วิศวะ (Mathematical Induction) ลำดับและอนุกร...
Transcript of วิศวะ (Mathematical Induction) ลำดับและอนุกร...
Yot’s 2301108 Calculus II วิศวะ 1.1 อุปนัยเชิงคณิตศาสตร (Mathematical Induction) 1
1 ลำดับและอนุกรมอนันตของจำนวนจริง1.1 อุปนัยเชิงคณิตศาสตร (Mathematical Induction)
อุปนัยเชิงคณิตศาสตรแบบที่ ๑สำหรับจำนวนนับ n ให P (n) แทนขอความที่เกี่ยวของกับ n ซึ่งมีสมบัติดังตอไปนี้ ถา
1. P (1) เปนจริง และ
2. สำหรับจำนวนนับ k ใดๆ ถา P (k) เปนจริง แลว P (k + 1) เปนจริง
แลว P (n) เปนจริง ทุกจำนวนนับ n
ตัวอยาง 1.1.1 จงพิสูจนวา 1 + 3 + 5 + · · ·+ (2n− 1) = n2 ทุกจำนวนนับ n
เอกสารโดย รองศาสตราจารย ดร. ยศนันต มีมาก
Yot’s 2301108 Calculus II วิศวะ 1.1 อุปนัยเชิงคณิตศาสตร (Mathematical Induction) 2
ตัวอยาง 1.1.2 จงพิสูจนวา1
1 · 2+
1
2 · 3+ · · ·+ 1
(n− 1)n=
n− 1
n
ทุกจำนวนนับ n
*ดาวนโหลดเอกสารทั้งหมดไดที่http://pioneer.netserv.chula.ac.th/∼myotsana/
Yot’s 2301108 Calculus II วิศวะ 1.1 อุปนัยเชิงคณิตศาสตร (Mathematical Induction) 3
ตัวอยาง 1.1.3 จงพิสูจนวา dn
dxn(xex) = (x+ n)ex ทุกจำนวนนับ n
Yot’s 2301108 Calculus II วิศวะ 1.1 อุปนัยเชิงคณิตศาสตร (Mathematical Induction) 4
เราอาจเปลี่ยนจุดเริ่มตนจาก P (1) เปนจริง เปน P (m) เปนจริง เมื่อ m เปนจำนวนนับ และใชสรุป“P (n) เปนจริง ทุกจำนวนนับ n ≥ m”
อุปนัยเชิงคณิตศาสตรแบบที่ ๒ให m เปนจำนวนนับและ สำหรับจำนวนนับ n ≥ m ให P (n) แทนขอความที่เกี่ยวของกับ n ซึ่งมีสมบัติดังตอไปนี้ ถา
1. P (m) เปนจริง และ
2. สำหรับจำนวนนับ k ใดๆ ที่ k ≥ m ถา P (k) เปนจริง แลว P (k + 1) เปนจริง
แลว P (n) เปนจริง ทุกจำนวนนับ n ≥ m
ตัวอยาง 1.1.4 จงพิสูจนวาn! > 2n
ทุกจำนวนนับ n ≥ 4
ทำแบบฝกหัด 1.1 ในหนังสือแคลคูลัส ๒
Yot’s 2301108 Calculus II วิศวะ 1.2 ลำดับอนันต 5
1.2 ลำดับอนันตลำดับ (sequence) ของจำนวนจริง คือฟงกชันที่มีโดเมนเปน {1, 2, 3, . . . } และมีคาเปนจำนวนจริงตัวอยางของลำดับ
1. f(n) = n2 ดังนั้น f(1) = 1, f(2) = 4, f(3) = 9, . . .
โดยทั่วไปเราเขียน an = n2 และเรียกวา พจนที่ n หรือ พจนทั่วไปของลำดับ
2. an =n
n+ 1ไดวา a1 =
1
2, a2 = 2
3, a3 = 3
4, …
เราเขียนแทนลำดับ {a1, a2, a3, . . . } ดวย {an} หรือ {an}∞1 เชน
• {n2} แทนลำดับ {1, 4, 9, 16, . . . }
•{(−3)n
n!
}แทนลำดับ
{−3,
9
2,−9
2,27
8, . . .
}
เรากลาววาลำดับ {an} ลูเขา (converge) ก็ตอเมื่อ มีจำนวนจริง L ซึ่ง limn→∞
an = L
และลำดับ {an} ลูออก (diverge) ก็ตอเมื่อ {an} ไมเปนลำดับลูเขา
ทฤษฎีบท 1.2.1 เราไดวา
1. ถา t เปนจำนวนจริงบวก แลว limn→∞
1
nt= 0 และ lim
n→∞nt = ∞
2. limn→∞
rn = 0 เมื่อ |r| < 1, limn→∞
rn = ∞ เมื่อ r > 1 และ limn→∞
rn ไมมีคา เมื่อ r ≤ −1
Yot’s 2301108 Calculus II วิศวะ 1.2 ลำดับอนันต 6
เราอาจใชคุณสมบัติของลิมิตชวยในการตรวจสอบการลูเขาของลำดับ กลาวคือ
ทฤษฎีบท 1.2.2 ให limn→∞
an = L, limn→∞
bn = M และ k เปนจำนวนจริง จะไดวา
1. limn→∞
k = k และ limn→∞
kan = k(limn→∞
an
)= kL
2. limn→∞
(an ± bn) =(limn→∞
an
)±(limn→∞
bn
)= L±M
3. limn→∞
(anbn) =(limn→∞
an
)(limn→∞
bn
)= LM
4. limn→∞
anbn
=limn→∞
an
limn→∞
bn=
L
M
5. limn→∞
m√an = m
√limn→∞
an =m√L
6. ถา f เปนฟงกชันตอเนื่อง แลว limn→∞
f(an) = f(limn→∞
an
)= f(L)
ทฤษฎีบท 1.2.3 [Squeeze Theorem] ให {an}, {bn} และ {cn} เปนลำดับของจำนวนจริงโดยที่มีจำนวนนับ m ซึ่ง
an ≤ cn ≤ bn ทุก n ≥ m และ limn→∞
an = limn→∞
bn = L ∈ R
จะไดวา limn→∞
cn = L
ตัวอยาง 1.2.1 จงพิจารณาวา ลำดับตอไปนี้ลูเขาหรือลูออก
1.{
n
2n− 1
}
2.{n+ 3
√n3 + 4√
16n2 − 5
}
Yot’s 2301108 Calculus II วิศวะ 1.2 ลำดับอนันต 7
3. {ln(2n)− ln(n+ 1)}
4. {√n2 − n+ 5− n}
Yot’s 2301108 Calculus II วิศวะ 1.2 ลำดับอนันต 8
5.{3n + en
πn − 2
}
6.{sinn cosn
4√n
}
Yot’s 2301108 Calculus II วิศวะ 1.2 ลำดับอนันต 9
7.{n!
nn
}
8.{(
n
n+ 1
)2n}
Yot’s 2301108 Calculus II วิศวะ 1.2 ลำดับอนันต 10
9.{(
cos2 n
3
)n}
10.{n!
2n
}และ
{2n
n!
}
Yot’s 2301108 Calculus II วิศวะ 1.2 ลำดับอนันต 11
ให {nk} เปนลำดับของจำนวนนับ ซึ่ง n1 < n2 < n3 < . . .
สำหรับลำดับ {an} ใดๆ ถา bk = ankทุกคา k = 1, 2, 3, . . . นั่นคือ {bk} เปนลำดับที่มีพจนที่ k เปน
พจนที่ nk ของลำดับ {an} เราเรียก {bk} วาลำดับยอย (subsequence) ของ {an} ซึ่งเรามี
ทฤษฎีบท 1.2.4 ถาลำดับ {an} ลูเขาและมีลิมิตเปน L แลวทุกลำดับยอยของ {an} จะมีลิมิตเปน L ดวย
ดังนั้น จึงไดวา
1. ถาลำดับ {an} มีลำดับยอยที่ลูออก แลว {an} เปนลำดับลูออก
2. ถาลำดับ {an} มีลำดับยอยสองลำดับซึ่งมีลิมิตตางกัน แลว {an} เปนลำดับลูออก
ตัวอยาง 1.2.2 จงแสดงวา {(−1)n} เปนลำดับลูออก
ตัวอยาง 1.2.3 จงพิจารณาวาลำดับ an =
n−
√n+ 2
nเมื่อ n เปนจำนวนคี่
sinn
nเมื่อ n เปนจำนวนคู
เปนลำดับลูเขาหรือลูออก
Yot’s 2301108 Calculus II วิศวะ 1.2 ลำดับอนันต 12
ตัวอยาง 1.2.4 จงพิจารณาวาลำดับตอไปนี้ลูเขา หรือ ลูออก{(−1)n2n
2n+ 1
},
{(−1)n
2n+ 1
},
{(−1)nn
2n+ 1
}
สังเกตวา
{(−1)nan} ลูเขาและมีลิมิตเปน 0 ก็ตอเมื่อ limn→∞
an = 0
Yot’s 2301108 Calculus II วิศวะ 1.2 ลำดับอนันต 13
ตัวอยาง 1.2.5 จงพิจารณาวาลำดับตอไปนี้ลูเขาหรือลูออก
1. {(−1)n arctann}
2.{(−1)n sinn
n
}
Yot’s 2301108 Calculus II วิศวะ 1.2 ลำดับอนันต 14
ให {an} เปนลำดับของจำนวนจริง เรากลาววา
1. {an} มีขอบเขต ก็ตอเมื่อ มีจำนวนจริงบวก M ซึ่ง |an| ≤ M ทุก n ∈ N
2. {an} เปนลำดับเพิ่ม ก็ตอเมื่อ an < an+1 ทุก n ∈ N
3. {an} เปนลำดับลด ก็ตอเมื่อ an > an+1 ทุก n ∈ N
4. {an} เปนลำดับไมลด ก็ตอเมื่อ an ≤ an+1 ทุก n ∈ N
5. {an} เปนลำดับไมเพิ่ม ก็ตอเมื่อ an ≥ an+1 ทุก n ∈ N
6. {an} เปนลำดับทางเดียว (monotone sequence) ก็ตอเมื่อ{an} เปนลำดับไมลดหรือลำดับไมเพิ่ม
ตัวอยาง 1.2.6 จงพิจารณาวาลำดับตอไปนี้เปนลำดับที่มีขอบเขต หรือ เปนลำดับทางเดียวหรือไม
1.{
1
n2
}
2. {√n!}
3.{cos
π
2n
}
Yot’s 2301108 Calculus II วิศวะ 1.2 ลำดับอนันต 15
ทฤษฎีบท 1.2.5 1. ถา {an} เปนลำดับที่ลูเขาแลว {an} จะมีขอบเขต
2. ลำดับที่มีขอบเขตอาจเปนลำดับลูออกเชน{(−1)nn
n+ 1
}3. ถา {an} เปนลำดับทางเดียวที่มีขอบเขต แลว {an} เปนลำดับลูเขา
ตัวอยาง 1.2.7 จงแสดงวา ลำดับ{en
n!
}ลูเขา
เราอาจสรุปวิธีตางๆ ที่ใชตรวจสอบการลูเขาและหาลิมิตของลำดับอนันต (ถาม)ี ดังนี้
1. จัดรูปแลวใชทฤษฎีบท 1.2.1 และ 1.2.2
2. ใชกฎของโลปตาล
3. ใชทฤษฎีบท 1.2.3 (Squeeze Theorem)
4. ใชลำดับยอยเพื่อแสดงวาลำดับนั้นลูออก
5. ใชขอสังเกต “{(−1)nan} ลูเขาและมีลิมิตเปน 0 ก็ตอเมื่อ limn→∞
an = 0”
6. ตรวจสอบวาเปนลำดับทางเดียวที่มีขอบเขตหรือไม
ทำแบบฝกหัด 1.2 ในหนังสือแคลคูลัส ๒
Yot’s 2301108 Calculus II วิศวะ 1.3 อนุกรมอนันต 16
1.3 อนุกรมอนันตให {an} เปนลำดับของจำนวนจริงและ
s1 = a1
s2 = a1 + a2
s3 = a1 + a2 + a3...
sn = a1 + a2 + a3 + · · ·+ an =n∑
i=1
ai
...
เราเรียก {sn} วาลำดับของผลบวกยอย (sequence of partial sum) ของ {an}ถาลำดับ {sn} ลูเขาและ lim
n→∞sn = s แลว
a1 + a2 + a3 + · · · = s หรือ∞∑i=1
ai = s
และเรียกอนุกรม∞∑i=1
ai วาอนุกรมลูเขา และให s เปนผลบวกของอนุกรมนี้
แตถาลำดับ {sn} ลูออก จะกลาววาอนุกรม∞∑i=1
ai เปนอนุกรมลูออก
ขอสังเกต 1. ถา∞∑i=1
ai ลูเขา แลว∞∑i=1
ai = limn→∞
(n∑
i=1
ai
)= lim
n→∞sn
2.∞∑i=1
ai ̸= limn→∞
an
3. ถา∞∑n=1
an และ∞∑n=1
bn ลูเขา แลว
∞∑n=1
(an ± bn) =∞∑n=1
an +∞∑n=1
bn และ∞∑n=1
can = c
∞∑n=1
an เมื่อ c เปนคาคงตัว
Yot’s 2301108 Calculus II วิศวะ 1.3 อนุกรมอนันต 17
ตัวอยาง 1.3.1 [Telescoping series] จงพิจารณาวาอนุกรมตอไปนี้ลูเขาหรือลูออก ถาอนุกรมลูเขาใหหาผลบวกของอนุกรมดวย
1.∞∑n=1
1
(2n− 1)(2n+ 1)=
1
3+
1
15+
1
35+ · · ·
2.∞∑n=1
ln
(n
n+ 1
)
Yot’s 2301108 Calculus II วิศวะ 1.3 อนุกรมอนันต 18
3.∞∑n=1
(arcsec(n+ 2)− arcsec(n+ 1)
)
อนุกรมเรขาคณิต (geometric series) คืออนุกรมที่เขียนไดในรูป
a+ ar + ar2 + · · ·+ arn−1 + · · · =∞∑n=1
arn−1
เมื่อ a และ r เปนจำนวนจริง
ทฤษฎีบท 1.3.1 สำหรับอนุกรมเรขาคณิต a+ ar + ar2 + · · ·+ arn−1 + · · · เราไดวา
1. sn = a+ ar + ar2 + · · ·+ arn−1 =a(1− rn)
1− r
2.∞∑n=1
arn−1 =
a
1− rเมื่อ |r| < 1
ลูออก เมื่อ |r| ≥ 1
Yot’s 2301108 Calculus II วิศวะ 1.3 อนุกรมอนันต 19
ตัวอยาง 1.3.2 จงหาผลบวก
1. 7− 35
9+
175
81− 875
729+ · · ·
2.∞∑n=0
22n+1(−1)n+1
5n
ตัวอยาง 1.3.3 ถาผลบวกยอยถึงพจนที่ n ของอนุกรม∞∑n=1
an มีคาเปน sn =n− 1
n+ 1
จงหา an และ∞∑n=1
an
Yot’s 2301108 Calculus II วิศวะ 1.3 อนุกรมอนันต 20
สังเกตวา an = sn − sn−1 ทุก n > 1
ดังนั้น ถา∞∑n=1
an ลูเขา นั่นคือ limn→∞
sn = s แลว
limn→∞
an = limn→∞
sn − sn−1 = s− s = 0
ทฤษฎีบท 1.3.2 [Test for Divergence] ถา∞∑n=1
an ลูเขา แลว limn→∞
an = 0
เพราะฉะนั้น หาก limn→∞
an ไมมีคา หรือ limn→∞
an ̸= 0 เราจึงสรุปไดวา∞∑n=1
an ตองลูออก
ตัวอยาง 1.3.4 ถา∞∑n=1
an ลูเขา จงหาคาของ limn→∞
arctan(ean)
ตัวอยาง 1.3.5 จงแสดงวา Harmonic series∞∑n=1
1
nเปนอนุกรมที่ลูออก
หมายเหตุ สังเกตวา limn→∞
1
n= 0 แต
∞∑n=1
1
nลูออก
ดังนั้น ถาเรามี limn→∞
an = 0 เราไมสามารถสรุปไดวา∞∑n=1
an ลูเขา
Yot’s 2301108 Calculus II วิศวะ 1.3 อนุกรมอนันต 21
ตัวอยาง 1.3.6 จงแสดงวาอนุกรมตอไปนี้ลูออก
1.∞∑n=1
5n2
n2 + 4
2.∑n=1
cos
(2
n
)
ทฤษฎีบท 1.3.3 ให∞∑n=1
an และ∞∑n=1
bn เปนอนุกรมที่ลูเขา จะไดวา
∞∑n=1
(αan + βbn) = α∞∑n=1
an + β∞∑n=1
bn
เปนอนุกรมที่ลูเขา
ขอสังเกต 1. ถา∞∑n=1
an ลูออก แลว∞∑n=1
can ลูออก เมื่อ c ̸= 0
2. ถา∞∑n=1
an ลูเขา และ∞∑n=1
bn ลูออก แลว∞∑n=1
(an + bn) ลูออก
3. ถา∞∑n=1
an และ∞∑n=1
bn ลูออก แลว∞∑n=1
(an + bn) อาจจะลูเขา หรือ ลูออก
เชน∞∑i=1
1
nและ
∞∑i=1
− 1
nตางลูออก แต
∞∑i=1
(1
n+(− 1
n
))=
∞∑i=1
0 = 0 ลูเขา
Yot’s 2301108 Calculus II วิศวะ 1.3 อนุกรมอนันต 22
ตัวอยาง 1.3.7 จงพิจารณาวาอนุกรมตอไปนี้ลู เขาหรือลูออก ถาอนุกรมลู เขาใหหาผลบวกของอนุกรมดวย
1.∞∑n=1
(e−n +
1
n
)
2.∞∑n=1
((−2
5
)n+
n
(n+ 1)!
)
Yot’s 2301108 Calculus II วิศวะ 1.3 อนุกรมอนันต 23
3.∞∑n=2
ln
(1− 1
n2
)
ทำแบบฝกหัด 1.4.1 ในหนังสือแคลคูลัส ๒
Yot’s 2301108 Calculus II วิศวะ 1.4 การทดสอบแบบปริพันธ 24
1.4 การทดสอบแบบปริพันธสมมติวา f เปนฟงกชันตอเนื่อง มีคาเปนบวก และไมเพิ่มบนชวง [1,∞) และให an = f(n) ทุกจำนวนนับ n พิจารณา
จะไดวา∞∑n=2
an ≤∫ ∞
1
f(x) dx ≤∞∑n=1
an
ดังนั้น
1.∫ ∞
1
f(x) dx ลูเขา ⇒∞∑n=2
an ลูเขา
2.∫ ∞
1
f(x) dx ลูออก ⇒∞∑n=1
an ลูออก
นั่นคือ ∫ ∞
1
f(x) dx ลูเขา ⇔∞∑n=1
an ลูเขา
เรียกการทดสอบนี้วาการทดสอบแบบปริพันธ (Integral Test)
ซึ่งการทดสอบนี้ใชไดเฉพาะอนุกรม∞∑n=1
an ที่ an ≥ 0, an มีคาลดลงเรื่อยๆ
และ an อยูในรูปของฟงกชันที่สามารถหาปริพันธได
Yot’s 2301108 Calculus II วิศวะ 1.4 การทดสอบแบบปริพันธ 25
ตัวอยาง 1.4.1 จงทดสอบวาอนุกรมตอไปนี้ลูเขา หรือลูออก
1.∞∑n=1
1
n2 + 1
2.∞∑n=1
ln(√n)
n
Yot’s 2301108 Calculus II วิศวะ 1.4 การทดสอบแบบปริพันธ 26
3.∞∑n=2
1
n lnn
เราสามารถใชการทดสอบแบบปริพันธตรวจสอบการลูเขาของอนุกรมในรูป∞∑n=1
1
np
ซึ่งเรียกวาอนุกรมพี (p-series) โดยเราไดวา
∞∑n=1
1
np=
ลูเขา เมื่อ p > 1,ลูออก เมื่อ p ≤ 1
ทำแบบฝกหัด 1.4.2 ในหนังสือแคลคูลัส ๒
Yot’s 2301108 Calculus II วิศวะ 1.5 การทดสอบโดยใชการเปรียบเทียบ 27
1.5 การทดสอบโดยใชการเปรียบเทียบการทดสอบโดยใชการเปรียบเทียบ (Comparison Test)
ให∞∑n=1
an และ∞∑n=1
bn เปนอนุกรมของจำนวนจริง
สมมติวามีจำนวนนับ n0 ซึ่ง 0 ≤ an ≤ bn ทุก n ≥ n0 จะไดวา
1.∞∑n=1
bn ลูเขา =⇒∞∑n=1
an ลูเขา
2.∞∑n=1
an ลูออก =⇒∞∑n=1
bn ลูออก
ตัวอยาง 1.5.1 จงทดสอบการลูเขาของอนุกรมตอไปนี้
1.∞∑n=1
sin2 n
n3
2.∞∑n=1
arctann
n
Yot’s 2301108 Calculus II วิศวะ 1.5 การทดสอบโดยใชการเปรียบเทียบ 28
3.∞∑n=1
1
3n + 1
4.∞∑n=1
lnn√n
Yot’s 2301108 Calculus II วิศวะ 1.5 การทดสอบโดยใชการเปรียบเทียบ 29
5.∞∑n=1
1
n!
6.∞∑n=1
(n+ 2)−2 lnn
Yot’s 2301108 Calculus II วิศวะ 1.5 การทดสอบโดยใชการเปรียบเทียบ 30
อนุกรมบางอนุกรมไมสามารถทดสอบโดยใชการทดสอบโดยใชการเปรียบเทียบไดเชน
∞∑n=1
1
3n − 1เราจะทดสอบอนุกรมนี้ดวย
การทดสอบโดยใชการเปรียบเทียบดวยลิมิต (Limit Comparison Test)
สมมติวา∞∑n=1
an และ∞∑n=1
bn เปนอนุกรมซึ่ง an ≥ 0 และ bn > 0 จะไดวา
limn→∞
anbn
=
c > 0 =⇒ ลูเขาทั้งคู หรือ ลูออกทั้งคู
0 และ∞∑n=1
bn ลูเขา =⇒∞∑n=1
an ลูเขา
∞ และ∞∑n=1
bn ลูออก =⇒∞∑n=1
an ลูออก
ตัวอยาง 1.5.2 จงทดสอบอนุกรมตอไปนี้
1.∞∑n=1
1
3n − 1
Yot’s 2301108 Calculus II วิศวะ 1.5 การทดสอบโดยใชการเปรียบเทียบ 31
2.∞∑n=1
n+ 1
3n2 − n+ 1
3.∞∑n=1
3√n− 2√
n5 + 3n2 − 1
Yot’s 2301108 Calculus II วิศวะ 1.5 การทดสอบโดยใชการเปรียบเทียบ 32
4.∞∑n=1
2n− 1
5n(n2 + 1
5.∞∑n=1
1 + n lnn
n2 + 4
ทำแบบฝกหัด 1.4.3 ในหนังสือแคลคูลัส ๒
Yot’s 2301108 Calculus II วิศวะ 1.6 อนุกรมสลับ 33
1.6 อนุกรมสลับถา bn > 0 ทุกจำนวนนับ n เราเรียกอนุกรมในรูป
∞∑n=1
(−1)n+1bn = b1 − b2 + b3 − b4 + · · · หรือ∞∑n=1
(−1)nbn = −b1 + b2 − b3 + b4 − · · ·
วาอนุกรมสลับ (Alternating Series) เชน∞∑n=1
(−1)n+1
n= 1− 1
2+
1
3− 1
4+ · · ·
การทดสอบอนุกรมสลับ (Alternating Series Test)
ถาอนุกรมสลับ∞∑n=1
(−1)nbn, bn > 0 ทุกจำนวนนับ n สอดคลอง
1. มีจำนวนนับ n0 ซึ่ง bn+1 < bn ทุก n ≥ n0
(นั่นคือ {bn} เปนลำดับลดลงเรื่อยๆ เมื่อ n ≥ n0)
2. limn→∞
bn = 0
จะไดวาอนุกรมสลับลูเขา
ถา limn→∞
bn ̸= 0 จะไดวา limn→∞
(−1)nbn หาคาไมได เพราะฉะนั้นอนุกรมสลับ∞∑n=1
(−1)nbn จะลูออก
ตัวอยาง 1.6.1 จงทดสอบวาอนุกรมตอไปนี้ ลูเขา หรือ ลูออก
1.∞∑n=1
(−1)n
n,
∞∑n=1
(−1)n
n!
Yot’s 2301108 Calculus II วิศวะ 1.6 อนุกรมสลับ 34
2.∞∑n=1
(−1)n+1√n√
2n− 1
3.∞∑n=1
(−1)n arctan(1 + en)
Yot’s 2301108 Calculus II วิศวะ 1.6 อนุกรมสลับ 35
4.∞∑n=1
(−1)n lnn√n
ลูเขาแบบสัมบูรณ และ ลูเขาแบบมีเงื่อนไข
เราเรียก∞∑n=1
an วาลูเขาแบบสัมบูรณ (absolutely convergence) ถา
∞∑n=1
|an| = |a1|+ |a2|+ |a3|+ · · · ลูเขา
โดยเราไดวา ถา∞∑n=1
|an| ลูเขา แลว∞∑n=1
an ลูเขา
ตัวอยาง 1.6.2 จงตรวจสอบการลูเขาของ∞∑n=1
sinn
n2
Yot’s 2301108 Calculus II วิศวะ 1.6 อนุกรมสลับ 36
เราทราบมาแลววา∞∑n=1
(−1)n
nลูเขา แต
∞∑n=1
∣∣∣∣(−1)n
n
∣∣∣∣ = ∞∑n=1
1
nลูออก
ดังนั้น อนุกรมที่ลูเขาไมจำเปนที่จะลูเขาแบบสัมบูรณ
เราเรียกอนุกรม∞∑n=1
an วาลูเขาแบบมีเงื่อนไข (conditionally convergence) ถา∞∑n=1
an ลูเขา แต∞∑n=1
|an| ลูออก
ดังนั้น∞∑n=1
(−1)n
nและ
∞∑n=1
(−1)n lnn√n
ลูเขาแบบมีเงื่อนไข
ตัวอยาง 1.6.3 จงตรวจสอบวาอนุกรม∞∑n=1
(−1)nn2
n3 + 4
ลูเขาแบบสัมบูรณ ลูเขาแบบมีเงื่อนไข หรือ ลูออก
ทำแบบฝกหัด 1.4.4 ในหนังสือแคลคูลัส ๒
Yot’s 2301108 Calculus II วิศวะ 1.7 การทดสอบโดยใชอัตราสวนและโดยใชการถอดกรณฑ 37
1.7 การทดสอบโดยใชอัตราสวนและโดยใชการถอดกรณฑการทดสอบโดยใชอัตราสวน (Ratio Test)
limn→∞
∣∣∣∣an+1
an
∣∣∣∣ =
L < 1 =⇒∞∑n=1
an ลูเขาแบบสัมบูรณ
∞ หรือ L > 1 =⇒∞∑n=1
an ลูออก
1 =⇒ สรุปผลไมได
เชน∞∑n=1
(−1)n
nลูเขาแบบมีเงื่อนไข และ
∞∑n=1
(−1)n
n2ลูเขาแบบสัมบูรณ ใชการทดสอบนี้ไมได
ตัวอยาง 1.7.1 จงทดสอบการลูเขาของ
1.∞∑n=1
(−1)nn3
5n
2.∞∑n=1
(2n)!
(n!)2
Yot’s 2301108 Calculus II วิศวะ 1.7 การทดสอบโดยใชอัตราสวนและโดยใชการถอดกรณฑ 38
การทดสอบโดยใชการถอดกรณฑ (Root Test)
limn→∞
n√
|an|=
L < 1 =⇒∞∑n=1
an ลูเขาแบบสัมบูรณ
∞ หรือ L > 1 =⇒∞∑n=1
an ลูออก
1 =⇒ สรุปผลไมได
เชน∞∑n=1
(1 +
1
n
)n ลูออก เพราะ limn→∞
(1 +
1
n
)n= e ̸= 0 และ
∞∑n=1
1
n2ลูเขา
ซึ่งการตรวจสอบอนุกรมทั้งสองนี้ใช root test ไมได
ตัวอยาง 1.7.2 จงทดสอบอนุกรมตอไปนี้
1.∞∑n=1
(n+ lnn
2n+ 3
)n
2.∞∑n=1
(−2)n
(arctann)n
Yot’s 2301108 Calculus II วิศวะ 1.7 การทดสอบโดยใชอัตราสวนและโดยใชการถอดกรณฑ 39
3.∞∑n=1
(n
n+ 1
)n2
Yot’s 2301108 Calculus II วิศวะ 1.7 การทดสอบโดยใชอัตราสวนและโดยใชการถอดกรณฑ 40
4.∞∑n=0
1
2n+(−1)n=
1
2+ 1 +
1
8+
1
4+
1
32+ · · ·
ทำแบบฝกหัด 1.4.5 และ แบบฝกหัดระคน ในหนังสือแคลคูลัส ๒