คณตศาสตริ 2 Mathematics2 · 2018-12-24 · MAP1403 คณตศาสตริ 2...

คณตศาสตร 2Mathematics 2

ธนชยศ จำปาหวาย

สาขาวชาคณตศาสตร คณะครศาสตรมหาวทยาลยราชภฏสวนสนนทา

2561

MAP1403คณตศาสตร 2

Mathematics 2

ผช วยศาสตราจารย ดร.ธนชยศ จำปาหวายสาขาวชาคณตศาสตร คณะครศาสตร มหาวทยาลยราชภฏสวนสนนทา

สารบญ

1 ลำดบและอนกรม 11.1 ลำดบของจำนวนจรง . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 อนกรมของจำนวนจรง . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.3 การทดสอบแบบอนทกรล . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.4 การทดสอบโดยใชการเปรยบเทยบ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.5 การลเขาแบบสมบรณ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.6 การทดสอบโดยใชอตราสวน . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2 อนกรมกำลง 372.1 รศมและชวงแหงการลเขา . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.2 ฟงกชนในรปอนกรมกำลง . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422.3 ทฤษฎบทของเทย เลอร . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492.4 อนกรมเทย เลอร . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3 ปรภมสามมต 613.1 ระบบพกดฉากในปรภมสามมต . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 613.2 เวกเตอรในปรภมสามมต . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653.3 เสนตรงในปรภมสามมต . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 793.4 ระนาบในปรภมสามมต . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 893.5 ฟงกชนคาเวกเตอร . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

4 ระบบพกดเชงขว 1134.1 พกดเชงขว . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1134.2 กราฟของสมการในระบบพกดเชงขว . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1204.3 การหาพนทของบรเวณในระบบพกดเชงขว . . . . . . . . . . . . . . . . 135

5 ฟงกชนหลายตวแปร 1415.1 ฟงกชนคาจรงสองตวแปร . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1415.2 ลมตและความตอเนองของฟงกชนสองตวแปร . . . . . . . . . . . . . . . 1445.3 อนพนธยอยของฟงกชนสองตวแปร . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1515.4 กฎลกโซ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

ก

ข สารบญ

5.5 อนพนธอนดบสง . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1615.6 การประมาณคาเชงเสน . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

6 อนทกรลของฟงกชนสองตวแปร 1676.1 อนทกรลบนโดเมนรปสเหลยมผนผา . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1676.2 อนทกรลบนโดเมนทวไป . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1746.3 อนทกรลบนระบบพกดเชงขว . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

7 สมการเชงอนพนธเบ องตน 1977.1 สมการเชงอนพนธ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1977.2 สมการแยกตวแปรได . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2027.3 สมการเอกพนธ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2057.4 สมการแมนตรง . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2097.5 ตวประกอบอนทกรล . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2137.6 สมการเชงเสนอนดบหนง . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

บทท 1ลำดบและอนกรม

1.1 ลำดบของจำนวนจรงบทนยาม 1.1.1 ลำดบ (Sequence) ของจำนวนจรง คอฟงกชนท โดเมนเปน N และคาเปนจำนวนจรง

ให a : N → R เปนลำดบของจำนวนจรง นยมเขยน a(n) แทนดวย an ดงนนa = {(1, a1), (2, a2), (3, a3), ..., (n, an), ...}

เนองจาก an ตองคกบ n เสมอ ในคอนดบ (n, an) ดงนนจะเขยนลำดบ a ดวยสญลกษณ{a1, a2, a3, ..., an, ...} หรอ a1, a2, a3, ..., an, ... หรอ {an}

ตวอยาง 1.1.2 จงเตมคำตอบในชองวางใหสมบรณ

{a1, a2, a3, ..., an, ...} a1, a2, a3, ..., an, ... {an}

1, 2, 3, ..., n, ...

{1, 3, 5, 7, ...}

{(−1)n}

{1,

1

2,1

4,1

8, ...

}

2, 7, 12, 17, ...

{1,

1

2,1

6,1

24,

1

120, ...

}

1

2 บทท 1. ลำดบและอนกรม

บทนยาม 1.1.3 ให {an} เปนลำดบของจำนวนจรง และ L ∈ R จะกลาววา L เปนลมตของ {an}กตอเมอ สำหรบจำนวนจรงบวก ε ใด ๆ จะม N ∈ N ททำให

|an − L| < ε ทก ๆ จำนวนนบ n > N

และเขยนแทนดวยสญลกษณ limn→∞

an = L

ทฤษฎบท 1.1.4 ให r, t ∈ R เปนเปนคาคงตว จะไดวา1. lim

n→∞

1

nt= 0 เมอ t > 0

2. limn→∞

rn = 0 เมอ |r| < 1

ตวอยาง 1.1.5 จงหาลมตตอไปน1. lim

n→∞3−n · 2n

2. limn→∞

n−3

3. limn→∞

1

n√n

4. limn→∞

2−n

ทฤษฎบท 1.1.6 ให {an} และ {bn} เปนลำดบของจำนวนจรง และ L,M, k ∈ R

โดยท limn→∞

an = L และ limn→∞

bn = M จะไดวา

1. limn→∞

k = k เมอ k เปนคาคงตว

2. limn→∞

kan = k limn→∞

an = kL เมอ k เปนคาคงตว3. lim

n→∞[an + bn] = lim

n→∞an + lim

n→∞bn = L+M

4. limn→∞

[an − bn] = limn→∞

an − limn→∞

bn = L−M

5. limn→∞

an · bn = limn→∞

an · limn→∞

bn = LM

6. limn→∞

anbn

=lim

n→∞an

limn→∞

bn=

L

Mเมอ M = 0

7. limn→∞

(an)m =

(lim

n→∞an

)m= Lm เมอ m ∈ N

8. limn→∞

m√an = m

√lim

n→∞an =

m√L เมอ m ∈ N และ m

√L ∈ R

1.1. ลำดบของจำนวนจรง 3

ตวอยาง 1.1.7 จงหาคาลมตตอไปน

1. limn→∞

n2 + n+ 3

1− 3n+ 2n2

2. limn→∞

3n + 2n+1

3n−1 − 3 · 2n

3. limn→∞

√9n2 + 1

n+ 3√n3 + 1

4. limn→∞

(n−√n)

ทฤษฎบท 1.1.8 ให {an} เปนลำดบของจำนวนจรง จะไดวา

limn→∞

an = 0 กตอเมอ limn→∞

|an| = 0


1. limn→∞

(−1)n

n2. lim

n→∞

cosnπn2 + 1

4 บทท 1. ลำดบและอนกรมทฤษฎบท 1.1.10 The Squeeze Theoremให {an}, {bn} และ {cn} เปนลำดบของจำนวนจรง ถา n0 ∈ N เมอ L ∈ R ซง

an ≤ bn ≤ cn ทกจำนวนนบ n ≥ n0

และ limn→∞

an = limn→∞

cn = L แลว limn→∞

bn = L


1. limn→∞

sinn√n

2. limn→∞

sinncosnn2 + 1

บทนยาม 1.1.12 ให {an} เปนลำดบของจำนวนจรง จะกลาววา {an} เปน ลำดบลเขา (convergent)กตอเมอ มจำนวนจรง L ซง lim

n→∞an = L นอกจากนน {an} เปน ลำดบลออก (divergent)

ตวอยาง 1.1.13 จงพจารณาวาลำดบตอไปน เปนลำดบลเขาหรอลออก

1.{(n+ 1)3√n4 + 1

}2.{√

n2 + n+ 1− n}


ในบางกรณเราสามารถหาลมต limn→∞

an ไดจากการหาลมตlim

x→∞f(x)

เมอ f เปนฟงกชนคาจรงทกำหนดบนชวง [1,∞) และ f(n) = an ทก ๆ n ∈ N ดงนน

ถา limx→∞

f(x) = L, ∞ หรอ −∞ แลว limx→∞

f(x) = limn→∞

an

ตวอยาง 1.1.14 จงพจารณาวาลำดบตอไปน เปนลำดบลเขาหรอลออก

1.{2n

n

}

2.{ℓnnn

}

3.{nsin

(1

n

)}

4.{n

1n

}


บทนยาม 1.1.15 ให {nk} เปนลำดบของจำนวนจรง ซงn1 < n2 < n3 < · · ·

สำหรบลำดบ {an} ใด ๆ ถาให bk = ankจะไดวา {bk} เปนลำดบทมพจนท k เปนพจนท nk ของ

ลำดบ {an} จะเรยกวาลำดบ {bk} วา ลำดบยอย (subsequence) ของ {an}

ตวอยาง 1.1.16 จงยกตวอยางของลำดบยอยของ {n} มาอยางนอย 3 ลำดบ

ทฤษฎบท 1.1.17 ถาลำดบ {an} มลมตเปนจำนวนจรง L แลวจะไดวา ทกลำดบยอยของ {an}

มลมตเปน L

หมายเหต

1. ถาลำดบ {an} มลำดบยอยทลออก แลว {an} เปนลำดบลออก

2. ถาลำดบ {an} มสองลำดบยอยทลมตตางกน แลว {an} เปนลำดบลออก

ตวอยาง 1.1.18 จงแสดงวา{(−1)nn

n+ 1

}เปนลำดบลออก


บทนยาม 1.1.19 จะกลาววาลำดบของจำนวนจรง {an} ม ขอบเขต (bounded)กตอเมอ มจำนวนจรงบวก M ซง |an| ≤ M ทก n ∈ N

ทฤษฎบท 1.1.20 ถา {an} เปนลำดบลเขา แลว {an} เปนลำดบมขอบเขต

ตวอยาง 1.1.21 จงยกตวอยางลำดบทมขอบเขตแตไมเปนลำดบลเขา

บทนยาม 1.1.22 ให {an} เปนลำดบจำนวนจรง จะกลาววา {an} เปน

1. ลำดบเพม (increasing sequence) กตอเมอ an < an+1 ทก ๆ n ∈ N

2. ลำดบลด (decreasing sequence) กตอเมอ an > an+1 ทก ๆ n ∈ N

3. ลำดบไมเพม (nonincreasing sequence) กตอเมอ an ≥ an+1 ทก ๆ n ∈ N

4. ลำดบไมลด (nondecreasing sequence) กตอเมอ an ≤ an+1 ทก ๆ n ∈ N

และ {an} เปน ลำดบทางเดยว กตอเมอ {an} เปนลำดบไมเพมหรอเปนลำดบไมลด

ตวอยาง 1.1.23 จงแสดงวาลำดบตอไปน เปนลำดบทางเดยว

1.{1

n

}2.{

n2

n+ 1

}


ทฤษฎบท 1.1.24 ถา {an} เปนลำดบมขอบเขตและลำดบทางเดยว แลว {an} เปนลำดบลเขา

ตวอยาง 1.1.25 จงแสดงวา{2n

n!

}เปนลำดบลเขา


แบบฝ กหด 1.11. จงหาลมตตอไปน

1.1 limn→∞

√4n2 + 1 + n

3√n3 + 3

1.2 limn→∞

(2n+ 1)5(1− n)2

n4(2n− 1)3

1.3 limn→∞

(1− 1

n

)n

1.4 limn→∞

(√n2 + 1− n+ 1

)1.5 lim

n→∞

(−1)n

n√n

1.6 limn→∞

5− 3n√n+ 5

1.7 limn→∞

(en + n2

en + n

1.8 limn→∞

n2sin(1

n

)1.9 lim

n→∞

sin(n)− 2n2

n2 + 1

1.10 limn→∞

ℓn(3n2 + 1)

ℓn(n+ 1)

1.11 limn→∞

√n2 +

√n4 + 1

2n+ 3√n3 + 5

1.12 limn→∞

n

cos2n2. จงพจารณาวาลำดบตอไปน เปนลำดบลเขาหรอลออก

2.1{ℓnnn2

}2.2

{nsin (nπ

2

)n+ 1

}

2.3{(3n+ 1)2√

n4 + 4

}2.4

{√9n + n

2n + 3n

}

2.5{

n

ℓn(en + 1)

}2.6

{3n + 2

2n + 1

}2.7

{en(2n4 + n3 + 1)

n4(en + 2n)

}2.8

{n+ (−1)n

2n+ 1

}

2.9{

n

n(−1)n + 2

}2.10

{ℓnn

ℓn(n+ 1)

}2.11

{(2n− 1)!

(2n+ 1)!

}2.12

{n!2n

(2n)!

}

3. จงพจารณาวาลำดบ {an} ทนยามตอไปน เปนลำดบลเขาหรอลออก

3.1 a1 = 1, an+1 = 5an − 3 เมอ n = 1, 2, 3, ...

3.2 a1 = 6, an+1 =ann

เมอ n = 1, 2, 3, ...

3.3 a1 = 2, an+1 =an

1 + anเมอ n = 1, 2, 3, ...

4. จงทดสอบวาลำดบ an =1 · 3 · 3 · 5 · · · (2n− 1)

n!เปนลำดบลเขาหรอลออก

5. จงหาลมตของลำดบ{√

2,√2√2,

√2√

2√2, ...

}


1.2 อนกรมของจำนวนจรงบทนยาม 1.2.1 ให {an} เปนลำดบของจำนวนจรง และ

S1 = a1

S2 = a1 + a2

S3 = a1 + a2 + a3...

Sn = a1 + a2 + a3 + · · ·+ an =n∑

k=1

ak

เรยก Sn วา ผลบวกยอย (partial sum) ของ n พจนแรกของ {an}และเรยก {Sn} วา อนกรมอนนต (infinite series) ของจำนวนจรง หรอ อนกรม (series)ซงจะเขยนแทนดวยสญลกษณ

∞∑n=1

an = a1 + a2 + a3 + · · ·+ an + · · ·

บทนยาม 1.2.2 ถา {Sn} เปนลำดบลเขา ซง limn→∞

Sn = S เมอ S ∈ R จะกลาววา∞∑n=1

an เปน

อนกรมลเขา และเรยก S วา ผลบวกของอนกรม ซงเขยนแทนดวย∞∑n=1

an = S

ทฤษฎบท 1.2.3 ให∞∑n=1

an เปนอนกรมของจำนวนจรง และ m ∈ N จะไดวา

1.∞∑n=1

an เปนอนกรมลเขา กตอเมอ∞∑

n=m

an เปนอนกรมลเขา

2.∞∑n=1

an เปนอนกรมออก กตอเมอ∞∑

n=m

an เปนอนกรมลออก

3. ถา∞∑

n=m

an เปนอนกรมลเขา แลว∞∑n=1

an −m−1∑n=1

an

1.2. อนกรมของจำนวนจรง 11

ตวอยาง 1.2.4 จงพจารณาวาอนกรม∞∑n=1

ℓn(

n

n+ 1

)เปนอนกรมลเขาหรอลออก

ตวอยาง 1.2.5 Telescopic Seriesจงพจารณาวาอนกรมตอไปน เปนอนกรมลเขาหรอลออก

1.∞∑n=1

1

n(n+ 1)

2.∞∑n=1

1

n(n+ 1)(n+ 2)



an เปนอนกรมลเขา แลวจะไดวา limn→∞

an = 0

การทดสอบอนกรมลออก (Divergent Test)โดยใชกฎแยงสลบทของทฤษฎบทนจะไดวา

ถา limn→∞

an = 0 แลว∞∑n=1


ตวอยาง 1.2.7 จงแสดงวาอนกรมตอไปน เปนอนกรมลออก

1.∞∑n=1

n2 + 1

n2 − 12.

∞∑n=1

nsin(1

n

)

บทนยาม 1.2.8 อนกรมเรขาคณต (Geometric series) คออนกรมทอยในรป∞∑n=1

arn−1 = a+ ar + ar2 + · · ·+ arn−1 + · · ·

ทฤษฎบท 1.2.9 อนกรมเรขาคณต∞∑n=1

arn−1 เปนอนกรมลเขา เมอ |r| < 1 โดยมผลบวกของ

อนกรมเปน a

1− rและเปนอนกรมลออกเมอ |r| ≥ 1

ตวอยาง 1.2.10 จงพจารณาวาอนกรมตอไปน เปนอนกรมลเขาหรอลออก

1.∞∑n=1

(−2)−n 2.∞∑n=1

3n

5n−1



an และ∞∑n=1

bn เปนอนกรมลเขา โดยท α, β ∈ R เปนคาคงตว จะไดวา

∞∑n=1

(αan + βbn) เปนอนกรมลเขา

และ∞∑n=1

(αan + βbn) = α

∞∑n=1

an + β

∞∑n=1

bn


an เปนอนกรมลเขา และ∞∑n=1

bn เปนอนกรมลออก จะไดวา

∞∑n=1

(an + bn) เปนอนกรมลออก


1.∞∑n=1

3n + 2n+1

4n

2.∞∑n=1

(1

2n+

n

n+ 1

)


ตวอยาง 1.2.14∞∑n=1

((−2

3

)n

+1

n(n+ 1)

)เปนอนกรมลเขาหรอลออก

ตวอยาง 1.2.15 จงยกตวอยางอนกรม∞∑n=1

an และ∞∑n=1

bn เปนอนกรมลออก ททำให

1.∞∑n=1

(an + bn) เปนอนกรมลออก 2.∞∑n=1

(an + bn) เปนอนกรมลเขา


แบบฝ กหด 1.2จงพจารณาวาอนกรมตอไปน เปนอนกรมลเขาหรอลออก ถาลเขาจงหาผลบวกของอนกรมนน

1.∞∑n=1

1

(n+ 1)(n+ 3)

2.∞∑n=1

√n4 + n− 1

3n2 + 1

3.∞∑n=2

1

n2 − 1

4.∞∑n=1

ℓn(1 +

1

n

)

5.∞∑n=1

(4

3n+

(−3

5

)n)

6.∞∑n=1

32n

3n + 5n

7.∞∑n=1

32n − 4n

10n

8.∞∑n=1

5−n + 1

2n

9.∞∑n=1

(1

n2 + 4n+ 3+ 4−n

)

10.∞∑n=1

1

4n2 − 1

11.∞∑n=1

(n

n+ 1

)n

12.∞∑n=1

(n− n2

n+ 1

)

13.∞∑n=1

1√n+ 1 +

√n

14.∞∑n=1

n

n(n+ 1)(n+ 2)(n+ 3)

15.∞∑n=1

(1√n− 1√

n+ 1

)

16.∞∑n=1

n√n2 + 1

17.∞∑n=2

1

n3 − n

18.∞∑n=1

cosn

19.∞∑n=1

1

1 + 2 + 3 + · · ·+ n

20.∞∑n=1

1

2 + 4 + 6 + · · ·+ (2n)


1.3 การทดสอบแบบอนทกรลทฤษฎบท 1.3.1 การทดสอบแบบอนทกรล (Integral Test)ให

∞∑n=1

an เปนอนกรมจำนวนจรงซง an ≥ 0 และ เปนฟงกชนคาจรง ซงมสมบตดงน

1. f(n) = an ทก n ∈ N

2. ม n0 ∈ N ซง f เปนฟงกชนไมเพม และมความตอเนองบนชวง [n0,∞)

3. tn =

∫ n

n0

f(x) dx, n ≥ n0

จะไดวา∞∑n=1

an เปนอนกรมลเขา ถา {tn} เปนลำดบลเขา

และ∞∑n=1

an เปนอนกรมลออก ถา {tn} เปนลำดบลออก


1.∞∑n=1

1

n2 + 12.

∞∑n=1

n

n2 + 1

1.3. การทดสอบแบบอนทกรล 17


1.∞∑n=1

ℓnnn

2.∞∑n=1

(1√ne

√n+

(2

π

)n)


บทนยาม 1.3.4 อนกรมพ (p-Series) คออนกรมทเขยนในรป∞∑n=1

1

npเมอ p ∈ R เปนคาคงตว

ทฤษฎบท 1.3.5 อนกรมพจะเปนอนกรมลเขา เมอ p > 1 และเปนอนกรมลออก เมอ p ≤ 1


1.∞∑n=1

1

n√n

2.∞∑n=1

n√n3

3.∞∑n=1

(2n

n+

1

n3

)

4.∞∑n=1

(n−2 + (−2)n

)

1.3. การทดสอบแบบอนทกรล 19

แบบฝ กหด 1.31. จงทดสอบวาอนกรมตอไปน เปนอนกรมลเขาหรอลออก โดยใชการทดสอบแบบอนทกรล

1.1∞∑n=1

n2

n4 + 1

1.2∞∑n=1

1√2n− 1

1.3∞∑n=1

ℓn(n+ 2)

n+ 2

1.4∞∑n=1

1

n2 + n

1.5∞∑n=1

arctan(n)n2 + 1

1.6∞∑n=1

n3

n4 + 4

1.7∞∑n=1

sin( 1n)

n2

1.8∞∑n=1

2n+ 1

n(n+ 1)

1.9∞∑n=1

n√2n2 + 1

1.10∞∑n=1

n2e−n3

1.11∞∑n=2

1

nℓnn

1.12∞∑n=1

2−ℓnn

n(2−ℓnn + 1)

1.13∞∑n=1

(e−n +

1

n 3√n

)

1.14∞∑n=2

√n

3√n

2. จงทดสอบวาอนกรมตอไปน เปนอนกรมลเขาหรอลออก

2.1∞∑n=2

n2

√n5

2.2∞∑n=2

√n

3√n

2.3∞∑n=1

(e−n +

1

n 3√n

)

2.4∞∑n=2

(ℓnnn

+1

n4

)

2.5∞∑n=1

(√3−n +

√n√n5

)

2.6∞∑n=2

(ℓnnn

+1

n4

)


1.4 การทดสอบโดยใชการเปรยบเทยบทฤษฎบท 1.4.1 การทดสอบโดยใชการเปรยบเทยบ (The Comparision Test)ให {an} และ {bn} เปนลำดบของจำนวนจรง สมมตวาม n0 ∈ N ททำให

0 ≤ an ≤ bn สำหรบ n ≥ n0

จะไดวา

1. ถา∞∑n=1

bn เปนอนกรมลเขา แลว∞∑n=1


2. ถา∞∑n=1

an เปนอนกรมลออก แลว∞∑n=1

bn เปนอนกรมลออก

ตวอยาง 1.4.2 จงทดสอบวาอนกรมตอไปน เปนอนกรมลเขาหรอลออก

1.∞∑n=1

1

n2 + 1

2.∞∑n=1

1

n2n

3.∞∑n=1

ℓnn√n

4.∞∑n=1

(sinnn

)2

1.4. การทดสอบโดยใชการเปรยบเทยบ 21

ทฤษฎบท 1.4.3 การทดสอบโดยใชการเปรยบเทยบดวยลมต (The Limit Comparision Test)ให {an} และ {bn} เปนลำดบของจำนวนจรง ถา an ≥ 0 และ bn ≥ 0 ทก ๆ n ∈ N และ

limn→∞

anbn

= L

เมอ L เปนจำนวนจรง หรอ ∞ จะไดวา

1. ถา L > 0 แลว∞∑n=1

bn เปนอนกรมลเขา กตอเมอ∞∑n=1


2. ถา L = 0 และ∞∑n=1

bn เปนอนกรมลเขา แลว∞∑n=1


3. ถา L = ∞ และ∞∑n=1

bn เปนอนกรมลออก แลว∞∑n=1



1.∞∑n=1

n

n2 + 1

2.∞∑n=1

n+ 3

n3 + 3n2 + 1

3.∞∑n=1

√n2 + 1

3n2 + n+ 1

4.∞∑n=1

√n

2n



1.∞∑n=1

2n

5n − 3n

2.∞∑n=1

n+ 1

n2n − 1

3.∞∑n=1

1

ℓn(n+ 1)

4.∞∑n=1

3−n2

1.4. การทดสอบโดยใชการเปรยบเทยบ 23

แบบฝ กหด 1.41. จงทดสอบวาอนกรมตอไปน เปนอนกรมลเขาหรอลออก

1.1∞∑n=1

n2 + 1

(3n− 1)4

1.2∞∑n=1

(1 + cosn

n

)4

1.3∞∑n=1

( cosnn+ 1

)2

1.4∞∑n=1

n+ ℓnnn(n+ 1)3

1.5∞∑n=1

1√nℓn(n+ 1)

1.6∞∑n=1

3n

n3n + 5

1.7∞∑n=1

3√n2 + 1√n3 + 1

1.8∞∑n=1

ℓnnn√n

1.9∞∑n=1

√n+ (−1)n

n

1.10∞∑n=1

ℓnnenℓn(n+ 2)

1.11∞∑n=1

n

n3n − 2

1.12∞∑n=1

(n+ 2)−2ℓnn

1.13∞∑n=1

1

(n+ 1)5

1.14∞∑n=1

1√n3 + 1

1.15∞∑n=1

ℓnn2n

1.16∞∑n=1

4−n3

2. จงหาเงอนไขของจำนวนจรง p ซงทำใหอนกรม∞∑n=1

1

(n+ 1)p

เปนอนกรมลเขาและเปนอนกรมลออก

3. ถา {an} เปนลำดบมขอบเขต และ an ≥ 0 ทก ๆ n ∈ N จงพสจนวา∞∑n=1

an(n+ 1)p

เปนอนกรมลเขา ทก ๆ p > 1


1.5 การลเขาแบบสมบรณบทนยาม 1.5.1 ให {an} เปนลำดบของจำนวนจรง และ an > 0 ทก n ∈ N อนกรมในรป

∞∑n=1

(−1)nan หรอ∞∑n=1

(−1)n+1an

เรยกวา อนกรมสลบ (alternating series)

ทฤษฎบท 1.5.2 อนกรมสลบ∞∑n=1

(−1)nan เปนอนกรมลเขา ถาสอดคลอง 2 เงอนไขตอไปน

1. limn→∞

an = 0

2. ม n0 ∈ N ซง an+1 < an ทก n ≥ n0


1.∞∑n=1

(−1)n

n

2.∞∑n=1

(−1)nn

n+ 1

1.5. การล เขาแบบสมบรณ 25


1.∞∑n=1

(−1)n

ℓn(n+ 1)

2.∞∑n=1

(−1)n

3n + ℓnn


ทฤษฎบท 1.5.5 ถา∞∑n=1

|an| เปนอนกรมลเขา แลว∞∑n=1


ตวอยาง 1.5.6 จงตวอยางคานบทกลบของทฤษฎบท 1.5.5


1.∞∑n=1

cos(n2)

2n

2.∞∑n=1

(−1)n

n3


บทนยาม 1.5.8 ให∞∑n=1

an เปนอนกรมลเขา แลวเรยกอนกรมน วาเปนอนกรม

1. ลเขาแบบสมบรณ (absolute convergece) ถา∞∑n=1

|an| เปนอนกรมลเขา

2. ลเขาแบบมเงอนไข (conditional convergence) ถา∞∑n=1

|an| เปนอนกรมลออก

ตวอยาง 1.5.9 จงทดสอบวาอนกรมตอไปน เปนอนกรมลเขาแบบสมบรณหรอลเขาแบบมเงอนไข

1.∞∑n=1

(−1)nn

n3 + 5

2.∞∑n=1

(−1)n

ℓn(n+ 1)


ตวอยาง 1.5.10 จงทดสอบวาอนกรมตอไปน เปนอนกรมลเขาแบบสมบรณหรอลเขาแบบมเงอนไข

1.∞∑n=1

(−1)n

n2 + 1

2.∞∑n=1

arctannn2 + 1


แบบฝ กหด 1.51. จงทดสอบวาอนกรมตอไปน เปนอนกรมลเขาแบบสมบรณหรอลเขาแบบมเงอนไข

1.1∞∑n=1

(−1)n

n!

1.2∞∑n=1

(−1)n√n

1.3∞∑n=1

n

ℓn(n+ 2)

1.4∞∑n=1

(−1)n

2ℓnn

1.5∞∑n=1

(−1)nn2

n4 − n+ 1

1.6∞∑n=1

(−1)n√n2 + 1

1.7∞∑n=1

(−1)n22n

4n + 3n

1.8∞∑n=1

arctann4n3 − 1

1.9∞∑n=1

(−1)nsin(πn

)1.10

∞∑n=1

(−1)narctann

1.11∞∑n=1

sin (n+ 12

)π

1 +√n

1.12∞∑n=1

ncosnπ2n

1.13∞∑n=1

(−1)n

ℓn(en + 1)

1.14∞∑n=1

(−1)nℓnnℓn(n+ 2)

1.15∞∑n=1

(−1)n(√

n+ 1−√n)

1.16∞∑n=1

(−1)ne1n

2. จงหาคา p ททำใหอนกรมตอไปน เปนอนกรมลเขา

2.1∞∑n=1

(−1)n−1

np

2.2∞∑n=1

(−1)n

pn

2.3∞∑n=1

(−1)n

n+ p

2.4∞∑n=2

(−1)n−1 (ℓnn)pn


1.6 การทดสอบโดยใชอตราส วนทฤษฎบท 1.6.1 การทดสอบโดยใชอตราส วน (The Ratio Test)ให {an} เปนลำดบของจำนวนจรง โดยท an = 0 ทก ๆ n ∈ N และ

limn→∞

∣∣∣∣an+1

an

∣∣∣∣ = L


1. ถา L < 1 แลว∞∑n=1


2. ถา L > 1 และ L = ∞ แลว∞∑n=1


3. ถา L = 1 สรปไมได


1.∞∑n=1

2n

n!

2.∞∑n=1

(−1)nn3

2n

1.6. การทดสอบโดยใชอตราสวน 31


1.∞∑n=1

en

3ℓnn

2.∞∑n=1

nn

n!


ทฤษฎบท 1.6.4 การทดสอบโดยใชการถอดกรณฑ (The Root Test)ให {an} เปนลำดบของจำนวนจรง และ

limn→∞

n√|an| = L


1. ถา L < 1 แลว∞∑n=1


2. ถา L > 1 และ L = ∞ แลว∞∑n=1


3. ถา L = 1 สรปไมได


1.∞∑n=1

(2

3

)n2

2.∞∑n=1

(2n+ 3

3n+ 2

)n



1.∞∑n=1

(en+1 + 2n

3en + 5

)n

2.∞∑n=1

(n

ℓn(2n + 1)

)n


แบบฝ กหด 1.61. จงทดสอบวาอนกรมตอไปน เปนอนกรมลเขาหรอลออก

1.1∞∑n=1

ℓn(n+ 1)

en

1.2∞∑n=1

(−1)n

n!

1.3∞∑n=1

(1− 1

n

)n2

1.4∞∑n=1

2n

4n + n+ 1

1.5∞∑n=1

cosnnn

1.6∞∑n=1

1

n5n

1.7∞∑n=1

(2n)!

(n!)2

1.8∞∑n=1

(n

ℓn(n+ 1)

)n

1.9∞∑n=1

nℓn(n+ 1)

3n

1.10∞∑n=1

2n

ℓn(n+ 1)

1.11∞∑n=1

(n

n+ 1

)n3

1.12∞∑n=1

(−3)n

(2n+ 1)!

1.13∞∑n=1

n

(2

3

)n

1.14∞∑n=1

(−2)n

nn

1.15∞∑n=1

(− 2n

n+ 1

)−5n

1.16∞∑n=1

n100100n

n!

2. จงหาจำนวนจรง x ททำใหอนกรมตอไปน เปนอนกรมลเขา

2.1∞∑n=1

(−1)n

xn2.2

∞∑n=1

xn

n!


แบบฝ กหดระคนจงทดสอบวาอนกรมตอไปน เปนอนกรมลเขาหรอลออก

1.∞∑n=1

n2 + 1

(2n+ 3)2

2.∞∑n=1

sec4n3√n

3.∞∑n=1

( √n

n2 + 1+ n−n

)

4.∞∑n=1

n33−n

5.∞∑n=1

(n

n+ 1

)n

6.∞∑n=1

n2 + 1√n7 + 3

7.∞∑n=1

(√n2 + n+ 1− n

)

8.∞∑n=1

(−1)n

3n− 1

9.∞∑n=1

nn

3nn!

10.∞∑n=1

1

(n+ 3)ℓn(n+ 3)

11.∞∑n=1

n4−n2

12.∞∑n=1

2n

5n − n

13.∞∑n=1

(1

n

2

2n+ 1

)

14.∞∑n=1

(n+ 2)−ℓn(en+n)

15.∞∑n=1

1

nℓn(n+ 4)

16.∞∑n=1

(π − 2arctann)

17.∞∑n=1

√n

ℓn(n+ 1)

18.∞∑n=1

2−n2

nn

19.∞∑n=1

ℓnnn 4√n

20.∞∑n=1

1

ℓn(3n + 1)

21.∞∑n=1

(3 + cosn)−n

22.∞∑n=1

(n!)3

(3n)!

23.∞∑n=1

ℓn(n+ 10

n+ 5

)

24.∞∑n=1

(√n4 + 1− n2

)

25.∞∑n=1

(−1)n

n√n2 + 1

26.∞∑n=1

ℓn(n+ 1)

n!

27.∞∑n=1

1

n(2 + ℓnn)2

28.∞∑n=1

9−ℓnn

29.∞∑n=1

ℓnn3n − n

30.∞∑n=1

2n√n2n + 1


31.∞∑n=1

(1

n+

3n

4n − 1

)

32.∞∑n=1

n

(5

4

)−n

33.∞∑n=1

(n√n+ 1 + 1

)−2n

34.∞∑n=1

(−1)n

1 + ℓnn

35.∞∑n=1

(n!

3n+

cos2n4n

)

36.∞∑n=1

(n+ 1)9

n3(n+ 2)10

37.∞∑n=1

sin(1

n

)

38.∞∑n=1

n!

(5)(7)(9) · · · (2n+ 3)

39.∞∑n=1

(2)(4)(6) · · · (2n)n!

40.∞∑n=1

(−1)n(1)(3)(5) · · · (2n− 1)

(2n− 1)!

41.∞∑n=1

1

1 + 12+ 1

3+ · · ·+ 1

n

42.∞∑n=1

(1√n− 1√

n+ 1

)

43.∞∑n=1

1

n+ ℓnn

44.∞∑n=1

sinn3n

45.∞∑n=1

nsin(

1

n3

)

46.∞∑n=1

3−ℓn(en+1)

47.∞∑n=1

cos(n!)n!

48.∞∑n=1

1 + n− 3n2

√n6 + 2

49.∞∑n=1

(−1)nℓn(n+ 2)

n

50.∞∑n=1

(sin2nn

+1√n

)

51.∞∑n=1

n

sinn

52.∞∑n=1

[(√n2 + 1− n

)cosn

]n

53.∞∑n=1

cos(nπ3)

n!

54.∞∑n=1

(n2 + 1

2n2 + 1

)n

55.∞∑n=1

3− cosnn

23 − 2

56.∞∑n=1

(1 +

1

n

)n2

57.∞∑n=1

1

1 + 3 + 5 + · · ·+ (2n− 1)

58.∞∑n=1

1 + 2 + 3 + · · ·+ n

13 + 23 + 33 + · · ·+ n3

59.∞∑n=1

(3√n3 + n2 + 1− n

)

60.∞∑n=1

12 + 22 + 32 + · · ·+ n2

n!

บทท 2อนกรมกำลง

อนกรมกำลง (power series) รอบจด a เมอ a ∈ R คออนกรมอนนตในรป∞∑n=0

cn(x− a)n

เรยก a วา จดศนยกลางของอนกรมกำลง (center of power series)และเรยก cn ∈ R วา สมประสทธของอนกรมกำลง (coefficients of power series)หมายเหต อนกรมกำลงเปนอนกรมลเขาเมอ x = a เสมอ

2.1 รศมและช วงแหงการลเขาตวอยาง 2.1.1 จงหา x ททำให

∞∑n=1

(x− 3)n

nเปนอนกรมลเขา

37

38 บทท 2. อนกรมกำลงทฤษฎบท 2.1.2 สำหรบอนกรมกำลง

∞∑n=0

cn(x− a)n

จะเปนไปตามกรณใดกรณหนงใน 3 กรณน เทานน1. อนกรมลเขาเฉพาะเพยงจดเดยวทจดศนยกลาง x0

2. มจำนวนจรงบวก R ททำใหอนกรมลเขาทกคา x ซง |x− x0| < R และ อนกรมลออกทกคา x ซง |x− x0| > R

3. อนกรมลเขาทกคา x ∈ R

บทนยาม 2.1.3 จำนวน R ในทฤษฎบท 2.1.2 ขอ 2 เรยกวา รศมแหงการลเขา (radius ofconvergence) ของอนกรมกำลง ในขอ 1 ให R = 0 และในขอ 3 ให R = ∞

บทนยาม 2.1.4 เรยกเซต {x :

∞∑n=0

cn(x− a)n เปนอนกรมลเขา}

วา ชวงแหงการลเขา (interval of convergent) ของอนกรม∞∑n=0

cn(x− a)n

จะไดวาอนกรมกำลงทมรศมแหงการลเขา R มช วงแหงการลเขาแบบใดแบบหนงเทานน(a−R, a+R), (a−R, a+R], [a−R, a+R), [a−R, a+R] และ (−∞,∞)

ตวอยาง 2.1.5 จงหารศมและชวงแหงการลเขาของอนกรมกำลงตอไปน

1.∞∑n=0

(x+ 1)n

n!2.

∞∑n=1

nnxn

2.1. รศมและชวงแหงการล เขา 39


1.∞∑n=0

(x− 2)2n

9n

2.∞∑n=1

xn

n

40 บทท 2. อนกรมกำลง


cn(x−a)n เปนอนกรมกำลง สมมตวาม n0 ∈ R ซง cn = 0 ทก ๆ n ≥ n0

จะไดวารศมแหงการลเขาคอ

limn→∞

∣∣∣∣ cncn+1

∣∣∣∣ หรอ limn→∞

1n√

|cn|


1.∞∑n=1

(3x− 1)n

n

2.∞∑n=1

xn

nn

2.1. รศมและชวงแหงการล เขา 41

แบบฝ กหด 2.11. จงหารศมและชวงแหงการลเขาของอนกรมกำลงตอไปน

1.1∞∑n=1

(−1)nnxn

1.2∞∑n=0

(−1)nn2xn

2n

1.3∞∑n=1

(−1)nxn

ℓn(n+ 1)

1.4∞∑n=1

2n(x+ 1)n

n!

1.5∞∑n=1

n(x− 1)n

3n

1.6∞∑n=1

(n(x− 3)

cosn)n

1.7∞∑n=0

(n+ 1)(x− 2)n

n4 + 1

1.8∞∑n=1

nxn

n2 + 1

1.9∞∑n=1

(x− e)n

nen

1.10∞∑n=0

2n2

xn

1.11∞∑n=0

(2x− 1)n

5n

1.12∞∑n=1

(3x+ 1)n

n4n

1.13∞∑n=1

(x− 1)2n+1

n24n

1.14∞∑n=1

x3n

n · 27n

1.15∞∑n=1

(−1)nxn

√n+ 1

1.16∞∑n=1

n(x+ 2)n

3n+1

1.17∞∑n=1

(−3)nxn

n√n

1.18∞∑n=1

(−1)n(x+ 1)n

4nℓ lnn

1.19∞∑n=1

(5x− 3)n

n3

1.20∞∑n=1

(−1)n(x+ 1)2n+1

(2n+ 1)!

2. จงหาโดเมนของ ฟงกชนเบสเซล (Bessel function) อนดบ 0 และ 1 ทกำหนดโดย

2.1 J0(x) =∞∑n=0

(−1)nx2n

22n(n!)22.2 J1(x) =

∞∑n=0

(−1)nx2n+1

n!(n+ 1)!22n+1


2.2 ฟงกชนในรปอนกรมกำลงบทนยาม 2.2.1 ใหอนกรมกำลง

∞∑n=0

cn(x − a)n ลเขาบนชวง I ถาอนกรมน มผลบวกเปน f(x)

ทก ๆ x ∈ I นนคอ

f(x) =∞∑n=0

cn(x− a)n ทก ๆ x ∈ I

เรยก f วา ฟงกชนผลบวก (sum function) ของอนกรม∞∑n=0

cn(x− a)n บน I

ตอไปเราจะใชอนกรมเรขาคณต (เปนอนกรมกำลงรอบจด 0)1

1− x= 1 + x+ x2 + x3 + · · · =

∞∑n=0

xn เมอ |x| < 1

เปนเครองมอสำคญในการหาฟงกชนผลบวกดงตวอยางตอไปน

ตวอยาง 2.2.2 จงหาฟงกชนผลบวกของอนกรมกำลงตอไปน

1.∞∑n=0

x2n

2.∞∑n=0

xn+2

3.∞∑n=0

(−x)n

4.∞∑n=0

(2x− 1)n

2.2. ฟงก ชนในรปอนกรมกำลง 43

ตวอยาง 2.2.3 จงหาอนกรมกำลงทมฟงกชนผลบวกตอไปน

1. 1

1 + 2x

2. 1

1 + x2

3. 1

x

4. 1

x2 + 4

5. x

x2 − 1

6. 1

x2 + 2x+ 2

44 บทท 2. อนกรมกำลงบทนยาม 2.2.4 กำหนดให

f(x) =∞∑n=0

cn(x− a)n บนชวง (a−R, a+R)

เมอ R เปนรศมแหงการลเขาของอนกรมน จะไดวา f มอนพนธทกคา x ∈ (a−R, a+R) และ

f ′(x) =∞∑n=1

ncn(x− a)n−1 ทกคา x ∈ (a−R, a+R)

เมอ C เปนคาคงตว จะไดวา ∫f(x) dx = C +

∞∑n=0

cn(x− a)n+1

n+ 1

ตวอยาง 2.2.5 จงหาฟงกชนผลบวกของอนกรมกำลงตอไปน

1.∞∑n=0

nxn

2.∞∑n=0

n2xn+2

3.∞∑n=0

n3n(−x)n+1

4.∞∑n=0

(2x+ 1)n

n+ 1


ตวอยาง 2.2.6 จงหาอนกรมกำลงซงมฟงกชนผลบวกเปน f(x) =1

(1− x)2

ตวอยาง 2.2.7 จงหาอนกรมกำลงซงมฟงกชนผลบวกเปน f(x) =1 + x

(1− x)3

ตวอยาง 2.2.8 จงหาอนกรมกำลงซงมฟงกชนผลบวกเปน f(x) =x2

(1− 4x2)2

46 บทท 2. อนกรมกำลงตวอยาง 2.2.9 ให f(x) = ℓn(x+ 1)

1. จงหาอนกรมกำลงซงมฟงกชนผลบวกเปน f(x)

2. จงแสดงวา ℓn2 = 1− 1

2+

1

3− 1

4+ · · · =

∞∑n=1

(−1)n−1

n


ตวอยาง 2.2.10 ให f(x) = arctanx

1. จงหาอนกรมกำลงซงมฟงกชนผลบวกเปน f(x)

2. จงแสดงวา π

4= 1− 1

3+

1

5− 1

7+ · · · =

∞∑n=1

(−1)n−1

2n− 1


แบบฝ กหด 2.21. จงหาฟงกชนผลบวกของอนกรมกำลงตอไปน

1.1∞∑n=1

(−3)n−1nxn

1.2∞∑n=0

n(n+ 1)xn

2

1.3∞∑n=1

nx2n−1

1.4∞∑n=0

n(−x)n−1

1.5∞∑n=1

n(2x)n

1.6∞∑n=0

nx3n

1.7∞∑n=1

4n−1xn+1

1.8∞∑n=0

2nxn

n+ 1

1.9∞∑n=1

n(−3x)n+1

1.10∞∑n=0

(2x+ 1)n

2n

2. จงหาอนกรมกำลงซงมฟงกชนผลบวกพรอมทงช วงแหงการลเขา

2.1 f(x) =2

3− 2x

2.2 f(x) =3

1− x4

2.3 f(x) =1

x+ 10

2.4 f(x) =x

9 + x2

2.5 f(x) =1 + x

1 + x

2.6 f(x) =x

2x2 + 1

2.7 f(x) =1

x2 − x− 2

2.8 f(x) =1

x2 + 2x+ 2

2.9 f(x) = − x3

(1 + x)2

2.10 f(x) =1

(1− x)4

2.11 f(x) =x

(1− x2)2

2.12 f(x) =x2

(1− 5x)2

3. จงหาอนกรมกำลงซงมฟงกชนผลบวกพรอมทงช วงแหงการลเขา3.1 f(x) = ℓn(5− x)

3.2 f(x) = xℓn(x+ 1)

3.3 f(x) = x2arctan(x3)

3.4 f(x) =x3

(x− 2)2

3.5 f(x) =

(x

2− x

)3

3.6 f(x) =x2 + x

(1− x)3

3.7 f(x) = ℓn(1 + x

1− x

)

2.3. ทฤษฎบทของเทย เลอร 49

2.3 ทฤษฎบทของเทย เลอรบทนยาม 2.3.1 ให f เปนฟงกชนซงมอนพนธทจด a ถงอนดบท n จะกลาววา Tn(x)

เปน พหนามเทย เลอร (Taylor polynomial) ดกร n ของ f ทจด x = a กตอเมอ

Tn(x) = f(a) + f ′(a)(x− a) +f ′′(a)

2!(x− a)2 +

f ′′′(a)

3!(x− a)3 + · · ·+ f (n)(a)

n!(x− a)n

ในกรณท a = 0 จะเรยกวา พหนามแมคลอรน (Maclaurin polynomial) นนคอ

Tn(x) = f(0) + f ′(0)x+f ′′(0)

2!x2 +

f ′′′(0)

3!x3 + · · ·+ f (n)(0)

n!xn

ตวอยาง 2.3.2 จงหาพหนามแมคลอรนดกร 5 ของฟงกชนตอไปน

1. f(x) = ex 2. f(x) = sinx

ตวอยาง 2.3.3 จงหาพหนามเทย เลอรดกร 4 รอบจด x = 1 ของ f(x) = ℓnx

50 บทท 2. อนกรมกำลงทฤษฎบท 2.3.4 ทฤษฎบทของเทย เลอร (Taylor's Theorem)ให f เปนฟงกชนซงมอนพนธถงอนดบท n+ 1 บนชวงเป ด I สำหรบ x, a ∈ I

จะไดวาม c อยระหวาง a กบ x ททำใหf(x) = Tn(x) +Rn(x)

เมอ Rn(x) =f (n+1)(c)

n!(x− a)n+1 เรยกวา เศษเหลอ (remainder)

หมายเหต ความผดพลาด Rn(x) โดยท

|Rn(x)| < 0. 000...0︸︷︷︸r+1

5

จะบอกคาประมาณความถกตองอยางนอยทศนยม r + 1 ตำแหนงตวอยาง 2.3.5 ให f(x) = 3

√2x− 1 จงหาประมาณคาของ 3

√2 โดยใชพหนามเทย เลอรดกร 3

ของ f รอบจด x = 1 พรอมทงหาขอบเขตความผดพลาด


ตวอยาง 2.3.6 ให f(x) = ℓn(x + 1) จงหาประมาณคาของ ℓn(1.5) โดยใชพหนามแมคลอรนดกร 7 ของ f พรอมทงบอกคาประมาณน วาถกตองอยางนอยทศนยมกตำแหนง


ตวอยาง 2.3.7 ให f(x) = xsinx จงหาประมาณคาของ∫ 1

0

xsinx dx โดยใชพหนามแมคลอรนดกร 5 ของ f พรอมทงหาขอบเขตความผดพลาด


แบบฝ กหด 2.31. จงหาพหนามเทย เลอร Tn(x) ของฟงกชนตอไปน รอบจด a

1.1 f(x) = sinx ; a = 0 ; n = 9

1.2 f(x) = cosx ; a = 0 ; n = 8

1.3 f(x) = ℓn(x+ 1) ; a = 0 ; n = 6

1.4 f(x) =√x+ 1 ; a = 3 ; n = 5

1.5 f(x) = ex2 ; a = 0 ; n = 6

1.6 f(x) = x2ℓnx ; a = 1 ; n = 4

1.7 f(x) = 4x3 + 5x2 − 3x+ 1 ; a = 1 ; n = 3

1.8 f(x) = ℓn(cosx) ; a = π4; n = 3

1.9 f(x) = xcosx ; a = 0 ; n = 7

1.10 f(x) = x2sinx ; a = 0 ; n = 7

2. จงหาคาประมาณของคาตอไปน โดยใชพหนามเทย เลอรททำใหคำตอบถกตองอยางนอยทศนยมตำแนงท 32.1 sin12◦2.2 cos12◦2.3 ℓn(1.02)

2.4 √4.2

2.5 e0.5

2.6 3√7.9

3. ให f(x) =√x+ 1 จงหาประมาณคาของ √

1.2 โดยใชพหนามแมคลอรนดกร 5 ของ f

พรอมทงหาขอบเขตความผดพลาด4. ให f(x) = ex จงหาประมาณคาของ

∫ 0.6

0

e−x2

dx โดยใชพหนามแมคลอรนดกร 4 ของ f

พรอมทงหาขอบเขตความผดพลาด


2.4 อนกรมเทย เลอรสมมตวา f เปนฟงกชนผลบวกของอนกรมกำลง

∞∑n=0

cn(x− a)n โดยท |x− a| < R จะไดวา

f(x) = c0 + c1(x− a) + c2(x− a)2 + c3(x− a)3 + c4(x− a)4 + · · · (2.1)f ′(x) = c1 + 2c2(x− a) + 3c3(x− a)2 + 4c4(x− a)3 + · · · (2.2)f ′′(x) = 2c2 + 2 · 3c3(x− a) + 3 · 4c4(x− a)2 + · · · (2.3)f ′′′(x) = 2 · 3c3 + 2 · 3 · 4c4(x− a)2 + · · · (2.4)

เมอแทน x = a ในสมการ (2.1)-(2.4) จะได

c0 = f(a), c1 = f ′(a), c2 =f ′′(a)

2!และ c3 =

f ′′(a)

3!

โดยหลกอปนยเชงคณตศาสตร cn =f (n)(a)

n!เมอ n = 0, 1, 2, 3, ...

บทนยาม 2.4.1 ให f เปนฟงกชนซงมอนพนธทกอนดบ และ f มคาทจด a อนกรมกำลงทเขยนในรป

f(a) + f ′(a)(x− a) +f ′′(a)

2!(x− a)2 +

f ′′′(a)

3!(x− a)3 + · · ·

หรอ∞∑n=0

f (n)(a)

n!(x− a)n

เรยกวา อนกรมเทย เลอร (Taylor series) ของ f รอบจด a

ในกรณท a = 0 จะเรยกวา อนกรมแมคลอรน (Maclaurin series) นนคอ

f(0) + f ′(0)x+f ′′(0)

2!x2 +

f ′′′(0)

3!x3 + · · · หรอ

∞∑n=0

f (n)(0)

n!xn

ตวอยาง 2.4.2 จงหาอนกรมเทย เลอรของ f(x) =1

xรอบจด 1

2.4. อนกรมเทย เลอร 55

ทฤษฎบท 2.4.3 ให Tn(x) เปนพหนามเทย เลอรดกร n ของ f รอบจด a

f(x) = Tn(x) +Rn(x)

สำหรบ |x− a| < R เมอ R คอรศมแหงการลเขาของอนกรม∞∑n=0

f (n)(a)

n!(x− a)n จะไดวา

f(x) =∞∑n=0

f (n)(a)

n!(x− a)n กตอเมอ lim

n→∞|Rn(x)| = 0

ตวอยาง 2.4.4 จงหาอนกรมแมคลอรนของฟงกชน

1. f(x) = ex

2. f(x) = sinx


ตวอยาง 2.4.5 จงหาอนกรมแมคลอรนของฟงกชน

1. f(x) = ℓn(x+ 1)

2. f(x) = arctanx


ตวอยาง 2.4.6 จงหาอนกรมเทย เลอรของฟงกชน f(x) =√x+ 1 รอบจด 3

ตวอยาง 2.4.7 จงหาอนกรมแมคลอรนของฟงกชน f(x) = (x+ 1)k เมอ k เปนจำนวนจรง


ตารางอนกรมเทย เลอร1

1− x=

∞∑n=0

xn = 1 + x+ x2 + x3 + · · · R = 1

ex =∞∑n=0

xn

n!= 1 + x+

x2

2!+

x3

3!+ · · · R = ∞

sinx =∞∑n=0

(−1)nx2n+1

(2n+ 1)!= x− x3

3!+

x5

5!− x7

7!+ · · · R = ∞

cosx =∞∑n=0

(−1)nx2n

(2n)!= 1− x2

2!+

x3

3!− x4

4!+ · · · R = ∞

arctanx =∞∑n=0

(−1)nx2n+1

2n+ 1= x− x3

3+

x5

5− x7

7+ · · · R = 1

ℓn(x+ 1) =∞∑n=1

(−1)n−1xn

n= x− x2

2+

x3

3− x4

4+ · · · R = 1

(1 + x)k =∞∑n=0

(k

n

)xn = 1 + kx+

k(k − 1)

2!x2 + · · · R = 1

ตวอยาง 2.4.8 จงหาอนกรมเทย เลอรของฟงกชน f(x) = xℓnx รอบจด 1


ตวอยาง 2.4.9 จงหาฟงกชนผลบวกของอนกรม∞∑n=0

x2n+1

n!

ตวอยาง 2.4.10 จงใชอนกรมแมคลอรนของ ex หาคาลมตของ limx→0

ex − 1− x

x2


แบบฝ กหด 2.41. จงหาอนกรมเทย เลอรของฟงกชนตอไปน รอบจด a

1.1 f(x) = ℓn(1− x) ; a = 0

1.2 f(x) = cosx ; a = π

1.3 f(x) =√x ; a = 1

1.4 f(x) = 3√x ; a = 1

1.5 f(x) = 3√x+ 2 ; a = −1

1.6 f(x) =1

3− x; a = 2

1.7 f(x) =1

1 + x2; a = 0

2. จงหาอนกรมแมคลอรนของฟงกชนตอไปน โดยใชตารางอนกรมเทย เลอร

2.1 f(x) = sin(x2)

2.2 f(x) = x2cosx2.3 f(x) = xℓn(x− 1)

2.4 f(x) = sin2x

2.5 f(x) = ex + e2x

2.6 f(x) = xcos(12x)

2.7 f(x) = x2ℓn(1 + x3)

2.8 f(x) =x√

4 + x2

3. จงฟงกชนผลบวกของอนกรมตอไปน

3.1∞∑n=0

(−1)nx4n+3

(2n)!3.2

∞∑n=0

(n+ 1)xn

n!

4. จงใชอนกรมแมคลอรนหาคาลมตของ limx→0

x− ℓn(1 + x)

x2

บทท 3ปรภมสามมต

3.1 ระบบพกดฉากในปรภมสามมตการบอกตำแหนงของจดใน ปรภมสามมต (three-dimensional space) ทำไดจากการอางองเสนตรงสามเสนคอ แกน X แกน Y และแกน Z ซงตดการทจด O เรยกวา จดกำเนด (origin)และเรยก

ระนาบทผาน แกน X และแกน Y วา ระนาบ XY (XY-plane)ระนาบทผาน แกน X และแกน Z วา ระนาบ XZ (XZ-plane)ระนาบทผาน แกน Y และแกน Z วา ระนาบ YZ (YZ-plane)

X

Y

Z

ระนาบ XY

X

Y

Z

ระนาบ XZ

X

Y

Z

ระนาบ YZระนาบพกดฉากทงสามจะแบงปรภมสามมตออกเปน 8 สวนเรยกวา อฐภาค (Octance)

X

Y

Z

61

62 บทท 3. ปรภมสามมต

การเลอกทศทางทเปนบวกของพกดฉาก เรานยมใชกฎมอขวาโดยใหนวหวแมมอไปทางแกนZ บวก น วช ไปทางแกน X บวก และน วกลาง ช ไปทางแกน Y บวก ตงฉากกนเสมอ ตวอยางดงรปตอไปน เราจะเลอกใชแบบใดแบบหนงตามความเหมาะสม

X

Y

Z

Z

X

Y

X

Y

Z

Y

X

Z

การบอกตำแหนงของจด P ในปรภมสามมต มแกนพกดเปนทอางองบอกไดโดยใชจำนวนจรง(x, y, z) เรยกวาพกดฉากของจด P และใช R3 แทนเซตของจด (x, y, z) ในปรภมสามมต

XY

Z

P (x, y, z)

(x, 0, 0)

(x, 0, z)

(0, 0, z)

(x, y, 0)

(0, y, 0)

(0, y, z)

จากจด P (x, y, x) ลากขนานระนาบ XY ไปยงแกน Z จะไดจด (0, 0, z)

เรยกจดน วา ภาพฉาย (projection) ของ P แกน Zจากจด P (x, y, x) ลากขนานระนาบ YZ ไปยงแกน X จะไดจด (x, 0, 0)

เรยกจดน วา ภาพฉายของ P แกน Xจากจด P (x, y, x) ลากขนานระนาบ XZ ไปยงแกน Y จะไดจด (0, y, 0)

เรยกจดน วา ภาพฉายของ P แกน Yจากจด P (x, y, x) ลากขนานแกน Z ไปทระนาบ XY จะไดจด (x, y, 0)

เรยกจดน วา ภาพฉายของ P บนระนาบ XYจากจด P (x, y, x) ลากขนานแกน X ไปทระนาบ YZ จะไดจด (0, y, z)

เรยกจดน วา ภาพฉายของ P บนระนาบ YZจากจด P (x, y, x) ลากขนานแกน Y ไปทระนาบ XZ จะไดจด (x, 0, z)

เรยกจดน วา ภาพฉายของ P บนระนาบ XZ

3.1. ระบบพกดฉากในปรภมสามมต 63

ตวอยาง 3.1.1 จงหาภาพฉายทงหมดของจด P (1, 2, 3)

1. ภาพฉายบนระนาบ XY ของจด P คอ2. ภาพฉายบนระนาบ XZ ของจด P คอ3. ภาพฉายบนระนาบ YZ ของจด P คอ4. ภาพฉายบนแกน X ของจด P คอ5. ภาพฉายบนแกน Y ของจด P คอ6. ภาพฉายบนแกน Z ของจด P คอ

ตวอยาง 3.1.2 จงเขยนกราฟในปรภมสามมตแสดงจดดงตอไปน

1. P (1,−2, 2)

X

Y

Z

2. Q(0, 2, 1)

X

Y

Z

3. R(1, 2, 2)

X

Y

Z

4. S(3, 1, 2)

X

Y

Z


แบบฝ กหด 3.11. จงเขยนกราฟในปรภมสามมตแสดงจดดงตอไปน

1.1 A(5, 0, 0)

1.2 B(0, 2, 1)

1.3 C(3, 1, 0)

1.4 D(−3, 0, 2)

1.5 E(1, 1, 3)

1.6 F (−4, 2,−3)

1.7 G(2, 1,−2)

1.8 H(3,−2, 6)

2. จงหาภาพฉายของจด P บนระนาบ XY, XZ และ YZ2.1 P (3, 1, 2)

2.2 P (1, 2,−2)

2.3 P (4,−1, 0)

2.4 P (−8, 9, 7)

3. จงหาภาพฉายของจด P บนแกน X, Y และ Z3.1 A(5, 0, 0)

3.2 B(0, 2, 1)

3.3 C(3, 1, 0)

3.4 D(−3, 0, 2)

3.2. เวกเตอร ในปรภมสามมต 65

3.2 เวกเตอรในปรภมสามมตเวกเตอร (vector) คอปรมาณทมทงขนาดและทศทาง โดยทวไปใชส วนของเสนตรงเชอมโยงกนระหวางจดสองจดและมลกศรกำกบแทนเวกเตอร และความยาวของเสนตรงแทนขนาดของเวกเตอร ใชสญญาลกษณ −→

PQ แทนเวกเตอรทมจดเรมตนทจด P สนสดทจด Q มทศทางจาก P ไป Q และใช ∥−→PQ∥ แทนความยาวหรอขนาด (length/magnitude/norm) ของ −→

PQ และเวกเตอรทงสองจะเทากนกตอเมอทงสองมขนาดเทากนและทศทางเดยวกน

X

Y

Z

P

Q

O

A

บทนยาม 3.2.1 กำหนดให P (x1, y1, z1) และ Q(x2, y2, z2)

แลว a เปนเวกเตอรตำแหนง (position vector) ของ −→PQ คอ

a = ⟨x2 − x1, y2 − y1, z2 − z1⟩

ถา a1 = x2 − x1, a2 = y2 − y1 และ a3 = z2 − z1 ดงนน a = ⟨a1, a2, a3⟩ เรยก a1, a2 และ a3

วาสวนประกอบ (component) ของ a ตามแกน X แกน Y และ แกน Z ตามลำดบ

XY

Z

OA

a1 a2

a3

a

จากรปโดยใชความสมพนธของสามเหลยมมมฉากจะไดวา∥a∥ =

√a21 + a22 + a23

บทนยาม 3.2.2 เวกเตอรทมตวประกอบทกตวเปนศนย เรยกวา เวกเตอรศนย (zero vector)เขยนแทนดวย 0 = ⟨0, 0, 0⟩

ขอตกลง เมอ P เปนจดใน R3 และ O เปนจดกำเนด เราจะเขยนเวกเตอร −→OP แทนดวย P


มมแสดงทศทางบทนยาม 3.2.3 ให a = ⟨a1, a2, a3⟩ = 0 เปนเวกเตอรททำมม α, β, γ กบแกน X แกน Y และแกน Z ดานบวกตามลำดบโดยท α, β, γ ∈ [0, π] เรยก α, β, γ วามมแสดงทศทาง (directionangles) ของ a และ cosα, cosβ, cosγ วาโคไซนแสดงทศทาง (direction cosines) ของ a

XY

Z

O

a1 a2

a3

a

α

β

γ

จากรปจะไดวา cosα =a1∥a∥

cosβ =a2∥a∥

cosγ =a3∥a∥

ตวอยาง 3.2.4 จงหาเวกเตอรตำแหนงของ −→PQ ขนาดและโคไซนแสดงทศทางของเวกเตอรนน

1. P (1, 2,−3) และ Q(−1, 0− 4) 2. P (4,−1, 2) และ Q(5,−2, 3)

ตวอยาง 3.2.5 จงหามมแสดงทศทางของเวกเตอร a = ⟨−1, 1,√2⟩

บทนยาม 3.2.6 ให a = ⟨a1, a2, a3⟩ และ b = ⟨b1, b2, b3⟩ และ k ∈ R

1. a = b กตอเมอ a1 = b1, a2 = b2 และ a3 = b3

2. a+ b = ⟨a1 + b1, a2 + b2, a3 + b3⟩

3. ka = ⟨ka1, ka2, ka3⟩

4. a− b = a+ (−b)


ตวอยาง 3.2.7 ให a = ⟨1,−2, 5⟩ และ b = ⟨−1,−4, 7⟩ จงหาเวกเตอรตอไปน1. a+ b

2. 2a+ 3b

3. 3a− 2b

ทฤษฎบท 3.2.8 ให a, b และ c เปนเวกเตอรใน R3 และ c, k ∈ R แลว1. a+ b = b+ a

2. (a+ b) + c = a+ (b+ c)

3. a+ 0 = a

4. a+ (−a) = 0

5. (ck)a = c(ka) = k(ca)

6. c(a+ b) = ca+ cb

7. (c+ k)a = ca+ ka

8. 1a = a

9. 0a = 0


เวกเตอรหนงหนวยบทนยาม 3.2.9 เราเรยกเวกเตอรทมขนาดหนงหนวยวา เวกเตอรหนงหนวย (unit vector)ให a เปนเวกเตอรทไมใช เวกเตอรศนยใน R3 และจะไดวา

a

∥a∥เปนเวกเตอรหนงหนวยทมทศเดยวกบ a

− a

∥a∥เปนเวกเตอรหนงหนวยทมทศตรงขามกบ a

ตวอยาง 3.2.10 จงหาเวกเตอรหนงหนวยของเวกเตอรตอไปน

1. ⟨1,−2, 2⟩

2. ⟨1, 1,√2⟩

3. ⟨3sinθ, 4sinθ, 5cosθ⟩

เวกเตอรหนงหนวยตามแนวแกน X แกน Y และ แกน Z คอ i, j และ k ตามลำดบi = ⟨1, 0, 0⟩ j = ⟨0, 1, 0⟩ k = ⟨0, 0, 1⟩

ให a = ⟨a1, a2, a3⟩ แลวจะไดวา

a = ⟨a1, a2, a3⟩ = a1⟨1, 0, 0⟩+ a2⟨0, 1, 0⟩+ a3⟨0, 0, 1⟩ = a1i+ a2j + a3k


ผลคณเชงสเกลารบทนยาม 3.2.11 ให a = ⟨a1, a2, a3⟩ และ b = ⟨b1, b2, b3⟩ผลคณเชงสเกลาร (scalar product) ของ a และ b เขยนแทนดวย a · b นยามโดย

a · b = a1b1 + a2b2 + a3b3

ตวอยาง 3.2.12 จงหาผลคณเชงสเกลารของเวกเตอร a และ b

1. a = ⟨3,−1, 5⟩ และ b = ⟨1, 6,−3⟩

2. a = ⟨2, 1,−7⟩ และ b = ⟨4, 6, 2⟩

3. a = ⟨a, 1,−a⟩ และ b = ⟨a, a, a+ 1⟩

4. a = ⟨2sinx, cosx, 1⟩ และ b = ⟨sinx, 2cosx, 1⟩


ทฤษฎบท 3.2.13 ให a, b และ c เปนเวกเตอรใน R3 และ k ∈ R แลว1. a · b = b · a

2. a · (b+ c) = a · b+ a · c

3. k(a · b) = (ka) · b = a · (kb)

4. a · a = ∥a∥2

ตวอยาง 3.2.14 ให a และ b เปนเวกเตอรใน R3 จงแสดงวา1. a · a = 0 กตอเมอ a = 0

2. ∥a+ b∥2 = ∥a∥2 + 2a · b+ ∥b∥2


มมระหวางเวกเตอรทฤษฎบท 3.2.15 ให a = 0 และ b = 0 เปนเวกเตอรใน R3 แลว

a · b = ∥a∥∥b∥cosθ

เมอ θ เปนมมระหวาง a และ b เมอ 0 ≤ θ ≤ π ดงรป

a

b

θ

ขอสงเกต a และ b ตงฉากกน (orthogonal) กตอเมอ a · b = 0 หรอ θ =π

2

ตวอยาง 3.2.16 ให A(1, 2, 0), B(0, 4, 2) และ C(3, 2,−2) เปนจดยอดของสามเหลยม ABC

จงหามม BAC

ตวอยาง 3.2.17 ให a = ⟨3, 2,−1⟩, b = ⟨1,−1, 1⟩ และ c = ⟨3, 4,−2⟩จงตรวจสอบวาเวกเตอรคใดตงฉากกน


ภาพฉายเวกเตอรบทนยาม 3.2.18 ให a = 0, b = 0 และ θ เปนมมระหวาง a และ b ลากเสนตรงจาก A ไปตงฉากกบ −−→

OB ทจด C ดงรป

B

A

θ

O C

a

bB

A

θ

OC

a

b

เรยก −→OC วา ภาพฉายเวกเตอร (vector projection) ของ a บน b

เขยนแทนดวย Projbaเรยก ∥

−→OC∥ วา ภาพฉายสเกลาร (scalar projection/component) ของ a บน b

เขยนแทนดวย Compba

ทฤษฎบท 3.2.19 ให a = 0 และ b = 0 แลวจะไดวา

Projba =a · b∥b∥2

b และ Compba =a · b∥b∥

ตวอยาง 3.2.20 จงหาภาพฉายเวกเตอรและภาพฉายสเกลารของ a บน b

1. a = ⟨1, 2, 3⟩ และ b = ⟨1,−2,−2⟩

2. a = ⟨3, 1, 2⟩ และ b = ⟨1,−2, 4⟩


ผลคณเชงเวกเตอรบทนยาม 3.2.21 ให a = ⟨a1, a2, a3⟩ และ b = ⟨b1, b2, b3⟩ผลคณเชงเวกเตอร (vector product/cross product) ของ a และ b เขยนแทนดวย a× b คอ

a× b = ⟨a2b3 − a3b2, a3b1 − a1b3, a1b2 − a2b1⟩

หรอ

a× b =

∣∣∣∣∣∣∣i j k

a1 a2 a3

b1 b2 b3

∣∣∣∣∣∣∣ = i

∣∣∣∣∣a2 a3

b2 b3

∣∣∣∣∣− j

∣∣∣∣∣a1 a3

b1 b3

∣∣∣∣∣+ k

∣∣∣∣∣a1 a2

b1 b2

∣∣∣∣∣เมอ |M | แทนดเทอรมแนนทของเมตรกซ M

b

a

a× b

ตวอยาง 3.2.22 กำหนดให a = ⟨1, 2,−1⟩, b = ⟨0, 2, 1⟩ และ c = ⟨−3, 1,−1⟩ จงหา1. a× b

2. a× (b+ c)

3. c× (a× b)


ทฤษฎบท 3.2.23 ให a, b และ c เปนเวกเตอรใน R3 และ k ∈ R แลว1. a× b = −(b× a)

2. a× (b+ c) = (a× b) + (a× c)

3. k(a× b) = (ka)× b = a× (kb)

4. a · (a× b) = 0 = b · (a× b)

ตวอยาง 3.2.24 จงหาเวกเตอรทตงฉากกบ a = ⟨1,−3, 4⟩ และ b = ⟨2, 2, 1⟩


พ นทสเหลยมดานขนานทฤษฎบท 3.2.25 ให a = 0 และ b = 0 เปนเวกเตอรใน R3 และ θ เปนมมระหวาง a และ b แลว

∥a× b∥ = ∥a∥∥b∥sinθ

ขอสงเกต a และ b ขนานกน (paralell) กตอเมอ a× b = 0 หรอ θ = 0 หรอ π

ทฤษฎบท 3.2.26 ให a และ b เปนเวกเตอรใน R3 แลวพนทสเหลยมดานขนาน (parallelogram)ทมดานประชดเปน a และ b มคาเทากบ ∥a× b∥

a

b

ตวอยาง 3.2.27 จงหาพนทของสามเหลยมทมจดยอดเปน A(2, 1, 1), B(−1, 3, 1) และ C(0, 2,−3)

ผลคณเชงสเกลารของสามเวกเตอรบทนยาม 3.2.28 ให a, b และ c เปนเวกเตอรใน R3 แลวผลคณเชงสเกลารของสามเวกเตอร(scalar triple products) ของ a, b และ c คอ a · b× c หรอ a · (b× c) นนคอ

a · b× c =

∣∣∣∣∣∣∣a1 a2 a3

b1 b2 b3

c1 c2 c3

∣∣∣∣∣∣∣เมอ a = ⟨a1, a2, a3⟩, b = ⟨b1, b2, b3⟩ และ c = ⟨c1, c2, c3⟩

โดยคณสมบตของดเทอรมแนนทจะไดวา a · b× c = b · c× a = c · a× b

76 บทท 3. ปรภมสามมตตวอยาง 3.2.29 กำหนดให a = ⟨1, 2, 1⟩, b = ⟨0, 1, 2⟩ และ c = ⟨−1, 0, 1⟩ จงหา

1. a · b× c

2. c× b · c

3. (a+ b)× (a− b) · c


ทฤษฎบท 3.2.30 ปรมาตรของรปทรงส เหลยมหนาขนาน (parallepiped) ซงมดานประชดเปน a, b และ c เทากบ |a · b× c|

b× c

c

b

a

A

h

θ

จากรป V = Ah = ∥b× c∥∥a∥|cosθ| = |a · b× c|

ตวอยาง 3.2.31 จงหาปรมาตรของรปทรงสเหลยมหนาขนานซงมดานประชดเปน ⟨1, 1,−1⟩,⟨2, 1, 0⟩ และ ⟨0, 1, 3⟩

ตวอยาง 3.2.32 จงใชผลคณเชงสเกลารของสามเวกเตอรแสดงวา ⟨1, 4,−7⟩, ⟨2,−1, 4⟩ และ⟨0,−9, 18⟩ อยบนระนาบเดยวกน (coplanar)


แบบฝ กหด 3.21. กำหนดให a = ⟨1, 2, 0⟩, b = ⟨1,−1, 2⟩, c = ⟨1, 0, 3⟩ และ d = ⟨−2, 1, 5⟩ จงหา

1.1 2a− 3b

1.2 ∥c+ 2d∥+ ∥2a+ b∥

1.3 เวกเตอรหนงหนวยของ 2c− d

1.4 โคไซนแสดงทศทางของ b+ c

1.5 มมระหวาง a+ c กบ a− c

1.6 (a× b)× (c× d)

1.7 ภาพฉายเวกเตอรและภาพฉายสเกลารของ b บน c

1.8 เวกเตอร 5 หนวยทตงฉากกบ a และ c

1.9 จงหาเวกเตอรทตงฉากกบ a และ d

2. จงตรวจสอบวาเวกเตอรคใดตอไปน ตงฉากกนบาง

a = ⟨1, 2, 1⟩, b = ⟨1,−2, 3⟩, c = ⟨−3, 3, 1⟩ และ d = ⟨−1, 1, 7⟩

3. จงหาพนทสามเหลยมทมจดยอดเปน (−3, 1, 2), (−5, 1, 0) และ (4,−2, 1)

4. กำหนดให A(1, 1, 2), B(2, 0, 3), C(3, 0, 0) และD(2, 1,−1) จงแสดงวารปสเหลยมABCD

เปนสเหลยมดานขนาน และหาพนทของรปสเหลยมน

5. จงหาปรมาตรของรปทรงสเหลยมหนาขนานซงมดานประชดเปน a = ⟨2, 1,−3⟩,b = ⟨4,−1, 0⟩ และ c = ⟨−1, 4,−1⟩

6. จงยกตวอยางเวกเตอร a, b และ c ททำให a× (b× c) = (a× b)× c

7. จงใชผลคณเชงสเกลารของสามเวกเตอรแสดงวา ⟨1, 5,−2⟩, ⟨3,−1, 0⟩ และ ⟨5, 9,−4⟩อยบนระนาบเดยวกน

8. ให a, b และ c เปนเวกเตอรใน R3 จงแสดงวา8.1 ∥a× b∥2 = ∥a∥2∥b∥2 − (a · b)

8.2 ถา a+ b+ c = 0 แลว a× b = b× c = c× a

8.3 (a− b)× (a+ b) = 2(a× b)

8.4 a× (b× c) = (a · c)b− (a · b)c

8.5 a× (b× c) + b× (c× a) + c× (a× b) = 0

8.6 (a× b) · (c× d) =

∣∣∣∣∣a · c b · ca · d b · d

∣∣∣∣∣

3.3. เสนตรงในปรภมสามมต 79

3.3 เสนตรงในปรภมสามมตบทนยาม 3.3.1 ให P0 เปนจดใน R3 และ A = 0 เปนเวกเตอรใน R3 เราจะเรยก

เซตของจด P ใด ๆ ซงทำให −−→P0P ขนานกบ A วา เสนตรง (Line) ทผานจด P0 และขนานกบ A

และเรยก A วา เวกเตอรแสดงทศทาง (direction vector) ของเสนตรง

X

Y

Z P

P0

L

O

A

เนองจาก −−→P0P ขนานกบ A ดงนนจะไดวาม t ∈ R ททำให

−−→P0P = tA หรอ P = P0 + tA (3.1)

ถากำหนดจด P (x, y, z) และ P0(x0, y0, z0) และ A = ⟨a, b, c⟩ ดงนน⟨x, y, z⟩ = ⟨x0, y0, z0⟩+ t⟨a, b, c⟩ = ⟨x0 + at, y0 + bt, z0 + ct⟩ (3.2)

เรยกสมการ (3.1) หรอ (3.2) วา สมการเวกเตอร (vector equation) ของเสนตรง L

จากสมการ (3.2) เราจะแยกเขยนสมการสำหรบสวนประกอบไดเปนx = x0 + at, y = y0 + bt, z = z0 + ct (3.3)

เรยกสมการ (3.3) วา สมการอางองตวแปรเสรม (parametric equation) ของเสนตรง L

ถา a, b, c ไมมจำนวนใดเปนศนย จะไดวาx− x0

a=

y − y0b

=z − z0

c(3.4)

เรยกสมการ (3.4) วา สมการสมมาตร (symmetric equation) ของเสนตรง L

ตวอยาง 3.3.2 จงหาสมการเวกเตอร สมการองตวแปรเสรม และสมการสมมาตร ของเสนตรงทผานจด P0(1, 2, 3) และขนานกบ A = ⟨1, 2,−1⟩

80 บทท 3. ปรภมสามมตตวอยาง 3.3.3 จงหาสมการเวกเตอร สมการองตวแปรเสรม และสมการสมมาตร ของเสนตรงทผานจด P1(1, 3, 4) และ P2(1,−2, 3)

การตรวจสอบวาจด P (x, y, z) อยบนเสนตรง L หรอไมทำไดโดยการแทนคา x, y, z ลงในสมการเสนตรง L วาสอดคลองกบสมการของเสนตรง L หรอไมตวอยาง 3.3.4 จงตรวจสอบวาจด P (1,−2, 3) อยบนเสนตรงตอไปนหรอไม

1. x = 3− t, y = 2− 4t, z = 3 + t 2. x+ 1

2=

y + 5

3= z − 2

ตวอยาง 3.3.5 จด A(1, 2, 0), B(−1, 3, 4) และ C(−2, 1, 5) อยบนเสนตรงเดยวกนหรอไม

ตวอยาง 3.3.6 จงหาจดทเสนตรงตอไปน ตดระนาบ XY ระนาบ XZ และ ระนาบ YZ1. x = 1 + t, y = 2− 2t, z = t− 3 2. 1− x

3=

y − 10

5, z = 4


ระยะทางระหวางจดกบเสนตรงการวดระยะทางระหวางจด B กบเสนตรง L คอความยาวทสนทสดจากจด B ไปยงเสนตรง L

หมายถงความยาวของเสนตงฉากทลากจากจด B ไปยงเสนตรง L ทจด M เรยกจด M วา จดเชงเสนตงฉาก (Orthogonal point)

X

Y

Z

P0

M

B

L

O

A

θ

จากรปจะไดวา ∥−−→BM∥ = ∥

−−→P0B∥sinθ เนองจาก A ขนานกบ −−→

P0M ดงนน θ เปนมมระหวาง−−→PB กบ A ดงนน

∥−−→BM∥ =

∥−−→P0B∥∥A∥sinθ

∥A∥=

∥−−→P0B × A∥

∥A∥

ตอไปเราจะหาจด M เนองจาก M อยบนเสนตรง L ดงนนม t ∈ R ททำให M = P0 + tA

เนองจาก −−→BM ตงฉากกบ A ดงนน0 =

−−→BM · A = (M − B) · A = (P0 + tA− B) · A = (P0 − B) · A+ t∥A∥2

แลวจะไดวาt =

(−−→OB −

−−→OP0) · A

∥A∥2

ดงนนM = P0 +

(B − P0) · A∥A∥2

A

ตวอยาง 3.3.7 จงหาจดเชงเสนตงฉากของจด B(2, 1,−1) บนเสนตรงx = 5 + 4t, y = 2− t, z = 4 + 3t

พรอมทงหาระยะทางจากจด B ไปยงเสนตรงน


การตดกนของเสนตรงความสมพนธของเสนตรง L1 และ L2 ในปรภมสามมตมลกษณะดงน

1. ตดกน

X

Y

Z

L1

L2

O

2. ไมตดกน

2.1 ไมตดกน และไมขนานกน

X

Y

Z

L1 L2

O

2.2 ไมตดกน และขนานกน

X

Y

Z

L1

L2

O

ตวอยาง 3.3.8 จงตรวจสอบวา L1 และ L2 ตดกนหรอไม ถาตดจงหาจดตด1. L1 : x = 2 + t, y = 4− t, z = 3 + 2t

L2 : x = 1− s, y = 9+ 3s, z = 2+ s2. L1 : 2− x = 3− y =

z − 1

2

L2 : 7− x

3= y = z − 1


มมระหวางเสนตรงบทนยาม 3.3.9 มมระหวางเสนตรงสองเสน คอมมระหวางเวกเตอรแสดงทศทางของเสนตรงทงสองเสนนน

XY

Z

L1

L2

O

A1

A2

θ

cosθ =A1 · A2

∥A1∥∥A2∥

ตวอยาง 3.3.10 จงหามมระหวางเสนตรง L1 และ L2

1. L1 : x = 2+t, y = 1+2t, 2z = 1+4t

L2 : x = −3s, y = 2+4s, z = 5s− 12. L1 : 2x− 1 = y =

1− z

3L2 : x

4= y − 1 = z

ตวอยาง 3.3.11 จงหาสมการเสนตรงทผานจด B(1,−1, 2) ซงตดและตงฉากกบเสนตรง

x− 1 =3− y

2= −z


การขนานกนของเสนตรงบทนยาม 3.3.12 เสนตรงสองเสนขนานกน (parallel line) กตอเมอเวกเตอรแสดงทศทางของเสนตรงทงสองเสนขนานกนตวอยาง 3.3.13 จงหาสมการเสนตรงทผานจด (1, 2, 3) และขนานกบเสนตรง

x+ 2 =4− y

2= 1− z

การไขวตางระนาบของเสนตรงบทนยาม 3.3.14 เราจะเรยกเสนตรงสองเสนวา เสนไขวตางระนาบ (skew line) กตอเมอเราไมสามารถหาระนาบทเสนตรงทงสองอยบนระนาบเดยวกนได หรอกลาวไดอกอยางวาเสนตรงทงสองไมตดกนไมไมขนานกนตวอยาง 3.3.15 จงพจารณา L1 และ L2 วาเปนเสนไขวตางระนาบกนหรอไม

1. L1 : 2x = 1 + t, y = 2− t, 3z = t

L2 : x = 2− 3s, y = 6s, z = 1− 2s

2. L1 : x =y

2= z − 1

L2 : x+ 1

2= y − 1 =

z + 2

3


ระยะทางระหวางเสนตรงสองเสนบทนยาม 3.3.16 ระยะทางระหวางเสนตรงสองเสน คอระยะทสนทสดระหวางเสนตรงทงสอง

1. ระยะทางระหวางเสนตรงสองเสนทขนานกน

X

Y

Z

P2

P1 L2

L1

O

ระยะทางระหวางเสนตรงสองเสนทขนานกน

ให L1 และ L2 เปนเสนตรงสองเสนท ขนานกน ซงผานจด P1 และ P2 ตามลำดบ ระยะทางระหวาง L1 และ L2 คอ ระยะทางระหวางจด P1 ไปยง L1 หรอ P2 ไปยง L2 นนคอ

ระยะทางระหวาง L1 และ L2 เทากบ ∥−−→P1P2 × A1∥

∥A1∥หรอ ∥

−−→P2P1 × A2∥

∥A2∥

ตวอยาง 3.3.17 จงหาระยะทางระหวางเสนตรงL1 : x = 1 + t, y = 2− 2t, z = −1 + 2t และ L2 : x = 2− s, y = 1 + 2s, z = −2s


2. ระยะทางระหวางเสนตรงสองเสนทไมขนานกน

XY

Z P1

Q1

P2

Q2

L1

L2

O

A1 × A2

L1

L2

P2

P1

−−−→Q1Q2

จากรป Q1 และ Q2 เปนจดปลายของสวนเสนตรงทตงฉากกบ L1 และ L2 ดงนนระยะทางระหวาง L1 และ L2 เทากบ ∥

−−−→Q1Q2∥

เนองจาก −−−→Q1Q2 ตงฉากกบ A1 และ A2 จะไดวา −−−→

Q1Q2 ขนานกบ A1 × A2 จากรปจะไดวา∥−−−→Q1Q2∥ = ขนาดของภาพฉายสเกลารของ −−→

P2P1 บน A1 × A2

ดงนน

ระยะทางระหวาง L1 และ L2 เทากบ |−−→P2P1 · (A1 × A2)|

∥A1 × A2∥

ตวอยาง 3.3.18 จงหาระยะทางระหวางเสนตรงL1 : x− 1

2= −y = −z

2และ L2 : x = −3t, y = 1 + 2t, z = t


แบบฝ กหด 3.31. จงหาสมการเวกเตอร สมการองตวแปรเสรม และสมการสมมาตร ของเสนตรงทผานจด

P0 และขนานกบ A

1.1 P0(2, 1, 1) และ A = ⟨1,−1, 3⟩ 1.2 P0(−1, 3, 5) และ A = ⟨0, 2,−1⟩

2. จงหาสมการเวกเตอร สมการองตวแปรเสรม และสมการสมมาตร ของเสนตรงทผานจดP1 และ P2

2.1 P1(1,−1, 0) และ P2(2,−3, 5) 2.2 P1(−1,−3,−2) และ P2(−5, 0, 1)

3. จงตรวจสอบวาจด (1, 2,−3) อยบนเสนตรงใดตอไปนหรอไม

3.1 x = 3− 2t, y = 3 + t, z = 1− 4t

3.2 2x = 3+2t, y = 1−2t, 3z = 4t−7

3.3 2x− 1 =y + 2

2=

z

3

3.4 x+ 7

4= 4− y =

z + 9

3

4. จงพจารณาวาจด A(3, 3, 1), B(−1, 5,−7) และ C(5, 2, 5) อยบนเสนตรงเดยวกนหรอไม

5. จงหาระยะทางจากจด B(1,−2, 1) ไปยงเสนตรงตอไปน

5.1 x = 6 + 4t, y = 3− 2t, z = 1 + t 5.2 x− 1

2=

1− y

3=

z + 1

4

6. จงหาพกดของจดบนเสนตรงตอไปน ทอยใกลจดกำเนดมากทสด

6.1 x = 9 + 4t, y = t, z = 3 + 2t 6.2 8− x

6=

y − 2

2=

z + 7

8

7. จงตรวจสอบวา L1 และ L2 ตดกนหรอไม ถาตดจงหาจดตด7.1 L1 : x = 2 + t, y = −1 + 3t, z = 2− 3t

L2 : x = 4 + s, y = 5 + 3s, z = s

7.2 L1 : x− 1

2= 2− y = z

L2 : 2x+ 1

3= y = z − 2

8. จงหามมระหวางเสนตรง L1 และ L2 ในแตละขอตอไปน8.1 L1 : x = 2 + t, y = 1− t, z = 5 + t

L2 : x = 2 + s, y = 5− 2s, z = 1− 3s

8.2 L1 : 1− x = y =z + 3√

2

L2 : x√2=

y − 3√2

=z + 1

2


9. จงหาสมการเสนตรงทผานจดกำเนด ซงตดและตงฉากกบเสนตรง x =3− y

2= z − 2

10. จงหาสมการเสนตรงทผานจด (−1, 2, 1) และขนานกบเสนตรง x+ 3

2=

1− y

5= 2− z

11. จงพจารณา L1 และ L2 วาเปนเสนไขวตางระนาบกนหรอไม11.1 L1 : 2x = 1 + 4t, y = 2− t, z = t

L2 : x = −4s, y = 1 + 2s, 3z = 1− 6s

11.2 L1 : x− 1 =3− y

2= 2z + 1

L2 : 2− x =y − 1

2=

1− 4z

2

12. จงระยะทางระหวาง L1 และ L2 ในแตละขอตอไปน12.1 L1 : x = 7t, y = 2 + t, z = 4− 3t

L2 : x = 3− s, y = 5, z = 6 + 2s

12.2 L1 : x+ 5 =y + 3

4=

6− z

9

L2 : 2− x =4− y

4=

z + 1

−9

12.3 L1 : x = 5 + 4t, y = 2− t, z = 4 + 3t

L2 : x = 2− 8s, y = 1 + 2s, z = −1− 6s

12.4 L1 : x+ 1 =z + 1

2, y = 2

L2 : x = 2− t, y = 3 + 4t, z = 2t

3.4. ระนาบในปรภมสามมต 89

3.4 ระนาบในปรภมสามมตบทนยาม 3.4.1 ให P0 เปนจดใน R3 และ N = 0 เปนเวกเตอรใน R3 เราจะเรยก

เซตของจด P ใด ๆ ซงทำให −−→P0P ตงฉากกบ N วา ระนาบ (plane)ทผานจด P0 และตงฉากกบเวกเตอร N

และเรยก N วา เวกเตอรแนวฉาก (normal vector)

X Y

Z

O

N

P0

P

เนองจาก −−→P0P ตงฉากกบ N ดงนน −−→

P0P · N = 0 หรอ(P − P0) · N = 0 (3.5)

เราจะเรยกสมการ (3.5) วา สมการเวกเตอรของระนาบ (vector equation of the plane)

ถากำหนดให P0 = (x0, y0, z0), P = (x, y, z) และ N = ⟨a, b, c⟩ จะไดวาa(x− x0) + b(y − y0) + c(z − z0) = 0 (3.6)

เรยกสมการ (3.6) วา สมการสเกลาร (scalar equation) ของระนาบทผานจด (x0, y0, z0)

และม ⟨a, b, c⟩ เปนเวกเตอรแนวฉาก

ถาเราจดรปสมการ (3.6) โดยกำหนดให d = ax0 + by0 + cz0 จะไดวาax+ by + cz = d (3.7)

เรยกสมการ (3.7) วา สมการคารทเซยน (cartesian equation) ของระนาบ ทม ⟨a, b, c⟩ เปนเวกเตอรแนวฉากตวอยาง 3.4.2 จงหาสมการเวกเตอร สมการสเกลาร และสมการคารทเซยนของระนาบทผานจด P0(1, 2, 3) และตงฉากกบ N = ⟨1,−1, 4⟩


ตวอยาง 3.4.3 จงหาสมการของระนาบทผานจด P (1, 2, 3), Q(3,−1, 6) และ R(5, 1, 0)

ตวอยาง 3.4.4 จงเขยนกราฟของระนาบตอไปน

1. x = 2

2. y = 1

3. z = 3

4. x+ y = 1


ตวอยาง 3.4.5 จงเขยนกราฟของระนาบตอไปน

1. x+ y − z = 2 2. 2x+ 3y + 4z = 12

ตวอยาง 3.4.6 จงตรวจสอบวา P (1, 2,−1) และ Q(2, 3, 1) อยบนระนาบ x − 2y − 4z = 1

หรอไม

ตวอยาง 3.4.7 จงตรวจสอบวา P (1, 2,−1), Q(2, 0, 3), R(3, 4, 1) และ S(−2, 1, 2) อยบนระนาบเดยวกนหรอไม


ระยะทางระหวางจดกบระนาบบทนยาม 3.4.8 ระยะทางระหวางจดกบระนาบ คอระยะทางตงฉากจากจดนนไปยงระนาบ

ใหระนาบ M มสมการเวกเตอรเปน (P − P0) · N = 0 และ P1 เปนจดใน R3 ลากไปตงฉากกบระราบ M ทจด Q ดงรป

N

P0

P1

Q

N

P0

P1

Q

จากรปจะไดวา ∥−−→QP1∥ = ขนาดของภาพฉายของ −−→

P0P1 บน N จะไดวา

∥−−→QP1∥ =

|−−→P0P1 · N |∥N∥

=|(P1 − P0) · N |

∥N∥

กำหนดใหระนาบ M ผานจด P0 = (x0, y0, z0) และม N = ⟨a, b, c⟩ เปนเวกเตอรแนวฉาก M จะมสมการคารทเซยนเปน ax+ by + cz = d เมอ d = ax0 + by0 + cz0 แลว

∥−−→QP1∥ =

|(P1 − P0) · N |∥N∥

=|⟨x1 − x0, y1 − y0, z1 − z0⟩ · ⟨a, b, c⟩|√

a2 + b2 + c2

=|ax1 + by1 + cz1 − (ax0 + by0 + cz0)|√

a2 + b2 + c2

=|ax1 + by1 + cz1 − d|√

a2 + b2 + c2

ดงนนระยะทางระหวางจด P1(x1, y1, z1) กบระนาบ ax+ by + cz = d คอ|ax1 + by1 + cz1 − d|√

a2 + b2 + c2

ตวอยาง 3.4.9 จงหาระยะทางระหวางจด P1(4, 3,−1) กบระนาบ x− 2y + 2z = 5


ตวอยาง 3.4.10 จงหาจดบนระราบ 2x+ y − 3z + 10 = 0 ซงอยใกลทสดกบจด P1(4, 2, 2)

เสนตรงกบระนาบเสนตรงกบระนาบมความสมพนธกน 3 ลกษณะคอ

1. เสนตรงกบระนาบมจดรวมกนจดเดยว เรยกวาเสนตรงตดกบระนาบ

2. เสนตรงกบระนาบมจดรวมกนมากกวาหนงจด นนคอเสนตองอยบนระนาบ

3. เสนตรงกบระนาบมไมมจดรวม นนคอเสนตรงขนานกบระรนาบ

ตวอยาง 3.4.11 จงพจารณาวาเสนตรงกบระนาบตอไปน ตดกนหรอขนานกน ถาตดกนจงหาจดตด ถาขนานกนจงพจารณาวาเสนตรงอยบนระนาบหรอไม

1. x = 1 + 2t, y = 2 + t, z = 3− 3t และ x+ 4y + 2z = 5


2. x− 1 =y + 3

2= z และ 2x− y + z = 7

ตวอยาง 3.4.12 จงหาสมการของระนาบทผานเสนตรง L : x = y − 1 =z

2และผานจด

Q(1, 3,−1)

ตวอยาง 3.4.13 จงหาสมการของระนาบทขนานกบเสนตรงL1 : x− 1 =

y

2= z และ L2 :

x

2= y =

z

3

และผานจด Q(2,−3, 1)


มมระหวางเสนตรงกบระนาบบทนยาม 3.4.14 ถาเวกเตอรแสดงทศทางของ L ทำมม θ กบเวกเตอรแนวฉากของระนาบ M

เราจะกลาววามมระหวางเสนตรง L กบระนาบ M คอ

∣∣∣π2− θ∣∣∣

L

A

N

M

θπ2− θ

ตวอยาง 3.4.15 จงหามมระวางเสนตรง L :x

5=

1− y

2=

z

5กบระนาบ 2x+ y − 7z = 1

ตวอยาง 3.4.16 จงหาสมการของระนาบทผานจด Q(3,−6, 3) และตงฉากกบเสนตรงP = ⟨2, 0, 1⟩+ t⟨3,−1, 1⟩

ตวอยาง 3.4.17 จงระยะทางระหวางเสนตรง x− 1

2= y =

z + 2

3กบระนาบ x+ y − z = 9


การขนานกนของระนาบระนาบขนานกน กตอเมอเวกเตอรแนวฉากของระนาบทงสองขนานกน

N1

N2

M2

M1

ตวอยาง 3.4.18 จงหาสมการระนาบทผานจด (1, 2,−3) และขนานกบระนาบ x+ 2y − z = 5

บทนยาม 3.4.19 ระยะทางระหวางระนาบทงสอง คอระยะฉากระหวางระนาบทงสองให M1 และ M2 เปนระนาบทขนานกนมสมการดงน ax+by+cz = d1 และ ax+by+cz = d2

ตามลำดบ ให P1(x1, y1, z1) เปนจดบนระนาบ M1 ดงนนระยะทางระหวางระนาบ M1 และ M2 = ระยะทางระหวางจด P1 กบระนาบ M2

=|ax1 + by1 + cz1 − d2|√

a2 + b2 + c2

=|d1 − d2|√a2 + b2 + c2

ตวอยาง 3.4.20 จงหาระยะทางระหวางระนาบ x+ 2y − 2z = 10 และ x+ 2y − 2z = 1

ตวอยาง 3.4.21 จงหาสมการระนาบทขนานกบระนาบ x+ y −√2z = 1 และระยะทางระหวาง

ระนาบทงสองเทากบ 5 หนวย


การตดกนของระนาบระนาบทตดกนคอระนาบทไมขนานกน (พจารณาจากเวกเตอรแนวฉากของระนาบทงสองขนานกนหรอไม) รอยตดทเกดยอมเปนเสนตรง

L

M2

M1

จากรปเนองจากเสนตรง L อยบนระนาบ M1 และ M2 ดงนนเวกเตอรแสดงทศทางของเสนตรงL ตองตงฉากกบ N1 และ N2 ดงนน A = N1 × N2

ตวอยาง 3.4.22 จงหาสมการเสนตรงทเกดจากการตดกนของระนาบ2x− y + z = 1 และ x+ y − 2z = 5

98 บทท 3. ปรภมสามมตมมระหวางระนาบบทนยาม 3.4.23 มมระหวางระนาบสองระนาบ คอมมระหวางเวกเตอรแนวฉากของระนาบทงสองตวอยาง 3.4.24 จงหามมระหวางระนาบ 2x+ y + 2z = 1 กบ 5x− 3y + 4z = 5


แบบฝ กหด 3.41. จงหาสมการของระนาบทผานจด P0 และม N เปนเวกเตอรแนวฉาก

1.1 P0(2, 1, 1) และ N = ⟨2,−1, 5⟩

1.2 P0(−1, 0, 5) และ N = ⟨3, 2, 1⟩

1.3 P0(1, 3,−3) และ N = ⟨0, 3,−2⟩

1.4 P0(2, 6,−4) และ N = ⟨−1,−3, 1⟩

2. จงหาสมการของระนาบทผานจดทง 3 จด2.1 (1,−1, 0), (0,−1, 2) และ (−1,−3, 5)

2.2 (−1,−3,−2), (2, 5, 0) และ (1,−2, 1)

3. จงเขยนกราฟของระนาบตอไปน

3.1 x = z

3.2 3x+ y = 2

3.3 x− y + z = 2

3.4 2x− y + z = 5

3.5 5x+ 2y − 3z = 15

3.6 3x+ 3y + 2z = 6

4. จงพจารณาวาจดทง 4 จดอยบนระนาบเดยวกนหรอไม4.1 (1, 1, 1), (−2, 4, 1), (3, 1, 2) และ (5, 1, 3)

4.2 (1, 2, 7), (−1, 1, 2), (2, 0, 7) และ (1, 1, 2)

5. จงหาระยะทางระหวางจดกบระนาบทกำหนดใหตอไปน

5.1 (1,−2, 3) กบ 3x+ 2y − z = 12 5.2 (−1, 1,−2) กบ 3x+ 4y − 5z = 15

6. จงหาจดบนระราบ x− 2y + 3z = 4 ซงอยใกลทสดกบจด (2, 3,−2)

7. พจารณาเสนตรง L กบระนาบ M ทกำหนดใหตดกนหรอขนานกน ถาตดกนจงหาจดตดและมมระหวางเสนตรงกบระนาบ ถาขนานกนจงพจารณาวาเสนตรงอยบนระนาบหรอไมและจงหาระยะทางระหวางเสนตรงกบระนาบ

7.1 L :x

6= y =

1− z

2M : x− 2y + 2z = 4

7.2 L :x

2=

y

2= z

M : 5x+ 4y − 3z = 15

7.3 L : x = 3+ t, y = −1 + 3t, z = 1+ 2t

M : 2x− y + 3z = 5

7.4 L : 1− x =y

2= z − 2

M : 3x+ y + z = 3

8. จงหาสมการระนาบทนสอดคลองเงอนไขตอไปน8.1 ผานจด (1, 0, 2) และเสนตรง x

3= y + 1 =

2− z

2

8.2 ผานเสนตรง x− 2

2= y + 1 = −z และ 1− x

2= −y = z + 1

8.3 ผานจด (2, 1,−3) และขนานกบเสนตรง x

2= y =

z

3และ x− 1 = y + 1 =

z

2


8.4 ผานเสนตรง x = 3 + 2t, y = −t, z = 2t และ x− 2 =−1− y

2= −3− z

8.5 ผานจด (2,−1, 0) และตงฉากกบเสนตรง x

2=

y

3= z

8.6 ผานจด (1, 2, 3) และ (2, 0, 2) และขนานกบเสนตรง x = y − 1 =z

2

9. จงหาสมการเสนตรงทเกดจากการตดกนของระนาบ M1 และ M2

9.1 M1 : x+ y + z = 2

M2 : 2x− y + z = 3

9.2 M1 : x+ y + 3z = 5

M2 : x− 5y + z = 1

10. จงหามมระหวางระนาบ M1 และ M2

10.1 M1 : 2x− 5y + 5z = 2

M2 : 1x− 2y + 7z = 1

10.2 M1 : x+ y + z = 3

M2 : x− y − z = 4

11. จงหาสมการระนาบทผานจด (1, 2, 3) , (2, 0, 1) และตงฉากกบระนาบ x+ y − z = 1

3.5. ฟงก ชนคาเวกเตอร 101

3.5 ฟงกชนคาเวกเตอรบทนยาม 3.5.1 กำหนดให x, y, z เปนฟงกชนคาจรงบนชวง I แลวF (t) = ⟨x(t), y(t)⟩ เปนฟงกชนคาเวกเตอร (vector value function) จาก I ไป R2

F (t) = ⟨x(t), y(t), z(t)⟩ เปนฟงกชนคาเวกเตอร จาก I ไป R3

ในหวขอน ถากลาวถงฟงกชนคาเวกเตอร ใหหมายถงฟงกชนคาเวกเตอรจาก I ไป R2 หรอจาก I ไป R3

ตวอยาง 3.5.2 ให F (t) = ⟨t, t2⟩, 0 ≤ t ≤ 2 และ G(t) = ⟨sint, cost, t⟩, 0 ≤ t ≤ π จงหา1. F (1) 2. G

(π3

)

บทนยาม 3.5.3 ให F และ G เปนฟงกชนคาเวกเตอร และ u เปนฟงกชนจาก I ไป R และ t ∈ I

แลว1. (F + G)(t) = F (t) + G(t)

2. (uG)(t) = u(t)F (t)

3. (F · G)(t) = F (t) · G(t)

4. (F × G)(t) = F (t)× G(t)

ลมตของฟงกชนเวกเตอรบทนยาม 3.5.4 ให F (t) = ⟨x(t), y(t), z(t)⟩ เปนฟงกชนคาเวกเตอร ลมตของ F (t) เมอ t เขาใกล t0 เขยนแทนดวย lim

t→t0F (t) แลว

limt→t0

F (t) มคา กตอเมอ limt→t0

x(t), limt→t0

y(t) และ limt→t0

z(t) มคา

และจะไดวา limt→t0

F (t) =

⟨lim

t→t0x(t), lim

t→t0y(t), lim

t→t0z(t)

⟩ตวอยาง 3.5.5 จงหาคาของ lim

t→1

⟨t2 + 1, cosπt, t

2 − 1

t− 1

⟩

บทนยาม 3.5.6 กำหนดให F เปนฟงกชนคาเวกเตอรF มความตอเนอง t = t0 กตอเมอ F (t0) และ lim

t→t0F (t) มคา และ lim

t→t0F (t) = F (t0)

ถา F ตอเนองทกจดบนชวง I แลวจะกลาววา F มความตอเนองบนชวง I


อนพนธของฟงกชนเวกเตอรบทนยาม 3.5.7 กำหนดให F เปนฟงกชนคาเวกเตอรและตอเนองบนชวง I และ t0 ∈ I ถา

limh→0

F (t0 + h)− F (t0)

hมคา

จะเขยนแทนดวยd

dtF (t)|t=t0 = lim

h→0

F (t0 + h)− F (t0)

hหรอ F ′(t0) = lim

h→0

F (t0 + h)− F (t0)

h

เรยกวา อนพนธ (derivative) ของ F ทจด t0 ∈ I

ทฤษฎบท 3.5.8 กำหนดให F (t) = ⟨x(t), y(t), z(t)⟩ เมอ t ∈ I และ x, y, z เปนฟงกชนคาจรงทมอนพนธบนชวง I จะไดวา F มอนพนธท t และ

F ′(t) = ⟨x′(t), y′(t), z′(t)⟩

ตวอยาง 3.5.9 จงหาอนพนธของ F (t) =⟨t2 + t− 3, cos2t, etsint⟩

ทฤษฎบท 3.5.10 ให F และ G เปนฟงกชนคาเวกเตอร และ u เปนฟงกชนคาจรง ถา F , G และu มอนพนธท t แลว

1. (F + G)′(t) = F ′(t) + G′(t)

2. (uG)′(t) = (u′F )(t) + (uF ′)(t)

3. (F · G)′(t) = F ′(t) · G(t) + F (t) · G′(t)

4. (F×G)′(t) = F ′(t)×G(t)+F (t)×G′(t)

ตวอยาง 3.5.11 กำหนดให F = ⟨1, t, sint⟩ และ G = ⟨t2, t, 1⟩ จงหา1. (F · G)′(t) 2. F ′(t) · G(t) + F (t) · G′(t)


อนทกรลของฟงกชนเวกเตอรบทนยาม 3.5.12 กำหนดให F (t) = ⟨x(t), y(t), z(t)⟩ เปนฟงกชนคาเวกเตอรบนโดเมน D ⊂ Rถา x, y, z เปนฟงกชนคาจรงท อนทเกรตไดบนชวง [a, b] แลว F เปนฟงกชนท อนทเกรตได(integrable) บนชวง [a, b] ⊂ D และ∫ b

a

F (t)dt =

⟨∫ b

a

x(t)dt,

∫ b

a

y(t)dt,

∫ b

a

z(t)dt

⟩

ทฤษฎบท 3.5.13 ให F และ G เปนฟงกชนคาเวกเตอร และ c1, c2 เปนคตาคงตว และ u เปนฟงกชนคาจรง และ C เปนเวกเตอรคงตว แลว

1.∫ b

a

(c1F (t) + c2G)dt = c1

∫ b

a

F (t)dt+ c2

∫ b

a

G(t)dt

2.∫ b

a

F (t)dt =

∫ c

a

F (t)dt+

∫ b

c

F (t)dt เมอ a < c < b

3.∫ b

a

(uC(t)dt =

∫ b

a

u(t)dtC

4.∫ b

a

(C · F )(t)dt = C ·∫ b

a

F (t)dt เมอ C · F อนทเกรตไดบนชวง [a, b]

ตวอยาง 3.5.14 กำหนดให F (t) = ⟨cost, sint, t⟩ และ C = ⟨1, 2, 1⟩ จงหา∫ 2

1

C · F (t)dt

ตวอยาง 3.5.15 จงหา∫ 2π

0

∥⟨cost, sint, 1⟩∥dt


กราฟแสดงการเคลอนทของฟงกชนคาเวกเตอรกราฟของการเคลอนท r(t) = ⟨x(t), y(t)⟩ เมอ a ≤ x ≤ b คอ

กราฟความสมพนธ {(x(t), y(t)) : r(t) = ⟨x(t), y(t)⟩ เมอ a ≤ x ≤ b}

r(t) = ⟨t, t2⟩ เมอ 0 ≤ t ≤ 4

X

Y

0 1 2 3 4 5 60

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

t = 1

t = 2

t = 3

t = 4

r(t) = ⟨3sint, 3cost⟩ เมอ 0 ≤ t ≤ 2π

X

Y

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

t = 0

t = π2

t = π

t = 3π2

ตวอยาง 3.5.16 จงเขยนกราฟแสดงการเคลอนทตอไปน เมอ 0 ≤ t ≤ 4

1. r(t) = ⟨t, t+ 1⟩

X

Y

2. r(t) = ⟨t, t+ 1, 3 + 2t⟩

X

Y

Z


ตวอยาง 3.5.17 จงเขยนกราฟแสดงการเคลอนทตอไปน เมอ 0 ≤ t ≤ 2π

1. r(t) = ⟨3cost, 2sint⟩

X

Y

2. r(t) =

⟨2cost, 2sint, t

2

⟩

X

Y

Z


เวกเตอรความเรวและความเรงกำหนดให r(t) เปนฟงกชนการเคลอนท แลว

เวกเตอรความเรว V (t) = r′(t)

เวกเตอรความเรง A(t) = V ′(t) = r′′(t)

อตราเรว v(t) = ∥V (t)∥ = ∥r′(t)∥

อตราเรง a(t) = ∥A(t)∥ = ∥V ′(t)∥

ตวอยาง 3.5.18 ให r(t) = ⟨1, 2t, 3t2⟩ เมอ 0 ≤ t ≤ 2 เปนสมการการเคลอนทของวตถจงหาตำแหนงของการเคลอนท เวกเตอรความเรว อตราเรว เวกเตอรความเรง อตราเรง เมอเวลา t = 1

ตวอยาง 3.5.19 ให r(t) = ⟨2cost, 2sint, t⟩ เมอ 0 ≤ t ≤ 2π เปนสมการการเคลอนทของวตถจงหาตำแหนงของการเคลอนท เวกเตอรความเรว อตราเรว เวกเตอรความเรง อตราเรง เมอเวลา t = π

4


เวกเตอรสมผสใหเสนโคงหนงเปนกราฟฟงกชนเวกเตอร r(t) = ⟨f(t), g(t), h(t)⟩ เมอ a ≤ t ≤ b

X

Y

Z

r′(t) เปนเวกเตอร ในแนวสมผสของเสนโคง ณ จด r(t) เวกเตอรท มขนาดหนงหนวยและทศเดยวกนกบ r′(t) เรยกวา เวกเตอรสมผสหนวย (unit tangent vector) ณ จด r(t) เขยนแทนดวย T (t) นนคอ

T (t) =r′(t)

∥r′(t)∥เมอ ∥r′(t)∥ = 0

เสนตรงทผานจด r(t) และขนานกบ T (t) เรยก เสนสมผส (tangent) ของเสนโคง ณ จด r(t)

เนองจาก T ′(t) เปนเวกเตอรซงตงฉากกบ T (t) ณ จด r(t) เวกเตอรทมขนาดหนงหนวยและทศเดยวกนกบ T ′(t) เรยกวา เวกเตอรแนวฉากหนวย (unit normal vector) เขยนแทนดวยN(t) นนคอ

N(t) =T ′(t)

∥T ′(t)∥เมอ ∥T ′(t)∥ = 0

ให V (t) = r′(t) และ v(t) = ∥r′(t)∥ จาก T (t) =r′(t)

∥r′(t)∥จะไดวา

V (t) = v(t)T (t)

V ′(t) = v(t)T ′(t) + v′(t)T (t)

A(t) = v(t)T ′(t) + v′(t)T (t)

จาก T ′(t) = ∥T ′(t)∥N(t) ดงนนA(t) = v′(t)T (t) + v(t)∥T ′(t)∥N(t)

เรยก v(t) วา สวนประกอบแนวสมผส ของ A(t)

และ v(t)∥T ′(t)∥ วา สวนประกอบแนวฉาก ของ A(t)


ตวอยาง 3.5.20 ให r(t) = ⟨cost, sint, t⟩ เมอ 0 ≤ t ≤ 2π เปนสมการการเคลอนท จงหา1. เวกเตอรความเรว V (t)

2. เวกเตอรความเรง A(t)

3. มมระหวาง V (t) กบ A(t) เมอ เมอ t = π

4. เวกเตอรสมผสหนงหนวย T (t) และเวกเตอรแนวฉากหนงหนวย N(t) เมอ t = π

5. สวนประกอบแนวสมผสและสวนประกอบแนวฉากของ A(t) เมอ t = π


เวกเตอรแนวฉากคใหเสนโคงหนงเปนกราฟฟงกชนเวกเตอร r(t) = ⟨f(t), g(t), h(t)⟩ เมอ a ≤ t ≤ b และ r′(t) มคาทกคา a ≤ t ≤ b ทจด r(t) ซงมเวกเตอรสมผสหนงหนวยคอ T (t) และเวกเตอรแนวฉากหนงหนวยคอ N(t) แลว เวกเตอรแนวฉากค (binormal vector) ณ จด r(t) เขยนแทนดวย B(t)

นยามโดยB(t) = T (t)× N(t)

เสนตรงทผานจด r(t) คอเสนสมผส เสนแนวฉาก และเสนแนวฉากค ซงขนานกบ T , N , B ตามลำดบ ม 3 ระนาบทสำคญคอ

1. ระนาบซงผานเสนสมผสและเสนแนวฉาก ตงฉากกบ B

เรยกวาระนาบสมผสประชด2. ระนาบซงผานเสนแนวฉากและเสนแนวฉากค ตงฉากกบ T

เรยกวาระนาบแนวฉาก3. ระนาบซงผานเสนแนวฉากคและเสนสมผส ตงฉากกบ N

เรยกวาระนาบผานเสนสมผสกบแนวฉากค

X

Y

Z


ตวอยาง 3.5.21 ให r(t) = ⟨2cost, 2sint, t⟩ เมอ 0 ≤ t ≤ 2π เปนสมการของเสนโคง จงหาสมการของเสนสมผส เสนแนวฉาก และเสนแนวฉากคของเสนโคงทจด (−2, 0, π)

ตวอยาง 3.5.22 ให r(t) = ⟨1 + sint, 1 − cost, 2⟩ เมอ 0 ≤ t ≤ 2π เปนสมการสมการการเคลอนท จงหาสมการของ จงหาสมการของระนาบสมผสประชด ระนาบแนวฉาก และระนาบผานเสนสมผสกบแนวฉากค เมอเวลา t = π


แบบฝ กหด 3.51. จงหาคาของลมตตอไปน

1.1 limt→1

⟨2t+ 1,

t− 1

1−√t, tsinπt

⟩1.2 lim

t→0

⟨2− t2, tant, sint

t

⟩ 1.3 limt→0

⟨t2 + 1,

t3 − 1

t2 − 1, 1− 2t

⟩1.4 lim

t→0

⟨ttant, 2t3, 1

t− 1

⟩

2. กำหนดให F (t) = ⟨1 + t, 1 + 2t, 1 + 3t⟩ และ G(t) = ⟨cost, sint, t⟩ จงหา2.1 F ′(t) + G′(t)

2.2 (F · G)′(t)

2.3 (F ′ × G′)(t)

2.4 (F · G′)(t)

3. จงหาคาตอไปน

3.1∫ 3

1

⟨t, 2t+ 1, t2

⟩dt

3.2∫ π

0

⟨tsint, cos2t, t+ 1

⟩dt

3.3∫ 1

0

⟨2cost, 3sint+ 1, sec22t⟩ dt

3.4∫ 1

0

⟨et,

1

1− t,√2− t

⟩dt

4. จงเขยนกราฟแสดงการการเคลอนทของฟงกชนเวกเตอรตอไปน4.1 r(t) = ⟨t,

√t2 − 1⟩ เมอ 1 ≤ t ≤ 3

4.2 r(t) =

⟨t+

1

t, t− 1

t

⟩เมอ 1 ≤ t ≤ 4

4.3 r(t) = ⟨1 + t, 2 + t⟩ เมอ 0 ≤ t ≤ 5

4.4 r(t) = ⟨tan2t, sect⟩ เมอ 0 ≤ t ≤ π2

4.5 r(t) = ⟨1, t, t2⟩ เมอ 0 ≤ t ≤ 2

4.6 r(t) = ⟨sint, cost, 4⟩ เมอ 0 ≤ t ≤ π2

5. จงหา ตำแหนงของการเคลอนท เวกเตอรความเรว อตราเรว เวกเตอรความเรง อตราเรงเมอกำหนดสมการการเคลอนทดงน ขณะเวลาทกำหนดให5.1 r(t) = ⟨t, t2 + 1⟩ เมอ t = 2

5.2 r(t) =

⟨t+

1

t, t− 1

t

⟩เมอ t = 1

5.3 r(t) = ⟨sin3t, cos2t⟩ เมอ t = π4

5.4 r(t) = ⟨sin2t, etcost, t⟩ เมอ t = 0

5.5 r(t) = ⟨ℓn2t, e2t, tcost⟩ เมอ t = 1

5.6 r(t) = ⟨tan2t, costsint, 2t⟩ เมอ t = π3

112 บทท 3. ปรภมสามมต6. จงหา เวกเตอรสมผสหนวย เวกเตอรแนวฉากหนวย เวกเตอรแนวฉากค ส วนประกอบแนว

สมผส และสวนประกอบแนวฉาก ของเสนโคงตอไปนทจดทกำหนด

6.1 r(t) = ⟨sint, cost, 0⟩ เมอ t = π

6.2 r(t) = ⟨t, t, t2⟩ เมอ t = 1

6.3 r(t) = ⟨1 + t, 1− t, 1 + t2⟩ เมอ t = 1

6.4 r(t) = ⟨sint, cost, sint⟩ เมอ t = 0

6.5 r(t) = ⟨sin2t, cos2t, t⟩ เมอ t = π

6.6 r(t) = ⟨sint+ cost, sint− cost, et⟩ เมอ t = 0

7. จงหาสมการของเสนสมผส เสนแนวฉาก และเสนแนวฉากคของเสนโคงตอไปน ท จดท กำหนด

7.1 r(t) = ⟨sintcost, sint+ cost, t⟩ เมอ t = 0

7.2 r(t) = ⟨sin2t, cos2t, t⟩ เมอ t = π

7.3 r(t) = ⟨t, t, t2⟩ เมอ t = 1

7.4 r(t) = ⟨1 + t2, 1− t2, t− 2⟩ เมอ t = 1

7.5 r(t) = ⟨sint, 2cost, sint⟩ เมอ t = π2

8. จงหาสมการของระนาบสมผสประชด ระนาบแนวฉาก และระนาบผานเสนสมผสกบแนวฉากค ของเสนโคงตอไปนทจดทกำหนด

8.1 r(t) = ⟨sint, cost, 2t⟩ เมอ t = π

8.2 r(t) = ⟨et, et, e2t⟩ เมอ t = 0

8.3 r(t) = ⟨1 + sin2t, 1 + cos2t, sin2t⟩ เมอ t = 0

8.4 r(t) = ⟨1, t, et⟩ เมอ t = 0

8.5 r(t) = ⟨sint, cost, et⟩ เมอ t = 0

บทท 4ระบบพกดเชงขว

4.1 พกดเชงขวบทนยาม 4.1.1 ให P เปนจดใด ๆ ในระนาบ XY

ถา r เปนระยะทางจาก O (จดกำเนด) ไปยงจด P และสวนของเสนตรง OP ทำมม θ กบแกนOX (วดแบบทวนเขมนากา)

เราจะเรยกจด (r, θ) วาพกดเชงขว (polar coordinate) ของจด P

X

O

ขว

P (r, θ)

r

แกนเชงขวθ

ตวอยาง 4.1.2 จงเขยนจดตอไปน ลงในระบบพกดเชง ขว A(1, π4), B(2, π

2), C(3, 3π

4),

D(4, 11π6), E(5, 4π

3), F (0, π

3), G(4.5,−π), และ H(2.5,−2π

3),

X

0 1 2 3 40

π/6

π/3

π/2

2π/3

5π/6

π

7π/6

4π/3

3π/2

5π/3

11π/6

5

113

114 บทท 4. ระบบพกดเชงขว

บทนยาม 4.1.3 ถา P มพกดเชงขวเปน (r, θ) เมอ r > 0 แลว

(−r, θ) หมายถงพกดของจดปลายทไดจากการลากเสนตรงจากขวไปในทศตรงกนขามกบ −→OP

เปนระยะ r

X

π2

O

P (r, θ)

r

Q(−r, θ)

r

θ

ตวอยาง 4.1.4 จงเขยนจดตอไปนลงในระบบพกดเชงขว A(−1, π4), B(−2, 3π

2), C(−3.5, 5π

6),

D(−4, 7π6), E(−5,−4π

3), F (0,−π), และ G(−3,−2π

3)

X

0 1 2 3 40

π/6

π/3

π/2

2π/3

5π/6

π

7π/6

4π/3

3π/2

5π/3

11π/6

5

4.1. พกดเชงขว 115

ความสมพนธระหวางพกดเชงขว (r, θ) และพกดฉาก (x, y) ของจด P ใดๆทไมใช จดกำเนด

X

Y

O

P (r, θ), P (x, y)

r

x

y

θ

จะได x2 + y2 = r2

x = rcosθ และ y = rsinθ

ดงนน tanθ =y

x

ตวอยาง 4.1.5 จงหาพกดเชงขวของจดพกดฉากตอไปน เมอ r > 0 และ 0 ≤ θ < 2π

1. (2, 0)

X

Y

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

2. (2, 2)

X

Y

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

3. (−2, 2√3)

X

Y

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

4. (−√3,−1)

X

Y

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4


ตวอยาง 4.1.6 จงหาพกดเชงขวของจดพกดฉากตอไปนมาอยางนอย 5 จด1. (1, 1) 2. (−1,

√3)

ตวอยาง 4.1.7 จงหาพกดฉากของจดซงมพกดเชงขวตอไปน

X

0 1 2 3 40

π/6

π/3

π/2

2π/3

5π/6

π

7π/6

4π/3

3π/2

5π/3

11π/6

5

1. (6, π3)

2. (4, 5π3)

3. (−3, π6)

4. (−5,−3π4)


ตวอยาง 4.1.8 จงแปลงสมการในระบบพกดฉากตอไปน ใหอยในระบบพกดเชงขว1. x = 3

2. y = 5

3. y = x

4. y = x+ 1

ตวอยาง 4.1.9 จงแปลงสมการในระบบพกดฉากตอไปน ใหอยในระบบพกดเชงขว1. y = x2

2. y2 = 4x

3. x2 + y2 = 4

4. x2 + y2 − 2x = 0

5. 4x2 + 9y2 = 36

6. x2 − y2 = 1


ตวอยาง 4.1.10 จงแปลงสมการในระบบพกดเชงขวตอไปน ใหอยในระบบพกดฉาก1. r = 4sinθ

2. r = cos2θ

3. r = tanθ

4. r = csc2θ

ตวอยาง 4.1.11 จงแปลงสมการในระบบพกดเชงขวตอไปน ใหอยในระบบพกดฉาก

1. r =6

3cosθ + 2sinθ

2. r =5

2− cosθ


แบบฝ กหด 4.11. จงหาพกดเชงขวของจดในระบบพกดฉากตอไปน เมอ r > 0 และ 0 ≤ θ < 2π

1.1 (−1, 1)

1.2 (−3,−3)

1.3 (−1,√3)

1.4 (4√3,−1)

1.5 (3√2,−3

√2)

1.6 (8, 4√3)

2. จงเขยนจดในระบบพกดฉาก และหาพกดฉากของจดตอไปน

2.1 A(2, π4)

2.2 B(−1, 3π3)

2.3 C(−3, 5π6)

2.4 D(4,−π4)

2.5 E(−5, 11π6)

2.6 E(2.5, 4π3)

X

0 1 2 3 40

π/6

π/3

π/2

2π/3

5π/6

π

7π/6

4π/3

3π/2

5π/3

11π/6

5

3. จงหาพกดเชงขวของจดพกดฉากตอไปนมาอยางนอย 5 จด3.1 (−1, 1) 3.2 (−3,−

√3) 3.3 (

√2,√6)

4. จงเขยนสมการในระบบพกดฉากใหอยในระบบพกดเชงขว4.1 x+ y = 2

4.2 y = x2

4.3 x2 + y2 = 4

4.4 x2 + y2 = 2x

4.5 x2 − y2 = xy

4.6 1

x2+

1

y2= 1

5. จงเขยนสมการในระบบเชงขวใหอยในระบบพกดฉาก5.1 r = 3

5.2 r = 5sinθ5.3 r = 2cos2θ5.4 r = 1− sinθ

5.5 r =1

1− sinθ5.6 r = tanθ


4.2 กราฟของสมการในระบบพกดเชงขวการเขยนกราฟของสมการ r = f(θ) ในระบบพกดเชงขว มแนวคดเหมอนกบการเขยนกราฟของสมการในระบบพกดฉาก โดยการนำจด (r, θ) ทสอดคลองสมการไปเขยนลงบนพกด ตอไปตวอยางกราฟของระบบพกดฉากทสำคญ

1. สมการ f(θ) = k

สมการ r = f(θ) = k เมอ k = 0 เปนกราฟวงกลมทมรศม |k| มจดศนยกลางอยท (0, 0)ตวอยางเช น r = 3

X

0 1 2 3 40

π/6

π/3π/2

2π/3

5π/6

π

7π/6

4π/33π/2

5π/3

11π/6

5

r = 3

X

Y

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

r = 3

ตวอยาง 4.2.1 จงวาดกราฟของสมการ r = 2 และ r = −4 บนกราฟเดยวกนθ 0 π

6π4

π3

π2

π 3π2

r 2

θ 0 π6

π4

π3

π2

π 3π2

r −4

X

0 1 2 3 40

π/6

π/3π/2

2π/3

5π/6

π

7π/6

4π/33π/2

5π/3

11π/6

5 X

Y

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

4.2. กราฟของสมการในระบบพกดเชงขว 1212. สมการ θ = θ0

สมการ θ = θ0 เปนกราฟเสนตรงททำมม θ0 กบแกนเชงขว ตวอยางเช น θ = π4

X

0 1 2 3 40

π/6

π/3π/2

2π/3

5π/6

π

7π/6

4π/33π/2

5π/3

11π/6

5

θ = π4

X

Y

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

θ = π4

ตวอยาง 4.2.2 จงวาดกราฟของสมการ θ = 2π3และ θ = −π

6

θ 2π3

2π3

2π3

2π3

2π3

2π3

2π3

r

θ −π6

−π6

−π6

−π6

−π6

−π6

−π6

r

X

0 1 2 3 40

π/6

π/3π/2

2π/3

5π/6

π

7π/6

4π/33π/2

5π/3

11π/6

5

X

0 1 2 3 40

π/6

π/3π/2

2π/3

5π/6

π

7π/6

4π/33π/2

5π/3

11π/6

5

X

Y

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

X

Y

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

122 บทท 4. ระบบพกดเชงขว3. สมการ f(θ) = 2ksinθ และ f(θ) = 2kcosθสมการ r = f(θ) = 2ksinθ เมอ k = 0 และ 0 ≤ θ ≤ π เปนกราฟวงกลมทมจดศนยกลางอยท (k, π

2) รศม |k| ตวอยางเช น r = 4sinθ

X

0 1 2 3 40

π/6

π/3π/2

2π/3

5π/6

π

7π/6

4π/33π/2

5π/3

11π/6

5

r = 4sinθ

X

Y

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

r = 4sinθ

ตวอยาง 4.2.3 จงวาดกราฟของสมการ r = 2sinθ และ r = −4sinθθ 0 π

6π4

π3

π2

π 3π2

r 0

θ 0 π6

π4

π3

π2

π 3π2

r 0

X

0 1 2 3 40

π/6

π/3π/2

2π/3

5π/6

π

7π/6

4π/33π/2

5π/3

11π/6

5

X

0 1 2 3 40

π/6

π/3π/2

2π/3

5π/6

π

7π/6

4π/33π/2

5π/3

11π/6

5

X

Y

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

X

Y

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

4.2. กราฟของสมการในระบบพกดเชงขว 123

สมการ r = f(θ) = 2kcosθ เมอ k = 0 และ 0 ≤ θ ≤ π เปนกราฟวงกลมทมจดศนยกลางอยท (k, 0) รศม |k| ตวอยางเช น r = 4cosθ

X

0 1 2 3 40

π/6

π/3π/2

2π/3

5π/6

π

7π/6

4π/33π/2

5π/3

11π/6

5

r = 4cosθ

X

Y

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

r = 4cosθ

ตวอยาง 4.2.4 จงวาดกราฟของสมการ r = 2cosθ และ r = −4cosθθ 0 π

6π4

π3

π2

π 3π2

r 0

θ 0 π6

π4

π3

π2

π 3π2

r 0

X

0 1 2 3 40

π/6

π/3π/2

2π/3

5π/6

π

7π/6

4π/33π/2

5π/3

11π/6

5

X

0 1 2 3 40

π/6

π/3π/2

2π/3

5π/6

π

7π/6

4π/33π/2

5π/3

11π/6

5

X

Y

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

X

Y

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

124 บทท 4. ระบบพกดเชงขว4. สมการ f(θ) = ksin2nθ และ f(θ) = kcos2nθสมการ r = f(θ) = ksin2nθ เมอ k = 0, n ∈ N และ 0 ≤ θ ≤ 2π เปนกราฟกลบกหลาบ 4n

กลบ ตวอยางเช น r = 4sin2θ

X

0 1 2 3 40

π/6

π/3π/2

2π/3

5π/6

π

7π/6

4π/33π/2

5π/3

11π/6

5

r = 4sin2θ

X

Y

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

r = 4sin2θ

ตวอยาง 4.2.5 จงวาดกราฟของสมการ r = −4sin2θ และ r = 5sin4θθ

r

θ

r

X

0 1 2 3 40

π/6

π/3π/2

2π/3

5π/6

π

7π/6

4π/33π/2

5π/3

11π/6

5

X

0 1 2 3 40

π/6

π/3π/2

2π/3

5π/6

π

7π/6

4π/33π/2

5π/3

11π/6

5

X

Y

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

X

Y

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5


สมการ r = f(θ) = kcos2nθ เมอ k = 0, n ∈ Z และ 0 ≤ θ ≤ 2π เปนกราฟกลบกหลาบ 4n

กลบ ตวอยางเช น r = 4cos2θ

X

0 1 2 3 40

π/6

π/3π/2

2π/3

5π/6

π

7π/6

4π/33π/2

5π/3

11π/6

5

r = 4cos2θ

X

Y

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

r = 4cos2θ

ตวอยาง 4.2.6 จงวาดกราฟของสมการ r = −3cos2θ และ r = 4cos4θθ

r

θ

r

X

0 1 2 3 40

π/6

π/3π/2

2π/3

5π/6

π

7π/6

4π/33π/2

5π/3

11π/6

5

X

0 1 2 3 40

π/6

π/3π/2

2π/3

5π/6

π

7π/6

4π/33π/2

5π/3

11π/6

5

X

Y

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

X

Y

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

126 บทท 4. ระบบพกดเชงขว5. สมการ f(θ) = ksin(2n − 1)θ และ f(θ) = kcos(2n − 1)θ

สมการ r = f(θ) = ksin(2n − 1)θ เมอ k = 0, n ∈ N และ 0 ≤ θ ≤ 2π เปนกราฟกลบกหลาบ2n− 1 กลบ ตวอยางเช น r = 4sin3θ

X

0 1 2 3 40

π/6

π/3π/2

2π/3

5π/6

π

7π/6

4π/33π/2

5π/3

11π/6

5

r = 4sin3θ

X

Y

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

r = 4sin3θ

ตวอยาง 4.2.7 จงวาดกราฟของสมการ r = −3sin3θ และ r = 4sin5θθ

r

θ

r

X

0 1 2 3 40

π/6

π/3π/2

2π/3

5π/6

π

7π/6

4π/33π/2

5π/3

11π/6

5

X

0 1 2 3 40

π/6

π/3π/2

2π/3

5π/6

π

7π/6

4π/33π/2

5π/3

11π/6

5

X

Y

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

X

Y

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5


สมการ r = f(θ) = kcos(2n − 1)θ เมอ k = 0, n ∈ N และ 0 ≤ θ ≤ 2π เปนกราฟกลบกหลาบ2n− 1 กลบ ตวอยางเช น r = 4cos3θ

X

0 1 2 3 40

π/6

π/3π/2

2π/3

5π/6

π

7π/6

4π/33π/2

5π/3

11π/6

5

r = 4 cos 3θ

X

Y

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

r = 4 cos 3θ

ตวอยาง 4.2.8 จงวาดกราฟของสมการ r = −3cos3θ และ r = 4cos5θθ

r

θ

r

X

0 1 2 3 40

π/6

π/3π/2

2π/3

5π/6

π

7π/6

4π/33π/2

5π/3

11π/6

5

X

0 1 2 3 40

π/6

π/3π/2

2π/3

5π/6

π

7π/6

4π/33π/2

5π/3

11π/6

5

X

Y

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

X

Y

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

128 บทท 4. ระบบพกดเชงขว6. สมการ f(θ) = r = a + bsinθ และ f(θ) = r = a + bcosθ

ถา |a| = |b| แลวกราฟนจะผานขว และเรยกกราฟน วา คารดออยด (cardioid)ถา |a| = |b| จะเรยกกราฟน วา ลมาซอง (limacon)

ถา |a| > |b| กราฟนจะไมผานขวถา |a| < |b| กราฟนจะผานขว และมวงวน (loop) อยภายใน

X

0 1 2 3 40

π/6

π/3π/2

2π/3

5π/6

π

7π/6

4π/33π/2

5π/3

11π/6

5

r = 2 + 2 sin θ

X

Y

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

r = 2 + 2 sin θ

X

0 1 2 3 40

π/6

π/3π/2

2π/3

5π/6

π

7π/6

4π/33π/2

5π/3

11π/6

5

r = 2 + 3 sin θ

X

Y

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

r = 2 + 3 sin θ

X

0 1 2 3 40

π/6

π/3π/2

2π/3

5π/6

π

7π/6

4π/33π/2

5π/3

11π/6

5

r = 3 + 2 sin θ

X

Y

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

r = 3 + 2 sin θ

4.2. กราฟของสมการในระบบพกดเชงขว 129ตวอยาง 4.2.9 จงวาดกราฟ r = 2 + 2cosθ

θ

r

X

0 1 2 3 40

π/6

π/3π/2

2π/3

5π/6

π

7π/6

4π/33π/2

5π/3

11π/6

5X

Y

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

ตวอยาง 4.2.10 จงวาดกราฟ r = 1 + 3cosθθ

r

X

0 1 2 3 40

π/6

π/3π/2

2π/3

5π/6

π

7π/6

4π/33π/2

5π/3

11π/6

5X

Y

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

130 บทท 4. ระบบพกดเชงขวตวอยาง 4.2.11 จงวาดกราฟ r = 3 + 2cosθ

θ

r

X

0 1 2 3 40

π/6

π/3π/2

2π/3

5π/6

π

7π/6

4π/33π/2

5π/3

11π/6

5X

Y

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

ตวอยาง 4.2.12 จงวาดกราฟ r = 1− 3sinθθ

r

X

0 1 2 3 40

π/6

π/3π/2

2π/3

5π/6

π

7π/6

4π/33π/2

5π/3

11π/6

5X

Y

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5


ตวอยางกราฟเชงขว

X

r = 3

X

θ = π4

X

r = 4sinθ

X

r = 4cosθ

X

r = 4sin2θ

X

r = 4sin4θ

X

r = 4cos2θ

X

r = 4cos4θ

X

r = 4sin3θ

X

r = 4sin5θ

X

r = 4cos3θ

X

r = 4cos5θ


X

r = 4cos8θ

X

r = θsinθ

X

r = 4sin2θ

X

r = 2 + 2sinθ

X

r = 2 + 3sinθ

X

r = 3 + 2sinθ

X

r = 2 + 2cosθ

X

r = 2 + 3cosθ

X

r = 3 + 2cosθ

X

r = 2− 2cosθ

X

r = 2− 2sinθ

X

r = 2 + 2sin2θ


1−1

1

−1

r = sin2(2.4θ) + cos4(2.4θ)

2−2

2

−2

r = sin2(1.2θ) + cos3(6θ)

1−1

1

−1

r = sin(85θ)

6−6

6

−6

r =√θ


แบบฝ กหด 4.21. จงเขนกราฟของสมการในระบบเชงขวตอไปน

1.1 r = 2

1.2 2θ = π

1.3 4θ = 3π

1.4 r = 5cos2θ1.5 r = −3sin4θ1.6 r = 4cos3θ

1.7 r = 5sin6θ1.8 r = 6cos7θ1.9 r = −4cos5θ

2. จงเขนกราฟของสมการในระบบเชงขวตอไปน

2.1 r = 1− 3cosθ2.2 r = 3 + 4cosθ

2.3 r = 1 + cosθ2.4 r = 2− 4sinθ

2.5 r = 3 + 3cosθ2.6 r = −4− 4sinθ

3. จงยกตวอยางสมการทใหกราฟกลบกหลาบ 5 กลบ มาอยางนอย 3 สมการ

4. จงยกตวอยางสมการทใหกราฟกลบกหลาบ 8 กลบ มาอยางนอย 3 สมการ

5. จงจบคสมการในระบบเชงขวในแตละขอตอไปน กบกราฟทกำหนดให5.1 r = 3sin3θ5.2 r = 3cosθ

5.3 r = 2 + 2cosθ5.4 r = 1− 2sinθ

5.5 r = 3cos4θ5.6 r = 3sinθ

X

Y

(ก)

X

Y

(ข)

X

Y

(ค)

X

Y

(ง)

X

Y

(จ)

X

Y

(ฉ)

4.3. การหาพนทของบรเวณในระบบพกดเชงขว 135

4.3 การหาพ นทของบรเวณในระบบพกดเชงขวให R เปนพนทอาณาบรเวณทป ดลอมดวยฟงกชน r = f(θ) และเสนตรง θ = α และ θ = β เมอr > 0 แบง [α, β] ออกเปน n ชวงยอยดวยจด θ0, θ1, θ2, ..., θn โดยท

α = θ0 < θ1 < θ2 < ... < θn = β

X

O

r = f(θ)

R θ0 = αθ1

θi−1

θi

θn−1

β = θn

สำหรบ i = 1, 2, 3, ..., n ใหRi เปนพนทของอาณาบรเวณทป ดลอมดวย θ = θi−1 และ θ = θi ดวยเสนโคง r = f(θ)

Pi เปนจด (f(θi), θi) และ Pi−1 เปนจด (f(θi−1), θi−1)

ให θ∗i ∈ [θi−1, θi] และ P ∗i เปนจด (f(θ∗i ), θ

∗i )

X

O

Pi P ∗i

Qi

Pi−1

Qi−1r = f(θ)

θ∗i

θi−1

θi

พจารณาวงกลมรศม OP ∗i ตดกบเสนตรง θ = θi−1 ทจด Qi−1 และเสนตรง θ = θi ทจด Qi และ

ให ∆θi = θi − θi−1

Ri ≈ พนทเซกเตอร OQiQi−1 =1

2[f(θ∗i )]

2∆θi

ดงนน

R =n∑

i=1

Ri ≈n∑

i=1

1

2[f(θ∗i )]

2∆θi


เมอแบง n มาก ๆ และทำให ∆θi มคานอยๆ และ r = f(θ) เปนฟงกชนตอเนอง โดยใชผลบวกของรมนนจะไดวา

พนท R = limn→∞

n∑i=1

1

2[f(θ∗i )]

2∆θi =

∫ β

α

1

2r2 dθ

ตวอยาง 4.3.1 จงหาพนทของอาณาบรเวณทเป ดลอมดวย

1. r = 2− 2sinθ

X

Y

r = 2− 2sinθ

2. r = 4cos3θ

X

Y

r = 4cos3θ


ตวอยาง 4.3.2 จงหาพนทของอาณาบรเวณทเป ดลอมดวย

1. r = 4cosθ บนชวง[π6,π

3

]

X

Y

θ = π3

θ = π6r = 4cosθ

2. r = 4sin2θ บนชวง[0,

π

2

]

X

Y

r = 4sin2θ


ตวอยาง 4.3.3 จงหาพนทของอาณาบรเวณทเป ดลอมดวย r = 4sinθ และ r = 2 + sinθบนชวง

[π

6,5π

6

]

X

Y


ตวอยาง 4.3.4 จงหาพนทของอาณาบรเวณทอยภายในเสนโคง r = 2sin2θ และภายนอกวงกลม r =

√3

X

Y


แบบฝ กหด 4.31. จงหาพนทของอาณาบรเวณทป ดลอมดวยเสนโคง

1.1 r = 1 + cosθ1.2 r = sinθ + cosθ1.3 r = 2cos2θ

1.4 r = 3− 2cosθ1.5 r = 2sin3θ1.6 r = 4cos2θ

2. จงหาพนทของอาณาบรเวณทป ดลอมดวยเสนโคง2.1 r = 4 + 3cosθ บนชวง [0, π]

2.2 r = 8cos2θ บนชวง[0,

π

4

]2.3 r = 12sin3θ บนชวง

[0,

π

6

]2.4 r = 2 + 2cosθ บนชวง [0, 2π]

2.5 r = 3sinθ บนชวง[π6,π

4

]2.6 r = 2− 2sinθ บนชวง

[0,

π

4

]3. จงหาพนทของอาณาบรเวณอยภายในเสนโคง r = 4sinθ และ r = 4

√3cosθ

4. จงหาพนทของอาณาบรเวณอยภายในเสนโคง r = 4sin2θ และ r = 4cosθ

5. จงหาพนทของอาณาบรเวณอยภายในเสนโคง r = 2 + sinθ และ r = 2 +√3cosθ

6. จงหาพนทของอาณาบรเวณอยภายในเสนโคง r = 2sin3θ และ r = 2sinθ

7. จงหาพนทอยภายในวงกลม x2 + y2 − x− y = 0 และ x2 + y2 + x− y = 0

8. จงหาพนทอยภายในวงกลม x2 + y2 − 4y = 0 เฉพาะสวนท x ≥√3

9. จงหาพนทอยภายในวงกลม x2 + y2 − 4x− 4y = 0 เฉพาะสวนท y ≥ 4

บทท 5ฟงกชนหลายตวแปรให f : D → R เมอ D ⊂ Rn = R × R × ... × R และ n เปนจำนวนเตมทมากกวา 1 จะเรยก f

วา ฟงกชนคาจรงของ n ตวแปร ตวอยางเช นf(x, y) =

√x+ y, g(x, y, z) = xy + xz + yz และ h(x1, x2, x3, x4) =

√x21 + x2

2 + x23 + x2

4

สำหรบฟงกชนทไมระบโดเมนใหถอวาเปนโดเมนใหญสดทเปนสบเซตของ Rn

5.1 ฟงกชนคาจรงสองตวแปรตวอยาง 5.1.1 กำหนดให f(x, y) = ℓn(1− x2 − y2)

จงหาคาของ f(0, 0) และเขยนกราฟแสดงโดเมน

ตวอยาง 5.1.2 กำหนดให f(x, y) =1√

1 + x− y2

จงหาคาของ f(3, 0) และเขยนกราฟแสดงโดเมน

141

142 บทท 5. ฟงก ชนหลายตวแปร

ตวอยาง 5.1.3 จงหาโดเมนและเรนจของฟงกชน f(x, y) = 12− 2x− 3y

ตวอยาง 5.1.4 จงหาโดเมนและเรนจของฟงกชน f(x, y) =√9− x2 − 4y2

ตวอยาง 5.1.5 จงหาโดเมนและเรนจของฟงกชน f(x, y) =√

x2 + y2

5.1. ฟงก ชนคาจรงสองตวแปร 143

แบบฝ กหด 5.11. จงหาคาของฟงกชนทจดตอไปน

1.1 f(x, y) = x+√y ทจด (0, 1)

1.2 f(x, y) = x+ y + xy ทจด (1, 2)

1.3 f(x, y, z) =√

x2 + y2 + z2 ทจด (1,−2, 2)

1.4 f(x, y, z) = x2y2 − x4 + 4zx2 ทจด (a+ b, a− b, ab)

2. จงหาโดเมนของ f พรอมเขยนกราฟแสดงโดเมน2.1 f(x, y) = ℓn(1− x2 + y2)

2.2 f(x, y) =

√x+ y

x− y

2.3 f(x, y) =

√4− x2 − y2

y

2.4 f(x, y) =1

y − x2

3. จงหาโดเมนและเรจนของ f

3.1 f(x, y) = 4x2 + 9y2

3.2 f(x, y) = 1− x2 − 9y2

3.3 f(x, y) = −√

x2 + y2

3.4 f(x, y) = −√

1− x2 + y2


5.2 ลมตและความตอเนองของฟงกชนสองตวแปรบทนยาม 5.2.1 ให D ⊂ R2 และ (x0, y0) ∈ D เราจะกลาววา (x, y) เปน จดลมต (limit point)ใน D กตอเมอ ทก ๆ r > 0

(Br(x0, y0)− {(x0, y0)}) ∩D = ∅

เมอ Br(x0, y0) = {(x, y) :√

(x− x0)2 + (y − y0)2 < r}

บทนยาม 5.2.2 ให f : D → R เปนฟงกชนสองตวแปร และให (x0, y0) ∈ R2 ทมจดใน D ทอยใกล ๆ (x0, y0) เราจะกลาววา f(x, y) มลมตเปน L เมอ (x, y) เขาใกล (x0, y0) เขยนแทนดวย

lim(x,y)→(x0,y0)

f(x, y) = L

กตอเมอ ทก ๆ จำนวนจรง ϵ > 0 มจำนวนจรงบวก δ > 0 ททำให

|f(x, y)− L| < ϵ ทก ๆ จำนวน (x, y) ∈ D ซง 0 <√

(x− x0)2 + (y − y0)2 < δ

ทฤษฎบท 5.2.3 ให f และ g เปนฟงกชนจาก D ไป R และ (x0, y0) เปนจดลมตของ D และใหc, L,M เปนจำนวนจรง แลว

1. lim(x,y)→(x0,y0)

c = c

2. lim(x,y)→(x0,y0)

x = x0

3. lim(x,y)→(x0,y0)

y = y0

4. ถา lim(x,y)→(x0,y0)

f(x, y) = L และ lim(x,y)→(x0,y0)

g(x, y) = M แลว

4.1 lim(x,y)→(x0,y0)

[f(x, y) + g(x, y)] = L+M

4.2 lim(x,y)→(x0,y0)

f(x, y)g(x, y) = LM

4.3 lim(x,y)→(x0,y0)

f(x, y)

g(x, y)=

L

Mเมอ M = 0

4.4 lim(x,y)→(x0,y0)

|f(x, y)| = |L|

4.5 lim(x,y)→(x0,y0)

n√f(x, y) =

n√L เมอ n ∈ N และ n

√L เปนจำนวนจรง

5.2. ลมตและความตอเนองของฟงก ชนสองตวแปร 145


1. lim(x,y)→(1,−1)

(4x2y − x3y − 4x+ 1)

2. lim(x,y)→(2,−5)

(x√x2 − y)

3. lim(x,y)→(−2,−1)

(|x+ y − 1|)

4. lim(x,y)→(1,0)

sin(xy) + x

x− y


1. lim(x,y)→(1,1)

x3 − y3

x2 − y2

2. lim(x,y)→(1,−1)

x4 − y4

x2 + 3xy + 2y2

3. lim(x,y)→(1,−1)

x2y + y2 − 3x2 − 3y

xy − 3x− y + 3


ทฤษฎบท 5.2.6 ให f และ g เปนฟงกชนจาก D ไป R และ (x0, y0) เปนจดลมตของ D ถา

1. มจำนวนจรง M > 0 ซง |f(x, y)| < M ทก ๆ (x, y) ∈ D ซง 0 < ∥(x, y)− (x0, y0)∥ < δ

2. lim(x,y)→(x0,y0)

g(x, y) = 0

จะไดวาlim

(x,y)→(x0,y0)f(x, y)g(x, y) = 0

ตวอยาง 5.2.7 จงหาลมตของ lim(x,y)→(0,0)

x2y4

x4 + y4

ตวอยาง 5.2.8 จงหาลมตของ lim(x,y)→(0,0)

2x2y3

x2 + y2


ทฤษฎบท 5.2.9 ให f : D → R และ (x0, y0) เปนจดลมตของ D และ C เปนเสนโคงใน R2 ทผานจด (x0, y0) จะไดวา lim

(x,y)→(x0,y0)f(x, y) = L กตอเมอ

f(x, y) มลมตเปน L เมอ (x, y) เขาใกล (x0, y0) ตามเสนโคง C

ตวอยาง 5.2.10 กำหนดให f(x, y) = x2y

x4 + y2จงแสดงวา lim

(x,y)→(0,0)f(x, y) ไมมคา

ตวอยาง 5.2.11 กำหนดให f(x, y) = x2 + y3

x2 + y4จงแสดงวา lim

(x,y)→(0,0)f(x, y) ไมมคา


บทนยาม 5.2.12 ให f : D → R และ (x0, y0) ∈ D จะกลาววา f ตอเนองทจด (x0, y0)

กตอเมอ1. lim

(x,y)→(x0,y0)f(x, y) มคา

2. lim(x,y)→(x0,y0)

f(x, y) = f(x0, y0)

และกลาววา f ตอเนองบนเซต S ⊂ D กตอเมอ f ตอเนองทกจดในเซต S

ตวอยาง 5.2.13 กำหนดให f(x, y) =

xy2

x2 + y2เมอ (x, y) = (0, 0)

0 เมอ (x, y) = (0, 0)

แลว f ตอเนองทจด (0, 0) หรอไม


ตวอยาง 5.2.14 กำหนดให f(x, y) =xy

x+ yแลว f ตอเนองบนโดเมน f หรอไม

ทฤษฎบท 5.2.15 ให f : D → R เมอ D ⊂ R2 และ g เปนฟงกชนคาจรงซง Rf ∩ Dg = ∅สำหรบ (x0, y0) ∈ D

ถา f เปนฟงกชนตอเนองทจด (x0, y0) แลว g ◦ f จะตอเนองทจด (x0, y0)

ตวอยาง 5.2.16 กำหนดให f(x, y) =cos(x2 + y2)

x2 − y

แลว f ตอเนองมความตอเนองทจดใดบาง


แบบฝ กหด 5.21. จงหาคาของลมตตอไปน

1.1 lim(x,y)→(1,2)

(xy + x2)

1.2 lim(x,y)→(1,−1)

x2 − y2

x4 − y4

1.3 lim(x,y)→(1,1)

x2 − y2

x2y − xy2

1.4 lim(x,y)→(0,0)

x2 + y

x2 + y2

1.5 lim(x,y)→(0,0)

xy3

x4 + y4

1.6 lim(x,y)→(0,0)

xy3

x4 + y6

1.7 lim(x,y)→(0,0)

x3y4

x6 + y6

1.8 lim(x,y)→(0,0)

x3 + y4

x2 + y2

1.9 lim(x,y)→(0,0)

x4y4

(x2 + y4)3

1.10 lim(x,y)→(0,0)

y2x− y2

xy − y

1.11 lim(x,y)→(−1,2)

xy − 2x

xy − 6− 2x+ 3y

1.12 lim(x,y)→(0,0)

x2y4

x4 + x2y2 + y4

1.13 lim(x,y)→(1,0)

√x+ y −

√x− y

y

1.14 lim(x,y)→(0,0)

y2x

x2 + |xy|+ y2

1.15 lim(x,y)→(1,1)

x3 + 3xy − x2y − 3y2

x4 + xy2 − x3y − y3

1.16 lim(x,y)→(2,1)

x3 − 8y3

x2 − xy − 2y2

2. จงพจารณาวา f ตอเนองบนจดทกำหนดใหหรอไม

2.1 f(x, y) =x3y2

1− xyทจด (1, 1)

2.2 f(x, y) =

x2 − y2

x− yเมอ (x, y) = (1, 1)

1 เมอ (x, y) = (1, 1)

ทจด (1, 1)

2.3 f(x, y) =

xy2

x2 + y2เมอ (x, y) = (0, 0)

1 เมอ (x, y) = (0, 0)

ทจด (0, 0)

3. กำหนดให f(x, y) =

x4 − y4

x2 + y2เมอ (x, y) = (0, 0)

0 เมอ (x, y) = (0, 0)

แลว f ตอเนองบนโดเมน f หรอไม4. จงพจารณาวา f ตอเนองมความตอเนองทจดใดบาง

4.1 f(x, y) =√y − x

4.2 f(x, y) =x2 + 4y2

x2 − 4y2

4.3 f(x, y) =1

3√x2 + y2 − 4

4.4 f(x, y) = exycos(xy2 + 1)

4.5 f(x, y) = 5x2yℓn|1− x2 − y2|

4.6 f(x, y) = arcsin(xy)

5.3. อนพนธ ยอยของฟงก ชนสองตวแปร 151

5.3 อนพนธยอยของฟงกชนสองตวแปรบทนยาม 5.3.1 ให z = f(x, y) เปนฟงกชนสองตวแปร และ (a, b) ∈ Df

อนพนธยอย (partial deivatives) ของ f เทยบกบ x ทจด (a, b) คอ

fx(a, b) = limh→0

f(a+ h, b)− f(a, b)

hถาลมตมคา

อนพนธยอยของ f เทยบกบ y ทจด (a, b) คอ

fy(a, b) = limh→0

f(a, b+ h)− f(a, b)

hถาลมตมคา

ดงนนอนพนธยอยของฟงกชน f คอ fx และ fy

fx(x, y) = limh→0

f(x+ h, y)− f(x, y)

hและ fy(x, y) = lim

h→0

f(x, y + h)− f(x, y)

h

สญลกษณทนยมใชแทนอนพนธยอย

fx(x, y) = fx = f1 = D1f = Dxf =∂f

∂x=

∂f

∂x(x, y) =

∂z

∂x

fy(x, y) = fy = f2 = D2f = Dyf =∂f

∂y=

∂f

∂y(x, y) =

∂z

∂y

ตวอยาง 5.3.2 กำหนดให f(x, y) = x2y จงหาคาของ fx(1, 0) และ fy(1, 0) โดยใชบทนยาม


ตวอยาง 5.3.3 จงหาอนพนธยอยของฟงกชน f(x, y) =2x+ y2

x+ y

ตวอยาง 5.3.4 จงหาอนพนธยอยของฟงกชน f(x, y) = ex2ysin2(5y)


ตวอยาง 5.3.5 ให f(x, y) =

x3y − xy3

x2 + y2เมอ (x, y) = (0, 0)

0 เมอ (x, y) = (0, 0)

จงหาคาของ fx(0, 0) และ fy(0, 0)


ความหมายทางเรขาคณตของอนพนธยอยตวอยาง 5.3.6 จงหาความชนของเสนโคงทเปนรอยตดของพนผว z = 4 + x2 − 4y2 กบระนาบx = 2 ทจด (2, 1, 4)

ตวอยาง 5.3.7 จงหาความชนของเสนโคงทเปนรอยตดของพนผว 3x2 + y2 + z2 = 8 กบระนาบy = −1 ทจด (1,−1,−2)


แบบฝ กหด 5.31. จงหาอนพนธยอยของฟงกชนตอไปน

1.1 f(x, y) = 3xy − 5x4y4

1.2 f(x, y) = 3

√1− sin2(xy)

1.3 f(x, y) = ℓn(cos√x+ y)

1.4 f(x, y) =x+ y

x2 + y2

1.5 f(x, y) = y2 + x2tan(xy)1.6 f(x, y) = 5ex

2y2 + exsin(x+ y2)

1.7 f(x, y) = ex(cosxy + sinxy)1.8 f(x, y) = arctan

(x

y

)

2. กำหนดให f(x, y) = x2yexy จงหาคาของ D1f(1, 1) และ D2f(1, 1)

3. กำหนดให f(x, y) = (x2 + y2)√

x2 − y2 จงหาคาของ f1(2, 1) และ f2(2, 1)

4. กำหนดให f(x, y) = (x2 + y2)−32 esin(x2y) จงหาคาของ fx(1, 0)

5. กำหนดให f(x, y) = 3√

x3 + y3 จงหาคาของ fx(0, 0)


x3 + y3

x2 + y2เมอ (x, y) = (0, 0)

0 เมอ (x, y) = (0, 0)

จงหาคาของ fx(0, 0) และ fy(0, 0)


x2y3

x2 + 4y2เมอ (x, y) = (0, 0)

0 เมอ (x, y) = (0, 0)

จงหาคาของ ∂f

∂x(0, 0) และ ∂f

∂y(0, 0)

8. ให f(x, y) =

x2 − xy

x+ yเมอ x+ y = 0

0 เมอ x+ y = 0

จงหาคาของ D1f(0, y) เมอ y = 0 และ D2f(x, 0) เมอ x = 0

9. จงหาความชนของเสนโคงทเปนรอยตดของพนผว x2 + 3y2 − z = 0 กบระนาบ x = 2 ทจด (2, 1, 7)

10. จงหาความชนของเสนโคงท เปนรอยตดของพนผว 9x2 − 36y2 − 4z2 = 36 กบระนาบy = −1 ทจด (

√12,−1,−3)


5.4 กฎลกโซ ทฤษฎบท 5.4.1 กฎลกโซ (Chain Rule)กำหนดให z = f(x, y) เปนฟงกชนสองตวแปร และ x = x(t), y = y(t) เปนฟงกชนหนงตวแปรถา x, y หาอนพนธไดแลว

z

x y

tt

dz

dt=

∂z

∂x

dx

dt+

∂z

∂y

dy

dt

ตวอยาง 5.4.2 กำหนดให z = x2y, x = tcost และ y = tsint จงหา dz

dt

ตวอยาง 5.4.3 กำหนดให z = ℓn(2x2 + xy), x =√t และ y = 3t− 1

จงหา dz

dtเมอ t = 1

5.4. กฎลกโซ 157

ทฤษฎบท 5.4.4 กำหนดให z = f(x, y) เปนฟงกชนสองตวแปร และ x = x(s, t), y = y(s, t)

เปนฟงกชนสองตวแปร ถา x, y หาอนพนธไดแลวz

y

s t

x

ts

∂z

∂s=

∂z

∂x

∂x

∂s+

∂z

∂y

∂y

∂s

∂z

∂t=

∂z

∂x

∂x

∂t+

∂z

∂y

∂y

∂t

ตวอยาง 5.4.5 กำหนดให z = exy, x = 2s+ t และ y =s

tจงหา ∂z

∂sและ ∂z

∂t

ตวอยาง 5.4.6 กำหนดให u = 3s− t2, s = x+ yℓnx และ t = x2 − yℓnyจงหา ∂u

∂xและ ∂u

∂yเมอ (x, y) = (1, 1)


ตวอยาง 5.4.7 จงหา ∂z

∂xและ ∂z

∂yเมอ z นยามโดยปรยายซงเปนฟงกชนของ x และ y และ

สอดคลองสมการ x3 + y3 + z3 + 2xyz = 1

ตวอยาง 5.4.8 กำหนดให z = f(u− v, v − u) จงแสดงวา ∂z

∂u+

∂z

∂v= 0

5.4. กฎลกโซ 159

ตวอยาง 5.4.9 จงหาอตราการเปลยนแปลงของปรมาตรของกรวยกลม ในขณะทความสง 30

น ว และรศมของฐานของกรวยยาว 20 น ว ถาความสงกำลงเพมขนในอตรา 2 น วตอนาท และรศมของฐานกำลงลดลงในอตรา 1 น วตอวนาท

ตวอยาง 5.4.10 นำรวออกจากถงรปทรงกระบอกดวยอตรา 4

5π ลกบาศก ฟตตอนาท ถาถง

ขยายตวลกษณะทยงคงรปเปนทรงกระบอกอย โดยรศมเพมดวยอตรา 0.002 ฟตตอนาท จงหาความสงของนำในถงจะเปลยนแปลงไปในอตราเทาใด ขณะทรศมของถงเปน 2 ฟต และปรมาตรของนำในถงเปน 20π ลกบาศกฟต


แบบฝ กหด 5.41. จงหาอนพนธตอไปน

1.1 dz

dtเมอ z = x2ey, x = 2sint และ y = t4

1.2 dz

dtเมอ z = arctan

(yx

), x = ℓnt และ y = cost2

1.3 dz

dtเมอ z = x2y3 + xsiny + tx, x = t+

1

tและ y =

√t

1.4 ∂z

∂sและ ∂z

∂tเมอ z = 3x2 + xy + 2y2 + 3x− y, x = 2s− 3t และ y = st+ s2

1.5 ∂z

∂tและ ∂z

∂rเมอ z = e

yx , x = rcos2t และ y = r2sint

1.6 ∂z

∂rและ ∂z

∂θเมอ z = xyexy, x = rcosθ และ y = rsinθ

2. กำหนดให z =√

5 + x− 2xy4 เมอ x = t2 และ y = t− 1

จงหา dz

dtเมอ t = 1

3. กำหนดให z = f(x2 − y2) จงแสดงวา x∂z

∂y+ y

∂z

∂x= 0

4. ถารศมของกรวยกลมใบหนงกำลงเพมขนดวยอตรา 1 เซนตเมตรตอนาท และความสงกำลงลดลงดวยอตรา 2 เซนตเมตรตอนาท จงหาอตราการเปลยนแปลงของปรมาตรกรวยใบน เมอรศมและความสงของกรวยเปน 10 และ 20 เซนตมเตรตามลำดบ

5. สเหลยมผนผารปหนง ดานกวางกำลงเพมขนดวยอตรา 1 ฟตตอวนาท และดานยาวกำลงลดลงดวยอตรา 2 ฟตตอวนาท จงหาอตราการเปลยนแปลงของพนทของรปสเหลยมรปนเมอความยาวของดานกวางเปน 6 ฟต และความยาวดายยาวเปน 12 ฟต

6. รางนำอนหนงยาว 300 เซนตเมตร หนาตดเปนรปสามเหลยมหนาจว ซงมมมหนงเปนมมฉาก ถาไขนำลงในรางดวยอตรา 50,000 ลกบาศกเซนตเมตรตอวนาท ระดบนำในรางจะสงขนดวยอตราเทาใด เมอนำลก 150 เซนตเมตร

5.5. อนพนธ อนดบสง 161

5.5 อนพนธอนดบสงบทนยาม 5.5.1 ให z = f(x, y) เปนฟงกชนสองตวแปร จะเรยก ∂f

∂xและ ∂f

∂y

วาอนพนธยอยอนดบหนง (fisrt-order partial derivative) และนยามอนพนธยอยอนดบสอง (second-order partial derivative) ดงน

1. ∂

∂x(∂f

∂x) เขยนแทนดวย ∂2f

∂x2, fxx, f11 หรอ D11f

2. ∂

∂y(∂f

∂x) เขยนแทนดวย ∂2f

∂y∂x, fxy, f12 หรอ D12f

3. ∂

∂x(∂f

∂y) เขยนแทนดวย ∂2f

∂x∂y, fyx, f21 หรอ D21f

4. ∂

∂y(∂f

∂y) เขยนแทนดวย ∂2f

∂y2, fyy, f22 หรอ D22f

อนพนธยอยอนดบอน ๆ นยามทำนองเดยวกน

ตวอยาง 5.5.2 จงหาอนพนธอนดบสองของ f(x, y) = yexy + x3y2

162 บทท 5. ฟงก ชนหลายตวแปรตวอยาง 5.5.3 กำหนดให f(x, y) = x3y2 − x2siny จงหา fxxy

ตวอยาง 5.5.4 ให f(x, y) =

x3y − xy3

x2 + y2เมอ (x, y) = (0, 0)

0 เมอ (x, y) = (0, 0)

จงหาคาของ D12f(0, 0) และ D21f(0, 0)

5.5. อนพนธ อนดบสง 163

ตวอยาง 5.5.5 กำหนดให z = f(x, y), x = 2t+ 3s และ y = st จงหา ∂2z

∂s∂t

ตวอยาง 5.5.6 กำหนดให z = f(x, y), x = x(r, θ) และ y = y(r, θ)

จงหา ∂2z

∂r2และ ∂2z

∂θ∂r


แบบฝ กหด 5.51. จงหาอนพนธยอยอนดบสองของแตละขอตอไปน

1.1 f(x, y) = x2 − 2xy3 + 5y6 + 3

1.2 f(x, y) = ℓn(x2 − 5y)

1.3 f(x) = xey + yex

1.4 f(x, y) = sin(cos(2x+ 3y))

1.5 f(x, y) = exy + y√x

2. กำหนดให f(x, y) = x3y5 − 2x2y + x จงหา ∂3f

∂y∂x2, ∂3f

∂y∂x∂yและ ∂3f

∂y3

3. กำหนดให f(x, y) = (2x+ y)5 จงหา ∂3f

∂y∂x∂y, ∂3f

∂x2∂yและ ∂4f

∂y2∂x2

4. กำหนดให f(x, y) = x3e−5y จงหา fxyy(0, 1), fxxx(0, 1) และ fyyxx(0, 1)

5.6. การประมาณคาเชงเสน 165

5.6 การประมาณคาเชงเสนบทนยาม 5.6.1 คาเชงอนพนธ (differential) ของ f ทจด (x, y) เขยนแทนดวย df(x, y) และกำหนดโดย

df(x, y) = fx(x, y)∆x+ fy(x, y)∆y

หรออาจจะเขยน ∆x = dx และ ∆y = dy

df(x, y) = fx(x, y)dx+ fy(x, y)dy

ตวอยาง 5.6.2 กำหนดให f(x, y) = x2sinxy จงหา df(x, y)

เราจะประมาณคา f(x+ dx, y + dy)− f(x, y) ≈ df(x, y) เมอ ∥(dx, dy)∥ มคานอย ๆ เราจะไดสตรการประมาณคาเชงเสน (Linear approximation) ดงน

f(x+ dx, y + dy) ≈ f(x, y) + fx(x, y)dx+ fy(x, y)dy

ตวอยาง 5.6.3 จงใชคาอนพนธประมาณคาของ 3√

(2.01)2 + (1.98)2

ตวอยาง 5.6.4 จงหาปรมาตรโดยประมาณของกลองรปสเหลยมมมฉากทมฐานเปนรปสเหลยมจตรสซงมความยาวดานละ 5.003 เซนตเมตร และสง 9.997 เซนตเมตร


แบบฝ กหด 5.61. จงหาคาเชงอนพนธของฟงกชนตอไปน

1.1 f(x, y) =√x2 + xy

1.2 f(x, y) = excosxy1.3 f(x, y) =

xy

x+ y

1.4 f(x, y) = x3sinxℓny

2. จงประมาณคาตอไปน

2.1 √(3.01)2 + (3.97)2

2.2 (1.002)e0.001

2.3 13√

(0.003)3+(7.979)3

2.4 (0.99)3.001

3. ทรงกระบอกใบหนงรศมฐานเปน 5.026 เซนตเมตร และวดสวนสงได 24.003 เซนตเมตรจงคำนวณปรมาตรโดยประมาณของทรงกระบอกน

4. กรวยกลมใบหนงมการเปลยนแปลงรศมจาก 3 ฟต และสง 4 ฟต ไปเปนรศม 2.9 ฟต และสง 4.3 ฟต จงหาคาสวนการเปลยนแปลงของปรมาตรของกรวยใบน โดยใชคาอนพนธ

5. ในการคำนวณปรมาตรของกลองรปทรงสเหลยมมมฉากซงวดความกวาง ความยาว และความสงได 10 13 และ 16 น วตามลำดบ ถาวดความผดพลาดไมเกน 0.03 น ว จงหาขอบเขตของความผดพลาดสมพทธ

บทท 6อนทกรลของฟงกชนสองตวแปร

6.1 อนทกรลบนโดเมนรปส เหลยมผนผาให f : D → R เมอ D = [a, b]× [c, d] พจารณาการแบงช วงแบง [a, b] ออกเปน m ชวง ดวยจด x0, x1, x2, ..., xm โดยท

a = x0 < x1 < x2 < ... < xm = b

แบง [c, d] ออกเปน n ชวง ดวยจด y0, y1, y2, ..., yn โดยทc = y0 < y1 < y2 < ... < yn = d

ให Dij = [xi−1, xi] × [yj−1, yj] เปนสเหลยมผนผายอยของรป ij เมอ i = 1, 2, ...,m และj = 1, 2, ..., n

X

Y

a = x0 x1 xi−1 xi xm−1 xm = b

c = y0

y1

yj−1

yj

yn−1

d = yn

Dij

ให ∆xi = xi − xi−1 และ ∆yj = yj − yj−1 และ Dij = ∆Aij = ∆xi∆yj ให (xij, yij) ∈ Dij แลว

Smn =m∑i=1

n∑j=1

f(xij, yij)∆Aij

เรยก Smn วา ผลบวกรมนน (Reimann sum) ของ f บน D

167

168 บทท 6. อนทกรลของฟงก ชนสองตวแปร

ถาเราแบง ∆xi และ ∆yi มคาเขาใกลศนย เมอ m และ n มคามาก ๆ และlim

m→∞,n→∞Smn = L

แลวเราจะกลาววา f เปนฟงกชนทอนทเกรตได (integrable) บน D และเรยกคาลมต L วาอนทกรลสองชน (double integral) ของ f บน D ซงเขยนแทนดวย∫∫

D

f หรอ∫∫D

f dA หรอ∫∫D

f dxdy

พจารณาฟงกชน f(x, y) ≥ 0 ทก (x, y) ∈ D ซงอนทเกรตไดบน D

f(xij, yij)∆Aij = ปรมาตรรปทรงสเหลยมมมฉากทมความสง f(xij, yij) บนสเหลยมผนผา Dij

X

Y

Z

a

xi−1

xi

b

cyj−1

yj

d

(xij, yij)

Dij

f(xij, yij)

z = f(x, y)

ดงนน ∫∫D

f dA = ปรมาตรรปทรงตนซงอยภายใตผว z = f(x, y) บน D

สำหรบ f(x, y) = 1 จะไดวา ∫∫D

dA = พนทอาณาบรเวณของ D

6.1. อนทกรลบนโดเมนรปสเหลยมผนผา 169ตวอยาง 6.1.1 กำหนดให f(x, y) = xy และ D = [0, 1]× [1, 2]

จงหา∫∫D

dA โดยใชลมตของผลบวกรมนน


เนองจากการคำนวนคาอนทกรลสองชนผานลมตของผลบวกรมนนคอนขางยงยาก เราจงพจารณา เหมอนกบการอนทเกรตในหนงตวแปร∫

f(x, y) dx มอง y เปนคาคงตว และ∫

f(x, y) dy มอง x เปนคาคงตว

ตวอยางเช น∫ 1

0

∫ 2

1

xy dydx =

∫ 1

0

(∫ 2

1

xy dy

)dx =

∫ 1

0

[1

2xy2]y=2

y=1

dx

=

∫ 1

0

[1

2x22 − 1

2x12]dx =

∫ 1

0

3

2x dx =

[3

4x2

]x=1

x=0

=3

4

ตวอยาง 6.1.2 จงหาคาอนทกรลสองชน∫ 4

−2

∫ 3

1

(3x2 − 2xy + 3y2 + 2) dydx


−1

∫ 2

1

x+ y

ydydx

6.1. อนทกรลบนโดเมนรปสเหลยมผนผา 171

ทฤษฎบท 6.1.4 ให f : D → R เมอ D = [a, b]× [c, d]

ถา f เปนฟงกชนทอนทเกรตไดบน D แลว∫ b

a

∫ d

c

f(x, y) dydx =

∫ d

c

∫ b

a

f(x, y) dxdy


0

∫ 1

0

2x√x2 + y dxdy

ตวอยาง 6.1.6 จงหาคาอนทกรลสองชน∫∫D

xsin(xy) dA เมอ D = [0, 1]× [0, π2]


ตวอยาง 6.1.7 จงหาปรมาตรรปทรงตนทอยเหนอระนาบ XY ซงป ดลอมดวย

ระนาบ x+ y + z = 4 และปดลอมดวยระนาบ x = 0, x = 1, y = 1 และ y = 2

X

Y

Z

X

Y

Z

6.1. อนทกรลบนโดเมนรปสเหลยมผนผา 173

แบบฝ กหด 6.11. จงหาคาอนทกรลสองชนตอไปน

1.1∫ 2

1

∫ 3

2

(x2y + xy2) dxdy

1.2∫ 1

0

∫ 6

1

1

x+ 1dxdy

1.3∫ 2

−2

∫ 8

3

dxdy

1.4∫ 2

0

∫ 1

0

ysinx dydx

1.5∫ π

π2

∫ 2

1

ycos(xy) dxdy

1.6∫ ℓn2

0

∫ ℓn3

0

ex+ysinx dxdy

2. จงหาคาอนทกรลสองชนตอไปนบนอาณาบรเวณทกำหนดให2.1

∫∫D

y

(xy + 1)2dA D = [0, 1]× [0, 1]

2.2∫∫D

ydA D = {(x, y) : −3 ≤ x ≤ 3, −2 ≤ y ≤ 5}

2.3∫∫D

x√1− x2dA D = อาณาบรเวณทป ดลอมดวย x = 0, x = 1, y = 2

และ y = 3

2.4∫∫D

xcos(xy)cos2(πx)dA D = [0, 12]× [0, π]

3. จงหาปรมาตรของรปทรงตนทอยภายใตพนทผว z = 4x3 + 3x2y และอยเหนอรปสเหลยมผนผา D = {(x, y) : 1 ≤ x ≤ 3, 0 ≤ y ≤ 4}

4. จงหาปรมาตรของรปทรงตนในอฐภาคทหนงซงป ดลอมดวย

ระนาบ x = 0, z = 0, x = 5, z − y = 0 และ z = 6− 2y


6.2 อนทกรลบนโดเมนทวไปให f : S −→ R เมอ S ⊂ D = [a, b]× [c, d]

X

Y

a b

c

d

S

ให f : D → R นยามโดย

f(x, y) =

f(x, y) เมอ x ∈ S

0 เมอ x /∈ S

ถา f เปนฟงกชนทอนทเกรตไดบน D เราจะกลาวไดวา f เปนฟงกชนทอนทเกรตไดบน S โดยนยามคาของอนทกรลเปน ∫∫

S

f =

∫∫D

f

ตวอยาง 6.2.1 กำหนดให f(x, y) = xy และ S เปนอาณาบรเวณทป ดลอมดวยเสนโคงy =

√x และเสนตรง x = 2y จงหาคาของ

∫∫S

f

X

Y

x = 2y

y =√x

0 1 2 3 4 5

1

2

3

6.2. อนทกรลบนโดเมนทวไป 175

เราสามารถหาอนทกรลสองชนโดยการพจารณาโดเมนไดสองลกษณคอ1. แบบท 1 S = {(x, y) : g1(x) ≤ y ≤ g2(x), a ≤ x ≤ b}

X

Y

a b

c

d y = g1(x)

y = g2(x)

S

f(x, y) =

0 เมอ c ≤ y < g1(x)

f(x, y) เมอ g1(x) ≤ y ≤ g2(x)

0 เมอ g2(x) < y ≤ d

และ

∫∫S

f =

∫ b

a

∫ g2(x)

g1(x)

f(x, y) dydx

2. แบบท 2 S = {(x, y) : h1(y) ≤ x ≤ h2(y), c ≤ y ≤ d}

X

Y

a b

c

d

x = h2(y)x = h1(y) S

f(x, y) =

0 เมอ a ≤ x < h1(y)

f(x, y) เมอ h1(y) ≤ x ≤ h2(y)

0 เมอ h2(y) < x ≤ b

และ

∫∫S

f =

∫ b

a

∫ h2(y)

h1(y)

f(x, y) dxdy


ตวอยาง 6.2.2 จงหาคาของ∫∫S

y เมอ S = {(x, y) : 0 ≤ x ≤ π8, sinx ≤ y ≤ cosx}

X

Y

0 1 2

1

π8

π4

π2

y = sinx

y = cosx

ตวอยาง 6.2.3 จงหาคาอนทกรลสองชนของ f(x, y) = x − 3y2 บนอาณาบรเวณทลอมรอบดวย y = |x|+ 1 และ y = 3

X

Y

−3 −2 −1 0 1 2 3

1

2

3

4



xy2 dA

เมอ S เปนอาณาบรเวณทลอมรอบดวย y = x2, x+ y = 2 และ y =1

2โดยท y ≥ x2

X

Y

−3 −2 −1 0 1 2 3

1

2

3

4

5


ตวอยาง 6.2.5 จงเปลยนลำดบการอนทเกรตของ∫ 0

−2

∫ 5

1+y2f(x, y) dxdy

X

Y

1 2 3 4 5 6

−3

−2

−1

0

1

ตวอยาง 6.2.6 จงเปลยนลำดบการอนทเกรตของ∫ 6

2

∫ x2

|x−3|f(x, y) dydx

X

Y

0 1 2 3 4 5 6 7

1

2

3

4


ตวอยาง 6.2.7 จงหาคาของ∫ 4

0

∫ 2

√y

ex3

dxdy

X

Y

0 1 2 3

1

2

3

4

5


ตวอยาง 6.2.8 จงหาปรมาตรทรงตนในอฐภาคทหนงซงป ดลอมดวยพนผว z = 4 − x2 − y2

และระนาบ x+ y = 1 โดยท x+ y ≤ 1

X

Y

Z


ตวอยาง 6.2.9 จงหาปรมาตรทรงตนในอฐภาคทหนงซงอยเหนอระนาบ XY และปดลอมดวยพนผว x2 + y2 = 4 และระนาบ y + z = 4

X

Y

Z


แบบฝ กหด 6.21. จงเปลยนลำดบการอนทเกรต และเขยนรปแสดงอาณาบรเวณของการอนทเกรต

1.1∫ 0

−2

∫ 2+√4−x2

2−√4−x2

f(x, y) dydx

1.2∫ 2

0

∫ ey

1

f(x, y) dxdy

1.3∫ 1

0

∫ 0

x2−4

f(x, y) dxdy

1.4∫ 3

0

∫ y+1

(y−1)2f(x, y) dxdy

2. จงหาคาของ

2.1∫ 2

0

∫ √4−y2

0

x dxdy

2.2∫ 2

1

∫ 2x

x

1

(x+ y)3dydx

2.3∫ 1

−1

∫ y

−1

xyex2

dxdy

2.4∫ 1

0

∫ 1

0

|x− y| dydx

2.5∫ 1

0

∫ y

0

x√y2 − x2 dxdy

2.6∫ π

π2

∫ x2

0

1

xcos(yx

)dydx

2.7∫ 3

1

∫ x

0

2

x2 + y2dydx

2.8∫ 1

0

∫ 3√x

√x

(1 + y6) dydx

2.9∫ 1

0

∫ x

4x

e−y2 dydx

2.10∫ 1

0

∫ π2

arcsinysec2(cosx) dxdy

3. จงหาคาอนทกรลสองชน∫∫S

f(x, y) dA ตอไปนบนอาณาบรเวณทกำหนดให

3.1 f(x, y) = cos(x+ y) S คออาณาบรเวณทป ดลอมดวย y = x, x = π และแกน X3.2 f(x, y) = xy2 S คออาณาบรเวณเหนอเสนตรง y = 1− x

และอยภายในวงกลม x2 + y2 = 1

3.3 f(x, y) =2y − 1

x+ 1S คออาณาบรเวณทป ดลอมดวย y = 2x− 4, y = 0

และ x = 1

4. จงหาปรมาตรของรปทรงตนทป ดลอมดวย

4.1 ระนาบ x+ 2y + 3z = 6 ในอฐภาคทหนง4.2 พนผว z = 1− x2 − y2 เหนอระนาบ XY4.3 ระนาบ x+ y + z = 3, y = x, x+ y = 2, x = 0 และ z = 0 โดยท x+ y ≥ 2

4.4 พนผว 4x2 + y2 = 9 ระนาบ z = y + 3 และอยเหนอระนาบ XY4.5 พนผว z = x2 + y2 และ x2 + y2 = 4 ในอฐภาคทหนง

6.3. อนทกรลบนระบบพกดเชงขว 183

6.3 อนทกรลบนระบบพกดเชงขวพจารณาโดเมน

D = {(r, θ) : a ≤ r ≤ b, α ≤ θ ≤ β}

X

O r = a r = b

D

θ = β

θ = α

ให f : D → R เปนฟงกชนทอนทเกรตไดบน D จะแบงอาณาบรเวณ D ออกเปนสวนยอย ๆ คอแบง [a, b] ออกเปน m ชวงยอยดวยจด r0, r1, r2, ..., rm โดยท

a = r0 < r1 < r2 < ... < rm = b

แบง [α, β] ออกเปน n ชวงยอยดวยจด θ0, θ1, θ2, ..., θn โดยท

α = θ0 < θ1 < θ2 < ... < θn = β

สำหรบ i = 1, 2, 3, ...,m และ j = 1, 2, 3, ..., n ใหDij = {(r, θ) : ri−1 ≤ r ≤ ri, θj−1 ≤ θ ≤ θj}

X

O a = r0 r1 ri−1 ri rm−1 rm = b

Dij

θ0 = α

θ1

θj−1

θj

θn−1

θn = β


ให (xij, yij) เปนจดใน Dij ดงนน

xij = rijcosθij และ yij = rijsinθij เมอ ri−1 ≤ rij ≤ ri และ θj−1 ≤ θij ≤ θj

และ ∆Aij เปนพนทของอาณาบรเวณ Dij ดงนนผลบวกรมนนคอ

Smn =m∑i=1

n∑j=1

f(xij, yij)∆Aij

O

ri−1ri

Dijθj−1

θj

∆Aij =1

2r2i (θj − θj−1)−

1

2r2i−1(θj − θj−1) =

1

2(r2i − r2i−1)(θj − θj−1)

=1

2(ri + ri−1)(ri − ri−1)(θj − θj−1)

= rij(ri − ri−1)(θj − θj−1) ( เลอก rij =1

2(ri + ri−1) เปนจดกงกลาง )

ดนนนSmn =

m∑i=1

n∑j=1

f(rijcosθij, rijsinθij)rij(ri − ri−1)(θj − θj−1)

เนองจาก f เปนฟงกชนทอนทเกรตไดบน D ดงนน∫∫D

f = limm→∞,n→∞

Smn =

∫ β

α

∫ b

a

f(rcosθ, rsinθ)r drdθ

สรปไดวา ∫∫D

f(x, y) dA =

∫ β

α

∫ b

a


หรอ ∫∫D

f(x, y) dA =

∫ b

a

∫ β

α

f(rcosθ, rsinθ)r dθdr


ตวอยาง 6.3.1 กำหนดให f(x, y) =√

x2 + y2 จงหาคาของ∫ π

0

∫ 1

0


ตวอยาง 6.3.2 ให D เปนอาณาบรเวณในจตภาคทหนง ซงอยระหวางวงกลม x2 + y2 = 1 และx2 + y2 = 4 จงหา ∫∫

D

1

x2 + y2 + 1dA

X

Y



0

∫ √1−y2

0

ex2+y2 dxdy

X

Y


การอนทเกรตบนโดเมน S ใดๆ เมอ f : S → R เปนฟงกชนทอนทเกรตได เราจะหาคาของ∫∫S

f โดยการสรางรป

D = {(r, θ) : a ≤ r ≤ b, α ≤ θ ≤ β}

ลอมรอบ S

X

Y

O

D

r = a r = b

S

θ = α

θ = β

และกำหนดฟงกชน f : D → R นยามโดย

f(x, y) =

f(x, y) เมอ x ∈ S

0 เมอ x /∈ S

ถา f เปนฟงกชนทอนทเกรตไดบน D เราจะกลาวไดวา f เปนฟงกชนทอนทเกรตไดบน S โดยนยามคาของอนทกรลเปน ∫∫

S

f(x, y) dA =

∫∫D

f(x, y) dA


การหาอนทกรลสองชนในระบบพกดเชงขวพจารณาโดเมนได 2 แบบคอ1. แบบท 1 S = {(r, θ) : g1(θ) ≤ r ≤ g2(θ), α ≤ θ ≤ β}

X

Y

O

Dg1(θ)

g2(θ)

r = a r = b

Sθ = α

θ = β

f(x, y) = f(rcosθ, rsinθ) =

0 เมอ a ≤ r < g1(θ)

f(rcosθ, rsinθ) เมอ g1(θ) ≤ r ≤ g2(θ)

0 เมอ g2(θ) < r ≤ b

∫∫S

f(x, y) dA =

∫ β

α

∫ g2(θ)

g1(θ)


2. แบบท 2 S = {(r, θ) : h1(r) ≤ θ ≤ h2(r), a ≤ r ≤ b}

X

Y

O

Dh1(r)

h2(r)

r = a r = b

Sθ = α

θ = β

f(x, y) = f(r cos θ, r sin θ) =

0 เมอ α ≤ θ < h1(r)

f(rcosθ, rsinθ) เมอ h1(r) ≤ θ ≤ h2(r)

0 เมอ h2(θ) < θ ≤ β

∫∫S

f(x, y) dA =

∫ b

a

∫ h2(r)

h1(r)

f(rcosθ, rsinθ)r dθdr


ตวอยาง 6.3.4 จงเขยนอนทกรล∫ 2

−2

∫ 2+√

4−y2

2−√

4−y2f(x, y) dxdy ใหอยในระบบพกดเชงขว

X

Y

−1 0 1 2 3 4 5

−3

−2

−1

1

2

3



0

∫ 2

x

f(x, y) dydx ใหอยในระบบพกดเชงขว

X

Y

0 1 2 3

1

2

3


0

∫ 3

x

f(x, y) dydx ใหอยในระบบพกดเชงขว

X

Y

0 1 2 3 4

1

2

3

4


ตวอยาง 6.3.7 จงเขยนอนทกรล∫ π

2

0

∫ 2secθ

0

r2sin2θ drdθ ใหอยในระบบพกดฉาก

X

Y

−2 −1 0 1 2

1

2

3



sin(x2 + y2) dA เมอ S เปนอาณาบรเวณในจตภาคทหนงท

ป ดลอมดวยวงกลม x2 + y2 = 4 และ เสนตรง y = 0 และ y = x

X

Y



1

∫ √4−x2

−√4−x2

1√x2 + y2

dydx

X

Y


ตวอยาง 6.3.10 จงหาพนทของอาณาบรเวณในจตภาคทหนงซงอยภายในวงกลม x2 + y2 = 1

และวงกลม x2 + y2 = 2y

X

Y


ตวอยาง 6.3.11 จงหาปรมาตรของรปทรงตนเหนอระนาบ XY ซงลอมรอบดวยดานขางดวยพนผว x2 + y2 − 2x = 0 และสวนบนปดดวยพนผว z =

√4− x2 − y2

X

Y

Z

X

Y


แบบฝ กหด 6.31. จงเขยนอนทกรลตอไปน ใหอยในรปพกดเชงขวพรอมทงเขยนรปแสดงอาณาบรเวณการอ

นทเกรต

1.1∫ 1

0

∫ √1−y2

1−y

f(x, y) dxdy

1.2∫ 1

−1

∫ √1−x2

0

f(x, y) dydx

1.3∫ √

2

−√2

∫ √4−y2

|y|f(x, y) dxdy

1.4∫ 1

−1

∫ 1

x2

f(x, y) dydx

2. จงเขยนอนทกรลตอไปน ใหอยในรปพกดฉากพรอมทงเขยนรปแสดงอาณาบรเวณการอนทเกรต

2.1∫ π

2

0

∫ cosθ

0

r2 drdθ 2.2∫ π

2

π3

∫ 2cscθ

cscθrcosθ drdθ

3. จงหาคาอนทกรลสองชน ∫∫S

f(x, y) dA ตอไปนบนอาณาบรเวณทกำหนดให

3.1 f(x, y) =√1 + 4x2 + 4y2 S คออาณาบรเวณในจตภาคทหนงทป ดลอมดวย

x2 + y2 = 4

3.2 f(x, y) =1√

x2 + y2S คออาณาบรเวณทอยภายในวงกลม x2 + y2 = 4x

และอยภายนอกวงกลม x2 + y2 = 4

3.3 f(x, y) = x+ y S คออาณาบรเวณในจตภาคทหนงทป ดลอมดวยx2 + y2 = 4, y =

√3x และ y = 0

3.4 f(x, y) = y√

x2 + y2 S คออาณาบรเวณทป ดลอมดวยครงวงกลมy =

√2x− x2 และแกน X

4. จงหาพนทของบรเวณซงป ดลอมดวยวงกลม x2 + y2 = 1 และเสนตรง x = 3, y = x และy = 0

5. จงหาพนทของบรเวณทอยภายในวงกลม x2 + y2 = 4 เมอ y ≥ 3

6. จงหาพนทของบรเวณซงป ดลอมดวยวงกลม x2 + y2 = 4x และเสนโคง y =√2x กบแกน

X7. จงหาปรมาตรของรปทรงตนเหนอระนาบ XY ซงอยภายใตพนผว z = 1−x2−y2 และลอม

รอบดวยพนผวดานขางดวย x2 + y2 = x

8. จงหาปรมาตรของรปทรงตนเหนอระนาบ XY ซงอยภายใตพนผว z = 4+ x+2y และลอมรอบดวยพนผวดานขางดวย x2 + y2 = 1

บทท 7สมการเชงอนพนธเบ องตน

7.1 สมการเชงอนพนธสมการทแสดงความสมพนธระหวาง ฟงกชนกบอนพนธของฟงกชนนน เรยกวาสมการเชงอนพนธ(differential equation) ตวอยางเช น

1. สมการการเคลอนท (Equation of motion)

md2x

dt2+ c

dx

dt+ kx = f(t)

2. สมการการเตบโตของจำนวนประชากร (Population growth equation)dP

dt= kP

3. สมการคลนในหนงมต (One-dimensional wave equation)∂2u

∂t2= c2

∂2u

∂x2

บทนยาม 7.1.1 สมการเชงอนพนธของฟงกชนตวแปรเดยวเรยกวา สมการเชงอนพนธสามญ(Ordinary Differential Equation : ODE ) ถาสมการเชงอนพนธ ของฟงกชนมากกวาหนงตวแปรเรยกวา สมการเชงอนพนธยอย (Partial Differential Equation : PDE )ตวอยาง 7.1.2 จงตรวจสอบวาสมการเชงอนพนธตอไปน เปน ODE หรอ PDE

สมการเชงอนพนธ ODE PDEd2y

dx2+ 3x

dy

dx= ex

d3x

dt3− 2

(dx

dt

)2

=d2x

dt2

∂2u

∂t2− λ

∂2u

∂x2= 2sinx

197

198 บทท 7. สมการเชงอนพนธ เบองตน

บทนยาม 7.1.3 อนดบ (order) ของสมการเชงอนพนธ คออนดบสงสดของอนพนธทปรากฎในสมการนน ดกร (degree) ของสมการเชงอนพนธ คอกำลงสงสดของอนพนธ อนดบสงสดท ปรากฎทปรากฎในสมการนน เมอจดทก ๆ กำลงเปนจำนวนเตมบวกตวอยาง 7.1.4 จงบอกอนดบและดกรของสมการเชงอนพนธตอไปน

สมการเชงอนพนธ อนดบ ดกรdy

dx= x3

yd2y

dx2+

(dy

dx

)2

= 0

xu

(∂u

∂x

)2

+

(∂3u

∂t3

)3

= cost

xy2 = y′ +√

1 + y′

บทนยาม 7.1.5 เรยกสมการเชงอนพนธวา สมการเชงเสน (linear equation) ถา1. ทก ๆ ตวแปรตามและอนพนธของตวแปรตามมเลขชกำลงเปน 12. ไมมพจนในรปผลคณของตวแปรตาม และ/หรอ อนพนธของตวแปรตามปรากฏในสมการ3. ไมมพจนในรปฟงกชนอดสยของตวแปรตามหรอ อนพนธของตวแปรตามปรากฏในสมการ

และเรยกสมการเชงอนพนธทไมเปนสมการเชงเสนวา สมการไมเชงเสน (nonlinear equation)ตวอยาง 7.1.6 จงตรวจสอบวาสมการเชงอนพนธตอไปน เปนสมการเชงเสนหรอไม

สมการเชงอนพนธ สมการเชงเสน สมการไมเชงเสนd2y

dx2+

dy

dx+ y = 3x2

yd3y

dx3+

dy

dx= tanx

∂u

∂x+

(∂3u

∂t3

)2

= sinu

xy2 = y′ + yy′′

∂2u

∂t2= c2

∂2u

∂x2

x2 d2y

dx2+ x

dy

dx+ y = 0

7.1. สมการเชงอนพนธ 199

สมการเชงอนพนธอนดบหนงดกรหนงจะเขยนไดเปนdy

dx= f(x, y) หรอ M(x, y) dx+N(x, y) dy = 0

บทนยาม 7.1.7 เราจะเรยกฟงกชนซงไมเปนฟงกชนของอนพนธ และสอดคลองสมการเชงอนพนธวา ผลเฉลย (solution) ของสมการผลเฉลยของสมการเชงอนพนธอาจจะอยในรปของฟงกชนทนยามแบบแจมชด (explicite function)หรอฟงกชนท นยามโดยปรยาย (implicite function) กได เราเรยกผลเฉลยของสมการเชงอนพนธท มคาคงตวไมเจาะจงวา ผลเฉลยทวไป (general solution) และผลเฉลยทกำหนดคาคงตวแนนอนวา ผลเฉลยเฉพาะ (particular solution)ตวอยาง 7.1.8 จงแสดงวา y = Ae−3x +Bex ผลเฉลยทวไปของสมการ y′′ + 2y′ = 3y

ตวอยาง 7.1.9 จงแสดงวา y =1 + cet

1− cetเปนผลเฉลยทวไปของสมการ dy

dt=

1

2(y2 − 1)


ตวอยาง 7.1.10 จงแสดงวา y = x− 1

xผลเฉลยเฉพาะของสมการ xy′ + y = 2x

ตวอยาง 7.1.11 จงแสดงวา y = sinxcosx− cosx เปนผลเฉลยเฉพาะของสมการy′ + (tanx)y = cos2x

ตวอยาง 7.1.12 จงแสดงวา x2y − xy2 = c สอดคลองสมการ (x2 − 2xy)y′ = y2 − 2xy

7.1. สมการเชงอนพนธ 201

แบบฝ กหด 7.11. จงบอกอนดบ ดกร รวมทงระบวาสมการใดเปนสมการเชงเสน หรอเปนสมการไมเชงเสน

1.1 dy

dx+ 2xy = 4x

1.2 y′′′ + 2y′′ + 3y′ + 4y = cosx1.3 ex

dy

dx=√

x2 + y′

1.4(dy

dx

)5

+ xd2y

dx2= ℓnx

1.5 (x2 − 1)y′ + xy2 + 1 = 0

1.6 u∂2u

∂t2= −∂u

∂x

2. จงแสดงวาฟงกชนทกำหนดใหเปนผลเฉลยของสมการเชงอนพนธ

2.1 y = cx+√1− c2 เปนผลเฉลยทวไปของ xy′ +

√1− (y′)2 = y

2.2 (x− c)2 + y2 = a2 เปนผลเฉลยทวไปของ y2(dy

dx

)2

+ y2 = a2

2.3 y2 − x = 0 เปนผลเฉลยเฉพาะของ y = 2xdy

dx

2.4 y = 4 +4

xเปนผลเฉลยเฉพาะของ x

d2y

dx2+ 2

dy

dx= 0


7.2 สมการแยกตวแปรไดบทนยาม 7.2.1 สมการเชงอนพนธทสามารถเขยนในรป

dy

dx= f(x)g(x) หรอ M1(x)M2(y)dx+N1(x)N2(y)dy = 0

เรยกวาเปน สมการแบบแยกตวแปรได (variable separable equation)วธหาผลเฉลย ดงนนสมการแบบแยกตวแปรได คอสมการทสามารถเขยนไดในรป

M1(x)

N1(x)dx+

N2(y)

M2(y)dy = 0

การหาผลเฉลยของสมการแบบแยกตวแปรไดคอการอนทเกรตแตละสวน∫M1(x)

N1(x)dx+

∫N2(y)

M2(y)dy = c

เมอ c เปนคาคงตวไมเจาะจงตวอยาง 7.2.2 จงหาผลเฉลยทวไปของสมการเชงอนพนธตอไปน

1. 3(1− y2) dx− 2xy dy = 0 2. dy

dx=

y − xy

x2 + 1

7.2. สมการแยกตวแปรได 203

ตวอยาง 7.2.3 จงหาผลเฉลยเฉพาะของสมการเชงอนพนธตอไปน

1. (ℓn y)2y′ = x2y เมอ y(2) = 1

2. 4sin2x dy + sec2y dx = 0 เมอ y(π2

)= π


แบบฝ กหด 7.21. จงหาผลเฉลยทวไปของสมการเชงอนพนธตอไปน

1.1 dy

dx+ 2xy = 4x

1.2 (y4 + y)y′ = sinx− cosx1.3 x3 dy

dx=√

x2 − x2y2 เมอ x > 0

1.4 3(4y2 + 1) dx = y(x− 1) dy

1.5 1 + ex

1− e−ydy + ex+y dx = 0

1.6 (x2y + x2) dx = (xy2 − y2) dy

1.7 (x2 + 1)y′ + y2 + 1 = 0

1.8 (x2y2secxtanx+ xy2secx) dx+ xy3 dy = 0

2. จงหาผลเฉลยเฉพาะของสมการเชงอนพนธตอไปน

2.1 cos2xdydx

= sin2y เมอ y(0) =π

2

2.2 √x2 + 1

dy

dx=

x

yเมอ y(

√3) = 2

2.3 dy =9ex

ey2 + y2e2dx เมอ y(1) = 3

2.4 x dy =y

x− x3dx เมอ y(2) = −2

7.3. สมการเอกพนธ 205

7.3 สมการเอกพนธ บทนยาม 7.3.1 เรยกฟงกชน F (x, y) วาฟงกชนเอกพนธดกร n (homogeneous functionof degree n) ถามจำนวนเตม n ททำให

F (λx, λy) = λnF (x, y) สำหรบทก ๆ จำนวนจรงบวก λ

ตวอยาง 7.3.2 จงพจารณาฟงกชนตอไปน วาเปนฟงกชนเอกพนธหรอไม ถาเปนดกรเทาใด1. f(x, y) = x3 + 2xy2

2. f(x, y) =x2 − 2y2

xy

3. f(x, y) =1

ycos(x

y

)

4. f(x, y) = x2sin(xy)

บทนยาม 7.3.3 สมการเชงอนพนธ M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0 เปนสมการเชงอนพนธเอกพนธ (homogeneous differential equation) ถา M(x, y) และ N(x, y) เปนฟงกชนเอกพนธทมดกรเทากน หรอพจารณาสมการเชงอนพนธ

dy

dx= F (x, y)

เปนสมการเชงอนพนธเอกพนธกตอเมอ F (x, y) เปนสมการเอกพนธดกร 0วธหาผลเฉลย เนองจาก F (x, y) เปนสมการเอกพนธดกร 0 ดงนน F (x, y) = F (λx, λy)

ให λ =1

xเมอ x > 0 และ λ = −1

xเมอ x < 0 จะไดวา

F (x, y) = F (λx, λy) = F(1,

y

x

)= G

(yx

)ดงนนสมการเชงอนพนธเอกพนธจะอยในรป

dy

dx= G

(yx

)ให v =

y

xแลว y = vx ดงนน dy

dx= v + x

dv

dxทำใหไดวา

v + xdv

dx= G(v)

เหนไดชดวาเปนสมการแบบแยกตวแปรไดในพจนของ x และ v


ตวอยาง 7.3.4 จงหาผลเฉลยทวไปของสมการเชงอนพนธตอไปน1. (y2 − x2) dx+ xy dy = 0

2. xdy

dx− y = xcos

(yx

)

7.3. สมการเอกพนธ 207

ตวอยาง 7.3.5 จงหาผลเฉลยเฉพาะของสมการเชงอนพนธ

xyy′ = x2e−yx + y2 เมอ y(1) = 0



1.1 dy

dx=

y2 + 2xy

x2

1.2 x dy −(xtan

(yx

)+ y)dx = 0

1.3 (x2y + y3) dx+ x3 dy = 0

1.4 2xy dx+ (x2 + y2) dy = 0

1.5 xy′ = x+ y

1.6 x(1 + ℓn

(yx

))y′ = y

1.7 2x dy − 2y dx =√x2 + 4y2 dx เมอ x > 0

1.8 2yexy dx = (2xe

xy − y) dy


2.1 dy

dx=

x+ y

x− yเมอ y(−1) = 0

2.2 x2y dx− (x3 − y3) dy = 0 เมอ y(1) = 1

2.3 14xyy′ = 6x2 − 7y2 เมอ y(−2) = 1

2.4 x2y′ = 3x2 − 2xy + y2 เมอ y(1) =3

2

7.4. สมการแมนตรง 209

7.4 สมการแมนตรงบทนยาม 7.4.1 สมการเชงอนพนธ M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0 เปนสมการเชงอนพนธแมนตรง (exact differential equation) กตอเมอมฟงกชน F (x, y) ททำให

∂F

∂x= M(x, y) และ ∂F

∂y= N(x, y)

ทก ๆ (x, y) ในอาณาบรเวณ R

วธหาผลเฉลย เนองจาก M(x, y) dx+N(x, y) dy = 0 ดงนน dF (x, y) = 0 นนคอผลเฉลยทวไปของสมการแมนตรงคอ F (x, y) = c

จากสมบตคาเชงอนพนธจะไดวาdF (x, y) = M(x, y) dx+N(x, y) dy

∂F

∂xdx+

∂F

∂ydy = M(x, y) dx+N(x, y) dy

ดงนน∂F

∂x= M(x, y) และ ∂F

∂y= N(x, y)

จะไดวา ∂2F

∂y∂x=

∂M

∂yและ ∂2F

∂x∂y=

∂N

∂xถา M,N, ∂M

∂yและ ∂N

∂xตอเนองในอาณา

บรเวณ R จะไดวา∂M

∂y=

∂N

∂x

ดงนนF (x, y) =

∫M(x, y) dx+ C(y)

หา C(y) ไดจาก ∂F

∂y= N(x, y)

ในทำนองเดยวกนF (x, y) =

∫N(x, y) dy + C(x)

หา C(x) ไดจาก ∂F

∂x= M(x, y)


ตวอยาง 7.4.2 จงหาผลเฉลยทวไปของสมการเชงอนพนธ(2xy3 − ye−x) dx+ (3x2y2 + e−x − 4) dy = 0

7.4. สมการแมนตรง 211

ตวอยาง 7.4.3 จงหาผลเฉลยเฉพาะของสมการเชงอนพนธx+ y2

xy2dy − y − 4

x2dx = 0 เมอ y(−2) = 1



1.1 2x− y3 − 3xy2y′ = 0

1.2 (2x− 5y) dy = (6x− 2y) dx

1.3 x(xcos(x2y)− 2y)y′ + 2xycos(x2y) = y2

1.4 (sinxy + xy + cosxy)dydx

+ y2cosxy = 0

1.5 3xy + 1

ydx+

2y − x

y2dy = 0

1.6 πy + (πx+ arcsiny)dydx

= sinx

1.7 ℓnyx

dx+ (ℓnxy

+ siny) dy = 0

1.8 (2xyex2+ siny) dx+ (x2ex

2y + xcosy − y) dy = 0


2.1 (3x2y + 2xy) dx+ (x3 + x2 + 2y) dy = 0 เมอ y(1) = 2

2.2 (ey + yex) dx− (ex + xey) dy = 0 เมอ y(1) = 0

2.3 (sin2x− 2ycosx)y′ − 2ysinxcosx+ y2sinx = 0 เมอ y(0) = −2

2.4 ℓn(1 + y2) =

(1

y− 2xy

1 + y2

)dy

dxเมอ y(2) =

√e− 1

7.5. ตวประกอบอนทกรล 213

7.5 ตวประกอบอนทกรลในกรณท M(x, y) dx+N(x, y) dy = 0 เปนไมเปนสมการแมนตรงแตม µ(x, y) ททำให

µ(x, y)(M(x, y) dx+N(x, y) dy) = 0

เปนสมการแมนตรง เราจะเรยกฟงกชน µ(x, y) น วาตวประกอบอนทกรล (integrating factor)ของสมการเชงอนพนธน แลว

∂(µM)

∂y=

∂(µN)

∂x

µ∂M

∂y+M

∂µ

∂y= µ

∂N

∂x+N

∂µ

∂x

ดงนน1

µ

(N∂µ

∂x−M

∂µ

∂y

)=

∂M

∂y− ∂N

∂x

กรณท 1. µ เปนฟงกชนของตวแปร x เพยงอยางเดยว1

µNdµ

dx=

∂M

∂y− ∂N

∂x

Nd

dxℓn|µ| = ∂M

∂y− ∂N

∂x

d

dxℓn|µ| = 1

N

(∂M

∂y− ∂N

∂x

)= f(x)

ดงนน µ = e∫f(x) dx

กรณท 2. µ เปนฟงกชนของตวแปร y เพยงอยางเดยวd

dyℓn|µ| = 1

M

(∂N

∂x− ∂M

∂y

)= g(y)

ดงนน µ = e∫g(y) dy

สรปไดวา

1. สำหรบ f(x) =1

N

(∂M

∂y− ∂N

∂x

)มตวประกอบอนทกรลเปน µ = e

∫f(x) dx

2. สำหรบ g(y) =1

M

(∂N

∂x− ∂M

∂y

)มตวประกอบอนทกรลเปน µ = e

∫g(y) dy


ตวอยาง 7.5.1 จงหาผลเฉลยทวไปของสมการเชงอนพนธตอไปน1. (3x+ 2y2) dx+ 2xy dy = 0

2. (x2 + y2 + 1) dx+ x(x− 2y) dy = 0

7.5. ตวประกอบอนทกรล 215

ตวอยาง 7.5.2 จงหาผลเฉลยทวไปของสมการเชงอนพนธ (1 + xsiny)y′ + cosy = 0


2y(x2 − y + x) dx+ (x2 − 2y) dy = 0 เมอ y(0) = −1



1.1 2xy dx+ (x3 + 2xy) dy = 0

1.2 (4xy − 3x− 3x2) dy − (2xy − y2 + y) dx = 0

1.3 (xy + y − 1) dx+ x3 x dy = 0

1.4 y(x+ y3) dx+ x(y3 − x) dy = 0

1.5 (xy − x2)y′ − xy + 1 = 0


2.1 y(1 + x2y) dx− x dy = 0 เมอ y(1) = −1

2.2 (x2 + y) dx+ (x2cosy − x) dy = 0 เมอ y(2) = 0

2.3 1 + (xtany − 2secy)y′ = 0 เมอ y(−1) = π

7.6. สมการเชงเสนอนดบหนง 217

7.6 สมการเชงเสนอนดบหนงบทนยาม 7.6.1 สมการเชงเสนอนดบหนง คอสมการเชงอนพนธทอยในรป

dy

dx+ P (x)y = Q(x)

วธหาผลเฉลย สามารถจดรปไดเปน [P (x)y −Q(x)] dx+ dy = 0

ดงนน M(x, y) = P (x)y −Q(x) และ N(x, y) = 1 จะไดวา

P (x) =1

N

(∂M

∂y− ∂N

∂x

)

ดงนน µ = e∫P (x) dx

µdy

dx+ µP (x)y = µQ(x)

d

dx(µy) = µQ(x)

µy =

∫µQ(x) dx+ C

ดงนนผลเฉลยทวไปคอy =

1

µ

(∫µQ(x) dx+ C

)ตวอยาง 7.6.2 จงหาผลเฉลยทวไปของสมการเชงอนพนธ dy

dx− 2xy = x


ตวอยาง 7.6.3 จงหาผลเฉลยทวไปของสมการเชงอนพนธ (ycotx− sec2x) dx+ dy = 0


(xy + x+ x3) dx+ (1 + x2) dy = 0 เมอ y(√3) = 1


สมการเชงอนพนธ อนดบหนงดกรหนงบางสมการไมเปนสมการเชงเสน เราอาจทำให เปนสมการเชงเสนโดยอาศยการเปลยนตวแปรทเหมาะสม เช นสมการตอไปน จะเรยกวา สมการแบรนลล (Bernoulli's equation)

dy

dx+ P (x)y = Q(x)yn

เมอ n เปนคาคงตว เปลยนตวแปรโดยให z = y1−n จะสมการแบรนลลจะเปลยนเปนสมการเชงเสนอนดบหนง

dz

dx+ (1− n)P (x)z = (1− n)Q(x)

จะได µ = e∫(1−n)P (x) dx ดงนนผลเฉลยทวไปคอ z =

1

µ

(∫µ(1− n)Q(x) dx+ C

)หรอ

y1−n =1

µ

(∫µ(1− n)Q(x) dx+ C

)ตวอยาง 7.6.5 จงหาผลเฉลยทวไปของสมการเชงอนพนธ (1 + x2)

dy

dx+ xy = x3y3

220 บทท 7. สมการเชงอนพนธ เบองตนตวอยาง 7.6.6 จงหาผลเฉลยเฉพาะของสมการเชงอนพนธ

dy

dx+

y

2x=

x

y3เมอ y(1) = 2



1.1 dy

dx+ ycotx = 5ecosx

1.2 x2y′ + 3xy + 2x5 = 0

1.3 (2y − 4) dx+ dy = 0

1.4 xdy

dx+ 3y =

sinxx2

1.5 y′ − y =1

1− e−x

1.6 dy

dx+

y

xℓnx = x2

1.7 (3xy − 4y − 3x) dx+ (x2 − 3x+ 2) dy = 0

1.8 2(y − 3sinx)cosx dx+ sinx dy = 0

1.9 (x2 + y2) dx− 2xy dy = 0

1.10 (y + xy2) dx− dy = 0


2.1 (x− 1)3dy

dx+ 4(x− 1)2y = x+ 1 เมอ y(3) =

1

2

2.2 (y − exsinx) dx+ dy = 0 เมอ y(0) = −1

2.3 (cosx)y′ + y = 1 เมอ y(π4) = 2

2.4 dy

dx+

x3y

x4 + 1= x7 เมอ y(0) = 1

2.5 xy′ + y = y2x2ex เมอ y(1) = e

2.6 xdy

dx+ y + 3 = x3(y + 3)3 เมอ y

(−1

2

)= −1

สรปสตรเกยวกบแคลคลสเอกลกษณตรโกณมต

1. sinxcscx = 1

2. cosxsecx = 1

3. cotxtanx = 1

4. sin2x+ cos2x = 1

5. sec2x− tan2x = 1

6. csc2x− cot2x = 1

7. sin(−x) = −sinx8. cos(−x) = cosx9. tan(−x) = −tanx10. sin(x± y) = sinxcosy ± cosxsiny11. cos(x± y) = cosxcosy ∓ sinxsiny

12. tan(x± y) =tanx± tany1∓ tanxtany

13. sin(2x) = 2sinxcosx =2tanx

1 + tan2x14. cos2x = cos2x− sin2x

cos2x = 1− 2sin2x = 2cos2x− 1

cos2x = 2cos2x− 1

15. tan(2x) = 2tanx1− tan2x

16. cos2x =1

2(1 + cos2x)

17. sin2x =1

2(1− cos2x)

18. tan2x =1− cos2x1 + cos2x

19. tanx =sin2x

1 + cos2x =1− cos2xsin2x

20. sin3x = 3sinx− 4sin3x21. cos3x = 4cos3x− 3cosx22. sin3x =

1

4[3sinx− sin3x]

23. cos3x =1

4[3cosx+ cos3x]

24. tan3x =3tanx− tan3x1− 3tan2x

25. sinx+siny = 2sin(x+ y

2

)cos(x− y

2

)

26. sinx−siny = 2cos(x+ y

2

)sin(x− y

2

)

27. cosx+cosy = 2cos(x+ y

2

)cos(x− y

2

)

28. cosx−cosy = −2sin(x+ y

2

)sin(x− y

2

)

29. sinxcosy =1

2[sin(x+ y) + sin(x− y)]

30. cosxsiny =1

2[sin(x+ y)− sin(x− y)]

31. cosxcosy =1

2[cos(x+ y) + cos(x− y)]

32. sinxsiny = −1

2[cos(x+ y)− cos(x− y)]

อนพนธของฟงกชน1. d

dxC = 0

2. d

dxx = 1

3. d

dxxn = nxn−1

4. (af)′(x) = af ′(x)

5. (f ± g)′(x) = f ′(x)± g′(x)

6. (fg)′(x) = f ′(x)g(x) + g′(x)f(x)

7.(f

g

)′

(x) =g(x)f ′(x)− f(x)g′(x)

[g(x)]2

8. (f ◦ g)′(x) = f ′(g(x))g′(x)

9. d

dxex = ex

10. d

dxax = axℓna

11. d

dxℓn|x| = 1

x

12. d

dxloga|x| = 1

xℓna13. d

dxsinx = cosx

14. d

dxcosx = −sinx

15. d

dxtanx = sec2x

16. d

dxsecx = secxtanx

17. d

dxcotx = −csc2x

18. d

dxcscx = −cscxcotx

19. d

dxarcsinx =

1√1− x2

20. d

dxarccosx = − 1√

1− x2

21. d

dxarctanx =

1

1 + x2

22. d

dxarccotx = − 1

1 + x2

23. d

dxarcsecx =

1

|x|√x2 − 1

24. d

dxarccscx = − 1

|x|√x2 − 1

คาเชงอนพนธ1. dC = 0

2. d(u+ v) = du+ dv

3. d(ku) = kdu

4. u′dx = du

5. d(uv

)=

vdu− udv

v2

6. d(uv) = vdu+ udv

7. df(x, y) = fx(x, y)dx+ fy(x, y)dy

ปรพนธของฟงกชน1.∫

af(x)dx = a

∫f(x)dx

2.∫

f(x) + g(x)dx =

∫f(x)dx+

∫g(x)dx

3.∫

kdx = kx+ C

4.∫

vdu = uv −∫

vdu

5.∫

xndx =xn+1

n+ 1+ C, n = −1

6.∫

1

xdx = ℓn|x|+ C

7.∫

exdx = ex + C

8.∫

eaxdx =1

aeax + C

9.∫

axdx =ax

ℓna + C

10.∫

sinxdx = −cosx+ c

11.∫

cosxdx = sinx+ C

12.∫

sec2xdx = tanx+ C

13.∫

secxtanxdx = secx+ C

14.∫

csc2xdx = −cotx+ C

15.∫

cscxcotxdx = −cscx+ C

16.∫

tanxdx = ℓn|secx|+ C

17.∫

secxdx = ℓn|secx+ tanx|+ C

18.∫

cotxdx = ℓn|sinx|+ C

19.∫

cscxdx = ℓn|cscx− cotx|+ C

20.∫

eaxsinbxdx =eax

a2 + b2(asinbx− bcosbx) + C

21.∫

eaxcosbxdx =eax

a2 + b2(acosbx+ bsinbx) + C

22.∫

1√1− x2

dx = arcsinx+ C

23.∫

1

1 + x2dx = arctanx+ C

24.∫

1

|x|√x2 − 1

dx = arcsecx+ C

25.∫

ℓnxdx = xℓnx− x+ C

26.∫

cosaxdx =1

asinax+ C

27.∫

sinaxdx = −1

acosax+ C

28.∫

arcsinxdx = xarcsinx+√1− x2 + C

29.∫

arccosxdx = xarccosx−√1− x2 + C

30.∫

arctanxdx = xarctanx− 1

2ℓn(1 + x2) + C

31.∫

arccotxdx = xarccotx+1

2ℓn(1 + x2) + C

32.∫

arcsecxdx = xarcsecx− ℓn|x+√x2 − 1|+ C

33.∫

arccscxdx = xarccscx+ ℓn|x+√x2 − 1|+ C

บรรณานกรมดำรง ทพยโยธา, ณฏฐนาถ ไตรภพ และสรชย สมบตบรบรณ. (2559). แคลคลส ๒.

กรงเทพฯ: สำนกพมพแหงจฬาลงกรณมหาวทยาลย.James Stewart. (2012). Calculus Early Transcendentals. Canada. Nelson Education,

Ltd.

ประวตผเขยน

ผช วยศาสตรจารย ดร.ธนชยศ จำปาหวาย

• ปจจบนดำรงตำแหนงผช วยศาสตรจารยประจำสาขาวชาคณตศาสตร คณะครศาสตรมหาวทยาลยราชภฏสวนสนนทา

• ปรญญาเอก วทยาศาสตรดษฎบณฑต (คณตศาสาตร), จฬาลงกรณมหาวทยาลย, 2557Ph.D. (Mathematics), Chulalongkorn University, 2014

• ปรญญาโท วทยาศาสตรมหาบณฑต (คณตศาสาตร), จฬาลงกรณมหาวทยาลย, 2552M.Sc. (Mathematics), Chulalongkorn University, 2009

• ปรญญาตร วทยาศาสตรบณฑต (คณตศาสาตร, เกยตรนยมอนดบสอง),จฬาลงกรณมหาวทยาลย, 2549B.Sc. (Mathematics, 2nd class honours),Chulalongkorn University, 2006

Email: [email protected]: www.facebook.com/Jampawai

Office: 1145Block: www.eledu.ssru.ac.th/thanatyod_ja

ผลงานทางวชาการ1. หนงสอความจรงทตองพสจน, 25602. เอกสารประกอบการสอนวชาหลกการคณตศาสตรสำหรบคร, 25593. ตำราวชาทฤษฎจำนวน, 2559

คณตศาสตริ 2 Mathematics2 · 2018-12-24 · MAP1403 คณตศาสตริ 2...

Documents

Transcript of คณตศาสตริ 2 Mathematics2 · 2018-12-24 · MAP1403 คณตศาสตริ 2...