบนเสนจํานวน

[ , ]a b a x b= ≤ ≤

a b

ชวงปด


( , )a b a x b= < <

a b

ชวงเปด


[ , )a b a x b= ≤ <

a b

ครึ่งเปด (ครึ่งปด)


( , ]a b a x b= < ≤

a b

ครึ่งเปด (ครึ่งปด)


[ , )a a x∞ = ≤

a

ชวงอนันต


( , )a a x∞ = <

a



( , ]a x a−∞ = ≤

a



( , )a x a−∞ = <

a


สมการ (Equality)

มีการคนพบวาระบบสมการ ถูกสรางขึ้นมาในชวง

สองพันปกอนครสิตกาล เพื่อใชแกปญหาทาง

คณิตศาสตร

(http://en.wikipedia.org/wiki/History_of_mathematics)

สังเกตวาในสมการ จะตองมีเครื่องหมาย “=” เสมอ

เครื่องหมายนี้ถูกใชครั้งแรกโดย Robert Recorde

นักคณิตศาสตรชาว Wales ในปคริสตศักราช 1557(http://en.wikipedia.org/wiki/Equal_sign)

การหาผลเฉลยของสมการ โดยทั่วไปแลว ตองการหาคาของ

ตัวทีไ่มทราบคา (unknowns) ซึ่งอาจจะปรากฎในสมการ

เพียง 1 ตัวหรือมากกวานัน้ก็ได ซึ่งเรามักเรียกตัวไมทราบคาวา

ตัวแปร (variables)

สําหรับการแกสมการอยางงายทาํไดโดยตองการใหทั้งซาย

และขวาของสมการสมดลุกัน แลวพยายามจัดรูปให ตัวแปรที่

เราตองการเหลืออยูเพียง 1 ตัว และ อีกขางหนึ่งของสมการ

เปนตวัเลขที่เราตองการ

2 3 0x − =

2 3 0x + =

2 3 5x − =

2 3 5x− =

2 3 5xx−

=

2 3 4x x+ = +

2 3 4 6x x+ = +

4 8 22 4

xx

+=

+

2 3 3 3x x+ = +

2 3 14 5

xx

+=

+

จํานวนนับ (Natural Numbers)jessada/BUSINESS/BusinessI_02.pdf ·...

Documents

Transcript of จํานวนนับ (Natural Numbers)jessada/BUSINESS/BusinessI_02.pdf ·...