บทที่ 1...

1

เอกสารประกอบการสอนวชา ค. 111 : แคลคลสวศวกรรม 1: อาจารย ดร. จรนทรทพย เฮงคราวทย บทท 1 ลมตและความตอเนองของฟงกชน

บทท 1 ลมตและความตอเนองของฟงกชน

ลมตของฟงกชน

ตวอยางท 1 พจารณาฟงกชน 2( ) 2 1f x x เมอ x มคาเขาใกล 3 แลวคาของ

f(x) เปนเทาไร

วธท า ใชวธแทนคา x ทมคาใกลเคยง 3 ซง x อาจมคานอยกวา 3 หรอ มากกวา 3

ดงตาราง

จากตาราง จะเหนวา

เมอ x มคานอยกวา 3 เลกนอย หรอกลาววา “x มคาเขาใกล 3 ทาง

ดานซาย” แลวคาของ f(x) จะมคาเขาใกล 19 (ดงตาราง) และเราจะเรยกคา

นวา “ลมตทางซายของ f(x)” และแทนดวยสญลกษณ 3

lim ( ) 19

x

f x

เครองหมาย “–” หมายถงการเขาใกลจากทางดานซายเพยงทางเดยว

เมอ x มคามากกวา 3 เลกนอย หรอกลาววา “x มคาเขาใกล 3 ทางดานขวา”

แลวคาของ f(x) จะมคาเขาใกล 19 (ดงตาราง) และเราจะเรยกคานวา “ลมต

ทางขวาของ f(x)” และแทนดวยสญลกษณ 3

lim ( ) 19

x

f x

เครองหมาย “+” หมายถงการเขาใกลจากทางดานขวาเพยงทางเดยว

2


ดงนน เมอ x มคาเขาใกล 3 (แตไมเทากบ 3) แลวคาของ f(x) มคาเขาใกล 19 หรอ

กลาววา “ลมตของ f(x) เมอ x มคาเขาใกล 3 คอ 19” และแทนดวยสญลกษณ

3lim ( ) 19

xf x ดงรป

บทนยาม คาท f(x) เขาใกลเมอ x เขาใกล a ทางดานทนอยกวา a หรอ ทางซาย

ของ a เรยกคานนวา “ลมตซายของ f(x)” และเขยนแทนดวยสญลกษณ แทนดวย

สญลกษณ lim ( )x a

f x เครองหมาย “–” หมายถงการเขาใกลจากทางดานซายเพยงทางเดยว

คาท f(x) เขาใกลเมอ x เขาใกล a ทางดานทมากกวา a หรอ ทางขวาของ a เรยกคา

นนวา “ลมตขวาของ f(x)” และเขยนแทนดวยสญลกษณ แทนดวยสญลกษณ lim ( )

x af x เครองหมาย “+” หมายถงการเขาใกลจากทางดานซายเพยงทางเดยว

3


ให f เปนฟงชนทนยามไดบนชวงเปดทม a แตไมจ าเปนตองนยามไดท x=a

ลมต (limit) ของ f(x) ขณะท x เขาใกล a (xa) มคาเทากบ จ านวนจรง L

กตอเมอ f(x) มคาเขาใกลหรอเทากบ L ขณะท xa แทนดวยสญลกษณ lim ( )

x af x

ทฤษฎบท ให f เปนฟงกชน a และ L เปนจ านวนจรง

ถา lim ( ) lim ( )

x a x a

f x L f x แลว lim ( )

x a

f x L

และถา lim ( ) lim ( )

x a x a

f x f x แลว lim ( )x a

f x ไมมลมต (ชวตเกนรอย)

หรอกลาววา ลมตหาคาไมได

ตวอยางท 2 ก าหนดให | |

( )x

f xx

จงหาลมตของ f(x) เมอ x 0 (ถาหา

ได)

วธท า เนองจาก

ดงนน

; 0 | |

; 0

x xx

x x

=1 ; 0| |

( )

=-1 ; 0

xx

x xf x

xxx

x

X = 0 ไมได เพราะจะท าให f(x) มสวนเปน 0

4


นนคอ 1 ; 0

( )1 ; 0

xf x

x

เขยนรปไดเปน

ดงนน เมอ x มคาเขาใกล 0 ทางซาย (x<0) จะไดวา f(x) มคาเขาใกล -1 กลาววา

0lim ( ) 1

xf x

และเมอ x มคาเขาใกล 0 ทางขวา (x>0) จะไดวา f(x) มคาเขาใกล 1 กลาววา

0lim ( ) 1x

f x

เพราะฉะนน 0 0

lim ( ) lim ( )x x

f x f x

จงไดวา 0

lim ( )x

f x

ไมมลมต

เพราะวา เราไมสามารถสรปไดวา เมอ x 0 แลว f(x) มคาเขาใกลคาใด

บทนยามทางคณตศาสตรของลมตของฟงกชนและการพสจน

บทนยาม lim ( )x a

f x L

(อานวา ลมตของ f(x) เมอ x a เทากบ L) โดยท

L เปนจ านวนจรง กตอเมอ ส าหรบทก ๆ 0 ทก าหนดให จะม 0 ทท าให

| ( ) |f x L ส าหรบทกคา 0 | |x a

6


ดงนน

| (2 4) 10 | | 2 6 | | 2( 3) | | 2 || 3 | 2 | 3 |x x x x x

นนคอ ถาเราตองการให 2 | 3 |x เปนจรง เราควรจะเลอก

2

พสจน ให 0

เลอก 2

ซง > 0

ส าหรบทกคา 0 | 3|x

ดงนน พจารณาคา | ( ) |f x L นนคอ

| (2 4) 10 | | 2 6 | | 2( 3) | | 2 || 3 | 2 | 3 | 2 2( )2

x x x x x

เพราะฉะนน | (2 4) 10 |x

นนคอ 3

lim(2 4) 10x

x

ทดเพอหาคา จากการ

สมมตใหผลเปนจรง 2 | 3 |x

แตเรารวา | 3 |x

เพราะฉะนนมองเปน

2

2

เราจะตองแสดงวา | ( ) |f x L

เรารวา | 3 |x และ 2

ขนตอนการพสจน

7


ทฤษฎบทตาง ๆ ของลมตของฟงกชน

ฟงกชนพหนามระดบขน n คอ ฟงกชนทอยในรป

1

1 1 0( ) ...

n n

n nf x a x a x a x a

เมอ n เปนจ านวนเตมทไมเปนลบ และ 0 1, ,..., na a a เปนจ านวนจรงใด ๆ ท 0na

ถา n = 1 แลว 1 0( ) f x a x a เรยกวา ฟงกชนพหนามเชงเสน (linear

polynomial) หรอ ฟงกชนเชงเสน (linear function)

ถา n = 2 แลว 2

2 1 0( ) f x a x a x a เรยกวา ฟงกชนพหนามก าลงสอง

(quadratic polynomial) หรอ ฟงกชนก าลงสอง (quadratic function)

ฟงกชนทอยในรป 1

1 1 01

1 1 0

...( )( )

( ) ...

n nn n

n nn n

a x a x a x af xR x

g x b x b x b x b

เมอ f(x) และ g(x) เปนฟงกชนพหนามท g(x) ≠ 0 จะเรยกวา ฟงกชนตรรกยะ

(rational function)

8


ให n เปนจ านวนเตมบวก

k เปนคาคงตว

f และ g เปนฟงกชนทมลมต เมอ x a

ทบ. 1. limx a

k k

ทบ. 2. limx a

x a

ทบ. 3. lim ( ) lim ( )x a x a

kf x k f x

ทบ. 4. lim[ ( ) ( )] [lim ( )] [lim ( )]x a x a x a

f x g x f x g x


f x g x f x g x


f x g x f x g x

ทบ. 7. lim ( )( )

lim[ ]( ) lim ( )

x a

x a

x a

f xf x

g x g x

เมอ lim ( ) 0x a

g x

ทบ. 8. lim[ ( )] [lim ( )]n n

x a x af x f x

ทบ. 9. lim ( ) lim ( )n nx a x a

f x f x

ถา n เปนเลขค lim ( ) 0x a

f x

ทบ. 10. (substitution Theorem)

ถา f เปนฟงกชนพหนาม หรอ ฟงกชนตรรกยะแลว lim ( ) ( )x a

f x f a

ในกรณทเปนฟงกชนตรรกยะ ลมตของตวสวนตอง ≠ 0 เมอ x a

ลมตของคาคงทคอคาคงท

9


ตวอยาง 4 จงหาคาลมตตอไปน

1. 2

4lim(5 2 3)x

x x

2. 2 5

2lim( 1)x

x x

3. 1

lim 1x

x

วธท า

1. 2 2

4lim(5 2 3) 5(4) 2(4) 3 80 8 3 75x

x x

2. 2 5 2 5 2 5

2 2

5 5

lim( 1) [ lim( 1)] [( 2) ( 2) 1]

[4 2 1] 3

x xx x x x

3. 1

lim 1x

x

ตองแบงคดเปนลมตซายและลมตขวา ทงนเนองจากวา 1x หาคาได

กตอเมอ x – 1 0

1lim 1x

x

หาคาไมได (เพราะวา x1- หรอ x < 1 เพราะฉะนน x – 1 < 0)

1lim 1 0x

x

ดงนน 1 1

lim 1 lim 1x x

x x

จงไดวา 1

lim 1x

x

หาคาไมได

พจารณากราฟ

10


11


การหาคาลมตแบบตาง ๆ

ลมตของฟงกชนตรรกยะเมอ x a

ให 1

1 1 01

1 1 0

...( )

( ) ...

n nn n

n nn n

a x a x a x af x

g x b x b x b x b

เปนฟงกชนตรรกยะ

การหาลมตของฟงกชนตรรกยะดงกลาว เราจะแบงออกเปนกรณตอไปน

กรณท 1 เมอ g(a) ≠ 0

จะไดวา

limlim ( )( ) ( )

( ) lim ( ) ( )

x ax a

x a

f xf x f a

g x g x g a

ตวอยางเชน

ตวอยางท 5 จงหาลมตตอไปน 2

3

4 3lim

2 4 9

2x

x x

x x

วธท า 2

33 3

24 3 4 3 4 3

2

limlim(2 4 9)2 4 9 2(2) 4(2) 9 5

= = 22 lim( 2) (2) (2) 2

xx

x

x xx x

x x x x

กรณท 2 เมอ f(a) = g(a) = 0

จะไดวา

lim( )

( )

x a

f x

g x

จะอยในรป 0

0 ซงเปนรปแบบไมก าหนด เราตองจดรปกอน

โดยการแยกตวประกอบเปนสวนใหญ อกวธคอการใชสงยคคณทงตวเศษและตว

สวน


12


ตวอยางท 6 จงหาคาของ -1

2

3lim

1

1x

x

x

วธท า เราจะเหนวาลมตของตวเศษ นนคอ 2

-11lim x

x

มคาเทากบ 0 และลมตของ

ตวสวน 3

-11lim x

x

มคาเทากบ 0 เชนกน

ดงนน -1

2

3lim

1

1x

x

x

อยในรปแบบ 0

0 ซงเปนรปแบบไมก าหนด เราจะก าจดโดย

การแยกตวประกอบ

นนคอ -1 -1 -1

2

3 2 2lim lim lim

1 ( 1)( 1) ( 1) 2

31 ( 1)( 1) ( 1)x x x

x x x x

x x x x x x

ตวอยางท 7 จงหาคาของลมต

3 32

2lim

42x

xx

ถาลมตมคา

วธท า เราจะเหนวาลมตของตวเศษ นนคอ

3 32

2lim 4x

x

มคาเทากบ 0 และ

ลมตของตวสวน 2

lim 2x

x


ดงนน

3 32

2lim

42x

xx


0 ซงเปนรปแบบไมก าหนด เราจะก าจด

โดยการแยกตวประกอบ

พจารณา

333 3

33

222

33

24 2

2

xxx

x

3 3 2 2

3 3 2 2

( )( )

( )( )

u a u a u ua a

u a u a u ua a

2 2 ( )( )u a u a u a

2 2

3 3 2 2

( )( )

( )( )

u a u a u a

u a u a u ua a

13


3 33 3

3 3 33 3 3

33

3 33 3

22

22

2 2

2 2 2

2 2 2

x x

x x x

x

x x

ดงนน

3 3 33

3 33 3

2

22 2 2lim lim

4 2 2

2 2x x

x xx

x x

3 3 3

33 3 3 3 3

2 2 2

2 2 2 2 2 3 22 2 2 2 3 2

ตอไปจะเปนตวอยางของ

lim( )

( )

x a

f x

g x

ทอยในรป 0

0 ซงเปนรปแบบไมก าหนด

แตเราไมสามารถแยกตวประกอบเพอก าจดตวสวนไมใหเปน 0 ได การหาลมต

ในลกษณะน เราจะใชสงยคของตวเศษ (หรอตวสวน) คณทงเศษและสวน โดยท

พจนทมเครองหมายรากอยทเศษ กใหใชสงยคของตวเศษ ในท านองเดยวกน ถา

พจนทมเครองหมายรากอยทสวน กใหใชสงยคของตวสวน

(สงยคของ a b คอ a b )


14


ตวอยางท 8 จงหาคาของลมต 0

lim4 16

x

xx


วธท า เราจะเหนวาลมตของตวเศษ นนคอ 0

lim 4 16x

x

มคาเทากบ 0

และลมตของตวสวน 0

limx

x


ดงนน 0

lim4 16

x

xx



พจารณา 4 16 4 16 4 16 4 16

x x xx x x

16 (16 )

(4 16 )

1 (4 16 ) 4 16

x

x x

x

x x x

ดงนน

0 0lim lim

4 16 1 1 1 84 16 4 16 0x x

xx x

2 2 ( )( )u a u a u a

สงยคคอ ???

15


ตวอยางท 9 จงหาคาของลมต

2

2 2lim

| | 6

4 9 5x

x x

x



และเนองจากเราพจารณาคาเมอ x เขาใกล -2 ทางซายและทางขวา ดงนน x < 0

เสมอ เพราะฉะนน |x| = - x

จะไดวา 2 2

2 2

6 6 4 9 5 4 9 5

| |x x

x

x x

x

และเราจะเหนวาลมตของตวเศษ นนคอ

2

2lim 6

xx x

มคาเทากบ 0 และ

ลมตของตวสวน

2

2lim 4 9 5

xx


ดงนน

2

2 2lim

| | 6

4 9 5x

x x

x



พจารณา

2 2 2 2

2 2 2 2

| | 6 6 6 4 9 5 4 9 5 4 9 5 4 9 5 4 9 5

x x x x x x x

x x x x

; 0 | |

; 0

x xx

x x


16


2 2

2

2

2

6 4 9 5

4 9 25

2 3 4 9 5

4 2 2

3 4 9 5

4 2

x x x

x

x x x

x x

x x

x

ดงนน

22

2 22lim lim

3 4 9 56

4 24 9 5x x

x xx x

xx

22 3 4( 2) 9 525 84 2 2

กรณท 3 เมอ f(a) ≠ 0 แต g(a) = 0

จะไดวา

lim( )

( )

x a

f x

g x

อาจจะมคาเปน +∞ หรอ -∞ หรอ ไมมลมต

Note:- การท

lim( )

( )

x a

f x

g x

ไมมลมตนน เนองจาก

lim( )

( )x a

f x

g x

= +∞ (หรอ -∞)

และ

lim( )

( )x a

f x

g x

= -∞ (หรอ +∞)

2 2 ( )( )u a u a u a

17


+∞ หมายความวา คามคาเพมขนเรอย ๆ โดยไมมขอบเขต

จะเหนวา 1

( )lim f xx

= +∞ และ 1

( )lim f xx

= +∞

ดงนน 1

( )lim f xx

= +∞

-∞ หมายความวา คามคาลดลงเรอย ๆ โดยไมมขอบเขต


( )lim f xx

= -∞ และ 1

( )lim f xx

= -∞ ดงนน

1( )lim f x

x= -∞


( )lim f xx

= -∞ และ 1

( )lim f xx

= +∞

ดงนน 1

( )lim f xx

ไมมลมต

กราฟพงขนฟา !!!

กราฟพงลงดน !!!

18



( )lim f xx

= +∞ และ 1

( )lim f xx

= -∞

ดงนน 1

( )lim f xx

ไมมลมต

ถา ( ) 0f x เมอ x เขาใกล a และ lim1

0( )x a f x

แลว

lim ( )x a

f x

ถา ( ) 0f x เมอ x a + และ lim1

0( )x a f x

แลว lim ( )

x af x

ถา ( ) 0f x เมอ x a - และ lim1

0( )x a f x

แลว lim ( )

x af x

ถา lim lim( ) ( )x a x a

f x f x

แลว lim ( )x a

f x

19


ถา ( ) 0f x เมอ x a และ lim1

0( )x a f x

แลว lim ( )

x af x

ถา ( ) 0f x เมอ x a + และ lim1

0( )x a f x

แลว lim ( )

x af x

ถา ( ) 0f x เมอ x a - และ lim1

0( )x a f x

แลว

lim ( )x a

f x

ถา lim lim( ) ( )x a x a

f x f x


f x

การพจารณา

lim( )

( )

x a

f x

g x

วาเปน +∞ หรอ -∞ เราจะพจารณาเครองหมายของ

ทงตวเศษและตวสวน นนคอ

1. ถาเปน

หรอ

เราจะไดวา

lim( )

( )

x a

f x

g x

= +∞

2. ถาเปน

หรอ

เราจะไดวา

lim( )

( )

x a

f x

g x

= -∞

แตถา

lim( )

( )x a

f x

g x

= +∞ (หรอ -∞) และ

lim( )

( )x a

f x

g x

= -∞ (หรอ +∞) เราจะ

ไดวา

lim( )

( )

x a

f x

g x

ไมมลมต

20


ตวอยางท 10 จงหาของลมตตอไปน

1. 3

lim2

( 3)( 1)x

x

x x

2. 3

lim2

( 3)( 1)x

x

x x

3. 3

lim2

( 3)( 1)

x

x

x x

วธท า พจารณาเครองหมายจะไดวา

1. เราพจารณา x3- นนคอ x<3 ดงนน x – 3 มคาเขาใกล 0 ทางซาย 0-

ดงนน 3

lim2 5

=( 3)( 1) (0 )(4)x

x

x x

-∞ ##

2. เราพจารณา x3+ นนคอ x>3 ดงนน x – 3 มคาเขาใกล 0 ทางขวา 0+

ดงนน 3

lim2 5

=( 3)( 1) (0 )(4)x

x

x x

+∞ ##

3. 3

lim2

( 3)( 1)

x

x

x x

ไมมลมต เพราะวา ลมตซาย ไมเทากบลมตขวา

21


การหาลมตของฟงกชนทนยามเปนชวง ๆ

ในการหาลมตสองทางของฟงกชนทนยามเปนชวงๆ เราอาจจะตองแยกหาลมตทละดาน ถาตองการหาลมต เมอ x a โดยท a เปนจดเปลยนฟงกชน เชน ตวอยางท 11 ก าหนดให

2 5 ; 3( )

13 ; 3

x xf x

x x

จงหา 3

lim ( )x

f x

วธท า เนองจาก x = 3 เปนจดเปลยนฟงกชน ดงนนตองแยกคดลมตทละดาน

2 2

3 3lim lim( ) ( 5) (3) 5 4x x

f x x

และ

3 33

lim lim( ) 13 lim ( 13) 3 13 16 4x x

x

f x x x

ดงนน 3

lim ( ) 4x

f x

จดเปลยนฟงกชนกอน ในทน คอ 3

22


ตวอยางท 12 ก าหนดให

4; 4

( ) 2

2 ; 4

xx

f x x

x

จงหา

4lim ( )x

f x

วธท า ขอนไมจ าเปนตองแยกหาลมตทละดาน ดงนน

(2 ) 2 4 44 4 4 4

lim lim lim lim4 (2 )(2 )

( )2 (2 )

xx x x x

x x xf x

x x

ดงนน

4lim ( ) 4x

f x

จงหาคาของ 2

lim | 2|

x

x

(ตอบ 2

lim | 2| 0x

x

)

อยาโดนเขาหลอกนะ ตองดชวงท ไมเทากบ !!

HW

23


ทบ. 11. (Squeeze Theorem)

ให f, g และ h เปนฟงกชน ( ) ( ) ( )f x g x h x ทกคา x a

ถา lim ( ) lim ( )x a x a

f x L h x


g x L

ตวอยางท 13 จงค านวณหาวา 2

4 5 / 20lim

1 (1 )x

x

x มคาเปน 0 โดยใช

Squeeze Theorem

วธท า เนองจาก 4 5/ 2(1 ) 0x ส าหรบทก ๆ x

ดงนน 4 5/ 21 (1 ) 1x ส าหรบทก ๆ x

นนคอ 4 5/ 2

10 1

1 (1 )x

ส าหรบทก ๆ x

เพราะฉะนน 2

2

4 5 / 20

1 (1 )

xx

x

ให f(x) = 0, g(x) = 2

4 5 / 21 (1 )

x

x และ h(x) = x2

ดงนน 0

lim ( ) 0x

f x

และ 0

lim ( ) 0x

h x

โดยทบ. 11 (Squeeze Theorem ) เราจะไดวา 0

lim ( ) 0x

g x

นนคอ 2

4 5/ 20lim 0

1 (1 )x

x

x

ทบ. แซนวช!!

f(x) g(x) h(x)

24


ลมตอนนต

พจารณาฟงกชน f(x) = 1

𝑥 เมอ x ≠ 0 จะไดวา

นนคอ

+ - 0 0

lim lim lim lim1 1 1 1

0, 0, ,x x x xx x x x

และมกราฟ ดงรป

สมบตของลมตกรณท xa จะเปนจรงส าหรบกรณท x+∞ หรอ x -∞

0-

25


ตอไปพจารณา f(x) = 1

𝑥𝑛 ถา n เปนจ านวนค จะไดกราฟ

ถา n เปนจ านวนค จะไดกราฟ

ดงนน ส าหรบจ านวนเตมบวก n ใด ๆ จะไดวา

1 1 1 1lim ( lim ) 0, lim ( lim ) 0n n

n nx x x xx x x x

เกบผลทไดเอาไวกอน!!!

26


ตอไปนจะกลาวถงลมตของพหนามทอยในรป xn เมอ n = 1, 2, …

พจารณากราฟของ y = x, y = x2, y = x3 และ y = x4 ดงรป

และมลมต ดงน

สรปไดวา

lim , 1,2,...

, 2,4,...lim

, 1,3,...

n

n

n

n

x n

nx

n

เมอเราคณ xn ดวยจ านวนจรงบวกใด ๆ กจะไมมผลตอลมตของ f(x) = xn แตถา

เราคณดวยจ านวนจรงลบ คาลมตทไดจะสลบเครองหมายกน เชน

5 5 5 5

6 6 6 6

lim 5 ( )( ) lim 5 ( )( )

lim ( 5) ( )( ) lim ( 5) ( )( )

x x

x x

x x

x x

27


ลมตของฟงกชนพหนาม เมอ x และ x-

เราจะอาศยความจรง

1 1 1 1lim ( lim ) 0, lim ( lim ) 0n n

n nx x x xx x x x

เพอชวยในการหาคาลมตของฟงกชนพหนาม

ให 1

1 1 0( ) ... n n

n nf x a x a x a x a

เปนฟงกชนพหนาม

ถา an ≠ 0 และจะไดวา

1

1 1 0 + +

+ +

01( ... )1

lim lim

lim lim

( ... )

( )

n n

n n

na x a x a x ax x n n n

n nx xn n

aax a

x x

x a a x

ดงนนสรปวา

1

1 1 0 + +

( ... )lim limn n

n n

na x a x a x ax x n

a x

1

1 1 0 - -

( ... )lim limn n

n n

na x a x a x ax x n

a x


28


ตวอยางท 14 จงหาคาของ

1. 5 4 2lim (10 3 2 8)x

x x x

2. 7 3lim ( 3 20 7 9)x

x x x

วธท า

1. 5 4 2 5 5lim (10 3 2 8) lim 10 ( )( )x x

x x x x

2. 7 3 7 7lim ( 3 20 7 9) lim 3 ( )( )

( )( )

x xx x x x

อยาลม!!!! ตองดก าลงค และก าลงคของ x และดเครองหมายของสมประสทธ

หนา xดวย

กลาวคอ ถา ( )(+∞)ค = ∞, ( ) (-∞)ค = ∞ แต ( ) (-∞)ค = ∓∞

ก าลงสงสดคออะไร ???

29


วธการหาลมตของฟงกชนพหนามเมอ x- โดยการเปลยนตวแปร x = -u

ตวอยางท 15 จงหาคาของ 7 3lim ( 3 20 7 9)x

x x x

วธท า

7 3

7 3

7 3

7

7

lim ( 3 20 7 9)

lim ( 3( ) 20( ) 7( ) 9)

lim(3 20 7 9)

lim(3 )

3( )

x

u

u

u

x x x

u u u

u u u

u

30


ลมตของฟงกชนตรรกยะเมอ x และ x-

หลกการหาลมตท : น า พจนทม เลขชก าลงของ x ทมากทสดของตวสวน

ไปหารทงเศษและสวน และอาศยความจรงทวา

1 1 1 1lim ( lim ) 0, lim ( lim ) 0n n

n nx x x xx x x x

ตวอยางท 16

+ +

+

3

23 2

2 2

2

lim lim lim

lim

3 4 43

3 4

55 5 1

(3 ) ( )( )

x x x

x

xx

xx x

x x x xxx

x

ก าลงสงสดของสวนคอ x2

31


ตวอยางท 17

4

3

4

3 1/ 6

3 3

7 / 6

lim lim lim

21 1

2( )2 0 2(0)

01 5 05 5 5

x x x

x x

x xx x xx

x x x x x xxx x

วธการหาลมตของฟงกชนพหนามเมอ x- โดยการเปลยนตวแปร x = -u

ตวอยาง 18

ก าลงสงสดตวสวนคอ 𝑥 𝑥

32


การหาลมตของฟงกชนตรรกยะ เมอ x หรอ x-

ดวยวธลด

ลมตของฟงกชนตรรกยะ

11 1 0

11 1 0

...( )

( ) ...

n nn n

m mm m

c x c x c x cf x

g x d x d x d x d

เมอ x +∞ หรอ x -∞ จะไมขนกบพจนอน ๆ เลย แตจะขนกบพจนทม

ดกรสงสดของตวเศษและตวสวนเทานน ดงน

ถา cn≠0 และ dn≠0 แลวจะไดวา

11 1 0lim lim

11 1 0

...

...

n

n

mx xm

n nc xn n

m m d xm m

c x c x c x c

d x d x d x d

11 1 0lim lim

11 1 0

...

...

n

n

mx xm

n nc xn n

m m d xm m

c x c x c x c

d x d x d x d

33


ตวอยางท 19 จากตวอยางท 19 และ 20 เราจะไดวา

+ +

+

3 3

2 2lim lim

lim

3 4 3

5

3 ( )( )

x x

x

x x

x x x

x

และ

+ + + +

4 44 3 1

3 33 2 6

3lim lim lim lim

2 1 1 0

5 55 5x x x x

x x xx x

x x x x x

การหาลมตของฟงกชนทเกยวกบรากท n

ตวอยางท 20 จงหา

3lim6 5

7 8x

x

x

วธท า อาศยสมบตของลมต จะไดวา

+

3 3 3 3

+ +lim

6 5 6 5 6 6lim lim

7 8 7 8 7 7x x x

x x x

x x x

ถาก าลงของ x ของตวเศษเทากบก าลงของ x ของตวสวน คาของลมต ก

คอ ส.ป.ส. ของ x นนเอง (เอามนมาหารกน)

34


ตวอยางท 21 จงหาคาของ 2lim [ 1 ]x

x x

วธท า 2lim [ 1 ]x

x x

2

2 2

2

2 2 2

2

2 2

2 2

2 2

2

2

2

2lim [ 1 ]

[ 1 ][ 1 ]lim

[ 1 ]

( 1) ( )lim

1

1 1lim lim

1 1

1 1

lim lim1 1

1

1

0 0lim 0

21 1

[ 1 ]

]

1

1

0 11

[x

x

x

x x

x x

x

x x

x x x x

x x

x x

x x

x x

x x x x

x x

x x x

x

x x

x x

x

x

x

สงยคคออะไร ???

ก าลงสงสดของตวสวน คอ x

36


22

อกวธของตวอยางท 22

37


38


39


40


41


42


แบบฝกหด เรอง ลมต

43


44


เฉลย

45


แบบฝกหด เรอง ลมต 2

46


เฉลย

47


การหาลมตของฟงกชนตรโกณมต ฟงกชนตรโกณมตส าหรบรปสามเหลยม

ดานประชดมม = x

ดานตรงขามมม = y

ดานตรงขามมมฉาก = r

ดงนน sin = ดานตรงขามมม / ดานตรงขามมมฉาก = y/r

cos = ดานประชดมม / ดานตรงขามมมฉาก = x/r

tan = ดานตรงขามมม / ดานประชดมม = y/x

ถา r = 1 แลว sin = y และ cos = x

ดงนน

sin 1 costan ,cot

cos tan sin

1 1sec ,csc

cos sin

r

y

x

48


ตารางของคาของฟงกชนตรโกณมตทงหมดของแตละคาของ (0 )

0 6

4

3

2

2

3

3

4

5

6

sin 0 1

2 2

2 3

2 1 3

2 2

2 1

2 0

cos 1 3

2 2

2 1

2 0 1

2 2

2 3

2 -1

tan 0 1

3 1 3 - 3 -1 1

3 0

ความหมายของฟงกชนตรโกณมตของมมถกก าหนดโดยจตภาคทดานปลายของมมซง

ปรากฎไดดงรป

ตอไปพจารณาคาของ f() = sin

เมอ 0 จากตารางดงตอไปน

2

1.57 4

0.79 6

0.52 12

0.26 36

0.09 …

sin

0.63662 0.90032 0.95494 0.98865 0.99885 …

จากตาราง จะเหนวา เมอ 0 คาของ f() = sin

มคาเขาใกล 1

All + sin +

tan + cos +

49


B

C

นนคอ 0

sinlim 1

ตอไปเราจะพสจนวา 0

sinlim 1

โดยใช ทบ. แซนวช

พสจน สรางวงกลมจดศนยกลางทจด 0 และมรศม 1 หนวย

สมมตให 02

ใหจด A และจด D เปนจดทอยบนวงกลม 1 หนวย

ดงนน OA = OD = 1 หนวย ตามรป

ลากสวนของเสนตรง OA ไปยงจด B และเลอกจด C บนสวนของเสนตรง OD ซง

ท าใหสวนของเสนตรง AC ตงฉากกบสวนของเสนตรง OD และสวนของเสนตรง BD ตง

ฉากกบสวนของเสนตรง OD ตามรป

D

A

0

D

A

0

50


จะไดวา พนทรปสามเหลยม OAC < พนทของสามเหลยมฐานโคง OAD < พนท

รปสามเหลยม OBD

21 1 1cos sin (1) tan

2 2 2

น า 1 sin2

หารตลอดอสมการ จะได

1cos

sin cos

นนคอ

sin 1cos

cos

ให sin 1( ) cos , ( ) , ( )

cosf g h

ขณะท 0 จะไดวา

0 0

0 0

lim ( ) limcos cos0 1,

1 1lim ( ) lim 1

cos cos0

f

h

ดงนน 0 0

lim ( ) 1 lim ( )f h

โดยทฤษฎบทแซนวช จะไดวา 0 0

sinlim ( ) lim 1g

51


จากตวอยางทผานมา เรารแลววา 0

limsin

1x

x

x ซงเราจะเอาดงกลาวมาชวยหาลมต

ของฟงกชนตรโกณมต

ถา

lim ( ) 0x a

f x

และ ( ) 0f x เมอ xa แลว

lim

sin( ( ))1

( )x a

f x

f x

52


ตวอยางท 23 จงหาคา 0

limsin5

x

x

x

วธท า จะเหนวา 0

limsin5

x

x

x อยในรป

0

0 ดงนนเราพยายามจดรปใหอยในรป sin

และใชความจรงทวา 0

limsin ( )

1( )x

f x

f x มาชวยในการค านวณหาคาลมตดงกลาว

0 0

0 0

lim lim

lim lim

sin5 sin5 5

5sin5 sin5

5 5 5(1) 55 5

x x

x x

x x

x xx x

x x

ตวอยางท 24 จงหาคา 0

limtan

3x

x

x


limtan

3x

x

x อยในรป

0

0 ดงนนเราพยายามจดรปใหอยในรป

sin x

x

และใชความจรงทวา

0lim

sin1

x

x

x มาชวยในการค านวณหาคาลมต

ดงกลาว

1 1 1 1(1)

0 0 0 03 3cos 3(1) 3lim lim lim lim

tan sin sin

3 cosx x x xx x

x x x

x x x

53


ตวอยางท 25 จงหาคาของลมต 30

limtan sin

x

x x

x



limtan sin

x

x x

x

อยในรป 0

0 ดงนนเราพยายามจดรปใหอยในรป

sin x

x

และใชความจรงทวาจะใช

0lim

sin ( )1

( )x

f x

f x มาชวยในการค านวณหาคา

ลมตดงกลาว

3 30 0lim lim

tan sin (1 cos ) tanx x

x x x x

x x

2

30lim

2sin tan2

x

xx

x

2

0lim

sinsin 12

2cos

2

x

xx

x x x

2

0 0 0lim lim lim

sinsin 12

2cos

2

x x x

xx

x x x

sin22

0 0 0

2

lim lim limsin 1

( )2cos

x

xx x x

x

x x

1 121 (1)( )2 2

( )

2cos2 1 2sin A A

HW

54


ตวอยางท 29 จงหาคาของ 0

lim1 sin 1 sin

x

x x

x


lim1 sin 1 sin

x

x x

x

อยในรป 0

0 ดงนนเราจะใช

0lim

sin1

x

x

x มาชวยในการค านวณหาคาลมตดงกลาว

แตเราจะสงเกตวา อยในรปเครองหมาย ∎ ดงนนเราตองก าจดดวยการคณสงยคทงเศษ

และสวนกอน

0 0

0

lim lim

lim

lim

1 sin 1 sin1 sin 1 sin 1 sin 1 sin

1 sin 1 sin

(1 sin ) (1 sin )

( 1 sin 1 sin )

=

x x

x

x

x xx x x x

x xx x

x x

x x x

0

0 0lim lim

2sin

( 1 sin 1 sin )

sin 1 1 = 2 2(1)( ) 1

21 sin 1 sinx x

x

x x x

x

x x x


55


ตวอยาง 30 ก าหนดให

2 1 ; 0

( ) 2sin3 cos; 0

x x

f x x xx

x

จงหาคาของ 0

lim ( )x

f x

วธท า เมอ 0x แลว 2( ) 1f x x

ดงนน 2

0 0lim ( ) lim( 1) 0 1 1x x

f x x

เมอ 0x แลว 2sin3 cos( )

x xf x

x

ดงนน

0 0

0 0

3

2sin3 coslim ( ) lim

sin32lim lim

3cos

2(3)(1)(cos0) 6

x x

x x

x xf x

x

xx

x

จะไดวา

0 0

lim ( ) lim ( )x x

f x f x

นนคอ 0

lim ( )x

f x


56


ตวอยาง 31 จงหาคาของ 1lim2 sin( )x

xx

วธท า

1 12sin( ) sin( )

1lim2 sin( ) lim 2lim

1 1x x x

x xxx

x x

ให 1u

x

ดงนน เมอ xจะไดวา 10u

x

จะไดวา

0

1sin( )

1lim2 sin( ) 2lim

1

sin( )2lim

2(1) 2

x x

u

xxx

x

u

u

57


ตวอยางท 32 จงหาคาของ 2

coslim

2

x

x

x

วธท า เนองจาก cos sin( )2

x x

ดงนน 2 2 2

sin( ) sin( )cos 2 2lim lim lim

( )2 2 2

x x x

x xx

x x x

ให 2

u x

ดงนน เมอ 2

x

จะไดวา 02

u x

เพราะฉะนน จะไดวา

0 0

2

cos sin( ) sin( )lim lim lim (1) 1

( )

2

u ux

x u u

u ux

58


ความตอเนองของฟงกชน

กอนทจะใหนยามความตอเนองของฟงกชน พจารณากราฟของ f(x) ทจด x = c

ดงรปขางลาง

(1) (2)

(3) (4)

(5)

กราฟมรอยรว!!!

กราฟกระโดด !!!

กราฟมรอยรว!!!

59


จากกราฟทง 5 เราจะเหนวา

รปท (1) lim ( )x c

f x L

แตฟงกชน f(x) ไมนยามท x = c


f x ไมมคา แตฟงกชน f(x) นยามท x = c ซง f(c) = L2


f x

และฟงกชน f(x) นยามท x = c ซง f(c) = L

รปท (4) 1

lim ( )x c

f x L

แต f(c) = L2 ซง lim ( ) ( )x c

f x f c


f x L

และ f(c) = L ดงนน lim ( ) ( )x c

f x f c

ขอสงเกต จากรปท (1) – (4) จะเหนวากราฟของ y = f(x) ขาดตอนหรอไม

ตอเนอง (มรอยรว !!!) ทจด x = c และเกดเหตการณดงน

ฟงกชน f ไมนยาม ท x = c

lim ( )

x cf x


ฟงกชน f นยามท x = c และ lim ( )x c

f x หาคาไมได แตคาทงสองไม

เทากน

สวนรปท (5) ไดวา กราฟของ y = f(x) ทจด x = c ตอกนตลอดหรอตอเนองทจด

x = c

สรปเปนนยามความตอเนอง ดงน

60


บทนยาม จะกลาววาฟงกชน f มความตอเนองทจด x = c กตอเมอ

lim ( ) ( )x c

f x f c

หรออาจกลาวไดอกแบบวา

f มความตอเนองทจด x = c กตอเมอ

1. f(c) นยาม (define) หรอหาคาได

2. lim ( )x c

f x หาคาได (exist)

3. lim ( ) ( )x c

f x f c

แตถา f ขาดเงอนไขขอใดขอหนงจะกลาววา f ไมมความตอเนองท x = c

ถา f มความตอเนองทกจดบนชวงเปด (a, b) แลวเราจะกลาววา f มความตอเนอง

บนชวง (a, b) และฟงกชน f ทมความตอเนองบนชวง (-∞, +∞) เราจะกลาว

สน ๆ วา f เปนฟงกชนตอเนอง

61


ตวอยางท 33 ให

2 4( )

2

xf x

x

และ

2 4, 2

( ) 2

3 , 2

xx

g x x

x

จงพจารณาวา f และ g มความตอเนองท x = 2 หรอไม

วธท า พจารณาฟงกชน f : เนองจาก f(2) ไมนยาม (เพราะท าใหตวสวน

เปนศนย)

ดงนน f ไมมความตอเนองท x = 2

พจารณาฟงกชน g : เนองจาก g(2) = 3 และ

2

2 2 2 2

4 ( 2)( 2)lim ( ) lim lim lim( 2) 2 2 4

2 2x x x x

x x xg x x

x x

ดงนน 2lim ( ) (2)x

g x g

นนคอ g ไมมความตอเนองท x = 2

กราฟของ f และ g แสดงได ดงรป

หมายเหต จากตวอยางท 1 เราอาจสรปไดวา ฟงกชน f และ ฟงกชน g ตอเนอง

ทกจด ยกเวนทจด x = 2

กราฟมรอยรว !!!

62



4, 4

3( 2)( )

4, 4

3

xx

xf x

x

จงพจารณาวา f มความตอเนองท x = 4 หรอไม

วธท า เนองจาก f(4) = 4/3

ตอไปพจารณาคาของลมต

2 2

4 4 4 4

4

4 ( ) (2) ( 2)( 2)lim ( ) lim lim lim

3( 2) 3( 2) 3( 2)

2 4 2 4lim

3 3 3

x x x x

x

x x x xf x

x x x

x

ดงนน 4lim ( ) (4)x

f x f

นนคอ f มความตอเนองท x = 4

63



2 , 22

( ) 2 1 , 1 2

1 , 1

xx

f x x x

x x

จงพจารณาวา f ไมมความตอเนองทจดใดบาง (ถาม)

วธท า พจารณาความตอเนองท x = 1

เนองจาก f(1) = - (1) – 1 = -2

ตอไปพจารณาคาลมต (เพราะวาฟงกชนนยามเปนชวง ๆ ดงนนเรา

ดทงลมตซาย และลมตขวา)

1lim( 1) (1) 1 2x

x

1lim(2 1) 2(1) 1 1x

x

ดงนน 1lim ( )

xf x


สรปไดวา f ไมตอเนองทจด x = 1

พจารณาความตอเนองท x = 2

เนองจาก f(2) = (2/2) + 2 = 3

ตอไปพจารณาคาลมต (เพราะวาฟงกชนนยามเปนชวง ๆ ดงนนเรา

ดทงลมตซาย และลมตขวา)

พจารณาทจดขอบ กพอ!!!

64


2lim(2 1) 2(2) 1 3x

x

2

2lim( 2) 2 3

2 2x

x

ดงนน 2lim ( ) 3x

f x

ซงมคาเทากบ f(2)

สรปไดวา f มความตอเนองท x = 2

ดงนน f ไมตอเนองทจด x = 1

ก าหนดให

tan 2, 0

( )

5 , 0

xx

f x x

x

จงพจารณาวา f ตอเนองท x = 0 หรอไม (ตอบ ไม)

HW

65


ตวอยางท 36 จงหาคา k ทท าใหฟงกชน

2 , 2( )

3 , 2

x xf x

x k x

ตอเนองท x = 2

วธท า f ตอเนองท x = 2 กตอเมอ 2lim ( ) (2)x

f x f

หรอ

2 2lim ( ) lim ( ) (2)x x

f x f x f

ในทนใช 2lim ( ) (2)x

f x f

นนคอ

2

2

2

lim 3(2)

(2) - 6

6 4 10

xx k

k

k

ดงนน f ตอเนองท x = 2 เมอ k = 10

จงหาคา k ทท าใหฟงกชน

7 2 6 4 2, , 2

( ) 2 7

, 2

x xx x

f x x

k x

ตอเนองบนชวงทก าหนด (ตอบ k = 1/16)

HW

66


ตวอยางท 37 จงหาคา A, B ทท าให f(x) มความตอเนองทกจด เมอก าหนดให

2sin ,2

( ) sin ,2 2

cos ,2

x x

f x A x B x

x x

วธท า เราจะพจารณาทจด x ทเปนขอบ นนคอ ,2 2

x x

พจารณาความตอเนองท 2x

( ) 2sin( ) 2( 1) 22 2

f

2 2

lim ( ) lim ( 2sin ) 2x x

f x x

และ

2 2

lim ( ) lim ( sin )x x

f x A x B A B

เนองจากวา f มความตอเนองทกจด

ดงนน 2 2

lim ( ) lim ( ) ( )2x x

f x f x f

นนคอ 2A B ------------- (1)

พจารณาความตอเนองท 2x

( ) cos( ) 02 2

f

67


2 2

lim ( ) lim(cos ) 0x x

f x x

และ

2 2

lim ( ) lim( sin )x x

f x A x B A B

เนองจากวา f มความตอเนองทกจด ดงนน 2 2

lim ( ) lim ( ) ( )2x x

f x f x f

นนคอ 0A B ------------- (2)

(1)+(2) จะไดวา 2B = 2 นนคอ B = 1

แทนคา B = 1 ลงในสมการท (2) เราจะไดวา A = -1

สรป A = -1 และ B = 1 ท าใหฟงกชน f มความตอเนองทกจด

จงหาคา A, B ทท าให f(x) มความตอเนองทจด x= 1 และไมมความตอเนองท x =

2 เมอก าหนดให

2

, 1

( ) 3 , 1 2

, 2

Ax B x

f x x x

Bx A x

HW

68


ฟงกชน f ทไมมความตอเนองทจด x = c จะเรยกวาเปนภาวะความไมตอเนองท

ขจดได (removable discontinuity) ท x = c กตอเมอ lim ( )x c

f x มคา แต

lim ( ) ( )x c

f x f c

ซงอาจจะเปนไปไดวาท x = c ไมนยาม

แตถา lim ( )x c

f x ไมมคา จะเรยกวา ภาวะความไมตอเนองทขจดไมได (non-

removable discontinuity) ท x = c

ในการขจดภาวะความไมตอเนอง ท าไดโดย ก าหนดคาคงท ท x = c ขนมา

เพอใหสอดคลองกบคณสมบตความตอเนองทจด x = c นนคอlim ( ) ( )

x cf x f c

ตวอยางท 38 พจารณาจดทท าใหฟงกชน f ไมมความตอเนองของตวอยางท 1

และตวอยางท 3

วาอยในภาวะความไมตอเนองทขจดได หรอไม ถาขจดไดจะขจดอยางไร

วธท า จากตวอยางท 1 เราจะไดวา f ไมตอเนองท x = 2 และ f(2) ไมนยาม

แต 2

2 2 2

4lim ( ) lim lim( 2) 4

2x x x

xf x x

x

เพราะฉะนน ทจด x = 2 อยในภาวะความไมตอเนองทขจดได โดย

เราจะก าหนดให f(2) = 4

ดงน

69


2 4, 2

( ) 2

4 , 2

xx

f x x

x

ท าในท านองเดยวกนส าหรบฟงกชน g

จากตวอยางท 3 เราจะไดวา f ไมตอเนองท x = 1 และ f(1) = -2

แต 1lim ( )

xf x

ไมมคา

ดงนน ทจด x = 1 อยในภาวะความไมตอเนองทขจดไมได

จงพจารณาฟงกชนทก าหนดใหตอไปนวาไมตอเนองทจดใดบาง และจดเหลานน

สามารถขจดความไมตอเนองไดหรอไม ถาไดจะขจดอยางไร

1. 2( )

1

xf x

x

2.

3, 4

( ) 1

3 , 4

xf x x

x

3.

2

3

5 , 2

( ) 10 , 2

1 , 2

x x

f x x

x x

4. 2

sin, 0

( )

1 , 0

xx

f x x

x x

HW

70


ทบ. ถาฟงกชน f และ g มความตอเนองท x = c แลวจะไดวา

1. f + g มความตอเนองท x = c

2. f - g มความตอเนองท x = c

3. f g มความตอเนองท x = c

4. f / g มความตอเนองท x = c ถา g(c) ≠ 0

f / g ไมมความตอเนองท x = c ถา g(c) = 0

5. kf มความตอเนองท x = c เมอ k เปนคาคงท

6. ฟงกชนพหนามเปนฟงกชนตอเนอง

7. ฟงกชนตรรกยะมความตอเนองทกจดยกเวนจดทท าใหตวสวนเปน

ศนย

ตวอยางท 39 จงแสดงวา f(x) = |x| เปนฟงกชนตอเนอง


, 0

( ) | | 0 , 0

, 0

x x

f x x x

x x

และจาก ทบ. ขอ 6 จะไดวา f(x) = |x| เปนฟงกชนตอเนอง ท x>0 หรอ

x<0 เพราะวา f เปนฟงกชนพหนาม (x และ –x ตามล าดบ) ดงนนเหลอเพยง

พจารณาท x = 0 เทานน

71


เนองจาก 0 0 0lim ( ) lim | | lim 0x x x

f x x x

และ 0 0 0lim ( ) lim | | lim 0x x x

f x x x

จงไดวา 0lim ( ) 0x

f x

ดงนน f มความตอเนองท x = 0 เพราะวา 0lim ( ) 0 (0)x

f x f

นนคอ f เปนฟงกชนตอเนองทกจด

ตวอยางท 40 จงพจารณาวาฟงกชน 2

5( )

2 8

xf x

x x

มความตอเนองท

ใดบาง

วธท า เนองจาก f(x) เปนฟงกชนตรรกยะ ดงนนเพยงพอทจะพจารณาจด x ทท า

ใหตวสวนเปนศนย

2 2 8 0

( 4)( 2) 0

x x

x x

ดงนน x = 4, -2

เพราะฉะนน f ไมตอเนองท x = 4 และ x = -2

72


HW

ก าหนดให

2

2sin( 3); 3

( 3)

| 3 |( ) ; 3 4

1 4

9; 4 5

3

xx

x

xf x x

x

xx

x

จงพจารณาวา f มความตอเนองทจด x = 3 และทจด x = 4 หรอไม ถาไมมความ

ตอเนองสามารถแกไขไดหรอไม ถาไดจงแกไข

73


ความตอเนองทางซายและความตอเนองทางขวา

พจารณาความตอเนองบนชวงปด [a,b] จากรป

จากรปท 1 จะเหนวาทจด x = a ซงเปนจดปลายทางดานซายเปนจดทฟงกชนไมตอเนอง

ในท านองเดยวกน รปท 2 ฟงกชนกไมมความตอเนองทจด b ซงเปนจดปลายทางขวา

สวนรปท 3 ฟงกชนมความตอเนองทจดปลายทงสองดาน ซงท าใหไดวานยามความ

ตอเนองทจดใด ๆ ตามบทนยามทไดศกษาไปนน ใชไมไดกบจดปลายชวงของฟงกชนท

น ยามบนชวงปด เพราะวาเปนลมตสองดาน จงท าใหเราตองนยามความตอเนองทจดปลาย

ของฟงกชนใหมในลกษณะลมตดานเดยว

74


บทนยาม ฟงกชน f จะเรยกวามความตอเนองทางซายทจด x = c ถา f สอดคลองกบ

1 .f(c) หาคาได

2 . lim ( )x c

f x

มคา และ

3 . lim ( ) ( )x c

f x f c

บทนยาม ฟงกชน f จะเรยกวามความตอเนองทางขวาทจด x = c ถา f สอดคลองกบ

1 .f(c) หาคาได

2 . lim ( )x c

f x

มคา และ

3 . lim ( ) ( )x c

f x f c

บทนยาม ฟงกชน f จะเรยกวามความตอเนองบนชวง (a,b] ถา f สอดคลองกบ

1 .f มความตอเนองบนชวงเปด (a,b)

2 .f มความตอเนองทางซายทจด x = b

บทนยาม ฟงกชน f จะเรยกวามความตอเนองบนชวง [a,b) ถา f สอดคลองกบ


2 .f มความตอเนองทางขวาทจด x = a

75


บทนยาม ฟงกชน f จะเรยกวามความตอเนองบนชวง [a,b] ถา f สอดคลองกบ


2 .f มความตอเนองทางขวาทจด x = a

3. f มความตอเนองทางซายทจด x = b

กลบไปพจารณากราฟ

จะเหนวา รปท 1 lim ( ) ( )x a

f x f a

และ lim ( ) ( )x b

f x f b

ดงนน f ไมมความตอเนองทางขวาทจด x = a แต f มความตอเนองทางซายทจด x = bท า

ใหไดวา f มความตอเนองบนชวง (a,b]

ส าหรบรปท 2 และ รปท 3 เรากพจารณาในท านองเดยวกน จะไดวา f มความตอเนองบน

ชวง [a,b) และ [a,b] ตามล าดบ

76


ตวอยางท 41 จงแสดงวา 2( ) 9f x x มความตอเนองบนชวงปด [-3,3]

วธท า f มความตอเนองบนชวงปด [-3,3] หมายความวา

1 .f มความตอเนองบนชวงเปด )-3,3(

2 .f มความตอเนองทางขวาทจด x = -3

3 .f มความตอเนองทางซายทจด x = 3

1. เราจะแสดงวา f มความตอเนองบนชวงเปด (-3,3)

ให c เปนจดใด ๆ ในชวงเปด (-3,3) เราตองการแสดงวา f มความตอเนองท

จด x = c นนคอ จะตองแสดงวา lim ( ) ( )x c

f x f c

เนองจาก

2 2 2lim ( ) lim 9 lim(9 ) 9 ( )x c x c x c

f x x x c f c

ดงนน f มความตอเนองทจด x = c แต c เปนจดใด ๆ บนชวง (-3,3) ท าให

ไดวา f มความตอเนองบนชวง (-3,3) ##

2. เราจะแสดงวา f มความตอเนองทางขวาทจด x = -3

เนองจาก2 2 2

3 3 3lim ( ) lim 9 lim(9 ) 9 ( 3) 0 ( 3)x x x

f x x x f

ดงนน f มความตอเนองทางขวาท x = -3 ##

3. เราจะแสดงวา f มความตอเนองทางซายทจด x = 3

เนองจาก

77


2 2 2

3 3 3lim ( ) lim 9 lim(9 ) 9 (3) 0 (3)x x x

f x x x f

ดงนน f มความตอเนองทางซายทจด x = 3 ##

จากขอ 1, 2, 3 สรปไดวา มความตอเนองบนชวง [-3, 3]

บทที่ 1...

Documents

Transcript of บทที่ 1...