A Segota-financijska Matematika
description
Transcript of A Segota-financijska Matematika
-
FINANCIJSKA MATEMATIKA
Alemka egota
-
2
UDBENICI SVEUILITA U RIJECI
MANUALIA UNIVERSITAS STUDIORUM FLUMINENSIS
-
3
Copyright 2012.
ALEMKA EGOTA ISBN 978-953-7813-12-3
-
4
Doc. dr. sc. Alemka egota
FINANCIJSKA MATEMATIKA
EKONOMSKI FAKULTET U RIJECI
RIJEKA, 2012.
-
5
Doc. dr. sc. Alemka egota
FINANCIJSKA MATEMATIKA
Izdava:
Ekonomski fakultet Sveuilita u Rijeci
Recenzenti:
Prof. dr. sc. Maja Biljan-August, redoviti profesor
Ekonomskog fakulteta u Rijeci
Prof. dr. sc. Jasna Horvat, redoviti profesor
Ekonomskog fakulteta u Osijeku
Objavljivanje ovog sveuilinog udbenika odobrilo je Povjerenstvo za izdavaku djelatnost Sveuilita u Rijeci Odlukom Klasa: 602-09/12-01/23, Ur. broj: 2170-57-05-12-3 od 8. studenog 2012.
ISBN 978-953-7813-12-3
-
6
PREDGOVOR
Ovaj je udbenik nastao kao rezultat dugogodinjeg rada sa studentima Ekonomskog fakulteta u Rijeci i pokriva gradivo kolegija Financijska matematika koji
se predaje na treoj godini preddiplomskog studija. U poetku je to bio obvezni kolegij za smjer Financije i bankarstvo, a posljednjih godina nudi se kao izborni
kolegij za sve smjerove.
U razgovoru sa studentima doznala sam da izabiru ovaj kolegij zato to misle da e im sadraj kolegija biti koristan u buduem radu, a veina dolazi na Fakultet nakon zavrene gimnazije gdje nisu imali prilike sluati gradivo Financijske matematike. Zato sam odluila napisati e-udbenik koji e biti dostupan svima i koji e pokrivati gradivo kolegija, i uz to biti to je mogue razumljiviji, uz obilje rijeenih primjera.
Izvodi izraza koji se koriste u Financijskoj matematici prikazani su detaljno i
bez preskakanja koraka s ciljem da studenti to lake slijede matematiku logiku i razviju pravilan pristup rjeavanju problema koji openito nisu tako jednostavni. Nadam se da sam ovim udbenikom bar malo olakala rad studentima i svima onima kojima je iz bilo kojega razloga navedeno podruje zanimljivo. Zahvaljujem recenzenticama prof. dr. sc. Maji Biljan-August i prof. dr.sc.
Jasni Horvat kao i studentima Ekonomskog fakulteta u Rijeci na njihovim korisnim
sugestijama, primjedbama i prijedlozima. Zahvaljujem i prof. Marici Zrili koja je lektorirala ovaj udbenik.
U Rijeci, lipnja 2012. Alemka egota
-
7
SADRAJ
PREDGOVOR 6
SADRAJ 7
UVOD 8
1. OMJER I RAZMJER 8
1.1. Omjer 8
1.2. Razmjer 9
2. POSTOTNI I PROMILNI RAUN 11
3. NIZOVI 14
3.1. Pojam niza 14
3.2. Aritmetiki niz 15 3.3. Geometrijski niz 16
4. KAMATNI RAUN 16 4.1. Jednostavni kamatni raun s primjenom 17 4.2. Sloeni kamatni raun s primjenom 44
5. PERIODINE UPLATE I ISPLATE 64 5.1. Konana vrijednost periodinih uplata i isplata 64 5.2. Poetna (sadanja) vrijednost prenumerando i postnumerando isplata (renti) 68
5.3. Vjena renta 73
6. NEPREKIDNO UKAMAIVANJE 75
7. ZAJAM 79
7.1. Model otplate zajma jednakim anuitetima (dekurzivno) 79
7.2. Model otplate zajma dogovorenim jednakim anuitetima
(dekurzivo) 94
7.3. Model otplate zajma promjenjivim anuitetima (dekurzivno) 98
7.4. Konverzija zajma (dekurzivno) 109
7.5. Model otplate zajma jednakim anuitetima (anticipativno) 112
7.6. Model otplate zajma dogovorenim jednakim anuitetima
(anticipativno) 118
8. OCJENE FINANCIJSKE EFIKASNOSTI INVESTICIJSKOG
PROJEKTA 123
8.1. Neto sadanja vrijednost 125 8.2. Interna stopa profitabilnosti 127
8.3. Vrijeme povrata sredstava 130
PRIMJERI KREDITA IZ PRAKSE 132
LITERATURA 152
-
8
UVOD
Financijska matematika obuhvaa podruje ekonomske grane matematike koja obrauje probleme poslovanja, kapitala, rentabilnosti ulaganja, zajmova i dr.1 Naime, u svakodnevnom ivotu upravljamo osobnim financijama kako bismo osigurali optimalni raspored financijskih sredstava kojima raspolaemo s ciljem zadovoljavanja naih potreba. Vrijednost novca se tijekom vremena mijenja pa donoenje odgovarajuih odluka postaje jo tee. Ukoliko raspolaemo s vikom financijskih sredstava, zanima nas kako ih optimalno iskoristiti: uloiti ih u banku ili investirati npr. u nekretninu? Moda imamo mogunost ulaganja u projekt od kojega oekujemo znatan povrat! U suprotnom, ukoliko smo suoeni s nedostatkom financijskih sredstava, prisiljeni smo zatraiti zajam pod odreenim uvjetima. Da bismo mogli donijeti odluku o tome koji zajam je za nas najpogodniji, tj. Najjeftiniji,
moramo dobro procijeniti uvjete zajma budui da emo vraati iznos koji smo posudili (glavnicu) uvean za naknadu koritenja tuega novca (kamate) u odreenom vremenskom razdoblju koje u sluaju veih iznosa zajma i/ili visina kamatnih stopa znatno optereuju kuni budet.
Sa slinim se problemima suoavamo i u poslovnom svijetu. Naime, funkcije financija obuhvaaju tri vrste odluka koje menadment poduzea treba donijeti: odluku o investiranju, odluku o financiranju i odluku o dividendi (J. C. Van Horne,
1992.) Radi se o meusobno povezanim odlukama ija optimalna kombinacija osigurava dioniarima maksimalnu vrijednost poduzea. Maksimalna vrijednost poduzea predstavlja racionalno naelo poslovanja koje je nemogue ostvariti bez razmatranja vremenske vrijednosti novca. Isto vrijedi i za upravljanje kunim budetom.
U nastavku emo najprije dati kratak prikaz osnovnih matematikih pojmova i relacija koje se koriste u financijskoj matematici radi boljega razumijevanja izvoda
temeljnih izraza.
1. OMJER I RAZMJER
1.1. Omjer
esto u svakodnevnom ivotu mjerimo jednu veliinu u odnosu na drugu. Govorimo zapravo o omjeru dviju veliina a i b, odnosno a/b, to je jednako kvocijentu koji je jednak broju a podijeljenom s brojem b. Svojstva koja vrijede za
razlomke, kao to je npr. svojstvo koje kae da se vrijednost razlomka nee promijeniti ako brojnik i nazivnik podijelimo (ili pomnoimo) s istim brojem, vrijede i za omjere. Razlikujemo aritmetiki i geometrijski omjer. Aritmetiki omjer pokazuje koliko je neka veliina vea od druge dok geometrijski omjer pokazuje koliko je puta neka veliina sadrana u drugoj veliini.
U ovisnosti o tome sadri li omjer samo dva ili vie lanova, razlikujemo jednostavne od sloenih omjera. Tako npr. ukoliko imamo vie jednostavnih omjera mogue je doi do sloenog omjera na sljedei nain:
Ako vrijedi a : b = g
c : d = h
e : f = i,
1Hrvatski enciklopedijski rjenik
-
9
tada vrijedi ihgfdbeca :
Ukoliko su nam zadani produeni omjeri openito zadani naaa :...:: 21 ,
nbbb :...:: 21 ,, nccc :...:: 21 dobit emo sloene omjere oblika
nnn cbacbacba ...:...:...:... 222111 .
Ako je barem jedan lan omjera razlomljeni broj, omjer se mnoi dok se u suprotnom, ukoliko je mogue, omjer dijeli kako bi sadravao to je mogue manje brojeve kao lanove.
Primjer:
2 : 3 : 4 : 5
6 : 8 : 9 : 12
1 : 3 : 5 : 8
____________
8125:594:383:162
12 : 72 :180 : 480
Svaki od dobivenih lanova omjera moe se podijeliti s 12, to daje jednostavniji omjer koji je laki za uporabu:
1 : 6 : 15 : 40
1.2. Razmjer
Razmjer izraava jednakost dvaju omjera ili razlomaka. Tako npr. kaemo da su neka etiri broja proporcionalna ili jednakog razmjera ako je razlomak a/b jednak razlomku
c/d tj. d
c
b
a . Ponekad se ta jednakost pie u obliku razmjera kao: dcba :: . U
navedenom razmjeru lanovi a i d su vanjski, a b i c su unutarnji lanovi razmjera. U nastavku emo navesti korisna pravila koja vrijede za razmjere.
Pravilo 1:
Produkt vanjskih lanova razmjera jednak je produktu unutarnjih lanova razmjera.
Koristei pravilo 1, dolazimo do sljedee jednakosti:
bcad
Pravilo 2:
Razmjer vrijedi kad se njezin jedan vanjski i jedan unutarnji lan pomnoe ili podijele s istim brojem.
-
10
Koristei pravilo 2, moemo pisati sljedee jednakosti:
dkcbka :: kdckba :: dckbka :: kdkcba ::
Pravilo 3:
Razmjer ostaje valjan kad se svi njegovi lanovi potenciraju istim eksponentom.
Iz pravila 3 slijedi jednakost:
nnnn dcba ::
Pravilo 4:
Razmjer vrijedi ako dva unutarnja ili dva vanjska lana zamijene svoja mjesta.
Koristei pravilo 1 dolazimo do sljedeih valjanih razmjera:
dbca :: acbd ::
Pravilo 5:
Razmjer ostaje valjan ako se zbroj (razlika) lanova lijevog omjera odnosi prema zbroju (razlici) lanova desnog omjera kao to se odnose po redu lanovi lijevog omjera prema lanovima desnog omjera.
Koristei pravilo 5, dolazimo do sljedeih valjanih razmjera:
cadcba :)(:)( dbdcba :)(:)(
Pravilo 6:
Zbroj lanova lijevog omjera odnosi se prema zbroju lanova desnog omjera kao razlika lanova lijevog omjera prema razlici lanova desnog omjera.
Koristei pravilo 6, dolazimo do sljedeeg razmjera:
)(:)()(:)( dcbadcba
Ako se razmjer sastoji od vie od 4 lana, radi se o proirenom razmjeru, kao npr.
fedcba ::::
-
11
Pravilo 7:
Zbroj (razlika) lanova lijeve strane prema zbroju (razlici) lanova desne strane odnosi se kao lanovi kako dolaze po redu s lijeve strane prema lanovima desne strane.
Gornje pravilo moemo zapisati pomou razmjera kako slijedi:
dafedcba :)(:)(
eb :
fc :
Openito za razmjer oblika:
nn bbbaaa :...:::...:: 2121
slijedi:
112121 :)...(:)...( babbbaaa nn
22 : ba
nn ba :
2. POSTOTNI I PROMILNI RAUN
Ako od 100 uenika u nekoj koli 55 ine djevojice, znamo da je u toj koli 45 djeaka. Djevojica tada ima 55%, dok je djeaka 45%. Na ovom jednostavnom primjeru moemo zakljuiti da je postotni izraz zapravo skraena verzija objanjenja koliko se od ukupno 100 jedinica odnosi na neku odreenu veliinu. Osnovni elementi postotnog rauna su: postotak p, osnovna veliina S i postotni dio P. Postotak je broj jedinica koji se uzima od 100 jedinica neke veliine. Osnovna veliina je broj od kojega se izraunava postotak, dok je postotni iznos broj koji se dobije kada se od osnovne veliine S odredi dio naznaen danim postotkom.
Ako nas zanima koji se dio od ukupno 1000 jedinica odnosi na neku veliinu,
posluit e nam promilni raun. Krenut emo od osnovnog postotnog, odnosno
promilnog razmjera:
neka je S osnovna veliina, P postotni dio (promilni dio) te p postotak (promil). Tada se osnovna veliina odnosi prema sto jedinica kao to se postotni dio (promilni dio ) odnosi prema postotku (promilu), tj. vrijedi sljedei razmjer:
pPS :100: ili u sluaju promilnog rauna pPS :1000: .
-
12
Iz prethodnih razmjera slijede jednakosti postotnog (promilnog) rauna:
100
SpP
p
PS
100
S
Pp
100
1000
SpP
p
PS
1000
S
Pp
1000
U primjenama nam je esto poznata osnovna veliina uveana ili umanjena za postotni (promilni) dio i zanima nas koliko iznosi osnovna veliina ili postotni (promilni) dio. Da bismo mogli rijeiti takve primjere, krenut emo od osnovnog postotnog (promilnog) rauna i uz pomo pravila koja vrijede za razmjere doi do izraza za razmjer vie ili nie sto (tisuu):
ako u osnovnom postotnom razmjeru pPS :100: , odnosno osnovnom promilnom
razmjeru pPS :1000: zamijenimo unutarnje lanove, dobit emo valjani razmjer
oblika pPS :100: odnosno pPS :1000: .
Koristei pravilo 7, moemo ispisati sljedee jednakosti:
100:)100(:)( SpPS pPpPS :)100(:)( odnosno
1000:)1000(:)( SpPS pPpPS :)1000(:)(
koje osiguravaju izraze za osnovnu veliinu S i postotni dio P u postotnom raunu vie (nie) sto:
p
PSS
100
100)(
p
pPSP
100
)(
odnosno osnovnu veliinu S i promilni dio P u promilnom raunu vie(nie) tisuu:
p
PSS
1000
1000)(
p
pPSP
1000
)(
u promilnom raunu.
Primjer:
Nabavna cijena hlaa iznosi 206 kn to je za 15% manje od njihove prodajne cijene. Kolika je prodajna cijena hlaa?
Rjeenje:
S P = 206
-
13
p = 15
__________
S = ?
35,24285
20600
15100
100206
100
100)(
p
PSS
Prodajna cijena hlaa iznosi 242,35 kn.
Primjer:
Agencija je klijentu izdala raun uvean za proviziju od 5 na iznos od 25.345,00 kn. Koliki je iznos provizije?
Rjeenje:
S + P = 25.345,00
p = 5 _______________
P = ?
09,12651000
525345
1000
)(
p
pPSP
Provizija iznosi 126,09 kn.
U sljedeem emo primjeru vidjeti zato je potreban oprez kod zakljuivanja o postotku za koji se uveani iznos S+P treba smanjiti da bismo dobili osnovni iznos S i kako odrediti taj novi postotak.
Primjer:
Neka je marama prije poskupljenja od 20% kotala 100,00 kn. Kako je prodaja radi poskupljenja marame znatno opala, donijeta je odluka o vraanju cijene na staro. Za koliko e se posto nova cijena marame sniziti da bi opet kotala 100,00 kn?
Rjeenje:
S = 100
p1 = 20
________
p2 = ?
Nakon poskupljenja od 20% cijena marame S se uvea za postotni dio P, tj. jednaka je
120100
20100100PS .
-
14
Nova cijena od 120 kn se nakon nekog vremena umanjuje za nepoznati postotak kako
bi iznosila 100 kn. Taj nepoznati postotak oznait emo p2 i odrediti ga na sljedei nain:
SPSp
PS )(100
)( 2 iz ega u nekoliko koraka dolazimo do izraza za p2:
)(:)100
1)(( 2 PSSp
PS
PS
Sp
1001 2
)100(1100
2
PS
Sp
)1(1002PS
Sp
Nakon uvrtenja zadanih vrijednosti u gornji izraz dolazimo do konanog rjeenja:
66667,16)120
1001(1002p
Novi je postotak manji u odnosu na poetni jer je iznos na koji se primjenjuje vei u odnosu na poetni. Zato je potreban oprez kod zakljuivanja o postotku!
3. NIZOVI
3.1. Pojam niza
Niz je ureeni skup oblika ......,, 21 naaa i odreen je ako, sljedei neko
pravilo, svakom prirodnom broju n pridruimo broj na . Niz se simboliki zapisuje:
naaa ..., 21 .
Ako se niz sastoji od konanog broja lanova, radi se o konanom nizu, inae je niz beskonaan. To ne znai da se beskonanom nizu ne moe odrediti sljedei
lan, nego samo da lanova u nizu ima beskonano mnogo. Opi lan niza je broj na i
on je predstavnik odreenog niza. Niz u ovisnosti o tome kakve vrijednosti poprimaju njegovi lanovi moe biti rastui, padajui ili oscilirajui.
Primjer rastueg niza: 2nan , ...2,1n 3, 4, 5, 6
Primjer padajueg niza: 2
2
nan , ...2,1n ...
5
2,
4
2,
3
2
-
15
Primjer oscilirajueg niza: n
an
n
)1(1 , ...2,1n ...
5
4,
4
5,
3
2,
2
3,0
3.2. Aritmetiki niz
Neki nizovi imaju specifina obiljeja: ako je npr. razlika izmeu svaka dva susjedna lana niza stalna, kaemo da je niz aritmetiki.
Primjer aritmetikog niza: 3, 5, 7, 9, 11
Razlika izmeu dva susjedna lana je stalna i u gornjem primjeru iznosi 2. Openito se razlika d odreuje kako slijedi:
iiii aaaad 11 ...3,2,1i iz ega slijedi 112 iii aaa
Izraz za i-ti lan niza:
2
11 iii
aaa ...3,2,1i
Opi lan niza na mogue je izraziti pomou prvog lana i razlike niza na sljedei
nain:
daa 12
daddadaa
a
21123
2
daddadaa
a
32 1134
3
analogijom zakljuujemo da za opi lan niza na vrijedi sljedea jednakost
dnaan )1(1 , Nn .
Slijedi izraz za zbroj n lanova aritmetikog niza nS :
)(2
1 nn aan
S .
3.3. Geometrijski niz
Ukoliko je omjer svaka dva susjedna lana niza q stalan, niz je geometrijski.
Primjer geometrijskog niza: 3, 6, 12, 24, 48
-
16
Da bismo odredili izraz za opi lan geometrijskog niza kreemo od izraza za omjer q:
1
2
a
aq iz ega slijedi qaa 12
2
3
a
aq iz ega slijedi qaa 23
2
11 qaqqa
3
4
a
aq iz ega slijedi qaa 34
3
1
2
1 qaqqa
1n
n
a
aq iz ega slijedi qaa nn 1
1
1
nqa
Dakle, opi lan geometrijskog niza na moe se izraziti uz pomo prvog lana i
omjera kao:
1
1
n
n qaa .
Zbroj n lanova geometrijskog niza nS jednak je:
1
11
q
qaS
n
n .
4. KAMATNI RAUN
Kamata je rije grkog podrijetla: kamatos u prijevodu znai zarada, ali kako naglaava Giunio (2008;17) takoer i umor, muku, napor. Najee se pojam kamata objanjava kao naknada za raspolaganje tuim novcem. Njihova je uloga veoma vana i one predstavljaju instrument mikro i makro gospodarske politike. Najjednostavnija podjela kamata je ona koja kamate dijeli na ugovorne i zatezne, a
najee ju nalazimo u graanskim zakonima. Zbog praktine upotrebe navedena podjela nije dovoljna pa se kamate dijele prema razliitim kriterijima. Tako se npr. prema tome radi li se o zajmoprimcu ili zajmodavcu dijele na aktivne i pasivne.
Nadalje se kamate mogu podijeliti prema kriteriju stalnih ili promjenjivih kamatnjaka.
Razlikujemo i kamate koje se obraunavaju na mjenini iznos, za razliku od kamata koje se obraunavaju na glavnicu za vrijeme trajanja otplate zajma. U situacijama inflacije obraunava se realna kamata: kamata dobivena nominalnim kamatnjakom korigiranim za stopu inflacije. Ako traimo zajam, banka e nam osim nominalne kamatne stope na iznos odobrenog zajma obraunati neke dodatne trokove pa emo zajam dobiti po vioj cijeni nego to to odreuje nominalna kamatna stopa: radi se o efektivnoj kamatnoj stopi. Kamate za razdoblje od dana kada su doznaena sredstva
-
17
do trenutka stavljanja zajma u otplatu nazivaju se interkalarne kamate, ali o tome e biti vie rijei u poglavlju o zajmovima.
4.1 Jednostavni kamatni raun s primjenom
Ukoliko je zadana vrijednost glavnice C, tada emo iznos jednostavnih kamata K odrediti tako da koristei postotni raun odredimo postotni iznos na zadanu glavnicu. Jednostavne kamate se izraunavaju na dva naina: dekurzivno ili anticipativno i najee se obraunavaju kod financijskih poslova koji traju krae od godine dana.
Dekurzivni obraun kamata
Dekurzivnim nainom obraunavamo kamate tako da na kraju razdoblja ukamaivanja izraunamo kamate na glavnicu s poetka tog razdoblja. Primjerice, nakon to je protekla godina dana, obraunamo jednostavne kamate na glavnicu s poetka godine. Kamate se nakon toga ne pribrajaju glavnici, tj. glavnica ostaje nepromijenjena.
a) Kamatni raun od sto
Da bismo obraunali jednostavne kamate, koristimo postotni raun. Naime, onaj tko posuuje novac na koritenje nekoj osobi kao naknadu za taj ustupak dobiva dio od svakih sto novanih jedinica ili postotak. Kamate se zato raunaju tako da odreujemo postotni dio glavnice, u ovisnosti o tome koliki je zadani postotak. Budui da se postotni dio rauna na osnovnu veliinu, moemo poistovijetiti osnovne elemente kamatnog rauna i osnovne elemente postotnog rauna na sljedei nain:
glavnicu C i osnovnu veliinu S jednostavne kamate (uz dekurzivni obraun) K i postotni dio P godinji dekurzivni kamatnjak p(G) i postotak p.
Iz osnovnog postotnog razmjera
pPS :100:
slijede izrazi za postotni dio P, odnosno iznos kamata K:
100
pSP
100
)(GpCK
Izraz za kamate bi se mogao koristiti ukoliko bi vrijeme trajanja ukamaivanja bilo jedna godina. Razdoblje ukamaivanja je u praksi esto vee od jedne godine. Kako tada obraunati kamatu? Za prvu godinu jednostavne se kamate raunaju uz pomo izraza:
.100
)(GpCK
-
18
Za dvije godine je iznos jednostavnih kamata dvostruk u odnosu na jednostavne
kamate za jednu godinu (zato to je glavnica nepromijenjena, a vrijeme ukamaivanja je dvostruko dulje):
2100
)(GpCK .
Analognim razmatranjem zakljuujemo da je iznos jednostavnih kamata za n-tu godinu n-terostruk u odnosu na jednu godinu:
.100
)(n
GpCK
elimo li gornju jednakost prikazati u obliku omjera, podijelit emo ju sa )(Gpn
i dobiti:
100)(
C
Gpn
K
ili ju zapisati u obliku osnovnog razmjera za jednostavni kamatni raun od sto dobit emo sljedei izraz:
).)((:100: nGpKC
Usporedimo li gornji razmjer s osnovnim postotnim razmjerom, vidimo da se
razlikuju samo u tome to se u kamatnom raunu izraunavanje vri uzimajui u obzir i vrijeme, za razliku od postotnog rauna u kojem vrijeme nema nikakvu ulogu. Naime, kamatnjak je uvijek zadan za jedno vremensko razdoblje koje nazivamo
osnovno vremensko razdoblje.
Ako je glavnica C posuena uz kamatnu stopu p, nakon n godina zajmoprimac e zajmodavcu dugovati iznos glavnice C uvean za iznos kamata K. Kako je C iznos
koji je posuen na poetku, a nC iznos koji e biti plaen u budunosti, nazivamo ga
konana ili budua vrijednost glavnice
nC i izraunavamo ga kako slijedi:
nGpC
CKCCn100
)(
100
)(1
nGpCCn .
Primjer :
Kolika e biti konana vrijednost glavnice u iznosu od 10.000,00 kn ako je ukamaena dekurzivno na vrijeme od 1 godine uz godinji kamatnjak 5?
-
19
Rjeenje:
C = 10.000,00 kn
n = 1 g
p (G) = 5
_______________
?nC
100
)(1
nGpCCn
100
15100,000.10 05,0100,000.10 00,500.10
Konana vrijednost glavnice iznosit e 10.500,00 kn.
Iz osnovnog razmjera za jednostavni kamatni raun od sto moemo izraziti:
Kamate: 100
)( nGpCK Kamatnjak:
nC
KGp
100)(
Vrijeme: )(
100
GpC
Kn Glavnicu:
)(
100
Gpn
KC
Primjer:
Koliki iznos jednostavnih kamata donese glavnica od 5.000,00 kn ukamaena na 3 godine uz godinji kamatnjak 8? Ukamaivanje je dekurzivno.
Rjeenje:
C = 5.000,00 kn
p(G) = 8
n = 3 g
_____________
K = ?
100
)( nGpCK
100
3800,000.500,200.1
Jednostavne kamate iznose 1.200,00 kn.
Primjer:
-
20
Glavnica od 30.000,00 kn donese nakon 5 godina jednostavnih dekurzivnih kamata u
iznosu od 5.000,00 kn. Koliki je godinji kamatnjak?
Rjeenje:
C = 30.000,00 kn
K = 5.000,00 kn
n = 5 g
______________
p(G) = ?
nC
KGp
100)(
500,000.30
10000,000.53,3
Kamatnjak iznosi 3,3.
Primjer:
Za koliko mjeseci glavnica od 20.000,00 ukamaena dekurzivno uz godinji kamatnjak 10 donese jednostavnih kamata u iznosu od 6.000,00 kn?
Rjeenje:
C = 20.000,00 kn
p(G) = 10
K = 6.000,00 kn
______________
n = ?
)(
100
GpC
Kn 3
1000,000.20
10000,000.6
Vrijeme je izraeno u godinama, pa ga je potrebno pretvoriti u mjesece: 3g = 36 mjeseci.
Primjer:
Koliko je uloeno u banku prije 2 godine ako je danas obraunata kamata u iznosu od 18.930,00 kn uz godinji kamatnjak 6? Ukamaivanje je jednostavno, godinje i dekurzivno.
Rjeenje:
K = 18.930,00 kn
p(G) = 6
n = 2 g
______________
-
21
C = ?
)(
100
Gpn
KC
62
10000,930.1800,750.157
Prije dvije godine uloeno je 157.750,00 kn.
U nastavku emo prikazati osnovne razmjere koji se koriste kada se vrijeme izraava u danima i mjesecima. U naoj zemlji se najee koristi engleska metoda po kojoj se za broj dana u godini uzima 365 (odnosno 366 u sluaju prijestupne godine). Broj
dana se odredi kao umnoak nd 365 (odnosno nd 366 ). Tada je 365
dn
(odnosno 366
dn ) pa osnovni razmjer za jednostavni kamatni raun kada se vrijeme
izraava u danima izgleda ovako:
)365
)((:100:d
GpKC (odnosno )366
)((:100:d
GpKC )
Gornji se izraz moe zapisati jednostavnije:
))((:36500: dGpKC , a u sluaju prijestupne godine ))((:36600: dGpKC .
Ukoliko se koristi francuska ili njemaka metoda obrauna kamata, tada se za broj dana u godini uzima 360. Osnovni razmjer za jednostavni kamatni raun tada izgleda ovako:
))((:36000: dGpKC .
Slinim razmatranjem dobije se osnovni razmjer za jednostavni kamatni raun kada se vrijeme izraava u mjesecima. Budui da godina ima 12 mjeseci, broj mjeseci se
odredi kao umnoak nm 12 . Tada je 12
mn pa osnovni razmjer za jednostavni
kamatni raun kada se vrijeme izraava u mjesecima poprima sljedei oblik:
)12
)((:100:m
GpKC
Nakon pojednostavljenja slijedi konani oblik:
))((:12000: mGpKC .
Primjer:
-
22
Koliko je dana bila ukamaena glavnica od 15.500,00 ako je donijela 800,00 kn jednostavnih kamata uz godinji kamatnjak od 10 i godinje dekurzivno ukamaivanje?
Rjeenje:
C = 15.500,00 kn
K = 800,00 kn
p(G) = 10
______________
d = ?
Iz osnovnog razmjera izrazimo d i uvrstimo zadane vrijednosti:
)(
36500
GpC
Kd
1000,500.15
3650000,80038,188
Glavnica je bila ukamaena 188 dana.
U gornjem primjeru koristili smo se engleskom metodom obrauna kamata i pretpostavili smo da godina nije prijestupna, tj. da je broj dana u godini jednak 365.
Ukoliko se ne napomene kojom metodom e se vriti obraun, koristit e se engleska metoda. Takoer, ukoliko se ne navede tono koja je godina, pretpostavit emo da ona nije prijestupna.
Engleska, francuska i njemaka metoda razlikuju se ne samo u tome to razliito raunaju broj dana u godini nego i po tome to razliito raunaju broj dana u mjesecima.
Francuska metoda: godina ima 360 dana, a broj dana u svakom pojedinom mjesecu se
rauna prema kalendaru.
Njemaka metoda: godina ima 360 dana, a broj dana u svakom mjesecu je 30.
Engleska metoda: godina ima 365 ili 366 dana, a broj dana u svakom pojedinom
mjesecu se rauna prema kalendaru.
Primjer:
Poduzeu je odobren kratkoroni kredit za isplatu plaa u iznosu od 300.000,00 kn uz 6% godinjih kamata za vrijeme od 15.1. do 26.6. iste godine uz dekurzivni obraun kamata. Odredite iznos jednostavnih kamata prema:
a) francuskoj metodi
b) njemakoj metodi c) engleskoj metodi.
Rjeenje:
C = 300.000,00 kn
-
23
p(G) = 6
d = od 15.01. do 26. 06.
___________________
K = ?
Prvi je korak odrediti broj dana po svakoj od navedenih metoda:
METODA
BROJ DANA U MJESECU
UKUPNO Sijeanj Veljaa Oujak Travanj Svibanj Lipanj
francuska 16 28 31 30 31 26 162
njemaka 15 30 30 30 30 26 161
engleska 16 28 31 30 31 26 162
Treba naglasiti da se kod sve tri metode slijedi pravilo da se prvi datum ne uzima u
obraun za razliku od zadnjeg. Za na primjer to znai da se 15. dan u sijenju nije obraunao dok se 26. dan u lipnju uzeo u obraun.
Odredit emo iznose jednostavnih kamate primjenom svake od navedenih metoda:
a) prema francuskoj metodi:
000.36
)( fdGpCK 00,100.8
000.36
162600,000.300 kn
b) prema njemakoj metodi:
000.36
)( njdGpCK 00,050.8
000.36
161600,000.300 kn
c) prema engleskoj metodi:
04,989.7500.36
1626000.300
500.36
)( edGpCK kn
b) Kamatni raun vie i nie sto
U sluajevima kada nam je poznata vrijednost glavnice uveane ili umanjene za iznos kamata, a potrebno je odrediti vrijednost glavnice i/ili kamata koristimo kamatni
raun vie ili nie sto. Kreemo od osnovnog razmjera za jednostavni kamatni raun od sto:
))((:100: nGpKC
-
24
U nastavku se koriste pravila razmjera prikazana u prethodnom poglavlju koja govore
o tome kako iz poetnog razmjera doi do novih valjanih razmjera. Koristei pravilo 4 dolazimo do sljedeeg razmjera:
))((:100: nGpKC
Sada na gornji omjer primijenimo pravilo 5 i dolazimo do sljedeih razmjera:
100:))(100(:)( CnGpKC
))((:))(100(:)( nGpKnGpKC
Iz gornjih razmjera, koji vrijede kada je vrijeme zadano u godinama, slijede izrazi za
glavnicu C i kamate K:
nGp
KCC
)(100
100)(
nGp
nGpKCK
)(100
)()(
Ukoliko je vrijeme zadano u mjesecima glavnica i kamate odreuju se kako slijedi:
mGp
KCC
)(1200
1200)(
mGp
mGpKCK
)(1200
)()(
Za vrijeme izraeno danima koristimo sljedei izraz:
dGp
dGpKCK
)(500.36
)()(
U sluaju prijestupne godine izrazi za glavnicu i kamate su:
dGp
KCC
)(600.36
600.36)(
dGp
dGpKCK
)(600.36
)()(
Primjer:
Zajam od 8.000,00 kn, odobren 15. srpnja, dunik je vratio zajedno s pripadajuim jednostavnim kamatama od 7% godinje, to je ukupno iznosilo 8.350,00 kn. Kojega je datuma podmireno dugovanje ako je ukamaivanje dekurzivno?
Rjeenje:
C = 8.000,00 kn
p(G) = 7
C + K = 8.350,00 kn
_______________
-
25
datum = ?
K = (C + K) C = 8.350,00 8.000,00 = 350,00
)(
36500
GpC
Kd 125.228
7000.8
36500350228 dana
Da bismo odredili toan datum kada je vraen zajam raunamo 228 dana od 15. srpnja:
u srpnju 16 dana
u kolovozu 31 dan
u rujnu 30 dana
u listopadu 31 dan
u studenom 30 dana
u prosincu 31 dan
u sijenju 31 dan ________
Ukupno: 200 dana
228 dana 200 dana = 28 dana konaan datum: 28.veljae sljedee godine.
Primjer:
Nakon odbitka 6% kamata od zajma za razdoblje od 1. svibnja do 30. lipnja banka je
isplatila duniku ostatak od 30.450,00 kn. Koliko su iznosile jednostavne kamate ako je obraun bio godinji i dekurzivan?
Rjeenje:
C K = 30.450,00 kn p(G) = 6
d = od 1. svibnja do 30. lipnja = 60 dana (30 dana u svibnju i 30 dana u lipnju)
______________________________
K = ?
dGp
dGpKCK
)(500.36
)()(32,303
606500.36
606450.30
Jednostavne kamate su iznosile 303,32 kn.
Primjer:
Iznos uloen uz kamatnjak p za vrijeme od 30 mjeseci narastao je na 134. 567,00 kn. Isti iznos uloen uz godinji kamatnjak (p+1) % i jednostavno ukamaivanje nakon 24 mjeseca poveao se na 130.000,00 kn. Izraunajte koliki je iznos i pripadni godinji kamatnjak.
-
26
Rjeenje:
301m
242m
00,567.134)( 1KC kn
00,000.130)( 2KC kn
_____________________
00,567.1341200
30)(GpCC
1200
24)1)(( GpCC 130.000,00
_____________________________
00,567.13440
)(1
GpC
00,000.13050
1)(1
GpC
______________________________
00,567.13440
)(40 GpC
00,000.13050
1)(50 GpC
______________________________
Izrazit emo glavnicu C iz gornjih jednadbi:
)(40
4000,567.134
GpC
)(51
5000,000.130
GpC to nakon izjednaenja daje:
)(40
4000,567.134
Gp )(51
5000,000.130
Gp ili
5.382.680,00(51+p(G)) = 6.500.000,00(40+p(G))
274.516.680,00+5.382.680,00p(G) =260.000.000,00+6.500.000,00p(G)
14.516.680,00 = 1.117.320,00 p(G)
p(G) = 12.99 13
Dakle, kamatnjak iznosi priblino 13%. Da bismo doli do uloenog iznosa C, uvrstit emo dobiveni kamatnjak u prvi od dva gornja izraza za C:
-
27
00,560.1011340
4000,567.134C kn
tedni ulozi po vienju
"tednja predstavlja suzdravanje od potronje materijalnih dobara ili novca" (ego, 2008.,str. 112.). Nakon sklapanja ugovora o tednji izmeu banke i ulagaa, banka otvara raun po vienju i izdaje ulagau tednu knjiicu ili tekui raun i izdaje karticu.
Graani su stimulirani za tednju radi kamata, kao naknade za koritenje njihovog novca, koje e im banka isplatiti u odreenom vremenskom razdoblju. Banke nastoje privui to je vie mogue novca od graana kako bi u ulozi posrednika izmeu onih koji imaju vika novca i onih koji imaju manjka novca ostvarile to je mogue veu zaradu. Budui da su tedni ulozi kojima raspolae banka znatni, potrebno je radi smanjenja rizika od neuspjenih bankarskih ulaganja zatititi interes graana. Presudnu ulogu u tome ima Hrvatska narodna banka kao kontrolor rada banaka, a
drava preko Dravne agencije za sanaciju banaka jami za isplatu tednih uloga do odreenog iznosa koji se mijenja i trenutno iznosi 400 000 kuna. tedni ulozi se razlikuju po tome jesu li na raspolaganju ulagaima kada god oni ele ili su oroeni na odreeno vrijeme, tj. nedostupni za ulagae tijekom odreenog vremenskog razdoblja. U prvom sluaju radi se o tednim ulozima po vienju ili "a vista", a u drugom sluaju radi se o oroenim tednim ulozima. Banke veim iznosima kamata stimuliraju oroenu tednju graana.
U sljedeem primjeru emo izraunati ukupan iznos kamata na kraju godine za a vista depozit.
Primjer:
Koliki e iznos kamata Ana dobiti za 2007 godinu ako su na njezinoj tednoj knjiici tijekom godine upisani sljedei podatci:
DATUM ISPLATA UPLATA STANJE
10. 1. 2007. 2.500,00 2.500,00
18. 1. 2007. 1.000,00 1.500,00
8. 2. 2007. 4.500,00 6.000,00
10. 2. 2007. 3.000,00 3.000,00
5. 3. 2007. 1.000,00 2.000,00
21. 4. 2007. 3.800,00 5.800,00
1. 5. 2007. 1.000,00 6.800,00
18. 6. 2007. 4.800,00 2.000,00
20. 7. 2007. 3.500,00 5.500,00
3. 10. 2007. 2.000,00 3.500,00
8. 11. 2007. 500,00 4.000,00
24. 11. 2007. 3.000,00 1.000,00
Za odreivanje iznosa kamata na kraju godine na raspolaganju su nam dva naina:
1. nain obrauna kamata
-
28
Odredimo broj dana za svaku isplatu i uplatu od datuma isplate ili uplate do kraja
obraunskog razdoblja. Zatim izraunamo kamate jednostavnim kamatnim raunom. Iznos kamata jednak je razlici ukupnih kamata za sve uplate i ukupnih kamata za sve
isplate:
I UPLATA
U(i)
DATUM UPLATE UKAMAIVANJE OD DO
BROJ
DANA d(i)
1 2.500,00 10. 1. 2007. 10. 1. 31. 12. 2007. 355
2 4.500,00 8. 2. 2007. 8. 2. 31. 12. 2007. 326
3 3.800,00 21. 4. 2007. 21. 4. 31. 12. 2007. 254
4 1.000,00 1. 5. 2007. 1. 5. 31. 12. 2007. 244
5 3.500,00 20. 7. 2007. 20. 7. 31. 12. 2007. 164
6 500,00 8. 11. 2007. 8. 11. 31. 12. 2007. 53
Kamate uplata iznose:
58,12136500
3555500.21UK
96,20036500
3265500.42UK
22,13236500
2545800.33UK
42,3336500
2445000.14UK
63,7836500
1645500.35UK
63,336500
5355006UK
Zbroj svih kamata uplata iznosi:
.44,57063,363,7842,3322,13296,20058,121UK
Analogno izraunamo kamate svih isplata:
I ISPLATA
I(i)
DATUM ISPLATE UKAMAIVANJE od do
BROJ
DANA d(i)
1 1.000,00 18. 1. 2007. 18. 1. 31. 12. 2007. 347
2 3.000,00 10. 2. 2007. 10. 2. 31. 12. 2007. 324
-
29
3 1.000,00 5. 3. 2007. 5. 3. 31. 12. 2007. 301
4 4.800,00 18. 6. 2007. 18. 6. 31. 12. 2007. 196
5 2.000,00 3. 10. 2007. 3. 10. 31. 12. 2007. 89
6 3.000,00 24. 11. 2007. 24. 11. 31. 12. 2007. 37
Kamate isplata iznose:
53,4736500
3475000.12IK
15,13336500
3245000.32IK
23,4136500
3015000.13IK
88,12836500
1965800.44IK
38,2436500
895000.25IK
21,1536500
375000.36IK
Zbroj svih kamata isplata iznosi:
38,39021,1538,2488,12823,4115,13353,47IK
Ukupne jednostavne kamate K bit e jednake razlici ukupnih kamata uplata i ukupnih kamata isplata:
IU KKK = 570,44 390,38 = 180,06 kn
2. nain obrauna kamata
Za svako stanje se izraunaju dani koji su protekli od datuma tog stanja do datuma kada je nastupilo sljedee stanje. Za posljednje stanje raunaju se dani protekli od tog stanja do kraja obraunskog razdoblja, tj. do kraja godine. Za svako stanje se obraunaju pripadne jednostavne kamate, a njihov zbroj predstavlja ukupne kamate.
Stanje
)( iC
Datum stanja Ukamaivanje od do
Broj
dana d(i)
2.500,00 10. 1. 2007. 10. 1. 18. 1. 2007. 8
1.500,00 18. 1. 2007. 18. 1. 8. 2. 2007. 21
6.000,00 8. 2. 2007. 8. 2. 10. 2. 2007. 2
3.000,00 10. 2. 2007. 10. 2. 5. 3. 2007. 23
2.000,00 5. 3. 2007. 5. 3. 21. 4. 2007. 47
5.800,00 21. 4. 2007. 21. 4. 1. 5. 2007. 10
6.800,00 1. 5. 2007. 1. 5. 18. 6. 2007. 48
2.000,00 18. 6. 2007. 18. 6. 20. 7. 2007. 32
5.500,00 20. 7. 2007. 20. 7. 3. 10. 2007. 75
3.500,00 3. 10. 2007. 3. 10. 8. 11. 2007. 36
4.000,00 8. 11. 2007. 8. 11. 24. 11. 2007. 16
1.000,00 24. 11. 2007. 24. 11. 31. 12. 2007. 37
-
30
74,236500
85500.21K
32,436500
215500.12K
64,136500
25000.63K
45,936500
235000.34K
88,1236500
475000.25K
95,736500
105800.56K
71,4436500
485800.67K
77,836500
325000.28K
51,5636500
755500.59K
26,1736500
365500.310K
77,836500
165000.411K
07,536500
375000.112K
Konano, ukupne kamate iznose:
07,180... 12321
12
1
KKKKKKi
i kn.
Razlika od 1 lipe izmeu ukupnog iznosa kamata koje smo odredili na dva razliita naina posljedica je zaokruivanja pojedinih iznosa kamata i ne igra znaajnu ulogu. Kako smo vidjeli u prethodnom primjeru obrauna godinjih kamata, nain na koji smo doli do rjeenja nepraktian je i relativno dugotrajan, naroito ako se tijekom godine vri vei broj uplata, odnosno isplata. Zato se u praksi jednostavne ukupne kamate izraunavaju uz pomo kamatnih brojeva i divizora. Da bismo prikazali
navedeno, kreemo iz izraza za kamate za svaku glavnicu iC ukamaenu id dana uz
dekurzivni godinji kamatnjak p(G):
500.36
)( iii
dGpCK i = 1,2n.
Gornji se izraz moe zapisati u obliku dvojnog razlomka kako slijedi:
)(
365100
Gp
dC
K
ii
i = D
N i i = 1,2n.
Brojnik gornjeg dvojnog razlomka nazivamo kamatni broj i oznaavamo ga sa iN , a
njegov nazivnik je kamatni divizor oznaen sa D. Kamatni broj je vrijednost koja se
-
31
odreuje za svaku pojedinu glavnicu i pripadno vrijeme trajanja njezinog ukamaivanja, dok je kamatni divizor stalna vrijednost, odreena godinjim kamatnjakom i brojem dana u godini.
Kako su ukupne kamate uK jednake zbroju pojedinih kamata ,iK slijedi:
D
N
K
n
i
i
u1 .
Da bismo prikazali gornji nain obrauna jednostavnih kamata, vratit emo se prethodnom primjeru obrauna:
1. nain
Kreemo od izraunavanja kamatnih brojeva uplata iN i isplata *
iN :
100
111
dCN =
100
35500,500.2= 8.875,00 *1N
100
11dC = 00,470.3100
34700,000.1
100
222
dCN =
100
32600,500.4= 14.670,00 *2N
100
22dC = 00,720.9100
32400,000.3
3N
= 100
33dC =100
25400,800.3= 9.652,00
*
3N
100
33dC = 00,010.3100
30100,000.1
4N = 100
44dC =100
24400,000.1= 2.440,00
*
4N
100
44dC = 00,408.9100
19600,800.4
5N = 100
55dC =100
16400,500.3= 5.740,00
*
5N
100
55dC = 00,780.1100
8900,000.2
6N = 100
66dC =100
5300,500= 265,00
*
6N
100
66dC = 00,110.1100
3700,000.3
6
1
00,642.41i
iN
6
1
* 00,498.28i
iN
D=)(
365
Gp=
5
365= 73
Ukupne jednostavne kamate odredit emo pomou sljedeeg izraza:
-
32
D
NN
K i iii
u
6
1
6
1
*
= 05,18073
00,498.2800,642.41kn.
Drugi nain se od prvoga razlikuje u tome to se kamatni brojevi izraunavaju za svako stanje, a ukupne jednostavne kamate se zatim izraunaju pomou izraza:
D
N
K
n
i
i
u1
Raun mjenica
Mjenica je vrijednosni papir koji sadri obvezu fizike ili pravne osobe da tono utvrenog datuma isplati nekoj osobi odreeni iznos novca. Razlikujemo vlastite mjenice od trasiranih mjenica. Naime, vlastita mjenica sadri obvezu izdavatelja da e sam isplatiti mjenini iznos vjerovniku na datum koji je naveden na mjenici. U sluaju trasirane mjenice izdavatelj mjenice nalae nekoj drugoj osobi da na tono utvreni datum isplati vjerovniku mjenini iznos ili da to uini po njegovom nalogu. Mjenica se moe iskupiti ili prodati:
1. na datum koji je naveden na mjenici (datum dospijea mjenice) 2. prije datuma dospijea mjenice 3. nakon datuma dospijea mjenice.
Ukoliko se mjenica prodaje ili iskupljuje na datum dospijea mjenice, prodaje se ili isplauje mjenini iznos (nominalna vrijednost mjenice). Ako se mjenica prodaje ili iskupljuje prije datuma dospijea, prodaje se ili isplauje nominalni iznos mjenice umanjen za kamate (diskont).
Nakon dospijea mjenice ona se prodaje ili iskupljuje tako da se nominalnom iznosu pribrajaju kamate.
Kada se mjenica prodaje ili kupuje, banka ostvaruje zaradu tako da zaraunava proviziju od diskontirane vrijednosti mjenice kao i trokove koji nastaju prodajom odnosno kupovinom mjenice.
Primjer:
Mjenica glasi na 100.000,00 kn i dospijeva 24. lipnja. Kolika je njezina vrijednost:
a) 14. svibnja
b) 1. srpnja
iste godine, ako je godinji kamatnjak p(G) = 6?
Rjeenje:
a) Najprije emo izraunati kamate za vrijeme od 14. svibnja do 24. lipnja, tj. za 41 dan:
-
33
97,673500.36
41600,000.100
500.36
)( dGpCK kn
Da bismo odredili vrijednost mjenice na datum 14. svibnja (prije datuma dospijea) od nominalne vrijednosti mjenice oduzet emo pripadni iznos kamata:
100.000,00- 673,97 = 99.326,03 kn to predstavlja diskontiranu vrijednost mjenice.
b) Kamate za vrijeme od 24. lipnja do 1. srpnja, tj. za 7 dana iznose:
07,115500.36
7600,000.100
500.36
)( dGpCK kn.
Da bismo odredili vrijednost mjenice na datum 1. srpnja (nakon datuma dospijea), nominalnom iznosu mjenice pribrojit emo iznos kamata:
100.000,00 + 115,07 = 100.115,07 kn, to je jednako eskontiranoj vrijednosti mjenice.
Primjer:
Obraunajte prodaju mjenice na iznos od 25.000,00 kn plativu 24. listopada 2009. koju je poduzee prodalo banci 7. rujna uz 8% diskonta, 3 promila provizije i 50 kn trokova.
Uputa: Kako se provizija rauna od diskontirane vrijednosti mjenice, najprije odredimo diskontiranu vrijednost mjenice, a zatim dobivenoj vrijednosti pribrojimo
iznos provizije i trokove.
Rjeenje:
Kamate za razdoblje od 7. rujna do 24. listopada 2009., tj. za 47 dana:
53,257500.36
47800,000.25
500.36
)( dGpCK kn.
Izraunat emo diskontiranu vrijednost mjenice:
S = 25.000,00 257,53 = 24.742,47 kn.
Na diskontiranu vrijednost mjenice obraunava se provizija u promilima:
23,74000.1
347,742.24
000.1
)(GpSP kn.
Od diskontirane vrijednosti mjenice oduzet emo iznos provizije i bankarske trokove i dobiti vrijednost mjenice s datumom 7. 9. 2009. Navedeni koraci prikazani su u
tabeli koja slijedi.
-
34
a) Nominalni iznos mjenice
25.000,00
Datum dospijea
24. 10. 2009.
b) Iznos kamata (diskont 8 %) 257,53 7. 9. 2009.
c) Diskont.vrijednost mjenice (vrijednost mjenice
umanjena za iznos kamata)
24.742,47
(a b) 7. 9. 2009.
d) Iznos provizije (3 promila na diskontiranu
vrijednost mjenice)
74,23
e) Obraunati trokovi (bankarski trokovi) 50,00
f) Vrijednost mjenice (diskontirana vrijednost
mjenice umanjena za iznos provizije i trokova) 24.618,24
(c d e) 7. 9. 2009.
Primjer:
Poduzee 7. 9. podmiruje dugovanje u iznosu od 35.567,00 kn mjenicom plativom 13. 10. iste godine. Odredite nominalni iznos mjenice ako je godinji kamatnjak 5!
Rjeenje:
C K = 35.567,00 kn p(G) = 5
_________________
Da bismo odredili nominalni iznos mjenice, koristit emo kamatni raun nie sto jer je poznata nominalna vrijednost mjenice umanjena za kamatu za razdoblje od 7. 9. do
13. 10. iste godine.
Broj dana od 7. 9. do 13. 10. = 23 + 13 = 36
27,743.35365500.36
500.3600,567.35
)(500.36
500.36)(
dGp
KCC kn
U praksi se esto mjenica zamjenjuje novom mjenicom ili se nekoliko mjenica sa razliitim dospijeima zamjenjuje novom mjenicom. U takvim se sluajevima za novu mjenicu odreuje srednji rok plaanja koristei naelo ekvivalencije mjenica koje kae: dvije su mjenice ekvivalentne ako odreenog datuma imaju jednake diskontirane vrijednosti. Kod izraunavanja srednjeg dospijea odaberemo proizvoljni datum i nazivamo ga epoha. U nastavku emo prikazati kako se odreuje srednji rok plaanja (Reli, 2002).
Zadane su nominalne vrijednosti n mjenica nCCC ..., 21 koje dospijevaju za
nddd ..., 21 dana uz godinje kamatnjake )()...(),( 21 GpGpGp n
dok je srednji rok
plaanja d. Kamate za nominalni mjenini iznos iC , dospijee id i godinji
kamatnjak )(Gpi su jednake:
500.36
)( iiii
dGpCK
.
-
35
Kamate za nominalni mjenini iznos iC , srednji rok plaanja d i godinji kamatnjak
)(Gpi su jednake:
500.36
)(
dGpCK
ii
i
.
Naelo ekvivalencije kapitala 2 osigurava jednakost navedenih ukupnih kamata:
n
i
i
n
i
i KK11
iz ega slijede jednakosti:
500.36
)(
1
iiin
i
dGpC=
500.36
)(
1
dGpC iin
i
n
i
iii dGpC1
)(500.36
1
n
i
ii GpCd
1
)(500.36 ,
odakle nakon dijeljenja jednakosti s n
i
ii GpC1
)( slijedi izraz za srednji rok plaanja:
n
i
ii
n
i
iii
GpC
dGpC
d
1
1
)(
)(
Primjer:
Tri mjenice glase:
12.000,00 kn s dospijeem za 12 dana i ukamaivanjem 5% godinje, 14.000,00 kn s dospijeem za 14 dana i ukamaivanjem 6% godinje, 16.000,00 kn s dospijeem za 16 dana i ukamaivanjem 8% godinje.
Odredite za koliko dana dospijeva nova mjenica koja zamjenjuje sve tri mjenice i
jednaka je zbroju njihovih nominalnih vrijednosti!
Rjeenje:
Budui da sve tri mjenice zamjenjujemo jednom, najprije emo odrediti srednji rok plaanja:
2 Naelo financijske ekvivalencije kapitala temelji se na jednakosti
n
n rCC 0
-
36
)()()(
)()()(
332211
333222111
GpCGpCGpC
dGpCdGpCdGpCd =
800,000.16600,000.14500,000.12
16800,000.1614600,000.1412500,000.12=14.5 15 dana.
Nova mjenica na iznos od 42.000,00 kn (zbroj nominalnih vrijednosti triju mjenica
koje zamjenjuje: 12.000,00 + 14.000,00 + 16.000,00 = 42.000,00) dospijeva za 15
dana.
Ukoliko nam nije poznato za koliko dana dospijeva mjenica, nego znamo datum
dospijea mjenice, raunamo dane od epohe (koju sami odaberemo) do datuma dospijea pojedine mjenice. Sljedei primjer prikazuje navedeno.
Primjer:
Tri mjenice glase:
12.000,00 kn s dospijeem 3. 3. 2009. i ukamaivanjem 5% godinje 14.000,00 kn s dospijeem 4. 4. 2009. i ukamaivanjem 6% godinje 16.000,00 kn s dospijeem 5. 5. 2009. i ukamaivanjem 8% godinje. Te se mjenice zamjenjuju novom koja je jednaka zbroju njihovih nominalnih iznosa.
Odredite datum dospijea nove mjenice!
Rjeenje:
Odabrat emo epohu tako da ona bude jednaka datumu prve mjenice dakle 3. 3. 2008. Sada emo odrediti broj dana od epohe do datuma dospijea svake pojedine mjenice:
12.000,00 kn 3. 3. 2008. 3. 3. 2009. 0 dana 5% 14.000,00 kn 3. 3. 2008. 4. 4. 2009. 32 dana 6% 16.000,00 kn 3. 3. 2008. 5. 5. 2009. 63 dana 8%
U nastavku odreujemo broj dana:
n
i
ii
n
i
iii
GpC
dGpC
d
1
1
)(
)(
=)()()(
)()()(
332211
333222111
GpCGpCGpC
dGpCdGpCdGpC
800,000.16600,000.14500,000.12
63800,000.1632600,000.140500,000.1239,5 40 dana.
Da bismo odredili datum dospijea mjenice, brojimo 40 dana od datuma epohe:
3. 3. 2008. + 40 dana = 12. 4. 2009. (28 dana do 31. 3. 2009. + 12 dana u 4. mjesecu).
Ukoliko su vrijednosti kamatnjaka ili/i nominalnih iznosa mjenica jednaki, izraz za
srednji rok plaanja moe se znatno pojednostaviti. To e ubrzati i olakati postupak izraunavanja nepoznatih vrijednosti. U nastavku emo prikazati takve mogunosti.
-
37
a) Iznos nominalnih vrijednosti mjenica je jednak, tj. iC = C. Izraz za srednji rok
plaanja tada poprima sljedei oblik:
n
i
i
n
i
ii
n
i
i
n
i
ii
n
i
i
n
i
ii
Gp
dGp
GpC
dGpC
GpC
dGpC
d
1
1
1
1
1
1
)(
)(
)(
)(
)(
)(
n
i
i
n
i
ii
Gp
dGp
d
1
1
)(
)(
b) Mjenice imaju jednake nominalne vrijednosti, tj. iC = C, i kamatnjake, tj.
)(Gpi = p(G). Izraz za srednji rok plaanja tada poprima oblik:
n
d
GpC
dGpC
GpC
dGpC
d
n
i
i
n
i
n
i
i
n
i
i
n
i
ii
1
1
1
1
1
1)(
)(
)(
)(
n
d
d
n
i
i
1
U sljedeem primjeru prikazat emo kako se odreuje nominalni iznos mjenice kojom zamjenjujemo druge mjenice, a rok dospijea nove mjenice nalazi se unutar intervala rokova dospijea drugih mjenica:
Primjer:
Tri mjenice glase:
6.000,00 kn s dospijeem 6. 6. 2009. 7.000,00 kn s dospijeem 7. 7. 2009. 8.000,00 kn s dospijeem 8. 8. 2009.
i potrebno ih je zamijeniti novom mjenicom s dospijeem na datum 9. 7. 2009. Koji e nominalni iznos biti na novoj mjenici, ako je godinji diskont 10?
Rjeenje:
Rok dospijea nove mjenice je unutar intervala rokova dospijea mjenica koje ona zamjenjuje pa emo, radi boljeg razumijevanja, prikazati navedeno grafiki.
-
38
6.000,00 7.000,00 X 8.000,00
________.________________._______________.________________.____________
6.6. 7.7. 9.7. 8.8.
+ 2K
+ 1K - 3K
Mjenicama koje dospijevaju prije datuma 9. 7. 2009. emo odrediti iznose na taj datum tako da emo im uveati nominalne iznose za iznos pripadnih kamata, dok emo mjenici koja dospijeva nakon tog datuma umanjiti iznos za iznos pripadnih kamata. Najprije emo odrediti broj dana za svaku od mjenica:
1d = 6. 6. 9. 7. = 33 dana
2d = 7. 7. 9. 7. = 2 dana
3d = 9. 7. 8. 8. = 30 dana
Nastavljamo s odreivanjem nominalnog iznosa nove mjenice koristei naelo ekvivalencije:
500.36
301000,000.800,000.8
500.36
21000,000.700,000.7
500.36
331000,000.600,000.6X
X = 20.992,33 kn.
Anticipativni obraun kamata
Anticipativni obraun kamata je obraun kamata na poetku razdoblja ukamaivanja od glavnice s kraja tog razdoblja. Kako smo ve prije naglasili, pri obraunu jednostavnih kamata glavnica ostaje nepromijenjena, tj. kamate se ne pribrajaju
glavnici. Moemo rei da se kamate obraunavaju unaprijed, i to od konane vrijednosti nekog iznosa. To znai da e netko tko je na poetku razdoblja posudio neki iznos, kamate za raspolaganje tim iznosom platiti odmah, a iznos koji je posudio
vratit e na kraju razdoblja ukamaivanja. Uvest emo oznake koje su najee u literaturi: anticipativni godinji kamatnjak
q(G), jednostavne kamate K , dok e oznake za glavnicu, konanu vrijednost glavnice i vrijeme ostati iste kao u sluaju dekurzivnog obrauna kamata. Pokazat emo kako se u sluaju anticipativnog obrauna kamata odreuju jednostavne
kamate za n godina od glavnice nC , uz godinji anticipativni kamatnjak q(G):
Na poetku prve godine obraunavaju se kamate za jednu godinu:
.100
)(GqCK n
-
39
Kamate za dvije godine dvostruke su u odnosu na kamate za jednu godinu:
.100
)(2
GqCK n
Zakljuujemo da su kamate za n godina n-terostruko vee u odnosu na kamate za jednu godinu:
100
)(GqCnK n
.
Prethodni se izraz dijeljenjem sa nq(G) svodi na:
100)(
nC
Gqn
K ili u obliku omjera ))((:100: nGqKCn .
Taj se omjer naziva temeljni omjer za jednostavni kamatni raun od sto uz anticipativni obraun kamata.
Kako se radi o anticipativnom obraunu kamata, od glavnice s kraja razdoblja oduzimaju se kamate i dobije se glavnica s poetka tog razdoblja:
CKCn
U gornjem izrazu kamate emo izraziti preko glavnice s kraja razdoblja i tako dobiti vezu izmeu glavnice s poetka i glavnice s kraja razdoblja:
CnGqC
C nn100
)(
CnGq
Cn )100
)(1(
CnGq
Cn )100
)(100(
nGqCCn
)(100
100
.
Gornji izraz se odnosi na konanu ili buduu vrijednost glavnice uz jednostavni, anticipativni i godinji obraun kamata. Da bi se izraz mogao koristiti njegov nazivnik mora biti pozitivan i razliit od nule pa se postavlja ogranienje: q(G)n < 100.
-
40
Primjer:
Odredite kolika je bila glavnica prije 4 godine, ako je njezina sadanja vrijednost 12.000,00 kn, a godinji anticipativni kamatnjak q(G) = 4. Obraun kamata je jednostavan.
Rjeenje:
nC 12.000,00 kn
q(G) = 4
n = 4 g
_________________
C = ?
)100
)(100(
nGqCC n
)100
44100(00,000.12C = 00,080.10
100
8400,000.12 kn
Glavnica je iznosila 10.080,00 kn. elimo li provjeriti rjeenje, odredimo iznos pripadnih jednostavnih kamata:
100
)(GqCnK n 00,920.1
100
400,000.124 kn.
Provjera: KCC n = 12.000,00 1.920,00 = 10.080,00 kn.
U nastavku emo prikazati primjenu anticipativnog obrauna kamata na primjeru potroakog kredita.
Potroaki kredit je specijalan nain prodaje pri kojem kreditor odobrava korisniku neki iznos novca za kupnju odreene vrste robe ili usluge, a korisnik kredita se obavezuje da e otplatiti ustupljeni novani iznos, zajedno s pripadajuim kamatama, u dogovorenom vremenskom roku, jednakim ratama. Kreditor i korisnik kredita
zakljuuju ugovor u kojem se nalaze sljedei podaci: (Reli, 2002;111)
a) vrsta robe ili usluge
b) iznos odobrenog potroakog kredita C c) udjel u gotovini P
d) iznos godinjeg anticipativnog kamatnjaka q(G)
e) iznos ukupnih kamata K
f) ukupno dugovanje dunika 2C
g) iznos konstantne mjesene rate R h) nain vraanja kredita
Kako se odreuju pojedini elementi iz potroakog ugovora? Budui se u potroakom ugovoru odreuje udio u gotovini koji korisnik kredita odmah plaa,
-
41
najprije se od iznosa odobrenog potroakog kredita odredi taj dio kao postotni dio odobrenog kredita. Od odobrenog kredita C zatim se oduzme iznos udjela u gotovini
P i dobije se stvarni iznos kredita 1C . Od stvarnog iznosa kredita izraunaju se kamate
K i pribrajaju stvarnom iznosu kredita kako bismo dobili ukupno dugovanje 2C .
Ukupno dugovanje podijelimo s brojem mjeseci na koji je odobren potroaki kredit i dobijemo iznos mjesene rate R. Navedene korake opisat emo raunski:
1) 100
pCP
2) 1CPC
3) 100
1 kCK gdje je k kamatni koeficijent
4) 2C = KC1
5) m
CR 2
Da bismo doli do konanog izraza koji povezuje navedene elemente, kreemo od izraza za ukupno dugovanje iji je iznos jednak umnoku iznosa mjesene rate i broja mjeseci:
2C = KC1 = (C P )+ K =C (
PpC
100)+(
K
kC
100
1 )=C - 100
pC+
100
)100
(
1
kpC
C
C
C - 100
pC+
100
)100
( kpC
C
= Rm
mRkpC
C )100
1)(100
(
mRkp
C )100
1)(100
1(
Za potroaki kredit uz anticipativni obraun kamata jednostavne kamate se obraunavaju poetkom mjeseca tijekom razdoblja otplate kredita na ostatak
dugovanja iO . Dakle:
za 1. mjesec kamate iznose 200.1
)(
200.1
1)( 111
GqCGqOK
za 2. mjesec kamate iznose
)1
1(200.1
)(
200.1
)()1
1(
200.1
)()(
200.1
1)( 11
11
22
m
GqCGq
mCGq
m
CC
GqOK
za 3. mjesec kamate iznose
-
42
)
21(
200.1
)(
200.1
)()2
1(
200.1
)()2(
200.1
1)( 11
11
33
m
GqCGq
mCGq
m
CC
GqOK
za m-ti mjesec kamate iznose
200.1
)()1
1(
200.1
)())1((
200.1
1)( 11
1 Gqm
mCGq
m
CmC
GqOK mm
m
GqC
m
mmGqCK m
1
200.1
)()
1(
200.1
)( 11 .
Budui da su ukupne jednostavne kamate jednake zbroju kamata za svaki mjesec, moemo pisati:
m
GqC
m
GqC
m
GqCGqCK
1
200.1
)(...)
21(
200.1
)()
11(
200.1
)(
200.1
)( 1111
.
Primjeujemo da je desna strana gornjeg izraza zbroj m lanova aritmetikog niza. Da bismo odredili ukupne jednostavne kamate koristit emo izraz za zbroj m lanova aritmetikog niza:
)(2
1 mm aam
S
gdje je 1a prvi lan aritmetikog niza, ma zadnji lan aritmetikog niza. Prvi lan
aritmetikog niza je 200.1
)(1 GqC , a zadnji njegov lan jednak je m
GqC 1
200.1
)(1 . Dakle,
ukupne jednostavne kamate su jednake:
)1(400.2
)(
400.2
)(
400.2
)()
1
200.1
)(
200.1
)((
2
11111 mGqCGqCGqCm
m
GqCGqCmK
konano:
)1(400.2
)(1 mGqC
K
Za 1001C iznos ukupnih kamata iznosi: kmGq
mGq
K )1(24
)()1(
400.2
)(100,
gdje je k kamatni koeficijent ije je znaenje:
)1
200.1
)(
200.1
)((
2
11
m
GqCGqCmK
-
43
Kamatni koeficijent predstavlja iznos ukupnih jednostavnih kamata na potroaki kredit od 100 novanih jedinica za razdoblje od m mjeseci i anticipativni godinji kamatnjak q(G) i jednak je:
)1(24
)(m
Gqk
.
Primjer:
Trgovako poduzee odobrilo je potroaki kredit u iznosu od 15.000,00 kn za kupovinu bijele tehnike uz sljedee uvjete:
a) udjel u gotovini iznosi 15 %
b) kredit je odobren na godinu dana
c) primjenjuje se godinji anticipativni kamatnjak 8.
Izraunajte mjesene rate potroakog kredita.
Rjeenje:
C = 15.000,00 kn
p = 15
q(G) = 8
m = 12
_____________
R = ?
33333,424
)112(8)1(
24
)(m
Gqk . Iznos mjesene rate izrazit emo pomou
izraza koji povezuje sve elemente potroakog kredita:
mRkp
C )100
1)(100
1(
m
pC
R
)100
11)(
1001(
54,108.112
)100
33333,41)(
100
151(00,000.15
kn.
Mjesena rata potroakog iznosi 1.108,54 kn. Zbog praktinosti obrauna za mjesenu ratu uzima se samo cjelobrojni dio iznosa 1.108,00, a decimalni dio mjesene rate 0,54 pomnoi se s brojem mjeseci i tako dobiveni iznos pribroji se prvoj ili zadnjoj mjesenoj rati. To znai da e se potroaki kredit otplaivati mjeseno u iznosu od 1.108,00 kn, a prva ili zadnja mjesena rata e iznositi 1.108,00 + 12 0,54 = 1.114,48 kn.
-
44
Primjer:
Obitelj razmilja o uzimanju potroakog kredita za namjetaj, ali ne moe odluiti u kolikom iznosu. Raunajui trokove ivota, zakljuili su da bi mogli mjeseno tijekom godine dana otplaivati iznos do visine od 900,00 kn. Izraunajte iznos kredita koji bi obitelj mogla zatraiti. Uvjeti su:
a) udjel u gotovini iznosi 20 %
b) kredit je odobren na godinu dana
c) primjenjuje se godinji anticipativni kamatnjak 10.
Rjeenje:
p = 20
q(G) = 10
m = 12
R = 900,00
__________
C = ?
Kreemo od izraza mRkp
C )100
1)(100
1( . Najprije odredimo iznos kamatnog
koeficijenta: 41666,524
)112(10)1(
24
)(m
Gqk . Nastavljamo s odreivanjem
iznosa kredita:
33,806.12
)100
41666,51)(
100
201(
12900
)100
1)(100
1(kp
mRC kn.
Obitelj bi mogla zatraiti kredit za namjetaj u iznosu od 12.806,33 kn.
4.2 Sloeni kamatni raun s primjenom
Sloeni kamatni raun primjenjuje se kod kapitalizacije dulje od godine dana, a kamate se obraunavaju od glavnice i zatim se toj glavnici pribrajaju. Radi se o ukamaivanju pri kojem se glavnica na kraju razdoblja uveava za iznos kamata pa se zapravo kamate u sljedeem obraunavaju i na glavnicu i na kamate. Obraun kamata moe biti dekurzivan ili anticipativan.
Dekurzivni obraun kamata
Dekurzivnim nainom obraunavamo kamate tako da na kraju razdoblja ukamaivanja izraunamo kamate na glavnicu s poetka tog razdoblja. Za razliku od jednostavnog obrauna kamata kada se kamate nakon toga ne pribrajaju glavnici (tj.
-
45
glavnica ostaje nepromijenjena), kod sloenog kamatnog rauna kamate se nakon toga pribrajaju glavnici, tj. glavnica je promjenjiva.
a) Konana ili budua vrijednost glavnice
Odredimo konanu ili buduu vrijednost glavnice ukamaene na n godina, uz stalni kamatnjak te sloen, godinji i dekurzivni obraun kamata.
Budui da se radi o sloenom ukamaivanju uvest emo novu oznaku za iznos kamata. Naime sa K smo oznaili iznos jednostavnih kamata pa emo sa I oznaiti iznos sloenih kamata. Ostale oznake ostat e iste kao i kod jednostavnog i
dekurzivnog obrauna kamata. Konana vrijednost glavnice nC :
na kraju 1. godine jednaka je poetnom iznosu glavnice 0C uveanom za iznos
godinjih kamata:
)100
1(100
00
01
pC
pCCC
na kraju 2. godine jednaka je iznosu glavnice na kraju prve 1C godine uveanom za
iznos kamata:
2
0011
12 )100
1()100
1()100
1()100
1(100
1
pC
ppC
pC
pCCC
C
na kraju 3. godine jednaka je iznosu glavnice na kraju druge godine 2C uveanom za
godinji iznos kamata:
3
0
2
022
23 )100
1()100
1()100
1()100
1(100
2
pC
ppC
pC
pCCC
C
Da bismo odredili izraz za konanu vrijednost glavnice na kraju n-te godine primijetimo da konane vrijednosti glavnice na kraju svake godine ine geometrijski niz (niz koji obiljeava stalan omjer izmeu dva susjedna lana) kojemu je prvi lan
)100
1(01p
Ca , a omjer q je jednak 100
1p
. Koristei izraz za opi lan
geometrijskog niza ,1
1
n
n qaa moemo izraziti nC na sljedei nain:
n
nqa
n
pC
ppCC )
1001()
1001()
1001( 0
1
0
1
Konana vrijednost glavnice na kraju n-te godine nC uz sloen, godinji i dekurzivan
obraun kamata jednaka je:
-
46
n
n
pCC )
1001(0
Ako 100
1p
zamijenimo sa r, gornji se izraz moe zapisati:
n
n rCC 0
gdje je r dekurzivni kamatni faktor ija je vrijednost jednaka vrijednosti novane jedinice zajedno s kamatama na kraju razdoblja ukamaivanja.
Iz gornjeg izraza slijede izrazi za dekurzivni kamatni faktor r te izraz za broj razdoblja, odnosno vrijeme ukamaivanja n :
nn
C
Cr
0
r
C
C
n
n
log
log0 .
Za 0C = 1 vrijedi jednakost n
n rC , gdje nr predstavlja faktor akumulacije, ija je
vrijednost jednaka vrijednosti novane jedinice sa sloenim kamatama na kraju n te godine uz dekurzivni obraun kamata. Da bi se dobilo na jednostavnosti izrauna
konane vrijednosti glavnice izraunate su neke vrijednosti od nr koje se nalaze u prvim financijskim tablicama n p, gdje je n broj razdoblja, a p kamatnjak. Sada se konana vrijednost glavnice moe odrediti i uz pomo sljedeeg izraza:
n
pn ICC 0 .
Primjer:
Neki je ulog uloen u banku uz sloen, dekurzivni i godinji obraun kamata. Koliko e vremena protei dok se taj ulog utrostrui ako je godinji kamatnjak 8?
Rjeenje:
p(G) = 8
03 CCn _________
n = ?
08,1100
81
1001
pr
-
47
2749,140334237555,0
4771212547,0
0334237555,0
3log
08,1log
3log
log
log0
0
0 C
C
r
C
C
n
n
Broj godina mogli smo odrediti i primjenom linearne interpolacije (vidjeti Reli, 2002;str.123).
Primjer:
Kapital iznosi 30.000,00 kn, a kamatnjak p = 15. Na koliku e vrijednost narasti kapital za 5 godina uz sloeno, dekurzivno i godinje ukamaivanje i koliko e iznositi kamate?
Rjeenje:
00,000.300C P = 15
n = 5
______________
?5C
15,1100
151
1001
pr
72,340.6015,100,000.30 55050 rCCrCCn
n
72,340.3000,000.3072,340.600CCI n
Kapital e narasti na vrijednost od 60.340,72 kn, dok e kamate iznositi 30.340,72 kn.
Primjer:
Koliko je iznosila kvartalna kamatna stopa uz koju je neka glavnica za p godina i
sloen i dekurzivni obraun utrostruila svoju vrijednost?
Rjeenje:
03CCn
45n
________
p = ?
Odredit emo dekurzivni kamatni faktor r:
056467,133 20
20
0
0
0 C
C
C
Cr n n .
Sada moemo odrediti traenu kamatnu stopu p:
-
48
6467,51006467,105100100100
1 rpp
r .
Primjer:
Obitelj kupuje stan i razmatra dvije ponude:
a) uplatiti 120.000,00 kn odmah, 200.000,00 kn nakon 3 godine i 300.000,00 kn
nakon 6 godina;
b) uplatiti 80.000,00 kn odmah, 180.000,00 kn nakon 4 godine i 350.000,00 kn nakon
5 godina.
Koju e ponudu za kupnju stana odabrati ako se po prvoj ponudi ukamauje s kamatnjakom p = 8, a u drugoj s kamatnjakom p = 6 ?
Rjeenje:
Izraunat emo sadanje vrijednosti svih uplata za obje ponude kako bismo mogli odluiti koja je povoljnija:
a) 00,000.1200C
00,000.2003C
00,000.3006C
p=8
________________
00,000.1200C (uplauje se odmah)
45,766.15808,1
00,000.20033
30
r
CC
89,050.18908,1
00,000.30066
60
r
CC
Zbroj svih sadanjih vrijednosti uplata iznosi 467.817,34 kn.
b) 00,000.800C
00,000.1804C
00,000.3505C
p = 6
________________
00,000.800C (uplauje se odmah)
-
49
86,576.14206,1
00,000.18044
40
r
CC
36,540.26106,1
00,000.35055
50
r
CC
Zbroj svih sadanjih vrijednosti uplata iznosi 484.117,22 kn.
Obitelj e izabrati prvu ponudu jer je sadanja vrijednost svih uplata po toj ponudi manja od svih uplata po drugoj ponudi, i to za 16.299,88 kn.
Primjer:
S kolikim emo iznosom na raunu u banci raspolagati za 9 godina ako danas uloimo 2.000,00 kn, za 5 godina uloimo 5.000,00, a za 6 godina (od danas) planiramo podii 8.000,00 s rauna? Obraun kamata je godinji, sloen i dekurzivni uz kamatnjak 6%.
Rjeenje:
Kako bismo lake rijeili zadatak posluit emo se grafikim prikazom promjena tijekom vremena:
1 2 3 4 5 6 7 8 9
2000 5000 8000 X
Da bismo odredili traeni iznos najprije emo odrediti dekurzivni kamatni faktor r, a zatim koristiti naelo ekvivalencije kapitala:
06,1100
61r
349 06,1800006,1500006,12000x
21,163x kn
Promjenjivi dekurzivni kamatnjak
Pretpostavka da je dekurzivni godinji kamatnjak stalan nije potpuno realna, tj. za oekivati je da e dekurzivni godinji kamatnjak mijenjati svoje vrijednosti tijekom godina. Ako zadani godinji kamatnjak mijenja vrijednosti tijekom vremena, radi se o
promjenjivom kamatnjaku ip . Odredimo konanu vrijednost glavnice u tom sluaju.
-
50
Na kraju prve godine konana vrijednost glavnice je:
).100
)(1(
100
)( 10
1001
GpC
GpCCC
Na kraju druge godine konana vrijednost glavnice je:
).100
)(1()
100
)(1()
100
)(1(
100
)( 2121
2112
1
GpGpC
GpC
GpCCC
C
o
Na kraju n-te godine konana vrijednost glavnice je:
).100
)(1)...(
100
)(1)(
100
)(1()
100
)(1(
100
)( 2101
11
GpGpGpC
GpC
GpCCC nnn
nnnn
Gornji se izraz moe krae zapisati:
)100
)(1(
1
0
GpCC i
n
i
n ili n
i
in rCC1
0
gdje je 100
)(1
Gpr ii promjenjivi dekurzivni kamatni faktor.
Primjer:
Netko je uloio u banku iznos od 18.000,00 kn. Prve godine se primjenjuje godinji kamatnjak 5, druge godine 6, a tree godine ukamaivanje se vri uz godinji kamatnjak 7. Odredite konanu vrijednost glavnice na kraju tree godine te prosjeni kamatnjak.
Rjeenje:
00,000.180C kn
5)(1 Gp 6)(2 Gp 7)(3 Gp
n = 3
______________
?3C
-
51
05,1100
51
1001 11
pr
06,1
100
61
1001 22
pr
07,1100
71
1001 33
pr
n
i
in rCC1
0
07,106,105,100,000.1832103 rrrCC 21.436,38 kn.
Prosjeni kamatnjak p odredit emo preko odgovarajueg dekurzivnog kamatnog faktora r :
mmrrrr ...21 =
3321 rrr =
3 07,106,105,1 = 1,059968553
p = 100(r - 1) = 100(1,059968553 1) = 5,99 %.
Primjer:
Koliki iznos moemo oekivati na raunu u banci za 10 godina ako danas uloimo 2.000,00 kn, za 5 godina 5.000,00, a za 6 godina (od danas) podignemo 8.000,00 kn?
Obraun kamata je godinji, sloen i dekurzivni, a godinji kamatnjak prve 3 godine iznosi 7, u sljedee 2 godine 8, a nakon toga kamatnjak iznosi 10. Koristite se grafikim prikazom!
Rjeenje:
Najprije emo odrediti odgovarajue dekurzivne kamatne faktore:
07,1100
711r 08,1
100
812r 1,1
100
1013r
07,11r
08,12r 1,13r
1 2 3 4 5 6 7 8 9
2000 5000 8000 X
Traeni iznos odredit emo sada kako slijedi:
-
52
34423 1,180001,150001,108,107,12000x
58,856x kn.
Primjer:
Petar je dogovorio vraanje dugovanja u iznosu od 15.000,00 kn u 4 rate. Kolika je prva rata koju Petar mora uplatiti nakon 3 godine ako druga rata iznosi 4.000,00 kn i
plaa se nakon 6 godina, a trea rata iznosi 1.000,00 kn i plaa se nakon 8 godina? Obraun kamata je godinji, sloen i dekurzivni uz kamatnjak 4.
Rjeenje:
Grafiki prikaz problema:
1 2 3 4 5 6 7 8
15000 X 4000 1000
r = 1,04
05,495.1204,1
1000
04,1
400004,115000
53
3x kn
Nakon 3 godine Petar mora uplatiti 12.495,05 kn.
b)Poetna ili sadanja vrijednost glavnice
Ako elimo znati kolika je bila vrijednost neke glavnice koja je nakon n godina, uz sloeno, godinje i dekurzivno ukamaivanje te fiksan kamatnjak dostigla vrijednost
nC , krenut emo od izraza za konanu vrijednost glavnice uz sloeno, godinje i
dekurzivno ukamaivanje:
n
n rCC 0 iz ega slijedi: nn
r
CC0
.
Ako u zadnji izraz uvedemo zamjenu ,1
rv
dobit emo izraz za poetnu ili sadanju
vrijednost glavnice:
n
n vCC0
V je diskontni kamatni faktor i predstavlja vrijednost koju treba uloiti u banku na poetku godine da bi se zajedno sa sloenim dekurzivnim kamatama na kraju godine
-
53
uz kamatnjak p moglo podii novanu jedinicu. Ako je konana vrijednost jednaka
jedinici, tj. nC = 1, tada je sadanja vrijednost glavnice:
.0nvC
Zbog potrebe prakse izraunate su vrijednosti od nv i zapisane u drugim financijskim tablicama np gdje je n broj razdoblja, a p dekurzivni godinji kamatnjak.
Kad dekurzivni kamatnjak mijenja svoje vrijednosti tijekom razdoblja ukamaivanja izraz za sadanju vrijednost glavnice poprima sljedei oblik:
n
i
i
n
r
CC
1
0
.
Primjer:
Ulaga razmilja o tome da danas u banku uloi neki novani iznos kako bi nakon 8 godina imao pravo podii i investirati u posao 100.000,00 kn. Banka obraunava sloene kamate godinje i dekurzivno. Kamatnjak u prve dvije godine iznosi 6, u sljedee tri godine 7, a u zadnje tri godine 8. O kolikom se novanom iznosu radi?
Rjeenje:
00,000.1008C 621 pp ; 7543 ppp ; 8876 ppp
________________________________________
?0C 06,121 rr 07,1543 rrr 08,1876 rrr
n
i
i
n
r
CC
1
0 = 332 08,107,106,1
00,000.100= 57.672,09 kn .
Kamatnjaci (kamatne stope)
Kamata se najee propisuje za vrijeme od godine dana. Ukoliko je i ukamaivanje godinje, nije potrebno preraunavati propisani ili nominalni kamatnjak na vremenske intervale ukamaivanja. Meutim, ukoliko se ukamaivanje vri ee od jedanput godinje, npr. mjeseno, kvartalno ili polugodinje, a nominalni kamatnjak je godinji, potrebno je preraunati nominalni kamatnjak na vremenske intervale ukamaivanja. Kod preraunavanja na novo obraunsko razdoblje koristi se relativni konformni kamatnjak ( kamatna stopa).
-
54
a) Relativni kamatnjak
Relativni kamatnjak )(dp dobije se tako da se nominalni kamatnjak p(d1) podijeli s
brojem obraunavanja kamata. Dakle, najprije se utvruje koliko puta se vri ukamaivanje i pri tome se koristi sljedei izraz:
d
dm 1
gdje je:
m broj obraunavanja kamata d1 duljina vremenskog intervala za koji je propisan nominalni kamatnjak d duljina vremenskog intervala u kojem se ukamauje.
Nakon toga se nominalni kamatnjak p(d1) podijeli s brojem ukamaivanja m i dobije
se relativni kamatnjak )(dp :
m
dpdp
)()( 1
.
Primjer:
Kolika e biti vrijednost glavnice od 25.000,00 kn na kraju pete godine ako je polugodinji kamatnjak 3, a sloene dekurzivne kamate obraunavaju se godinje?
Rjeenje:
Budui da je zadan polugodinji kamatnjak, a vrijeme ukamaivanja je jedna godina, potrebno je preraunati nominalni kamatnjak u relativni.
00,000.250C
n = 5 godina
p(P) = 3
Pd 11 d = 1G
_____________
?5C
2
1
2
1
1
11
P
P
G
P
d
dm
6
2
1
33)()(
mm
PpGp
06,1100
)(1
Gpr
64,455.3306,100,000.25 5
5
05 rCC
-
55
Treba naglasiti da se uporabom relativnog kamatnjaka ne dobiva isti iznos kamata kao
uporabom nominalnog kamatnjaka. Naime, iznos kamata dobiven primjenom
nominalnog kamatnjaka je:
a) vei od iznosa kamata dobivenog uz relativni kamatnjak ukoliko je 0 < m < 1 ili b) manji od iznosa kamata dobivenog uz relativni kamatnjak ukoliko je m > 1.
Primjer:
Na koliku e vrijednost narasti glavnica od 20.000,00 kn nakon 15 godina, ako se
ukamauje kvartalno uz relativni kamatnjak, a godinji kamatnjak p iznosi 12.
Rjeenje:
p = 12
m = 4
_________
34
12)()( 1
m
dpdp
03,1100
)(1
Gpr
06,832.11703,100,000.20 604150415 rCC
b) Konformni kamatnjak
Konformni kamatnjak )(dp je kamatnjak ije je obiljeje da se njegovom uporabom
uz m ukamaivanja dobiva isti iznos kamata kao i uporabom nominalnog kamatnjaka uz jedno ukamaivanje. Koristei to obiljeje, izvest emo izraz za konformni kamatnjak kako slijedi:
100
)(1)
100
)(1(
1
1 dpdp m
100
)(1)
100
)(1(
1
1 dpdp m
1)100
)(1(100)(
1
1 mdp
dp
Primjer:
mmdpdp
1
1 )100
)(1(
100
)(1
-
56
Ako je zadani godinji kamatnjak od 10, koliki je dnevni, mjeseni, kvartalni i polugodinji kamatnjak?
Rjeenje:
Izraun dnevnog kamatnjaka: ako se radi o jednostavnom ukamaivanju izraunamo
relativni ispodgodinji kamatnjak za )( 1dp = 10 i m = 365.
027397,0
365
10)()( 1
m
dpdp
Ako je ukamaivanje sloeno, izraunamo konformni ispodgodinji kamatnjak:
0261157,01)100
101(1001)
100
)(1(100)( 365
11
1 mdp
dp
Konformni ispodgodinji kamatnjak uvijek je manji od relativnog ispodgodinjeg kamatnjaka.
Izraun mjesenog kamatnjaka: ako se radi o jednostavnom ukamaivanju,
izraunamo relativni ispodgodinji kamatnjak za )( 1dp = 10 i m = 12.
833333,012
10)()( 1
m
dpdp
Ako je ukamaivanje sloeno, izraunamo konformni ispodgodinji kamatnjak:
797414,01)100
101(1001)
100
)(1(100)( 12
11
1 mdp
dp
Izraun kvartalnog kamatnjaka: ako se radi o jednostavnom ukamaivanju,
izraunamo relativni ispodgodinji kamatnjak za )( 1dp = 10 i m = 4.
5,24
10)()( 1
m
dpdp
Ako je ukamaivanje sloeno, izraunamo konformni ispodgodinji kamatnjak:
411368,21)100
101(1001)
100
)(1(100)( 4
11
1 mdp
dp
Izraun polugodinjeg kamatnjaka: ako se radi o jednostavnom ukamaivanju,
izraunamo relativni ispodgodinji kamatnjak za )( 1dp = 10 i m = 2.
-
57
52
10)()( 1
m
dpdp
Ako je ukamaivanje sloeno, izraunamo konformni ispodgodinji kamatnjak:
880884,41)100
101(1001)
100
)(1(100)( 2
11
1 mdp
dp
Ako usporedimo veliine dobivenih kamatnjaka, primjeujemo da je konformni ispodgodinji kamatnjak uvijek manji od relativnog ispodgodinjeg kamatnjaka.
Primjer:
Na koliku vrijednost naraste glavnica od 40.000,00 kn nakon 18 mjeseci uz godinji
dekurzivni kamatnjak od 10 i sloen obraun kamata. Koristite konformni kamatnjak!
Rjeenje:
00,000.400C p(G) = 10
_____________
?18C
797,01)100
101(1001)
100
)(1(100)( 12
11
1 mdp
mp
00797414,1100
)(1
mpr
59,147.4600797414,100,000.4000,000.40 181818 rC
Primjer:
Zadane su vrijednosti dekurzivnih godinjih kamatnjaka p1 i p2. Odredite
ekvivalentne konformne kamatnjake za sijeanj i travanj.
p1 = 20
p2 = 15
______
1100
)(1100 1' m
dpp
Za p1 = 20 ekvivalentni konformni mjeseni kamatnjak za sijeanj koji ima 31 dan
iznosi:
-
58
.560535599,11100
201100 31
365'
31
365p
Ekvivalentni konformni mjeseni kamatnjak za travanj koji ima 30 dana iznosi:
.50981765,11100
201100 30
365'
30
365p
Za p2 = 15 ekvivalentni konformni mjeseni kamatnjak za sijeanj iznosi:
.194092268,11100
151100 31
365'
31
365p
Ekvivalentni konformni mjeseni kamatnjak za travanj iznosi:
.155351514,11100
151100 31
365'
30
365p
Primjer:
Odredite vrijednost poetnog kapitala u iznosu od 15.000,00 kn ukamaenog uz
dekurzivni godinji kamatnjak 10 nakon 120 dana (godina nije prijestupna).
Primijenite:
a) relativni kamatnjak
b) konformni kamatnjak.
Rjeenje:
00,000.150C p(G) = 10
n = 120 dana
m = 365
____________
?120C
a) Uz primjenu relativnog kamatnjaka konana vrijednost kapitala nakon 120 dana
iznosi:
0273972603,0365
10)()( 1
m
dpdp
-
59
030002739726,1100
0273972603,01
1001
pr
28,501.15000273973,100,000.15 120120C
b) Uz primjenu konformnog dnevnog kamatnjaka vrijednost kapitala nakon 120 dana
iznosi:
0794567,0)1100
101(100)1
1001(100 120' d
pp
000794567,1100
0794567,01'r
00,500.16000794567,100,000.15 120'1200
' CrCC nn
Primjer:
Izraunajte vrijednost poetnog kapitala od 30.000,00 nakon 5 godina ako je
ukamaivanje godinje, sloeno i dekurzivno, a polugodinji kamatnjak iznosi 3,5.
Odredite i pripadni iznos kamata.
Rjeenje:
00,000.300C 5,3)(Pp
m = 2
n = 5g
_____________
?10C
?10I
035,1100
5,31
1001
pr
mn
mn rCC 0
96,317.42035,100,000.30 1010010 rCC
Kamate se mogu odrediti na dva naina:
1. 96,317.12)1035.1(00,000.30)1(10
0
mn
mn rCI
-
60
2. 96,317.1200,000.3096,317.4210010 ICC
Anticipativni obraun kamata
Anticipativno obraunavanje kamata podrazumijeva obraun kamata na poetku razdoblja ukamaivanja od glavnice s kraja tog razdoblja. Kako se radi o sloenom ukamaivanju, glavnici se na kraju svakog razdoblja pribrajaju kamate.
a) Konana (budua) vrijednost glavnice
Kako odrediti konanu vrijednost glavnice na kraju n - te godine uz sloen, godinji i anticipativni obraun kamata? Uvest emo sljedee oznake:
0C poetna vrijednost glavnice
n broj godina
q(G) anticipativni godinji kamatnjak
nC konana vrijednost glavnice
Da bismo odredili konanu vrijednost glavnice uz anticipativni obraun kamata, kreemo od konanih vrijednosti glavnica za svako razdoblje ukamaivanja:
1. konana vrijednost glavnice za prvu godinu:
01
1100
)(C
GqCC
01100
)(1 C
GqC
01100
)(100C
GqC
01)(100
100C
GqC
2. konana vrijednost glavnice za drugu godinu:
12
2100
)(C
GqCC
12100
)(1 C
GqC
12100
)(100C
GqC
-
61
0
2
012)(100
100
)(100
100
)(100
100
)(100
100
1
CGq
CGqGq
CGq
C
C
0
2
2)(100
100C
GqC
3. konana vrijednost glavnice za treu godinu:
23
3100
)(C
GqCC
23100
)(1 C
GqC
23100
)(100C
GqC
0
3
0
2
23)(100
100
)(100
100
)(100
100
)(100
100
2
CGq
CGqGq
CGq
C
C
0
3
3)(100
100C
GqC
Analogijom zakljuujemo da je konana vrijednost glavnice za n tu godinu jednaka:
n
nGq
CC)(100
1000
Radi jednostavnosti zapisa uvodi se zamjena n
Gq )(100
100, gdje je
anticipativni kamatni faktor pa se sada gornji izraz za konanu vrijednost glavnice moe zapisati
n
n CC 0 ili primjenom prvih financijskih tablica n, q n
qn ICC 0
b) Poetna (sadanja) vrijednost glavnice
Da bismo odredili poetnu (sadanju) vrijednost glavnice koja dospijeva za n godina uz anticipativni godinji kamatnjak i sloen obraun kamata, kreemo od izraza za konanu vrijednost glavnice:
-
62
n
n CC 0 iz ega slijedi nnCC0 ili .
10 nn
CC
Primjenom drugih financijskih tablica n, q u kojima su navedene neke od vrijednosti
n
1, poetna vrijednost glavnice odreuje se uz pomo izraza:
n
qnIICC0 .
Nominalni, relativni i konformni kamatnjak
Kad se vremenski intervali nominalnog kamatnjaka i ukamaivanja ne podudaraju, potrebno je, kao i kod dekurzivnog ukamaivanja, preraunati nominalni kamatnjak u relativni ili u konformni kamatnjak.
Relativni kamatnjak jednak je m
dqdq
)()( 1 , gdje je d duljina razdoblja
ukamaivanja, 1d je, kao i kod dekurzivnog ukamaivanja, duljina vremenskog
intervala nominalnog ili propisanog kamatnjaka.
Konformni kamatnjak )(, dq odreuje se iz jednakosti:
m
dqdq
100
)(1
100
)(1
,
1 kako
slijedi:
100
)(1
100
)(1
,1
1 dqdq m
100
)(100
100
)(1
,1
1 dqdq m
)(100100
)(1100 ,
1
1 dqdq m
100
)(1100100)( 1,
dqdq
i konano:
mdqdq
1
1,
100
)(11100)(
-
63
Ekvivalenti dekurzivni (anticipativni) kamatnjak
Ukoliko je zadan anticipativni kamatnjak, moemo odrediti ekvivalentni dekurzivni kamatnjak i primijeniti dekurzivno ukamaivanje. Isto tako mogue je postupiti obratno: za zadani dekurzivni kamatnjak moemo odrediti njegov anticipativni ekvivalent i primijeniti anticipativno ukamaivanje. Ipak se najee u primjenama anticipativno ukamaivanje svodi na dekurzivno, koritenjem ekvivalentnog dekurzivnog kamatnjaka.
Vezu izmeu jednoga i drugog kamatnjaka moemo utvrditi tako da postavimo sljedei uvjet3: poetna ili sadanja vrijednost novane jedinice s kraja razdoblja uz primjenu anticipati