A cura della Prof.ssa Maddalena Dominijanni Le trasformazioni del piano.

A cura della Prof.ssa Maddalena DA cura della Prof.ssa Maddalena Dominijanniominijanni

Le trasformazioni del pianoLe trasformazioni del piano


Le Trasformazioni Le Trasformazioni GeometricheGeometriche

Vogliamo conoscere le relazioni che sussistono tra gli oggetti geometrici quando subiscono trasformazioni

Si chiama trasformazione geometrica una corrispondenza biunivoca fra i punti di un piano


La trasformazione identica o identità è quella che associa ad ogni punto se stesso

Si dice involutoria una trasformazione che, applicata due volte, coincide con la trasformazione identica

Si chiamano invarianti le caratteristiche che rimangono inalterate

Varianti le caratteristiche che si modificano

Elementi uniti gli elementi che hanno per trasformati se stessi


Gioco del Tangram: In questo antico gioco cinese, si realizzano trasformazioni spezzettando una figura geometrica. Due figure diverse ottenute con il Tangram si scompongono negli stessi pezzi (equiscomponibili) e quindi hanno come elemento invariato l’area.

Che scomposto può essere visto così

E trasformarsi così e così via


Invarianti

Le principali caratteristiche che una trasformazione può lasciare invariate sono:

La Lunghezza dei segmentiL’ampiezza degli angoliIl parallelismoLe direzioniIl rapporto tra i segmentiL’orientamento dei punti del piano


Trasformazioni geometricheTrasformazioni geometricheSi possono suddividere in tre categorie:

Trasformazioni che si ottengono mediante deformazioni (esempio: disegno su tela elastica)

Trasformazioni che si ottengono per proiezioni (esempio: ombra di un oggetto)

Trasformazioni che si ottengono mediante movimenti (esempio: immagine riflessa)


Trasformazioni geometriche: LE LE ISOMETRIEISOMETRIESono trasformazioni geometriche nelle quali la figura trasformata rimane congruente alla figura iniziale, conservandone sia la forma e sia la dimensione.

Le trasformazioni isometriche si ottengono mediante movimenti rigidi delle figure, che cambiano unicamente la loro posizione nel piano.


Le isometrieLe isometrie

Le principali isometrie sono:Le principali isometrie sono:

TraslazioniTraslazioni RotazioniRotazioni Simmetria assialeSimmetria assiale Simmetria centraleSimmetria centrale


La traslazioneLa traslazioneLa figura F con un lato La figura F con un lato

appoggiato sulla retta r è stata appoggiato sulla retta r è stata spostata con un movimento spostata con un movimento rigido ottenendo F’.rigido ottenendo F’.

Il movimento che ha portato F in F’ è unaIl movimento che ha portato F in F’ è una traslazionetraslazione: : ogni punto di F si è spostato della ogni punto di F si è spostato della stessa lunghezzastessa lunghezza (6 cm), nella (6 cm), nella stessa direzionestessa direzione (parallelo ad r) e nello (parallelo ad r) e nello stesso versostesso verso ( a destra) dando origine ad F’. ( a destra) dando origine ad F’.

FF’

r

Destro destro


Gli elementi che caratterizzano la Gli elementi che caratterizzano la traslazione sono quindi tre:traslazione sono quindi tre:

1.1. La sua La sua lunghezzalunghezza (6 cm) (6 cm)

2.2. La sua La sua direzione direzione (parallela ad r)(parallela ad r)

3.3. Il suo Il suo versoverso (da sinistra a destra) (da sinistra a destra)

Queste Queste tretre caratteristiche definiscono un caratteristiche definiscono un segmento orientato, chiamato segmento orientato, chiamato vettorevettore, , indicato con v o con ABindicato con v o con AB


Per Per individuare un vettoreindividuare un vettore occorre indicare: occorre indicare:

La sua La sua direzione,direzione, cioè la retta a cui appartiene cioè la retta a cui appartiene

Il suo Il suo versoverso, che indica il senso di percorrenza, che indica il senso di percorrenza

La sua La sua intensità o intensità o modulomodulo, che rappresenta la , che rappresenta la lunghezza del segmento ABlunghezza del segmento AB

TeoremaTeorema: la traslazione è un’isometria: la traslazione è un’isometria

Con questo teorema affermiamo che Con questo teorema affermiamo che due figuredue figure che si corrispondono che si corrispondono in una in una

traslazione sono congruenti.traslazione sono congruenti.


Inoltre la traslazione ha come caratteristiche Inoltre la traslazione ha come caratteristiche invarianti:invarianti:L’allineamento dei punti (collineazione)L’allineamento dei punti (collineazione)La lunghezza dei segmentiLa lunghezza dei segmentiL’ampiezza degli angoliL’ampiezza degli angoliIl parallelismoIl parallelismoLe direzioniLe direzioniIl rapporto tra segmentiIl rapporto tra segmentiL’orientamento dei punti del pianoL’orientamento dei punti del piano


La rotazioneLa rotazioneUn’altraUn’altra trasformazionetrasformazione che mantiene che mantiene

invariateinvariate tutte le misure lineari e tutte le misure lineari e angolariangolari è la rotazione attorno ad un è la rotazione attorno ad un punto.punto.

Per definire una rotazione è necessario Per definire una rotazione è necessario che siano dati:che siano dati:

1.1. Un punto, detto Un punto, detto centrocentro di rotazione di rotazione

2.2. L’ampiezza dell’L’ampiezza dell’angolo angolo di rotazionedi rotazione

3.3. Il Il versoverso di rotazione (orario o antiorario di rotazione (orario o antiorario))


Teorema: la rotazione è un’isometria

La rotazione quindi ha le proprietà delle isometrie ed in particolare trasforma una figura in un’altra ad essa congruente. Valgono le seguenti Valgono le seguenti proprietà:proprietà:

Il Il solo punto unitosolo punto unito è il è il centro centro di rotazionedi rotazione

Non esistonoNon esistono rette uniterette unite se non se non quellequelle che si che si corrispondono in una corrispondono in una rotazionerotazione pari ad pari ad un angolo un angolo piattopiatto

La rotazione di ampiezza pari ad un La rotazione di ampiezza pari ad un angolo giroangolo giro

coincide con la trasformazione coincide con la trasformazione identitàidentità


La rotazione ha come caratteristiche invarianti:

L’allineamento dei punti (collineazione)La lunghezza dei segmentiIl parallelismoL’ampiezza degli angoliIl rapporto tra segmentiL’orientamento dei punti del piano

E’ una trasformazione involutoria


Una Rotazione Particolare:Una Rotazione Particolare:

La Simmetria CentraleLa Simmetria CentraleUna Una rotazione di 180°rotazione di 180° attorno ad un punto C è attorno ad un punto C è una una simmetria centralesimmetria centrale..

Il centro di simmetria è il centro della rotazioneIl centro di simmetria è il centro della rotazione

TeoremaTeorema: la simmetria centrale è un’isometria: la simmetria centrale è un’isometria

Questo teorema garantisce che due figure Questo teorema garantisce che due figure simmetriche rispetto ad un punto simmetriche rispetto ad un punto sono congruentisono congruenti

Destro va in destro


Ogni retta passante per il centro è una retta unita, ma non fissa perché cambia l’ordinamento dei suoi punti

Come in ogni rotazione l’unico punto fisso è il centro

Due segmenti, o rette che si corrispondono in una simmetria centrale sono paralleli

La simmetria centrale è involutoria


Il Ribaltamento:Il Ribaltamento:

La Simmetria AssialeLa Simmetria AssialeEsistono situazioni in cui le figure mantengono le loro misure, ma si ‘ribaltano’ generando figure simmetriche rispetto ad un asse.

DefinizioneDefinizione:: si dice simmetria assiale la trasformazione si dice simmetria assiale la trasformazione che, data una retta r, associa ad un punto P il suo che, data una retta r, associa ad un punto P il suo simmetrico P’ rispetto ad r.simmetrico P’ rispetto ad r.

La retta r prende il nome di La retta r prende il nome di asse di simmetriaasse di simmetria..r

P

P'

M


TeoremaTeorema:: la simmetria assiale è un’isometria la simmetria assiale è un’isometria

Questo teorema ci permette di dire che due figure che si Questo teorema ci permette di dire che due figure che si corrispondono in una simmetria assiale sono corrispondono in una simmetria assiale sono congruenti.congruenti.

Segmenti corrispondenti sono ugualiSi conservano gli angoliTriangoli corrispondenti sono congruenti

Sinistro destro


Una Una rettaretta a a perpendicolare all’asseperpendicolare all’asse di di simmetria ha per simmetria ha per trasformata se stessa ed è trasformata se stessa ed è quindi una retta unitaquindi una retta unita;;

Attenzione però: non è una retta di punti uniti Attenzione però: non è una retta di punti uniti perché ciascun punto della retta non ha come perché ciascun punto della retta non ha come trasformato se stesso. trasformato se stesso. Una retta a // all’asse di simmetria ha per Una retta a // all’asse di simmetria ha per trasformata una retta a’ ancora // all’asse e trasformata una retta a’ ancora // all’asse e quindi a a stessa.quindi a a stessa.


Se A’ è il trasformato di A nella simmetria di Se A’ è il trasformato di A nella simmetria di asse r, il trasformato di A’ è ancora A e quindi la asse r, il trasformato di A’ è ancora A e quindi la trasformazione ètrasformazione è involutoria;involutoria; Se Se i i vertici del triangolo ABCvertici del triangolo ABC si susseguono in si susseguono in senso orariosenso orario, i loro corrispondenti , i loro corrispondenti A’B’C’A’B’C’ si si susseguono in susseguono in senso antiorariosenso antiorario e quindi e quindi l’ordinamento dei punti non è un’invariante;l’ordinamento dei punti non è un’invariante;

(Mostrare la proprietà descritta in cabrì)(Mostrare la proprietà descritta in cabrì)


Un angolo ha come asse di simmetria la sua bisettriceUn triangolo ha un asse di simmetria solo se è isosceleIl rombo ha due assi di simmetria (diagonali)Il cerchio infiniti assi di simmetria

Gli Gli invarianti della simmetria assialeinvarianti della simmetria assiale sono: sono:L’allineamento dei punti (collineazione)L’allineamento dei punti (collineazione)La lunghezza dei segmentiLa lunghezza dei segmentiIl parallelismoIl parallelismoIl rapporto tra segmentiIl rapporto tra segmentiL’orientamento dei punti del pianoL’orientamento dei punti del piano È un’isometria invertenteÈ un’isometria invertente


Due riflessioni con assi incidenti producono una … rotazione

Con due riflessioni….Con due riflessioni….

…si ottiene una traslazione


Trasformazioni composte: scheda di lavoro

Sia s una simmetria rispetto ad una retta a.1.Disegna ABC e la retta a; costruisci A'B'C' usando SIMMETRIA assiale con asse a;poi usa SIMMETRIA su A'B'C' rispetto ad a.Cosa ottieni? Cosa puoi concludere?

2.Disegna ABC e due rette parallele a,b. Opera su ABC consimmetria assiale asse a ottenendo A'B'C'; opera su A'B'C' con simmetria assiale asse b ottenendoA"B"C".Quale trasformazione associa A"B "C" ad ABC?Cerca le caratteristiche di tale trasformazione:• Congiungi i vertici corrispondenti e misura i segmentiottenuti; cosa osservi?


3.Disegna ABC e due rette a,b incidenti in O. Opera su ABCcon simmetria assiale asse a ottenendo A'B'C' e poi su A'B'C' con ssimmetria assiale asse b ottenendoA"B"C".Quale trasformazione associa A"B "C" ad ABC?•Cerca le caratteristiche di tale trasformazione• Congiungi i vertici dei due triangoli con il punto O emisura gli angoli AOA”, B0B”, COC”.• Misura l'angolo tra le rette a, b.• Cerca il legame tra le misure fatte.

4.Disegna un poligono P a tuo piacere con POLIGONO edue rette a, b tra loro perpendicolari in O. Opera su Pcon simmetria asse a, ottenendo P', poi su P' con simmetria asse b ottenendo P".Quale trasformazione associa P” a P?

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