A SZABÁLYOS TESTEK A SZABÁLYOS TESTEK GÖMBI VETÜLETEIGÖMBI VETÜLETEI

Kuczmann ErikaKuczmann Erika

A vetítés soránA vetítés során

az egyenesekből gömbi főkörök az egyenesekből gömbi főkörök leszneklesznek

az egyenes szakaszokból az egyenes szakaszokból ----> > főkörívekfőkörívek

a tükrözés közzéppontjául célszerű a tükrözés közzéppontjául célszerű a tükörközéppontot választania tükörközéppontot választani

Hogyan szerkeszthetjük meg a Hogyan szerkeszthetjük meg a szabályos testek gömbi vetületeit?szabályos testek gömbi vetületeit?

1. T1. Tetraéderetraéder 4 csúcsa és 6 éle 4 csúcsa és 6 éle

vanvan a vetület a a vetület a

gömbfelszínt 4 gömbfelszínt 4 egybevágó szabályos egybevágó szabályos háromszögre bontjaháromszögre bontja

Minden csúcsban 3 Minden csúcsban 3 egybevágó szög egybevágó szög találkozik-találkozik--> egy -> egy szög nagysága 120°szög nagysága 120°

A szerkesztés menete A szerkesztés menete (tetraéder)(tetraéder)

1. Rajzolunk egy szabályos 1. Rajzolunk egy szabályos háromszöget, melynek minden háromszöget, melynek minden oldala 60 fok,oldala 60 fok,

2. polárháromszög 2. polárháromszög –> megadja a > megadja a tetraéder vetületének egyik oldaláttetraéder vetületének egyik oldalát

3. ezt a háromszöget tengelyesen 3. ezt a háromszöget tengelyesen tükrözzük az oldalára tükrözzük az oldalára –> > megkapjuk a többi 3 oldallapot.megkapjuk a többi 3 oldallapot.

2. Oktaéder2. Oktaéder 6 csúcsa és 12 éle van,6 csúcsa és 12 éle van, a hálót 8 szabályos a hálót 8 szabályos

háromszög alkotjaháromszög alkotja–>befedik a gömbfelszínt.>befedik a gömbfelszínt.

Minden csúcsban 4 Minden csúcsban 4 egybevágó szög egybevágó szög találkozik találkozik –>> egy egy nagysága : 360:4 nagysága : 360:4 ==90°90°

a kiegészítő szög oktánsa kiegészítő szög oktáns a gömbvetület 3 főkörből a gömbvetület 3 főkörből

áll.áll.

3. Ikozaéder3. Ikozaéder

12 csúcsa és 30 12 csúcsa és 30 éle van, 20 éle van, 20 szabályos szabályos háromszög alkotjaháromszög alkotja

minden csúcsban minden csúcsban 5 egybevágó 5 egybevágó háromszög háromszög találkoziktalálkozik

egy szög 72°egy szög 72°

A szerkesztés menete A szerkesztés menete (ikozaéder(ikozaéder))

1.Rajzolunk egy 1.Rajzolunk egy szabályos szabályos háromszöget, háromszöget, melynek minden melynek minden oldala 108°,oldala 108°,

2. A polárháromszög 2. A polárháromszög –>> megadja az megadja az ikozaéder egy ikozaéder egy lapjának gömbi lapjának gömbi vetületétvetületét

20 ilyen háromszög 20 ilyen háromszög lefedi a gömbötlefedi a gömböt

4. Kocka (hexaéder4. Kocka (hexaéder))

8 csúcsa, 12 éle van, 8 csúcsa, 12 éle van, oldallapjai négyzetek,oldallapjai négyzetek,

A gömbfelszínt 6 A gömbfelszínt 6 egybevágó szabályos egybevágó szabályos négyszög fedi lenégyszög fedi le

minden csúcsban 3 minden csúcsban 3 szög találkozik szög találkozik –>> egy- egy-egy szög nagysága egy szög nagysága 360° :3 =120°360° :3 =120°

Hogyan szerkeszthetjük meg ezeket a Hogyan szerkeszthetjük meg ezeket a négyszögeket ?négyszögeket ?

Ötlet: osszuk ketté a Ötlet: osszuk ketté a négyszögeket egy négyszögeket egy átlójuk segítségével átlójuk segítségével két egyenlőszárú két egyenlőszárú háromszögre háromszögre –>> szögei: 60°, 60° és szögei: 60°, 60° és 120°120°

A polárháromszög A polárháromszög oldalainak negysága: oldalainak negysága: 180° - 60° =120°, 180° - 60° =120°, 180° - 60° = 120 ° , 180° - 60° = 120 ° , 180 ° -120 ° = 60 °.180 ° -120 ° = 60 °.

A kocka gömbi vetületeA kocka gömbi vetülete 1. megrajzoljuk a 1. megrajzoljuk a

háromszöget háromszöget –>polárháromszöget>polárháromszöget

2. a polárháromszög 2. a polárháromszög képét tengelyesen képét tengelyesen tükrözzük.tükrözzük.

a szimmetriatengely a szimmetriatengely –a polárháromszög alapja.

Megkapjuk a Megkapjuk a keresett keresett négyszöget.négyszöget.

5. Dodekaéder5. Dodekaéder

20 csúcsa, 30 éle van, 20 csúcsa, 30 éle van, hálóját 12 szabályos hálóját 12 szabályos ötszög határolja ötszög határolja

---->lefedik a teljes >lefedik a teljes gömbötgömböt

mindenc csúcsbanmindenc csúcsban 3egybevágó szög 3egybevágó szög keletkezik, nagyságuk keletkezik, nagyságuk 360° :3 =120°360° :3 =120°

Hogyan lehet ötszöget rajzolni?Hogyan lehet ötszöget rajzolni?

Hasonlóan, mint a kocka esetében, háromszögek segítségével: összekötjük az ötszög középontját a két szomszédos csúcsával -- > a kapott háromszög szögei :60°, 60° a 360 : 5 = 72 fok.

A polárháromszögben az oldalak hossza 120, 120 a 108 fok.

Megrajzoljuk a polárháromszöget

az eredeti háromszög --> az eredeti háromszög leghosszabb oldala az ikozaéder egyik éle.

Szabályos gömbi Szabályos gömbi mozaikokmozaikok