A x B y C z D 0 (1) A B C D A B C...
Transcript of A x B y C z D 0 (1) A B C D A B C...
{ прямая как пересечение двух плоскостей – векторно-параметрическое уравнение прямой – уравнение прямой,
проходящей через две заданные точки – уравнение плоскости, проходящей через заданную точку параллельно двум
заданным векторам – взаимное расположение прямой и плоскости – взаимное расположение двух прямых в
пространстве – расстояние от точки до прямой в пространстве – угол между двумя плоскостями – угол между двумя
прямыми – угол между прямой и плоскостью – примеры }
2
1
2
1
2
1
2
1
2222
1111
DD
CC
BB
AA
(1) 0DzCyBxA
0 DzCyBxA
,
Прямую в пространстве можно представить как линию пересечения двух плоскостей.
В аффинной системе координат ее можно задать системой двух линейных уравнений :
p1
p2
N1
N2
p2 :
p1 :
y
z
x O D
),,( pnmS
М (x ,y ,z)
М0 (x0 ,y0 ,z0 )
0 0 0 0 0M M( x x , y y ,z z ) || ( m,n, p )
r r s
0r
0pn,m, , p
zz
n
yy
m
xx 000
r
t
0
r r s
Векторное параметрическое уравнение прямой,
проходящей через точку M0 параллельно вектору s
Канонические уравнения
t
0
r r s
ptzz
ntyy
mtxx
0
0
0
31z
13y
22x
1N
Составить уравнение прямой, проходящей через точку M0 (2,3,-1)
и параллельной прямой D1 :
Решение
022yx
01-zy-x
k3ji2
021
111
kji
NNs 21
2N
@
p2
),,( 312s
1D
M0 (2,3,-1)
p1
D
t zzzz
t yyyy
t xxxx
121
121
121
)(
)(
)(
1 2 2 1 2 1 2 1s( m,n, p ) M M ( x x , y y ,z z )
12
1
12
1
12
1
zzzz
yyyy
xxxx
Пусть заданы две различные точки M1(x1,y1,z1) и M2(x2,y2,z2) прямой D.
D
М2 (x2 ,y 2 ,z 2)
М1 (x1 ,y1 ,z1 ) Параметрические уравнения прямой
Канонические уравнения прямой, проходящей через две заданные точки
исключая параметр t, получим
0
pnm
pnm
zzyyxx
bbb
aaa
000
( ), , 0
0r r a b
0M M
0
r rМ0 (x0,y0 ,z0 )
М (x,y,z)
O
p
a b
( )
0
0
r r a b
r r a b
Векторное параметрическое
уравнение плоскости
Пусть даны точка M0 (x0,y0,z0), принадлежащая
плоскости p и два неколлинеарных вектора a (ma,na,pa) и b (mb,nb,pb), параллельных этой плоскости.
Для того, чтобы точка M0 принадлежала
плоскости p необходимо и достаточно,
чтобы векторы a и b и r - r0 были
компланарны, что равносильно равенству
нулю их смешанного произведения.
r0 r
0MMMMMM 31211
,,
0
zzyyxx
zzyyxx
zzyyxx
131313
121212
111
p
М1 (x1,y1 ,z1 )
М2 (x2,y2,z2 )
М3 (x3,y3,z3 )
М (x,y,z )
Если заданы три точки M1 (x1,y1,z1) , M2 (x2,y2,z2) , M3 (x3,y3,z3) , не
лежащие на одной прямой , то
уравнение плоскости, проходящей
через эти точки, можно получить из
условия компланарности векторов
M1 M2 , M1 M3 , M1 M .
(1) 0DCzByAx :p
D
p
Пусть требуется определить взаимное положение плоскости p
и прямой D
1) Прямая пересекает плоскость в одной точке :
(2) ptzz nt,yy mt,xx 000 D :
Подставляя x, y, z из уравнений (2) в (1), получим
0DCzByAxtCpBnAm 000 )(
Значения t из этого равенства определяют
точки прямой D , принадлежащие плоскости p .
0CpBnAm
2) Прямая параллельна плоскости и не лежит в ней :
0DCzByAx 0CpBnAm 000 ,
D
3) Прямая принадлежит плоскости :
D
0DCzByAx 0CpBnAm 000 ,
1
s
0
pnm
pnm
zzyyxx
222
111
121212
1 1 1 2 1 2: t : t D D
r r s r r s
1 2||
s s
M1(x1,y1,z1)
Пусть требуется определить взаимное расположение двух прямых D1 и D2
D2 2
sM2(x2,y2,z2)
D1
1) Прямые параллельны:
2) Прямые совпадают:
1 2 1 21 2 1 2|| || M M || M M
s s s s
3) Прямые пересекаются в одной точке: 1 21 2M M , , 0
s s
4) Прямые скрещиваются:
0
pnm
pnm
zzyyxx
222
111
121212
0r
0: tD
r r sРасчетная формула:
Расстояние от точки M1 до прямой D в пространстве
можно определить как высоту параллелограмма,
построенного на направляющем векторе s и разности
радиусов векторов точки M1 и точки M0, через которую
проходит прямая D.
s
M1 (x1,y1,z1)
D1
M0 (x0,y0,z0)
O
d
1r
0 1 1 0M M
r r
1 0( )
d
r r s
s1 0
( ) d
r r s s
22
22
22
21
21
21
212121
CBACBA
CCBBAA
cos
p2
0DzCyBxA
0DzCyBxA
2222
1111
Если заданы уравнения двух пересекающихся плоскостей :
Угол между двумя плоскостями равен углу между векторами N1 и N2 .
то угол между двумя плоскостями
определяется по формуле
p1 2
N
1 2
1 2
cos
N N
N N
Необходимое и достаточное условие
перпендикулярности плоскостей
0CCBBAA 212121
1
N
Величина угла между двумя прямыми D1 и D2 равна
углу между направляющими векторами s1 (m1,n1,p1) и
s2 (m2,n2,p2) этих прямых
Необходимое и достаточное условие перпендикулярности прямых
22
22
22
21
21
21
212121
pnmpnm
ppnnmm
cos
0ppnnmm 212121
@ Составить уравнение плоскости, которая проходит через ось Ox
и делит отрезок M1M2 с вершинами M1(-2,2,4) и M2(5,0,-1) в
отношении 1:4 Решение
3(5/4)(1/4)(-1)4
1zz
z
58
(5/4)(1/4)02
1yy
y
53
(5/4)(1/4)52-
1xx
x
M
210
210
210
0
?M1
p = 1/4
M2
M0
8 8: By Cz 0 B C3 0 C , B 3
5 5p
0z8y15
x
y
z