รหสวชา 2204-2004

อาจารยสวทย บตรวาป

อาจารยประจาสาขาวชาพนฐานทวไป

1. นยามของเมทรกซ

นยามท 1 เมทรกซคอ กลมของจานวนจรง หรอ

จานวนเชงซอน มาจดเรยงเปนรปสเหลยมผนผาเปน

แถวตามแนวนอน (Horizontal) และ แนวตง (Vertical)

ซงมแถวตามแนวนอนเรยกวา แถว (Row) และตาม

แนวตงเรยกวา หลก (Column)

โดยทวไปนยมใชในรปตอไปนแทน

=

mnmm

n

n

aaa

aaaaaa

A

21

22221

11211

ใชสญลกษณ เปน หรอ ij m nA a

× = nmA ×

เมทรกซทม 1 แถวและ n หลก เรยก เมทรกซ

แถว เชน

เมทรกซทม m แถวและ 1 สดมภ เรยก เมทรกซ

หลก เชน

[ ]835 −

−835

เมทรกซจตรส (Square Matrix) คอ เมทรกซทม

จานวนแถวเทากบจานวนหลก (m=n) หรอเรยกวา

เมทรกซอนดบ n มรปทวไปคอ

=

nnnn

n

n

aaa

aaaaaa

A

21

22221

11211

สมาชกทอยในตาแหนง i=j เรยก เสนเสนทแยงมมหลก

เมทรกซศนย (Zero Matrix หรอ Null Matrix)

คอ เมทรกซทมสมาชกทกตวเปนศนยหมด เชน

O = หรอ 0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

เมทรกซทแยงมม(Diagonal Matrix) คอเมทรกซ

จตรสทมสมาชกทกตวทไมไดอยบนเสนทแยงมมหลก

มคาเปนศนยทงหมด เชน

2 0 0

0 3 0

0 0 4

4 0 0 0

0 3 0 0

0 0 2 0

0 0 0 1

หรอ

เมทรกซเชงสเกลาร(Scalar Matrix) คอเมทรกซ

ทแยงมมทมสมาชกทกตวบนเสนทแยงมมหลกมคาเทากน

ทงหมด เชน

4 0 0

0 4 0

0 0 4

5 0 0 0

0 5 0 0

0 0 5 0

0 0 0 5

หรอ

เมทรกซเอกลกษณ (Identity Matrix หรอ

Unit Matrix) คอ เมทรกซทแยงมมทมสมาชกทกตวบน

เสนทแยงมมหลกมคาเทากบ 1 ทงหมด ใชสญลกษณ

I หรอ In แทนเอกลกษณเมทรกซอนดบ n เชน

I3 = หรอ I4 =

1 0 0

0 1 0

0 0 1

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

Ex. A =

3 2 0 1

7 1 6 4

เปนเมทรกซขนาด _________ แถว

_________ หลก

เขยนดวยสญลกษณ _____________

Ex. จงบอกประเภทและอนดบของเมทรกซลกษณะ

พเศษตอไปน

1. O = 0 0 0

0 0 0

2. A = 1

8

2. พชคณตของเมทรกซ

2.1 การเทากนของเมทรกซ (Equal Matrix)

ถา และ

จะได A = B กตอเมอ m = p และ n = q

และ aij = bij ทกคาของ i และ j

ij m nA a

× = ij p q

B b×

=

2.2 การบวกลบเมทรกซ (Matrix Addition or Subtraction)

ให และ

แลว A + B = C

โดยท

ij m nA a

× = ij p q

B b×

=

ij ij ijm n m nC c a b

× × = = ±

2.3 การคณเมทรกซ

การคณเมทรกซดวยสเกลาร (Scalar Multiplication)

ให และ k เปนสเกลาร ดงนน

นนคอ เปนการนา k คณกบสมาชกทกตวในเมตรกซ

เชน a b

c d

ka kb

kc kd k =

ij m nA a

× =

ij m nkA ka

× =

Ex. A = 1 -5 3

4 1 0

จงคานวณหา 4A , -3A

วธทา

−=

)0(4)1(4)4(4)3(4)5(4)1(4

4A

−=

041612204

−−−−−−−

=−)0(3)1(3)4(3)3(3)5(3)1(3

3A

−−

−−=

03129153

Ex. จงหาผลคณของเมตรกซ AB เมอ

วธทา

=

−−=

371402

,325

110321

BA

−++−+++−++−+++++

=)3)(3()1)(2()0)(5()7)(3()4)(2()2)(5()3)(1()1)(1()0)(0()7)(1()4)(1()2)(0(

)3)(3()1)(2()0)(1()7)(3()4)(2()2)(1(AB

−−=

7323

1131

3. ชนดของเมทรกซ

3.1 เมทรกซสลบเปลยน (Transposed Matrix)

ถา แลว เมทรกซสลบเปลยนของ A

คอ และใชสญลกษณ AT หรอ A'

แทนเมทรกซสลบเปลยนของ A

ij m nA a

× =

ij n mA a

× =

A = เชน a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

a41 a42 a43 4x3

A T =

a11 a12 a13 a14

a21 a22 a23 a24

a31 a32 a33 a34 3x4

Ex. จงหาเมทรกซสลบเปลยนของเมทรกซตอไปน

A =

B =

C =

4 4 -1

2 3 -4

-7 2 3

1 2

3 0

-4 7

2

8

2

AT = 1 3 42 0 7

−

BT = 4 2 74 3 21 4 3

− − −

CT = [ ]2 8 2

3.4 เมทรกซสามเหลยม (Triangular Matrix)

เมทรกซสามเหลยมบน (Lower Triangular Matrix) คอ

เมทรกซจตรสใดๆ ทมสมาชกทกตวทอยเหนอเสนทแยงมมหลก

เปนศนยหมด

เมทรกซสามเหลยมลาง (Upper Triangular Matrix) คอ

เมทรกซจตรสใดๆ ทมสมาชกทกตวทอยใตเสนทแยงมมหลก

เปนศนยหมด

ดเทอรมแนนตของเมทรกซ

ดเทอรมแนนตของเมทรกซ det(A) หรอ มความสาคญในการ

คานวณทางคณตศาสตร วธคานวณหาดเทอรมแนนตมหลายวธดงน

1. การหาโดยตรง (ในกรณของเมทรกซขนาดเลก) เชน

cbadAdcba

A −=

= )det(,

เมทรกซขนาด 2x2 (หาดเทอรมแนนตไดในกรณของเมทรกซจตรสเทานน)

เมทรกซขนาด 3x3

33

22

11

333

222

111

bababa

cbacbacba

A

=

123123123

321321321)det(bacacbcba

bacacbcbaA−−−

++=

เมทรกซทมขนาดมากกวานจะทาแบบนไมได ตองใชวธกระจาย cofactor เทานน

การหา Determinant โดยใชวธการกระจาย Cofactor

Cofactor (Cij ) หาไดจาก Matrix A ถกตดแถวท i และ หลก ท j

ออกไปแลวหาดเทอรมแนนตของเมทรกซทเหลอ (จะมขนาดเลกลง

เสมอ) แลวนา cofactor มาหาคาดเทอรมแนนท

ตวอยางท 1. จงหาคาของ C12 และ C23

2 1 09 4 65 3 8

A =

หาคา C12 ตองตดแถวท 1 และ Column ท 2 ออก จะได

2 1 09 4 65 3 8

9 65 8

คณขางหนาดวย (-1)(1+2) จะได

( )(1 2)12

9 61 42

5 8A += − = −

ตวอยางท 1. (ตอ)

หาคา C23 ตองตดแถวท 2 และ หลก ท 3 ออก จะได

2 1 09 4 65 3 8

2 15 3

คณขางหนาดวย (-1)(2+3) จะได

( )(2 3)23

2 11 1

5 3A += − = −

การกระจาย Cofactor เราสามารถเลอกวาจะใชแถวหรอ หลก ใดกได

แตการคานวณจะงายขนถาเราเลอกแถวหรอ หลก ทมสมาชกเปน 0 อย

มาก

การหาคาตอบของระบบสมการเชงเสนดวยเมทรกซ

วธการหาคาตอบของระบบสมการเชงเสนม 3 วธคอ

1 ใช Inverse matrix เหมาะกบระบบทมสมการจานวนไมมาก (2-3 สมการ)

2 ใช Cramer’s rule เหมาะกบระบบทมสมการจานวนไมมาก

3 ใชวธการของ Gauss-Elimination ซงเหมาะกบระบบทมสมการจานวนมาก

ตวอยางท 5. จงหาคาตอบของระบบสมการโดยใช Cramer’s rule

3 04 0

5

x y zy zx y z

+ − =− =− − =

วธทา 1. เขยนโจทยใหอยในรป Matrix

1 1 3 00 1 4 01 1 1 5

xyz

− − = − −

เมทรกซของ

สมประสทธ

เวคเตอรทราบ

คา

เวคเตอรไม

ทราบคา

2. หา Determinant ของ A

1 1 3det( ) 0 1 4 6

1 1 1A

−= − = −

− −

3. หาคา x โดย

0 1 30 1 45 1 1 5

det( ) 6x

A

−−

− −= =

เวคเตอรทราบคา

แทน สปส ของ x

4. หาคา y โดย เวคเตอรทราบคา

แทน สปส ของ y 1 0 30 0 41 5 1 10

det( ) 3y

A

−−−

= = −

5. หาคา z โดย เวคเตอรทราบคา

แทน สปส ของ z 1 1 00 1 01 1 5 5

det( ) 6z

A−

= = −

จะเหนวธของ Crammer rule ตองหาดเทอรมแนนทหลายครง จงไมเหมาะกบ

ระบบสมการเชงเสนทมหลายตวแปร (มากกวา 3)