РАБОЧАЯ ПРОГРАММА абочая... · 2010-03-11 · Операции над...

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

Федеральное государственное образовательное

учреждение среднего профессионального образования

Тольяттинский политехнический колледж

(ФГОУ СПО ТПК)

УТВЕРЖДАЮ

Заместитель директора по УР

_____________ С.А.Гришина

13.03.2009г

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА

дисциплины

«Дискретная математика»

для специальности

230105 «Программное обеспечение вычислительной техники и

автоматизированных систем»

Тольятти, 2008

Электронный

экземпляр

1 Рабочая программа разработана Кондурар М.В.- преподавателем спец. дисциплин ФГОУ СПО ТПК

2 Введена впервые

3 Редакция №1 ____ ______________20___г.

Рецензент: _________________________________________________________________

(место работы, должность)

__________ ___________________ ____________________________________________

(дата) (личная подпись) (И.О.Фамилия)

Рецензент: _________________________________________________________________

(место работы, должность)

__________ ___________________ ____________________________________________

(дата) (личная подпись) (И.О.Фамилия)

ОДОБРЕНА

Протокол

от ___ _______20__г. № ____

Зав. ПЦК по специальности

__________ Л.Г. Светличная

___ ________ 20___г

СОГЛАСОВАНО

Методист

________ М.Ф.Ломанова

___ ________ 20___г

ФГОУ СПО ТПК

Рабочая программа дисциплины «Дискретная математика»

стр. 3 из 32

Содержание

1 Пояснительная записка ...........................................................................................4

2 Примерный тематический план .............................................................................7

3 Содержание дисциплины........................................................................................9

4 Планируемая самостоятельная работа студентов ................................................24

5 Структура оформления отчетных работ студентов .............................................26

6 Критерии оценки выполнения студентами отчетных работ ...............................27

7 Перечень рубежных точек контроля .....................................................................28

8 Материально-техническое оснащение дисциплины ............................................29

9 Контрольные вопросы по разделам .......................................................................30

10 Литература и средства обучения............................................................................32



стр. 4 из 32

1 Пояснительная записка

Рабочая программа учебной дисциплины «Дискретная математика»

предназначена для реализации государственных требований к минимуму содержания и

уровню подготовки выпускника по специальности 2203 «Программное обеспечение

вычислительной техники и автоматизированных систем», утверждённых

Минобразованием России: № 04-2203-Б от 8 февраля 2002г.

Рабочая программа дисциплины определяет общий объём знаний, подлежащих

обязательному условию студентом.

При составлении рабочей программы за основу была принята примерная

программа учебной дисциплины «Дискретная математика», утверждённая Управлением

среднего профессионального образования Минобразования России 24 сентября 2003 г.

Рабочим учебным планом для данной дисциплины определенно:

- объём обязательной нагрузки с учётом выделения часов из резерва составляет

90 часов (70 часов теории и 20 часов практических занятий);

- максимальная нагрузка на студента устанавливается в объеме 116 часов;

- дисциплина изучается в течение третьего семестра;

- промежуточная аттестация установлена в форме экзамена по завершению курса

в третьем семестре.

При составлении рабочей программы внесены изменения в объем материала

разделов:

− раздел 5 увеличен, а раздел 6 сокращен на 2 часа, с целью дать возможность

студентам закрепить знания по теории отображений и алгебре подстановок;

− раздел 10 сокращен на 2 часа с целью выделения времени для итоговой

аттестации.

Рабочая программа предусматривает две формы организации самостоятельной

работы студентов.

- самостоятельной аудиторной работы в виде выполнения заданий на

практических занятиях;

- самостоятельной внеаудиторной работы в виде завершения заданий,

выполненных студентами на практических занятиях.

Краткое содержание, объём часов, форма отчётности и контроля планируемой

самостоятельной работы даны в разделе 4 рабочей программы.

Для активизации самостоятельной работы, обеспечения реальной возможности её



стр. 5 из 32

выполнения рабочая программа предусматривает обязательное использование

методических пособий, перечень которых указан в списке литературы.

Текущий контроль усвоения студентами материала предусматривается в форме

проведения и приёма (защиты) отчётных работ, устного и письменного опроса по

контрольным вопросам, приведённым в разделе 7 рабочей программы.

По решению предметной комиссии для проведения семестрового контроля рабочей

программы предусмотрено проведение трех контрольных работ в третьем семестре.

Материал дисциплины «Дискретная математика» используется при изучении

дисциплин: «Основы алгоритмизации и программирования», «Архитектура ЭВМ и

вычислительных систем», «Базы данных», «Теория вероятностей и математическая

статистика», «Математические методы», «Технология разработки программных

продуктов», «Разработка и эксплуатация удаленных баз данных», «Пакеты прикладных

программ».

Дискретная математика является фундаментом математической кибернетики.

Аппарат дискретной математики необходим при создании и эксплуатации современных

ЭВМ, средств передачи и обработки информации, автоматизированных систем управления

и проектирования, поэтому знание основ данной дисциплины абсолютно необходимо для

современного специалиста в области информатики и вычислительной техники.

В результате изучения дисциплины студент должен:

иметь представление:

- о роли и месте знаний по дисциплине при освоении смежных дисциплин по

выбранной специальности и в сфере профессиональной деятельности;

- о значении и областях применения дискретной математики;

знать:

- аппарат алгебры логики и теорию булевых функций;

- основы теории множеств;

- логику предикатов и бинарных отношений;

- теорию отображений и алгебру подстановок;

- основы алгебры вычетов;

- простейшие криптографические шифры;

- метод математической индукции;

- методику генерирования основных комбинаторных объектов;

- основы теории графов и теории автоматов;



стр. 6 из 32

уметь:

- строить таблицы истинности для формул логики и упрощать формулы логики;

- представлять булевы функции в виде формул заданного типа, проверять

множество булевых функций на полноту;

- выполнять операции над множествами, применять аппарат теории множеств

для решения задач;

- выполнять операции над предикатами, записывать области истинности

предикатов, формализовывать предложения с помощью логики предикатов;

- исследовать бинарные отношения на заданные свойства;

- выполнять операции над отображениями и подстановками, выделять

структурные особенности отображений и подстановок;

- выполнять операции в алгебре вычетов;

- применять простейшие криптографические шифры для шифрования текстов;

- доказывать утверждения с помощью метода математической индукции;

- генерировать основные комбинаторные объекты;

- находить характеристики графов, выделять структурные особенности графов,

исследовать графы на заданные свойства, строить для графов структурные представления

заданных типов, применять аппарат теории графов для решения прикладных задач;

- строить автоматы с заданными свойствами.



стр. 7 из 32

2 Тематический план

Количество аудиторных

часов при очной форме

обучения

№

темы

Наименование разделов и тем

Макс.

учебная

нагрузка

студента,

час. Всего В т.ч.

практич.

занятия

Часы на

самостоятель

ную

внеаудиторн

ую работу

студента

1 2 3 4 5 6

Введение 1 1

Раздел 1

Формулы логики

12 9 2 3

1.1 Логические операции. Формулы

логики. Таблица истинности.

Дизъюнктивная и конъюнктивная

нормальные формы.

3 3

1.2 Законы логики. Равносильные

преобразования.

9 6 2 3

Раздел 2

Булевы функции

21 16 4 5

2.1 Функции алгебры логики. 10 8 2 2

2.2 Операция двоичного сложения.

Многочлен Жегалкина.

2 2

2.3 Полнота множества функций.

Важнейшие замкнутые классы Теорема

Поста

7 6 2 3

Раздел 3

Основы теории множеств

8 6 2 2

Раздел 4

Предикаты. Бинарные отношения.

9 6 2 3

4.1 Предикаты 7 4 2 3

4.2 Бинарные отношения 2 2

Раздел 5

Теория отображений и алгебра

подстановок

4 4

Раздел 6

Основы алгебры вычетов

8 8

Раздел 7

Простейшие криптографические

шифры

8 6 2 2

Раздел 8

Метод математической индукции

2 2

Раздел 9

Алгоритмическое перечисление

(генерирование) комбинаторных

объектов

9 6 2 3

Раздел 10

Основы теории графов

26 20 4 6

10.1 Неориентированные графы

15 12 2 3

10.2 Ориентированные графы

11 8 2 3



стр. 8 из 32

Раздел 11

Элементы теории автоматов

8 6 2 2

Всего по дисциплине 116 90 20 26



стр. 9 из 32

3 Содержание дисциплины

Введение

Предмет дискретной математики, его основные задачи и области применения.

Раздел 1 Формулы логики

Тема 1.1 Логические операции. Формулы логики. Таблица истинности.

Дизъюнктивная и конъюнктивная нормальные формы

Понятие высказывания. Основные логические операции (дизъюнкция,

произведение (конъюнкция), импликация, эквиваленция, отрицание). Понятие формулы

логики. Таблица истинности и методика ее построения. Тождественно-истинные

формулы.

Понятие элементарного произведения; понятие дизъюнктивной нормальной формы

(ДНФ). Методика построения таблицы истинности для ДНФ упрощенным методом.

Понятие элементарной дизъюнкции, понятие конъюнктивной нормальной формы (КНФ).

В результате изучения темы студент должен:


- о зарождении математической логики, о работах Аристотеля;

знать:

- основные логические операции;

- понятие формулы логики, понятие таблицы истинности формулы логики и

методику ее построения, понятие тождественно-истинной формулы;

- понятие дизъюнктивной нормальной формы (ДНФ), упрощенную методику

построения таблицы истинности для ДНФ;

- понятие конъюнктивной нормальной формы (КНФ).

Тема 1.2 Законы логики. Равносильные преобразования

Равносильные формулы. Законы логики. Методика упрощения формул логики с

помощью равносильных преобразований.

Практическое занятие №1 Формулы логики

Упрощение формул логики с помощью равносильных преобразований.



стр. 10 из 32



- о понятии теорема, противоположная теорема, обратная теорема;

знать:

- понятие равносильности двух формул логики;

- законы логики;

- методику упрощения формул логики с помощью равносильных

преобразований;

уметь:

- упрощать формулу логики с помощью равносильных преобразований.

Раздел 2 Булевы функции

Тема 2.1 Функции алгебры логики

Понятие булева вектора (двоичного вектора). Соседние векторы.

Противоположные векторы. Единичный N-мерный куб.

Понятие булевой функции (функции алгебры логики). Способы задания булевой

функции. Проблема представления булевой функции в виде формулы логики.

Понятие совершенной ДНФ. Методика представления булевой функции в виде

совершенной ДНФ.

Понятие совершенной КНФ. Методика представления булевой функции в виде

совершенной КНФ.

Понятие минимальной ДНФ. Соответствие между гранями единичного N-мерного

куба и элементарными произведениями. Методика представления булевой функции

(N<=3) в виде минимальной ДНФ графическим методом.

Практическое занятие №.2 Булевы функции

Представление булевой функции в виде совершенной ДНФ, совершенной КНФ,

минимальной ДНФ.



- о методике построения логических схем;



стр. 11 из 32

знать:

- понятие булева вектора, понятия соседних и противоположных булевых

векторов;

- понятие единичного N-мерного куба;

- понятие булевой функции (функции алгебры логики) и способы ее задания;

- понятие совершенной ДНФ, методику представления булевой функции в виде

совершенной ДНФ;

- понятие совершенной КНФ, методику представления булевой функции в виде

совершенной КНФ;

- понятие минимальной ДНФ, методику представления булевой функции (N<=3)

в виде минимальной ДНФ графическим методом;

уметь:

- изображать единичный N-мерный куб (с разметкой вершин булевыми

векторами) в случаях N= 1, 2, 3;

- представлять булеву функцию в виде совершенной ДНФ;

- представлять булеву функцию в виде совершенной КНФ;

- представлять булеву функцию (N<=3) в виде минимальной ДНФ графическим

методом.

Тема 2.2 Операция двоичного сложения. Многочлен Жегалкина

Операция двоичного сложения и ее свойства. Многочлен Жегалкина. Методика

представления булевой функции в виде многочлена Жегалкина.



- о том, что любую функцию можно представить в виде полинома Жегалкина;

знать:

- операцию двоичного сложения и ее свойства;

- методику представления булевой функции в виде многочлена Жегалкина.

Тема 2.3 Полнота множества функций. Важнейшие замкнутые классы.

Теорема Поста

Понятие выражения одних булевых функций через другие. Проблема возможности

выражения одних булевых функций через другие. Полнота множества функций.



стр. 12 из 32

Замыкание множества функций. Понятие замкнутого класса функций. Важнейшие

замкнутые классы: Т0 (класс функций, сохраняющих константу 0), Т1 (класс функций

сохраняющих константу 1), S (класс самодвойственных функций), L (класс линейных

функций), М (класс монотонных функций). Теорема Поста. Шефферовские функции.

Функция Шеффера и функция Пирса как простейшие шефферовские функции.

Практическое занятие № 3 Классы булевых функций

Проверка булевой функции на принадлежность к классам Т0, Т1, S, L, M; проверка

множества булевых функций на полноту.

Контрольная работа №1 Формулы логики и булевы функции

Решение задач по преобразованию логических выражений, представлению булевых

функций в виде КНФ и ДНФ, проверке множества булевых функций на полноту.



- о понятиях класс, разбиение, множество;

знать:

- понятие выражения одних булевых функций через другие;

- понятие полноты множества функций;

- понятие замкнутого класса, важнейшие замкнутые классы: Т0, Т1, S, L, M

(определения этих классов, методику проверки булевой функции на принадлежность к

этим классам);

- теорему Поста;

- понятие шефферовской функции: условие того, что функция является

шефферовской; функции Шеффера и Пирса;

уметь:

- проверять булеву функцию на принадлежность к классам Т0, Т1, S, L, M;

- проверять множество булевых функций на полноту (с помощью теоремы

Поста);

- проверять, является ли функция шефферовской.

Раздел 3 Основы теории множеств

Понятие множества. Конечные и бесконечные множества, пустое множество.

Подмножество; количество подмножеств конечного множества. Теоретико-



стр. 13 из 32

множественные диаграммы. Операции над множествами (объединение, пересечение,

дополнение, теоретико-множественная разность) и их свойства. Формула количества

элементов в объединении двух конечных множеств: | A ∩ B| = |A|+|B| - |A∩B|;

соответствующая для трех множеств. Декартово произведение множеств. Декартова

степень множества.

Соответствие между теоретико-множественными и логическими операциями.

Методика проверки теоретико-множественных соотношений с помощью формул логики.

Практическое занятие № 4 Основы теории множеств.

Решение задач на выполнение теоретико-множественных операций и на подсчет

количества элементов с использованием формулы количества элементов в объединении

нескольких конечных множеств.

В результате изучения раздела студент должен:


- о способах выражения одних операций через другие;

знать:

- понятие множества;

- понятие подмножества, формулу количества подмножеств конечного

множества;

- операции над множествами (объединение, пересечение, дополнение, разность,

декартово произведение, декартова степень) и их свойства;

- формулу количества элементов в объединении нескольких (двух, трех)

конечных множеств;

- соответствие между теоретико-множественными и логическими операциями;

- методику проверки теоретико-множественных соотношений с помощью

формул логики;

уметь:

- применять теоретико-множественные диаграммы;

- выполнять операции над множествами;

- решать задачи на подсчет количества элементов с использованием формулы

количества элементов в объединении нескольких конечных множеств;

- проверять теоретико-множественные соотношения с помощью формул логики.



стр. 14 из 32

Раздел 4 Предикаты. Бинарные отношения

Тема 4.1 Предикаты

Понятие предиката. Область определения и область истинности предиката.

Обычные логические операции над предикатами. Понятие предикатной формулы;

свободные и связанные переменные. Построение отрицаний к предикатам, содержащим

кванторные операции. Формализация предложений с помощью логики предикатов.

Практическое занятие №5 Предикаты.

Определение логического значения для высказываний типов ∀ х Р(х), ∃х Р(х), ∀ х

∃у Р(х, у), ∃х ∀ у Р(х, у); построение отрицаний к предикатом; формализация

предложений с помощью логики предикатов.



- о логическом следствии и равносильности предикатов;

знать:

- понятие предиката, понятие области определения и области истинности

предиката;

- операции над предикатами (обычные логические и кванторные);

- понятие предикатной формулы, понятие свободной переменной и связанной

переменной;

- методику построения отрицаний к предикатам, содержащим кванторные

операции.

уметь:

- записывать область истинности предиката;

- определять логическое значение для высказываний типов ∀ х Р(х), ∃х Р(х), ∀ х

∃у Р(х, у), ∃х ∀ у Р(х, у);

- выделять в предикатной формуле свободные переменные и связанные

переменные;

- строить отрицание к предикатам, содержащим кванторные операции;

- формализовывать предложения с помощью логики предикатов.

Тема 4.2 Бинарные отношения

Понятие бинарного отношения; примеры бинарных отношений. Диаграмма



стр. 15 из 32

бинарного отношения. Рефлексивные бинарные отношения. Симметричные бинарные

отношения. Транзитивные бинарные отношения. Отношения эквивалентности; теорема о

разбиении множества на классы эквивалентности.



- о бинарных отношениях порядка;

знать:

- понятие бинарного отношения;

- понятие рефлексивного бинарного отношения, симметричного бинарного

отношения, транзитивного бинарного отношения;

- понятие отношения эквивалентности, теорему о разбиении множества на

классы эквивалентности;

Раздел 5 Теория отображений и алгебра подстановок

Понятие отображения. Взаимнооднозначные (биективные) отображения. Операция

композиции отображений и ее свойства. Обратное отображение. Композиционная степень

отображения.

Диаграмма внутреннего отображения, заданного на конечном множестве; циклы.

Степенная последовательность элемента (а, f(a), f2(a), … , fn(a), …). Теорема о

зацикливании степенной последовательности элемента. Теорема о разбиении

взаимнооднозначного внутреннего отображения, заданного на конечном множестве, на

отдельные независимые циклы.

Понятие подстановки. Формула количества подстановок. Циклическое разложение

подстановки. Произведение подстановок. Обратная подстановка. Степень подстановки.

Методика решения простейших уравнений (ах=b, ха+b, axb=c) в алгебре подстановок.

Четные и нечетные подстановки, свойства четных и нечетных подстановок.



- о применении отображений в других областях науки;

знать:

- понятие отображения;

- понятие взаимнооднозначного (биективного) отображения;

- операцию композиции отображений и ее свойства;



стр. 16 из 32

- понятие обратного отображения, условие обратимости отображения;

- понятие композиционной степени отображения;

- структурные особенности диаграммы внутреннего отображения, заданного на

конечном множестве;

- теорему о зацикливании степенной последовательности элемента;

- теорему о разбиении взаимнооднозначного внутреннего отображения, заданном

на конечном множестве, на отдельные независимые циклы;

- понятие подстановки, формулу количества подстановок;

- циклическое разложение подстановки;

- операции над подстановками;

- методику решения простейших уравнений в алгебре подстановок;

- понятие четной подстановки и нечетной подстановки, свойства четных и

нечетных подстановок.

Раздел 6 Основы алгебры вычетов

Понятие вычета по модулю N; система вычетов по модулю N. Операции над

вычетами (сложение, вычитание, умножение) и их свойства. Обратимые вычеты; критерий

обратимости вычета; система обратимых вычетов по модулю N.

Контрольная работа №2 Множества, бинарные отношения и алгебра вычетов

Решение задач на выполнение теоретико-множественных операций, определение

логического значения высказываний. Решение задач в алгебре подстановок и алгебре

вычетов. Формализация предложений с помощью логики предикатов. Определение

свойств бинарных отношений.



- о наибольшем общем делителе;

знать:

- понятие вычета по модулю N;

- операции над вычетами и их свойства;

- понятие обратимости вычета, критерий обратимости вычета.

уметь:

- выполнять операции над множествами;

- определять логическое значение для высказываний;



стр. 17 из 32

- формализовывать предложения с помощью логики предикатов;

- проверять бинарное отношение на рефлексивность, симметричность,

транзитивность;

- находить композиции отображений и их свойства;

- решать простейшие уравнения в алгебре подстановок и алгебре вычетов;

- определять свойства подстановок.

Раздел 7 Простейшие криптографические шифры

Проблема криптографической защиты информации; понятие шифрования. Шифр

замены. Шифр Цезаря и шифр Виженера как частные случаи шифров замены.

Перестановочные шифры.

Практическое занятие № 6 Шифрование

Шифрование текста с помощью шифра замены или перестановочного шифра;

дешифровка шифротекста, зашифрованного заданным шифром.



- о тайнописи в России;

знать:

- понятие шифрования;

- принцип шифров замены; шифры Цезаря и Виженера;

- принцип перестановочных шифров;

уметь:

- применять простейшие шифры замены (в частности, шифр Цезаря и шифр

Виженера) для шифрования текста;

- применять перестановочные шифры для шифрования текста;

- осуществлять дешифровку шифротекста, зашифрованного заданным шифром

замены или заданным перестановочным шифром.

Раздел 8 Метод математической индукции

Принцип метода математической индукции. Некоторые разновидности

(модификации) метода математической индукции.



стр. 18 из 32



- о возможностях метода математической индукции;

знать:

- принцип метода математической индукции;

- некоторые разновидности (модификации) метода математической индукции.

Раздел 9 Алгоритмическое перечисление (генерирование) комбинаторных

объектов

Понятие алгоритмического перечисления (генерирования) элементов конечного

множества. Генерирование двоичных слов заданной длины. Генерирование элементов

декартова произведения множеств. Генерирование перестановок заданной длины.

Генерирование К- элементных подмножеств данного множества. Генерирование всех

подмножеств данного множества.

Практическое занятие № 7 Алгоритмическое перечисление

Генерирование комбинаторных объектов заданного типа.



- о генерировании подмножеств данного множества в порядке следования «коды

Грея»;

знать:

- понятие алгоритмического перечисления (генерирования) элементов конечного

множества;

- принцип генерирования двоичных слов заданной длины;

- принцип генерирования элементов декартова произведения множеств;

- принцип генерирования перестановок заданной длины;

- принцип генерирования К- элементных подмножеств данного множества;

- принцип генерирования всех подмножеств данного множества;

уметь:

- генерировать двоичные слова заданной длины;

- генерировать элементы декартова произведения множеств;

- генерировать перестановки заданной длины;

- генерировать К- перестановки подмножества заданного множества;



стр. 19 из 32

- генерировать все подмножества заданного множества.

Раздел 10 Основы теории графов

Тема 10.1 Неориентированные графы

Понятие неориентированного графа. Способы задания графа. Матрица смежности.

Путь в графе. Цикл в графе. Связный граф. Компоненты связности графа. Степень

вершины. Теорема о сумме степеней вершин графа. Полный граф; формула количества

ребер в полном графе.

Алгоритм фронта волны в графе. Методика выделения компонент связности в

графе. Мосты и разделяющие вершины (точки сочленения). Расстояние между вершинами

в графе; определение, свойства, методика нахождения. Эксцентриситет вершины. Радиус

и диаметр графа. Центральные вершины.

Двудольные графы. Методика проверки графа на двудольность. Полный

двудольный граф.

Изоморфные графы. Методика проверки пары графов на изоморфность.

Эйлеровы графы. Теорема Эйлера (критерий эйлеровости графа). Методика

нахождения эйлерова цикла в эйлеровом графе. Гамильтоновы графы.

Плоские графы. Грани плоской укладки плоского графа. Соотношения между

количествами вершин, ребер и граней в плоском графе. Примеры неплоских графов.

Деревья и их свойства. Кодирование Пруфера для деревьев с пронумерованными

вершинами кода Пруфера, восстановление дерева по коду Пруфера.

Практическое занятие № 8 Неориентированные графы

Решение задач на нахождение характеристик графа. Проверка графов на

двудольность, связность, изоморфность, эйлеровость, гамильтоновость, плоскость. Запись

для дерева с пронумерованными вершинами кода Пруфера, восстановление дерева по

коду Пруфера.



- об областях применения графов;

знать:

- понятие неориентированного графа и основные определения, связанные с ним;

- теорему о сумме степеней вершин графа;

- формулу количества ребер в полном графе;

- алгоритм фронта волны в графе;



стр. 20 из 32

- методику выделения компонент связности в графе;

- понятие моста и разделяющей вершины;

- понятие расстояния между вершинами в графе и методику его нахождения;

- понятие эксцентриситета вершины, радиуса графа, диаметр графа, центральной

вершины;

- понятие двудольного графа, методику проверки графа на двудольность,

понятие полного двудольного графа;

- понятие изоморфности двух графов, методику проверки пары графов на

изоморфность;

- понятие эйлерова графа, теорему Эйлера, методику нахождения эйлерова цикла

в эйлеровом графе;

- понятие гамильтонова графа;

- понятие плоского графа; соотношения между количествами вершин, ребер и

граней в плоском графе; простейшие примеры неплоских графов;

- понятие дерева, свойства деревьев;

- кодирование Пруфера для деревьев с пронумерованными вершинами;

уметь:

- записывать матрицу смежности для графа;

- находить количество ребер в графе (с помощью теоремы о сумме степеней

вершин графа);

- выделять компоненты связности в графе;

- определять, является ли данное ребро мостом или является ли данная вершина

разделяющей;

- находить расстояние между двумя вершинами в графе;

- находить эксцентриситеты вершин, радиус и диаметра графа;

- проверять, является ли данный граф двудольным;

- проверять, являются ли два данных графа изоморфными (в простейших

случаях);

- проверять, является ли данный граф эйлеровым; находить эйлеров цикл в

эйлеровом графе;

- проверять, является ли данный граф гамильтоновым (в простейших случаях);

- проверять, является ли данный граф плоским (в простейших случаях);

- записывать для дерева с пронумерованными вершинами его код Пруфера;

- восстанавливать по коду Пруфера дерево с пронумерованными вершинами.



стр. 21 из 32

Тема 10.2 Ориентированные графы

Понятие ориентированного (орграфа). Способы задания орграфа. Матрица

смежности для орграфа. Степень входа и степень выхода вершины. Источник. Сток.

Ориентированный путь. Ориентированный цикл (контур).

Понятие достижимости одной вершины из другой вершины в орграфе. Множество

достижимости вершины. Матрица достижимости. Эквивалентность

(взаимодостижимость) вершин в орграфе. Классы эквивалентных вершин. Диаграмма

Герца. Сильносвязный орграф.

Бесконтурные орграфы. Теорема о существовании источника и стока в

бесконтурном орграфе.

Эйлеровы орграфы. Критерий эйлеровости орграфа. Гамильтоновы орграфы.

Понятие ориентированного дерева. Понятие бинарного дерева. Дисбаланс вершины

в бинарном дереве. Кодирование бинарных деревьев. Понятие бинарного дерева

сортировки, методика его построения для заданной последовательности поступающих

элементов, использование его для организации хранения и поиска информации.

Практическое занятие №.9 Ориентированные графы

Запись матрицы достижимости и построение диаграммы Герца для

ориентированного графа; решение задач на бинарные деревья.



- о транспортных сетях;

знать:

- понятие ориентированного графа (орграфа) и основные определения, связанные

с ним;

- понятие достижимости вершин в орграфе, методику записи матрицы

достижимости орграфа;

- понятие эквивалентности вершин в орграфе, методику построения диаграммы

Герца для орграфа, понятие сильносвязного орграфа;

- понятие бесконтурного орграфа, теорему о существовании источника и стока в

бесконтурном орграфе;

- понятие эйлерова орграфа, критерий эйлеровости орграфа;

- понятие гамильтонова орграфа;

- понятие ориентированного дерева;



стр. 22 из 32

- понятие бинарного дерева, понятие дисбаланса вершины в бинарном дереве;

- кодирование бинарных деревьев;

- понятие бинарного дерева сортировки, методику его построения, использование

его для организации хранения и поиска информации;

уметь:

- записывать матрицу смежности для орграфа, находить степени входа и выхода

вершин, выделять в орграфе источники и стоки;

- находить множество достижимости вершины в орграфе, записывать матрицу

достижимости орграфа;

- выделять классы эквивалентных вершин в орграфе, строить для орграфа его

диаграмму Герца;

- проверять, является ли данный орграф эйлеровым;

- проверять, является ли данный орграф гамильтоновым (в простейших случаях);

- находить дисбаланс вершины в бинарном дереве;

- записывать код бинарного дерева;

- по коду восстанавливать бинарное дерево;

- строить бинарное дерево сортировки для заданной последовательности

поступающих элементов.

Раздел 11 Элементы теории автоматов

Базовые множества для автомата: входной алфавит, выходной алфавит, множество

состояний. Таблица автомата. Принцип работы автомата. Диаграмма автомата. Словарная

функция автомата. Финальная функция автомата. Правильный автомат (автомат Мура).

Упрощенный вид диаграммы для правильных автоматов. Автомат, распознающий

свойство слова, и его построение.

Практическое занятие № 10 Автоматы

Построение автоматов, распознающих заданные свойства слова.

Контрольная работа №3 Итоговая контрольная работа

Решение задач на выполнение теоретико-множественных операций, определение

логического значения высказываний. Решение задач в алгебре подстановок и алгебре

вычетов. Формализация предложений с помощью логики предикатов. Определение

свойств бинарных отношений. Нахождение характеристик графов. Определение вида

графа. Словарная функция автоматов.



стр. 23 из 32



- об автоматах Мили и Мура;

знать:

- базовые множества и принцип работы автоматов, диаграмму автомата;

- словарную и финальную функции автомата;

- понятие правильного автомата, упрощенный вид диаграммы для правильного

автомата;

- понятие автомата, упрощенный вид диаграммы для правильного автомата;

- понятие автомата, распознающего свойство слова;

уметь:

- по таблице автомата строить его диаграмму, по диаграмме автомата записывать

его таблицу;

- для заданного автомата по заданному входному слову записывать

соответствующее выходное слово;

- строить автомат, распознающий заданное свойство слова (для простейших

случаев свойства слова).



стр. 24 из 32

4 Планируемая самостоятельная работа студентов

Часы, планируемые на

самостоятельную работу

студентов

№

разде

ла Вид, название и краткое содержание задания

аудиторная внеаудиторн

ая

Форма отчетнос

ти и контроля

1 2 3 4 5

1

Расчетная работа №1.

Формулы логики.

Упрощение формул логики с помощью

равносильных преобразований.

Данная расчетная работа включает в себя

содержание практического занятия № 1.

2 3 Отчетная

работа №1,

проверка

работы,

оценка

2 Расчетная работа № 2.

Булевы функции. Классы булевых функций

Представление булевой функции в виде

совершенной ДНФ, совершенной КНФ,

минимальной ДНФ.

Проверка булевой функции на

принадлежность к классам Т0, Т1, S, L, M;

проверка множества булевых функций на

полноту.


содержание практических занятий № 2,3.


работа №2,

проверка

работы,

оценка

3 Расчетная работа № 3

Основы теории множеств

Решение задач на выполнение теоретико-

множественных операций и на подсчет

количества элементов с использованием

формулы количества элементов в

объединении нескольких конечных множеств.




работа №3,

проверка

работы,

оценка


Предикаты.

Определение логического значения для

высказываний типов ∀ х Р(х), ∃х Р(х), ∀ х ∃у

Р(х, у), ∃х ∀ у Р(х, у); построение отрицаний

к предикатом; формализация предложений с

помощью логики предикатов.




работа №4,

проверка

работы,

оценка


Шифрование

Шифрование текста с помощью шифра

замены или перестановочного шифра;

дешифровка шифротекста, зашифрованного

заданным шифром.




работа №5,

проверка

работы,

оценка



стр. 25 из 32


Алгоритмическое перечисление

Генерирование комбинаторных объектов

заданного типа.




работа №6,

проверка

работы,

оценка


Неориентированные графы. Ориентированные

графы.

Решение задач на нахождение характеристик

графа. Проверка графов на двудольность,

связность, изоморфность, эйлеровость,

гамильтоновость, плоскость. Запись для

дерева с пронумерованными вершинами кода

Пруфера, восстановление дерева по коду

Пруфера. Запись матрицы достижимости и

построение диаграммы Герца для

ориентированного графа; решение задач на

бинарные деревья.


содержание практических занятий № 8.9.


работа №7,

проверка

работы,

оценка


Автоматы

Построение автоматов, распознающих

заданные свойства слова.




работа №8,

проверка

работы,

оценка

Всего по дисциплине 20 26



стр. 26 из 32

5 Структура оформления отчетных работ студентов

Отчетная работа выполняется на листах формата А4.

Отчетная работа должна содержать титульный лист с указанием порядкового

номера работы, названия, данных студента и даты выполнения. Работа должна

оформляться в следующем порядке:

1 условие задачи;

2 решение задачи, содержащее все необходимые диаграммы, таблицы, теоремы,

расчеты.

3 ответ.



стр. 27 из 32

6 Критерии оценки выполнения студентами отчетных работ

Оценка «5» (отлично) ставится, если студент правильно понимает сущность

изучаемых закономерностей, методов, теорем; правильно формулирует понятия,

указывает все свойства тех или иных объектов изучения; если работа выполнена

полностью, без ошибок, с указанием всех необходимых теорем, свойств, законов,

пояснений; схемы, графики, диаграммы выполнены точно; сделаны необходимые выводы.

Оценка «4» (хорошо) ставится, если работа студента удовлетворяет основным

требованиям к работе на оценку «5», но в ней допущены одна ошибка или не более двух

недочетов; допущены ошибки в диаграммах; работа выполнена небрежно; выводы из

полученных расчетных данных сделаны недостаточно полно.

Оценка «3» (удовлетворительно) ставится, если студент правильно понимает

сущность изучаемых методов, понятий, теорем, законов, но в знаниях имеются пробелы,

не мешающие выполнению основных требований, предусмотренных программой; если

студент правильно выполнил не менее 2/3 всей работы или допустил не более одной

грубой ошибки и двух недочетов, не более одной грубой и одной негрубой ошибки, не

более трех негрубых ошибок, одной негрубой ошибки и трех недочетов, при наличии

четырех-пяти недочетов.

Оценка «2» (неудовлетворительно) ставится, если студент выполнил менее 2/3

работы или допустил больше ошибок и недочетов, чем необходимо для оценки «3»; не

усвоил основные закономерности и понятия по курсу учебной дисциплины.



стр. 28 из 32

7 Перечень рубежных точек контроля

Название точки рубежного контроля

(тема, раздел) Форма проведения

1 Формулы логики Тестирование

Фронтальный опрос

2 Булевы функции Контрольная работа по вариантам

Тестирование

3 Основы теории множеств Тестирование


4 Предикаты. Бинарные отношения Тестирование


5 Теория отображений и алгебра

подстановок



6 Основы алгебры вычетов Контрольная работа по вариантам


7 Простейшие криптографические шифры Тестирование


8 Метод математической индукции Тестирование

Самостоятельная работа по вариантам

9 Алгоритмическое перечисление

(генерирование) комбинаторных объектов


10 Основы теории графов Тестирование


11 Элементы теории автоматов Фронтальный опрос



стр. 29 из 32

8 Материально-техническое оснащение дисциплины 1 Технические средства обучения

- Геометрические инструменты.

- Таблицы.

- Справочный материал.

- Микрокалькулятор.

2 Учебно-наглядные пособия

2.1 Плакаты:

- Булевы функции.

- Операции над множествами.

- Свойства бинарных отношений.

2.2 Методические указания для использования на практических занятиях

3 Раздаточный материал

- Индивидуальные карточки заданий.

- Тесты.

- Контрольные работы.



стр. 30 из 32

9 Контрольные вопросы по разделам

Раздел 1

1 Понятие высказывания.

2 Основные логические операции.

3 Формулы логики.

4 Виды формул.

5 Дизъюнктивная нормальная форма (ДНФ).

6 Конъюнктивная нормальная форма (КНФ).

7 Равносильность двух формул логики. Законы логики.

Раздел 2

8 Булев вектор.

9 Булева функция. Основные булевы функции.

10 Совершенная дизъюнктивная нормальная форма (СДНФ).

11 Совершенная конъюнктивная нормальная форма (СКНФ).

12 Минимальная дизъюнктивная нормальная форма (МДНФ).

13 Многочлен Жегалкина.

14 Полнота множества функций.

15 Замыкание множества функций. Основные замкнутые классы. Теорема Поста.

Раздел 3

16 Множество. Подмножество.

17 Операции над множествами.

18 Свойства операций над множествами.

19 Теоретико-множественные и логические операции, их связь.

Раздел 4

20 Предикат.

21 Операции над предикатами. Предикатная формула.

22 Следование и равносильность предикатов.

23 Бинарное отношение.

24 Свойства бинарных отношений.

25 Отношение эквивалентности.

Раздел 5

26 Отображение. Виды отображений.

27 Композиция отображений. Обратное отображение.

28 Подстановка.

29 Операции над подстановками.

30 Четные и нечетные подстановки.

31 Степень подстановки.



стр. 31 из 32

32 Алгебра подстановок.

Раздел 6

33 Вычет по модулю N.

34 Операции над вычетами.

35 Обратимый вычет.

36 Алгебра вычетов.

Раздел 7

37 Шифрование.

38 Шифры замены.

39 Перестановочные шифры.

Раздел 8

40 Метод математической индукции.

Раздел 9

41 Алгоритмическое перечисление подмножеств данного множества.

42 Алгоритмическое перечисление перестановок.

43 Алгоритмическое перечисление двоичных слов заданной длины.

Раздел 10

44 Неориентированные графы.

45 Характеристики неориентированных графов.

46 Связный граф.

47 Двудольный граф.

48 Эйлеровы и гамильтоновы графы.

49 Плоские графы.

50 Изоморфные графы.

51 Деревья.

52 Код Пруфера.

53 Ориентированный граф.

54 Связный орграф. Диаграмма Герца.

55 Эйлеровы и гамильтоновы орграфы.

56 Ориентированное дерево.

57 Бинарное дерево.

58 Бинарное дерево сортировки.

Раздел 11

59 Автомат.

60 Правильный автомат.



стр. 32 из 32

10 Литература и средства обучения

1 Гончарова Т. А., Мочалин А. А., «Элементы дискретной математики» -М: Форум

ИНФРА – М, 2003 г.

2 Ерусалимский Я.М. «Дискретная математика»-М.:Вузовская книга, 2001 г.

3 Новиков Ф. А. «Дискретная математика для программистов»-СПБ: Питер, 2001 г.

4 Лавров И. А., Максимова Л. А. «Задачи по теории множеств, математической

логике и теории алгоритмов»-М: Физматлит, 2001 г.

5 Москинова Г.И. «Дискретная математика»-М: Логос, 2004 г.

6 Спирина М.С., Спирин П.А. «Дискретная математика»-М: Издательский центр

“Академия”, 2004 г.

7 Хаггарти Р. «Дискретная математика для программистов»-М: Техносфера, 2003 г.

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА абочая... · 2010-03-11 · Операции над...

Documents

Transcript of РАБОЧАЯ ПРОГРАММА абочая... · 2010-03-11 · Операции над...