53. Mathematik-Olympiade4. Stufe (Bundesrunde)Olympiadeklassen 12Aufgaben 2. Tag

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Hinweis: Der Lsungsweg mit Begrndungen und Nebenrechnungen soll deutlich erkennbarin logisch und grammatisch einwandfreien Stzen dargestellt werden. Zur Lsungsgewinnungherangezogene Aussagen sind zu beweisen, falls sie nicht aus dem Schulunterricht bekannt sind.Auf eine Beweisangabe kann auerdem verzichtet werden, wenn die Aussage einen eigenenNamen besitzt und dadurch als allgemein bekannt angesehen werden kann.

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Man ermittle alle Tripel (x, y, z) reeller Zahlen, die das Gleichungssystem

x3 + y3 = 3y + 3z + 4 ,

y3 + z3 = 3z + 3x+ 4 ,

z3 + x3 = 3x+ 3y + 4

erfllen.

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Von 9 Mnzen haben acht das gleiche Gewicht, eine ist geflscht und deshalb leichter als dieanderen. Um die geflschte Mnze zu finden, stehen 3 Waagen mit je 2 Schalen zur Verfgung.Eine der Waagen ist defekt, man wei aber nicht, welche, die anderen beiden arbeiten korrekt.Die defekte Waage zeigt bei jeder Wgung ein willkrliches Ergebnis.

Man gebe ein Verfahren an, mit dem die geflschte Mnze durch 4 Wgungen sicher bestimmtwerden kann.

Hinweis: Als Ergebnis einer Wgung auf einer solchen Schalenwaage liegt stets eines derdrei unterscheidbaren Ergebnisse L (die auf der linken Schale liegenden Gegenstnde sindschwerer als die auf der rechten Schale liegenden), R (die Gegenstnde rechts sind schwerer)oder M (beide Seiten sind gleich schwer) vor. Weitergehende Anzeigen gibt es nicht.

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Es seiM der Mittelpunkt des Inkreises des Tangentenvierecks ABCD . Im Inneren der StreckenMA und MC liegen Punkte P bzw. Q so, dass der Winkel CBA doppelt so gro ist wie derWinkel QBP . Man beweise, dass der Winkel ADC doppelt so gro ist wie der Winkel PDQ .